preliminares funcion descriptiva

TECNOLÓGI
CONACI
ONALDEMÉXI
CO
I
NS
T
I
T
UT
OT
ECNOL
ÓGI
CODEL
AL
AGUNA
DI
VI
SI
ÓNDEESTUDI
OSDEP
OSGRADO
EI
NVESTI
GACI
ÓN
M.
C.ENI
NGENI
ERÍ
AELÉCTRI
CA
MECATRÓNI
CAYCONTROL
CONTROLADAPTABLE
TAREA1.PRELI
MI
NARESDELA
FUNCI
ÓNDESCRI
PTI
VA:RESPUESTADE
COMPONENTESNOLI
NEALESANTEUNA
ENTRADASENOI
DAL
PRESENTA:
I
NG.MARI
OI
VÁNNAVABUSTAMANTE
M1913001
CATEDRÁTI
CO:DR.
FRANCI
SCOJ
URADOZAMARRI
P
A
TORREÓN,
COAHUI
LA
SEPTI
EMBREDE2
0
1
9
Índice
1. Introducción
2
2. Histéresis
2
3. Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
3
3.1. Resorte de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2. Saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.3. Relevador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.4. Zona muerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.5. Relevador con histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Conclusiones
12
5. Referencias bibliográficas
13
6. Anexo: Diagrama de bloques de Simulink
13
Control adaptable
1.
2
Introducción
En el control clásico, la respuesta a la frecuencia es una herramienta poderosa para el análisis
y diseño de sistemas dinámicos lineales. Cuando se encuentra un componente no lineal en el
lazo de control, los métodos del análisis en la frecuencia no pueden ser aplicados directamente.
Cuando el componente no lineal es un elemento estático, es decir, la relación entre la entrada
y la salida puede ser descrita mediante una función algebraica, su salida ante cualquier función
periódica será también una función periódica, con el mismo periodo que la entrada de señal.
Las funciones descriptivas son aproximaciones de primer orden en el dominio de la frecuencia, es
decir, son funciones de la respuesta a la frecuencia de componentes no lineales. En este trabajo
se presentan los preliminares del análisis de sistemas mediante sus funciones descriptivas.
2.
Histéresis
Cuando un material ferromagnético, sobre el cual ha estado actuando un campo magnético,
cesa la aplicación de éste, el material no anula completamente su magnetismo, sino que permanece
un cierto magnetismo residual. Para desimantarlo será precisa la aplicación de un campo contrario
al inicial. Este fenómeno es conocido como histéresis magnética, que quiere decir inercia o retardo.
Los materiales tiene una cierta inercia a cambiar su campo magnético.
La Figura 1 representa el llamado ciclo de histéresis (también lazo o bucle de histéresis)
de un determinado material magnético. Se supone que una bobina crea sobre dicho material
magnético una intensidad de campo H, el cual induce en ese material magnético una inducción
de valor B. S representa la saturación del núcleo magnético.
Figura 1: Ciclo de histéresis.
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
3
En la mayorı́a de las máquinas eléctricas (transformadores, motores, generadores), interesa
un núcleo cuyo ciclo de histéresis sea lo más estrecho y alargado posible (difı́cilmente saturable),
como se muestra en la Figura 2.
Figura 2: Histéresis en máquinas eléctricas.
3.
Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
Para un componente no lineal descrito mediante una función no lineal f : IR → IR su salida
se encuentra dada por:
w(t) = f (Asen(ωt))
(1)
donde A define la amplitud de la señal de entrada, y ωt define la frecuencia en función del
tiempo t.
Figura 3: Salida de un componente no lineal ante una entrada senoidal.
Para el desarrollo de este trabajo, se considera A = 2 y ω = 1. En las siguientes secciones, se
muestran los análisis realizados a 5 funciones de componentes no lineales comunes. Se incluyen
Control adaptable
4
las gráficas con el comportamiento de los componentes no lineales en función del tiempo, además
de gráficas con la respuesta de estos componentes ante la entrada senoidal en base a la relación
mostrada en la Figura 3 y la Ecuación 1. Los resultados y gráficas fueron obtenidas mediante la
utilización de la herramienta Simulink, del software Matlab. En la parte final de este documento
se puede encontrar un anexo con los diagramas de bloques realizados para la simulación de cada
ejemplo.
3.1.
Resorte de endurecimiento
Las caracterı́sticas del resorte de endurecimiento, el cual es un elemento no lineal estan dadas
por la función
f (x) = x +
x3
2
(2)
En la Figura 4 se observa el comportamiento no lineal del elemento descrito por la Función
2.
80
Componente no lineal
60
40
f(x)
20
0
-20
-40
-60
-80
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 4: Comportamiento de un resorte de endurecimiento.
La salida del sistema esta dada por
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
A3
w(t) = Asen(ωt) +
sen3 (ωt)
2
5
(3)
Obteniendo la salida del componente no lineal ante una entrada senoidal como se ı́ndica en
la Función 3, la Figura 5 muestra la relación entre la salida w(t) del componente no lineal y la
entrada Asen(ωt).
10
Salida w(t)
Entrada Asen(ω t)
8
6
f(Asenω t)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 5: Respuesta del componente no lineal ante una entrada senoidal.
3.2.
Saturación
La función saturación es descrita por medio de
f (x) =
kx,
para |x| < a
sign(x)ka, otro caso
En la Figura 6 se observa el comportamiento no lineal de la Función 4.
(4)
Control adaptable
6
2
Componente no lineal
1.5
1
f(x)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 6: Comportamiento de la función saturación.
La salida del sistema esta dada por
w(t) =
kAsen(ωt), para 0 ≤ ωt ≤ γ
ka,
para γ < ωt ≤ π2
(5)
Obteniendo la salida del componente no lineal ante una entrada senoidal como se ı́ndica en
la Ecuación 5, la Figura 7 muestra la relación entre la salida w(t) de la función saturación y la
entrada Asen(ωt).
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
7
4
Salida w(t)
Entrada Asen(ω t)
3
f(Asenω t)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 7: Respuesta de la función saturación ante una entrada senoidal.
3.3.
Relevador ideal
El comportamiento del relevador ideal puede ser descrito mediante la función signo. En la
Figura 8 se observa el comportamiento de dicho componente.
1.5
Componente no lineal
1
f(x)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 8: Comportamiento del relevador ideal.
Control adaptable
8
La salida del sistema esta dada por
w(t) =
−M, para −π ≤ ωt < 0
M,
para 0 ≤ ωt < π
(6)
Donde M representa la amplitud de la función del componente no lineal. Obteniendo la
salida del componente no lineal ante una entrada senoidal como se ı́ndica en la Función 6, la
Figura 9 muestra la relación entre la salida w(t) del relevador ideal y la entrada Asen(ωt).
4
Salida w(t)
Entrada Asen(ω t)
3
f(Asenω t)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 9: Respuesta del relevador ideal ante una entrada senoidal..
3.4.
Zona muerta
Las caracterı́sticas de la zona muerta pueden ser descritas mediante la función no lineal

 k(x − a), para x > a
0,
para |x| < a
f (x) =

k(x + a), para x < −a
(7)
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
9
donde a indica el punto de inicio y punto final de la zona muerta. En la Figura 10 se observa
el comportamiento no lineal de la zona muerta descrita por la Función 7.
1.5
Componente no lineal
1
f(x)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 10: Comportamiento de la función zona muerta.
La salida del sistema esta dada por
w(t) =
0,
para 0 ≤ ωt ≤ γ
k(Asen(ωt)) − a, para γ < ωt ≤ π2
(8)
Obteniendo la salida del componente no lineal ante una entrada senoidal como se ı́ndica en
la Ecuación 8, la Figura 11 muestra la relación entre la salida w(t) de la función zona muerta y
la entrada Asen(ωt).
Control adaptable
10
4
Salida w(t)
Entrada Asen(ω t)
3
f(Asenω t)
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Figura 11: Respuesta de la función zona muerta ante una entrada senoidal.
3.5.
Relevador con histéresis
Las caracterı́sticas del relevador con histéresis pueden ser descritas mediante la función no
lineal

M,



−M,
f (x) =
M,



−M,
para
para
para
para
x≥a
|x| < a, ẋ > 0
|x| < a, ẋ < 0
|x| ≤ −a
(9)
donde a indica el punto de inicio y punto final del efecto de histéresis y M representa la
amplitud de la función no lineal. En la Figura 12 se observa el comportamiento no lineal del
elemento descrito por la Función 9.
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
11
5
Componente no lineal
4
3
2
f(x)
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 12: Comportamiento del relevador con histéresis.
La salida del sistema esta dada por

para −π ≤ ωt < (π − γ
 M,
−M,
para −(π − γ) ≤ ωt < γ
w(t) =

k(Asen(ωt)) − a, para γ ≤ ωt ≤ π
(10)
Obteniendo la salida del componente no lineal ante una entrada senoidal como se ı́ndica en
la Ecuación 10, la Figura 13 muestra la relación entre la salida w(t) del relevador con histéresis
y la entrada Asen(ωt).
Control adaptable
12
Entrada (Asen(ω t))
Salida (wt)
10
f(Asenω t)
5
0
-5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
Figura 13: Respuesta del relevador con histéresis ante una entrada senoidal.
4.
Conclusiones
En algunos sistemas de control, la no linealidad del sistema es provocada por un componente
no lineal. Por ello, el análisis en el dominio de la frecuencia aplicado a sistemas lineales, no se
puede aplicar directamente a este tipo de sistemas. Es por ello que en este tipo de casos se
aplica el método de la función descriptiva. Sin embargo, antes de trabajar con esta metodologı́a
fue necesario comprender el comportamiento de componentes no lineales estáticos de sistemas,
además de la respuesta que tienen dichos componentes ante una entrada senoidal.
En este trabajo se realizaron los procedimientos necesarios para obtener y visualizar el
comportamiento de cada uno de los casos no lineales de ejemplo, además de inspeccionar su
comportamiento ante una entrada. Para ello, se hizo uso de la herramienta Simulink de Matlab,
y se obtuvieron diversas gráficas con las cuales se puede analizar de manera simplificada lo antes
mencionado.
Este trabajo establece las bases necesarias para aplicar en los próximos trabajos del curso
diversos análisis basados en el concepto de función descriptiva. Además se introdujó el concepto
de histéresis en sistemas.
Preliminares de la función descriptiva: Respuesta de componentes no lineales ante una entrada senoidal
5.
13
Referencias bibliográficas
Zhengtao Ding. (2013). Nonlinear and Adaptive Control Systems. United Kingdom: IET.
(2010). Histéresis. 1 de Septiembre de 2019, de IFENT Sitio web: http://www.ifent.org
/lecciones/cap07/cap07-06.asp
6.
Anexo: Diagrama de bloques de Simulink