Documento 888742

DEFINICIÓN.
Integración: Es el proceso contrario a la derivación.
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático.
Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente
pequeños que están bajo una curva.
El cálculo integral, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general;
Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Dada una función f(x), se trata de calcular otra F(x) tal que
F’(x)=f(x).
Por ejemplo:
La derivada de y = 5x es y’=5,
la derivada de y=5x+3 es y’=5, la
derivada de y=5x-2 es y’=5.
Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es:
5x+3, ó 5x-2 o bien solo 5. Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5
Es: 5x+cte.
El conjunto de todas las primitivas (antiderivadas) de una función se
denomina INTEGRAL INDEFINIDA, y se representa:
∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Cualquier tabla de derivadas, leída al contrario, se convierte en una tabla de
integrales.
INTEGRAL DEFINIDA
Teoría gráfica
se interpreta como el área bajo la curva f, entre a y b.
Dada una función f(x) de una variable real
real llamado el dominio de integración,
x
y un intervalo
de la recta
La integral:
es igual al área de la región del plano XY limitada entre la gráfica de , el eje X, y
las líneas verticales
y
, donde son negativas las áreas por
debajo del eje .
La integral definida de una
función representa el área
limitada por la gráfica de la
función, con signo positivo
cuando la función toma valores
positivos y negativo cuando toma
valores negativos.
Notación
Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la
cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de
integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un
dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera
definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable,
y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de
dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura
geométrica en ningún sentido usual.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas.
Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud,
anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que
puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud
de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas
estas cantidades deben ser calculadas mediante integrales. Al comienzo puede
ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas
exactas y rigurosas a este tipo de problemas.
Analicemos la siguiente gráfica:
Figura:
Aproximaciones a la integral
de la curva
entre 0 y 1, con
■ 5 muestras por la
izquierda (arriba) y
■ 12 muestras por la
derecha (abajo).
Para empezar, se considerará la curva
suponiendo que
y=
entre
y
. La pregunta es:
¿Cuál es el área bajo la función
, en el intervalo desde
hasta ?
Esta área (todavía desconocida) se puede calcular como la integral de
(x ).
La notación para esta integral será
.
Como primera aproximación, se mira al cuadrado unidad (1x1) dado por los lados
x=0 hasta x=1 y
y=0=f(0) y y=1=f(1).
Su área es exactamente 1. Tal como se puede ver, el verdadero valor de la
integral tendrá que ser más pequeño. Reduciendo el ancho de los rectángulos
empleados para hacer la aproximación se obtendrá un mejor resultado; así, se
parte el intervalo en cinco partes iguales, empleando para la aproximación los
puntos
0, 1⁄5, 2⁄5……, así hasta 1.
Se ajusta una caja cada paso empleando la altura del lado derecho de cada
pedazo de la curva, así
,
,
… y así hasta
. Sumando las
áreas de estos rectángulos, se obtiene una mejor aproximación de la integral que
se está buscando,
Sumemos las áreas de los rectángulos
Y1 x B1 + Y2 x B2 + … + Y5 x B5
H1 x B1 + H2 x B2 + … + H5 x B5
Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función
multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos.
f(x),
Se puede ver fácilmente que la aproximación continúa dando un valor más grande
que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más
ajustada, pero no será nunca exacta: si en vez de 5 subintervalos se toman
doce(12) y se toma el valor de la izquierda(abajo), tal como se muestra en el
dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este
caso es demasiado pequeño.
concibe la integral como una suma ponderada de los valores de la función
multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales
(indicados por dx).
Aplicándolo a la curva raíz cuadrada
es:
, y tomando que la integral
2 32
 x x
3
El valor exacto del área bajo la curva se calcula
, donde
y
simplemente tomando
son las fronteras del intervalo [0,1].