PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES Y CONTROL DE PROYECTOS CPM Y PERT Introducción Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y sub-componentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. Introducción La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado. Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos. El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto. Introducción Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos. Introducción El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas. Introducción Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos. Antecedentes Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial. Antecedentes El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible. Antecedentes Definición: El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo. Usos: El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: Antecedentes a) Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b) Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c) Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible. Antecedentes Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc. Diferencias entre PERT y CPM Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados. Diferencias entre PERT y CPM La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados: El estimado de tiempo más probable, m; 2. El estimado de tiempo más optimista, a; 3. El estimado de tiempo más pesimista, b. 1. Diferencias entre PERT y CPM La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores. Diferencias entre PERT y CPM Diferencias entre PERT y CPM Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación. a 4m b Te ( Z ) 6 ba (Z ) 6 Diferencias entre PERT y CPM El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente. En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos. Métodos CPM y PERT Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, critical path method) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa, program evaluation and review technique) se basan en diagramas, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades. En la figura siguiente se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia y sus necesidades de tiempo. Métodos CPM y PERT Fases de aplicación de un proyecto con CPM o PERT Métodos CPM y PERT A continuación, el proyecto se traduce en un diagrama que muestre las relaciones de precedencia entre las actividades. El tercer paso implica cálculos específicos de diagramas, que forman la base del desarrollo del programa del proyecto en función del tiempo. Métodos CPM y PERT Durante la ejecución del proyecto, podría no cumplirse el programa que estaba planeado, causando que algunas de las actividades se adelanten o se atrasen. En este caso será necesario actualizar el programa para que refleje la realidad. Esta es la razón de incluir un bucle, lazo o ciclo de retroalimentación entre la fase de programa y la fase de diagrama, como se ve en la figura anterior. Métodos CPM y PERT Las dos técnicas CPM y PERT, que se desarrollan en forma independiente, difieren en que el CPM se supone duraciones determinísticas de actividad, mientras que el PERT se suponen duraciones probabilísticas. Esta presentación comenzara con el CPM y después se presentaran los detalles del PERT. Modelaje de sistemas CPM/PERT Para aplicar el CPM/PERT a un proyecto, se requiere comprender completamente la estructura y requisitos del mismo. El esfuerzo que se gaste para identificar la estructura del proyecto es de gran valor para la compresión de este. En particular, se deben contestar cuatro preguntas para empezar el procedimiento de modelaje: Modelaje de sistemas CPM/PERT 1. 2. 3. 4. ¿Cuáles son las actividades que el proyecto requiere? ¿Cuáles son los requisitos de secuenciación o restricciones de estas actividades? ¿Qué actividades pueden realizarse simultáneamente? ¿Cuáles son los tiempos estimados para cada actividad? Modelaje de sistemas CPM/PERT El primer paso para construir la diagrama CPM/PERT consiste en hacer una lista de cada una de las actividades y de las actividades que inmediatamente las debe preceder. Para la pregunta 4, la duración de los tiempos estimados (días, semanas, horas, etc.) de cada actividad se establece de acuerdo al rendimiento de la mano de obra y del número de obreros asignados a cada actividad. Diagrama de actividades tipo red Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos del diagrama establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto. Regla 1: Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo. Regla 2: Cada actividad se debe identificar con dos nodos diferentes. Diagrama de actividades tipo red La figura siguiente muestra como se puede usar una actividad ficticia para representar dos actividades concurrentes, A y B. Por definición, la actividad ficticia, que normalmente se representa con un arco de línea interrumpida, no consume tiempo o recursos. La inserción de una actividad ficticia en una de las cuatro formas que se ven en la figura 8.2, mantiene la concurrencia de A y B, y también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para satisfacer la regla 2) Diagrama de actividades tipo red Red A A B 1 1 2 2 B A 2 B 3 1 3 1 B A A 3 3 B 2 Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B Diagrama de actividades tipo red Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las siguientes preguntas cuando se agrega a la diagrama cada actividad. ¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual? ¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual? ¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultanea con la actividad actual? Diagrama de actividades tipo red Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias, para asegurar las precedencias correctas entre las actividades. Por ejemplo, considere al siguiente segmento de un proyecto. 1. La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B. 2. La actividad E se inicia después de que solo termino la actividad B. Diagrama de actividades tipo red La 1ª parte de la figura siguiente muestra la representación incorrecta de esta relación de precedencia, porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la 2ª parte se corrige la situación con el uso de la actividad ficticia. Diagrama de actividades tipo red Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta Ejemplo: Las zapatas de cimentación de un edificio se pueden terminar en cuatro secciones conectadas. Las actividades de cada sección comprenden: 1º Excavación 2º Colocación de acero 3º Colocado del Hormigón No puede comenzar la excavación de una sección, sino hasta haber terminado la de la sección anterior. Esta misma restricción se aplica a la colocación del hormigón. Formule el diagrama del proyecto. Ejemplo (Resolución): Ejemplo: Las actividades de la tabla siguiente describen la construcción de una casa nueva. Formule la diagrama asociada al proyecto. Para este ejemplo se tomaron valores alcanzados de la experiencia de la construcción de una casa pequeña Ejemplo: Actividad A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T Instalación de faenas Llevar servicios al sitio Excavar Vaciar cimientos Plomería exterior Muro de mampostería Instalación eléctrica Contrapiso Armar el techo Plomería interior Cubierta Recubrimiento aislante exterior Instalar ventanas y puertas exteriores Poner ladrillo Aislar paredes y techos Revoque interior Cielo raso Acabados interiores Acabados exteriores Limpieza y retiro de escombro Predecesor (es) Duración (Días) — — A C B, C D F G F E, H I 1 2 1 2 6 10 3 1 1 5 2 F, J 1 F 2 L, M G, J O I, P P I, N 4 2 2 1 7 7 S 3 Ejemplo: La figura siguiente muestra el diagrama que describe las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades. Con las actividades ficticias (líneas segmentada), se obtienen nodos finales únicos para las actividades de concurrentes. La numeración de los nodos se hace en forma que indique el avance en el proyecto. Ejemplo: K-2 7 I- S- 7 18 5 11 12 P-2 13 3 19 14 Q-1 -2 E-6 17 T- O-2 B 10 4 N-4 L-1 9 H-1 5 J- F - 10 -1 A C-1 D-2 -3 3 16 G 1 1 M-2 6 2 8 R-7 15 Ruta crítica (CPM) El resultado final del CPM es la formulación o construcción del programa del proyecto. Para lograr este objetivo en una forma adecuada, se hacen cálculos especiales con los que se obtiene la siguiente información. 1. 2. Tiempo total necesario para terminar el proyecto. Clasificación de las actividades del proyecto en críticas y no críticas. Calculo para la ruta crítica (CPM) Para efectuar los cálculos necesarios, se define lo siguiente: j = Tiempo más temprano de ocurrencia del evento j. Δj = Tiempo más tardío de ocurrencia del evento j. Dij =Duración de la actividad (i, j). Las definiciones de los tiempos más temprano y más tardío del evento j se especifican en relación con las fechas de inicio y terminación de todo el proyecto. Calculo para la ruta crítica (CPM) Los cálculos de la ruta crítica implican dos pasos: Paso hacia delante, determina los tiempos más tempranos o de ocurrencia de los eventos, y el Paso hacia atrás, calcula sus tiempos más tardíos de ocurrencia. Paso hacia delante (tiempos más tempranos de ocurrencia o tiempos más próximos, de ocurrencia, ). Los cálculos se inician en el nodo 1 (inicio) y avanzan en forma intuitiva hasta el nodo final n. Calculo para la ruta crítica (CPM) Paso Inicial: Poner 1(inicio) = 0, para indicar que el proyecto se inicia cuando el tiempo es 0. Paso general j: Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados directamente con el nodo j por las actividades de entrada (p, j), (q, j),…, (v, j) y que los tiempos más tempranos de ocurrencia de los eventos (nodos) p, q, …, y v ya se han calculado, entonces se calcula el tiempo más temprano de ocurrencia del evento j como sigue: j = máx {p + Dpj, q + Dqj,…….., v + Dvj} El paso hacia delante se termina cuando se calcula n(final) en el nodo n. Por definición, j representa la ruta (duración) más larga al nodo j. Calculo para la ruta crítica (CPM) Paso hacia atrás (tiempos más tardíos de ocurrencia o tiempos más lejanos, de ocurrencia, Δ). Después de terminar el paso hacia delante, los cálculos del paso hacia atrás comienzan en el nodo n y terminan en el nodo 1. Calculo para la ruta crítica (CPM) Paso Inicial: Poner Δn(final) = n(final), para indicar que las ocurrencias más temprano y más tardío del ultimo nodo en el proyecto son iguales. Paso General j: Dado que los nodos p, q, …, y v están enlazados en forma directa con el nodo j por actividades de salida (j, p), (j, q),…, (j, v) y que ya se calcularon los tiempos más tardíos de los nodos p, q, …, y v, el tiempo tardío del nodo j se calcula como sigue: Δj = mín {Δp – Djp, Δq – Djq,…….., Δv – Djv El paso hacia atrás se termina cuando se calcula Δ1. Calculo para la ruta crítica (CPM) Con base en los cálculos anteriores, una actividad (i, j) será crítica si satisface tres condiciones: Δi = i Δj = j Δj – Δi = j – i = Dij Las tres condiciones indican que los tiempos más tempranos y más tardíos de ocurrencia de los nodos i y j son iguales, y que la duración Dij se ajusta exactamente al intervalo especificado de tiempo. Una actividad que no satisface las tres condiciones es no crítica. Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Determinar la ruta crítica para el diagrama del proyecto de la figura. Todas las duraciones están en días. K-2 7 I- S- 7 18 5 11 12 P-2 13 3 19 14 Q-1 -2 E-6 17 T- O-2 B 10 4 N-4 L-1 9 H-1 5 J- F - 10 -1 A C-1 D-2 -3 3 16 G 1 1 M-2 6 2 8 R-7 15 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución Paso hacia delante. Nodo 1. Hacer o definir 1 = 0 Nodo 2. 2 = 1 + D12 = 0 + 1 = 1 Nodo 3. 3 = 2 + D23 = 1 + 1 = 2 Nodo 4. 4 = máx. {1 + D14, 3 + D34}= máx. {0 + 2, 2 + 0}= máx. {2, 2} = 2 Nodo 5. 5 = 3 + D35 = 2 + 2 = 4 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 6. 6 = 5 + D56 = 4 + 10 = 14 Nodo 7. 7 = 6 + D67 = 14 + 1 = 15 Nodo 8. 8 = 7 + D78 = 15 + 2 = 17 Nodo 9. 9 = 6 + D69 = 14 + 3 = 17 Nodo 10. 10 = máx. {4 + D4-10, 9 + D9-10}= máx. {2 + 6, 17 + 1} = máx. {8, 18} = 18 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 11. 11 = máx. {6 + D6-11, 9 + D9-11, 10 + D10-11} = máx. {14 + 0, 17 + 0, 18 + 5}= máx. {14, 17, 23} = 23 Nodo 12. 12 = 11 + D11-12 = 23 + 2 = 25 Nodo 13. 13 = {7 + D7-13, 12 + D12-13}= máx. {15 + 0, 25 + 2} = máx. {15, 27} = 27 Nodo 14. 14 = 13 + D13-14 = 27 + 1 = 28 Nodo 15. 15 = 13 + D13-15 = 27 + 7 = 34 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 16. 16 = máx. {6 + D6-16, 11 + D11-16}= máx. {14 + 2, 23 + 1} = máx. {16, 24} = 24 Nodo 17. 17 = máx. {7 + D7-17, 16 + D16-17}= máx. {15 + 0, 24 + 4} = máx. {15, 28} = 28 Nodo 18. 18 = 17 + D17-18 = 28 + 7 = 35 Nodo 19. 19 = máx. {8 + D8-19, 14 + D14-19, 15 + D15-19, 18 + D1819} = máx. {17 + 0, 28 + 0, 34 + 0, 35 + 3} = máx. {17, 28, 34, 38} = 38 Los cálculos indican que se puede acabar en 38 días. Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Paso hacia atrás. Nodo 19. Hacer o definir Δ19= 19 = 38 Nodo 18. Δ18 = Δ19 – D18-19 = 38 – 3 = 35 Nodo 17. Δ17 = Δ18 – D17-18 = 35 – 7 = 28 Nodo 16. Δ16 = Δ17 – D16-17 = 28 – 4 = 24 Nodo 15. Δ15 = Δ19 – D15-19 = 38 – 0 = 38 Nodo 14. Δ14 = Δ19 – D14-19 = 38 – 0 = 38 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 13. Δ13 = mín {Δ14 – D13-14, Δ15 – D13-15} = mín {38 – 1, 38 – 7}= mín {37, 31}= 31 Nodo 12. Δ12 = Δ13 – D12-13 = 31 – 2 = 29 Nodo 11. Δ11 = mín {Δ12 – D11-12, Δ16 – D11-16} = mín {29 – 2, 24 – 1}= mín {27, 23}= 23 Nodo 10. Δ10 = Δ11 – D10-11 = 23 – 5 = 18 Nodo 9. Δ9 = mín {Δ10 – D9-10, Δ11 – D9-11} = mín {18 – 1, 23 – 0} = mín {17, 23} = 17 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 8. Δ8 = Δ19 – D8-19 = 38 – 0 = 38 Nodo 7. Δ7 = mín {Δ8 – D7-8, Δ13 – D7-13, Δ17 –D7-17} = mín {38 – 2, 31 – 0, 28 – 0}= mín {36, 31, 28}= 28 Nodo 6. Δ6 = mín {Δ7 – D6-7, Δ9 – D6-9, Δ11 – D6-11, Δ16 – D6-16} = mín {28 – 1, 17 – 3, 23 – 0, 24 – 2}= mín {27, 14, 23, 22}= 14 Nodo 5. Δ5 = Δ6 – D5-6 = 14 – 10= 4 Nodo 4. Δ4 = Δ10 – D4-10 = 18 – 6= 12 Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Nodo 3. Δ3 = mín {Δ4 – D3-4, Δ5 – D3-5} = mín {12 – 0, 4 – 2}= mín {12, 2}= 2 Nodo 2. Δ2 = Δ3 – D2-3 = 2 – 1= 1 Nodo 1. Δ1 = mín {Δ2 – D1-2, Δ4 – D1-4} = mín {1 – 1, 12 – 2}= mín {0, 10}= 0 Si los cálculos fueron correctos, siempre terminaran con Δ1 = 0. Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Los cálculos en los pasos hacia delante y hacia atrás se resumen en una figura. Las reglas para determinar las actividades críticas indican que la ruta crítica es 1→2→3→5→6→9→10→11→16→17→18→19, que abarca la diagrama desde el inicio (nodo 1) hasta el fin (nodo 19). La suma de las duraciones de las actividades críticas [(1,2), (2,3), (3,5), (5,6), (6,9), (9,10), (10,11), (11,16), (16,17), (17,18), (18,19)] es igual a la duración del proyecto (= 38 días). Calculo para la ruta crítica (CPM) Ejemplo: Resolución (Continuación) Observe que la actividad (6,11), (6,16) y (9,11) satisfacen las dos primeras condiciones para que la actividad sea crítica Δ6 = 6 = 14, Δ11 = 11 = 23, pero Δj – Δi = j – i = Dij 23 – 14 = 23 – 14 = 0 Δ6 = 6 = 14, Δ16 = 16 = 24, pero Δj – Δi = j – i = Dij 24 – 14 = 24 – 14 = 2 Δ9 = 9 = 17, Δ11 = 11 = 23, pero Δj – Δi = j – i = Dij 23 – 17 = 23 – 17 = 0. Por consiguiente, esas actividades no son críticas. Calculo para la ruta crítica (CPM) Leyenda Paso hacia adelante 28 15 Paso hacia atrás: 9 -2 4 17 17 11 10 12 18 18 29 25 E-6 12 2 17 8 35 35 S- 7 18 T- 23 23 P-2 3 Inicio del paso hacia atrás 38 28 19 14 13 31 27 38 38 Fin del paso hacia adelante Q-1 4 4 N-4 L-1 16 O-2 F - 10 D-2 M-2 5 28 28 24 24 5 3 1 J- 6 I- H-1 22 C-1 -1 A 14 14 B Inicio del paso hacia adelante 1 1 -3 2 2 1 K-2 7 G Fin del paso hacia atrás 0 0 j i Ruta critica 38 17 R-7 15 38 34 Construcción del cronograma preliminar Se indica como se puede usar la información obtenida con los cálculos para desarrollar el programa de tiempo, o cronograma. Se reconoce que i representa el tiempo más temprano de iniciación de una actividad (i, j), y que Δj representa el tiempo más tardío de terminación. Esto quiere decir que (i, Δj) limita el intervalo máximo de tiempo durante el cual se puede programar la actividad (i, j). Construcción de un cronograma preliminar. Se ilustrara con un ejemplo el método para construir un cronograma preliminar. Construcción del cronograma preliminar Ejemplo: Determinar el cronograma para el proyecto del ejemplo anterior. Se puede tener un cronograma preliminar para las distintas actividades del proyecto poniendo sus intervalos de tiempo respectivos como se ve en la figura. Es necesario hacer dos observaciones. Las actividades críticas (representadas por las líneas llenas) se deben programar una inmediatamente después de la otra, para asegurar que el proyecto se termine en la duración especificada de 38 días. Las actividades no críticas (representadas por líneas segmentadas) abarcan intervalos que tienen duraciones mayores y que por tanto permiten holguras en su programación dentro de sus intervalos asignados. Construcción del cronograma preliminar Ejemplo: Determinación de holguras Son las holguras de tiempo disponibles dentro del intervalo asignado para la actividad no crítica. Las dos más comunes son la holgura total y la holgura libre. Interpretación Práctica: Holgura total: Representa el número de unidades de tiempo de que disponemos para retrasar el comienzo de la actividad o aumentar la duración de la actividad sin alterar los tiempos límite u en principio la programación. Determinación de holguras Holgura libre: Representa el número de unidades de tiempo de que disponemos para retrasar el comienzo de la actividad o aumentar la duración de la actividad sin alterar el comienzo de las siguientes. Holgura independiente: Refleja las unidades disponibles para que habiéndose alcanzado un suceso en el tiempo límite pasemos al tiempo lo más pronto posible del suceso siguiente. i Determinación de holguras En la siguiente figura se ve un resumen adecuado para calcular la holgura total (TFij) y la holgura libre (FFij) de la actividad (i, j). la holgura total es el exceso del intervalo de tiempo definido por el tiempo más temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo más tardío de ocurrencia del evento j en la duración de (i, j); esto es: i TFij j Dij Determinación de holguras Calculo de las holguras totales y libres Determinación de holguras La holgura libre es el exceso del intervalo de tiempo definido desde el tiempo más temprano de ocurrencia del evento i hasta el tiempo más temprano de ocurrencia del elemento j durante la duración de (i, j); esto es: FFij = j – i - Dij Por definición: Ffij <= TF ij Determinación de holguras Regla de la bandera roja, para una actividad (i, j) no crítica: a) Si FFij = TFij, entonces se puede programar la actividad en cualquier lugar dentro de su intervalo ( i, j) sin causar conflicto con el programa. b) Si FFij < TFij, entonces el inicio de la actividad (i, j) se puede demorar cuando mucho hasta FFij a partir de su tiempo más temprano de inicio ( i) sin causar conflicto con el programa. Toda demora mayor que FFij (pero no mayor que TFij) se debe acompañar por una demora igual a partir de j en el tiempo de iniciación de todas las actividades que salen del nodo j. Determinación de holguras La implicación de la regla es que una actividad (i, j) no crítica tendrá bandera roja si su FFij < TFij. Esta bandera roja solo importa si se decide demorar el inicio de la actividad respecto a su tiempo temprano de inicio i, en cuyo caso se debe poner atención a los tiempos de inicio de las actividades que salen del nodo j, para evitar conflictos en el programa. Determinación de holguras Ejemplo: Calcular las holguras de las actividades no críticas del diagrama en el ejemplo anterior (CPM), y describir su uso en la finalización de un cronograma para el proyecto. La tabla siguiente resume los cálculos de las holguras totales y libres. Conviene más hacer los cálculos en forma directa sobre el diagrama, usando el procedimiento grafico dado en la teoría. Determinación de holguras Ejemplo: Actividad no crítica B 1→4 FIC 3→4 I 6→7 FIC 6 → 11 M 6 → 16 K 7→8 FIC 7 → 13 FIC 7 → 17 FIC 8 → 19 FIC 9 → 11 O 11 → 12 P 12 → 13 Q 13 → 14 R 13 → 15 FIC 14 → 19 FIC 15 → 19 Duración 2 0 1 0 2 2 0 0 0 0 2 2 1 7 0 0 Holgura total (TF) 12 – 0 – 2 = 10 12 – 2 – 0 = 10 28 – 14 – 1 = 13 23 – 14 – 0 = 9 24 – 14 – 2 = 8 38 – 15 – 2 = 11 31 – 15 – 0 = 16 28 – 15 – 0 = 13 38 – 17 – 0 = 21 23 – 17 – 0 = 6 29 – 23 – 2 = 4 31 – 25 – 2 = 4 38 – 27 – 1 = 10 38 – 27 – 7 = 4 38 – 28 – 0 = 10 38 – 34 – 0 = 4 Holgura libre (FF) 2–0–2=0 2–2–0=0 15 – 14 – 1 = 0 23 – 14 – 0 = 9 24 – 14 – 2 =8 17 – 15 – 2 = 0 27 – 15 – 0 = 12 28 – 15 – 0 = 13 38 – 17 – 0 = 21 23 – 17 – 0 = 6 25 – 23 – 2 = 0 27 – 25 – 2 = 0 28 – 27 – 1 = 0 34 – 27 – 7 = 0 38 – 28 – 0 = 10 38 – 34 – 0 = 4 Determinación de holguras Ejemplo: Los cálculos ponen bandera roja en las actividades B (1,4), FIC (3,4), I (6,7), K (7,8), FIC (7,13), O (11,12), P (12,13), Q (13,14) y R (13,15), porque sus FF < TF. Las actividades restantes FIC (6,11), M (6,16), FIC (7,17), FIC (8,19), FIC (9,11), FIC (14,19) y FIC (15,19), tienen FF = TF, por lo que se pueden programar en cualquier momento entre su inicio más temprano y su terminación más tardía. En cuanto a la actividad I con bandera roja, se ve que FF = 0. Eso quiere decir que cualquier demora en el inicio de I después de su tiempo más temprano de inicio (= 14) se debe acoplar con una demora al menos igual en el inicio de sus actividades posteriores E y F. REDES PERT En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza, claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es valido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria de la que conocemos su ley de distribución (Distribución ); se consideran tres clases de tiempos estimados: REDES PERT 1. Tiempo Optimista “a”, es el que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran, donde se supone que la ejecución va extremadamente bien. En la mayoría de los casos la probabilidad de realizar la actividad en este tiempo es pequeña. REDES PERT 2. Tiempo más probable “m”, donde se supone que la ejecución se hace bajo condiciones normales. Esta estimación debe tener en cuenta las circunstancias normales, considerando algunos retrasos debidos a imprevistos, y debe estar basada en la mejor información de que pueda disponerse. REDES PERT 3. Tiempo pesimista “b”, es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc. donde se supone que la ejecución va extremadamente mal. la probabilidad de realizar la actividad en este tiempo es grande. REDES PERT En la siguiente figura se muestra la localización ideal de estas tres estimaciones con respecto a la distribución de probabilidad. Se hacen dos suposiciones para convertir m, a y b en estimaciones del valor esperado Te y la varianza ν = σ2 del tiempo que requiere la actividad. REDES PERT Suposición 1: la distribución entre a y b es 6 desviaciones estándar, es decir, 6σ = b – a. En consecuencia, la varianza del tiempo de una actividad es 1 b a 6 El razonamiento para hacer esta suposición es que se considera que las colas de muchas distribuciones de probabilidad (como en la distribución normal) están más o menos a 3 desviaciones estándar de la media, de manera que existe una dispersión de alrededor de 6 desviaciones estándar entre las colas. 2 2 REDES PERT Para obtener la estimación del valor esperado Te, también es necesaria una suposición sobre la forma de la distribución de probabilidad. Suposición 2: la distribución de probabilidad de cada actividad es (al menos aproximadamente) una distribución beta . Este tipo de distribución tiene la forma que se mostró en la figura anterior, con una sola moda (m) y dos puntos terminales (a y b), en donde se supone que 0 ≤ a ≤ b. Así, se ajusta bien a las definiciones de los tres tiempos estimados, y da una forma razonable para la distribución de los tiempos de las actividades. REDES PERT Bajo estas suposiciones, el valor esperado del tiempo de una actividad es aproximadamente 1 1 Te 2m a b 3 2 REDES PERT Note que el medio del intervalo (a+b)/2 se encuentra a la mitad entre a y b, de manera que Te es la media aritmética ponderada de la moda y la mitad del intervalo, con un peso de dos tercios para la moda. Aunque la suposición de una distribución beta es arbitraria, sirve para el propósito de localizar el valor esperado respecto a m, a y b de una manera razonable. Con base en los estimados (o estimaciones), el tiempo promedio de duración , estará en el intervalo [a, b] y su varianza , de acuerdo a la distribución que se calculan como sigue: REDES PERT a 4m b D 6 cálculos de ruta crítica ba v 6 2 Los (CPM) que se describieron anteriormente se puede aplicar en forma directa, sustituyendo la estimación única D por . D Ahora es posible estimar la probabilidad de que un nodo j en la diagrama suceda en un tiempo programado especificado con anterioridad, Sj. Sea ej el tiempo más temprano de ocurrencia del nodo j. como las duraciones de las actividades que van del nodo de inicio al nodo j son variables aleatorias, ej también debe ser una variable aleatoria. REDES PERT Suponiendo que todas las actividades en la diagrama sean estadísticamente independientes, se puede determinar la media E{ej}, y la varianza, var{ej} como sigue, si solo hay una ruta desde el nodo de inicio hasta el nodo j, la media es la suma de las duraciones esperadas , para todas las actividades a lo largo de esa ruta, y la D varianza es la suma de las varianza u de las mismas actividades. Por otra parte, si hay más de una ruta que llegue al nodo j, será necesario calcular primero la distribución estadística de la duración de la ruta más larga, antes de calcular la media y la varianza correctas. REDES PERT Este problema es bastante difícil, por que equivale a determinar la distribución del máximo de varias variables aleatorias. Por consiguiente, una hipótesis simplificadora es calcular la media y la varianza, E{ej} y var{ej}, como el de la ruta al nodo j que tenga la suma mayor de duraciones esperadas de las actividades. Si hay dos o más rutas que tienen la misma media (o promedio), se selecciona la que tenga la varianza mayor, por que refleja la máxima incertidumbre y en consecuencia conduce a un estimado más conservador de las probabilidades. REDES PERT Una vez calculados la media y la varianza E{ej} y var{ej} de la ruta al nodo j, la probabilidad que se realice el nodo j a un tiempo Sj preestablecido, se calcula con la siguiente formula: e j Ee j S j Ee j Pe j S j P Pz K j var e j var e j En donde z = Variable aleatoria normal estándar Kj S j Ee j var e j REDES PERT Ejemplo: Se tiene el proyecto del ejemplo de CPM. Para evitar repetir los cálculos de ruta crítica, se seleccionaron los valores de a, m y b en la tabla siguiente, de tal modo que Dij = Dij para toda i y j en el ejemplo mencionado. REDES PERT Ejemplo: (Continuación) Actividad i-j A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 1-2 1-4 2-3 3-5 4-10 5-6 6-9 9-10 6-7 10-11 7-8 11-16 6-16 16-17 11-12 12-13 13-14 13-15 17-18 18-19 Optimista (a) 1 1 1 1 4 8 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 5 5 1 Más probable (m) 1 2 1 2 6 10 3 1 1 5 2 1 2 4 2 2 1 7 7 3 Pesimista (b) 3 4 3 4 8 12 5 3 3 8 4 3 4 6 4 5 3 9 10 5 REDES PERT Ejemplo: (Continuación) K-2 7 I- S- 7 18 5 11 12 P-2 13 3 19 14 Q-1 -2 E-6 17 T- O-2 B 10 4 N-4 L-1 9 H-1 5 J- F - 10 -1 A C-1 D-2 -3 3 16 G 1 1 M-2 6 2 8 R-7 15 REDES PERT Ejemplo: (Continuación) Leyenda Paso hacia adelante 28 15 Paso hacia atrás: M-2 4 4 -2 4 17 17 11 10 12 18 18 29 25 E-6 12 2 17 8 35 35 S- 7 18 T- 23 23 P-2 3 Inicio del paso hacia atrás 38 28 19 14 13 31 27 38 38 Fin del paso hacia adelante Q-1 9 5 N-4 L-1 16 O-2 F - 10 D-2 28 28 24 24 5 3 1 J- 6 I- H-1 22 C-1 -1 A 14 14 B Inicio del paso hacia adelante 1 1 -3 2 2 1 K-2 7 G Fin del paso hacia atrás 0 0 j i Ruta critica 38 17 R-7 15 38 34 VDijij REDES PERT Ejemplo: (Continuación) La media Dij y la varianza Vij de las distancias actividades se ve en la tabla de abajo. Observe que para una actividad ficticia (a, b, m) = (0, 0, 0), y en consecuencia su media y su varianza también son iguales a cero. Actividad A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T i-j 1-2 1-4 2-3 3-5 4-10 5-6 6-9 9-10 6-7 10-11 7-8 11-16 6-16 16-17 11-12 12-13 13-14 13-15 17-18 18-19 Dij 1.33 2.17 1.33 2.17 6.00 10.00 3.00 1.33 1.33 5.17 2.17 1.33 2.17 4.00 2.17 2.33 1.33 7.00 7.17 3.00 Vij 0.11 0.25 0.11 0.25 0.44 0.44 0.44 0.11 0.11 0.69 0.25 0.11 0.25 0.44 0.25 0.44 0.11 0.44 0.69 0.44 REDES PERT Ejemplo: (Continuación) La tabla siguiente muestra la trayectoria más larga del nodo 1 a los distintos nodos, junto con su media y su varianza asociados. REDES PERT Ejemplo: (Continuación) Nodo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ruta más larga basada en duraciones medias 1-2 1-2-3 1-4 1-2-3-5 1-2-3-5-6 1-2-3-5-6-7 1-2-3-5-6-7-8 1-2-3-5-6-9 1-2-3-5-6-9-10 1-2-3-5-6-9-10-11 1-2-3-5-6-9-10-11-12 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14 Media de la ruta Desviación estándar de la ruta 1.33 2.66 2.17 4.83 14.83 16.16 18.33 17.83 19.16 24.33 26.5 28.83 0.665 1.330 1.085 2.415 7.415 8.080 9.165 8.915 9.580 12.165 13.250 14.415 30.16 15.080 35.83 25.66 29.66 17.915 12.830 14.830 36.83 18.415 39.83 19.915 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15 16 17 1-2-3-5-6-9-10-11-16 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18 19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19 REDES PERT Ejemplo: (Continuación) Por ultimo, en la tabla siguiente se calcula la probabilidad de que cada nodo se realice en un tiempo Sj preestablecido, especificado por el analista. REDES PERT Ruta más larga basada en duraciones medias Nodo Media de la ruta Desviación estándar de la ruta 2 1-2 1.33 0.665 3 1-2-3 2.66 1.330 4 1-4 2.17 1.085 5 1-2-3-5 4.83 2.415 6 1-2-3-5-6 14.83 7.415 7 1-2-3-5-6-7 16.16 8.080 8 1-2-3-5-6-7-8 18.33 9.165 9 1-2-3-5-6-9 17.83 8.915 10 1-2-3-5-6-9-10 19.16 9.580 11 1-2-3-5-6-9-10-11 24.33 12.165 12 1-2-3-5-6-9-10-11-12 26.5 13.250 13 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13 28.83 14.415 14 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-14 30.16 15.080 15 1-2-3-5-6-9-10-11-12-13-15 35.83 17.915 16 1-2-3-5-6-9-10-11-16 25.66 12.830 17 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17 29.66 14.830 18 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18 36.83 18.415 19 1-2-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19 39.83 19.915 Ejemplo: (Continuación) Sj Kj P z K j 1 2 2 3 2 3 4 5 12 16 14 18 18 20 15 20 18 21 23 25 26 27 27 30 30 31 33 37 25 27 28 30 34 37 38 40 -0.50 1.01 -0.50 0.26 -0.16 0.76 -0.34 0.07 -0.38 0.16 -0.27 0.23 -0.04 0.18 -0.32 0.24 -0.12 0.19 -0.11 0.06 -0.04 0.04 -0.13 0.08 -0.01 0.06 -0.16 0.07 -0.05 0.10 -0.11 0.02 -0.15 0.01 -0.09 0.01 0.31 0.84 0.31 0.6 0.44 0.78 0.37 0.53 0.35 0.56 0.39 0.59 0.48 0.57 0.37 0.59 0.45 0.57 0.46 0.52 0.48 0.52 0.45 0.53 0.5 0.52 0.44 0.53 0.48 0.54 0.45 0.51 0.44 0.504 0.46 0.504 REDES PERT Ejemplo: (Continuación) Como vemos en la tabla anterior en la ruta crítica 12-3-5-6-9-10-11-16-17-18-19, su media es de 39.83 días para finalizar y la probabilidad de acabar en 40 días es de 50.4% y en 38 días es de 46 %