NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA TELEMATICA 4.1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO El teorema del valor medio afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior, intervalo (a, b), entonces debe existir al menos un punto c de (a, b) en el que la tangente sea paralela a la cuerda. Físicamente quiere decir que en algún momento la variación instantánea debe coincidir con la variación media. En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial. Este teorema lo formuló Lagrange. El teorema del valor medio de Lagrange, de hecho, es una generalización del teorema de Rolle, que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0. NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA TELEMATICA 4.1 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO En análisis matemático el teorema del valor intermedio es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo. Sea una función continua en el intervalo (cerrado) y sea un número entre y . Entonces, existe un número en el intervalo (es decir, ) que satisface: . En otras palabras, una función continua toma todos los valores entre y cuando los valores de cambian desde hasta . La siguiente gráfica muestra esto de una manera más clara: Cuando el valor va subiendo, los valores de van moviéndose hacia la derecha (para la gráfica de la función mostrada) y cuando va bajando sobre el eje , los valores de van moviéndose hacia la izquierda. Ejemplo: Demuestra que la función: tiene una raíz en el intervalo . Para eso vamos a aplicar el teorema del valor intermedio. Como la función es polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales. Si para algún que está en el intervalo , hacemos ,y , y evaluamos la función en esos puntos: Por lo que satisface con la condición de que . Entonces, por la continuidad de la función, debe existir un número en el intervalo tal que . NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA TELEMATICA 4.1 TEOREMA DE TAYLOR Sean, una función f(x) y una función polinómica P(x), donde: f(a) = P(a) son n derivables en x = a y se verifica: f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a); f’’’(a) = P’’’(a);........f n(a) = P n(a). Entonces P(x) es una aproximación local de f(x) en x = a. Tenemos que f(x)-P(x) cuando Si comparamos f(x)-P(x) con (x-a); con (x-a)2; con (x-a)3;.......; con (x-a)n ; se dice que P(x) en una aproximación de f(x) de primer orden, de segundo orden, ...., de orden n, para si se verifica, respectivamente que: Resumiendo: Dada una función f(x), se dice que otra función P(x) es una aproximación local de orden n de f(x) cerca de un punto x = a si se cumple: NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA TELEMATICA 4.1 ERROR DE REDONDEO Un error de redondeo es la diferencia entre la aproximación calculada de un número y su valor matemático exacto debida al redondeo. Este es una forma de error de cuantificación. Uno de los objetivos del análisis numérico es estimar errores en los cálculos, incluyendo el error de redondeo, cuando se utiliza ecuaciones o algoritmos de aproximación, especialmente cuando se utiliza un número finito de dígitos para representar números reales (que en teoría tiene un número infinito de dígitos). Cuando se realiza una secuencia de cálculos sujetos a error de redondeo, los errores pueden acumularse, a veces dominando el cálculo. En problemas mal condicionados, se puede acumular un error significativo. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. ARITMETICA COMPUTACIONAL La Matemática Computacional e s una herramienta básica para un ingeniero o un científico, porque le permite solucionar de forma aproximada, problemas prácticos que no podrían resolverse de manera analítica. Puede decirse que la matemática computacional (Métodos Numéricos) es la matemática más elemental que existe, ya que para solucionar problemas, solo hacen uso de operaciones aritméticas. Sin embargo es ahí donde radica su fuerza, porque es a través de ella que se modelan y resuelven muchos problemas de la realidad, que es cambiante, compleja y variada.
