MECANICA DE SUELOS II EC 513 G CICLO 2012 I PRESIÓN LATERAL DE TIERRA PORF. MANUEL F. CORREA MOROCHO MAYO DEL 2012 PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO o o y h h 'h Ko 'o A Peso especifico del suelo = f = c + tan z ´h = Ko´o B Como ´o = z, tenemos ´h = Ko (z) Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944) Ko = 1 – sen Donde = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados, Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko : IP (%) K o 0.44 0.42 100 Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por K o preconsolidada K o normalmenteconsolidada OCR Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como OCR = presión de preconsolidación presión de sobrecarga efectiva presente La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas. PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO Peso específico del suelo = H Po 1 K o H 2 2 H 3 Ko H PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDO A H1 E C H Peso específico del suelo = z Nivel de Agua freática I KoH1 Peso específico saturado del suelo = sat + H2 F B Ko(H1 + ’H2) -(a) G J wH2 (b) K H1 KoH1 = H2 Ko(H1 + ’H2) + wH2 (c) Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido Presión efectiva vertical = o H1 ( z H1 ) Presión efectiva horizontal = h K o o K o H1 ( z H1 ) u w ( z H1 ) h h u Presión total horizontal = K o H1 ( z H1 ) w ( z H1 ) Po 1 1 K oH12 K oH1 H 2 ( K o w ) H 22 2 2 o Po 1 K o H12 2H1 H 2 H 22 w H 22 2 TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA L A´ A Peso especifico del suelo = f = c + tan ´O ´h (a) B´ B Presión activa de tierra de Rankine z Esfuerzo normal A D b c C O a O KoO a D´ (b) Presión activa de tierra de Rankine Esfuerzo normal TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA sen CD CD AC AO OC Pero CD = radio del círculo de falla = o a 2 AO = c cot y OC o a 2 Por lo que o a sen 2 c cot o a 2 TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA c cos o o a a o o 2 sen o a 2 1 sen cos 2c 1 sen 1 sen Pero o presión de sobrecarga efectiva vertical = z 1 sen tan 2 45 1 sen 2 y cos tan 45 1 sen 2 Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos a z tan 2 45 2c tan 45 2 2 La Variación de a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y a o tan 2 45 2 La razón de a respecto a o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine, Ka,o a 2 Ka tan 45 o 2 TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA 2c K a 45 2c 45 2 tan (45 ) 2 z zK a 2c K a (c) (d) 2 ESTADO PASIVO DE RANKINE L A A´ Peso especifico del suelo = f = c + tan ´O ´h B B´ (a) Presión pasiva de tierra de Rankine z Esfuerzo Normal A D b a O Koo C o p Esfuerzo Normal D (b) Presión pasiva de tierra de Rankine TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA 2 p o tan 45 2c tan 45 2 2 z tan 2 45 2c tan 45 2 2 La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee p o tan 2 45 2 o p K p tan 2 45 o 2 TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA 45 45 2 z zK p 2c K p (c) (d) 2 EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO Muro de retención en voladizo La La 45 2 A´ C´ 45 2 A z H B (a) Lp Lp A 45 A 45 2 2 H 45 2 (b) Rotación de un muro sin fricción respecto al fondo C Presión de tierra Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro Presión pasiva p Presión en reposo Presión activa a Inclinación del muro La H LP H Inclinación del muro DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓN RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO Caso Activo a a K az a K aH 1 Pa K aH 2 2 (Nota: c = 0) 45 2 Cuña de falla H H a=a c=0 Pa H 3 KaH (a) 45 2 Cuña de falla H H p=p c=0 Pp H 3 KpH (b) Caso Pasivo p p K pH 1 Pp K pH 2 2 RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO SOBRECARGA Caso Activo a K a o Donde o y a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0 y o o q a a K a q A la profundidad z = H1, y o o q H1 a a K a q H1 A la profundidad z = H, o q H1 H 2 y a K a q H1 H 2 Donde =sat - w. La Variación de a con la profundidad se muestra . La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H, u wH2 El diagrama de la presión lateral total a´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces, 1 1 Pa K a qH k aH12 K aH1 H 2 K a w H 22 2 2 Sobrecarga = q 45+ 2 H1 Cuña de falla Nivel del Agua Freática H H2 sat Z (a) qKa H1 K aH1 K a q H2 + a = a u K a q H1 H 2 (b) wH2 (c) K a q H1 K a H 2 w H 2 (d) Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga Caso Pasivo p K p po Pp K p qH 1 1 K pH12 K pH1 H 2 K p w H 22 2 2 RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL Caso Activo a K a z 2c K a K azo 2c K a 0 o 2c zo Ka Para la condición no drenada, esto es, = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada) tenemos zo 2cu Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad zo Sobrecarga = q 45 - 2 H1 Cuña de falla Nivel del Agua Freática H H2 sat Z (a) qKa H1 K aH1 K a q + H2 p qK p K p H1 H 2 (b) = p u wH2 (c) K p q H1 K p H 2 w H 2 (d) Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno De un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga 45+ 2 Cuña de falla Z H (a) 2c K a zo = - H H - zo a K aH (b) 2c K a (c) K aH 2c K a (d) Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total Pa 1 K aH 2 2 K a cH 2 Para la condición = 0 1 Pa H 2 2cu H 2 Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(Ka) y , H es la única considerada. En este caso 1 2c Pa K aH 2 K a c H 2 Ka 1 c2 2 K aH 2 K a cH 2 2 Para la condición = 0, C 1 Pa H 2 2cu H 2 u 2 2 Caso Pasivo Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación] p K pz 2 K p c En z = 0, p 2 K pc Y en z = H, p K pH 2 K p c 45 - 2 Cuña de falla H p Z K pH 2c K p (a) (b) Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con Relleno de un suelo cohesivo La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como Pp 1 KpH 2 2 K p cH 2 Para la condición = 0, Kp = 1 y 1 2 Pp H 2cu H 2 EJEMPLO Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura, y determine también la posición de la resultante Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos a K a o K az Ka 1 sen 1 sen30 1 1 sen 1 sen30 3 5m = 15.7 KN/m3 = 30° c=0 5m 65.5 KN/m2 1.67 m 26.2kN/m2 (a) (b) 5m 588.8 kN/m 1.67 m 235.5 kN/m2 (c) El diagrama de la distribución de presión se muestra Fuerza activa Pa 1 526.2 2 65.5kN / m La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro. Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que p p K p o K pz Kp 1 sen 1 0.5 3 1 sen 1 0.5 En z = 0, p = 0; en z = 5m, p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2. La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora Pp 1 5235.5 588.8kN / m 2 La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro. EJEMPLO 2 Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro? Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces h h Ko o Ko z K o 1 sen o K o 1 sen30 0.5 Y en z = 0, h = 0; en 5m, h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2 El diagrama de distribución de presión total se muestra Po 1 539.3 98.3kN / m 2 EJEMPLO 3 Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada ( = 0) del relleno, determine los siguientes valores: a. b. c. La profundidad máxima de la grieta de tensión Pa antes de que ocurra la grieta de tensión Pa después de que ocurra la grieta de tensión 5m 98.3 KN/m 1.67 m 39.3 kN/m2 34 kN/m2 2.17m Arcilla blanda saturada 6m = 15.7 kN/m3 =0 Cu = 17 kN/m2 3.83m 60.2 kN/m2 (a) (b) Para = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos Solución a z 2cu En z = 0, a 2cu 217 34kN / m 2 En z = 6m, a 15.7 6 217 60.2kN / m 2 La variación de a con la profundidad se muestra a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a zo b. 2cu 217 2.17m 15.7 Antes de que ocurra la grieta de tensión 1 Pa H 2 2cu H 2 o Pa 1 15.7 62 217 6 78.6kN / m 2 c. Después de que ocurre la grieta de tensión, Pa 1 6 2.17 60.2 115.3kN / m 2 Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación EJEMPLO 4 Se muestra un muro de retención sin fricción. a. b. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp? Solución a. Dado = 26°, tenemos Ka 1 sen 1 sen 26 0.39 1 sen 1 sen 26 De la ecuación a a K a o 2c K a q = 10 kN/m2 -6.09kN/m2 z=1.04m 4m = 15kN/m3 = 26° 4 – z = 2.96m c = 8kN/m2 17.31kN/m2 (a) (b) 153.6 kN/m2 51.2kN/m2 (c) En z = 0 a a 0.3910 28 0.39 3.9 9.99 6.09kN / m2 En z = 4 m a a 0.3910 415 28 0.39 27.3 9.99 17.31kN / m 2 De este diagrama vemos que 6.09 17.31 z 4 z o z 1.04m Después de que ocurre la grieta de tensión Pa 1 4 z 17.31 1 2.9617.31 25.62kN / m 2 2 Dado = 26°, tenemos Kp 1 sen 1 sen 26 1.4384 2.56 1 sen 1 sen 26 0.5616 De la ecuación p p K p o 2 K p c En z = 0, o = 10 Kn/m2 y p p 2.5610 2 2.568 25.6 25.6 51.2kN / m2 De nuevo, en z = 4m, o = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y p p 2.5670 2 2.568 204.8kN / m2 La distribución de p (=p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es Pp 51.24 1 4153.6 204.8 307.2 512kN / m 2 EJEMPLO Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante Solución dado c = 0, sabemos que a = Kao. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es K a K a 1 1 sen30 1 1 sen30 3 6m Muro sin fricción 1.2m Arena 1 = 16.5kN/m3, 1 = 30°, c1= 0 Nivel agua freática Arena 2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3 2 = 35° C2 = 0 (a) Para el estrato inferior, K a K a 2 1 sen35 0.4264 0.271 1 sen35 1.5736 En z = 0, o = o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), o = o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2 1 3 a a K a 1 o 19.8 6.6kN / m 2 De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) o = o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y a a Ka2 o 0.27119.8 5.37kN / m2 En z = 6 m, o 1.216.5 4.819.2 9.81 64.87kN / m 2 y a Ka2 o 0.27164.87 17.58kN / m2 La variación de a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2 5.37 6.6 (kN/m2) 1.2 z (m) 1.2 0 u + 6 z (m) 0 a (kN/m2) 6 17.58 (b) 47.1 (c) a (kN/m2) 0 1 = z (m) 1.2 6.6 2 Pa 3 1.8m 6 5.37 64.68 (d) La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de ( presión activa total) entonces 1 1 P a 6.61.2 4.85.37 4.864.68 5.37 2 2 3.96 25.78 142.34 172.08kN / m La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así entonces 1.2 4.8 3.96 4.8 25.782.4 142.34 3 3 z 1.8m 172.08 MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN 45 45 2 A D 2 A H + H 3 Pa C B (a) Caso activo (+) (b) 45 2 D A 45 2 A H - H 3 C B (c) Caso activo (-) Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla. 45 2 A A D 45 2 A Pp H C + H 3 B (d) Caso pasivo (+) (e) 45 2 45 A A H C H 3 - B (f) Caso pasivo (-) 2 TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB Caso Activo C A - 90 - + Pa W 90 - - 90 + + - + D H 90+- Pa W F - F B (a) (b) Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzas La ley de los senos, tenemos Pa W sen90 sen o Pa sen W sen90 La ecuación precedente se puede escribir en la forma 1 cos cos sen Pa H 2 2 2 cos sen sen90 Donde = peso especifico del relleno. Los valores de , H, , , , y son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crítico de para Pa, máxima, tenemos dPa 0 d Después de resolver la Ec., cuando la relación de se sustituye en la Ec., obtenemos la presión activa de tierra de Coulomb como 1 K aH 2 2 Pa Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por Ka cos 2 sen sen cos cos 1 cos cos 2 2 Caso Pasivo Pp 1 K pH 2 2 Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o Kp cos 2 sen sen cos cos 1 cos cos 2 2 C A 90 - + Presión pasiva de coulomb: (a) Cuña de falla de prueba W H Pp 90 + + F B (a) [180 - (90 - + ) – ( + )] Pp 90 - + (b) Polígono de fuerzas F W + (b) ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN Pa 1 K aH 2 2 Donde Ka 1 sen tan 2 45 1 sen 2 A C1 A Ws Pa (coulomb) H (o) H W Wc c Wc Pa (Rankine) H 3 H 3 B B (a) KaH A Pa (coulomb) H (o) Wc H 3 C2 A (b) Ws B Pa (Rankine) H H W Wc c H 3 B Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular El valor de Pa(Rankine) se da por la relación Pa Donde 1 K aH 2 2 H BC 2 cos y cos cos 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 Donde = talud de superficie del terreno Ka 1 sen tan 2 (45 1 sen 2