Matemáticas 9 AUTORA Anneris del Rocío Joya Vega Edición para el docente Competencias generales para el grado noveno Interpretativa 1 Identificar la función de las variables dentro del contexto algebraico (como número generalizado, como objeto concreto, como elemento cambiante). 2 Reconocer en situaciones concretas, el concepto de variación entre objetos matemáticos. 3 Identificar propiedades de los objetos matemáticos. 4 Utilizar criterios para reconocer funciones, construir su gráfica y determinar sus características principales. Argumentativa 1 Justificar el planteamiento y el desarrollo de conjeturas. 2 Explicar, usando elementos de variación como representaciones gráficas, tablas, diagramas, figuras y esquemas, el planteamiento de situaciones concretas. Propositiva 1 Plantear y resolver problemas que involucren los conceptos de variación relacionados con números, figuras, medidas y variables estadísticas. 2 Proponer situaciones modelo para el planteamiento y la solución de un problema en cualquier tipo de pensamiento matemático. Estándares Matemáticas básicos de competencias en Octavo a noveno Al terminar noveno grado… Pensamiento numérico y sistemas numéricos • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. • Resuelvo problemas y simplifico cálculos, usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y las operaciones entre ellos. • Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. • Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. Pensamiento espacial y sistemas geométricos • Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). • Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y la formulación de problemas. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en las otras disciplinas. Pensamiento métrico y sistemas de medidas • Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficie, volúmenes y ángulos con nivel de precisión apropiados. • Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos • Reconozco cómo diferentes maneras de representación de información pueden originar distintas interpretaciones. • Interpreto, analítica y críticamente, información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas). • Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema y de información, y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón). • Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. • Resuelvo y formulo problemas, seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas). • Reconozco tendencias que se representan en conjuntos de variables relacionadas. • Calculo probabilidad de eventos simples, usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia…). Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos • Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y las propiedades de las ecuaciones algebraicas. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. • Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales. • Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a la familia de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas. Desempeño básico l a s • Conoce y aplica propiedades y relaciones de los números reales. • Identifica la notación científica. • Identifica la potenciación, la radicación y la logaritmación y sus propiedades. • Soluciona algunos problemas, usando lenguaje matemático y lleva a cabo la solución en forma ordenada. f ó r m u l a s Desempeño bajo p a r a • Identifica propiedades y relaciones de los números reales. • Se le dificulta identificar números en notación científica. • Identifica la potenciación, la radicación y la logaritmación aunque se le dificulta reconocer las propiedades. • Presenta dificultades para solucionar problemas mediante el lenguaje matemático. e n c o n t r a r • Conjetura y verifica propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. • Conoce propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de los teoremas de Pitágoras y de Tales. e l á r e a • Verifica algunas propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales. • Conoce relaciones geométricas utilizadas en demostración de los teoremas de Pitágoras y de Tales. d e • Aplica las fórmulas para encontrar el área de regiones planas y • I d e n t i f el volumen de sólidos. i c a r e g i o n e s p l a n a s y e l v o l u m e n d e s ó l i d o s . • Conoce procesos inductivos y lenguaje algebraico y prueba algunas conjeturas. • Reconoce las generalidades de algunas funciones. • Resuelve sistemas de ecuaciones lineales. • Se le dificulta reconocer los procesos inductivos y probar algunas conjeturas. • Identifica la gráfica de algunas funciones. • Presenta dificultades para sistemas de ecuaciones lineales. • Conoce los elementos necesarios para caracterizar variables cualitativas y cuantitativas. • Halla los resultados de un experimento aleatorio. • Reconoce las técnicas de conteo. • Se le dificulta caracterizar variables cualitativas y cuantitativas. • Presenta dificultades para hallar los resultados de un experimento aleatorio. • Se le dificulta reconocer las tendencias que se presentan en algunos conjuntos de datos. • Identifica solo una de las técnicas de conteo. Bimestr e reales y expresiones algebraicas 1. Conjuntos numéricos. 2. Expresiones algebraicas. 3. Factorización. 4. Fracciones algebraicas. Unidad 2. Potenciación y radicación en R 1. Potenciación de números reales. 2. Radicación de números reales. 3. Racionalización. Primero Unidad 3. Números complejos 1. Números imaginarios. 2. Conjunto de los números complejos. Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales 1. Funciones. 2. Línea recta. 3. Sistemas de ecuaciones lineales. Segundo Tercero Unidad 5. Función y ecuación cuadrática 1. Función cuadrática. 2. Ecuación cuadrática. 3. Ecuaciones reducibles a ecuaciones cuadráticas. 4. Ecuaciones cuadráticas literales. 5. Problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas. Unidad 6. Función exponencial y función logarítmica 1. Función exponencial. 2. Función logarítmica. 3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Unidad 7. Sucesiones y series 1. Sucesiones. 2. Series. Cuarto Pensami ento numéric oy pensami ento variacio nal Unidad 1. Números Tiempo estimado por semanas Pensamiento espacial y pensamiento métrico Unidad 8. Razona miento 1 P roposicio nes lógicas. 2 T eoría de la demostr ación. Unidad 8. Razona miento 1. Razo nes y prop orcio nes. 2. Políg onos seme jante s. Unidad 8. Razona miento 1 C ircunfere ncia. 2 C írculo. U n i d a d os geométricos 1 Cuerpos redondos. 2 Poliedros. 3 Otros cuerpos geométricos. Tiempo estimado por semanas Pensamiento aleatorio Unidad 10. Estadística y probabilidad 1 Análisis de una variable cualitativa. 2 Caracteri zación de dos variables cualitativas. Unidad 10. Estadística y probabilidad 3. Caracterización de una variable cuantitativa. Unidad 10. Estadística y probabilidad 4. Métodos numéricos para la caracterizació n de variables. 9 . C u e r p Tiempo estimado por Unidad 10. Estadística y probabilidad 1 Técnicas de conteo. 2 Probabilidad y conteo. semanas Orga nizad or conc eptua l NIDAD U Consiste en graficar cada ecuación en el mismo plano cartesiano. La solución es la Y Y intersección de las rectas. Solución única rectas secantes Infinitas soluciones rectas coincidentes No tiene solución rectas paralelas Conjuntos numéricos • Proponga a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad en la página 8. Luego, presente las soluciones de los ejercicios y resuelva las dudas acerca de los preconceptos de los estudiantes para dar inicio a la unidad. • Motive a sus estudiantes, contándoles sobre las aplicaciones de los números reales. Para ello, lea con ellos la sección Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? que se presenta en la página 9. Esta información es un abrebocas para que los estudiantes aprendan más acerca de los números reales. • Forme grupos de tres estudiantes y pídales que analicen la cronología de los números reales. Luego, pídales que busquen más información en sus casas acerca de la historia de los sistemas de numeración y la expongan en clase. • Realice un juego de memoria. Para ello, elabore tarjetas, unas con conjuntos determinados por extensión y otras con conjuntos determinados por comprensión. Ubíquelas boca abajo. Luego, haga que por filas los estudiantes hallen las parejas de las tarjetas respectivas. Gana la fila que consiga armar más parejas. • Explique a los estudiantes que el conjunto de los números reales surge de la unión de todos los conjuntos numéricos ya conocidos. Mencione varios números de tal manera que los alumnos reconozcan a qué conjunto numérico pertenecen. • Cuando trabaje los números irracionales, haga que los estudiantes busquen distintos triángulos con igual hipotenusa para verificar que la representación es igual. • Explique la representación simbólica de la adición y la sustracción de números reales. • Trabaje aproximaciones de algunos números reales. Pida a los estudiantes que utilicen su calculadora y hallen los valores de dichos números. Luego, que los aproximen a un valor determinado. • Propicie la elaboración de tablas con valores aproximados de algunos números reales de todos los con-juntos numéricos. • Proponga a los estudiantes que completen la siguiente tabla, teniendo en cuenta las relaciones de pertenencia y contenencia entre los diferentes con-juntos numéricos: • Cuando todos los estudiantes hayan terminado, dis cuta con ellos las respuestas. En particular, aclare cómo hallar las relaciones para el penúltimo número de la tabla. • Proponga a los estudiantes que hallen el área de cada figura del tangrama con los datos 2 dados en la figura y teniendo en cuenta que x 5 21,11. xx x 2x • Pida a los estudiantes que clasifiquen las medidas de los lados de cada una de las figuras del tangrama como racionales o irracionales. • Comente a los estudiantes que cualquier raíz no exacta de un número racional positivo es un número irracional, pero que no todos los números irracionales corresponden a raíces inexactas de racionales positivos. Y 2 Expresiones algebraicas • Haga ver a los estudiantes la similitud que existe entre el producto de un número de varias cifras por otro de una cifra y el producto de un polinomio por un mo todas las figuras anteriores. finalmente, pídales que calculen el área de dicho cuadrado. 2 • Demuestre que (a 1 b) 5 2 2 a 1 2ab 1 b . Para esto, pida a los estudiantes que lleven a clase tijeras y cartulina para que realicen la siguiente actividad: Después pida que comparen Trazar y recortar las siguientes figuras con las medidas indicadas. los resultados obtenidos al sumar el área de cada polígono con el área del cuadrado grande que construyeron. Al finalizar la actividad, comente a los estudiantes que en este caso a 5 2 2 cm y b 5 4 cm así que, (a 1 b) 5 (2 1 2 2 4) 5 36 cm . En el caso general para 2 un a y un b cualesquiera: a estaría representado por un cuadrado de lado 2 a. b estaría representado por un cuadrado de lado b. 2ab serían dos rectángulos de base a y altura b. El total sería un cuadrado de lado a 1 b. Figura 1 Figura 2 2 cm 4 cm 2 cm 2 cm Figura 3 Figura 4 4 cm 4 cm 2 cm 4 cm Pídales luego, que calculen el área de cada una de las figuras realizadas. Luego, que sumen todas las áreas obtenidas, así: Área de toda la figura 1. A 5 L 3 L 5 2 cm 3 2 cm 5 4 cm Área de la figura 2. A 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm Área de la figura 3. 2 A 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm Área de la figura 4. 2 A 5 L 3 L 5 4 cm 3 4 cm 5 16 cm 2 Área total 36 cm . Luego, dígales que intenten formar cuadrado con • Proponga a los estudiantes que planteen una estrategia para demostrar que 3 3 2 2 3 (a 1 b) 5 a 1 3a b 1 3ab 1 b Dibuje, en el tablero, las siguientes gráficas y pida a los estudiantes que encuentren la expresión algebraica que determina el área de cada región. 7x 6x 2 5x un Y 5x 8x 8x Potenciación en los reales • Organice a los estudiantes en grupos de dos, luego propóngales que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad de la página 32. Luego, pida a cada pareja que exponga ante sus compañeros uno de los ejercicios que resolvieron. • Y Pida a los estudiantes que realicen las siguientes actividades: • Calcular las siguientes potencias: 5 3 5 • (22) c. 2 3 2 3 4 • (8) d. (23) • Calcular las siguientes raíces: • Proponga a los estudiantes jugar al Número más grande. Para esto, dígales que tomen una hoja y un lápiz. Explíqueles que el juego consiste en escribir con cuatro números iguales el número más grande posible. Inicie el juego, proponiendo que escriban los números utilizando cuatro cuatros. Puede encontrar respuestas como: 44 44 4 44 (4 3 4) 444 Pídales que determinen los valores usando una calculadora. Repita el juego varias veces cambiando el número con el que deben formar el número más grande. Algunas posibilidades para el juego pueden ser: • Formar el mayor número de cuatro cifras, usando dos dígitos diferentes. • Formar el número más pequeño. • Formar el menor número de cuatro cifras, usando dos dígitos diferentes. • Formar el mayor número sólo usando suma y división. • Enfatice que en los exponentes sucesivos de potencias se resuelven utilizando la propiedad de potencia de una potencia. Por ejemplo: 4 1 3 � 1) � 4 121 1 3�( ^^2 hh � 2 � 2 12 2 4.096 • Recuerde a los estudiantes las potencias en base 10 de exponentes positivos y negativos. Notación científica • Haga una lista, en el tablero, de las aplicaciones que tiene la notación científica. • Proponga y resuelva con los estudiantes problemas de notación científica. • Utilice problemas de otras disciplinas como la física, la química o la biología, pida que los resuelvan y que escriban, los resultados en notación científica. • Proponga y resuelva ejercicios sobre conversiones de unidades con notación científica. • Explique con ejemplos sencillos el avance de la coma decimal hacia la derecha o hacia la izquierda, para expresar una cantidad en notación científica. • Pida a los estudiantes que escriban cuatro líneas más para cada una de las siguientes secuencias. Luego, dígales que planteen la regla general que cumpla cada una. Secuencia 1 9 3 9 17 5 88 98 3 9 1 6 5 888 987 3 9 1 6 5 8.888 9.876 3 9 1 4 5 88.888 Secuencia 2 11 3 11 5 121 111 3 111 5 12.321 1.111 3 1.111 5 1.234.321 11.111 3 11.111 5 123.454.321 Secuencia 3 1 3 9 12 5 11 12 3 9 1 3 5 111 123 3 9 1 4 5 1.111 1.234 3 9 1 5 5 11.111 Secuencia 4 1 3 8 1 1 5 9 12 3 8 1 2 5 98 123 3 8 1 3 5 987 1.234 3 8 1 4 5 9.876 número 21 ? ¿En qué consistió esa explicación? — ¿Qué Números aplicaciones imaginarios tienen los • Comente a los números estudiantes que los complejos en números imaginarios la física? se pueden operar • Escrib como términos a, en el algebraicos para tablero, las facilitar las operaciones siguientes entre ellos. ecuaciones. • • Pida a los 2 2 x 5 16, x 5 estudiantes que 2 2 25, x 5 4 y x investiguen y 5 29 respondan las • Propo siguientes preguntas: nga a los • — ¿Qué estudiantes hechos relevantes del que siglo XVI aportaron al resuelvan las desarrollo de los tres primeras números complejos? ecuaciones y • — ¿Qué aporte digan en voz hizo Leonhard Euler al alta su desarrollo de los solución. 2 números complejos? 1� ii Luego, — ¿Qué matemático � ( dígales que propuso una solucionen la explicación del cuarta ecuación y i determinen 3 3 por qué no se i � ( 1) � 1 � puede 2i encontrar una 4 4 i � ( 1) � 1 solución. 5 5 2 i � ( 1) 1 � i 1 1)Utilice � esta 6 6 actividad i � ( 1) � 1 7 7 como i � ( 1) � 1 � i introducción 8 8 i � ( 1) � 1 al tema de 9 9 números i � ( 1) 1 � i complejos. • Realice las siguientes • Deter preguntas: mine con los • ¿Se observa estudiantes el alguna regularidad valor de en las nueve potodas las tencias potencias de planteadas? ¿Qué i. Para esto, tipo de regularidad? escriba en el • ¿Se puede tablero las plantear una regla nueve general para primeras encontrar cualquier potencias de potencia de i? i, así: 29 , entre otros. • Enseñ e a los estudiantes a calcular la potencia de 81 i 100 216 225 245 • Luego, pídales quedividiendo escriban el los resultados obtenidos. exponente ¿Cuál sería la regla? entre 4. El • Luego, proponga a los residuo estudiantes que encuentren el , i102 corresponde a la potencia 45 93 24ybásica que valor de i , i • Pida a los estudiantes que hallendetermina el las siguientes raíces en laresultado. Comente calculadora. también que • Haga énfasis en el hecho de que cualquier exponente en las calculadoras comunes se trabaja únicamente con cantidades entero de i se reales. Dígales que esta es la razón puede por la cual, no es posible determinar descomponer raíces pares de números negativos en dos sumandos: en la calculadora. Por ejemplo, uno múltiplo de 4 y otro en Números complejos • Cuando trabaje la división de términos de números complejos verifique con los una potencia básica de i. estudiantes el denominador del 2 inverso multiplicativo de a 2 bi es a 1 De esta 2 manera, b . Porque al multiplicar en los dicho numeradores a 1 bi por a 2 bi se 2 2 exponente obtiene a 1 b , de esta manera queda resulta una fracción igual a 1. reducido a • Entregue a cada estudiante una potencia una hoja con el siguiente cuadro y básica de i . pídale que lo complete. Así, por 23 ejemplo, i 5 20 1 3 23 i ya que i 4?513 5i , luego, 23 3 i 5 i . En 4n 1 a general, i 5 a i. • Inste a los estudiantes a que aprendan la multiplicación de complejos como un caso de la propiedad distributiva, de esta manera no se aprenden las fórmulas nuevas sin sentido. Función • Realice junto con sus estudiantes las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad en la página 86. Pídales que expliquen los pasos en la solución de cada ejercicio. • Motive a los estudiantes con la introducción de la unidad leyendo la sección Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? de la página 63. Comente a los estudiantes sobre los diferentes usos de la función lineal y de la solución de sistemas lineales. • Pida a los estudiantes que observen y lean acerca de la función lineal, que completen la línea de tiempo con otros hechos matemáticos y que investiguen los hechos históricos que estaban sucediendo en el lugar donde ocurrió cada suceso matemático. • Organice a los estudiantes en grupos de tres. Luego, pídales que respondan las siguientes preguntas: unidad de tiempo. Esta situación se puede representar gráficamente de la siguiente manera: A Y r2 • ¿Cómo se determina un conjunto por extensión? • ¿Cómo se determina un conjunto por comprensión? • ¿Cómo se ubican puntos en el plano cartesiano? mayor estatura de una persona, mayor será su sombra en el piso (en un día soleado). Esta situación se puede representar en un plano cartesiano por medio de la siguiente gráfica: Y Función lineal y función afín r2 • ¿Qué son rectas paralelas y qué son rectas perpendiculares? • Elabore una lista de situaciones cotidianas en las que se involucren las funciones lineales. Por ejemplo: Un vehículo se mueve uniformemente si recorre distancias iguales en tiempos iguales. La velocidad en el movimiento uniforme es el espacio recorrido entre la • Plantee la siguiente situación para introducir el tema de función lineal y función afín. La siguiente gráfica representa el crecimiento de un árbol durante un año. • De acuerdo con la gráfica, pida a los estudiantes que respondan: • ¿En qué meses se produjo el mayor crecimiento del árbol? • ¿El crecimiento del árbol fue uniforme? • ¿En qué meses se produjo el mayor crecimiento del árbol? • Pida a los estudiantes que escojan un intervalo de tiempo, que analicen el segmento de recta y hallen la pendiente y la ecuación de esa recta. X Sistemas de ecuaciones lineales • Presente a los estudiantes tres sistemas • Proponga la siguiente situación para que la resuelvan. Mago: Piensa en dos números. José: Ya los pensé. Mago: Suma el doble del mayor de los números y el de ecuaciones que sean equivalentes. Construya las tablas de valores. Luego, pídales que observen las soluciones de cada sistema y presente la clasificación de dichos sistemas. • Transcriba, en el tablero, la siguiente tabla que resume los casos que se presentan cuando se utiliza el método gráfico para resolver un sistema 2 3 2. • Insista a los estudiantes que un sistema consistente es aquel que tiene por lo menos una solución; un sistema inconsistente es aquel que carece de soluciones o de puntos de corte entre las líneas rectas y un sistema indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones. • Proponga a los estudiantes que investiguen en qué consiste el método de co-factores para resolver un sistema de ecuaciones. • Explique a los estudiantes que así como sucede con las ecuaciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtienen sistemas equivalentes realizando la misma operación aritmética en los dos miembros de las ecuaciones del sistema. • Luego, proponga a los estudiantes que prueben que los siguientes sistemas son equivalentes. 2a � n � 5 ' 6a � 2n � 10 4a � 2n � 10 ' 3a � n � 5 triple del menor. ¿Cuánto da? José: Da 37. Además, el mayor es igual a 1 más que el doble del menor. Mago: Ya sé qué números pensaste. José ¿Cuáles pensaste? — ¿Cómo hizo el mago para determinar los números?, ¿cuáles eran esos números? • Recuerde que la finalidad de la calculadora o de los programas informáticos es proporcionar a los estudiantes una herramienta que les permita comprobar sus cálculos. Puede realizar la página 127 en la cual se trabajan sistemas de ecuaciones lineales en la sala de informática. Solución de sistemas de ecuaciones 3 3 3 • Explique a los estudiantes que resolver problemas 3 3 3 por el método gráfico consiste en hallar el punto de corte de tres planos del espacio, así para graficar la ecuación 6x 1 4y 1 3z 5 12 se realizan los siguientes pasos: • Primero, se hace y 5 0 y z 5 0, se halla el punto de corte con el eje x, así 6x 5 12 de donde x 5 2, que corresponde al punto (2, 0, 0). • Segundo se hace x 5 0 y z 5 0, se halla el punto de corte con el eje y. En este caso queda el punto (0, 3 , 0). • Tercero, se hace x 5 0 y y 5 0 para hallar el tercer punto que en este caso es (0, 0, 4). • Finalmente se ubican los tres puntos anteriormente hallados y se unen con segmentos de recta los tres puntos de corte. Así se obtiene la gráfica de la ecuación 6x 1 4y 1 3z 5 12. • • Proponga a los estudiantes la siguiente situación: Un parque de diversiones de la ciudad ofrece tres tipos de atracciones mecánicas: montaña rusa, tobogán y la gran barca. Pablo paga $28.000 por 3 boletas para la montaña rusa, 2 boletas para el tobogán y una para la gran barca; César paga $47.000 por 2 boletas para la montaña rusa, 2 para el tobogán y 4 para la gran barca y Susana paga $36.500 por 2 boletas para la montaña rusa, una para el tobogán y 3 para la gran • barca. ¿Cuál es el valor de la boleta para cada atracción? • Elabore con ellos el planteamiento del sistema de ecuaciones, pídales que lo resuelvan y verifique con ellos la solución. Función cuadrática • Proponga a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad en la página 128. Luego, presente las soluciones de los ejercicios y resuelva las dudas acerca de los preconceptos de los estudiantes para dar inicio a la unidad. • • Motive a sus estudiantes, contándoles sobre las apli • caciones de la función cuadrática en la física. También puede utilizar la sección .Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? que se presenta en la página 129. Esta información es un abrebocas para que los estudiantes aprendan más acerca de la función cuadrática. • Forme grupos de dos estudiantes y pídales que revisen la cronología de la función cuadrática. Luego, pídales que realicen una exposición que se relacione con toda la historia de la función cuadrática. • Proponga a los estudiantes que consulten sobre la historia de la función cuadrática y que respondan las siguientes preguntas: • ¿Qué métodos utilizaban los babilónicos para resolver ecuaciones cuadráticas? • ¿Cómo se clasificaron las ecuaciones cuadráticas en la época medieval? • ¿Qué aporte hizo Pitágoras de Samos al desarrollo de la función cuadrática? • ¿Qué hechos relevantes y qué matemáticos contribuyeron al desarrollo de las ecuaciones cuadráticas en el siglo XVII? • Cite frases del lenguaje cotidiano que puedan ser planteadas mediante expresiones en las cuales se incluya una ecuación cuadrática. Por ejemplo: — Un número multiplicado por el mismo es igual a 49. ¿cuál es el número? — Un número multiplicado por sí mismo es igual a 1. ¿Cuál puede ser el número? — Un número multiplicado por sí mismo y luego aumentado en tres es igual a 67, ¿cuál es el número? • Construya con los estudiantes una parábola a partir de los siguientes pasos: — Primero, se trazan dos líneas l y l de igual longitud, de tal manera que formen un 1 2 ángulo de 508. • Segundo, se marcan diez divisiones iguales en cada una de las líneas y se escribe el número correspondiente. • Tercero, se une con una línea el punto 10 de l y el punto 1 de l , el punto 9 de l y el punto 2 de l y así sucesivamente. 1 2 1 2 234567891 0 • Luego, se traza la curva generada por las líneas que unen los puntos respectivamente. • Finalmente, la envolvente de las líneas que unen los puntos generará una parábola como la siguiente: 10 Ecuación cuadrática • Se recomienda que antes del desarrollo de este tema los estudiantes realicen un breve repaso de algunos casos de factorización: factor común monomio y trinomios. • Destaque desde un comienzo la importancia de mantener toda la expresión en un solo miembro sea a la derecha o a la izquierda del igual. Es decir que la ecuación cuadrática esté igualada a cero. • Antes de comenzar las técnicas para resolver ecuaciones cuadráticas, se sugiere recordar el significado de la simbología y promover su buen uso: subíndice, conectivos lógicos y llaves para el conjunto solución. • Recuerde a los estudiantes que las ecuaciones facilitan las operaciones. Haga una síntesis, una vez que esté claro para todos y compruebe siempre las soluciones. 2 • Analice el comportamiento de b 2 4ac de la fórmula general para ecuaciones cuadráticas a partir de la siguiente actividad: Remplace los valores a, b y c de cada una de las siguientes ecuaciones y utilice la ecuación cuadrática para analizar la naturaleza de sus raíces: 2 2 2 x 1 2x 2 35 5 0; x 1 4x 1 4 5 0; x 1 2 5 0 Función exponencial • Lea a los estudiantes el siguiente texto. El famoso matemático John Napier es considerado el padre de los logaritmos. Fue educado en la universidad St. Andrés. En 1571, recorrió Escocia como un devoto religioso, tomando parte en las controversias religiosas de ese tiempo. Fue un ferviente protestante y publicó lo que él consideró como su más importante trabajo. El Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John (1593). Napier estudió matemática solo como pasatiempo. En el año 1614 publicó una descripción de cómo multiplicar y dividir con la ayuda de los logaritmos. También fue quien acuñó la palabra logaritmo, que es una palabra griega compuesta por logos que significa relación y arithmos que significa número. Independientemente de Napier, pero algo después, el suizo Burgi trabajó con una tabla para la multiplicación de logaritmos. Ni Napier ni Burgi tuvieron una base especial para sus sistemas de logaritmos. Fue el inglés Henry Briggs, un amigo de Napier, quien comenzó a usar los logaritmos en base 10. Es por esto que llamamos logaritmos de base 10 a los logaritmos. Briggs escribió acerca de un nuevo descubrimiento. Los logaritmos son números que se descubrieron para facilitar la solución de los problemas aritméticos y geométricos, gracias a esto, se evitan todas las complejas multiplicaciones y divisiones transformándolas a algo completamente simple mediante la sustitución de la multiplicación por la adición y la división por la sustracción. Además, el cálculo de las raíces se realiza también con gran facilidad. Los logaritmos pasaron a ser una herramienta muy valorada, en especial, entre los astrónomos. Laplace se refiere a esto con la frase: Los logaritmos han duplicado la vida de los astrónomos. Hoy en día los computadores y las calculadoras han tomado el papel de los cálculos logarítmicos, pero todavía esta teoría de los logaritmos es muy relevante cuando se trata de las matemáticas puras y sus aplicaciones en los estudios de las ciencias naturales. • Pida a los estudiantes que grafiquen la función: x �1 fx () � 2 � 2 • Sugiérales que elaboren una tabla con los siguientes valores 1, 21, 2 22, 3, 23, 4, 24 y 0. • • Pídales que representen en el plano cartesiano los valores de la tabla anterior y que respondan las siguientes preguntas: • ¿Cuál es el punto de intercepto con el eje y? • ¿La gráfica representa una función creciente o decreciente? • ¿La función tiene cortes con el eje x? x Función logarítmica • Para demostrar que la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial plantee la siguiente actividad. • • Pida a los estudiantes que, en un mismo plano carte • siano, grafiquen las siguientes funciones: x y 5 3 ; y 5 Log x. • • Dígales que registren los resultados en tablas de valores. Luego, pregunte a los estudiantes: • ¿En qué punto corta cada gráfica al eje y? • ¿Qué tipo de crecimiento tiene cada función? • ¿En qué puntos corta cada gráfica al eje x? • • Dígales que recorten el plano en el que trazaron las gráficas de las dos funciones y pídales que tracen, también, la gráfica de la recta y 5 x. Solicíteles que doblen el plano por esta recta y que luego observen lo que sucede después. Finalmente, coménteles que al hacer el doblez, la función se sobrepone a su reflexión que corresponde a la inversa y que una forma práctica para encontrar la gráfica de la función inversa a cualquier función, consiste en: • Trazar la primera función. • Trazar la recta y 5 x. • Reflejar la gráfica de la función original, teniendo como eje de reflexión la recta y 5 x. • • Para reforzar el manejo de las propiedades de los logaritmos, pida a los estudiantes que lleven a clase una calculadora. Adviértales que usted va a plantear varias expresiones con logaritmos y que ellos deben 3 determinar cuáles de esas expresiones son correctas y cuáles no. También dígales que deben justificar las respuestas. Las expresiones pueden ser: • Log (3 3 2) 5 Log 3 3 Log 2 • Log (3 1 2) 5 Log 3 1 Log 2 • Log (3 4 2) 5 Log 3 2 Log 2 Sucesión • Proponga a los estudiantes que resuelvan la actividad de la sección Lo que sabes al inicio de la unidad. Esté atento a las dudas que surjan de ellos mientras resuelven las diferentes actividades que se proponen. Luego permítales que formulen otras actividades similares. Pídales que resuelvan esas nuevas actividades en forma individual. • • Pida a los estudiantes que respondan las siguientes preguntas: • ¿Qué hechos relevantes en la época babilónica contribuyeron al desarrollo de las progresiones? • ¿Qué contribución hizo el matemático Euclides al desarrollo de las progresiones? • ¿Qué contribución hizo el matemático Bhaskara al desarrollo de las progresiones? • Realice la siguiente actividad como introducción al tema de las sucesiones y las progresiones. Si a 5 23, b 5 4 y c 5 21, hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. abc2a 1 2 2 2 a 2a b 1 c a • Resolver: (0,02 1 1,26 1 2,71 2 0,36) 4,36 3 2,1 • Despejar la variable indicada: 2am V 5 , despejar p. p 2 V 5 zam , despejar m. — Hallar en cada secuencia el término siguiente. 1, 4, 9, 16… 1, 21, 1, 21, 2 3, 6, 9, 12, … • Proponga a los estudiantes distintas sucesiones y pídales que intenten hallar su regla de formación y su término general. • Organice por parejas a los estudiantes. Luego, pida que uno de ellos invente una sucesión y el otro trate de adivinar su término general. Deje claro que no todas las sucesiones tienen término general, por ejemplo, los números primos. • Pida a los estudiantes que, en una hoja cuadriculada, dibujen las siguientes gráficas: a. b. Luego, pídales que cuenten los puntos de la figura a) teniendo en cuenta los triángulos que se forman. Así, el primer triángulo tiene un punto; el segundo triángulo tiene tres puntos; el tercer triángulo tiene cinco puntos, etc. Solicite a los estudiantes que escriban la sucesión que se genera. Luego, pídales que cuenten en la figura b) los puntos que se encuentran dentro de cada cuadrado más grande que el anterior. Así, el primer cuadrado tiene un punto, el segundo cuadrado tiene cuatro puntos, el tercer cuadrado tiene nueve puntos, etc. Pida a los estudiantes que escriban la sucesión que se genera. Progresiones • Pida a los estudiantes que lleven a clase 40 botones redondos. Luego, instrúyalos para que construyan una figura similar a un hexágono regular de dos botones de lado como se muestra a continuación. • Pídales que cuenten el número de botones que utilizaron. • Luego, invítelos a que construyan otra figura similar a un hexágono regular pero con tres botones de lado. • Repita la actividad para construir hexágonos de 4, 5 y 6 botones de lado. • Indíqueles a los estudiantes que registren los resultados en una tabla como la siguiente: • Luego, pídales que encuentren la regla general para determinar el número total de botones necesarios para obtener cualquier hexágono regular de lado n sin construirlo. Y caucho y dígales que la estiren alrededor de las puntillas, de tal forma que construyan el triángulo rectángulo más grande. Luego, sugiérales que tomen como unidad de medida la distancia entre puntilla y puntilla. 7 cm 6 cm 5 cm r 5 2 cm 3 cm 1 cm La empresa consideró que las piezas eran muy pequeñas así que decidió agrandarlas con una razón de semejanza de 3,5. • ¿Cuáles son las nuevas medidas de las piezas? • ¿Qué procedimiento utilizaron para encontrar las nuevas medidas? • ¿Cuál fue la pieza que menos dificultad ofreció? ¿Por qué? • ¿Cuál fue la pieza que más dificultad causó y por qué? • ¿Cómo podrías demostrar que las nuevas piezas son semejantes a las originales? • Pida a los estudiantes que construyan las siguientes figuras en cada caso y que respondan las preguntas y justifiquen sus respuestas. • Construir dos triángulos isósceles: uno de lado 5 cm y base 6 cm, y el otro de lado 10 cm y base 12 cm. Los triángulos son semejantes? • Construir dos triángulos equiláteros, uno con medida Y del lado 7 cm y el otro con medida de lado 1 cm. ¿Los triángulos son semejantes? En caso afirmativo, ¿cuál es la razón de semejanza? ¿Es la misma para todos los pares de lados correspondientes? ¿Cuándo son semejantes dos triángulos equiláteros? • Explique a los estudiantes que un geoplano es un arreglo rectangular o cuadrado en el cual se distribuyen puntos en una misma distancia. Luego, propóngales elaborar un geoplano como el de la figura, utilizando puntillas y una tabla. • Pida a los estudiantes una banda de • Mida, con una regla, la longitud de la hipotenusa. Luego, explíqueles las definiciones de las razones trigonométricas seno, coseno, y tangente y pídales que las Y calculen con las medidas que tomaron con respecto al ángulo agudo. Circunferencia y círculo • Realicen las siguientes actividades como introducción al tema: • Defina cada una de las clases de ángulos según su medida. • Defina cada una de las clases de ángulos según su posición. • Clasifique los siguientes triángulos según la medi • Clasifique los siguientes triángulos según la medi da de sus ángulos. A 5 908 B 5 458 C 5 458 A 5 608 B 5 608 C 5 608 A 5 1208 B 5 308 C 5 308 • Enuncie los criterios de congruencia de triángulos. • • Pida a los estudiantes hilo y tijeras para realizar la siguiente actividad: • Dibujar una circunferencia de 9 cm de diámetro. • Bordear la circunferencia con el hilo. Medir con una regla la longitud del hilo que bordeó la circunferencia. • Si d 5 diámetro y L 5 la longitud de la circunferenL cia, determinar el valor de la razón: d • Realizar el mismo ejercicio para circunferencias de diámetros 5 cm, 10 cm y 12 cm, respectivamente. • Luego, pregunte a los estudiantes si a partir de los resultados de los cocientes se puede formular alguna regla para generalizar lo que está sucediendo. • Finalice la actividad explicando a los estudiantes que esa cantidad constante que encontraron se denomina pi y que se representa con la letra griega p. Cuerpos redondos • Pida a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad, en la página 270, para comprobar que manejan los preconceptos para el desarrollo de esta unidad. • Proponga a los estudiantes que lean la cronología que se presenta en la página 271 y que, luego, le expliquen qué les llamó más la atención de la misma. • Comente a los estudiantes que los cuerpos redondos también son llamados cuerpos de revolución. Es decir, que un cuerpo redondo es la figura que se genera cuando una figura plana gira alrededor de una recta llamada eje de giro. Así, el cilindro se genera al girar un rectángulo; el cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos; la esfera se obtiene al girar un semi círculo alrededor de su diámetro. • Pida a los estudiantes que realicen las siguientes acti vidades como introducción al tema. Responder: • ¿Qué diferencia existe entre círculo y circunferencia? • ¿Cómo se calcula el área de un círculo? • ¿Cómo se calcula la longitud de la circunferencia? • ¿Cómo se calcula el área de un polígono regular? Hallar el área de los siguientes polígonos regulares. 5 cm 4 cm • Pida a los estudiantes que traigan material concreto, como latas de gaseosas de diferentes formas y tamaños, así como pelotas y algunos adornos en forma de conos. Explique la ubicación de los ejes de giro, altura, radio y la generatriz de cada objeto si los tuviera. • Entregue a cada estudiante una copia ampliada de los desarrollos de los cuerpos redondos. • Luego, pídales que recorten por la líneas punteadas, que armen el cuerpo y, finalmente, calculen su área total y su volumen. • Explique a los estudiantes que la altura de un cilindro es igual a la medida de su generatriz. • Presénteles figuras planas para que dibujen los cuerpos que se forman al hacerlas girar sobre su eje. • Lea la siguiente información a sus estudiantes: El actual balón de fútbol no es esférico sino que tiene forma de un poliedro denominado icosaedro truncado. Sus doce pentágonos y veinte hexágonos regulares ocupan el 86,74% del volumen de la esfera circunscrita. Pero hay poliedros, aún más esféricos: del sencillo tetraedro truncado, con solo ocho caras se puede llegar a un rombicosidodecaedro, formado por veinte triángulos equiláteros, treinta cuadrados y doce pentágonos regulares. Este cuerpo se forma truncando las aristas y vértices, de un dodecaedro, y cumple la propiedad de la máxima compacidad en la que obtiene un 94,33% del volumen de la esfera circunscrita. El estudio de estos cuerpos nos permite aventurar cuál sería el balón más perfecto. Por ello, el candidato más cercano es el rombicosidodecaedro. Poliedros • Explique la fórmula de Euler en un poliedro convexo. Pida a los estudiantes que comprueben en un cubo y en un prisma pentagonal la relación que existe entre las caras, los vértices y las aristas. • Pídales que construyan, en material concreto, los cinco poliedros regulares. Haga que comprueben en cada poliedro la fórmula de Euler. • Presente al grupo un poliedro no convexo construido en cartulina o alguno que ya esté hecho y pregunte si en él se cumple la fórmula de Euler. • Explique a los estudiantes que un bicubo es un cuerpo geométrico formado por cubos. Luego, reparta a los estudiantes una copia de la figura siguiente para que recorten, peguen y armen un bicubo. 7 cm • Cuando los estudiantes hayan armado el bicubo, pregúnteles si este cuerpo puede considerarse un poliedro regular. • Presente en cartulina un prisma y una pirámide armados. Haga que cada estudiante por turno, indique un elemento de cada poliedro. • • Explique las semejanzas y las diferencias entre un prisma y una pirámide y formule las siguientes preguntas. • ¿Cuántas bases tiene un prisma?, ¿y una pirámide? • ¿Qué polígonos forman las caras laterales de un prisma?, ¿y las caras de una pirámide? • Insístales en que no es lo mismo la arista que la arista lateral de un prisma o una pirámide y la apotema de la base que la apotema de la pirámide. • Lea la siguiente información a los estudiantes: La pirámide de Keops fue construida alrededor de 2550 a. C. Además de ser un monumento funerario, servía como observatorio astronómico. Sus cuatro caras laterales están alineadas con los cuatro puntos cardinales. Con ella podían medir los días, meses,…, así como calcular los equinoccios y solsticios para predecir el cambio de las estaciones. Durante el último milenio, el revestimiento exterior fue poco a poco extraído para utilizarlo en otras edificaciones. Por este motivo, la superficie lateral de la pirámide original se ha reducido desde su construcción. La pirámide de Keops es una pirámide recta de base cuadrada. Sus dimensiones originales eran 146 m de altura, 230 m de lado. Debido a la erosión y al desmantelamiento de su recubrimiento, en la actualidad mide 137 m de altura y 230 m de lado. Pídales a sus estudiantes que comprueben si es verdad que la pirámide ha perdido, un 6% de su volumen original, de acuerdo con los datos dados anteriormente. • Proponga un paralelo entre las características del prisma y de un cilindro y explique el porqué del área del cilindro se deduce fácilmente el área del prisma. • Comente a los estudiantes la relación existente entre el volumen de un cuerpo y su capacidad. Para esto, pídales que lleven a la clase cartulina, tijeras, pegante y una botella cuya capacidad sea de un litro. • Pídales que elaboren el desarrollo de un cubo sin tapa de un decímetro de lado y lo armen. Luego, dígales que llenen con agua la botella de litro y viertan este líquido dentro del cubo. Coménteles que un cubo de volumen 1 3 dm , tiene capacidad para contener dentro de él un litro. • Después de realizar esta actividad, pida a los estudiantes que elaboren tres conos: uno de capacidad mayor que un litro, otro con capacidad de un litro y otro con capacidad menor de un litro. • • Explique a los estudiantes qué es un policubo, así: Un policubo es un poliedro compuesto por varios cubos. • Los policubos son poliedros que tienen la ventaja de poderse representar fácilmente, utilizando papel cuadriculado o una trama triangular así: Estadística • Proponga a los estudiantes que resuelvan las actividades de la sección Lo que sabes del inicio de la unidad en la página 292. Luego, presente las soluciones de los ejercicios y resuelva las dudas acerca de los preconceptos de los estudiantes antes de dar inicio a la unidad. • • Motive a sus estudiantes, contándoles sobre las apli • caciones y la importancia de la Estadística. Puede utilizar la sección Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? que se presenta en la página 293. Esta información es un abrebocas para que los estudiantes aprendan más acerca de estadística y probabilidad. • Pídales que revisen la cronología de la página 293. Luego, que escojan uno de los hechos que aparecen allí, hagan una consulta más profunda sobre él y preparen una exposición para sus compañeros de la clase. • Recuerde a los estudiantes conceptos básicos como estadística, población, muestra, variable, variable cualitativa, variable cuantitativa. • Recuérdeles cómo se construyen las tablas de frecuencias y los diagramas de barras, y explíqueles cómo se analiza cada uno de estos diagramas. • Pida a los estudiantes que realicen una encuesta sobre los deportes que les gusta practicar. Luego, dígales que grafiquen en un diagrama de barras los resultados obtenidos. Cuando terminen de representar la información obtenida, explíqueles las otras representaciones gráficas: • • • Gráfico circular Polígono de frecuencias Histograma • Proponga a los estudiantes que grafiquen la información obtenida, utilizando cada una de las representaciones anteriores. Pida a los estudiantes que lleven a clase periódicos y revistas. Luego, dígales que se organicen en grupos y busquen en las fuentes que consiguieron una información gráfica. Pídales que analicen dicha información y que determinen las variables que intervienen y, si es posible, las frecuencias de cada variable. Análisis de dos variables cualitativas • Proponga una situación en la cual esté presentada la relación de dos variables cualitativas, y explique las formas gráficas y la tabla de frecuencias marginal. • Reparta a cada estudiante una copia con la siguiente información: El valor de un subsidio de vivienda se determina en función del tipo de vivienda que se va a adquirir, construir o mejorar. En la siguiente tabla se registran los tipos de vivienda y el máximo valor de subsidio al que se puede aspirar. Subsidio de vivienda • Luego, proponga las siguientes preguntas. • El señor Eduardo Santos solicitó el subsidio de vivienda para adquirir una vivienda de $13.000.000, ¿a qué tipo de vivienda corresponde? • ¿Qué valores corresponden al tipo de vivienda tipo 3? • Si Carlos Pérez solicita el subsidio de vivienda para adquirir una vivienda de $44.900.000, ¿podrá obtener el subsidio? ¿Por qué? Medidas de tendencia central • Proponga una situación real para la mejor comprensión del tema. Pregunte a cada alumno la cantidad de hermanos que tiene; luego, escriba los valores en el tablero. Dígales que los va a organizar en una tabla de frecuencias sin intervalos, luego calcule la media del conjunto de datos. • Proponga un ejercicio en el cual aparezcan dos variables relacionadas en una tabla marginal incompleta: pida a los estudiantes que la completen a partir de los datos asignados. • Es necesario que haga énfasis en que la media aritmética solo se puede obtener con variables cuantitativas. • Explique la manera correcta para hallar los deciles, los cuartiles y los percentiles de un conjunto de datos. Probabilidad • Proponga el siguiente problema y discuta con los estudiantes la respuesta. — Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos balotas negras y una balo- ta blanca. Los tres van sacando, en orden, una balota que no devuelven a la bolsa. Quien saque la balota blanca gana. ¿Quién lleva más ventaja; el primero, el segundo o el tercero? • Realice una actividad introductoria para el tema de técnicas de conteo. Para esto, proponga a los estudiantes encontrar las posibilidades de escribir arreglos diferentes con las letras A, B y C. Plantee el primer arreglo que es ABC y dígales que vayan cambiando el orden en el que colocan las letras, así: • Luego, dígales que escriban las formas de cambiar los números 2, 3 y 4 para formar números diferentes de tres dígitos. • Explique a los estudiantes que una propiedad interesante de un dado es que la suma de sus caras opuestas siempre es 7. • Luego, entrégueles los siguientes desarrollos de un dado y pídales que dibujen los puntos que faltan en cada cara, de tal forma que se genere un dado. • • Proponga a los estudiantes resolver el siguiente pro • blema: Las letras M y H representan el nacimiento de una niña o un niño, respectivamente. Para una familia de tres niñas y dos niños, un posible orden es MMMHH. Determina y escribe los otros órdenes posibles de nacimiento de estos cinco hijos. • Proponga las siguientes situaciones a sus estudiantes y pida que las resuelvan en parejas: Un inspector de Tv cable tiene que revisar el cableado de un edificio, ya sea el lunes, el martes, el miércoles o el jueves, a las 8 a. m. a las 10 a. m. o a las 2 p. m. ¿Cuántas maneras tiene este inspector para hacer las revisiones del cableado? ¿Cuáles son? • Si los cinco finalistas de un torneo internacional de Ajedrez son: Carlos, Alex, Juan, Diana y Sandra, ¿de cuántas maneras es posible que se otorgue un primer, un segundo y un tercer lugar? Considerando que el primer lugar lo gana Alex y el segundo lo gana Sandra, ¿cuántas maneras hay de que se otorguen los lugares antes mencionados? • Escriba, en el tablero, los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Proponga a los estudiantes que determinen la cantidad de números telefónicos que se pueden for-mar con estos números si: a. El número telefónico es de siete dígitos. b. El número telefónico solo puede tener siete dígitos iguales. c. El número telefónico es de siete dígitos, pero el primer dígito solo puede ser 2, 3 ó 6. d. El número telefónico es de cinco dígitos diferentes. • En cada caso, pida al estudiante correspondiente que justifique el proceso de solución que proponga. • • Pida a los estudiantes que formen grupos de cinco • para realizar la siguiente actividad: Cada estudiante pone sobre el escritorio un cuaderno de una materia. Por ejemplo, español, matemáticas, ciencias, sociales y artes. Luego, un estudiante del grupo ordena los cinco cuadernos de la manera que él elija y escribe en su cuaderno el orden que eligió. Los otros cuatro estudiantes realizan el mismo procedimiento. Luego, deben determinar si las cinco posibilidades que propusieron son las únicas formas de ordenar los cuadernos. Al final, deben concluir que hay muchas más posibilidades de ordenar los cuadernos y proponer una estrategia para encontrar todas las posibilidades. • • Pida a los estudiantes que determinen para cada evento si: • es muy probable — es seguro • es poco probable — es imposible Evento 2 Evento 1 Escoger un dulce de fresa Sacar un trébol entre siete cartas en un tarro donde hay únicamente que son cuatro tréboles y tres picas. dulces de limón. Evento 3 Evento 4 Que la temperatura en Cartagena Escoger una balota blanca de una sea de 15 8C. bolsa de balotas blancas.