El diagrama de Mohr para esfuerzos en 3D: En un sistema ortogonal, i, j, k, tenemos para los esfuerzos normal y de cizalla, actuando sobre un plano cualquiera, las expresiones: σn = σi − σj σi + σj + cos 2θk 2 2 σs = σi − σj sen 2θk 2 son independiente del plano escogido. Representan la forma general de las ecuaciones para calcular las componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre cualquier plano en un espacio fisico. Para plnos paralelos a cualquiera de los ejes pricipales x ck , un diagrama 2D del plano xbi − xbj es empleado, donde k 6= i < j 6= k. Asi, (i, j, k) puede adquirir los valores (1, 3, 2), (1, 2, 3) y (2, 3, 1). Mostraremos que estas expresiones representan los esfuerzos normal y de cizalla en el circulo de Mohr, una representacion 2D, de los esfuerzos en 3D. Sean, para la demostracion: i = 1, j = 3 y k = 2, sustituyendo estos subindices tenemos σn = σ1 − σ3 σ1 + σ3 + cos 2θ2 2 2 σ1 − σ3 sen 2θ2 2 Para otros planos de coordenadas , exactamente las mismas propiedades del circulo de Mohr se aplican. σs = Geometria para la determinacion del esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre un plano P de cualquier orientacion dada a traves de un punto. A. El plano P es paralelo al eje x c2 pero orientacion arbitraria. 1 B. vista bidimesional de la geometria de la parte A, mosntrando la distribucion de las componentes del esfuerzo. Todas las componentes de esfuerzos y angulos mostrados son positivos en este diagrama. C. El elemento triangular sombreado en la parte B, mostrando solamente las componentes de traccion que actuan sobre el exterior del elemento. D. Diagrama de las fuerzas y componentes de las fuerzas derivado de las componentes de traccion 2 mostradas en la parte C. De la figura C mostrada, vemos que A3 A A3 = A sen θ2 sen θ2 = A1 A A1 = A cos θ2 cos θ2 = Representando las fuerzas que actuan sobre cada cara del prisma rectangular, tenemos Trasladando cada vector sobre su linea de accion de forma que queden todos ubicados con un origen comun, tenemos: Desconpogamos cada uno, y representemoslo como componentes paralela al plano y perpendicular al plano P de estudio, tendremos: 3 Luego, las componentes de F1 son: cos θ2 = F1n F1 F1n = F1 cos θ2 sen θ2 = F1s F1 F1s = F1 sen θ2 Las componentes de F3 , son: cos θ2 = F3s F3 F3s = F3 cos θ2 sen θ2 = F3n F3 F3n = F3 sen θ2 P Aplicando la condicion de equilibrio estatico tralacional para un cuerpo solido F = 0, esto implica que sobre cualquier sistema de coordenadas que se emplee debe cumplirse, por tanto, en nuestro caso debe cumplirse que: X Fn = 0 X Fs = 0 Aplicando la condicion 8, tenemos: X Fn = 0 Fn − F1n − F3n = 0 sustituyendo F1n y F3n en Eq2, tenemos: Fn − F1 cos θ2 − F3 sen θ2 = 0 4 Aplicando la condicion 9, tenemos: X Fs = 0 Fs − F1 + F3 = 0 Fs − F1 sen θ2 + F3 cos θ2 = 0 De las ecuaciones 1 y 2, despejando Fn y Fs , se tiene: Fn = F1 cos θ2 + F3 sen θ2 Fs = F1 sen θ2 − F3 cos θ2 Reecribimos las fuerzas en terminos de las componentes de los esfuerzos, recordemos que σ = F A por lo tanto F = σA, luego, cada una de las fuerzas se pueden representar como Fn = σn A, Fs = σs A, F1 = σ1 A1 y F3 = σ3 A3 y al sustituirlas obtenemos: σn A = σ1 A1 cos θ2 + σ3 A3 sen θ2 σs A = σ1 A1 sen θ2 − σ3 A3 cos θ2 Reescribamos las areas A1 y A3 en terminos del area A, empleando: A1 = A cos θ2 y A3 = A sen θ2 , se tiene: σn A = σ1 (A cos θ2 ) cos θ2 + σ3 (A sen θ2 ) sen θ2 σn A = σ1 A cos2 θ2 + σ3 A sen2 θ2 eliminando la A que es factor comun en ambos mienbros de la igualdad: σn = σ1 cos2 θ2 + σ3 sen2 θ2 Para σs , de forma similar, tenemos: σs A = σ1 (A cos θ2 ) sen θ2 − σ3 (A sen θ2 ) cos θ2 σs A = σ1 A sen θ2 cos θ2 − σ3 A sen θ2 cos θ2 Factorizando en el mienbro izquierdo, se obtiene: σs A = (σ1 − σ3 ) A sen θ2 cos θ2 Por tanto, σs = (σ1 − σ3 ) sen θ2 cos θ2 Las expresiones anteriores para σn y σs son mas facilmente interpretadas si las reescribimos empleando las siguientes indentidades trigonometricas de doble angulo: cos2 θ2 = 1 (1 + cos 2θ2 ) 2 1 (1 − cos 2θ2 ) 2 1 sen θ2 cos θ2 = sen 2θ2 2 sen2 θ2 = 5 Reemplazando las indentidad anteriores en las expresiones 3 y 4, tenemos: 1 1 σn = σ1 (1 + cos 2θ2 ) + σ3 (1 − cos 2θ2 ) 2 2 1 1 1 1 σ1 + σ1 cos 2θ2 + σ3 − σ3 cos 2θ2 2 2 2 2 reagrupando los terminos, se tiene: σn = σn = 1 1 1 1 σ1 + σ3 + σ1 cos 2θ2 − σ3 cos 2θ2 2 2 2 2 1 1 (σ1 + σ3 ) + (σ1 − σ3 ) cos 2θ2 2 2 σ1 + σ3 σ1 − σ3 σn = + cos 2θ2 2 2 σn = De forma similar para σs tenemos: σs = (σ1 − σ3 ) sen θ2 cos θ2 1 sen 2θ2 σs = (σ1 − σ3 ) 2 σ1 − σ3 σs = sen 2θ2 2 3 las ecuaciones 5 y 6 podemos indicar que σ1 +σ representa el esfuerzo normal medio y 2 De σ1 −σ3 representa el esfuerzo de cizalla maximo posible . 2 Las expresiones 5 y 6 son ecuaciones parametricas para el circulo de Mohr, donde σn y σs son las variables y θ2 es el parametro. Podemos obtener una forma mas familiar matematicamente a la del circulo, para la ecuacion del circulo de Mohr, si eliminamos el parametro θ2 . Para ello, primero reescribimos la ecuacion 5, obtenemos: σ1 + σ3 σ1 − σ3 σn − = cos 2θ2 2 2 elevamos ambos mienbros de la ecuacion 7, obtenemos: 2 2 σ1 + σ3 σ1 − σ3 = cos 2θ2 σn − 2 2 2 2 σ1 + σ3 σ1 − σ3 = cos2 2θ2 σn − 2 2 y tambien, elevamos ambos mienbros de la ecuacion 6, se tiene: σs2 σ1 − σ3 = sen 2θ2 2 6 2 σs2 = σ1 − σ3 2 2 sen2 2θ2 Realizamos la suma mienbro a mienbro de las ecuaciones 8 y 9: 2 2 2 σ1 − σ3 σ1 − σ3 σ1 + σ3 2 2 + σs = cos 2θ2 + sen2 2θ2 σn − 2 2 2 realizamos la factorizacion que aparece en el mienbro derecho de la igualdad 2 2 2 σ1 + σ3 σ1 − σ3 2 + σs = cos 2θ2 + sen2 2θ2 σn − 2 2 y por la identidad trigonometrica sen2 A + cos2 A = 1, tenemos que: 2 2 σ1 − σ3 σ1 + σ3 + σs2 = σn − 2 2 por analogia con la ecuacion del circulo con centro sobre el eje x: 2 (x − a) + y 2 = r2 notamos que, el eje x representa los esfuerzos normales al plano de estudio (σn ), el eje y representa 3 los esfuerzos de cizalla paralelos al plano de estudio (σs ). El radio r esta dado por σ1 −σ y la 2 σ1 +σ3 distancia a sobre el eje x a la cual se encuentra desplazado el centro del circulo es 2 . Con esto, podemos representar el Circulo de Mohr: 7
