Precálculo 2019-2 Taller Nash #3 Descripción general Este taller Nash tiene como objetivo acercar al estudiante a los contenidos y competencias de la asignatura. Es un material de apoyo para la preparación de los parciales. Competencias: 3 Aplica la ecuación de la recta para resolver situaciones problema. 3 Resuelve y aplica sistemas de ecuaciones lineales. 3 Reconoce una función cuadrática y la usa en la solución de problemas. 3 Grafica transformaciones de funciones. 3 Reconoce y efectúa operaciones entre funciones. 3 Encuentra la inversa de una función. 1. ¿Cuál de las gráficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?. ( ( 3x − 2y = 7 2x + 3y = 7 a) c) 4y = 6x − 14 3x − 2y = 6 ( ( x − 2y = 7 5x + y = 1 b) d) 3x = 4 + 6y 7y = 3x 2. Encuentre las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas dados. ( ( x+y =3 x + 2y = 5 a) d) x + 2y = −8 3x + 4y = 6 ( ( −2x = 1 7x + 4y = 1 b) e) 4x − 3y = 0 −7x − 4y = −3 ( −2x + 3y = 3 c) 2x − 3y = −3 3. Encuentre las soluciones (si las hay) de los siguientes sistemas dados. x − 2y + 3z = 11 −2x − 6y − 3z = 9 4x + y − z = 4 −x + y − z = 1 a) b) 2x − y + 3z = 10 x − y + 3z = 2 Página 1 de 4 Precálculo 2019-2 4. a) Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta sea 21. b) Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda. 5. a) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $ 39 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $ 31.5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. Calcular la tasa y el precio de cada minuto. b) Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la suya. 6. Para la siguiente función, encontrar dominio y determinar un bosquejo de la gráfica x + 2, si x ≤ −2; a) f (x) = 0, si − 2 < x < 2; x − 2, si x ≥ 2. 7. Determinar el dominio de las siguientes funciones 2 + 3x a) f (x) = x √ b) y − 3 = x 3x + 5x3 x2 + x − 6 √ 36 − 9x2 d ) f (x) = 2 √ e) y = 4x − 3 c) f (x) = 8. Para las siguientes funciones, determinar f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f y g ◦ g. √ a) f (x) = 3 x, y, g(x) = x3 + 1. √ 1 b) f (x) = , y, g(x) = x. 1+x p √ c) f (x) = 4x2 , y, g(x) = 5 − x. 9. El costo C en dólares por producir x yardas de cierta tela está dado por la función C(x) = 1500 + 3x + 0.02x2 + 0.0001x3 . a) Encuentre C(10) y C(100) e interprete dichos valores. b) Encuentre el valor de los costos fijos C(0). 10. El área superficial S de una esfera es una función de su radio r dado por S(r) = 4πr2 . Encontrar S(2) y S(3) e interpretar dichos valores. Página 2 de 4 Precálculo 2019-2 11. Explique como se obtiene la gráfica de g a partir de la gráfica de f . a) f (x) = x3 , y, g(x) = (x − 4)3 + 2. b) f (x) = x2 , y, g(x) = −x2 − 4. √ √ c) f (x) = x, y, g(x) = − x + 3 + 4. 12. Algunos cientı́ficos piensan que el promedio de la temperatura de la superficie de la tierra ha estado subiendo constantemente. El promedio de la temperatura de la superficie se puede modelar con mediante la expresión T = 0.02t + 15.0 donde T es la temperatura en grados centı́grados y t son los años desde 1950. a) ¿Qué representan la pendiente y el punto de intersección?. b) Use la ecuación para pronosticar el promedio de la temperatura de la superficie de la Tierra en 2050. 13. Para cada una de las funciones cuadráticas f (x) = x2 + 2x + 3, y , f (x) = 4x2 + 16x + 4 : a) Encuentre su vértice y su(s) punto(s) de intersección con el eje horizontal (x) y el eje vertical (y). b) Trace su gráfica. 14. Resuelva la función inversa en los siguientes pasos: a) Grafique y = x2 − 5. b) Despeje x de esta ecuación en términos de y (si es posible). c) Intercambie x y y. La ecuación resultante es y = f −1 (x). d ) Por último grafique la nueva y = f −1 (x). 15. Encuentre la inversa para cada una de las funciones a continuación. Para cada caso trace la gráfica de la función y de su inversa. 2 a) y = 4 − x 5 √ b) t = 3x − 4 c) p = x5 √ d) y = x 16. Cierta raza de ratones fue introducida en una pequeña isla, con una población inicial de 320 ratones, y los cientı́ficos estiman que la población de ratones se duplicarán cada año. a) Encuentre una función que modele el número de ratones después de t tiempo. b) Estime la población de ratones después de 8 años. Página 3 de 4 Precálculo 2019-2 17. Una empresa fabrica dos productos,A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere 1 hora de procesamiento de la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 350 horas,¿cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si utiliza el tiempo total que dispone en las dos máquinas? 18. El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artı́culo está dado por R(x) = 12x − 0.01x2 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo?. 19. Una empresa tiene costos fijos mensuales de 2000 dólares y el costo variable por unidad de su producto es de 25 dólares. a) Determine la función de costo. b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x) = 60x−0.01x2 . Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?. c) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es esta utilidad máxima?. Página 4 de 4
