TRIGONOMETRIA

FORMULARIO - TRIGONOMETRIA
π
o
(90 .)
2
(sen y csc positivas)
3π
o
(135 .)
4
(0, 1)
I cuadrante
(todas positivas)
π
o
(45 .)
4
√

 1
3
 ,
2 2



√ 
 √
 2
2 


,
2
2
at
h.
5π
o
(150 .)
6
(A, B)
π
o
(60 .)
3
t
2π
o
(120 .)
3
II cuadrante
ne
(−A, B)
π
o
(30 .)
6

 √
 3 1 

, 
2 2
o
π (180 .)
11π
o
(330 .)
6
(0, −1)
7π
o
(315 .)
4
w.
g
5π
o
(225 .)
4
ui
7π
o
(210 .)
6
(tg y ctg positivas)
III cuadrante
w
(−A, −B)
A)
Básicas
w
1.- cos α · sec α = 1
2.- sen α · csc α = 1
3.- tg α · ctg α = 1
sen α
4.tg α =
cos α
cos α
5.- ctg α =
sen α
B)
Pitagóricas
1.- cos 2 α + sen 2 α = 1
2.1 + tg 2 α = sec 2 α
3.1 + ctg 2 α = csc 2 α
o
4π A) o. Básicas
(240 )
3
1.- cos α · sec α = 1 3π
o
.
2.- sen α · csc α = 1 2 (270 )
3.- tg α · ctg α = 1
sen α
4.tg α =
cos α
cos α
5.- ctg α =
sen α
B)
Pitagóricas
1.- cos 2 α + sen 2 α = 1
2.1 + tg 2 α = sec 2 α
3.1 + ctg 2 α = csc 2 α
0 (0 .)
(1, 0)
am
(−1, 0)
(cos y sec positivas)
5π
o
(300 .)
3
IV cuadrante
(A, −B)
C)
Suma y Resta de ángulos
1.- sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β
2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
3.- tg (α ± β ) =
D)
tg α ± tg β
1 ∓ tg α · tg β
Angulos dobles
1.- sen 2α = 2 sen α cos α
2.- cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
= 2 cos 2 α − 1
= 1 − 2 sen 2 α
2 tg α
PROBLEMAS
3.- tg 2α =DE MATEMATICAS
1 − tg 2 α
LA SOLUCION A TUS
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1.- cos αD)
· sec Angulos
α=1
dobles
E) Angulos medios
A)· cscBásicas
α=1
2.- sen α
= 2α sen
· sec
= 1α cos α
3.- tg α1.·1.ctg cos
αsen
=α12α
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
α
·
csc
α
2.sen
2.- sen
cosα2α = cos=21α − sen 2 α
2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2)
4.tg α
3.-= cos
tg αα· ctg=α2=cos
1 2α − 1
1 − cos α
=
1
−
2 sen 2 α
sen
α
3.- sen 2 (α/2) =
cos α
2
5.- ctg α4.-= tg α =
cos2αtg α
sen α
3.- tg 2α = cos α 2
1
+
cos
α
α
4.- cos 2 (α/2) =
α = 1 − tg
5.- ctg
F)
de Producto
a Suma
2
B) Pitagóricas
sen α
sen α
1 − cos
1 2α
2
2
(α/2) =
1.- cos 1.α4.-+ sen
sen
α
=
senAα· cos
=1 B =
[sen (A + B) + sen5.(A −tgB)]
1 + cos α
B) Pitagóricas
2
2 22
2.1 + tg α = sec α
1 + cos
1 − cos α
1 2α
22 α + sen
1.cos
3.1
ctg
5.cos
=cscB 22=α = 1[cos (A + B) + cos (A − B)]
=
2.- + cos
Aαα· =cos
2 22
2
sen α
2.1 + tg α = sec α
1csc 2 α
2
+
ctg
α
=
3.1
A · sen Bmedios
= − [cos (A + B) − cos (A − B)]
3.-E) sen
Angulos
2
1.- sen α = 2 sen (α/2) cos (α/2)
de Suma a Producto
H)
J) Teorema
Teoremadel
delSeno
Seno
J)
Si k ∈ ZZ ,
t
de Suma a Producto
 X−Y 
 X+Y 
· cos
2
2
 X+Y 
 X−Y 
· cos
2.- sen X − sen Y = 2 sen
2
2
 X−Y 
 X+Y 
· cos
3.-I) cos
X + cos Yde= Reducción
2 cos
Formulas
2
2 (Ley del Burro)
 X−Y 
 X+Y 
Sea f cualesquiera de las funciones trigonométricas y c f su
· sen
4.- cos X − cos Y = −2 sen
2
f en el
co-función. Si s denota el signo2que tiene la función
cuadrante correspondiente, se cumple que:


π
± θ = s f (θ)
24 fórmulas.
1.- f
2π


π/2
2.- f
± θ = s c f (θ)
24 fórmulas.
3π/2
1.- sen X + sen Y = 2 sen
Periodicidad
1.- sen (α ± 2kπ) = sen α
2.- cos (α ± 2kπ) = cos α
3.- tg (α ± kπ) = tg α
4.- ctg (α ± kπ) = ctg α
5.- sec (α ± 2kπ) = sec α
6.- csc (α ± 2kπ) = csc α
K)
ui
Encualquier
cualquiertriángulo,
triángulo,sisiLL1 1representa
representalalamedida
medidadel
dellado
lado
opEn
opuesto
de cualquier
lado opal ángulo
1 ylaLmedida
2 es la medida
aluesto
1 y L2es
de cualquier
otro ladootro
opuesto
de un
ángulo
uesto ángulo
de un cierto
ángulo se
2 ,cumple
siempreque:
se cumple que:
cierto
2 , siempre
sen (2 )
sen (1 )
=
L2
L1
G)
am
2.- cos α = cos 2 (α/2) − sen 2 (α/2)
 X−Y 
X+Y 
· cos
1.- sen X2+ sen Y =12−sen
cos α
2
2
3.- sen (α/2) =
2 



cos αX − Y · cos X + Y
X
2.-4.- sen
2− sen Y =12+sen
cos (α/2) =
2
2
2



sen α
X−Y 
X+Y
tg X
(α/2)
= Y = 2 cos
· cos
3.-5.- cos
+ cos
1 + cos α
2
2
 X−Y 
1 − cos α  X + Y 
= Y = −2 sen
· sen
4.- cos X − cos
sen α
2
2
1
[sen (A + B) + sen (A − B)]
2
1
[cos (A + B) + cos (A − B)]
2.- cos A · cos B =
2
1
3.- sen A · sen B = − [cos (A + B) − cos (A − B)]
2
1.- sen A · cos B =
at
h.
G)
F) de Producto a Suma
ne
A)
1 − cos 2α
2.- cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen4.-β sen α =
2
tg α ± tg β
1 + cos 2α
3.- tg (α ± β ) =
5.- cos α =
1 ∓ tg α · tg β
2
Básicas
Teorema del Coseno
Si L1 , L2 y L3 representan las medidas de cada uno de los lados de un
triángulo cualquiera, y si 1 es la medida del ángulo opuesto al lado L1 ,
siempre se cumple que:
L12 = L22 + L32 − 2 L2 L3 cos (1 )
w
w.
g
Es decir, en el siguiente triángulo se cumplen las fórmulas:
Esto quiere decir que en el siguiente triángulo, se cumplen las
α
α
fórmulas:
B
α
c
A
2
2
2
1.a
=
b
+
c
−
2
b
c
cos
α
B
α
sen β
sen α
α
=
1.β
β
βc
b
a
L) Relaciones
en el Triángulo
2
+ c2 − 2 a c cos β
2.- b2 = aRectángulo
a
β
β
sen γ
sen β
γ
=
2.γa
b En todo triángulo
2
rectángulo,
sebcumple
γ
α
c
b
c2 = a2 +
− 2 a bque:
cos γ
3.- siempre
γ
γ
C
sen γ
sen α
CO
cateto opuesto
b
=
3.=
1.- sen α =
β
c
a
HIP
hipotenusa
C
2.- cos α =
1.- sen α =
4.- ctg α =
L)
Relaciones en el Triángulo Rectángulo
CA
cateto adyacente
=
HIP
hipotenusa
w
CO
cateto opuesto
=
3.- tg α =
En todo triángulo rectángulo, siempre se cumple que:
CA
cateto adyacente
CO
cateto opuesto
=
HIP
hipotenusa
CA
cateto adyacente
=
CO
cateto opuesto
CA
cateto adyacente
=
2.- cos α =
HIP
hipotenusa
HIP
hipotenusa
=
5.- sec α =
CA
cateto adyacente
CO
cateto opuesto
=
3.- tg α =
CA
cateto adyacente
HIP
hipotenusa
=
6.- csc α =
CO
cateto opuesto
4.- ctg α =
CA
cateto adyacente
=
CO
cateto opuesto
5.- sec α =
HIP
hipotenusa
=
CA
cateto adyacente
6.- csc α =
HIP
hipotenusa
=
CO
cateto opuesto
C
γ
CO
CA
A
α
A
B
HIP
β
*recordar el: cocacoca-hiphip
γ
CO
HIP
CA
HIP
CO
CA
CA
CO
HIP
CA
HIP
CO
sen
sen
sen
cos
cos
cos
tgtgtg
ctg
ctg
ctg
sec
sec
sec
csc
csc
csc
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