O
ED I
PR
RAMA INTERM
G
O
Guía
Operatoria en los números complejos
Ejercicios PSU
A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder
el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas
más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu
profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
1.
Sea z = m + ni, con m y n números reales distintos de cero e i la unidad imaginaria. ¿Cuál de las
siguientes expresiones es siempre igual a (( z + z) • ( z – z))?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
2mn
– 4mni
– 2mni
– 4mn
4m
Sean los números complejos (1 – 4i) y (6 – bi). ¿Cuál debe ser el valor de b para que la suma
entre ambos números resulte un número real?
– 24
– 11
–4
4
7
MT21GUI010INT-A18V1
A)
B)
C)
D)
E)
Cpech
1
MATEMÁTICA
3.
4.
Sea (3 + mi) – (2n – 3i) = 5 – 4i, con i la unidad imaginaria. Para que se cumpla dicha igualdad,
los valores de m y n deben ser
A)
m=–1
n=–7
B)
m=–7
n=–1
C)
m=
2
n=
D)
m=
1
n=–4
E)
m=–1
7
2
Si z es un número complejo, ¿cuál es el valor de z en la expresión
A)
B)
C)
D)
E)
5.
n=
–1
2
z
= 8 – 6i?
i
14
6 + 8i
– 6 + 8i
2i
– 8 – 6i
Sean los complejos z1 = (– 4, 2), z2 = (– 1, 3) y z3 = (– 2, – 5). El par que representa a
(2z1 – 3z2 + z3) en el plano complejo es
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Sea z un número complejo. ¿Cuál de los siguientes valores de z satisface la igualdad
(3, – 5) + z = (– 7, – 9)?
A)
B)
C)
D)
E)
2
Cpech
(– 13, – 10)
(– 11, – 7)
(– 10, – 7)
(– 7, – 10)
(– 9, – 4)
− 10 – 4i
− 10 − 14i
− 4 − 4i
10 − 4i
– 10 + 4i
GUÍA
7.
Sea i la unidad imaginaria. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
A)
B)
C)
D)
E)
8.
Si
A)
B)
C)
D)
E)
9.
10.
(
4
�2 – �– 2
)
?
�2 + i
2�2 + 2�2i
2�2i
�2 + �2i
2�2 + i
z–2
= 1 – 2i, con z un número complejo e i la unidad imaginaria, entonces z es igual a
2+i
2
6 – 3i
2 – 3i
6
4 – 3i
Sea m un número real positivo e i la unidad imaginaria. ¿Qué valor debe tomar m para que el
m – 3i
cuociente
sea un número complejo con parte real igual a cero?
m + 3i
(
A)
1
3
B)
1
9
C)
1
D)
3
E)
9
)
Si k es un número real e i la unidad imaginaria, ¿qué valor debe tomar k para que el cuociente
k–i
sea igual a (3 + i)?
2–i
( )
A)
B)
C)
D)
E)
0
1
3
7
13
Cpech
3
MATEMÁTICA
11.
12.
Si i es la unidad imaginaria, la expresión
A)
5
(2 + 3i)
4
B)
2 + 3i
C)
2 – 3i
10
D)
2 – 3i
E)
5
(2 – 3i)
4
Si i es la unidad imaginaria, la expresión
A)
– 9 27i
–
4
4
B)
9
27i
+
4
4
C)
27 9i
–
4
4
D)
– 27 9i
–
4
4
E)
9
27i
–
4
4
(
30i + 20
es igual a
(– i + 3)(i + 3)
)
(
(– 3i)2 • (1 – 2i)
es igual a
2 + 2i
)
Estrategia de síntesis
Plantea un número complejo cualquiera z = a + bi y verifica si se cumple la equivalencia
en las siguientes proposiciones:
El inverso aditivo del conjugado de z ⇔ El conjugado del inverso aditivo de z
El inverso multiplicativo del conjugado de z ⇔ El conjugado del inverso multiplicativo de z
El módulo del inverso multiplicativo de z ⇔ El inverso multiplicativo del módulo de z
4
Cpech
GUÍA
13.
14.
Si i es la unidad imaginaria, el cuociente ((4i 20 + 3i 3) : (2i 5 – 3i 6)) es igual a
A)
6
6i
+
13
13
B)
12 15i
–
13
13
C)
18 17i
+
5
5
D)
6
17i
–
13
13
E)
– 12 15i
+
13
13
Si i es la unidad imaginaria, el valor de
A)
21 + 16i
B)
21 – 16i
C)
21 + 16i
17
D)
21 – 16i
17
E)
16 + 21i
17
(
)
4i 8 + 5i
es
4 + i5
Cpech
5
MATEMÁTICA
15.
16.
Sea i la unidad imaginaria. Si z = 4 – 3i y w = – 2 + i, ¿cuál es el valor de (z – 1 + w – 1)?
A)
– 2 – 16i
21
B)
– 6 – 2i
25
C)
1 – 5i
25
D)
18 + 2i
25
E)
– 6 + 2i
65
Sean los números complejos z = 4 – i, w = 1 – 3i y v = 6 – 8i. La expresión
A)
B)
C)
D)
E)
17.
6
Cpech
– 9 – 2i
– 9 + 2i
– 16 + 38i
– 31 – 39i
– 43 – 66i
(
)
(w – v) • z
es igual a
w
Sean z1, z2 y z3 tres números complejos tal que z1 = a ‒ 4bi, z2 = 5 ‒ 2bi y z3 = 3a + 4i con a y b
números reales distintos de cero. Si z1 + z22 = 2 • z3, entonces el valor de a es
A)
‒1
3
B)
221
45
C)
24
5
D)
‒1
2
E)
25
2
GUÍA
18.
Sean p y q dos números complejos, tales que p = 5 – 2i y q = – 1 + i. El producto entre el conjugado
de p y el inverso aditivo de q es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
19.
20.
Sea i la unidad imaginaria. La expresión
A)
1–i
B)
1 + 3i
8
C)
1 + 2i
2
D)
– 1 – 2i
2
E)
1 – 2i
2
(
)
1
1
+
es equivalente a
2i
1+i
Si z1 y z2 son números complejos, con z1 = – 1 + 3i y z2 = 3 – i, entonces |z1 • z2| es igual a
A)
�8
B)
8
C)
10
D)
�10
�34
E)
21.
7 – 3i
– 3 + 7i
7 + 3i
3 – 3i
– 7 + 7i
Si z = – 1 – 3i es un números complejo, entonces (1 – z – z2) es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
– 8 – 3i
– 6 – 3i
8 – 3i
10 – 3i
10 + 3i
Cpech
7
MATEMÁTICA
22.
23.
24.
8
Cpech
Sea i la unidad imaginaria. ¿Para qué valor de m la expresión (m + 4 + im)(5 – 2i) es un número
real?
A)
–4
B)
– 20
7
C)
1
D)
8
3
E)
–6
5
Sea i la unidad imaginaria. ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA?
A)
i 34 = – 1
B)
‒2
= 2i
i
C)
– 5i 2 = – 5
D)
(1 + 3i)(1 – 3i) = 10
E)
(2 – i)2 = 3 – 4i
Sea z = a + bi un número complejo, con a y b números reales distintos de cero. Se puede
1
determinar que z = , si:
z
(1)
(2)
z tiene módulo igual a 1.
z es un número real.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
GUÍA
25.
Sean los números complejos z1 = (3 – 6i) y z2 = (4 + bi), con b un número real distinto de cero. Se
puede determinar el valor de b, si:
(1)
El producto entre z1 y z2 es (24 – 18i).
(2)
El módulo de z2 es �20 .
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
Cpech
9
MATEMÁTICA
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para
comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te
podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Torpedo Números
Conjuntos numéricos
Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…}
Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
Racionales (ℚ): son aquellos
escribirse como fracción.
que
pueden
Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden
escribirse como fracción.
Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*.
Imaginarios (𝕀): son de la forma bi, con b un
número real e i la unidad imaginaria.
Complejos (ℂ): son de la forma a + bi, con a y b
números reales e i la unidad imaginaria.
Conceptos claves
Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.): el m.c.m.
es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos
inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0.
corresponde al menor de los múltiplos que
tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y
Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un 12 es 24, ya que 8 • 3 = 24 y 12 • 2 = 24.
número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Divisores de un entero: son aquellos números
b
a
Ejemplo: el opuesto multiplicativo de
es
, ya enteros que dividen exactamente a un cierto
a
b
entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los
b
a
que
•
= 1 , con a y b distintos de cero.
a
b
divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Números pares: son de la forma 2n, con n un
Máximo común divisor (M.C.D.): el M.C.D.
número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}).
de dos o más números enteros positivos
Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un corresponde al mayor de los divisores que
número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}).
tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12
Múltiplos de un entero: son aquellos que se y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3.
obtienen al multiplicar un cierto número entero por Números primos: son aquellos números
otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, enteros positivos que solo tienen dos divisores:
20, 24, 28, 32, …}.
el uno y sí mismo. Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, …}.
10
Cpech
GUÍA
Regla de los signos
Adición: al sumar dos números con igual signo,
se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto
signo, se calcula la diferencia entre los números
y se mantiene el signo del que tiene mayor valor
absoluto. Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones.
Sustracción: la diferencia entre dos números es
igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores.
aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b).
2º Potencias.
Ojo: a – (– b) = a + b.
Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 3º Multiplicación y división, de izquierda a
derecha.
Multiplicación y división: se calcula el producto
o cociente entre los números. El resultado será 4º Adición y sustracción, de izquierda a
positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado derecha.
será negativo si ambos tienen distinto signo.
Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4
Amplificación y simplificación de fracciones
Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos:
denominador por el mismo número, sin
5
5•3
15 15 15 : 5
3
=
=
;
=
=
alterar el valor de la fracción.
9
9•3
27 20 20 : 5
4
Operaciones en los racionales
Suma y resta de fracciones: si dos Ejemplos:
fracciones tienen igual denominador,
7–5
7
5
2
–
=
=
los numeradores se suman o se restan
13
13
13
13
dependiendo de la operación. En el caso
contrario, se amplifican de modo que
4•2
4
5
5•3
8
15
23
8 + 15
+
=
+
=
+
=
=
•
•
tengan igual denominador.
9 2
9
6
6 3
18
18
18
18
Multiplicación
de
fracciones:
se Ejemplo:
multiplican ambos numeradores y ambos
–3
denominadores.
8
•
– 3 • 4 – 12 – 12 : 12 – 1
4
=
=
=
=
8 • 15 120 120 : 12
15
10
División de fracciones: se obtiene Ejemplo:
invirtiendo el divisor, para así obtener un 10
10
5
:
=
producto de fracciones.
9
9
12
•
12
8
10 • 12
120 120 : 15
=
=
=
=
5
3
9•5
45 : 15
45
Cpech
11
MATEMÁTICA
Tabla de corrección
Ítem
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
12
Cpech
Clave
Habilidad
Dificultad estimada
Comprensión
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
Aplicación
ASE
ASE
ASE
ASE
Media
Fácil
Media
Fácil
Media
Fácil
Media
Media
Difícil
Difícil
Fácil
Media
Media
Media
Media
Media
Difícil
Media
Difícil
Fácil
Fácil
Difícil
Fácil
Media
Media
GUÍA
Mis apuntes
Cpech
13
MATEMÁTICA
Mis apuntes
14
Cpech
GUÍA
Mis apuntes
Cpech
15
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Coordinadora PSU
Francisca Carrasco Fuenzalida
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Marcelo Gajardo Vargas
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Cynthia Ahumada Pérez
Daniel Henríquez Fuentes
Vania Muñoz Díaz
Tania Muñoz Romero
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones
a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.
