TEORÍA DE ERLANG

1
Teoría de Erlang
Jefferson Loayza Madariaga, Anita Quispe Mamani y Fabiola Pachao García
Departamento de Electrónica
Universidad Nacional de San Agustín
jloayzamad@unsa.edu.pe, anmamaniqu@@unsa.edu.pe, fpachaog@unsa.edu
Resumen—Estas instrucciones son una guía básica para la
preparación de un trabajo para ser presentado ante la Revista
Argentina de Trabajos Estudiantiles*. Este documento es en si
mismo un ejemplo del formato deseado (inclusive este Resumen) y
puede ser usado como una plantilla.
El Resumen esta limitado a 150 palabras y no debe contener
ecuaciones, figuras, tablas, o referencias. Debe concisamente
enunciar que fue hecho, como fue hecho, resultados principales, y
su trascendencia.
Abstract--Basic guidelines for the preparation of a technical
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The abstract is limited to 150 words and cannot contain
equations, figures, tables, or references. It should concisely state
what was done, how it was done, principal results, and their
significance.
I. INTRODUCCIÓN
a teoría de Erlang es de suma importancia en la
ingeniería telegráfica porque se puede calcular la
probabilidad de una llamada bloqueada, realimentada,
que espere ser atendida, según sean los diferentes casos
que lo ocasione , debido al congestionamiento, muy
pocos servidores entre otros, y se relaciona directamente
a las telecomunicaciones en el aspecto de telefonía y el
objetivo ahora es investigar la teoría de Erlang para
conocer más acerca de las diferentes probabilidades que
existen en el tráfico de red.
L
Por tal motivo decidimos trabajar en equipo para
encontrar información más detallada de la distribución
de Erlang y sus propiedades, los modelos de tráfico como
Erlang B, Erlang B extendido, y Erlang C. El resultado
de trabajar en equipo nos permitió relacionar ideas y
mejorar nuestros conceptos acerca de la teoría de Erlang,
y a la vez el trabajo en equipo se hizo en menos tiempo
que de manera individual.
Entonces se decidió profundizar la investigación en la
distribución de Erlang y sus propiedades, los modelos de
tráfico como Erlang B, Erlang B extendido, y Erlang C.
II. DESARROLLO
rgner Krarup Erlang, fue un matemático estadístico e
ingeniero danés que invento los campos de ingeniería de
trafico de telecomunicaciones y la teoría de colas, además
creo la distribución de Erlang, que toma el nombre en honor a
él.
Erlang fue quien desarrollo el modelo, al estudiar las
llamadas telefónicas en centrales de comunicación.
A
A. DISTRIBUCIONES
Como antecedentes de la distribución de Erlang se tienen
varias distribuciones como lo son:
 Distribución Exponencial
 Distribución Binomial
 Distribución de Bernoulli
 Distribución de Pascal
 Distribución Geométrica
Cada una de estas distribuciones:
1) Distribuci ón Exponencial:
Modelo el tiempo transcurrido entre 2 eventos, o bien el
tiempo que transcurre para el primer evento.
(1)
De donde:
T: Tiempo que transcurre para la primera ocurrencia
En caso de las variables discretas se tiene las siguientes
distribuciones:
2) Distribucion Binomial:
Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el
número de éxitos en una secuencia de “n” ensayos de
Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad
fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
2
B. Generalización de la distribución de Erlang
(2)
La distribución Binomial generaliza la distribución de
Bernoulli.
Dado el caso:
(6)
Entonces:
3) Distribución de Bernoulli:
La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica),
es una distribución de probabilidad discreta, que toma
valor 1 para la probabilidad de éxito y 0 para la
probabilidad de fracaso.
(7)
Donde Y es la suma de 2 variables aleatorias con distribución
exponencial
Y se busca obtener la función de densidad de Y
(8)
Por lo que se plantea:
(9)
(3)
4) Distribución de Pascal:
Sustituyendo la variable aleatoria Y
(10)
(4)
La distribución de Pascal generaliza la distribución
Geométrica.
5) Distribución Geométrica:
La distribución geométrica es un modelo adecuado para
aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la
consecución del éxito a resultado deseado.
También implica la existencia de una dicotomía de
posibles resultados y la independencia de las pruebas
entre sí.
Que es una probabilidad de variables aleatorias conjuntas
Por independencia se sabe que la función de densidad es igual
a:
=
(11)
Y puesto que las marginales son las distribuciones de las
variables aleatorias ,
y cada una tiene distribución
exponencial.
(12)
Sustituyendo:
(13)
(5)
Y para obtener la probabilidad buscada. Se realiza la
integral doble sobre la región de interés.
Para la primera Integral:
Después de las anteoriores distribuciones. En el caso de la
Variable Aleatoria Exponencial que modela el tiempo para la
primera ocurrencia.
Para la generalización consiste en buscar el tiempo para la resima ocurrencia, que en realidad es una suma de Variables
Aleatorias Exponeciales.
Por las características del proceso de Poisson sobre el que se
construye la variable aleatoria exponencial, se tiene que las
variables aleatorias exponenciales que se suman para construir
la distribución de Erlang serán independientes e idénticamente
distribuidas.
3
Fig. 1 Region de interes para la primera integral.
Dado el siguiente caso para determinar la generalización de la
distribución de Erlang:
Dando la integral:
(14)
Y: Tiempo para la tercera ocurrencia
(21)
Entonces:
Para la segunda Integral
(22)
Donde Y es la suma de 3 variables aleatorias con distribución
exponencial y se busca obtener la función de densidad de Y.
(23)
Por lo que se plantea:
(24)
Sustituyendo la variable aleatoria Y
(25)
Fig. 2 Region de interes para la segunda integral.
Que es una probabilidad de variables aleatorias conjuntas
por independencia se sabe que la función de densidad:
Dando la integral:
(15)
.
.
=
.
.
(26)
Y puesto que las marginales son las distribuciones de las
variables aleatoria
y cada una tiene distribución
exponencial.
(27)
Quedando la integral doble:
Sustituyendo:
(16)
(28)
(17)
Y para obtener la probabilidad buscada. Se realiza la integral
triple sobre la región de interés.
Realizando la integral doble:
(29)
(18)
Derivando para obtener la funcion de densidad
(30)
Al realizar la Integral triple:
(19)
(31)
(20)
Que es la función de densidad de Y, la variable aleatoria
que representa la suma de 2 variables aleatorias con
distribución exponencial
Derivando para obtener la función de densidad:
(32)
4
(33)
C. EL MODELO ERLANG B
Conociendo el tráfico y la cantidad de líneas disponible, este
modelo calcula la probabilidad de que una llamada en su
primer intento sea bloqueada. [9]
Que es la función de densidad de Y, la variable aleatoria que
representa la suma de 3 variables aleatorias con distribución
exponencial.
De los resultados se puede construir una tabla.
1
Figura 1: Erlang B [9]
Puede determinar la cantidad de líneas troncales, o líneas,
necesarias para manejar una carga de llamadas durante un
período de una hora. Sin embargo, la fórmula asume que las
llamadas perdidas se borran; es decir, si las personas que
llaman reciben una señal de ocupado, nunca Volver an a
intentarlo.
2
3
n
Forma para “n” términos:
(34)
(35)
Que es la función de densidad de Erlang
Parámetros de la función de densidad de Erlang:
De tal forma que el nuevo cuadro resultante es:
1
2
3
Figura 2: Se tiene una entrada de fuentes infinitas, aleatorias y
con un determinado grado de servicio que brindara el servicio a
unas llamadas y otras en su primer intento las bloqueara sin
retroalimentación. [8].
1) Formula de Erlang B
Es la probabilidad de bloqueo durante la conmutacion, porque
todas las troncales estan ocupadas, por el congestionamiento
que se produce en determinados momentos. Los cambios en la
probabilidad se da en los siguientes casos:
- El tráfico es originado por muchas fuentes.
- Las llamadas son limpiadas asumiendo un “holding
time” de cero.
- El sistema está totalmente disponible.
- Si un usuario se encuentra utilizando el servicio.
- Las peticiones tráfico son representadas por una
distribución de Poisson.
L a probabilidad de bloqueo es la siguiente:
n
(36)
- Donde:
- N = Número de canales de servicio.
- A = Carga ofrecida.
5
- B (N, A) =Probabilidad de bloqueo.
La fórmula de Erlang B se usa para calcular cualquiera de los
tres factores siguientes si conoce o predice los otros dos:
a) Tráfico en hora punta (BHT): Número de horas de
tráfico de llamadas durante el congestionamiento.
b) Bloqueo: El porcentaje de llamadas bloqueadas porque
no hay la cantidad de líneas requeridas en ese
momento.
c) Líneas: El número de líneas en un grupo troncal.
Este es el modelo usado para el dimensionamiento de centrales
telefónicas POTS tanto públicas como privadas. También se
usa para el caso de VoIP, ya que se espera que VoIP tenga la
misma QoS de POTS.
2) La cola M/M/c/c y la función de pérdida Erlang B
El modelo de colas M/M/c/c es parecido pero no igual al
modelo M/M/c (Múltiplos servidores), tienen semejanza en el
número máximo de clientes permitidos en el sistema es C.
Por ejemplo si hay c servidores instalados en una estación de
trabajo y clientes que llegan para ser servidos se dan los
siguientes casos:
a) Si llega un cliente y un servidor está libre, pasa a
ocuparlo y cuando finaliza deja el sistema.
b) Si llega un cliente y todos los servidores están
ocupados, se va el cliente (se produce una pérdida).
En este modelo no se permite que se queden clientes en espera
en el sistema.
Ahora el espacio de estados es
. Los clientes van
llegando según un proceso de Poisson de intensidad
,pero
en realidad al sistema no llegan con esa tasa, porque sucede el
caso b). En cambio, los tiempos de servicio de los clientes
siguen siendo como en el modelo M/M/c, variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas, con la ley
exponencial de parámetro
para cada uno de los
servidores, independientes entre si. Por tanto se trata de un
proceso de Nacimiento y Muerte con tasas de nacimiento y de
defunción. [1]
si
y
que al llegar un nuevo cliente encuentre todos los servidores
bloqueados( se produce una perdida).
Probabilidad de pérdida
(37)
(38)
Como la expresión
causa problemas de computación a
causa de los factoriales (son números muy altos si c es
relativamente grande), se suele usar otra fórmula iterativa que
resulta inmediato comprobar:
(39)
3) Comparación entre la fórmula Erlang B y Poisson
Una comparación entre las formulas de bloqueo del Erlang B y
la de Poisson muestra que la formula de Poisson resulta una
buena opción para bloqueos mayores que la que se obtiene con
la fórmula de Erlang B para una carga de tráfico dada.
La fórmula de Erlang B y la de Poisson son usadas
comúnmente para calcular las probabilidades de bloqueo para
el sistema telefónico. Para sistemas donde se utiliza la fórmula
de Erlang B y se presentan perdidas, el acarreo de tráfico A
será:
(40)
Donde:
A’= Trafico acarreado
El trafico acarreado es igual en proporción al trafico ofrecido A
que no tiene perdida y A*B[N, A] es el tráfico perdido.
4) Formula de Erlang B extendido
El modelo de Erlang B extendido y Erlang B son diferentes, a
pesar de que tienen su entrada con fuentes infinitas y la misma
fórmula, un porcentaje de llamadas bloqueadas son
retroalimentadas hasta que se les brinde el servicio. La fórmula
de Erlang B extendido se ocupa principalmente en modelos
como lo es un “modem pool”.
Donde un “modem pool” es un grupo de módems utilizados
para la recepción de llamadas entrantes, algunas de sus
características es que son dispositivos analógicos y utilizan una
velocidad de 33.6 kbps.
Figura 3: Tasas para la cola M/M/c/c [9]
2.1) La fórmula (función de pérdida) Erlang B
En este modelo es importante la efectividad de la función de
pérdida de Erlang o formula de Erlang-B(la “B” viene de
“blocked” , es decir las llegadas que no pueden ser atendidas
inmediatamente, son bloqueadas), que es la probabilidad de
Figura 4: Modelo de tráfico para Erlang B extendido. [8]
En la figura se tiene una entrada de fuentes infinitas, aleatorias
y con un determinado grado de servicio que brindara el servicio
6
a unas llamadas y a otras las bloqueara, pero un porcentaje de
estas serán retroalimentadas hasta obtener el servicio.
Ejemplo
En este modelo se asume que un porcentaje de las llamadas
bloqueadas son reintentadas de nuevo y el otro porcentaje se
pierde.
b. Fórmula
La fórmula de Erlang C es la parte más importante de la
ecuación. Le permite calcular la probabilidad de que una
llamada espere (P w), dada la Intensidad de tráfico (A) y
el Número de agentes (N) disponibles.
Donde
Figura 5: Erlang B extendido [9]
La importancia de este modelo de trafico es que un porcentaje
de las llamadas bloqueadas pueden ser reintentadas y atendidas,
por ejemplo cuando nosotros hacemos una llamada y nos
reponden lo volvemos ha intentar hasta que nos atiendan. Este
modelo en si es una modificación del Erlang B pero con una
extensión mas.
Erlang es un cálculo iterativo, en lugar de una fórmula, que
agrega un parámetro adicional, el factor de repetición, que
define la proporción de rellamadas. [10]
A: es la intensidad total del tráfico ofrecido en unidades de
Erlangs.
N: es la cantidad de servidores [número de troncales].
PW: es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar
para ser atendido.
c.Proceso con ejemplo
i. Entrada
1. Calcular
(41)
Como se indica en la ecuación de Erlang B.
2. Calcular el número probable de llamadas bloqueadas
(42)
3. Calcular el número de rellamadas, suponiendo un
Factor de Repetición, .
(43)
4. Calcular el nuevo tráfico ofrecido
donde
5.
(44)
es el nivel inicial de tráfico.
Volver al paso 1 y repetir hasta que se obtenga un
valor estable de .
3. Fórmula Erlang C
a.concepto
La fórmula de Erlang C supone una infinita población de
fuentes, las cuales ofrecen en conjunto, un tráfico
de A Erlangs hacia N servidores. Sin embargo, si todos los
servidores están ocupados cuando una petición llega de
una fuente, la petición es introducida en la cola. Un sin fin
de números de peticiones podrían ir a la cola en este modo
simultáneamente, es una ecuación matemática para
calcular el número de agentes (asesores) que necesita en un
centro de llamadas, dado el número de llamadas y el nivel
de servicio que desea lograr.
Necesitamos una serie de entradas .
Utilizaremos un ejemplo trabajado de 100 llamadas
por media hora, con un tiempo de gestión promedio de
3 minutos. Usaremos promedios de la industria para
Nivel de servicio, Contracción y Ocupación máxima,
que se muestran a continuación:
-Número de llamadas - 100
-En un período de minutos - 30
-Tiempo promedio de manejo (segundos) - 180 (3
minutos)
-Nivel de servicio requerido 80%
-Tiempo de respuesta objetivo (segundos) 20
-Ocupación máxima del 85%
-Contracción 30%
ii. Calcula el número de llamadas por
hora
Entonces, tenemos 100 llamadas por 30 minutos, lo
que equivale a 200 llamadas por hora.
iii. Calcule la intensidad del tráfico (A)
7
La intensidad del tráfico es el período de tiempo que
tardarían todas las llamadas telefónicas si se ordenaran
de extremo a extremo. Entonces, si tenemos 200
llamadas con un tiempo de gestión promedio de 3
minutos, tendríamos un total de 200 x 3 = 600 minutos
de llamada.
Simplifiquemos la fórmula de Erlang C
Para calcular la intensidad del tráfico, tome los
minutos de llamada y divida por 60 para obtener el
número de horas de llamada. Entonces, 600 minutos
de llamada / 60 = 10 horas de llamada.
Ahora la unidad técnica para Horas de Llamada se
llama Erlang.
Así que la intensidad del tráfico = 10 horas de llamada
= 10 Erlangs.
iv. Calcule el número bruto de agentes
requeridos (N)
Ahora debemos estimar el número bruto de agentes
requeridos para manejar esta intensidad de tráfico.
Sabemos que tenemos 10 Erlangs (10 llamadas por
hora de tráfico por hora).
Esto significa que el número mínimo de agentes que
necesitaríamos en el centro de llamadas sería de 10
agentes. Esta cifra de 10 agentes supondría que todas
las llamadas llegan exactamente en el momento en que
finaliza una llamada anterior y que no hay colas.
Entonces, comenzamos agregando 1 a la intensidad
del tráfico.
vi. Calcular el nivel de servicio
Estimación 1: N = A + 1 = 10 + 1 = 11 Agentes
Luego introducimos la Intensidad de tráfico (A) y el
Número de agentes (N) en la fórmula de Erlang C para
ver cuál es la probabilidad de que una llamada espere
y luego calcular el Nivel de servicio. Luego
aumentamos el número de agentes hasta que se
alcanza el nivel de servicio.
v. Calcule la fórmula de Erlang para la
probabilidad de una llamada en
espera
N! = 11! = 39916800
A N = 10 11
Primero:
Todo:
Esto está por debajo del objetivo del 80%, por lo que
necesitamos aumentar el número de agentes.
vii. Aumente el número de agentes (N) en
1 para ver si se alcanza el nivel de
servicio
8
Seguimos aumentando el número de agentes (N) en 1
para ver si se alcanza el nivel de servicio.
viii. Velocidad promedio de respuesta
(ASA)
Resolviendo:
a)
N = 12
A = 10
ix. Porcentaje de llamadas contestadas
inmediatamente
x. Comprobar ocupación máxima
Nivel de servicio como porcentaje 64.0%. Esto está por debajo
del objetivo del 80%, por lo que necesitamos aumentar el
número de agentes.
La ocupación es el porcentaje de tiempo que todos los
agentes del centro de llamadas pasan manejando los
contactos de los clientes. La fórmula se muestra a
continuación.
b)
N=13
A=10
Esto es menos del 85%, así que podemos mantenerlo en esto.
Si esto es más del 85%
Esto está por debajo del objetivo del 80%, por lo que
necesitamos aumentar el número de agentes.
c)
N=14
A=10
Si tiene una ocupación de más del 85%, es probable que sus
agentes se agoten y usted encontrará que el Tiempo promedio
de manejo (AHT) puede aumentar para cubrirlo.
xi. factor en la contracción
La contracción es un factor que se usa ampliamente en la
industria para incluir vacaciones, enfermedad, capacitación
y reuniones, etc. El promedio de la industria es de
alrededor del 30–35%.
Contracción = 30%
Esto está por encima del objetivo del 80%.
Así que el número bruto de agentes = 14
xii. resumen
9
Así que el número total de agentes requeridos: 20
Nivel de servicio: 88.8%
Probabilidad de que una llamada tenga que
esperar: 17.4%
Velocidad promedio de respuesta: 7.8 segundos
% de llamadas contestadas inmediatamente: 82.6%
III. ESPECIFICACIONES
El NO SE SI BORRAR ESTA PARTE O NO
IV. CONCLUSIONES
1. Se demostró que la distribución de Erlang es el
equivalente de la distribución gamma con ciertos
parámetros, además también se demostró que es la
generalización de la Distribución Exponencial.
2. La fórmula de Erlang C es la parte más importante de la
ecuación. Le permite calcular la probabilidad de que
una llamada espere (P w), dada la Intensidad de tráfico
(A) y el Número de agentes (N) disponibles.
Suponiendo que las llamadas que fueron bloqueadas
se quedaran en el sistema hasta que se puedan atender.
3. En conclusión, Erlang B es importante a la hora de
Calcular la probabilidad de que una llamada sea
bloqueada en su primer intento, y así resolver
problemas de congestionamiento, de esta manera
se establece la cantidad de servidores necesarios a
utilizar en una hora de mucho tráfico, o de acuerdo
a la cantidad de usuarios.
V. REFERENCIAS
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the
Free
Contact
Centre
(Erlang)
Calculator", Callcentrehelper.com,
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Available:
https://www.cisco.com/c/en/us/td/docs/ios/solutions_docs/voip_solutions
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"Erlang C Formula – Made Simple With an Easy Worked
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"teoría de colas | ON SOLUCIONES", Onsoluciones.wordpress.com,
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E