GEOMETRÍA ANALÍTICA. GORDON FULLER.

SÉPTIMA EDICIÓN
,
,
a
anal
Gordon FuUer
Profesor emérito de matemáticas
Texas Tech University
Dalton Tarwater
Profesor de matemáticas
Texas Tech University
Versión en español de
Rafael Martínez Enríquez
Universidad Nacional Autónoma de México
Con la colaboración técnica de
Alberto Rosas Pérez
Universidad Nacional Autónoma de México
MÉXICO· ARGENTINA· BRASil.,· COLOMBIA· COSTA RICA· CHILE
ESPAÑA· GUATEMALA· P ERÚ· PUERTO RICO· VENEZUELA
Versión en español de la obra titulada Analityc Geometry, Seventh Edition, de Gordon
Fuller y Dalton Tarwater, publicada originalmente en inglés por Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading Massachusetts, E.U.A., © 1986 por Addison-Wesley
Publishing Company, Inc.
Esta edición en español es la única autorizada.
SÉPTIMA EDICiÓN,
1995
Primera reimpresión en México, 1999
•
© 1995 por ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.
•
D.R. © 1999 por ADDISON WESLEY LONGMAN DE MEXICO, S.A. DE C.V.
Calle Cuatro No. 25, 2° piso
Fracc. Industrial Alce Blanco
53370 Naucalpan de Juárez, Estado de México
CNIEM 1031
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden
reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información,
en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico,
magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo
por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá
también la autorización del editor o sus representantes.
o
MAY
ISBN 9 68
444
Impreso en México. Printed in Mexico.
It.f'RESORA ROMA
TOMAS VAZOUEZ No. 152
COL. SAN PEDRO IXTACALCOC P.08220
MEXICO. D. F.
2000
1 234
5
67890
03 020100 99
O
Dedicatoria
Gordon Fuller nació en Joshua, Texas, el 17 de enero de 1894. Se graduó en matemáti­
cas en el West Texas State (licenciatura, 1926), y en la University of Michigan (maestría
y doctorado, 1933). Después de 12 años de enseñanza en Auburn, se incorp oró a la Te­
xas Tech University en 1950, donde permaneció hasta su retiro en 1968. Fue autor o coau­
tor de libros de texto de álgebra elemental, trigonometría plana, geometría analítica y
cálculo.
Se le recuerda como un p rofesor duro pero justo, un expositor lúcido, un caballero
elegante y un colega cordial.
Gordon Fuller murió en Dalias, Texas, el 17 de marzo de 1985. Este texto se dedica
a su memona.
También se dedica a su hijo, el doctor Dwain Fuller, y a mi esposa, Nancy Tarwater,
.
.
por su paCiencia, comprenSlOn y apoyo.
•
.
,
Prefacio
Esta séptima edición de Geometría analítica (para matemáticas de preparatoria o mate­
máticas IV de CCH), se diseñó para un primer curso sobre el tema. En ella se destacan
los elementos esenciales de la geometría analítica y se pone énfasis en aquellos concep­
tos necesarios en cálculo, ya sea el cálculo tradicional o el que se lleva en una c arrera
enfocada a los negocios.
Si bien una gran parte de la edición anterior ha quedado intacta, esta edición presen­
ta los siguientes cambios importantes.
l . A las muchas aplicaciones de la geometría analítica a l a administración, a las cien­
cias sociales y a las ciencias físicas se han añadido nuevas aplicaciones en medici­
na, salud pública, probabilidad, estadística, además de una que se refiere a los gastos
de traslado que repercuten en el pago de impuestos federales.
2. Se incluye un nuevo capítulo sobre ajuste de curvas, que contiene yl método de mí­
nimos cuadrados para modelos lineales y exponenciales, así como una nueva sec­
ción dedicada al estudio de coordenadas esféricas y cilíndricas.
3. Se presentan notas históricas que brindan al lector un sentido de continuidad con el
pasado.
4.
Se incluye una gran variedad de temas nuevos que versan sobre funciones crecien­
tes y decrecientes, desigualdades lineales y polinomiales, números complejos y fun­
ciones hiperbólicas.
5. Se espera que el lector utilice algún tipo de graficador, ya sea una calculadora o un
computador con capacidad de graficación. A lo largo del texto, así como en los ejer­
cicios, aparecen referencias a las rutinas incluidas en el nuevo programa Explorer
de Addison-Wesley, así como recomendaciones para quien utilice un graficador. Los
ejercicios en los que podría usar una calculadora NO se diseñaron para que se recu­
rriera a dicha herramienta, sino para que las respuestas se obtuvieran usando "lápiz
y papel" o algún tipo de graficador. Esto permite al estudiante (o profesor) decidir
cuál método de solución resulta apropiado.
6. A cada capítulo se ha añadido un listado de términos clave y un conjunto de ejerci­
cios a manera examen. Al final del libro se encuentran las respuestas de los ejerci­
cios pares y de todos los ejercicios que aparecen en los exámenes.
El texto va acompañado de un Student s Solutions Manual, con las respuestas a los
ejercicios pares, y de un Instructor s Manual, con las respuestas a todos los ejercicios.
Addison-Wesley también ha puesto a disposición del usuario un Graphing Calculator
and Computer Graphing Laboratory Manual, que enseña el uso de varios tipos de cal­
culadoras y utilería de graficación MasterGrapher -3D Grapher.
v
Se dan las más cumplidas gracias al doctor Henry PoIlack, de BeIl Labs, por sugerir
el ejercicio que aparece en la sección 3.4 y que se refiere a los gastos de reacomodo
deducibles de los impuestos federales. Agradecemos también al doctor William Howland,
de Texas Tech, la aportación de los ejercicios sobre cónicas, así como al doctor Harold
Bennet, de Texas Tech, por contribuir con las respuestas que aparecen al final del libro.
Se ha contado con las sugerencias y consejos de Jerry L. Frang, de Rockford, Illinois, de
Lance L. Littlejohn, de Utah Curbo, quien trabajara en Monterey High School de Lubbock,
Texas. Nos entristece la muerte de tan excelente maestro.
Agradecemos a los muchachos colegas y estudiantes que han sugerido mejoras al
texto. Finalmente, expresamos nuestra sincera gratitud por la magnífica labor de captura
realizada por la señora Pam Newton.
•
Lubbock, Texas
vi
estudiante
Bienvenido al estudio de la geometría analítica. Está en buena compañía. En los últimos
dos mil años, millones de personas han estudiado algún aspecto de este tema. Entre ellos
se encuentran muchos de los más grandes intelectos de los tiempos históricos y moder­
nos. Gran parte de estos estudiantes aprendieron geometría analítica por sus valores in­
trínsecos. Sin embargo, justo es decir que hoy día el tema se estudia principalmente como
un curso preparatorio para el cálculo.
Hemos tratado de mostrar, en ejemplos y ejercicios, que las ideas aquí expuestas son
aplicables en muchos campos de estudio. Por desgracia es necesario estudiar cálculo, o
incluso otros cursos posteriores, para ver las aplicaciones en toda su profundidad. Se es­
pera que las diversas aplicaciones presentadas basten para indicar la amplia utilidad de
estos conceptos.
Se supone que el lector ha tomado cursos de álgebra, geometría y trigonometría, y se
espera que pueda resolver cuadráticas por fórmula y completando el cuadrado, resolver
sistemas de ecuaciones y usar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, así
como algunas identidades que las incluyan. Para algunos ejercicios será útil conocer de­
terminantes.
Se recomienda leer el texto antes de intentar resolver los ejercicios. Mientras se lee
el texto, se puede usar lápiz y papel para completar los pasos faltantes en los ejemplos y
para copiar teoremas y fórmulas hasta aprenderlos.
Se da por hecho que el estudiante tiene acceso a una calculadora que incluya las
funciones trigonométricas, log, In, ex o yx. Se espera, además, que se cuente con algún
tipo de sistema graficador, ya sea una calculadora con pantalla para gráficas o un com­
putador con paquetería para graficar funciones. Usados en forma adecuada, estos ele­
mentos pueden ampliar y aumentar el entendimiento de la geometría analítica, si bien No
eliminan la necesidad de conocer los principios, teoremas, fórmulas y definiciones que
aparecen en este texto.
Es importante advertir que la posesión de una calculadora o de un computador con
múltiples programas no libera al matemático, al científico o al ingeniero del conocimien­
to de los fundamentos de la geometría analítica. Simplemente les permite mejorar su ca­
pacidad para tratar aplicaciones más complicadas. El estudiante que tenga acceso a un
computador de gráficas se beneficiará del uso de esa capacidad para graficar muchas de
las funciones de este texto. Si bien no se requiere que el estudiante use un computador,
los autores sugieren a todos los estudiantes que tengan acceso a uno, que apliquen los
conocimientos adquiridos aquí y que programen el computador para elaborar gráficas
siempre que les sea posible.
Vii
,
Indice general
1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1
Conceptos fundamentales 2
Inclinación y pt:ndiente de una recta 12
División de un segmento de recta 23
Demostraciones analíticas de teoremas geométricos 30
Relaciones y funciones 35
Ecuación de una gráfica 44
Algunas funciones especiales 50
Ejercicios de repaso 59
Términos clave 60
Examen sobre el capítulo 60
2
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 61
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Rectas y ecuaciones de primer grado 61
Otras formas de ecuaciones de primer grado 69
Intersección de rectas 74
Distancia dirigida de una recta a un punto 79
Familias de rectas 86
La circunferencia 92
Familias de circunferencias 100
Traslación de ejes 104
Ejercicios de repaso 107
Términos clave 108
Examen sobre el capítulo 108
3
CÓNICAS
3.1
3.2
3.3
3.4
111
La parábola 112
Parábola con vértice en (h, k) 120
Elipse 129
Hipérbola 142
ix
x
íNDICE
Ejercicios de repaso 152
Términos clave 153
Examen sobre el capítulo 153
4
SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 155
,
4.1
4.2
4.3
4.4
Simplificación por traslación 155
Rotación de ejes 159
Simplificación por rotaciones y traslaciones 162
Identificación de una cónica 167
Ejercicios de repaso 172
Términos clave 172
Examen sobre el capítulo 172
•
5
CURVAS ALGEBRAICAS
5.1
5.2
5.3
5.4
175
Polinomios 175
Ecuaciones racionales 179
Asíntotas inclinadas 184
Ecuaciones irracionales 188
Ejercicios de repaso 192
Términos clave 193
Examen sobre el capítulo 193
6
FUNCIONES TRASCENDENTES
6. 1
6.2
6.3
6.4
6. 5
Funciones trigonométricas 195
La función exponencial 205
Logaritmos 2 10
Suma de ordenadas 216
Ecuaciones trigonométricas 221
Ejercicios de repaso 223
Términos clave 224
Examen sobre el capítulo 224
7
COORDENADAS POLARES 225
7. 1 Sistema de coordenadas polares 225
195
(ND/CE
•
XI
7. 2 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 230
7.3 Gráficas de ecuaciones en coordenadas polares 237
7.4 Ayudas para graficar ecuaciones en coordenadas polares 241
7.5 Ecuaciones polares de rectas y circunferencias 249
7.6 Ecuaciones polares de las cónicas 253
7.7 Intersecciones de gráficas en coordenadas polares 259
Ejercicios de repaso 263
Términos clave 264
Examen sobre el capítulo 264
8
,
ECUACIONES PARAMETRICAS 265
8.1 Ecuaciones paramétricas de las cónicas 266
8.2 Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas 274
Ejercicios de repaso 279
Términos clave 279
Examen sobre, el capítulo 280
9
COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Y SUP ERFICIES 281
9.1 Coordenadas en el espacio tridimensional 281
9.2 Superficies de revolución y superficies cuádricas 291
9.3 Coordenadas cílindricas y esféricas 306
Ejercicios de rep(lso 310
Términos clave 311
Examen sobre el capítulo 311
10
VECTORES, P LANOS Y RECTAS 313
10.1 Operaciones con vectores 314
10.2 Vectores en el espacio tridimensional 327
103
Producto escalar de dos vectores 330
10.4 Ecuación de
un
plano 337
10.5 Ecuación vectorial de una recta 342
10.6 El producto vectorial 349
Ejercicios de repaso 357
Términos clave 358
Examen sobre el capítulo 358
xii
íNDICE
11
AJUSTE DE CURVAS 359
Método de mínimos cuadrados 360
11.2 Modelos exponenciales 364
Ejercicios de repaso 366
T érminos clave 366
Examen sobre el capítulo 367
11.1
Apéndice A Fórmulas
Apéndice B Tablas
369
375
Respuestas a ejercicios seleccionados
,
Indice de materias 433
•
379
Capítulo
Conee tos fundame
les
través de varios siglos el álgebra y la geometría se han desarrollado lentamente como
disciplinas matemáticas distintas. En 1637 René Descartes matemático y filósofo fran­
cés, publicó su obra La Géométrie, en la cual introdujo un mecanismo para unir esas dos
ramas de las matemáticas. La característica básica de este nuevo proceso, ahora llamado
geometría analítica, es el uso de un sistema coordenado. Por medio de sistemas
coordenados, los métodos algebraicos se pueden aplicar con rigor al estudio de la geo­
metría; quizá más sobresaliente sea el beneficio que representa para el álgebra la repre­
sentación gráfica de ecuaciones algebraicas. Descartes contribuyó notablemente a allanar
el camino para alcanzar diferentes desarrollos en matemáticas, ya que nos brindó el mar­
co de referencia para la creación del cálculo.
Muchos de los conceptos analizados en este libro son de origen antiguo pero no se
debe caer en el error de pensar que se estudian sólo por su valor histórico. Por el contra­
rio, estas ideas han soportado el paso del tiempo y hoy día se estudian debido a su utili­
dad para tratar problemas presentes (y probablemente futuros). Los temas que son sólo
de interés histórico y que no tienen ya ninguna utilidad casi han desaparecido como te­
mas de estudio.
Los aspectos que se estudian en este libro tienen significativas aplicaciones en mul­
titud de investigaciones matemáticas y en disciplinas tan diversas como astronomía, fisi­
ca, química, biología, ingeniería, negocios, medicina, ciencias sociales, psicología,
estadística, agricultura y economía. Sin embargo, cabe advertir a los estudiantes que si
bien el conocimiento de la geometría analítica es esencial para comprender una gran can­
tidad de aplicaciones de las matemáticas, deberán profundizar mucho más en las mate­
máticas para poder apreciar toda la riqueza de las aplicaciones que aparecen en este
libro. Quizás el principal propósito de este estudio consista en examinar, de manera
elemental, conceptos que en una situación más abstracta se generalizan convirtiéndose
en poderosas herramientas matemáticas.
A
•
NOTA HISTORICA
.
René Descartes (1596-1650), cuando joven, prefería dormir hasta tarde y meditar en
cama después de despertar. Más tarde vagó durante años por Europa antes de asentarse
en Holanda en 1628 para meditar aislado del mundo. Después de varios años publicó el
Discurso del método, de gran importancia filosófica y matemática, en el qu� presentó
la geometría analítica.
I
,
CAP(TULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
2
1 .1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Una recta dirigida es una recta en la cual una dirección se escoge como positiva y la
dirección opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cua­
lesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. En la figura 1.1,
la dirección positiva se indica con una flecha. Los puntos A y B determinan un segmen­
to, cuya denotación es AB o BA. Se dice que la distancia de A a B, medida en la direc­
ción positiva, es positiva, y que la distancia de B a A, medida en la dirección negativa,
es negativa. Estas dos distancias, cuya denotación es AB y BA se llaman distancias diri3 Y BA
gidas. Si la longitud del segmento de recta es 3, entonces AB
-3. Por tanto,
las distancias en un segmento de recta dirigido satisfacen la ecuación
.
.
=
=
AB - -BA.
•
.
B
B
A
Figura 1.1
A
Otro concepto relacionado con la distancia en el segmento AB es el de distancias
no dirigidas entre A y B. La distancia no dirigida es la longitud del segmento que se
considera positiva. Se usará la notación lABio IBAI para indicar la medición positiva
de la distancia entre A y B, o la longitud del segmento de recta AB.
En vista del análisis anterior, se puede escribir
AB
BA
=
=
IABI IBAI 3,
-IAB I -IBAI
=
=
=
=
-3.
A menudo tiene particular importancia el concepto de valor absoluto de un núme­
ro. Al respecto, se da la siguiente definición.
De acuerdo con esta definición, el valor absoluto de todo número distinto de cero es
positivo y el valor absoluto de cero es cero. Así,
151 5,
=
1-5 1
=
-(-5)
=
5,
101
=
o.
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
3
Se observa entonces que para cualquier número real
lal
=
a,
W
puesto que la raíz cuadrada de cualquier número no negativo es no negativa.
Teorema 1.1
Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determi­
nada por estos puntos satisface las ecuaciones
AB
+
BC
AC
AC ,
•
=
+
CB
=
AB,
BA
+
AC
BC.
•
=
Demostración Si B está entre A y C, las distancias AB, BC y AC tienen el mismo signo
y, obviamente, AC es igual a la suma de las otras dos distancias (Fig. l.2). Las ecuaciones
•
�
-=-:'"
segunda y tercera resultan con facilidad de la primera. Para probar la segunda ecuación,
se suma -BC en ambos lados de la primera y luego se usa la condición de que -BC
=
CB. Así,
•
AB
Figura 1.2
=
AC - BC
•
A
=
AC
+
•
B
CB.
•
e
La recta numérica real
Un concepto fundamental en geometría analítica es la representación de todos los nú­
meros reales mediante puntos en una recta dirigida. Debe advertirse que los números
reales están formados por los números positivos, los negativos y el cero.
Para establecer la reptesentación deseada, primero se escoge en una recta una direc­
ción como la positiva (a la derecha en la Fig. 1.3) Y se elige un punto O de la recta, al
cual se le llama origen, para representar el número cero. A continuación se marcan pun­
tos a las distancias 1, 2, 3, Y así sucesivamente, unidades a la derecha del origen. En­
tonces, los puntos así localizados representan los números 1, 2, 3, etcétera. De l a misma
manera,.se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los números -1,
-2, -3, Y así sucesivamente. Ya se han asignado 'puntos a los enteros positivos, a los
enteros negativos y al entero cero. Los números cuyo valor esté entre dos enteros conse­
cutivos tienen sus puntos correspondientes entre los puritos asociados con dichos ente­
ros. De este modo, el número 21/4 corresponde al punto que se halla 21/4 unidades a la
derecha del origen. En general, cualquier número positivo p se representa con el punto
que se encuentra p unidades a la derecha del origen, y un número negativo q se repre­
senta con el punto q unidades a l a izquierda del origen. Además, se supone que todo
número real corresponde a un punto en la recta y, recíprocamente, que todo punto en la
recta corresponde a un número reaL Esta relación del conjunto de los números reales y
el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno.
4
CAPíTULO 1
Figura 1.3
I
-4
I
3
-
I
-2
I
-1
o
I
o
I
1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
I
2
I
3
4
La recta dirigida de la figura 1.3, cuyos puntos corresponden a los números reales,
se llama recta numérica real. El número que corresponde a un punto sobre la recta se
llama coordenada del punto. Puesto que los números positivos corresponden a puntos
en la dirección escogida como positiva a partir del origen y los números negativos co­
rresponden a puntos en la dirección opuesta o negativa a partir del origen, entonces las
coordenadas de los puntos sobre una recta numérica se consideran como distancias diri­
gidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablará de un punto como
si fuera un número y viceversa. Por ejemplo, podría decirse "el punto 5" en lugar de "el
número 5", y "el número 5" en lugar de "el punto 5".
Coordenadas rectangulares
Una vez obtenida una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre una recta y el
sistema de los números reales, se desarrolla un esquema para poner en correspondencia
uno a uno los puntos de un plano con un conjunto de pares ordenados de los números
reales.
en que están colocados
y (x', y') son iguales si,
y
Observe que (3, 2) ;t= (2, 3) Y ( l , 1) (x, y) si, y sólo si, x 1 Y Y = l.
Se trazan una recta horizontal y una recta vertical que se crucen en el origen O (Fig.
1.4). La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. El eje x y el eje y,
considerados juntos, se llaman ejes coordenados, y el plano determinado por los ejes
coordenados se llama plano coordenado. El eje x, que usualmente se traza de manera
horizontal, se llama eje horizontal y el eje y, eje vertical. De cada eje coordenado se
hace una escala numérica real con una unidad de longitud adecuada, donde el origen sea
el punto cero. Se escoge la dirección positiva hacia la derecha del eje x y hacia arriba en
el eje y, como lo indican las flechas de la figura.
Es muy importante que los ejes coordenados tengan denominación. El estudiante debe
acostumbrarse inmediatamente a hacerlo; bastará una flecha en la dirección positiva de
cada eje. Sin embargo, en este caso también deberá indicarse el nombre x o y de cada
coordenada, como se hace en la figura 1.4 y en el resto del libro.
Si P es un punto en el plano coordenado, las distancias del punto a los ejes
coordenados se definen como distancias dirigidas. Esto es, la distancia al eje y es
=
=
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
5
positiva si P se encuentra a la derecha del eje y, y negativa si P está a la izquierda, y la
distancia al eje x es positiva si P está arriba del eje x, y negativa si P se. halla debajo del
eje x. Cada punto P del plano está asociado con un par de números llamados coordena­
das. Las coordenadas se definen en función de las distancias perpendiculares de los
ejes al punto.
y
4
3
11
1
2
(-, +)
(+, +)
1
-4
-2
-3
-1
o
1
2
3
4
x
-1
(
-,
-)
111
-2
-3
(+, -)
IV
-4
FIgura 1.4
•
Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se denominará (x, y), en ese or­
den; la abscÍsa siempl'e se coloca primero. Por ello, las coordenadas de un punto consti­
tuyen un par ordenado de números. Aunque un par de coordenadas determina un punto,
a menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto.
Se supone que a cualquier par de números reales (coordenadas) le corresponde un
punto definido. Recíprocamente, St'< supone que a cada punto del plano le correspon­
de un par definido de coordenadas. Esta relación de puntos sobre un plano y pares de
números reales se llama correspondencia uno a uno. El mecanismo descrito para obte­
ner esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares.
CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES
6
Un punto de coordenadas dadas se localiza midiendo las distancias adecuadas a
partir de los ejes y marcando ese punto. Por ejemplo, si las coordenadas de un punto
son ( 4, 3), la abscisa 4 significa que el punto está 4 unidades a la izquierda del eje y
y la ordenada 3 (con el signo más sobreentendido) significa que el punto se halla 3 uni­
dades sobre el eje x. En consecuencia, se llegará al punto yendo desde el origen 4
unidades a la izquierda sobre el eje x y después 3 unidades hacia arriba paralelamente
al eje y (Fig. 1.5).
-
-
y
4
-r
(-4,3)
•
2 ·-
1+
,
-3
-4
Figura
,
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,
,
-2
,
o
-1
1
,
,
2
1
,
,
4
3
x
-1 .
1.5
•
De manera análoga, si se desea localizar los puntos (5, -3), habrá que moverse 5
unidades a la derecha del origen sobre el eje x y después 3 unidades hacia abajo (pues la
ordenada es negativa), paralelamente al eje y. Se habrá localizado así el punto deseado.
En la figura 1.6 se tienen algunas coordenadas y se han localizado los puntos co­
rrespondientes.
y
·
•o
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Figura 1.6
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x
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
7
Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que
se numeran del 1 al IV en la figura 1.4. Las coordenadas de un punto en el primer
cuadrante son positivas, lo cual se indica con (+, +) en la figura. Se indican de manera
análoga los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes.
Cuando las coordenadas de un punto no son enteros, se hará una aproximación para
localizar el punto sobre la gráfica. Por ejemplo, para dibujar los puntos A(1t, .fi) y B=
(-./5, 31t), localizemos el punto A e n la gráfica en una vecindad de (3. 1, 1.4)
análogamente el punto B cerca de (-2.2, 9.4) si se desea una mejor exactitud, la escala
de ejes tiene que ser incrementada con más precisión.
DistancIa entre dos puntos
En muchos problemas se requiere conocer la distancia entre dos puntos del plano
coordenado. La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de
recta que los U1�e, se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un seg­
mento de recta (o una recta) se clasificará como horizontal, vertical o inclinado de­
pendiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningún eje. Con el fin de
deducir fórmulas adecuadas para encontrar la longitud de estos tipos de segmentos, se
usará el concepto de segmentos dirigidos.
Sean PJx¡, y) y P2(X 2, y) dos puntos sobre una recta horizontal, y sea A el punto
donde la recta corta el eje y (Fig. 1.7). Por el teorema 1.1, se tiene que
AP¡
+
p¡p2 = AP2
•
=X2-XI'
.
De manera análoga, para la distancia vertical Q1 Q2' se tiene
.
-=--='
. QIQ2 = QIB + BQ2
= BQ2 - BQI
= Y2 - YI'
•
Por consiguiente, la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto
sobre una recta horizontal es igual a la abscisa del segundo punto menos la abscisa del
primero. La distancia es positiva o negativa dependiendo de si el segundo punto se en­
cuentra a la derecha o a la izquierda del primero. Se puede hacer un enunciado corres­
pondiente con respecto a un segmento vertical.
En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su
dirección, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas.
La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del
punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda.
La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada
del punto superior menos la ordenada del punto inferior.
CAPíTULO 1
8
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•
y
A(O. y)
x
o
B(x. O)
Q,(x. y,)
FIgura 1.7
•
Si no se sabe cuál punto está a la derecha del otro, se puede usar la expresión equiva­
lente
IpI�1 = IXI - .1:21
V(XI- X2) 2
(1.1)
=
para la distancia no dirigida entre PI(XI, y) y P2(X2, y). De manera análoga,
IQIQ21 = IY I - )'21 = V(YI - )'2)2
es la distancia entre Q¡(x, YI) y Q2(X, yJ
Estas reglas se aplican en la figura 1.8 para encontrar las longitudes de los seg­
mentos de recta.
IAB 1 = 5 - 1 = 4,
IEFI = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5.
ICDI = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8,
ICHI = -2 (-5) = -2 + 5 = 3.
-
y
C(-2.4)
D(6,4)
F(-3, 1)
t-
----
;t-
--;::
-
A(l,O)
O
-
B(5,O)
-.-
•
--
.�
-
x
H(3. -2)
E(-3. -4)
G(3. -5)
Figura 1.8
.
A continuación se consideran los puntos
recta inclinada. Trace una recta que pase por
P,(xl, y) y P/x2, y) que determinan una
PI y sea paralela al eje x, y una recta que
1.1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
9
pase por P2 y sea paralela al eje y (Fig. 1.9). Estas dos rectas se interseean en el punto
R, cuya abscisa es x2 y cuya ordenada es YI• Por tanto,
y
y
d
FIgura
x
o
1.9
Por el teorema de Pitágoras,
(X2 - XI)2 + (Y2 - Ylf.
Si d denota la longitud del segmento Pl2, se obtiene la fórmula
IPIP212
=
(1.2)
Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las
abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas y se obtiene la raíz cuadrada.
•
Al emplear la fórmula de la distancia, uno de los puntos se puede representar con
(xI' y) y el otro con (x2' y2). Esto se debe a que las dos diferencias están elevadas al
cuadrado. El cuadrado de la diferencia de los dos números no cambia cuando se invier­
te el orden de sustracción.
•
NOTA HISTORICA
Pitágoras (c. 520 A.
C.)
integró una escuela para estudiar .números, música, astrono­
mía y geometría. En la escuela se admitían indistintamente hombres y muj eres, y se
practicaba una extraña mezcla de religión, misticismo, política y matemáticas. El teo­
rema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los lados perpendicu­
lares de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto es, si a y
b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa,
entonces a2 + b2
=
c2•
CAPíTULO 1
10
Ejemplo 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Encuentre las longitudes de los lados del triángulo (Fig. 1.10) con vértices
A(-2, -3), B(6, 1) Y q-2, 5).
y
C(-2,5) T"..
:>8(6,1)
x
o
•
Figura
A(-2, -3)
1.10
Solución
Las abscisas de
A y C son iguales y, por tanto, el lado AC es vertical. La lon­
gitud del lado vertical es la diferencia de las ordenadas. Los otros lados son segmentos
inclinados y sus longitudes se obtienen con la fórlllula de la distancia. Se tiene, entonces,
IACI
IAB I
IBCI
=
=
=
5 (-3) 5 + 3 8,
Y(6 + 2)2 + (l + 3f v80
Y(6 + 2? + (1 - 5)2 v80
=
=
-
=
=
=
=
4Vs,
4Vs.
Las longitudes de los lados muestran que el triángulo es isósceles.
•
Ejercicios
1. Localice los puntos A(tancias dirigidas
4, O), B(3, O) Y q5, O). A
.
--:::f-:..
AB, AC, BC, CB,
-7-:::-
�
�
CA y
BA.
continuación encuentre las dis-
A, B Y C que se señalan en la �ráfica de la
1.11. A continuación encuentre las distancias I AB 1, lAC I y I CB I .
2. Localice las coordenadas de los puntos
Figura
y
5
4
3
A.
2
1
O
Figura
l. I I
1
•
C
3
4
x
11
EJERCICIOS
3. Localice los puntos A(-2, -3), B(-2, O) Y C(-2, 4), Y verifique las siguientes
ecuaciones mediante sustituciQnes numéricas.
""7"
c
A"""
+ C¡j
=
AB ,
BA + AC
=
BC,
A-;-;::¡j
+
BC
=
AC.
En los ejercicios 4 a 12 localice los pares de puntos y encuente la distancia entre ellos.
4. (3,1),(7, 4)
5. (4.137,-2.394),(-8.419,2.843)
6. (2,3),(-1, O)
7.
8. (0,4),(-3,O)
9. (-1, .Ji), (3,-.Ji)
,
1O. (6,3),(-1,-1)
(13,--4), (O,O)
11. (3,2),(-5,1)
12. (-3,-3),(2,2)
En los ejercicios 13 a 16 dibuje el triángulo con los vértices dados y encuentre las longi- .
tudes de los lados.
13. A(-I,1), B(-I,4),C(3,4)
14.
15. A(O,O),B(5,-2),C(-3,3)
16. A(O,-3),B(3,O),C(0,--4)
A(2,-1),B(4,2),C(5, O)
En los ejercicios 17 a 20 dibuje el triángulo con los vértices dados y muestre que el trián­
gulo es isósceles.
17. A(6,2),B(2,-3),CC-2,2)
18. A(21t,2),B(O,-1),C(-21t ,2)
19. A(2.l 07,-1.549),B(2.107,6.743),C(9.167,2.597)
20. A(-2,-3),B(4,3),C(-3,4)
En los ejercicios 21 a 24, dibuje el triángulo con los vértices dados y muestre que se
trata de un triángulo rectángulo. Esto es, que el cuadrado del lado mayor es igual a la
suma de los cuadrados de los lados restantes.
21. A(I,3),B( l 0, 5),C(2, 1)
22. A(- l , 1),B(6, -2),C(4, 3)
23. A(O, 1),B(I, l/z), C(2, 5/z )
24. A(5,-2),B(l ,1),C(7,9)
25. Muestre que los puntos A(-2, O),B(2,O) Y C(O, 2-J3) son los vértices de un trián­
gulo equilátero.
26. Muestre que los puntos A(--J3, 1), B(2-J3,-2) Y C(2-J3,4) son los vértices de un
triángulo equilátero.
27. Muestre que los puntos A(I,-1),B(5, 2),C(2, 6) Y D(-2, 3) son lados iguales del
cuadrilátero ABCD.
28. Determine si los puntos (-5, 6),(2, 5) Y (1, -2) tienen la misma distancia con res­
pecto a (-2,2).
29. Justifique que los puntos A(-2, 7),B(5, 4),C(-I, -10) Y D(-8, -7) son los vértices
del rectángulo ABCD.
CAPíTULO J
12
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Determine, usando la fórmula de la distancia, si los puntos de los ejercicios 30 a 33
están en una recta.
30. (3, 3),(0, 1),(9, 7)
31. (8.104,0.478), (-2.502, 3.766), (2.801, 2.122)
33. (-2, 2) (5, -2), (-11, 2)
32. (-3, 1), (1, 3), (10, 8)
-
,
34. Si (x, 4) equidista de (5, -2)
Y
(3, 4), encuentre x.
35. Si (-3, y) equidista de (2, 6)
Y
(7, -2), encuentre y.
36. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4, -2)
37. Encuentre el punto sobre el eje x que equidista de (-2, 5)
Y
Y
(3, 1).
(4, 1).
38. El área del triángulo ABC se puede encontrar sumando las áreas de los trapecios
DECA y EFBC y después restando el área de DFBA, como en la figura 1.12. Re­
cuerde que el área de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los lados para­
lelos por la altura. Muestre que el área S del triángulo ABC es
y
S
=
•
;1 [ x¡( Y2
- Y3) - Y¡( X2 - X3) + (X2Y3 - X3 Y2)JI,
que esto es igual a la mitad del valor absoluto del determinante
X¡
X2
x3
Y¡
Y2
Y3
1
1
1
y
Figura 1.12
1.2
o
D
E
F
x
INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
La inclinación de una recta es un concepto de uso extendido en cálculo y en otras áreas
de las matemáticas. Con respecto a este concepto, se da la siguiente definición.
1.2
INCLINACiÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
13
De acuerdo con esta definición, la inclinación e de una recta es tal que
00 < e < 1800,
O � e < n.
o, en radianes,
En la figura 1.13, la inclinación de la recta L se indica mediante flechas curvadas.
MX es el lado inicial y ML es el lado terminal.
y
y
L
L
o
M
x
o
(J
M
x
Figura 1.13
Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva, pues la inclinación
es un ángulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa.
Sin embargo, las rectas verticales no tienen pendiente, pues 9Qo no tíene tangente.
Si se conoce la inclinación de una recta no vertical, la pendiente se puede determi­
nar usando una tabla de funciones trigonométricas. Recíprocamente, si se conoce la pen­
diente de una recta, se puede determinar su inclinación. Sin embargo, en la mayoría de
los problemas conviene más trabajar con la pendiente de una recta que con su inclinación.
Ejemplo 1
Dibuje una recta que pase por P(2, 2) con inclinación de 35°.
Se traza una recta que pase por P y que forme un ángulo de 35° con la direc­
ción x positiva, como se muestra en la figura 1.14. La figura muestra también una recta
que pasa por (--4, O) con inclinación de 135°. •
Solución
14
CAPiTULO 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
x
Figura 1.14
Ejemplo 2
Dibuje una recta que pase por el punto P(-2, 2) con pendiente _2/3.
Solución Hay que moverse tres unidades a la izquierda de P y después 2 unidades ha­
cia arriba. La recta que pasa por el punto así localizado y por el punto dado P, tiene
claramente la pendiente que se busca (Fig. 1.15). •
y
(- 5, 4)
P(-2,2)
3
.-2
x
Figura 1.15
Las definiciones de inclinación y pendiente llevan de inmediato a un teorema acer­
ca de rectas paralelas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, sus inclinaciones son
iguales. Por geometría se sabe que son paralelas. Recíprocamente, si dos rectas no ver­
ticales son paralelas, tendrán inclinaciones iguales y, por tanto, pendientes iguales.
Teorema 1.2
Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales.
Si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre una recta, entonces la pendiente
de la recta se puede encontrar a partir de las coordenadas dadas. Se deducirá a conti­
nuación una fórmula para ello.
Sean PI(XI ' YI) y P2(X2, y) dos puntos dados, y denote con m la pendiente. Enton­
ces, con referencia a la figura 1.16, se tiene
1.2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
15
.
m =
tan (j
RP�
=
=
PIR
Y2
-
YI
x2 - xI
y
(J
x
o
Figura 1.16
En la figura 1.17 la recta se inclina hacia la izquierda. Las cantidades Y¡ -Y2 y x2 - x¡ son
positivas y los ángulos e y l/> son suplementarios. En consecuencia,
YI - Y2
x2 - xl
Por tanto,
m
=
tan
=
(j
tan 4>
_
=
=
-tan (j.
YI - Y2
X2 - Xl
=
Y2 - YI
y
P2(X2, Y2)
(J
Figura 1.17
o
x
Por consiguiente, las pendientes de las rectas se detenninan de la misma manera, sin
importar si están inclinadas hacia la izquierda o hacia la derecha.
CAPíTULO 1
16
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Teorema 1.3
La pendiente m de una re.c:;ta que pasa por dos puntos dados
PJx " YI) y P/x2, Y2)
es
igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre l a diferencia de las abscisas toma­
das en el mismo orden; esto es,
m =
Y2
X2
-
YI
XI
con
xI
x2 --+"
Con esta fórmula se obtiene la pendiente si los dos puntos se hallan en una recta
inclinada u horizontal. Si la recta es vertical, el denominador de la fórmula se hace cero,
lo cual se relaciona con el hecho de que la pen"diente
vertical. Se observa, además, que cualquiera de los dos puntos se puede representar con
PI (xl'Y j, y el otro cm Plx2,y.). ya que
Y2
- Y¡
x2 - x¡
_
Y ¡ - Y2
x¡ - x2
•
Ejemplo 3 Dados los puntos A(-I, -1), B(5, O), C(4 , 3) y D(-2, 2) muestre que ABCD
es un paralelogramo.
Solución Por las pendientes de los lados se determina si la figura es un paralelogramo.
.
PendIente de
Pendiente de
AB
=
0-(·-1)
5
(
1)
CD =
_
_
-3
2
-2
_
4
=
=
l
.
6' PendIente de BC
1'
6
.
PendIente de
=
DA =
3-0
5
4
_
=
-3.
2-(-1)
(-1)
-2
_
=
-3
.
Los lados opuestos tienen pendientes iguales y, por tanto, ABCD es un paralelogramo.
•
,
Angulo entre dos rectas
Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos iguales, y un ángulo de un par
es el suplemento de un ángulo del otro par. Se mostrará cómo encontrar una medida de
cada ángulo en función'de las pendientes de las rectas. Si se observa la figura 1. 18 y se
recuerda que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interio­
res no adyacentes a él, se verá que
<p + (J¡
=
(J2
o
<p
=
(J2 - (J¡,
Mediante la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos, se tiene que
tan <p
Si m2
=
tan 92 y mI
=
=
tan«(J2 - (J¡)
=
tan (J2 - tan (J¡
1 + tan (J ¡ ta n (J2'
tan 91, se tiene entonces que
1,2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
17
y
x
o
Figura 1.18
donde m2 es la pendiente del lado terminal y mi es la pendiente del lado inicial, mientras
que cp se mide en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj.
El ángulo lfI es el suplemento de e y, por tanto,
tan !/J
=
-
tan <p
=
m¡
m2
,
1 + m¡m2
-
Esta fórmula para tan lfI es la misma que para tan cp, excepto que los términos del
numerador están invertidos. Sin embargo, se observa en el diagrama que el lado terminal
de lfI es el lado inicial de cp y el lado inicial de lfI es el lado terminal de cp, como se indica
con las flechas en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj. Entonces, el
numerador para tan lfI es igual a la pendiente del lado terminal de lfI menos la pendiente
del lado inicial de 1fI. Lo mismo vale para tan cp; esto es, el numerador de tan cp es igual a
la pendiente del lado terminal de cp menos la p endiente del lado inicial
de !/J. En consecuencia, en función de las pendientes de los lados inicial y terminal, la
tangente de cualquiera de' los ángulos se puede encontrar mediante la misma regla. Esta
conclusión se enuncia como un teorema.
•
Teorema 1.4
Si rp es un ángulo, medido en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, en­
tre dos rectas, entonces
(1.3)
donde m 2 es la pendiente del lado terminal y m i es la pendiente del lado inicial.
Esta fórmula no es aplicable cuando alguna de las rectas es vertical, pues una recta
vertical no tiene pendiente. Para este caso, el problema sería encontrar el ángulo, o una
CAPíTULO 1
18
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
función trigonométrica del ángulo, que formara una recta de pendiente conocida con la
vertical. Por ello, no se necesita otra fórmula.
Para dos rectas inclinadas cualesquiera que no sean perpendiculares, la ecuación (1.3)
dará un número definido como valor de tan fIJ. De manera recíproca, si las pendientes de
las rectas son tales que la fórmula da un valor definido, las rectas no pueden ser perpen­
diculares, pues no existe la tangente de un ángulo recto. Como la fórmula sólo da un
valor cuando el denominador es igual a cero, parece que las rectas son perpendiculares
cuando, y sólo cuando, 1 + ml m2 O o
=
1
Observe, además, que si a2 y
perpendiculares,entonces
al
son las inclinaciones de las rectas inclinadas que son
or
en ambos casos, tan a2
=
-cot al y m2 = l /m i
-
'
Teorema ' .5
Dos rectas inclinadas son perpendiculares si, y sólo si, la pendiente de una es el recípro­
co negativo de la pendiente de la otra.
Como es natural, la perpendicularidad entre dos rectas se da si una es paralela al eje
x y la otra es paralela al eje y. La pendiente de la recta paralela al eje x es cero, pero la
recta paralela al eje y no tiene pendiente.
Ecuentre las tangentes de los ángulos de un triángulo cuyos vértices son
A(3, -2), B(-5, 8) Y C(4, 5). A continuación consulte la tabla 1 del apéndice, o use una
calculadora para aproximar cada ángulo al grado más cercano.
Ejemplo 4
Solución
Primero se encuentra la pendiente de cada lado. Así, a partir de la figura 1.19,
5
-2 - 8
- '
Pendiente de AB
- (-5)
3
4
5
8 - -1
----:
Pendiente de BC
-5::----:­
-4
3'
- 5
-2
Pendiente de AC
4
7.
3 =
=
=
=
=
Se sustituye ahora en la ecuación (1.3) y se obtiene
tan
A
-� -
=
1+
7
-4(7)
(5)
33
31
=
1.06,
A
=
47 .
°
1 .2 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA
19
y
\
B(-5,8)
m=- ;
C(4,5)
5
m=-4
m=7
x
o
A(3, -2)
Figura 1.19
tan B
tan e
=
=
-! - (-�)
11
0
.647,
17
1 + (-D(-�)
22
7 - (-�)
-- 4 -5.5,
1 + 7 ( - !)
=
=
B
e
=
=
33°.
100°.
•
Ejemplo 5 La sección transversal de una cabaña en forma de A es un triángulo isósceles.
Si la pendiente de uno de los lados es 1.8 y su altura es de 19 pies, ¿cuál es el ancho de
la cabaña?
Solución
Si los ejes se cplocan como en la figura 1.20,
y
(O, 19)
m = 1.8
Figura 1.20
(x, O)
o
x
20
CAPíTULO)
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
entonces
19 - O
O -x
1.8
19
-x
1.8
x=
- 19
1.8
95
-9'
Por consiguiente, el ancho de la cabaña es de 2(95/9)
=
211/9 pies.
•
Ejemplo 6
Una cámara de televisión se coloca a lo largo de la recta situada en la línea
de 40 yardas en un partido de.fútbol americano. Si la cámara se encuentra a 20 yardas .de
la banda, ¿qué ángulo debe describir para poder cubrir todo el campo de juego, inclu­
yendo las zonas finales, que se encuentran a 10 yardas de profundidad?
Coloque la cámara en el origen de modo que pueda cubrir la acción desde la
recta que pasa por (70, 20) hasta la recta que pasa por (-50, 20) . Si rp es el ángulo en
cuestión, medido en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, entonces, por
la figura 1.21, se verá que
Solución
tan <jJ
=
2
2
-5 - 7
24
31 '
2 . -2
1 - 5 7
<jJ= 142°.
y
(70, 20)
(-50, 20)
x
Figura 1.2 1
La cámara debe describir un ángulo de 142°.
•
Ejercicios
En los ejercicios l a 6, dibuje una recta que pase por el punto dado con la inclinación
indicada 8.
EJERCICIOS
21
1. (2,3), 8= 30°
2. (-2,1), 8=45°
3. (4, -3), 8= 150°
4. (-3,- 1),8=60°
5. (.J5,-4), 8=0°
6. (O, O), 8=75°
En los ejercicios 7 a 12,dibuje una recta que pase por el punto dado con la pendiente dada m.
7. (2, 2),m =3
8. (- 1,3),m= 1
10. (2,-2),m =112
1 1. (4, O), m =213
9. (.J3, 1),m= - 1
12. (-3, 3),m = 3/4
13. Una tabla plana se apoya contra un muro. El lado superior está a 6 metros sobre el
piso y el lado inferior se halla a 2 m de distancia del muro. ¿Cuál es la pendiente
de la tabla?
14. Una escalera de 3 m de largo se apoya contra un muro, tocándolo a 2.4 m sobre el
piso. ¿Cuál es la pendiente de la escalera? ¿Es posible que una persona de 1.80 m
de estatura pase bajo la escalera a 0.3 m del muro? ¿Es posible que la misma per­
sona pase bajo la escalera a 0.6 m del muro?
15. Una sección transversal de una cabaña de 5.5 m de ancho es un triángulo isósceles.
Si la pendiente de un lado es 1.5,encuentre la altura de la cabaña.
En los ejercicios 16 a 21 encuentre la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos.
Encuentre además la inclinación, hasta el grado más cercano.
(.J7, 6),(4, O)
18. (3,-7), (4,8)
16. (2,3), (3,7)
17.
19. (-9,0),(3,8 1)
20. (1 1.7 142,4.00 15), (-3.8014, -2.8 1 17)
2 1. (-2,8), (4,-3)
Muestre que cada uno de los cuatro puntos de los ejercicios 22 a 25 son vértices del
paralelogramo ABCD.
22. A(3, O), B(7, O), C(5,3), D(l, 3)
23. A(-2,3), B(6,1), C(5, -2), D(-3, O)
24. A(-I, -2), B(3, -6), C( l l -1), D(7,3)
,
25. A(O, O), B(6, 3), C(9, 9), D(3, 6)
Verifique que cada triángulo con los puntos dados como vértices en los ejercicios 26 a
3 1 s.ea un triángulo rectángulo, pues la pendiente de un lado es el recíproco negativo de
la pendiente de otro lado.
26. (4,-4), (4,4), (O, O)
27. (- 1,2),(3,-6), (3,4)
28. (7, 1), (o., -2), (5,-4)
29. (2,5),(-5,7), (-2, -9)
30. ( 1,1),(4, - 1), (3,4)
3L
(- 1, -1), (16, -1), (O, 3)
Muestre que los cuatro puntos de los ejercicios 32 a 35 son vértices del rectángulo ABCD.
CAPíTULO J
22
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
32. A(-4, 3), B(O, -2), C(5, 2), D(l, 7)
33. A(2, 2), B(7, -3), C(10, O), D(5, 5)
34. A(5, -1), B(7, 6), C(O, 8), D(-2, 1)
35. A(5, 7), B(l, 1), C(4, -1), D(8, 5)
Usando pendientes, determine cuál de los conjuntos de tres puntos de los ejercicios 36 a
39 están sobre una recta.
36. (O, -2), (3, O), (9, 4)
37. (-1, 2), (2, 1), (5, O)
38. (O, 1), (9, 6), (-4, -1)
39.
(-10, 2), (1, -2), (6, -5)
En los ejercicios 40 a 43 encuentre las tangentes de los ángulos en cada triángulo ABe.
Encuentre cada ángulo hasta el grado más próximo.
40. A(I, 1), B(5, 2), C(3, 5)
41. A(-I, 1), B(2, -1), C(3, 5)
42. A(2, 2), B(-4, -1), C(6, -5)
43. A(3, 8), B(-4, -3), C(6, -1)
44. La recta que pasa por los puntos (3, 4) Y (-5, O) interseca la recta que pasa por
(O, O) Y (-5, O). Encuentre los ángul{)s de intersección.
45. Dos rectas que pasan por (3, 2) forman un ángulo de 45°. Si la pendiente de una
de las rectas es 1, encuentre la pendiente de la otra recta (hay dos soluciones).
46. ¿Qué ángulo agudo forma con una recta vertical una pendiente -3h?
En los ejercicios 47 a 52 encuentre las pendientes de las rectas que pasan por los dos
pares de puntos. Indique después cuáles de las rectas son paralelas, perpendiculares o
se intersecan oblicuamente.
47. (1, -1), (-5, -5); (1, -2), (7, 2)
48. (1, -1), (-4, -4); (1, 1), (4, -4)
49. (1, 8), (-3, -4); (-1, 8), (O, 10)
50. (2, - 3), (0,2); (1, O), (6, 2)
51. (6, 5), (11,9) ; (2, 5), (12, 9)
52. (-6, -4), (22, 8); (-5, 7), (7, -8)
53. Una sección transversal de una cabaña de 6 m de ancho es un triángulo isósceles. Si
la pendiente de un lado es de 1.75 Y hay un segundo piso a 2.4 m sobre la planta
baja, ¿cuál es el ancho del segundo piso?
54. Una cámara de televisión se coloca a 1° m de la línea lateral de una cancha de ba­
loncesto de 28.65 m de largo. La cámara se encuentra a 2.4 m del centro. ¿Qué án­
gulo debe abarcar para captar toda la acción de la cancha?
55. Se tiene un puente como en la figura 1.22. Encuentre las pendientes e inclinaciones
de las secciones AB y Be.
1.3
23
DIVISiÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
y
A
12'
18'
16'
12'
B
16'
12'
12'
12'
12'
12'
12'
'-----'--- ----"'----"------' ----+ x
FIgura 1.22
1.3
,
DIVISION DE UN SEGMENTO DE RECTA
En esta sección se muestra cómo encontrar las coordenadas de un punto que divide un
segmento de recta en dos partes que tienen una relación específica. Primero se encuen­
tran fónnulas para las coordenadas de un punto que se halla a la mitad entre dos puntos
de coordenadas dadas.
Sean A(xl, y) y B(x2, y) los extremos de un segmento de recta, y sea P(x, y) el
punto medio de AB. Por triángulos semejantes (Fig. 1.22), se tiene que
•
MP
NB
AM
AN
AP
AB
•
.
1
2'
-
•
y
P(x, y ) �
x
o
Figura 1.23
Por lo cual
AM x - xI
AN x2 - xI
Despejando x y y se obtiene
•
_
1
2
•
y
MP
::=:NB�'
Y - YI
Y2 - YI
-
1
2'
CAPíT ULO J
24
x
=
xI
<:ONCEPTOS F UNDAMENTALES
= YI + Y2 .
Y
2
y
(1.4)
Teorema 1.6
La abscisa del punto medio de un segmento de recta es la mitad de la suma de las abscisas
de los extremos; la ordenada es la mitad de la suma de las ordenadas .
•
Este teorema se puede generalizar haciendo que P(x, y) sea cualquier punto de división de la recta que pasa por A y B. Si la razón de AP a AB es un número r en lugar de
112, entonces
AP
=:=:.
AB
_
x -x =
I
r
X2 - XI
AP
y
AB
•
y
YI =
r.
Y2 - YI
-
Estas ecuaciones, al despejar x y y, dan
x = XI + r(x2 - XI),
y
= YI + r(h - YI)'
( 1 .5)
Debe quedar claro que las fórmulas (1.5) se reducen a las fórmulas del punto medio
(1.4) sir=lh.
Quizá sería mejor que el estudiante recordara cómo deducir las fórmulas (1.5) usan­
do triángulos semejantes en lugar de memorizarlas. Los estudiantes tendrán muchas opor­
tunidades, en éste y en posteriores cursos de matemáticas, de usar triángulos semejantes
en la solución de problemas. Hay comparativamente pocas ocasiones de usar las fórmu­
las (1.5).
Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une
A(3, -4) Y B(7, 2).
Solución
Aplicando las fórmulas del punto medio (I.4), se tiene que
XI
=
x
; X2 = ; 7 =
3
5,
y
= YI + h
2
_
-4
+
2
2
-1.
Por tanto, las coordenadas del punto medio son (5, -1), como se muestra en la figura
1.24. •
J.3 DIVISiÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
25
y
8(7.2)
x
o
A(3. -4)
Figura 1.24
Ejemplo 2 Un extremo de un segmento de recta es A(6, 4) Y el
mento es P(-2, 9). Encuentre las coordenadas del otro extremo.
punto medio del seg­
(x2, y) las coordenadas desconocidas. Entonces,
se reemplaza x por -2, y por 9, XI por 6 y YI por 4, y se obtiene
Solución
-2
14).
=
x2
Estas ecuaciones dan
son (-10,
en las fórmulas (lA)
Sean
•
=
6 + x2
2
-10 Y
Ejemplo 3 Encuentre los dos
-4) Y B(6, 11).
y
Y2 =
9
=
4 + Y2
2
.
14. Por tanto, las coordenadas que se buscan
puntos que trisecan el segmento de recta que une A(-3,
•
Solución Sean PI(x, y) y P2(x, y) los
las (1.5) para encontrar PI y obtener
x
Y
XI + r(x2 - XI)
=
YI + r(Y2 - YI)
=
A continuación se usa r
X
Y
=
=
-3 +
�(6 +
3)
=
I
-4 + 3( 1 1 + 4)
YI + r(Y2 - YI)
=
=
2
-3 + 3(6 + 3)
2
- 4 + 3(1 1 + 4)
Por tanto, las coordenadas de los puntos de trisección son
muestra en la figura
1.25.
•
=
=
en las fónnu­
O,
1.
2/3 en las fónnulas (1.5) para encontrar
XI + r(x2 - XI)
=
=
=
r = 113
puntos de trisección. Se usa
P2
y obtener
3,
=
6.
(O, 1) Y (3,
6), como se
26
CAPíTULO
1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
x
A (-3, -4)
Figura .1.25
En las fórmulas ( l .5), el punto P se halla entre A y B si, y sólo si, O < r < l. Sin
embargo, si P es un punto sobre el segmento AB extendido más allá de B, entonces la
longitud del segmento AP es mayor que la longitud de AB y r es mayor que l. Recíprocamente, si r es mayor que 1, las fórmulas (1.5) darán las coordenadas de un punto
sobre la extensión del segmento más allá de B. Para encontrar un punto en el segmento
extendido en la otra dirección (más allá de A), es posible usar las fórmulas (1.5) con r
negativo o bien utilizar un argumento de triángulos semejantes análogo al usado en la
deducción de (1.5).
•
•
Ejemplo 4
Un punto P(x, y) está sobre la recta que pasa por A (--4, 4) Y B(5, 2). En­
cuentre (a) las coordenadas de P si el segmento AB se extendió de B a P de manera que
P está alejado de A el doble que de B, y (b) las coordenadas de P si AB se extiende de A
a P de manera que P se encuentra alejado de B el triple que de A.
(a) Como AP 2BP, resulta que BP = AB (Fig. 1.26). Por lo tanto, la razón
de AP a AB es 2. En consecuencia, se usa r = 2 en las fórmulas ( l.5) y se escribe
Solución
=
.
x =
-4
+
2(5
+
4)
=
14,
y =
4
+
2(2
-
4)
= O.
Las coordenadas que se buscan son (14, O).
y
B (5,2)
A(-4,4)
Figura 1.26
o
P(x, y)
x
(b) Primero se esboza una gráfica (Fig. 1.27) de manera que se puedan usar triángulos
semejantes. En la figura se observa que
J.3 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DE RECTA
27
-x
5 - x
1
-4
PA
pE
•
3(4 + x)
PA
::;:;P=:
B ::
4-Y
2 -Y
=
3(4
- y)
Y
=
=
5
-8. 5,
=
-
-
x
=
x
y
3
l
3
2
5.
-Y
Por otro lado, se podrían usar las fórmulas (1.5) con
x
y
=
-4 +
y
=
(-DC5 +
4)
=
4 + (-�)(2 -4)
=
r =
_1/2 para obtener
-8.5
5.
y
P(x, y)
B (5,2)
A ( 4 ,4)
x
o
Figura 1.27
De cualquier manera, las coordenadas de
•
P son (-8.5,
5).
•
El segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto me­
dio del lado opuesto se llama mediana del triángulo. La figura 1.28 muestra un trián­
Ejemplo 5
gulo con vértices A(4, -4), B(lO, 4), C(2, 6), Y los respectivos puntos medios de los
lados opuestos D(6, 5) , E(3, 1), F(7, O). Encuentre el punto de cada mediana que se
halla dos tercios de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto.
2/3 para el punto de división en las fórmulas (1.5) se obtiene ,
para las medianas AD, BE Y CF, respectivamente,
Solución
Usando
x
=
X =
X =
r
=
4 + 23(6 - 4)
=
10 + �(3 - 10)
3
2 + �(7
- 2)
3
=
�
3'
=
�
�
3'
3 '
y
Y
Y
=
=
=
-4 + ;(5 + 4)
4 +
6+
;0 - 4)
;( 0 - 6)
=
=
=
2,
2,
2.
Estos resultados indican que las medianas son concurrentes en el punto (1(,13, 2).
•
28
CAPíTULO I
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
C(2,6)
D(6,5)
8(10,4)
o
E (3, 1)
x
F(7, O)
•
A (4, -4)
Figura 1.28
Ejercicios
En los ejercicios I a 6 encuentre las coordenadas del punto medio de cada par de puntos.
1. (4, 3),(--4, -3)
2. (3, 2), ( l , 6)
3. (21t, 1), (0, -1t)
4. (7, --4), (-9, 6)
5. (-7, -11), (5, 15)
6. (5, 7),(-3, 3)
Encuentre las coordenadas de los puntos medios de los lados de cada triángulo cuyos
vértices están dados en los ejercicios 7 a 10.
7. (1, 2),(2,5), (6, 3)
8. (4,4), (2,3),(5, 1)
9. (8,3),(2,--4), (7,-6)
10. (-1,-6),(-3, -5),(-2, -2)
11. El punto (7.3) biseca el segmento de recta que une (XI' 6)
valores de XI y Yz-
Y
(9, Y2)' Encuentre los
12. Encuentre las coordenadas del punto medio de la hipotenusa del triángulo rectán­
gulo cuyos vértices son (2, 2), (6, 3) Y (5, 7),Y muestre que el punto medio equidista
de los tres vértices.
En los ejercicios 13 a 24, encuentre el punto P(x, y) tal que la razón de AP a AB sea
igual a r.
•
= 1/3
13. A(4, 3), B(5,1),r
15. A(-I,O),B(3,2),
r =
17. A(6,-2),B(-I,7),
r
14. A(2,--4), B(-3, 3),
r = 2/3
4/)
16. A(5,6),B(O,-5),
r = 2/5
2
18. A(-5, 1), B(3, 3),
r = 512
=
19. A(O, O), B(6,2),r = 2
20. A(4.1001, 1.0952),B(-2.8763,0.0018),
r=
0.2412
EJERCICIOS
29
21. A(-5,
23. A(2,
-5),
9),
B(l,
1), r == 1 /5
22.
A(I, 5), B(6, 3),
11 3
24.
A(2,
B(-4, -3),
r ==
5),
B(5,
r = 4/5
-2),
r=
3/4
25. Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento de recta que va de
(-1, 4) a (2, -3) en la razón d e 3 a 4 (hay dos soluciones).
26. Encuentre las coordenadas de P si divide al segmento de recta que une A(2, -5) y
.
B(6, 3)
27.
28.
de manera que AP/PB
....,.
. ...".
=
3/4.
El segmento de recta que une A(2, 4) Y B(-3, -5) se extiende por ambos extremos
en una distancia igual al doble de su longitud original. Encuentre las coordenadas
de los nuevos extre mos.
Una recta pasa por A(2, 3) y B(5, 7). Encuentre (a) las coordenadas del punto P en
AB extendido de B hasta P, tal que P está alejado de A el doble de lo que está
alejado de B; (b) las coordenadas, si P está sobre AB extendido de A hasta P de
modo que P está alejado de B el doble que de A.
,
x _ ,
Una recta pasa por A(-2, -1) Y B(3, 4). Encuentre (a) el pUnto P sobre AB extendi­
do a través de B, de manera que P está tres veces más lejos de A que de B; (b) el
punto, si P está sobre AB extendido desde A, de modo que P está tres veces más
lejos de B que de A.
,
29.
.
.
30.
31.
Encuentre el punto de la recta que pasa por A(-I, =1) y B(4, 4) qu e está
(a) dos veces más lejos de A que de B (dos casos).
(b) tres veces más lejos de B que de A (dos casos),
El segmento de recta que une A (1, 3) y B(-2, �l) sé extiende j:>or ambos extremos
una distancia igual a su longitud original. Encuentre las coordenadas de los nue­
vos extremos.
En los ejercicios 32 a 35, encuentre el punto de intersección de las diagonales del
paralelogramo ABCD.
32.
A(3, O),
B(7,
33. A(-2, 3),
O), C(9,
8(6,
1),
36.
2), B(-3,
D(5, 3)
C(5, -2),
34. A(-I, -2), B(3, -6),
35. A(O,
3),
D(-3, O)
C(II, -1), DO,
1), C(2, -1),
D(5,
3)
O)
Un niño de 1 5 kg se sienta en A(2, 3) Y otro, de 25 kg, en B(12, 7), las unidades
son metros. Encuentre el punto P entre A y B que pueda uSarse Como apoyo de un
balancín que ponga a los dos niños en equilibrio [Sugerencia: 15AP 25PB o (AP!
PB) = 511. Use las formas para el punto de división.]
=
37.
Un niño de 30 kg se sienta en un balancín en (1, 1) Y e\l:lpdyb está en (2.5, 1.3),
las unidades son metros. ¿En qué punto debe sentarse un niño de 20 kg para estar
en equilibrio? Véase la sugerencia del ejercicio 36.
un árbol de 6 m de altura cerca de un edificio en cuya azotea hay un faro, de
"modo que el árbol está a 4/10 de la distancia de la base del edificio al extremo de su
38" Hay
30
CAPíTULO
J
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
sombra. ¿A qué distancia del piso está el faro? Si la punta del árbol está exacta­
mente a 5 m del faro, ¿qué distancia hay entre el árbol y el edificio, y cuál es la
longitud de su sombra?
39. Un viajero de 2 metros de estatura observa la cima de una montaña reflejada sobre
una pequeña laguna. Según un mapa, dicha laguna se encuantra a 3 km de la cima.
Si el viajero está situado a 15 metros del punto donde ocurre la reflexión en la
laguna,¿cuál es la altura de la cima con respecto al nivel de la laguna?
1.4
DEMOSTRACIONES ANALíTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS
Muchos teoremas de la geometría euclidiana clásica se pueden probar con sorprendente
facilidad y en forma directa, mediante un sistema de coordenadas. El procedimiento se
ilustra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sÍ.
Primero se dibuja un paralelogramo y después se introduce un sistema de
coordenadas. Una colocación acertada de los ejes con respecto a la figura hace que los
vértices se puedan escribir sin dificultad, además de que facilita las operaciones
algebraicas que requiere la demostración. Por tanto, se escoge un vértice como el ori­
gen y un eje coordenado a lo largo de un lado del paralelogramo (Fig. 1.29). Después
se escriben las coordenadas de los vértices como 0(0, O), PI(a, O), P2 (b e) y P/a + b,
ej. Es fundamental que las coordenadas de P2 y PJ expresen el hecho de que P PJY OPI
2
son paralelos y tienen la misma longitud. Esto se logra igualando las ordenadas de P2 y
P Y haciendo que la abscisa de P3 exceda en a a la abscisa de P2•
Solución
,
3
y
PJ(a + b, e)
Figura 1.29
o
P,(a, OL
x
NOTA HISTÓRICA
Euclides (c. 350 A. C.) estudió en Alejandría, en su tiempo el centro de conocimiento.
Sus Elementos de la geometría, uno de los más antiguos escritos de los griegos que
han sobrevivido completos, reunieron y unificaron muchos resultados conocidos. Hoy
día constituyen la base de la geometría que se enseña a nivel de bachillerato.
1.4 DEMOSTRACIONES ANALÍTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS
31
Para mostrar que OP3 y Pl2 se bisecan mutuamente, se encuentran las coordena­
das del punto medio de cada diagonal.
Punto medio
OP3:
Punto medio
PI P2 :
a + b
x=
2
a + b
x=
2
Como el punto medio de cada diagonal es
Y
,
Y
,
a+b
2
e
2'
e
=
=
2'
e
'"2
.
el teorema queda probado.
•
Al hacer una demostración es fundamental que se use una figura general. Por ejem­
plo, no se debe usar un rectángulo ni un rombo (un paralelogramo con todos sus lados
iguales) como paralelogramo. La demostración de un teorema basada en un caso parti­
cular no es una demostración general.
Ejemplo 2 Demuestre que en cualquier triángulo el segmento de recta que une los
puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y tiene como longitud la mitad de
este.
•
Solución El triángulo y los puntos medios de dos lados se muestran en la figura 1.30.
Observe que los ejes coordenados están colocados, con respecto al triángulo, de modo
que sea fácil escribir las coordenadas de los vértices. De acuerdo con el teorema 1.3, la
pendiente de DC es
(c/2) - (c/2)
l
l
-(a + b) --b
2
2
=
O.
Por tanto, el segmento de recta DC y el tercer lado son paralelos pues la pendiente de
cada uno es O. Para obtener la longitud de De. se usa la fórmula de la distancia y se
encuentra que
b 2
e
e 2 =a
a + b
+
,.-- -2
2'
\
2
2
,2
-
---
y
B(b. e)
Figura 1.30
o
A(a. O)
x
CAPiTULO I
32
lo cual es la mitad del tercer lado, como se pidió.
Ejemplo 3
un rombo.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•
Demuestre que un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares es
Solución Primero debe recordarse que un paralelogramo cuyos lados son todos iguales
se Hama rombo. La demostración empieza con el paralelogramo OACB y las diagonales
perpendiculares AB y OC (Fig. 1.31). Si los lados de este paralelogramo son todos de la
misma longitud, la figura satisface la definición de rombo. Se sabe que los lados opues­
tos de un paralelogramo son iguales. Entonces, si un lado de uno de los pares de lados
opuestos tiene la misma longitud que uno de los lados del otro par de lados opuestos,
todos los lados serán iguales y OACB será un rombo. Se mostrará ahora que el lado OA
es igual al lado OB.
Pendiente de OC =
Pendiente de AB
=
e-
O
a + b- O
-O
e
=
b-a
-
e
a+b'
e
b-a'
--
Cada una de estas pendientes es el recíproco negativo de la otra (Teorema 1. 5). En
otras palabras, su producto es -1. Por consiguiente,
e
b-a
.
e
a+b
=-1
y
o
El lado izquierdo de esta última ecuación es la longitud de OA y el lado derecho es
la longitud de OB. Por tanto, OACB es un rombo. •
y
e(a + b, e)
8(b,e)
Figura
1.31
o
x
A (a, O)
Ejemplo 4 Los puntos A(x¡, y), B(x2, y) Y C(x3• yJ son los vértices de un triángulo.
Encuentre las coordenadas del punto sobre cada mediana que está a dos tercios de la
distancia del vértice al punto medio del lado opuesto.
Solución La figura 1. 32 muestra el triángulo y las coordenadas de los puntos medios
de los lados. Sean (x, y) las coordenadas del punto deseado sobre la mediana AD. En­
tonces, usando r = 2/3 en las fórmulas de división [Ec. (1.5)], se obtiene
1.4 DEMOSTRACIONES ANALfTICAS DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS
33
y
FIgura 1.32
x
o
2 ,.\"2
X = XI +-3
+
2 Y2
3
+
Y=
YI +
2
2
x3
- XI
Y3
- YI
_
-
_
-
XI + x 2
3
YI
+
+
x3
Y32 + Y3
,
•
De manera análoga, se llama (x, y) al punto que se busca sobre la mediana
encuentra
x
2 XI
= X2 + 3
Y = Y2
2 YI
3
+-
+
X3
+
Y3
2
2
- X2
_
Y2
BE y
se
,
_
-
Y2 +
YI + Y3
3
•
partir de los resultados anteriores, se verá que dos de las medianas se íntersecan en
el punto
A
XI
•
+
X2
3
+
X3 YI + Y2
'
3
+
Y3
•
Se puede concluir que las tres medianas pasan por este punto. ¿Pudo haberse llegado a
esta conclusión considerando sólo una mediana? •
Con esto se ha establecido el siguiente teorema.
TEOREMA 1.7
Las tres medianas de un triángulo se intersecan en el punto J' cuya abscisa es un ter­
cio de la suma de las abscisas de los vértices del triángulo y cuya ordenada es un tercio
de la suma de las ordenadas de los vértices.
*
El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro, centroide o pun­
to mediano. (N. del R.
T.)
CAPíTULO 1
34
Ejemplo 5
Los vértices de un triángulo están en (-7,
punto de intersección de las medianas (baricentro).
CONCEPTOS FUN'DAMENTAlES
3), (4, -2) Y (6, 5). Encuentre el
Solución La abscisa del punto de intersección es 1/3 (-7 + 4 + 6) 1 Y la
1/3 (3-2 + 5) 2. Por consiguiente, las medianas se intersecan en (1, 2). •
=
ordenada es
=
Ejercicios
Proporcione demostraciones analíticas de los siguientes teoremas:
l. Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud y se bisecan mutuamente.
2. Si las diagonales de un paralelogramo tienen (gual longitud, la figura es un rectángulo.
\
3.
Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí.
4. Los segmentos que conectan los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrado forman un cuadrado cuya área es la mitad de la figura original.
*
5.
Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares entre sí, la figura es un cuadrado.
6.
Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
7. Los segmentos que unen los puntos medios de lados consecutivos de un cuadriláte­
ro plano forman un paralelogramo.
8. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados consecutivos de un rombo
forman un rectángulo.
9. Los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de un
cuadrilátero se bisecan entre sÍ.
10.
La suma de los cuadrados de las diagonales de un rombo es igual a cuatro veces el
cuadrado de uno de sus lados.
11.
El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices.
12.
Si el punto medio de un lado de un triángulo equidista de los tres vértices, el trián­
gulo es rectángulo.
13. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del
tercer lado, la figura es un triángulo rectángulo.
14.
Si dos medianas de un triángulo son iguales, éste es isósceles.
15.
El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo biseca
la mediana que va al tercer lado.
*
Este problema se menciona en el Menón de Platón.
1.5 RELACIONES Y FUNCIONES
35
16. La recta que pasa por el vértice de un triángulo isósceles y es paralela a la base,
biseca el ángulo exterior.
17. El vértice y los puntos medios de los tres lados de un triángulo isósceles son los
vértices de un rombo.
18. El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un
trapecio es paralelo a las bases y su longitud es el promedio de las longitudes de
las bases.
19. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.
20. Si las diagonales de un trapecio son iguales, la figura es
un
trapecio isósceles.
21. La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma
de los cuadrados de las dos diagonales.
22. Las rectas que van de un vértice de un paralelogramo a los puntos medios de los
lados opuestos trisecan una diagonal.
•
23. La recta que une los puntos de trisección de una diagonal de un rectángulo con los
otros vértices forma un paralelogramo.
24. Si
b2
25. Si
Pea, b)
=
r.
P es
está en una circunferencia con centro en el origen y radio r, entonces a2
un punto sobre la circunferencia de un círculo, entonces los segmentos de
recta que unen
cia:
+
P
con los extremos de un diámetro son perpendiculares.
[Sugeren­
Escoja el centro en el origen y el diámetro a lo largo de un eje, y use el resulta­
do del ejercicio 24.]
1.5
RELACIONES Y FUNCIONES
•
Los conceptos de
relación y función que se presentan en esta sección aparecen en todas
las matemáticas; quizá sean los conceptos más importantes de muchas de sus ramas. De
hecho, el lector ya ha encontrado estos conceptos en álgebra y en trigonometría. No obs­
tante, se presentarán ahora pues son centrales en la mayor parte del libro.
Ejemplo 1 Encuentre el dominio y la imagen de la relación
R
=
{(-5, -5),
(-4, 2), (-2, -2),
(O, 1), (O, -3), (2, -4), (3,
4)}
36
CAPíTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Solución El dominio es {-5, --4, -2, O, 2, 3) Y la imagen de R es {-5, - 4 , -3, -2, 1, 2,
4). Esta relación R no exhibe una conexión aparente entre los elementos de los pares
ordenados, así que la mejor manera de presentarla es listar los pares. •
Sucede a menudo que hay una "relación" específica entre los elementos de pares
ordenados de una relación. Por ejemplo, el segundo elemento puede ser siempre el do­
ble del primer elemento. Cuando se tiene una regla o una receta que muestra cómo
están relacionados los pares, no se necesita recurrir a una lista de ellos, como se hizo
en el ejemplo l . La relación se puede describir usando la regla.
Ejemplo 2 La relación S, cuyo dominio es el conjunto de los números reales y que
tiene la propiedad de que cada par es de la forma (x, 2x) para algún número real x,
tiene infinidad de pares ordenados. Se puede denotar con la regla y = 2x. •
•
En otras palabras, una función es una regla o ley que asocia a cada elemento de un
conjunto A (dominio) uno y sólo un elemento de un conjunto B (codominio,
contradominio o conjunto de imágenes).
Si una relación es una función, entonces, para cada miembro del dominio corres­
ponde uno, y sólo uno, de los miembros de la imagen. Una función es, entonces, un
tipo particular de relación. La relación R del ejemplo 1 no es una función pues (O, 1) Y
(O, -3) están en R, esto es, el número O del dominio está relacionado con los números
distintos 1 y -3 de la imagen. La relación S del ejemplo 2 es una función.
Cuando a una función se le asigna un nombre, por ejemplo f, se acostumbra escri­
bir y = f(x) para especificar la relación funcional. El término ''f(x)'' se lee "f de x" e
indica el punto en la imagen con el cual está asociado el elemento x del dominio me­
diante la función: Si S es la función del ejemplo 2, entonces la función se puede especi­
ficar con y = S(x) = 2x. Entonces, S(6) = 12, S (-../2 ) =-2../2 y S(1t) = 21t.
Ejemplo 3 Sea r la relación cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales
y con la propiedad de que (x, y) está en r siempre que
y = Ixl.
¿Es r una función? ¿Cuál es la imagen de T?
Solución Puede verse que tanto (2, 2) como (-2, 2) están en r, pero esto no contradice
la definición de función. La cuestión es: ¿hay dos pares ordenados en r con el primer
elemento igual y segundos elementos distintos? ¿Puede un número real tener dos valo­
res absolutos distintos? La respuesta, de acuerdo con la definición 1.1, es "no". La relación
J.5 RELACIONES Y FUNCIONES
37
•
es una función. La imagen de T es el conjunto de todos los resultados que se puedan
obtener tomando el valor absoluto de cada número real. Por esta razón, la imagen de T
es el conjunto de todos los números reales no negativos. •
Una relación o una función puede determinarse totalmente especificando un domi­
nio y mediante una ecuación que relacione los elementos de los pares ordenados. Suce­
de con frecuencia que se da una ecuación sin especificar un dominio, en cuyo caso se
sobreentiende que el dominio está formado por el mayor conjunto de números reales x
para los cuales la ecuación da números reales y = j(x).
T
Ejemplo 4
Encuentre el dominio y la imagen de la función especificada pory = l/x.
Solución Para cualquier número real x distinto de cero, la ecuación da un número real
y*- O. Si x o y es O, la ecuación es un enunciado falso; por consiguiente, el dominio, al
igual que la imagen, es el conjunto de todos los números reales distintos de cero. •
Ejemplo 5
Encuentre el dominio y la imagen dey = .J9 - X2
Solución El dominio está formado por todos los números reales x para los cuales 9 -r
� O, pues si el radicando es negativo, y no será un número real. Por álgebra se sabe que
9 > X2 si, y sólo si, -3 < x < 3. Además, conforme x varía de -3 a 3, y varía de O a 3 y
de nuevo a O. La imagen es el conjunto de números de O a 3, inclusive. •
Las funciones seno y coseno de trigonometría tienen cada una como dominio el
conjunto de números reales y como imagen el conjunto de los números reales de -1 al,
inclusive. Más adelante se volverán a encontrar las funciones trigonométricas.
Puede suceder que una función esté mejor definida por diferentes recetas sobre di­
ferentes intervalos. Por ejemplo, podría tenerse que
.
entonces, ¡G) =
4,¡(2)
¡(x)
= 4,
=
x
x2
2x + 3
si O $ x < 1,
si 1 $ x < 3,
- X.
SI. 3 <
y f(12) = 27 .
Gráficas de relaciones y funciones
Al principio del capítulo se aludió al hecho de que la geometría analítica es la unión del
álgebra y la geometría. En efecto, ahora se está en posición de ver algo de la fuerza de la
geometría analítica. La fuerza de esta disciplina es que proporciona una manera de
visualizar expresiones algebraicas y, por otro lado, brinda la forma de asociar una expre­
sión algebraica con una figura geométrica. Es posible, entonces, manejar las expresiones
algebraicas para saber más acerca de la figura geométrica.
Así mismo, dada una expresión algebraica, se le puede asociar una figura geométrica
tal que el examen de la figura revele propiedades de la expresión algebraica que previa­
mente no eran aparentes.
,
CAPITULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES
38
En esta sección se tratará el problema de asociar una figura geométrica a una ex­
presión (o ecuación) algebraica o analítica.
La gráfica de la relación R del ejemplo 1 de esta sección es la figura 1.6 de la sec­
ción 1. 1. Es una gráfica discreta que consta de sólo siete puntos. Las gráficas de las
funciones de los ejemplos 2 a 4 se dejan como ejercicios. La gráfica de y .J9 X2 del
ejemplo 5 será un ejercicio de la sección 4 del capítulo 5.
=
Ejemplo 6
-
Dibuje la gráfica de la función definida por la ecuación
2x
+
3y
6
=
Solución Para dibujar la gráfica, se asignan valores a x y se encuentran los valores de
y correspondientes. Los pares ordenados resultantes se muestran en la tabla siguiente.
Cada uno de los pares se localiza como la abscisa y la ordenada de un punto. Los pun­
tos así obtenidos parecen estar en una recta (Fig. 1 .33). Las variables x y y son de pri­
mer grado en la ecuación dada y, por ello, la ecuación se llama lineal. En el capítulo siguiente
se probará que la gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una recta. •
x
-3
y
4
-1.5
3
o
3
2
o
4.5
-1
6
-2
y
(-1.5,3)
u+ 3y =6
o
Figura
(4.5.-1)
(6. -2)
1.33
Ejemplo 7
x
Construya la gráfica de la ecuación
L5 RELACIONES Y FUNCIONES
39
y =x2 - 3x- 3.
Solución Cualquier par de números para x y y que satisfaga la ecuación se llama solu­
ción de la ecuación. Si se asigna un valor a x, se podrá calcular el valor correspondien­
te de y. Así, al hacer x =-2 se encuentra y = 7. En la tabla se muestran varios valores de
x y los valores correspondientes de y. Estos pares de valores, cada uno de los cuales
constituye una solución, proporcionan una visión de la relación de x y y. Sin embargo,
se obtiene una mejor representación localizando cada valor de x y el valor de y corres­
pondiente como la abscisa y la ordenada de un punto, y después dibujando una curva
suave que pase por los puntos así obtenidos. Este proceso se llama
ecuación y
x
Y
la curva se conoce como
-2
7
O
-1
1
de la ecuación.
1
1.5
-5
-3
Los puntos localizados (Fig.
gráfica
graficación de la
-
5 25
.
2
-5
1.34) van desde x = -2
-3
hasta
puntos correspondientes a valores menores o mayores de
4
3
x,
1
x = 5.
5
7
Se podrían localizar
y también se podría locali­
zar cualquier número de puntos intermedios. Sin embargo, los puntos localizados mues­
tran aproximadamente dónde estarían los puntos intermedios. Por ello, es posible usar sólo
unos cuantos puntos para dibujar una curva con precisión razonable. La curva mostrada
aquí se llama parábola. Como es natural, se dibuja sólo una parte de la gráfica, pues la grá­
fica completa se extiende indefinidamente en el primero y el segundo cuadrantes.
•
y
(-2,7)
(5,7)
•
(-1,1)
(4, 1)
o
x
(3, -3)
Figura
1.34
(1.5, -5.25)
Aquellos estudiantes que tienen acceso a utilizar un graficador notarán que en el
ejemplo anterior, cuando un programa se utiliza para simplificar la gráfica y
=
X2-3x-3
como se muestra en la perspectiva de un rectángulo, entonces la utilización puede pro­
vocar una inadecuada porsión de la gráfica. En los intervalos -2
< x < 5 Y -6 < Y < 7,
la
CAPíTULO I
40
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.34, tal vez en la pantalla, la escala vertical se vea
distorcionada. El intervalo cerrado [a, b] denota al conjunto de todos Jos puntos x tales
que a:S: x :s: b. Nótese que a es un elemento de [a, b]. Análogamente (a, b) denota el
conjunto de todos los puntos x tales que a < x < b; los puntos a y b no pertenecen al
intervalo cerrado (a, b) pero sí están incluidos en el intervalo cerrado [a, b]. Los inter­
valos semiabiertos y semicerrados se definen como [a, b) en el cual incluye al elemento
a y excluye al b o (a, b) que excluye al elemento. a e incluye al elemento b. Finalmente
(a, 00) representa la mitad de una recta, esto es, todas las x tales que x > a, también
(-00, b) representa la semirecta x < b.
gráfica se parecerá mucho a la fig.
Estableceremos una opinión del rectángulo sobre el graficador, especificando un
intervalo
[a, b] como subconjunto del dominio de la función a graficarse, y el intervalo
[e, d] como
subconjunto del conjunto de imágenes de dicha función. El éxito en el uso
de un graficador a menudo depende en escoger. estos intervalos y también que la parte
que nos interese de la curva se vea en pantalla.
Ejemplo 8
Construya la gráfica de la relación definida por la ecuación
4X2
Solución
Se despeja
y en
+ 9y
=
36.
la ecuación para tener una forma adecuada de hacer una ta­
bla de valores. Se obtiene así
Se observ� ahora que
valores para
x
x puede tomar
valores sólo desde
-3 hasta 3 (dominios);
darían valores imaginarios para y. Los pares de números de la tabla si­
guiente dan puntos de la gráfica. La curva dibujada pasando por los puntos (Fig.
se llama
otros
1. 35)
elipse.
x
-3
y
o
-2
-1
+1.5
+ 1.9
Observe las gráficas de la figura
1.6 y
o
+2
1
2
3
+ 1.9
+ 1.5
o
de las figuras
1.33 a 1.35. A
•
partir de la
gráfica es relativamente fácil decir, mediante el siguiente criterio, si una relación es
una función:
Si cualquier recta vertical cruza o loca la gráfica de una relación en más
de un punto entonces la relación no es una función. Entonces se tendrían al menos dos
puntos, (x, y) y (x, z), en la gráfica, con y =1- z. Las relaciones graficadas en las figuras
1.6 y l. 35 no son funciones, mientras que las relaciones graficadas en las figuras 1.33
y 1.34 es obvio que sí lo son.
EJERCICIOS
41
y
2)
(-1, 1.9)
1.5)
4x2 +9y2
=
36
(- 3, O) f--- --i -t--::t -t--t ----<
O
(2, -1.5)
(-1,-1.9)
FIgura
(0,-2)
1.35
Para encontrar las intersecciones con el eje x (si existen) de la gráfica de una ecua­
ción, se hace y O Y se despeja x en la ecuación resultante. De manera análoga, para
encontrar las intersecciones con el ejey se hace x = O Y se despejay. Así, las interseccio­
nes con el eje x de la ecuación
=
y + x2-2x-3 =0
son -1 y 3, Y la intersección con el ejey es 3. Las intersecciones serán útiles para dibujar
las gráficas de las ecuaciones en los siguientes ejercicios.
Ejercicios
1.
¿Forma la relación {(l, 5), (2,5), (3, 5)} una función? ¿Por qué?
2. ¿Forma la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 1)} una función? ¿Por qué?
En los ejercicios 3 a 15 localice unos cuantos puntos y dibuje la gráfica de cada ecua­
ción. Indique cuáles representan funciones.
3.
5.
Y =
Y =
6. 3x
8.
2x
¡(x)
-
Y =
5y
x2
10. x = y2
4.
x
=
=
x2
2x +
15
3
Y =
-3x
si O::;; x < 1
si 1::;; x < 3
si 3 <: X
7. Y = Ixl
9. y
=
x2 - 4x + 2
1
11. Y =
2
3
si O::;; x::;; 1
si 1 < x <: 2
si 2 < x <: 3
42
CAPiTULO J
12. Y=Ix - 11
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
13.y=l/x
14. x2 + y2= 1
15. Y= -\IX
16. ¿Cuáles gráficas son gráficas de una función?
y
y
x
x
(a)
(b)
y
y
-
x
x
(d)
(e)
17. ¿Es una función la relación definida por la ecuación siguiente? Es decir, ¿es el·con­
junto de todos los pares (x, y) una función si x y y están relacionadas por la ecua­
ción?
a) x=y2
b) Y=x2
d) Y= ± \IX
e) y= ± Ixl
c) y=
x
O
si x > O
si x < O
18. Si f es una función con todos los números reales en su dominio y si fCx) X2 + 1,
¿qué sonfC-I ),fCl + h),fCl-h), fCO)? ¿Existe alguna x real para la cualfCx) = O?
=
43
EJERCICIOS
19.
Las últimas investigaciones en sociología describen la relación entre la edad x en
que la gente se casa por primera vez y los años y de educación terminados por la
persona, mediante un modelo de la forma
y=
a:x
+
si 14
si 22
b,
e,
<
x
<
x,
<
22
donde los parámetros a, b y e son constantes que se encuentran empíricamente.
Grafique el modelo (ecuación) particular
,
y=
20.
21.
1
+ x/2
si 14
si x >
<
12,
x
<
22
22.
Los fisiólogos del ejercicio han determinado que cuando una persona se ejercita, su
ritmo cardiaco debería ser 80% de la diferencia entre 220 y la edad de la persona.
Para alguien de 20 años, el ritmo esperado durante el ejercicio es de 160 latidos por
minuto. Grafique la curva que ilustra el ritmo cardiaco esperado como función de la
edad, para edades de lO a 70 años.
Se dice que una función! cuyo dominio es el conjunto de los números reales es una
función par si
fe-x) = f(x)
para toda x .
f(- x)
=
-f(x) .
Muestre que JCx) = X2 es una función par y que g(x) = Xl es una función impar. ¿Es
h(x) = 2x - 1 una función impar? ¿Se trata de una función par? la función c(x) = sen
x, ¿es par o impar? La función c(x) cos x es par o impar?
=
22.
Para cada una de las s.
ción par o impar, o si es la gráfica de una función que no es par ni impar.
--
y
y
x
(a)
x
(b)
44
CAPíTULO)
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
y
x
x
(e)
•
•
,
(d)
,
1.6 ECUAClON DE UNA GRAFICA
Una vez obtenidas gráficas de ecuaciones, se intuye naturalmente que una gráfica puede
tener una ecuación correspondiente. Se considerará el problema de escribir la ecuación
de una gráfica cuyos puntos están determinados por condiciones geométricas dadas. Este
problema es el inverso al de dibujar la gráfica de una ecuación.
El procedimiento para encontrar la ecuación de una gráfica es directo. Cada punto
P(x, y) de la gráfica debe satisfacer las condiciones 'especificadas. La ecuación que se
busca puede escribirse haciendo que P obedezca las condiciones. Los ejemplos siguien­
tes ilustran el método.
*
Una gráfica puede representarse co.n más de una ecuación, Po.r ejemplo., la gráfica de y =
(x2 + I)(x + y)
=
-x
y
O es la misma recta. Sin embargo, algunas veces se habla de "la" ecuación cuan­
do. lo. que se quiere decir es la ecuación más sencilla que se puede o.btener.
J.6
ECUACIÓN DE UNA GRÁFICA
45
Ejemplo 1 Una recta pasa por el punto (-3, 1) con pendiente 312. Encuentre la ecua­
ción de la recta.
Solución. Primero se dibuja la recta que pasa por (-3, 1) con la pendiente dada. Des­
pués se aplica la fÓlIllula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos (Sec.
1.2). Así, la pendiente m de la recta que pasa por P(x, y) y (-3, 1) es
m=
y-l
y-l
=
x (-3) x + 3'
Esta expresión se iguala con la pendiente dada. Por tanto,
3
y-l _
x + 3 2'
.
o, simplificando,
3x - 2y + 11 =O.
la gráfica de esta ecuación es la línea que aparece en la figura 1.36.
•
y
3x- 2y+ 11 =0
(-3, 1)
o
•
FIgura
f
x
.36
Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -2) con pen­
diente 4/J.
-
Solución
Ahora se tiene que
m =y - (-2)
x-S
=
Y
+ 2
x-S'
Por consiguiente,
y + 2_
-
x-S
4
3'
--
Simplificando esta ecuación se obtiene la ecuación que se busca,
4x + 3y
- 14
=
O.
La gráfica de esta ecuación se halla en la figura 1.37.
•
CAPíTULO 1
46
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
4x +3y-!4=0
o
x
-3
Figura
1.37
•
Ejemplo 3 Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos equidistantes del
eje y y de (4, O).
Solución Se toma un punto P(X, y) de la gráfica (Fig. 1.38). Entonces, teniendo en cuenta
la fórmula de la distancia (Sec. 1.1), se encuentra que la distancia de P al eje y es la
abscisa x, y que la distancia al punto (4, O) es
Y(x
-
Al igualar las dos distancias se obtiene
4f
+ y2 .
y2
x.
Si se elevan al cuadrado ambos lados y se simplifica, se tiene que
Y(x
y2
-
-
4f
8x
+
=
+ 16
=
O.
•
y
(O,y)
o
Figura
1.38
-----
P(x, y)
x
(4, O)
·J.6
ECUACIÓN DE UNA GRÁFICA
47
Ejemplo 4 Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos que distan de (4, 4)
el doble de lo que distan de (1, 1).
Solución Se aplica la fórmula de la distancia para encontrar la distancia de un punto
P(x, y) a cada uno de los puntos dados. Se obtienen así las expresiones
V(x - l? + (y - 1) 2
V(x - 4) 2 + (y - 4)2.
Y
Como la segunda distancia es el doble de la primera, se tiene la ecuación
2V(x - l? + (y - 1)2
V(x - 4)2 + (y - 4?
=
Al simplificar se obtiene
4(x2 - 2 x + 1
o bien,
+
y2 - 2y + 1)
X 2 + y2
=
=
x2 - 8 x + 16 + y2 - 8y + 16
8.
La gráfica de la ecuación aparece en la figura 1.39.
•
y
(4,4)
(1, 1)
/
/
/
/
,
P(x, y)
x
Figura 1.39
Ejemplo 5 Encuentre la ecuación del conjunto de·todos los puntos P(x, y) tales que la
suma de las distancias de P a (-5, O) Y a (5, O) sea igual a 14.
Solución
Remítase a la figura 1.40 para obtener la ecuación
V(x + 5)2 + y 2 + V(x - 5)2 + y2
14.
=
Trasponiendo el segundo radical, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene la
ecuaclOn
7V( x - 5)2 + y2 49 - 5x.
•
•
=
Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar, se obtiene la ecuación
CAPíTULO I
48
24x2
+
49y2
=
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1176.
Como se muestra en la figura, las intersecciones con el eje x de la gráfica de esta
ecuación son (-7 , O) Y (7, O) mientras que las intersecciones con el eje y son (O, -.J24) y
(O, .J24). •
y
-_� P(x, y)
(-7,0)
Figura
o
(-5,0)
(5, O)
(7, O)
x
(O,-m)
1.40
Con frecuencia sucede que un investigador recolecta datos y desea encontrar una
relación funcional entre las variables a las que corresponden sus datos. Si sólo cuenta
con un número finito de observaciones, la gráfica de los datos será una gráfica discre­
ta, y puede ocurrir q!le no exista ninguna relación obvia que "acomode óptimamente"
sus datos.
Ejemplo 6 Durante un brote de sarampión, un oficial del servicio de salud pública en­
cuentra que ocurren 5 nuevos casos durante la primera semana, 18 en la segunda, 36 en
la tercera y 59 en la cuarta. ¿Cuántos nuevos casos cabe esperar en la quinta semana?
Solución Se grafican los puntos {el, 5), (2, 18), (3, 36),(4, 59)} como lo indica la fi­
gura 1. 41.
En vista de que no se cuenta con una relación entre las variables, no hay una manera
específica de determinar un valor exacto de f(5). Aun así, se pueden hacer 'varias consi­
deraciones. La "pendiente" entre x 3 Y x 4 es 23. Si se supone que la misma pendien­
te se mantiene entre x 4y x 5, entonces (5, 82) es el siguiente punto, de manera que
se pueden anticipar 82 nuevos casos de sarampión.
Sin embargo, observe que la "pendiente" entre ( 1, 5) y (2, 18) es 13, entre (2, 18) y
(3,36) es 18 y entre (3,36) y (4, 59) es 23. Las pendientes están aumentando en 5 unida­
des cada semana. Si suponemos otro incremento similar, entonces (5, 87 ) es el punto que
se espera alcanzar y, por tanto, se anticipa que habrá 87 nuevos casos de sarampión.
=
=
=
=
EJERCICIOS
49
y
El oficial del servicio de salud supondrá, con un alto grado de certeza, que en la
quinta semana ocurrirán entre 80 y 90 nuevos casos. •
Existen varios nuevos métodos para ajustar una curva continua a datos discretos. Más
adelante se analizará en este texto otra manera de tratar el problema.
Ejercicios
En cada uno de los ejercicios 1 a 10, dibuje la recta que satisfaga las condiciones dadas.
después encuentre la ecuación de la recta.
l . La recta que pasa por (4, 2) con pendiente
l.
2. La recta que pasa por el origen con pendiente -2.
3. La recta que pasa pQr (-1, 2) con pendiente
112.
4. La recta que pasa por (5, 7) con pendiente
312.
-
5. La recta que pasa por (-1.8059, 2.1643) con pendiente -3.1786.
6. La recta horizontal que pasa por (-2,4).
7. La recta vertical que pasa por (3, -1 ).
8. La recta que está 2 unidades arriba del eje x.
9. La recta que pasa por (2, -3) con pendiente O.
1 0. La recta que está 4 unidades a la izquierda del eje y.
En los ejercicios 1 1 a 25, encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos P(x, y)
que satisfaga las condiciones dadas.
1 1 . P(x, y) equidista de (-2, 4) Y de ( 1, -5).
12. P(x, y) equidista de (-3, O) Y de (3, -5).
50
CAPíTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES
13. P(x, y) equidista del eje y y de (4,O).
14. P(x, y) equidista de (4, O) Y de la recta x = -4.
15. P(x, y) dista de (4,-4) el doble de lo que dista de ( 1,- 1).
16. P(x, y) dista de (-8,8) el doble de lo que dista de (-2,2).
17. P(x, y) forma con (O, 3) Y (O, -3) los vértices de un triángulo rectángulo donde P es
el vértice del ángulo recto.
18. P(x, y) forma con (4,O) Y (-4, O) los vértices de un triángulo rectángulo donde P es
el vértice del ángulo recto.
19. La suma de las distancias de P(x, y) a (-4, O) Y a (4,O) es igual a 12.
20. La suma de las distancias de P(x, y) a (O, -3.) Y a (O, 3) es igual a 10.
2 1. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (-3,O) Y a (3,O) es 2.
22. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (O, -3) Y a (0,3) es 1.
23. La distancia de P(x, y) a (3,4) es 5.
24. La suma de los cuadrados de las distancias de P(x, y) a (O, 3) Y (O, -3) es 50.
25. El producto de las distancias de P(x, y) a los ejes coordenados es 5.
26.
1 .7
Un oficial del servicio de salud registra 6 casos de paperas durante la primera sema­
na de un brote de dicha afección. En la segunda semana registra 17 nuevos casos,
en la tercera 30 y en la cuarta 48. Analice el número esperado de nuevos casos en la
quinta semana. Si cuenta con alguna herramienta de graficación,grafique los puntos
y trate de "ajustar" varias líneas a los datos con que cuenta.
ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
Uno de los objetivos del presente libro es mostrar algunas funciones especiales,las cua­
les,combinados mediante las operaciones de suma,resta,multiplicación y otras,dan como
resultado funciones polinamiales,racionales,trascedentes,etcétera.
La gráfica es como se muestra en la figura 1.42.
J .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
51
y
j(x)
=
k
•
,
-------+---.x
Figura 1.42
Ejemplo 1
f(x)= 3.
Halle el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de la gráfica de
El dominio son todos los números R y la imagen es la ordenada y 3. Esto
es, para cualquier x E R que se considere, el valor que se asigna es siempre 3; la gráfica
correspondiente es una recta paralela al eje x cuya distancia al eje x es de 3 unidades,
(Fig. 1. 43) .
Solución
=
y
y=3
------1-----. x
•
Figura 1.43
52
CAPiTULO
J
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
y
f (x)
=
x
'-'-'-------+ x
Figura 1.44
•
•
La función lineal y = mx + b se trata en el capítulo 2.
y
(x, .,fX ) o f(x) =.,fX
x
Figura 1.45
Determine el dominio y el conjunto de imágenes, y haga un dibujo de la
gráfica de f(x) = ./x 2 .
Ejemplo 2
-
1.7 ALGUNAS FUNCiONES ESPECIALES
53
Dominio {x E R: x - 2 ?: O} O x >2}, que suele representarse también como
[2, 00); el conjunto imagen es [O, )
Solución
00
.
Si se considera x � ( 2,00 ) Y se sustituye enf (x) = .Jx - 2 , el resultado es la raíz de
un número negativo, que no es un número real.
La gráfica def (x) = .Jx - 2 es la figura 1.46.
y
Figura 1.46
La gráfica se muestra en la figura 1. 47.
y
f(x) Ixl
=
�----------. x
____________
Figura 1.47
CAPíTULO ¡
54
Ejemplo 3
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de la gráfica
def(x)= Ix + 21.
Solución
Dominio = R, conjunto imagen = [O, 00) ; la gráfica se muestra en la figura
1.48.
y
�
--.x
�+-�
__
____
FIgura 1.48
-
son los número.s r�a� .
<
el valor que se
. . es. el
x= 0.07, entoncesJ(O.07�
-2]]=-1, etcétera.
El significado geométrico de la función mayor entero es como se muestra en la figu­
ra 1.49.
y
•
•
•
•
•
•
•
o
•
•
FIgura 1.49
•
•
o
o
o
e
¡.7
ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
Ejemplo 4
55
Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de f (x)
=
[[ v'1- X2 ]].
Solución
{O, 1}.
Dominio
=
{XE R: l-x2
O}
>
=
- 1 < x < l o [-1, 1] el conjunto imagen es --: .
La gráfica se muestra en la figura 1.50.
y
•
�--��------__. x
---____
Figura 1.50
Operaciones entre funciones
Debe tenerse cuidado en el caso 4, ya que el dominio de (jIg)(x) son todos los ele­
mentos x del dominio de g(x) tal que g(x) 7:. O.
Si f(x)
(-00, 1].
Ejemplo 5
de g(x)
=
=
v'x + 1 y g(x)
=
v'1- x , el dominio de f(x)
=
[-1,00) y el dominio
56
CAPITULO 1
,
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Luego, el dominio de f+ g,f-g,f. ges Dom f(x ) n Domg(x )= [-1 ,0 0 )n (-00 ,1]
1 ] n [-1,00)= [-1 ,1]
(
Sin embargo ,el dominio dej1ges Domf(x ) n Domg(x ) con g(x ) * O, es decir , [-1,00 )
n (-00, 1 ] = [-1, 1 ).
=
-00,
-
Composición de funciones
Una vez definida la adición ,la diferencia, la multiplicación y la división de funciones ,se
considera otra operación fundamental llamada composición, a saber:
La figura 1.5.1 da un panorama de fo g; en esta figura A es el dominio de g, B es el
eodominio de g y el dominio del, e es el eodominio de fy de fo g.
A
B
g
f
�
e
'-------�
FIgura
fog
1.5!
Sea f(x )= 3x +2 ,g(x ) .Jx -1 , h(x )= y y s(x )= X2 + l. Halle (a )fo g,
(b ) gol, (e ) fo h, (d ) h 01, (e ) g o s, ( f )so g .
Ejemplo 6
Solución
=
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(Jo g)(x ) = f(g(x ))=f( .Jx -1 )= 3.Jx -1 +2.
(go f)(x ) = g(J (x ))= g(3x +2 )=.J3x +2 -1 = .J3x +l .
(Jo h)(x ) = f(h(x ))=fC32)=3 C¡2 ) +2=x.
(hof)(x ) h(J (x))=h(3x +2 )= ex+J-2)= x.
(go s)(x ) = g(s(x ))=g(x2+1 )= .Jx 2+1 -1 = .Jx 2 = x.
(s o g)(x ) = s(g(x )) s(.Jx -1 ) (.Jx -1 f + 1 =x -1 + 1
=
=
=
=
x.
) .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES
57
Observe que, en general,f o gte gof Sólo en algunos casos sucede quef o g= gol,
y es de esperar que, para que esto ocurra, f y gtienen que ser funciones con característi­
cas muy especiales.
Las definiciones 1.12 y 1. 13, del ejemplo 6. a y 6. b de esta sección cumplen con la
definición uno-uno, así como también todas las funciones lineales cuyas gráficas no sean
paralelas a los ejes coordenadosx-y .
Una representación geométrica del enunciado anterior se muestra en la figura 1.52
1
B
•
•
Figura
1.52
1-1
Sif I es la inversa del, entonces
(j of-I
y
(1-1 of)(x)= f-I
X
Es decir,ff-I 1-10f
El ejemplo 6. c y 6. d cumple conf oh = x = h01, lo cual significa que h es la inversa
def yfes la inversa deh.
CAPíTULO 1
58
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Sin embargo, el problema reside en cómo determinar la inversa (si existe) de una
función.
El camino que se sugiere es: hacer ver que la función dada es uno-uno; si lo es,
entonces con seguridad tiene inversa. Para hallar ésta se observa que x y y generalmente
están relacionadas en la forma y =f (x) por lo que, si es posible, se despeja x. La nueva
expresión será de la forma x =f(y), y ahora se intercambia la y por la x y la x porf-I(X),
ya que se desea graficar fyf-I en un mismo sistema de referencia. Una forma de justifi­
car quef-[ realmente es la inversa defyfes la inversa de¡-[ es determinarfof-I yf-I o
f, lo cual debe resultar en
fof-I = X=f-I of;
Finalmente, construya la gráfica (se sugiere usar colores).
Halle f-I (si existe) de f(x) = .Jx-.1 y construya la gráfica de fyf-I en un
mismo sistema de referencia .
Ejemplo 7
.
fes uno-uno en [1, 00), ya que f (x) 7=f (x2) siempre que XI 7= x2 con X y x2
I
.Jx
E [1, 00). Ahora se despeja la x de y =
-1, esto es, y2 = x -1, 10 cual implica que x =
2
y +l.
Solución
Luego se intercambia y por x y x por f-I: f-I(X) .,.. X2 + 1, Y se asegura que X2 + I sea
la inversa def (x) = .Jx"":' 1 y que .Jx -1 sea la inversa def-I
Justificación:
(fof-I )(X) =f(f-I(X» =f (x2+ 1) = .Jx'+l-l = x.
y
(f-I of)(x) =f-I(f(X» =f-I (.Jx -l) = (.Jx -I)2 + I =x.
y
Esto es,fof-I =f-I of= x.
Observe que Domf= codf-I = [1, 00)
codf= Domf-I = [O, 00)
La gráfica se muestra en la figura 1.53.
y
f-[
,
,
,,
=
x' +
,,
1
, fof-l = X = f-[of
(x) = ";x-l
(0,1) 1----'" ,, ....-f
-,
,
,
-------.x
------------��-,
,
(1 , O)
,
,
,
,
,
,
'
Figura
1.53
59
EJERCICIOS DE REPASO
EjercIcIos
En los ejercicios 1 a 13 determine el dominio y el conjunto de imágenes, y dibuje la
función dada.
1. f(x) = 2x - 2
2. f (x ) = 6
3. f(x) =
Ix + 3 1
4 . f(x) = 2x
-2 six <O
5. h(x) = O six= O
2 six > O
.Jx + 4 si - 4 <x <O
6. h(x) = 2 six = O
X 2 + 2 siO <x
-x + 2 six < 3
7 . y(x) =
x - 4 si 3:O;x
8. f(x) = _x3
9. s(x)
=
x3
10. g(x) = .Ji¡ - X 2
O si x E Z
11. f(x) =
1 si x 9!0 Z
O six E Z
12. f(x)=
x six 9!0 Z
•
13. f(x) = 1 + [[x]]
14. Sif(x)= -4x 2 + 1,determine
a)f(O),b)f(lh), c)f(a + h), d) ( f(a + h - f (a»h
15.
Halle f -I
de referencia.
.Jx + 4 . Luego dibuje la gráfica de f y f -1 en un mismo sistema
EJERCICIOS DE REPASO
l. Defina los siguientes términos: recta dirigida, par
ordenado, inclinación de una recta, pendiente de
una recta, función algebraica explícita, función
algebraica implícita, relación, función, gráfica de
una función y recta numérica real.
2. Los puntos A(l, 2), B(4, 3) Y C(6, O) son los vérti­
ces de un triángulo. Encuentre las longitudes de los
lados del triángulo.
3. Muestre que los puntos A(-I 0, 2), B(4, -2) , C(16, 2)
y D ( 2, 6) son los vértices del paralelogramo ABCD.
CAPíTULO l
60
4. Encuentre las tangentes de los ángulos del trián­
7.
Los puntos A(-4,
5.
l) Y B(2,
7) determinan un seg­
mento de recta. Encuentre (a) las coordenadas del
a
equidistantes de A(-4, 3) Y B(2,
8. Construya la gráfica de la ecuación y
=
X2
- 4.
9. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los
puntos E(x,
punto medio del segmento y (b) las coordenadas
del punto I/J de A
y)
-2). Dibuje la gráfica de la ecuación.
Encuentre, además, cada ángulo hasta el grado más
cercano.
Encuentre la ecuación del conjunto de todos los
puntos P(x,
gulo cuyos vértices son A(-2, 1), B(I, 3), C(6, -7).
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
(-4,
B.
O)
y),
y a (4,
de la ecuación.
si la suma de las distancias de P a
O)
es igual a 12. Dibuje la gráfica
6. Una recta pasa por A (2, -2) Y 8(-4, 3). Encuentre
las coordenadas del punto sobre la recta que dista
el doble de A que de B (dos casos).
•
Términos Clave
,
',- .
'�" -,.
L-<X '"
..
�
,
:.:: f
;; "c'
"
valor absoluto, pág. 2
imagen, pág. 35
par ordenado, pág. 4
función, pág. 36
distancia entre puntos, pág. 9
gráficas de una relación, pág. 38
pendiente de una recta, pág. 13
intersección, pág. 40
ángulo entre rectas, pág. 17
función par o función impar, pág. 43
punto medio de un segmento, pág. 24
funciones especiales, pág. 50
relación, pág. 35
función composición, pág. 56
dominio, pág. 35
función inversa, pág. 57
.o
..
•
-
.
( _
l. Encuentre la definición de valor absoluto, pendiente
2.
5.
de una recta, relación, función y dominio de una
regla que establece que cualquier carta de hasta una
función.
onza requiere estampilla por un valor de $0.29, y
que cada onza o fracción de onza adicional cuesta
Usando los puntos A(2, 3) y B(- l -4), calcule
a)
$0.23. Escriba una regla funcional para expresar
,
I AB I
esta relación. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál es la ima­
b) la pendiente del segmento de recta AB
e) el punto medio del segmento de recta AB
d) el ángulo entre AB y A e si e es (O, -2)
e) el punto a dos tercios de la distancia de A a B
3.
El correo de primera clase se define mediante una
gen? Grafique la función para cartas de hasta 5 on­
zas.
6. Encuentre la ecuación para el conjunto de puntos
que distan de
Demuestre que los segmentos de recta que unen los
7.
a) y
c) x
=
=
I x+ 1
y+
l
b) y
=
X2
d) y = -x
+ 1
Determine (a) Domf, (b) Domg y
si f(x)
4. Grafique las siguientes relaciones, sei'íalando cuá­
les de ellas son funciones:
el doble de lo que distan de
(l,0).
puntos medios de los lados de un triángulo forman
un triángulo similar al original.
(O, 1)
8.
=
.Jx -1 y g(x)
=
(e)
Dom(f + g)
.Jl- x .
Determine el dominio (si existe) de
-j(X-1 )/(I-X) .
f (x)
-
Capítulo
la circunferencia
La recta
2.1
RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Se iniciará el programa para descubrir la correspondencia entre curvas geométricas y
ecuaciones con el caso más sencillo: la recta; como se verá, la ecuación de una recta es
también bastante sencilla. Se verá también que, conforme crezca la complejidad de la
curva geométrica, crecerá la complejidad de la ecuación analítica. A pesar de su senci­
llez, la recta es un concepto esencial en matemáticas, y se presenta continuamente en la
experiencia diaria de manera útil e interesante. En el estudio de la recta se descubrirá
primero una correspondencia entre una recta y una ecuación de primer grado en x y y. La
ecuación representará la recta y ésta será la gráfica de la ecuación. Con respecto a esta
relación, se enuncia el siguiente teorema .
•
Teorema
2.1
La ecuación de toda recta se puede expresar en términos de primer grado. Recíproca­
mente, la gráfica de una. ecuación de primer grado es una recta.
Demostración Suponga que se comienza con una recta fija en el plano coordenado. La
recta puede ser o no paralela al eje y. Primero se considera una recta L paralela al eje ya
una distancia
iguales a
a,
a
del eje (Fig. 2.1). Las abscisas de todos los puntos sobre la recta son
de modo que se observa de inmediato que una ecuación de la recta es
x = Q.
Recíprocamente, las coordenadas de todo punto sobre la recta a una distancia
satisfacen la ecuación x
=
a,
(2.1)
a
del eje y
por lo·que la recta L es la gráfica de la ecuación.
A continuacíón se considera una recta que no es paralela al eje y (Fig. 2.2). Dicha
recta tiene una pendiente e interseca el eje yen un punto cuya abscisa es cero. Se llama­
rá
m
a la pendiente y b a la ordenada del punto de intersección. Entonces, si (x, y) son
las coordenadas de cualquier otro punto de la recta, se aplica la fórmula de la pendiente
de una recta que pasa por dos puntos y se obtiene la ecuación
62
CAPíTULO 2
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
y
L
x=a
o
Figura
x
a
2.1
y-b_
la cual se reduce a
x- O-m,
y
=
mx + b.
(2.2)
y
Pendiente
(x, y)
m
y=mx+b
(O, b)
Figura
2.2
o
x
Esta ecuación hace evidente la pendiente y la ordenada al origen de la recta que repre­
senta, y se dice que se encuentra en la forma pendiente-ordenada al origen.
Se empezó con una recta fija y se obtuvo la ecuación (2.2). Suponga ahora que se
comienza con la ecuación y se determina su gráfica. Es claro que la ecuación se satisfa­
ce si x O Y Y = b. Sea (x, y) un punto sobre la gráfica distinto de (O, b). Esto significa
que x y y satisfacen la ecuación (2.2) y, en consecuencia, la ecuación equivalente.
=
y-b_
x- O-m.
Esta ecuación indica que el punto (x, y) de la gráfica debe estar sobre la recta que pasa
por (O, b ) con pendiente m. Por ello cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la
ecuación (2.2) está sobre la recta.
Se ha demostrado que las ecuaciones de todas las rectas en el plano se pueden ex­
presar en las formas (2.1) Y (2.2) y, recíprocamente, que las gráficas de dichas ecuaciones
2. J RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO
63
son rectas. Para completar la demostración del teorema, sólo se necesita señalar que la
ecuación general de primer grado
Ax +
By +
e
=
o
(2.3)
se puede poner en la forma (2.1) o (2.2). Se supone que A, B y C son constantes, donde
A y B no son simultáneamente cero. En consecuencia, si B = O, entonces A "# O Y la
ecuación (2.2) se reduce a
x=
e
(2.4)
--
A continuación, si B "# O, se puede despejar yen la ecuación (2.3). Se obtiene así
A
y
=
-
e
XB'
B
(2.5)
La ecuación (2.4) tiene la misma forma que la ecuación (2.1) con a
ecuación (2.5) tiene la forma de la ecuación (2.2) con m= (A/B) Y b
completa la demostración del teorema.
-
=
=
-(e/A), Y la
-(C/B). Esto
Note que la ecuación (2.3) con B :f. 0, da un único valor correspondiente a y para
cada valor de x. Esto significa que la ecuación define una función (Definición 1.7) cuya
gráfica es una recta no paralela al eje y.
,
Ejemplo 1
Escriba la ecuación de la recta con pendiente -3 y ordenada al origen 4.
Grafique la recta.
En la forma pendiente-ordenada al origen (2. 2), se sustituy en -3 por m y
4 por b. Esto da de inmediato la ecuación y = -3x + 4 , que aparece graficada en la figu­
ra 2.3. •
Solución
•
y
(0,4)
x
o
y=-3x+4
Figura
2.3
CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
64
Exprese la ecuación 4x - 3y - 1 1
origen. Grafique.
Ejemplo 2
=:
°
en la forma pendiente-ordenada al
La ecuación dada está en la forma general (2.3) y, al despejar y, se reduce a
una ecuación en la cual el coeficiente de x es la pendiente de la gráfica y el término cons­
tante es la ordenada al origen, o intersección al eje y. Así, se despeja y y se obtiene la
ecuación cuya gráfica aparece en la figura 2.4.
Solución
Y
4
=
3x
11
- 3'
•
y
x
o
(o, _131)
Figura 2.4
La forma pendiente-ordenada al origen (2.2) representa una recta que pasa por el punto
(O, b). La ecuación puede alterarse ligeramente para tomar en cuenta otro punto cual­
quiera de la recta. Si (XI' YI) es otro punto de la recta, se puede reemplazar X con XI y Y
con YI en la forma (2.2). Esto da
o
b
=
YI
Sustituyendo YI-/nXI por b en la ecuación (2.2) se obtiene
y
=
mx
+ YI
-
mxl'
mxl
o, de manera equivalente,
(2.6)
Esta ecuación indica que el punto (XI' YI) se encuentra sobre la recta y que la pendiente
es /n. Por tanto, se dice que la ecuación está en la forma punto-pendiente.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2, -3) y tiene pendiente 5.
Grafique la recta.
Ejemplo 3
2. J RECTAS Y ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Solución
65
Usando la forma punto pendiente (2.6) conXI 2, YI = -3 Y m = 5, se obtiene
5x y = 13.
o
5(x - 2)
y + 3
=
=
-
La recta aparece graficada en la figura 2.5.
y
x
o
(2, 3)
-
Figura
2.5
Recuerde que por geometría dos puntos diferentes en el plano determinan una recta. Su­
ponga que se tienen dos puntos dados (XI' YI) Y (x2, y) y se desea determinar la ecuación
de la recta que pasa por ellos. Se puede usar la forma punto-pendiente de la recta con
cualquiera dc los dos puntos (xl' YI) o (x2, Y2) como el punto escogido. Por el teorema
¡ .3, la pendiente de la recta debe ser
m
=
•
Y2 - YI.
X2 - XI
En consecuencia, la ecuación de la recta que pasa por (XI' YI) Y (x , y) es
2
y
-
YI
(2.7)
=
La ecuación (2.7) es la forma dos-puntos de una recta.
Ejemplo 4
Encuentre la ecuación de la recta determinada por los puntos (3, 3) Y (2, 4).
-
Primero se encuentra la pendiente m de la recta que pasa por los puntos da­
dos. Así, por el teorema 1.3, se obtiene
Solución
m =
Y2 - YI
X2 - X I
4
2
+
-
3
3
-7.
lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
CAPíTULO 2
66
Ahora se usa la fórmula punto-pendiente (2.6) cony]
y +
3
=
-7(x - 3)
7x
o
=
-3 Y x]
+ y
-
También se podría llegar a esta solución sustituyendo (y]
(2.7).
•
=
18
=
3 Y
=
se obtiene
O.
4 Y x]
=
2) en la fórmula
Suponga que un productor sabe que el costo total de la manufactura de 1000
unidades de su producto es de $8500, mientras que el costo total de la manufactura de
2000 unidades es de $11 500. Suponiendo que esta relación entre el costo y el número
de unidades fabricadas es lineal, encuentre la relación, grafique la ecuación e interprete
la gráfica. ¿Cuál es el costo total de la producción de 2500 unidades?
Ejemplo 5
•
Se usa la forma dos-puntos de la recta con x igual al número de unidades
fabricadas y y igual al costo total de la manufactura de x unidades. La recta pasa por
(1000, 8500) y (2000, 11 500) y tiene por ecuación
Solución
y
- 8500
3(x - 1000)
=
o bien
3x
-
y
=
-5500.
Si x 2500, entonces y 13 000, de modo que el costo total es de $13 000 para fabricar
2500 unidades. La gráfica está dada en la figura 2.6.
La ordenada al origen es 5500; esto significa que si no se manufacturan unidades, el
costo fijo (renta, equipo, etc.) será de $5500. La pendiente es 3, lo cual significa que
cuesta $3.00 fabricar cada unidad. Observe que en esta aplicación los valores negativos
de x y y carecen de significado. •
=
=
y
(2000, 11,5(0)
(1000, 85(0)
(0,5500)
Figura .2.6
o
x
67
EJERCICIOS
Ejercicios
Por inspección, indique la pendiente y las intersecciones de cada recta representada por
las ecuaciones en los ejercicios 1 a 15. Escriba cada ecuación a la forma pendiente-ordenada
al origen.
1. x-4y=8
2. x- y=6
3. x- y +2=0
4. 9x+4y=36
5. 4x-3y=12
6. 3x- 6y + 10
7. 7x+y=11
8. 3x+2y=14
9. 3x+7y - 6
=
12. 5x+5y - 1
=
.
1O. 8x- 2y=5
11. 8x- 3y=4
13. 6x+7y= 12
14. 4.0213x- 8.7631y
15. 3x+ 3y +4
=
=
O
O
°
11.3331
O
=
En cada uno de los ejercicios 16 a 29, escriba la ecuación de la recta dada por la pen­
diente m y la ordenada al origenb.
b =-3
16. m=2,
17. m=-4b=7
,
18. m=S,
b=O
19. m=--.213 ,
b= 2
b =-4
20. m=312,
21. m=O,
b=11
b
22. m=413,
23. m=7b=O
,
=
3
24. m=-3, b=-4
25. m=9,
b=11
26. m=-8,b=7
27. m
28. m=513 ,
b =-4
29. m=7.0132,
b=-4.9875
=
b
-.3/4,
=
5
En cada uno de los ejercicios 30 a 39,encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y
que tiene pendiente m. Dibuje las rectas.
31. A(-S,3),m= I
30. A(I,3),m =2
•
32. A(O,-2),m=°
33. A(-3,O),m=312
34. A(-6,-3),m '- 1
35. A(-2,5),m=-1/2
36. A(4,O),m=-3
37. A(O,O),m=4/3
38. A(O.O1157,6.23981), m =-4.90032
39. A(-3,6),m
=
2
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos A
guientes ejercicios.
40. A(-I,3),B(5,-4)
41. A(S, 1), B(l,4)
42. A(2,O),B(-6,4)
43. A(-2,3),B(7,4)
44. A(O,O),B(-4,3)
45. A (S,1/2), B(-l, 3/4)
46. A(-I,-6), B(-I,4)
47. A(lh,4),B(O,--.213)
48. A(O,O),B(3, 1)
49. A(4,1),B(-2,-5)
y B
en cada uno de los si­
CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
68
50. A(11.211567, -3.70014 ), B(2.59172, 13.00154)
51. Demuestre que para el sistema de ecuaciones que se presenta a continuación existe
otra solución diferente de x = y = O si y sólo si ad- be = o:
•
+
ax
+
ex
by = 0,
dy
=
•
O.
52. En la escala F de Fahrenheit, el agua se congela a los 32° y hierve a los 212°. En la
escala C de Celsius, el agua se congela a los 0° y hierve a los 100°. Así, 100 grados
Celsius equivalen a 180 grados Fahrenheit. Suponga ahora que se tiene una lectura
en grados C sobre la escala de Celsius y se desea encontrar la lectura F correspon­
diente en la escala de Fahrenheit. La lectura de C se mide desde el punto de conge­
lación, y F- 32 es el número de grados Fahrenheit, medidos a partir del punto de
congel ación. Por consiguiente, se tiene la proporción C: (F-32) = 100: 180.
En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los me­
dios. Por tanto,
180C
C
=
=
100(F
32),
5
32),
9 (F
-
-
y despejando F se obtiene
F
=
9
5C +
32.
Grafique esta expresión, con el eje Fahrenheit horizontal y el eje Celsius vertical.
53. Escriba (a) 68°F en lectura Celsius; eb) 70°C en lectura Fahrenheit.
54. ¿A qué temperatura serán iguales las lecturas C y F?
55. Sea R la resistencia eléctrica medida en ohms de una pieza de alambre de cobre de
diámetro y longitud fijos a una temperatura de roe. Si R = 0.0170 ohm cuando T =
0° y R 0.0245 ohm cuando T = 100° Y si la relación entre R y T es lineal, obtenga
la ecuación que exprese esta relación entre R y T
=
56. Si la superficie curva de una varilla uniforme está perfectamente aislada (no hay
escape de calor) y sus extremos se mantienen a temperatura constante, entonces la
temperatura en cualquier punto de la varilla es una función lineal de la distancia a
uno de los extremos. Suponga que un extremo de la varilla, de 8 metros de largo, se
mantiene a 20°C mientras que el otro se mantiene a 140°C. Determínese la ecua­
ción para la temperatura, en términos de la distancia al extremo de 20°. Ahora es­
criba la ecuación para la temperatura, en términos de la distancia al extremo de 1400.
¿Concuerdan l os resultados?
57. Según la teoría de la probabilidad, la función de distribución de una variable aleatoria
uni forme en el intervalo a < x 5 b está dada por
F(x) =
0,
(x
1,
-
a)/(b - a),
si x
si a
si b
< a,
<: X <:
< x.
b,
2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
69
Grafique la función de distribución de una variable aleatoria uniforme en el interva­
lo [1, 3], es decir grafique F(x) sia 1 Y b = 3
=
58. Un productor sabe que le cuesta $2790 fabricar 2000 unidades de su producto cada
mes, mientras que sus costos fijos son de otros $2500 por mes (el costo total de
2000 unidades es de $5290). Suponga que hay una relación lineal para encontrar el
costo variable por unidad para fabricar el producto. ¿Cuál es el costo total de la
fabricación de 1000 unidades?
59. (Para estudiantes que sepan determinantes.) Muestre que la ecuación de la recta que
pasa por (XI' YI) Y (x2, y) es
Y
YI
Y2
X
XI
x2
1
1 = O.
1
2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
La ecuación de una recta se puede expresar en varias formas diferentes, tales que cada
una exhiba cierta propiedad geométrica de la recta. Como se ha visto, la forma
pendiente-ordenada al origen concentra la atención en la pendiente y en la intersección
con el eje y, mientras que la forma punto-pendiente se centra en la pendiente y en un
punto de la recta. En esta sección se deducirán dos formas adicionales, cada una con sus
ventajas en ciertas situaciones.
Se presenta primero una forma altf";1ativa para la ecuación punto-pendiente. Para
obtener esta forma se sustituye -(AIB) pUf m en la ecuación (2.6) y se tiene que
Y -
YI =
A
- B(X - XI)'
Al multiplicar por B y trasponer términos se obtiene
Ax +
Ejemplo 1
(-3, 4 ).
By
= AxI +
BYI'
(2.8)
Encuentre la ecuación de la recta con pendiente 2/5 que pasa por el punto
Como la pendiente -(AlB ) es igual a 2/5, se hace A = 2 Y B = -5. Estos valo­
res, junto con XI = -3 Y YI = 4,pueden sustituirse en la ecuación (2.8). Se tiene así,
Solución
. o, como resultado final,
2x -
5y
=
2(-3) - 5(4) = -26
2x - 5y
+ 26 = O.
•
Observe que esta ecuación se obtiene de manera más directa por la fórmula (2.8)
que por la fórmula punto-pendiente (2.6).
Suponga que la intersección con el eje X de una recta esa y la intersección con el eje
y es b, donde a :;t. O Y b:;t. O (Fig. 2.7). Luego la recta pasa por los puntos (a, O) y (O, b),
CAPiTULO 2
70
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
en consecuencia, la pendiente es -(b/a). Entonces, aplicando la fórmula punto- pendiente
se encuentra la ecuación
Y
-
b
=
b
- a( x
-
O),
la cual se puede reducir a
(2.9)
Esto se llama forma de coordenadas al origen o intersecciones con los ejes, pues se
exhiben las intersecciones en los denominadores.
Ejemplo
2 Escriba la ecuación de la recta cuya intersección con el eje x es 3 y cuya
intersección con el eje y es -5. Se reemplaza a con 3 y b con - 5 en la fórmula (2.9) y se
obtiene de inmediato
x
y
-+
3
-5
=1
o
5x -
3y = 15.
•
y
(O. b)
Figura
2.7
Ejemplo 3
o
x
- +
a
y
b
-
=
(a. O)
1
x
Escriba la ecuación 4x - 9y = -36 en la forma de coordenadas al origen.
Para tener una ecuación con el miembro derecho igual a la unidad, como en
la fórmula (2.9) , los miembros de la ecuación dada se dividen entre -36. Esto da la-for­
ma que se busca:
x
y
•
-9 + 4 = 1.
Solución
Está claro que este resultado se podría obtener encontrando primero las coordenadas
al origen a partir de la ecuación dada y después sustituyendo en la fórmula (2 .9) .
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (6, 2) Y que es per­
pendicular a la recta definida por la ecuación 4x + 5y + 7 = o. Grafique las rectas.
Ejemplo 4
Se pone 5x - 4y como lado izquierdo de la ecuación. Esto proporciona la
pendiente necesaria de la recta perpendicular. Para que la recta pase por el punto dado,
se aplica la fórmula (2.8) con XI = 6 Y YI = 2 . Así, se obtiene
Solución
71
2.2 OTRAS FORMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
5x - 4y
=
5(6) - 4(2)
o
5x - 4y
=
22.
•
La figura 2.8 muestra la gráfica.
y
4x + 5y + 7 = O
(6,2)
x
5x-4y=22
FIgura 2.8
Ejemplo 5 Los extremos de un segmento de recta están en C(7, -2) Y D(l, 6). Encuen­
tre la ecuación del bisector perpendicular del segmento CD y trace una gráfica.
Solución La pendiente CD es -413 y el punto medio se halla en (4, 2). Por tanto, el
bisector perpendicular tiene pendiente 3/4 y pasa por (4, 2). Usando la fórmula (2.8) con
A 3, B -4, XI 4 Y YI 2, se obtiene
=
=
=
=
3x - 4y = 3(4) - 4(2)
La gráfica se muestra en hi figura 2.9.
o
3x - 4y
=
4.
•
y
3x-4y=4
x
o
FIgura 2.9
C(7, -2)
CAPÍTULO 2
72
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
Según las definiciones que siguen, las rectas proporcionan el conjunto más sencillo
de ejemplos de funciones monótonas.
Algunos textos utilizan los términos "estrictamente creciente" y "estrictamente de.
creciente" en lugar de los aquí utilizados.
DEFINlCfÓN 2.2"�·�
en su dominio D si es.
Una función fes creciente en (a, b) si los valores mayores de x en (a, b) dan lugar a
valores mayores de y = f(x). Así, para una función creciente, conforme ocurre un "des­
plazamiento hacia la derecha" a lo largo de la gráfica, dicha gráfica "sube". Así mismo,f
es decreciente si a valores mayores de x corresponden valores menores de y f (x), y
conforme se va hacia la derecha la gráfica se mueve hacia abajo.
A continuación se muestra que las rectas con pendiente positiva representan fun­
ciones crecientes.
Teorema 2.2
Si
m> 0, entonces y f(x) mx +b es una función creciente en cualquier intervalo.
=
Demostración
XI
f(xl) <f(x)
trar que si
y
=
Ya que no existen restricciones en el intervalo, sólo es necesario mos­
XI < x2' entonces YI
Y2. Por otra parte, si XI < x2 y m> O, se sabe que mXI < mx2. Sumando b
x2
son dos números reales cualesquiera, con
=
a ambos lados se obtiene
que es la conclusión deseada.
Se deja al lector mostrar que si m < 0, entonces y = f (x) mx + b es una función
decreciente en cualquier intervalo. Por consiguiente, si m *" O, Y = f(x) mx + b es una
=
'
73
EJERCICIOS
función monótona en su dominio. Sin embargo, una función constante no es creciente ni
decreciente.
Se dice que una función f es no decreciente en un intervalo (a, b) si para XI < x2
resulta que f (XI ) < f(x2)· De manera similar,fes no creciente en (a,b) si para XI < x2
ocurre quef(xl) >f(x). Resulta sencillo apreciar que si una función es tanto no decre­
ciente como no creciente en un intervalo, entonces se trata de una función constante en .
ese intervalo, esto es,f(x) =f(x2) para todo XI y x del dominio de!
2
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 9 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado,
con pendiente m. Use la fórmula (2.8).
1. (4,1),m=3f2
2. (3,-5),m = _4/5
3. (5, O), m =-2/3
4. (2,2),m =2/5
5. (0,4),m =-2
6. (-1,2), m =-3
7. (2.1841, -3.0144), m =0.7642
8. (2,-3), m =_3/4,
9. (O, O), m
=
413
En los ejercicios lO a 15,escriba la ecuación de la recta cuya intersección con el eje X es
a e intersección con el eje y es b.
10. a =3, b =2
11. a =l,b=4
12. a = 3,b =-4
13. a =4/3,b =-2
14. a
=
_3/5,b =-213
15. a = 4/5, b = 3/4
Exprese cada una de las ecuaciones siguientes en la forma de coordenadas al origen
16. 4x- y= 8
17. 3x+2y=6
18. 4y=9x +36
19. 2x/3 + y/2 =5/6
20. 3x/S -12y/S = 4/3
21. 3x/4 - Sy/2
=
213
En los ejercicios siguientes encuentre la ecuación de dos rectas que pasen por el punto
dado, una recta que sea paralela a la recta dada y la otra que sea perpendicular.
22. (1,4),3x -2y+40 =O
23. (2,-1), x-2y -5 =O
24. (3,-2),x +8y
25. (6, O), 3x-3y=1
=
-3
26. (0,2),1492x+1776y=1985
27. (1,-1),Y = 1
Encuentre la ecuación de un bisector perpendicular de la recta que une los puntos A y B
en los siguientes ejercicios.
28. A(6,4),B(4,-2)
29. A(-I,-3),B(3, 5)
30. A(O ,
31. A(I.784,2.562), B(-3.190, 0.016)
CAPiTULO 2
74
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
32. Muestre que Ax + By 5 Y Bx - Ay= 2 son ecuaciones de rectas perpendiculares.
Suponga que A y B no son simultáneamente iguales a cero.
=
33. Los puntos A(-2, 3), B(6, -5), C(8, 5) son los vértices de un triángulo. Encuentre
las ecuaciones de las medianas.
34. El alquiler de un auto cuesta $20 por día y 7 centavos el kilómetro. Suponga que el
auto se alquila por un solo día; escriba una fórmula para los cargos de alquiler en
términos de la distancia recorrida y grafique la ecuación.
35. Al final de una sesión de entrenamiento un atleta presenta un ritmo cardiaco de 140
latidos por minuto. Después de un minuto el pulso baja a I J O. Luego alcanza un
"nivel" que lo lleva a que tres minutos después el pulso sea de 105.Finalmente, en
los siguientes tres minutos cae hasta 70 latidos por minuto, que es el ritmo cardiaco
del atleta en reposo. Trace la gráfica del ritmo cardiaco del atleta, mostrando la ma­
nera como el corazón se recupera después del ejercicio. Suponga que los cambios
ocurren linealmente.
36. Muestre que si y=mx + b,
quier intervalo.
Y
m < O, entonces y es una función decreciente en cual-
37. Muestre que si y=mx + b es creciente, entonces m > o.
38. Muestre que si y mx + b es decreciente, entonces m < O.
=
39. Muestre que una función es tanto no decreciente como no creciente en (a, b) si
sólo si es una función constante en (a, b).
Power6rapher
y
/
,
2.3 INTERSECCION DE RECTAS
El interés principal en esta sección serán las rectas que se intersecan.Por conveniencia,
durante el análisis se hará referencia a una ecuación lineal en dos variables como si fuera
una recta.
Ejemplo 1
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las rectas:
4x -5y=26,
(2.10)
3x + 7y=-2
(2.11 )
Solución Si se multiplican por 3 los miembros de la ecuación (2.10) Y por 4 los de la
ecuación (2.JI), se obtendrán ecuaciones equivalentes con los coeficientes de x iguales.
75
2.3 INTERSECCIÓN DE RECTAS
12x -15y 78,
(2.12)
12x + 28y -8
(2.13)
=
=
.
Ahora se restan de la ecuación (2.13) los miembros correspondientes de la ecuación (2.12)
para eliminar x, despejando y:
43y=-86,
y -2.
=
Si se sustituye -2 por yen la ecuación (2.1O ) o en la (2.11), se encuentra que x 4. Por
tanto, la intersección de las rectas dadas es (4, -2). La gráfica de las rectas aparece en la
figura 2.10. •
=
y
4x-5y= 26
x
3x+ 7y=-2
Figura 2.10
Hay gran cantidad de problemas en los negocios y en la economía que se resuelven
encontrando la intersección de dos rectas. Un ejemplo típico incluye lo que se llama aná­
lisis sin pérdidas ni ganancias. Suponga que un negocio tiene una función de costo li­
neal que relaciona el costo (y dólares) de fabricar y vender x unidades de su producto.
.
Entonces,
y =
vx
+
b,
donde b es el costo fijo (alquiler, etc.) de sostener el negocio. Además, los ingresos obte­
nidos al vender x unidades a d dólares por unidad están dados por
y = dx.
El punto sin pérdidas ni ganancias es la intersección (XI' YI) de la recta de costo y la
recta de ingresos. La compañía debe fabricar mas de XI unidades para tener ganancias.
Ejemplo 2
Suponga que la Corporación Doble T Roja tiene una función de costo de
y
=
500x + 4025,
y una función de ingresos de
y 675x.
=
76
CAPíTULO 2
lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
¿Cuál es el punto sin pérdidas ni ganancias para la corporación?
Solución Se resuelven simultáneamente las dos ecuaciones lineales, igualando los va­
lores de y, para obtener
675x = 500x +4025,
o bien
175x = 4025.
Así,
x = 23.
La compañía debería fabricar 23 unidades para salir sin pérdidas ni ganancias
por tanto, tendría que fabricar más de 23 unidades para tener ganancias. •
y,
•
y
x
+y=I
Figura
2.11
Una recta del tipo Ax +By + e = ° separa el plano en tres regiones: los puntos a un
lado de la recta, los puntos en el otro lado de la recta y los puntos sobre la recta misma.
Los puntos sobre la recta satisfacen la ecuación, en tanto que los puntos a un lado satis­
facen la desigualdad Ax +By + e > 0, y los del otro lado satisfacen la desigualdad Ax +
By + e < O. Por ejemplo, los puntos por debajo de la recta x + y = I tienen ordenadas
menores que las ordenádas sobre la recta. Por tanto, la región sombreada en la figura
2.11 queda descrita mediante la desigualdad y< l - x o por x + y- I < O.
En esta forma se puede determinar una región en el'plano con la propiedad de que
caoa punto de la región satisfaga cada una de diversas desigualdad\:s lineales.
Ejemplo 3 Grafique la región en el plano que satisface las desiguldades lineales x +y2< 0, y- x > 0, x > O.
77
EJERCICIOS
Solución Grafique y= x ,
seguido se encuentra que la región requerida se localiza por encima de la recta x
que y > x) ,
aparece sombreada en la gráfica. •
=
y (ya
y
x
FIgura 2.12
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 10, encuentre el punto de intersección del par de rectas de cada
problema.
1 . 2x - 5y =20,3x+2y= 11
2. 2x - 3y= 6,x+y=3
3. 4x+3y=28,2x- 3y=5
4. 5x-4y=7,3x-2y = 4
5. 3x+2y= 30,3x-5y' -19
6. 3x-6y =13,4x+3y=-1
7. 2x+3y=8,2x-3y=4
8. 4x - 3y =8,2x + 6y=-1
9. 3x+5y=6,5x-y=10
10. 5x +4y=50,5x -4y = 50
1 1 . Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas x - 2y + 1 = O, 3x - y - 13 =
O y 2x+y- 13 = O. Encuentre los vértices.
12. Los lados de un triángulo están sobre las rectas x +y +6 = O, x+2y -4 =O Y 3x +y
+2 =O. Encuentre los vértices.
1 3 . U na persona quiere mezclar gasolina superligera con gasolina ligera para obtener 500
galones de mezcla con valor de $600.00. Si la gasolina ligera cuesta $1.11 por galón
y la superligera $1.25 por galón, ¿cuántos galones de cada una contiene la mezcla?
1 4. En investigación de mercado, una curva de demanda relaciona la demanda (x unida­
des) de un producto con el precio (y dólares) por unidad que el mercado está dis­
puesto a pagar. Una curva de oferta refleja el número de unidades que un fabricante
CAPiTULO 2
78
lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
está dispuesto a surtir a un precio dado. Las curvas de demanda tienen pendientes
negativas, mientras que las curvas de oferta tienen pendientes positivas. Para cierto
producto, se encuentra que la curva de demanda está dada por y = 80 -3x,mientras
que la curva de oferta está dada por y = 20+2x. Encuentre el punto de equilibrio de
mercado para el producto (el precio y la cantidad que satisfagan tanto la oferta como
la demanda).
15. Si la curva de demanda para un producto está dada por y = 400 - O.Olx, mientras
que la curva de oferta está dada por y = 300+ 0.15x, encuentre el punto de equili­
brio para el producto en el mercado.
16. Grafique la región descrita mediante cada una de las siguientes condiciones:
a) 2x-3y<6
c) 2x-3y�6
b) 2x-3y>6
d) 2x--':3y�6,x+y� l,yx>O.
17. ¿Cuál gráfica describe la región especificada por la desigualdad 2x+y> 47
y
o
(a)
y
x
o
(b)
x
(e)
(d)
2.4
79
DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO
2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO
La distancia dirigida de una recta a un punto puede encontrarse a partir de la ecuación de
la recta y las coordenadas del punto. Para una recta vertical y una horizontal, las distan­
cias se determinan con facilidad. Se verán primero estos casos particulares y después se
considerará una recta inclinada.
Si el punto P(x" y¡) se encuentra a la derecha de la recta vertical x = a, entonces la
distancia dirigida de la recta al punto es positiva e igual a x¡ a. Si P(x¡, y¡) estuviera a
la izquierda de la recta x =a, la distancia dirigida de la recta al punto sería negativa y, de
nuevo, igual a x¡ a. Puede verse que en cada caso la distancia dirigida de la recta verti­
cal x = a al punto P(x" y¡) está dada por
-
-
d=x¡-a.
Un argumento similar muestra de inmediato que la distancia dirigida desde una recta ho­
rizontal y =b al punto P(x¡, y) está dada por
d=y¡-b.
y
L'
Q
L
Figura 2.13
o
x
El caso general, el de una recta inclinada L y un punto PJx¡, y) fuera de L, conlleva
un razonamiento algo más delicado que los casos particulares recién considerados. El
lector debe seguir con cuidado el razonamiento, pues se usan muchas ideas de las sec­
ciones anteriores del libro, junto con algunos razonamientos algebraicos.
Se considerará a continuación una recta inclinada L y un punto p¡(x¡, y¡) como se
muestra en la figura 2.13. Se buscará ahora la distancia perpendicular de L al punto PI' La
recta L' pasa por p¡ y es paralela a L. La recta que pasa por el origen y es perpendicu­
lar aL interseca a L y L' en P y Q. Se escoge la ecuación lineal general para representar la
recta L. Entonces se pueden expresar las ecuaciones de L, L' Y de la recta perpendicu­
lar, respectivamente, mediante
CAPíTULO 2
80
A.x + By + e
A.x + By +
=
C'
=
lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
0,
(2.14)
0,
(2.15)
(2.16)
Bx- Ay=O.
La solución simultánea de las ecuaciones (2.14) y (2.16) da las coordenadas de P,
mientras que la solución simultánea de las ecuaciones (2.15) y (2.16) da las coordenadas
de Q. Estas coordenadas son, como puede verificarse,
p
-Be
-Ae
A2+B2' A2+B2
-Be'
-AC'
Q
A2+B2' A2+ B2 .
y
Se llamará d a la distancia perpendicular de la recta dada L al punto p¡. Entonces, d tam­
bién es igual a la distancia de P a Q. Para encontrar la distancia de P a Q, se usa la
fórmula de la distancia de la sección 1.1. Así, se obtiene
d2
=
_
(e - C')2 B2
(e - e')2 A2
+
IPQI2
8
(A2+ 82)2
(A2+ 2)2
(e - C')2
(e - e'f( A2+B2)
(A2+B2?
A2+B2
=
y
d
=
e - e'
-;:=;=
;¡::
=;<
-
±YA2+B2'
Como la recta de la ecuación (2.15) pasa por p¡(x¡, y), se tiene que
A.x + By¡
¡
+ e'
C' =-Ax ¡ -By¡
•
=
o
y
Por tanto, sustituyendo e' se obtiene
d
=
Ax! +By! + e
±YA2+B2 .
(2.17)
Para eliminar la ambigüedad del signo en el denominador, se está de acuerdo en que
d sea positiva si p¡ está arriba de la recta dada L y negativa si p¡ está debajo de la recta.
Es posible lograr esto escogiendo el signo del denominador igual al signo de B. Esto es,
el coeficiente de YI será BI.J A2+B2 cuando B sea positiva, y será BI-.J A2 + B2 cuan­
do B sea negativa. Por tanto, en cada caso el coeficiente de y¡ será positivo. Remitiéndo­
nos de nuevo a la figura 2.13, sea Po(x¡, Yo) un punto sobre la recta L tal que POp¡ sea
paralelo al eje y. Como Po está sobre la recta L, se tiene la ecuación
Ax! +Byo + e
=
o
.
±YA2+B2
Suponga ahora que p¡(x¡,y¡) está arriba de la recta L. Entonces, YI es mayor que Yo'
por lo cual
2.4
81
DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO
y
B
Y
2
A2
Y
±
+B ]
>
B
+yA2 + B2YO'
(2.18)
puesto que se acordó escoger el signo en el denominador de manera que la fracción
B/±.JA 2 + B2 sea positiva. Si se suma ahora (Axl + C)/±.JA 2 + B2 en ambos lados de la
ecuación (2.18), se' encuentra que
d=
Ax] + By] + e Ax] + Byo + e o
= .
>
+YA2 + B2
±YA2+B2
De este modo, si PI(XI, YI) está arriba de la recta L, entonces d es positiva.
Así mismo, si PI(XI,Y) está debajo de la recta L, entonces, con PO(xl, Yo) escogido
como antes, se tiene que
y
B
B
o
Y
Y
> +
2
2
A2
±Y + B
YA2 + B J.
Sumando, como se hizo antes, se encuentra que
Ax] + Byo + e Ax] + By] + e
±YA2 + B2 > +YA2 + B2
0=
=
d
.
Por consiguiente, si PI(XI, YI) se encuentra debajo de la recta L, d es negativa. Con base
en este análisis, se enuncia el siguiente teorema.
Teorema 2.3
•
La distancia dirigida de la recta inclinada
por la fórmula
d
=
Ax + By +
e
=
o al punto
+ BYI + e
+YAz + BZ •
Axl
-
p¡(xl' YI)
está dada
(2.19)
donde el denominador está dado por el signo de B. La distancia es positiva si el punto P
se halla arriba de la recta, y negativa si P está debaj o de lafecta.
Ejemplo 1 Encuentre la distancia de la recta 5x
1) Y P3(9, O).
=
12y+ 26 a los puntos pp, 5), P/--4,
Solución La ecuación se escribe en la forma 5x - 12y - 26 = O Y se aplica la fórmula
(2.19) con el denominador negativo. Entonces, remitiéndose a la figura 2.14, donde se
localizan la recta y los puntos dados, se tiene que
82
CAPíTULO 2
49
5(3) - 12(-5) - 26
di =
-13
-V52 + 122
lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
=
5(-4) - 12( 1) - 26
-58
=
=
d2 =
13
13
19
5(9) - 12(0) - 26
d3 1
-13 - 3
_
49
13'
58
-
__
_
-
13'
1.2
•
13'
y
Pk4,1)
d
\
2 \
O
x
\
\
d,
•
Figura
P,(3, -5)
2.14
Encuentre la distancia entre las rectas paralelas 15x + 8y + 68
Ejemplo 2
8y-51 0
=
=
O Y 15x +
.
Solución La distancia entre las rectas se puede encontrar calculando la distancia de
cada recta a un punto particular. Para minimizar los cálculos, el origen se escoge como
ese punto particular. Así,
6_
68
1
5....:.
(0�.. + 8=
+
(0
_
=,=
4
di
,=:=;¡
r=
\1152 + =:=;¡
17
82
_
,
15(0) + 8(0) - 51
-51
-3 .
=
17
17 =
Estas distancias revelan que el origen está 4 unidades sobre la primera recta y 3 unidades
debajo de la segunda. Por tanto, las rectas dadas distan 7 unidades.
Un método alternativo para este problema sería encontrar la distancia de una de las
rectas a algún punto sobre la otra recta. El punto (3.4, O) se halla en la segunda recta
dada, de modo que, usando este punto y la primera ecuación, se encuentra
Ejemplo 3 Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos agudos formados por
las rectas x 2y + 1 O Y x + 3y 3 O.
-
=
-
=
2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO
83
Solución
Se grafican las dos rectas para determinar cuál de los dos ángulos es el ángu­
lo agudo entre las rectas (Fig. 2.15). A partir de la gráfica, se observa que un punto P(x',
y') está sobre el bisector del ángulo agudo si se encuentra arriba de una recta y debajo de
la otra. Si las distancias dirigidas el, y d2 son como se indica en la figura 2.15, entonces,
como P se halla arriba de una recta y debajo de la otra, deberá tenerse di -d2• Por la
fórmula 2.19, se tiene
=
3y' - 3
vIo
+
- 2y' +
-Vs
y
I
•
y
x-
2y+ I =0
- --
-
P(x',y')
x
x+3y- 3 =0
Figura 2.15
Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado:
X
X
'
'
+
3y'
- 3
x' - 2y' + 1
----'::=Vs
'
-
vIo
+ 3y' - 3
'
= X
2y' + 1,
V2
+ 3y' - 3 = V2(x' - 2y' + 1),
V2)x' + (3 + 2V2)y' = 3 + V2.
-
'
(1
�
-
Quitando las primas se obtiene la ecuación que se busca:
(l - V2)x
Ejemplo 4
+
(3
+
2V2)y
=
3 + V2.
•
Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos obtusos del ejemplo 3.
Solución
El ángulo obtuso entre las rectas, como se indica en la figura 2.16, está arriba
de ambas rectas (o, si se quiere, debajo de ellas). Así, si el punto P(x', y') se baIla sobre
el bisector del ángulo obtuso y si di y d2 son las distancias dirigidas, como se indica en la
figura 2.16, entonces di y d2 tienen el mismo signo (ambos positivo o ambos negativo).
De este modo se obtiene
di
=
X
'
- 2y' +
- Vs
1
y
d2
=
X' + 3y' - 3
vIo
•
CAPíTULO 2
84
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
y
P(x', y')
d,
x - 2y + 1
=
O
x
Figura 2.16
x+3y-3=O
Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado:
'
X
- 2y' + 1
-Y5
x'
x' - 2y' + 1 - x'
-1
,
+
3y' - 3
+
3y' - 3
Vio
V2
V2(x' - 2y' + 1) = -x' - 3y'
(1 + V2)x' + (3 - 2 V2 ) y' + V2
,
+
-
,
3,
3 = O.
Quitando las primas, se obtiene la ecuación que se busca:
(1 + V'z">x + (3 - 2V2)y - 3 + V2 = O. •
Para utilizar la fÓllnula de la distancia dirigida (2.19) con el fin de encontrar la ecuación
de un bisector de un ángulo, primero se deben graficar las rectas que forman el ángulo
para determinar si el ángulo que se va a bisectar está sobre ambas rectas (como en el
ejemplo 4) o si está sobre una y debajo de la otra (como en el ejemplo 3).
Ejercicios
Encuentre la distancia dirigida de la recta al punto en cada uno de los ejercicios 1 a 12.
1. 5x-12y+ 3 = O; (-2,1)
2. 4x+3y=5; (2,-5)
3. 12x+5y- 6 =0; (4,-6)
4. 3x- 4y=12; (-2, -1)
5. x + y+4
=
O; (5,4)
7. 2x+3y- 4 = O (0,4)
6. 3x- y= 10; (0,8)
8. x - 2y ,.... 6; (2,2)
EJERCICIOS
85
10. 4x -3y=7; (O ,
9. x+5y+3=0; (3,3)
11. Y-6= O; (5, 3)
12. x+3=0; (-1,--4)
En los ejercicios 13 a 25 encuentre la distancia entre las dos rectas paralelas.
14. 12x+5y=15
13. 3x -4y-9=O
3x+4y+3
=
12x+5y=12
O
16. x-y+7=0
15.15x+8y+30=0
15x+8y+20
=
x-y + ll =O
O
18. 2x+3y-6=0
17.10x+24y=14
2x + 3y+2=O
5x+12y=-12
20.x+2y + 5 =O
19.4x+y=6
x+2y-4
12x+3y=14
=
O
22. 3x+2y - 6 = O
2I.x-y=16
2x-2y=15
3x+2y-4=0
23. 2.371849x - 15.913565y
=
7.109436
2.371 849x -15.913565y =5.298325
25. 3x-2y+7=0
24. 2x-5y=14
3x-2y-7
4x-10y= 14
=
O
26. Encuentre la ecuación de la recta que biseca el primer cuadrante.
27. Un circunferencia tiene su centro en (--4,-2) Y es tangente a la recta 3x+4y-5=O.
¿Cuál es el radio de"Ia circunferencia? ¿Cuál es la ecuación del diámetro que es
perpendicular a la recta?
28. Encuentre la ecuación del bisector del par de ángulos agudos formados por las rec­
tas 4x -3y 8 Y 2x + y 4
=
=
29. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también la ecuación del
bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas 7x - 24y=8 Y 3x + 4y 12.
=
30. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también la ecuación del
bisector de los ángulos obtusos formados por las rectas x+y=2 Y x + 2y= 3.
3l . Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos agudos y también el bisector de
los ángulos obtusos formados por las rectas 3x -y-5 =O Y 3x+ 4y-12 =O.
( I,
32. Los vértices de un triángulo se encuentran en A(2,4),Bla longitud de la altura del vértice BaIlado AC A continuación, calcule el área del
triángulo.
•
CAPiTULO 2
86
lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
33. Los vértices de un triángulo están enA(-3, -2), B(2, 1) Y C(6, 5). Encuentre la longi­
tud de la altura del vértice e al ladoAB. A continuación, calcule el área del triángulo.
34. La ecuación de una línea de gas es 2x + y 2. Una fábrica localizada en (6, 7) se
conectará perpendicularmente con la línea de gas. Encuentre la ecuación de la línea
de conexión y la longitud de la tubería requerida, si las unidades son kilómetros.
=
35. Un tanque cilíndrico de 6 m de radio reposa sobre su lado paralelamente y contra la
pared de un almacén. Hay una escalera de mano apoyada contra el edificio, que pasa
sobre el tanque, apenas tocándolo, y tiene una pendiente de _3/4. Encuentre una ecua­
ción para la recta de la escalera y la longitud de la escalera. (Véase Fig. 2.1 7.)
y
o
�------��---.
x
Figura 2.17
36. Con los datos del problema 33, determine la recta de Euler. *
2.5 FAMILIAS DE RECTAS
Las ecuaciones de las rectas se han expresado en varias formas. Entre éstas se encuen­
tran las ecuaciones
y=mx + b
*
y
El boricentro, el ortocentro y el circuncentro de cualquier triángulo están alineados. La recta
que los contiene se Ilarna recta de Euler.
I
(Nota del R. T)
2.5
FAMILIAS DE RECTAS
87
Cada una de estas ecuaciones posee dos constantes que tienen importancia geométrica.
Las constantes de la primera ecuación son m y b. Cuando se asignan valores definidos a
estas letras, la recta queda completamente determinada. Por supuesto, que otros valores
de estas constantes determinan otras rectas. ASÍ, las cantidades m y b están fijas para
cualquier recta particular, pero cambian de una recta a otra. Estas letras se llaman
parámetros. En la segunda ecuación los parámetros son a y b.
Una ecuación lineal con un parámetro representa rectas, todas con una propiedad
particular. Por ejemplo, la ecuación y = 3x + b representa una recta con pendiente 3 y
ordenada al origen b. Se considerará a b como un parámetro que puede tomar cualquier
valor real. Como la pendiente es la misma para todos los valores de b, la ecuación repre­
senta un conjunto de rectas paralelas. La totalidad de las rectas así determinadas se llama
familia de rectas. Es claro que hay infinidad de rectas en la familia. De hecho, por cada
punto del plano coordenado pasa una recta de la familia.
2x-3y=k
Ejemplo 1
Solución
Escriba la ecuación de la familia de rectas con pendiente 2/3.
Se escoge la ecuación
2x-3y=k
para representar la familia de rectas. La gráfica de esta ecuación es una recta de pendien­
te 2/3 para cualquier valor particular del parámetro k. Por tanto, haciendo variar a k, se
representa una familia de rectas paralelas. La figura 2.18 muestra unas cuantas rectas de
la familia correspondientes a los valores indicados de k. •
y
2
1
4
-3
5
6
x
Figura 2.18
Ejemplo 2
Analice la familia de rectas representadas por la ecuación
y-2 =
(x - 4).
m
Solución Ésta es una ecuación de una familia de rectas que pasan por el punto (4, 2).
La familia está formada por todas las rectas que pasan por este punto, excepto la recta
veltical. No hay valor alguno del parámetro m que dé una recta vertical. En la figura
2.19 se dibujan unas cuantas rectas de la familia.
88
CAPíTULO 2
lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
y
m=2
m= 1
�-- m=O
x
FIgura 2.19
Ejemplo 3
m=-2
Escriba una ecuación de la familia de rectas perpendiculares a la recta.
3x- 2y 5
=
Solución La pendiente de la recta dada es 312, de modo que se busca una familia de
rectas con pendiente -2/3. Para ello, se escoge la ecuación
2x + 3y k. •
=
Ejemplo 4 Escriba una ecuación de la familia de rectas donde el producto de las inter­
secciones es igual a 4.
Solución
Usando a como parámetro, se toman las intersecciones a y 4/a y se escribe
x
y
+
a 4/a
=
l.
La familia también se puede expresar como
4x + a2y 4a, a*- O.
=
•
Ejemplo 5 Escriba la ecuación de la familia de rectas que son paralelas a la recta 5x +
12y+ 7 O. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que están a 3 unida­
des del punto (2, 1).
=
Solución Cada miembro de la familia 5x+12y + C O es paralelo a la recta dada. Se
buscan valores del parámetro e que den rectas a 3 unidades del punto (2, 1), una arriba
del punto y la otra debajo de éste. Usando la fórmula para la distancia de una recta a un
punto, se obtienen las ecuaciones
=
5(2) + 12(1) + e
13
=
Las raíces de estas ecuaciones son e 17
que se piden son
5x+ 12Y + 17 O Y
=
=
5(2) + 1 2( 1 ) + e 13
y
3
Y
e
=
-
3.
-61. Por consiguiente, las ecuaciones
5x+12Y 61
-
=
O.
•
La ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos
rectas dadas se puede escribir de inmediato. Como ilustración se consideran las dos rec­
tas que se intersecan
2.5
FAMILIAS DE RECTAS
89
2x - 3y+ 5 = O Y
4x + y - 11 = O.
De los miembros izquierdos de estas ecuaciones se forma la ecuación
(2x - 3y+ 5) + k(4x + y- 11) = O,
(2.20)
donde k es un parámetro. Esta ecuación es de primer grado en x y ypara cualquier valor
de k. Por ello, representa una familia de rectas. Además, cada recta de la familia pasa
por la intersección de las rectas dadas. Se verificará esta afirmación, realizando la susti­
tución. Las rectas dadas se intersecan en (2, 3). Entonces, usando estos valores para x y
y, se obtiene
(4 - 9 + 5) + k(8 + 3 - 11)=O,
0 + k(O)=O,
0=0.
Este resultado demuestra que la ecuación (2.20) es satisfecha por las coordenadas (2, 3),
independientemente del valor de k. Por esta razón, la ecuación define una familia de rec­
tas que pasa por la intersección de las rectas dadas.
En general, sean
A,x+B,Y + C, =0
A¡: + B71 + C2=O
las ecuaciones que definen dos rectas que se intersecan. Entonces, la ecuación
A,x + B,Y + C I =O + k(A¡:+B71 + C2)=O
representa una familia de rectas que pasan por la intersección de las rectas dadas. Para
verificar esta afirmación, se observa ppr;lero que la ecuación sea lineal para cualquier
valor de k. Después se observa que las coordenadas del punto de intersección reduz­
can a cero cada parte entre paréntesis y, por tanto, satisfagan la ecuación para cualquier
valor de k.
Ejemplo 6 Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de
2x - y- 1 O y 3x + 2y - 12 =O. Encuentre el miembro de la familia que pasa por (-2,
1). Trace una gráfica.
=
Solución
dadas es
La ecuación de la familia de rectas que pasan por la intersección de las rectas
(2x - y-I) + k(3x + 2y- 12)=0.
(2.21)
Para encontrar el miembro de la familia que pasa por (-2, 1), se reemplaza x por -2 y Y
por 1. Esto da
(-4 - 1 - 1) + k(-6 + 2 - 12) = O,
3
k = -s.
Reemplazando k con -3/8 en la ecuación (2.21), se obtiene
(2x
o, simplificando,
- y - 1) -
�(3x
+
2y - 12)
=
O.
90
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
CAPíTULO 2
x-2y+4=0
En la figura 2.20 se muestran esta recta y tres miembros de la familia.
•
y
-"
(-2, 1)
x-2y +4
=
x
O
Figura 2.20
Ejemplo 7 Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de
x- 7y+ 3 = O Y 4x+ 2y- 5 =O. Encuentre el miembro de la familia que tiene pendiente 3.
Solución
dadas es
La ecuación de la familia de rectas que pasa por la intersección de las rectas
(x- 7y +3) +k(4x+ 2y-5) =O
o, agrupando términos,
(1 +4k)x+(-7+2k)y+3-5k=0.
La pendiente de cada miembro de esta familia, excepto para la recta vertical, es
-( 1 +4k)/(2k- 7). Si esta fracción se iguala con la pendiente que se pide, resulta
3
_1 + 4k
=
2k
7
-
El miembro del sistema para k
=
y
2 es 9x- 3y- 7 =O .
k
=
2.
•
Ejercicios
En los· ejercicios 1 a 9 indique qué propiedad geométrica poseen todas las rectas de cada
familia. Las letras distintas de xy yson parámetros.
l . y=mx-4
4.
Y - 4 =m(x+ 3)
7. 3x- ay 3a
=
2. y=3x-t b
3. 2x - 9y k
5 . ax-3y=a
6. x+ ay=2a
8. ax- 2y=4a
9.
=
ax
+ ay=3
En los ejercicios lOa 1 7 escriba la ecuación de la familia de rectas que poseen la propiedad
dada. En cada caso, asigne tres valores al parámetro y grafique las rectas correspondientes.
91
EJERCICIOS
10. Las rectas son paralelas a 4x - 7y
==
3.
11.Las rectas pasan por (3, - 4 ).
12. La intersección con el eje yes el doble de la intersección con el eje x.
1 3.Las rectas son perpendiculares a 3x - 4y
=
5.
14. La abscisa al origen es igual a 3.
15.La suma de las intersecciones es igual a 5.
16. El producto de las intersecciones es igual a 8.
17.El producto de las intersecciones es 28.
18.Escriba la ecuación de la familia de rectas con pendiente -2, y encuentre las
ecuaciones de dos rectas situadas a 4 unidades del origen.
19. Escriba la ecuación de la familia de rectas paralelas a 4x -3y + 5 0, y encuentre
las ecuaciones de las dos rectas que se hallan a 5 unidades del punto (2, -3).
=
20. Escriba la ecuación de la familia de rectas que es paralela a la recta 3x+4 y+5 O.
Encuentre las ecuaciones de los dos miembros de la familia que están a 3 unidades
del punto (1, 2).
=
21. Escriba la ecuación de la familia de rectas que es paralela a 5x + 12y+2 O. En­
cuentre las ecuaciones de los dos miembros de la familia que están a 2 unidades del
punto (2, 2).
=
22. La recta 2x - 3y + 2 ° está a la mitad entre dos rectas paralelas que distan entre sí
6 unidades . Encuentre las ecuaciones de las dos rectas .
=
23. La recta 3x+2y + 4 ° se halla a la mitad entre dos rectas paralelas que distan 4
unidades entre sÍ. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas .
=
24.La recta 3x - 4y 4 está a la mitad entre dos rectas que distan 8 unidades entre sÍ.
Encuentre las ecuaciones de las dos rectas.
=
En los ejercicios 25 a 31 e' ncuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección
del par de rectas dadas y satisface la otra condición dada .
25. x - 5y - 4
=
26. 3x + 5y - 2
=
27.2x+5y+7
28. x - y - 4
=
29.3x+4 y - 2
30.5x - 3y+2
31.3x+y - 4
0 ,2x + 3y+2
=
0 ,x + y+2
=
==
==
=
O; la intersección con el eje x es 4.
O; pasa por (O,O).
0, 3x - 4y+1
0, x+y - 2
O; pasa por (2,5).
O;pasa por (-4, -2).
=
0,4x - 2y + 3
0,2x + y -5
==
=
=
==
O;
O; las intersecciones son iguales.
m
==
3.
0, x + 11y O; recta vertical.
=
32.Los lados de un triángulo están sobre las rectas 2x + 3y + 4 0, x - y + 3 ° y 5x +
4 y - 20 O. Encuentre las ecuaciones de las alturas sin obtener los vértices.
==
==
=
33. Los lados de un triángulo están sobre las rectas 3x - 5y + 2 0 ,x+y - 2 ° y 4x3y - 3 O. Encuentre las ecuaciones de las alturas sin obtener los vértices .
==
==
==
CAPíTULO 2 ,lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
92
34.
Encuentre la ecuación de la familia de rectas donde cada uno de los miembros for­
ma, con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es de 17 unidades cuadradas.
2.6 LA CIRCUNFERENCIA
Ya se vio cómo se escribe la ecuación de una recta cuya posición en el plano coordenado
se especifica. Se descubrirá que es igualmente fácil escribir la ecuación de una circunfe­
rencia, si se conoce la localización de su centro y el radio. Primero se dará una defini­
ción explícita de circunferencia
...
.
.
.
"
.'
"
los p�ntos sobIe
.
...
'El punt� fijo�e
liama
Ilam� rádio.
Sea el centro de la circunferencia un punto fijo C(h, k) y sea el radio igual a r. En­
tonces, si P(x, y) es cualquier punto de la circunferencia, la distancia de e a P es igual a
r (Fig. 2.21). Esta condición requiere que
y'-:-x
( -----:h:-:<)
---:(
-,--,;
)2
= r
y
C(h, k)
o
x
Figura 2.21
y, elevando al cuadrado,
(2.22)
Esta fórmula exhibe las coordenadas del centro y la longitud del radio y, en consecuen­
cia, a menudo se le llama forma centro-radio de la ecuación de la circunferencia,
Recíprocamente, la gráfica de una ecuación de la forma (2.22) es una circunferencia
con centro en (h, k) y radio igual a r. Este hecho es evidente, puesto que la ecuación es
,
2.6 LA CIRCUNFERENCIA
93
satisfecha por y sólo por los puntos cuya distancia a (h, k) es r. Por esta razón es un a
tarea fácil escribir la ecuación de una circunferencia cuyo centro y radio se conocen ,o
dibujar un a circunferencia cuya ecuación esté expresada en la for ma (2.
22).
Si el centro de un a circunferencia está en el origen (h O,k O) y el radio es r, su
ecuaClon es
=
.
=
,
(2.23)
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de un a circunferencia de radio 4 y centro en (3,-2).
Solución Si el centro de la circunferencia está en (3,- 2) y el radio es 4, la ecuación
del circunferencia resulta ser:
o bien
X2 + y2 - 6x + 4y - 3 = O.
•
La ecuación (2.
22) se puede presentar en otra for ma, ele van do al cuadrado los
bino mios y agrupando tér minos.Así
2hx
+
y2 - 2hx
-
x2
x2
+
-
h2 + y 2 - 2ky + k2
2ky + h2 + k2 - r2
=
=
r2,
O.
L a últi ma ecuación es de la for ma
X2 + y2 + Dx + Ey + F
=
O.
(2.24)
,
Esta se lla ma forma general de la ecuación de un a circunferencia.
Recíproca mente,un a ecuación de la for ma (2.2 4) se puede reducir a la for ma (2.22)
mediante el si mple recurso de co mpletar los cuadrados en los tér minos x y en los tér mi­
nos y. Se ilustra el procedi mien to.
Se ca mbiará la for ma general
r +y
+
Dx + Ey + F= O
a la for ma centro-radio.Para ello ,se separan los tér minos x y los tér minos y en el lado
iz quierdo y se pone el tér mino constan te a la derecha.Luego ,
X2 + Dx + y2 + Ey =-F
A continuación se su ma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a los tér minos x y el
cuadrado de la mitad del coeficiente de ya los tér minos y, y se su ma la mis ma cantidad
en el lado derecho. Esto da
CAPITULO 2
94
LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
,
Ahora los términos x y los términos y son cuadrados perfectos. Por tanto, se escribe
D 2
x+- +
E 2
y+-
2
2
Esta ecuación se encuentra en la forma centro-radio. La ecuación tendrá una gráfica, la
cual es una circunferencia, si
D2
E2
+-¡-F
4
es positivo. También tendrá gráfica si el miembro de la derecha es igual a cero. Enton­
ces, la gráfica constará del único punto
(-D/2, -E/2). En este caso, a la gráfica se le sue­
le llamar circunferencia puntual. Está claro que ningún valor de x y y satisface la ecuación
cuando el miembro de la derecha es negativo.
Ejemplo
2
Cambie la ecuación
2X2 + 2y2 - 8x + 5y - 8 0
=
O
a la forma (2.22).
Solución
Primero se divide entre 2 para reducir la ecuación a la forma general (2.24). Así,
XL+ y2
-
4x
+
; y - 40
=
O.
A continuación, dejando los espacios para los términ<-. por sumar para completar los
cuadrados, se tiene
= 40.
El cuadrado de la mitad del coeficiente de x va en el primer lugar y el cuadrado de la
mitad del coeficiente de y va en el segundo lugar. Entonces, se tiene que
(X-o
4x + 4)
(x
+
-
(
-v
2
+
2)2 +
)
+
(y + ¡)2
5
-\"
2-
25
16
-
=
40
=
e:r.
+
4
+
25
16'
-
Esta ecuación se halla en la forma que se busca y revela que la ecuación dada es la de
una circunferencia con centro en (2, -5/4) Y radio igual a 27/4. La gráfica se encuentra
en la figura 2.22.
En vista de que los paquetes de graficación sólo graficarán funciones y no relaciones
que no sean funciones, si se desea usar algunas de estas herramientas de grafición para
graficar resultará necesario separar la ecuación de la circunferencia en una semicircun­
ferencia superior y una inferior, cada una de las cuales es un función. En consecuencia,
para graficar la circunferencia del Ejemplo 2 utilizando un paquete de graficación se debe
despejar y para obtener
v =
5
-- +
4
-
y luego graficar las dos funciones (una con signo + y la otra con signo -) sobre la misma
pantalla. El rectángulo de la pantalla debe ser suficientemente grande para incluir los
intervalos
[-6, 10] en el dominio y [-10, 6] en la imagen. Si las escalas horizontal y
vertical no son las mismas, la gráfica quizá no luzca como una circunferencia.
2.6 LA CIRCUNFERENCIA
95
y
x
o
•
Figura
2.22
Ejemplo 3
¿Cuál es la gráfica, si existe, de la ecuación
x2+y +4x-6y+ 14=0?
Solución
Al completar cuadrados se encuentra
(x +2 )2+ (y - 3)2= - 1
Está claro que el miembro izquierdo de esta ecuación no puede ser negativo para valores
reales de x y y. Por ello, la ecuación no tiene gráfica. •
•
Circunferencias determinadas por condiciones geométricas
Se ha visto cómo escribir la ecuación de una recta a partir de cierta información que fija
la posición de la recta en el plano coordenado. Se considerará ahora un problema análo­
go con respecto a la circunferencia. Tanto la forma centro-radio como la forma general
de la ecuación de una circunferencia, serán útiles en esta relación. Hay innumerables con­
diciones geométricas que determinan una circunferencia. Se recordará, por ejemplo, que
una circunferencia puede pasar por tres puntos que no se encuentren sobre una recta. Se
ilustrará primero este caso.
Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(l; -2),
Q(5, 4) Y R(10, 5)
Solución
La ecuación de la circunferencia se puede expresar en la forma
96
CAPiTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
X2 + y+ Dx + Ey + F
O
=
El problema es encontrar valores para D, E Y F tales que la ecuación se satisfaga con las
coordenadas de cada uno de los puntos dados. Por tanto, x y y se sustituyen con las coor­
denadas de estos puntos. Esto da el sistema
1 + 4 + D-2E + F=O,
25 + 16 + 5D + 4E + F 0,
100 + 25 + lOD + 5E + F O.
=
=
La solución de estas ecuaciones es D = - 18, E =6 y F =25. Por tanto, la ecuación que
se busca es
xl
+y2 - 18x + 6y + 25
=
O.
De manera alternativa, este problema se puede resolver aplicando el hecho de que
los bisectores perpendiculares de dos cuerdas no paralelas de una cirqmfe..rencia se
intersecan en el centro. Así, las ecuaciones de los bisectores perpendiculares de PQ y
QR (Fig. 2.23) son
•
2x + 3y=9
y
5x + y
=
42.
,
La solución de estas ecuaciones es x= 9, y = - 3. Estas Son las coordenadas del
centro. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados. Por consi­
guiente, la ecuación resultante, en la forma centro-radio, es
(x - 9)2 + (y + 3)2
=
65.
•
y
Q(5,4)
R(lO,5)
,
o
.
x
P(l, -2)
(9, -3)
Flgura 2.23
Ejemplo S
Una circunferencia es tangente a la recta 2x - y + 1 O en el punto (2, 5) Y
su centro se encuentra sobre la recta x + y=9. Encuentre la ecuación de la circunferencia.
=
La recta que pasa por (2, 5) Y es perpendicular a la recta 2x - Y + 1 O pasa
por el centro de la circunferencia (Fig. 2.24). La ecuación de esta recta es x + 2y=12.
Solución
=
2.6 LA CIRCUNFERENCIA
97
Por tanto, la solución del sistema
x+2y= 12,
x+y
9,
=
da las coordenadas del centro. En consecuencia, el centro se ubica en (6, 3). La distan­
cia de este punto a (2, 5) es J20. Por tanto, la ecuación de la circunferencia es
2
(x 6)2 + (y 3) 20.
=
-
-
•
y
x
Figura 2.24
Ejemplo 6
Un triángulo tiene sus lados sobre las rectas x+2y - 5 O, 2x - y 10
Y 2x+y +2 = O. Encuentre la ecuación de la circunferncia inscrita en el triángulo.
=
-
=
O
,
Por geometría, se sabe que el centro de la circunferencia inscrita es el punto de intersección de los bisectores de los ángulos del triángulo. Remitiéndose a la figu­
ra 2.25, el punto de intersección de los bisectores del ángulo A y del ángulo B se indica
con P(x', y'). Las distancias de los lados del triángulo a P están indicadas por d." d Y
2
d3• Las distancias d., y d2 son positivas, pero d3 es negativa. De este modo d.,
d2 Y d2
-d3' Ahora se escribe
Solución
=
2x'
+ y' +
2
V5
_
-
'
2x' - y
'
2x' - y - 10
-V5
_
=
x'
-
10
-V5
+
2y'
-
V5
5
°
°
X
'
X
=
'
=
2,
-
3y'
=
5.
Al quitar las primas resulta x = 2 Y x - 3y 5, que son las ecuaciones de los bisecto­
res de los ángulos A y B. La solución de este par de ecuaciones es x 2 Y Y = -1. Por
tanto, el punto (2, -1) es el centro de la circunferencia inscrita. El radio es la distancia
de (2, -1) a cada uno de los tres lados, que es J5 . Por consiguiente, la ecuación que se
busca es
=
=
98
CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
y
e
2x+y+2=O
x + 2y- 5
=
o
x
2x+y-IO=O
FIgura 2.25
A
•
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 16 escriba la ecuación de la circunferencia que satisface las condi­
ciones dadas.
1. Centro (3, -4), radio 6
2. Centro(O, 8), radio 5
3. Centro (5, -12), radio 13
4. Centro (O, 3), radio 7
5. Centro(5, -3), radio J6
6. Centro (-1, -6), radio 8
7. Centro(1t, -112), radio Jf7
8. Centro (3/5, lh),radio JITj
9. El segmento que uneA(O, O) y B(6, -8) es un diámetro.
lO. El segmento que uneA(-I, 5) y B(-5, -7) es un diámetro.
11. El segmento que uneA(-3, - 4) Y B(4, 3) es un diámetro.
12. El centro está en (1, -3) Y la circunferencia pasa por (-3, 5). 13. La circunferencia
es tangente al eje y y el centro está en (5, 3).
14. La circunferencia es tangente al eje x y el centro está en (-3, -4).
15. La circunferencia es tangente a la recta 3x+4y= 16 Y el centro está en (-3,-4)
16. La circunferencia es tangente a la recta 5x - 12y = 24 Y el centro está en (5, -5).
En los ejercicios 17 a 26 reduzca cada ecuación a la forma centro-radio y dibuje la cir­
cunferencia.
17. X2+y+6x - 4x - 12
=
O
18. X2 +y +4x 12y + 36
=
O
19. X2 +y2 - 8x - 2y + 1
=
O
20. x2+y- 10x + 4y-7=0
21. X2 +y2 - 8x - 2y + 1
=
O
22. X2 + y- 1Ox - 24y + 25
=
O
EJERCICIOS
99
23. x2+y+ 4x +12y+3=O
24. X2+y - 3x - 4y=O
25.2x2+ 2y2+ 12x - 2y - 3=0
26. 3X2 + 3),2 - 6x +5y= °
En los ejercicios 27 a 36 det ermine cuáles d e las ecu aci ones represent an una circunfe':
rencia o un punt o ,o no tienen gráfica .
27.X2+ y - 2x +4y + 5 =O
28. X2 + y - 6x + 2y+ 36=O
29. X2 + y+ 4x - 8y - 5 =O
30. X2+ y+ 10 Y= °
-
31. x2+ y- x=0
32. X2+ y+ 8x + 15 = °
33. X2+ y - 4x - 4y + 9= °
34.X2 + y+ 7x + 5y + 16= °
35. X2 + y2 - 5x - 3y+ 34 /4 =°
36. X2 +
1/2X + Y +
lhy+
13/¡44 = °
En l os ejercicios del 37 al 46 encuentre l a ecuaci ón de l a circunferencia descrit a .
37. La circunferencia es tangente a la recta x - y=2 en el punto(4,2) Y el cent ro está
en el eje x.
38. La circunferenci a es tangente a l a recta x + 2y= 3 en el punto(-1, 2) Y el centro
está en el eje y.
39.La circunferencia es t angente a l a recta 4x + 3y=4 en el punt o(4,-4) Y el centro
está en la rect a x - y= 7.
40.La circunferencia es t angente a l a recta 5x + y=3 en el punto(2, -7) Y el centro
está en la recta x - 2y= 19.
41. La circunferenci a es tangente a l a recta 3x - 4y= 34 en el punto(10, -1) Y también es tangente a la recta 4x + 3y= 12 en el punt o(3,O).
42. La circunferencia es t angente a ambos ejes coordenados y contiene el punto(6,3).
43.La ci rcunferencia pasa por los puntos(O, 3),
(2,4) Y(1,O).
44. La circunferencia pasa por l os puntos(O,O),
(O,5) Y(3,3).
(2,
45. La circunferencia está circunscrita en un triángulo cuyos vértices son (3, -2),
5)y(-1,6).
46. La circunferencia está circunscrita en un triángul o cuyos vértices son (-1, -3),
(-2,
4)y(2,1).
47.Los lados de un triángulo se encuentran a l o l argo de las rectas x - 2y=0,5x - 2y=
8 Y 3x + 2y= 24. Encuentre la ecu ación d e l a circunferencia que circunscri be al
..
triángulo .
,
48. Los lados de un t riángulo están sobre las rect as 3x + 4y+ 8 =0,3x - 4y - 32
x =8. Encuentre l a ecuación d e l a circunferenci a inscrita en el t riángulo.
=
°y
49. Los lados d e un t riángulo están sobre l as rectas 3x -y 5 = 0, x + 3y - 1 = ° y
x - 3y + 7=O. Encuentre l a ecu aci ón de l a circunferenci a inscrita en el t riángulo .
-
CAPiTULO 2 LA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
, 00
50. Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas 6x + 7y + 11 = O, 2x - 9y +
11 - O Y 9x + 2y - 11 O. Encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita en el
triángulo.
=
2.7 FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS
En la sección 2.5 se aprendió a encontrar la ecuación de la familia de rectas que pasan
por la intersección de dos rectas. El método usado ahí también servirá para encontrar
la ecuación de familias de circunferencias que pasen por las intersecciones de dos cir­
cunferencias. Para ello, se considerarán las ecuaciones
•
X2 + y + D,x + E¡)' + F, = 0,
X2 + y + D� + E'll + F = 0,
2
y, tomando k como parámetro, la ecuación
(2.25)
(2.26)
(X2 + y + D,x + E,y + F,) + k(x2 + y + D� + E'll + F )= O.
(2.27)
2
Suponga ahora que las ecuaciones (2.25) y (2.26) representan circunferencias que se
intersecan en dos puntos. Entonces, si k es un parámetro, con k distinto de -1, la ecua­
ción (2.27) representa una familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersec­
ción de las ecuaciones dadas. Esto es cierto pues al sustituir las coordenadas de un punto
de intersección por x y y, reducen la ecuación (2.27) a O + kO = O. Si las circunferencias
dadas son tangentes entre sí, la ecuación (2.27) representa la familia de circunferen­
cias que pasan por el punto de tangencia. Se darán ejemplos de circunferencias que se
intersecan en un solo punto.
Ejemplo 1
Escriba la ecuación de la familia de circunferencias e3 cuyos miembros
pasan por la intersección de las circunferencias e, y ei representadas por las ecuaciones
el: X2 + y - 6x + 2y + 5 O,
e : X2 + y - 12x - 2y + 29 O.
2
Encuentre el miembro de hi familia e3 que pasa por el punto (7, O).
=
=
Poniendo a k como parámetro, la familia de circunferencias se expresa me­
diante la ecuación
Solución
(X2 + y - 6x + 2y + 5) + k(x2 + y - l2x - 2y + 29)
Reemplazando x con 7, y y con O en esta ecuación, se encuentra
(49 - 42 + 5) + k(49 - 84 + 29)
12 + k(-6)
=
=
k
Para este valor de k la ecuación (2.28) se reduce a
.
3x2 + 3y - 30x - 2y + 63
=
=
°
O,
O,
2.
=
O.
(2.28)
2.7
FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS
1 01
o, en la forma centro-radio,
e3: (x - S)2+ (y - 113)2
=
37/9.
Por tanto, el miembro requerido de la familia de circunferencias tiene su centro en
(S, 113) Y radio igual a J37 /3, lo cual es,
aproximadamente, igual a 2.03. Esta circunfe­
rencia y las dos circunferencias dadas, se encuentran en la figura
2.26.
•
y
x
o
FIgura 2.26
e2 cuyas ecuaciones son
e,:.xl+Y-I2x-9y+SO=0,
e2:.xl+y2-2S= O.
Grafique las circunferencias e, y
Ejemplo 2
e3 de la iamilia de circunferencias
(.xl+Y- 12x - 9y+SO) + k(.xl +Y - 2S)= O,
Grafique, además, el miembro
para el cual k
Solución
=
1.
Al reemplazar k por 1 se obtiene, en la forma centro-radio, la ecuación
•
e3: (x
-
3)2 +(y -9/4)2 =25/¡6
El centro de la circunferencia está en (3,9/4) y el radio es 5/4. Como se muestra en la figu­
ra
2.27, las circunferencias dadas se intersecan en un solo punto y la tercera circunferen­
cia pasa por el punto de tangencia.
•
(2.27) representa, como ya se vio, una circunferencia si a k se le asigna
número real excepto k= -1; Si, a pesar de todo, hacemos k = -1, la ecuación
La ecuación
cualquier
(2.27) se reduce a la ecuación lineal
(D, -D)x+ (E, -E2)y+ F, -F2= O.
La gráfica de esta ecuación es una recta llamada
eje radical
de las dos circunferencias
dadas. Si las circunferencias dadas se intersecan en dos puntos, el eje radical pasa por
los puntos de intersección; si las circunferencias dadas son tangentes, el eje radical es
tangente a las circunferencias en su punto de tangencia. Si las circunferencias dadas no
tienen puntos en común, el eje radical se halla entre las circunferencias. En cada una de
las tres posibilidades, el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros de las
circunferencias dadas. Se deja al estudiante la demostración de esta afirmación.
CAPíTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
102
y
•
x
o
Figura 2.27
Ejemplo 3
Dibuje la gráfica de las ecuaciones
x2 +y/4x- 6y- 3=0
y
x2
A continuación, encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje.
Al restar la primera ecuación dada de la segunda se obtiene -8x - 8y+68=O,
lo cual equivale a 2x +2y- 17=O. Esta es la ecuación del eje radical. En la figura 2.28 se
muestran las gráficas de las ecuaciones dadas y del eje radical. •
Solución
•
y
x
Figura 2.28
2x+ 2y-
17
=0
EJERCICIOS
1 03
EjercicIos
1.Escriba
una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección
de las circunferencias
X2+ y+IOx +6y - 2 =O.
Y
X2+y 2x -24 = O
-
Encuentre el miembro de la familia para el cual k= 1. Construya las tres circunfe- .
rencias en el mismo sistema coordenado.
2.
Escriba una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección
de las circunferencias
X2+y + 2 x+4y - 4 = O Y X2+y+6x +2y+6=O.
Encuentre el miembro de la familia para el cual k=2.
•
3. Escriba una ecuación de la familia de circunferencias que pasa por la intersección
de
1as circunferencias
Y
X2+y+2x - 4y=4
X2+y2 - 4x+6y=3.
Encuentre. el miembro de la familia que pasa por(1,
4.
2).
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las
circunferencias
X2+y - 4x +2y - 4
=
Y
O
X2+y+4x=O .
•
5.
Encuentre la ecuación del eje radical representado por las circunferencias
X2+y+14x+38=O
6.
y
X2+ y - 4 =O.
Dibuje la gráfica de las ecuaciones
X2+ y+4x+6y - 3
=
O Y X2+y+12x +14y+60
=
O.
Después, encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje.
7.Dibuje las circunferencias
x 2+y - 14x+40=O
y
x 2+y-4=O
Encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje.
8.
Dibuje las circunferencias
Y
X2+ y+2 x -5y - 4 =O
X2+y+12 x+8y+36
=
O.
Encuentre la ecuación del eje radical y dibuje el eje.
9.Pruebe
que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular al segmento de
.
recta que conecta los centros de las circunferencias.
10.Escriba
la ecuación de la familia de circunferencias que pasa por los puntos de
intersección de
X2+ y+16x+l Oy+24 . O
Y
X2+y+4x - 8y - 6=O
.
Encuentre el miembro de la familia que pasa por el origen. Construya las tres circunferencias.
-
,-
-
-
-
.
CAPiTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA
104
,
2.8 TRASLACION DE EJES
La ecuación de una circunferencia de radio r tiene la forma simple X2 + y r si el ori­
gen de coordenadas está en el centro de la circunferencia. Si el origen no se encuentra en
el centro, la ecuación correspondiente puede expresarse en cualquiera de las dos founas
menos simples, (2.22) o (2.24), de la sección 2.6. Esto ilustra el hecho de que la senci­
llez de la ecuación de una curva depende de las posiciones relativas de la curva y los
ejes.
Suponga que se tiene una curva en el plano coordenado y la ecuación de la curva.
Considere el problema de escribir la ecuación de la misma curva con respecto a otro par
de ejes. El proceso de cambiar de un par de ejes a otro se llama transformación de
coordenadas. La transformación más general es aquella en la cual los nuevos ejes no
son paralelos a los anteriores y los orígenes son diferentes. Sin embargo, ahora se considerarán transformaciones en las cuales los nuevos ejes son paralelos a los originales y
están dirigidos de manera análoga. Una transfOlmación de este tipo se llama traslación
=
•
•
•
de ejes.
Las coordenadas de cada punto del plano cambian bajo una traslación de ejes. Para
ver cómo cambian las coordenadas, se examinará la figura 2.29. Los nuevos ejes x' y y'
son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y anteriores. Las coordenadas del origen O',
referidas a los ejes originales, se representan con (h, k). Así, los nuevos ejes se pueden
obtener desplazando los ejes anteriores h unidades horizontalmente y k unidades verti­
calmente, manteniendo sin cambio sus direcciones. Se llamarán x y y las coordenadas de
cualquier punto P con respecto a los ejes anteriores y x' y y' las coordenadas de P con
respecto a los nuevos ejes. Es evidente, a partir de la figura, que
•
x
y
=
=
ON
NP
y
OM + O'Q
MO + QP
=
I
=
h + x',
=
=
k + y.
y'
•
•
r
(x y
P. , )
�(x', y')
(h, k)
O'
Figura 2.29
O
'
h
Q
k
M
N
Por consiguiente,
x = x + h,
'
Y = y' + k.
•
x'
x
105
2.8 TRASLACiÓN DE EJES
Estas fórmulas relacionan las anteriores coordenadas con las nuevas. Valen para todos
los puntos del plano, donde el nuevo origen O' es cualquier punto del plano.
En consecuencia, las sustituciones x' + h por x y y' + k por y en la ecuación de una
curva referida a los ejes originales, dan la ecuación de la misma curva referida a los
ejes trasladados.
Es indispensable que cada conjunto de ejes se denomine de manera adecuada. De
no ser así, una gráfica se convierte en una confusión de líneas.
Ejemplo 1
Encuentre las nueva,s coordenadas del punto P(4, -2) si el origen se mue­
ve a (-2, 3) mediante una traslación.
Como hay que encontrar las nuevas coordenadas del punto dado, las fórmu­
las de la traslación se escriben como x' = x - h Y y' = y- k. Las coordenadas originales
del punto dado son x = -2, Y = 3. Haciendo las sustituciones adecuadas, se encuentra
Solución
x' = 4 -{-2) = 6, y'
=
-2 - 3 = -5.
Las nuevas coordenadas de P son (6, -5). Este resultado puede obtenerse directamente
de la figura 2.30. •
y
,
y
•
Figura 2.30
Ejemplo 2
(4,-2)
Encuentre la nueva ecuación de la circunferencia
X2 + y- 6x + 4y- 3 = O
después de una traslación que mueve el origen al punto (3, -2).
Aquí las fórmulas de traslación se convierten en x = x'
Estas sustituciones para x y y en la ecuación dada producen
Solución
+
3 Y Y = y' - 2.
CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
106
(x' + 3)2 +(y' - 2)2 - 6(x' + 3) + 4(y' - 2) - 3 = O
o, por simplificación,
X'2 + y' 2 = 16
•
En la figura 2.31 se dibujan ambos conjuntos de ejes y la gráfica.
y'
y
x
O'
(3, -2)
x
'
Figura 2.31
Ejemplo 3
Traslade los ejes de manera que no aparezcan términos de primer grado
en la ecuación transformada de la circunferencia
X2 + y+ 6x - lOy + 12 = O
Solución
Se expresa primero la ecuación en la forma centro-radio y se obtiene
(x + 3)2 + (y - 5)2 = 22.
Si se escoge el nuevo origen en el centro de la circunferencia, (-3, 5), las fórmulas de
traslación son x = x' 3 y Y = y' + 5. Estas sustituciones para x y y dan
-
X'2 + y'2 = 22
como la ecuación de la circunferencia referida a los ejes trasladados.
•
EjerCicios
En los ejercicios 1 a 6, determine las nuevas coordenadas de los puntos si los ejes se
trasladan de manera que el nuevo origen esté en el punto dado O'. Dibuje ambos con­
juntos de ejes y verifique el resultado mediante una figura.
1. (3, 2), (3, -2), (-3, -2), (-3, 2); 0'(4, 1).
2. (7, 1), (4, 2), (4, -3), (2, 3); 0'(2, 3).
EJERCICIOS DE REPASO
'07
3. (4 ,-3),(5 ,- 1),( -3,-2),(3,4); 0'(-3 ,1).
4.(6,3),(2,-3),(7, 4),(-4, -2); 0'(-5,-2).
-
5. (5,3),(2 ,-3),(7,4),(-4 ,-2); 0'(-2 ,2).
6. (3,1),(4,2),(5,3),(4,6),(-2 ,-3); 0'(-2 ,3).
7
En los ejercicios
O'
a
17,encuentre la nueva ecuación si
el origen se mueve al punto dado
mediante una traslación de ejes. Dibuje ambos conjuntos de ejes y la gráfica.
7. 2x + y -6
=
O; 0'(-2 ,2)
8. x - 2y- 4=O; 0'(3 ,-2)
9.3x+2y +5=0;O'( - 1,2)
10.4x -3y =0;O'(3,3)
11. X2 + y2 -2x + 4y=O ; 0'(2 ,2)
12.X2 + y+ 2x
=
O; 0'(0 ,1)
13. x2 +y2 - 4x +4y -2=0;O'(1 ,3)
14. X2 + y2+ 6x - 8y+ 5 =O; 0'(1 ,-4)
15.X2+y -16x + 6y+ 8
=
O; 0'(-6,3)
16. X2+ y - 8x +12y - 7=O; 0'(3, -8)
17. X 2 + y+ 14x - IOy+ 20 =O; 0'(4.015 ,2. 193)
18
En los ejercicios
a 23 , encuentre el punto al cual debe trasladarse el origen para que
la ecuación transformada no tenga términos de primer grado. Escriba la ecuación trans­
formada.
,
1 8. X2 + y+ 6x + 4y+ 8=O
19. X2 +y2 - 4x + 2y=5
20. x2+ y+ IOx -12y+ 3=0
21. 4X2 + y2+ 16x - 6y
•
22. X2 + 4y2 - 8x - 8y + 5 =_0
=
3
•
23. X2+ y2+ IOx - 14y=7
•
EJERCICIOS DE REPASO
l.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
(2, -3) Y es perpendicular a la recta definida
por la ecuación 4x + 5y + 6
=
O.
2. Encuentre la distancia dirigida desde la recta
5x - 2y - 26
=
Pk4, 2) Y P)(9,
O hasta los puntos P,(4, -5),
1).
108
CAPíTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA
3. Encuentre la ecuación del bisector de los ángulos
agudos formados por las rectas
x + 2y - 4 = O.
x
- 2y + 6
=
O.y
4. Escriba la ecuación de la familia de rectas que es
paralela a la recta 5x + 12y + 6 = O. Encuentre el
miembro de la familia que se halla a 3 unidades
del punto (2, 1).
5. Escriba la ecuación de la familia de rectas que pasa
por el punto (5, -2). Encuentre el miembro que
pasa por (-3, 4).
6. El segmento de recta que une (5, -1) Y (-7, -5) es
un diámetro de una circunferencia. Encuentre la
ecuación de la circunferencia.
7. U na circunferencia es tangente a la recta 3x - 4y +
4 = O en el punto (-4, -4) Y el centro está sobre la
recta x + y + 7 = O. Encuentre la ecuación de la
circunferencia.
8. Reduzca la circunferencia
X2
+
y2 -IOx -7y = O a
la forma centro-radio.
9. Escriba la ecuación de la familia de circunferen­
cias que pasan por la intersección de las circunferenctas
•
X2 + y- 2x - 24 = O Y
X2 + y+ lOx - 9y + 39 = O
Encuentre el miembro de la familia para el cual
k = l . Construya las tres circunferencias en los mis­
mos ejes coordenados.
10. Construya las gráficas de las circunferencias
X2 + y + 4x = O
Y
X 2 + y- 4 = O.
Encuentre, en la forma centro-radio, la ecuación
del miembro de la familia de circunferencias
(X2 + y + 4x) + k(x2 + y - 4)
=
O
para e.I cual k l . Dibuje la gráfica de las circun­
ferencias dadas y de la circunferencia encontrada.
Coloque las tres circunferencias en los mismos ejes
coordenados.
=
1 1. Encuentre la nueva ecuación de la circunferencia
X 2 + y2 - 2x - 6y + 4 = O
si el origen se mueve a 0'(2, 3).
12. Encuentre el punto al cual debe trasladarse el ori­
gen para que la ecuación transformada de
X2
+ y2 + 10x - 12y 3 = O
-
no tenga términos de primer grado.
,
Términos Clave
forma pendiente-ordenada al origen,
pág. 62
forma general, pág. 63
forma punto-pendiente, pág. 64
forma dos-puntos, pág. 65
forma de coordenadas al origen o de
inter.secciones con los ejes, pág. 70
l. Enuncie las definiciones de función creciente, cir­
cunferencia y radio de una circunferencia.
función creciente, pág. 72
función monótona, pág. 72
distancia de una recta a un punto, pág. 81
circunferencia, pág. 92
forma centro-radio, pág. 92
familias de circunferencias, pág. l 00
traslación de ejes, pág. 104
2. Escriba la ecuación de la recta que pasa por
a) (2,
-1) con pendiente -7.
EJERCICIOS DE REPASO
b)
(3, 5) Y (-1, -9).
c)
(3, 5) Y (3, -9).
109
5. Encuentre la familia de rectas .paralelas a la recta
que pasa por (2,-6) Y (O, -4).
2x + 9y
d)
(-1,2) Y
es paralela a la recta
e)
(-1, 2) Y
1 776.
es perpendicular a la recta
=
1 492.
2x + 9y
6.
gen para que la ecuación transformada de
2x2+
O no tenga términos de pri­
mer grado. ¿Cuál es esta nueva ecuación?
7.
Encuentre la ecuación de la circunferencia con
(-4, 5) Y tangente a y
=
x - 4.
Encuentre el ejeradical de las circunferencias
Xl + yl - 5
3. Encuentre la ecuación de la circunferencia con cen­
tro en (-4, 5) Y radio J7 .
centro en
=
20x + y2 - 4y - 1 2
=
f) (-9, O) Y (O, -5).
4.
Encuentre el punto al que debe trasladarse el ori­
=
O Y X2+ 2x + y -12y - 7
=
O. Grafique
las circunferencias y el eje radical.
8.
m si las rectas
x/b + y/a 1,
¿Cuál es el valor de
x/a + ylb
=
1,
=
Y=
mx
se tocan en un punto?
NOTA HISTOR/CA
•
El problema 8 se tomó directamente de la obra de G. A. Wentworth, Elements
Geometry,
en su edición de
1 89 L
Dicho texto fue analizado hasta
1 898
ofAna/ytic
por los estu­
diantes de ingeniería eléctrica del Instituto Politécnico de Alabama (hoy día Auburn
University).
Capítulo
Cónicas
En el capítulo anterior se definió una circunferencia en términos de un conjunto de
puntos. En este capítulo se darán nombres a otros conjuntos de puntos, o curvas, y se
deducirán las ecuaciones correspondientes. Como en el caso de una circunferencia, las
ecuaciones serán de segundo grado, o cuadráticas, en dos variables. Todas las ecuaciones,
con algunas excepciones, definen relaciones que también son funciones (Definiciones 1.6
y
1.7).
La ecuación cuadrática general en x y y se puede expresar en la forma
Ax2
+
Bxy + Cy2
+
Dx
+
Ey
+ F
=
O.
(3.1)
La gráfica de una ecuación de segundo grado en las coordenadas x y y se llama sección
cónica o simplemente cónica. Esta denominación viene del hecho de que la curva se
puede obtener como la intersección de un cono circular recto y un plano. *
El matemático griego Apolonio (262 A. C.-200 A. C.) escribió el tratado definitivo,
Secciones cónicas, sobre este tema. Superó los trabajos de los geómetras griegos ante­
riores y formó la piedra angular del pensamiento acerca del tema por más de mil años.
En efecto, pasaron dieciocho siglos antes de que Descartes escribiera su libro La
Géométrie.
•
NOTA HISTÓRICA
Apolonio es
el responsable de la caracterización de las secciones cónicas que se mues­
tran en la figura 3.1. Fue quien dio a las cónicas sus nombres. Pensó que deberían ser
estudiadps por la belleza de las demostraciones acerca de sus propiedades y no tanto
por sus aplicaciones prácticas.
*Sea P un punto sobre una recta fija L. Entonces, la superficie que consta de todas las rectas que
pasan por P y forman un ángulo constante con L se llama
cono circular recto.
eje del cono, el punto P el vértice y cada recta que parte de la
mento. El vértice separa al cono en dos partes llamadas hojas.
La recta L es el
superficie del cono se llama
ele­
CAPíTULO 3
1 12
Figura 3. ,
Elipse
Parábola
CÓNICAS
Hipérbola
La importancia de las secciones cónicas rebasa lo puramente histórico o académico;
éstas tienen muchas aplicaciones interesantes e importantes en la ciencia,la ingeniería y la
industria. Aunque no se examine con detalle cada aplicación, se puede señalar una rica
variedad de aplicaciones conocidas de las cónicas. Además, se descubrirán nuevas aplica­
ciones en el futuro, como ha sucedido en los últimos veintidós siglos. Muchas de las
aplicaciones de hoy día ni siquiera podrían haberse imaginado hace cincuenta o cien años.
Obviamente hay diferentes tipos de secciones cónicas. Un plano que no pase por el
vértice de un cono puede cortar todos los elementos de una hoja y formar una curva
cerrada (Fig. 3. 1). Si el plano es paralelo a un elemento, la intersección se extiende
indefinidamente a lo largo de una hoja, pero no corta la otra. El plano puede cortar
ambas hojas y formar una sección de dos partes, cada una extendiéndose indefinidamente
a lo largo de la hoja. Además de estas secciones, el plano puede pasar por el vértice del
cono y determinar un punto, una recta o dos rectas que se intersecan. Una intersección
de cada uno de estos tipos se llama, algunas veces, cónica degenerada.
,
3.1 LA PARABOLA
Ahora se describirá y denominará una curva que, como la circunferencia, es un concepto
importante en matemáticas y se usa con frecuencia en problemas aplicados.
NOTA HISTORICA
,
La Rebelión de la sección cónica fue el nombre que se le dio a una protesta estudiantil ocu­
rrida en 1839, en contra de la manera como enseñaban las matemáticas en Yale. No se protes­
taba por el tema mismo. Los estudiantes de segundo año pidieron a la Universidad -sin ningún
resultado- que se les permitiera hablar de las secciones cónicas desde su mesa y con el libro
abierto, en lugar de pasar al pizarrón y hacer su presentación sobre un dibujo.
3.1
LA PARÁBOLA
1 13
En la figura 3.2 el punto Fes el foco y la recta D la directriz. El punto V, a la mitad
entre el foco y la directriz,debe pertenecer a la parábola(Definición 3. 1). Este punto se
llama vértice.
Otros puntos de la parábola se pueden localizar de la siguiente manera. Dibuje una
recta L paralela a la directriz(Fig. 3.2). Con Fcomo centro y radio igual a la distancia
entre las rectas D y L, describa arcos que corten a L en P y P'. Cada uno de estos puntos,
al ser equidistantes del foco y de la directriz, se encuentra sobre la parábola. La curva
se puede esbozar determinando, de esta manera, unos cuantos puntos. La recta VF que
pasa por el vértice y el foco es el bisector perpendicular de PP' y de todas las demás
cuerdas dibujadas de manera similar. Por esta razón, a la recta se le llama eje de la
parábola y se dice que la parábola es simétrica con respecto a su eje.
D
L
V
Figura 3.2
F
•
Aunque los puntos de la parábola se pueden localizar mediante la aplicación directa de
la definición de parábola,es más fácil obtenerlos a partir de la ecuación de la curva. Se
puede escribir la ecuación más sencilla de la parábola si los ejes coordenados se colocan
en una posición especial con respecto a la directriz y al foco. El eje x se coloca sobre la
recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, en tanto que el origen se
coloca en el vértice. Entonces, si se escoge a> O, las coordenadas del foco se represen­
tan con F(a, O) y la ecuación de la directriz con x -a (Fig. 3.3). Como cualquier
punto P(x, y) de la parábola dista lo mismo del foco que de la directriz, se tiene que
=
Y(x
-
a)2
+ y2
= X
+
a.
Después, en esta ecuación se elevan al cuadrado los binomios y se agrupan términos. Así,
x2
(x
- 2ax
a)2
+ a2
-
+ Y2
+
= (x + a)2,
y 2 x2 + 2ax
y 2 = 4ax.
=
+
a2,
CAPíTULO 3 CÓNICAS
114
y
D
(-a,y)
+-----+_� P(x,y)
x=-a
(-a, O)
o
x
F(a, O)
Figura 3,3
•
,
Esta es la ecuación de una parábola con el vértice en el origen y foco en(a, O). Como
a> 0,x puede tomar cualquier valor positivo o cero, pero no valores negativos, la gráfi­
ca se aleja indefinidamente en el primer y cuarto cuadrantes y el eje de la parábola es el
eje x positivo (Fig. 3.4). A partir de la ecuación, resulta evidente que la parábola es si­
métrica con respecto a su eje, pues y = +2.Jax .
y
Figura 3.4
y2=4ax
a>O
La cuerda trazada por el foco y perpendicular al eje de la parábola recibe el nombre
de lado recto. La longitud del lado recto se puede determinar mediante las coordena­
das de sus extremos. Sustituyendo a por x en la ecuación y = 4ax, se encuentra
y
=
±2a.
3. I
LA PARÁBOLA
115
y
(a, -2a)
F(a, O)
I
I
I
I
I
x
O
I
I
I
I
I
y 2 4ax
a<O
=
FIgura
3.5
Por tanto, los extremos son (a, -2a) y (a, 2a). Esto hace que la longitud del lado
recto sea igual a 4a. El vértice y las extremidades del lado recto son suficientes para
hacer un esbozo de la parábola.
Por supuesto, se puede tener el foco de una parábola a la izquierda del origen. Para
este caso se escoge a < 0, el foco se representa con F(a, O) y la directriz con x -a (Fig.
3.5). Entonces, la medición positiva desde un punto P(x, y) de la parábola a la directriz
es -a-x. Por consiguiente,
=
V(x - a)2
y
+ y
2
=
-a
-
x
=
la
+
xl,
esta ecuación, como antes, se reduce a
•
y
2
=
4ax.
Como a < 0, la variable x sólo puede tomar valores negativos y cero, como se mues­
tra en la figura 3.5.
y
X2 4ay
a>O
=
F(O, a)
(2a, a)
x
FIgura 3.6
O
CAPíTULO 3 CÓNICAS
1 16
En el análisis anterior, el eje x se colocó sobre la recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz. Si se escoge esta posición para el eje y, se intercambiarán
los papeles de xy y.Por tanto,la ecuación de la parábola sería
x2
4ay.
=
y
x
o
F(O, a)
•
X2 4ay
a<O
=
Figura 3.7
•
La gráfica de esta ecuación, cuando a> 0, está en la figura 3. 6 y cuando a < 0, en la
figura 3.7. Se observa que cambiando el signo de a, la gráfica, en efecto, se refleja a
través del eje x; surge así una nueva gráfica que es congruente con la original.
Para resumir,se hacen las siguientes afirmaciones.
Teorema 3.1
La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, O) es
y = 4ax
(3.2)
La parábola se abre hacia la derecha si a> ° y se abre hacia la izquierda si a < O.
La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (O, a) es
X2 =
4ay
(3.3)
La parábola se abre hacia arriba si a> O Y hacia abajo si a < O.
Se pueden aplicar las ecuaciones(3.2) y(3.3) para encontrar las ecuaciones de parábolas
que satisfacen condiciones específicas. Su uso se ilustra con algunos ejemplos.
Ejemplo 1 Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en(O,
4). Grafique la parábola.
Solución Aquí se aplica la ecuación(3.3). La distancia del vértice al foco es 4 y, por
tanto, a = 4. Sustituyendo este valor con a, se obtiene x2=1 6y.La gráfica aparece en la
Figura 3.8. •
3. J
LA PARÁBOLA
117
y
(0,4)
(8,4)
Figura
3.8
Ejemplo 2 Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje a lo largo del eje x y pasa
por el punto (-3, 6). Encuentre su ecuación.
Solución La ecuación de la parábola es de la forma y 4ax. Para determinar el valor
de 4a, se sustituyen las coordenadas del punto dado en esta ecuación. Así, se obtiene
=
36
=
4a(-3)
y
4a
=
-12.
La ecuación requerida es y2 - 1 2x. El foco está en (-3, O) Y el punto dado es el extremo
superior del lado recto. La gráfica se elaboró en la figura 3.9. •
=
y
(-3,6)
I
I
I
I
I
I
F(-3, O) I
o
Figura
x
3.9
Ejemplo 3 La ecuación de una parábola es X2 -6y. Encuentre las coordenadas del
foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.
=
Solución La ecuación es de la fomla (3.3), donde a es negativa. Por ello, el foco se
encuentra sobre el eje y negativo y la parábola se abre hacia abajo. A partir de la ecua­
ción 4a -{) se encuentra a = - 312. Por tanto, las coordenadas del foco son (O, -312 ) Y la
directriz es y = 312. La longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4a, y en este
=
CAPíTULO 3
1 1B
CÓNICAS
caso es 6. El lado recto se extiende 3 unidades hacia la izquierda del foco y 3 unidades
hacia la derecha. La gráfica se puede esbozar mediante un trazo que pase por el vértice y
por los extremos del lado recto. Para una gráfica más precisa, podrían localizarse unos
cuantos puntos más (Véase Fig. 3 .10 .) •
)'
,o
(-3.-n. .
x
---
Figura 3.10
Una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo se representa mediante la ecua­
ción 4 ay =x2 o, de manera equivalente, cony = (1/4a)x2• Esta presentación de la ecuación
muestra que y es una ftmción cuadrática dex. Un examen de la gráfica revela que la fun­
ción cuadrática es una ftmción creciente en la mitad de su dominio y decreciente en la
otra mitad.
Ejemplo 4
intervalo (
Muestre que la parábola x2 = -6y representa una función creciente en el
O), el de los números reales negativos.
-00,
Solución Se debe mostrar que si XI <x2 < O, entonces _1/6x � > _1/6X �. Sin embargo si
X <x2 < O, resulta quex � <x �. La desigualdad se invierte si se multiplica por el número
I
negativo _1/6, de manera que
1
--x2 <
6 1
Esto significa que siy =j(x) = _1/6X2 Y si
X
I
<x2 < O, entoncesj(xl) <j(x2).
Ejercicios
•
•
En los ejercicios 1 a 9 encuentre las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y
las coordenadas de sus extremos para cada una de las parábolas dadas. Encuentre ade­
más la ecuación de la directriz de cada parábola. Esboce cada curva.
y =4x
-'4. X2 = - 10y
7. 2y=7x
I.
.
2. y =
-
16x
5. y2 + 3x= O
2
8 . 2y = -3x
2
3. x = 4y
6.
2
X
- 8y= O
9.
2
X
-7y= O
EJERCICIOS
1 19
Escriba la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisface las condiciones
dadas en los ejercicios 10 a 19.
10. Foco en(3,O)
11. Foco en(O,3)
12. Foco en (-4,O)
13. Foco en(0,-3)
14. La directriz es x + 4
=
15. La directriz es y- 4
O
=
O
16. La longitud del lado recto es 10 Y la parábola se abre hacia la derecha.
17. La longitud del lado recto es 8 y la parábola se abre hacia arriba.
1 8. El foco está sobre el eje x y la parábola pasa por el punto(3,4).
19. La parábola se abre hacia la izquierda y pasa por el punto(-3,4).
20. La gráfica de y = cx2 se obtiene a partir de la gráfica de y = X2 mediante una trans­
formación geométrica,llamada expansión o alargamiento, si e < 1, Y una contrac­
ción, o encogimiento,si 0< e < l . Si e -1, lo que resulta es una reflexión a través
del eje x. Usando los mismos ejes,esboce las parábolas X2 = 4aypara a 1/4, 11z, 2,
4,Y observe el efecto en el aspecto de la parábola que resulta de cambiar el valor de
a. Use un paquete de graficación si cuenta con él.
=
=
2'1. Un cable suspendido por soportes que se encuentran a la misma altura y que distan
240 m entre sí,cuelga en el centro 30 m. Si el cable cuelga en forma de parábola,
encuentre su ecuación colocando el origen en el punto más bajo.
22. Encuentre la amplitud del cable del ejercicio 21 a una altura de 15 m sobre el punto
más bajo.
23. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos en el plano coordenado que
equidistan del punto (O; a) y la recta y - a, y por tanto, deduzca la ecuación(3.3)
de la sección 3.1.
•
En los ejercicios 24 a 29 escriba las ecuaciones de las parábolas dadas; además propor­
cione el dominio y el conjur,to de imágenes.
24.
y
y
25.
(-2, 1)
(2,4)
x
x
CAPíTULO 3
120
,
y
26.
CÓNICAS
y
27.
(4, 2)
x
x
(-4, -2)
•
28.
y
29.
y
o
x
(\,-1)
x
•
(-2,-4)
30. Muestre que y = X2 es creciente en(O, 00) y decreciente en(-00, O).
3 l. Muestre que y = _x2 es decreciente en(O, 00).
32. Muestre que si y = j(x) x2/4a y si a
(O, 00) y decreciente(-00, O).
=
>
0, entonces f es una función creciente en
.
�
.
,
3.2 PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, kJ
•
,
,
"
•
•
•
Considere"ahofcr una parábola cuyo eje es paralelo a un eje coordenado, pero no está
sobre él. EnJa' figura 3.11 el vértice está en (h, k).y el foco en (h + a, k). Se introduce
otro par de efes mediante una traslación al punto (h, k). Como la distancia del vértice al
foco es a, se obtiene en seguida la ecuación
4ax'.
y'2"
.
.
=
•
•
•
Para escribir la ecuación de la parábola con respecto a los ejes originales, se aplican las
fórmulas de traslación de la sección 2.8 y se obtiene así
(y
-
W
=
4a(x
-
h).
3.2 PARABOLA CON VÉRTICE EN
(h, kj
121
y
y'
F (h
O'
--+-----"(� k)
+ a,
k)
'
x
k
Figura
3.11
o
x
h
Se observa de esta ecuación, y también de la figura, que cuando a> 0, el factor x-h
del miembro derecho debe ser mayor o igual que cero. En consecuencia, la parábola se
abre hacia la derecha. Para a < O el factor x-h debe ser menor o igual a cero y, por tanto,
la parábola se abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola se halla sobre la recta
y k O. La longitud del rado recto es igual al valor absoluto de 4a y entonces los extre­
mos se pueden localizar con facilidad.
Se puede hacer un análisis similar si el eje de una parábola es paralelo al eje y. En
consecuencia, se tienen las siguientes afirmaciones.
=
-
Teorema 3.2
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) Y foco en (h+a, k) es
(y
-
k) 2
=
(3.4)
4a(x - h).
La parábola se abre hacia la derecha si a> O Y hacia la izquierda si a
<
O.
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) Y foco en (h, k+a) es
•
(x - h)2
=
4a(y
-
k).
(3.5)
La parábola se abre hacia arriba si a> O Y hacia abajo si a < O.
Se dice que las ecuaciones (3.4) y (3.5) se encuentran'en forma usual. Cuando h °
Y k
O, aquéllas se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección anterior. Si la
ecuación de una parábola está en su forma usual, su gráfica puede esbozarse con
rapidez. Para ello bastan el vértice y los extremos del lado recto. Naturalmente, si se
'
localizan algunos otros puntos, la precisión será mayor.
:
.
Se observa que cada una de las ecuaciones (3.4) y (3.5) es cuadrática en una variable
y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar de manera más elocuente si se
hacen los cuadrados indicados y se trasponen términos .para obtenedas formas generales
=
=
.
X2 +Dx +Ey +F
=
O,
.
(3.6)
CAPíTULO 3 CÓNICAS
122
y + Dx + Ey + F=O.
(3.7)
Recíprocamente, una ecuación de la forma (3.6) o (3. 7) se puede presentar en forma usual
siempre que E:;; O en (3. 6) y f):;; O en (3.7).
Ejemplo 1
Dibuje la gráfica de la ecuación
y + 8x- 6y + 25 =O.
Solución La ecuación representa una parábola pues y aparece al cuadrado y x
linealmente. La gráfica se puede trazar con mayor rapidez si la ecuación se reduce a la
forma usual. Así, completando el cuadrado, se obtiene
y - 6y+ 9 = -8x- 25 +9,
(y -3)2 = -8(x + 2).
•
El vértice se ubica en (-2, 3). Como 4a = -8 y a = -2, el foco está dos unidades a la
izquierda del vértice. La longitud del lado recto, igual al valor absoluto de 4a, es 8. Por
consiguiente, el lado recto se extiende 4 unidades por arriba y por abajo del foco. La
gráfica se construye en la figura 3. 12. •
y
I
I
I
I
I
(-4,3) :
o
x
FIgura 3.12
Ejemplo 2
Construya la gráfica de la ecuación
X2
- 6x- 12y-51 = O.
Solución La ecuación dada representa una parábola pues y aparece al cuadrado y x es
lineal. Primero se expresa la ecuación en forma usual.
x2-6x+ 9= 1 2y+ 51 +9,
(x- 3)2 = 12(y +5).
3.2
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, kj
123
El vértice se ubica en (3, -5). Como 4a = 12, a = 3. De este modo, el foco está 3 unida­
des sobre el vértice, o en (3, -2). La longitud del lado recto es 12, y por tanto las coorde­
nadas de sus extremos son (-3, -2) Y (9, -2). La gráfica se construye en la figura 3.13.
y
x
•
(3, -2)
(-3, -2)
---
----
r
------
(9,-2)
--
(3, -5)
Figura 3.13
Ejemplo 3 Una parábola cuyo eje es paralelo al eje y pasa por los puntos (1, 1), (2, 2)
Y (-1, 5). Encuentre su ecuación.
Como el eje de la parábola es paralelo al eje y, la ecuación debe ser cuadrática
en x y lineal en y. Por ello se comienza con la forma general
Solución
X2
+ Dx + Ey + F
=
O.
Las coordenadas de cada uno de los puntos dados deben satisfacer esta ecuación. Susti­
tuyendo las coordenadas de cada punto, uno por uno, se obtiene el sistema de ecuaciones:
•
l + D + E +F
4 + 2D + 2E + F
1 - D + 5E + F
=
0,
0,
=
O.
=
La solución simultánea de estas ecuaciones es D = -2, E = -] Y F = 2. Entonces la ecua­
ción de la parábola es X2 - 2x - y + 2 = O. Véase la figura 3.14.
y
•
(-1,5)
•
(2,2)
(l, 1)
o
Figura 3.14
x
CAPiTULO 3 CÓNICAS
•
124
Simetría
Se ha observado que el eje de una parábola biseca todas las cuerdas de la parábola que
son perpendiculares a los ejes. Por esta razón, se dice que una parábola es simétrica con
respecto a su eje. El hecho de que muchas otras curvas posean la propiedad de simetría
conduce a la siguiente:
con
•
fOllllaparte.
son snnétncos
.
, .
.
,
La simetría de una curva con respecto a un eje coordenado o al origen es de especial
interés. Por esta razón se harán las observaciones siguientes. Los puntos
(x, y)
y
(x, -y)
son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia, una curva es simétrica con respec­
to al eje
x
si para cada punto
(x, y)
de la curva, el punto
(x, -y)
también pertenece a la
curva. De manera análoga, una curva es simétrica con respecto al eje y si, para cada pun­
to
(x, y)
(-x,
de la curva, el punto
(-x, y)
también pertenece a la curva. Los puntos
(x, y)
y
-y) son simétricos con respecto al origen. Por tanto, una curva es simétrica con res­
pecto al origen si para cada punto
la curva (véase la Fig.
(x,y) de la curva, el punto (-x, -y) también pertenece a
3.15).
Es fácil comprobar, mediante su ecuación, si una gráfica es simétrica con respecto a
algún eje coordenado o al origen, Considere, por ejemplo, la ecuación
se reemplaza con
-x,
X2
=
4y
+
6. Si
x
no se altera la ecuación. Esto significa que si a x se le da un valor y
después el negativo de ese valor, los valores correspondientes de y son iguales. Por ello,
para cada punto
(x, y) de la gráfica existe el punto (-x, y)
que también está en la gráfica.
Por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Por otro lado, asignar valorcs a y
con igual valor absoluto, uno positivo y otro negativo, conduce a diferentes valores
correspondientes de
•
x.
En consecuencia, la gráfica no es simétrica con respecto al eje
x.
De manera análoga, la gráfica no es simétrica con respecto al origen.
Los siguientes criterios se formulan a partir de la definición de simetría:
l.
Si una ecuación no se altera cuando
y se
reemplaza con -)', entonces la gráfica
de la ecuación es simétrica con respecto al eje
2.
Si una ecuación no se altera cuando
x.
x se reemplaza con -x,
entonces la gráfica
de la ecuación es simétrica con respecto al eje y.
3.
Si una ecuación no se altera cuando
x se
reemplaza con
-x
y y con -y, entonces
la gráfica de la ecuación es simétrica con respecto al origen.
3.2 PARABOLA CON VÉRTICE EN
(h, kj
125
y
(-x, y) _---.¡----." (x, y)
x
(-x, -y) �---+----4 (x, -y)
Figura
3.15
Hay tres tipos de simetrías, y es fácil ver que una gráfica que posee dos de las sime­
trías también posee la tercera simetría. Suponga por ejemplo que el punto (x, y) está en
la gráfica, la cual es simétrica tanto con respecto al eje x como al eje y. La simetría con
respecto al eje y significa que el punto (-x, y) se encuentra en la gráfica. Por tanto, la
simetría con respecto al eje x significa que el punto (-x, -y) está en la gráfica. Por tanto,
la gráfica es simétrica con respecto al origen. Está claro que, además, una gráfica
que sea simétrica con respecto a un eje coordenado y al origen es simétrica con respecto
al otro eje.
La gráfica de la ecuación xy I es simétrica con respecto al origen. Esto es cierto,
pues si un punto (XI' y) satisface la ecuación dada, entonces el producto xlYI 1. En
consecuencia, el producto (-x)(-YI) también es igual a l.
La ecuación se graficó en el ejercicio 13 de la sección 1.5. (Reaparecerá en el si.
guiente capítulo).
=
=
Ejemplo 4
Construya la gráfica de la ecuación
x4-36y2=O.
Solución Es claro que la gráfica posee las tres simetrías. Para obtener la gráfica, pri­
mero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación dada. Se obtiene así
(X2 + 6Y ) (X2 - 6y)
=
O.
Entonces, al igualar cada factor a O se obtiene
X2
+
6y
=
°
o
X2
-
6y
=
O.
Por tanto, la gráfica deseada consta de dos parábolas, cada una con el vértice en el origen,
una abriéndose hacia arriba y la otra hacia abajo. Se trazará la gráfica de X2 6y y des­
pués se obtendrá, por simetría, la gráfica de la otra parábola. Para la parábola que se abre
hacia arriba, se tiene 4a= 6 Y a 312. Por tanto, el foco está en el punto (O, 312) Y los
extremos del lado recto se encuentran en (3,312) Y (-3,312). Localizando algunos otros pun­
tos, se puede obtener un buen dibujo. La gráfica completa se muestra en la figura 3.16.
=
=
CAPíTULO 3 CÓNICAS
126
y
( 3. � )
(-3. n
O
(-3. -n
---
(O. - n
Figura 3.16
(3. - ;
x,
x
)
- 36y2
=
O
Un proyectil(p. ej., una pelota o una bala) recorre una trayectoria que es aproxima­
damente una parábola(este hecho se analizará con mayor detalle en la sección 8.2). Sin
embargo,la parábola tiene una característica muy importante que la hace útil en una am­
plia variedad de aplicaciones: tiene la propiedad de reflejar o enfocar. Los dos ángulos,
e y c/J en la figura 3.17, formados por una recta paralela al eje y una tangente L a la pará­
bola en un punto,así como por la recta del foco Fal punto,son iguales. Si la parábola es
una superficie reflejante, entonces los rayos de luz viajan paralelos al eje y se reflejan
hacia el foco. Por ello, un paraboloide de revolución (superficie formada al rotar una
parábola alrededor de su eje) es la forma ideal para telescopios retlejantes, faros de au­
tomóvil, antenas de radar y microondas,antenas caseras para T. V. por satélite y algunos
generadores solares de electricidad.
y
------�=+-- ----------� x
O
Figura 3.17
�
F
_
.
-
.
EJERCICIOS
127
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 1 3 exprese la écuación, en forma usual, de la parábola que satisface
las condiciones dadas.
1 . Vértice en (3, 2), foco en (3, 4).
2. Vértice en (3, -2), foco en (3, -8).
3. Vértice en (-6, -4), foco en (O, -4).
4. Vértice en (4, 1 ), directriz x=2.
5. Vértice en (4, 1 ), directriz y -3.
=
6. Vértice en (4, -2), lado recto 8; se abre hacia la derecha.
7 . Vértice en ( 1 , 2), lado recto 8; se abre hacia abajo.
8. Vértice en (3, -2), extremos del lado recto (-2, 112), (8, 112).
9. Vértice (2, 1 ), extremos del lado recto (-1, -5),(-1 , 7).
10. Foco en (2, -3), directriz x=6.
1 1 . Foco en (5, O), directriz x=-l.
12. Foco en (-2, 2), directriz y=4.
1 3. Foco en (2, O), directriz y=-3.
En los ejercicios 1 4 a 27 exprese cada ecuación en la forma usual. Indique las coordena­
das del vértice, del foco y de los extremos del lado recto. Esboce la gráfica.
1 4. y+8x+8=0
1 5. x2 +4y+ 8
1 6. y2 _ 12x- 48=0
1 7. X 2
1 8. X2 +4x+ 16y +4= a
1 9. Y- 6y - 4x+9 = O
20. y2+8y+6x+ 1 6=0
2 1 . X2
22. y - 4y +8x- 28=O
23. X 2
24. X2 - 8x- 6y - 8 =O
25. y2
26. Y- 1 2.63y-2 1 .49x+ 1 20.09=0
27. X2 - 12x- 16y - 60
+
29. Vértice en (- 1, -2), eje vertical; pasa por (3, 6).
30. Eje vertical; pasa por (O, O), (3, O) Y (- 1 , 4).
31. Eje horizontal; pasa por ( 1 , 1), (I, -3) Y (-2, O).
32. Eje vertical; pasa por (- 1 , O), (5, O) Y ( 1 , 8).
O
6y + 1 0x - 1 = O
En los ejercicios 28 a 32 encuentre la ecuación de la parábola.
28. Vértice en (3, -4), eje horizontal; pasa por (2, -5).
=
=
O
CAPíTULO 3 CÓNICAS
1 28
33. Calcule las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscrito, con
dos de sus lados a lo largo de los catetos, en un triángulo rectángulo de lados 3, 4 Y
5 unidades.
34. La ciudad de Galveston se encuentra, respecto de Corpus Christi, a 220 kilómetros
en dirección este y 184 kilómetros en dirección norte. A mediodía un barco zarpa
de cada puerto, uno de Corpus Christi, en dirección este y con velocidad de 24km/
h, en tanto que el otro se mueve hacia el sur, de Galveston a Corpus Christi, a 16km/
h. ¿En qué instante ocurre que la distancia entre los barcos es mínima, o lo que es lo
mismo, en qué instante el cuadrado de la distancia alcanza su valor mínimo? ¿Cuán
cerca están el uno del otro en ese instante?
35. Si Y *- O, se puede demostrar que la pendiente m de la recta L, tangente a la gráfica
de y2 4ax en (x, y), es m=2a/y. Utilice este hecho para demostrar que la propiedad
de reflección de las parábolas vale, probando que () = 1/> en la figura 3.17
=
36. Deduzca la ecuación (3.4) encontrando la ecuación del conjunto de todo los puntos
equidistantes tanto del foco (h +a, k) como de la directriz x = h-a.
37. Deduzca la ecuación (3.5) encontrando la ecuación de la gráfica de un punto equi­
distante tanto del foco (h, k + a) como de la directriz y = k-a.
38. Dibuje la gráfica de y4 - 36x 2 = O.
39. Pruebe que una curva que es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados lo es
también con respecto al origen.
40. Pruebe que una curva que es simétrica con respecto a un eje coordenado
gen, lo es también con respecto al otro eje coordenado.
y
al ori­
41. La figura 3. 18 muestra un armazón arqueado de 80 metros de longitud con las altu­
ras indicadas. Los "tirantes" verticales están a 10 metros uno del otro. Si tanto la
parte superior como la inferior del arco son arcos de parábola, redondee hasta el
metro más cercano la suma de longitudes de los tirantes verticales e inclinados.
16 metros
16 metros
Figura
3.18
1414------
80
metros
-----+1.1
3.3 ELIPSE
129
42. Una antena para T. Y. por satélite es parabólica y tiene su receptor a 70 centímetros
de su vértice. Encuentre la ecuación de la sección transversal parabólica de la ante­
na (coloque el vértice en el origen).
3.3 ELIPSE
Se obtuvieron ecuaciones de segundo grado para la circunferencia y la parábola; por tan­
to estas curvas son cónicas. Se verá ahora otro tipo de curva que, como la circunferencia
pero a diferencia de la parábola, es una curva cerrada. La nueva curva es una cónica
porque, como se demostrará, su ecuación, es de segundo grado en x y y.
Cada uno de los puntos fijos se llama foco. La figura 3. 19 muestra cómo se pueden
usar los focos para dibujar una elipse. Los extremos de una cuerda se aseguran en los
focos F' y F. Conforme se mueve un lápiz en P, con la cuerda tensa, la curva que se traza
es una elipse.
p
F
Figura
3.19
Para encontrar la ecuación de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la
mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos (Fig.
3.20). La distancia entre los focos se representa con 2e y, en consecuencia, los focos se
denominan r( -e, O) y F(e, O). Ahora, si se hace que la suma de distancias de un punto
P(x, y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene
CAPíTULO 3
130
+ PF = 2a ,
""'2 + Y(x - e)2 + y2
CÓNICAS
PF'
Y�(x-+-e---')
=
2a.
y
P(x, y)
Figura 3.20
F'(-c,O)
o
.
F(c,O)
x
Al trasponer el segundo radical,elevar al cuadrado y simplificar,se obtiene
ex - a2
=
-aY(x - e)2 + y2.
Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar,se encuentra que
(a2 - e2) x2 + a2y2
=
a2(a2 - e2).
A partir de la figura, se observa que la longitud de un lado del triángulo F'PF es 2e y
que la suma de las longitudes de los otros lados es 2a. Por ello, 2a > 2e y,en consecuen­
cia, a2 - e2 > O. Si se hace b2 = a2 - e2 y se divide entre la cantidad distinta de cero a2b2,
se obtiene la forma final
(3.8)
Se observa primero que la gráfica de la ecuación (3.8) es simétrica con respecto a
ambos ejes coordenados. Cuando y =O, entonces x = ±a y cuando x =O, Y =± b. Por
tanto, la elipse corta el eje x en V'(-a, O) y Vea, O) y el eje yen B'(O,- b) y B(O,b), como
en la figura 3.21.El segmento V' V(=2a) se llama eje mayor de la elipse y el segmento
B 'B(= 2b), eje menor.Los extremos de los ejes mayores se llaman vértices.La intersec­
ción de los ejes de la elipse es el centro.La cuerda que pasa por un foco y es perpendi­
cular al eje mayor se llama lado recto. Al sustituir x = e en la ecuación (3.8) Y usar la
relación e2 = a2 -b2,se encuentran los puntos (e, -b2/a) y (e, b2/a) como los extremos de
un lado recto. Los extremos del otro lado recto están en (-e, -b2/a) y (-e, b2/a). Estos
resultados muestran que la longitud de cada lado recto es 2b2/a. El eje mayor es más
largo que el eje menor. Esto es cierto ya que b2 =a2 - e2 < a2 y,por tanto, b < a. Observe
también que los focos se encuentran sobre el eje mayor. La elipse y los puntos importan­
tes se muestran en la figura 3.21.
Si se toman los focos de una elipse sobre el eje yen(O, -e) y(O,e), es posible obte­
ner, mediante pasos similares a los anteriores,la ecuación
3.3 ELIPSE
13 1
(3.9)
y
B(O, b)
V'(-a,O)
I
I
I
o
F'(-e, O)
F(e,O)
1
I
I
Vea,O)
x
B'(O,-b)
Figura 3.21
En este caso el eje mayor está sobre el eje y y el eje menor sobre el eje x (Fig.
y
(0, a)
--
F(O,e)
-
(-b,O)
( :2 ,-e)
_
(b, O)
o
F'(O, -e)
__
_
--(0, -a)
Figura 3.22
b2
(�,-e)
x
3.22).
CAPiTULO 3 CÓNICAS
132
Extensión de la elipse
Se sabe, a partir de la definición de elipse, que sus puntos no se alejan indefinidamente
de sus focos. El hecho de que una elipse tenga extensión limitada puede deducirse de su
ecuación. Así, despejando x y y, una por una, en la ecuación (3. 8), se obtiene
y
Estas ecuaciones revelan que y2 no puede exceder a b2 y que X2 no puede exceder a a2. En
otras palabras, los valores permisibles son
-b :s y <: b
y
-Q :s
x <:
Q.
Por tanto, ningún punto de la elipse está fuera del rectángulo formado por las rectas
horizontales y = -b, Y = b Y las rectas verticales x = -a, x a.
En muchas ecuaciones se puede determinar con rapidez la extensión de la gráfica,
despejando cada variable en términos de la otra. El concepto de extensión, así como el
de simetría, suelen ser de gran ayuda para dibujar una gráfica.
=
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de una elipse con focos en (O, ±4 ) y un vértice en (0, 6).
Solución
La localización de los focos muestra que el centro de la elipse está en el ori­
gen, que e = 4 Y que la ecuación que se busca puede expresarse en la forma (3.9). El
vértice dado, a 6 unidades del origen, hace que a 6. Usando la relación b2 a2- e2, se
encuentra que b2 20. Así, se obtiene la ecuación
=
=
=
•
La figura 3.23 muestra los focos y los vértices de la elipse.
•
y
(0, 6)
(0,4)
o
x
(0, -4)
FIgura 3.23
(0,-6)
133
3.3 ELIPSE
Esboce la elipse 9X2 + 25y2
Ejemplo2
Solución
=
225.
Al dividir entre 225 se obtiene la forma
X2
y
2
+
25 9=I.
Como el denominador de X2 es mayor que el denominador de y2, el eje mayor se halla a
4. Por consi­
lo largo del eje x. Observe además que a2 25, b2 9 Y e = .Ja2 b2
guiente, los vértices están en (+5, O), los extremos del eje menor en (O, +3) Y los focos en
(+4, O). La longitud de un lado recto es 2b2/a = 18/5. La localización de los extremos de
los ejes y de los extremos de cada lado recto bastan para esbozar la elipse. La figura
3.24 muestra la curva y se indican varios puntos importantes. •
=
=
-
=
y
(0,3)
-4,
( �)
(-5, O)
I
(-4, O
(5, O)
o
(-4, -f)
x
(O, -3)
Figura 3.24
•
Propiedad foco-directriz de una elipse
La parábola se definió en términos de un foco y una directriz, pero no se uso una direc­
triz para definir una elipse. Sin embargo, sucede que una elipse tiene directriz. Al dedu­
cir la ecuación de una elipse [Ec. (3.8)] se llega a la ecuación
-aY(x
-
e) 2
+
y2
=
ex - a2.
Esta ecuación implica la existencia de una directriz que es evidente después de una lige­
ra modificación. Así, dividiendo entre -a y factorizando el miembro de la derecha,
se obtiene
Y(x- e) 2
+
y2
=
e a2
-- x .
a e
-
El miembro izquierdo de esta ecuación es la distancia de un punto (x, y) de la elipse al
foco Ce, O). El factor (a2/e) -x del miembro derecho es la distancia del punto de la elipse
a la recta x a2/e (Fig. 3.25) , mientras que el factor e/a es una constante entre cero y
=
134
CAPíTULO 3 CÓNICAS
uno. Por tanto, con base en nuestra definición de elipse se ha demostrado el siguiente
teorema.
y
...._
... _
---.�X( �.
I
(-c. O)
x=-
Figura 3.25
2
a
­
e
o
---l (:2 . y)
x
(c. O)
2
a
x=­
.
e
Teorema 3.3
Una elipse es el conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de cada punto del
conjunto a un punto fijo del plano es igual a una constante (entre O y l) por su distancia
a una recta fija del plano.
Algunas veces, la elipse se define en términos de un foco y directriz. Cuando se define
así, es posible probar la afirmación contenida en la definición de elipse (Definición 3.3).
La recta x a2/c es la directriz correspondiente al foco (c, O). Es fácil mostrar que el
punto ( c O) y la recta x- a2/c constituyen otro foco y otra directriz. Sin embargo, este
hecho es geométricamente evidente por consideraciones de simetría.
Se desea analizar la cantidad e/a. Esta razón se llama excentricidad e de la elipse.
El aspecto de una elipse depende del valor de su excentricidad. Suponga, por ejemplo,
que se visualiza una elipse cuyo eje mayor permanece constante, mientras que e comien­
za en cero y se aproxima a la unidad. Si e = O, las ecuaciones e = cla y b2 = a2 - c2
muestran que c = O Y a = b. Entonces, los dos focos coinciden en el centro y la elipse es
una circunferencia. Conforme e crece, los focos se separan, alejándose del centro y b
decrece. Conforme e se acerca a l , e se acerca a a y b se acerca a O. Por esta razón, la
elipse que comenzó como circunferencia se vuelve más y más angosta. Si e = loe = a,
entonces'b O. Debido a ello la ecuación (3.8) no se'aplicaría pues b2 es un denomina­
dor; pero si e = 1, la definición de elipse requiere que la gráfica sea el segmento de recta
que conecta los focos.
Resumiendo, se tiene una elipse real si e se ubica entre O y l . Cuando e es ligera­
mente mayor que O, la elipse es casi una circunferencia; cuando e es ligeramente menor
que 1, la elipse es relativamente larga y angosta.
En la figura 3.26 se construyen elipses con el mismo eje mayor y diferentes
excentricidades.
=
-
,
=
135
3.3 ELIPSE
y
e=O
e= 0.5
e= 0.7
e=0.9
/-I-�""")
o
e= 1
x
Figura 3.26
Ejemplo 3
La órbita de la Luna fOlll1a una elipse con la Tierra en uno de los focos. La
longitud del eje mayor es de 620444 km y la excentricidad es e = 0. 549. Encuentre las
distancias máxima y mínima de la Tierra a la Luna.
y
B(O, b)
Vea, O)
V'( -a, O)
F(c, O)
Figura 3.27
B' (O, -b)
x
136
CAPíTULO 3 CÓNICAS
Solución
En la figura
3.27,
la elipse representa la trayectoria de la Luna alrededor de
la Tierra. El eje mayor de la elipse va de V (-a,
O) a Vea, O), y F(c, O) representa la
310 222, e = ae = 17 000 km, redondeando. Entonces,
posición de la Tierra, donde a
293 222 km, y la dis­
la distancia mínima de la Tierra a la Luna es 310 222 - 17 000
tancia máxima es de 310 222 + 17 000 327 222 km. •
=
=
=
Elipse con centro en (h, kJ
Si los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro está en
(h, k), se
puede obtener su ecuación aplicando las fórmulas de traslación de la sección 2.8. Se tra­
za un nuevo par de ejes coordenados a lo largo de los ejes de la elipse (Fig.
3.28).
La ecuación de la elipse referida a los nuevo� ejes es
2
y'2
a2 + b2
x'
y
y
=
1.
'
b
O' Ch, k)
a
x'
O
Figura 3.28
Las sustituciones x'
=
'
x-h Y y
x
=
y-k conducen a
(3.10)
De manera análoga, cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se obtiene
(3.11)
Estas son las formas usuales de las ecuaciones de elipses. Se pueden reducir a las
,
ecuaciones
(3.8)
y
(3.9)
cuando h
=
k
=
O. Las cantidades a,
by
e
tienen el mismo signi­
ficado, y a sea que el centro de la elipse esté o no en el origen. Por tanto, construir la
gráfica de una ecuación en cualquiera de las formas de las ecuaciones
(3.10)
o
(3.11)
no
presenta mayor dificultad que dibujar la gráfica a partir de una de las ecuaciones más
sencillas, la
(3.8)
o la
(3.9).
J37
3.3 ELIPSE
Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la elipse con focos en (4, -2) Y (lO, -2), Y un
vértice en (12, -2).
El centro, a la mitad entre los focos, está en (7, -2). La distancia entre los
focos es 6 y el vértice dado está a 5 unidades del centro, de ahí que e = 3 Y a= 5. Enton­
ces, b2 a2 - e2 = 16. Como el eje mayor es paralelo al eje x, se sustituye en la ecuación
(3.10) y se obtiene
Solución
=
(y + 2f
(x - 7) 2
+
16
25
_
1.
-
•
La gráfica de esta elipse se construye en la figura 3.29.
y
(7,2)
o
x
(2, 2)
-
(7,-2)
___4
t--------<�---.:---<>(4,-2)
(10,-2)
Figura 3.29
Ejemplo 5
(12, -2)
(7, -6)
Reduzca a la forma usual la ecuación
4y+9x2- 24y- 72x +144=0.
Solución
•
A continuación se darán los pasos esenciales del proceso.
4(y2 - 6y) + 9(x2
4(y2 - 6y + 9) + 9(x2 - 8x
4(y - 3)2 + 9(x
(y
3)2
(x
+
-
9
- 8x)
=
-
144
,
+ 16) = -144 + 36 + 144,
- 4)2 = 36 ,
- 4) 2
=1.
4
Las coordenadas del centro son (4, 3); a = 3, b=2 Y
.
= Va2
b2 = V 9 - 4 = Ys.
Los vértices se hallan en (4, O) y (4, 6), y los extremos del eje menor están en (2, 3) y
(6,3). Las coordenadas de los focos son (4, 3- $) y (4, 3+ $). La gráfica se constru­
ye en la figura 3.30. •
e
-
Las secciones cónicas se han usado para describir datos naturales y astronómicos.
Las leyes de Kepler del movimiento planetario afirman que (1) los planetas siguen
138
CAPíTULO 3 CÓNICAS
trayectorias elípticas con el Sol en uno de sus focos; (2) la recta que conecta e l Sol con
un planeta abarca áreas iguales en intervalos de tiempo iguales; y (3) el cuadrado de la
longitud de tiempo de una revolución completa de un planeta es proporcional al cubo de
la mitad de la longitud del eje mayor, esto es, al. En la industria se usan muchos engra­
nes de forma elíptica y resortes semielípticos.
y
(4,6)
•
•
•
(6, 3)
(2, 3) +--1>-'----+
(4,3)
•
Figura 3.30
x
(4, O)
o
La elipse tiene una propiedad reflexiva no totalmente diferente de la parábola: En la
figura 3. 19, si se dibujara una recta tangente en el punto P, los ángulos fomlados por esa
recta y las rectas PF' y PF serían iguales. Así, una onda de luz o de sonido que emane de
un foco sería reflejada por una superficie elíptica para llegar al otro foco. Las llamadas
"galerías de susurros" utilizan este principio; un susurro en un foco es audible en el otro.
La figura 3.31 muestra cómo los rayos que emanan del foco del lado derecho se reflejan
hacia el foco del lado izquierdo.
.
.,..
•
•
-- -
;
--- -�
-- ...
....
.
, .
--.
.
.
-. ... ".
... .
.
.
...
....
.
.
...
. ..
... .. .-
_
- --
.
..
.•..
.
.......... .,
.;
.;
.;
--- - - - _
J--.;
-
Figura 3.31
NOTA HISTÓRICA
Johannes Kepler (1571-1630), de padres alemanes, fue un niño frágil y con una visión
débil. Sin embargo, obtuvo el grado de maestro y en 1601 se convirtió en el Matemático
Imperial, al servicio del sacro Emperador Romano Rodolfo II . Kepler utilizó como sus­
tento de sus leyes planetarias las precisas y desgastadoras observaciones astronómicas
que sobre Marte llevó a cabo Tycho Brahe. Kepler también participó de ciertas extrava­
gancias al escribir predicciones astrológicas para algunos patronos adinerados.
EJERCICIOS
139
Esta propiedad de reflexión es utilizada por los "trituradores de piedra" que funcio­
nan a base de ondas de choque, y que son empleados por los médicos para pulverizar
piedras en los riñones sin necesidad de recurrir a la cirugía. En la sección 9.2 se analiza­
rá más ampliamente esta propiedad de reflexión.
.
.
Ejercicios
En cada unó de los ejercicios l a 16, encuentre las coordenadas de los focos, los extre­
mos de los ejes mayor y menor, y los extremos de cada lado recto. A partir de esta infor­
mación, esboce la curva.
X2
y2
3
. 169 + 144
1
. x2
+
7. 169
144
=
1
9. 2x2 + 3y2
=
12
x2
Y2
x. 2 .
4. 9 + 4 = 1
6.
•
y2
y2
8.
(x - 5)2
(y + 5)2
15.
+ 49
169
y2
i5
+
=
1
x2
4 =1
10. x2 + 4y2
11. 2x2 + 3y2 = 18
(x - 3P
(y - 2)2
13
.
16
+
9
25 + 16
.
=
4
12. 16x2 + y2 :;: 16
=
=
1
1
(x - 3)2
(y - 2)2
14.
9
= 1
+
36
16 .
(y + 3)2
36
(x - 6)2 =
+
1
16
•
En los ejercicios 17 a 24 reduzca cada ecuación a la forma usual. Después, encuentre las
. coordenadas del centro, de los focos, de los extremos de los ejes mayor y menor, y de los
extremos de cada lado recto. Esboce la curva.
17. 16x2 +25y2+160x+200y+400 = O
18. X2 + 4y2 + 6x+16y+21 = O
19. 4X2
+
i+ 8x - 4y - 8 = O
20. 3.104x2+2.078y2+ 8.219x - 1.734y -2.413=O
21. 4x2+8y2-4x-24y-13=0
22. 25(x + 1)2+ 169(y - 2)2=4225
23. 225(x - 2)2+289(y - W = 65025
24. 169(x - 1)2+ 144(y - 3)2 = 24336
140
CAPiTULO 3 CÓNICAS
Escriba la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los
ejercicios 25 a
36. Esboce cada curva.
25. Centro en (5,1), vértice en (5,4),extremo de un eje menor en (3,1).
26. Vértice en (6,3),focos en (-4,3) Y (4,3).
27. Extremos del eje menor en (-1, 2) Y (-1, -4), foco en (1, -1).
28. Vértices en (- 1,3) Y (5,3), longitud del eje menor 4.
29. Centro en (O, O), un vértice en (O, -6) extremo de un eje menor en (4, O).
30. Vértices en (-5, O) Y (5, O), longitud de un lado recto 8/5.
31. Centro en (-2, 2),un vértice en (-2,6), un foco en (-2,2+
Jf2) .
32. Focos en (-4,2) Y (4,2),longitud del eje mayor 10.
•
33. Centro en (5, 4), longitud del eje mayor 16, longitud del eje menor 6, eje mayor
paralelo al eje
x.
34. Focos en (O, -8) y (O, 8), longitud del eje mayor 34.
35. Focos en (-5,O) y (5, O), longitud del eje menor 8.
36. Centro en (3,2),un foco en (3,7) Y un vértice en (3,-5).
37. Encuentre la intersección de las dos elipses,
x2
y2
9" +-¡-
=
1
y
38. El perímetro de un triángulo es 30 y los puntos (O, -5) y (O, 5) son dos de los vérti­
ces. Encuentre la gráfica del tercer vértice.
39. Encuentre la ecuación de la gráfica de los puntos medios de las ordenadas de la
circunferenciax2 + y
36.
=
40. Las ordenadas de una curva son k multiplicado por las ordenadas de la circunferen­
cia X2
+
rente de
y = a2• Muestre
l.
que la curva es una elipse si k es un número positivo dife­
4 1. Un segmento de recta de longitud
12 se mueve de modo que sus extremos siempre
tocan los ejes coordenados. Encuentre la ecuación de la gráfica del punto sobre el
segmento que está a
4 unidades del extremo, en contacto con el eje x.
42. Un bastón de longitud a
+
b se mueve con sus extremos en contacto con los ejes
coordenados. Muestre que el punto a una distancia a del extremo en contacto con el
ejex describe una elipse si a =1= b.
43. La órbita de la Tierra es una elipse con el Sol en un foco. La longitud del eje mayor
es de 24 1 428 000 kilómetros y la excentricidad, de 0.0167. Encuentre las distan­
cias de los extremos del eje mayor al Sol. Éstas son la mayor y la menor distancias
de la Tierra al Sol.
, 4'
EJERCICIOS
44. El arco de un túnel es una semielipse de 20 m de ancho y 7 m de alto. Encuentre la
altura en la orilla de un carril, si la orilla está a 7 m del centro.
45. Un punto se mueve en el plano coordenado de modo que la suma de sus distancias a
(1, 2) Y (5, 2) es igual a 16. Encuentre la ecuación de la trayectoria del punto en
movimiento.
46. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto P(x, y) que se mueve de modo
que su distancia a (5, O) es la mitad de su distancia a la recta x = 20.
47. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto P(x, y) que se mueve de modo
que su distancia a (-4, O) es igual a dos tercios su distancia a la recta x =-9
48. Deduzca las ecuaciones (3.9) y (3.11).
49. Si p es un parámetro de números positivos, muestre que todos los miembros de la
familia de elipses
I
tienen los mismos focos.
50. Una familia de elipses con los mismos focos se puede representar con la ecuación
X2
y2
"C'CS1 -+ p + p =
-
1
,
p
>
O.
Encuentre las coordenadas de los extremos de los ejes de las elipses cuando p
10, 21 Y 34. Esboce las cuatro elipses.
=
1,
51. Escriba una ecuación de la familia de elipses cuyos focos comunes son (-6, O) y
(6, O). Encuentre el miembro de la familia que pasa por (9, O).
52. Un arco de entrada a un zoológico tiene una sección transversal como se muestra en
la figura 3.32, donde la curva es una semielipse.
a) Encuentre las alturas del arco, medidas desde el suelo, cada 5 pies de distancia
desde el punto P.
b) Si tiene 10 pies de grosor, encuentre el número de yardas cúbicas de concreto
que requiere su construcción. El área de una elipse de semiejes a y b está dada
por nabo
142
CAPíTULO 3 CÓNICAS
25'
Figura 3.32
1 '
10'
J_:-¡. - 20'"-11--S'--
S'
�
3.4 HIPÉRBOLA
El tercer
tipo de cónica que se considerará es la hipérbola. Las ecuaciones de las hipérbolas
recuerdan a las de las elipses, pero las propiedades de estos dos tipos de cónicas difieren
considerablemente en algunos aspectos.
Para deducir la ecuación de una hipérbola, se coloca el origen a la mitad entre los
focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos (Fig. 3.33). Los focos se
representan con F'(-c, O) y F(c, O), y la diferencia de las distancias entre un punto de
la hipérbola y los focos, con una constante positiva 2a. Entonces, a partir de la definiClon antenor,
•
•
•
lF'pl - FPI
o bien
lF'pl - IFP
=
=
2a
2a,
-
dependiendo de si el punto P(x, y) de la hipérbola se encuentra a la derecha o a la iz­
quierda del eje y. Estas ecuaciones se combinan escribiendo
lF'pl
o bien
-
IfPI
=
+2a
3.4
143
HIPÉRBOLA
Ahora, al trasponer el segundo radical, elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene
ex - a2
+aV(x - e)2
=
+
y2.
Al elevar al cuadrado los miembros de esta ecuación y simplificar, se obtiene
(e2 - a2)x2 - a2y2
=
a2(e2 - a2).
Después, al hacer b2 = e2 - a2 y dividir entre a2b2, se tiene que
(3.12)
y
,'
I
-
P(x, y)
P(x, y)
Figura 3.33
F'(-c, O)
•
x
o
F(c,O)
Se puede hacer la división si e2 - a2 *' O. En la figura 3.33, la longitud de un lado del
triángulo F'PF es 2e y la diferencia de los otros dos lados es 2a. Por tanto,
e>a
y
La gráfica de la ecuación (3.12) es simétrica con respecto a los ejes coordenados.
Los valores permitidos de x y y se vuelven evidentes al expresar uno en términos del
otro. Así, se obtiene
y
De la primera de estas ecuaciones, se verá que y puede tomar cualquier valor real y
de la segunda, que x puede tomar cualquier valor real excepto aquellos para los cuales
X2 < a2• Por consiguiente, la hipérbola se extiende y aleja indefinidamente de los ejes en
cada cuadrante. Sin embargo, no hay parte de la gráfica entre la recta x = -a y la recta
x = a. En consecuencia, la hipérbola consta de dos partes separadas, o ramas (Fig. 3.34).
Los puntos V'(-a, O) y Vea, O) se llaman vértices y el segmento V' V se llama eje trans­
versal. El segmento de B'(O, -b) a B(O, b) se llama eje conjugado. Aunque el eje conju­
gado no tiene ningún punto en común con la hipérbola., tiene una relación importante con
la curva, como se descubrirá. La intersección de los ejes es el centro. La cuerda que
pasa por un foco y es perpendicular al eje transversal se llama lado recto. Al sustituir
x = e en la ecuación (3.12) Y usar la relación e2 = a2 + b2, se encuentra que los extremos
de un lado recto son (e, -b2/a) y (e, b2/a). Por tanto, la longitud es 2b2/a.
Se observa que los significados de las tres cantidades positivas a, b y e que apare­
cen aquí son análogos a cuando se usaron con una elipse. La cantidad a es la distancia
del centro de la hipérbola a un vértice, b es la distancia del centro a un extremo del eje
144
CAPíTULO 3 CÓNICAS
conjugado y
e
es la distancia del centro a un foco. Sin embargo, las relaciones de a,
para una elipse no son las mismas que para una hipérbola. Para una elipse,
b2 ya > b.
Para una hipérbola,
valores relativos de a y
b.
e > a, e2
=
a2
+
b2
a> e, ¿
bye
a2_
=
Y no hay restricción acerca de los
y
(-e, �2)
B(O, b)
V'(-a, O)
F'(-c, O) ¡
¡
¡
Vea, O)
o
B'(O, -b)
Figura 3.34
Si los focos están sobre el eje y en F'(O,
¡F(c,O)
x
¡
¡
(e, �2)
_
-e) y F(O, e),
la ecuación de la hipérbola es
(3.13)
Los vértices están en V'(O,
-a) y
VeO, a) y las relaciones entre a,
b y e no cambian.
Las ecuaciones generalizadas de hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados
y centro en
(h, k) son
(x - h)2
a2
-
(y - k)2
b2
(x
h)2
(y - k?
b2
a2
_
-
-
-
l,
l.
(3.14)
(3.15)
Se dice que las ecuaciones (3.12) a (3.15) se hallan en la forma usual. Los signifi­
cados y los relaciones de a,
b y e son iguales en todas las ecuaciones.
Asíntotas de una hipérbola
A
diferencia de las otras cónicas, una hipérbola tiene asociadas dos rectas que guardan
una relación importante con la curva. Estas rectas son las diagonales extendidas del
1 45
3.4 HIPERBOLA
,
rectángulo en la figura 3.35. Un par de lados del rectángulo pasa por los vértices y es
perpendicular al eje transversal. El otro par pasa por los extremos del eje conjugado. Su­
ponga que se consideran la diagonal extendida y la parte de hipérbola en el primer cua­
drante. Las ecuaciones de la diagonal y esta parte de la hipérbola son, respectivamente,
Y
b
x
=a
y
•
y
b
a
y=--x
b
a
y= -x
(0, b)
(a, O)
(-a, O)
x
(0, -b)
Figura 3.35
Se observa que, para cualquier x > a, la ordenada de la hipérbola es menor que la
ordenada de la recta. Sin embargo, si x es muchas veces el tamaño de a, las ordenadas
correspondientes son casi iguales. Esto será más convincente si se examina la diferencia
de las dos ordenadas. Así, 'restando y des ués multiplicando el numerador y el denomi­
nador de la fracción resultante por x +
x2 - a2 se obtiene
,
b(x-v'x2-a2)
-b x- -b v'x2- a2 --'---------'=
a
a
a
--�x2
b(x - v'..-
-
X
+
+
v'x2 - a2)
'FiF==::¡
v'x2-a2'
--
El numerador de la última fracción es constante. Sin embargo, el denominador crece
cuando x crece. De hecho, es posible hacer que el denominador sea tan grande como se
quiera, tomando un valor de x suficientemente grande. Esto significa que la fracción, que
es la diferencia de las ordenadas de la recta y de la hipérbola, se acerca más y más a cero
conforme x es cada vez más grande. La distancia perpendicular de un punto P de la hi­
pérbola a la recta es menor que la fracción. En consecuencia, aunque la distancia per­
pendicular nunca se pueda hacer igual a cero, sí es posible hacerla tan cercana a cero
CAPíTULO 3 CÓNICAS
146
como se quiera tomando x suficientemente grande. Cuando la distancia perpendicular de
una recta a la curva tiende a cero conforme la curva se aleja indefinidamente del origen,
se dice que la recta es asíntota de la curva. Por consideraciones de simetría, se concluye
que cada diagonal extendida es una asíntota de la curva. Por tanto, las ecuaciones de las
asíntotas de la hipérbola representada por la ecuación (3.12) son
b
Y = -x
a
b
Y = --x.
a
y
De manera análoga, las ecuaciones de las asíntotas asociadas con la ecuación (3. 13) son
a
y = -x
y
b
Se observa que para cada una de las hipérbolas, de la (3.12) a la (3.15), las ecuaciones
de las asíntotas se pueden obtener factorizando el miembro izquierdo e igualando a cero
cada factor.
Las asíntotas de una hipérbola son útiles para esbozar la hipérbola. Se puede hacer un
dibujo aproximado a partir del rectángulo asociado y de sus diagonales extendidas. Sin
embargo, la precisión puede ser mucho mayor localizando los extremos de cada lado recto.
Si a = b, el rectángulo asociado es un cuadrado y las asíntotas son perpendiculares
entre sí. En este caso, se dice que la hipérbola es equilátera porque sus ejes son iguales,
o se dice que es rectangular pues sus asíntotas se intersecan formando ángulos rectos.
La razón e/a se llama excentricidad e de la hipérbola. El ángulo de intersección de
las asíntotas y, por tanto, el aspecto de la hipérbola, dependen del valor de e. Como e> a,
el valor de e es mayor que l . Si e es sólo un poco mayor que a, de modo que e está cerca
de 1, la relación e2 a2 + b2 muestra que b es pequeño comparado con a. Entonces, las
asíntotas forman un par de ángulos pequeños. Las ramas de la hipérbola, encerradas por
ángulos pequeños, divergen lentamente. Si e crece, las ramas están encerradas por ángu­
los mayores, y los ángulos pueden estar cerca de 1800 al tomar valores grandes de e.
Una vez que se ha encontrado que la excentricidad de una elipse es un número entre O
y l y que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1, hay que preguntarse, natural­
mente, si existe alguna cónica cuya excentricidad sea igual a l. Para tener una respuesta,
recuerde que cualquier. punto de una parábola equidista de la directriz y del foco (Defini­
ción 3.1). La razón de estas distancias es l y, en consecuencia, este valor es la excentrici­
dad de una parábola.
=
Ejemplo 1
Solución
Esboce la curva 36x2-64y2
=
2304
Se divide entre 2304 y la ecuación se reduce a
y2
X2
64
-
36
=
1.
La gráfica es una hipérbola en la cual a 8, b = 6 y e = .Ja2 + b2 = 10. Por tanto, los
vértices son (±8, O) y los focos (±10 O). Cada lado recto tiene una longitud de 2b2/a 9.
.Las ecuaciones de las asíntotas son 3x 4y O y 3x + 4y = O. La hipérbola se puede
trazar con esta información (Fig. 3.36). •
=
,
=
-
=
147
3.4 HIPÉRBOLA
y
(0,6)
(-10,4.5)
(
0) I
I
I
(-lO, 4 5)
-
1 0,
-
(-8, O)
(10, 4.5)
I (10, O)
I
I
(lO,-4.5)
(8, O)
.
(O, -6)
x
FIgura 3.36
Dibuje la gráfica de l2y - 4�2 + 72y + l6x + 4 4
Ejemplo 2
Solución
=
O.
Primero se reduce la ecuación a una forma usual. Así,
12(y2 + 6y + 9) - 4(x2 - 4x + 4) = -44 + 108 - 16,
12(y -+' 3)2 - 4(x-2 )2 = 48
(y + 3) 2
(x - 2)2
= 1.
4
12
,
Se observa ahora que a = 2, b = 2.J3 , e = .J 4 + 12 = 4 Y que el centro de la hipérbola está
en (2, 3 ) Por tanto, los extremos del eje transversal se encuentran en (2, -5) Y (2, -1), Y
los extremos del eje conjugado se ubican en (2-2.J3 , -3) Y (2+2.J3 -3). Los lados del
rectángulo asociado pasan por estos puntos (Fig. 3.37). Las diagonales extendidas del rectángulo son las asíntotas. Las coordenadas de los focos, a 4 unidades del cen­
tro, son (2, -7) Y (2, 1). La longitud de cada lado recto es 2b2/a = 12 y, por tanto, los
extremos de cada lado recto se hallan a 6 unidades de un foco. Los vértices de la hipér­
bola, los extremos de cada lado recto y las asíntotas son suficientes para dibujar una grá­
fica razonablemente precisa. Las ecuaciones de las asíntotas, aunque no se necesitan para
-
.
,
•
el dibujo, son
y + 3
x-2
+
2
2Y3
=
O
y
Estas ecuaciones se obtienen factor izando el miembro izquierdo e igualando a cero cada
factor. •
Es posible definir una elipse sólo en términos de un foco y la directriz; la hipérbola
148
CAPíTULO 3 CÓNICAS
y
(2, 1)
(8, 1)
--------- �
(-4, 1)
o
x
(2, -1)
X(2, -3)
(2,-5)
--- - -- ......
(8, -7)
(2, 7)
(-4,-7)
-
-
-
-
-
Figura 3.37
con foco (e, O) tiene x = a2fe como directriz y e = e/a> 1 como excentricidad. Este foco
y directriz producen ambas ramas de la hipérbola como foco (-e, O) y directriz x = -a2fe
(véase la figura 3.38).
y
a2
I
x=-I
c I
I
O
Figura 3.38
I
I
I
I
I
I
(c, O)
x
I
Una aplicación importante y muy interesante de la hipérbola es la de localizar un lu­
gar del cual emana un sonido, por ejemplo un disparo de cañón. A partir de la diferencia
en los tiempos en los que llega el sonido a dos puestos de escucha, se puede determinar la
diferencia de las distancias de los puestos al cañón. Entonces, se sabe que el cañón está
colocado sobre una rama de una hipérbola de la cual los puestos son los focos. La posi­
ción del cañón en esta curva se puede encontrar usando un tercer puesto de escucha. Uno
de los dos puestos y el tercero son los focos de una rama de otra hipérbola donde está
colocado el cañón. Por tanto, el cañón está colocado en la intersección de las dos ramas.
El mismo principio de la hipérbola se usa en los sistemas modernos de navegación
para localizar la posición de un barco o de un aeroplano. En este caso la nave recibe
149
EJERCICIOS
sefiales de tres locaciones conocidas y, por tanto, se coloca en la intersección de dos
hipérbolas.
Ejemplo 3 El código de Ingresos al Erario señala que un contribuyente que cambia de
empleo puede deducir sus gastos de cambio de domicilio si el nuevo empleo aumenta en al
menos 35 km la distancia que había entre el lugar de trabajo y la residencia anterior. Una
compafiía con una fábrica en F está por abrir una nueva fábrica en F', a 61 km de distan­
cia. Encuentre la región R alrededor de F en la que los empleados, en caso de ser transferi­
dos, podrán deducir de sus ingresos gravables los gastos de cambio de residencia.
Solución Sitúe las fábricas sobre el eje x, en F (e, O) y en F(-c, O). Si (x, y) es un punto
sobre la frontera de la región R, entonces la distancia de (x, y) a (e, O) es igual a 35. Se
tiene una hipérbola con focos en F y F', con 2c 61 Y 2a 35. Por consiguiente b2 = 624.
Como en el ejemplo de la sección 2.3, en la figura 3.39 se ve que la rama de la hipérbola
divide el plano en tres regiones: los puntos sobre la rama (que se encuentran exactamente
35 km más alejados de F' que de F), y los puntos en la región sin sombrear (que están al
menos de 35 km de F' que de F). •
=
=
y
•
(x, y)
F' (-30.5, O)
Figura 3.39
•
:.rl--t-+--+ x
•• O)
o
"
X'
306.25
-
Y1
624
=
I
Ejercicios
En cada uno de los ejercicios 1 a 12, encuentre las coordenadas de los vértices y de los
focos, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de las asíntotas. Dibuje las asíntotas
y esboce la hipérbola.
ISO
CAPíTULO 3 CÓNICAS
1
x�
y2
4.
9
36
X2 y2
5. 2 - '9 - 1
5
X2 y 2
7.
1
49
9.
11.
2
y
8 . 64
49
(x + 2)2
2
3
y
)
( -
(x - 4)2
25
2
y
( - 5)
25
16
9
_
_
-
x2
1
=
64 =
1
1
2
3
x + 2P
y
)
(
(
10.
16
9
1
y - 5?
.
(
12.
36
(x +
36
=
5?
1
1
En los ejercicios 13 a 18 reduzca cada ecuación a la forma usual. Después encuentre las
coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Dibuje las asíntotas y esboce la
gráfica de la ecuación.
13. 3x2- 2Y+ 4y- 26=0
14. 9x2- 4y2+90x+ 189=0
15. 9x2-4Y+ 36x-16y-16=0
16.
1 7. 49y2 -4X2
+
98y- 48x- 291
=
O
X2 2y + 6x+ 4y+ 5= O
-
18. 4y -9X2 + 8y-54x- 81= O
En cada uno de los ejercicios 19 a 28, encuentre la ecuación de la hipérbola que satisfa­
ce las condiciones dadas.
19.
y
20.
y
F(O. 10)
-t-t-t-t-t-�é--t-+-+-l-lf--f--.
x
x
EJERCICIOS
21.
22.
151
y
y
(4, 2)
x
F(-I,O)
V (2, O)
.r
23. Centro en (2,2),un foco en (10,2),un vértice en (5, 2).
24. Centro en (-2, 2),un vértice en (4, 2),un foco en (6,2).
25. Centro en (4.1025, -2.1374),
2.4198).
un
vértice en (4.1025, 1.7144), un foco en (4.1025,
26. Centro en (2, -2),eje transversal paralelo al eje x,eje transversal 6,eje conjugado 10.
27. Centro en (O,O),eje transversal a lo largo del eje x y pasa por los puntos (3,5),(2, -3)
28. Centro en (6, 5), eje conjugado a lo largo del eje x, asíntotas 5x-6y-30
6y - 30 O.
=
•
=
O Y 5x +
29. El par de hipérbolas
x2
a2
-
y2
b2
=
1
y
se llaman hipérbolas conjugadas. Muestre que estas hipérbolas tienen las mismas
asmtotas.
,
30. Esboce,en los mismos ejes coordenados,las hipérbolas conjugadas
y
.
3 l . Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto que se mueve de modo que su
distancia a (4,O) es el doble de su distancia a la recta x l.
=
32. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto que se mueve de modo tal que
su distancia a (5,O) es 5/4 de su distancia a la recta x 16/5.
=
CAPíTULO 3 CÓNICAS
152
33. Muestre que
(e, O) es un foco y x - (a2/e)
x2
a2
es una directriz de la hipérbola
y2
-
b2
-
1.
Proceda como en el caso de la elipse (Sec. 3.3).
34.
En A, B Y e hay puestos de escucha. El punto A está
600 m al norte del punto B y el
punto e está 600 m al este de B. El sonido de un disparo llega a A y a B simultánea­
mente, un segundo después de llegar a C. Muestre que las coordenadas de la posi­
ción del cañón son, aproximadamente
(262, 300),
donde el eje x pasa por B y e y el
origen se halla a la mitad entre B y C. Suponga que el sonido viaja a 335 m/seg.
35. Si
a
y b son constantes y p es un parámetro tal que p
•
>
ecuaclOn
•
O Y b2 - P > O, muestre que la
representa una familia de hipérbolas con focos comunes sobre el eje x.
36.
Escriba una ecuación de la familia de hipérbolas cuyos focos son
Encuentre el miembro de la familia que pasa por
37.
(2, O).
(-4, O) Y (4, O).
Suponga que las fábricas del ejemplo 3 de esta sección están separadas
80 km.
En­
cuentre la región alrededor de la fábrica inicial en la que los empleados residentes
podrán reclamar gastos de cambio de residencia en caso de ser transferidos de una
fábrica a la otra.
EJERCICIOS DE REPASO
1.
Defina: parábola, elipse, hipérbola.
y2 - 6y
2. Deduzca la ecuación de la gráfica de un punto equi­
distante del punto (a, O) y la recta x
= -o.
3. Exprese en forma usual la ecuación
Xl +
16y - 32 = O.
Indique las coordenadas del vértice, del foco, y de
los extremos del lado recto. Esboce la gráfica.
4. Exprese en forma usual la ecuación
-
8x
-
7
=
O.
A continuación, indique las coordenadas del vér­
tice de la parábola, el foco y los extremos del lado
recto. Esboce la gráfica.
5. Esboce la elipse
16x2
+
25y2
=
40.
Indique las coordenadas de los focos, los extremos
de los ej es mayor y menor, y los extremos de cada
lado recto.
EJERCICIOS DE REPASO
6.
153
Reduzca la ecuación
3X2
+ 2y2 - 24x + 12y + 60
= O
Indique también las ecuaciones de las asíntotas. Es­
a la forma usual. A continuación, encuentre las co­
ordenadas del centro, los focos y de extremos del
eje mayor y menor. Esboce la elipse.
boce la gráfica de la hipérbola.
8.
Construya la gráfica de la ecuación
12x2
7. Indique las coordenadas de los vértices, de los fo­
cos, de los extremos del eje conjugado y de los ex­
tremos de cada lado recto de la hipérbola
-
4y2 + 72x + 16y + 44 = O.
Indique las coordenadas del centro, de los vérti­
ces, de los focos y de los extremos de cada lado
recto de la hipérbola.
Términos clave
•
parábola, focos, directriz, pág. l 13
elipse, forma usual, pág. 136
lado recto de la parábola, pág. 114
hipérbola, focos, vértices, ejes, centro, lado
simetría, pág. 124
recto, pág. 142, 143
criterios de simetría, pág. 124
hipérbola, forma usal, pág. 144
elipse, focos, ejes, vértices, centro.
hipérbola, asíntotas, excentricidad,
lado recto, pág. 129, 130
pág. 146
l. Define parábola, elipse e hipérbola.
2.
Una parábola satisface la ecuación Xl + 2x 12y +
37
=
O. Encuentre el vértice, el foco y la directriz.
Esboce su gráfica.
3.
Encuentre la ecuación de la elipse con focos en
(2, -7) Y (2, 9), y con eje mayor de 34 unidades
de longitud.
4.
(x
Esboce la sección cónica cuya ecuación es
-
64
1)2
(y
- 2)2
16
_
-
1
,
mostrando los focos, vértices y asíntotas.
5. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en
(3,
1) Y
foco en (6, 2).
6. Encuentre la ecuación cuadrática que pasa por (2, 1),
(0,-1), Y (-1,
4).
Capítulo
Sim lificación de ecuaciones
4.1 SIMPLIFICACiÓN POR TRASLACiÓN
En la sección 2.8 se descubrió que la ecuación de una circunferencia cuyo centro no
está en el origen se puede expresar en una forma más sencilla, mediante una traslación
adecuada de los ejes. Además, en el capítulo 3 se usó la idea de traslación de ejes para
expresar las ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas en formas usuales. Se puede
concluir, entonces, que las ecuaciones generales de las cónicas pueden expresarse en for­
mas simples. En efecto, esto es cierto, coIp.o ya se verá.
La ecuación general de segundo grado puede presentarse en la forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
=
O.
(4.1)
Sin embargo, antes de trabajar con la ecuación general, se tratarán los casos particulares
obtenidos igualando uno o más de los coeficientes a cero. Se aconseja a los estudiantes
revisar la deducción de las fórmulas de traslación (Sec. 2.8) y después estudiar con cui­
dado los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1
Simplifique la ecuación mediante una traslación de ejes.
X 2 - 6x - 6y - 15
O.
=
Solución El cuadrado se completará en los términos x, y se seleccionará la traslación
'
que eliminará el término x y el término constante en la nueva ecuación. De esta manera,
se tiene
6y + 15 + 9,
X2 - 6x + 9
6(y + 4).
(x - 3) 2
El vértice de la parábola está en (3, -4). De modo que se hace h = 3 Y k = -4 en las
'
x
fórmulas de traslación x = + h Y Y = y' + k, y se obtiene
(x' + 3 - 3)2
6(y' - 4 + 4),
=
=
=
x' 2
=
6y ' .
La parábola de la figura 4.1 es la gráfica de la ecuación dada, referida a los ejes origina­
les, y también es la gráfica de la nueva ecuación referida a los nuevos ejes. •
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
156
y'
y
x
x'
FIgura 4.1
•
Cabe hacer notar que la traslación de ejes está vinculada con la realización de dos
transformaciones geométricas: un desplazamiento horizontal y un desplazamiento ver­
h) es congruente con la gráfica de
tical. Dada una función f, la gráfica de y f (x
y = f (x), pero se desplaza Ihl unidades a la derecha si h > O o a la izquierda si h < O.
k f (x), o y = f (x) + k, se encuentra situada a
De manera similar, la gráfica de y
Ikl unidades sobre la gráfica de y f(x) si k > O, o debajo de ella si k < O.
Por ejemplo, se puede obtener la gráfica de y = 2 (x 3)2 4 a partir de la gráfica
de y X2 mediante una serie de transformaciones geométricas: primero se expande X2 en
un factor de 2 (véase el Ejercicio 20 de la Seco 3. 1), luego se refleja a través del eje x, a
continuación se desplaza 3 unidades hacia la derecha y, finalmente, se desplaza 4 unida­
des hacia abajo.
=
-
=
-
=
-
-
Ejemplo 2
-
Traslade los ejes de modo que se simplifique la ecuación
2
2X
+
+
3y2
lOx - 18y + 26
=
O.
La simplificación se puede hacer completando los cuadrados en los térmi­
nos x y y. Con este plan, se obtiene
Solución
2(x2 + 5x)
2
x2
+
5x
+
25
4"
2
x
+
+
3(y2 - 6y)
3(y2 - 6y
5
+ 2
2
+
9)
+ 3(y - 3)2
=
=
-26,
-26
+
25
2
+
27,
27
.,..
2'
Las fórmulas de traslación x x'- Sjz y Y = y' + 3 reducirán esta ecuación a otra que no
tenga términos de primer grado. Haciendo estas sustituciones, se encuentra que
=
5
2 x' 2
5 2
+ 2
+
3(y' + 3 - 3)2
=
27
'
2
4.1
157
SIMPLIFICACIÓN POR TRASLACIÓN
La gráfica es una elipse con a = 312 .J3, b 312 J2 y e = 312. Ambos conjuntos de ejes
y la gráfica se encuentran en la figura 4.2. •
Los ejemplos 1 y 2 ilustran el hecho de que los ejes se pueden trasladar para reducir
=
y'
y
(-2.5,3)
x'
O'
Figura 4.2
una ecuación de segundo grado de la fonna
Ax 2 + Cy2 + Dx + Ey + F
a otra de las fonnas
A'X' 2 + E'y'
=
0,
C'y' 2 + D'x'
=
0,
A' x' 2 + C'y' 2 + F'
=
O.
=
°
En los dos ejemplos se completan los cuadrados para localizar los orígenes de los
nuevos sistemas de coordenadas. El plan necesita modificarse cuando se presenta algún
tennmo.xy.
,
.
Ejemplo 3 Traslade los ejes para eliminar los ténninos de primer grado de la ecuación
2.xy+3x- 4y= 12.
Solución Para esta ecuación se usan las fónnulas de traslación con h y k desconoci­
das. Entonces, la ecuación se vuelve
2(x' + h)( y' + k) + 3(x ' + h) - 4( y' + k)
o, al multiplicar y agrupar ténninos,
=
12
2 x'y' + (2k + 3) x' + (2h - 4)y' + 2 hk + 3h - 4 k
=
12 .
Para eliminar el ténnino x' y el télJl1ino y se igualan a cero sus coeficientes, obteniendo
312. Usando estos valores de h y k se obtiene
así h = 2 Y k
=
-
x'y'
=
3.
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACiÓN DE ECUACIONES
158
En la sección 4. 4 se verá que la gráfica de esta ecuación, y de la ecuación dada, es una
hipérbola. Ambos conjuntos de ejes y la hipérbola se dibujan en la figura 4.3. •
y
y'
x
'
x
Figura 4.3
Ejercicios
En cada uno de los ejercicios 1 a 11 detelll1ine la nueva ecuación si el origen se traslada
al punto dado.
l.
3x -2y= 6,
(4, -3)
3. y2 - 6x+4y+22 = 0,
2. 5x+4y+3 = 0,
4. x2+4x+7y= 0,
(3, 2)
5. 3x2+4y2+12x -8y + 8 = 0,
(-2, -1)
6. 9x2+y2+36x+8y+43 = 0,
(-2, 4)
7. 4y2 -5x2+8y -l Ox -21= 0,
(1, 1)
(2, 6)
(-1, 1)
8. 16x2 - 4y2 - 160x+ 24y+300 = 0,
9. xy - x+y-l O = 0,
(l, 2)
(5, - 3)
10. 3xy - 21x -6y - 47= 0,
11. 3. 015x2-2. 991x+0. 005y -0.123= 0,
12. Explique cómo se obtiene la gráfica de y = -4 (x
y X2 mediante transformaciones geométricas.
(-2, 7)
(1. 028, 2. 314)
-
,.)2 + ..Ji partir de la gráfica de
=
En cada uno de los ejercicios 13 a 22 encuentre el punto al cual debe trasladarse el ori­
gen para que la ecuación transformada no tenga términos de primer grado. Encuen­
tre además la nueva ecuación.
13. xy -2x+4y -4= °
14. xy+3x+3y - 3
=
°
15. 2x2+2y2 -8x+5= °
16. x2+2y2+6x - 4y+2 = °
17. 3x2 -2y2+24x+8y -34= O
18. 2y2 -3x2 -12x - 16y+14=0
19. x2 -xy+y2 - 9x - 6y-27 = O
20. 2x2 - 3xy - y2+X - 5y -3= °
4.2 ROTACiÓN DE EJES
159
21. x3 + 5x2 + 2xy + 4x - 4 y - 4 = O
22. xy + 2.8761x - 3.0019y - 9.6338
=
O
En cada uno de los ejercicios 23 a 28, elimine el término C0nstante y uno de los términos
de primer grado.
23. y2 + 6y + 4x + 5 = O
24. x2 - 2x + 8y - 15 = O
25. y2 + lOx - 4y + 24 = O
26. y2 + 4y - x + 1 = O
27. 2x2 - 20x + 7y + 36= O
28. 3y2 + l1x - 6y - 19 = O
En los ejercicios 29 a 31, indique la secuencia de transformaciones geométricas por usar
para obtener la segunda función a partir de la primera. Grafique ambas en el mismo siste­
ma coordenado, usando de ser posible un graficador.
29. y=x3,
y=2(x-l)3
31. Y =x4 + 1,
y=
30. y=x3,
y= (x + 2)4 - 7
,
4.2 ROTACION DE EJES
•
•
Se considerará ahora una transformación de coordenadas donde los nuevos ejes tengan
el mismo origen, pero direcciones diferentes de los ejes originales. Puesto que los nue­
vos ejes se pueden obtener rotando los ejes originales en un ángulo alrededor del ori­
gen, la transformación se Harna rotación de ejes.
Para una rotación en un ángulo e se deducirán fórmulas de transformación, que ex­
presen las coordenadas anteriores en términos de e y de las nuevas coordenadas. En la
figura 4.4 las coordenadas del punto P son (x, y) cuando están referidas a los ejes origi­
nales OXy OY, y son (x', y') cuando están referidas a los nuevos ejes OX' y OY'. Se.·
notará que
.
�
,..,.
x = OM
Y
.
-::;-;:.
Y = MP,
x' = OS
Y
.
y' = SP.
El segmento RS se traza paralelo al eje x y NS es paralelo al eje y. Por tanto, se tiene que
.
x= OM = ON - MN = ON - RS =x' cos (J
y' sen e,
.
.
.
y = MP = MR + RP=NS + RP =x' sen e + y' cos e.
-:::-;-:;.
-
Las fórmulas de rotación son, entonces,
x = x' cos e - y' sen e,
y=x' sen e + y' cos e.
•
(4.2)
Estas fórmulas se dedujeron para el caso especial en el cual e es un ángulo agudo y el
punto P está en el primer cuadrante de ambos pares de ejes. Sin embargo, las fórmulas
valen para cualquier e y para todas las posiciones de P. Se podría demostrar que las
fórmulas valen en general, si se observan las convenciones adecuadas con respecto al
signo de e y a los signos de todas las distancias incluidas.
CAPiTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
160
y
y'
p
y
x
Figura 4.4
ejes.
•
Solución
1
(x', y')
y'
�
x'
R
x'
Ejemplo
(x, y)
M
Transforme la ecuación X2 - y - 9
=
•
x
N
O mediante una rotación de 45° de los
•
Cuando () = 45°, las fórmulas de rotación (4.2) son
x=
x'
Vz
-
'
y'
Y
Vz'
=
X
Vz
+
y'
Vz'
y
x'
y'
:-+...L.T---t--+---t--. x
Figura 4.5
Se hacen las sustituciones en la ecuación dada y se obtiene
X'
y' 2
Vz - Vz
X'
- Vz
+
y' 2
Vz
-
9
=
. 2x'y' + 9
=
O
,
.
O
4.2 ROTACIÓN DE EJES
161
Tanto la gráfica como ambos conjuntos de ejes se construyen en la figura 4.5.
•
Ejemplo 2 Encuentre el ángulo de rotación agudo tal que la ecuación transformada de
2X2 + -J3 xy + y 8 no tenga término x'y'.
=
Solución Se emplean las fórmulas de rotación para encontrar el ángulo 8 requerido.
Sustituyendo para x y y, se obtiene
2(x' cos fJ - y' sen fJ)2 + v'3 (x' cos fJ
-
y' sen fJ)(x' sen fJ + y' cos fJ)
+(x' sen fJ + y' cos fJ)2
=
8.
Se efectúan las multiplicaciones indicadas, se agrupan términos semejantes y se obtiene
(2 cos2fJ + v'3 sen fJ cos fJ +sen 2fJ)x'2 + (-2sen fJ cos 8 + v'3 cos28 - v'3sen 2fJ)xly'
8. (4.3)
+ (2sen2fJ - v'3 sen 8 cos fJ + cos 2 8)y' 2
=
Como se va a eliminar el término x'y', su coeficiente se iguala a cero. De este modo se
obtiene
-2sen 8 cos 8 + v'3(cos2fJ -sen 2(])
Usando las identidades sen 28
ecuación en la forma
=
2 senO cos 8 y cos 28
-sen28 + v'3 cos 28
=
=
=
O.
cos28 -sen28, se obtiene la
O.
Por tanto,
tan 28
=
v'3'
Una rotación de 30° elimina el término x y Este valor de 8 reduce la ecuación (4.3) a
'.
5X'2 + y'2
=
16.
•
La figura 4.6 muestra ambos conjuntos de ejes y la gráfica.
•
•
y
y'
'
X
3D·
Figura 4.6
x
•
162
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
Ejercicios
En los ejercicios l a 8 encuentre la nueva ecuación cuando los ejes se rotan en el ángulo
dado 8. Esboce la gráfica de la nueva ecuación, mostrando ambos conjuntos de ejes.
l.
x + y = 6,
3.x2 + y2=a2 ,
2. v3x - y =4,
()=50°
5.x2 - v3xy + 2y2= 2,
7.
•
X2 + v3xy + 2y2= 3,
4. xy = 1 ,
()= 30°
6.
x2 + xy + y2= 1 ,
()= arctan v3
8. x2 - 4xy + 4y2 - 8Vsx = O,
(} = arctan
�
En cada uno de los ejercicios 9 a 12 encuentre el ángulo de rotación tal que la ecuación
transformada no tenga término x y '.
9. x2 - xy + 3 = O
1 0. 3xy + y - 2 = O
1 2. x2 - 3xy + 4y2 +
1 1. x2 + 3xy - x + y = O
7 =O
Los ejercicios 13 Y 14 están dirigidos a estudiantes con conocimientos sobre matrices.
13. Muestre que la fórmula de rotación (4.2) puede expresarse mediante la ecuación
matricial
cos ()
sen ()
14.
- sen ()
cos ()
x'
x
y'
y
Muestre que la matriz
cos () sen ()
- sen () cos ()
es la inversa de la matriz que aparece en el ejercicio 13. Concluya que
cos () sen ()
-sen () cos ()
x
y
x'
.
'
y
4.3 SIMPLIFICACIÓN POR ROTACIONES Y TRASLACIONES
La ecuación general de segundo grado, o cuadrática, en x y y se representa con
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +
F =O.
(4.1)
Al menos una 4e las constantes A, B Y C debe ser diferente de cero para que la ecuación
sea de segundo grado. Se supone, además, que no todos los coeficientes de los términos
que incluyen una de las variables son cero; esto es, que tanto x como y aparecen en la
ecuaClOn.
•
•
4.3 SIMPLIFICACIÓN POR ROTACIONES YTRASLACIONES
163
En la sección 4. 1 se analizó el procedimiento para simplificar la écuación (4.1) cuan­
do B O. Si B:f. 0, una parte esenGial de la simplificación consiste en obtener una ecua­
'
'
ción transformada sin el término producto x y . Se mostrará cómo determinar de inmediato
un ángulo de rotación que servirá para este propósito. En la ecuación (4. 1) se sustituyen
para x y y los miembros derechos de las fórmulas de rotación. Después de agrupar térmi­
nos semejantes, se obtiene
=
AIX'2 + B'x'y' + e y' 2 + D'X' + E'y' + F '
l
=
donde los nuevos coeficientes son
A'
=
B'
=
e'
=
D'
=
A cos28 + B sen 8 cos 8 + e sen28,
B cos 28
(A
e)sen20,
B sen O cos O + e cos20,
A sen20
E'
=
D cos O + E sen 8,
E cos 8
F'
=
F.
-
0,
-
-
-
D sen 8,
'
'
El término x y se anulará sólo si su coeficiente es cero. Por tanto, 8 debe satisfacer la
ecuación B' B cos 28- (A-C)sen 28 O. Si A :f. e, la solución es
=
=
tan 20
B
=
A
-
C'
Esta fórmula proporciona el ángulo de rotación, excepto cuando A C. Si A C, el coefi­
ciente de x'y' es B cos 28. Entonces, el término se anula al dar a 8 el valor de 45°. Se
observa, así, que una ecuación de la forma (4. 1) con Un término xy puede transformarse
'
'
en una ecuación libre del término producto x y .
Los resultados anteriores se resumen en el siguiente teorema.
=
=
•
•
Teorema 4.1
Una ecuación de segundo grado
en la cual B
las formas
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
=
=
O,
O, se puede transformar mediante una traslación de ejes en una ecuación de
A'x'2 + C/y'2 + F'
A'x'2 + E'y'
C'y'2 + D'x'
=
=
=
0,
O,
O.
(4.4)
Si B '# O, una de estas formas se puede obtener mediante una rotación y una traslación
(si es necesario). El ángulo de rotación e (se escogió agudo) se obtiene a partir de la
ecuaclOn
•
•
164
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
tan 20 =
o
B
A
_
si A *-
C'
C,
•
bien
•
SI
A=
C.
Por este teorema se ve cómo se encuentra el valor de tan 28. Sin embargo, las fórmu­
las de rotación contienen a sen 8 y cos 8. Estas funciones se pueden obtener a partir de
las identidades trigonométricas
•
1 + cos 20
1 - cos 20
sen 0=
cos 0=
2
2
Se escoge el signo positivo antes de cada radical, pues se restringirá 8 a un ángulo agudo.
Las transformaciones que reducen la ecuación de una cónica a una ecuación en for­
ma simplificada se pueden interpretar geométricamente. La rotación orienta los ejes
coordenados en las direcciones de los ejes de una elipse o hipérbola, y la traslación lle­
va el origen al centro de la cónica. Para una parábola, la rotación hace que uno de los
ejes coordenados sea paralelo al eje de la parábola, y la traslación: mueve el origen al
'
vertlce.
Aunque las ecuaciones (4. 4) anteriores usualmente representan cónicas, hay casos
excepcionales, según los valores de los coeficientes. Los casos excepcionales no son de
especial interés, pero se mencionarán. La primera de las ecuaciones no tiene gráfica si
A' , C' Y F' tienen todos el mismo signo, pues entonces no habrá valores reales de x' y y'
para los cuales los términos del miembro izquierdo sumen cero. Si F' = O Y A' Y C' tie­
nen el mismo signo, sólo las coordenadas del origen satisfacen la ecuación. Los valores
para los coeficientes se pueden escoger arbitrariamente de manera que la ecuación re­
presente dos rectas que se intersecan, dos rectas paralelas o una recta. Cada una de las
otras ecuaciones siempre tiene gráfica, pero ésta es una recta si el coeficiente del térmi­
no de primer grado es cero. Las gráficas de punto y de recta de ecuaciones de segundo
grado se llaman cónicas degeneradas, como ya se apuntó.
•
,
,
.
Ejemplo
"
1
Exprese, en alguna ecuación de la forma (4. 4), la ecuación
3x2 + 2V3xy + y2 - 2x - 2V3y - 2 = O.
Solución
Primero se rotan los ejes de modo que se eliminen los .términos x'y'. Así, se
obtiene
tan 20=
B
A
_
C
=
2V3
= V3.
3
1
_
Por consiguiente, 28= 60°,8= 30° Y las fórmulas de rotación son
x=
V3x'
2
y'
2'
4.3 SIMPLIFICACIÓN POR ROTACIONES YTRASLAClONES
165
Sustituyendo para x y y en la ecuación dada, se obtiene
3
\/3x'
2
2
'
y
-2
+ 2\/3
\/3x'
2
\/3y'
\/3y' 2
x'
x'
- 2' 2' +
+ 2' +
2
2
\/3 y '
\/3x'
x'
y'
-2 - 2.v;;;32'+ ' 2
-2
2
y'
- 2 = O.
Ahora se sacan los coeficientes de cada variable que surge de esta ecuación. Se igno­
ran los términos x 'y' que suman cero y se encuentra
6
6
9
1
3
3 '2
;;;
'
;;;
'
2
x
+(+
v-,
v-,)
+ +
+
3 x' +(I - 3) y' - 2= 0
3
y
4
4
4
4
4
4
•
y
4X'2 - 2\/3 x' - 2y' - 2= O.
Al dividir entre 2 y completar el cuadrado en los términos x', se obtiene
o bien
\/3,
3
3
,
'
2
2 x 1
= + +
x +
2
16
8
Y
2
x' -
\/32
4
Il
=Y + 8'
,
Una traslación de los ejes que mueve el origen al punto ( ..J3j; _11/8) produce la ecua­
,
ción final
2x"2 = y".
La gráfica es la parábola dibujada en la figura 4.7 junto con los tres conjuntos de ejes.
"
'
y y
•
y
X'
X"
Figura 4.7·
O"
[1
,-4'
8
J3
X
•
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
166
Ejemplo 2
Reduzca la ecuación
73x2 - 72xy
+
52y2
+
loox - 200y
+
100= O
a una de las formas (4. 4).
Primero se transforma la ecuación, de modo que el término producto x'y'
desaparezca. Para encontrar el ángulo de rotación, se usa
Solución
-24B
-72
=
tan 20=
A -e
73 - 52
7
y
-7
cos 20=
'
25
por tanto,
0=
I
- cos 20
2
4
5
y
-
cos 0=
1 +
cos 20
3
2
5'
-
Entonces, las fÓllllUlas de rotación son
3x' - 4y'
x=
5
y
y=
4x'
+
3y'
5
•
Al sustituir para x y y en la ecuación dada y simplificar, se obtiene
x'2
+
4y'2 - 4x' - 8y'
+
4= O.
Completando los cuadrados en los términos x' y y', se obtiene
(x' - 2)2
+
4( y' - 1)2 - 4= O.
Por último, una traslación del punto (2, 1) produce la forma que se busca
x"2
+
4y"2 - 4= O.
Es mucho más fácil dibujar la gráfica a partir de esta ecuación, que mediante la ecuación
original. La gráfica y los tres conjuntos de ejes están construidos en la figura 4.8. •
y
'
y"
y
O" (2, 1)
x"
'
X
Figura 4.8
X
4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA
167
Ejercicios
Reduzca cada ecuación a una de las formas simplificadas (4.4). Dibuje la gráfica de la
ecuación resultante, mostrando todos los ejes coordenados.
.
1. x2 + 4xy + 4y2 + 2Vsx - Vs y
2 . x2 - 2xy + y2 - 8V2x - 8
3. x2 - xy + y2 - 3
4. xy - x + y
=
=
=
=
O
O
O
O
5. x2 + 4xy - 2 y2 + Vsx + 2Vs y
-
1:
6. 3x2 - lOxy + 3y2 + 22x - 2 6y + 43
O
=
O
=
7. 7x2 + 48xy - 7y2 - 150x - 50y + 100
O
=
8. 73x2 - 7 2xy + 52y2 + 380x - 160y + 400
9. 30x2 - 12 xy + 35y2 - 60x + 12y - 48
=
10. 104x2 + 60xy + 41y2 - 60x - 8 2y - 75
11. 9x2 - 6xy + y2 +
X
+ I
=
=
=
O
O
O
O
12. Escriba la ecuación de la parabola que tiene su foco en (-4, 1) Y vértice en (-2, 4).
Exprese la ecuación en una de las formas (4.4). Dibuje la gráfica mostrando todos
.
los ejes.
13. Pruebe que una traslación de ejes no introduce términos de segundo grado en la ecua­
ción de una cónica, y que una rotación no introduce términos de primer grado .
•
4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA
Se ha visto que la gráfica -cuando la hay- de la ecuación general de segundo grado
A,t2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey
+ F
=
O
se puede determinar de inmediato cuando la ecuación se reduce a una de las formas sim­
plificadas (4.4). La determinación también puede hacerse a partir de los coeficientes de
la ecuación general. Para mostrar que esto es cierto, se supondrá primero que la gráfica
de la ecuación (4.1) es una parábola, una elipse o una hipérbola. Entonces, al aplicar las
fórmulas de rotación (4.2), se obtiene
CAPíTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECLlAClONES
168
A' x'2 + B'x' y' + C' y'2 + D'x' + E'y' + F'
=
0,
donde
A cos20 + B sen O cos O + C sen2 0,
B cos 20 - (A - C )sen 20,
A sen 20 - B sen O cos O + C cos20.
C'
Si las expresiones para A B' Y e' se sustituyen en B'2- 4A 'e' Y se simplifican, el resul­
tado es
B2 - 4AC.
B'2 - 4A'C'
A'
B'
=
=
=
"
=
Esta relación entre los coeficientes de la ecuación original y la ecuación transformada
vale para cualquier rotación. Por esta razón, B2_ 4AC se Hama invariante. Eligiendo la
rotación particular para la cual B' 0, se tiene
=
-4A'C'
=
B2 - 4AC.
Con B' 0, el tipo de cónica representado por la ecuación transformada, y por tanto po�
la ecuación original, puede determinarse a partir de los signos de A' Y C'. La cónica es
una elipse si A' Y C' tienen el mismo signo y es una hipérbola si los signos son distintos.
Si A' o C' es cero, la cónica es una parábola. Estas relaciones entre A �.y C', en el orden
mencionado, harían que - 4A'C' fuera negativo, positivo o cero. Por tanto, se tiene el
siguiente teorema importante.
=
Teorema
4.2
Sean los coeficientes de la ecuación
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
=
O
(4.1)
tales que la gráfica sea una cónica no degenerada. Entonces, la gráfica es
1.
2.
3.
una elipse si B2_ 4AC
<
O;
una parábola si B2_ 4AC = O;
una hipérbola si B2- 4AC > O.
En vista de que el término B2_ 4AC discrimina, o distingue, el tipo de cónica que se
representa en la ecuación, dicho término recibe el nombre de discriminante de la ecua­
ción, al igual que b2 -4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática ax2 + bx e 0,
dado que su signo determina la naturaleza de las raíces.
El teorema 4. 2 se basa en la condición de que la ecuación tiene una gráfica y que la
gráfica no es una cónica degenerada. Las cónicas degeneradas, como ya se ha menciona­
do, constan de dos rectas que se intersecan, dos rectas paralelas, una recta o un solo pun­
to. De este modo, para usar el teorema con seguridad es necesario saber cómo detectar
=
=
4.4 IDENTIFICACIÓN DE UNA CÓNICA
169
los casos excepcionales. Un análisis general de esta cuestión es algo tedioso; en con­
secuencia, se omitirá. Sin embargo, se ilustrará un plan realizable, cuando A y C no son
simultáneamente cero, y se expondrá el enfoque para la situación más sencilla: cuando
A y C son cero y B es diferente de cero.
Ejemplo 1
Determine la naturaleza de la gráfica, si la hay, de la ecuación
2X2 + 7xy + 3y2 + X - 7y - 6 = O.
Solución Se encuentra que B2 - 4AC = 49 - 4(2)(3) = 25 > o. Este resultado positivo
no indica que la gráfica sea una hipérbola. Para hacer la determinación, la ecuación se
trata como una ecuación cuadrática en x y se aplica la fórmula cuadrática. ASÍ, se obtiene
2x2 + (7y + l)x + (3y2 - 7y - 6) = O;
x=
- (7y + 1) ± V (7y + 1 )2 - 8(3y2 - 7y - 6)
4
-7y - 1 ± V25y2 + 70y + 49
-
-
_
4
-7y - 1 ± (5y + 7 )
4
.
Por tanto,
-y + 3
x=
2
x= -3y - 2
y
son las soluciones. Esto significa que la ecuación dada se puede presentar en la forma
factorizada
(2x -t Y - 3)(x + 3y + 2) = o.
Si las coordenadas de un punto hacen uno de estos factores igual a cero, harán que el
producto sea igual a cero, y por tanto satisfacen la ecuación original. Por ello, la gráfica
consta de dos rectas cuyas ecuaciones son
y - 2x - 3 = O
Ejemplo 2
Pruebe la ecuación y
-
y - 2x + 4 = o.
y
4xy + 4X2
-
2x + y -12 = _0.
Solución Despejando en la ecuación para y en términos de x se encuentran las
ecuacIOnes
y - 2x - 3 = O
y
y - 2x + 4 = o.
•
Por consiguiente, la gráfica de la ecuación dada consta de dos rectas paralelas.
Ejemplo 3
Pruebe la ecuación 4X2
-
12.�
-
9y2 + 20x -30 y + 25 = O.
•
Solución La prueba se puede hacer despejando una variable en téllninos de la otra.
Sin embargo si se analiza la ecuación se observa que el miembro izquierdo es fácil­
mente factorizable. Por tanto, se encuentra
170
CAPiTULO 4 SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
(4x2 -12xy + 9y2) + 1O(2x -3y) + 25= O,
(2x -3y)2 + 1O(2x -3y) + 25= O,
(2x - 3y + 5)(2x -3y + 5)= O.
La gráfica es la recta 2x -3y + 5 = O .
Ejemplo
4
•
Determine la gráfica, si es que la hay, de la ecuación
X2 + y2 -4x + 2y + 6= O.
Solución
El estudiante puede verificar que esta ecuación produce
x= 2 ± V _y2 -2y - 2,
= 2 + V - [(y +. 1)2 + 1].
Es evidente que el radicando es negativo para todos los valores reales de y; esto signifi­
ca que x es imaginario. En consecuencia, la ecuación dada no tiene gráfica. •
Ejemplo 5
Determine si la ecuación
X2 + 3xy + 3y2 -X + 1 = O
tiene gráfica.
Solución
Al despejar x en la ecuación se obtiene
x2 + (3y -l)x
x=
1 -3y
±
+
3y2 + 1= O,
V(3y - 1)2 - 12y2 -4
2
1 - 3y ± V - 3y2 - 6y -3
2
1 - 3y ± (y + 1)v=3
2
•
Como se observa, x será imaginario si y toma cualquier valor real excepto y -l. Para
este valor de y el valor de x es 2,por lo cual la gráfica de l a ecuación dada consta del
único punto (2,-1). •
=
Si faltan los términos cuadrados en una ecuación de segundo grado de la forma
(4, 1), se puede dividir entre el coeficiente de xy y expresar la ecuacIón como
xy
+
Dx + Ey + F
=
O.
El procedimiento para probar este caso consiste en trasladar los ejes de manera que la
nueva ecuación no tenga término x' o y'. Como puede verificarse, la ecuación transfor­
mada es
x'y' + (F - DE) = O.
EJERCICIOS
171
Está claro que la gráfica es una hipérbola si F-DE :;t: O; de la misma manera, es evidente
que la gráfica consta de dos rectas que se intersecan si F-DE O.
Se han señalado las cinco formas en que la ecuación (4.1) no representa una cónica.
Es importante entender que la ecuación representa una cónica siempre que no confor­
me uno de estos casos excepcionales. Entonces, será aplicable el criterio de B2 - 4AC
del teorema 4.2.
=
Ejercicios
Suponiendo que las ecuaciones de los ejercicios 1 a 8 representan cónicas degeneradas,
clasifique cada una mediante el cálculo de B2 4AC
-
l. 3x2 + xy + x - 4
3. x2 + 5xy + l5y2
2. 2x2 - 4xy + 8y2 + 7
O
=
4. 2xy
1
=
5. X2 - 2xy + y2 + 3x
=
7. 4x2 - 3xy + y2 + 13
x + y - 3
6. X2 - y2 + 4
O
=
-
O
=
=
=
O
O
O
8. 3x2 + 6xy + 5y2 - X + Y
O
=
En los ejercicios 9 a 24 pruebe cada ecuación y diga si la gráfica es una cónica 'o una
cónica degenerada, o si no hay gráfica. Escriba la ecuación (o ecuaciones) de cualquier
gráfica degenerada.
9. y2 - 8xy + 17x2 + 4 = O
11. y2 + 2xy + x2 - 2x - 2y
10. 6X2 - xy - 2y2 + 2x + y
=
O
12. x2 + 2xy + y2 - 2x + 1
=
=
O
O
•
13. y2 - 2xy + 2x2 + 1
=
O
15. 2x2 - xy - y2 + 2x + y
14. y2 - 4xy + 4X2 + 4x + 1
=
17. 9x2 - 6xy + y2 + 3x - y
19. 9x2 - 6xy + y2
=
O
=
O
21. xy + 4x - 4y + 20
=
O
16. 4y2 - 12xy + IOx2 + 2x + 1
18. y2 - 2xy + 2x2 - 5x
=
20. 9x2 - 6xy + y2 + X + 1
O
23. 3x2 + 3xy - y2 - X + Y = O
=
O
=
22. xy - 6x + 5y + 30 = O
24. 2x2 + xy - y2 + X - Y = O
En los ejercicios 25 a 29 suponga que la gráfica de la ecuación
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
=
O
es una cónica no degenerada.
25. Si,A y e tienen signos opuestos, pruebe que la gráfica es una hipérbola.
O
2y
=
O
CAPíTULO 4
172
SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES
26. Si B *- O Y A o e es cero, pruebe que la gráfica es una hipérbola.
27. Si D Y E son cero, pruebe que la gráfica no es una parábola.
28. Si D Y E son cero, pruebe que el centro de la cónica está en el origen.
29. Si el centro de la cónica está en el origen, pruebe que
D y E son cero.
30. Complete todos los pasos en la demostración de que B'2_ 4A'C' = B2- 4AC. Mues­
tre también que A' + C' = A + C.
EJERCICIOS DE REPASO
En los ejercicios 1, 2 Y 3 determine la nueva ecuación
si el origen se traslada al punto indicado.
+
2
+
2y
l. 5x - 3y
2. x2
+
3. 9x2
3x
+
(2, 1)
O,
=
=
8. Encuentre la ecuación en la cual
(4, -2)
O,
2y2 - 18x + 14y + 28
X2 - V3xy
=
O,
5. 3x2
+
()
=
+
arc tan
()
1,
+
2y2
4y2
+
V3xy
6. x2 - 4xy
=
�
=
=
4Y
O,
()
+
3y2
+
2y2
=
2
9. Si los ejes se rotan 45°, encuentre la nueva ecua­
ción correspondiente a x -y
=
6.
10. Simplifique la ecuación
=
30°
2X2
6Vsx - 4Vsy + I
=
O,
18x - 16y + 61
=
+
xy
+
2y2 - 12V2x - 16V2y + 12
=
O
mediante una rotación adecuada seguida de una tras­
lación.
7. Traslade los ejes a un punto tal que la ecuación
2X2
+
•
se transformará mediante una rotación de 30°.
En los ejercicios 4, 5 Y 6 encuentre la nueva ecuación
si los ejes se rotan en el ángulo 8 dado.
4. X2 - xy + y2
se transforme en una ecuación sin los términos de
primer grado.
11. Rote los ejes para eliminar el término xy en xy
O
=
l.
Grafique la ecuación.
Términos clave
discriminante, pág.
fórmulas de rotación de ejes,
pág. 159
l . Rote los ejes para quitar el término xy de xy - x
y o. Esboce una gráfica.
=
+
168
2. Si las siguientes ecuaciones representan cónicas no
degeneradas, identifique la cónica:
EJERCICIOS DE REPASO
a) X2
=
1
+
y2
b) X2 - 4xy + 4y - 2x
e)
2
X
173
+
3y - 4
+ 2xy + y2_ 2x + 3y - 4
=
=
O
O
3. ¿Con qué ángulo 8 se debe rotar los ejes para qui­
tar el término xy en
x2_xy + 1492x + 1776y=O?
Capítulo
Curvas al ebraicas
En el capítulo 2 se consideraron ecuaciones de primer grado y en los capítulos 3 y 4,
ecuaciones de segundo grado; En este capítulo se abordará el problema de dibujar las
gráficas de ecuaciones de grado mayor que dos. Todas las ecuaciones definen relaciones,
y algunas de las relaciones definen funciones (Definiciones 1.6 y 1.7). El método de punto
por punto para construir una gráfica es tedioso, excepto para ecuaciones sencillas. Sin
embargo, con frecuencia es posible aligerar la tarea, descubriendo primero ciertas carac­
terísticas de la gráfica reveladas por la ecuación. Ya se analizaron los conceptos de inter­
sección, simetría y extensión de una curva. Estos temas aparecieron en las secciones 3.1,
3.2,3.3 y 3.5, y deberán reestudiarse. En la siguiente sección se da otra idea útil, la cual
se presentará antes de dibujar gráficas de ecuaciones particulares.
5.1 POLINOMIOS
La atención se enfocará ahora en un nuevo tipo de funciones que deberían ser familiares
para el lector.
•
Se verá como se esboza la gráfica de una función polinominal (el dominio de una
función polinominal son todos los números reales lR ),
y = f(x)
=
x"+ al X"-l
"
+ ... + a
cuando se presenta en la forma factorizada.
y =
(x - r()al(x - r2)a2 ••• (x - rk)ak,
CAPITULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS
176
con raíces rl, r2, ...,rk de multiplicidad al' a , ak respectivamente. Con frecuencia ocurre
2
que se necesita esbozar la gráfica de un polinomio que se presenta bajo la forma
factorizada.
Se comienza con una ilustración del proceso
•
Ejemplo 1
Examine la ecuación y dibuje la gráfica de
y =
(x2 - I)(x
-
2f
Solución Las tres pruebas para simetría (Sec. 3.2) revelan que la gráfica no tiene sime­
tría con respecto a ningún eje o al origen. Las intersecciones con el eje x son -1 , l Y 2, Y
la intersección con el eje y es -4. Estos puntos facilitan mucho la graficación. Conforme
x crece más allá de 2, los valores de y se incrementan con rapidez (Fig. 5.1). Si x tiene un
valor entre l y 2, la ecuación muestra que y es positivo porque los dos factores x2-1 y
(x- 2)2 son, entonces, positivos. Si x toma un valor entre -1 y 1, el factor X2_\ es negati­
vo y la curva se encuentra debajo del eje x. Conforme x toma valores a la izquierda de x
= -1, los valores de y crecen. Con la información anterior se puede esbozar rápidamente
la curva. Localizar otros puntos, además de los cruces, hace posible una gráfica bastante
precisa. •
•
y
-
+
.
,
-r
O
,J
•
T
I
I
x
+
-
FIgura
5.1
--
El ejemplo l ilustra una técnica para graficar una función polinomial en forma
factorizada: la gráfica de
y = (x - rl)al(x - r2)a2
•
•
•
(x - rn)an
cruza el eje x en r¡ si � es un entero impar, pero toca el eje x sin atravesarlo en r¡ si es un
entero par. Se puede obtener un rápido esbozo de la gráfica utilizando este hecho y esco­
giendo algunos puntos para localizar. Si se observa de nuevo el ejemplo 1, como y = (x +
1 )(x - l )(x - 2)2, Y como los exponentes de x + 1 Y de x - 1 son el entero impar 1, se
observa que la curva interseca el eje en -1 y en 1, Y lo toca sin atravesarlo en x = 2. Por
último, como y es -4 si x es 0, se puede obtener un esbozo como el de la figura 5. \ .
5. I
177
POLINOMIOS
Ejemplo 2
Esboce una gráfica para la función
y = (X2 - 4)(x2
1) .
-
•
Solución Se observa que y (x - 2)(x - I)(x + I)(x + 2) Y que cada exponente de los
factores lineales es l . Por tanto, la curva interseca el eje cuando x es 2, 1, -1 Y -2. Cuan­
do x es O, y es 4, de manera que la gráfica es como en la figura 5.2. Observe que la
gráfica es simétrica con respecto al eje y, pues x está elevado sólo a potencias pares. •
=
y
+
-r-
1
,
1
1
o
,
,
1
'
1
1
,
"
1
,
x
---
Figura
5.2
-
Si y =f(x) es una función polinominal que se presenta factorizada, resulta especial­
mente sencillo resolver desigualdades del tipof(x) > O mediante un análisis de la gráfica
de y =f(x) . Para resolver la desigualdad polinomialf(x) > O, sólo se necesita encontrar
todos los valores de x para los cuales la curva y f (x) se encuentra encima del eje x.
Asimismo, la desigualdadf(x) < O se resuelve encontrando los valores de x para los cua­
les la gráfica de y =f(x) está por debajo del eje x.
:;
Ejemplo 3
Resuelva la desigualdad (X2 - 4) (X2 - 1) > O.
Solución La gráfica de y (X2 4) (r - 1) aparece esbozada en la figura 5.2. Para
resolver la desigualdad, se buscan aquellos valores de x. para los cuales la curva se en­
cuentran por encima del eje x (por que se desea que y>O). De la figura, resulta claro que
la solución son aquellos valores de x tales que x < �2 o -1 < x < I o 2 < x. Cabe mencio­
nar que el dominio son todos los números reales y el c;onjunto de imágenes son todas las
y E JR tales que y � _17/4.
=
Ejemplo 4
-
Resuelva la desigualdad (x+1 )3(x._1 )4(x-4)(x-$)<0.
¡(x) = (x + 1 )3(x
1)4(x - 4)(x
5) -< O.
-
�
Solución Un esbozo de la gráfica de y f (x) muestra de inmediato que en x 1 la
curva no cruza el eje ya que el exponente 4 que afecta a x 1 es par. La curva cruza el
eje x en x = -1, x 4 Y en x 5, debido a que todos IQS exponentes asociados a los
factores correspondientes son impares. La forma general de la curva se muestra en la
Figura 5. 3. La curva se encuentra bajo el eje x. para x « �I o para 4 <: x < 5. Aquí el
dominio y el conjunto de imágenes son todos los números reales. •
=
=
-
=
=
CAPíTULO 5
178
CURVAS ALGEBRAICAS
y
25
4000
-1
1
(3,2048)
2000
--
(-1, O)
(5, O)
x
(1, O)
•
-2000
-4000
-6000
Figura
(4.5, -6242)
5.3
Ejercicios
Encuentre las intersecciones con el eje x de las gráficas correspondientes a las ecuaciones
que aparecen en los ejercicios del l al 10. Determine el signo de ya la izquierda de la in­
tersección con menor valor de x, entre intersecciones consecutivas y a la derecha de la
intersección con mayor valor de x. A continuación, esboce la gráfica de la ecuación dada.
Si es posible utilizar algún paquete de graficación, úselo a fin de encontrar los intervalos
para los cuales cada ecuación es creciente y los intervalos para los cuales cada una es
decreciente. Use colores para el trazado de la figura correspondiente.
1.
y = x(x2 - 16)
3. Y
=
2 . Y = (x - 2)2(x - 4)
x2(4 - x)
4. Y = (x - 3)2(x + 2)
5. y = (x + 3)(x2 - 9)
6. Y = (x2 - 4)(x - 3)2
7. Y = (x2 - 9)(x + 1)2
8. Y = x(x2 - 1)(x2 - 16)
9. Y
=
x2(x + 2)(x - 3)
10. Y = (x - 4)(x + 1)(x + 3)
Resuelva las siguientes desigualdades.
1 1. x(x2 - 16)
13. x2(4 - x)
>
>
O
O
12. (x - 2?(x - 4)
14. (x - 3?(x + 2)
<
>
O
O
5.2
FUNCIONES RACIONALES
15.
(x2 - 9)(x
17. x4(x
+
179
+
1)2 > O
16. x(x2 - 1)(x2 - 16)
2)(x - 3)(x - 2) > O
18. (x
+
<
O
4)(x2 - 3)(x - 3) > O
5.2 FUNCIONES RACIONALES
Se procede ahora a estudiar las funciones que se pueden expresar como cocientes de
polinomios.
Se puede suponer que el numerador N (x ) y el denominador D (x) no tiene factores
en común. El proceso de graficar funciones racionales es un poco más complejo que el
de graficar polinomios.
Si la distancia de una recta a un punto de la curva tiende a cero conforme el punto se
aleja del origen a lo largo de dicha curva, entonces la recta se l.Iama asíntota de la curva.
Al dibujar la gráfica de una ecuación es conveniente determinar las asíntotas, en caso de
que las haya. Usualmente son fáciles de encontrar y facilitan el trazo de la gráfica. La
utilidad de las asíntotas ya fue puesta de manifiesto cuando se trazó la hipérbola (Sec.
3.4). Aquí, sin embargo, se trabajará principalmente con curvas cuyas asíntotas, si las
hay, son horizontales o verticales.
Las asíntotas verticales de la función racional y N (x)/D (x) corresponden a los
ceros del denominador D (x). En consecuencia, si D (a) = O, entonces x = a es una asíntota
vertical.
•
=
Ejemplo
1
- Examine la ecuación y dibuje la gráfica de
x2v
- - 4v
,
=
8.
Solución La ordenada al origen es -2. Sin embargo si se escribe y 0, es obvio que
ningún valor de x satisface la ecuación. Por tanto, no hay intersección con el eje x. La
gráfica tiene simetría con respecto al eje y pero no con respecto al eje x. Se puede deter­
minar primero la parte de la gráfica a la derecha del eje y y después dibujarse la otra
parte, usando simetría.
Despejando y de la ecuación, se obtiene
=
CAPíTULO 5
180
Y =
2
x
8
-
CURVAS ALGEBRAICAS
(5.1)
4'
Se observa que el miembro derecho de esta ecuación es ne.gativo para -2 < x < 2 , Y en
consecuencia, en este intervalo la gráfica se encuentra debajo del eje x. Además, si x
tiene un valor ligeramente menor que 2, el denominador está cerca de cero. Entonces la
fracción que es igual a y tiene valor absoluto grande. Conforme se asignan a x valores
menores que 2 pero aún más cercanos a éste, los valores correspondientes de lYl se
incrementan y pueden ser mayores que cualquier número escogido si x se toma suficien­
temente cerca de 2. Esta propiedad de la ecuación dada se indica en la tabla de valores
correspondientes de x y y. Sin embargo, si x es mayor que 2, el valor de y es positivo.
Además, es posible que y exceda cualquier número positivo escogido; basta hacer a x
mayor que 2 pero suficientemente cercano a él. Por tanto, la recta x = 2 es una asíntota
vertical de la gráfica, tanto arriba como debajo del eje x. Para verificar el caso de una
asíntota horizontal, pueden asignarse valores positivos a x cada vez más grandes en la
ecuación (5.1). Es evidente que así se puede hacer que y, aunque es positivo, esté tan
cerca de O como se desee. Esto significa que y O es una asíntota. La intersección con el
eje y, las asíntotas y la propiedad simétrica constituyen una gran ayuda al construir la
gráfica de la ecuación dada, cuyo conjunto de imágenes es el conjunto de las y E R tales
que y�(O, 2), (Fig. 5.4).
=
x
y
o
-2
1
-2.7
1.5
-
46
.
y
-
1.9
1.99
1.999
20 5
-200
-2000
.
5.2
FUNCIONES RACIONALES
181
También se pueden determinar las asíntotas el} este ejemplo, despejando en la ecua­
ción a x en términos de y. Así, si se toman las raíces cuadradas positivas, se encuentra
x=2
y + 2
•
(5.2)
•
Y
En esta ecuación el radicando no debe ser negativo. Por consiguiente, se excluyen los
valores de y, -2 < Y < O. Si se observa la ecuación (5.2), se verá que un valor positivo
de y cerca de O hace que x sea grande y que se puede hacer x tan grande como se desee
tomando y lo suficientemente cerca de O. Además, al tomar valores positivos de y cada
vez más grandes, se puede hacer que los valores correspondientes de x estén tan cerca
de 2 como se quiera. Puede concluirse entonces que y = O, x -2 Y x 2 son asíntotas
de la gráfica. •
A continuación se analiza un procedimiel}to alternativo para determinar asíntotas
horizontales cuando y es igual al cociente de dos polinomios enx. Considere, por ejemplo,
la ecuación
=
=
3x3-2x2 + x-S
Y=2x3 + 4x2- 8x - l'
donde el numerador y el denominador son del mismo grado. Para determinar el com­
portamiento del miembro derecho cuando Ixl
nador se dividen entre x3• Esto da la ecuación
3 - (2/x) + (l/x2) - (5/x3)
y= 2 + (4/x)-(8/x2) - (l/x3)"
Ahora, si a Ixl
minador, después del primero, se encuentra cerca de cero. En consecuencia, el valor de
la fracción está cerca de 312 . Además, el valor se puede acercar tanto como se quiera a
312 asignando a Ixl
312 es una asíntota.
A continuación se supondrá que el grado del numerador es menor que el grado del
denominador, como en
3X2 - 5x2 + 6 (3/x) - (5/x) + (6/x3)
y=2x3 + 7x2 + 5= 2 + (7/x) + (5/x3) .
Está claro que para Ixl
cerca de 2. La fracción se puede hacer arbitrariamente cercana a O si Ixl
cientemente grande. En consecuencia, y O es una asíntota.
Finalmente, sea el grado del numerador mayor que el del denominador, como en
=
"
x - (3/x) + O/X2)
x3 - 3x + 1
y = 3x2 + 4x + 5 = 3 + (4/x) + (S/x2)"
En este caso, lYl será mayor que cualquier número escogido cuando Ixl es
grande.
Este análisis se generaliza con el ejemplo de la ecuación
182
CAPiTULO 5
CURVAS ALGEBRAICAS
Axn + (términos de grado menor)
y = Bxd
+ (términos de grado menor) ,
donde n es el grado del numerador y d el del denominador, con d,
posibilidades, dependiendo de los valores relativos de d y n.
n E
Si d = n, y = AIB es una asíntota horizontal.
Si d> n, y = O es una asíntota horizontal.
Si d < n, no hay asíntota horizontal.
Ejemplo 2
Z+. Aquí hay tres
(5.3)
Dibuje la gráfica de la ecuación
Y=
(x + 3)(x - 1)
(x + I)(x - 2)"
Solución Las intersecciones con el eje x son -3 y 1, y la ordenada al origen es 312. Las
rectas x -1 y x = 2 son asíntotas verticales. El numerador y el denominador de la
fracción son cuadráticos y el coeficiente de X2 en cada uno es la unidad. Por tanto, y = I
es una asíntota horizontal. Como hay dos asíntotas verticales, la gráfica consta de tres
partes separadas. Como ayuda al esbozo, se examina la ecuación dada para determinar
los signos de y a la derecha e izquierda de cada asíntota vertical y a la derecha e izquierda
de cada intersección con el eje x. En este examen, las notaciones (+) y (-) indican los
signos de los factores del numerador y del denominador para los valores específicos de x.
=
Cuando x < :-J, los signos son (-)(
-
-)
, y por tanto y > O.
(
) ( -)
Cuando -3 < x < -1, los signos son (+)(-) , y por tanto y < O.
.
(-)(-)
Cuando -1 < x < 1, los signos son (+)(-) , y por tanto y > O.
.
(+)(-)
Cuando 1 < x < 2, los signos son (+)(+) , y por tanto y < O.
.
(+)(-)
Cuando x > 2, los signos son (+)(+) , y por tanto y > O.
.
(+)(+)
Las asíntotas, los signos de y en los distintos intervalos y algunos otros puntos locali­
zados además de las intersecciones, nos permiten trazar una buena gráfica (Fig. 5.5). •
En esta sección se ha hecho un uso informal del concepto matemático de límite. Siem­
pre que se ha dicho "confollne x se acerca a a, entonces y = f(x) aumenta", o "conforme
Ixl aumenta, y = f (x) se acerca a b", se ha usado el lenguaje vinculado al concepto del
límite matemático. Aun cuando definir límites y aprender sus propiedades rebasa el pro­
pósito de este libro, el estudiante podrá examinar con profundidad el concepto de límite
en un curso de cálculo.
EJERCICIOS
183
y
-
Figura
-
------
S.S
I
I
I
I
I
I
I
I
�
T
I
10
I
I
I
I
I
I
I
I
-
I
I
I
I
I
I
I
I
'
-
-
----·
x
I
I
I
I
I
I
I
I
Ejercicios
Analice cada una de las siguientes ecuaciones observando las intersecciones, la simetría,
la extensión de la curva y las asíntotas verticales y horizontales. Dibuje las asíntotas y
haga al menos una gráfica aproximada de la ecuación dada. Use colores. Si utiliza un
paquete de graficación, asegúrese de obtener la gráfica completa.
2. x2y - 9y + 4=O
4. x2 - - x
O
l.xy - x+3=O
3. x2y + 4y - 3x=O
y
y
=
•
3x+2
= (x - 1?
x2 - 4
6. Y =
x2+4
x2 - 9
7. Y = x 2 - 4
X2 - 1
8. Y=
x2 - 4
5
.
Y
(x - l)(x + 2)
9 . Y=
x(x2 4)
-
10. Y
(x + l)(x - 2)
= (x+3)(x
-
1)
(x + l)(x - 2)
1 1 . Y=
x(x - 3)(x +2)
(2 - x)(3 - x)
12 y
. = ( 1 - x2)(x - 4)
- 4)
x2(x
2)(x
13 .
Y= (4 - :X
2)(25 - X2)
14
. Y
= (x + 2)(x + 4)(x + 6)
x(x - l)(x+3)
Encuentre las ecuaciones de las asíntotas horizontales, cuando existan, de las gráficas de
las siguientes ecuaciones. Use la ecuación (5.3).
CAPíTULO 5
184
xl.l + 2
15. Y =
17. Y
19 . Y
21.
Y
16. Y
x + 3
=
5x4 - 5
3x4
=
4
X2. - x2 + 2
x 2.5 - x + 10
+ 7
X3.OO1 + 3
= x3 - 3
=
3
x + x
CURVAS ALGEBRAICAS
- 1
2X2 - X + 3
4x5 + x4 + 2
18. Y
=
20.
Y
x + 3
= xO.9 -
Y
x + 5
= xO.99 +
4
22.
•
3x6 + x5 - 3
3
23. En un ecosistema en el cual una especie es la presa de un número fijo de predadores,
el número y de presas consumidas durante un periodo dado depende de la densidad
x de la presa. Una ecuación que puede usarse para modelar esta situación es
•
-v
=
ax
�
-:-
1 + abx '
x > o.
Como un predador sólo puede consumir cierto número de presas, la curva tiene una
asíntota horizontal. Esboce esta curva cuando a = 6 Y b = Y2, identificando la asíntota
horizontal.
5.3
AsíNTOTAS INCLINADAS
Cuando una función racional posee la propiedad de que el grado n del numerador N (x)
exede exactamente en una unidad el grado d del denominador D (x) , por lo general la
gráfica tendrá una asíntota inclinada. Esto significa que cuando n = d + 1, no habrá
asíntotas horizontales, pero puede suceder que sí exista una asíntota con pendiente di­
ferente de cero. El caso más sencillo surge cuando el numerador es cuadrático y el de- ..
nominador es un polinomio lineal.
Ejemplo 1
Dibuje la gráfica de la ecuación
2xy - x2 + 6x - 4y - 10 = O.
Solución El criterio de B2 - 4AC revela que la gráfica es una hipérbola o una cónica
degenerada (Sec. 4.4). Para determinar cuál es la situación que existe, se despeja y en
la ecuación. Así , se obtiene
5.3 IIsíNTOTAS INCLINADAS
185
•
X2 - 6x+ 10
y=
2x - 4
•
I
y,
dividiendo,
l
l
Y = 2 x - 2+x - 2'
Para todos los valores reales de x, excepto x == 2, esta ecuación proporciona valores rea­
les para y. Por tanto, la gráfica de la ecuación, y también de la ecuación dada, sea una
hipérbola, no una cónica degenerada. Está claro que x == 2 es una asíntota vertical. Con­
forme x
I l crece,
l/u-2. Y la diferencia de las dos ordenadas puede hacerse arbitrariamente cercana a cero,
tomando Ixl suficientemente grande. Por tanto, la recta y == l/u - 2 es una asíntota. La
asíntota y sólo unos cuantos puntos localizados proporcionan una guía para dibujar la
gráfica (Fig. 5.6). •
y
.
.
t­
'r
+
J
I
I
I ,(3,
I "
"
I
0.5) --::. /
/ "/
//
x
+ /-1/
I
-v/
I
//-,
'\
/
I
I
x-2 ",/
�
y =2
""
I
-IX=2
....
I
(O, -2.5) -
7
-
I
I
-
I
FIgura
5.6
Ejemplo 2
Dibuje la gráfica de la ecuación
2x2y - x3 - 8xy
Solución
+
8x2 - 20x+8y+ 14 = O.
Despejando y y realizando una división, se obtiene
.
l
-x
-�
Y = 2 - 2+ (x - 2)2'
1
La recta x -2 O es una asíntota vertical y la recta y l/u-2 es una asíntota inclinada.
La fracción del lado derecho de la ecuación es positiva para todos los valores permitidos
de x. En consecuencia, la gráfica está por arriba de la asíntota inclinada, como se muestra
en la figura 5.7. •
=
==
,
CAPITULO 5
186
CURVAS ALGEBRAICAS
y
o
Figura
5,7
Ejemplo 3
I
I
i
I
I
I
I
I
I
l.
1/ / I
1 Y=Tx-2
/
/ I
I
I
Ix=2
I.
I
Dibuje la gráfica de la ecuación
x2 -3.xy - 13x+ 12y + 39 =
Solución
x
O.
Despejando y y realizando una división, se obtiene
1
x
y = 3-3+x-4'
Por tanto, la recta x 4 O es una asíntota vertical y la recta y l/3x 3 es una asíntota
inclinada. El término l/ex - 4) de la derecha de la ecuación es positivo para todos los
valores de x > 4 Y es negativo si x < 4. Esto significa que la gráfica de la ecuación dada
se encuentra arriba de la asíntota inclinada, a la derecha de x 4 Y debajo de la asíntota
a la izquierda de x 4 (Fig. 5.8). •
-
=
=
-
=
.>
=
y
x
x-3y=
Figura
5,8
4
I
IX =
I
I
I
I
I
I
,
187
EJERCICIOS
Ejemplo
Analice la ecuación y construya la gráfica de
4
x2 + 2xy + llx + 6y - 26
Solución
=
O.
Despejando y y realizando una división, se obtiene
Y
25
x
.
- - 4 +
x + 3
2
=
-
Se observa que x -3 es una asíntota vertical de esta ecuación y, en consecuencia, de la
ecuación dada. Además, y -(xl2)--4 es una asíntota inclinada de ambas ecuaciones.
La gráfica se muestra en la figura 5.9. •
=
=
y
I
I
I
I
I
I
I
I
I
x = -3 I
I
I
I
•
I
(-13, O)
Figura
5.9
x
"
I
'f'­'
l
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
•
•
Ejercicios
Dibuje las asíntotas y haga un esbozo de la gráfica de cada uno de los ejercicios l a 1 4
(use colores).
l. xy + x2 - 2
3. x2 + xy +
x
=
-
O
1
2. xy - X2 + 3
=
O
5. x2 + xy + x - y + 2
-
1
=
O
O
4. X2 - xy + 2x - 1
=
=
6. x2 + xy + 3x - 2y
O
7. 2x2 - 2xy + 3x + 6y + 25
9. x2y - x3
=
=
O
O
+ 1
8. 2x2 + 2xy - x - y - 2
10. x2y - x3 + 1
=
O
=
=
O
O
CAPíTULO 5 CURVAS ALGEBRAICAS
, 88
11. x2y - x3 - 4xy + 12x + 4y - 1 4
=
O
12. x2y - x3 - 4xy + llx + 4y - 16
=
O
.
13. x2y - x3 - x2 - X + Y - 2
14. x2y - x3 - x2 - X + Y
=
O
=
O
5.4 ECUACIONES IRRACIONALES
En esta sección se consideran las ecuaciones en las cuales y es igual a la raíz cuadrada de
un polinomio en x o la raíz cuadrada del cociente de dos polinomios. El procedimiento
para construir las gráficas es como el de la sección anterior.
Ejemplo 1
Dibuje la gráfica de la ecuación
y
=
Vx(x2
-
16).
Solución Las intersecciones con el eje x son O, ±4. Los valores permisibles de x son
aquellos para los cuales el radicando es no negativo. El radicando es positivo cuando -4
< x < O Y también si x > 4. El radicando es negativo si x < -4 Y si O < x < 4, por lo cual
estos valores deben excluirse. Esta información y algunos puntos localizados son suficientes
para dibujar la gráfica (Fig. 5.10). Compare con los ejercicios 1 a 1I de la sección 5.1 .
x
-3
-2
-1
4.5
5
y (aprox.)
4.6
4.9
3.9
4.4
6.7
y
•
o
Figura
5.10
Ejemplo 2
Dibuje la gráfica de la ecuación
X2 - 9
Y2 - --..----,
- x2 - 16'
-
x
5.4 ECUACIONES IRRACIONALES
189
Solución La gráfica es simétrica con respecto a ambos ejes. Por tanto, se puede dibu­
jar la parte en el primer cuadrante y finalizar con facilidad la construcción, mediante el
uso de simetría. La intersección con el eje x positiva es 3 y la intersección con el eje y
positiva es 3/4. La recta x 4 es una asíntota vertical y la recta y
1 es una asíntota
horizontal. Se observa que y 2 es positiva cuando O � x < 3 Y cuandox > 4; sin embargo y
es negativa cuando x tiene un valor entre 3 y 4, por lo cual deben excluirse estos valores.
A partir del análisis de la ecuación dada se esboza la gráfica (Fig. 5. l 1). Se puede obte­
ner una mejor precisión localizando los puntos en la tabla adjunta.
=
=
x
1
2
4.2
5
6
7
y
0.7
0.6
2.3
1.3
1.2
1.1
(aprox.)
y
I
I
___ L_____
o
___ L_____
I
I
I
I
I
_____ L__
_
x
_____ L __
I
I
I
_
I
FIgura
5.11
Gráfica de una ecuación en forma factorizada
Algunas veces, las ecuaciones aparecen con un miembro igual a cero y el otro miembro
expresado como el producto de factores en términos de x y y. Cuando una ecuación está
en esta forma, su gráfica se puede obtener con mayor facilidad haciendo primero que
cada uno de los factores sea igual a cero. Si las coordenadas de un punto igualan a cero
uno de los factores, igualarán a cero el producto y por tanto satisfarán la ecuación dada.
Por otro lado, las coordenadas de un plinto que no igualan a cero ningún factor, no
satisfacen la ecuación. En consecuencia, la gráfica de la ecuación dada consta de las
gráficas de la ecuación formadas al igualar a cero cada uno de los factores del miembro
distinto de cero.
Ejemplo 3 La gráfica de la ecuación (3x - y
l
O y de la parábolay- 9x
O. •
=
=
-
1)(y2_ 9x)
=
O
consta de la recta 3x -y­
•
CAPíTULO 5
190
Ejemplo 4
CURVAS ALGEBRAICAS
Analice la gráfica de la ecuación
(x2 + I)(x - 3)(4x2 + 9y2 - 36) = O.
Al igualar a cero cada factor, se tienen las ecuaciones
Solución
x2 + 1
=
0,
4x2 + 9y2 - 36 = O.
x - 3 = 0,
La primera ecuación no tiene cero real y, en consecuencia, no tiene gráfica. La gráfica de
la segunda ecuación es la recta paralela al eje y y 3 unidades a la derecha del origen. La
gráfica de la tercera ecuación es una elipse con centro en el origen y semiejes 3 y 2. •
Intersecciones de gráficas
•
Si las gráficas de dos ecuaciones en dos variables tienen un punto en común, entonces, a
partir de la definición de gráfica, las coordenadas del punto satisfacen cada ecuación por
separado. Por ello, el punto de intersección proporciona un par de números reales que es
una solución simultánea de las ecuaciones. Recíprocamente, si las dos ecuaciones po­
seen solución simultánea real, entonces sus gráficas tienen en común el punto correspon­
diente. Así, es posible obtener gráficamente soluciones simultáneas reales de dos
ecuaciones en dos variables, leyendo las coordenadas de sus puntos de intersección. De­
bido a las imperfecciones en el proceso, los resultados encontrados de esta manera sue­
len ser sólo aproximados. Si las gráficas no tienen punto de intersección, no hay solución
real. En casos sencillos, las soluciones, tanto reales como imaginarias, se pueden encon­
trar mediante procesos algebraicos.
Ejemplo 5
Encuentre los puntos de intersección de las gráficas de
y
y = 2 - x.
y
•
x
o
y=2-x
Figura
5.1 2
EJERCICIOS
191
Solución Las gráficas (Fig. 5.12) se intersecan en un punto cuyas coordenadas son
(1, 1). Al eliminar y entre las ecuaciones se obtiene
x3 + x - 2 = O
(x - 1)(x2 + X + 2) = O.
o
Por tanto las raíces de esta ecuación son
x =
x = 1,
-1+�
2
---
--
x=
,
-1-�
•
2
Los valores correspondientes de y se obtienen de la ecuación lineal. Las soluciones, rea­
les e imaginarias, son
-1+� 5-�
(1, 1),
,
2
Ejemplo 6
,
2
•
+ 4y = O
y
x
+ y = O.
Las gráficas (Fig. 5.13) se intersecan en los puntos (O, O) y (4 , -4).
y
x+y=O
x
(4, -4)
x2+4y=O
Figura 5.13
Ejercicios
Esboce la gráfica de cada ecuación que aparece en los ejercicios1 a 10.
1. Y = v'9 - x2
3. Y
x
=
X2
-
6
5 Y
.
- x+ 3
2
_
2
Encuentre los puntos de intersección de las gráficas de
X2
Solución
,
2
El método gráfico da sólo la solución real.
-I-� 5+�
25
2. Y = v'x(x2 - 25)
4 Y=
.
3x
x2 + 1
6
6. Y2 - ---=--­
- x2 + 9
•
192
CAPíTULO 5
7. Y
2
X2 -9
;�
8. Y2 - ---;- x2 - 25
X2 -4
-,.
-,­
- x2 -9
-
CURVAS ALGEBRAICAS
-
x(x+3)
10. Y2 (x2 - 16)
x(x - 1)
9 . Y2 x2 -9
_
_
En los ejercicios 11 a 18 describa la gráfica de cada ecuación.
1 1. (x2+y2)(x+ 1)
=
12. (x2+y2+ 1)(3x+2y) = O
O
13. xy(x+y +2) =O
14. 2X3 +3xy2= 6x
15. x3y2 +xy4= 4xy2
16.. 4x2y -y2=O
17. (xy +3)(x3 -xy2)= O
18. (x3 - 1)(x3
+
1)
= O
En los ejercicios 19 a 24, construya la gráfica de cada par de ecuaciones. Encuentre o
calcule las coordenadas de los posibles puntos de intersección. Si es posible, verifique
obteniendo algebraicamente las soluciones.
•
19.
Y= x3
y=x+ 1
2 2. X2+y2 = 13
2x - 3y = O
21. x2 + y2 = 16
y2= 6x
20. y =x3 -4x
y=x+4
24 . X2 + y2
23. x2 -4y = O
x -y=O
y2
_
25
x2= 1
=
,
25. Un fabricante de calculadoras manuales desea hacer y (medido en miles) calculado­
ras cada semana si el precio del producto es de x dólares, siempre que y = (1/100)X3.
Una compañía de mercadotecnia encuentra que el público comprará1000 y de ellos a
x dólares cada uno si y = IDO/x. Encuentre el precio de equilibrio en el mercado y la
cantidad que debería producirse cada semana para mantener el equilibrio. Esboce
ambas gráficas sobre los mismos ejes coordenados. (Véase el Ejer. 14 después de la
Seco 2.3.)
EJERCICIOS DE REPASO
l. Analice la gráfica de la siguiente ecuación obser­
vando las intersecciones, la simetría, la extensión
de la curva, las asíntotas y esboce la gráfica
Y =
X2 - 4
x2 -
9'
193
EJERCICIOS DE REPASO
2.
(x - 3)(x
Y = (x
1)(x
-
3.
6.
Dibuje la gráfica de la ecuación
+
+
1)
2)'
(xy - 3) (x - 3y + 2) (X2
=
Yx(x2
-
X2
Y
-
x
+ y2
=
8.
+ 2'
+ 4y + 14
25 y x - y
=
1.
mente la solución.
Esboce una gráfica de y
9. Resuelva la desigualdad
Dibuje las asíntotas y esboce la gráfica de la
.,
ecuaClOn
2xy + X2 - 6x
O.
de intersección. Verifique obteniendo algebraica­
4
_
=
Y calcule las coordenadas de los posibles puntos
25).
4. Esboce la gráfica de la ecuación
2
+ y2 - 9)
7. Construya las gráficas del par de ecuaciones
Esboce la gráfica de la ecuación
y
5.
Describa la gráfica de la ecuación
=
=
(x
+ 2)1 (x _1)4 (x-3).
(x + 2)3 (x _1)4 (x-3) > O.
O.
Términos Clave
polinomio, pág. 175
asíntota horizontal, pág. 182
función racional, pág. 179
asíntota inclinada, pág. 184
asíntota vertical, pág. 179
l. Esboce la gráfica de y
=
(x
+ 2)' (x - 1)'2 (x -2) y
use el dibujo para resolver la desigualdad
d) Y
2.
3.
Esboce la grática, mostrando todas las asíntotas y
las intersecciones de
a) y
b) Y
X2
=
=
- I
4
1
X2
-
X2
-
x
- 2
=
Yx(x2 - 1)
Encuentre los puntos de intersección de las gráfi­
cas de 2X2
+ 3y2
=
8 Y X2_ y2
=
-1
4. Haga un esbozo de la gráfica de y
{x} si x E R
y {x} significa la distancia más corta al entero más
=
próximo, según la x considerada.
Capítulo
Funciones trascendentes
En los capítulos anteriores se estudiaron funciones algebraicas y sus gráficas. En este
capítulo se considerará una clase de funciones que no son algebraicas; se les llama fun­
ciones trascendentes y entre ellas se encuentran las conocidas funciones trigonométricas.
Representan una clase de funciones que tiene amplia aplicación en la tecnología y en
las ciencias sociales y naturales. El estudiante deberá revisar la definición de función
antes de leer este capítulo. Aquí se mencionan los signos de las funciones trigonométricas,
cuando e está en cualquiera de los cuadrantes y P(x, y) es un punto del lado terminal del
ángulo correspondiente. La tabla 6.1 muestra el signo en cada cuadrante.
Tabla 6.1
Cuadrante
Función
sen
1
11
+
+
III
-
IV
-
,
cos
+
,
,
,
-'
.
,
+
.
•
tan
+
cot
+
sec
+
csc
+
6.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
-
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
-
,
En los primeros capítulos de este libro los ángulos se midieron en grados, pues quizá
dicha unidad sea la más conocida para la mayoría de los estudiantes. En este capítulo la
unidad de medición se restringirá a radianes para presentar las funciones trigonométricas
en la forma en que se usan en el cálculo y en las ciencias aplicadas. El estudiante debe
conocer ambas unidades de medida.
CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES
196
La relación entre grados y radianes se puede determinar con facilidad. Toda circun­
ferencia de un círculo subtiende un ángulo central de 2nunidades si se trabaja con radianes,
o de 360 unidades si se trabaja con grados. Por consiguiente, se tiene que
2nradianes
=
3600 Y nradianes = 1800•
La segunda ecuación se usa para expresar un radián en términos de grados y un grado en
términos de radianes. Así,
1 radián
1800
=
y 10
7t
7t
180 radianes.
Los términos "ángulo" y "medida de un ángulo" se pueden usar indistintamente. Por ejem­
plo, si e representa un ángulo de medida n13, se escribe e = nl3 cuando realmente es la
medida del ángulo que es n13.
Recuerde que un ángulo e está en posición usual si su lado se encuentra a lo largo
del eje horizontal y si está medido en sentido contrario al del giro de las manecillas del
reloj para los valores positivos de e o en el sentido en que giran las manecillas del reloj
para valores negativos de e, hasta su lado terminal. Considere el círculo u 2 + v2 = I Y el
ángulo e (medido en radianes) como se muestra en la figura 6.1.
Se sabe que la longitud del arco del círculo del punto (1, O) a (u, v) es de e unidades
si e se mide en radianes, y que el área del sector en forma de rebanada de pastel es el2.
También se sabe que u = cos e y v = sen e y v/u = tan e. Esto determina las conocidas
funciones trigonométricas seno y coseno como funciones cuyo dominio es el conjunto
de todos los números reales e y cuya imagen es el conjunto de todos los números reales
z con -1 < z < l .
Para trazar la gráfica de y sen x se puede hacer una tabla (tabla 6.2) calculando
valores conocidos, mediante una calculadora, o usando una tabla de funciones
trigonométricas naturales (tabla II del apéndice). La gráfica se esboza en la figura 6.2.
Como hay 2n radianes en una revolución completa, vemos que
=
sen (e + 27T) = sen e
para cualquier e. Una función con dicha propiedad se conoce como función periódica.
v
o
Figura 6.1
(1. O)
u
6. J
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
197
Tabla 6.2
Valores correspondientes de x y sen x.
x
7Tj6
7T/3
7T/2
27T/3
57T/6
7T
Y = senx
0.5
0.87
l
0.87
0.5
O
x
77T/6
47T/3
37T/2
57T/3
117T/6
27T
Y = senx
-0.5
-0.87
-1
-0.87
-0.5
O
y
y
1
= sen x
,.--4�
7r
2
"
6
"
3
"
2
x
)"
2
-1
FIgura 6.2
.
La [unción seno es periódica con periodo 27<, como lo es también la [unción coseno.
El periodo de la función tangente es 7<.
Cuando se localizan los valores de la tabla, se tiene un periodo de la curva seno
(Fig. 6.2). Se pueden duplicar periodos adicionales a la derecha y a la izquierda. Las
gráficas de y = cos x y y = tan x se pueden obtener si se procede de la misma manera
que como con la. [unción seno. En la figura 6.3 se esboza una parte de y = cos x, mientras
que en la figura 6.4 se grafican tres periodos de y = tan x.
La gráfica de y = a sen x se obtiene de la curva seno, multiplicando cada ordenada
por a, si a es positivo, esto produce la gráfica de la figura 6.5. Esta es la transformación
geométrica llamada expansión, cuando a > 1, o contracción, cuando O < a < l.
•
CAPíTULO 6
198
FUNCIONES TRASCENDENTES
y
y =cosx
I
1r
o
1r
6
3
2
7T
6
1T
3
1r
1r
-1
Figura 6.3
y
1
1
1
1
1
1
1
1
1 _!!
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1_ 311"
1 7
1
3
2
1
-2 1 -1
1
-1
1
1
-2
1
1
-3
1
1
1
-4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
Figura 6.4
4
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11r
12
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
y
=
tan x
4
1
1
1
1
1
1
1
1
131r
12
1
x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
y
a
y=asenx
a>O
x
1T
7T
2
2
-a
Figura 6.5
Si a < 0, la gráfica de y = a sen x, dada en la figura 6.6, en la reflexión de la gráfica en
la figura 6.5 a través de eje x
6. J
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
199
y
la I
y
1T
2
FIgura 6.6
asenx
a<O
=
1T
2
x
31T
2
7T
-Ial
Se dice que la amplitud de y = a sen x es lal. Así mismo, la gráfica de y = sen bx, con
b > O, se obtiene de la curva seno alterando su periodo a 2n/b, pues, conforme x va de O
a 2n/b, bx va de O a 2n, y sen bx recorre un periodo completo, como se observa en la
figura 6.7.
Las gráficas de las ecuaciones y = a sen bx y y = sen (bx + e) , cuando se colocan en
los mismos ejes coordenados, son iguales, excepto por la posición. Esto es cierto pues los
dos valores de y son iguales si x se reemplaza con x - (c/b) en la segunda ecuación. Por
tanto, un desplazamiento de c/b unidades a lo largo del eje x hará coincidir la gráfica de la
segunda ecuación con la gráfica de la primera ecuación. El desplazamiento es a la derecha o a la izquierda, dependiendo de si b y e tienen signos iguales o desiguales.
•
y
1
y
= sen bx
•
x
1T
--
1T
2b
2b
FIgura 6.7
1T
b
-1
Se observa entonces que y = a sen ( bx + e ) tiene amplitud lal, periodo 2n/b y
desfase e/b.
Exactamente el mismo razonamiento se aplica a la curvay = a cos (bx + e).
Ejemplo 1
Construya la gráfica de la ecuación y = sen 3x.
Solución La función definida por esta ecuación tiene una amplitud de 1 y un periodo de
2n!3. En consecuencia, sen 3x y sen x tienen la misma amplitud, pero el periodo de sen
200
CAPíTULO 6
FUNCIONES TRASCENDENTES
3x es un tercio el periodo de sen x. Estos hechos se muestran en las gráficas de y = sen x
y y = sen 3x (Fig. 6.8).
•
y
y =sen x
1
o
2
11
11
6
-1
51T
6
7T'
-:
--t-1f--f-+'--- x
,217"
311
2
y =sen3x
FIgura 6.8
Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de y = 2 cos Ihx.
Solución La amplitud es 2. El periodo, 2n dividido entre Ih, es 4n. La gráfica construi­
da a partir de la tabla de valores adjunta (Tabla 6.3) se exhibe en la figura 6.9. Cada
Tabla 6.3
Valores de y = 2 cos
O
X
O
Ix
2
2
cos
�x
-
2
+x
11"
2
11"
311"
2
11"
-
11"
-
311"
1.4
O
-1.4
4
2
4
511"
211"
2
11"
-2
311"
2
511"
311"
711"
-1.4
O
1.4
4
.
711"
2
4
411"
211"
2
•
y
2
t--....
I
1
=2cos
y
IX
x
o
-1
-2
Figura 6.9
y
= cos
�
x
6. I
201
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
valor de y es el doble del valor correspondiente de y en la gráfica de y = cos 2x, la cual
se incluye a manera de comparación.
•
Ejemplo 3 Construya la gráfica de y = -2 sen
Solución
7rX.
La amplitud es 1-21 = 2, mientras que el periodo es 2n/n = 2. La gráfica se
muestra en la figura
6.10.
•
y
f\ -1-
f\
f\
1x
o
-2
4
-
v
__
v y =-2sen1Tx
v
Figura 6.10
Ejemplo 4 Dibuje, en los mismos ejes coordenados, las gráficas de las ecuaciones
y = 1. 5 sen 2x
�7T)
y = 1.5 sen (2x +
y
Solución Las gráficas de las dos ecuaciones son iguales, excepto por la posición (Fig.
6.11). Las curvas coincidirían si la gráfica de la segunda ecuación se moviera 1/6n unida­
des a la derecha.
•
•
y
y= l.5sen
\
\
1T
3
./
Figura 6.1 1
/
/
/
/
1T
/1;
o
1T
6
+
= 1.5sen 2x
/
I
\
\
!!:
21T
1T
3 \ 2
\
\
\
\
- 1.5
(2x ; )
3
,�
/
/
/
/
/51T
6
/
/
/
/
x
202
CAPiTULO 6
FUNCIONES TRASCENDENTES
Ejemplo 5 Construya las gráficas de las dos ecuaciones
y
=
cos 3x
y
y
cos 3x +
=
2rr
3
.
Solución En la figura 6.12 las gráficas están dibujadas hasta dos periodos. Se hace no­
tar que los puntos de intersección están en x 2n/9, 5n/9, 8n/9 Y lln/9. Las gráficas co­
incidirían si la gráfica de la segunda ecuación se moviera 2n/9 unidades a la derecha. •
=
y
1
/
/
o
-1
Figura
6.12
/
\
"
/
/
/
/
"
•
\
/
/
\
217
\3
\
\
\
3
1T
/
y=cos3x
/
"
/
/
/
/
/
-
"
\
\
\
5"
1T
3
x
/
•
•
Las funciones trigonométricas se han usado para describir muchos fenómenos natu­
rales. El hecho de que una función seno generalizada sea periódica con cualquier perio­
do prescrito es de inmenso valor para describir ondas de sonido, corriente eléctrica, ondas
de radio y las oscilaciones de un péndulo. Es posible que otras funciones periódicas no
se puedan expresar como una función seno generalizada, pero pueden expresarse, según
se verá más adelante, como una suma de funciones seno y coseno generalizadas.
Ejemplo 6 Un sonido puede ser generado por un instrumento musical, un diapasón, un
órgano eléctrico, el zumbido de un motor, o un transformador eléctrico. Si el sonido tie­
ne el tono del do medio, entonces causa una vibración en la presión de aire sobre el oído
con una frecuencia de alrededor de 260 Hz (un hertz es una frecuencia de un ciclo por
segundo). Suponga que la potencia de la onda de sonido es de 3.6 x 1010 watts por centí­
metro cuadrado, es decir, que la onda ejerce toda esta presión sobre el oído en su punto
más fuerte. Determine la ecuación de la onda de" sonido.
La amplitud de la curva seno generalizada es de 3.6
periodo es 1/260. Entonces, su ecuación es
Solución
y
=
3.6
X
1010
sen
520
x
1010, mientras que el
7T't.
Esto representa la presión del aire a los t segundos de iniciarse el sonido.
•
EJERCICIOS
203
Ejercicios
Encuentre el periodo y la amplitud de las siguientes funciones.
l. Y = sen 4x
2. y= 3 sen �x
4. y= -2 cos 6x
5. Y
-:-
1
2
cos
1
3 . y= -sen -x
2
6. y=
TrX
1
-- COS TrX
3
•
7. y= -cos 2Trx
8. ¿Cuál de las siguientes gráficas es un esbozo de la gráfica de y
y
a)
3
3
2
2
1
1
x
1T
o
2
---
-
.
2
-1
-
-2
-2
-3
-3
y
c)
x
1T
-
-1
2 sen (-3x)?
y
b)
o
=
y
d)
2
2
1
-...",.f
--t---f--t---+x
o
1T
3
21T
3
1f
o
1T
3
·
-1
-1
-2
-2
21T
3
x
9. ¿Cuál de las siguientes gráficas es un esbozo de la gráfica de y = 2 cos (x - re)?
a)
b)
y
y
3
]
2
2
1
I
x
-1
21T
+-......
X
-1
-2
-2
-3
-3
2.".
204
CAPíTULO 6
FUNCIONES TRASCENDENTES
•
c)
y
d)
y
3
2
2
1
1
o
o
271'
-1
x
-1
-2
-2
-3
-3
Construya un periodo de la gráfica de cada ecuación.
10.
Y = sen
4x
1 1.
Y=
13.
y=
cos 6x
14.
Y = -cos
16. y=
-2
2 sen
1TX
cos
3 sen
�x
12.
1
Y = -sen-2x
21TX
15.
Y =
-2
sen 81TX
1TX
Esboce un periodo de la gráfica de cada par de ecuaciones sobre los mIsmos ejes
•
•
coordenados.
17.
Y = cos x,
19. y=
2 1.
cos x,
Y = cos x,
23.
Y=
25.
Y = tan x,
2
y=
2
cos x
y = -cos x
Y =
2
cos 2x
y = 2 cos
cos x,
y=
2
2x-
1T
6
-
18.
Y = -senx,
20.
y= sen x,
y=
-2
sen x
I
y= sen 2x
1T
22.
y = sen x,
24.
Y = 2 sen x,
y=sen x--
2
y= -2 sen 2x
tan 2x
26. Para cada una de las siguientes funciones indique si es una función par o impar, o
ninguna de las dos opciones ( véase la Seco 1.5).
f(x)=-cosx
f(x) = senx + cos x
f(x) = sen x tanx
f(x) = senx
f(x) = 2 senx
f(x) = x + senx
27. Durante una prueba de alerta de emergencia, una estación de radio trasmitió una
señal con una frecuencia de 60 Hz. Si la intensidad del sonido ( medida en decibeles)
es de 90 dB, grafique la ecuación que representa la intensidad del sonido a t segun­
dos de haber comenzado.
28. Un avión a reacción produce, al aterrizar, un sonido con la ecuación y = ISO sen
1000n!, medido en decibeles, mientras que t está medido en segundos. ¿Cuál es la
frecuencia del sonido? ¿Cuál es la amplitud?
6.2
LA
FUNCION EXPONENCIAL
205
29. ¿Puede obtenerse la función y = cos ax a partir de y
=
cos x mediante alguna de las
siguientes transformaciones geométricas: expansión o contracción, desplazamiento
horizontal o vertical, o refleción a través del eje x? ¿Por qué?
30. ¿Se puede obtener y = cos x a partir de y = sen x mediante una de las transformacio­
nes geométricas?
,
6.2 LA FUNCION EXPONENCIAL
La función exponencial, que se presenta en esta sección, es muy importante en el estudio
de diversos fenómenos físicos, biológicos, químicos, etcétera.
Se verá que para a > 1, conforme x crece a través de los valores positivos, y crece
muy rápidamente, y conforme x se toma más lejos del origen en la dirección negativa, y
se acerca a cero.
Esboce las gráficas de las funciones definidas por las ecuaciones y = 2' y
Ejemplo 1
Y = 3'. Use los mismos ejes coordenados.
Solución
Se usan valores enteros de x para formar la tabla de los valores correspon­
dientes de x y los valores de la función:
x
2x
]X
-2
-1
O
1
2
-
I
4
-
I
2
1
2
4
I
9
I
3
1
3
9
Las gráficas se construyen en la figura
6.13.
•
ASÍ, las curvas tienen el eje x negativo como asíntota. Si se graficara y = 10' Y curvas
exponenciales con otras bases, se concluiría que, conforme se escoja una base mayor,
la curva se vuelve más empinada para x >
gráfica de y =
e'
está entre las de y
=
2x y y
O.
=
Una base importante es e = 2.71828
Yen la figura
6.13.
. . .
, y la
CAPíTULO 6
206
FUNCIONES TRÁSCENDENTES
•
y
-
Figura
6.13
-3
-
-
x
-
-2
-
o
1
2
I
La curva exponencial generalizada
y = cabX,
a > O,
puede obtenerse multiplicando cada ordenada de y =
(ab), = abx por c.
Ejemplo 2 Dibuje la gráfica de la función definida por y = 2-x o, en forma equivalente,
de y = (112)'.
Solución Se forma la tabla para ayudar a dibujar la gráfica en la figura 6.14.
x
-2
-1
o
1
2
y
4
2
1
1
2
1
4
I
y
4
3
2
Figura
6.14
-3
-2
-1
o
I
2
3
x
•
6.2
LA
FUNClON EXPONENCIAL
207
Ejemplo 3 Esboce la gráfica de y =1(x) = (lh)e2X
Solución Se usa una calculadora manual, o la tabla III del apéndice, para calcular algunos valores de la función. Se encuentra que1(-1) = (113)e-2 = 0.05,1(0)= 0.33, mientras
que 1(1) = (113 )e2 = 2.5 Y 1(2) = ( 113 )e4 = 18.2. En la figura 6.15 se da un esbozo de la
gráfica. Note que en la figura 6.15 las escalas se han trazado desiguales para facilitar la
presentación de la función. •
•
y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Figura 6.15
-1
o
1
x
2
Ejemplo 4 El número y de bacterias, medido en millones, en un cultivo 1 horas después
de la introducción inicial, está dado por
y =f(t) = 20et/3.
. ¿Cuántas bacterias están presentes al principio? ¿Cuántas después de una hora? ¿Cuán­
tas luego de dos horas? Grafique la función y =1(/) para O <1 <4.
Solución El número de bacterias al principio es y =1(0) = 20eo
cuentra además
f(1) = 20el/3 = 20(1.396) = 27.9,
=
20 millones. Se en-
f(2) = 20(1.95) = 39,
f(3) = 20(e) = 54.4,
f(4) = 20(3.79) = 75.9.
De este modo había 20 millones de bacterias al principio, 27.9 millones después de una
hora y 39 millones después de dos horas. La población se duplicaría en un poco más de
dos horas. La función se grafica en la figura 6.16. •
208
CAPíTULO 6
FUNCIONES TRASCENDENTES
y
80
(4,75.9)
70
60
50
y
40
=
20e,/3
30
20
10
FIgura
o
6.16
2
1
3
4
Las funciones hiperbólicas se definen sobre la hipérbola
2
X
-
y
=
l de manera aná­
loga a como se definieron las funciones trigonométricas circulares, las cuales se definie­
2
l. En la figura 6.17 se puede
ron en la sección 6.1 utilizando el círculo unitario X2 + y
=
observar que sobre el círculo unitario, tanto el arco BP como el ángulo e y el área del
sector OABP tienen cada uno la misma medida e.
En estas condiciones, x = cos y = sene. Análogamente, y considerando la hipérbola
2
2
X - y = l de la figura 6.18, si e es la medida del área OAVP, como se indica entonces
x = cosh e y y = senh e son las funciones coseno hipérbolico y seno hiperbólico, res­
pectivamente. Es posible demostrar que para cualquier número real, se pueden utilizar las
siguientes expresiones, de uso más común:
cosh ()
e(]
=
+
2
e-o
'
senh () =
e(]
2
e-(]
.
y
y
____-t_ ----�p (x y)
o
FIgura
6,17
B
x
o
FIgura
6.18
x
EJERCICIOS
209
Ejemplo 5 Grafique y = cosh x.
Solución Se observa que la gráfica es simétrica con respecto al eje y, que (O, 1) es el
punto más bajo sobre la gráfica y que conforme x aumenta en la dirección positiva, lo
mismo ocurre con y. La curva aparece graficada en la figura 6.19. •
y
(0, 1)
Figura 6.19
x
o
Ejercicios
En cada uno de los ejercicios siguientes, esboce la gráfica de la función definida por la
ecuación usando calculadoras cuando sea necesario.
3. Y = 4x
l. Y = eX
5. y = -e-X
x2
y
8.
= e
1
4. Y = -ex
7. y = 5e2x
-
6. y = 2ex
2
9. y = 2-x
10. Grafique y = senh x. ¿Es ésta una función par o impar? ¿Es el cosh x una función
par o impar?
•
11. Deduzca las siguientes identidades: cosh x + senh x = eX,
cosh2 x + senh2 x = l .
12. Defina las restantes funciones hiperbólicas: tanh, cosh, y así sucesivamente, de ma­
nera análoga a como se hizo con las funciones circulares, en términos de cosh y
senh. Grafique y = tanh x.
13. En estadística, una variable aleatoria normal tiene una función de distribución dada
por
donde (J y f.1 son constantes. Grafique la función de distribución de una variable
aleatoria normal para la que /1 = O Y (J = l .
14. Cuando se invierten P dólares a una tasa de interés anual del
r
por ciento compuesto
continuamente durante t años, la cantidad A presente después de t años está dada por
CAPíTULO 6
210
A
=
FUNCIONES TRASCENDENTES
Pert!l 00
Si se invierten $1000 a un 10 % de interés compuesto continuamente ¿cuánto habrá
en la cuenta después de dos años?; ¿cuánto habrá después de cuatro años? Grafique
la curva para O < t
<
4.
15. El epidemiólogo del departamento de salud encontró que el número y de nuevos
casos de catarro, medido en cientos, estaba relacionado con el tiempo t, en sema­
nas, después de la aparición de la enfermedad, mediante
t2
y =
t + 2,
f(t)
Grafique la función y =
,
IOO.5e-t,
f (t).
si O <: t <: 2
,
si 2 < t <: 3 ,
si 3 < t.
¿Cuántos nHevos casos hubo en la quinta semana?
¿Cuántos en la séptima semana?
6.3 LOGARITMOS
En
1614
John Napier publicó un folleto en el cual presentaba los logaritmos. La ampli­
tud de la posible aplicación de los logaritmos a problemas de cálculo se percibió rápida­
mente, y fue así como comenzó el desarrollo de una rama muy importante de las
matemáticas. Aunque la aplicación inmediata de los logaritmos hace 300 años fue para
ayudar a calcular expresiones como
(3. 1742)Y1842
(9 1.45)\85.94 )2/3'
hoy resulta fácil usar, para esta tarea, una calculadora manual. Sin embargo, los logaritmos
mantienen su importancia en muchas áreas de las matemáticas. Tienen una utilidad teóri­
ca muy valiosa y se siguen usando para describir fenómenos naturales.
Así, 10g"N =
quc b1ug¡,N
=
x
significa que b' = N. A partir de la definición, se obtiene en seguida
N y que 10g"bN = N. De la definición se deduce que 10gb es una función cuyo
dominio es el conjunto de todos los números reales positivos. La imagen de log" es el
conjunto de todos los números reales.
Aunque es posible calcular logaritmos para cualquier base b, hay dos bases de parti­
cular importancia,
e
y 10. Cuando la. base del logaritmo es 10, se suprime el subíndice 10
6.3
LOGARITMOS
211
,
en loglO y se escribe simplemente log. Este es el logaritmo común. Así mismo, cuando la
base es.e, a loge se le llama logaritmo natural y se usa In en lugar de log.
Las ecuaciones
bY
= X
y
expresan la misma relación entre los números b, y Y x. La primera ecuación se encuen­
tra en forma exponencial y la segunda en forma logarítmica. Para ayudar a entender el
significado de los logaritmos, en la tabla 6.4 se l istan varias ecuaciones logarítmicas y la
correspondiente ecuación exponencial, una junto a la otra.
Tabla
6.4
Forma logarítmica
Forma exponencial
log216 = 4
log 100 = 2
In e = 1
24
16
l()2 = 100
l
e = e
=
Ejemplo 1 Encuentre la x si log6 x = -3.
Solución Se usa la forma equivalente y se obtiene x = 6-3 = 1/63 = 11216.
•
Ejemplo 2 Encuentre a si loga49 = 213.
Solución La fOllna exponencial es a2/3 = 49. Por ende, al tomar la potencia 2/3 en ambos
l ados se obtiene
a
=
343.
•
Ejemplo 3 Encuentre el :valor de logs (1125).
Solución Tome y = logs (1125). Cambiando a la forma exponencial se obtiene
5Y = ...!.. = 5-2
25
y
y = -2 .
•
NOTA HISTÓRICA
John Napier (1550-1617) trabajó durante veinte años diseñando una tabla de logaritmos,
a la cual veía como una herramienta que simplificaba tediosos cálculos donde participa­
ban números muy grandes así como productos y cocientes que contenían valores
trigonométricos. Su creación fue sumamente apreciada y tuvo una gran acogida entre
los matemáticos y los astrónomos, en especial J. Kepler. Por más de tres siglos una tabla
de logaritmos fue l a mejor "calculadora de mano" que se podía encontrar.
CAPíTULO 6 FUNCIONES TRASCENDENTES
212
Las funcionesj(x) In x y g(x) e' son inversas de acuerdo con la definición l.l9.
Ahora, si j(x) = In x y g(x) e', se tiene
=
=
=
f(g(x» = f(eX) = In eX = x
y
g(f(x» = g(ln x) = e1n
x
=
x.
así, In x y e' son funciones inversas. De la misma manera, log x y 10x son funciones in­
versas, como también lo son logbx y fr, para cualquier base positiva b. Ahora, e' Y si, y
sólo si, In y = x, de modo que el punto (x, y) está sobre la gráfica de e' si, y sólo si, el
punto (y, x) se encuentra sobre la gráfica de la función logaritmo natural. Como los pun­
tos (x, y) y (y, x) equidistan de la recta y = x, se puede obtener una de la otra mediante
reflexión en esa recta. Así, las curvas In x y e' son reflexiones mutuas en la recta y x,
como lo muestra la figura 6.20.
=
=
y
X
y=e
)'
=
In x
x
Figura 6.20
De igual manera, se ve que cualesquiera dos funciones inversas son siempre reflexio­
nes mutuas a través de la líneay = x.
Ejemplo 4 Dibuje, sobre los mismos ejes coordenados, las gráficas de las funciones
y
Solución
y
y
= log x
= In x.
Se usa una calculadora para �eterminar algunos puntos en cada curva.
1/ 10
l /e
1
e
e2
10
e3
log x
-1
-0.43
O
0.43
0.868
1
1.30
In x
-2.30
-1
O
1
2
2.30
3
x
Las gráficas se esbozan en la figura 6.21.
•
6.3
LOGARITMOS
213
y
5
y= lnx
- ---
o
5
e
----
--
10
15
____ ..J_��
20
x
25
Figura 6.21
Ejemplo 5 Esboce las gráficas de las funciones definidas por las ecuaciones
y =2"
y
y=
logzX·
Estas funciones son inversas entre sí, de modo que se dibujará la gráfica de
y = 2" Y después se obtendrá la gráfica de y = logzX por la propiedad de simetría. Así, se
forma y prepara la siguiente tabla de valores de x y los correspondientes valores de 2".
Solución
x
-2
-1
o
1
2
3
1
4
1
2
1
2
4
8
Estos valores tabulados de x y 2" permiten dibujar la gráfica de y = 2x, como se muestra
en la figura 6.22. La gráfica de y = logzX se obtiene mediante simetría. •
y
(3.8)
•
(8.3)
(-1, t)
(-2. ! )
Figura 6.22
•
/
/
/
/
/
/
/
(l. O)
ti 1)
(t·-2)
-
.
�
x
CAPíTULO 6
214
FUNCIONES TRASCENDENTES
Recuerde que la función seno tiene como dominio el conjunto de todos los números
reales y su imagen es el conjunto de todos los números reales ycon-1 < Y < 1. Sin embar­
go, para cualquier y con - 1 < Y < 1 existen muchas x que satisfacen la igualdad sen x y.
Por tanto, la relación que asocia cualquier yen [-1,1] con los valores de x tales que y =
sen x no es una función. Si el dominio de la función seno se limita a - n/2 < x < n/2,
entonces para cualquier yen [-1, 1] existe unax única,con-n/2 <x :s; n/2, que satisface la
igualdad sen x = y. Esta x se denota con sen-l y o con arcsen y, y con ello queda definido
el inverso de la función seno, denotado por sen-l, como una función cuyo dominio es el
intervalo -1 < u < 1 Y tiene por imagen el intervalo-n/2 < v < n/2. Se tiene,entonces,que
sen v = u si y sólo si sen-J u = v para u en [-1,1] Y v en [ n/2,n/2].
Se puede proceder de igual manera con las otras funciones trigonométricas, restrin­
giendo su dominio de manera que cada valor en la imagen sea asignado sólo una vez
para el número en el dominio restringido. Con ello se puede definir el inverso de la fun­
ción trigonométrica restringida.
=
Ejemplo 6
Limite el dominio de la función tangente con el fin de definir y = tan-J x.
Grafique, sobre el mismo eje,y = tan x, y tan-J x y y x.
=
=
La restricción del dominio de y = tan x a -n/2 < x <n/2 asegura que cada
número real ysea la tangente de uno y sólo un valor de x (véase la Fig. 6.23). Así,tan-J x
es una función cuya imagen es el conjunto de todos los números reales que yacen estric­
tamente entre -n/2 y n/2. Se puede esbozar rápidamente y = tan x para -n/2 < x <n/2
tomando como referencia la figura 6.23. Luego, para terminar de resolver el problema
se puede utilizar una calculadora (en el modo de radianes) para graficar y = tan-J x,
o se puede reflejar la curva tangente a través de la recta y =x. La figura 6.23 muestra las
gráficas. •
Solución
y
y=tan x
JJ
J
J
J
J
J
1
1
1
1
1
1
1
J
"
---------1---2 J
-0:-::'::'-�-y:;=-�-;:t��-:¡:J-=:x
:1
--------
Figura
6.23
1"
__
I 2
L
J
J
I
1
I
J
I
I
1
x
________
•
EJERCICIOS
215
Ejemplo 7 Si el número y, en millones, de bacterias en un cultivo después de t horas de
la introducción está dado por
y = f(t)
= 20et/3,
como en el ejemplo 4 de la sección anterior, ¿cuánto tarda en duplicarse el número de
bacterias?, ¿y cuánto en triplicarse?
Solución
tal que
Puesto que hay veinte millones de bacterias en t = 0, se busca un valor de t
40 =f(t) = 20é/3.
Por tanto,
y
t = 3 In 2
= 3(0.69 3)
= 2.08.
También se busca t tal que
f(t) = 20et/3 = 60,
et/3 = 3,
t
3
= In 3,
t = 3 In 3
= 3. 30.
ASÍ, las bacterias tardan 2 horas y 5 minutos en duplicarse y 3 horas 18 minutos en
•
triplicarse.
•
Ejercicios
Escriba la forma logarítmica de cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.
1. 33 = 27
2. 24 = 16
4. 81 = 8
7. 4-3/2 =
5. 15° = 1
8. 322/5 = 4
10.
m-2
=
�
�
•
11.
3
W
27
= 8
3. 6-1 = 61.
6. 272/3 = 9
9. 53 = 125
12. G5 f3/2 = 125
Escriba la forma exponencial de cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas.
1 3. log 1 = O
3
16. log91 = O
1
19. log28 = - 3
14. log66 = 1
1
17. IOg216
= -4
20. log4 116 = -2
15. log525 = 2
I
18. IOgl64 = 2
21. IOgl 27 = -3
/3
CAPITULO 6
fUNCIONES TRASCENDENTES
,
216
Encuentre x, a o yen cada una de las ecuaciones siguientes.
;
22. log3x = -3
23. log4x =
25. logl/2 x
26. loga4 = 2
=
-3
l
24. logl(iX =
1
l
28. loga16 = 2
29. loga9 = --2
30. loga4
3I. loga64 = -�
2
32. Y = Iog216
33. Y
34. Y = log5
37. Y =
39. Y =
2�
tan-1(-1)
71' + tan-I
=
36. y =
1
38. Y =
tan-I
40. Y =
- 71'
•
=
-32
-
l
-2
Iog381
. I V2
cos- _2
2
+
tan-le -1/\13)
Esboce una gráfica de la función definida por la ecuación en cada uno de los siguientes
eJerCICIOS.
•
•
•
41.
Y
42.
y= cos-I x, después de restringir el dominio de la función coseno.
=
sen-I x, después de restringir el dominio de la función seno.
2
43. Y = log x
44. Y = Iog(x + 1)
45. y =
46. y = Iog2 (x + 1)
47. Y = 2 In x
48. Y = In 2 x
49.
In(x
+
1)
Se usa la escala de Richter para medir la intensidad de los temblores de tierra. Si E
es la energía (en ergios) liberada por un temblor, entonces la magnitud M en la es­
cala de Richter está relacionada con E mediante
log E =
1.5M +
11.4,
donde las constantes 1.5 y 11.4 se determinaron empíricamente y pueden ajustarse.
¿Cuánta energía es liberada por un temblor de rango 5 en la escala de Richter? Mues­
tre que un temblor de rango 7 es como 30 veces más fuerte que uno de rango 6.
50. El número de decibeles D para medir la intensidad de un sonido se relaciona con la
potencia P del sonido mediante la ecuación
D = 10 log 1016p ,
donde P está medida en watts por centímetro cuadrado. Encuentre el número de
decibeles en un sonido en el nivel de conversación de 3.2 x 1010 watts por centíme­
tro cuadrado. ¿Cuánta potencia hay en un sonido de 30 decibeles?
6.4 SUMA DE ORDENADAS
A menudo se da el caso de que es necesario enfrentarse con la graficación de una función
expresada como suma de dos o más funciones. En esta sección se analiza una técnica
para esbozar dicho tipo de gráfica al esbozar primero cada sumando.
Siy=f(x)+ g(x), la gráfica se puede esbozar si primero se dibujan las gráficas deYI =
f(x) y Y2 =g(x) sobre los mismos ejes coordenados. Entonces, las ordenadas de las curvas,
cuando se suman gráficamente, producen las ordenadas de la gráfica dey f(x)+g(x).
6.4
SUMA DE ORDENADAS
217
Como se vio en el capítulo
4,
xy
la presencia de un término
en una ecuación de
segundo grado hace más dificil la construcción de una gráfica. En ese caso, preparar una
tabla de valores para x yy se vuelve una tarea tediosa. Las transformaciones de rotación
pueden complicarse debido a radicales en las fórmulas de rotación. Si es relativamente
fácil despejar una variable en la ecuación, por ejemplo y, en .términos de
x, y
tener una
suma de ordenadas, esto puede ser útil. La técnica se ilustra con algunos ejemplos .
•
NOTA HISTORICA
Charles F. Richter (1900-1985), sismólogo norteamericano nacido en Ohio, diseñó la
escala que lleva su nombre. Su primera expresión de la escala se basaba en la destruc­
ción observada: un temblor de rango
4 rompía ventanas,
platos y un poco más. Se cal­
cula que cada año ocurren alrededor de 5000 temblores de rango
Ejemplo 1
4.
Dibuje la gráfica de la ecuación.
2X2 - 2xy + y2 + 8x - 12y + 36 = O.
Solución
Para expresar y como la suma de dos cantidades, l a ecuación se trata como si
fuera cuadrática eny. Así, se tiene
2
y
+ (-2x - 12)y + (2x2 + 8x + 36) = 0,
al despejary, se obtiene
2x + 12
y=-
+
Y(-2x - 12f - 4(2x2 + 8x + 36)
-'-'-'---'2
----
---
-
----
= x + 6 ± Y4x - x2.
Ahora se dibujan las gráficas de las ecuaciones
YI
y
= X + 6
La gráfica de la primera ecuación es una recta. Elevando al cuadrado y después comple­
tando el cuadrado en los términos
x,
la segunda ecuación se reduce a
La gráfica es una circunferencia de radiu
2y
centro en
(2, O).
(x
En la
2 )2 + y21z 4.
figura 6.24 están'
-
=
dibujadas la recta y la circunferencia. El punto D sobre la gráfica de la ecuación original
se obtuvo al sumar'las ordenadas AB y AC; esto es, AC se extiende en una longitud igual a
AB, Para este propósito, la suma de ordenadas debe ser algebraica. Así, MN es negativo
y el punto
Q se encuentra
se busca.
•
al medir hacia abajo, desde P, de modo que PQ
=
MN. Locali­
zando de esta manera un número suficiente de puntos, se puede construir la gráfica que
CAPíTULO 6
218
FUNCIONES TRASCENDENTES
y
10
(4, 10)
I
I
I
pi
8
(0,6)
4
2
•
(2, O)
O
Figura
I
I
I
I
1M
I
I
(4, O)
X
N
6.24
Ejemplo 2 Esboce la gráfica de
y = x + cos x.
Solución Sea YI = X Y Y2 = COS X y esboce cada una sobre el mismo eje de coordenadas.
Ahora, sume las ordenadas para valores fáciles (y¡ = 0, Y2 = O), así como para puntos
"críticos" donde cos x es un máximo o un mínimo. Los puntos oscuros en la figura 6.25
indican puntos sobre la suma.
y
•
•
x
Y2 = cos X
•
Figura
6.25
6.4
SUMA DE ORDENADAS
219
A
continuación se dibuja la curva que pasa por los puntos, usando puntos adiciona­
les si así se requiere, como en la figura 6.26. •
Mientras estudiaba la propagacion de las ondas de calor, J. B. 1. Fourier descubrió,
alrededor de 1800, que cualquier función se puede expresar como una suma de "sufi­
cientes" funciones seno y coseno generalizadas. Este asombroso resultado es la espina
dorsal teórica de muchas actividades de hoy día: la música electrónica producida, por
ejemplo, por órganos de acordes, sintetizadores de voz; casi cualquier tipo de trasmisión
de señales entre aparatos electrónicos como radios, televisores y computadores; y el aná­
lisis de datos presentados en forma gráfica, como los datos sismográficos usados en la
búsqueda de petróleo y gas.
y
y=x+cosx
x
rz=cosx
Figura
•
6.26
·
El siguiente ejemplo muest ra cómo pueden sumarse funciones seno y coseno generaliza­
das. Los lectores que tengan acceso a un computador pueden encontrar útil sumar gráfi­
camente tres o más de dichas funciones.
Ejemplo 3 Esboce un periodo de la gráfica de y j(x) = senx + cos 2x.
El periodo de sen es 2n, mientras que el de cos 2x es n, de modo que el
periodo de j{ x) será 2n. Las curvas se esbozan en la figura 6.27. •
Solución
NOTA HISTÓRICA.
Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830) era huérfano, debido a lo cual inició su educación
bajo los auspicios de la iglesia, y ya adulto participó activamente en la Revolución Fran­
cesa. Más tarde, en 1789, fue uno de los científicos que acompañó a Napoleón en su des­
afortunada expedición a Egipto. Capturados por los británicos, a los científicos se les
permitió retornar a Francia, donde recopilaron los descubrimientos realizados en Egipto.
Años más tarde, Fourier llegó a ocupar un puesto en la Academia de Ciencias en París.
,
CAPITULO 6
220
FUNCIONES TRASCENDENTES
y
y=senx
x
o
y= cos Ix
y = senx + cos
Figura 6.27
Ix
Ejercicios
En los ejercicios
l. Y = 6 - x
a 14 esboce la gráfica de cada ecuación mediante suma de ordenadas.
1
+
2. Y = 1 ± Yx
V4 - x2
3. y2 - 2 y + 2x2 - 1 = O
4 . Y = 2x
5. y2 + 2xy - 3x2 + 4 = O
6. y2 - 4.xy + 3x2 + 1 = O
7. Y =
9.
11.
x
+ senx
8.
+
V5 + 6x - x2
y=
sen
y
x + In x,
x + cos x
y = sen x + sen x/2
10,
y = 3 + 2 sen 7TX
12. y = - 1 + In x,
=
14. Y =
13. y = 2 senx + cos x/2
I
2
sen7Tx +
x>O
x>O
1
3
cos 2 7TX
En psicofisica se usa el modelo Weber-Fechner para relacionar la magnitud de un
15.
estímulo con una respuesta en una amplia variedad de contextos, como escuchar en
respuesta a un sonido. Si y es el nivel de respuesta al nivel x de estímulo, el modelo
afirma que x y y están relacionadas por la ecuación
y = a + b In x,
a>O.
-
Hace poco, la evidencia sugirió que la ecuación
a < O,
modela mejor lá situación. Esboce una gráfica de cada una de las siguientes
ecuacIOnes:
.
.
y = 0.05 + 0. 1 In x,
y = -0.1 + 0. lxl/ 2.
•
6.5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
221
,
6.5 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
En esta sección se resolverán, a manera de repaso, algunas ecuaciones trigonométricas.
Después se dará un conjunto de ecuaciones para resolver.
Ejemplo 1
Encuentre todos los valores de een el intervalo O
< e < 2n que satisfagan la
ecuaclOn
•
•
2 cos2(J -
5cos
(J + 2
O.
='
Primero se factoriza el miembro izquierdo yseobtiene
Solución
(cos e - 2) ( 2cos e-I)
=
O.
Si se hacecada factor igual a cero,se obtienen las sencillas ecuaciones
cos e- 2=O y
2cos e-I=O.
La primera de estas ecuaciones no tiene solución,pues el valor del coseno nunca excede
de l. La segunda produce cos e= 1/2 Ylas soluciones son
(J
=
1T
(J =
y
3
51T
3
.
Cada una de estas soluciones se puede cambiar en cualquier intervalo de 2n. Sin embar­
go las soluciones se limitan al intervalo
2n. Se pueden verificar los resultados
<e <
O
sustituyendo en la ecuación dada. Por tanto,
1T
2 cos2- 3
2 cos
251T
3
1T
5cos3
- 5cos
51T
3
l 2
+ 2 = 2 -
2
+ 2 - 2
_
l
"2
5
-
2
-5
l
2
l
2
+ 2
=
O,
+ 2 = O.
Estos valores satisfacen la ecuación dada,luego el conjunto solución es
1T 51T
3'
E.jemplo
2
3
•
Encuentre el conjunto solución en el intervalo O
<e < 2n,de la ecuación
3 senze-4sene- 2=O.
Solución
No es posible encontrar factores reales d<;:l lado izquierdo,como se hizo en el
ejemplo 1,asíque se recurrirá a la fórmula cuadrática. Para adaptar la fórmula al proble­
ma,sereemplaza xpor sene apor 3, bpor -4 Y epor - 2. Por tanto, se tiene
222
CAPíTULO 6
sen ()=
4
±
Y16 - 4(3)( -2)
6
=
4
±
v'4O
6
FUNCIONES TRASCENDENTES
= 1.72
o
-0.387.
Se rechaza el 1.72, pues el seno de un ángulo no puede exceder a la unidad en valor
absoluto. De modo que se usa - 0.387 como el valor de sene. El valor negativo muestra
que e se halla en el tercer o cuarto cuadrante. En la tabla II del apéndice se encuentra
que si+ sene =+ 0.387, entonces e= 0.397. Por tanto, se toma como resultado e= n +
0.397=3.538 Y e=2n- 0.397 = 5.886. •
Ejemplo 3 Resuelva la ecuación 1- sene=cose en el intervalo O < e < 2n.
Para tener una ecuación con sólo una función de e, se elevan al cuadrado
ambos lados de la ecuación dada y se sustituye cos2e. De esta manera se obtiene
Solución
1
- 2 sen() +sen2() = cos28 = 1
•
-
sen2e,
2 sen2() - 2 sen 8 = O,
2 sen 8(sen8 - 1) = O.
Los factores del miembro izquierdo dan e=O, n/2, n.
Estos resultados son soluciones de la ecuación obtenida al elevar al cuadrado los
miembros de la ecuación original. Esta operación pudo introducir raíces extrañas. Por
tanto, se prueban. Al sustituir en cada lado de la ecuación dada, se encuentra que
() = O nos
() =
da1
1T
2 nos da I
-
O = 1,
- 1 = O,
8 = 1T nos da 1 - O * -1.
Esto muestra que O y n/2 son raíces, pero n'DO es una raíz. Por ende, el conjunto de
solución es {O, n/2}. •
Ejemplo 4 Encuentre el conjunto solución en el intervalo O < e < 2n de la ecuación
2cos22e
+
cos2e-1= O
Como el ángulo en esta ecuación es 2e en lugar de e, el intervalo para 2e
debe ser O < 2e < 4n. Primero se factoriza el miembro izquierdo de la ecuación dada y
se obtiene
Solución
(cos 2e+1)(2 cos 2-1)=O.
Al igualar a e cada factor se produce
cos2e=-1 y cos2e= 112.
Del primer factor se tiene que
28 =
1T,
31T,
57T,
77T,
y
8=
7T
2
37T
'
2'
57T
2'
77T
2'
EJERCICIOS DE REPASO
223
Del segundo factor se tiene que
2e
=
1T
51T
"3'
111T
71T
3'
3 '
3'
e
y
=
1T
6
71T
51T
6'
'
6'
I I 1T
6 .
El conjunto solución es
1T
-
51T
1T
-
71T
ll1T
31T
•
6' 6'2 ' 6' 6 ' 2
Ejercicios
Encuentre el conjunto solución de cada problema en el intervalo O
1. 2 sen 2 e
3.
1
=
o
V2 sen 3 e -
l
=
=
o
-
5. 2 cos 3 6 + 1
7.
2 sen2 6
9. l
11.
4
-
cos 6
-
2 . 2 cos 2 e
4.
o
=
=
O
cos 3e + l
cos26
-
=
o
=
-
1
=
O
=
o
o
o
4 cos 6
-
2
l
=
=
I
I
2
12. 2 sen -2 e + sen -2 e - l =
I
I
2
14. 2 sen 2 e + 5 sen 2 6 + 2
2. Esboce un periodo de y -2 sen 7rX e indique el
6. Esboce la gráfica de y
3. Esboce, sobre los mismos ejes coordenados, las
gráficas de
5. Encuentre a si log 64
a
=
Y = log x.
2!J.
=
O
= 2'-'.
y= log 2x
8. Esboce y
=x+
y
y = logJx
l/x mediante suma de ordenadas.
9. Encuentre el número de soluciones de
4. Encuentre x si log5x =-3.
O
7. Esboce, en los mismos ejes coordenados,
periodo y la amplitud de la función.
Y
O
•
1. Defina las funciones seno y coseno, amplitud y pe­
riodo, funciones exponenciales y logarítmicas.
10'
O
1 + 2 cos e
EJERCICIOS DE REPASO
y=
=
10. 2 sen22 e + sen 2 e
cos22 e + cos 2 e - 1
15. 2 sen e
8. 8
sen e
I
2
1
e
13 . 2 cos 2 ()
2 + cos -
l
6. 2 sen36 + l
5 sen 6 + 2
=
V2
-
() < 2 7r.
<
a) x - sen x = O,
b) xJ -2x-2cos x=0.
CAPíTULO 6
224
FUNCIONES TRASCENDENTES
Términos clave
función con periodo p, pág. 196
función trigonométrica hiperbólica, seno y
función exponencial, pág. 205
coseno, pág 208
logaritmo, pág. 210
l.
Enuncie las definiciones de periodo de una función,
función exponencial, logaritmo, inverso de una
4. ¿Se puede obtener y = 2 sen x a partir de y = cos
mediante una transformación geométrica? Si la res­
puesta' es afirmativa, muestre cómo lograrlo. Si la
función trigonométrica.
2.
Encuentre el periodo y la amplitud de
a) y =
-..fi
COS (lrX
b) y = sen x + cos x
-
1)
3. Las funciones del ejercicio 2 ¿son pares o impares?
x
respuesta es negativa, señale por qué no.
5.
Grafique y = In x y y =
Slmetncas respecto a y
•
6.
•
•
Grafique y = 2x
-
=
e'
x.
cos x
ordenadas al origen.
y analice por qué son
mediante la suma de
-
Capítulo
•
•
lares
Coordenadas
Hay varios tipos de sistemas coordenados. El sistema rectangular, con el cual se ha tra­
bajado, es quizás el más importante. En este sistema se localiza un punto mediante sus
distancias a dos rectas perpendiculares. En este capítulo se presentará un sistema
coordenado en el cual las coordenadas de un punto en un plano son su distancia a un
punto fijo y su dirección a partir de una recta fija. Las coordenadas dadas de este modo
se llaman coordenadas polares. La selección adecuada de un sistema de coordenadas
depende de la naturaleza del problema que se tenga. Para algunos problemas puede ser
satisfactorio cualquiera de los sistemas, el rectangular o el polar; sin embargo, suele su­
ceder que uno de los dos es preferible, y en algunas situaciones es conveniente usar
ambos, cambiando de uno a otro.
7.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
El marco de referencia en el sistema de coordenadas polares es una semirrecta trazada a
partir de algún punto en el plano. En la figura 7.1 una semirrecta se representa con OA.
El punto O se llama origen o polo y OA eje polar. r" a posición de cualquier punto P en
el plano queda bien determinada por la distancia OP y el ángulo AOP. El segmento OP,
denotado con r, se conoce como radio vector; el ángulo AOP, denotado mediante 8, se
llama ángulo vectorial. Las coordenadas de P se escriben, entonces, como P(r, 8) o sim­
plemente (r, 8).
Se acostumbra considerar a las coordenadas polares como cantidades con signo. El
ángulo vectorial, como en trigonometría, se define como positivo o negativo, según se
mida en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj o en el sentido en que
NOTA HISTORICA
,
Isaac Newton (1 642-1727) nació de parto prematuro y durante su niñez no fue parti­
cularmente sano. Su temprano interés por la química pronto fue superado por su fasci­
,
nación por la matemática. Siendo el primero que utilizó las coordenadas polares, Newton
postuló el teorema del binomio y, usando prismas, las propiedades refractivas de la
luz,
Sus logros más espectaculares fueron .el descubrimiento de la ley de gravitación y la
invención del cálculo.
CAPITULO 7 COORDENADAS POLARES
226
,
giran éstas, a partir del eje polar. La coordenada
r
se define como positiva si se mide
desde el polo a lo largo del lado terminal de e, y negativa si se mide a lo largo del lado
terminal extendido al otro lado del polo.
P(r, (J)
Figura
A
o
7.1
•
Un par de coordenadas polares dado localiza perfectamente un punto. Por ejemplo,
las coordenadas (3, n/6
) determinan un punto particular. Para localizar el punto, se tra­
za primero el lado terminal de un ángulo de n/6 radianes medido en sentido contrario al
del giro de las manecillas del reloj desde OA (Fig.
7.2), Y después se marcan tres unida­
des a lo largo del lado terminal. Aunque este par de coordenadas define un punto parti­
cular, hay otros valores coordenados que definen este mismo punto. Esto es evidente,
pues al ángulo vectorial puede sumarse o restarse repetidas veces
2n sin alterar el pun­
to representado. También se pueden obtener coordenadas adicionales del punto, usando
un valor negativo para la distancia coordenada. Si se restringe el ángulo vectorial a va­
lores entre
-
2n y
2n, se observa (Figs. 7.2 a 7.5) que los siguientes pares de coordena­
das definen el mismo punto:
_ 1 171'
3
6
-3 7
671'
,
Figura
7.2
.
-3,
,
A
o
3
Figura
7.3
A
6
571'
-
.
7. J
227
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
P -3. 7
n
(
."
7
6
Figura 7.4
Figura
A
o
Lado terminal
Lado
terminal
A
51T
7.5
6
--
A continuación se escriben las fÓIInulas generales
7T)
(r, (J) = (-r, (J + 1T) = (-r, (J
= (r, (J + 27Tn) ,
n = Cualquier integral.
(7.1)
-
Estas fórmulas proporcionan diferentes maneras de representar un solo punto.
Ejemplo 1
Si se usa
4,
4,
r=
-4 , - + 7T
7T
1T
3"
1T
3"
4, e = nl3 y n
3
41T
•
-
-4
,
3
-
=
1 en las fórmulas, se obtiene
7T
- 4 -- 7T
-
' 3
- 4 - 27T
,
3
-
4,
-
4,
7 7T
3
3" +
7T
27T ,
•
Las figuras 7.6 a 7.9 ilustran cuatro maneras de representar un solo punto.
•
y
y
P(-4. 4n
-4
o
FIgura
7.6
x
x
FIgura 7.7
228
CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES
y
y
•
x
o
x
o
2"
--
J
Figura 7.8
Figura 7.9
Sean ahora r= -4, 8= -n13
Ejemplo 2
-4
1T'
4'
--
,
3
- 4 - 1T'
4,
-
,
3
1T'
--
3
21T'
3
+
-
1T'
yn=
-
•
1 en las fórmulas (7.1). De aquí se obtiene
- 4 ' - 1T'
1T' 1T' 4,
-
-
-
3
3
4,
-
41T'
3
- 4 51T'
3
,
+
21T'
,
•
•
Se sugiere al estudiante que pondere cuidadosamente las fórmulas (7.1) Y los dos
ejemplos. Dibuje figuras y verifique mentalmente las distintas maneras de representar el
mismo punto.
(120')
(1 SO')
(180')
(90')
�
2"
J
(60")
5JT
�
6
(30')
A
n
(210')
7"
¡¡"
6
6
(240')
Figura 7.10
4n
J
2f
(300')
(330')
EJERCICIOS
229
Un punto de coordenadas dadas se puedelocalizar calculando de un vistazo el án­
gulo vectorial y el radio vector. Sin embargo, la precisión se puede mejorar considera­
blcmenteusando papel en coordenadas polares. Estepapel tienecircunfcrencias igualmente
espaciadas con sus centros en el origen y rectas radiales igualmente espaciadas que pa­
san por el origen (Fig.
7.10).
giendo las coordenadas ey
Un punto de coordenadas dadas puede localizarse esco­
adecuadas. En la tigura selocalizan varios puntos.
r
El papel en coordenadas polares quesuele conseguirse hoy día todavía mideángulos
en grados en lugar de radianes. Una vez más,el estudiante deberá ser capaz de traducir
deun sistema a otro siemprequeseutilicepapel en coordenadas polares comercial.
Ejercicios
Exprese en radianes cada uno delos siguientes ángulos.
l.
15°,30°,45°,90°
3. 2 10°,225°,240°,255°
5.
Usando coordenadas polares identifiquecada punto (r, 8)sobrela figura 7.11, con­
siderando que
r
> O Y O < e < 21!.
•
e
Figura
7.11
6. Resuelva el ejercicio
7.
A
Resuelva el ejercicio
sobre
5,tomando ahora
5tomando
-
r
�OY
-
1! < e < 1!.
"12 < e < "12 y sin que haya ninguna restriccíÓI1
r.
Localicelos puntos dados en un sistema coordenado polar.
CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES
230
7T)
8. P( -1,
(
� 7T)
P( 3, -�7T)
P ( 3, -;;7T)
11. p -3,
14.
17.
( �7T)
Pt 4, ; 7T)
p ( -3, �7T)
P( 2, �7T)
9. P 3,
12.
-
15.
18.
( �7T)
P ( 2, -;7T)
P ( 4, �7T)
P ( 5, -�7T)
10. P 2,
13.
16.
19.
En cada uno de los ejercicios 20 a 27 escriba otros tres pares de coordenadas polares
para el punto. Restrinja los ángulos vectoriales de modo que no excedan de 2n en valor
absoluto.
20. P
3,
23. P 4,
7T
'3
21. P 6, -
7T
(
24. p -1,
T2
26. P(-4,
7T
22. P(2,
6
� 7T)
(
7T)
25. p -3,
� )
7T
( -;7T)
7T)
27. P 4,
7.2 RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y REC TANGULARES
Como ya se mencionó, suele ser conveniente, al resolver un problema, desplazarse de un
sistema coordenado a otro. Para ello se deducirán fórmulas de transformación que ex­
presen coordenadas polares en términos de coordenadas rectangulares y viceversa. En la
figura 7.12 se colocan los dos sistemas, de modo que los orígenes coincidan y el eje
polar esté a lo largo del eje positivo x. Entonces, un punto P tiene las coordenadas (x, y)
y (/; 8). A partir del triángulo OMP se tiene
cos
y
x
e = -
sen e=Y
y
r
r'
por tanto,
x = r
cos e,
(7.2)
y= r
sen e.
(7.3)
y
p
(x, y)
(r, IJ)
y
•
IJ
Figura
7.12
o
x
M
x
7.2
231
RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
Para obtener
r
y e en términos de x y y se deduce de la figura 7.12 que
tan {}=Y.
y
x
Por desgracia, estas ecuaciones no determinan de manera única a r y a e. Se debe, por
tanto, imponer condiciones sobre r y e para realizar el paso de coordenad.
res a polares. En particular, se puede elegir que r sea no negativa. Esto lleva a que
r =
Si se toma tan e
=
Yx2 + y2.
(7.4)
y/x, se obtiene
x
* o.
(7.5)
Como la imagen de tan-I es -n/2 < e < n/2, entonces el valor de e que se obtiene de
la ecuación 7.5, junto con la ecuación 7.4, no representará ningún punto a la izquierda
del eje y. Por ejemplo, si x -1, y = 1, se tendría r = .JL y e = tan-I(-J) = -n/4, lo cual
representa un punto en el cuarto cuadrante. Existen varias formas para salir de este em­
brollo. Una consiste en permitir que r tome valores negativos, manteniendo la validez de
la ecuación 7.5. Otra es retener la ecuación 7.4 y en lugar de la ecuación 7.5 utilizar
=
{}=
si x > O
si x < O
(7.6)
La mayoría de las calculadoras con capacidad de gratificación transforman las coor­
denadas rectangulares en polares. Mantienen r > O Y utilizan la fórmula
si (x, y) está en los cuadrantes 1, IV
{}= ;+tan-¡Y
x
si (x, y) está en el cuadrantes II
(7.7)
si (x, y) está en el cuadrantes III
Finalmente, tanto a r como a e se pueden mantener como positivos si se usa la
ecuación 7.4 y se toma
si (x, y) está en el cuadrante 1
{}=
si (x, y) está en Jos cuadrantes II o III
(7.8)
si (x, y) está en el cuadrante IV.
Naturalmente, en todas estas expresiones resulta que si x = O entonces tan-I y/x está
indefinido. Así que se toma r = lYl y e = n/2 si y> O, Y si y < O, se toma e = -n/2 o
e=
3n/2.
CAPíTULO 7
232
COORDENADAS POLARES
Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas rectangulares del punto definido por las coorde­
. nadas polares (6, 2m3).
Si se usan las ecuaciones (7.2) y (7.3), se tiene (Fig. 7. J 3)
Solución
21T
= -3 '
X = r cos (} = 6 cos
3
21T
y = r sen (} = 6 sen
3
Las coordenadas que se buscan son (-3, 3 -J3).
=
3 v¡;:;
3.
•
•
y
y
x
Agura 7.13
x
O
Ejemplo 2 Exprese las coordenadas rectangulares (-2, -2) en términos de coordena­
das polares.
Las ecuaciones (7. 4) y (7.6) dan
Solución
2\12
V
2
y
r=
x2 +
=
y, como x < O,
51T
8 = 1T + tan-¡ I
4'
Por consiguiente, el par de coordenadas (2.J1 , 5ni4) es una representación polar del
punto dado
Ejemplo 3
,solución
.
•
Encuentre la ecuación coordenada polar correspondiente a 2x -3y = 5.
Sustituyendo x y y se tiene
2(r cos 8) - 3(r sen e) = 5
o
r(2 cos
Ej-emplo 4
(}
-
3 sen e) = 5.
•
Transfonne la ecuación r = 4 sen f) a coordenadas rectangulares.
Solución Como
dada y se obtiene
r =
..jX2
+ y2 Y sen e = y/r
=
y
..JX2 + y
2
se sustituye en la ecuación
7.2
233
RELACIONES ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
o
X2 + y2 = 4y.
La ecuación que se busca, así como la ecuación original, representa una circun­
ferencia. •
Ejemplo 5
Transforme la ecuación coordenada polar
r=
1
--�
cos (J + 3 sen (J
__
�
--�
a la ecuación coordenada rectangular correspondiente.
Solución
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por cos e + 3 sen e y se obtiene
r(cos (J + 3 sen (J)
o
r
cos (J + 3r sen (J
1
=
=
l.
De las ecuaciones 7.2 y 7.3 se obtiene la ecuacion lineal
x
+ 3y
l.
=
La ecuación final indica que la gráfica de la ecuación dada es una recta.
•
Recuerde que un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b
son números reales e P = - 1 El punto (a, b) en el plano se puede asociar con el
número complejo a + bi, Y así obtener una correspondencia uno a uno entre el conjunto
de los puntos en el plano y el conjunto de todos los números complejos. En este caso el
eje x se llama "eje real" y el eje y se llama "eje imaginario". Al escribir las coordenadas
de los puntos en su forma polar se lleva a cabo una aplicación interesante de las ecuaciones
7.2 y 7.3, ya que el número complejo x + iy se puede escribir en forma polar como
.
x
+ iy = r (cos e + i sen fJ)
donde r > O Y O < e < 211:.
Ejemplo 6
Escriba I + i, I - i Y -1 - i en forma polar
Solución Note que en cada caso r = .JL., y que fas ángulos vectoriales son 11:/4,
711:/4, Y 511:/4, respectivamente. Con ello se obtiene
1T
l+i=Y2 cos "4
1-i=Y2 cos
+
71T
.
1
4 +
1T
sen 4 '
.
I
71T
sen
'
4
CAPITULO 7 COORDENADAS POLARES
234
,
y
-1
-
i
v'2
=
COS
57T
.
4 + 1
57T
sen 4
•
•
El siguiente teorema, conocido como teorema de De Moivre, muestra la facilidad
con que se pueden multiplicar números complejos expresados en su forma polar.
Teorema 7.1
(Teorema de De Molvrel
Si Z = r (cas e+ i sen e) y OJ = 7r (cos ifi +
.
un numero entero POSItiVO, entonces
1
sen ifi) son números complejos y si n es
.
,
ZOJ =
zn
y
rp (cos (e+ ifi) +
= r"
(cos (ne
+.
i
sen (e + ifi»,
(7.9)
¡sen (ne»
(7.10)
Demostración La demostración de la ecuación (7.9) es una aplicación sencilla de la ma­
nera como se multiplican los números complejos (véase el Apéndice) y de las fórmulas
trigonométricas para sen (A + E) Y cos (A + E). Se deja como ejercicio demostrarlo.
Para demostrar la validez de la ecuación (7.10) se usa la ecuación (7.9), con
y se obtiene
Z2
=
=
Entonces
z3 =
z
= (¡)
r2(cos(1J + IJ) + isen(1J + IJ»,
r2(cos 21J + i sen 21J).
Z . z2 = r3(cos 31J + i sen 31J),
y, en general,
z" = z
=
.
z"-1
=
rr"-I (cos(1J + (n
-
I)IJ) + isen(1J + (n
r"(cos nlJ + i sen nlJ).
-
1)1J»
El teorema de De Moivre se puede utilizar para calcular las enésimas raíces de un
número complejo r ( cos e + i sen e ). Están dadas por
r
l/
n
cos
(] + 2k7T
n
+
.
1
sen
(] + 2k7T
n
,
(7.11)
donde rJln es la enésima raíz positiva del número positivo r y donde k toma Jos valores
0, 1, 2,
n-l. Resulta fácil ver que estos n números son distintos. Usando el teorema
de De Moivre y el hecho de que tanto el seno como el coseno tienen periodo 2n, se
encuentra que
oO.,
NOTA HISTÓRICA
Siendo un hombre joven, el francés Abrabam de Moivre (1667-1754) se mudó a Inglate­
rra, donde llegó a conocer a Isaac Newton y a Edmund Halley (quien diera su nombre al
famoso cometa). De Moivre hizo varias contribuciones importantes a la entonces joven
teoría de la probabilidad y a la ciencia actuarial, la matemática de la industria de seguros.
235
EJERCICIOS
rlln
=
=
Ejemplo 7
COS
8 + 2k7r
-
n
. sen
+
I
8 + 2k7r
n
n
---
r(cos(8 + 2k7r) + isen(8 + 2k7r»
r(cos 8 + i sen 8 ).
Calcule (1 + i)8
Solución
COS
=
=
=
, C.
(v
2)8
1r 8
1r
+ i sen
¡
4
COS
81r
4
+
.
1
81r
sen
4
24(cos 21r + i sen 21r)
16. •
Ejemplo 8 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27i, y muestre sus gráficas, en forma
polar, en el plano complejo.
Solución Se puede observar que 2 7 i = 2 7 (cos n/2 + i sen rt/2), de manera que, usando
la ecuación 7.11 con r = 27, e = n/2 , y n = 3, se obtiene
1r
271/3 cos
'2
+ 2k1r
3
1r
+ i sen
'2
+ 2k1r
3
,
donde k = 0, 1, 2. Sustituyendo estos valores para k se encuentra que las raíces son
3
COS
1r
'6
+
.
1
1r
sen '6 '
3
COS
5 1r
6 + I sen
'
6
5 1r
.
3 1r
3 1r .
Y 3 cos
+ 1 sen
.
2
2
Las tres raíces cúbicas de 27i están igualmente espaciadas sobre una circunferencia de
radio 3 con centro en el origen (véase la Fig. 7.1 4 ). •
•
Imaginario
o
Real
Figura 7.14
Ejercicios
1. En la transformación de coordenadas rectangulares a polares, si se usan:
< e ::;
a ) Las ecuaciones ( 7. 4 ) y ( 7.6), entonces r > ° y
___
o
CAPíTULO 7
236
b) Las ecuaciones (7.4) Y (7.7), entonces r > O Y
___
c) Las ecuaciones (7.4) Y (7.8), entonces r > O Y
2.
COORD ENADAS POLARES
< e<
< e<
___
o
___ o
Usando la ecuación (7.5) y tomando una r negativa, convierta (-1, 1) Y (-1, -1) de
coordenadas rectangulares a polares. Dé una fórmula que reemplace a la ecuación
(7.4) si desea mantener la validez de la ecuación (7.5).
3. Muestre que los puntos que se encuentran sobre el eje
x
tienen las mismas coorde­
nadas en el sistema de coordenadas polares y en el de coordenadas rectangulares.
4.
Deduzca la ecuación (7.9) que aparece en el teorema de De Moivre.
Encuentre las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos dados en coordena­
das polares.
5. (0, 1T)
8.
4
,
6.
51T
9.
6
12.
11.
-3
31T
, 2
3Y2, _
4
7.
31T
-2
1T
3
-­
,
10. (6, 1T)
4
31T
13.
, 4
5
,
51T
4
Encuentre coordenadas polares no negativas de los siguientes puntos expresados en
coordenadas rectangulares.
16. (O, O)
15. (4 O)
14. (O, 4)
,
l7. (-2,
18.
O)
(O,
-5)
19.
(v2, v2)
20. (2v3, -2)
21. (-4v3,4)
22.
(-v2, -v2)
23. (-4, -4)
24. (v3, -1)
25.
(v2,
26. (-4, 3)
27. (5,12)
28. (-5,-12)
-1)
Transforme las siguientes ecuaciones en las ecuaciones correspondientes en
das polares.
29. x
=
-3
32. 3x - y =
35. X2 + y2
O
=
38. x2 - 2y2
9
=
4
30. Y = 4
31. 2x + y
33. y2 = 9x
34. x2
36. x2 - y2
39.
= a2
X2 + y2 = '2x
=
coordena­
3
= 4y
37. x2 - 9y
= O
40. x2 + y2
=
2y
Transforme las siguientes ecuaciones en las correspondientes ecuaciones coordenadas rec­
tangulares.
41. r = 3
42. e =
1T
4
43.
44. reos e = 4
45.
r sen e = 4
46.
r = 6 cos e
47.
48.
r2sen 2e = a2
49.
r2cos 2e = a2
r = 8 sen e
7.3
GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
50
53
.
.
56 .
r=
2
--- --=
6
c
-'-1
r = -,----
3
r=
sen
3
51.
---::
-.,-----.,.
6 + 4 cos 6
-
-
r==
54. r =
237
2
2
-
+
52. r ==
cos 6
--
-
4
sen 6 - 2 cos 6
------
55.
r==
3
1 - 2 cos 6
1
cos
--
8 + 3 sen 6
--
2
----:c----::
l + 2 sen 6
-
Escriba los siguientes números complejos en forma polar:
57. 4i
58. 4
59. -2 + 2i
60. Y2 + Y2i
61. 5 + 12i
62
-
.
2 + i
Encuentre las potencias indicadas:
64. (-2 + 2i)4
63. (4i)9
65.
(Y2
66. (-2 + i)6
+ Y2i)5
Encuentre las potencias indicadas y grafique en el plano complejo:
67.
Las raíces cúbicas de
68.
8i
Las raíces cuartas de ..)2
+
..)2
i
70. Las raíces quintas de l
69. Las raíces cuartas de i
•
7.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
En esta sección se considerará el problema de localizar las gráficas de ecuaciones r =
f( e) expresadas en coordenadas polares.
incluye los números reales de
Se supone queles alguna función cuyo dominio
O a 21C. La definición de una gráfica en coordenadas pola­
res es muy parecida a la definición de una gráfica en coordenadas rectangulares.
238
CAPíTULO 7
COORD ENADAS POLARES
Las gráficas de las ecuaciones que se determinan con más facilidad son aquellas en
n/8
las cuales cada coordenada es igual a una constante. Por ejemplo, la gráfica de e
es la recta que pasa por el origen y forma un ángulo de n/8 con el eje polar. Si se usa
n/8 como la coordenada e de todos los puntos de la recta, las correspondientes coorde­
nadas r serán positivas sobre el lado terminal de n/8 y negativas sobre la extensión del
lado terminal al otro lado del origen. Esto lo ilustran los puntos (4, n/8) y (-4, n/8). De
manera análoga, la gráfica de r = a, donde a es cualquier número real distinto de cero, es
una circunferencia con centro en el origen y radio lal.
=
Ejemplo 1
Construya la gráfica de r = 3 + sen e.
Solución Se asignan ciertos valores a e, de 0° a 2n, y se prepara una tabla de valores
correspondientes de e y r (véase la Tabla 7.1). .Los valores fraccionarios de r se redondean hasta un decimal. Localizando estos puntos y dibujando una curva que pase por
ellos, se obtiene la gráfica de la figura 7.15. •
.
Tabla 7.1
3
1T/6
3.5
1T/4
3.7
'Tr/3
3.9
1T/2
4
21T/3
3.9
51T/6
3.5
1T
3
71T/6
2.5
51T/4
2.3
41T/3
2. I
31T/2
2
51T/3
2. I
71T/4
2.3
111T/6
2.5
21T
3
o
O
r
O
r
"
2
"
J
"
6
..".
A
I 1"
(,
5"
J
Figura 7.15
•
J"
2
7.3
239
GRAFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
Dibuje la gráfica de r = 4 cos e.
Ejemplo 2
Solución
Primero se prepara una tabla de valores correspondientes de r y e.
()
O
1T/6
1T/4
1T/3
51T/12
1T/2
21T/3
31T/ 4
51T/6
r
4
3. 5
2.
2.0
1.0
O
-2.0
-2. 8
-3.
1T
-4
Esta tabla da lugar a la gráfica que aparece en la figura 7.16. La tabla no se extenderá para
incluir los valores de e en el intervalo que va de n a 2n, ya que los valores de e en este
intervalo sólo repetirían la gráfica ya obtenida.
sobre la gráfica, pero este punto también está definido por las coordenadas (3.5, n/6).
La gráfica semeja ser una circunferencia.
ecuación a coordenadas rectangulares.
( x - 2)2 + y2 = 4. •
2"
)
"
2
"
6
A
¡¡
7"
(,
Figura 7.16
Ejemplo 3
I 1"
6
5"
)
)"
2
Dibuje la gráfica de la ecuación
r =
1
----
1 + sen ()'
Solución La tabla de los valores correspondientes de r y e nos permite dibujar la
curva en la figura 7.17.
240
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
()
o
1T/2
1T
71T/6
51T/4
71T/4
ll1T/6
r
1
0.50
1
2
3.41
3.41
2
•
n
2
�
n
"
-
A
I--I--+--+-+--
7"
6
Figura
6
I
1"
6
4"
3
7.17
EjercIcios
Dibuje las gráficas de las siguientes ecuaciones. En las ecuaciones que incluyan sen e y
cos e será suficiente localizar puntos en intervalos de n/6.
1.
r= 4
4.
() =
7.
r=
_ 21T
3
2 + sen ()
5.
()=o
6.
8. r =
4 + sen ()
4 - cos ()
r=
-3 cos ()
14.
r= 2 sen ()
13.
r=
19. r=
-4
11.
r= 4
r=
r=
- sen ()
10.
16.
2.
21T
3 . () =
3
1
17.
2 + sen ()
3
20.
3 + cos ()
4
22. r=
3 + 2 sen
(J
r=
r=
23. r=
1
2
-
sen ()
3
3
-
cos ()
-2
3 +
2 cos (J
r= 2
9. r= 4
-
cos ()
+ cos ()
3 cos
12.
r=
15.
-2 sen ()
2
r=
2 - sen ()
18.
21.
24.
()
r=
r=
r=
4
2 + sen ()
-3
4
-
3 sen (J
7.4
241
AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES
7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES
EN COORDENADAS POLARES
.. -
.
�,
- =
Un examen cuidadoso de una ecuación en coordenadas polares con frecuencia reve lará
a t a jos para la construcción de su gráfica. Es mejor, para economizar tiempo, extraer toda
la información útil de una ecuaci6n y mantener en un mínimo la localización de punto
por punto, para esbozar una gráfica. Se analizarán e ilustrarán algunos recursos sencillos
que faciliten el trazado de curvas polares.
Variación de
r con
8
..
--
"
.
'O
Muchas ecuaciones son suficientemente sencillas p ara que sea evidente la manera en que
r varía conforme 8 crece.
gráfica.
al observar la ecuación e incrementar e a través de todos los valores necesarios. Se pue­
de hacer un esbozo aproximado con unos cuantos trazos. Se ilustrará con Un ejemplo.
Ejemplo 1
Esboce la grafica de la ecuación
r =-
3(1 +sen 8).
Solución Si 8 comienza en O y se incrementa en pasos de ft/2 hasta 2.1t, es fácil ver
cómo varía r en cada intervalo (vease la Tabla 7.2). Esta variación Se representa en el
diagrama. La gráfica (Fig. 7.18) es una clirVa con aspecto de corazól1.lIamada
cardioide. •
Tabla 7.2
Conforme 8 crece de
Sen 8 varía de
Oan/2
n/2 a n
na 3n/ 2
3n/ 2a 2n
Oa l
1 aO
Oa-l
�l aO
r
varía de
Ja6
3a O
6a3
O a3
242
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
"
2
2rr
]
¡¡;
3
.././
"
6
...._
5"
6 �.
,
¡f
rr
7"
6
I 1"
6
3{ I
)"
4"
3
Figura 7.18
,
.,
Rectas tangentes en el origen
Si
r
se encoge hasta cero conforme e se aproxima y toma un valor fijo
recta e
=
B¡¡
�J'
entonces la
es tangente a la curva en el origen. Intuitivamente, esta afirmación parece
correcta: puede probarse. En la ecuación del ejemplo 1,
disminuye hasta cero conforme e crece hasta
3n/2.
r =
3( I +
sen
e),
el valor de
r
Por tanto, la curva es tangente a la
recta vertical en el origen (Fig. 7.18).
Para encontrar las tangentes a una curva en el origen, sea
r =
O
en la ecuación y despeje
e para encontrar sus valores correspondientes.
Simetría
En la sección
3.2
se analizó la simetría de las curvas y se formularon criterios aplicables
en un sistema de coordenadas rectangulares. Los siguientes criterios para simetría en un
sistema de coordenadas polares se pueden deducir observando la figura 7.19.
l.
La gráfica es simétrica con respecto al polo si la ecuación no se altera cuando
al
r se
reemplaza con
b) e se reemplaza
con
-
1;
o
n+B.
7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES
243
2. La gráfica es simétrica con respecto al eje polar si la ecuación no se altera
cuando
a ) 8 se reemplaza con -8, o
b) 8 se reemplaza con n -8 y r se reemplaza con
3.
- r.
La gráfica es simétrica con respecto a la recta vertical 8
no se altera cuando
=
n/2 si la ecuación
a) 8 se reemplaza con n- 8, o
b ) 8 se reemplaza con - 8 Y
r
con
-
r.
(r, 8)
(-r.-8)
(r, 7/'- 8)
A
FIgura 7.19
(r, - e)
(-r, 7/'- e)
(- r, 8)
(r, 7/'+ e)
Estos criterios serán útiles. Cada simetría particular ocurre si se cumple alguna de
las partes (a) o (h) del criterio. Si ninguna de las partes (a) y (h) se satisfacen, entonces
la curva no tiene la simetría en cuestión. Cuando una gráfica tiene cualesquiera dos de
los tres tipos de simetría, necesariamente tiene el tercer tipo de simetría. Esta afirmación
deberá verificarse examinando la figura 7.19.
Las siguientes identidades trigonométricas pueden ser útiles para usar los criterios
de simetría de gráficas.
sen (- O)
=
- sen O,
cos( -8)
=
cos O,
sen (17' - 8)
=
sen 8,
cos( 17' - 8)
=
-cos 8,
sen (17' + O)
=
-sen8,
cos( 17' + 8)
=
-cos 8.
Las siguientes identidades se necesitarán
más adelante en , este capítulo:
,
sen20 + cos20
sen 28
=
cos 28
=
=
1,
2 sen O cos O,
cos20 -sen 28.
CAPíTULO 7
244
COORD ENADAS POLARES
Valores excluidos
Con frecuencia se encontrarán ecuaciones en las cuales se han excluido ciertos valores
de las variables. Por ejemplo, ¡2 = a2 sen 8 coloca restricciones tanto en r como en 8. Los
valores de r pueden estar entre -a y a, y 8 no puede tomar un valor que haga a sen 8
negativo, ya que r sería imaginario. En particular, están excluidos los ángulos entre re y
2re. Sin embargo, la gráfica se extiende en el tercer y cuarto cuadrantes para otros valo­
res de 8, pues la ecuación satisface la prueba de simetría con respecto al origen.
Intersecciones
•
Los puntos en los cuales la curva toca o corta las rectas horizontal y vertical que pasan
por el polo se llaman puntos de intersección ; algunas veces son útiles para dibujar la
gráfica de una ecuación polar. Los puntos de intersección se pueden encontrar usan­
do los valores de 0, rc/2, re, 3re/2, o ángulos coterminales, para 8, y encontrando los va­
lores correspondientes de r. De esta manera se puede encontrar, por ejemplo, que los
puntos de intersección para r = 3 + sen 8 son (3, O), (4, re/2), (3, re) y (2, 3re/2). Los
puntos de intersección de r = 28 son un número ilimitado. Se presentan en 8 = nre y 8
(n + Ih)re, con n E Z.
Sin embargo, se hace hincapié en que una curva puede pasar por el origen formando
otros ángulos además de los que constituyen los cuadrantes. El criterio para esta situa­
ción, como ya se afirmó, es encontrar los valores de 8 cuando r = O.
=
Tipos particulares de ecuaciones
Hay varios tipos de ecuaciones en coordenadas polares a cuyas gráficas se les han dado
nombres especiales. Se considerarán algunas de estas ecuaciones.
Las gráficas de ecuaciones de las formas
r = a
sen nO
y
r = a
cos nO,
donde n es un entero positivo mayor que 1, se llaman curvas de trébol. La gráfica de
una curva de trébol está formada por lazos cerrados igualmente espaciados que parten
del origen. El número de lazos, hojas o pétalos depende del entero n. Si n es impar, hay
n hojas; si es par, hay 2n hojas.
Ejemplo 2
,
Construya la gráfica de r = sen 28.
Solución Se aplican primero los tres criterios para simetría, Si se reemplaza
la ecuación
r = sen 28
se convierte en
r = sen 28,
-
Esto no establece simetría con respecto al polo, pero al sustituir re + 8 por 8 da
r
por
-
r,
7.4 AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES
245
r=sen 2( n+ 8 )= sen (2n+28)= sen28.
Este resultado muestra que la gráfica es simétrica con respecto al polo.
De la misma manera, se ve que la curva es simétrica con respecto a la recta vertical
8 = n /2 por la parte (b) del criterio, pues al sustituir - r y - 8 por r y 8 se tiene
- r=sen2(- 8)= - sen28,
r=sen28.
Además, hay simetría con respecto al eje polar pues existe simetría con respecto al polo
y con respecto a la recta 8 = n/2. Observe que fallan los criterios (a) para simetría polar
y para simetría con respecto a la recta vertical.
Como se tienen las tres simetrías, sólo se necesita determinar la gráfica en el primer
cuadrante y después usar las simetrías para graficar toda la curva. Para determinar cómo
varía r con 8, se hace la tabla 7.3 para 8, incrementando los pasos en n/4. Además, si r =
O se encuentra que 8 = O, n/2, n y 3n/2. Esto muestra que la gráfica es tangente al eje
polar y a la recta vertical 8 n/2. La gráfica completa, llamada trébol de cuatro hojas
debido a su aspecto, se ve en la figura 7.20. Las flechas numeradas indican cómo se mo­
vería un punto conforme e crece de O a2n. •
=
Tabla 7.3
sen 20, o
20
o
o
1r/2
---+
---+
1r/2
1r
r
O�l
l�O
A
Figura
7.20
Ejemplo 3
Construya la gráfica de la ecuación r=cos 3 e.
Si se reemplaza e por - e, no se altera r; entonces la gráfica es simétrica con
respecto al eje polar.
L a tabla 7.4 indica la manera en que cambia r en cada uno de los pasos. Esta informa­
ción permite dibujar la gráfica en la figura 7.21.
Solución
246
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
Tabla 7.4
8
38
O� 'Tr/6
'Tr/6� 'Tr/3
'Tr/2
'Tr/3
'Tr/2 � h/3
2'Tr/3 � 5'Tr/6
5'Tr/6 � 'Tr
O� 'Tr/2
'Tr/2� 'Tr
'Tr� 3'Tr/2
3'Tr/2 � 2'Tr
2'Tr� 5'Tr/2
5'Tr/2� 3'Tr
�
cos
38.
o r
)� O
O� -)
-) � O
O� I
)� O
O� -)
A
FIgura 7.21
•
La gráfica de una ecuación de la forma
r =
b + a sen e
r = b + a cos e
o
se llama Iima¡;on. El aspecto de la gráfica depende de los valores relativos de a y b. Si
b la Iima¡;:on se llama cardioide por su aspecto de corazón, como se ilustra en la
a
figura 7.18. Si el valor absoluto de b es mayor que el valor absoluto de a, la gráfica es
una curva que rodea el origen (véase la Fig. 7.15). Se introduce una característica intere­
sante en la gráfica, cuando el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b. La
gráfica tiene, entonces, un lazo interno, el cual se ilustra en un ejemplo.
=
Ejemplo 4
Construya la gráfica de la limac;on
r
=
2 + 4 cos e.
Solución La ecuación no se altera cuando e es reemplazada por -e, pues cose-e)
Por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar. Al hacer r = O se tiene
2 + 4
cos
cos
f)
=
f) =
II
u
=
O,
I
2'
--
2'Tr 47T
3' 3'
=
cos e.
7.4
247
AYUDAS PARA GRAFICAR ECUACIONES
Por tanto, las rectas e = 2n y e = 4/3n son tangentes a la gráfica en el origen. Para
obtener mayor ayuda en la construcción de la gráfica, se preparó la tabla 7.5.
Tabla 7.5
()
0-> 11/2
11/2 -> 211/3
211/3 -> 11
cos ()
r
1-> O
0->_12
6-> 2
2-> O
0->-2
-1->-1
2
La gráfica se muestra en la figura 7.22. La mitad inferior del lazo grande y la mitad
superior del lazo pequeño se dibujaron mediante el uso de simetría. •
27t
=
9
3
A
+
Figura 7.22
9
=
47t
3
Las gráficas de las ecuaciones polares
,2
=
a2sen 28
y
son lemniscatas. La segunda se conoce como lemniscata de Bernoulli. En cada una de
estas ecuaciones r varía de -a a a, y se excluyen los valores de e que hacen negativo al
miembro derecho. Los valores excluidos en la primera ecuación son n/2 < e < n y 3n/2<
e < 2n. En la segunda ecuación, los valores excluidos son n/4 < e < 3n/4 y 5n/4 < e <
77d4.
NOTA HISTÓRICA
Los descendientes de NichJlas Bernoulli (1623-1708) fueron una familia extremada­
mente talentosa, creativa y competitiva. Su hijo John (1667-1748) arrojó de su casa a su
propio hijo Daniel (1700-1782) cuando éste ganó un premio de matemáticas para el cual
también John estaba compitiendo. James (1654-1705), hermano de John, es considera­
do el descubridor de las coordenadas polares, lo cual realizó en 1691, en forma inde­
pendiente de Newton. Es de James de quien la lemniscata recibe su nombre.
CAPíTULO 7
248
Ejemplo 5
Dibuje la gráfica de la ecuación?
=
COORDENADAS POLARES
9 cos 2e.
Solución Se observa que la ecuación es simétrica con respecto al polo, al eje polar y a
la recta vertical que pasa por el polo. Conforme e crece de O a n/4, los valores positivos
de r varían de 3 a O y los negativos de 3 a O. Por tanto, este intervalo para e da lugar a
la mitad del lazo en el primer cuadrante y a la mitad del lazo en el tercer cuadrante. Cual­
quiera de estos semilazos, combinado con las simetrías conocidas, es suficiente para com­
pletar la gráfica (Fig. 7.23). La gráfica de ? = 9 sen 2e (Fig. 7.24) es análoga, excepto
por la posición. •
-
n
2
A
1t
,.2
7!t
6
.!Jlr.
6
4"
J
2l!.
J
J"
2
Figura 7.23
Ejercicios
Esboce la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones. Examine primero la ecuación
a fin de encontrar propiedades que sean útiles para trazar la gráfica. Cuando se presente
la constante literal a, asigne un valor positivo conveniente.
1. r = 4(1 +sen 8)
2. r= 3(1
4. r = 3(1 - cos8)
5. r = cos28
6. r =sen 48
8. r =
9.
7. r =
cos 38
a
a
-
sen 8)
sen 38
3. r = 4(1 +cos 8)
r = 2 sen 58
10. r = acos58
11. r=6 - 3 sen 8
12. r=6+3cos8
13. r = 2 + 4 sen 8
14. r = 3 +6cos8
15. r = 16 sen 28
7.5 ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
249
1C
2
1C
3
5"
Ú
A
n
7"
6
4"
3
Figura 7.24
16.
19.
3"
2
r2 = 25 cos
r2 =
5"
3
17. r=4 +
2e
8 cos e
20.
r2 =sen
I
16 cos 2e
2e
22.
r= cos 2. e
23.
r= sen 1.5e
25.
r = cos
1.8e
26.
r= cos
r=
I
2 sen ()
27.
1
-
28.
•
r=
1
+
18.
r= 4
-
I
2
8 sen e
21.
r =sen
24.
r2 = sen ()
e
�e
I
2 cos ()
7.5 ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
Las ecuaciones de rectas y circunferencias se pueden obtener en ecuaciones polares trans­
formando las ecuaciones coordenadas rectangulares de estas curvas. Las ecuaciones po­
lares también se pueden deducir directamente.
recta, y también de una circunferencia, en posiciones generales y en ciertas condiciones
especiales.
250
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
P(r, e)
r
R
w
A
o
Figura 7.25
•
En la figura 7.25 el segmento OR se traza perpendicularmente a la recta L. La longi­
tud de este segmento se representa conp y el ángulo que forma con el eje polar se repre­
senta con
úJ.
Las coordenadas de un punto variable sobre la recta son
(r, e).
A partir del
triángulo rectángulo ORP se obtiene
p
r
=
cos(8 - w)
o
reos (8 - w)
=
p.
(7.12)
Esta ecuación vale para todos los puntos de la recta. Si P se escoge debajo de OA, en­
tonces el ángulo ROP es igual a
(úJ + 2 'Ir
-
e).
Aunque este ángulo no es igual a
(e -úJ),
SI se tIene que
•
•
cos(w + 21T - 8)
=
cos(w - 8)
=
cos(e - w).
De manera similar, la ecuación podría deducirse para la recta L en cualquier otra posi­
ción, sin pasar por el origen.
La ecuación (7.12) se llama forma
(e - úJ)
polar normal de la ecuación de una recta. Si cos
se expande mediante la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos,
la ecuación se vuelve
r (cos
Para
úJ =
e cos
O esta ecuación se vuelve r cos
O) +
sen
e =p,
e sen
0)) = P
(7.13)
y la recta correspondiente es perpendicu­
lar al eje polar, p unidades a la derecha del origen (se supone quep es positivo). Si
la ecuación (7. 13) se vuelve reos
a la izquierda del origen. Si
O) = 'Ir
e=
úJ =p,
p. En este caso, la recta se encuentrap unidades
-
/2, se tiene la ecuación r sen
al eje polar a p unidades arriba del eje. Si
O)
e p, y la recta es paralela
=
= 3'1r/2, la recta se halla p
unidades por deba­
jo del eje. Así, para estos casos particulares se tienen las ecuaciones
r
cos
e= ± P
(7.14)
75
ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
251
y
r sen e= ± P
(7.15)
La gráfica de r cos e = - 4 es la recta perpendicular al eje polar y 4 unidades a la
izquierda del origen. La gráfica de r sen e = -5 es la recta paralela al eje polar y 5
unidades debajo del eje.
La coordenada e es constante para puntos sobre una recta que pasan por el origen.
Por consiguiente, la ecuación de una recta que pasa por el origen con inclinación a es
e=
a.
(7.16)
Una ecuación de la forma Ax + By = e, con c:t o y A Y B no iguales a cero, se
puede usar para representar cualquier recta en el plano coordenado que no pase por el
origen. Al expresarse en forma polar, la ecuación dada puede reducirse a
e
--=-r = --::- --=
A
cos e + B sen e'
Si se asignan valores permisibles a los coeficientes, la gráfica es una recta particular.
Cualquier cambio en los coeficientes produciría otra recta. Por ejemplo, la ecuación
r = ::-
4
--::---,------::
2 cos e - 4 sen e
representa una recta particular. Se pueden determinar coordenadas de puntos sobre la
recta, asignando valores a e y calculando los valores correspondientes para r. Por tanto,
para e= o el valor de r es 2, y para e= n/2 el valor de r es -l . De este modo, los puntos
(2, O) Y (- 1, n/2) se hallan sobre la recta en cuestión, y la recta se puede dibujar.
A continuación se escribe la ecuación de una circunferencia de radio a y centro en
R(rl, el)' Observando la figura 7.26 y aplicando la ley de los cosenos al triángulo ORP, se
obtiene la ecuación de la circunferencia en la forma
(7.17)
Si el centro está en (a, O) entonces rl = a y el = O. Por tanto, la ecuación se reduce a
r =
2a cos e.
(7.18)
Si el centro está en (a, n/2) la ecuación se vuelve
r =
Ejemplo 1
Solución
2a sen e.
(7.19)
Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en (5, n13) y radio 3.
Al sustituir en la ecuación (7.17) se tiene que
252
CAPíTULO 7
P(r, (J)
......
COORDENADAS POLARES
a
R(r,. (J,)
(J,
Figura
7.26
A
o
•
7r
lOr cos
(} - 3
7r
r2 - lOr cos (} --
+
3
16
=
9
=
O.
,
•
Ejercicios
l. A partir de una figura, encuentre la ecuación de una recta perpendicular al eje polar
Ca) cuatro unidades a la derecha del polo, (b) 4 unidades a la izquierda del polo.
Compare sus resultados con la fórmula (7.14).
2. A partir de una figura, encuentre la ecuación de la recta paralela al eje polar
y (a) 4
unidades debajo del eje, (b) 4 unidades arriba del eje. Compare sus resultados con
la fórmula (7.15).
Asigne valores convenientes a e y encuentre las coordenadas de dos puntos sobre la
recta representada por cada uno de los ejercicios 3 a 8. Localice los puntos y dibuje
la recta ..
J. r
=
6. r =
2
4. r =
----=-::----:
cos () + 3 sen (}
-
-
2 cos (}
10
+
(}
5 sen ;
7
.
3
2 cos (} - 2 sen (}
r =
6 sen ()
'.
3
3 cos (}
�
5.
r =
8. r
-8
4 cos (} + 2
-4
=
2 sen (} + 3 cos
Escriba. la ecuación polar de cada recta descrita en los ejercicios 9 a 15.
9'. La recta horizontal que pasa por el punto
(3, "12).
ID:. La recta horizontal que pasa por el punto (
-
3, "12).
11. La recta verticat que pasa por el punto (4, O).
12. La recta vertic.al que pasa por el punto (4, 7r).
(}
(}
7.6
253
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
13. La recta vertical que pasa por el polo.
14. La recta tangente a la circunferencia r = 3 en el punto (3, "13)
15. La recta tangente a la circunferencia r = 4 en el punto (4,5"/4).
Indique las coordenadas polares del centro y el radio de la circunferencia definido por
cada uno de los ejercicios 16 a 2 1.
16.
r =
19.
r =
4 cos
-
(J
2 cos
(J
17.
r =
6 sen (J
18.
r =
-
20.
r =
9 cos
(J
21.
r =
-
8 sen (J
5 sen (J
En cada uno de los ejercicios 22 a 32 encuentre la ecuación polar de la circunferencia.
22. Centro en (4, O) Y radio 4.
23. Centro en (5, O) Y radio 5.
24. Centro en ( 8, "13) Y radio 8.
25. Centro en ( 4, O) Y radio 4.
26. Centro en (5, O) Y radio 4.
27. Centro en (6, "13) Y radio 3.
28. Centro en (5, "/4) Y radio 4.
29. Centro en (3,2"13) radio 2.
30. Centro en ( 8,4"13) Y radio 7.
3 1. Centro en (7, 2"13) Y radio
-
S.
32. Centro en (9, 5"/4) Y radio 8.
33. Deduzca las fórmulas (7.18) y (7.19) directamente de las figuras. Puede usarse
la condición de que c\lalquier ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángu­
lo recto.
Programa Explorer
PowerGrapher
7.6
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
Se usa la propiedad'foco-directriz de las cónicas (Sec. 3.3) para deducir ecuaciones po­
lares de cónicas. Las ecuaciones se pueden obtener en formas simples si un foco está en
el origen y la directriz es paralela o perpendicular al eje polar. En la figura 7.27 la direc­
triz D es perpendicular al eje polar y se encuentra a la izquierda del origen. La excentri­
cidad se indica con e y la longitud de BO con p. Entonces, para cualquier punto P(r, 8)
de la cónica, se tiene, por definición,
lopl
IEPI
=
e.
CAPíTULO 7
254
Sin embargo el numerador IOPI
IEPI
=
Por tanto, r/(p + r cos 8)
=r
y el denominador
IBRI = IBol +
=
COORDENADAS POLARES
10pI
cos e = p + reos e.
e, y despejando r, se obtiene
r
=
ep
ecos rJ"
---.
---'
'----,-
1
(7.20)
.
-
Si un foco está en el polo y la directriz se halla a p unidades a la derecha del polo, la
ecuaclOn es
.
,
r =
ep
'-1 + ecos O'
--
(7.21)
-
D
E 1-------11 pero (})
Figura
7.27
B
o
p
R
A
Si un foco está en el polo y la directriz D es paralela al eje polar y está p unidades
arriba del eje, se tiene entonces (Fig. 7.28)
10pI
IEPI
=
e.
E
P(r, (})
p
Figura
7.28
D
o
R
A
7,6 ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
255
Se observa que IOPI = r y IEPI = p - IPRI = p - r sen e, Por tanto, r/(p - r sen e) = e, y
despejando r, se obtiene
r =
ep
--,
...!:.---'
-,-
1 +
e
(7.22)
sen O'
Si un foco se halla en el polo y la directriz está p unidades debajo del eje polar, la
,
ecuaCIOn es
,
ep
---''-r = - e sen O'
1
(7.23)
Una ecuación en cualquiera de las formas (7.20) a (7.23) representa una parábola si
e = 1 una elipse si e está entre O y 1 Y una hipérbola si e es mayor que 1, En cada caso, la
gráfica puede esbozarse de inmediato, Una vez observado el tipo de cónica a partir del
valor de e, el siguiente paso es encontrar los puntos donde las curvas cortan el eje polar,
la extensión del eje que pasa por ° y de la recta que pasa por el polo y es perpendicular
al eje polar. Estos puntos se lIaman puntos de intersección y pueden obtenerse usan­
do para e los valores de n/2, n y 3nl2, Para una parábola, sólo se pueden usar tres de
estos valores pues uno de ellos haría cero al denominador. Los puntos de intersección
son suficientes para una gráfica aproximada, Para mayor precisión, deben localizarse unos
cuantos puntos adicionales.
Ejemplo 1
Esboce la gráfica de la ecuación
r
Solución
=
8
-=---:--: -:
3 + 3 cos O'
El numerador y el denominador de la fracción se dividen entre 3, y se tiene
---'r = ..,...-- ---,-
8/3
1 + cos
O'
Esta ecuación es de la forma (7,21) con e = l . Por tanto, la gráfica es una parábola con
eje a lo largo de la extensión del eje polar, Al sustituir e sucesivamente por O, n/2 y 3n/
2, se encuentra que los puntos de intersección son
8 31T'
3' 2
8 1T'
3' 2 '
-
,
El primero de estos puntos es el vértice de la parábola y el segundo y tercero son los
extremos del lado recto, Al sustituir e = n/6 y e = 27d3 en la ecuación dada y notar que
la gráfica es simétrica con respecto a sus ejes, se encuentran los puntos adicionales
16 1T'
9 3 '
-
'
16 21T'
3' 3
16 41T'
,
3' 3
,
16 51T'
,
9' 3
CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES
256
Estos puntos, junto con los puntos de intersección, permiten dibujar la gráfica
(Fig. 7.29). •
"
2
2n
J
6
....,
.
5n
6
"
A
1 1"
6
7"
6
Figura
7.29
Ejemplo 2
41t
l
lit
2
Esboce la gráfica de
r =
15
-:
--:
:-:-..
3 - 2 cos (r."
La ecuación toma la forma de la ecuación (7.20) cuando el numerador y el
denominador del miembro derecho se dividen entre tres. Esto produce
Solución
r =
5,---
--=--
1-
2
3
cos (J
En esta forma, se observa que e = 2/3 y, por tanto, la gráfica es una elipse. Al sustituir e
sucesivamente con O, "12, 1(; y 3"12 en la ecuación original, se encuentra que los puntos
de intersección son
(3 , 7T),
(15, O),
5
37T
, 2
.
•
Estos puntos se localizan en la figura 7.30. Los puntos (15, O) y (3, 1(;) son los vértices y
los otros puntos de intersección son los extremos de un lado recto. El centro, a la mitad
entre los vértices, se ubica en (6, O). Entonces, si la distancia del centro a un vértice se
7.6
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
257
denota con a, la distancia del centro a un foco con e y , la distancia del centro a un extre­
mo del eje menor, con b, se tiene
a =
9,
e =
.Ja2 + e2
6, b =
(5, f)
=
I
r=
31 \ÍS
I
I
I
(6, O)
(12, O)
I
I
13\ÍS
I
(5, �)
FIgura
3.f5.
I
I
I
•
1
5
·3-2cos9
O)
A
7.30
Ejemplo 3
Esboce la gráfica de la ecuación
r =
4
2 + 3 sen O'
-----
Al dividir entre 2 el numerador y el denominador de la fracción, se tiene
Solución
r =
2
=--1-=-=- . s
--:-1-+
---=
0
•
Esta ecuación se encuen�ra en la forma (7.22) con e = 1.5, por lo que la gráfica es una
hipérbola. Aunque la gráfica podría esbozarse a partir de las intersecciones, se localiza­
rán unos cuantos puntos adicionales mediante el uso de una tabla de valores.
O
O
r
2
1T/6
1T/2
4
8
7
5
-
-
51T/6
1T
3.6
31T/2
5. 8
8
7
2
5.5
-4
5.5
-
El punto (0.8, "12) es el vértice de la rama inferior de la hipérbola y el punto
( 4, 3"12) es el vértice de la rama superior. El centro de la hipérbola se ubica a la mitad
entre los vértices, en el punto (2.4, "12). El denominador de la fracción dada es igual a
cero cuando sen e = 2/3. Si este ángulo se representa mediante n + eo' entonces, para
todos los valores de e tales que n + eo < e < 2n eo' los valores de r son negativos y
producen los puntos sobre la rama superior. Está claro que la rama superior se pue­
de dibujar notando que la hipérbola es simétrica con respecto a su centro (2.4, "12). La
gráfica se muestra en la figura 7.3 1 . •
-
-
-
258
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
2
1r
2,.
3
,.
3
5/r
•
1r
6
A
) ,.
-
1 1 /r
6
•
Figura
51r
3
3,.
2
7.31
Ejercicios
.-
--
-
- -
Exprese cada una de las siguientes ecuaciones en alguna de las formas (7.20) a (7.23) y
esboce la gráfica de la cónica.
--
0
-
_
1.
4
.
7.
1 0.
r =
r =
6
-:-1-+-s- ----:8
9
2 + 2 cos 8
15
4 sen 8
r =
5
r =
2
1 - 2 cos 8
-
2.
5.
8.
1 1.
r =
r =
r =
r
4
-:-1- -- cos
- --8--:
12
2 + sen 8
16
4 + 3 cos 8
= 3
6
-
4 sen 8
3.
6.
9.
12.
r =
r =
r =
r =
10
3 - 3 sen 8
12
2 - cos 8
4
2 + 3 cos 8
8
3 + 5 cos 8
7.7 INTERSECCIONES DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
259
,
7.7 INTERSECCIONES DE GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Una solución simultánea real de dos ecuaciones en coordenadas rectangulares repre­
senta un punto de intersección de sus gráficas. Recíprocamente, las coordenadas de un
punto de intersección producen una solución simultánea. Sin embargo, en coordena­
das polares no siempre vale esta afirmación recíproca. Esta diferencia en los dos sistemas
es consecuencia del hecho de que un punto tenga más de un par de coordenadas polares.
Como ilustración, se consideran las ecuaciones r = -2, r = l + sen e y los dos pares de
coordenadas (2, "h),(-2, 3"12). La ecuación r = -2 es satisfecha con el segundo par
de coordenadas, pero no por el primero. La ecuación r = l + sen e se satisface por el pri­
mer par de coordenadas, pero no por el segundo. Sin embargo, los dos pares de coordena­
das determinan el mismo punto. Aunque las dos curvas pasen por este punto, ningún par
de coordenadas del punto satisface ambas ecuaciones. El proceso usual que consiste en
resolver simultáneamente dos ecuaciones, no produce un punto de intersección de este
tipo. Por supuesto, las gráficas de las ecuaciones muestran todas las intersecciones.
Ejemplo 1
Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de
r= 6
Solución
y
sen e
r= 6
cos e.
Igualando los miembros derechos de las ecuaciones, se obtiene
6
sen 8
=
tan 8
=
8
6 cos 8,
1,
7T 57T
=
r =
4' 4'
3v2, - 3v2.
(6, �)
r = 6 sen 8
r=6cos8
o
Figura
7.32
(6, O)
A
CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES
260
Las coordenadas (3 -J'I, 1C/4) Y (-3 -J'I, 5 1C/4) definen el mismo punto. En la figura 7.32
se muestra este punto, además de las dos curvas que pasan por el origen. Las coor­
denadas (O, O) satisfacen la primera ecuación y (O, 1Ch) satisfacen la segunda ecua­
ción. Sin embargo, el origen no tiene ningún par de coordenadas que satisfagan ambas
.
ecuaciones. •
Ejemplo 2
Resuelva simultáneamente y dibuje las gráficas de
y
r = 4 sen 8
SolUción
r = 4 cos 28.
Al eliminar r y usar la identidad trigonométrica cos 28
4 sen (J = 4(1
2 sen2(J + sen (J - 1 = 0,
(2 sen (J - l)(sen(J + 1) = 0,
sen (J
=
1
'
2
-
=
1
- 2 sen28, se obtiene
2 sen2(J),
-1,
1T 51T 31T
(J =
6' 6' 2'
r = 2, 2, - 4.
Las soluciones son (2, "/6), (2, 5"/6) Y (- 4, 31Ch). La figura 7.33 muestra que las curvas
también se cruzan en el origen, pero el origen no tiene ningún par de coordenadas que
satisfagan ambas ecuaciones. •
(-4, 3rl
...-+"'"
r = 4 sen 6
( 2. :l
A
r=4cos 26
Figura
7.33
Ejemplo 3
Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones
7.7
INTERSECCIONES DE GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES
r
Solución
r=
y
cos e= 2
261
2 + 4 cos e.
Eliminando r entre las ecuaciones y simplificando el resultado, se obtiene
2 cos28+ cos 8-1
=
O o (2 cos e
-
l)(cos 8+ 1)
=
O.
Se observa, a partir de la última ecuación, que e = "13, e = 5rr13 y 8 = n son soluciones.
Los valores correspondientes de r son, respectivamente, r = 4, r = 4, r = 2. Puede veri­
ficarse que las coordenadas de los puntos (4, rrl3), (4, 5"13) Y ( 2 n) satisfacen ambas
ecuaciones dadas. Las gráficas se muestran en la figura 7 .34. •
-
-
,
Ir
2
rr
2rr
3
3
A
rr
e
7n
6
Iln
6
reos
4lt
J
Figura
7.34
Ejemplo 4
=
2
SJr
3
llr
2
Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones
1
-::
r = -:----
1 + sen 8
y
r
sen 8
=
-l.
Al eliminar r de entre las ecuaciones y al simplificar el resultado, se obtiene
sen 8 = Ijz Y 8 = 7"/6 Y 11"/6. Cada uno de estos valores de 8 produce r = 2. Por consi­
guiente, los puntos de intersección de las dos gráficas están en (2, 7rrl6) y (2, 11"/6);
(véase la Fig. 7.35). •
Solución
-
262
CAPíTULO 7
COORDENADAS POLARES
"
6
7t
A
r
1 l¡r
6
7"
6
Figura
7.35
Ejemplo 5
Resuelva simultáneamente y esboce las gráficas de las ecuaciones
r = 4 cos e y r cos e = l.
Solución Al eliminar r entre las ecuaciones y al simplificar el resultado, se encuentra
c os e
±Ih y e = ,,/3 Y 5"13. Cada uno de estos valores de e produce r = 2. Por tanto, los
puntos de intersección de las dos gráficas están en (2, "/3) Y (2, 5"/3). Las gráficas se
encuentran en la figura 7.36. •
=
2rr
3
7t
A
7"
6
Figura
7.36
4",
3
3"
2
263
EJERCICIOS DE REPASO
Ejercicios
En cada uno de los siguientes ejércicios resuelva simultáneamente el par de ecuaciones.
Esboce sus gráficas en los mismos ejes coordenados. En ocasiones se presentan
soluciones extrañas durante el proceso de resolución, de modo que se sugiere verificar
todas las respuestas.
3. r=4 cos B
2. r=cos 2B
1. r=2 sen B
r=4 sen 2B
r = 1
r=1
4. r + 6 sen B=O
r + 6 cos B = O
5. r=6 sen B
r sen B=3
6. r=a(l + cosB)
r = 2a cos B
7. r sen B=1
r=4 sen B
8. r2 = 4 sen 2B
r=2
9. r=1 + cos B
r=1 + sen B
10. r=
1 + sen B
3r sen B=2
3
11. r=
4 - 3 sen B
r= 3 sen B
12. r=sen B
r=1 - cos B
13. r2 =a2cos 2B
r=aV2 sen B
14. r = 4 cos B
r=4 sen 2B
15. r = cos22B
r=sen 22B
16. r=2 sen B
2
r=1
17. r=a(l + sen B)
r=a(l - sen B)
18. r=1
sen B
r=cos 2B
19. r = 4 - cos B
reos B=3
20. r=2 sen B + 1
r sen B=1
21. r= 4 cos 2B
r=4 sen 2B
22. r=4 cos B
r= 2
23. r= 3 sen B
r= 3 cos B
24. r= sen B
r2=sen 2B
25. r2 = a2cos 2(}
r = aV2 cos (}
26. r=2 cos (}
r2 =4 cos B
27. r= - cos B
r=2 - 3 cos B
28. r= -3 cos ()
r= -4 sen ()
29. r=1 + cos (}
r= 3 cos (}
30. r=2 cos B + I
r=2 sen (}
2
1
-
31. r = 2 sen B
r2=4 sen (}
EJERCICIOS DE REPASO
l.
Escriba otros tres pares de coordenadas polares
vectoriales de modo que no excedan a 2n en valor
para e l punto (5, n/12). Restrinja los ángulos
absoluto.
264
2.
CAPíTULO 7 COORDENADAS POLARES
Escriba otros tres p ares de coordenadas para el
punto (3, 4h ,,) Restrinja los ángulos vectoriales
�
8.
Encuentre las coordenadas rectangulares para los
puntos cuyas coordenadas polares son (4,
(3, 5"/4).
4.
"13)
y
(..ti , �..ti) Y (-4,
en (6, 1C /6) y radio 4.
9.
Esboce la gráfica de la cónica definida por
r =
S)
.
Transforme la ecuación 3x � 2y
=
4 en la corres­
Esboce la gráfica de la ecuación
r =
r =
3 sen e.
�
2y2
=
2 en coordenadas p olares y
Escriba el número complejo
forma polar. Calcule
dradas de
z.
Z6
z =
e)
y
r
=
3(1 � sen e).
teorema de De Moivre, pág. 234
gráfica en coordenadas polares , pág. 237
cirterio para simetría en coordenadas
polares, pág. 242
..ti
�
..ti i en su
y encuentre las raíces cua­
r
2 cos 3 e y
r =
4.
Grafique
5.
Encuentre las intersecciones, si las hay, de las
=
3 cos 2e.
curvas
grafique la ecuación polar.
3.
3 (1 + sen
•
3"/4) a coordenadas rectangulares.
X2
O.
12. Encuentre (1 � i)7 Y las raíces cúbicas de 1 � i.
Transforme (�3, �I) a coordenadas polares y (3,
Reescriba
=
11. Resuelva simultáneamente y dibuje las gráficas de
eje polar, pág. 225
radio vector, pág. 225
ángulo vectorial, pág. 225
transformación de coordenadas
rectangulares en polares, pág. 231
transformación de coordenadas
polares en rectangulares, pág. 230
2.
7--1 + c
0° < e < 21C de la ecuación 2 sen2e + sen e � 1
�
Términos clave
l.
4
10. Encuentre el conjunto solución en el intervalo
pondiente ecuación en coordenadas polares.
6.
Encuentre la ecuación polar del círculo con centro
Encuentre coordenadas p olares no negativas
,para los puntos de coordenadas rectangulares
5.
Escriba la ecuación p olar de la recta horizontal que
pasa por el punto (3, "13).
.
8 de modo que �21C < e < 21C.
3.
7.
r =
cos e
y
r =
I + sen 8.
Capítulo
•
•
•
•
Ecuaciones
ramétricas
En capítulos anteriores se vio cómo graficar en el plano usando dos variables, x y y o r
y e, cuando se da una relación entre las variables, por ejemplo r=f (e), para alguna
función f En este capítulo analizaremos la situación en la cual cada una de las variables
x y y es especificada en términos de una tercera variable, el parámetro. Hacemos esta
situación más precisa en la siguiente definición. Para facilitar dicha definición, conside­
ramos a T como cualquier conjunto de números reales o como algún intervalo, por ejem­
plo de todos los números reales t con a < t < b.
.
Por ejemplo, las ecuaciones
x=1+2
y
y=3/-1,
son ecuaciones paramétricas, y 1 es el parámetro. Las ecuaciones definen una gráfica. Si
a t se le asigna un valor, quedan determinados los valores correspondientes parax y y. El
par de valores para x y y constituyen las cooordenadas de un punto de la gráfica. La
gráfica completa está formada por el conjunto de todos los puntos determinados de esta
manera, conforme 1 varía en todos sus valores escogidos. Se puede eliminar 1 entre las
ecuaciones y obtener una ecuación en x y y. De esta manera, al despejar t en cualquier
ecuación y sustituir en la otra, se obtiene
3x - y=7.
La gráfica de esta ecuación, que también es la gráfica de las ecuaciones paramétricas, es
una recta.
Con frecuencia se puede eliminar el parámetro, como se ilustró, para obtener una
ecuación en x y y. En ocasiones, sin embargo, el proceso no es fácil (e incluso no es
posible) pues el parámetro se presenta de manera complicada. Las ecuaciones
x= 15 + senh
ilustran esta afirmación .
1
y
Y= 13
+
arc tan t
CAPITULO 8 ECUACIONES PARAMETRICAS
266
,
,
'
Cabe preguntarse qué se gana con una representación paramétrica de esta naturale­
za. Existe una diferencia entre la recta 3x - y = 7 Y las ecuaciones paramétricas de esa
recta y consiste en que el párametro 1 bien podría considerarse una variable temporal. En
tal caso las ecuaciones paramétricas especifican en qué momento fue visitado el punto
(x, y). En el ejemplo anterior, cuando t = O estamos en el punto (2, 1 ) Y cuando t = 5
estamos en el punto (7,14). Por ello cabe asociar con las ecuaciones paramétricas una
noción de movimiento a lo largo de la curva, lo cual contrasta con el carácter estático de
la gráfica de la ecuación 3x -y = 7.
Esto resulta especialmente sorprendente cuando se grafica en forma paramétrica una
curva usando un computador o una calculadora con graficador. Al recurrir a la paquete­
ría de graficación se debe especificar el intervalo T de valores de la variable t, así como
el tamaño de los incrementos de 1 en el intervalo. El cursor traza la curva conforme 1 se
mueve a lo largo de T. i La sensación de movimiento es muy gráfica! Lograr algo pareci­
do en un texto sólo se puede hacer etiquetando los valores del parámetro junto al punto
apropiado sobre la gráfica, como se hace en las figuras 8.4 y 8.5.
Algunas veces es útil, para resolver un problema, cambiar una ecuación en x y ya la
forma paramétrica. Este proceso se ilustra con la ecuación
-
X2
+
,
2x + y= 4,
la cual define una parábola. Si se sustituye 2t por x y se despejay; se obtiene y 4
4t2. Por tanto, las ecuaciones paramétricas
=
x = 21
Y
-
41
-
y = 4 - 41 - 4t2
también representan la parábola. Es evidente que se pudieron haber obtenido otras repre­
sentaciones al igualar x a otras expresiones en l. De nuevo, este procedimiento no es con­
veniente o quizá sea imposible en ecuaciones que contienen ambas variables de manera
complicada.
La representación de ecuaciones mediante ecuaciones paramétricas se usa con fre­
cuencia en situaciones matemáticas. Note, sin embargo, que no hay un procedimiento
general para escoger un par de ecuaciones paramétricas simples.
Veremos que una ecuación polar r =f( e ) puede convertirse a ecuaciones paramétricas
x = g( e), y= h( e) para facilitar el trazado sobre una gráfica conveniente.
Finalmente examinaremos algunas aplicaciones que ilustren el sentido del movimiento,
las cuales pueden ser descritas por ecuaciones paramétricas.
8.1
ECUACIONES PARAM ÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
Se han ilustrado representaciones paramétricas de una recta y de una parábola. Se consi­
derarán ahora la circunferencia y las cónicas restantes.
Para encontrar una representación paramétrica de la circunferencia de radio a y centro
en el origen, se escoge como parámetro el ángulo e, como se indica en la figura 8. 1 . Al
recordar las definiciones de seno y coseno de un ángulo, se tiene que
x
-
a
=
cos e
y
y
a
=
sen e
8. J
ECUACIONES PARAMÉTR/CAS DE LAS CÓNICAS
267
o, de manera equivalente, el par de ecuaciones
x=a cos e
y=a sen e.
y
y
o
Figura
x
x
8.1
Si e se incrementa de O a 27r, el punto P(x, y) definido por estas ecuaciones comenzará
en (a, O) y se moverá alrededor de la circunferencia en sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj.
A continuación, el centro de la circunferencia se coloca en (h, k) con radio a (Fig.
8.2). Para las distancias dirigidas CQ y QP se obtiene
CQ
= x
-
h
= a
•
Q?
y
cos e
= Y
-
k
= a
sen e,
o bien el par de ecuaciones
x = h + a cos e
y
=
k + a sen e
y
P(x,y)
e(h, k)
(J
�--L..-:::-Q+---j
k
Figura
8.2
o
h
(h, O)
(x, O)
x
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
268
Por tanto, estas ecuaciones constituyen una representación paramétrica de una circunfe­
rencia con centro en (h,k) y radio a.
Para encontrar una representación paramétrica de la elipse, se usan las ecuaciones
x = a cos e
y = b sen e,
y
donde a > b.
Estas ecuaciones definen una elipse, como puede verificarse eliminando el parámetro
e. Así, al escribir las ecuaciones como x/a = cos e y y/b = sen e, elevar al cuadrado los
miembros de cada ecuación y sumar, se obtiene
X
2
a
+
Y 2
b
cos28 + sen 28
=
o bien
A partir de este resultado se observa que las ecuaciones paramétricas representan una
elipse con a y b como semiejes. La importancia geométrica de e se puede determinar
remitiéndose a la figura 8.3. El radio de la circunferencia menor es b y el radio de la
circunferencia mayor es a. El lado terminal de e corta las circunferencias en E y A. La
recta horizontal que pasa por E y la recta vertical que pasa por A se intersecan en P(x, y).
Para este punto, se tiene
x =
oi!
=
lOA I
y =
MP
=
NB
=
8
cos
I OEI
= a
cos 8,
8 = b sen 8.
Por consiguiente, P(x, y) es un punto de la elipse. Conforme e varía, P se mueve a lo
largo de la elipse. Si e comienza en O y se incrementa hasta 2n, el punto P comienza en
(a, O) y viaja por la elipse en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj.
y
, y)
o
Figura
8.3
N
M
x
8. J
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS .
269
Para obtener una representación paramétrica de una hipérbola, se usan las ecuaciones
x = a sec e
y = b tan e,
y
donde a y b son números positivos. Como sec2e - tan2e
y 2
2
X
a
=
1,
se puede escribir
b
o bien
X2 - y2
a2
b2
=
l.
Se observa que sec e y tan e existen para todos los ángulos, excepto para aquellos
donde e es un múltiplo impar de n/2. Suponga que e toma todos los valores tales que °<
e< n/2. En 0, sec e = 1 Y tan e O. Conforme e crece en este intervalo específico, sec e
comienza en 1 y toma todos los valores positivos mayores que 1 mientras que tan e co­
mienza en O y toma todos los valores positivos. Por tanto, x comienza en a y toma todos
los valores positivos mayores que a, y y comienza en ° y toma todos los valores positi­
vos. Se observa, entonces, que este intervalo escogido para e proporciona la parte de la
hipérbola en el primer cuadrante. De manera análoga, los valores de e tales que n/2 <
e < n representan la' parte de la hipérbola en el tercer cuadrante. El estudiante puede
continuar el análisis para los cuadrantes restantes.
Se procede ahora a resolver el problema de construir la gráfica definida por dos
ecuaciones paramétricas. El método es directo. Primero se asigna al parámetro un con­
junto de valores y se calculan los valores correspondientes de x y y. Los puntos localiza­
dos (x, y) son una guía para dibujar la gráfica. Por lo general, basta localizar unos cuantos
puntos. Esto es particularmente cierto cuando, a partir de la ecuación, son aparentes cier­
tas propiedades de la gráfica como la extensión, las intersecciones y la simetría. El estu­
diante que sepa graficación por computador podrá trazar, con el computador, gráficas de
ecuaciones paramétricas de manera satisfactoria.
Cuando un par de ecuaciones paramétricas va a representar una ecuación rectangu­
lar, conviene determinar si las ecuaciones y el dominio del parámetro están bien escogi­
dos. Es decir, si las coordenadas P(x, y) satisfacen la ecuación rectangular, debe existir
un valor del parámetro de manera que las ecuaciones paramétricas produzcan las mismas
coordenadas. Recíprocamente, cualquier par de coordenadas obtenidas a partir de las
ecuaciones paramétricas debe satisfacer la ecuación rectangular. En algunos casos, la grá­
fica de las ecuaciones paramétricas y la gráfica de la ecuación rectangular correspon­
diente no coinciden por completo. El ejemplo 2 ilustra dicho caso.
=
Ejemplo 1
Esboce la gráfica de las ecuaciones paramétricas
x =2
+t
Y
Y=
3
-
12•
Al examinar las ecuaciones se observa que x puede alcanzar cualquier valor
real y que y puede tener cualquier valor real que no exceda de 3. Usando los valores lista­
dos en la tabla 8.1, se podrá esbozar la parte de la gráflca que se muestra en la figura 8.4.
La verdadera gráfica se extiende indefinidamente en los cuadrantes tercero y cuarto. •
Solución
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTR/CAS
270
Tabla
-
8.1
t
-3
-2
-]
-O
]
2
3
x
-J
O
]
2
3
4
5
Y
-6
-J
2
3
2
-]
-6
y
t=
O
x
o
Figura
2
t=3
t =-3
8.4
Ejemplo 2
t=
Construya la gráfica de las ecuaciones
y = 2 sen e.
y
Solución
Se elimina de estas ecuaciones el parámetro e. La segunda ecuación produce
y2/4 = sen2e. Entonces, sumando los miembros correspondientes de esta ecuación y de la
primera ecuación dada, se obtiene
y
4
+x=! '
y, en consecuencIa,
•
y=
-
4 (x
-
l)
.
La gráfica de esta ecuación es la parábola dibujada en la figura 8.5. Note, sin embargo,
que la gráfica de las ecuaciones paramétricas no incluye la parte de la parábola a la iz­
quierda del eje y. Esto resulta del hecho de que los valores de x no son negativos. •
Puede suceder que una ecuación en su forma original sea difícil de graficar, pero que
aun así pueda representarse en forma paramétrica por medio de ecuaciones mas fáciles
de manejar. Esta situación se ilustra en un ejemplo.
8. ¡
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
271
y
.....
.....
(}
.....
"-
"-
"-
"-
(0,2)
"
; , St, ...
=
(J
o
()
Figura
=
8.5
Ejemplo
Solución
/'
3
0, TT', 2TT', ...
(1, O)
7 "" . .
3;, 2
/
/'
=
x
.
./
./
./
./
/
/'
Encuentre una representación paramétrica de la ecuación
y2/3 + X2/3
=
a 2l3.
Despejando y2/3 en la ecuación, se obtiene
y2l 3
=
=
a2/3 - X2/3
a2/3 1 -
x
-
213
a
Se observa que la expresión entre corchetes se puede simplificar al hacer (x/a)21J = sen2e
o x = a senJe. Cuando x tiene este valor, se encuentra que y = a cosJe. Por tanto, la ecua­
ción dada está representada en forma paramétrica por las ecuaciones
x =
y =
•
a sen3e,
a cos3e
.
y
x
Figura
8.6
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
272
La gráfica se puede visualizar incrementando e, en pasos de 77:/2, desde O hasta 277:. Así,
en el primer paso x crece de O a a y y decrece de a a O. La gráfica (Fig. 8.6) se llama
hipocicloide de cuatro cúspides. Se puede mostrar que la trayectoria trazada por un punto
dado sobre una circunferencia de radio a/4 conforme rueda dentro y a lo largo de una
circunferencia de radio a, es una hipocicloide. •
Como ya se mencionó, una función r= f(e ) expresada en coordenadas polares puede
transformarse fácilmente a una forma paramétrica. Si se combinan las ecuacio­
nes (7.2) y (7.3) con la ecuación r = f(e ) se obtiene
x=rcos e=f(e) cos e,
y= r sen e= f(e) sene,
(8.1)
expresando así x y yen términos del parámetro. De hecho, para graficar r= f(e) en coor­
denadas polares, algunas calculadoras con graficador requieren que la ecuación esté ex­
presada en la forma paramétrica que aparece en la ecuación (8.1).
Transforme r = 4 cos e, con O < e
paramétrica y a continuación grafique la curva.
Ejemplo 4
<
277:, de su forma polar a una forma
De la ecuación (8.1) se obtiene
Solución
x (e)= 4 cos2e
y
y «())= 4 sen e cos e
Entonces (x(O), y (O» = (4, O), (x(77:/4), Y(77:/4» = (2, 2), Y (x (77:I2), y (77:/2» = (O, O). Para O
� e < 277:, la gráfica es la circunferencia que aparece en la figura 7.16. El movimiento en
sentido contrario al giro de las manecillas del reloj se inicia en (4, O) Y completa una
revolución cuando e = 277:.
Ejercicios
En los ejercicios l a 8, esboce la gráfica representada por las ecuaciones paramétricas.
Después, compare la gráfica con la de la ecuación rectangular obtenida al eliminar el
parametro.
,
3. x= (
2
-
2',
7. x= 1
Y=
(
+ 3
+
y= 1
.
5. x= 2 + ( ,
+
2. x
y= 2(
1. x= 3(;
(2.
,
[2
y= 1 + (
4
-
4. x = 1
+
=
6. x = 3
8.
-
3(;
2(',
,
[.
+ (2;
x= 2
y= 1 + (
Y = 2
y = [2
-
-
Y = 3 +
2
[
2
[
EJERCICIOS
273
Encuentre la forma rectangular de cada par de ecuaciones paramétricas .
la gráfica usando la más sencilla de las dos formas.
9.x
= 5cos e;
11.x = 3
13. x =
sen e;
10.x = 2 + .cos
y = 4 cos e
12. x = 3
y =
2sen(J;
15. x = 3 +
y=5sen(J
1 7. x
2
;
--"
2
1 + t
=
y=
2t
18. x =
+ t2
1
y = sec e
2cos (J
y= 3 +
16. x = -2 + 2sen e;
2sec2e
= -4 + 3 cos (J
y
4 sen e;
y=
tan2(J;
14 . x = tan e;
cos 2e
y = 2 + sen e
e;
6t
1
y=
+ t2;
6t2
1 + t2
Elimine el parámetro de cada par de ecuaciones. Dibuje la gráfica de la ecuación resul­
tante y diga qué parte de la gráfica cubren las ecuaciones paramétricas.
20. x =
21. x =
sec2e;
1 + 3 cos2(J;
23. x = 4
22.
sen (J;
24. x = t ;
Use la ecuación adjunta y exprese cada ecuación rectangular en fonna paramétrica.
25.
2x + xy -
1 = O'
y= t + 2
26. x3 +
27 .
X
112 + Y 1/2
= a"2;
x = a
28. x2(y + 3) = y3;
29. x 2y2 = x2
,
y2;
_
sen4e
= sen e
Y
30.
y3
y3 + 3xy
_
=
O;
Y = tx
X = ty
2y2 = X2;
y
=
(2 + 2
Tome valores de t, en pasos de n/2, de O a 4n y encuentre los valores correspondientes
de x y y. Localice los puntos P(x, y) así determinados y dibuje una curva suave que pase
por cada uno de los puntos, en orden creciente de t.
31. x = I
32.
y= cos (
sen t;
x = t
cos t;
y = sen t
Use la ecuación (8.1) para convertir las ecuaciones polares a la forma paramétrica. A
continuación grafique usando alguna utilería de graficación si dispone de ella.
33. r =
O < (J
4 sen e;
35. r =f(8)
=
27T
34. r = 4
O < 8 < 67T
8;
I el
37. r
= 4/cos (J;
39. r
= 4(1 + cos e);
41. r
=
2 sen 58;
<
<
36. r
7T/2
O
:S;
O<e
<
<
27T
27T
<
27T
= 3
38. r = 3(1
e
O <e
cos 2e;
- sen(J);
40. r = sen 4(J;
O
:S;
7
e < 2T
o :S; e < 27T
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
274
8.2 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAM ÉTRICAS*
Las ecuaciones de ciertas curvas se pueden determinar con mayor rapidez si se usa un
parámetro que de otra manera. De hecho, éste es uno de los usos principales de las
ecuaciones paramétricas. En el resto de este capítulo se exploran ecuaciones paramétricas
de curvas.
Se considerará primero la trayectoria de un proyectil en el aire. Suponga que a un
cuerpo se le da una velocidad inicial, hacia arriba, de Vo metros por segundo en una di­
rección que forma un ángulo a con la horizontal. Si la resistencia del aire es pequeña y
puede despreciarse sin dar lugar a un gran error, el objeto se moverá, sujeto a la fuerza
vertical de la gravedad. Esto significa que no hay fuerza horizontal que pueda cambiar la
velocidad en la dirección horizontal. Observando la figura 8.7 con el origen de coorde­
nadas en el punto donde se dispara el proyectil, se aprecia que la velocidad en la direc­
ción x es vo cos a. f:ntonces, la distancia que ha viajado horizontalmente después de t
segundos es (v ocos a)t metros. Ahora el proyectil se dispara con una componente verti­
cal de velocidad de vosen a metros por segundo. Esta velocidad causaría que el proyectil
subiera hasta alcanzar una altura de (vosen a)t metros en t segundos. Sin embargo, el
efecto de atracción de la gravedad reduce esta distancia. De acuerdo con una fórmula de
la física, la cantidad por restar es Ihgt2, donde g es una constante aproximadamente igual
a 9.8. Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son
(8.2)
x= (vacos a)t,
Si se despeja t en la primera ecuación y se sustituye el resultado en la segunda, se obtie­
ne la ecuación de la trayectoria en la forma rectangular
y= (tan a)x
-
2
gx2
2
2
VaCOS
(8.3)
a'
Esta ecuación, que es de segundo grado en x y de primer grado eny, representa una parábola.
y
I
vosena
I
I
FIgura 8.7
o
x
vocos a
*Si se desea, se puede omitir el resto de este capítulo o cualquiera de sus partes.
8.2
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES PARAMÉTRICAS
275
1
Se tira una piedra con velocidad de 48.5 mis en una dirección 45° sobre la
horizontal. Encuentre la distancia a la cual la piedra toca el piso y su altura máxima.
Ejemplo
Se sustituye Vo
ecuacIOnes parametncas
Solución
•
•
=
48.5,
=
ex
nl4 y g = 9.8 en la ecuación (8.2). Esto da las
•
y=
x = (48.5/2)t.J2,
(48.5/2)t.J2 - 4.9(2.
La piedra llega al piso cuando y = O. Este valor de y se sustituye en la segunda ecua­
ción y se encuentra que t = 7 segundos como tiempo de vuelo. El valor de x en este tiem­
po es x = 4R5h7.J2 = 240 m. Se sabe que la piedra se mueve a lo largo de una parábola
que se abre hacia abajo y que una parábola es simétrica con respecto a su eje. Por ello,
la altura máxima es el valor de y cuando t está a la mitad del tiempo de vuelo. Al susti­
tuir t = 712 en la segunda ecuación, se encuentra que y = 60 m. La piedra llegó al piso a
240 m del punto del disparo y alcanzó una altura máxima de 60 m.
De manera alternativa, es posible obtener los resultados deseados por medio de la
ecuación rectangular de la trayectoria. Así, al sustituir VD' ex y y en la ecuación (8.3), se
obtiene
x2
)' = X - 800'
Esta ecuación, reducida a su forma normal, se convierte en
ex - 120)2 = -240(y - 60).
El vértice, en (120, 60), es el punto más alto. Al hacer y = O se encuentra x = 240.
Por tanto, la piedra llega al piso en el punto (240, O). •
La trayectoria trazada por un punto dado sobre la circunferencia de otra circunferen­
cia que rueda a lo largo de una recta se llama cicloide. Para deducir la ecuación de la
cicloide, la recta se selecciona como el eje x y el origen se toma en una posición donde
el punto que la traza esté en contacto con el eje x.
y
a
p
...-C
-T
D
C
D
�
__
Figura
S.S
O
L-
__
A
�
�
�-L
�
____________________
__
B
--. x
____________
En la figura 8.8 el radio de la circunferencia rodante es a, y P es el punto que lo
traza. En la posición dibujada, la circunferencia ha rodado de modo que CP forma un
ángulo e (radianes) con la vertical. Puesto que la circunferencia rueda sin resbalar, el
segmento de recta OE y el arco PE son de igual longitud. Por consiguiente,
CAPíTULO 8 ECUACIONES pARAMÉTRICAS
276
"
OB = are PB =aO.
---=-=
"
Al observar el triángulo rectángulo PDC, se podría escribir
x
=
DA
=
OB - PD =aO - asen O,
y = AP = BC
- DC =
a - a
cos O.
Las ecuaciones de la cicloide, en forma paramétrica, son
x=
a(O
-
y = a(l
sen O),
-
cos O).
El resultado de eliminar e de estas ecuaciones es la complicada ecuación
x=acos-I
a-y
a
+
Y2ay-y2.
Si una circunferencia rueda debajo de una recta, un punto de la circunferencia gene­
raría una cicloide invertida (Fig. 8.9). Esta curva tiene una propiedad fisica importante e
interesante. Un cuerpo que resbale sin fricción se moverá de A a B, dos puntos en una
parte de abajo de la curva, en un tiempo menor de lo que requeriría hacerlo a lo largo de
cualquier otra trayectoria que conecte los dos puntos. Una demostración de esta propie­
dad, queda fuera de los objetivos de este libro.
y
x
o
Figura 8.9
B
Ejercicios
En Jos ejercicios I a 4 escriba las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del objeto,
usando g = 9.8. Escriba, además, la ecuación rectangular de la trayectoria y proporcione
la información requerida.
l. Se lanza una pelota con velocidad inicial de 29.4 mis y a un ángulo de 45° sobre la
horizontal. ¿Qué altura alcanza la pelota y a qué distancia toca el piso? Suponga
que el piso es llano.
2. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 58.8 mis y a un ángulo de 30°
sobre la horizontal. Encuentre las coordenadas de su posición después de (a) 1 s,
(b) 3 s, (c) 5 s. ¿En qué tiempo está el proyectil a 29.4 m sobre el piso?
EJERCICIOS
277
3. Se dispara horizontalmente un proyectil (a 0°) desde un edificio de 29.4 m de
altura. Si la velocidad inicial es de Vo mis, encuentre la distancia hacia abajo y la
distancia horizontal que recorre el proyectil en 2 segundos.
=
4. Un lanzador tira una pelota horizontalmente con una velocidad inicial de 33 mis. Si
el punto de salida está a 1.83 m sobre el piso,
(a) ¿a qué altura llega la pelota a home, situado a 18.44 m del montículo de
lanzamiento?
(b) ¿Cuál sería la respuesta si la velocidad inicial es de 40 mis? Suponga que la
resistencia del aire es despreciable.
5. Una circunferencia de radio a rueda sobre una recta. Un punto sobre un radio, a b
unidades del centro, describe una trayectoria. Paralelo a la deducción de la sección
8.2, muestre que la trayectoria está representada por las ecuaciones
x =
a8
-
b sen 8,
y=a
-
b cos 8.
La curva se llama cicloide reducida si b < a y cicloide alargada si b
>
a.
6. Esboce la curva de las ecuaciones del ejercicio 5, tomando a = 4 y b = 3. Esboce la
curva si a = 4 y b = 6.
7. Una circunferencia de radio 4 rueda a lo largo de una recta y completa una revolu­
ción en 2 segundos. Un punto, que comienza a bajar sobre un radio vertical, se mueve
alejándose del centro de la circunferencia a lo largo del radio a razón de 2.5 mis.
Encuentre las ecuaciones de la trayectoria del punto.
8. El extremo de un hilo que se mantiene en el plano de una circunferencia describe
una trayectoria, llamada envolvente de la circunferencia, conforme se desenrolla de
la circunferencia, manteniéndolo tenso. Use la figura 8.10 para mostrar que las
ecuaciones paramétricas de la envolvente son
y
x = a(cos 8+ e sen 8),
=
a(sen 8- 8 cos 8).
y
o
Figura
8.10
QI--+--i P(x. y)
A
S B
x
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
278
9. En la figura 8.11 una circunferencia de radio a es tangente a las dos rectas paralelas
OXy AC. La recta OC corta a la circunferencia en B, y P(x,y) es la intersección de
una recta horizontal que pasa por B y una recta vertical que pasa por C. Mues­
tre que las ecuaciones de la gráfica de P, conforme e se mueve a lo largo de la tangente supenor, son
•
x = 2a cot e,
y=
2a sen2e.
y
A
::-----,--"71 e
L-_�¿P(x, y)
x
o
Figura 8.11
Esta curva se llama bruja de Agnesi. Muestre que su ecuación rectangular es
8a3
y = x2 + 4a2'
10. En la figura 8.12, OP = AB. Muestre que las ecuaciones de la trayectoria trazada
por P, conforme A se mueve alrededor de la circunferencia, son
x=
2a sen28,
y = 2a sen28 tan 8
y
B
A
o
Figura 8.12
x
(a. O)
EJERCICIOS DE REPASO
279
La curva se llama cisoide de DiocIes. La ecuación rectangular es
Y2
x3
_
2a
x'
---
NOTA HISTÓRICA
María G. Agnesi (1718-1799), brillante joven italiana, publicó varios ensayos desde
temprana edad. Escribió uno de los primeros textos de cálculo, que debido a su popula­
ridad se tradujo al francés y al inglés. El traductor al inglés cometió un error al traducir
el nombre que la Agnesi daba a la curva recién mencionada líneas arriba, y por ello du­
rante 250 años ha sido conocida en los países de habla inglesa como la "bruja" de Agnesi.
EJERClCrOS DE REPASO
l.
2.
Esboce la gráfica representada por las ecuaciones
paramétricas x = 2/; Y = 3/.
llega al piso?
Encuen tre la fo r m a rectangular del p a r de
ecuaciones paramétricas x = 4 sen e y y = 3 cose.
Después, esboce la gráfica representada usando la
el
parámetro
de
una dirección a 45° sobre la horizontal. Encuentre
a qué distancia llega la piedra al piso y su altura
•
maxlma.
las
ecuaciones
paramétricas x = 2 sen2e y y = 3 cos2e. Dibuje la
gráfica de la ecuación resultante y diga qué parte
de la gráfica se cubre con las ecuaciones
•
parametncas.
•
5. Se tira una piedra con velocidad de 24.25 mIs en
•
más sencilla de las dos formas.
3. Elimine
Grafique la trayectoria del objeto. ¿Cuándo y dónde
•
4. Se deja caer un objeto desde una altura de 19.6 m
sobre el piso, con un viento constante de 17.64 km
6. Usando la ecuación adjunta, exprese la ecuación
rectangular en forma paramétrica.
2x + xy- 1 = O;
7. Transfonne
r
= sen e 12 a la forma parmétrica y
grafique usando alguna utilería de graficación si se
dispone de ella.
por hora (4.9 mIs) desde el norte. La localización
t segundos después de haberse dejado caer está
dada por
y(t)= - 4.9/2 + 19.6
x(t) = 4.9/.
Términos clave
ecuaciones paramétricas, pág. 265
conversión de coordenadas polares a
paramétricas, pág. 272
y = t + 2.
cicloide, pág. 275
CAPíTULO 8 ECUACIONES PARAMÉTRICAS
2BO
l . Esboce la gráfica representada por las ecuaciones
.
parametncas
,
3. Convierta la ecuación polar a la forma paramétrica
y grafique usando alguna utilería de graficación si
cuenta con ella.
x = 3 sen e,
y = cos e.
2. Elimine el parámetro de las ecuaciones y esboce
la gráfica
a)
r =
2 + cos 8,
b)
r =
1 + 2 cos (J,
O <8 < 27r,
O < 8 <2 7r.
4. Se lanza un obús con una velocidad inicial de 152.3
mis a una elevación de 30° sobre la horizontal. En­
cuentre su posición después de 5 segundos. ¿Dón­
de y en qué instante llega al piso?
•
y = sen e
Capítulo
Coordenadas en el e
tridimensional
eio
su erfieies
Como se verá,buena parte del conocimiento de la geometría analítica plana servirá como
base ymodelo para la geometría analítica sólida. En efecto,muchas de las fórmulas que
se desarrollarán para espacios coordenados son "extenciones" de las fórmulas correspon­
dientes en dos dimensiones. Hasta ahora, en este estudio se han tratado ecuaciones en
dos variables y se han ilustrado ecuaciones en un sistema coordenado plano. Cuando se
introduce una tercera variable,el plano es insuficiente para ilustrar una ecuación. Es por
ello que el sistema coordenado se extiende a tres dimensiones.
9.1
C OORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Sean OX, OY y OZ tres rectas mutuamente perpendiculares (Fig. 9.1). Estas rectas for­
man el eje x, el eje y yel eje z de un sistema coordenado rectangular de tres dimen­
siones. En este dibujo, yen otros que se harán, el eje y y el eje z están en el plano de la
página. El eje x se visualiza como perpendicular a la página. El eje z se puede considerar
vertical ylos otros,horizontales. Los ejes,por pares,determinan tres planos mutuamente
perpendiculares, llamados planos coordenados. Los planos se designan como el plano
XOY, el plano XOZ yel plano YOZ o,de manera más sencilla, el plano xy, el plano xz y
el plano yz. Los planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas
octantes.
A continuación se dará una escala numérica en cada eje, con el punto O como el
origen. La posición de un punto P en este sistema coordenado es determinado por sus
distancias a los planos coordenados. La distancia de P al plano yz se llama coordenada
x, la distancia al plano xz coordenada y y la distancia al plano xy coordenada z. Las
coordenadas de un punto se escriben en la forma (x, y, z), en este orden, x primero, y
segundo yz tercero. Por ejemplo,para localizar el punto ( 1.5,-1, 2) se va l .5 unidades
desde el origen a lo largo del eje x positivo, después 1 unidad a la izquierda, paralela­
mente al eje y, yfinalmente 2 unidades hacia arriba,paralelamente al eje z. Los signos de
las coordenadas detelminan el octante en el cual se encuentra
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
282
z
3
2
1
o
1
2
3
y
Figura 9.1
x
el punto. Se dice que los puntos cuyas coordenadas son todas positivas pertenecen al
primer octante, y no se acostumbra asignar número a los demás octantes. Si un punto se
ubica sobre un eje coordenado, dos de sus coordenadas son cero.
Para localizar puntos y dibujar figuras, las distancias unitarias en los ejes y y z se
harán iguales. Una distancia unitaria sobre el eje x se representará mediante una longitud
real de 0.7 de unidad. El eje x se dibujará formando un ángulo de 135° con el eje y. Esta
posición del eje
x
y la reducción en la dirección x ayudan a visualizar figuras en el espa­
cio. Véase el cubo y los puntos localizados en la figura
9.2.
z
4
(O, O, 3)
3
2
(1.5,-1,2)
•
-
I
I
I
_
-- I
1-I
_
I
I
1
.. -
•
(1,1,1)
-
--
--
-
Figura 9.2.
(2,2.5, 3)
1:
-
-
X
I
I
I
I
I
_
2
I
I
I
I "
"
I
" "1
I
I
1..- .....
I
I
I
I
•
(O, 3, O)
(0,2, -2)
•
Y
9.1
COORDENADAS EN El ESPACIO TR/D/MENC/ONAl
283
En la primera aplicación del sistema coordenado tridimensional,se considera la dis­
tancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. En la sección 1.1 se trató esta cues­
tión para el caso bidimensional. Exactamente el mismo plan servirá en el nuevo sistema,
excepto para los ejes adicionales. De esta manera, P(xl' Y" z, ) y Q(x2, Y" z, ) representan
los extremos del segmento de recta PQ paralelo al eje x. La distancia de P a Q es x2-x,.
Esta distancia es positiva si x2 > x, y negativa, si x2 < x,. En cada caso,usando símbolos
de valor absoluto, IPQ! Ix2-x,," Una situación análoga es aplicable a los segmentos pa­
ralelos al eje Y y al eje z. Una vez que esto se haya comprendido, es posible deducir una
fórmula para la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas.
=
Teorema 9.1
Sean P,(x"Y " z) y P2(X2'Y 2' Z2) las coordenadas de dos puntos en un sistema coordenado
tridimensional. Entonces la distancia entre P, y P2 esta dada por
Demostración
Ip,p21
=
V(X2 - X,)2 + (Y2 - y,)2 + (Z2 - Z,)2.
(9.1)
En la figura 9.3 cada arista del paralelepípedo rectangular (figura con
forma de caja) es paralelo a un eje coordenado y cada cara es paralela a un plano
PI' P2, Q y R, respectivamente, se indican con
P,(x" y" z,),
Pz{X2' Y2, Z2),
Q(X2, y" z,), R(X2, Y2' z,).
Se observa que P,QR es un triángulo rectángulo con hipotenusa P,R, y P,RP2
triángulo rectángulo con hipotenusa Plr Además,
coordenado. Las coordenadas de
es un
z
•
Q
Figura 9.3
o
R
x
Por tanto,
2
1p,p21
=
=
=
2 +
2
P,R
1
1
l
RPl
1
l
2
l
!p,Ql + IQRl + IRPll
2
2
(Xl - XY + (Y2 - y,) + (Z2 - z,)
y
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
284
o bien,
IpIP21 = Y(X2·- XI)2
+
(Yz - YI)2 + (Z 2 - ZI)2
Se han escrito las coordenadas de cuatro de los vértices del paralelepípedo. El estudian­
te puede escribir las coordenadas de los otros cuatro vértices.
Ejemplo 1
Encuentre la distancia entre los puntos Pl-4,4,1) Y P (-3,5, -4).
2
Se sustituye en la fórmula (9.1) Y se obtiene
Solución
IpIP21 = Y(-3 + 4)2 + (5 - 4)2 + (-4 - I?
= YI + I + 25 =.3V3. •
La división de un segmento de recta, analizada en la sección 1.3, se puede extender
con facilidad al caso tridimensional.
Teorema 9.2
Las coordenadas
P(x, y, z) del punto medio del segmento de recta que une A(x" YI' ZI) y
B(x2, Y2, Z2) están dadas por las ecuaciones,
X=
x2
Xl +
2
Y
'
=
YI + Y2 '
2
Z =
Zl
+
2
Z2
(9.2)
•
Este teorema se puede generalizar si se hace que P(x,y, z) sea cualquier punto de
división de la recta que pasa por A y B. Si la razón de AP a AB es un número r, entonces
x
= XI + r(x2 - XI),
Y = YI
+
r(Y2 - YI),
Z = ZI
+
r(z2 - zl).
(9.3)
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une
A(3, -2, 4) Y B(-6, 5, 8).
Ejemplo
2
Al sustituir en las fórmulas (9.2) se obtiene
Solución
X=
3- 6
2
3
-= 2'
y=
-2
5 -3
2
2'
+
Z=
4 + 8
= 6.
2
Por tanto, las coordenadas del punto medio del segmento de recta son P(312,3/2, 6).
•
Encuentre las coordenadas de P(x,y, z) el cual está a un tercio de la distan­
cia de A(l,3, 5) a B(5, 7, 9).
Ejemplo
Solución
3
Se usan las ecuaciones (9.3) con r =113. Por consiguiente,
9.1
COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENClONAL
x
285
•
= 1+ �(5 - 1)= �,
1
Y = 3 + (7
3
-
13
3) = 3'
1
z = 5+ "3(9 - 5)
=
19
3'
Las coordenadas deseadas son (713, l313, 1913). Este es el punto de trisección del segmento
de recta que se encuentra más cerca del punto A. •
•
Dado que A = ( 1 , 4, 7) Y B = (5, - 1 , 1 1 ), encuentre el punto P de modo que
la razón de AP a PB sea igual a 4 a 7.
Ejemplo 4
•
�
.
.
Para usar las ecuaciones (9.3) se necesita la razón de AP a AB, la cual es 4 a
1 1 . Por tanto, las ecuaciones (9.3) se usan con r= 4/11. De este modo, se obtiene
Solución
4
x = 1+ U(5
•
27
1) = '
11
24
4
y=4+
(-1-4)=U'
11
4
z = 7 + U(l1- 7)
Las coordenadas deseadas son (27/11, 24/11, 93/11).
=
93
'
U
•
Gráfica de una ecuación
La gráfica de una ecuación en el sistema tridimensional se define exactamente de la mis­
ma manera que en el sistema bidimensional.
Al estudiar gráficas se usará el concepto de simetría, análogo al analizado en la sec­
ción 3.2. Para ello, se afirma lo siguiente:
1. Si una ecuación no se altera cuando x se reemplaza por -x, entonces la gráfica de
la ecuación es simétrica con respecto al plano yz.
2. Si una ecuación no se altera cuando y se reemplaza por -y, entonces la gráfica de
la ecuación es simétrica con respecto al plano xz.
3. Si una ecuación no se altera cuando z se reemplaza por -z, entonces la gráfica de
la ecuación es simétrica con respecto al plano xy.
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
286
En el sistema bidimensional se encontró que rectas y curvas eran gráficas de
ecuaciones. En tres dimensiones, la gráfica de una ecuación se llama superficie. Hay
ecuaciones cuyas gráficas, en tres dimensiones, son curvas en el espacio tridimensional
(curvas que no están en un plano). En lo que sigue no se consideran las curvas en tres
dimensiones. Por supuesto, se ha observado que algunas ecuaciones bidimensionales no
tienen gráfica y que otras constan de uno o más puntos aislados. De manera análoga, hay
casos excepcionales en un sistema tridimensional. Sin embargo, se estudiarán ecuaciones
cuyas gráficas existan y sean superficies.
El estudio de gráficas se iniciará considerando ecuaciones en una y dos variables.
Como otra restricción, sólo se usarán ecuaciones de primero y segundo grados. Las grá­
ficas de ecuaciones de esta clase son relativamente fáciles de determinar.
Ejemplo 5
Grafique la ecuación
4. .
y=
Se observa que la ecuación se satisface sólo dando a y el valor 4. Como la
ecuación no contiene a x o z, no hay restricciones para estas variables, por ello, la gráfica
consta de todos los puntos que tienen coordenada y igual a 4. Es claro que esta gráfica
constituye el plano paralelo al plano xz, ubicado 4 unidades a la derecha. •
Solución
Ejemplo 6
Grafique la ecuación
. 2x + 3z =
6.
En el plano xz esta ecuación representa una recta. Considere ahora un plano
que pase por esta recta y sea paralelo al eje y (Fig. 9.4). Correspondiente a cualquier
punto P(x, y, z) sobre este plano, existe un punto sobre la recta con las mismas coordena­
das x y z. Por tanto, las coordenadas de P satisfacen la ecuación dada. Se concluye, en­
tonces, que el plano es la gráfica de la ecuación. •
Los dos ejemplos muestran que el siguiente teorema es correcto.
Solución
Teorema 9.3
La gráfica de una ecuación de primer grado en una o dos variables es un plano paralelo
al eje de cada variable faltante.
z
(x, O, z)
-
.
Figura 9.4
x
.
.
,.,
..
9.1
COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENCIONAl
Ejemplo 7
287
Grafique la ecuación
X2 + (y 2)2 = 4.
-
En el plano xy la gráfica de esta ecuación es una circunferencia de radio 2,
con el centro sobre el eje y positivo a dos unidades del origen (Fig. 9.5). Sean (x,y, O)
las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia. Entonces el punto (x,y, z) don­
de z es cualquier número real,satisface la ecuación. En consecuencia,se observa que la
gráfci a
manera que se mantiene paralela al eje z e interseca la circunferencia. Por tinto,la su­
perficie es un cilindro circular recto,simétrico con respecto al plano yz. En la figura sólo
se indica la parte de la superficie que se encuentra en el primer octante. •
Solución
z
..� :0"-
__
--"'y
(x,
Figura 9.5
Cilindros
y,
O)
x
•
Una superficie generada por una recta que se mueve de manera que se mantiene paralela
a una recta fija e interseca una curva fija en un plano se llama superficie cilíndrica o
cilindro. La curva se llama directriz y la recta generadora en cualquier posición se lla­
ma elemento del cilindro. De acuerdo con esta definición,un plano es un caso particular
de un cilindro con una recta como directriz. Por consiguiente, la gráfica de cada una de
las tres ecuaciones consideradas es un cilindro.
Es fácil generalizar el análisis anterior para aplicarlo a ecuaciones en dos variables,
aun sin restricción de grado, y enunciar el siguiente teorema.
Teorema 9.4
La gráfica de una ecuación en dos variables es un cilindro cuyos elementos son parale­
los al eje de la variable faltante.
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL YSUPERFICIES
288
Ecuación líneal general
En coordenadas rectangulares de dos dimensiones se vio que una ecuación lineal, ya sea
en una o en dos variables, representa una recta. En el sistema tridimensional sería posi­
ble concluir, por analogía, que las ecuaciones lineales en una, dos o tres variables repre­
sentan superficies del mismo tipo. La conclusión es correcta. La demostración se deja
para el siguiente capítulo.
Teorema 9.5
La gráfica en tres dimensiones de la ecuación
Ax + By + Cz + D
=
0,
•
donde las constantes A, B Y e no son cero simultáneamente, representa un plano.
Las curvas en las cuales un plano, u otra superficie, interseca los planos coordenados
se llaman trazas. Las curvas en las cuales una superficie interseca planos paralelos a los
planos coordenados se llaman secciones transversales o simplemente secciones. Las tra­
zas y las secciones pueden ser útiles para esbozar la superficie.
Ejemplo
8
Esboce la superficie
•
y =x2•
Como z no está en la ecuación, la superficie es un cilindro paralelo al eje z.
La traza en el plano xy, obtenida al hacer z = 0, es la parábola y =X2. La traza en el plano
xz (hacer y = O) es x = O ° el eje z. La traza en el plano yz (hacer x = O) es y = O o, de
nuevo, el eje z. Se obtiene ayuda adicional para visualizar la superficie si se hace z = e
para obtener secciones paralelas al plano xy. Estas secciones son, de nuevo, la parábola
y = xl, pues z no aparece en la ecuación. Las secciones paralelas al plano xz(y = e, e > O)
son las rectas x +.JC. La superficie se esboza en la figura 9.6. •
Solución
=
z
.
.
.
.
,
I .
I
1
/
I-
_
_
-
lo
FIgura 9.6
x
y
EJERCICIOS
289
Ejemplo
9
Esboce el plano
3x+4y+6z= 12.
La intersección con el eje x del plano, obtenido.al hacer y = O Y z = O, es 4.
Por ende, el plano pasa por el punto (4, O, O). De manera análoga, el plano pasa por los
puntos (O,3,O) Y (O, 0,2). Las trazas del plano dado son las rectas que pasan por estos pun­
tos y forman el triángulo que se dibuja en la figura 9.7. El triángulo es una excelente
ayuda para visualizar la posición del plano dado. •
Solución
z
3x
+ 6z
I
= 12
I
<
FIgura 9.7
(4, O, O)
4y +
T
6z
= 12
I
3x
+
y
4y = 12
x
Es fácil esbozar un plano que sea paralelo a un eje coordenado y que no pase por el
origen. Por ejemplo, la traza del plano 2y + 3z -6 = ° en el plano yz pasa por los puntos
(O, 3, O) Y (O, O, 2). La traza en el plano xy pasa por (O, 3, O) Y es paralela al eje x,
mientras que la traza en el plano yz pasa por (O,0, 2) Y es paralela al eje x.
EjercicIos
En los ejercicios 1 a 8 localize los puntos.
1.
(3, 0, O)
5. (-3,4,2)
2. (O,0,3)
3. (0,3,O)
4. (3,5, O)
6. (4, -3, O)
7. (-3, -5, -2)
8. (4, 5, -6)
En los ejercicios 9 a 12 encuentre la distancia entre los puntos A y B.
9. A(-2,0,-3),B(7,-6,-1)
11. A(1,-6,-2),B(S,4, 1)
lO. A(-S,2,4), B(4, O, -2)
12. A(l, -2,3),B(3,4,-5)
CAPiTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
290
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une A y B en los
ejercicios 13 a 16.
13. A(-3, --4, -5), B(S, 6, 7)
14. A(O, -5, 8), B(8, -3, 12)
15. A(1, 2, -3), B(7, -10, 9)
16. A(I, -8, 2), B(11, 9, 5)
17. Encuentre las coordenadas del punto que se encuentra a dos tercios de la distancia
de A(-7, -5, 3) a B(--4, 13, 6).
18. Encuentre las coordenadas del punto que se encuentra a un quinto de la distancia de
A(-7, 2, 1) a B(3, 7, 11).
19. Dados A(1,-1,2) y B(3,3,-I), encuentre las coordenadas de un punto P sobre AB si
AP/PB 37.
=
•
20. Dados A(-S, 8, -3) Y B(6, 5, -5), encuentre las coordenadas de un punto
AB extendido a través de B de modo que JAP=
J
P sobre
21. Dibuje un cubo que tenga el origen y el punto (6, 6, 6) como vértices opuestos. Es­
criba las coordenadas de los otras vértices si el cubo tiene una cara en cada plano
coordenado.
22. Dibuje el paralelepípedo rectangular que tiene tres de sus caras en los planos
coordenados así como la recta que une (O, 0, O) Y (5, 6, 8) como extremos de una
diagonal. Escriba las coordenadas de los vértices restantes.
Describa la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones.
23. Y = °
24. z = °
25. x = °
27. z = --4
28.y =-5
29. x
=
26. x = 6
-3
30. z= 1
Describa la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones. Haga un
esbozo de cada una.
31. 2x + 3z = 6
32. 2y + 3z = 12
33. 2x + 5y = 10
34. x2 + y2 = 9
35. y2 + z2 = 4
36. 4X2 + y2 = 36
37. (y - 2)2 + z2 = 4
38. (x - 3)2 + Z2 = 1
39. y2 = 4z
40. x2 = Z
41. x2 =y - 1
42. 3x + 2y + 2z = 12
43. 3x + 2y + z = 6
44.
3x + 3y + z = 9
Progra� �rore� .
,
,
,
,
Gr¡¡ph'er
••
9.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUÁDR/CAS
291
,
,
9.2 SUPERFICIES DE REVOLUCION y SUPERFICIES CUADRICAS
Se dice que se genera una superficie'de revolución cuando se gira una curva plana alre­
dedor de una recta fija en el plano de la curva. La recta fija se llama eje de la superficie.
La trayectoria de cada punto de la curva es una circunferencia con su centro sobre el eje
de la superficie. Las superficies de revolución se usan mucho en aplicaciones de mate, .
matIcas.
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la elipse
x2
2
a
+
y2
1
2
=
b
alrededor del eje x.
La superficie es simétrica con respecto a cada plano coordenado. Además, si
a > b, la superficie tiene un aspecto parecido al de una pelota de fútbol americano. Sea
P(x, y, z) cualquier punto sobre la superficie y sea un plano perpendicular al eje x que
pase por P (Fig. 9.8). La intersección del plano y de la superficie es una circunferencia.
El centro de la circunferencia está en C(x, O, O) Y una intersección de la circunferencia y la
'
A
(x,
elipse dada se ubica en
y , O). Los segmentos CP y CA, al ser radios de una circun­
ferencia, tienen la misma longitud. Por tanto, ICPI2 = ICAI2• Sin embargo,
Solución
y
ICA 12
=
y'2
=
b2
2(a2 - X2)
a
y, en consecuencia,
•
o bien
•
,
Esta es la ecuación de la superficie de revolución. Observe que esta ecuación se obtendría también reemplazando y2 por y + Z2 en la ecuación dada de la elipse. •
La superficie de revolución elíptica que se acaba de mostrar se llama elipsoide y es
la superficie que se utiliza para fragmentar piedras en los riñones mediante un triturador
de piedras que utiliza ondas de choque. Si una elipse se hace rotar alrededor de su eje
mayor para formar un elipsoide, entonces, como se vio en la sección 3.3, cualquier señal
que emane de un foco será reflejada hacia el otro foco. Las ondas de luz, las de calor y,
en particular, las de choque serán reflejadas de un foco a otro. El triturador de piedras
renales es un elipsoide que ha sido partido a lo largo del eje menor de la elipse. Con una
fuente de ondas de choque en uno de los focos del interior de la media elipsoide, el mé­
dico coloca al paciente de manera que la piedra en el riñón quede situada en el otro foco.
Después de muchos pulsos emitidos por la fuente de ondas, cada uno reflejado hacia el
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
292
otro foco, la piedra se fragmenta en pedazos que pueden ser eliminados por el paciente
mediante los procesos naturales de eliminación que posee el·cuerpo. Esta "revoluciona­
ria" técnica que permite evitar la cirugía no es sino otra aplicación moderna de la teoría
de las secciones cónicas, la cual se conoce desde hace más de 2000 años.
z
r
Figura 9.8
_
_
y
x
Ejemplo 2 Una recta que forme un ángulo agudo a constante con el eje z se hace rotar
alrededor del eje z. Encuentre la ecuación de la superficie así generada.
Solución Sea P(x, y, z) cualquier punto sobre la superficie y sea un plano perpendicular
al eje z que pase por P (Fig. 9.9). El plano interseca la superficie en una circunferencia
con centro en C(O O, z). El triángulo OCP es un triángulo rectángulo donde C es el vérti­
ce del ángulo recto. En consecuencia, ICPlIlOq = tan a y
,
eco, o, z)
.
,
.
Figura 9.9
.
y
x
9.1
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADR/CAS
293
1 CP 12 = 1OC 1 2tan2 a.
Sin embargo, ICPl2 X2 + y y IOC¡2 Z2 y, por tanto,
==
==
o bien
donde k == tan
a.
,
Esta es la ecuación de un cono circular recto.
•
Esferas
•
Una esfera se puede generar haciendo girar un círculo (o un semicírculo) alrededor de
un diámetro. Sin embargo, este método no se usará para encontrar la ecuación de una
esfera.
Ejemplo 3
Encuentre la ecuación del conjunto de puntos que se hallan a una distancia
a del punto C(h, k, 1).
Solución
Usando la fórmula de la distancia (Sec. 9.1) se escribe inmediatamente
I (x
-
h) 2 + (y - k) 2 + (z
-
l? = a2
I
(9.4)
,
Esta se llama forma centro-radio de la ecuación de una superficie esférica.
•
Al realizar los cuadrados indicados en la ecuación (9.4) se obtiene una ecuación en
la forma general
X2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz
-
H
=
O.
(9.5)
Recíprocamente, una ecuación de la forma (9.5) se puede reducir a una de la forma (9.4).
Esto se ilustra con la ecuacion
x2 + y2 + z2 - 2x + 6y + 8z + 17 =
Al completar los cuadrados en los términos x, y y z se obtiene
(X2 2x + 1) + (y2 + 6y + 9)
-
+
(z2
+
8z
+
16) == -17
O.
+
1+9
+
16
o bien
Esta ecuación, en forma centro-radio, representa una esfera con centró en (1, -3, --4) Y radio3.
Ecuaciones de segundo grado
La gráfica de una ecuación de segundo grado se llama superficie cuádrica. No es fácil
determinar las características y la ubicación de una superficie cuádrica correspondiente a
una ecuación general. Para simplificar, se considerarán sólo términos de segundo grado
que sean cuadrados de variables y no el producto de dos variables.
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
294
El recurso principal para examinar la gráfica de una ecuación es observar sus trazas
en los planos coordenados y adel!lás, si es necesario, las secciones hechas por planos
paralelos a los planos coordenados. Por supuesto, el concepto de simetría puede ser útil.
Las trazas y secciones se pueden dibujar con cierto "descuido". De hecho, estas curvas
se suelen distorsionar un poco cuando ello ayuda a visualizar la superficie. Para ilustrar
el método se utilizan algunos ejemplos.
Ejemplo 4
Esboce la superficie cuya ecuación es X2 + y= 4z.
Solución Al reemplazar x por -x y y por -y no se altera la ecuación; por consiguiente,
la superficie es simétrica a los planos yz y xz. No deben asignarse valores negativos a
z y, por tanto, ninguna parte de la superficie se encuentra debajo del plano xy. Como x =
O, Y = O Y z = O satisface la ecuación, el origen está en la superficie. La traza en el plano
yz (x = O) es la parábola y= 4z.
La traza en el plano xz (y = O) es la parábola
X2 = 4z,
y la traza en el plano xy (z = O) es
X2 + y = O,
el origen. Cuando se dibujan sólo estas trazas, puede ser dificil visualizar el aspecto de
la superficie. Sin embargo, si se obtienen ahora algunas secciones, ello puede conducir­
nos a "atar cabos". Se sustituye z = 1 para obtener una sección paralela al plano xy. El
plano z = 1 interseca la superficie en la circunferencia.
x2+y=4
z
y2
= 4z
x=O
X2
4(z
y=2
=
-
1)
(0,2, 1)
X2
4z
y=0
Figura 9.10
o
=
y
x
Se obtienen circunferencias de radios mayores a medida que el plano de intersección
se toma cada vez más alejado del plano xy. Debe tenerse ya suficiente información para
formar una imagen mental de la superficie, la cual parece un plato de cereal y, como se
9. I
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADRICAS
295
verá (en la subsección titulada "Superficies cuádricas"), se llama paraboloide. (Véase
Fig. 9.10.) Como algo interesante, se observa que las secciones paralelas a los planos xz
y yz son parábolas. Cuando y = 2, por ejemplo, se encuentra que las otras coordenadas
deben satisfacer la ecuación
X2 = 4(z 1).
Esta parábola, mostrada en la figura, tiene su vértice en (O, 2, 1). •
-
Ejemplo 5
Esboce la superficie cuya ecuación es
4X2 +y +4z2 = 16.
Solución Al reemplazar x por -x, y por -y o z por z no se altera la ecuación, por lo
cual la superficie es simétrica a cada uno de los planos coordenados. A continuación se .
obtienen y esbozan las trazas. La traza en el plano yz es la elipse
-
Z2
y2
16+4=1.
La traza en el plano xz es la circunferencia
X2 +Z2 = 4.
La traza en el plano xy es la elipse
X2
"4
y2
+ 16
=L
Cuando se dibujen estas trazas, se sugiere una superficie parecida a una pelota de fútbol
americano (véase la Fig. 9.11.) Si aún se dificulta la visualización de la superficie, debe­
rán encontrarse secciones en planos paralelos a los ejes coordenados. Por ejemplo, cuan­
do y = ±2, las otras coordenadas deben satisfacer la ecuación
x2+z2 = 3.
z
•
X2 + Z2 = 3
2
Y=
4
x=O
3
,.
v2
X2
- + L-=1
9.11
16
2 y2
X
-+-=1
-
Flgúra
'
L+ Z"" = 1
X2 + Z2 = 4
y=O
4
1
" :<' - 1I " ¡
, .
' .
z=O
Xl + Z2 = 3
y =2
X
Z =1
-----y
.
,
�'I· -;· -
16
12
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
296
la cual representa una circunferencia de radio.J3. Si continúan las dificultades, pueden
obtenerse secciones paralelas al plano xy. Si z = ± 1, las otras coordenadas deben satisfa­
cer la ecuación
X2 y2
3 + 12
1,
=
la cual representa una elipse. Se pueden encontrar otras secciones, pero hay que usar
libremente la imaginación; la figura puede enredarse si se dibujan demasiadas curvas auxi­
liares. Esta superficie se llama elipsoide. •
Superficies cuádricas
•
Se analizarán ahora ciertas ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, presentadas, se­
gún se dice, en su forma normal. El estudio de estas ecuaciones y sus gráficas, aunque
por ahora es sólo de interés geométrico, proporciona información y experiencia que de­
mostrarán su utilidad en otras situaciones matemáticas, particularmente en cálculo. En
esta sección se supondrá que a, b y e son constantes positivas.
La
elipsoide
La superficie representada por la ecuación
se llama elipsoide (véase la Fig. 9.l2). Se observa en seguida que la superficie es simé­
trica con respecto a cada plano coordenado. Al hacer una por una de las variables igual a
cero, se encuentra que las ecuaciones de las trazas son
X2
a2
.
.
'
o
:
,
.
.
y2
+ ¡;z =
1
z=
O
.
;.' ''',. 'd,
,
1"'
.
.
'.
x2 z2
2
+2
e =
a
,
1
Y= O
,
y 2 z2
b 2 + e2 =
x=
1
O
,
"
�
.!.
Figura
9.12
,
. �-
�
,
-,
/�
,• c'
9. J
SUPERFICIES DE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUADRICAS
297
Todas las trazas son elipses. A continuación, se asigna a y un valor definido y = Yo tal
que O < Yo < b, Y la ecuación dada se escribe en la forma
X2
z2
a2 + e2
\,2
= 1
-
b�'
Esta ecuación muestra que las secciones hechas por planos paralelos al plano xz son
elipses. Además, el tamaño de las secciones elípticas decrece conforme el plano de inter­
sección se aleja del plano xz. Cuando el plano en movimiento alcanza una distancia b del
plano xz, la ecuación de la sección se vuelve simplemente
X2
z2
2: + 2:
e
a
= O,
por tanto, la sección es el punto (O, b, O). Se observa entonces que cada uno de los
planos Y = b y Y = -b contiene un solo punto del elipsoide, y que todos los otros puntos
de la superficie se hallan entre estos planos. De manera análoga, se obtienen secciones
elípticas para valores de x entre -a ya y para z entre -c y c. De este modo, por el método
de las secciones, se obtiene una imagen mental cIara del elipsoide (Fig. 9.13).
En el análisis se ha supuesto que a, b y c son constantes positivas cualesquiera. Sin
embargo, si dos de las cantidades son iguales, las secciones paralelas a uno de los planos
coordenados son circunferencias. Por ejemplo, al tomar a = c y seleccionar un valor ade­
cuado Yo para y, se tiene la ecuación
y,
2
x +
a2
z2 = b2(b2
y6).
Se ve, entonces, que los planos paralelos al plano xz cortan la superficie en circunferen­
cias. En este ejemplo, la elipsoide pudo generarse al hacer girar la traza xy o la traza yz
alrededor del eje y. Finalmente, si a = b = c, la elipsoide es una esfera.
-
z
•
,
,
.
,
X2 L+ 2
2
a
b
. ". "" ...
,
1
z=O
"
.-
....
. .
.---- �
i
,._ ....
�
I
....
J
1'"_
o'
...
_
.
,
-
�
J
I
y
x
Figura 9.13
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
298
Hiperboloide de una hoja
La superficie representada por la ecuación
se llama hiperboloide de una hoja (Fig.9.14). La superficie es simétrica con respecto a
cada uno de los planos coordenados. Al hacer z O, se obtiene la ecuación
=
X2
a2
v2
+ b2
=
l.
Por tanto, la traza xy es una elipse. Si en la ecuación dada se reemplaza z por un valor
fijo zo' se obtiene
1 +
Z6
2'
e
Esta ecuación muestra que las secciones paralelas al plano xy son elipses y que el tama­
ño de las secciones crece conforme el plano de intersección z = Zo se aparta del origen.
Si a = b, las secciones son circunferencias y la superficie es una superficie de revolución.
Las trazas en los planos xz y yz, son respectivamente, las hipérbolas.
X2
a2
-
z2
?
v
•
FIgura
9.14
=
1
= O
y
y2 z2
b2 - e2
=
1
x= O
9.1
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Y SUPERFICIES CUADR/CAS
299
También las secciones paralelas a los planos xz y yz son hipérbolas. (Véase la Fig. 9.15).
z
\
., .
\
\
'
\
\
x
y
FIgura
9.15
Así mismo, cada una de las ecuaciones
z2
y2
x2
+
a2
b2
c2
-
-
-
=
1
y
representa una hiperboloide de una hoja. La primera rodea al eje y y la segunda al ejex.
Es interesante notar que las torres de enfriamiento de plantas generadoras de energía
nuclear son hiperboloides de una hoja. Dicha superficie tiene características de resisten­
cia excepcionales.
Hiperboloide de dos hojas
La superficie representada por la ecuación
se llama hiperboloide de dos hojas (Fig. 9.16). La superficie es simétrica con respecto
a cada plano coordenado. Al hacer una por una de las variables iguales a cero, se obtie­
nen las ecuaciones
z2
y2
- b 2 - c2 - I
z =
O
y =
O
x
=
O
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
300
Estas ecuaciones revelan que las trazas xy y xz son hipérbolas y que no hay traza en el
plano yz. Las secciones hechas por �l plano x = Xo están dadas por la ecuación
y2
z2
b 2 + c2
=
x2
�
a
-
l.
•
:
Figura
<�
•
. -,,- ','
� ..<
-,.
.. .
.,
..
.. . '
."
.
.
.
.
,
9.1 6
Esta ecuación representa un punto o una elipse, dependiendo de si el valor absoluto de Xo
es igual o mayor que a. Por ello, la gráfica de la ecuación dada consta de dos partes
separadas. Las secciones paralelas a los planos xz y xy son hipérbolas. Sí b = e, las sec­
ciones paralelas al plano yz son circunferencias y, en este caso, la hiperboloide de dos
hojas es una superficíe de revolución.
Las hiperboloides de dos hojas también se representan con las ecuaciones
y
La superficie correspondiente a esta última ecuación se presenta en la figura 9.17.
Paraboloide elíptica
La superficie representada por la ecuación
9. I
SUPERFICIES OE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUÁORtCAS
301
z
"
.
..,.
....
.
•
Figura 9.17
se llama
x
paraboloide elíptica (Fig. 9.18). La traza xy, obtenida al hacer z = O, es el ori­
gen. Como se supone q\le
a,
by
e
son constantes positivas, la superficie, excepto por el
origen, está arriba del plano xy. Un plano paralelo al plano xy que corte la superficie lo
hará en una sección elíptica, cuyo tamaño crecerá conforme el plano se aleje del origen.
A partir de esta información, la superficie se puede visualizar fácilmente (véase la Fig.
9.19).
Si
a =
b, las secciones paralelas al plano xy son circunferencias. En este caso, la
superficie se puede obtener girando la traza xz o bien la traza yz alrededor del eje z.
Figura 9.18
,
CAPITULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
Las paraholoides elípticas también se representan con las ecuaciones
o
by
,
y2
h
y
o
+
z-
e2
=
ax.
z
.' ...
..
•
_.
•
p
,
I '
'- -- ..._ -
;�
�•,�I J:-:.�.
f . ¡; .
.
.
, ".
;
.
Figura
,
"'
9.19
y
x
Paraboloide hiperbólica
La superficie representada por la ecuación
o
1
xa2
y-
-
-e
b"
;
se
llama paraboloide hiperbólica (Fig. 9.20). La superficie es simétrica con respecto a
los planos y= y.Yo? La traza xy está dada por el par de ecuaciones simultáneas
o
o
xa2
,,-
-
h"
z
=
O
= O
v
I
(X- + '­ X -
o bien
a
b
-
a
V
b
,
-
=
z =
O
O
•
Por tanto, la traza es un par de rectas que se intersecan en el origen. La sección de un
plano paralelo al eje xy se representa con la ecuación
x2
,,2
=
-"
a- - b' -J
-czo·
9. I
SUPERFICIES DE REVOLUCiÓN Y SUPERFICIES CUÁDRICAS
Figura
303
9.20
•
Esta es una hipérbola con eje transversal paralelo al eje r cuando Zo es positivo y paralelo al eje x cuando Zo es negativo. Las secciones paralelas al plano "z y al plano )'Z son
parábolas. El análisis anterior sugiere que la paraboloide hiperbólica es una superficie
con aspecto de silla de montar. La figura 9.21 ayudará a visualizar la superficie.
z
Figura
9.21
Cono elíptico
La superficie representada por la ecuación
-
-
-,
c-
se llama cono elíptico (Fig. 9.22). Al hacer x, y y z, una por una, iguales a cero se en­
cuentra que las ecuaciones de las trazas son
X2
a2
+
y2
b2 = O
z= O
x2
,
-¡¡¡
z2
-2
e
Y= O
,
y2 z2
P c2
x=O
-
CAPITULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
304
,
z
y
x
Figura
9.22
Las ecuaciones revelan que la traza xy es el origen y que cada una de las otras trazas es
un par de rectas que se intersecan en el origen. Las secciones paralelas al plano xy son
elipses, mientras que las paralelas a los otros planos coordenados son hipérbolas. Si a =
h, el cono es un cono circular recto. Los conos elípticos también se representan con las
ecuaciones
•
"
y
Es posible lograr traslaciones de los ejes al nuevo origen (h; k, 1) usando las ecuaciones
x' = x
-
h
,
y'
=
y
-
z' = z-/,
k,
Así, la ecuación
(x
-
1)2 + (y - 2)2
=
4(z
-
3)
representa el mismo paraboloide del ejemplo 4 de esta sección, excepto que el vértice
está localizado ahora en el punto ( 1 , 2,3). Para graficar la ecuación sólo se necesita tras­
ladar el punto (1, 2, 3), construir un conjunto de ejes x', y' y z' y graficar la ecuación
x'2 + y'2
=
4z',
Así mismo, si la ecuación se presentara en la forma
X2 + y - 2x - 4y - 4z + 17
=
0,
sólo se añadiría una pequeña dificultad, pues al completar los cuadrados y trasladar, se
llega a la misma ecuación, Vale la pena notar que todas. las ecuaciones mencionadas en
esta sección se pueden encontrar en estas formas.
o
305
EJERCICIOS
Ejercicios
Las siguientes ecuaciones representan esferas. Encuentre las coordenadas del centro de
la esfera, el radio y esboce cada una.
2. X2 + y + Z2 -2y - 6z
3. X2 + .1+ Z2 - 6x +4y - 8z - 7
4. X2 + .1 + Z2 + 4x + 6y + 8z
=
=
=
O
O
O
5. Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la elipse
alrededor del eje y.
6. Encuentre la ecuación de la superficie generada al girar la parábola y2 = 4x alrede­
dor del eje x.
En los ejercicios 7 a 16 identifique y esboce cada superficie cuádrica.
x2
7. 4"" +
y2
16
+
z2
9
=
x2
8. 4""
1
y2
z2
+9 +9=
1
10. 16x2 - 16y2 + 9z2
12. z2 - 4x2 - 9y2
1
13.
X2
4
+
y2
9=
=
14. x2 + y2 + z + 4
z
=
144
36
=
O
•
15. 9x2 + 9y2
= z2
En los ejercicios 17 a 20 esboce cada superficie cuádrica después de completar cuadra­
dos y trasladar los ejes.
17. X2 + 2y2
-
2x - 8y - 3z + 9
=
O
18. 9X2 + 16.1 - 36z2 - 18x + 72z
=
171
19. 4x2 + 4y2 + Z2 - 16x - 8y - 6z + 25
20. X2 + .1- Z2 - 2x + 2y + 2
=
=
O
O
21. La superficie de una antena para TV por satélite se obtiene haciendo girar una pará­
bola alrededor de su eje (véase la Fig. 9.23). El receptor se encuentra a 70 centíme­
tros del vértice, como en el ejercicio 42 de la sección 3.2. Encuentre la ecuación de
la superficie de la antena parabólica.
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN El ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
306
FIgura
9.23
22. ¿Por qué no se usa una paraboloide de revolución en lugar de una elipsoide de re­
volución en el diseño del triturador de piedras que recurre a ondas de choque?
9.3
,
,
COORDENADAS CllINDRICAS y ESFERICAS*
Es natural plantear la pregunta de si existe un sistema coordenado tridimiensional que
generaliza el sistema coordenado polar en el plano. En esta sección se responderá a di­
cha pregunta. De hecho, existen dos sistemas de coordenadas en el espacio que extien­
den el sistema de coordenadas polares en el plano.
Uno de tales sistemas, el sistema coordenado
en el plano xy junto con la coordenada
z
cilíndrico, utiliza coordenadas polares
tal y como se presentó antes en este capítulo.
Así, a cada punto en el espacio se le asigna una o más ternas P(r,
la figura
9.24,
donde
abajo, en tanto que
z
r
es la distancia a la que
y
e
plano xv.
*
Esta sección puede omitirse.
e, z), como se ilustra en
P está del plano xy,
ya sea por arriba o por
son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el
9.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
307
z
P(r. O. z)
z
Figura
9.24
y
o
x
Fácilmente se puede observar que la gráfica en coordenadas cilíndricas de la ecua­
ción r = l es un cilindro de radio I alrededor del eje z (véase la Fig. 9.25).
z
.'. I .
,c,..... ::: r , �.,
•
y
x
Figura
9.25
El sistema coordenado esférico es el otro sistema que generaliza las coordenadas pola­
res y que posee un valor considerable para ciertos problemas. En coordenadas esféricas, a
cada punto P en el espacio se le asocia una terna (p, e, ep) de números que representan una
distancia r y dos ángulos e y ep. El número r es la distancia IOPI del punto P al origen y, por
ende, se trata de una cantidad no negativa. El ángulo ep representa el ángulo entre el eje z
positivo y la línea OP, tal y como se ilustra en la figura 9.26. Se necesita que O < ep < n. La
segunda coordenada, e, es la misma que en coordenadas cilíndricas. Es el ángulo entre el
ejex positivo y la proyección OQ de OP sobre el planoxy, como se muestra en la figura 9.26.
.
.
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
30B
z
pepo () rp)
.
y
Figura 9.26
x
Q
En coordenadas esféricas, la gráfica de la ecuación r = 1 es una esfera de radio 1 con
centro en el origen.
Cabe aclarar que algunos textos invierten el orden en que 8 y (jl aparecen en coorde­
nadas esféricas; así podría aparecer (p, ({J, 8), donde aparece (p, 8, CP).
Se considera ahora el problema del paso de un sistema coordenado tridimtmsional
a otro.
Teorema
9.6
Si (x, y, z) y (r, 8, z) son las cootdenadas rectangulares y cilíndricas, respectivamente,
del mismo punto en el e'spacio,
x = r cos (J,
y
y = r sen (J,
tan (J= y/x,
Demostración
z=z
(9.6)
z = z.
(9.7)
Estas ecuaciones simplemente son las relaciones que aparecen en las
ecuaciones (7, 1) a (7.5) del capítulo 7, junto con el hecho de que la coordenada z es la
misma tanto en coordenadas rectangulares como en cilíndricas.
Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangu­
lares (-1, -1, -1).
Solución Se tiene r =../2, tan (J = 1, Y x < O; de manera qUe se puede utilizar la ecua­
ción (7.6) para encontrar que 8 = 51t/4. Las coordenadas cilíndricas de (-1, -1; -1) son
(../2, 51t/4, -1).
•
309
Ejemplo 2 Describa la gráfica en coordenadas cilíndricas de la superficie que tiene por
ecuación r= 3(1 + senO)
Solución Note que z no aparece en la ecuación, así que para cada valor de z, la curva
es la cardioide r= 3(1+senO), como la de la figura 7.18. La superficie es un cilindro
infinitamente largo en forma de corazón como se muestra en la figura 9.27. •
z
y
FIgura
x
9.27
Teorema
9.7
Si (x. y. z) y (p, e, 'P) son las coordenadas rectangulares y esféricas, respectivamente, de
un punto P en el espacio, entonces
x=
y
p sen cp cosO,
y=psen cpsenO,
z = pcos cp
(9.8)
(9.9)
Demostración En la figura 9.26 se puede ver que si OQ es la proyección de OP sobre
el plano xy, entonces IOQI r senj, y por ende
=
x= IOQI cos 0=psen cpcos 0,
y= IOQI seri 6 = Psen qJsen 6.
Así mismo, z = p cos 'P. La ecuación (9.9) se obtiene de inmediato a partir de la fórmula
para la distancia [véase la eco (9.1)].
Ejemplo 3 Encuentre las coordenadas esféricas del punto que en coordenadas rectan­
gulares se expresa como (2, 2, O).
Solución
Se tiene p=../8= 2 ,J2, de manera que z=pcos cpse obtiene
O= 2 ,J2cos qJ
Por consiguiente, cp = tr/2. Finalmente, sustituyendo los valores de p y de qJen x=p sen
qJcos 0, resulta que
CAPíTULO 9 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES
310
=
2
cos 8
8
=
=
2\1'2 sen
; cos
8,
1
\1'2'
1T
¡.
Las coordenadas esféricas de (2,2, O) son (2.J2, n/4, n/2).
•
EJERCICIOS
l. Encuentre las coordenadas cilíndricas de <oualquier punto en el plano xy.
2. Encuentre las coordenadas esféricas de cualquier punto en el plano xy.
En los ej ercicios 3 a 6 convierta de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas.
3. (0,1,0)
5. (-2,2,4)
4. (2,2,-4)
6. (1,2,3)
En los ejercicios 7 a 10 convierta de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangula­
res y a coordenadas esféricas.
7.
(O, 1, O)
9. (-2,2,4)
8. (2,2,-4)
10. (O, 0,1)
En los ej ercicios 11 a 14 convierta de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangula­
res y a coordenadas esféricas.
11. (1, n/2, 1)
13.
12. (1,0,2)
(O, n/4, -1)
14. (2,-n/4,-I)
15. Grafique e = n/6 en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.
16. Grafique <p = n/6 en coordenadas esféricas.
17. Un insecto se arrastra a lo largo de un tubo de 3 pulgadas de radio según la regla z =
2e, O < e < 4n. Esboce la trayectoria que se conoce como hélice.
EJERCICIOS DE REPASO
En cada uno de los ejercicios 1 a 4, encuentre la dis­
4. A(-2,-3, -4), B( 3,7, 11)
tancia de A aB,el punto medio de AB, el punto P que'
Dibuje los planos cuyas ecuaciones son
AB extendido más allá de B, de modo que AB sea 1/4
5. Y
está a 1/5 de la distancia de A a B y un punto P sobre
deBP
1. A(l, 2, 3),B(II, 12,5)
2. A(D,- 2,3), B(5, 3, -7)
3. A(I,-I,-I),B(-4,9,4)
=
4
6. z =
7. x = 5
9. 3x
1 D.
+
8.
4y
+
x
+
-
3
2\' = 4
z = 12
¿Cuál es la ecuación general de un plano si pasa
por el origen?
311
11. ¿Cuál es la ecuación de (a)el plano xy, (b) el pla­
no yz (c) el plano xz?
12. ¿Qué superficies están representadas por (a) xy
O, (b) xz
O Y (c)yz
=
=
=
O?
13. Dado el plano cuya ecuación es Ax + By + Cz +
D O. Encuentre las intersecciones con cada uno
de los ejes y la traza en cada plano coordenado.
=
Describa la superficie representada por cada una de las
siguientes ecuaciones. Esboce cada una.
14.
x-y=
16. y2 =
18.
9
X2 + y2 =
20. Y
22.
O
9
= 4x2
15.
4x + 3z = 1 2
17.
X2 - 6x +
19.
(x
21.
x2 + y2 + z2 =
=
O
3)2 + z2 = 4
-
Y =
9
sin x
En los ejercicios 23 a 28 identifique y esboce cada su­
perficie cuádrica.
X2 y2
Z2
23. "9 + '4 + 16 =
1
X2 y2
25
+
. 16 "9 = z
y2
27.
16
-
26 .
X2
9
-
+
Z2
=
4
16
y2
-
-
.
x2 z 2
= 1
"9 ¡
En los ejercicios 29 a 32 convierta de coordenadas rec­
tangulares a coordenadas cil.índricas y esféricas.
29. (O, 1, -1)
31. (2, 1,
30. ( -2,-1,0)
O)
32. (-1,-1,-3)
33. Encuentre la ecuación que representa la superficie
x2y2 +Z2 = 4 en coordenadas cilíndricas y en coor­
denadas esféricas.
25
Términos Clave
superficie cuadrática,
coordenadas rectangulares
tridimensionales,
octantes,
pág. 296
hiperboloide, págs. 298, 299
paraboloide, págs. 300, 301,302
coordenadas cilíndricas, pág. 306
coordenadas esféricas, pág. 307
pág. 281
elipsoide,
pág. 281
distancia entre puntos,
pág. 281
pág. 285
cilindro, pág. 272
simetría,
superficie de revolución,
pág. 29 I
pág. 287
•
1.
Encuentre la distancia entre los puntos (2, 3, 5) Y
d) y2/9 - x2/4
(-1, 2, -3).
e) X2
2. Encuentre el punto medio del segmento que une
los puntos (2, 3,5) Y ( -1, 2, - 3).
3.
Describa la superficie representada por la ecuación
a) X2
+z=1
b)x+2y=4
c) X2 + y +Z2 +2x +
z2116
=1
+y + z + 9 = O
4. Grafique e = 1t/4 en coordenadas cilíndricas y en
coordenadas esféricas.
5. Convierta (1, 1,1) de coordenadas rectangulares a
coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas.
6.
8y + 6z = O
-
Transforme la ecuación
nadas esféricas.
X2
+
y2 +
Z2
=
9 a coorde­
Capítulo
Vectores,
lanos
s
Muchas cantidades físicas tienen las propiedades de magnitud y dirección. Una canti­
dad de este tipo se llama cantidad vectorial. Por ejemplo, una fuerza se caracteriza por
su magnitud y su dirección de acción. Si se excluyera alglJna de estas propiedades, la
fuerza no quedaría completamente especificada. La velocidad de un cuerpo en movimiento
se detellllina por su velocidad (magnitud) y su dirección de movimiento. La aceleración
y el desplazamiento son otros ejemplos de cantidades vectoriales.
Los vectores son de gran importancia en física e ingeniería. También se obtiene gran
provec ho de ellos en las matemáticas puras. En particular, el estudio de geometría analíti­
t licación
ca sólida se facilita con la ¡p
vo inmediato al introducir vectores es usarlos para trabajar con planos y rectas en el espacio.
Es importante notar que el tratamiento de vectores presentado aquí es primitivo en
comparación con las complejas formulaciones sofisticadas que hoy día usan los matemáti­
cos y los ingenieros. Los vectores, en cualquier nivel de abstracción, se han convertido
en uno de los conceptos más útiles en las matemáticas modernas. Buena parte de las ma­
temáticas aplicadas dependen de la comprensión de la noción de vector.
Para obtener una representación geométrica de una cantidad vectorial, se empleará
un segmento de recta dirigido di ferente de cero ( Sec. 1. 1) cuya longitud y dirección
representan la magnitud y la dirección, respectivamente, de la cantidad vectorial. A fin
de tener una base para investigar problemas que incluyan cantidades vectoriales, se pre­
sentarán algunas definiciones y se enunciarán algunos teoremas útiles.
La denotación de un vector se hará mediante una letra en negrita o dando su punto
inicial y su punto final. De este modo, en la figura 10. 1 el vector (flecha) se traza de O a P y
se indica por OP o A. El punto O se llama pie del vector y el punto P se llama cabeza. Los
vectores B y -B de la figura tienen la misma longitud que A. Los vectores A y B tienen la
misma dirección, pero -B tiene dirección opuesta. Los tres vectores están relacionados de
acuerdo con la siguiente definición.
,
3J4
CAPITULO J O
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
p
A
Figura 10. I
B
-B
o
�.
'
.." . _-
. --
••
De acuerdo con esta definición, se notará que los vectores con igual longitud y di­
recciones distintas no son iguales, y que los vectores con la misma dirección y longitu­
des distintas no son iguales.
10.1 OPERACIONES CON VECTORES
•
Las operaciones de suma, resta y multiplicación de vectores se definen de manera diferente de las operaciones correspondientes con números reales. Las nuevas operaciones se
denominan así para enunciar una teoría adecuada para el estudio de fuerzas, velocidades
y otros conceptos físicos.
,
NOTA HISTORICA
La noción de vector, como se presenta aquí, se debe al físico matemático estadounidense
Josiah WilIard Gibbs (1839-1903), de Yale. Su obra Vector Analysis (1881) hizo que
estas ideas fueran accesibles a un público más amplio. La American Mathematical Society
lo honra en cada una de sus reuniones anuales con una conferencia en su nombre.
10.1
315
OPERACIONES CON VECTORES
Esta definición se ilustra en la figura 10.2. La suma de los vectores se llama resul­
tante y cada uno de los vectores que forma la suma se llama componente. El triángulo
formado por los tres vectores, A, B Y A + B, se llama triángulo vectorial. Este método
de sumar vectores se usa en física en donde se muestra, por ejemplo, que dos fuerzas apli­
cadas a un punto de un cuerpo tienen exactamente el mismo efecto que una sol a fuerza
igual a su resultante.
FIgura 10.2
Teorema
A
10.1
La suma vectorial es conmutativa.
Es necesario demostrar que si A y B son dos vectores cualesquiera, en­
Demostración
tonces A + B
=
B + A. Para ello, se dibujan A y B a partir del punto O (Fig. 10.3) Y
después, se completa un paralelogramo con los vectores formando lados adyacentes.
Como los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos, se observa que el
pie de B en la parte inferior de la figura está en la cabeza de A. Por tanto, la suma A + B
se encuentra a lo largo d� la diagonal que se extiende desde O y, de la parte superior de
la figura, se observa que B +
ces que A
+B
=
A
está a lo largo de la misma diagonal. Se concluye enton­
B + A, lo cual significa que los vectores son conmutativos con respecto
a la suma.
A
B
FIgura 10.3
o
A
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
CAPíTULO 1,0
316
Teorema 10.2
Los vectores obedecen la ley asociativa de la suma.
Demostración
Dados tres vectores A, B Y C, se probará que
(A + B) + e = A + (B + C).
A partir de la figura 10.4 se observa que OE = A + B Y que al agregar C a esta suma se
obtiene
,
=
OF
(A + B)
+ C.
De manera análoga, DF = B + C y, al agregar esta suma a A, se tiene
=
OF
(A + B)
F
+ C.
E
A +B
o
A
Figura 10.4
D
Por tanto, las sumas (A + B) + C Y A + (B + C) tienen la misma resultante; en conse­
cuencia, la suma vectorial es asociativa.
R
A -B
------
-B
B
Figura 10.5
Q
o
A -B
1 0.1
OPERACIONES CON VECTORES
317
Con referencia al paralelogramo OPQR en la figura 10.5, se observa que el vector
de O a P es igual a A - B Y que el vector de R a Q también es igual a A-B. De modo
que, de manera alternativa, si A y B se dibujan desde un punto común, el vector que va
de la cabeza de B a la cabeza de A es igual a A-B.
Cuando en un problema o en un análisis se incluyen números y vectores, algunas
veces a los números se les llama escalares para distinguirlos de los vectores.
Esta definición se ilustra en la figura 10.6, donde el escalar m tiene los valores -2 y4/3.
A
-2A
..
Figura ! 0.6
•
Teorema 10.3
Si
myn
son escalares y
A Y B son vectores,
(m + n)A
=
entonces
mA + nA
(10.1)
mA + mB.
(10.2)
y
meA + B)
Demostració"
=
Se deja al estudiante la demostración de la ecuación (10.1). Para probar
la ecuación ( 10.2), se nota que
A, B Y A + B forman
los lados de un triángulo (Fig. 10.7).
Si cada uno de estos vectores se multiplica por un escalar
m distinto de cero, los produc­
mA, mB y meA + B) pueden colocarse de modo que formen un triángulo en el cual
meA + B) mA + mB (Fig. 10.8). Por tanto, como lo expresan las ecuaciones ( 10.1) Y
tos
=
( 10.2), los escalares y los vectores obedecen la ley distributiva de la multiplicación.
318
CAPíTULO 10
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
B
mB
m(A+B)
mA
A
Figura
10,7
Figura
10.8
Se buscará una interpretación de la diferencia de un vector con él mismo y el pro­
ducto de cero y un vector. Esto es, si A es un vector, ¿qué significado debe darse a
A - A Y a (O)A? Para que estas cantidades sean vectores, las definiciones (10.4) Y (10.5)
requieren que, en cada caso, la longitud sea igual a cero. Para manejar una situación de
este tipo, se acostumbra ampliar el concepto de vector hasta incluir a uno de longitud
cero, el cual se conoce como vector cero.
Algunas veces conviene encontrar dos vectores cuya suma sea igual a un vector dado.
Se dice, entonces, que el vector dado se ha descompuesto en dos componentes. Las com­
ponentes pueden estar a lo largo de dos direcciones cualesquiera en un plano que conten­
ga al vector dado. Una construcción gráfica de las componentes se puede obtener al formar
un triángulo vectorial en el cual un lado sea e l vector dado. Así, las componentes están a
lo largo de los otros lados.
Vectores en un plano de coordenadas rectangulares
Hasta ahora no se ha usado un sistema coordenado al considerar los vectores. Sin embar­
go, muchas operaciones de vectores se pueden realizar fácilmente con la ayuda de un
sistema coordenado. Para comenzar el estudio de vectores en un plano coordenado se
presentan dos vectores especiales, cada uno de longitud unitaria. Uno de estos vectores,
cuya denotación es i, tiene la dirección del eje x positivo; el otro vector, cuya denotación
es j, tiene la dirección del eje positivo y. Cada uno de estos vectores, así como cualquier
vector de longitud unitaria, se llama vector unitario.
Como los vectores con la misma longitud y la misma dirección son iguales (Defini­
ción 10.2), cada uno de los vectores i y j puede extenderse desde cualquier punto escogi­
do del plano coordenado, pero suele ser conveniente colocarlos de modo que se extiendan
desde el origen (Fig. 10.9).
E l producto mi es un vector de longitud m unidades y tiene la dirección de i si m
es positivo y la dirección opuesta si m es negativo ( Definición 10.5). Una afirmación
análoga se aplica a l producto mj. Usando estos hechos, se señalará que cualquier vector
puede expresarse en términos de los vectores unitarios i y j. Sea V un vector desde el
origen al punto (a, b), como se muestra en la figura 10.10. Está claro que aí y bj son las
JO. J
319
OPERACIONES CON VECTORES
y
(O. 1)
J
•
---r-------- --�� -----.�
O
Figura 10.9
•
x
(1. O)
I
componentes horizontal y ver tical del vector dado y, por tanto,
se llama componente x de V y bj, componente y.
V ai + bj. El vector ai
=
y
(a. b)
bj
Figura 10.10
O
x
al
•
•
Continuando con el vector V, se hacen las siguientes observaciones: como la longi­
tud de la componente x de V es a y la longitud de la componentey es b, se puede usar el
teorema de Pitágoras para hallar la longitud o magnitud de V. De esta manera, si la
denotación de la longitud es IVI. se tiene
IVI
=
Va2 + b2.
Si se divide V entre IVI, el resultado es un vector unitario con la misma dirección que V.
Por ejemplo, la longitud de V 3i - 4j es
=
IVI
=
\jC'
9 -+-1 '-:6
=
5.
y
V
IVI
3i - 4j
5
=
3.
-1
5
4.
- -J
5
es un vector unitario con la misma dirección que 3i - 4j.
320
CAPíTULO 10
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
Teorema' 0,4
Si los vectores
V, y V2,
en términos de sus componentes x y de sus componentes y, son
V¡=a¡i+bd
V2=a2i + b2j,
y
entonces,
(10.3)
y
(10.4)
Demostración
Si el pie de V, está en el origen, la cabeza Se hallará en el punto
Entonces, si el pie de
b,
+
b), Y
V2
está en la cabeza de
VI'
la cabeza estará en
el vector del origen a este punto se expresa como
(a" b,).
el punto (a, + a2,
•
(a, + a2)i + (b, + b2)j,
lo cual, por la definición 10.3, es igual a
V, + V2.
Se deja al estudiante la demostración
de la fórmula (10.4).
Aunque la fórmula (10.3) resulta fácilmente de la definición de la suma de dos
vectores, vale la pena notar que la fórmula se puede probar usando los teoremas 1 O.l,
10. 2 Y 10.3. Por consiguiente,
VI + V2 = (alí + b¡j) + (a2i + b2 j )
= ali + a2i + bd + b2 j
= (al + a2)í + (b¡ + b2)j ·
Debería mencionarse aquí que si P,(x" y¡) y P2(X2, y) son dos puntos, entonces
.
PIP2 = (x2 - xl)i + (h
-
YI) j .
Esto es fácil de observar pues si O es el origen, entonces
OPI
=
Xli + y¡j,
y
Ejemplo 1
PIP2 = OP2 - OPI'
Se dibujan vectores del origen a los puntos P(3, -2) Y Q(l, 5). Señalando
estos vectores como OP A Y OQ=D, encuentre A + D Y A-D.
,
=
Solución Los vectores dados, en términos de sus componentes x y sus componentesy, son
A = 3i - 2j
y
B = i + 5j.
Entonces, por el teorema anterior,
A + B = (3 + l)i + (
-
2 + 5)j
= 4i + 3j
y
A
-
B = (3 - l)i + (-2 - 5)j
= 2i - 7j.
10.1
OPERACIONES CON VECTORES
321
Estos dos resultados se ilustran en la figura 10.11. Como se señaló en la figura 10.5, el
vector A B, es igual al vector que se extiende de la cabeza de B a la cabeza de A. En
la figura, el pie de A B no está en el origen. Sin embargo, un vector igual a A - B con
su pie en el origen tendría (2, -7) como coordenadas de su cabeza. •
-
-
y
y
Q(1,5)
Q(1,5)
B
(4, 3)
B
B
A-B
x
x
P(3, -2)
P(3, -2)
Figura
10.11
Ejemplo 2
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une
los puntos P(-2, 4) Y Q(8, 2).
Solución Se encuentra primero el vector que va del origen al punto medio del segmento
de recta. Este vector es igual al vector que va del origen a P má s la mitad del vector que
va de P a Q (Fig. 10.12). Si las denotaciones de los vectores del origen a P y a Q son A y
B, respectivamente, se tiene
A
B
B
- A
=
=
=
Entonces, el vector V que se busca es
V
=
=
=
A +
1
2(B
-2i + 4j,
8i
lOi
+
2j,
2j.
-
- A)
(- 2i + 4j) +
3i
+
�(lOi
-
2j)
3j.
Este resultado muestra que la cabeza de V se encuentra en el punto (3, 3) Y que éstas son
las coordenadas del punto medio de PQ. •
322
CAPíTULO J O
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
y
P(-2,4)
Q(8, 2)
B
Figura
10,12
x
o
Ejemplo 3 Encuentre los vectores del origen a los puntos de trisección del segmento de
recta que une los puntos P(l, 3) Y Q ( 4, -3). Indique las coordenadas de los pun­
tos de trisección.
Solución
Uno de los vectores que se buscan es igual al vector que va del origen a P
más un tercio del vector que va de P a Q (Fig. 10. 13). El otro vector deseado es igual
al vector que va del origen a P más dos tercios del vector que va de P a Q. Si los vec­
tores que van del origen a P y Q se denotan como A y B, respectivamente, se escribe
y
P(l,3)
A
PQ
=
B-A
x
o
Figura
Q (4,-3)
10.13
A
B
-
=
B
=
A
=
i
+
4i
3j,
3j,
-
3 i - 6j.
Por tanto, uno de los vectores VI que se busca es
10.1
OPERACIONES CON VECTORES
323
VI
=
1
A + -(B - A)
3
=
(i + 3j) +
=
2i + j.
=
(i + 3j) +
=
3i - j.
�(3i - 6j)
El otro vector V2 es
V2
Los vectores 2i
(2,I)y(3,-I)
+
.
�(3i - 6j)
j y 3i - j indican que las coordenadas de los puntos de trisección son
•
Los ejemplos 2 y 3 duplican, en terminología vectorial, los resultados de la sección
1.3 e ilustran una técnica má s general. Para encontrar la ecuación de todos los vectores
V que van del origen a la recta que pasa por los extremos de los vectores A a]i + a2j y
B b]i + b2j, debe notarse que V A + t (B - A) para algún número real t. Entonces,
=
=
=
V
=
=
=
A + t(B - A)
alí + a2j + t(b¡ - a¡)i + l(b2 - a2)j
«( 1 - t)a¡ + lb¡)i + «(1 - t)a2 + tb2)j·
Esto determina el vector V en términos del pará metro t. Observe que cuando t 0, V
A; Y que cuando t 1, V B. Para O < t < 1, el extremo de V cae a lo largo de B - A.
=
=
=
=
Ejemplo 4 Encuentre la ecuación paramétrica para los vectores que van del origen a la
recta que une P(1, 3) Y Q(4, -3)
.
Solución Los puntos son los mismos que los del ejemplo 3,y es suficiente con la figura
10.13. A partir del aná lisis, se sabe que el vector V que va del origen a PQ B - A está
=
re presentado por
V
=
=
=
donde
t
A + t(B - A)
(i + 3j) + t(3i - 6j)
(3t + l)i + (3 - 6t)j,
es un número real arbitrario.
•
Ejemplo 5 Una fuerza está representada en magnitud (kilogramos) y dirección por
el vector 6í + 8j. Una segunda fuerza está representada por !Oí + 24j. Encuentre una re­
presentación vectorial para una sola fuerza que sea exactamente .equivalente a estas dos
CAPíTULO 10
324
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
fuerzas actuando simultáneamente, ¿Cuáles son las magnitudes de las tres fuerzas? Pro­
porcione la dirección de la resultante, indicando el ángulo (al grado más cercano) que
forma con el eje x positivo, ¿Qué ángulo (al grado más cercano) forma la resultante con la
dirección de la primera fuerza?
Solución Sean
VI' V2 y V los vectores que representan a las fuerzas primera, segunda
y resultante, respectivamente (Fig,
V
V
=
=
=
10,14), Entonces,
VI + V2,
(6i + 8j) + (lOi + 24j)
16i + 32j.
,
Esta es la representación vectorial de la fuerza que reemplaza a las otras dos. Ahora bien,
Ivll
Iv21
y
Ivl
=
víOO 10 libras
576
v'676 26 libras
=
Y36 + 64
=
Y100 +
=
=
=
Y256 + 1024
=
=
YI280
Si e es el ángulo que forma la resultante con el eje
tan ()
=
()
=
=
x
16Vs libras
positivo (Fig. 10.14), entonces
32
2,
16
tan-12
63°.
=
=
y
30
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
25
20
v2
15
10
5
FIgura 10.14
O
5
10
15
20
x
10. I
325
OPERACIONES CON VECTORES
Si cp es el á ngulo que forma la resultante con la dirección de la primera fuerza (Fig.
10.14), entonces, por la ley de los cosenos,
cos 4J
4J
=
102 + ( 16\1'5)2 - (26 ) 2
2( 10)(16Vs)
=
0.9839,
=
cos-10.9839
=
10° .
•
Ejemplo 6 En el lenguaje de la navegación aérea el rumbo de un vector V es el á ngulo, medido en el sentido en que giran las manecillas del reloj, que V forma con el eje y
positivo (dirección norte) . Un aeroplano se desplaza en dirección este (rumbo 90 ) con
una velocidad con respecto al viento (como si éste fuera el sistema de referencia) de
200 km/h. El viento sopla a razón de 20 km/h desde el suroeste. Encuentre la velocidad
con respecto al suelo y la trayectoria real del aeroplano.
,
°
Solución Si se permite que los vectores H y W representen las direcciones en que se
mueven el aeroplano y el viento, respectivamente, resulta que H 200i, IWI 20, Y el
rumbo de W es de 45°. Así, W queda representado por un vector de la forma ai + aj,
donde a2 + a2 202 , o a 10.J1 Se tiene que W 10.J1 i + 10.J1 j, y se buscan la
orientación y la magnitud de H + W (200 + 10.J1)i + 10.J1 j. De la figura 10. 15 se
observa que si f) es la orientación de H + W, entonces
=
=
=
=
=
.
=
y
IH
+
WI
V(200
+ 10\12)2
10(21.46)
=
+ ( 10\12)2
214.6.
N
w
H+
H
Figura
10.15
s
E
CAPíTULO J O
326
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
la trayectoria del avión tiene rumbo de 86° con una velocidad de 215 km/h con respec­
to al suelo. •
Ejercicios
En cada uno de los ejercicios I a 8, sea P el vector dibujado del origen al primer punto y Q
el vector dibujado del origen al segundo punto, Encuentre, en forma de componentes, P, Q,
PQ,P + Q y P - Q, Encuentre la longitud o magnitud de P en cada caso. Dibuje todos los
vectores.
l . P(3, 2), Q(S, -4)
2. P(4,O),Q(O,5)
3. P(-4,5), Q(-2,-3)
4, peS, 6),Q(-3, -3)
5. P(O,3), Q(-4,-2)
6. P(-I, 7), Q(2, -3)
7. P ( - I , -3),Q(3,4)
8. P(3, -12),Q(4, -1)
En cada uno de los ejercicios 9 a 1 2 determine un vector unitario que tenga la dirección
del vector.
9. 4i - 3j
10. Si+12j
11. i+Sj
12. -i- 7j
En los ejercicios 13 a 16 determine un vector que tenga la dirección del vector dado y
con la longitud dada.
13. 3i + 4j, longitud 8
14. -Si
15. i - j, longitud S
16. 2i - 3j,longitud 10
+
12j, longitud 15
En cada uno de los ejercicios 17 a 20,use el método del ejemplo 2 para encontrar las
coordenadas del punto medio del segmento de recta que une a P y Q.
17. P(2, 3), Q(6, -5)
18. P(3,8), Q(-7, 2)
19. P(-3,-2), Q(7,4)
20. P(al' b),Q(a2, b2)
En cada uno de los ejercicios 21 a 24,use el método del ejemplo 3 para encontrar las
coordenadas de los puntos de trisección de los segmentos de recta que unen P y Q.
21. P(-4, -4), Q(S, 2)
22. P(-8, 5), Q(1, -7)
23. P(3, 3), Q(-6, -3)
24. P(al' bl), Q(a2,b)
En los ejercicio 25 a 28, use el método del ejemplo 4 para encontrar la representación
paramétrica de un vector que va del origen a la recta que pasa por P y Q .
•
25. P(-4, -4), Q(S, 2)
26.
P(3,8),Q(-7,2)
27. P(O, 1), Q(-3,-2)
28.
P(O. a), Q(b,O)
29. Una fuerza se representa con 2i + 8j Y una segunda fuerza se representa con 3i +
4j. Encuentre el vector que representa la fuerza resultante y el ángulo (al grado más
próximo) que forma con la dirección de la segunda fuerza.
J 0.2
327
VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
30. La resultante de dos fuerzas está dada por 9i + 15j. Si una de las fuerzas está dada
por 4i + 3j, encuentre un vector para la segunda fuerza y el ángulo (al grado más
próximo) entre las direcciones positivas de las dos fuerzas componentes.
31. Un aeroplano tiene una velocidad de cr ucero de 300 km/h. Se dirige en dirección
sur (rumbo 180°) , pero, debido a un fuerte viento que viene del oeste, su velocidad
con respecto al suelo es de 310 km/h. Encuentre la velocidad del viento y la trayec­
toria del aeroplano.
32. Un piloto desea volar a una ciudad que se encuentra 330 km hacia el este. El viento
sopla a 27.5 km/h con rumbo 101. 2°. Si el viaje ha de tomar una hora, ¿cuá l es la
dirección y la velocidad con respecto al viento que debería escoger el pil oto?
10.2 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
En el sistema coordenado rectangular tridimensional, los vectores unitarios que van del
origen a los puntos (1, 0, O), (O, 1, O) Y (O, 0, 1) se representan, respectiva mente, con i, j
Y k. Cualquier vector se puede expresar en términos de estos vectores unitarios. Por con­
siguiente, el vector del origen al punto Pea, b, e) está dado por
OP
=
A
=
ai
+
bj
+
ek.
Los vectores ai, bj y ck son los componentes x, y y z del vector A. La longitud de A se
puede obtener usando las longitudes de l os lados de los triángulos rectángulos vectoriales
OCP y ODC (Fig. 10.16) . A partir de la rel ación pitagórica se encuentra
lopI2
=
=
=
IOCI" + IcpI2
IOD 2 + IDCl2 + IcpI 2
a2 + b2 + e2.
z
k
A
o
J
•
Figura 10.16
Pea, b, el
ck
y
bj
x
e
CAPíTULO 10
328
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
Teorema 10,5
Si los vectores
V, y V2,
en términos de sus componentes x, y y z son
y
entonces,
(10.5)
y
(10.6)
Demostración Si el pie de V, está en el origen, la cabeza estaría en el punto
(a" b" e ) . Entonces, si el pie de V2 se encuentra en la cabeza de V" la cabeza de Vl se
halla en el punto (a, + al' b, + b2, e, + el) y, por la definición 10.3, el vector del origen a
este punto es igual a la suma de los dos vectores dados. Por tanto,
VI + V2
=
(al + a2)i + (bl +b2)j + (el + e2)k.
Esto prueba la fórmula (10.5). Se deja al estudiante la demostración de la fórmula (10.6).
Se hace incapié, en que las fónnulas (10.5) Y (10.6) también se pueden obtener
mediante los teoremas 10.1, 10.2 Y 10.3.
Como en el caso del plano, y por las mismas razones, se menciona que si PI(XI, Y"
ZI) y PzCX2' Y2, Z2) son dos puntos en el espacio, entonces
p¡p2
(x2 - x¡)i + (Y2 - y¡)j + (Z2 - z¡)k.
=
Ejemplo 1 Dados los vectores del origen a los puntos P(3, -2, 4) Y Q(1, 5, -1), indique
-=-="
estos vectores mediante OP A Y O Q B Y encuentre A +B Y A-B.
•
=
=
Solución En términos de sus componentes x, Y y
A
=
3i - 2j + 4k
y
z,
los vectores dados son
B
i + 5j - k.
=
Entonces, por el teorema anterior,
A + B
=
=
A - B
(3 + l)i + (-2 + 5)j + (4 - l)k
=
(3 - l )i
(-2 - 5)j + (4 + l)k
=
+
4i + 3j + 3k,
2i - 7j + 5k.
•
Ejemplo 2
Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de recta que une
los puntos P(2, 4, -1) Y Q(3, O, 5 ).
Solución
Se encuentra primero el vector del origen al punto medio del segmento de
recta. Este vector es igual al vector que va desde el origen hasta P más la mitad del vector
de P a Q. Al señalar como A y B a los vectores que van del origen a P y a Q, respectiva­
mente, se tiene
A
=
B
=
B - A
=
2i + 4j - k,
3i + Oj + 5k,
i - 4j + 6k.
329
EJERCICIOS
Como B - A es el vector de la cabeza de A a la cabeza de B, el vector V que se busca es
V
=
=
=
l
A + -(B - A)
2
(2i + 4j - k) +
�i
+
� (i - 4j
+
6k)
2j + 2k.
A partir de cste resultado se observa que la cabeza de V se halla en el punto (512, 2, 2),
Y éstas son las coordenadas del punto medio de PQ. •
Ejemplo 3 Encuentre las coordenadas del punto que está a 3/4 de la distancia de
P(2, 5, 6) a Q(6, -7, -2).
•
•
Solución Observando que el vector de P a Q es OQ - O P, se desea encontrar la cabeza
.
.::-::=:-:
del vector OP + 3/4 (OQ - OP). Por tanto, se tiene
OP
OQ
OQ - OP
=
=
=
2i + 5j + 6k,
6i - 7j - 2k,
4i
12j - 8k.
-
Entonces, el vector V del origen al punto en cuestión es
V
=
2i
+
=
Si
-
Sj + 6k +
� (4i -
12j - 8k)
4j + Ok.
En consecuencia, (5, -4, O) son las coordenadas del punto a 3/4 de la distancia deP aQ.
•
Ejercicios
•
En cada uno de los ejercicios l a 8, sea P un vector dibujado del origen al primer punto
y Q el vector dibujado del origen al segundo punto. Encuentre, en forma de componen­
tes, P, Q, PQ P + Q y P - Q. Encuentre en cada caso la longitud o magnitud de P.
,
1.
P(l, 2, 2), Q(1, -4, -2)
2. P(3, O, 4), Q(O, 7, 8)
3. P(3, -2, 4), Q(-l, -2, -3)
4. P(7, 8, 5), Q(3, 3 2)
5. P(-4, -4, -4), Q(l, 3, 7 )
6. P(-2, 1, -2), Q(5, 1, O)
7 . P(O, 8, -6), Q(4, -3, 6)
8. P(4, -2, -4), Q(l, 9, 12)
-
,
En cada uno de los ejercicios del 9 al 12 determine un vector unitario que tenga la direc­
ción del vector.
9. 2i-2j+k
11.
3j-4k
10. 3i - 4j + 4k
12. i- 5j- 2k
330
CAPíTULO 10
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
En los ejercicios del 13 al 16 determine un vector que tenga la dirección del vector dado
y con la longitud dada.
13. i + 2j - 2k,longitud 12
15. Si + 6j
+
7k, longitud 5
14. i
+
3j - 4k,longitud 3
16. 2i - 3j - 4k,longitud 10
En cada uno de los ejercicios 17 a 20,encuentre los vectores del origen al punto medio
del segmento de recta que une a los puntos P y Q. ¿Cuáles son las coordenadas de las
cabezas de estos vectores?
17. P(3, -4,5), Q(S, -6, 3)
18. P(-7, -4, -5), Q(-3, 2, -1 1)
19. P(8,7, -6), Q(3, 4, 5)
20. P(3,5, 4), Q(4,-2, 7)
En los ejercicios 21 y 22 encuentre los vectores 'del origen a los puntos de trisección del
segmento de recta que une P y Q. Indique las coordenadas de las cabezas de estos vectores.
2 1. P(5, 1, -1 ), Q(lI, 1O, 5)
22. P(-2, 3, -4), Q(-8, 15,14)
En los ejercicios 23 y 24 encuentre la representación paramétrica de un vector del origen
a la recta que pasa por P y Q.
23. P(3,5, 6), Q(7, 1,4)
24. Pea, b, e), Q(d, e,j)
25. El segmento de recta de P(-2, 3, 5) a Q(l, 2, -2) se prolonga por cada extremo en
una cantidad igual a su longitud. Use vectores para encontrar las coordenadas de los
nuevos extremos.
10.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Hasta ahora no se ha definido el producto de dos vectores. En realidad, hay dos tipos de
productos de vectores que son importantes en física, ingeniería y otros campos. Se pre­
sentará el más sencillo de los dos productos.
Se usa el término "escalar"porque el producto es una cantidad escalar. El producto
también se conoce como producto punto. No hay diferencia si el ángulo e es positivo o
negativo, pues cose = cos(-e). Sin embargo, e se restringirá al intervalo O < e < 2 re. El
ángulo es igual a O si A y B apuntan en la misma dirección, y es igual a re, si apuntan en
direcciones opuestas.
10.3
331
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Como cos n/2 O Y cos O 1, es evidente que el producto escalar de dos vectores
perpendiculares es cero y el producto escalar de dos vectores en la misma dirección es el
producto de sus longitudes. El producto punto de un vector por él mismo es el cuadrado
de la longitud del vector. Esto es,
=
=
En la figura 10. 17, el punto M es el pie de la perpendic1,llar al vector A dibujado
desde la punta de B. Al vector de O a M se llama vector proyección de B sobre A. El
vector proyección y A apuntan en la misma dirección, puesto que e es un ángulo agudo.
Si e excede los n/2, entonces A y el vector de O a M apuntan en direcciones opuestas.
La proyección escalar de B sobre A se define como IBI cos e; el signo de la proyección
escalar depende de cos e. Usando la idea de proyección escalar de un vector sobre otro,
es posible interpretar geométricamente el producto punto como
,
A B
•
=
=
IAllBlcos e
(longitud de A) por (la proyección escalar de B sobre A).
También se podría decir que el producto punto de A y B es la longitud de B por la pro­
yección escalar de A sobre B.
Quizás el ejemplo' más sencillo de producto escalar se obtenga al ilustrar el trabajo
mecánico. Sea F una fuerza aplicada a un objeto O (Fig. 10. 17). Si la fuerza mueve el
objeto una distancia representada en magnitud y dirección por un vector S, se dice que la
fuerza F realiza un trabajo. La medida del trabajo se define como el producto de la dis­
tancia que se ha movido y la componente de F en la dirección de S. Esto es,
Trabajo
=
ISllFlcos e
donde e es el ángulo entre F y S. Esto puede expresarse en forma equivalente como
Trabajo
=
F S.
•
•
B
Figura 10.17
A
o�--�----�-M
Ejemplo 1 En la figura 10.18, sea la longitud de F
10 m, la longitud de S
n/3. Entonces, el trabajo realizado por F está dádo P¡ or
=
,
!
=
6mye
=
.
332
CAP{TULO
Trabajo
=
!4(10)(6)=30 m-kg.
10
VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
•
Por definición, A o B y B o A tienen exactamente los mismos factores escalares y, por
tanto,
AoB=BoA
(10.7)
Esta ecuación expresa la propiedad conmutativa para la multiplicación escalar de
vectores. A continuación se enunciará la ley distributiva.
o
FIgura 10.18
'-----1-
--1-_
___
s
Teorema 10.6
El producto escalar de vectores es distributivo. Esto es,
Ao(B + C)=AoB + AoC.
(10.8)
B
Figura 10.19
-
,
.
o
b
I
I
I
e
A
10.3
333
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Demostración
Si se denomina b y
e
a las proyecciones escalares de
observa (Fig. lQ.19) que la suma de las proyecciones escalares de
misma que la proyección escalar de
(B+C) sobre A.
Por tanto,
B y e sobre A, se
By
e sobre A es la
IAI(b+e) = IAlb+IAle
y
Ao(B+C)=AoB+AoC.
(10.9)
A partir de las ecuaciones (10.7) Y (10.8), es posible deducir que el producto escalar
de sumas de vectores puede realizarse como si se estuvieran multiplicando dos expresio­
nes algebraicas, cada una de más de un término. Así, por ejemplo,
(A+B)o(e+D)= Ao(e+ D)+Bo(e+D)
= Aoe+AoD +Boe+BoD .
Si m y n son escalares, entonces
(mA) (nB) = mn(AoB).
(10.10)
La ecuación es cierta aun si m o n es igual a cero, pero si tanto m como n son positivos o
negativos, entonces mn es positivo y, en consecuencia,
(mA) . (nB) = ImAllnBI cos ()
= mn(A . B).
Si m y n tienen signos opuestos, el ángulo entre A y B Y el ángulo entremA y nB difieren en
n. Entonces, al observar la figura 10.20 Y notar que mn es negativo, se puede escribir
(mA) (nB) = ImAllnBI COS(7T - (})
= - ImA 1 1 nB I cos ()
= mn(A . B).
Por tanto, la ecuación (10.10) es cierta para todos los escalares m y n y todos los vectores
.
A y B.
•
B
()
o
Figura 10.20
A
nB
mA
334
CAPíTULO 10
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
Teorema 10.7
Si
los vectores A y B están expresados en términos de los vectores unitarios i, j Y k,
mediante
A
B
=
a¡i + bd + c¡k,
=
azi + bzj + czk,
entonces
(10.11)
Para obtener el producto punto de A y B, se determinan primero los
productos punto de los vectores unitarios i, j Y k De esta manera, se obtiene
Demostración
..
i· i
=
j' j
i. j
=
j . k
=
k· k
=
k. i
=
=
1,
O.
Luego, se encuentra
A . B
(a¡i + bd + c¡k) . (azi + b2j + czk)
=
=
a¡i (azi + bzj + czk) + bd . (azi + bzj + czk)
+ c¡k (azi + bzj + czk)
•
•
=
a¡azi
•
i + O + O + O + b¡bzj
•
j + O + O + O + c¡cZk
.
k.
Por tanto,
A
.
B
=
a¡aZ + b¡bz + C¡Cz.
Esta ecuación muestra que el producto punto se obtiene mediante un simple proceso de
suma de los productos de los coeficientes de i, j Y k correspondientes.
Antes de dar algunos ejemplos, hay que insistir en que si A y B son vectores distin­
tos de cero, entonces A es perpendicular a B si y sólo si A B 0, y A es paralelo a B si
y sólo si A B ±IAIIBI.
•
•
=
=
Ejemplo 2 Determine si los vectores
A
B
=
=
3i+4j
- 8k,
2k
4i - 7j
-
son perpendiculares.
Solución
El producto escalar es
A
.
B
=
(3)(4)+(4)(-7)+(-8)(-2)
Como este producto es cero, los vectores son perpendiculares.
=
O.
•
J 0.3
335
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Ejemplo 3 Pruebe que los vectores
A 2i - 3j - 4k,
B = -6i + 9j + 12k
=
son paralelos.
Solución El producto escalar es
Ahora,
A - B = -12 - 27 - 48 = -87.
IAI = \14 + 9 + 16 = \129,
lB = \136 + 81 + 144 = v'26t = 3\129,
y
AIIBI = 3(29) = 87.
Como en este caso A B = -IAIIBI, los vectores son paralelos.
•
•
Ejemplo 4 Se dibujan vectores del origen a los puntos P(6, -3,2)
cuentre el ángulo POQ.
Y
Q(-2, 1,2). En­
Solución La denotación de OP es A y la de OQ es B,y se escribe
_.
.
A = 6i - 3j + 2k,
B = -2i + j+ 2k.
Para encontrar el ángulo, se sustituye en ambos miembros de la ecuación
A B = A II B cos
-
(J.
El producto en el miembro .izquierdo es A B = -12 - 3 + 4 = -11. Las longitudes de A
y B son IAI = .J36 + 9 + 4
7,IBI = .J4 + 1 + 4 = 3 . Por tanto,
•
=
cos
o
(J
=
e
=
=
=
e
A- B
-11
21
AI I B I
-0.524
2.12 radianes
122° (al grado más próximo).
•
Ejemplo 5 Encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de
B = 2i - 3j - k
sobre A = 3i - 6j+ 2k.
Solución La proyección escalar de B sobre A es IBI cos (J, donde (J es el ángulo entre
los vectores. Al usar la ecuación
A -B = IAIIBI cos
se obtiene
e,
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
336
IBI
cos
8
=
A·B
IA I
-
6+ 18 - 2
-:-yC9=+==4 ==36:=+=
22
-
-
La proyección escalar de B sobre A es de 22/7. Como la proyección escalar es po­
sitiva, la proyección vectorial está en la dirección de A. El vector proyección es, por tan­
to, el producto de la proyección escalar y un vector unitario en la dirección deA. Este vector
unitario esA dividido entre su longitud. Por ello, la proyección vectorial de B sobreA es
22 3i - 6j+ 2k
.
7
7
=
� '
�� 3 I
49
_
'
•
6J + 2k) .
Ejercicios
En los ejercicios
l
a 6 encuentre A . B y el coseno del ángulo entre los vectores.
1. A = 8i+ 8j- 4k,
B =i-2j- 3k
4. A=i- j-k,
B =4i- 8j+k
2. A=i - 2j+2k,
3. A=i+10j+2k,
B=3i-4k
B=i+j+k
5. A=2i- 2j- k,
6. A=2i- j+3k,
B = 1 6i+ 8j + 2k
B=i+j-k
En los ejercicios 7 y 8 encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de
sobre A.
7. A=4i-4j+2k
B=i + j+2k
B
8. A= 8i+4j- k
B=2i-3j+k
En los ejercicios 9 y 10 encuentre la proyección escalar y la proyección vectorial de A
sobre B.
9. A = i - j - k
B=5i-12k
lO.A=2i+j+k
B= 2i- 2j- k
En los ejercicios 11 a 14, determine cuáles de los pares de vectoreS son perpendiculares
y cuáles paralelos.
11. A=i+ 3j- 5k,
B =4i + 2j+2k
13. A=6i+9j-15k,
B=2i + 3j - 5k
12. A=2i -3j+4k,
B=- i+ 3hj- 2k
14. A=3i-2j+7k,
B=i - 2j- k
J 0.4
L A ECUACiÓN DE l)N PLANO
337
15. Encuentre el ángulo que forma una diagonal de un cubo con una de sus aristas.
16. Se dibujan desde un vértice de un cubo una diagonal de una cara y una diagonal del
cubo. Encuentre el ángulo que forman.
En los ejercicios 17 y 18 los puntos son los vértices de un triángulo. En cada uno, deter­
mine el vector de A a B y el vector de A a C. Encuentre el ángulo formado entre estos
vectores. De manera análoga, encuentre los otros ángulos interiores del triángulo.
17. A(2, 4, 3), B(l, 7, 1), Q-5, 3, -2)
18. A(l, -l, -2), B(-2, 0,1), CCI, -3, O)
10.4
LA ECUACiÓN
DE
UN PLANO
.
En la sección 9.1 se descubrió que una ecuación lineal en una o dos variables representa
un plano y se enunció,sin demostración, que una ecuación lineal en tres variables tam­
bién representa un plano (Teorema 9. 3). Se prueba ahora que una ecuación lineal en una,
dos o tres variables representa un plano.
Teorema 10.8
"
•
L
_
.
..
.
"
'
.
•
Cualquier plano en un sistema coordenado rectangular tridimensional se puede representar
con una ecuación lineal. Recíprocamente, la gráfica de una ecuación lineal es un plano.
•
•
lJemostración
Suponga que un punto P,(x" y".z,) está en un plano dado y que un
vector distinto de cero
N
""Ai+ Bj + Ck
es perpendicular, o normal, al plano (Fig. 10.21). Un punto P(x, y, z) estará en el plano
dado si y sólo si el vector
es perpendicular a N.
tiene la ecuación
PIP = (x - xl)i + (y - y,)j + (z - zl)k
Al hacer e l producto escalax de estos vectores igual a cero, se ob­
N·
PIP = O
o bien,
A(x - XI)
+
B(y - )' , )
+
C(z
-
zl)
;;=
O.
(10.12)
Esta es la ecuación del p lano que pasa por P,(xl' YI' z,) y es perpendicular al vector N
Ai + Bj +Ck. Al sustituir la constante -Ax, - By, - Cz, con D, la ecuación se escribe en
la forma
•
=
Ax + By + Cz + D
--c
Q.
(10.13)
Recíprocamente, cualquier ecuación lineal de la forma (10.13) representa un plano.
Si se comienza con esta ecuación, es posible encontrar un punto P/x, ,y" z,) cuyas co­
ordenadas la satisfagan. Se tiene entonces
338
CAPíTULO) O VEGORES, PLANOS y RECTAS
N
••
. Figura 10.2 1
Esta ecuación y la ecuación (10.13) producen, por resta,
•
A(x-xl) + B(y-YI) + C(Z-ZI) +D=O,
la cual es de la forma (10.12). Por tanto, la ecuación (10.13) representa un plano per­
pendicular al vector N Ai + Bj + Ck.
=
Ejemplo 1 Escriba la ecuación del plano que contiene al punto PI(4, - 3, 2) Y es perpen­
dicular al vector N=2i - 3j + 5k.
Solución Los coefici.mtes de i, j Y k se usan como los coeficientes de
escribe la ecuación
2x
-
x,
y y Z y se
3y + 5z + D=O.
Para cualquier valor de D, esta ecuación representa un plano perpendicular al vector dado.
Las coordenadas del punto dado satisfarán la ecuación si
8 +9 +10+ D =0 o
D =-27.
Por tanto, la ecuación que se busca es
2x
-
3y + 5z
-
27=O.
•
Ejemplo 2 Halle la ecuación del plano determinado por los puntos P/ 1, 2,6), P2(4,4, 1)
Y P3(2,3,5).
Solución Un vector que sea perpendicular a dos lados del triángulo PIP2P3 es normal al
plano del triángulo. Para encontrar dicho vector, se escribe
J 0.4
LA ECUACIÓN DE UN PLANO
339
.
1'.1'2
1'.1'3
= 3i + 2j - 5k,
= i + j - k,
N = Ai + Bj + Ck.
Los coeficientes A, B Y C se encontrarán de manera que N sea perpendicular a cada uno
de los otros vectores. De esta manera,
N
.
.
1'.1'2
= 3A + 2B - 5C = O,
N 1'\1'3 = A + B - C = O.
Estas ecuaciones danA = 3 C y B = -2 e. Al escoger e = 1, se tiene N = 3 i - 2j+ k. El plano
3x - 2y + z+D=O es normal a N y pasa por los puntos dados si D=-5. Por tanto,
3x - 2y+z - 5 =O. •
•
•
Ejemplo 3 Encuentre el ángulo 8entre los planos 4x - 8y - z + 5 = O Y x + 2y - 2z + 3 = O.
Solución El ángulo entre dos planos es igual al ángulo entre sus normales. Los vectores
4i - 8j - k
i
+
2j - 2k
y
N. = -- =---N
2 9
3
son vectores unitarios normales a los planos dados. El producto punto da
10
Y 8= 1 . 95 radianes
cos 8=N} N2=27
Los planos se intersecan formando un par de ángulos igual a (es una aproximación)
112° y un segundo par igual a 68°. Al escoger el ángulo menor se da el ángulo entre los
planos como de 68°, o 1.19 radianes. •
_
-"
.
Teorema 10.9
Ax + By + Cz + D
PI (xl' Yl' Zl) un punto fuera del plano.
la distancia perpendicular d del plano a P I está dada por
Sea
.
O un plano y
Entonces,
•
IAA} + By} + eZI + DI
=
YA2 + B2 + e 2
d
(10.14)
.
P2(X2, Y2' Z2) algún punto sobre el plano dado y sea N = ±(Ai + Bj +
Ck) perpendicular al plano, con su pie en P2. El signo de N se escoge de modo que esté
del mismo lado del plano que P I' según se ilustra en la figura 10.22. A partir de la figu­
ra se observa que la distancia d que se busca es igual a la proyección escalar de P2PI
Demostración
Sea
sobre N. Al observar que
P2PI =
se tiene
d
= I P2 PI I cos
_
(XI
() =
±(Ai + Bj
+
- x2)i
+
(YI - Y2)j + (ZI - z2)k.
N' P2PI
IN I
ek) . [(x} - x2)i + (YI - Y2)j
YA2 + B2 + e2
+
(ZI - z2)kj
CAPfTULO J O
340
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
N
.
-
Figura 10.22
=
=
±
B(y¡ Y2) + C(zl - z2)]
VA2 + B2 + C2
By¡ + Cz¡ - M2 - BY2 - Cz2)
.
VA2 + B2 + C2
[A(x¡ - x2)
±(M¡
Como P2 está sobre el plano
+
-Ax2
+
BY2 - CZ2
�
D. Ahora, para eliminar la ambigüedad
del signo se toma el valor absoluto del numerador y se tiene
d
=
-
IM¡
=
By¡ + CZ1 + DI
VA2 + B2 + C2
+
El lector debe observar que la fórmula (10.14) para la distancia de un punto a un
plano es una generalización directa de la ecuación (2.19) para la distancia de un punto
en un plano a una recta.
Así mismo, la ecuación ( 1.1) para la distancia entre dos puntos en una recta,
�(X¡-X ) 2,
2
se generaliza a la ecuación, ( 1.2)
�(x¡ -X )2 +(y¡ - Y )2
2
2
para la distancia entre puntos en un plano, y a la ecuación (9. 1)
,
Y(XI - X2)2 + (YI - Y2)2 + (zl - Z2)2,
para la distancia entre puntos en el espacio. En cursos de matemáticas superiores, la fór­
mula se extiende para describir la distancia entre cuartetas ordenadas
341
EJERCICIOS
y
o entre n-adas ordenadas, donde n es cualquier entero positivo.
Ejemplo 4 Encuentre la distancia del plano 2x + 3y - 6z - 2
=
°
al punto (4,-6, 1).
Sustituyendo los valores adecuados para A, B, e, D, XI ' YI' ZI en la ecuación
(10.14),se obtiene
d
1 2(4) + 3(-6) + (-6)(1) 21
Y22 + 32 + (-6)2
18 18 - 6 - 21
Y4 + 9 + 36
18
•
7'
Solución
-
=
-
_
-
Ejercicios
Escriba la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas en los ejercicios 1 a 8.
Es perpendicular a N
=
2. Es perpendicular a N
=
l.
3i - 2j + Sk Y pasa por el punto (1, 1, 2).
4 i - j - k y pasa por el origen.
3. Es paralelo al plano 2x - 3y - 4z
.'
=
5 Y pasa por (1,2,-3).
4. Es perpendicular al segmento de recta que une (4, 0, 6) Y (O,-8, 2), y pasa por el
punto medio del segmento.
5. Pasa por el origen y es perpendicular a la recta que pasa por (2, -3,4) Y (5, 6,O).
•
6. Pasa por los puntos (O,1, 2), (2, 0,3),(4,3,O).
7. Pasa por los puntos (2, -2, -1), (-3,4,1), (4,2, 3).
•
8. Pasa por (0,0,O), (3,O,O),(1, 1, 1).
En los ejercicios 9 a 12 encuentre el coseno del ángulo agudo entre cada par de planos.
9. 2x + y + Z + 3
=
1O. 2x + y + 2z - 5
11. 3x - 2y + z - 9
12.
X-
8y + 4z - 3
0,
=
2x
0, 2x
-
-
2y + z - 7
=
3y + 6z + 5
=
0, X - 3y - 9z + 4
=
0, 4x + 2y - 4z + 3
13. Muestre que los planos
O
=
=
O
°
=
O
CAPÍTULO 10, VECTORES. PLANOS Y RECTAS
342
son perpendiculares si, y sólo si,
A)A2 + B)B2 + C)C2 O.
=
14. Determine el valor de C de modo que los planos 2x - 6y + Cz
sean perpendiculares.
=
5 Y x - 3y + 2z
=
4
En los ejercicios 15 a 18 encuentre la distancia del plano dado al punto dado.
15. 2x - y + 2z + 3
=
16. 6x + 2y - 3z + 2
17. 4x -2y + z - 2
18. 3x - 4y - 5z
=
=
0,
=
(O, 1,3)
0,
0,
(2,--4, 3)
(-1,1,2 )
0,
(5,-1,3)
19. Encuentre la ecuación de la esfera con centro en (1, 1, 7) Y tangente al plano x +
2y- 4z + 3 O.
=
,
10.5 ECUACION VECTORIAL DE UNA RECTA
Sea L una recta que pasa por un punto dado P/x),Y), z)
de cero dado
v
=
y
es paralela a un vector distinto
Ai + Bj + Ck.
Si P(x, y, z) es un punto sobre la recta, entonces el vector Pl es paralelo a V (Fig. 10.23).
Recíprocamente, si p)p es paralelo a V, el punto P está sobre la recta L. Por tanto, P está
sobre L si, y sólo si, existe un escalar t tal que
•
PIP
=
tV
z
P(x, y, z)
L
,
v
o
Figura 10.23
x
y
o bien
(10.15)
10.5
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA
343
Igualando los coeficientes correspondientes de i, j Y k se obtienen las ecuaciones
x -XI
=
At,
y-
o, trasponiendo,
YI
=
Bt,
Z - ZI
=
Cl,
(10.16)
+ Ct.
Cuando se da a t cualquier valor real, las ecuaciones ( 10.16) determinan las coordenadas
(x, y, z) de un punto sobre la recta L. Además, hay un valor de t que corresponde a cual­
quier punto de la recta. Las ecuaciones ( 10.16) se llaman ecuacion es paramétricas de
la recta.
Despejando I en cada ecuación paramétrica e igualando valores iguales, se obtiene
X
=
XI
+
At,
y=
YI + Bt,
Z
=
ZI
•
X-X-<1
A
__
_
y-y1
_
z-z
B
C
I
si
'
ABC *- O.
(10.17)
,
Estas se llaman ecuacion es simétricas de la recta.
Los planos que contienen una recta y son perpendiculares a los planos coordenados se
llaman planos proyectantes.
Las ecuaciones (10.17) representan tres planos proyectantes. Esto se hace evidente
cuando las ecuaciones se escriben como
X-XI
A
_
Y - YI
B '
X - XI
A
Z
-
C
ZI
,
y - YI
B
_
Z - ZI
C
•
Estas ecuaciones, cada una en dos variables, representan planos perpendiculares, respec­
tivamente, a los planos xy, xz y yz. Estas ecuaciones representan una recta y, por ende, la
recta es la intersección de los planos. Por supuesto, cualesquiera dos de las ecuaciones
determinan la recta. Se observa además que cualquiera de las ecuaciones se puede obte­
ner de las otras dos.
Una recta en el espacio puede definirse mediante dos planos que pasen por la recta.
Por ello, hay infinidad de maneras de definir una recta, pues hay infinidad de planos que
pasan por una recta. Sin embargo, suele ser conveniente tratar con los planos proyectantes.
Si una recta es paralela a un plano coordenado, una de las cantidades A, B Y C en las
ecuaciones (10.17) es igual a cero y reciprocamente. En este caso, un miembro de la
ecuación tendría cero en el denominador y no podría usarse. Si, por ejemplo,A O Y By
C no fueran cero, entonces la recta que pasa por PI(XI, Yl' Zl ) es paralela al vector V Bj
+ Ck. Por tanto, la recta es paralela al plano yz y, en consecuencia, el plano x XI contie­
ne a la recta. Si de A, By C dos son cero, por ejemplo A B O, entonces la recta es
paralela al eje z. Así la recta es la intersección de los planos X XI Y Y YI' Se observa
entonces que cuando el denominador de un miembro de las ecuaciones (10.17) es cero,
el numerador correspondiente, igualado a cero, representa un plano que pasa por la recta
en cuestlOn.
•
=
=
=
=
=
=
.
=
,
Encuentre ecuaciones simétricas que representen una recta que pase por el
punto (2, 1,3) y sea paralela al vector V 2i 5j + 6k. Encuentre, además, un con­
junto de ecuaciones paramétricas que representen la recta.
Ejemplo 1
-
=
-
CAPíTULO 10 VECTORES, P L ANOS Y RECTAS
344
Solución Los coeficientes de i, j Y k del vector dado son los denominadores en la fórmu­
la ( 10. 17) Y xI' YI y ZI deben reemplazarse, respectivamente,por 2,-1 Y 3. Así, se tiene
x-2_y+l_z-3
5
6 ·
2
Las ecuaciones paramétricas, obtenidas al igualar cada uno de los miembros de estas
ecuaciones a un escalar 1 y despejando x,y y z, son
y=-1 -5/,
x=2+2/,
z=3 +6/.
El escalar t es un parámetro al cual puede asignarse cualquier valor real. Aquí se pasó
de las ecuaciones simétricas a las ecuaciones paramétricas. Claro que,de manera recíproca,
las ecuaciones simétricas se pueden encontrar a partir de las ecuaciones paramétricas.
,
Ejemplo 2 úna recta pasa por los puntos PI(2, -4, S) Y P2(-I, 3, 1). Encuentre las
ecuaciones simétricas de la reCta.
El vector de PI a P2 es paralelo a la recta. Por tanto, se tiene
Solución
,
PtP2
y,
=
-3i+7j - 4k,
en consecuencia, las ecuaciones
•
x -·2
-3
_
Y+4
_
7
z-5
.
-4
•
Ejemplo 3 Escriba las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos PI(2, 6, 4) Y
pp,-2, 4).
•
•
Solución El vector de PI a P2 es
PtPZ
=
i
-
8j.
Por tanto, la recta que se busca es paralela al plano xy. El plano z= 4 contiene a la recta.
Este plano es perpendicular a dos de los planos coordenados. Se usan los dos primeros
miembros de las ecuaciones (10.17) para obtener otro plano que contenga a la recta. Se
tienen, entonces, ecuaciones que definen
z =
o bien
z
=
4,
4
,
8x+y - 22
=
O.
Observe que no se pudo usar el tercer miembro de las ecuaciones simétricas, porque su
denominador sería cero. Sin embargo, el numerador de ese miembro se igualó a cero
para obtener uno de los planos. •
Ejemplo 4 Encuentre ecuaciones, en forma simétrica, de la recta de intersección de los
planos
x + y- z - 7=0
y
X +
Sy+Sz +5 = O.
J 0.5 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA
345
La primera ecuación se multiplica por 5 y se suma a la segunda ecuación pa­
ra eliminar z. De la segunda ecuación se resta la primera para eliminar x. Esto da las
ecuacIOnes
Solución
•
y
6x+ 10y-30=0
4y+6z+ 12=0.
Despejando yen cada una, se encuentra
, -3x
y=
+
15
y
5
Por tanto,
-3x
+
15
-
5
y
y=
-3z
-3z
2
-
6
•
-6
2
-
-
•
Estas ecuaciones simétricas se pueden convertir a una forma más sencilla si cada miem­
bro se divide entre -3. Esto da
x
-
5
5
_
-
z
Y
-3
+
2
2
•
Las ecuaciones simétricas también se pueden escribir, encontrando primero las coor­
denadas de dos puntos sobre la recta definida por las ecuaciones dadas. Cuando y=O las
ecuaciones se vuelven x - z- 7 =O Y x+ 5z + 5 O. La solución de estas ecuaciones es
x 5, z -2. Por ello, el punto PI(5, O, -2) se ubica sobre la recta de intersección de los
planos dados. De manera análoga, se encuentra que P2(0, 3, -4) está sobre la recta.
Entonces, el vector
=
=
=
+ 2k
es paralelo a la recta cuyas ecuaciones se buscan. En consecuencia se obtienen, como
antes, las ecuaciones simétricas
P2PI
x
•
-
5
5
=
5i - 3j
Y
-3
_
z
+ 2
2
•
•
,
Angulos directores, coseno.s directores y números directores
Se usó el vector V=Ai + Bj + Ck para deducir las ecuaciones paramétricas de una recta.
Las cantidades A, B y e, como se señala ahora, tienen una importancia geométrica con
respecto a'la recta.
DEFINICIÓN
10.7
y y z se lla­
m an ángulos directores. Los cosenos de los ángulos directores se llaman cosenos
directores.
Los ángulos a,[3 y r que una recta dirigida forma con los ejes positivos
x,
CAPíT ULO 10
346
VECTORES, PLANOS Y RECTAS
Los cosenos 'directores de una recta representada por ecuaciones de la forma (10.16)
o ( 10,17) se pueden encontrar mediante el uso de vectores. El vector
V -Ai+Bj+Ck.
es paralelo a la recta, Por consiguiente, es posible escoger la dirección positiva de la
recta como V o -V, Si se escoge V como dirección positiva, se toma el producto escalar
de V y cada uno de los vectores unitarios i, j Y k. Se observa que el ángulo formado por
dos vectores que no se intersecan se define como igual al ángulo formado por dos vectores
que sí se intersecan y son paralelos a los vectores dados y con la misma direcCión,
Si se denomina da la longitud de V, por la definición de producto escalar se tiene
(Ai
De manera análoga,B
+
Bj
+
Ck) . i
A
dcos f3 y C
=
cos
a
=
A
d'
=
=
=
+
IAi
d
Bj
cos
y.
cos f3
=
cklli I cos a,
a.
•
dcos
+
Por tanto,
B
d'
cos y
C
d'
=
Las cantidades A, B y C se llaman números directores, Además,los productos de los
cosenos directores por cualquier número positivo también se llaman números directores.
Teorema
10.10
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta es igual a l. Esto es,
cos2a
+
cos2f3
+
COS21
1,
=
Se deja al estudiante la demostración de este teorema.
Ejemplo 5 Los números 4, 1 Y
cosenos directores de la recta.
8
son números directores de una recta. Encuentre los
Solución Para obtener los cosenos directores, cada número director se divide entre
.J42 + 12+82 9 .Esto da
=
cos
a
=
4
9'
cos {3
1
=
9'
cos
8
'Y = 9'
•
Ejemplo 6 Una recta forma un ángulo de nl3 con el eje x positivo y de n/4 con el eje y
positivo. ¿Qué ángulo forma la recta con el eje z positivo?
.
. �-----
Solución Usando el teorema 10.10, se tiene
,
1T
1T
2
2
cos 3+cos
l
4
4
+
l
"2
+
cos2y
+
cos2y
=
=
1,
l.
-
.
EJERCICIOS
347
Entonces cos2y= 1/4 y, por tanto, cos
2n/3.
•
y= 112
o cos y=
-112.
De este modo, y= n/3 ó
Los ángulos directores de una recta dada dependen de la dirección positiva de la
recta que se haya escogido. Sean a"f3¡ y Y¡ los ángulos para una dirección y a2,f32 y }2 los
ángulos para la dirección opuesta. Entonces
a2=n-a¡, /32=n-/31' }2=n-y¡
Las ecuaciones producen
COS 132 = -cos f3¡,
cos a2 = -cos al'
COS 1'2
=
-cos
1'1'
De modo que hay dos conjuntos posibles de cosenos directores para una recta, donde un
conjunto es el negativo del otro.
•
Ejemplo 7 Una recta pasa por P I(-4,9,5) y P2(2,12,3). Encuentre los cosenos directores si la recta va dirigida de p¡ a P2•
Solución El vector de p¡ a P2 es
-=-='
PIP2 = 6i + 3j - 2k.
Por tanto, 6, 3
se tiene
Y
-2 es un conjunto de números directores. Como �62 + 32 + (-2)2
cos a =
6
cos f3
7'
3
=
7'
cos
'Y =
2
=
7
•
--
Ejemplo 8 Asígnese una dirección positiva para la recta representada por las ecuaciones
x-l_y + 3_z-5
4
-
-3
-2
y encuentre los cosenos directores.
Solución Se puede escoger 4,-3,-2 como un conjunto de números directores, o el con­
junto -4,3,2. Al escoger el segundo conjunto y notar que �(-4)2 + 32 + 2 2 =.J29 se tiene
-4
cos a = \129'
cos 13 =
3
,
�,
v29
2
cos 'Y = \129'
•
Ejercicios
En los ejercicios l a 8, encuentre ecuaciones simétricas y ecuaciones paramétricas de la
recta que pasa por P y es paralela al vector dado'.
l . P(4, -3,5); -2i + 3j+ 4k
2. P(O,1 -2); i -j+ 2k
3. P(l,1,2);2 i + 3j-k
4. P(-2, -2, 3); 5i + 4j+ k
CAPíTULO J O VECTORES, PLANOS Y RECTAS
348
5. P(2,-I,I);2i+j
6. P(3,3,3); i+j
7. P(O,0,O); j
8. P(O,0,O); k
En los ejercicios 9 a 16 escriba ecuaciones simétricas para la recta que pasa por PI y P2.
9. PI( l ,2,3),P/-2,4,O)
10. PI(O,0,O),pp,4,5)
11. PI(l,0,2),P/O,2,1)
12. pp,4,O),P2(l ,2,8)
13. PJ2,5,4), P2(2,4,3)
14. PI(O,4,3),P2(0,4,4)
15. PI(I,3,4),pp,3,4)
16. PI(O,0,2),P2(0,0,4)
En los ejercicios 17 a 20 encuentre una forma simétrica para cada par de ecuaciones.
.17.
x-y- 2z +I=0,
18. x + y - 2z+8=0,
°
2'x- y- 2z + 4=0
x - 3y - 3z + 7
=
20. x + y - z +8=0,
19. x+y+z - 9=0,
2x - y+ 2z + 6=0
2x + y- z + 3=0
21. Una recta forma un ángulo de 45° con el eje x positivo y de 60° con el eje z positi­
vo. ¿Qué ángulo forma con el eje ypositivo?
22. Una recta forma un ángulo de 135° con el eje x positivo y de 60° con el eje ypositi­
vo. ¿Qué ángulo forma con el eje z positivo?
En los ejercicios 23 a 28 una recta pasa por PI y P2• Encuentre los cosenos directores si
la recta va dirigida de PI a P2•
-
23. PI(-3,4, -2),Pz<I,5,6)
24. PI(l,-1,4),P2(3,1,5)
25. PI(-5,1,8), P2(5,3, -3)
26. pp,1,-6),P2(0,5,6)
27. Pp,2, D, P2(4,5,6)
28. pp,-3,4),P2(5,-6, 7)
29. Los números 4, 1, 8 Y 2, 2, 1 son números directores de dos rectas. Encuentre el
coseno del ángulo agudo () entre las rectas.
30. Los números 3,4, 12 Y 6, 3, 2 son números directores de dos rectas. Encuentre el
coseno del ángulo agudo () entre las rectas.
En los ejercicios 31 a 34 igualando x,y y z,una por una,a cero,encuentre las coordena­
das de los puntos donde la recta corta los planos coordenados.
x-6_y+2_z+3
31.
1
3
2
x-3
33.
3
y _ z - 4
-1
2
x
32.
-2
34.
=
y-2
1
=
z-3
1
10.6
EL PRODUCTO VECTORIAL
349
10.6 El PRODUCTO VECTORfAL
Se presenta ahora otro tipo de producto de dos vectores. Sean A y B dos vectores no
paralelos y distintos de cero que forman un ángulo (J, donde O < (J < 'Ir (Fig. 10.24). El
producto vectorial o producto cruz, cuya denotación es A x B se define mediante los
siguientes enuncifldos:
l. A x B es un vector perpendicular al plano determinado por A y B.
2.
3.
B apunta en la dirección en la que un tornillo de rosca derecha avanzaría al
girar su cabeza de A (primer vector) a B por el ángulo (J.
A
x
lA x BI
=
IAI/BI sen (J.
AxB
•
FIgura 10.24
A
Si A y B son paralelos «(J= O o (J = 'Ir), el producto vectorial está definido por el enuncia­
do 3. Esto hace que el producto sea igual a cero, pues sen(J= O. El producto vectorial es
cero si A o B, o ambos, son igúales a cero.
A
FIgura 10.25
BxA
CAPíTULO 10
350
VECTORES, P L ANOS Y RECTAS
A
partir del enunciado 2 se observa que el intercambio de los factores en la multipli­
cación vectorial invierte la dirección del producto (Fig. 10.25).
Por tanto,
AxB==-BxA,
y la multiplicación de este tipo no es conmutativa.
La magnitud del producto cruz tiene una interpretación geométrica simple. El área
del paralelogramo en la figura 10.26 es IAlh.
l
•
h
Figura 10.26
A
Por consiguiente, el área del paralelogramo del cual dos lados adyacentes son vectores
es igual al valor absoluto del producto vectorial de los vectores. La mitad del valor abso­
luto del producto vectorial es, por supuesto, igual al área del triángulo determinado por
los vectores.
Se puede mostrar que esta multiplicación vectorial es distributiva. (Véase el Ejer. 34
al final de esta sección). La propiedad distributiva se ex
presa mediante la ecuación
Ax(B+C)
==
(AxB) + (AxC).
Suponga que la definición de multiplicación vectorial se aplica a los vectores unita­
rios i, j Y k (Fig. 10.27).
z
k
j
Figura 10.27
Claramente, resulta que
x
-
�-----. y
10.6 EL PRODUCTO VECTOR IAL
351
i
j
x
x
k
x
j
k
i
ix i
=
k Y j xi
=
i
Y k xj
=
j
y i
=
j
x
j
x
=
k
=
-k,
=
-i,
=
-j ,
k xk
I
=
O.
Estas ecuaciones y la propiedad distributiva de la multiplicación vectorial permiten
deducir una fónllula adecuada para el producto vectorial cuando los vectores están ex­
presados en términos de i, j Y k. De este modo, si
A
entonces
=
A X B
B
y
a)i + bd + c)k
=
a2i + b2j + c2k,
X (a2i + b2j + C2k)
a)a2i X i + a)b2i x j + alc2i X k
+ a2bd X i + b)b2j X j + blC2j X k
+ a2cl k X i + b2clk X j + CIC2k X k
(a)i + bd + c)k)
=
=
O + alb2k - alc2j - a2b lk + O
=
+ bl C2i + a2cd - b2cli + O.
Por lo cual
•
Esta ecuación proporciona una fórmula para el producto vectorial; sin embargo, resulta
una forma* más conveniente cuando el miembro derecho de la ecuación se expresa como
determinante.
A X B
=
•
I
J
k
al
a2
b)
b2
e2
•
Ejemplo 1 Los vectores A y B fOIman un ángulo de tr/6. Si la longitud de A es 5 y la longi­
tud de B es 8, encuentre el área del paralelogramo del cual A y B son lados consecutivos.
•
Solución El área del paralelogramo es igual al valor absoluto de A
definición de producto vectorial,
lA x BI
=
IAIIBlsen (J= (5)(8)sen tr/6
=
•
El área del paralelogramo es de 20 unidades cuadradas.
X B. A partir de la
20
•
Ejemplo 2 Los puntosA(I, O, 1) B(3, -1, -5) Y C(4, 2, O) son los vértices de un trián­
gulo.
-
,
.
Solución Los vectores AB y AC fOIman dos lados del triángulo.
ducto vectorial es igual al área del paralelogramo del cual los vectores son lados adya­
centes.
encuentra
,
*Véase el apéndice A para la definición de determinante.
•
352
10
CAPiTULO
AB
=
AC
.
2 i - j - 4k,
=
YECTORES, PLANOS y RECTAS
3i + 2j + k,
y
J
I
•
AB x AC
=
•
2
-1
3
2
k
-4
1
=
7i - 14j + 7k.
La magnitud de este vector es .J49+ 196+49 7.J6; por tanto, el área del triángulo es
7h.J6
=
•
Ejemplo 3
Los puntos A(2, 1 3 ) B(4, 2, 5) Y CC-l, -1, 6) detelluinan un plano. En-.
cuentre la distancia del plano al punto D(5, 4, 8).
-
,
,
Solución Los vectores AB y AC determinan un plano, como se indica en la figura 10.28.
El producto cruz AB x AC es perpendicular al plano, y AD es el vector de A al punto
dado D. El producto escalar de AD y un vector unitario perpendicular al plano produce
la distancia requerida d. En consecuencia, se escribe
•
AD
=
AB
3i + 5j + 5k,
AB x AC
i
•
,
=
=
2i + 3j + 2k
j
3
2
O
-3
,
AC
=
-3i + 3k,
k
2
=
9i - 12j + 9k.
3
El vector 9i - 12j + 9k es perpendicular a AB y AC y, por tanto, es perpendicular al
plano de A, B Y C. Este vector se divide entre su longitud, 3 ..J34 , para obtener un vector
unitario. Finalmente, la distancia d del plano a D está dada por
d
=
(3i + 5j + 5k)
•
3i + 3k
.Jk
=
2Yf.
•
•
FIgura 10.28
Ejemplo 4
Encuentre las ecuaciones, en forma simétrica, de la recta de intersección
de los planos 2x y + 4z
-
=
3y
3x + y + z
=
7.
Solución Las ecuaciones deseadas pueden escribirse inmediatamente si se conocen las
coordenadas de cualquier punto de la recta y cualquier vector paralelo a la recta. Si z O
=
10.6 EL PRODUCTO VECTORIAL
353
en las ecuaciones de los planos y se despejan x y y, se encuentra que (2, 1, O) es un
punto de la recta. Las normales a los planos están dadas por los vectores
NI
=
2i - j + 4k
Y
N2
=
3i + j + k.
El producto vectorial es paralelo a la recta de intersección de los planos. Se encuentra
•
NI
•
1
X
N2 =
J
-1
1
2
3
k
4 = -Si +.1Oj + Sk.
1
Este vector se divide entre 5 y la ecuación de la recta se escribe como
x-2_y- 1_z
- 1·
2
-1
.
Se observa que éste es el mismo tipo de problema que el del ejemplo 4 de la sección
10.5. •
Distancia de una recta a un punto
Sea L (Fig. 10.29) una recta que pasa por el punto Po(xo' Yo' zo) y es paralela al vector
unitario u. Después, sea P I(X¡>YI, ZI) cualquier punto que no esté sobre la recta y sea V el
vector PoPI. Para hallar la distancia perpendicular de la recta L a PI' se toma el producto
.
vectorial de V y u. De esta manera,
1 u X V l.
Encuentre la distancia de la recta que pasa por pp, O, 6) Y P/5, -2, 7) al
d =
Ejemplo 5
punto PI (8, 1, -3)
1 Vi
sen (1 =
1 u 11 V1
sen (1
=
.
•
v
8
L
u
Figura '0.29
Solución El vector P3P2 = - 2i + 2j - k, y así u = 113 (-2i + 2j -k). Ahora P2PI = V =
Si + j - 9k. Por tanto,
•
CAPiTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
354
j
2
1
,
1
1
uxv=- - 2
3
5
k
-1 = (-17i
9
�
-
23j -14k)
-
y
13
V6.
d = lux vi =
3
•
En la sección2 .
cuando ambas se encuentran en el plano xy. Se da ahora una deducción mucho más corta,
usando vectores.
La ecuación Ax + By + C O en el espacio tridimensional representa un plano para­
lelo al eje z (Teorema 92
. );
intersección del plano y del plano xy es una recta, y las coordenadas x y y de todos los
puntos de intersección satisfacen la ecuación Ax + By + C O. Al restringirse al plano
xy, se tiene una recta y un vector perpendicular a la recta. Ahora, sea P/xl, YI) cualquier
punto en el plano xy (Fig. 10.30). Si B :t; O, la recta corta el eje y en P(O, C/B ) El
producto escalar del vector PPI y un vector unitario u, perpendicular a la recta, propor­
ciona la distancia d.
=
=
-
.
y
x
o
Figura 10.30
Como
PP, = xi +
•
C ,
y,
+
+
Ai + Bj _ Ax, + By, + C
Ji J '±v'A2 + B2
±v'A2 + B2 .
Ji J
y
se tiene
d=
xli +
y,
C ,
-
Así, un producto escalar proporciona de inmediato la fórmula que se busca.
güedad del signo se examinó en la sección2 .
EJERCICIOS
355
Ejercicios
En los ejercicios del 1 al 6, encuentre el producto cruz, A x B, de los vectores y
vector unitario perpendicular a los dos vectores dados.
1. A= 3i- 4j - 2k,
2. A=6i- 3j + 14k,
B = i- 2j - 2k
B = 3i - 2j + 3k
3. A= i + j + k,
un
4. A= 2i - k,
B =j + 2k
B=i-j - k
5. A- 4i- 3j,
6. A=i - 2j + 3k,
B= 3i+ 4j
B = 4i + Sj - 6k
Calcúlese el área del paralelogramo descrito en los ejercicios 7 a 10.
7. A= 3i+ 2j Y B=i- j son lados adyacentes.
8. A= 4i - j + k Y B=3i+ j + k son lados adyacentes.
9. Los puntos A(4, 1, O), B (1, 2, 1), C(O, 0, 6) y D(3, -1, 5) son vértices del
paralelogramo ABCD.
10. Los puntos A(I, -1, 1), B(3, 3, 1), C(4, -1,4) y D(2, -5, 4) son vértices del
paralelogramo ABCD.
Encuentre el área del triángulo descrito en cada uno de los ejercicios 11 a 14.
11. Los vértices sonA(-I,3, 4),B (I,2, 5) y C(2, - 3, 1).
12. Los vértices sonA(1,0,4), B(3, -3, O) y C(O, 1,2).
13. Los vectores A=2i- 3j y B=i- j, dibujados desde el origen,son dos lados .
•
14. Los extremos de los vectores A= 4i+ j, B=i+ 2j + k y e=3i- j + Sk, dibujados
desde el origen,son los vértices.
15. Encuentre el área del triángulo en el plano xy cuyos vértices son los puntos (xl' yl),
(x2' Y2 ) y (x3' yJ Use producto vectorial.
16. Escriba la ecuación del plano que pasa por los puntos (2,-4,3), (-3, 5,1) y (4, O, 6).
17. Escriba la ecuación del plano que contiene los puntos (2, 1,O), (3, 0,2) y (O, 4, �).
18. Encuentre la distancia del punto (6, 7, 8) al plano que contiene a los puntos
(-1, 3, O), (2, 2,1), (1,1,3).
19. Encuentre la distancia del punto (-4, -5, -3) al plano que pasa por los puntos
(4, O, O), (O,6, O) y (O, 0,7).
20. Encuentre las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3, 1,-2) Y es paralela a
cada uno de los planos x y + Z = 4 Y 3x + y - Z = 5.
-
.
CAPíTULO 10 VECTORES, PLANOS Y RECTAS
356
21. Encuentre las ecuaciones de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta
de intersección de los planos 2x - y - z - 2 Y 4x + 2y - 4z = l .
22. Encuentre una representación paramétrica de la recta de intersección de los dos pla­
nos del ejercicio 20y también del ejercicio 21.
23. Un plano pasa por el punto (1,1,1) Y es perpendicular a cada uno de los planos 2x
+ 2y + z = 3 Y 3x - y - 2z = 5. Encuentre su ecuación.
24. Un plano pasa por el punto (O,0, O) Y es perpendicular a la recta de intersección de
los planos 5x - 4y + 3z = 2 Y x + 2y - 3z = 4. Encuentre la ecuación del plano.
25. Una recta pasa por los puntos (1,3,1) Y (3,4,-1). Encuentre la distancia de la recta
al punto (4, 4, 4).
26. Una recta pasa por (3, 2, 1) Y es paralela al vector 2i + j - 2k. Encuentre la distan.
cia de la recta a (-3, -1,3).
27. Encuentre la distancia de la recta xl2 = y/3 = z/1 al punto (3, 4,1).
28. Encuentre la distancia de la recta (x - 2)/2,= y/2 = (z - 1)/1 al punto (O, 0,O).
.
29. Sean LI Y L2 (Fig. 10.31) rectas que no son paralelas ni se intersecan. Sea PIP2 un
vector que va de cualquier punto sobre LI a cualquier punto sobre L2, V2 un vector
paralelo a L2 y V2 paralelo a L2• Entonces VI x V2 es perpendicular a ambas rectas.
Muestre que la distancia perpendicular entre LI y L2 es
d =
I P'P2
• u
l.
donde u es un vector unitario paralelo a VI x V2•
En los ejercicios 30 a 33 encuentre la distancia perpendicular entre las dos rectas.
d
I
I
I
I
I
I
I
I
I
•
FIgura 10.31
30. LIpasa por PP,3,1) en la dirección de VI = i + 2j - 3k, Y L2 pasa por P2 (4, 2, O) en
la dirección de V2 = 3i - j + k.
31. LI pasa por (2,1,-1)y (-1,3,2). L2 pasa por (4,0,5)y (3,4,0).
32. Las ecuaciones de LI son (x + 2)/3 = (y + 3)/2 = zl2. Las ecuaciones de L2 son
(x - 1)/2 = (y + 4)/3 = (z- 2)/4.
EJERCICIOS DE REPASO
357
33. LI pasa por (4,1,O) Y (O,O, 6). L2 pasa por (1,2,1) Y (3,-1,5). ¿Se intersecan
las rectas?
34. En la figura 10.
A. El vector E se rota 90°,como se indica, y después se multiplica por IAI para
producir A x B. Diga por qué estas operaciones conducen a A x B.
A
Figura 10.32
A continuación,B,e y B +e forman un triángulo. Proyecte este triángulo sobre el
plano perpendicular a A, formando así otro triángulo vectorial. Haga rotar 90° el nuevo
triángulo y multiplique cada lado por IAI. Observe que los lados del triángulo final son
'
A x B,A x e y A x (B + C),y que
A x (B+C)=A x B+A x C.
EJERCICIOS DE REPASO
En cada uno de los ejercicios I a 4, encuentre las lon­
gitudes de A y B, A B, A x B, la proyección escalar
de B sobre A, el vector proyección de B sobre A, el
coseno del ángulo entre los vectores y un vector uni­
tario en la dirección de A.
•
l. A=2i- 2j+k,
B=i+j+k
2.
A = i- 2j - k,
B = 2i - 3j + 6k
3. A = i+8j - 4k,
B=i- j + 2k
4. A= 2i+ 9j - 6k,
B = i- j - 2k
5. Encuentre la ecuación del plano perpendicular
al vector 3i - 2j - 5k Y que pasa por el punto
. (3, -4, -2).
6. Encuentre la ecuación del plano paralelo al plano
3x -4y + 7z = 3 Y que pasa por el punto (1,-1,3).
CAPíTULO 10 VECTORES, PL ANOS Y RECTAS
358
7. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los
tres puntos (1, 2, -1), (-2, 1, 1) Y (2, 4, 2).
12. Encuentre los cosenos directores y la recta dirigi­
da de A(-6, 2, 1) a B(3, 5, 4).
,
8. Encuentre la distancia del plano x -2y +2z
=
5 al
13. Encuentre la distancia de la recta que pasa por
A( I, -2, -3) Y B(3, -5, -3) al punto C(1, -3,
punto (-1, 3, 2).
9. Encuentre ecuaciones simétricas y paramétricas
para la recta paralela al vector 3i+ 2j - 4k Y que
14. Encuentre las coordenadas de los puntos donde la
recta
x
pasa por el punto (1, -2, 3).
3
10. Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que
pasa por los puntos (2, -3, 4) Y (-3, 5, 7).
11. Encuentre ecuaciones simétricas para la recta de in­
2.x +y -z+ 3=O
y-S
1
-
z
-
-
--'-4
6
corta cada uno de los planos coordenados,
15. Si
A
=
2i + j + k, B
un valor para
tersección de los planos
O).
=
2i + j, e
=
j + k, encuentre
A·(BxC).
x -y + 3z + 5 = O.
y
Términos clave
ecuaciones simétricas de una recta, pág.343
ángulos directores, números directores,
cosenos directores, pág.345
producto vectorial (cruz), pág.349
distancia de una línea a un punto, pág.3S3
vector, pág.313
suma y diferencia de vectores,
pág.314,3IS
escalar, pág.317
vector unitario, pág.318
producto escalar (punto), pág.330
normal a un plano, pág.337
distancia de un punto a un plano,
pág.337
1. Si
a)
c)
-
-
A
I
=
2i - 4j + 4k Y H
=
2i + j - k, encuentre
-
b) A+B
-
-
B-A
d)
e) proyección vectorial de
f) ángulo entre
-
g) A
-
-
-
-
A
-
b) cosenos directores de la línea de A a B
-
A· B
sobre
4. Encuentre la ecuación del plano paralelo a
x
B
-
-
AyB
12
---"
-
h) A (B x (B - A))
O
Y que pasa
por el punto
=
O Y 2x + 4y + 3z
=
9.
6. Un aeroplano tiene una velocidad de 315 km/h res­
•
2. Encuentre la ecuación de la esfera con centro
(-1,2, 7) Y tangente a x +2y - 4z+ 3
O.
=
3. S i A(I, 2, -1) Y B ( 3 , 1 ,2 ) son puntos dados,
encuentre
=
5. Encuentre el' ángulo entre los planos x - Sy + z-
xB
-
Sy -7z- 4
1, - 4).
-
(O,
-
---"
a) ecuaciones simétricas para la línea de A a B
pecto al viento y se desplaza con rumbo de 90°.
Sopla un viento del noroeste (rumbo 135°) a 45
km/h. Encuentre la trayectoria del aeroplano y la
velocidad respecto al suelo.
Capítulo
uste de curvas
En capítulos anteriores se encontraron ecuaciones de curvas que satisfacen condiciones
geométricas dadas. En cada caso todos los puntos de la curva se fijaron de manera defi­
nitiva mediante las condiciones prescritas. A partir de ahora se aborda un aspecto dife­
rente y más complicado del problema de encontrar ecuaciones que representen información\
conocida. El problema no posee una importancia geométrica fundamental, sino que más
bien adquiere relevancia en cuanto que la geometría analítica resulta útil al científico.
Los científicos experimentales realizan observaciones y mediciones de varios tipos de
fenómenos naturales. Las mediciones en una investigación con frecuencia representan a
dos variables relacionadas entre sí. En muchas situaciones el estudio que se lleva a cabo
puede avanzar con la presentación de una ecuación que exprese la relación,
o
relación
aproximada, entre las dos variables involucradas. En ese momento la ecuación puede uti­
lizarse para calcular valores correspondientes de las variables, diferentes de aquellos
obtenidos mediante mediciones. La ecuación se conoce como
proceso seguido se llama
ecuación empírica
y el
ajuste de la curva.
Suponga, por ejeinplo, que se han colocado varios pesos sobre el punto medio de
una viga sostenida en sus extremos. Si para cada peso se mide la deflexión de la viga en
. su punto medio, se obtiene una serie de valores correspondientes. En cada pareja un va­
lor es el peso y el otro la deflexión producida por el peso. La tabla muestra las lecturas
realizadas, con x representando el peso en kilos y y la deflexión en centímetros. Las pa­
rejas de valores se grafican en la figura 11.1. Los puntos parecen encontrarse muy cerca
de lo que sería una línea recta y sugieren que la deflexión es proporcional al pes o; es
decir, una ecuación de la forma
y= mx + b
representa la relación, o relación aproximada, entre el peso y la deflexión. En vista de
que los puntos no yacen exactamente sobre una línea recta, ninguna ecuación lineal pue­
de ser satisfecha por todas las parejas de datos. Se presenta entonces el problema de ele­
gir una ecuación lineal particular. Se podría trazar una recta que pasara muy cerca de cada
punto. Es deseable, sin embargo, seguir un procedimiento que localice una recta definida.
x
y
100
120
140
160
180
200
0.45
0.55
0.60
0.70
0.80
0.85
360
11
CAPíTULO
AJUSTE DE CURVAS
y
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
FIgura
11 .1
--�--�----�__-L
O�
11.1
O
50
100
150
L-_
____
200
250
x
MÉTODO DE MíNIMOS CUADRADOS
Suponga que se han dado
yJ
y),
n
puntos sobre un plano cuyas coordenadas son (x
"
de cada uno de los puntos relativo a una curva se define
(x ' y), ... (x ,
El residuo
2
n
como la ordenada del punto menos la ordenada de la curva para el mismo valor de
x.
El
total de los residuos puede examinarse para determinar si la curva representa un buen
ajuste para los puntos. Una curva se considera un buen ajuste si cada uno de los resi­
duos es pequeño. Como algunos de los residuos pueden ser positivos y otros negativos,
su suma podría estar cerca de cero en el caso de una curva que fuera un mal ajuste para
los puntos. Por consiguiente, la suma de los residuos no proporciona una medida ade­
cuada de la precisión del ajuste. Por esta razón se recurre a los cuadrados de los resi­
duos, evitando así las cantidades negativas. Si la suma de los cuadrados de los residuos
es pequeña, se sabría que la curva pasa cerca de cada uno de los
n
puntos. El mejor ajus­
te proporcionado por dos curvas del mismo tipo es aquel para el cual la suma de los
cuadrados de los residuos es más pequeña. La mejor curva de ajuste de cierto tipo es
aquella para la cual la suma de los cuadrados de los residuos es un mínimo.
NOTA HISTORICA
,
Parece ser que Carl Gauss (1777-1855) diseñó el método de mínimos cuadrados cuan­
do aún era un adolescente, pero fue Adrien-Marie Legendre (1752-1833) quien pri­
mero publicó el método y lo bautizó. Ambos matemáticos usaron el método para calcular
las órbitas de asteroides y cometas. También disputaron entre sí respecto a quién había
sido el descubridor de tan fructífero método.
1 1. 1
MÉTODO DE MíNIMOS CUADRADOS
361
Iniciando con la situación más sencilla,se mostrará cómo determinar la recta que
mejor ajusta los n puntos dados. Se escribe el modelo lineal
y=mx+b
donde se han de encontrar valores para m y n de manera que la suma de los cuadrados de
los residuos de los n puntos sea un mínimo. El residuo del punto (x¡, y) es y¡ - (mx¡ + b).
La cantidad y¡ es la ordenada del punto y (mx¡ + b) es la ordenada de la recta cuando
x = Xl' Por ello los residuos de los puntos son
y¡ - (mx¡+b), Y2 - (mx2 + b), .. 'Yn - (mxn + b)
.
y
sus cuadrados son
YI - 2mx, y, - 2y,b + m2xI + 2mx,b + b2,
y� - 2mx2 Y2 - 2Y2b + m2x� + 2mx2b + b2,
•
•
•
y� - 2mxnYn - 2Yn b + m2x� + 2mxn b + b2.
Se usa la siguiente notación para expresar de manera conveniente la suma de estas expresIOnes.
•
x, + X + ... + xn,
2
Lx2
XI + x� + .. + x�,
LXY = x, y, + XÚ'2 + ... + XnYn'
Representando mediante R la suma de los cuadrados de los residuos,se obtiene
Lx
=
=
.
Ly 2 - 2mLXY - 2bLY + m2Lx2 + 2mbLx + nb2.
(11.1)
Cabe señalar que todas las cantidades que aparecen en el miembro derecho de esta ecuación tienen un valor fijo, salvo m y b.Por ejemplo, Iy no es una variable; representa la
suma de los cuadrados de las ordenadas de los n puntos fijos.
En esta situación el problema es determinar valores de m y b que hagan de R un
mínimo. La expresión para R contiene la primera y la segunda potencias tanto de m como
de b.Sin embargo,si se trata a b como una constante no especificada,entonces las varia­
bles en la ecuación son R y m. Dado que R aparece de manera lineal y m de manera
cuadrática,la gráfica de la ecuación es una parábola. Eligiendo como horizontal al eje m
y como vertical al eje R se observa que la parábola tendría un eje vertical. Además,la
parábola se abre hacia arriba debido a que R, por ser la suma de expresiones cuadradas,
no es negati, .. En consecuencia,el valor mínimo de R es la ordenada del vértice. Por
tanto R alcanza el menor valor posible cuando m es igual a la abscisa del vértice de la
parábola. La abscisa del vértice se encuentra escribiendo la ecuación (11.1) en la forma
usual (Sec. 3.2). De esta manera se puede mostrar que R alcanza su valor mínimo cuando
R
=
•
,
mLx2 + bLx - Lxy
=
O.
De manera similar, se puede considerar a m como una constante y así obtener la
ecuaclOn
• •
mLx + nb - LY
=
O.
Resolviendo de manera simultánea las dos ecuaciones anteriores para obtener los valo­
res de m y de b, se obtiene (Sec. 2 .3)
CAPíTULO 1 1 AJUSTE DE CURVAS
362
Estas fórmulas permiten calcular los valores de m y de
b
de la recta que mejor se
ajusta a un conjunto de puntos. Su uso se ilustra en un ejemplo.
Ejemplo
1
Encuentre la recta que mejor se ajusta a los datos graficados en la figura
11.1.
.
Solución
En la página 344 se presentan las seis parejas de valores de x y y. Estos datos
se utilizan para calcular las sumas que aparecen en la ecuación (11.2) y obtener
¿x
¿y
¿x2
¿xy
=
=
=
=
100 + 120 + 140 + 160 + 180 + 400
900,
==
0.45 + 0.55 + 0.60 + 0.70 + 0.80 + 0.85
1002 + 1202 + 1402 + 1602 + 1802 + 2002
3.95,
=
=
142,000,
100(.45) + 120(.55) + 140(.60) + 160(.70) + 180(.80) + 200(.85)
Estos resultados, al sustituirse en la ecuación (11.2) para calcular m y
•
b,
=
621.
producen lo
•
sigUiente:
m
b
=
=
6(621) - 900(3.95)
6(142,000) - 9002
_
171
42,000
142,000(3.95) - 900(621)
42,000
Usando estos valores para m y
b se encuentra que la
=
=
0 . 0 041
,
0 . 04 8.
ecuación de la recta que mejor se
adapta a los datos es
y
=
0.0041 x
+
0.048
Esta ecuación proporciona de manera aproximada la relación que existe entre el peso y
la deflexión, y es válida para pesos que no hacen flexionar la viga más allá de su límite
elástico. Por ejemplo, la deflexión producida por un peso de 400 kg es y
+
0.048
=
0.0041 (400)
1.69 centímetros. Los datos y la recta se muestran en la figura 11.1. •
=
Debería resultar evidente para el lector que no se trata de resolver muchos proble­
mas como el presentado en el ejemplo 1, sin el uso de la calculadora. De hecho, el méto­
do de los mínimos cuadrados, si bien es deducible a partir de propiedades básicas de
funciones cuadráticas (parábolas), constituye un tema del análisis numérico y puede �na­
lizarse en términos muy abstractos. Aun así las ecuaciones básicas, como se vio en la
ecuación 11.2, son sumas, diferencias, productos y cocientes de números reales. Es rela­
tivamente sencillo programar un computador para tomar los datos correspondientes a los
puntos dados, y calcular la pendiente y la ordenada al origen de la recta que "mejor se
ajusta". De hecho, muchas de las calculadoras "para científicos" ya incluyen el progra­
ma, generalmente en un modo de "estadística". Se recomienda al lector que utilice dicho
tipo de calculadora, y si es posible que use una calculadora con pantalla para graficación
que grafique los datos y la recta que mejor se ajuste a ellos. Busque el apartado de "Re­
gresión lineal" en el manual que acompaña a la calculadora.
EJERCICIOS
36
. 3
En opinión del autor de este texto, no es importante que los estudiantes memoricen
las ecuaciones
(11.2).
En el ejemplo que sigue se retoma el problema del inicio de una epidemia de saram­
pión, el cual ya se presentó en el ejemplo 6 de la sección 1.6.
Ejemplo
2
A raíz de la aparición de una epidemia de sarampión, un representante del
departamento de salud pública observa que ocurren 5 nuevos casos durante la primer se­
mana, 18 nuevos casos en la segunda, 36 en la tercera y 59 en la cuarta. ¿Cuántos nuevos
casos cabría esperar en la quinta semana?
Solución
{(1,5),(2,18),(3,36),(4,59)} y,
calculadora científica se encuentra que m = 18 Y b = -15.5.
Los datos son
por ende,
n = 4.
Usando una
La recta que mejor ajusta los
datos, calculada mediante el método de mínimos cuadrados, está dada por
y= 18x- 15.5.
Así, six
5, entonces y= 74.5. El representante del departamento de salud pública
puede esperar que aparezcan 74 o 75 nuevos casos durante la quinta semana. •
=
Ejercicios
Encuentre la ecuación de la recta que mejor se ajuste a los conjuntos de puntos que co­
rresponden a los ejercicios 1 y 2. Grafique los puntos y trace las rectas.
1. (1,8),(4,6),(5,5),(8,3),(9,2), (11,1)
2. (-2, -10),(0,-5),(1,0),(2,5),(4,8)
3.
En la tabla que aparece a continuación se registran las longitudes
y (en
cm) que
alcanza un resorte y que corresponden a distintos pesosx (en kg) que se le han col­
gado. Encuentre la recta, y=
mx +
b, que mejor se ajuste a los datos. Utilice la ecua­
ción resultante para encontrar la longitud del resorte cuando el peso sea de 17 kilos.
4.
x
10
20
30
40
50
y
11.0
12. 1
13.0
13.9
15. 1
Un negocio obtuvo, al final de cada año, las ganancias netas que se detallan en la
siguiente tabla
Año
1989
1990
1991
1992
Ganancia
$10,000
$12,000
$13,000
$15,000
Determine el mejor ajuste lineal y prediga la ganancia para
5.
1993.
En la siguiente tabla se muestra, para cinco décadas, el número de alumnos inscri·
tos en un colegio a final de cada década l. Encuentre la recta de la forma N
=
mI + b
CAp.íTULO 1 1 AJUSTE DE CURVAS
364
que mejor se ajuste a estos datos. Haga una predicción de la matrícula al final de la
sexta década.
t
1
2
3
4
5
N
8 000
9,000
10,100
1 1,400
13,700
,
6. La relación entre la cantidad total de calor H en un kg de vapor saturado a T grados
Celsius es H = mT + b. Determine los valores de m y b que mejor se ajusten a estos
datos.
T
H
11.2
50
90
70
623
110
•
627
636
632
MODELOS EXPONENCIALES
Como se vio en el capítulo 6, muchas situaciones que se refieren al crecimiento o decai­
miento se modelan en términos de funciones exponenciales de la forma
(11.3)
Si bien ninguna recta puede ajustarse adecuadamente a un modelo exponencial, se
pueden tomar los logaritmos naturales de los miembros de ambos lados de la ecuación
11.3 y obtener
In y = In a + bx,
la cual resulta lineal en x y z = In y, por ser a y b constantes. Se puede entonces aplicar el
método de mínimos cuadrados a los nuevos datos, que consisten en los puntos (x,In y)
para los que (x,y) satisface la ecuación (11.3).
Ejemplo 1 En cierto cultivo el número N de bacterias por unidad de volumen,después
de t horas, está dado mediante la tabla que aparece a continuación. Encuentre a y b de
manera que N = aebt se ajuste a los siguientes datos:
t
1
2
3
4
N
70
88
111
127
Solución Tomando logaritmos como se sugiere,los datos se transforman para obtener
lo siguiente: '.
•
t
1
2
3
4
In N
4.25
4.48
4.71
4.84
EJERCICIOS
365
Según el análisis de regresión lineal,la recta que mejor se ajusta a los datos está
dada por
y=
In N = In a + bt
. .
donde In a = 4.07 Y b = 02
deseado,como se ilustra en la figura 11.2 ,está dado por
e02t• •
N 58.
=
N
200
ISO
100
2
1
FIgura 11. 2
4
3
5
1
•
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 3,encuentre el mejor ajuste utilizando el modelo exponencial.
1.
2.
3.
x
-3
-1
1
3
5
y
0.8
1.5
2.7
4.9
9.0
x
o
1
2
3
5
y
3.0
2.5
2. 1
1.6
1.1
x
1
2
3
4
y
3
4.5
7.8
16
CAPíTULO J J
366
4.
,En un cultivo el número de bacterias
N por
AJUSTE DE CURVAS
unidad de volumen un cierto tiempo
t corresponde a lo que aparece en la tabla. Encuentre la mejor relación de la forma
N = aebl•
t
N
5.
o
2
4
6
8
10
16
25
40
63
La temperatura T (en grados Celsius) de un cuerpo que está siendo enfriado se mi­
dió en distintos tiempos t (minutos), como lo indica la tabla. Encuentre la fórmula
exponencial que mejor se ajuste a T en términos de t.
t
T
o
l
2
3
4
5
lOO
79
63
50
. 40
32
6. En la tabla se muestra la presión atmosférica p en unidades de libras por pulgada
cuadrada, a una altura h expresada en miles de pies. Proporcione una fórmula
exponencial para p expresada en términos de h.
h
o
5
10
15
20
p
14.6
12.1
10.1
8.4
7.0
7. Considere nuevamente los datos de la epidemia de sarampión que aparecen en el
ejemplo 2, sección 11.1, Y utilice un modelo exponencial. Bajo el supuesto de un
modelo exponencial, ¿cuántos nuevos casos cabría esperar para la quinta semana?
¿Qué modelo parece ser el más adecuado? ¿Por qué?
EJERCICIOS DE REPASO
l . Una compañía de encurtidos tuvo una ganancia de
$ 5218 en 1990, $ 8795 en 1 991 y 11350 en 1992.
Encuentre el ajuste lineal para los datos que resul­
ta de usar el método de mínímos cuadrados, y pre­
diga la ganancia para 1993. Grafique la curva.
2. Para la compañía de encurtidos que se trató en
el ejercicio 1, use el modelo exponencial para pre­
decir las ganancias de 1 993 y 1994. Grafique la
curva.
3. Convierta el modelo logarítmico y = a + b In x a
un modelo lineal, utilizando para ello la sustitución
z = eln Y. A continuación use el método de mínimos
cuadrados a fin de encontrar el mejor ajuste (en el
modelo logarítmico) para los datos siguientes:
x
0.5
1
3
5
8
y
o
3.1
7.8
9.9
12
Términos clave
método de mínimos cuadrados,
pág. 360
modelo lineal, pág.
361
modelo exponencial, pág. 364
EJERCICIOS DE REPASO
1. Use el modelo lineal para ajustar los datos {(1, 2.06),
2. Use un modelo exponencial para ajustar los datos
{l, 1.09), ( 10 ,8.7 3), ( 16, 2 0.17)}. ¿Qué valor se
puede predecir para x = 20? Grafique la curva.
3. ¿Qué modelo se debe usar para ajustar los datos
{( 1, 2), (2, 4) , (3, 6), (5, 1 1)}?¿Por qué?
367
(4, 6. 39), (lO 1 4 87 )} Grafique los datos y la recta.
,
.
.
Apéndice A
Fórmulas
370
APÉNDICE A
ALGEBRA
,
1. Fórmula cuadrática
Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = O Ca "t: O) son x =
-b + v'b 2 - 4ac
--- --=2a
2. Determinantes
El valor de una determinante de dos por dos es
al
El valor de una determinante de tres por tres es
al
a2
bl
b2
a3
b3
el
e2
e3
•
= al(b2 c3 - b3e2) - bl(a2e3 - a3e2 )
3. Números complejos
+
el(a2 b3 - a3b2)'
Si z = a + bi Y w = c + di, con w "t: O, entonces
z
+ w = (a + e) + (b + d)i,
- w = (a - e) + (b - d)i,
,
z
z
.
w = (ac - bd)
z
)
ae + bd
2
e2 + d
_
w
+
(ad
+
+
be)i,
be - ad .
1.
TRIGONOMETRíA
4. Relación entre grados y radianes
Toda la circunferencia de un círculo subtiende un ángulo central de 2n: radianes y de 360
grados.
2n: radianes
=
l revolución = 360°
De este modo,
,
1 rad·lan
=
180
n:
1 grado
y
grados,
=
n:
radianes.
180
5. Definiciones e identidades fundamentales
sen (J = y =
l
.
ese (J'
1;
sen2(J + eos2(J
r
=
sen (J
=
cos (J
x
=
=
r
l .
sec (J'
1 + tan2(J = sec2(J;
cos(90° - (J) = sen( l 80° - (J);
tan (J = y =
x
1
cos (J
+
=
1
cot (J
cot2(J = cse2(J;
sen (90° - (J)
=
sen (1
cos (J'
-cos( l 80° - O);
APÉNDICE A FÓRMULAS
371
tan 0= cot(90° - O) = -tan(180° - O);
csc O
=
O
cot - cot O;
2
sen(O +
senOcos rJ> - cos O senrJ>;
rJ»
cos(O -
rJ» = cos Ocas rJ> + sen O sen rJ>;
cos 20
cot 20
=
=
O
tan - =
2
=
tan O - tan rJ>
I + tan Otan rJ>;
=
cos20 - sen20
COl2 0 - 1
2 cot O
,
1 +
cos
1
+
- 2 seriO;
- cos
2
-
senO cos rJ>
cos Ocas rJ>
=
=
=
rJ» + sen(O
1
2 [cos(O +
•
rJ» + cosCO - rJ»];
I
senO senrJ> = - [cos(O +
2
rJ» - cosCO
-
rJ»].
,
6. Angulos y lados de triángulos
Ley de cosenos:
a2
=
b2 + e2
-
4be cos A.
sen A sen B
a
b
Ley de los senos:
•
Area
,
=
Ihbe sen A = l12ae sen B
=
-
sen e
e
•
l12ab sen C.
GEOMETRíA ANALíTICA
7. Fórmulas básicas
Distancia entre dos punto�:
Punto medio:
p( ;
XI
P IP2 = Y(X - XI)2 + (Y2 - YI )2.
2
Y2
x2 YI
,
.
; )
Yz - YI
Pendiente de una recta: m =
x2 - XI
Condición para rectas paralelas: m,
=
Condición para rectas perpendiculares:
'
=
1 +
cos
2
()
•
,
O + rJ>
O - rJ>.
cos O - cos rJ>= -2 sen
sen
'
2
2
rJ»];
-
+
•
O + rJ>
O - rJ>
sen O - sen rJ> = 2 cos
sen 2 ;
2
O + rJ>
O - rJ>
2 cos
cos
;
2
2
I
(sen(O +
2
O
cos - =
2
()
,
2 tan O
I - tan20'
•
O + rJ>
O - rJ>
;
cos
senO + senrJ>= 2 sen
2
2
cos O + cos rJ>
tan 20 =
senO
1 + cos O'
sen O
()
rJ» = cos Ocas rJ> - sen O sen rJ>;
tan O + tan rJ> .
tan(O + '1'
Á-.) =
1 - tan Otan rJ>'
2 cos20 - I = I
I - cos O
()
cos(O +
sen20= 2 sen Ocos O;
O
sen- =
2
•
- cos
1
+
=
tan(90° - O) = -cot(180° - O);
=
rJ» = senOcos rJ> + cos O senrJ>;
sen(O -
tan(O - '1'
Á-.)
COlO
Y I - Y2
. con X2;éX,.
XI
X2
-
m2•
m,m2 =-1.
APENOICEA
,
372
,
tan (J =
Angulo entre dos rectas:
lfIJ. - m I
.
l + m2ml
Q
Distancia entre un punto y una recta: P
-
_
IAxI + BYI + el
VA2 + B2
8. Ecuación de la recta
Ecuación general:
Ax + By + e = O.
- YI(x
Forma dos puntos: Y-Y, = Yz
•
-
X2 - XI
XI)'
Forma punto-pendiente: Y-Y, = m(x - x,).
Forma pendiente-ordenada al origen: y = mx + b.
Forma intersecciones:
•
9. Circunferencia
2
Ecuación general: X + y +
Dx + Ey + F = O.
2
X
+ y = r2, o x = r cos e, Y = r sen e.
Centro en el origen, radio r:
Ecuación de la recta tangente en (x" Y,): x,x + Y,Y = ,:J..
Centro en (h, k), radio r: (x - h)2 + (y
-
k)2 = r2.
10. Parábola
Vértice en el origen,se abre en la dirección x positiva:
y2 = 4ax (a > O),
o bien
x = a12, Y = 2at.
Ecuación de la recta tangente en (x" y,): Y,(Y -Y,) = 2a(x - x,)
Foco: (a, O).
Directriz:
x + a = O.
Vértice en (h, k), se abre en la dirección x positiva:
11. Elipse
Centro en el origen:
X2
a-
?
+
y2
b'-
(y - k)2 = 4a(x- h).
= l ,o x = a cos e, y = b sen e.
•
Ecuación de la recta tangente en (x" Y,):
Si a> b: c2 = a2 - b2; excentricidad e = e/a; focos, (-e, O),(c, O)
Si b > a: c2 = b2 - a2; excentricidad e = e/b; focos, (O, -c), (O, e) .
Centro en (h, k):
12. Hipérbola
Centro en el origen:
I , o x = a sec e, y = b tan e.
APÉNDICEA FÓRMULAS
373
Ecuación de la recta tangente en (XI' YI):
Asmtotas:
b
y = -x, Y =
-
b
-x.
a
a
Focos: (-c, O), (e, O), donde e2 = a2 + b2.
'
e=cla, donde ¿. = a2 + b2,
(x - h)2 (y - W
=
Centro en (h, k):
2
b2
a
Con asíntotas X = a, y = b: (x - a)(y - b)= k,
Excentricidad:
+
l.
GEOMETRíA PLANA
12. Figuras básicas y sus áreas
Paralelogramo
,
Area = bh
b
Rombo
,
Area = bh
b
a
Trapecio
,
Area= Y,(a + b)h
,
b
Triángulo
,
b
Area = Y,bh
Apéndice B
Tablas
376
APÉNDICE B
,
TABLA I
Funciones trigonométricas naturales
,
,
Angulo
Angulo
Grado Radián
Seno
Coseno
Tangente
0°
1°
2°
3°
4°
5°
0.000
0.017
0.035
0.052
0.070
0.087
0.000
0.017
0.035
0.052
0.070
0.087
1.000
1.000
0.999
0.999
0.998
0.996
0,000
0.017
0.035
0.052
0.070
0 087
6°
7°
8°
9°
10°
0.105
0.122
0.140
0.157
0.175
0.105
0.122
0.139
0.156
0.174
0.995
0.993
0.990
0.988
0.985
11°
12°
13°
14°
15°
0.192
0.209
0.227
0.244
0.262
0.191
0.208
0.225
0.242
0.259
16°
17"
18°
19°
20°
0.279
0.297
0 314
0.332
0.349
21°
22°
23°
24°
25°
Tangente
Grado Radián
'Seno
Coseno
46°
47°
48°
49°
50°
0.803
0.820
0.838
0.855
0.873
0.719
0.731
0.743
0.755
0.766
0.695
0.682
0.669
0.656
0.643
1.036
1.072
1.111
1.150
1.192
0.105
0.123
0.141
0.158
0.176
51°
52°
53°.
54°
55°
0.890
0.908
0.925
0.942
0.960
0.777
0.788
0.799
0.809
0.819
0.629
0.616
0.602
0.588
0.574
1.235
1.280
1.327
1.376
1.428
0.982
0.978
0.974
0.970
0.966
0.194
0.213
0.231
0.249
0.268
56°
57"
58°
59°
60°
0.977
0.995
1.012
1.030
1.047
0.829
0.839
0.848
0.857
0.866
0.559
0.545
0.530
0.515
0.500
1.483
1.540
1.600
1.664
1.732
0.276
0.292
0.309
0.326
0.342
0.961
0.956
0.951
0.946
0.940
0.287
0.306
0.325
0,344
0.364
61°
62°
63°
64°
65°
1.065
1.082
1.100
1.117
J.I34
0.875
0.883
0.891
0.899
0.906
0.485
0.469
0.454
0.438
0.423
1.804
1.881
1.963
2.050
2.145
0.367
0.384
0.401
0.419
0.436
0.358
0.375
0.391
0.407
0.423
0.934
0.927
0.921
0.914
0.906
0.384
0.404
0.424
0.445
0.466
66°
67°
68°
69°
70°
1.152
1.169
1.187
1.204
1.222
0.914
0.921
0.927
0.934
0.940
0.407
0.391
0.375
0.358
0.342
2.246
2.356
2.475
2.605
2.748
26°
27°
28°
29°
30°
0.454
0.471
0.489
0.506
0.524
0.438
0.454
0.469
0.485
0.500
0.899
0.891
0.883
0.875
0.866
0.488
0.510
0.532
0.554
0.577
71°
72°
73°
74°
75°
1.239
1.257
1.274
1.292
1.309
0.946
0.951
0.956
0.961
0.966
0.326
0.309
0.292
0.276
0.259
2.904
3.078
3.271
3.487
3.732
31°
32°
33°
34°
35°
0.541
0.559
0.576
0.593
0.611
0.515
0.530
0.545
0.559
0.574
0.857
0.848
0.839
0.829
0.819
0.601
0.625
0.649
0.675
0.700
W
77"
78°
79°
80°
1.326
1.344
1.361
1.379
1.396
0.970
0.974
0.978
0.982
0.985
0.242
0.225
0.208
0.191
0.174
4.011
4.332
4.705
5.145
5.671
36°
37°
38°
39°
40°
0.628
0.646
0.663
0.681
0.698
0.588
0.602
0.616
0.629
0.643
0.809
0.799
0.788
0.777
0.766
0.727
0.754
0.781
0.810
0.839
81°
82°
83°
84°
85°
1.414
1.431
1.449
1.466
1.484
0.988
0.990
0.993
0.995
0.996
0.156
0.139
0.122
0.105
0.087
6.314
7.115
8.144
9.514
11.43
41°
42°
43°
44°
45·
0.716
0.733
0.750
0.768
0.785
0.656
0.669
0.682
0.695
0.707
0.755
0.743
0.731
0.719
0.707
0.869
0.900
0.933
0.966
1.000
86°
87°
88°
89·
90°
1.501
1.518
1.536
1.553
1.571
0.998
0.999
0.999
1.000
1.000
0.070
0.052
0.035
0.017
0.000
14.30
19.08
28.64
57.29
377
APÉNDICE B TABLAS
TABLA"
Funciones exponenciales
x
eX
1.0000
0.9512
0. 9048
0.8607
0.8187
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
12.182
13.464
14.880
16.445
18.174
0.0821
0.0743
0.0672
0.0608
0.0550
1.2840
1.3499
1.4191
1.4918
1.5683
0.7788
0.7408
0.7047
0.6703
0.6376
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
20. 086
22.198
24.533
27. 113
29.964
0.0498
0.0450
0.0408
0.0369
0.0334
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
1.6487
1.7333
1.8221
1.9155
2.0138
0.6065
0.5769
0.5488
0.5220
0.4966
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
33.115
36.598
40.447
44.701
49.402
0.0302
0.0273
0.0247
0.0224
0.0202
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
2.1170
2.2255
2.3396
2.4596
2.5857
0.4724
0. 4493
0.4274
0.4066
0.3867
4.0
4.1
4 .2
4.3
4.4
54.598
60.340
66.686
73.700
81.451
0.0183
0.0166
0.0150
0.0136
0.0123
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
2.7183
3.0042
3.3201
3.6693
4.0552
0.3679
0.3329
0.3012
0.2725
0.2466
4.5
4. 6
4.7
4.8
4.9
90.017
99.484
109.95
121.51
134.29
0.0111
0.0101
0.0091
0.0082
0.0074
1.5
1. 6
1.7
1.8
1.9
4.4817
4.9530
5.4739
6.0496
6.6859
0.2231
0.2019
0.1827
0.1653
0.1496
5
6
7
8
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
7.3891
8. 1662
9.0250
9.9742
11.023
0.1353
0.1225
0.1108
0.1003
0.0907
10
x
eX
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
1.0000
1.0513
1. 1052
1.1618
1.2214
0.25
0. 30
0.35
0.40
0.45
e
-x
9
148.41
403.43
1096.6
2981.0
8103.1
22026
e
-x
0.0067
0.0025
0.0009
0.0003
0.0001
0.00005
Res uestas a E- ercicios
Seleccionados
,
CAPITULO
1
1.1;
EJercicios, Sección
2.
4.
páginas 10-1 2
= (-3, 1), B = (0, 4), Y C = (2, 1 )
JA Bj = 3Y2, J BCj = v'29, y JACj = v'29.
A
-
.
y
10.
y
(6, 3)
(7, 4)
•
•
•
-l--+-+-+-+-4-!-+-t-!f-++-t-+ x
(3, 1)
(-1, -1)
•
x
d= "65
d= 5
y
12.
y
6.
•
•
(2, 3)
(2, 2)
-++-+-+-+-H-+-+-1-+-t-t-+ x
(- 1, O)
•
(-3, -3)
d
=
3-Y2
y
14.
y
8.
8
(0,4)
(-3, O)
IABI = ro
IACI vio
=
d=5
IBCI = ..J5
A
380
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
16.
y
24.
IABI= 3-J2
IACI= I
IBCI = 5
IACI = 5E
IABI=5
IBCI= 10
B
IAC¡' =IABI' + IBCI'
-I--+-++-+-+-+--+-+- >--+-+-+-. x
A
C
...
C
-t-+-+-+-H-"':""d-t-I't+-+-+-.
•
y
1 8.
•
26. IABI = IACI = IBCI = 6.
28. Todas las distancias son 5.
C
A
30. Alineados
32. No alineados
34.x=13
36.
(O, -D
EJercicios, Sección 1 .2; páginas 20-22
IACI= 4"
IAB 1= 14:-,,-"-+-=-9 =ICBI
2.
y
4.
y
y
20.
C
---I-+-+---H+-+--1....., '-H-+-++. x
IABI= 6-J2
IACI= 5-J2
IBC¡ = 5--5.
y
22.
A
," , " , , ""
-1-1-1-1-1-
�C
,
,
IABI-'I'58
IACI ='1'29
IBCI='1'29
IAB l' = IACI' + IBCI'
' ".'
x
,
'
r-�
•
B
++-H-+-++-. x
x
381
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
6.
-!-I+-+-H-+
-+-+-+-I---j--,
-t--+-
x
y
8.
y
12.
-t-t-+-++-+-p.ri-+-+-++-. x
14. �, Sí, No
16.
4, 76°
18. 15, 86°
20.
9.43912,24°
22. Pendiente AB = Pendiente CD = o.
Pendiente BC Pendiente DA = - ; .
además, 1 AD 1 = 1 BC 1 y 1 OC 1 =-1 AB l.
Luego, la figura ABCD es un paralelogramo.
=
x
24. Pendiente AB
Pendiente CD -1.
Análogamente Pendiente BC Pendiente AD
=
=
=
=
�.
26. La pendiente de la línea que pasa por (O, O) Y
(4,4) es l . La pendiente de la línea que pasa por
(O, O) Y (4, -4) es 1.
-
1 O.
y
28. La pendiente de la línea que pasa por (O, -2) Y
(5, -4) es - ; . La pendiente de la línea que pasa
por (7,1) Y (5, -4) es �.
30. La pendiente de la línea que pasa por (1, 1) Y
(4, -1) es - ; . La pendiente de la línea que pasa
por (1, 1) Y (3, 4) es � .
32. La pendiente de AB es � . La pendiente de BC
es � . La pendiente de CD es .¡ . La pendiente
-
-
de DA es � Así A, B, e y D son los vértices de
un rectángulo.
.
36. Están alineados.
38. No están sobre una recta.
40. tan A = t, A = 49°; tan B = 1;4 ,B
tan e = 14 ' e = 60°
42. tan A =-18,A = 93°; tan B =
tan e = n , e 38°
=
98
,
=
B
70°;
= 48°·
,
382
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
6. Una función
44. 27°,153° ¿J6. 34°
4S. Perpendicular
50. Perpendiculares
y
52. Oblicuas
54. 1 09°
EJercicios. sección 1.3; páginas 28-30
2. (2.4)
4. (-1,1)
6. (1,5)
8. (3, D,
) ( -4)
134 2.
El punto medio es G. n. La distancia es \ /
IS. (15.6)
16. (3, n
( j. n
10 . ( -2 '
12.
14.
G, 2 ) . (�. n
_
) (
11
2
'
_
5
2'
_
7
2
_3
2'
'
•
-
20. (2.4174,0.8315)
22. (5.
In
24.
(11
4'
_
)
1
4
26.
(�. _171)
28. a) (8. 11),b) (-1, -1)
30. a) (9,9),
32. (6.
38.
-+-+-+-+-H---+-+-+.,.�-++-. x
JO'.
n
G, D
3'. 4 i '
una función.
(!. !). ( i -D
36. el. 121 )
(5. -D
b)
34.
S. y = X2 es
-
y
,
y
4
(l. 1)
+-H---+-++-.
3
x
4.!.
2
EJercicios. sección 1.5; páginas 4 1-44
2. No, pues (1,2) y (1,1) están, ambas, en la relación.
4. Una función.
y
10. x = y2 no es una función.
y
+
+
-1+
(4.2)
-1-
--If-l--+-I-+-+-+-. x
,
-1---+..../i-+-+-+-+-+-I-+---+-+-+-+
.
,
,
, ,
,
,
(O. (lJ ,,'
+
-1f­
�
�
.
x
383
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
22. a) par
b) impar
c) ni par, ni impar d) impar
12. Una función
y
EJercIcios, seccIón
2. Y
=
I .6;
págInas
49-50
-2x
y
-t-+-+-+--t--Hr�+-t--HH- x
•
(1,O)
14. Xl
+
y2
=
1
no es una función.
y
4.
(O, 1)
2y + 3x
=
29
y
(1 , O)
X
(5,7)
(7,4)
-+_ X
•
16. a) no es una función
b)
es
una función
d) no es una función.
c) es una función;
18./(-1)
2; /(1 + h)
2 + 2h + h2.,
/(1 h ) 2 2h + h2;f(O) = l' no
=
-
=
=
-
,
Ritmo cardiaco
20.
1 80
(lO,
6. Y = 4
y
168)
(70, 120)
X
20
Edad
384
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
14. 16x =
8. Y = 2
y2
y
y
"-++-+-I-+++-H-++-t--+ x
-+-+--+---t---i-t--+-+-t-t-+-+-� x
•
16. X 2 +
10. x = - 4
y2
= 32
y
y
(-4, O)
12. 12x -
lOy
= 25
18. x2 + y2 = 16
y
y
-+-+-+-t--. x
(-4, O)
(4, O)
385
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
20. 25x' + 16y'
=
EJercicios. Sección
400
1.7;
página
59
2. Dom/= iR
y
Cod/=
(6)
y
+-H-+-l-+-l-+-+-+-lH-+-+ X
--¡--- y
=
6
------,�-----� x
22.
4x' - 140y' + 35 = O
4. Dom/= iR
y
Cod/= IR+
-
y
y
-
=
2'
-
,
,
"
,
,
,
x
-
------�----� x
•
24.
x' + yO =
•
16
y
6.
Dom/= [-4, 00)
Cod/= [O, 00)
y
(-4,0)
(4, O)
----"'-----1--+ x
26. El número esperado de nuevos casos es de 66
y 79.
-4
386
8. Domf= R
EjercIcIos de repaso; págInas 59-60
Codf= R
4. tan A = 5, A = 79°;
tan e = j, e = 18°
y
6.
8.
=
B
tan
8, B
=
( -2, j), (-10, 8)
Y = X2 - 4
y
---�k:-x
---+
y = -x'
-
+
+
" "I-+" ¡"--' x
_+-i
i Hi-iH:-H
. .
.
"
.
'
+
,
v=
-
\-
•
10. Domf= [-2, 2]
Codf= [0,2]
x'
-
4
Examen sobre el capítulo; págIna 60
2. a)
y
IABI
=
e) (O,-D
Vs8
b)�
e)
(L -�,)
d) 1.4°
loe, ED 11 AC y BD lOA,
de manera que t1 OAC es similar al t1 BDE.
3. En la figura
EB
y
---L-I--l----+ x
-2
2
A(a, b)
y
12.
---!'-o
-
___-:
___-4>---�
-
14. a)f(O) = J;
b)fW = O;
c)f(a + h) = -4 (a + h)2 + 1,
d)
D(�.O)
4. a) Sí es función
X
-
�
___
�__
___
C(c.
O)
x
y
8a- 4h.
,-+-+-+-I-+-+-+-+ x
387
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
5. Sea x peso de la carta, en onzas, y p(x) = lo que
cuesta enviar por correo x onzas, en .Ias unidades
de moneda en uso. Entonces p(x) = 0.06 + 0.23k,
si k-I <x < k, para k= 1,2,3,4,5. El dominio es
(0,5], la imagen es {0.29, 0.52, 0.75, 0.98, 1.21}.
b) Sí es función
=
y
p(x)
o
1.21
o
0.98
o
0.75
x
o
0.52
•
•
•
•
0.29
--�---r--+--1---r--' x
2
1
3
4
5
c) No es función
6. 3X2 + 2x + 3y2 - 8y
y
+
3
=
O
8. 0
7. a) [1, 00); b) (-00,1]; c) [1].
,
CAPITULO 2
EJercfclos, sección
�-t-r1-+-�-+-r-r+-+-�x
2. m
2.1;
páginas
-1,a= 6, b = 6, Y
=
4. m= - �, a=4, b
6. m= �, a
8. m =
•
-
=
- 1)0, b
�, a=
1)4,
lO. m= 4,a= �, b
=
67-69
=
-x + 6
9, Y = - �x + 9
�, y = �x + �
=
b = 7, Y = - �x + 7
=
-
i, y = 4x - �
1
1
1 b =s,y=-x+s
12. m= -I,a=s,
d) Sí es función
0.4589, a = 2.8183, b = -1.2933,
Y = 0.4589x - 1.2933
14. m
y
=
16. Y = 2x - 3
18. Y = 5x
20. y = �x - 4
x
22. Y = ;x + 3
,
24. Y
=
26. Y
=
28. Y
=
-3x - 4
-8x + 7
�x -
4
388
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
30. 2x - y= -1
36. 3x + y= 12
y
y
(1, 3)
(4, O)
-+-+--+-+--If--+-+-+- -+-+-+
f--++-t-H-fl+-t--++-t-H-+ x
x
38. 4.90032x + y= 6.29651
32.
Y=
-2
y
y
(0.01157,6.23981)
x
(O, -2)
40. 7x + 6y = 11
44.
3x + 4y=
48. �x - y =
34. x - y= -3
O
O
42. x + 2y = 2
46. x = -1
50. 1.93759x + y = 18.023216
52.
y
e
(32, O)
x
(O, -17.8)
,-+F
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
389
54. -400
56.
T =
T=
EJercicios, sección 2.3; páginas 77-78
20 + 15x, O x
140 - 15(8 - x)
<
<
8.
(L - D
8.
58. $1.40, $3900
+
y = -1
10. 2x
+
3y = 6
14. IOx
.x
18.
-4
+
9y = -6
y
+ 9
x
20.
(20/9)
+
i)
10. (lO, O)
+
8. 3x
+
-n
14)
"5
12
unidades
cada una.
y
.
4y= -6
•
12. 4x - 3y = 12
x
16.
2
$44
16. a)
4. 2x - 5y= -6
6. (1,
El equilibrio de mercado es producir
a
Ejercicios, sección 2.2; páginas 73-74
6. 3x
-
8
12. (-16,10), (2, - 8), ( -5'
14.
2. 4x + 5y = -13
4. (1,
2. (3, O)
8;
if O < x
<
2x
- 3y
<:
6
y
=1
-8
x
2x
=1
- 3y = 6
y
=1
(-5/9)
22. 3x - 2y + 5= O, 2x + 3y - 14 = O
24. 8y + x + 13 = O, 8x
-y
- 26 = O
b)
y
26. 1492x + 1776y - 3552= O.
1776x - 1492y + 2984= O
+
28. x
3y - 8 = O
30. 2x + 5y - 9
=
O
34. Si
Y = 'costo de alquiler y x = kilómetros recorri­
dos, entonces y = 20 + 0.11 x
y
25
20
•
2x
1---(o. 20)
15
10
5
---+---+--j-+-+--+-+ x
5
10 15 20 25
- 3y > 6
•
e)
y
390
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
d)
y
y
12. 2x+ y=k
2x-3y=6
-+-+-1'-' -I-+� -+*H--++ x
x
x+y=l
EJercicios, sección 2.4; páginas 84-86
2. -
152
8. O
14.
3
13
9Ys
20. 5
4.
10.
9vTo
6.
5
1;
7
5
y
14.x+ky=3
•
12. 2
8V13
16. 2V2
18.
2V13
22.
13
3\129
24.
29
x
\3
26. x = y
28. (2Ys + 4)x + (Ys - 3»' = 4Ys + 8
30. (Ys + V2)x + (Ys + 2V2»" = 2Ys + 3V2,
(Ys - V2)x + (Ys - 2V2)y = 2Ys - 3V2
16. 8x + a�Y = 80
y
32. 9.5
34. 7.603krn, x - 2y
+
8 = O
EJercicios, sección 2.5; páginas 90-92
2. Pendiente = 3
8x+ y=8
4. Pasa por (-3,4)
8x+ !6y= 32
6. Intersección con el eje y=2
-+-++-H-+-+H-+'''k:::+-t- x
8. Intersección con el eje x = 4 10. 4x 7y = k
-
y
8x+4y= 16
18. 2x +
2x +
v
'v
-
-
b
O, 2x
4Ys = O
=
.
+ y +
.
4Ys = O.
20. 3x + 4v + k = O.
3x + 4y + 4 = O, 3x + 4-" - 26 = O
22. 2x - 3y + 2
+
3V13 = O
24. 3x - 4y + 16 = O, 3x
26. 3x
+
v
+ 14 = O
-
4y = 24
391
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
28. x + 3y O
30. 6x 2y
32. 20x - 25y + 62
7x + 7y - 16 O
34. 34x + a2y 34a
22. (x -
=
W
+
(y - 12?
=
y
=
O,
=
27x - 18y
+
46
=
144
O,
=
=
EJercicios, sección 2.6; páginas 98-100
2. X2 + ( y - 8)2 25
4. x2 + (y - 3)2 49
6. (x + 1)2 + (y + 6) 2
8. (x - ;)2 + (y - n2
10. (x + 3)2 + (y + 1)2
12. (x - 1)2 + (y + 3)2
14. (x + 3)2 + (y + 4)2
16. (x - 5)2 + (y + W
(5,
•
12)
=
6
=
1 8. (x + 2)2
+
(y + 6)2
=
=
=
=
=
=
=
64
10
40
80
16
24. (x
- �y
+
(y
- 2)2
=
21
Y
3]7l9]
4
G,2)
•
x
y
--+-++-H-++-+-'H-++-t-+ X
(-2. -6)
y
20. (x - 5)2
+
(y
+
2)2
=
36
y
•
(l,-�)
-+--+l-H-++-H-+-+-+-,f-+-ltf-+
x
(5, 2)
-
•
28. Punto
30. Circunferencia
32. Circunferencia
34. Circunferencia
36. Punto
.
392
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
40. (x
-
7)2
+
(y
6)2
+
=
26
42. (x - 3 )2 + (y w = 9
(y - 15)2 = 225
Y
-
x2
+
y2 - X - � y = O
46. X2
+
y2
44.
+
3 x - y-lO
48. (x � '1)2 + (y + 5)2
50 . x2 + Y 2 - ill
85
=
lO. 5X2
=
(x- 15)2
+
+
5y2
+ 32x - 22y =
O
EJercicios, sección 2.8; páginas 106-107
2. (5,-2), (2, -1), (2, -6), (O, O)
4. (11,5),(7, -1), (12, 6), (1, O)
O
6. (5, -2), (6,-1), (7,
�
(6, 3 ), (O, -6)
y'
y
8.
O),
-
EJercicios, sección
página 103
2.7;
2. 3X2 + 3y2 + 14x + 8y + 8 = O o
3X2 + 3y2 + IOx + lOy - 2 = O
4. 4x
-
Y
x
+ 2 =O
x' - 2y'+
y
6.
8x+ 8 y= -63
x
•
4
•
+--t-t-+-+--Hf--+
x
10.
=
'
O
y'
y
(x+ 2)2+ (y+ w= 16
. �
(x+6)'+ (y+7)2= 16
x'
t
x
•
8. IOx + 13y + 40
=
O
y
(
5 )2 45
= 1,..4_-(x+l)'+ Yy
•
12.
y=y
,
•
.
(x'+ 1)2+ (y'+ 1)2= 1
IOx+ 13y+40=O
•
t
(x+6)'+(y+4)2= 16
,
x'
x
393
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
14.
'
yy
•
Examen del capítulo; páginas 108-109
2. a ) y + 1
b) Y + 9
(x' + 4)2 + (y'
- 8)2
e)
x
= -7(x - 2)
= �x + 1)
=3
e) 9 x - 2y = -13
=
d) 2 x + 9y = 16
x
y
f) - + - = 1
9
5
3.
4. (x + 4)2 + (y - W =
x
5. x + y
x
=
6. ( 5,2 ), 2 x'2 + y'2
7. x - 6y
16.
y
y
k
-
'
1�9
=
= 66
1
y
'
•
x
x- 6y
x'
'
X'2 +y 2 -2x'
- 4 y - 54
=
=
1
O
,
CAPITULO 3
•
EJercicios, sección 3.1; páginas 118-120
18.
2 . (-4, O), 16, (-4,
x =4
(-
2 0. (-5,6),
X'2
+ y'2
= 58
8), (-4, - 8)
y
(
2 2. 4
Ejercicios de repaso; páginas 107-108
2.
-4
50
-17
vT9' vT9'
vT9
2
4. 5x + 12y + k = O, 5x
6. (x + 1? + (y +3 ) 2
8.
+
= 40
( - D2 = JfZ
(x - W + y
10. (x + 1)2 + y2
3
=
2
1 .
12y + 17
=
O
-+-++-hH-++-+-H-+++ X
2 I
I
I
I
I
I
•
394
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
10. y2
=
12x
12. y2
14. y2
=
16x
1 6x
3
16. y2
18 . y2
=
20.
------
=
=
-16x
lOx
y
=X2
2y=x2
-------
8y=x2
16y =X2
�+--+-- x
•
6. (0,2),8,(4, 2), (-4,2), Y
=
-2
24. y=x2
22. 120.J2 m
y
26. No
es
función
28.
X2
Domf=JR
Codf= IR 'uto}
= -y Domf N.
Cadf H -u [ o}
=
=
Ejercicios sección 3.2; páginas 127-129
-+-+-+-+--F't--I-...,=4-+-t--t-1--+
x
2. (x
-
3)2
= -24(y
+
4. (y - 1)2
=
8(x - 4)
6. (y + 2)2
=
8(x - 4)
8. (x- 3)2
=
lO(y + 2)
2)
10. (y + 3)2 = -8(x- 4)
12. (x + 2)2
= -4(y -
3)
14. V(- I, O), F(-3, O), (-3, 4), (-3, -4)
y
y
x
395
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
16. V(--4,O), F(-l,O), (
y
22. V(4,2),F(2,2),. (2,6),(2,-2)
(y - 2)2 -8(x- 4)
=
y
y '= 12(x+ 4)
x
(y- 2)'=-8(x- 4)
16. V(4,--4),F(4, -D, (7, -n,(l,-n,
(x- 4? 6(y + 4)
=
y
18. (x+ 2)2 ...:.r6).>· •
V(-2, O)
F(-2,--4), (-10,--4),(6,--4 )
=
•
y
(x - 4)' = 6(v+ 4)
(x+ 2)' = -16y
2
26. V(3.73, 6.32),F(9.\, 6.32), (9.1, 17.06),
(9.1,--4.42) (y - 6.32)2 21.49(x- 3.73)
=
y
20. V(0,--4),F(-�,-4),H,-I),H,-7)
(y + 4)2 -6x
=
y
5
+- f--+ x
... -f-+--+-+-- ..--+
(y 6.32)'=21. 49 (x - 3.73)
-
(y + 4)' =-6x
. t
28. (y +4)2
=
-(x -3)
30. (x-�)2 y + �
=
32. xl --4x+ y-5
=
O
396
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
34. A las 10:00
r.
M.
están a 28 Km.
6.
F(O, + 3 ); V(O, +5); B(+4, O); (+ 156, +3)
38.
y
42.
X2 =
28y
EJercicios, sección 3.3; páginas 139-142
2. F(O, +4); V(O, +5); B(+3 , O); (+�, 4);
(+�, -4)
y
8.
F(O, +V21); VeO, +5); B(+2, O);
(±�, +V21)
y
y
--l-+-+-+-+-H-+-+-+-H-+_ x
4. F(O, +v5); V(O, ±3 ); B(+2, O); (+ j, v5),
(+j, -v5)
-i-+-++-HH-t--t-+-t---i-+_ x
1 0. F(+V3,O); V(+2,0);B(0, +1), (+V3. +D
y
j
--
y
--
-"
-
-'--'--'--',
,
,
,
r
"
"
-
r
r
-
r
...,
,
.
.
.
x
397
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
12. F(O, ±V1s); VeO, +4); B(+ 1, O);
(+ !' ±V1s)
18.
y
(x �3)- + (y + 2)2
,
1
Centro (-3, -2), F(-3 +$, -2),
V(-3 + 2, -2), B(-3, -2 ± 1),
(-3 +$, -2 + �)
=
y
-+-++-+-+-+-+-+-I-+-++-+--+ x
14. F(3 + V27, 2); V(3
( 3 +V27, 2 + n
+
6, 2); B(3, 2 + 3);
y
20. Centro (-1.324, 0.417);
F(-1.324, 0.417 + 1.143);
V(-1.324,0.417 + 1.988);
B(-1.324 + 1.627,0.417)
y
(-1.324. 0.417)
,--+--+--H----1I--f--+ x
•
16. F(6, -3 + VíO); V(6,
(6 + �, -3 VíO)
-3 ± 6); B(6 + 4, -3);
+
(x
1)2
(y
- 2)2
22.
1
+
,
25
169
Centro(-I, 2); F(-I ± 12 2); V(-I
B( -1, 2 + 5 ); ( -1 + 12, 2 ± W
+
=
y
,
y
x
-+-2
+
13,2);
•
398
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
(x -
y
(
- 3)2
1)2
4
=
2 .
+
44
1
169
1
Centro (1, 3); V(l, 3 + 13); F(I, 3 + 5);
B( I + 12,3)
X2
30. 5 +
2
y2
4"
=
.
1
y
-
y
-
. r: o' ,
,
0
,
,0
-ro o � -'
o
-r
"
•
3.
X2
(y - 2)2
9
=
y
26.
X2
36
+
(y
-
20
3)2
=
1
y
X2
4
3 . 225
+
y2
289
=
1
y
28.
(x -
9
2)2
+
(y
3)2 _
1
4
-
y
A
,
-
.
'-t
"
,
"
,
"
"
-
-
-
-1-1-1-
"
"
x
1
./
x
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
36.
(x
-
24
w
+
(y - 2)2
49
399
EjercicIos seccIón 3.4; págInas 149-152
= I
2.
VO
e ,
y
y
12
�-+-+-H-+- -+--+-H-+-+-+ x
4.
38.
X2
75
y2
+
100
=
±6); F(O, ±V4s)
3, y ± 2x = °
veo,
y
l
y
18
x
�-+-I+-H-+++-IH-tt+-t-+ x
•
6.
veo,
± 5), F(O, ±V34),
ISS,
3y + 5x
= °
y
24
44. I� J5J m
46.
X2
100
y2
+ 7
5
= I
50. (+4, O), (O, ±1); ( ±5, O), (O, ±VW); (+6, O),
(0, ±Y2f); (±7, O), (O, ±V34)
52. a) �.J33, ;../27, �JiO, ;�24m.
b) 3 (80 IO5.
-
-+-+-+-+-+-+ x
24
400
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
8. VeO, i:8), F(O, i: Vi2s), 16, Y + x
=
O
14.
(x
+
4
5)2
F(-5
y
i:
-
y2
9' = 1, C(-5, O), V(-5 + 2, O),
Vi3, O)
y
--++-+-+ x
+++7
-+-+-+-1:-t-+tI'
18
-+-+-+-H+ +++-+-+-� x
(-5, O)
10. V(-2,3 + 4), F(-2,3 + 5),
3(y - 3) i: 4(x + 2) = O
1 (x
6.
�,
+
2
V(-3
3)2
+
- 1 )2
1 ' C( - 3 1)
1
V2, 1), F(-3 + \13, 1)
_ (y
=
"
y
y
(-3, 1)
(-2,
3)_�(-H
:t--t-+-+-�
x
2
3)
(X
+
_
- 1, C( 3,
18. (y + 1)2
4/9
_
12. V(-5,5 i: 6),F(-5, 5
+(x + 5)
y 5
-
i:
.
6V2), 12,
V(-3, -1
i:
_
_
x
1),
Vi3
1), F -3, -1 +
3
y
=
y
•
-++--If-+-t-f--+ x
(-3. -1)
(-5,
-+-+-+--il-+�� +-+-+-+-+ x
•
401
,
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
20.
24.
26.
28.
(y
-
16
x
(
- 48
-
36
(x
X2
2)2
y2
25
9
1
=
28
(y
- 2)2
22. (x
-
(x - 6) 2
-
36
+
25
=
2)2
=
2
y
- 1)2 - "3 =
1
6.
(x
-
2
4)2
(y, +
+
3
C(4, -3)
1
3)2
=
l'" F(4 -3
y
1
x
1
.
=
30.
•
y
8. Centro (-3,2), V(-3 ± 2,2),
F(-3 ± 4, 2),(1, 2 ± 6) , (-7,2 ± 6)
x
y
12
32.
36 .
X2 y2
16
-
1
"9 =
X2
y2
a2 - 1 6 -a2
=
1,
�
X2 y2_
- 1
4
4.
y2 4ax
(y - 3)2 =
Examen sobre el capítulo; págIna 153
2. V(-l, -3), F(-l,-6),Y = O
=
(0, -1)
8(x +
6
T2
EjercIcIos de repaso; págInas 152-153
2.
H-+-t--+ x
2); V(-2, 3), F(O, 3), (O,
y
7 ),
4
y
x
v
:+-1-+-+-1-+-1-+ x
12
4.
y
F(I-4...f5 , -2)
1, -2)
+
1)'
,
402
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
5. La directriz es 3x + y = O;
La parábola tiene por ecuación X2
120x- 40y + 400= O.
6.
-
6xy + 9;
EJercicios, sección 4.2; página 162
2. y' + 2= O
-
y
y =2x2 -3x-l
x
'
y'
CAPíTULO 4
.
EJercicios, sección 4.1; páginas 158-159
+
2. 5x'
4. X'2
+
+
4y'
7y'
16 = O
+
38 = O
+
y'2
+
16y'
8. 4x'2 - y'2
+
12y' - 52 = O
6. 9 X'2
+
x
55 = O
lO. 3x'y' - 12y' - 89 = O
4. X'2 _y'2 =2
12. 3X'3 - 4y'
y
14. (-3, -3), x'y' = 12
+
16. (-3, 1), x'2
x
y'
2y'2 = 9
'
18. (-2,4),2y'2 - 3x'2 = 6
20. (-1, -1), 2x'2 - 3x'y' - y'2 - 1 = O
x
22. (3.0019,-2.8761),x'y' - I = O
24. (J, 2),X'2
+
8y' = O
26. (-3, -2), y'2
28. (2, 1), 3y'2
+
-
x' = O
Ilx' = O
30. Se hace una contracción al multiplicarla por
ento nces se refleja a través del eje x.
-�
,
6. 3X'2 + y'2= 2
y
y
y'
(2, 8)
'
x
y=xl
x
x
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
16x'
+
8y'
=
403
O
6.
y
(} =
45°, x" = x'
"2
2= 1
y"
4
X
x
- v'2' y"
1
=
y'
- v'2;
3
_
'
x
"
x
x
eos (}
14.
sen (}
-sen(}
eos (J
(
12. 22S
eos (J
-sen (J
)
sen (J
eos (J
=
8.
Ejercicios sección 4.3; página 167
(}
2.
= 45°, y"2 - 4x"
"
y
'
=
y
�, x" = x'
x"2 + 4y"2 = 4
(J = Aretan
y
O
"
y
+
2, y"
'
= y
- 2;
'
'
'
x
x
'
x
x
x
"
1 O.
4.
(J
2 x" 2
y"
=
= 45°, y" = y' - v'2, x" = x';
2
2
' "
y y
"
(J
-
Aretan
1
5'
x
-
X
,,_
' _
2
¡;:;;; , y - y
v29
•
,,_
,
-
1
1
y
'
"
y
x
"
'
x
x
5 .
¡;:;;; ,
v29
•
404
12.
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
9x2 - 12xy + 4y2
y"2
-4V13x"
+
188x
+
lOOy
- 220 = O;
=
Ejercicios sección 4.4; páginas 1 71-172
2. Elipse
4. Hipérbola
6. Hipérbola
8. Elipse
Six < 2 o si2 < x < 4, Y > O.
Six > 4, y>
.
Y esdecreciente en2 < x < IJO
•
4. Las intersecciones con el ejex son en-2 y 3.
Six < - 2, Y < O
Si- 2 < x < 3, y> O, Y six> 3, y> O.
10. Rectas3x - 2y + I = O Y 2x + y =O
y es creciente six < -
Y esdecreciente si-
t
;
o six> 3.
< x < 3.
12. Parábola
14.
Recta2x- y+ 1 =0
16. Punto(-1,-
t)
y
18. Elipse
22. Hipérbola
20. Parábola
24. Hipérbola
Ejercicios de repaso; página 1 72
2.
x'2
4.
X
'2
+
llx'
+
3y'2
+ 2y ' + 24
=
JO.
+
75x"2
5y'2
+
=
O
2
6. 5y'2 - 14y' + 8X' + I
8. x'2
=
=
(-2, O)
O
(3, O)
4
45y"2
=
x
2072
•
Examen sobre el capítulo; páginas 172-173
1.
2.
3.
Se rota (J =45° Y se obtienex'2 - y'2 -2 ..f2x =O
a) Hipérbola
b) Parábola
6. Las intersecciones con el ejex con enx =-2,
x =2 Y x =3.
c) Parábola
y
3n
8
CAPíTULO 5
Ejercicios. sección 5.1; págInas 178-179
2.
y
-+-+-++.,..-t- -H- x
(4, O)
Six < - 2, Y > O,
si- 2 > x > 2, Y < O,
si2 < x < 3, y> O, Y
six> 3, Y > O.
y es creciente si- 0. 75 < x < 2.25 o si 3 < x.
405
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
8.
4
1
6
1
200
18. x<-4o -../3< x<
(4,0)
H,O)
X
>3
Ejercicios sección 5.2; páginas 183-184
x
6
/3o
y
2.
•
·
1
1
·
1
x= -31
I\..
1
•
•
,O)
, � i ,
,,1 '
,
Ix=3
•
.Ji
·
,
1
1
1
•
�
x
1
1
1
1
-
•
-
·
-
-
•
Las intersecciones con eleje xson en-4,-1 ,O, I
Y4.
Y< Osi x< -4o si - I <x< Oo si1 <x<4.
Y> O si -4 < x< 1
yes creciente six<- 3,- 05. 6
o x>3.
y
10.
y
4.
40
,
-
-
(-3, O)
-
\- -+-+-H-1
4-'
/
(-1,0) +'\
-H_ x
6
+1
x = -1 1 -�
1
1 � 1 \..
.
..
-14::::;:��
:
, , , , , I
'1 1\1 " "
'1 + ' 1
1 1
-� x= 1
1+
"
x
-�
.�
Las intersecciones con eleje xsonx =- 3,x
- 1 Yx 4.
Six<-3,y<0
si- 3 <x<-I,y<O.
si - 1 <x <4, Y< O, Y
si4<x,y<0.
yes creciente six<- 2o six > 2.
=
=
12. x< 2o 2< x<4.
6.
•
y
y =l
-------
x
406
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
8.
1
14.
1
1
x =-3
1
1
1
1
1 =
1'--
1
1
y =1
y
1
�L
L
1
--+--+-+-+-+- """'*"'" .....;Ir--+-++-� x
...
__
1
x=-21
Ix=l
1
Ix=2
1
1
1
1
y
10.
I
1
1
1
1
1
1
x=1
------
'
-----
1
1
,
__
1
1
1
1
x= -31
1
1
1
==+=H-+ x
16. Noexiste
18. Y = O
20. Noexiste
22. Noexiste
y
12.
EJercicios, sección 5.3; págInas 187-188
x=4
1
x = -11
I
2.
x
y
x
407
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
iD.
y
4.
(-1 -..f2. O)
--!-+-+--Hi Y--+-+-+--+-+-H- x
O)
y
--!-+-++-+-H�-H-+++-. x
(1. O)
(-1+..f2.
y =x+ 2
6.
y
,
30
12 .
y
x=2
,�
,/ y =-x + 4
r
I
I
x
I
I
I
I
..... .....
y=-x-5
.....
.....
�
x
I
I =-x
+4
y
I
I
-1
•
14.
A=
8.
-3
-
2
Vs
,
B=
-3
+
y
Vs
2
y
--+--+--+_ x
--!-+++-+-M...'-flH--+--+-Hf--+ x
408
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
10.
EJercicios, sección 5.4; páginas J 9 J -192
y
2.
-
-
-
-
=1 I
y
---1
I
1----
-
-
.,.-1----
-
-
-
x
y=-1;-1
---
-
-
-
-
I
,
"
"
"
--
(-5.0)
,
"
"
x=-4
I
•
x=4
x
(5.0)
-
4. Y = O
12.
es una asíntota.
y
•
y
3x+2y = O
1.5
(1. 1.22)
H-+-++-" x
+-H-l
--+-+-+-H
•
1.0
OS
O
6
12
y
14.
y
6.
�\v. 0.8)
1
--+---Hr-+-�r--+��--� x
(O. -0.8)
y
8.
8
y =1
.,...,--ªª ,i
.... ,
__
.....
x
10
y =-1
x=-5
x=5
La gráfica es
�2 + �
=
1 junto con x= O
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
I 6.
409
y
22.
-
2x-3y =O
-
+-+-I-tt-+--t--. x
-
-1-
¡-f"
"
"
"
"
"
+
x
La gráfica es y =O junto con y = 4X2.
y
I 8.
Los puntos de intersección son (3, 2) Y (-3, 2 )
-
.
y
24.
-+-I-+-+-H-I--+-+-. x
x=-l
'
x=l
y
20.
Los puntos de intersección son
CV12, +VI3), (- v12,
(- v12.
--< _
-+
-+-+....,.'--+-f-I---\--+-+--+-- +-I-
-
VI3).
x
-
I
-
Vi?)
Vi?)
9
+ Vi?
2
'
+
2
VI3).
y
2.
____ -L_
(
(
-
Ejercicios de repaso; páginas 192-193
I
I
I
I
I
También (-1,3) es una solución
Vi? 9
1
y
'
2
2
("\112 , VI3),
I
IX
I
4-1 I
I
=
1
y=l
--1------
-++-+-+-7-'7-+:..t"'"
-t==+=1x
I
I
I
x= -21
I
I
I
y
410
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
-
y
4.
.
--
---
b)
--++--t-++-"'1\.;-+-++-1--+-. .x
I
Ix = 2
x=-2
6. La gráfica es la unión de las gráficas de xy
O, x 3y + 2 = O, Y X2 + y 9 = O.
-
3
=
-
-
8.
y
c)
y
•
300+
-t-
, , , ,' \.o"
O ')
(-2, "
) '\..,
(1, O)
..
+
,
,
,
--+-HI-t--H-,'-H-+�I--+--' x
d, O) ,
+
-t-
Examen sobre el capítulo; página 193
1. - 2 < x <- 1 o l < x < 2.
y
d)
I
y
10+
,
-�
'
+
"
3
x
t-
"
-'.
+--'
+--+---r-< -+- -+l
�
,
,
,
, -'.
-
-
.
-1
I
-
x
3. (- 1, Y2 ), (- 1, -Y2), (1, Y2), (1, -Y2)
2. a)
4.
y
I
I
I
I
I
_: ..1 _
:::-:
__
I
I
I
I
I
L
Y= I
�_
-+���I���I+-��. x
_ _
I
I
I
I
x=-2
Domf= R
x=2
Conjunto de imágenes = [O, �].
RESPUESTAs A EJERCICIOS SELECCIONADOS
CAPITULO
,
411
y
22.
6
,
EJercicios, sección 6.1; páginas 203-205
4.
2. 47T, 3
6.
2,�
7T
"3'
2
( ;)
y=sen x-
_.....
I
+--�_x
l'
8. d)
y =senx
y
10.
y
24.
I
-t--++--,-+-I
y - 2sen2x
x
=
I
2
f---t--t-t--r--+-+--+r-" x
y
12.
y=2senx
2
26. Impar: 2 sen x,
x
+ sen x, sen x. Par: -cos x, sen x,
tan x.
y
14.
16.
28. 0.002, 150
y
30. Sí, por un traslación horizontal.
1 TI\.
1
f-+-I+-.
x
1
EJercicios, sección 6.2; páginas 209-2 J O
1
1----\-+-..
-r
x
2.
x
y=-2sen x
1
x
x
(O, -1)
•
(O, 1)
2
y
-+-+-Ioo:::l-H-+-+_
y
18.
4.
y.
y
6.
8.
y
y=-senx
y
20.
1
(0,2)
y
=
senx
x
-+--I-�.L....-+--+-_
x
412
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
y
10. Senhx es un función impar
32. 4
30. 16
coshx es un función par
-
40.
38. 1. 1
--t--i-+ x
34. -2
42.
36.
7 7T
y
---
y =senhx
1r
•
El dominio
12. tanhx
e
=
e
X
+
e
44.
- - - - - - -t- -::.;;;--:;-- ­
y = tanhx
--t--t---t- x
y =-I
_
...
-
--
X
--+----t--+--+x
y
y=1
-
•
-x
•
es
Y = cos-1
-X
- e
X
-t-
y
(9, 1)
------
14. La cuenta tendrá $1221. 3 8 después de dos años y
$1490.40 después de cuatro años.
A
(2, 1221)
(O. 1(00)
(4, 1490)
(7,3)
-+-+- �-+-+-+-�--t-t--+-+-+
300
----t--+--t--r--+-+
l
t
I
48.
EJercicIos, seccIón 6.3; págInas 215-216
2.
6.
10.
log2 16 = 4
log279 = �
log2J) � = -2
14. 61
=
6
18. 16 1
/2
=
22.
1
27
4. l o
8.
12.
g 8 1
;
l og)2 4
IOgl/25 125 =
16. �
1
64
26. 2
y
=
g
=
=
-3
2
-
1
20. 4-2 -
4
24.
y
46.
...L
16
28. 256
x
4
-3.665
=
6
7T
x
1
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
50. El sonido en el nivel de conversación es, aproxi­
413
y
10.
madamente, de 65 decibeles. Un sonido de 30 dB
tiene lO-u watts/cm2 de potencia.
y=x+ Inx
EJercicios, sección 6.4; páginas 220-221
y
2.
./"'.-Y
y=l±..Jx
x
l=x
.-..
_
y
y
=
x
y = In x
x
--+1""::"'_-- y= -1
2x
y=2x+�5+6x-X2
Y
14.
2
y
x
:;
� Sen
I
Jti
�
sen -'M
=2
.
+
I
cos
1
-
sen
2 1tX
y
6.
y
,
x-
1
y,
1
---
I
= 3 cos
.
2.7t.X
•
= 1
EJertlclOs, seCciÓn 6;5; págIna 223
x
2.
4.
8.
1n X
y
12.
4.
=
y = sen x + cos x
/
,-..
y = sen x
)n
7n
11;
Sft
11ft
4'
6.
71t
8.
n
y
10.
12.
14.
11ft
7t
13ft
12' 12 12'
19ft 7ft
12 ,'4
\
31ft
19ft
Iln
-
-
23ft 3511:
�
�
18' 18 ; 18 ' 18 ' 18 ' 18
5'
n
3n
.5
5n
.
7n 9n
-
\
5
\
3ft
5
Ih
. -
12' 12' 4
n
_.
17n
'�
:-'
12
12 ' 4
--c-:=
;
7n
--
Sl't
3' 3
�
-
No existe solllCión
eh
el intérValo O < ¡.¡ <
1T:
414
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
EjercicIos de repaso; págIna 223
y
5.
2. La amplitud es 2; el periodo es 2.
y= eX
y
+--\----j--+ x
4.
6.
x =
1
125
y
Las curvas son simétricas a la recta y
una de ellas es la inversa de la otra.
y
6.
x
y= -cos x
x
y=2x
CAPITULO
,
Examen sobre el capítulo; págIna 224
2. a) 2, v'2
b) 27T, v'2
.
3. a) Ni 'par ni impar
,
b) Ni par ni impar
4. Sí, se traslada
; unidades hacia delante y se
multiplica por 2.
y cada
y =2x-cosx
y
8.
= x
7
EJercicIos, seccIón 7.1; págInas 229-230
2.
4.
57T 27T 3 7T 57T
12'
3
6
4'
'
57T 77T 117T 237T
3'
6. A 2,
El
6
4'
(
)
7T
4
' B 2,
7T
,
'
--
4,
.'
12
37T
4
' C(l,
-
)
7T
,
D 2,
(
-37T
4
)
'
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
415
16 .
8.
5"
6
A
A
7"
6
7"
6
4"
J
-
3"
2
10.
3"
2
-
18.
"
2
"
2
5"
-
6
A
A
7"
6
7"
6
-
4"
3
12.
27r) ' (3, - 57r3 )'
3
- , - 3
5"
-
6
A
7"
6
3"
2
20.
22. (2, -7r), (-2, O), (-2, 27r)
(
7r
7r
(
1
-76 ) (1 , ;), � )
24.
26 . (-4, -7r), (4, O), (4, 27r)
- 1,
,
1,
_
Ejercicios, sección 7.2; páginas 235-237
"
14.
2
;).
(
-1)Set ransformaen --v:, ;).
.
2. (-1, l)setransformaen
•
5"
-
6 ,.......
(-1,
A
4. Si
z =
-V2, -
r (cos O + i sen O) y
w = p(cos 4> + i sen 4», entonces
sen O sen 4>
zw = rp[ cos O cos 4>
+ i(cos O sen 4> + sen O �os 4»]
rp[cos(O + 4» + isen(O + 4»].
-
7"
6
47r)
3
- , 3
=
416
6.
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
(O,
8. (-2\1'3,2)
3)
4
,
i)
."
2
16. (O, O)
1I1r
4'
6
20.
2.
12. (-2Y2,2Y2)
10. (-6,O)
14.
EJercicios, sección 7.3; páginas 240-241
22.
2,
51T
24.
4
2,
A
6
30. ,sen 0= 4
28. (13,4.31)
26. (5, 2.5)
1
I 1T
32. ,(3 cos O -sen O) = O
34. ,cos20
=
4 s
: enO
36. ,2(COS20 -sen20) =
a
•
l
38. ,2(1 - 3sen20) = 4
40.
r
= 2 sen O
44. x = 4
42. Y = x
3"
2
"
4.
2
46. x2 + y2 = 6x
-
"
6
50. y2 = 4(x+1)
48. 2xy = a2
."
3
52. y2 - 3x2 =12x + 9
A
54. Y - 2x = 4
7"
56. x2 - 3y2 + 8y = 4
6
58. 4(cos O + isen O)
60. 2 cos
1T
¡+
isen
1T
4
(
62. Vs(cos 0+ i sen O) donde O = 1T + tan-1 -
64. -64
( m + isen[6
66.125 cos 6 tan- 1 -
( [
*(
)
1T
1T
.
2
68. 2* cosT6 + Isen
,
16
2
i
cos
171T
171T
+ isen
cos
16 '
16
2* cos
251T
16
+ isen
( D))
tan-1 -
91T
16
+
.
I sen
61T
2
)
A
-
7."
251T
6
16
21T
6.
"
91T
16
. 41T
70.1,COS
+ i sen
,cos
+ isen
'
5
5
5
5
21T
D
41T
61T
81T
8rr
+ isen
' cos
.
cos
+ i sen
5
5
5
5
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
.".
8.
417
.".
-
16.
2
2
.".
-
.".
3
.".
-
6
7T f-t-
A
A
7T HHH-i'
7.".
6
J".
-
2
1 O.
.".
-
18.
.".
2
2
.".
6
.".
....... 6
3.".
2
3.".
2
•
.".
-
12.
A
7T I-I-I-+-
A
20 .
2
.".
2
5.".
6
•
A
A
7".
6
3.".
-
3".
2
•
14.
2
.".
2
22.
.".
2
5.".
6 '"'-J
5.".
6 ,......
A
7T
7.".
7T
A
7"
-
6
6
3"
2
3"
2
418
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
".
24.
6.
2
".
2
-
5".
6
5".
6
-
7T
A
A
HH-+-::::
7".
6
7".
6
4".
4,,-
3
3
-
8.
3".
2
".
2
•
,
EJercicios, sección 7.4; páginas 248-249
2.
A
7T
".
7".
6
2
-
3,,2
5".
6
-
A
7T HHi-
".
1 O.
2
-
".
5".
6
7".
6
-
4".
3
A
7T
3".
2
7".
6
4.
".
2
4".
3
".
12.
5".
6
-
A
7T
3".
2
-
2
.......-r--r--,.. ".
5".
6
-
7fT
6
o
4".
3
3".
2
7fT
6
-
A
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
419
"
2
14.
"
2
22.
"
3
5"
6
"
6
1T
1T
A
A
7"
6
I J"
6
-
4"
3
3"
2
3"
2
"
2
16.
"
2
24.
5"
3
-
"
3
"
6
5"
6
1T
A
7"
6
f-HHI-f
A
7"
6
-
4"
3
4"
3
-
3"
2
-
18.
3"
2
-
"
2
26.
"
2
5"
6 ,.......
-
A
7"
6
-
3"
2
3"
2
20.
28.
"
2
"
5"
6
6
-
1T
5"
3
-
A
A
7"
6
420
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
22. r = 8 cos 8
EJercicios, sección 7.5; páginas 252-253
4.
24. r = 16 cos 8
,'-
- -3
26. r2 - IOrcos 8 + 9 = O
/
6
71'
I
A
71'
28. r 2 - lOrcos 8-4
-
7"
6
4"
3
-1. ..!..t
.....
-
.�•
37T
2
_
.
_L-
57T
3
30. r2 - 16r cos 8 -
;)
4
32. r2 - 18rcos 8 - 4
571'
+9=0
+ 15 = O
+
•
17
= O
6.
5"
EJercicios, sección 7.6; página 258
6
A
2.
"
-
2
57T
-
6
-
7"
6
F'...'
A
'6
7"
1T
8.
2
-2
37T
5"
6
7T
A
H-t--
71T
-
4.
1T
-
2
...---'r-K .......
51T
6
-
6
A
•
31T
2
12. reos 8 = -4
10. rsen 8 = - 3
71'
14. reos 8 - 3
18.
-4,
71'
4
,
2
=3
16. (2, O), 2
71T
6
4"
3
311
-
2
20. (4.5, O), 4.5
"
.
•
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
421
Tf
2
6.
12.
Tf
2
A
7Tf
6
A
I I Tf
6
4"
3
7.,,6
"-.I.-.J_� 5"
3"
2
3
3.,,2
EJercicios, sección 7.7; página 263
8.
2. (1, O), (1 , 7T)
A
7"
6
6. (2a. O)
10.
14.
�, ;) G. )
O, ;
:)
)
5 7T
6
.
2\13,
.
12. (O, O).
7T
5
-2 v 3 ,
6
(1, ;)
, ¡;;
,
O
'
3 7T
, 2
'"
10.
2
1
7T '
' '6
2
18. (1, O), (1, 7T),
(
1 57T
'
2 6
A
II
6
417
.l
'-L..LJ.>/571'
3",
2
3
22.
71'
2,
7T
5
2,
3
;) (
,
•
24. (O,O), (O, 7T), (8.944,8) donde tan 8=2 y 8
está en el primer cuadrante .
26. (2, O) Y el polo
28.
(-Il,
0.644),
el,
3.79)
30. (1.8229, 1.1468), (-0.8229, 3. 5656)
422
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
.3 z ( 747T
2
4
z6 26 ( 7T
;
Ejercicios de repaso; páginas 263-264
=
(3, 2 7T (-3, ; , (-3 , 57T3
3
8
4. 2, 747T), CV4I , 4.03 )
6.
2.
-
,
=
cos
=
26 cos
=
26
V2
2
cos
V
Y2
A
7"
6
r2 - 12r cos 8 -
(
;) 20
+
+ i
V;).
_
+ i sen
77T8 )
S ).
157T
157T
+ i sen
cos 8
=
O
A
7"
10. 7T6' 57T6' 3 7T
8
( 787T
12.
8
8
6
-
±rr -""'.J....-L_V"
2
+
+ i sen
7T
-
(l
+ i sen
4.
-
8.
4
747T)
42 7T)
4
;)
Las raíces cuadradas de z son
, ¡;;2 ( 77T8
7T
+ i sen
2 cos
i); 2t/4 cos
2"4 cos
157T
+ i sen
+ i sen
157T
3
7S7T),
3"
2
-
5"
3
Examen sobre el capítulo; página 264
1.
(2, 767T),
(-1. 1)
2. r2 cos28 - 2r2 sen28
A
7T
=
2
7"
1 1"
,
6
2"
6
3"
2
6 ""
5"
A
7"
6
3"
2
5.
3
(1 , O), (0, 21t)
son soluciones.
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
CAPITULO 8
,
423
10.
(x-2)' + (y- 2)2
y
=
1
EJercicios, sección 8.1; páginas 272-274
1.
y
=
/ "2
"
1- 1
. 1-
°
x+ 3y=7
1=1T
x
�
(2,2)
1= °
•
�---+--+-�---+--+---�
y
4.
4y=8-(x-I)2
y
12.
1= °
--+-+-+-+-*-H-+-+�-+-+-.. x
6.
x
y
3y-2x=6
y
14.
y=x2-6x+7
(0, 1)
_�"'�I_ °
--+-+-+-+-+-H-+-+-+-+-H� x
(0, -1) --:�......
•
x
t=O
16.
y
x
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
424
18 .
(y - .) ) " - 9
.12 +
26.
v
x =
•
1 =-1
t
=1
---1-+-+-++�"""?4-H-+-+_ x
1=0
'o. x - .l·
=
1,
28.
x =
30.
x =
32.
y
72 .
.12
4y
=
. y = 12 - 1
12 - l'
1(12 +
[2 + 2
--<<--4-�_
---1--+-.-.:
1=71'
1= O
x = t cos t
7T/2
7T
37T/2
2 7T
57T/2
37T
77T/2
47T
O
O
-7T
O
27T
O
-37T
O
47T
y
=
O
1
O
-1
O
1
O
-1
O
= 71'
(= 271'
1=471'
-t .
--+t-+-+--t-t-!-t--+-�-+--+-+>-1= O
x
4 cos 2e cos e
y = 4 cos 2e sen e
x =
y
(1,6)
xy=6
sen t
I
34.
y
2)
t
1
4
24.
-3/2
y
= -4(y - 1), la parte para la cual O <y< I
+
- 3 /)
I+/);Y=I+/)
x
y
x'
=
-3/2
o
la parte donde ) ' � O
-+-l--j'--t-H-+-+-
Y
-31
1=1
:-+-+-+-H-+-
x
x
425
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
36.
y
3 cos f)
v = 3 sen f)
x
=
y
6. a)
8 7T
(47T.7)
10
,
X" +
y',
=
9
=
O '---+---t--t---+_ x
10
20
O
-;--�--�--t-��-t---r� X
y
b)
10
38.
3
y=3
(1 - sen f)) cos f)
( 1 - sen f) sen f)
x =
--+r--r-�--t--+--+r-. x
10
y
20
(87T. -2)
Ejercicios de repaso; página 279
y
0< 8<27T
-tOo
--t-+�-+�+-+-+-H-+_ x
y
= sen 4 f)
l' = sen 4 f)
x
4. Llega al suelo ') segundos después de soltarla, 9.8
m al sur del punto de partida.
y
1
x
40
20
EJercicios, sección 8.2; páginas 276-278
1.
1
x =
r=
(a) (
14
7'¡¡¡
147'¡¡¡-4.9r�
.�- J3. 2,+5),
',fS): :> J3 scg.
+
-l. 0.3
m:
0.79
m
(b)
O
Distancia 88m
Altura 22m
('¡�I
' J3, 44.1), (e) (147 J3.
6.
x =
1
--I
+ 4'
'
t
=2
'--+--t-� .--t---.
O
20
y = I +
I
('J.¡L O)
2
40
x
426
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
CAPíTULO 9
Examen sobre el capítulo; págIna 280
l. x
y
=
3 sen 8
y = cos 8
...._-1...
.:..(3, O)
EJercIcIos, seccIón 9.1; págInas 289-290
2,4,6,8.
__
z
-i:--+-+-+--l--+- _ x
(0, - 1)
2.
x
3
(4,-3,0)
o
+ y2
=
y
1
-
_�:=::=:=:J- �
I)
,
' _L .I
,
,
,
,
I
"
I
,JJI'
-
,
I
(3; O�
-
_ -
-
x
x
(O, -1)
y
(3, O)
-I1--+-+--+--1-4_
14. (4, -4, 10)
16.
18. (-5,3,3)
20. (17.2, -7)
y
/'
(3, ()\\
�-+----1>-+ x
""""'
(1, O)
I
I
I
I
I
/'
/'
(5,6,8)
-­
659.5 In
Y = 258.25 In
alcanza el suelo a 2049.7 en 15.5 seg.
--
0,6.0)
J
(5,0.0)
24. El plano xy.
26. Un plano paralelo al plano yz 6 unidades en l a di­
rección positiva del eje
x =
(6, �. D
x
z
4.
y
z
0)_
--
I
I
I
I
I
I
I
I
(3, 5, O)
12. 2V26
,
-1--
T
10. 11
22.
(O. 1)
/'
• (4,5, -6)
3. a) x = cos 8 (2 + cos 8)
y = sen 8 (2 + cos 8)
b)
,,-
x.
28. Un plano paralelo al plano xz 5 unidades en la di­
rección negativa del eje y.
30. Un plano paralelo al plano xy una unidad en la di­
rección positiva del eje
z.
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
+
32. Primer octante de 2y
40. X2 = Z
3z = 12.
z
(0,0,4)
./1'>.
2y + 3z
1 ,, '
a
(5,
,"-
O, O)
...:..
:.,...
427
-
,
=
12
(O, 6, O)
,
-
.
1
1
1 I.
l' r
1 .l
1 I
1, /
.1I/ /
.
v
x
.
34. Primer octante de X2
+
9.
2
y =
z
y
x
--
4 2.
aL -
/' r.
.'
;
x
;
(3.
.
(O, 3, O)
� _ __
v
O, O)
+
36. Primer octante de 4X2
y2
=
36.
x
--
44.
)
.
-
/�/
(3.
y
(4, O, O)
z
.r
:
I
.
-
-
-
.
_
1
1
1
,·1 "
1 .
I
(O, 6, O) .
y
O, O)
(O, O, 9)
..: I .
38. Primer octante de (x - 3 Y + Z2 = l.
:Y�":"
-
(O, 3, O)
z
y
.\"
( 3.
O. 1 )
EJercicios, sección 9.2; página 305
. __
..,\
.
.. ' )�
. y.:, .'
(4. O � O
) �.::...
r
"::�::::::::
:: :::::: -....
y
-
.
-
��
-
_
_
_
...J
-!lO
Centro (-2, -3, -4) radio .J29
2. Centro (O, 1, 3) radio
4.
6.
Y + Z2 = 4x
8. Elipsoide
10. Hiperboloide de una hoja.
428
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
12. Hiperboloide de dos hojas
Ejercicios de repaso; páginas 310-31 1
14.
2. 5V6,
(�, �,
-2),
4. 5VI4,
(L
D,
Paraboloide
16. Cono Elíptico
I
2,
(1. -1,1),
(25, 23.
(-1, -1, -1),
-47)
(23, 47, 71)
z
6.
Hiperboloide de una hoja
20 . x "
22.
-
+y
"
-.
U n cono.
Las ondas de choque serían transmitidas paralelas
al eje del paraboloide y por lo tanto no serian con­
y
centradas en la piedra renaL
EJercicios, sección 9.3; página 310
2.
(p, 0, <p) =
(v'x2
tan-I y six > °
x
si
4.
8.
x
<
o fJ =
O,
+
y2, 0,
y
y y > 0, o fJ = 7T + tan-I -
27T
+
(2v2. ; -4)
cos _1
tan-I
6.
,
7T
2 ,vr;6, 4'
;) , dondefJ =
y
x
si
x
>
O
Y Y
C\l5, tan-12,
x
<
3)
0,
z
8.
�)
10. (1,0,0)
12. Las coordenadas rectangulares son (1, 0, 2),
Las coordenadas esféricas son
(./5,
14. Las coordenadas rectangulares son
Las coordenadas
esféricas son
16, Un cono
(
7T
v's, -4'
0, cos-I
(O, 2, O)
(3s))'
y
(.fi ,-.fi , -1).
C05-1
x
-�)).
(4, O, O)
10. Ax + By + ez = O
z
12.
a) La unión del plano yz con el plano xz.
b) La unión del plano yz con el plano xy.
c) La unión del plano xy con el plano xz.
JI
.
l·
'
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
14. Un plano
429
22. Esfera de radio 5 con centro en el origen.
z
24. Hiperboloide de una hoja.
26. Cono elíptico.
28. Cono circular.
-2
30.
Ys
•
. )AF.'
X
Vs,
32.
cos-I
(ví4,
-
)
'
�),
O
, Ys,
cos-I
-3 ,
tan-12, cos-I
v-b)
y
x
Examen sobre el capítulo; págIna 311
16. La gráfica consiste de dos planos paralelos, y = 3
Y Y = -3. Se encuentran a tres unidades a la dere­
cha del plano xz y a tres unidades a la izquierda
del plano xz.
2.
(L �, 1)
3. a) Cilindro circular.
b) Paraboloide.
c) Hiperboloide de dos hojas.
e) Paraboloide.
z
18. Cilindro circular
1. v74
z
4. a)
e=�
4
en coordenas
cilíndricas
3, O)
(3, 0, �I./
Y
x
20. Cilindro parabólico
1t
z
4
x
..
. �
...,
.
�
x
y
=
4x2
�
.
y
Js), ;)
.
430
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
b)
e
i
en coordenadas esféricas.
22. (-5, 1), (-2, -3)
z
e=�
26. V = (3 - IOt)i + (8 - 6t)j
4
en coordenadas
28. V = bti + (1 - t)aj
esféricas
30. 5i + 12j, 31°
32.
Deberá volar en dirección 89° a
303 km/h.
EJercIcIos, seccIón 10.2; págInas 329-330
-
2. P = 3i + 4k, Q = 7j + 8k,
1t
+ Q = 3i + 7j + 12k,
PQ == -3i + 7j + 4k,
= 5
- Q = 3i - 7j - 4k,
y
-
4
4.
x
6.
P
P = 7i + 8j
8.
CAPlrULO 10
,
2.
4.
P 4i, Q = 5j, PQ = -4i + 5j,
P + Q = 4i + 5j, P - Q = 4i - 5j
=
P = 5i + 6j, Q = 3i - 3j, PQ = -8i - 9j,
P + Q = 2i + 3j, P - Q = 8i + 9j
P
P
P = -2i +
P = -i + 7j, Q = 2i - 3j, PQ =
P + Q = i + 4j, P Q = -3i +
-
8.
P=
P+
-75
13
3i - IOj,
IOj
•
3i - 12j, Q = 4i - j, PQ = i + Ilj,
- Q = -i - Ilj
Q = 7i - 13j,
P
12.
14 .
Ipl
=
j - 2k, Q = 5i + j,
Vi38
+ Q = 3i + 2j - 2k,
PQ = 7i + 2k,
= 3
- Q = -7i - 2k,
P
P = 4i -
P
IPI
2j - 4k, Q = i + 9j + 12k,
PQ = -3i + 11j + 16k,
+ Q = 5i + 7j + 8k,
- Q = 3i - Ilj - 16k,
Ipl
= 6
3
4
4
k
41j + •
10.
41i ¡-;-;V41
V41
v41
-
•
6.
+ 5k, Q = 3i - 3j + 2k,
P
P
EJercicIos, seccIón 10.1; págInas 326-327
IPI
PQ = -4i - Ilj - 3k,
+ Q = 10i + 5j + 7k,
- Q = 4i + Ilj + 3k,
•
6. p = 3
P
i +
180,
13 J
18. -2i + 5j
16
.
-1
5VZ
i -
20 ,
•
�I
v 13
-
7
5VZ
j
30 ,
J
�
v 13
•
14.
16.
3 ,
VU;
20
Vi9
I
+
i_
9
,
12
k
J
VU;
VU;
30
'_
Vi9J
40
Vi9
k
18. -5i - j - 8k, (-5, -1, -8)
2O
.
7,
21
+
3,
2J
11
+ Tk
'
(2'7 2'3 T11)
22. -4i + 7j + 2k, -6i + 11j + 8k, (-4, 7, 2),
(-6, 11,8)
24. (a + (d - a)t)i + (b + (e - b )t)j +
(e + (f - c)t)k
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
431
Ejercicios, sección 10.3; páginas 336-337
2. 1,
\13
4. 11,
9
11\13
6. -2,
27
lk
1 8.+ 4•
8 . 3'
271
27J - 27
�I
1
J.
3'
9
10 .
-2
�
.v42
32. Plano xy en (6, -1, O) plano
xz en (4, 0, 1).
no xz en
9
-
.
9
12. Paralelos
14. Perpendiculares
16. 35° (aproximado al
18. 71.1°,37.9°,71. 1°
1 1
2
Ejercicios, sección 10.6; páginas 355-356
19
2. 19i +24j - 3k,
i
¡;;-;-;
v946
•
grado mas cercano)
4 . I· -4'J +2k
EJercicios, sección 10.4; páginas 341-342
2. 4x - y - z = O
4. x +2v
-
z = -2
8. y-z=O
6. Y+ z= 3
13
10. 21
16.
+
14
12.
14.C= -10
27
--
3
4
18.
7
Ejercicios, sección 10.5; páginas 347-348
z+2
x - y-I
-I
'x
2
'
2
¡
-1
y = 1 - 1, Z = -2+21
-
-
.
4.
x+2
y+2
=
=
z-3
I
4
5
y = -2 + 41. Z= 3+I
6. x - 3 = Y - 3; x
=
3
+
10.
12.
x
3
y
-
4
-
;x= -2+51,
1, Y = 3+l. Z = 3
t
18.
20.
¡ = 2y +4 =
x
y+22
1
-4
-
22. 60°
26. 30.
��
o
3
13'
-
120°
4
13l
-
12
13
-
8
+
13
vsot
7V6
2
•
.
�
v66
�, y = - � + 1, Z
-
3
4
21 Z = 41
+
= 1; X=
�+3 r,
•
24. 6x+ 18y+14z =O
2.
3
+
v2I
4Vs
28.
3
V6
32.
2
2Vs
3
8\193
31
Ejercicios de repaso; páginas 357-358
4z - 12
z
v21
k
67
30.
O. y= O
x
.
�J +
14.
2
26.
14. x= O, Y - 4 = O
=
•
2
k
10. 18
vT65
22. x =
Y=
x - 2_y - 4_ z
16. x
v21
-
v946
¡;;-j-;-; -
20. x - 3 = O,Y -Z = 3
S
-2
�.
v946
.
4
8. 3V6
18
z
-1
.
'
I
3
16. 35x + Ily-38z+88 = O
.
8. x= O, Y = O; x= O, Y = O, Z=
l
+
24
-3
18
5ü2i + 5ü2j
6. -3i+ 18j +13k;
V502
V502
12.
5V2
2, 3), plano
(;. -!f. O) plano yz en (O, -5, -2),pIa­
(�. O. )
34. Plano xy en
- Ik
,
- =J
yz en (O,
14
\1'6, 7,
\1'6
A . B = 2, A x B =
ISi - 8j
.
i
2j - k l .
, u=
(1 - 2J - k),
'
3
3
V6
V6
cos (J =
21
4. /1,
-3
24.
28.
5
TI,
2
2
I
3' 3' 3
I
\13'
1
I3
\13'\1
cos
\1'6,
u-
(J=
+
-
k,
-
A . B= 5, A x B = 24i - 2j - Ilk.
2i +9j - 6k 5 (2i +9j - 6k)
-
11
' 11
11
5V6
66
6. 3x - 4y+7z
=
28
8.
8
3
•
RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS
432
x
10.
2
-
5
-
3
VT!'
a =
12. cos
Y + 3
-8
z
-
-3
la ganancia es p = 16001
RSOO y
1993 una ganancin de $16,500.
-
cos f3
I1
4. Si el año t = I corresponde a j 9R9, etc., entonces
4
-
=
cos y
=
1
yr¡¡
b.
,
+
se
predice para
H=22T+611.9.
14. Plano yz en (O, 5, 6), plano xz en (-15,0,26),plano Xl'
(92' ;l' 1
en
o
' .
Examen sobre el capítulo; página 358
l. a)
4i
6, b)
4
i
-
e)
3
3j + 3k, c) 5j - 5k, d) -4,
-
2
-J' + -k f) J .85 radianes
3
3 '
2
-
g) IOj + lOk, h) O
2. (x
3.
+
x -
1)2
+
cos f3 =
-
5y
-
-J
2
4. x
(y
2)2
7z
3
cos y
=
23
(z
-
7)2
+ I.
cos
-
-1
vT4'
-
+
z
)' - 2
I
EJercicios, sección
=
,
3
=
a =
484
21
2
vT4'
vT4
I 1.2
2. Y = 3.03e-·21
páginas 365-366
4. N = 9.97('·23,
Ejercicios de repaso; páginas 415-366
2. Si 1= I corresponde 1989, etc,entonces la ganan­
cia es y = 3697e3RR5¡. Para 1992 se espera ganar
$17,487, y para 1993 se espera ganar $25,7()l).
5. 2.13 radianes
6. La dirección es 89° y la velocidad respecto del suelo es de 348 km/h.
Examen del capítulo, página 367
1. Y = 1 4 2x + 0.66
.
CAPITULO
,
EJercicios, sección
2.
v=3.2x-3.6
,
2. Y = 0.98e2x, 53. 51
11
1 1.1;
páginas 363-364
3. Ya que la coordenada y es el doble de la coorde
nada x para los tres puntos, probablemente el mo
delo lineal sería el mejor.
,
Indice de materias
abscisa, 5
ángulo(s),
directores, 345
cosenos directores, 345
cuadrante, 6
curva trébol, 244
entrc dos planos, 339
entre dos rectas, 16, 17, 18
entre dos vectores, 370
De Moire, teorema de, 234
vectorial, 208
demostraciones analíticas, 30-35
asintotas, 179
directriz, 113, 148
distancia
de un plano a un punto, 339
bruja de Agnesi, 279
de una recta a un punto, 81,353
entre dos puntos, 9, 283
distancia dirigida, 2,4
cardioide, 24 J, 246
cilindro, 287
de una recta a un punto, 81
división de un segmento de recta, 28
circunlCrenc ia( s),
de un punto, 94
definición de una, 92
ccuación( ecuaciones)
determinada por condiciones geométricas,
centro-radio de una circunferencia, 88
90
de un plano, 337
ecuación centro-radio de una, 92
de una arática, 44
ecuación general de una, 93
en forma punto-pendiente, 61
ecuación polar de una, 251
lineal, 38, 288
ecuacioncs paramétricas de una, 268
�
ccuación(ecuaciones) de una recta, 61
cnvolvente de una, 277
forma de coordenadas al orillen
-
ramilia de, 1 00
(o intersecciones) de la, 70
cisoide, 277
forma paramétrica de las, 343
eónica(s), I I I
Corma pendiente-ordenada al origen de la,
degenerada, 112
62
en coordenadas polares, 253
forma polar de la, 250
identifieaeión de una, 167
cono
circular recto, I11
elíptico, 303
coordenadas,
cilindricas, 306
es féricas, 307
forma punto-pendiente de la, 64
forma simétrica de las, 343
ecuación Qeneral
-
de primer grado, 63, 286
de segundo grado, J 11,
J 55
de una circunferencia, 93
ecuaciones paramétricas, 265
en el espacio, 281
de circunferencias, 266
polares, 225
de una cicloide, 275
polares a rectangulares, 230
de una elipse, 268
rectangulares, 4, 5
de una hipérbola, 269
rectangulares a polares, 231
de una recta, 343
transformación de, 100
gráficas de, 269
434
CAPíTULO
1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
ecuaciones polares
hiperbólica, 208
de circunferencias, 25 I
de cónicas, 253
de rectas, 251
ecuaciones usuales,
de la elipse, 136
inversa de una, 208
logarítmica, 207
monótona, 72
periódica, 196
racional, 179
trascendentes, 195
de la hipérbola, 179
de la parábola, 121
eje(s),
coordenados, 4
de la elipse, 130
de la hipérbola, 143
de la parábola, 1 13
,
horizontal,4
polar, 225
radical,lOI
rotación de, 159
traslación de, 104, 155
x, y y z cn el espacio, 225
grálica(s),
de ecuaciones en coordenadas polares, 237
de ecuaciones paramétricas, 265
de una ecuación, 39
de una función, 38
de una relación, 38
ecuación de una, 44
intersecciones de, 190
elipse, 129
definición de una, 129
ecuación de una, 129, 136
ecuaciones paramétricas de una, 268
ecuaciones polares de una, 254
ejes de una, 130
focos de una, 129
propiedad foco-directriz de una, 1-33
elipsoide, 296
esfera, 293
excentricidad, 146
de la elipse, 134
hipérbola, 142
asíntotas de una, 144
ecuación de una, 179
ecuaciones en lorma usual de una, 179
ecuaciones paramétricas de una, 269
ejes de una, 143
tocos de una, 142
propiedad loco-directriz de una, 142
ramas de una, 143
hiperboloide,
de dos hojas, 299
de una hoja, 298
familia
de circunferencias, 100
de rectas, 86
inclinación de una recta, 13
intersección( intersecciones), 40
de grálicas, 74, 244
de gráficas en coordcnadas polares, 244, 759
de rectas, 74
inversa de una función, 208
toco(s)
de la elipsc, 129
de la hipérbola, 142
dc la parábola, 113
forma coordenadas al origen de una ecuación,
70
f'orma punto-pendientc de una ecuación, 64
función( Cunciones),
creciente, 72
decreciente, 72
definición de una, 36
exponencial, 205
gráfica de una, 38
lado recto, 114, 130, 143
método dc mínimos cuadrados, 360
número complejo, 233
números directorcs, 345
435
octante, 281
ordenada(s), 5
suma de, 216
origen, 3,225
par ordenado, 4
parábola, 112
definición de una, 1 J 3
directriz de una, I J 3
ecuaciones de una, J 14, 120
ecuaciones en forma usual de una, 121
ecuaciones polares de una, 254
eje de una, 113
foco de una, I 13
paraboloide
eJíptica, 300
hiperbólica, 302
parámetro, 87,265
plano coordenado, 4
polo, 225
producto escalar, 330
producto punto, 330
radio vector, 225
recta(s),
dirigida, 2
familia de, 86
horizontal, 7
inclinación de una, 13
inclinada, 7
numérica real, 4
pendiente de una, 13
vertical, 7
relación, 35
definición de una, 35
gráfica de una, 38
segmento de recta, 2
dirigido, 2
división de un, 23
no dirigido, 2
slmetna,
criterios de, 124,242
definición de, 124
simplificación de ecuaciones, 155
mediante rotación de ejes, 159
mediante rotaciones y traslaciones, 162
mediante traslaciones de los ejes, 155
sistema coordenado rectangular, 5
superficie, 287
cilíndrica, 287
cuádrica, 293
de revolución, 291, 292, 293
.
,
transformación de coordenadas, 104
traslación de ejes, 104, 155
trazas, 288
valor absoluto, 2
vector(es),
cero, 303
definición de, 313
suma de, 314
unitario, 303
proyección, 33 1
vértice, 111