Álgebra Lineal en MATLAB: Espacios Vectoriales y Comandos

ALGEBRA LINEAL EN EL ENTORNO MATLAB
MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA
ESPACIOS VECTORIALES (MATLAB NUMÉRICO)
COMANDOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
>>solve(‘ecuación’, ‘x’)
Resuelve la ecuación en la variable x (esto es para el caso simbolico)
>>solve (‘ex1,ex2,...,ecn’, ‘x1,x2,...,xn’)
Resuelve n ecuaciones simultáneas ec1,...,ecn en las variables
x1,...,xn (sistema de ecuaciones)
>>X=inv(A)*b
Resuelve A*X =b para una matriz cuadrada A, siendo B y X matrices
>>X=linsolve(A,b)
Resuelve A*X =b para una matriz cuadrada A, siendo B y X matrices
>>X=A\B
Resuelve el sistema A*X=B
 Si A es cuadrada pero singular, "A\B" nos proporcionará,
generalmente, un mensaje de error aunque el sistema tenga
solución.
 Cuando A no es cuadrada y el sistema es compatible, "A\B"
nos proporcionará, generalmente, "una única solución"
>>X=A/B
Resuelve el sistema X*A=B
>>X=lsqnonneg(A,B)
Solución por minimos cuadrados d AX=B
>>X=linsolve(A,B)
Resuelve AX=B A cuadrada
>>X=rref([A,b])
Resuelve un sistema por método Gauss Jordan, (b debe estar como
una vector columna)
Expresar el vector

u   28, 223, 25,126  como combinación lineal de los vectores
V  1, 2,1, 4  ;  0, 1,3, 2  ; 1, 7, 0, 3
SINTAXIS MATLAB
>> u=[-28;-223;25;126]
Se definan, el vector u y los vectores de v como una
matroz 3x3
u=
-28
-223
25
126
>> V=[1 2 1 4;0 -1 3 2; 1 7 0 -3]
V=
1
0
1
2
-1
7
1
3
0
4
2
-3
>> VT=V'
VT =
Se obtiene la transpuesta de V
1
2
1
4
0
-1
3
2
1
7
0
-3
>> rref([VT u])
ans =
Escalonamos la matriz VT u
Luego se podrá expresar:
1
0
0
0
0
1
0
0
0 4
0 7
1 -32
0 0




u  4v1  7v 2  32v 3  4 1, 2,1, 4   7  0, 1,3, 2   32 1, 7, 0, 3
28
ALGEBRA LINEAL EN EL ENTORNO MATLAB
MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA
Encontrar una base para el sistema generado por:
S  1,3, 4,1 ;  2, 6,8, 2  ;  2,5, 2, 7  :
Si el conjunto es generador, cualquier vector del espacio es CL de los vectores, asi:
 x, y, z, w   k1 1,3, 4,1  k2  2, 6,8, 2   k3  2,5, 2, 7 
 x, y, z, w    k1  2k2  2k3 ,3k1  6k2  5k3 , 4k1  8k2  2k3 , k1  2k2  7k3 
 k1  2k2  2k3  x
3k  6k  5k  y

2
3
  1
 4k1  8k2  2k3  z
 k1  2k2  7 k3  w
Escalonamos por Gauss
1
3
4
1
2
6
8
2
2 x
3 f1 f2 f2
5 y
4 f1 f3 f3
7 z
 f1 f4 f4
2 w

1
0
0
0
2
0
0
0
2
x
 f2  f3 f3
1 y3x
1 z4x
0
wx

1
0
0
0
2
0
0
0
2
x
1 y3x
0 zx y
0
wx
SINTAXIS MATLAB
La solución de este sistema es:
w  x  0
w  x


z  x  y  0 z  x  y
>> H=[1 3 4 1;2 6 8 2;2 5 7 2]
Reemplazando en un vector cualquiera del
subespacio:
 x
 x 

y 

x y 


 x 
  y 
v     
z
 
 w
1
 
0
x   
1
 
1
 0
 
1
y  
1
 
 0
Luego la basa:
B  1, 0,1,1 ;  0,1, 0,1
Se define la matriz cuyas filas son los
vectores generadores
Se escalona la matriz
Luego la base del subespacio esta
dado por los vectores fila de esta
ultima matriz.
B={(1,0,1,1),(0,1,1,0)}.
H=
1
2
2
3
6
5
4
8
7
1
2
2
>>BASE= rref(H)
BASE =
1 0
0 1
0 0
1
1
0
1
0
0
Encontrar una base para el conjunto de matrices tridiagonales y simétricas de orden 4. Verificar si la matriz
 1 1 1 1 
pertenece a este conjunto.
 0 1 0 1
B

 1 0 1 0
 1 1 1 1 
SINTAXIS MATLAB
Se genera una matriz cualquiera de
orden 4, con las condiciones
especificadas:
a b 0 0
syms a b
>>A=[ a b 0 0 ; b a b 0 ; 0 b a b ; 0 0 b 1 ]
A=
[ a, b, 0, 0]
[ b, a, b, 0]
[ 0, b, a, b]
[ 0, 0, b, 1]
Para determinar la base se lleva a
su forma escalonada.
>>rref(A)
ans =
b a b 0 
B

0 b a b 
 0 0 b a 
OBSERVACIÓN
Como se puede ver la forma
escalonada está compuesta por
vectores todos linealmente
independientes, por lo tanto es
una base para el conjunto.
[ 1, 0, 0, 0]
[ 0, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 1, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
29
ALGEBRA LINEAL EN EL ENTORNO MATLAB
Para ver si la matriz B pertenece a
este conjunto. Se genera la matriz
Se escalona al máximo.
MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA
>>B=[ 1 -1 1 1 ; 0 1 0 1 ; 1 0 1 0 ; -1 1 1 1 ]
B=
1 -1 1 1
0 1 0 1
1 0 1 0
-1 1 1 1
>>rref(B)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Como se puede apreciar se
genera la misma base. Luego B
pertenece al conjunto de
matrices
tridiagonales
y
simétricas de orden 4
Realice un programa en MATLAB cuyas entradas sean dos vectores cuales quiera y cuya salida retorne n=1 si
los vectores ingresados son ortogonales y n=0 en el caso contrario.
CÓDIGO FUENTE
EJECUCIÓN DEL SCRIPT EN LA VENTANA DE COMANDOS
function [n]=ejemplo_2(v1,v2)
Se llama al script
>> ejemplo_2
Se ingresan los vectores
ingrese el primer vector:[0 1 1 0]

v1  1, 3, 5, 1
v1=input('ingrese el primer vector:')
v2=input('ingrese el segundo vector:')
v1 =
1 2 5 0
ingrese el segundo vector:[0 1 0 1]

v 2   0,  7, 2, 4 
result=dot(v1,v2);
if result==0;
disp('los vectores son ortogonales:')
disp('n=1')
else
v2 =
0
-7
2
4
La salida del script
los vectores no son ortogonales:
n=0
Se llama al script
>> ejemplo_2
disp('los vectores no son ortogonales:')
disp('n=0')
Se ingresan los vectores

v1   0, 0, 0, 1
end
end

v 2  1, 0, 0, 0 
Como se conoce:
Dados dos subespacios vectoriales, la
unión de dos sistemas generadores
de ambos subespacios, proporciona
un sistema generador del subespacio
suma
v1 =
0
0
0
1
ingrese el segundo vector:[1 0 0 0]
v2 =
1
0
0
0
los vectores son ortogonales:
n=1
La salida
OBSERVACIÓN
ingrese el promer vector:[0 0 0 1]
CÓDIGO FUENTE
% A1 y A2 son las matrices cuyas filas generan los subespacios dados.
%[A1;A2] es la matriz cuyas filas generan el espacio suma V1+V2.
A1=input('Matriz cuyas filas engendran V1, A1= ');
A2=input('Matriz cuyas filas engendran V2, A2= ');
r=rank([A1;A2]);dim=r;disp('La dimensi¶on es'), disp(r)
R=rref([A1;A2]);B=R(1:r,:).';
disp('La base del subespacio son las columnas de la matriz B' )
disp(B)
BBBBBBBBBBBBBBBBBBB
BB
30
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EJECUCIÓN DEL SCRIPT EN LA VENTANA DE COMANDOS
Se llama al script
>>suma_subespacios
Se ingresan los conjuntos generadores
Matriz cuyas filas engendran V1, A1= [1 2 5 3 2;3 1 5 -6 6;1 1 3 2 0]
Matriz cuyas filas engendran V2, A2= [2 1 4 -3 4;3 1 3 -2 2;9 2 3 -1 -2]
La dimensión es
4
La base del subespacio son las columnas de la matriz B
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
-1
3
0
-1
La salida
PRÁCTICO
OPERACIONES CON ESPACIOS VECTORIALES
PRIMERA PARTE. Teóricas
1
Cual la diferencia entre perpendicularidad y ortogonalidad.
2
Cuando un conjunto se dice generador?
3
La intersección de dos subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial puede ser vacía
3
Geométricamente, los subespacios de IR generados por dos vectores son planos que pasan
por el origen
T
Sea A una matriz cuadrada n  n . Sea E = A+ A . Entonces el espacio fila de E es igual a su espacio
columna.
Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una
matriz simétrica.
Sea A una matriz m  n y B una matriz n  1 , entonces el producto A.B pertenece al espacio columna de A
4
5
6
7
8
Sea A una matriz antisimetrica, entonces la dimensión del espacio fila de A es diferente a la dimensión del
espacio columna de A
Explique que hacen las siguientes funciones y comandos de MATLAB (v representa u vector):
1
>>sum(A)
4
>> sum(sum(A))
7
>> sqrt(sum(v.^2))
10
>>rref(A)
2
>>orth(A)
5
>>sum(sum(A.*B))
8
>>(v’*v)^(1/2)
11
>>rank(A)
3
>>prod(A)
6
>>cross(v1,v2)
9
>> sum(diag(A)).
12
Representar el vector u como combinación lineal de los vectores de S:
1
2

u   4, 0, 7,1  S   1, 6, 2, 0  ; 1, 0,1, 0  ;  1, 1,1, 2  ;  0, 0,1, 6 
  1 0 3   1 0 2   1 1 1  
  2 1 4 


u   1 0 2   S    2 4 5  ;  0 2 0  ;  2 2 3  
 7 2 3 
  6 8 7   3 1 1   3 4 4  


Encontrar una base para el sistema generado por:




S  1,3,2,1;1,1,1,1; 0,2,1,0 ; 2,4,3,1;1,1,1,2  B  1, 0, 1 , 0 ; 0,1, 1 , 0 ;  0, 0, 0,1
2
2
S   2,3,4, 1,1; 3,4,7, 2, 1;1,3, 1,1,8 ; 0,5,5, 1,4  B  1,0,0,0,0  ;  0,1,0,1/5,11/5  ;  0,0,1, 2/5, 7/7 
Determinar si los conjuntos son linealmente dependientes o linealmente independientes
31
ALGEBRA LINEAL EN EL ENTORNO MATLAB
MG. SC. ING. RAFAEL VALENCIA GOYZUETA
1
S  1,3, 6,5,3, 4  ; 1, 0, 0, 2,3, 1 ; 1,3, 2,3, 2, 0  ; 1,1, 1, 2,3,1
2
S   2,1,3, 2, 1 ;  4, 2,1, 2,3 ;  8,3, 4,5  ;  0, 0,5, 6, 5  ;  6,3, 1, 6, 7 
Para cada una de las siguientes matrices, encontrar:



Una base para el espacio nulo de la matriz,
Una base para el espacio fila de la matriz
Una base para el espacio columna de la matriz
1
2
A   1
3
 4
 1 3 2 2 1 
3
 0 3 6 0 3
2


A
4
1
2 A  2 3 2 4
3


2
 3 6 0 6 5 
 3
 2 9 2 4 5 
Dados dos subespacios generados por V1 y V2 . Escriba un programa en
dimensión y una base para el espacio suma V1 +V2 .
2
4
2
6
8
5
5
0
5
10
11 3 
15 2 

4 5

19 2 
22 9 
9 7 2 6 3 1
6 0 8 4 12 4 
6


6 
5
18
4 33 11
9 2
8
9 18
MATLAB que devuelva la
V1  1, 2,5,3, 2  ;  3,1,5, 6, 6  ; 1,1,3, 2, 0   V2   2,1, 4, 3, 4  ;  3,1,3, 2, 2  ;  9, 2,3, 1, 2 
Escriba un script, que calcule la dimensión del subespacio engendrados por los siguientes vectores.
Esp_prog_4
dimen_espacio.m
Respuesta
S   5, 4,8  ; 10,8,16  ; 1, 0, 0  ; 1,1,1
1
dim: 2
S  1,1,1,1 ; 1  1,1, 1 ; 1, 2,3, 4  ; 1, 0, 2, 0 
2
dim: 4
S  1,1, 0, 1 ; 1, 2,3, 0  ;  2,3,3, 1
3
dim: 2
S  1, 2, 2, 2  ;  2,3, 2, 3 ; 1,3, 4, 3
4
dim: 2
S   4, 5, 7  ;  2, 3, 4  ; 1,1, 2  ;  2, 1,1
5
Escriba un script, que calcule la base y la dimensión del subespacio engendrados por los siguientes vectores.
Ep_4 base.m
Respuestas
1
S  1, 2, 0, 0  ; 1, 2,3, 4  ;  3, 6, 0, 0 
2
S  1,3,2,1;1,1,1,1; 0,2,1,0 ; 2,4,3,1;1,1,1,2 
dim:3
3
S  1,1, 0, 0  ;  0, 0,1,1 ;  2, 0, 2, 2  ;  0, 3, 0,3 
dim:4
dim:2
S   2,3,4, 1,1; 3,4,7, 2, 1;1,3, 1,1,8 ; 0,5,5, 1,4 
 3 

B  1, 0, 1 , 0  ;  0,1, 1 , 0  ;  0, 0, 0,1
2
2
B  1, 2, 0, 0  ; 0, 0,1, 4
B  1,1,0,0  ;  0,1,1,1 ;  0,0,1,1 ;  0,0,0,1
B  1,0,0,0,0  ;  0,1,0,1/5,11/5  ;  0,0,1, 2/5, 7/7 
Escribir un script, que obtenga la dimensión y la base de los siguientes subespacios V, W, V+W, V  W
V   x, y, z , t , w    5 / x  y  0  z  t  0  W   x, y, z , t , w    5 / x  t  0
1
4
2
3
dim:3
V  1,1, 0, 0  ;  0, 0,1, 0  ;  0, 0, 0,1  W  1,1, 2,1 ;  2, 0, 1,1
V   x, y, z , t    4 / x  y  z  t  0 2 x  y  9 z  0 3 x  z  t  0
W   x, y, z , t    4 / 3 x  y  5 z  t  0 x  3 z  3t  0
Escribir un script que tenga como entrada un conjunto de vectores que formen una base cualquiera y
entregue como resultado una base ortonormal.
1
S  1,1,1,1 ; 1,1, 1, 1 ; 1, 1,1, 1 ; 1, 1, 1,1
2
S  1,1,1,1 ; 1, 1, 1, 1 ; 1,1,1, 1
32
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3
S  1, 0,1 ; 1, 1, 0  ;  0, 0, 1
4
S  1,3,1, 3 ; 1, 2,1, 2  ; 1, 1,1, 1
33