Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Plantel Azcapotzalco Integrantes: • Paniagua Sánchez Yosef Uriel • Gonzales Cruz Irvin Jair • Fuentes Ramírez-España Iker Miguel I. II. III. TEOREMA DE ROLLE. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. MÁXIMOS Y MÍNIMOS, PUNTO CRÍTICO Y PUNTO DE INFLEXIÓN. JUSTIFICACIÓN Esta investigación se realizó debido a que es necesario el conocimiento de los siguientes temas ya que los aplicaremos en nuestra carrera como ingenieros, desde calculando una función para realizar actividades de forma precisa, con el mínimo error y el mayor beneficio o éxito posible. • Misión: Por medio de un pequeño resumen, la historia, el desarrollo y ejercicios se expondrán los temas para aumentar el conocimiento de los alumnos. • Visión: Se pretende hacer esto para que puedan aplicar lo aprendido de distintas maneras en su desempeño laboral como ingenieros en las distintas ramas científicas. I. TEOREMA DE ROLLE. INTRODUCCIÓN. • Fue establecido en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719). • El teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo. OBJETIVO GENERAL. OBJETIVOS PARTICULARES. • Ampliar los conocimientos de calculo, conocer plenamente • Entender las condiciones que se requieren los conceptos necesarios para que se pueda cumplir el Teorema de para el uso e interpretación Rolle. del Teorema de Rolle, que posteriormente se aplicará en calculo diferencial e integral. • Entender el Teorema mediante los ejercicios o problemas que se presenten. ANTECEDENTES Las primeras referencias que se tienen de este teorema se remiten a Bhaskara (1114-1185) y su libro Siddhanta Shiromani. A partir de los trabajos de su predecesor Manjula (ca 930 a.C.) que había llegado a obtener relaciones del tipo sen w – sen w’ = (w – w’ ) cos w’ Bhaskara llegó a deducir que el seno y el coseno mantienen una relación del tipo que hoy indicamos como “derivada” una de la otra. A partir de aquí llegó a la conclusión de que cuando la ecuación de un planeta está en su punto más distante o en su punto más próximo a la tierra, la ecuación del centro se anulaba y también obtuvo que para una cierta posición intermedia, la ecuación “diferencial” de la ecuación del centro se anula. Esta es en sí la primera expresión que se realiza de este teorema (Gheverghese, 1996). Si bien es cierto que no existía un cálculo diferencial propiamente dicho, sino una interesante aproximación al mismo. Posterior a esta expresión no se encuentran más indicaciones de este resultado hasta la versión ofrecida por el propio Michel Rolle (1652, 1719) que lo expone en su Traité d’algèbre publicado en 1690, aunque en el mismo no aportó una prueba convincente del mismo. La intención real de Rolle era dar un método para localizar las raíces de un polinomio de cualquier grado. Un asunto de gran interés en la época. A pesar de que el libro tuvo una gran aceptación, Rolle fue objeto de grandes críticas, según señala Smith (Smith, 1959, pp 253-260), por no incluir demostración alguna de este resultado. Rolle se vio obligado a publicar en 1991 un pequeño opúsculo Démonstration d’une Methode pour resoudre les égalitez de tous les degrez;… donde incluye la demostración de su método de cascadas. La primera vez que se encuentra este teorema en un tratado relacionado con el Cálculo es de la mano de Leonhard Euler (1707-1783) en 1755 cuando incluye una versión del Teorema en Institutiones calculi differentialis (Euler,1755, 657–660). El teorema sigue apareciendo dentro de un contexto de resolución de ecuaciones, pero ahora por primera vez aparece expresado en términos del lenguaje del cálculo. Dado que entre dos raíces reales cualesquiera de la ecuación z = 0 este es uno de los casos, la función z alcanza un máximo o mínimo, se deduce que si la ecuación z = 0 tiene dos raíces reales, entonces la ecuación ±dz dx = 0 tiene necesariamente una raíz real. Igualmente, si la ecuación z = 0 tiene tres raíces reales, entonces la ecuación ±dz dx = 0 sin duda tiene dos raíces reales. Y, en general, si la ecuación z = 0 tiene m raíces reales, la ecuación ±dz dx = 0 necesariamente tiene por lo menos (m - 1) raíces. Esta presentación del Teorema de Rolle por Euler es bastante diferente de la de sus predecesores. Por un lado, por primera vez, con la ayuda del cálculo, no necesita del método de las cascadas, aunque sí se sigue manteniendo en el contexto de las ecuaciones polinómicas. La siguiente versión, bastante más abreviada la encontramos en el Traité de la résolution des équations numériques… de Joseph Louis Lagrange (1736-1813): En primer lugar está claro que la ecuación F(x) = 0 de grado m tendrá m raíces reales y que la ecuación F’(x) = 0 de grado m - 1 necesariamente tendrá m - 1 raíces reales, ya que entre dos raíces reales consecutivas de la ecuación F(x) = 0, siempre hay una raíz real de la ecuación F’(x) = 0. ENUNCIADO: Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b], derivable sobre el intervalo abierto (a, b) y f(a)= f(b), entonces: existe al menos un punto c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f`(c)= 0. DESARROLLO: CONCLUSIÓN: En el teorema de rolle tiene como finalidad demostrar que en una función ¨f (X)¨ la cual tiene intervalo[a, b] que pueden derivables y que en un punto de x siempre la función equivaldrá a o. II. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. INTRODUCCIÓN. • La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x). OBJETIVO GENERAL. OBJETIVOS PARTICULARES. • Conocer y entender las derivadas de orden superior • Entender las condiciones que se requieren para ampliar los para que se puedan cumplir las derivadas conocimientos de calculo de orden superior. diferencial. • Entender el orden de las derivadas. ANTECEDENTES La regla del producto y la regla de la cadena, la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor, y las funciones analíticas fueron introducidas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que usó para resolver problemas de física matemática. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada que es la tierra por los polos, así como a muchos otros problemas, los cuales discutió en Principia mathematica. En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales. Fue claro que Newton entendía los principios de las series de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos. En su tiempo los sistemas infinitesimales eran considerados como reprochables. Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien fue originalmente acusado de plagio por Newton. Es ahora reconocido como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este. Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos. ORDEN DE DERIVADA: DESARROLLO: 𝐹 𝑥 = 𝑥 5 + 24𝑥 2 + 1 4 𝑓` (X)=5𝑥 + 48𝑥 𝑓¨ 𝑋 = 20𝑥 3 + 48 𝑓¨` (X)=60𝑥 2 𝑓¨¨ 𝑋 = 120𝑥 𝑓¨¨` (X)= 120 CONCLUSIÓN: Las derivadas de orden superior son muy importantes ya que gracias a ellas podemos llegar a minimizar la función , hasta incluso llegar a compararla a 0, mediante la derivación de la misma. III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS, PUNTO CRÍTICO Y PUNTO DE INFLEXIÓN. INTRODUCCIÓN. Los máximos y mínimos de una función, conocidos también como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). El punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. Un punto de inflexión, es un punto donde los valores de una función continua en x pasando de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. La segunda derivada de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. OBJETIVO GENERAL. OBJETIVOS PARTICULARES. • Al terminar el alumno será • Aplicar el concepto de máximos y capaz de usar la derivada mínimos en graficas, problemas de para resolver problemas de optimización e identificarlos problemas de máximos y geométricamente. mínimos, puntos críticos y puntos de inflexión. • Entender y aplicar los puntos críticos y puntos de inflexión en calculo diferencial e integral. ANTECEDENTES En el siglo XVII, en 1636, Pierre Fermat desarrolla el primer método general para la determinación de máximos y mínimos, en la memoria Methodus ad disquirendam maximan et miniman (Método para investigar máximos y mínimos), se trata de un procedimiento puramente algorítmico desprovisto de todo fundamento demostrativo, en el cual Fermat introduce la técnica de adigualdad, que había sido empleada por Diofanto en la Escuela de Alejandría. Presentaba la idea de dar un incremento a cierta magnitud, la cual tomaba así el aspecto de una variable. PARTE DE LA MEMORIA DEL METHODUS "Toda la teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente: • 1. Sea "a" una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado). • 2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de "a" en términos que pueden ser de cualquier grado. • 3. Se sustituirá a continuación la incógnita original "a" por " a+e", y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de "a" y "e", en términos que pueden ser de cualquier grado. • 4. Se "adigualarán", para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima. • 5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de "e" o de una de sus potencias. • 6. Se dividirán todos los términos por "e", o por alguna potencia superior de "e", de modo que desaparecerá la "e" de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros. • 7. Se suprimirán a continuación todos los términos donde todavía aparece la "e" o una de sus potencias y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada se igualarán, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo. • 8. La resolución de esta última ecuación dará el valor de "a", que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original." La idea de "hacer adiguales" dos expresiones, como las mencionadas en la etapa 4 de la regla anterior, proviene de Diofanto. Boyer entiende la "adigualdad" como una pseudo-igualdad que llega a ser igualdad cuando E se hace cero, e introduce el vocablo inglés pseudo-equality para traducir el término latino adaequalitas, que es el usado por Fermat en su texto. Andersen, por su parte, interpreta "hacer adiguales" dos expresiones con el significado de hacerlas tan aproximadamente iguales como sea posible. En caso del punto de inflexión, Fermat estableció: Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el punto c, entonces f '(c) = 0. DESARROLLO. f(x) = x³ − 3x + 2 f'(x) = 3x² − 3 = 0 x=−1 Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0 Máximo f''(1) = 6 > 0 Mínimo f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0) x=1 f(x) = 3x - 𝑥 3 f'(x) = 3 - 3x² f’(x) = 0 x = − 1 Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = 6 > 0 f''(1) = 6 < 0 Mínimo Máximo f(−1) =3 * (-1) - (−1)³ = -2 f(1) =3 * 1 -1³= 0 Máximo(-1, -2) Mínimo(1, 2) x=1 CONCLUSIÓN. • Los máximos y mínimos son de gran importancia en la vida ya que sin darnos cuenta los utilizamos cotidianamente algunas veces, un problema de manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un método ya sea en aéreas , volúmenes ; distancia ,tiempo , costos o bien en ganancias Por otra parte se usa para la obtener de los máximos y mínimos de funciones no lineales restringidas y no restringidas, en los que se hace uso del cálculo diferencial. Los máximos y mínimos son de gran y importancia en cuanto ahorro de dinero, tiempo, y materiales los podemos utilizar en casa y trabajos ya sea en empresas. BIBLIOGRAFÍA. • Orígenes y Evolución del Teorema de Rolle Carlos O. Suárez Alemán • El método de máximos y mínimos de Fermat Andrés de la Torre Gómez / Carlos Mario Suescún Arteaga / Sergio Alberto Alarcón Vasco