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Matemáticas V: Cálculo diferencial
Tarea 1
5 de Agosto de 2014
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Instrucciones
1. La tarea debe entregarse en hojas blancas (puedes usar ambos lados) y
con tu nombre escrito en cada una de ellas. Cada problema debe estar
escrito de manera legible, esto es, NO se vale sólo entregar las cuentas de
lo que haces sino que debes intentar explicar lo que estás haciendo. Debe
ser claro en que problema estás trabajando en cada parte de la tarea.
2. Si algún problema te parece muy complicado y quieres alguna sugerencia
o no entiendes qué es lo que se te está pidiendo puedes contactarme antes
de la clase (o durante ella). Recuerda que puedes buscarme también en el
horario de ayudantı́as.
3. La tarea se entrega el martes 12 de Agosto de 2014 al comenzar la clase.
2
Ejercicios
1. Comienza la lectura del texto: Cambio y capacidad de cambio: El cálculo.
Se encuentra en la página del curso. Al entregar la tercera tarea el martes
26 de Agosto deberás entregar a profesor un resumen con tu opinión y
dudas al respecto.
2. Encuentra la ecuación (o ecuaciones) de la recta (o rectas) que cumplan
las propiedades dadas:
(a) Pasa por el punto (1, −2) y el punto (3, 4),
(b) Pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 2x − y + 1 = 0,
(c) Pasa por el punto (−1, −1) y es perpendicular a la recta 2y −2x+1 =
0,
(d) Pasa por el punto (1, 2) y forma un ángulo de 60◦ con la recta x =
2y + 1.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones.
• 5x + 3 = 0,
1
• 2x2 + 3x + 1 = 0,
• x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0,
• x4 + 2x3 − 2x − 1 = 0.
4. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7}, C =
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}. Encuentra:
• A ∪ B ∪ C,
• B ∩ C,
• A4C,
• U − (A ∪ B),
• A ∩ B ∩ C.
Además has un diagrama de Venn que muestra las relaciones entre estos
conjuntos.
√
5. Si f (x) = 2x2 + 3x − 4, encuentre f (0), f (2), f ( 2), f (−x), f (x + 1),
f (2x) y f (1/x).
6. Encuentra el dominio de cada función y los puntos del dominio donde la
función se anula:
• f (x) = 3 − 2x,
• f (x) = x/|x|,
• f (x) =
x2 + 5x + 6
,
x+2
7. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior
abierta, tiene un volumen de 10 m3 . La longitud de su base es el doble de
su ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado
y el material para los lados cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese
el costo del material como función del ancho de la base.
8. Para cada entero positivo n definimos las siguientes funciones f : N → N
como sigue:
(a) τ : N → N está definida como τ (n) es la cantidad de divisores distintos de n.
(b) σ(n) : N → N está definida como σ(n) es la suma de los divisores
distintos de n.
(c) φ(n) : N → N está definida como φ(n) es la cantidad de enteros k
entre 1, 2, ..., n que son primos relativos con n, es decir, que el máximo
común divisor de k y n es 1.
Entonces
2
• Encuentra el valor de cada una de estas funciones cuando n = 1,
n = 10, n = 25, n = 100.
• Encuentra el valor de cada una de estas funciones cuando n es un
número primo.
• Encuentra el valor de cada una de estas funciones cuando n es una
potencia de 2.
• (*) Encuentra el valor de cada una de estas funciones cuando n =
2014.
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