Subido por Emmanuel C. Torres

Operaciones con desigualdades

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OPERACIONES CON DESIGUALDADES
La proposiciones que utilizan los símbolos de comparación
> Mayor que
< Menor que
≥ Mayor o
igual que
≤ Menor o
igual que
Se llaman desigualdades.
𝒂>𝟓
𝟑𝒂 ≤ 𝟏𝟐
𝒂+𝟕>𝟐
Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades de operación:
1. Se puede sumar un numero real a ambos lados de la desigualdad.
1.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒄
Ejemplo:
𝒂+𝟕<𝟒
Desigualdad
𝒂 + 𝟕 − 𝟕 < 𝟒 − 𝟕 Sumamos el número real −𝟕
𝒂 + 𝟎 < −𝟑
Se realizaron las operaciones aritméticas
𝒂 < −𝟑
Desigualdad equivalente o solución de la
desigualdad
1.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒄
Ejemplo:
𝒂−𝟐>𝟗
𝒂 − 𝟐 + 𝟐 > 𝟗 +2
Desigualdad
Sumamos el número real 2
𝒂 + 𝟎 > 𝟏𝟏
Se realizaron las operaciones aritméticas
𝒂 > 𝟏𝟏
Desigualdad equivalente o solución de la
desigualdad
1.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 ≥ 𝒃 + 𝒄
Ejemplo:
𝒂 − 𝟐 ≥ 𝟏𝟒
𝒂 − 𝟐 + 𝟐 ≥ 𝟏𝟒 +2
𝒂 + 𝟎 ≥ 𝟏6
𝒂 ≥ 𝟏𝟑
Desigualdad
Sumamos el número real 𝟐
Se realizaron las operaciones aritméticas
Desigualdad equivalente o solución de la
desigualdad
1.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 ∈ ℝ entonces 𝒂 + 𝒄 ≤ 𝒃 + 𝒄
Ejemplo:
𝒂+𝟖≤𝟏
𝒂+𝟖−𝟖≤𝟏−𝟖
Desigualdad
Sumamos el número real −𝟖
𝒂 + 𝟎 ≤ −𝟕
Se realizaron las operaciones aritméticas
𝒂 ≤ −𝟕
Desigualdad equivalente o solución de la
desigualdad
2. Se pueden sumar desigualdades que tiene el mismo sentido: < con <, >
con >, ≥ con ≥ y ≤ con ≤.
Nota: Por ejemplo, no se puede sumar < con ≥.
2.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 < 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒅
Ejemplo:
𝒂 + 𝟑 < 𝟏𝟑
;
𝒃+𝟏<𝟐
𝒂 + 𝟑 + 𝒃 + 𝟏 < 𝟏𝟑 + 𝟐
𝒂 + 𝒃 + 𝟒 < 𝟏𝟓
𝒂 + 𝒃 < 𝟏𝟏
Desigualdades
Sumamos las desigualdades
Se realizaron las operaciones aritméticas
Se usó la propiedad 1.1
2.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 > 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒅
Ejemplo:
𝒂 + 𝟐𝟎 > 𝟏𝟎 ;
𝒃−𝟓>𝟒
𝒂 + 𝟐𝟎 + 𝒃 − 𝟓 > 𝟏𝟎 + 𝟒
𝒂 + 𝒃 + 𝟏𝟓 > 𝟏𝟒
𝒂 + 𝒃 > −𝟏
Desigualdades
Sumamos las desigualdades
Se realizaron las operaciones aritméticas
Se usó la propiedad 1.2
2.3 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 ≥ 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒅
Ejemplo:
𝒂−𝟑>𝟓
;
𝒃+𝟏≥𝟐
Desigualdades
𝒂−𝟑+𝒃+𝟏>𝟓+𝟐
Sumamos las desigualdades
𝒂+𝒃−𝟐>𝟕
Se realizaron las operaciones aritméticas
𝒂+𝒃>𝟓
Se usó la propiedad 1.2
2.4 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 ≤ 𝒅 entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒅
Ejemplo:
𝒂+𝟗<𝟕
;
𝒃 − 𝟏𝟒 ≤ −𝟕 Desigualdades
𝒂 + 𝟗 + 𝒃 − 𝟏𝟒 < 𝟕 − 𝟕
𝒂+𝒃−𝟓<𝟎
𝒂+𝒃<𝟓
Sumamos las desigualdades
Se realizaron las operaciones aritméticas
Se usó la propiedad 1.1
3. Se puede multiplicar una desigualdad por un número real positivo.
3.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂<𝟕
𝟐 𝒂< 𝟐 𝟕
𝟐𝒂 < 𝟏𝟒
Desigualdad
Se multiplicó por el número positivo 𝟐
Se realizaron las operaciones aritméticas
3.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 >0 entonces 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂 + 𝟑𝟎 > 𝟒𝟎
𝟓 𝒂 + 𝟑𝟎 > 𝟓 40
𝟓𝒂 + 𝟏𝟓𝟎 > 𝟐𝟎𝟎
𝟓𝒂 + 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓𝟎 > 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟓𝟎
𝟓𝒂 > 𝟓𝟎
Desigualdad
Se multiplicó por el número positivo 5
Se realizaron las operaciones aritméticas
Propiedad 1.2
3.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≥ 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂 ≥ 𝟏𝟔
Desigualdad
𝟒 𝒂 ≥ 𝟒 16
Se multiplicó por el número positivo 4
𝟒𝒂 ≥ 𝟔𝟒
Se realizaron las operaciones aritméticas
3.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂+𝟐≤𝟔
𝟑 𝒂+𝟐 ≥ 𝟑 6
𝟑𝒂 + 𝟔 ≥ 𝟔𝟒
𝟑𝒂 + 𝟔 − 𝟔 ≥ 𝟔𝟒 − 𝟔
𝟑𝒂 ≥ 𝟓𝟖
Desigualdad
Se multiplicó por el número positivo 4
Se realizaron las operaciones aritméticas
Propiedad 1.3
Desigualdad equivalente
4. Si se multiplica una desigualdad por un número real negativo se invierte el
sentido de la desigualdad.
4.1 Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂−𝟏<𝟖
Desigualdad
−𝟔 𝒂 − 𝟏 > −𝟔 8
Se multiplicó por el número negativo -6
−𝟔𝒂 + 𝟔 > −𝟒𝟖
Se realizaron las operaciones aritméticas
−𝟔𝒂 + 𝟔 − 𝟔 > −𝟒𝟖 − 𝟔
−𝟔𝒂 > −𝟓4
Propiedad 1.2
Desigualdad equivalente
4.2 Si 𝒂 > 𝒃 y 𝒄 <0 entonces 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂 + 𝟐𝟓 >5
Desigualdad
−𝟐 𝒂 + 𝟐𝟓 < −𝟐 5
Se multiplicó por el número negativo - 2
−𝟐𝒂 − 𝟓𝟎 < −𝟏𝟎
Se realizaron las operaciones aritméticas
−𝟐𝒂 − 𝟓𝟎 + 𝟓𝟎 < −𝟏𝟎 +50
−𝟐𝒂 < 𝟒𝟎
Propiedad 1.1
Desigualdad equivalente
4.3 Si 𝒂 ≥ 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≤ 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂+𝟖≥𝟒
Desigualdad
−𝟕 𝒂 + 𝟖 ≤ −𝟕 4
Se multiplicó por el número negativo - 7
−𝟕𝒂 − 𝟓𝟔 ≤ −𝟐𝟖
Se realizaron las operaciones aritméticas
−𝟕𝒂 − 𝟓𝟔 + 𝟓𝟔 ≤ −𝟐𝟖 + 𝟓𝟔
−𝟕𝒂 ≤ 𝟐𝟖
Propiedad 1.1
Desigualdad equivalente
4.4 Si 𝒂 ≤ 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂𝒄 ≥ 𝒃𝒄
Ejemplo:
𝒂 + 𝟔𝟔 ≤ 𝟔
Desigualdad
−𝟐 𝒂 + 𝟔𝟔 ≥ −𝟐 6
Se multiplicó por el número negativo - 2
−𝟐𝒂 − 𝟏𝟑𝟐 ≥ −𝟏𝟐
Se realizaron las operaciones aritméticas
−𝟐𝒂 − 𝟏𝟑𝟐 + 𝟏𝟑𝟐 ≥ −𝟏𝟐 + 𝟏𝟑𝟐
−𝟐𝒂 ≥ 𝟏𝟐𝟎
Propiedad 1.4
Desigualdad equivalente
5. Desigualdad de inverso de números positivos.
𝟏
𝒂
Si 𝒂 > 𝟎 y 𝒃 > 𝟎 y 𝒂 < 𝒃, entonces >
Ejemplo:
𝟓<𝟗
𝟏
𝟏
𝟓<
𝟗
𝟓
𝟓
𝟗
𝟏<
𝟓
𝟏
𝟏 𝟗
𝟏<
𝟗
𝟗 𝟓
𝟏 𝟏
<
𝟗 𝟓
𝟏
𝒃
Desigualdad
Propiedad 3.1
Se realizaron las operaciones aritméticas
Propiedad 3.1
Se realizaron las operaciones aritméticas
6. Desigualdad de inverso de números negativos.
𝟏
𝒂
Si 𝒂 < 𝟎 y 𝒃 < 𝟎 y 𝒂 < 𝒃, entonces >
Ejemplo:
−𝟖 < −𝟐
𝟏
𝟖
𝟏
−𝟖 <
𝟖
Desigualdad
−𝟐
𝟐
−𝟏 < −
𝟖
𝟏
𝟐
𝟏
−𝟏 <
𝟐
𝟏
𝟏
<
−𝟐
−𝟖
𝟏
𝒃
Propiedad 3.1
Se realizaron las operaciones aritméticas
𝟐
−
𝟖
Propiedad 3.1
Se realizaron las operaciones aritméticas
7. Dividir una desigualdad entre otra con números positivos y signo opuesto.
𝒂
𝒄
Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 > 𝒅 > 𝟎 entonces <
Ejemplo:
A. 𝒂 < 𝟗
;
𝐜>𝟐
𝒂 𝟗
<
𝒄 𝟐
B. 𝒂 > −𝟓 ;
𝒂
𝟓
>−
𝒄
𝟒
𝟎<𝒄<𝟒
𝒃
𝒅
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