Subido por Ulises CARBALLO DELGADO

solucion-VAN-TIR-sencillos

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PRIMERO. Pedro se ha comprado un apartamento por 125.000 euros y
espera venderlo dentro de un año por 137.000 euros.
1. ¿Cuál sería la TIR de esta inversión?
2. Si el coste del capital o tipo de interés de mercado es del 5%. ¿debería llevar
a cabo esta inversión desde el punto de vista del criterio del VAN?. Razone
su respuesta.
SOLUCION
1. Aplicamos la fórmula de la TIR:
− 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
−125.000 +
137.000
=0
(1 + 𝑟)
−125.000 − 125.000𝑟 + 137.000 = 0
−125.000 + 137.000 = 125.000𝑟
𝑟=
12.000
= 0,096−→ 9,6%
125.000
2. Aplicamos la fórmula del VAN:
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
𝑄3
𝑄𝑛
+
+
+ ⋯+
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)2
(1 + 𝑘)3
(1 + 𝑘)𝑛
Donde K= coste de capital que es un 5%, Q1 es el flujo neto de caja. Y D es el desembolso
inicial que son los 125.000 euros.
𝑉𝐴𝑁 = −125.000 +
137.000
= 5476,19 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
(1 + 0,05)
El VAN es positivo por lo que si deberá realizar la inversión.
SEGUNDO. Tienes dos alternativas de inversión: el proyecto A supone un desembolso de
1000 euros con un coste del capital del 4% y unos flujos de caja de 2000 euros el primer
año y 5000 euros el segundo año. El proyecto B supone un desembolso de 10000 euros
con un coste del capital del 7% y unos flujos de caja de 20000 euros el primer año y 50000
euros el segundo año.
1. Selecciona según el criterio de la TIR, VAN y payback qué proyecto elegirías.
2. ¿A partir de qué coste del capital no aceptarías ninguno de los dos proyectos
porque no resultarían rentables?
SOLUCION: En el proyecto A si representamos gráficamente:
-1000
0
2000
5000
1
2
La fórmula para hallar el VAN:
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑉𝐴𝑁 = −1.000 +
𝑄1
𝑄2
+
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)2
2000
5.000
+
= 5.545,86 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
(1 + 0.04) (1 + 0.04)2
Por tanto, es un proyecto realizable puesto que incrementa el valor de la empresa.
En el caso de la TIR:
− 𝐷0 +
−1.000 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
2.000
5.000
+
+ =0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
Para solucionar esta ecuación deberemos transformarla en una ecuación de segundo grado
mediante una conversión: (1 + r) = t
−1.000 +
2.000 5.000
+
=0
𝑡
𝑡2
Donde −1.000 𝑡 2 + 2.000 𝑡 + 5.000 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t=
−2.000 ± √2.0002 − 4 ∗ (−1.000) ∗ 5.000
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡
2 ∗ (−1.000)
t1= -1,44 no puede ser una rentabilidad negativa.
t2=3,45 si se deshace el cambio (1 + r) = 3,45 r= 2,45; por tanto, la TIR es un 245%
Según el PAYBACK.Se recupera en el primer año la inversión inicial. El payback del proyecto A
son 6 meses.
En el proyecto B si representamos gráficamente:
-10000
0
20000
50000
1
2
La fórmula para hallar el VAN:
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑉𝐴𝑁 = −10.000 +
𝑄1
𝑄2
+
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)2
20000
50.000
+
= 52.363,53 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
(1 + 0.07) (1 + 0.07)2
Por tanto, es un proyecto realizable puesto que incrementa el valor de la empresa.
En el caso de la TIR:
− 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
−10.000 +
20.000
50.000
+
+ =0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
Para solucionar esta ecuación deberemos transformarla en una ecuación de segundo grado
mediante una conversión: (1 + r) = t
−10.000 +
20.000 50.000
+
=0
𝑡
𝑡2
Donde −10.000 𝑡 2 + 20.000 𝑡 + 50.000 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t=
−20.000 ± √20.0002 − 4 ∗ (−10.000) ∗ 50.000
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡
2 ∗ (−10.000)
t1= -2,35 no puede ser una rentabilidad negativa.
t2=2,55 si se deshace el cambio (1 + r) = 2,55 r= 1,45; por tanto, la TIR es un 145%
Según el PAYBACK.Se recupera en el primer año la inversión inicial. El payback del proyecto B
son 6 meses.
En resumen, según el VAN elegimos el proyecto B porque es mayor. Mientras que según la TIR
elegiríamos el proyecto A porque su rentabilidad es superior TIRa=245% frente al TIRb=145%.
Según el Payback es indiferente.
SEGUNDO APARTADO. Si el coste del capital es superior al 245% no aceptaríamos ninguno de
los proyectos porque es mayor el coste de financiación 246% que la rentabilidad que se
obtiene en el proyecto A (245%) y el proyecto B (145%).
TERCERO. Dados los siguientes proyectos de inversión:
Proyecto A: -10000/10000/5000; Proyecto B: -10000/5000/13000;
1. ¿Cuál es preferible según el plazo de recuperación?
2. ¿Y si se utiliza el criterio del VAN, sabiendo que el coste del capital es del
10%?
3. ¿Y si se utiliza el criterio de la TIR?
SOLUCION:
PRIMERA PREGUNTA: PLAZO DE RECUPERACION. El proyecto A se recupera el primer año
mientras que el proyecto B se recupera durante el segundo año: 1 año y 4,65 meses. Luego
según este criterio se prefiere el proyecto A porque tiene un plazo menor.
SEGUNDA PREGUNTA. VAN:
En el proyecto A si representamos gráficamente:
-10.000
0
10.000
1
5000
2
La fórmula para hallar el VAN:
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑉𝐴𝑁 = −10.000 +
𝑄1
𝑄2
+
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)2
10.000
5.000
+
= 3.223,14 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
(1 + 0.1) (1 + 0.1)2
Por tanto, es un proyecto realizable puesto que incrementa el valor de la empresa.
En el proyecto B si representamos gráficamente:
-10.000
5.000
13.000
0
1
2
La fórmula para hallar el VAN:
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑉𝐴𝑁 = −10.000 +
𝑄1
𝑄2
+
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)2
20000
50.000
+
= 5.289,26 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠
(1 + 0.07) (1 + 0.07)2
Por tanto, es un proyecto realizable puesto que incrementa el valor de la empresa.
La elección según el criterio del VAN, será el proyecto B puesto que su valor neto es mayor que
el proyecto B.
TERCERA PREGUNTA. ELECCION SEGÚN LA TIR:
En el caso de la TIR proyecto A:
− 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
−10.000 +
10.000
5.000
+
+ =0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
Para solucionar esta ecuación deberemos transformarla en una ecuación de segundo grado
mediante una conversión: (1 + r) = t
−10.000 +
10.000 5.000
+
=0
𝑡
𝑡2
Donde −10.000 𝑡 2 + 10.000 𝑡 + 5.000 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t=
−10.000 ± √10.0002 − 4 ∗ (−10.000) ∗ 5.000
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡
2 ∗ (−10.000)
t1= - 0,366no puede ser una rentabilidad negativa.
t2=1,366 si se deshace el cambio (1 + r) = 1,366 r= ; por tanto, la TIR es un 36,6%
En el caso de la TIR del proyecto B:
− 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
−10.000 +
5.000
13.000
+
+ =0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
Para solucionar esta ecuación deberemos transformarla en una ecuación de segundo grado
mediante una conversión: (1 + r) = t
−10.000 +
5.000 13.000
+
=0
𝑡
𝑡2
Donde −10.000 𝑡 2 + 5.000 𝑡 + 13.000 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t=
−5.000 ± √5.0002 − 4 ∗ (−10.000) ∗ 13.000
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡
2 ∗ (−13.000)
t1= -0,705 no puede ser una rentabilidad negativa.
t2= 1,0902  si se deshace el cambio (1 + r) = 1,0902  r= 0,0902; por tanto, la TIR es un
9,02%
Según la TIR elegiremos el proyecto A puesto que tiene una mayor rentabilidad, un 36,6%
frente al 9,02%.
CUARTO. Quiero abrir un bar en Santander. No tengo nada ahorrado y
acudo al Banco Santander para que me den un préstamo. Sin embargo, el
Banco Santander me impone una obligación: el proyecto de mi bar debe
ser rentable. Los datos que le facilito al Banco son las siguientes
estimaciones:
•
•
•
Duración del proyecto: 16 años
Coste del capital: 12%
Los flujos netos de caja de cada año son:
o El valor residual al finalizar el año 16 serán de 50.000 euros.
Suponemos que no existen impuestos.
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Año 5
Año 6
Año 7
Año 8
-5000
-1000
2000
2000
5000
8000
20000
35000
Año 9
Año 10
Año 11
Año 12
Año 13
Año 14
Año 15
Año 16
30000
20000
30000
30000
40000
20000
10000
5000
¿Cuál es la máxima cantidad que el Banco Santander te prestará para
iniciar tu negocio?
SOLUCION.
Para saber la cantidad máxima que nos entregará el Banco es igual que decir que hallemos el
desembolso inicial que tendrá que hacer el Banco para que a nosotros nos salga rentable y que
podamos devolver con los flujos generados a lo largo de los 16 años el préstamo inicial
(desembolso inicial). Por ello, utilizamos la fórmula del VAN (Valor actual neto) e igualamos a
cero para calcular el desembolso inicial ( 𝐷0.)
𝑉𝐴𝑁 = − 𝐷0 +
𝑄1
𝑄2
𝑄3
𝑄𝑛
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙
+
+
+⋯+
+
2
3
𝑛
(1 + 𝑘)
(1 + 𝑘) (1 + 𝑘)
(1 + 𝑘)
(1 + 𝑘)𝑛
𝑉𝐴𝑁 = 0 ==>
0 = − 𝐷0 −
5000
1000
2000
2000
5000
8000
−
+
+
+
+
(1 + 0.12) (1 + 0.12)2
(1 + 0.12)3 (1 + 0.12)4 (1 + 0.12)5 (1 + 0.12)6
20000
35000
30000
20000
30000
+
+
+
+
+
7
8
9
10
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)11
30000
40000
20000
10000
5000
+
+
+
+
+
12
13
14
15
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)
(1 + 0.12)16
50000
+
(1 + 0.12)16
Donde se obtiene que como máximo el Banco tendrá que prestar 76.990,43 euros. Si me prestara
más cantidad, los flujos de caja que conseguiría no me permitiría devolver el préstamo. Con una
cantidad menor (un desembolso inferior) sí que puedo devolver el préstamo y por tanto el Banco
Santander me concedería el préstamo.
QUINTO. Estoy indeciso en dónde emplear el dinero de mi herencia, unos 100.000 euros.
Aconséjame donde debo invertirlo. Dudo entre:
•
•
Inversión 1. Comprar un bar por 100.000 euros tras lo cual recibo unos flujos
netos de caja de 5000 euros y 3000 euros respectivamente durante los dos años que
me quedan para jubilarme y traspasar el local por 120000 euros al final del
segundo año.
Inversión 2. Invertir en un fondo de inversión al 10% recuperando la inversión al
segundo año.
SOLUCION
En este ejercicio tendré que comparar la TIR de los dos proyectos. En la inversión 2 nos
proporcionan su TIR que es el 10%. Por tanto, lo que tendré que hacer es hallar la TIR de la
inversión 1 y comparar cuál de ellas me proporciona mayor rentabilidad.
Inversión 1:
− 𝐷0 +
−100.000 +
𝑄1
𝑄2
+
=0
(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)2
5.000
3.000 + 120.000
+
+ =0
(1 + 𝑟)
(1 + 𝑟)2
Para solucionar esta ecuación deberemos transformarla en una ecuación de segundo grado
mediante una conversión: (1 + r) = t
−100.000 +
5.000 123.000
+
=0
𝑡
𝑡2
Donde −100.000 𝑡 2 + 5.000 𝑡 + 123.000 = 0. Resolviendo la ecuación de segundo grado:
t=
−5.000 ± √5.0002 − 4 ∗ (−100.000) ∗ 123.000
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡
2 ∗ (−100.000)
t1= -1.08 no puede ser una rentabilidad negativa.
t2=1.134 si se deshace el cambio (1 + r) = 1.134 r= 0.134; por tanto, la TIR es un 13.4%
Luego la rentabilidad del bar nos proporciona un 13,4% mientras que la inversión en un fondo
de inversión es un 10%. Por tanto, elegiremos la inversión del bar porque su rentabilidad es
superior.
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