ARCHIVO12

ISSN: 1815-0640
Número 33. Marzo de 2013
páginas 103-118
www.fisem.org/web/union
Dinamización Matemática:
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
José María Contreras Beltrán, Isabel Duarte Tosso, Juan Núñez Valdés
Resumen
En este artículo se le presenta una novedosa herramienta metodológica al
profesor de Matemáticas de Bachillerato consistente en la descripción de
un problema en principio no relacionado con las Matemáticas, la
denominada Teoría de los Seis grados de separación, y su tratamiento
mediante el empleo de la teoría de grafos, con el objetivo de facilitarle la
introducción y posterior explicación de determinadas partes del currículo de
esta materia, como puedan ser fundamentalmente la Combinatoria y la
Probabilidad, todo ello con el objetivo de despertar el interés, curiosidad y
motivación de estos alumnos hacia la asignatura
Palabras clave: grafos, combinatoria, probabilidad
Abstract
A new methodological tool aimed to High School math teachers is
presented in this article. It consists of the description of a problem initially
not related to Mathematics, the so-called Six degrees of separation Theory,
and its treating by using graph theory, in order to facilitate the introduction
and subsequent explanation on certain parts of the subject curriculum, such
as Combinatorics and Probability, for instance, with the objective of
arousing the pupils’ interest, curiosity and motivation towards this subject.
Keywords: graphs, combinatorics and crobability
Resumo
Este artigo apresenta uma nova ferramenta metodológica para os
professores de Matemática do bacharelado consistente na descrição de
um problema em principio não relacionado à Matemática, a denominada
Teoria dos Seis graus de separação, e seu tratamento mediante o
emprego da teoria de gráficos, com o objetivo de facilitar a introdução e
posterior explicação de determinadas partes do currículo desta matéria,
como podem ser fundamentalmente, Combinatória e Probabilidade, tudo
com o objetivo de despertar o interesse, curiosidade e motivação dos
alunos para com a matéria.
Palavras chave:-chave gráficos, combinatória e crobabilidade
Introducción
¿Qué pensarías si te dijesen que “el mundo es un pañuelo”? Probablemente, te
remontarías a cualquier situación pasada en la que esa frase haya venido a tu
mente. Pero, ¿es realmente cierta? En este artículo podrás comprobar que sí, que
generalmente no es casualidad haberte encontrado, en el lugar más inesperado, a
alguien con quien tuvieras un conocido en común.
Pero retrocedamos un poco en el tiempo. En 1735, el ya por entonces famoso
matemático suizo Leonhard Euler ((Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, Rusia,
Número 33. Marzo 2013. Página 103
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
1783), fue consultado por los habitantes de una pequeña ciudad prusiana cercana al
Mar Báltico, Konigsberg (en la actualidad, Kaliningrado), sobre la posibilidad de que
existiese una ruta o camino que cruzase los siete puentes que unían entre sí las
cuatro zonas de la ciudad en las que ésta quedaba divida por el Río Pregel, a su
paso por la misma, en el que formaba dos islas en su interior, con la condición de
que esa ruta pasase por todos los puentes pero una sola vez por cada uno de ellos
(véase el gráfico adjunto, en el que las zonas de la ciudad aparecen en color gris, el
Río Pregel en azul y los puentes en rojo).
Figura 1. Konigsberg y sus puentes
Pues bien, al igual que ocurre con todo lo relativo a este personaje, la solución
de Euler a este problema (denominado el Problema de los Puentes de Konigsberg)
fue sencillamente genial. De hecho, Euler no sólo se limitó a resolver ese problema
concreto, sino que resolvió el problema general, es decir, un problema similar para
una ciudad que tuviese m zonas y n puentes
Para conseguir esta solución general, lo primero que hizo Euler fue modelizar
el problema, es decir, prescindir de las características físicas del mismo (ciudad,
zonas, puentes) y crear un modelo matemático formado por puntos y líneas entre
ellos, que se adaptara a esas características. Permítasenos, no obstante, antes de
proseguir, una pequeña aclaración: La palabra “modelizar” no existe en castellano,
siendo su uso por tanto, incorrecto. No obstante, los autores seguimos utilizándola
en el argot matemático, al igual que otros muchos, porque en nuestra opinión refleja
mejor que el vocablo correcto, modelar, lo que se desea transmitir.
Continuando entonces con la narración, diremos que Euler diseñó lo que
actualmente se denomina un grafo y creó una teoría apropiada para tal modelo
(actualmente, la Teoría de Grafos), de forma que utilizándola convenientemente
pudo dar con la solución de ese problema en grafos, hallando después la solución al
problema de los Puentes de Konigsberg sin más que traducir su solución en grafos
al caso de la vida real. Por este hecho, a Euler se le suele designar con el nombre
de “Padre de la Teoría de Grafos”, considerándose a su vez a este Problema de los
Puentes de Konigsberg como uno (existen otros) de los que originaron el nacimiento
de esta teoría. Para más detalles sobre este problema puede consultarse (Alfonso et
al. 2004), por ejemplo.
Página 104. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
Pues bien, en este artículo, los autores vamos a modelizar, también mediante
la Teoría de Grafos, otro problema que aparece en la vida real mucho más a
menudo de lo que pudiera parecer, conocido con el nombre de “Problema de los
Seis grados de separación”. Este problema está relacionado con la célebre frase que
aparece al principio de esta introducción, el mundo es un pañuelo, que suele
emplearse cuando dos personas, desconocidas o no, descubren que tienen amigos
o conocidos cercanos a ambas, hecho que en principio desconocían.
El objetivo que se pretende es el de poner este problema en conocimiento de
los profesores de Matemáticas de Bachillerato, así como también el empleo de la
Teoría de Grafos en su resolución, para que éstos puedan servirse de ello como
técnica metodológica novedosa, a emplear en distintas partes del currículo de su
asignatura, fundamentalmente a la hora de explicar la Combinatoria o la
Probabilidad, para conseguir, de esa forma, un mayor interés, curiosidad y
motivación de estos alumnos hacia la asignatura.
Como aclaración para los lectores no españoles, comentar que en el Sistema
Educativo Español, la Educación Primaria va dirigida a los alumnos de entre 6 y 12
años. La siguiente etapa es la de Educación Secundaria Obligatoria, que llega hasta
los 16 años. Después de esta etapa (aunque actualmente están previstos algunos
cambios), el alumno puede elegir entre una Formación Profesional o bien un
Bachillerato, ambos con una duración de dos años, concluyendo así sus estudios
previos a la universidad a los 18 años. Además, el hecho de referirnos a la
Combinatoria o a la Probabilidad, sobre todo, se explica porque éste es un problema
claramente de Matemática Discreta, en el que las técnicas de contar, así como la
aparición de diferentes posibilidades en cada paso desempeñan un papel
preponderante.
Aparte lo anterior, acompañando a la descripción del problema en sí, los
autores también indicamos en el artículo un experimento previo personal realizado
en tal sentido, aunque desafortunadamente no del todo exitoso, que también pudiera
ser aprovechado por la clase como modelo en el que fijarse para realizar su propio
experimento, consiguiéndose así de esa forma, por parte del profesor, la realización
de otras competencias, distintas de la propia matemática, como pueden ser la
lingüística, la idiomática o la facilitación del trabajo en grupo, que también le son
pedidas en el desempeño de su labor .
El artículo está estructurado en 5 secciones. En la primera, se comentan
ampliamente tanto la evolución histórica de la Teoría de los Seis grados de
separación como los experimentos de Milgram que contribuyeron a darla a conocer y
a reforzarse. Algunos de los datos que se indican pueden verse más extensamente
desarrollados en varias de las numerosas páginas web relacionadas con esta teoría
(pueden consultarse, (web3, 4 y 5), por ejemplo). La sección 2 está dedicada a
mostrar algunos preliminares básicos de Teoría de Grafos, necesarios para una
adecuada comprensión de la siguiente sección, en la que los autores modelizamos a
partir de estos grafos la Teoría de los Seis grados de separación. En la sección 4, se
detalla el experimento realizado por los autores con el fin de confirmar esta teoría.
La siguiente sección, la quinta, muestra algunas situaciones de la vida real
especialmente relacionadas con esta teoría, mientras que se finaliza el artículo con
otra sección personal, la sexta, en la que los autores comentamos algunas
Número 33. Marzo 2013. Página 105
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
reflexiones personales al respecto de la teoría y del estudio realizado. Algunas de
las figuras que aparecen en este artículo se han tomado de (web9, 10 y 11).
La Teoría de los Seis grados de separación
En 1993 se estrenó en Estados Unidos una película en clave de
drama/comedia titulada “Six degrees of separation”, dirigida por el prestigioso
director Fred Schepisi, cuyo título hace referencia a la “Teoría de los Seis grados de
separación”. Diez años más tarde, el sociólogo estadounidense Duncan J. Watts
publicó una obra titulada “Six Degrees: The Science of a Connected Age” sobre
dicha teoría.
Figura 2. Duncan J. Watts y la portada de
su obra “Six Degrees".
La Teoría de los Seis grados de separación afirma, básicamente, que en
nuestro mundo, cualquier persona puede estar conectada a cualquier otra a través
de una cadena de conocidos que no tiene más de cinco intermediarios, es decir,
que conecte a ambas personas con sólo seis enlaces. Esta teoría fue inicialmente
propuesta por el escritor húngaro Frigyes Karinthy (Budapest, 1887–Siófok, 1938) en
un cuento titulado “Chains”, que él publicó en 1929.
Para formular su teoría, Karinthy se basó en la idea de
que el número de personas conocidas crece
exponencialmente con el número de enlaces en la
cadena, por lo que sólo un pequeño número de enlaces
son necesarios para que el conjunto de personas
conocidas se convierta en el de todas las personas del
planeta (posteriormente, tanto Milgram (al que ahora nos
referiremos) como el anteriormente citado Watts
concretaron este número de enlaces en tan sólo seis
“saltos”).
Figura 3. Frigyes Karinthy.
Han sido muchos, y prestigiosos, los autores que han
tratado de probar esta teoría. En la década de los años
50 del pasado siglo, el estadounidense Ithiel de Sola Pool (1917–1984), doctor en
Ciencias Sociales que trabajó en el Instituto Tecnológico de Massachusetts y el
matemático e informático austríaco, nacionalizado estadounidense, Manfred Kochen,
de I.B.M., reconocido pionero de las redes sociales, se propusieron demostrar la
teoría matemáticamente, aunque sin conseguirlo, a pesar de enunciarla en términos
de probabilidad: "dado un conjunto de N personas, ¿cuál es la probabilidad de que
Página 106. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
cada miembro de estos N estén conectados con otro miembro vía 1, 2, 3,...,n
enlaces?"
Para conseguir esa demostración, los autores de Sola Pool y Kochen
escribieron un artículo matemático titulado “Contacts and Influences” en el que
construyeron un modelo teórico del”mundo pequeño” que describía la mecánica de
las redes sociales y estudiaba sus consecuencias matemáticas. Para este estudio
necesitaron saber cuál era el número medio de conocidos de una persona. Por
experiencia propia, concluyeron que este número rondaba las 500 personas,
deduciendo por tanto que la posibilidad de que dos americanos elegidos al azar se
conozcan es de una entre 200.000 (para ello, tuvieron en cuenta la cuestión de la
endogamia existente en toda red). Sin embargo la probabilidad de que esas dos
personas estén conectadas a través de dos conocidos, asombrosamente, se
incrementa hasta más del 50%.
Además de todo esto, en dicho artículo formulaban algunas preguntas que dejaban
sin respuesta, como por ejemplo, ¿cuál es el grado de separación entre dos
individuos en una red social real?
Posteriormente, en 1967, el estadounidense Stanley
Milgram (Nueva York, 1933–1984), licenciado en
Ciencias Políticas por la Universidad de Yale y
psicólogo social por la de Harvard, logró dar una
aproximación de dicho número a través de sus
experimentos empíricos (hizo tres). Para ello, ideó
una nueva manera de probar la teoría, que él llamó
"el problema del mundo pequeño".
Los experimentos de Milgram consistieron en enviar
una carta a un grupo de personas elegidas al azar,
residentes en alguna ciudad estadounidense. A este grupo de partida, se le solicitó
que remitieran las cartas a una persona objetivo, también elegida al azar, que vivía
en un estado diferente. Con esto, se esperaba que no existiese relación directa entre
los emisores y el destinatario. Los remitentes conocían el nombre del destinatario, su
ocupación y la localización aproximada y sólo podían contactar directamente con él
si lo conocían previamente. En caso contrario, debían buscar entre sus conocidos a
alguien que tuviese más probabilidades de conocerlo y enviarle a dicha persona la
carta.
Figura 4. Stanley Milgram
Milgram, para facilitar el procedimiento, añadió a la carta una lista en la que
cada persona de la cadena debía escribir su nombre, para, así, evitar devolver la
carta a personas que ya habían participado con anterioridad. Y también iban en la
carta una serie de tarjetas de control que cada persona que enviase la carta debía
devolver a Milgram, para que él pudiera llevar, de esa forma, un seguimiento directo
del experimento. Para el primer experimento, realizado en 1967. Eligió al azar a 160
personas de Wichita (Kansas). La persona objetivo de este primer estudio vivía en
Cambridge y era la esposa de un estudiante de la Escuela de Teología. A ella le
llegaron 44 cartas de las 160, lo que suponía un 27% de cadenas completadas. La
longitud de estas cadenas variaba entre 2 y 10 personas intermediarias, siendo la
Número 33. Marzo 2013. Página 107
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
distancia promedio de cinco personas, a pesar de que, inicialmente, los participantes
esperasen que la cadena incluyera al menos a cientos de intermediarios.
12
11
10
Nº cadenas completas
9
8
8
6
5
4
4
2
2
2
2
1
0
0
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nº intermediarios
Gráfica 1. Datos del primer experimento de Milgram.
La gráfica anterior, elaborada por los autores de este artículo, muestra los
datos obtenidos en el 1º experimento de Milgram. Obsérvese que el mayor número
de cadenas completas contaba con entre 5 y 7 intermediarios.
Milgram realizó el segundo experimento en 1969, para el que contó con la
colaboración de Jeffrey Travers. Eligió a 217 personas de la ciudad de Omaha
(Nebraska), siendo la persona objetivo un corredor de Bolsa que trabajaba en
Boston y vivía en Sharon (Massachusetts). A esa persona le llegaron 64 cartas del
total de 217 enviadas (29%). En este caso las longitudes mínimas y máximas de las
cadenas fueron 1 y 11, respectivamente, siendo 5.2 la media aritmética de las
longitudes.
Su tercer experimento lo realizó en colaboración con Charles Korte en la ciudad
de Los Ángeles en 1970. Consistió en el estudio de las comunicaciones entre
subgrupos en la sociedad americana (blancos y negros). El grupo de partida estaba
formado por 540 personas, llegándole a la persona objetivo sólo 123 cartas de las
540 posibles (22%).
Para Milgram (famoso también por sus experimentos sobre la obediencia ciega
de las personas a la autoridad) el hecho de que el número medio de eslabones se
repitiese en todos sus experimentos fue un gran éxito, pero sus estudios no se
quedaron ahí. De sus experimentos consiguió extraer más datos acerca de la
sociedad, como por ejemplo que los roles sexuales condicionan ciertos tipos de
comunicaciones, ya que fue tres veces más probable que los participantes enviaran
la carpeta a alguien del mismo sexo que a alguien del sexo contrario. Además,
Página 108. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
dedujo que en la sociedad americana, los lazos de amistad y conocimiento mayoran
a los familiares, pues, solo 22 personas de 145 enviaron la carta a personas de su
familia. Además no todos nuestros amigos o conocidos poseen el mismo nivel de
amplitud de círculo de conocidos, es decir, existen personas que están más aisladas
que otras. Esto se tradujo en el ensayo en que existían ciertos canales que
resultaban más importantes que otros para la comunicación.
Sin embargo, los experimentos de Milgram (véase Milgram and Travers, 1969)
fueron criticados por muchas personas, primero porque el número de cartas que
alcanzaron al destinatario señalado fue alrededor de un tercio del total y segundo,
porque muchos lo acusaron de parcialidad al seleccionar a los participantes entre
una lista de personas de características similares, y por tanto no representativas del
ciudadano medio.
No obstante, estos descubrimientos fueron publicados en la prestigiosa
publicación "Psychology Today" e inspiraron la frase "seis grados de separación",
popularizada por el dramaturgo John Guare al escogerla como título de su obra en
1990.
Como era de esperar, el trabajo de Milgram tuvo sus repercusiones en el
ámbito de la ciencia, tanto es así que desde entonces y hasta día de hoy se ha
seguido investigando acerca de este tema. En 2003 Duncan J. Watts, Meter Dodds y
Roby Muhamad trabajaron en la misma línea de investigación. Su objetivo era
elaborar un mapa de la conectividad entre individuos a través de Internet. Para su
experimento participaron más de 60.000 personas, residentes en 166 países,
mediante correo electrónico. En este caso, eran 24.163 cadenas que buscaban
alcanzar a 18 personas objetivo, procedentes de 13 países diferentes. A pesar del
elevado número de cadenas iniciales, sólo 364 fueron completadas. La longitud
media de estas cadenas completas fue 4,05. No obstante, fue necesario realizar
algunos ajustes en el resultado debido a que ese gran número de cadenas
incompletas, probablemente, hubiesen tenido una longitud mayor. Se estima que el
resultado final oscila entre los 5 los 7 eslabones.
Esta Teoría de los Seis grados de separación empezó a hacerse popular a
medida que fueron pasando los años. Brett C. Tjaden contribuyó a ello al publicar un
juego de ordenador en la página web de la Universidad de Virginia basado en esta
idea. Y alcanzó su máxima popularidad en 2011, cuando Facebook realizó un
estudio denominado "Anatomy of Facebook" con todos los usuarios activos de su
página en ese momento (721 millones de miembros, es decir alrededor del 10% de
la población mundial) y se analizó el conjunto de amigos en común, para sacar el
promedio de cuántos eslabones hay entre cualquier usuario y otro cualquiera (de
esa prueba se excluyó a celebridades y famosos para evitar la endogamia, por una
parte, y una selección sesgada por otra). Los resultados mostraron que el 99,6% de
pares de usuarios estuvieron conectados por 5 grados de separación, lo que
constituye la prueba más cercana de la teoría en la actualidad, dando un resultado
aproximado de 4,75 eslabones.
Algunos aspectos básicos de la Teoría de Grafos
Hasta ahora, hemos hablado de la Teoría de los Seis grados de separación sin
tener para nada en cuenta las Matemáticas. Al igual que en el caso de Euler, con
Número 33. Marzo 2013. Página 109
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
ocasión del Problema de los Puentes de Konigsberg, la pregunta que nosotros nos
haríamos sería: ¿Cómo podemos emplear esta disciplina en un problema como
éste? Pues bien, la respuesta la encontramos en la Teoría de Grafos.
Pasamos entonces a introducir previamente algunos conceptos elementales
sobre esta Teoría, que serán necesarios para una mejor comprensión de lo que
sigue. Estos conceptos, lógicamente, deberán ser comentados por el profesor a sus
alumnos, para poder ir introduciéndolos poco a poco en los aspectos básicos de los
grafos, de forma que los alumnos puedan ir siguiendo sin dificultad sus
explicaciones. Dado que no son complicados y que poseen un marcado carácter
intuitivo no deben presentar muchos problemas a los alumnos a la hora de su rápida
comprensión.
La definición precisa de grafo es la siguiente: un grafo es un par G = (V, A),
donde V es un conjunto numerable (no vacío) y A es un conjunto de pares no
ordenados de elementos de V (eventualmente vacío). Los elementos de V se
denominan vértices (o puntos o nodos) y los de A se denominan aristas (o líneas).
No obstante, a nivel de Bachillerato, el profesor puede decir sencillamente a sus
alumnos que un grafo va a ser un conjunto de puntos y de líneas que unen entre sí
algunos o todos de esos puntos.
Un grafo se dice etiquetado si en él se distinguen sus vértices, es decir, si se
ha asignado un cierto nombre a cada uno de sus vértices. En caso contrario, el grafo
se dice no etiquetado. Como ejemplo, el grafo G = (V, A), tal que V = {a,b,c,d}, A =
{ab, ac, ad}.
Un grafo se puede representar de varias formas. De ellas, las más frecuente e
intuitiva, aunque no operativa para su uso en el ordenador, es la que se ha
comentado de manera informal, es decir, es mediante un diagrama geométrico en el
que aparezca un punto por cada vértice y una línea entre cada dos vértices unidos.
Así por ejemplo, el grafo de la definición puede venir representado según:
A
B
D
C
Figura 5. Grafo etiquetado
Dos vértices de un grafo se dicen adyacentes si ambos definen una arista en el
grafo. En este caso, dichos vértices se dicen extremos de la arista. Una arista se
dice que es incidente con cada uno de sus vértices extremos y dos aristas que
comparten un extremo se dicen incidentes.
Se denomina (grado) (antiguamente, valencia) de un vértice v del grafo o bien
al número de aristas del grafo que son incidentes con él o bien al número de vértices
del grafo que son adyacentes con él. Por convenio, un vértice no se considera
adyacente consigo mismo. Los vértices de grado 0 se denominan vértices aislados y
los de valencia 1, vértices hojas o finales.
Sea G = (V, A) un grafo. Un camino en G es una sucesión finita de vértices y
aristas que se alternan, cuyo primer elemento es un vértice, tal que dos elementos
Página 110. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
consecutivos de la misma sean siempre incidentes. Un camino en el que todas sus
aristas sean distintas se denomina recorrido. Un arco en G es un recorrido en el que
todos los vértices que lo forman son distintos, y finalmente, un ciclo en G es un
camino cerrado en G que es un arco excepto en el hecho de que el primer y el
último vértice coinciden.
Un camino en un grafo se dice euleriano si en él entran todas las aristas y
además una sola vez cada una de ellas (puede ser abierto o cerrado), mientras que
se dice hamiltoniano si en él entran todos los vértices y además una sola vez cada
uno de ellos. Se denomina longitud de un arco o bien al número de aristas que lo
forman o bien al número de vértices que lo forman, disminuido en una unidad.
Relacionado con este concepto está el de distancia entre dos vértices en un grafo,
que se define como la menor longitud de los arcos que los unen.
Para finalizar estos breves preliminares, el profesor puede decirles a los
alumnos que un grafo se dice conexo si dos cualesquiera de sus vértices pueden
unirse mediante un arco. Si un grafo no es conexo, se dice disconexo.
Comentar también que de entre las tres denominaciones similares: vértices,
puntos o nodos, nosotros utilizaremos en este artículo la de nodo, por ser la que
mejor refleja el contenido real del mismo, ya que en lo que sigue vamos a hablar de
personas.
Modelización del Problema de los Seis grados de separación mediante la
Teoría de Grafos
Bien, pues, una vez conocidos los conceptos básicos sobre grafos, vamos a
utilizarlos como herramienta en el tratamiento del problema de los Seis grados de
separación. Bien entendido, no obstante, que este problema actualmente está
considerado como una conjetura y que por tanto, no está probado matemáticamente.
De ahí que nuestro primer propósito, al menos por el momento, sea únicamente
modelizar esa situación, con vistas a una posible futura resolución empleando
técnicas de la Teoría de Grafos.
Para ello, comenzaremos haciendo corresponder cada persona con un nodo,
de forma que las presencia o ausencia de aristas determinará la relación existente
entre personas, es decir, que si dos personas se conocen personalmente, existirá
entonces una arista entre los nodos que les corresponden (y por tanto, estos nodos
serán adyacentes).
Figura 6. Modelización del problema.
Número 33. Marzo 2013. Página 111
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
Por ejemplo, sean A, B y C tres personas tales que B y C se conocen y A conoce a
B, pero no a C. El grafo correspondiente a esta situación sería el siguiente:
A
B
C
Figura 7. Grafo representativo
Por lo tanto, el número de conocidos de una persona determina el grado del
nodo que la representa. Volviendo al ejemplo anterior, el grado de A y C será 1,
mientras que el de B es 2.
Un concepto muy utilizado en el estudio de las topologías de redes de
comunicaciones es la longitud media del camino y viene dado por el número medio
de pasos que hay que dar (enlaces a atravesar) para que, siguiendo siempre la ruta
más corta posible correspondiente a cada caso, podamos ir desde un nodo
cualquiera a otro de la red de interconexión. Este concepto mide la eficiencia para el
transporte de información o materia a través de una red de trabajo.
La Teoría de los Seis grados de separación, expresada en términos de grafos,
se puede enunciar entonces de la siguiente forma: “entre dos nodos cualesquiera
siempre existirá un arco que los una. La longitud media de estos arcos es 6”.
Observemos que este enunciado es realmente coherente. En efecto, si
estimamos que cada nodo tendrá un grado alrededor de 100, y que el numero de
conocidos de una persona crece de manera exponencial al aumentar el número de
eslabones, obtendremos, pues, que en el sexto eslabón se abarca a un total de 100
elevado a 6 nodos, que es mayor que 7 por 10 elevado a 9, es decir
aproximadamente el numero de nodos de la tierra.
Un experimento personal realizado por los autores
Pasamos ahora a continuación a describir un experimento que se nos ocurrió
hacer a los autores para profundizar en el estudio de esta teoría.Una de las razones
que nos movió a realizarlo fue aprovechar la enorme popularidad que tienen las
redes sociales entre los alumnos del nivel educativo al que nos estamos dirigiendo.
Es innegable que todos esos alumnos se desenvuelven con una gran soltura en este
campo y que disfrutan enormemente al hacerlo.
Por ello, tras conocer la Teoría de los Seis grados de separación, decidimos
realizar un pequeño experimento en nuestro país emulando el ya mencionado
experimento de Milgram. El hecho de haber elegido España para este estudio se
explica porque, aparte de tratarse de nuestro país, España es el quinto país a nivel
mundial que más utiliza las redes sociales, superando incluso a Alemania o Francia.
A diferencia de lo realizado por Milgram, que se sirvió del correo ordinario, en
papel, para llevar a cabo sus estudios, nosotros, en cambio, quisimos adaptarnos a
las nuevas tecnologías y pensamos que sería interesante utilizar las redes sociales.
En los últimos años, las redes sociales han tenido gran impacto en la sociedad,
Página 112. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
habilitando una nueva forma de comunicación alternativa a las ya utilizadas (carta,
teléfono...). Este tipo de redes han potenciado un mecanismo de encuentro y
conversación entre usuarios. Los accesos no sólo se realizan a través de
mecanismos tradicionales como un PC, sino que la movilización de estos entornos
ha generado que cualquier usuario pueda acceder a ellos en cualquier momento y
en cualquier lugar, por ejemplo, desde un teléfono móvil. Además, con ellas, se ha
conseguido eliminar el que quizás haya sido el principal problema para tener
relaciones con otras personas: la distancia. Por ello, para realizar nuestra
experiencia, nosotros elegimos la red social Tuenti, debido a su popularidad a nivel
nacional.
Figura 8. Emulando a las redes sociales
Nuestra experiencia se inició a mediados de marzo de 2012 y consistió en
escoger al azar a un conjunto de personas residentes en España, que tuviesen una
cuenta asociada a dicha red social.
A este grupo de personas le enviamos un mensaje privado en el que le
explicábamos, resumidamente, que debían reenviarlo a uno de los autores de este
artículo (en lo sucesivo X), en el caso de que éste formase parte de su grupo de
amigos de Tuenti. Si no era así, esa persona debería enviar el mensaje a alguien de
su propio grupo de amigos de Tuenti que creyese que tuviese más posibilidades de
conocer a X.
El mensaje llevaba añadida la petición de una serie de datos personales de la
persona objetivo (lugar de nacimiento, edad, lugar de residencia, estudios…) que
deseábamos aportar a este trabajo. De esta forma, iríamos creando una cadena de
personas de forma que el último eslabón sería X.
Por otra parte, el experimento llevaba un sistema de seguridad y seguimiento
en el que nosotros sabríamos, en cada momento, dónde se encontraba la cadena.
Este sistema consistía en que cada persona, al escoger el destinatario del mensaje,
debía informarnos sobre a qué persona se lo enviaba y el por qué de su elección.
El experimento empezó a dar sus frutos muy pronto, ya que, en menos de un
par de horas, ya había comenzado una primera cadena, aunque desvaneció al llegar
al cuarto eslabón. Esta primera cadena no llegó a su destino, X, pero sí es cierto que
llegó, al menos, a la ciudad donde X había nacido. Así, aunque todo daba la
Número 33. Marzo 2013. Página 113
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
sensación de ir sobre ruedas, la verdad es que finalmente nuestro experimento
resultó un fracaso, ya que de 20 personas al inicio, sólo una empezó la cadena.
Además, nos encontramos con la negativa, por parte de la empresa Tuenti, a la
que nos dirigimos por escrito al efecto, de proporcionarnos ciertos datos que nos
hubiesen permitido hacer un perfil más cercano de los usuarios de la red social
(número de usuarios, número medio de amigos por usuario, etc.).
Sin embargo, no todo fue negativo en esta experiencia. Con su puesta en
práctica hemos podido extraer ciertas conclusiones acerca de la Teoría de los Seis
grados, que comentamos a continuación.
En primer lugar, como ya Milgram pudo observar en sus estudios, vimos que, lo
común, es que las personas elegidas para la muestra no colaboren. ¿Las razones?
En primer lugar, Tuenti es una red social que está diseñada para que grupos de
amigos tengan una forma de comunicación entre ellos, y la mayor parte de las veces
hay una gran desconfianza por parte de todos hacia las personas que no conoces.
Además, las personas que elegimos como muestra tenían edades comprendidas
entre los 18 y los 22 años, y, con esta edad, resulta difícil ser consciente de lo
importante que puede ser colaborar en un experimento como éste.
Otra posible razón del fracaso de la experiencia puede ser el hecho de que
existe un elevado porcentaje de cuentas creadas en las redes sociales que no están
activas. Es decir, existen muchas cuentas que han sido creadas por usuarios, pero
que más tarde han dejado de usar por diferentes causas. Esto es una barrera
adicional con la que nos hemos encontrado y que sin embargo en el experimento de
Milgram no existía.
Por todo esto y a pesar del esfuerzo y la ilusión puesta en el experimento, no
obtuvimos el resultado esperado, lo cual, sin embargo, no nos ha impedido seguir
con nuestros estudios e investigaciones, tratando de obtener algunos logros lo más
fructíferos posible, de cara a nuestro trabajo posterior. Esto hace además que,
desde estas líneas, animemos a los alumnos y profesores que nos lean a poner en
práctica experiencias parecidas, esperando que sean algo más afortunados que
nosotros. Como ya dijo el profesor Duncan Watts, de la Universidad de Columbia:
El estudio de las redes puede ayudar a comprender problemas
prácticos tales como cómo se difunden las ideas, cómo se originan
las modas y cómo una falla inicial no muy grande puede
transformarse en una cascada y afectar una red de gran tamaño muy
grande, tal como una red eléctrica o un sistema financiero. (Harvard
Business Review: Boston: febrero de 2003)
La Teoría de los Seis grados de separación “dentro y fuera de las
Matemáticas”
No resulta extraño encontrar numerosas situaciones de la vida real
relacionadas de alguna manera más o menos directa con la Teoría de los Seis
grados de separación. De hecho, la repercusión que tiene esta teoría fuera del
ámbito propiamente matemático es muy grande. Mostramos a continuación algunos
ejemplos:
Página 114. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
1. Es un hecho evidente que la Teoría de Redes ha aumentado grandemente su
popularidad en los últimos tiempos. Pues bien, no es aventurado afirmar que una
gran parte de culpa la tiene la Teoría de los Seis grados de separación.
En efecto, aunque el término “www” (acrónimo de world wide web) se confunde
habitualmente con el de Internet, en realidad no hace referencia a la red física de
ordenadores y cables, sino a la red virtual que forman los documentos o páginas
web como nudos y los links o enlaces como hilos que las conectan. Se estima que
en estos momentos existen unos 2.000 millones de páginas web. Una red de
relaciones gigantesca donde las páginas aparecen y desaparecen a un ritmo
vertiginoso. Los científicos estiman que tan sólo son necesarios un promedio de 16
clicks de ratón para viajar entre dos páginas escogidas al azar en ese mar de
información. Lo dicho: la red es un pañuelo virtual.
2. No estrictamente fuera de las Matemáticas, aunque tampoco propiamente dentro,
otra situación de la vida real en la que se refleja esta Teoría de los Seis grados de
separación es la asignación del “número de Erdös” que se le atribuye a cualquier
matemático. Pasamos a explicar brevemente a continuación en qué consiste este
número.
Paul Erdös fue un matemático húngaro (Budapest, 1913 – Varsovia, 1996) que
escribió más de 1500 artículos, la mayoría de ellos en colaboración conjunta con
otros autores (más de 500 diferentes), debido a su consideración de las Matemáticas
como una actividad social. En su honor se ha acuñado esta terminología “número de
Erdös”, que distingue a los matemáticos dependiendo del grado de cercanía de
éstos con el propio Erdös o con colaboradores suyos.
Así, al propio Erdös se le asigna el número de Erdös 0 y a todas las personas que
escribieron un artículo conjunto con él el número de Erdös 1 (en total hay 509
personas que tienen este número, es decir que colaboraron directamente con Erdös
en un trabajo). A las personas que colaboraron con éstos en otro trabajo, pero no
directamente con el propio Erdös, se les asigna el número de Erdös 2 (hay 6.984
personas), las que colaboraron con éstas pero no con personas que tienen un
número de Erdös 2, ni con Erdös mismo, ni con alguien con un número de Erdös 1,
tienen un número de Erdös 3, y así sucesivamente.
Para que a una persona entonces se la pueda asignar un número de Erdös, ésta
debe de haber escrito un trabajo matemático conjuntamente con un autor que tenga
un número de Erdös asignado. Nótese que a pesar de la aparente frivolidad de este
hecho, la propia Asociación de Matemáticas de Estados Unidos (AMS) facilita una
herramienta para el cálculo del número de Erdös de cualquier matemático que lo
solicite y que sea miembro de la sociedad (véase mayor información al respecto en
(web6 y 7)).
Existen también otros números que representan una idea parecida. En wikipedia (a
pesar del rechazo general que suele acompañar a este sitio web, por su muchas
veces probada no fiabilidad, en este asunto la mayoría de la información está
totalmente contrastada) pueden encontrarse el número de Bacon, aplicación de esta
misma idea en la industria cinematográfica, que conecta actores que han aparecido
junto al actor Kevin Bacon en alguna película, el número de Stringfield en ufología,
relacionando a aquéllos que han investigado conjuntamente casos de OVNI’s con
Número 33. Marzo 2013. Página 115
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
Leonard H. Stringfield e incluso, el no va más, el número de Erdös-Bacon, que se le
asigna a un pequeño número de personas curiosamente conectadas tanto con Erdös
como con Bacon, como por ejemplo la actriz Danica McKellar, protagonista de la
serie “Los años maravillosos”, que cuenta con un número de Erdös 4 y un número
de Bacon 2.
3. En 1990, John Guare escribió una obra teatral que trataba de un joven llamado
Paul, que se desplaza a Nueva York con el objetivo de encontrar a su padre. Sin
embargo, tras una serie de tentativas, no fue capaz de encontrarlo. Lamentándose,
Paul afirmaba que aunque conocía esta Teoría de los Seis grados y que, por
consiguiente, daba por hecho que cualquier persona en el mundo estaba conectada
con él por menos de seis pasos (lo que era suficientemente tranquilizador), suponía
un trabajo bastante tedioso el tener que encontrar a las personas correctas para
poder realizar esa conexión.
4. Otro claro ejemplo de que esta teoría se encuentra presente en muchos aspectos
de nuestra vida es la película “Seis grados de separación”, la cual toma su nombre
en referencia a dicha teoría.
En la película, Flan y Ouisa Kittredge, dos importantes comerciantes de arte de
Nueva York, reciben un día la visita de un joven de color negro que dice ser
compañero de su hijo en la universidad de Harvard, y que además, afirma ser el hijo
de Sidney Poitier. Flan y Ouisa le ofrecen su hospitalidad y lo invitan a cenar y a
quedarse a dormir. Sin embargo, al día siguiente descubren que el joven no es todo
lo que dice ser.
5.- La Teoría de los Seis Grados de separación
pasó también a la pequeña pantalla a través de
la serie estadounidense “Seis Grados”,
producción del famoso J.J. Abrams, que se
emitió en el año 2007 y fue uno de los fracasos
más sonados de la temporada en EE. UU. A
España llegó ese mismo año al canal AXN, y
meses más tarde fue la cadena Cuatro la que
comenzó su emisión. Actualmente, solo se
transmite por el canal People + Arts.
Figura 9. Cartel de la película “Six Degrees
of Separation”
Esta serie narra las vidas de seis personas de Nueva York y de la influencia que,
inconscientemente, tienen sobre el resto. En la web sobre cine Filmaffinity puede
leerse:
“Seis grados subraya y destaca lo pequeño que es el mundo y cómo
tan sólo seis personas aparentemente desconocidas pueden darle
forma a nuestro futuro en este mismo momento.”
Reflexiones de los autores
En este artículo, los autores hemos tratado de mostrar tanto la evolución como
el estado actual de la popularmente conocida con el nombre de “Teoría de los Seis
grados de separación”, intentando a su vez modelizarla y explicarla desde un punto
de vista estrictamente matemático, para lo cual nos hemos servido de una
Página 116. Número 33. Marzo 2013.
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
herramienta propia de esta disciplina, la Teoría de Grafos. Además de mostrar
algunas situaciones de la vida real relacionadas en mayor o menor grado con esta
teoría, hemos descrito asimismo un experimento personal puesto en marcha por
nosotros mismos, desafortunadamente no del todo exitoso, con el que deseábamos
ratificarla, dado que aún no está probada desde el punto de vista matemático.
En nuestra opinión, y así parece estar aceptado, al menos por los experimentos
realizados, esta teoría está bastante bien fundamentada a pesar de que, en
apariencia, pudiera parecer lo contrario. Sin embargo, no es menos cierto que en la
actualidad están empezando a aparecer bastantes detractores, curiosamente no
negándola, sino, en contra lo que podría parecer, endureciéndola. Así, en una noticia
publicada por el diario ABC de España sobre Facebook (véase web8) se afirma que
la red social permite la conexión de dos personas de cualquier parte del mundo en
menos pasos de los que se creía, de forma que según aumenta el número de
usuarios, disminuye el número de pasos para el contacto.
Según esa noticia, la Universidad de Milán investigó las relaciones de amistad
de 721 millones de usuarios del sitio (un 10% de la población mundial), como
muestra para demostrar la popular Teoría de los Seis grados de separación y del
estudio realizado dedujo que en contra de lo afirmado por esta teoría, según la cual
las personas tienen un contacto que a su vez tiene otro que tiene otro y así hasta 6
que unen a cualquier persona, los investigadores descubrieron que la teoría no sólo
se cumple, sino que se reduce: "El 99,6% de las parejas de usuarios analizados
están conectadas por 5 grados, y el 92% lo hace a través de 4 grados”. Además, los
investigadores han comprobado que según aumenta el número de usuarios
disminuye el número de pasos para el contacto. Así, los datos presentados aseguran
que en 2008 eran necesarios 5,28 grados, mientas que en la actualidad son
necesarios 4,7.
Siendo aún más concretos, los investigadores de la Universidad de Milán han
comprobado que la teoría se reduce aún más si se limita el ámbito de estudio a un
país. De esta forma, analizando los datos de usuarios de un solo país, el número de
pasos para conectar a dos usuarios se limita a 3. El estudio confirma que Internet y
las redes sociales han contribuido a la creación del mundo global actual: la
posibilidad de cualquier usuario de conocer a cualquier persona del mundo.
Figura 10. Créetelo, el mundo es un pañuelo
Número 33. Marzo 2013. Página 117
¿Bastan solo seis enlaces para conectar a dos personas
cualesquiera en el mundo?
J.M. Contreras Beltrán, I. Duarte Tosso, J. Núñez Valdés
Bibliografía
Alfonso, M., Bueno, S., Diánez, M. R., de Elías, M. C. y Núñez, J. (2004), Siete
puentes, un camino: Konigsberg, Revista SUMA, 45, 69-78.
Milgram, S. and Travers, J. (1969), An experimental Study of the Small World
Problem, Sociometry, 23, 425-443.
[web3] http://www.xatakaciencia.com/sabias-que/la-teoria-de-los-seis-grados-de-separacion
[web4] http://www.blogsocialmedia.es/2010/03/%C2%BFrealmente-solo-existen-seisgrados-de-separacion-entre-cualquier-persona/(sobre la Teoría de los Seis grados
de separación).
[web5] http://www.culturizando.com/2011/09/la-teoria-de-los-6-grados-de-separacion.html
(sobre la Teoría de los Seis grados de separación).
[web6] http://identidadgeek.com/%C2%BFy-tu-tienes-numero-de-erdos/2011/05/
(sobre el número de Erdös).
[web7] The Erdös Number Project : http://www.oakland.edu/enp/ (sobre el número de
Erdös).
[web8]http://www.abc.es/20111122/medios-redes/abci-facebook-seis-grados201111221734.html
[web9] http://campusvirtual.unex.escalaepistemowikiaimagesbb8Portada6g.jpg
[web10] http://humanidades09.pbworks.comf12638139866grados.jpg
[web11] http://1.bp.blogspot.com/-Viwyll7Yyt4/TeTwGqFsb4I/AAAAAAAABEw/
Mimuq0c4ECc/s1600/tuenti.jpg
José María Contreras Beltrán e Isabel Duarte Tosso son alumnos de tercer curso de
grado de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (España) y Estudiantes
Internos del Departamento de Geometría y Topología de la misma, bajo la dirección del
profesor Juan Núñez Valdés, doctor en Matemáticas y profesor Titular de Universidad de
ese Departamento, con el que colaboran en artículos de divulgación de las Matemáticas
en general.
chema_cb10@htmail.com isabel92_dt@hotmail.com jnvaldes@us.es
Página 118. Número 33. Marzo 2013.