Series de números reales 1 Convergencia de series numéricas Ejercicio 1. Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible convergencia de las siguientes series: P nn P n+1 n d) a) 2 3n−1 e(n +1) −n2 P n 2n−1 P b) e) 1 + 1n 3n−2 P nn c) (2n+1)n Solución 1. q n+1 n n+1 a) Aplicamos el criterio de la raíz limn→∞ n 3n−1 = limn→∞ 3n−1 = 13 < 1. Por tanto, la serie es convergente. b) Aplicamos el criterio de la raíz r !2 n 2n−1 n 1 n 2n−1 n = = lim < 1. lim n→∞ 3n − 2 n→∞ 3n − 2 3 Por tanto, la serie es convergente. c) Aplicamos el criterio de la raíz, r lim n n→∞ n 1 nn = lim = . n n→∞ 2n + 1 (2n + 1) 2 En consecuencia, la serie es convergente. d) Aplicamos el criterio de la raíz: lim n→∞ √n an = lim n→∞ n e n2 +1 n = lim n n→∞ en 1 =0<1 e1/n de lo que se deduce que la serie es convergente. e) Aplicamos el criterio de la raíz s !−n2 1 1 1 1 n = lim lim 1+ = lim r n = < 1 1 n→∞ n→∞ n→∞ n e n2 1+ n n 1 + 1n y, en consecuencia, la serie es convergente. Ejercicio 2. Aplicar el criterio del cociente para estudiar la posible convergencia de las siguientes series: P 1 P 2·5·8···(3n−1) a) d) n2n P1 2 n P 1·5·9···(4n−3) 2n n! b) e) n 5 nn P (n+1)n c) 3n n! Solución 2. –1– a) Aplicamos el criterio del cociente: an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ 1 (n+1)2n+1 1 n2n n 1 = < 1. n→∞ 2(n + 1) 2 = lim Por tanto, la serie es convergente. b) Aplicamos el criterio del cociente, lim n→∞ 1 n+1 1 n n+1 2 5 n 2 5 n 2 2 = < 1. n→∞ n + 1 5 5 = lim Por tanto, la serie es convergente. c) Aplicamos el criterio del cociente, an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ (n+2)(n+1) 3n+1 (n+1)! (n+1)n 3n n! 1 n+2 = lim n→∞ 3 n + 1 !n+1 = e < 1, 3 y, por tanto, la serie es convergente. Observa que en el último paso hemos utilizado la regla del número e. d) Aplicamos el criterio del cociente 2·5·8···(3n−1)(3n+2) 1·5·9···(4n−3)(4n+1) lim 2·5·8···(3n−1) n→∞ 1·5·9···(4n−3) = lim n→∞ 3n + 2 3 = <1 4n + 1 4 y, por tanto, la serie es convergente. e) Aplicamos el criterio del cociente: n n 2 2n+1 (n + 1)! nn lim = lim 2 = <1 n→∞ (n + 1)n+1 2n n! n→∞ n+1 e de lo que se deduce la convergencia de la serie. Ejercicio 3. Aplicar el criterio de comparación para estudiar la posible convergencia de las siguientes series: P log(n) P 1 a) e) P n1 P (2n−1)2n √ b) √1 f) n(n+1) n P 1 P √3 n c) √ g) P 2n−1 (n+1) n 1 d) n 2 −n Solución 3. P a) Comparamos con la serie 1n que no es convergente. Como log(n) ≥ 1n , la serie no es convern gente. P b) Comparamos con la serie armónica n1 : r √ 1 n(n + 1) n(n + 1) n lim = lim = lim = 1. 1 n→∞ √ n→∞ n→∞ n n2 n(n+1) –2– Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie P 1 n(n+1) √ no es convergente. P c) No es convergente. La serie se comporta igual que la serie armónica n1 . P 1 d) Comparamos con la serie convergente 2n . 1 2n n→∞ n1 2 −n lim 2n − n = 1. n→∞ 2n = lim Por tanto, la serie es convergente. P e) Comparamos con la serie convergente n12 1 n2 1 n→∞ (2n−1)2n lim (2n − 1)2n = 4. n→∞ n2 = lim Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie es convergente. f) No es convergente porque √1n ≥ 1n . P 1 g) Comparamos con la serie convergente n7/6 √3 √ n n n 7/6 lim n √ = lim √ =1 n→∞ (n + 1) n n→∞ (n + 1) n y, por tanto, la serie es convergente. Ejercicio 4. Aplicar el criterio de condensación para estudiar la posible convergencia de las siguientes series: P 1 a) P n log(n) 1 b) n(log(n))2 P 1 c) n(log(n)) log(log(n)) Solución 4. P 1 a) Aplicando el criterio de condensación, la serie tiene el mismo carácter que la serie 2n 2n log(2 n) = P 1 P 1 P1 log(2n ) = n log(2) y esta última serie no es convergente comparando con n. P n P 1 1 b) Aplicando el criterio de condensación 2 2n (log(2 y esta última serie es conn ))2 = n2 (log(2))2 P 1 vergente (compárase con n2 ). c) El término general es decreciente y convergente a cero. Estamos en condiciones de aplicar el criterio de condensación. La serie tiene el mismo carácter de convergencia que la serie X X 2n 1 = n n n 2 log (2 ) log log (2 ) n log(2) log(n log(2)) P 1 que, a su vez y por el criterio de comparación por paso al límite, se comporta igual que n log(n) . Esta última serie ya sabemos que no es convergente (véase el Ejercicio ??). Ejercicio 5. P 2n a) P nn+1 b) P 2n+11 c) n2 log(n) Discutir la convergencia de las siguientes series de números reales: P n2 d) 2 P (3n−1) 3n−1 √ e) n ( 2) Solución 5. –3– n a) No es convergente porque limn→∞ an = limn→∞ 2n = +∞. n+1 = 21 . b) No es convergente porque el término general no tiende a cero: limn→∞ 2n+1 P 1 ≤ n12 , para cualquier n ≥ 3. La serie n12 es c) Como log(n) ≥ 1 para n ≥ 3, se tiene que n2 log(n) P 1 convergente y, el criterio de comparación nos dice que n2 log(n) también lo es. d) El término general no converge a cero y, por tanto, la serie no es convergente. e) Aplicamos el criterio del cociente lim n→∞ 3(n+1)−1 √ n+1 2 3n−1 √ ( 2)n ! 3n + 2 1 1 = lim √ = √ <1 n→∞ 3n − 1 2 2 y, por tanto, la serie es convergente. Ejercicio 6. Discutir la convergencia de las siguientesseries de números reales: P1 P 3n n a) d) 3n+1 P n! 1 P n2 b) (3n−2)(3n+1) e) 4(n−1) P 2n+1 c) (n+1)2 (n+2)2 Solución 6. a) Aplicamos el criterio del cociente 1 (n+1)! lim 1 n→∞ n! 1 =0<1 n→∞ n + 1 = lim y, por tanto, la serie es convergente. P b) Comparamos con la serie n12 1 n2 lim 1 n→∞ (3n−2)(3n+1) = lim n→∞ (3n − 2)(3n + 1) =9 n2 y, por tanto la serie es convergente. P c) Comparamos con la serie n13 , 2n+1 (n+1)2 (n+2)2 lim 1 n→∞ n3 = 2. En consecuencia, las dos series tienen el mismo carácter de convergencia. Puesto que la serie P 1 es convergente, ambas lo son. n3 d) No es convergente porque el término general no converge a cero: !n ! 3n 3n L lim = e ⇐⇒ lim n −1 = L n→∞ 3n + 1 n→∞ 3n + 1 y el segundo límite vale ! ! 3n 3n − 3n − 1 lim n − 1 = lim n = −1/3. n→∞ n→∞ 3n + 1 3n + 1 Por tanto el término general de la serie converge a e−1/3 6= 0. e) Aplicamos el criterio de la raíz –4– r lim n2 n n→∞ 4(n−1) = lim n→∞ √n n2 4 n−1 n = 1 <1 4 y, por tanto, la serie es convergente. Ejercicio 7. Estudiar la convergencia de las series P n3 P n+1 n a) e) en n2 P 1·3·5···(2n−1) P 2n+1 n2 f) b) 3n+1 P 2·4·6···(2n+2) 2·4·6···2n P (n!)2 g) c) 5·7·9···(2n+3) (2n)! P 2n d) 1·3·5···(2n+1) Solución 7. r a) Aplicamos el criterio de la raíz lim n n→∞ convergente. b) Aplicamos el criterio de la raíz s lim n→∞ n 2n + 1 3n + 1 √n n3 n3 1 = lim = < 1 y, en consecuencia, la serie es √ en n→∞ n en e ! n2 2n + 1 = lim n→∞ 3n + 1 ! 12 r = 2 <1 3 y, por tanto, la serie es convergente. c) Aplicamos el criterio del cociente lim n→∞ [(n+1)!]2 (2n+2)! (n!)2 (2n)! (n + 1)2 1 (n + 1)! (n + 1)! (2n)! = lim = <1 n→∞ n! n! (2n + 2)! n→∞ (2n + 2)(2n + 1) 4 = lim y, por tanto, la serie es convergente. d) Aplicamos el criterio del cociente 2n+1 1·3·5···(2n+1)(2n+3) lim 2n n→∞ 1·3·5···(2n+1) 2n+1 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1) 2 = lim =0<1 n n→∞ 2 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)(2n + 3) n→∞ 2n + 3 = lim y, en consecuencia, la serie es convergente. e) Aplicamos el criterio de la raíz s !n n+1 n+1 n lim = lim =0<1 2 n→∞ n→∞ n n2 y, por tanto, la serie es convergente. f) Aplicamos el criterio del cociente an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ 1·3·5···(2n−1)(2n+1) 2·4·6···(2n+2)(2n+4) 1·3·5···(2n−1) 2·4·6···(2n+2) = lim n→∞ 2n + 1 =1 2n + 4 an+1 pero, como 2n+1 2n+4 ≤ 1, el criterio del cociente no decide. Ya que hemos calculado an , aplicamos el criterio de Raabe ! ! an+1 2n + 1 3n 3 = lim = >1 lim n 1 − = lim n 1 − n→∞ n→∞ n→∞ an 2n + 4 2n + 4 2 –5– y, por tanto, la serie es convergente. g) Aplicamos el criterio del cociente an+1 lim = lim n→∞ an n→∞ pero 2n+2 2n+5 2·4·6···2n·(2n+2) 5·7·9···(2n+3)·(2n+5) 2·4·6···2n 5·7·9···(2n+3) = lim n→∞ 2n + 2 = 1, 2n + 5 ≤ 1 por lo que el criterio del cociente no decide. Aplicamos el criterio de Raabe ! ! an+1 3n 2n + 2 3 lim n 1 − = lim = lim n 1 − = >1 n→∞ 2n + 5 n→∞ n→∞ an 2n + 5 2 y, en consecuencia, la serie es convergente. Ejercicio 8. Discutir la convergencia de las siguientes series 2 de números reales: P P 20n a) (−1)n n+1 d) log nn2 +3 +2 P 1·3·5···(2n−1) 2 P √3 n log(n) b) e) 2 2·4·6···2n P n +1 P 1 f) (−1)n e−n c) log 1 + n Solución 8. a) No es convergente porque el término general no converge a cero. 2 +3n b) Aplicamos el criterio de Raabe y llegamos a n 1 − aan+1 = 4n4n2 +8n+4 ≤ 1, de lo que se deduce n la no convergencia de la serie. P c) Comparamos con la serie armónica n1 ! !n log 1 + 1n 1 1 = lim n log 1 + lim = lim log 1 + = log(e) = 1 1 n→∞ n→∞ n→∞ n n n y, por tanto, la serie no es convergente. d) Podemos escribir el término general de la forma: ! ! n2 + 3 1 an = log 2 = log 1 + 2 . n +2 n +2 P Comparando con la serie n12 se obtiene la convergencia de la serie dada. P ya que e) Comparamos con la serie log(n) n5/3 an lim n→+∞ log(n) n5/3 =1 P Y aplicando el criterio de condensación a la serie log(n) se obtiene que es convergente, luego n5/3 la de partida también lo es. f) No hay más que aplicar el criterio de Laeibnitz para series alternadas. E Ejercicio 9. Estudia el carácter de las siguientes series: P 2n+1 n2 a) . 2n+5 P 1+log(n) b) . nn Solución 9. –6– n2 . Tendremos entonces que a) Aplicamos el criterio de la raíz, considerando como an = 2n+1 2n+5 √ estudiar el límite de { n an } y compararlo con 1; esto es s !n2 !n2 /n !n √n 2n + 1 2n + 1 2n + 1 n = an = = 2n + 5 2n + 5 2n + 5 sucesión que presenta una indeterminación del tipo “1∞ ” por lo que aplicamos la regla del número e: ! √ −4n 2n + 1 lim n − 1 = lim = −2 ⇒ lim n an = e−2 < 1 2n + 5 2n + 5 Por tanto la serie dada es convergente. b) Aplicamos el criterio del cociente, considerando como an = 1+log(n) ; de esta forma, habrá que nn estudiar el límite de la siguiente sucesión y compararlo con el valor1: nn nn an+1 1 + log(n + 1) 1 + log(n + 1) = = an 1 + log(n) (n + 1)n (n + 1) (n + 1)n+1 1 + log(n) 1 + log(n + 1) n n 1 = 1 + log(n) n+1 n+1 Finalmente, si calculamos el límite de cada uno de los tres factores que tenemos, el primer factor es claro que converge a 1 (no hay más que dividir el numerador y denominador por log(n + 1)), el segundo factor converge a e−1 (basta aplicar la regla del número e) y el tercero converge a cero. Por tanto: X an+1 lim =0<1 ⇒ an es convergente. an E Ejercicio 10. P an a) P na b) an na Estudiar, según los valores de a > 0 la convergencia de las siguientes series: Solución 10. a) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que en para a = 1 es la serie armónica que no converge, y para a > 1 el término general no converge a cero. Entonces, para 0 < a < 1 aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es convergente. b) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que para a ≥ 1 el término general no converge a cero. Entonces, para 0 < a < 1 aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es convergente. 2 Suma de series Ejercicio 11. Suma, si es posible, las siguientes series ∞ X 15 a) 10n n=0 ∞ X 1 b) 2n(n + 1) n=1 ∞ X (−1)n c) 3n n=2 –7– Solución 11. a) Usando la suma de una progresión geométrica ∞ ∞ X X 1 15 1 150 = 15 = 15 · = . n n 1 10 10 9 1 − n=0 n=0 10 b) La suma es 21 puesto que la serie es la mitad de la del Ejemplo ??. c) De nuevo utilizamos la suma de una progresión geométrica ∞ X (−1)n n=2 3n = ∞ X (−1)n n=0 3n − 1 X (−1)n n=0 3n = 1 1 1 −1+ = . 1 3 12 1 − −3 Ejercicio 12. Suma, si es posible, las siguientes series ∞ X 1 a) (n + 3)(n + 4) n=0 ∞ X 1 b) 2n+3 n=1 ∞ X 2n + 3n c) 5n n=1 Solución 12. a) Calculamos las sumas parciales usando la descomposición en fracciones simples del término general: ∞ X n=0 ! ∞ X 1 1 1 = − (n + 3)(n + 4) n=0 (n + 3) (n + 4) ! ! ! 1 1 1 1 1 1 = lim − − − + + ··· + n→∞ 3 4 4 5 n+3 n+4 1 1 1 − = . n→∞ 3 n+4 3 = lim b) Aprovechamos que estamos sumando una progresión geométrica: ∞ ∞ ∞ X X 1 X 1 1 1 1 1 = = = n n+3 n+4 16 n=0 2 16 1 − 2 2 n=1 n=0 1 2 = 1 . 8 c) Dividimos en dos progresiones geométricas y sumamos: ∞ X 2n + 3n n=1 Ejercicio 13. 5n = ∞ X 2n n=1 Suma la serie de números reales 5n + ∞ X 3n n=1 5n = 13 . 6 ∞ 2 X n +n+1 n=1 n! ∞ X 1 Solución 13. Esta serie se suma haciendo uso de que = e, y para ello descomponemos el n! n=0 numerador del término general de la forma siguiente: –8– n2 + n + 1 = αn(n − 1) + βn + γ e igualando coeficientes obtenemos que α = 1, β = 2 y γ = 1 . Por tanto la suma de la serie (que existe por el criterio del cociente) es: ∞ X n2 + n + 1 n=1 n! = = ∞ X n(n − 1) n=1 ∞ X n=2 n! ∞ ∞ X n X 1 +2 + n! n=1 n! n=1 ∞ ∞ X X 1 1 1 +2 + (n − 2)! (n − 1)! n! n=1 n=1 = e + 2e + (e − 1) = 4e − 1. –9–