MATEMÁTICA 1° DE SECUNDARIA PROGRAMACIÓN VIRTUAL 2020 Profesor: TEMA: CONJUNTOS Ejemplo: A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Néstor, Ricardo} C = {3; 5; 12;18} Relación de pertenencia (∈) Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "pertenece" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "∈", en el caso de no pertenecer por "∉". Ejemplo: Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8} Entonces: 2∈A ;4∉A ;7∈A Determinación de conjuntos Existen dos formas de determinar un conjunto: Por extensión Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo: A = {a; m; o; r} B = {1; 3; 5; 7; 9} Por comprensión Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {x / x es una letra de la palabra aroma} B = {x / x es un número impar menor que 10} Relaciones entre conjuntos 1. Igualdad: Dos conjuntos "A" y "B" son iguales si y solo si, tienen los mismos elementos y el mismo cardinal. Se denota por A = B. Ejemplo: A = {2; 3; 4} B = {x / x ∈ Ν , 1 < x < 5} A = B, pues: B = {2; 3; 4} 2. Inclusión: Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B"; si y solo si, todos los elementos de "A", son también elementos de "B". Se denota por: "A ⊂ B" y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B". La negación de A ⊂ B se escribe A ⊄ B Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒A⊂B Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10} Entonces se cumple: {3} ⊂ A {3; 9} ⊂ A {{6}} ⊂ A {3; 6} ⊄ A Clasificación de conjuntos Según la cantidad de elementos, los conjuntos se clasifican en: finitos, infinitos, unitarios y vacíos. 1. Conjunto finito Un conjunto es finito, cuando podemos contar o nombrar todos sus elementos. Ejemplo: P = {x/x N ;2 ≤ x < 9} Q = {x/x es un país latinoamericano} 2. Conjunto infinito Un conjunto es infinito, cuando no se puede contar o nombrar todos sus elementos. Ejemplo: R = {x / x ℝ ;0 < x < 1} S = { x/x es un múltiplo de 3} Conjuntos Especiales 1. Conjunto Unitario: Al conjunto que consta de un solo elemento se le llama conjunto unitario o Singletón. Ejemplo: T = {x/x N ; 5 < x < 7} V = {x/x es un número primo múltiplo de 2} 2. Conjunto Vacío o nulo: Un conjunto es UNITARIO, cuando no posee ningún elemento. Ejemplo: Y = {x / x 𝑁 ; - 6 < x < -1} Z = { x/x es un perro con alas} 3. Conjunto referencial o universal (U) Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U. Ejemplo: Si : A = {1; 2; 3} B = {–1; 0; 4} Un conjunto universal para "A" y "B" podría ser: U = {–1; 0; 1; 2; 3; 4}, pues los elementos de "A" y "B" están en U. Cardinal de un conjunto Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A) Ejemplo: A = {3; 4; 7; 9; 13} ⇒ n(A) = 5, se lee: "el cardinal de A es 5" B = {a; b; c; b; a; a} = {a; b; c} ⇒ n(B) = 3 Conjunto Potencia P(A) • Subconjuntos Sea el conjunto: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17} Es correcto indicar: {2; 3} ⊂ A {17} ⊂ A • Conjunto Potencia Es el conjunto de conjuntos que está formado por todos los subconjuntos: {3; 7; 13} ⊂ A • Cantidad de subconjuntos Sea n(A) = n → "A" tiene 2𝑛 subconjuntos Ejemplo: Ejemplo: Sea el conjunto: A = {2; 3; 5} El conjunto potencia es: Sea el conjunto: A = {2; 3; 5} Son en total: 23 = 8 P(A)={ φ; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}} Desarrollamos: Ejercicios del CT PÁGINA 266 BLOQUE 1 PÁG.266 1. Marcelo y Joaquín, aprovechando sus vacaciones de verano, asistieron a una academia de natación durante el mes de febrero (2016). Marcelo iba a sus clases los días lunes, miércoles y viernes, mientras que Joaquín solo lo hacía los días viernes. Se pide: a) Determine por extensión el conjunto que contenga todas las fechas de los días que asistía Marcelo a sus clases de natación b) Determine por comprensión el conjunto que contenga las fechas de los días que asistía Joaquín a sus clases de natación. Adjuntamos como dato el siguiente cuadro: Solución: 𝒂) 𝑀 = 1; 3; 5; 8; 10: 12; 15; 17; 19; 22; 24; 26; 29 𝒃) 𝐽 = 7𝑥 − 2/𝑥 ∈ 𝑁 ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 PÁG.266 2. Sean los conjuntos: A ={a; {b}; c; d; e; f} B ={b; d} C ={a; e} D ={b; c; d} Escribe ∈; ∉; ⊂ 𝑜 ⊄ según corresponda ∉ ⊂ ⊄ ⊂ ⊄ ⊄ ∉ ∉ ⊂ ∈ ⊂ ⊂ ⊄ ⊂ ⊂ PÁG.266 𝑨 = {𝟎; 𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒; 𝟏𝟔} 𝑩 = {𝟐; 𝟒; 𝟖; 𝟏𝟔} 𝑪 = {𝟒; 𝟏𝟎; 𝟏𝟔} 1 𝑫 = {𝟏} 𝑼 = {𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟏; 𝟏𝟐; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟏𝟔; } Conteste verdadero (V) o falso (F) a cada una de las relaciones de pertenencia e inclusión. (F) (F) (V) (F) (F) (F) (F) (F) (F) (V) (V) (V) (V) (F) (F) (V) (F) (F) (V) (F) PÁG.266 4. Relacione cada pareja de conjuntos iguales: < x 5. Clasifique cada conjunto como finito, infinito, vacío y unitario según corresponda: I = { ( x + 1)/x ϵ N / x es par } ( infinito ) j = { (−1)𝑥 / x es impar } ( unitario ) K = { 5x / x N; 0 ≤ x < 21000 } ( finito ) L = { x / x N; 2< x < 3 } ( vacío ) 6. Sean los conjuntos: 𝑴 = {𝟐; 𝟒; 𝟔; 𝟖; 𝟏𝟎} 𝒏 𝑴 =5 𝑵 = {𝟎; 𝟒; 𝟏𝟔; 𝟑𝟔} 𝒏 𝑵 =4 𝒏 𝑷 =3 𝑷 = {𝟎; 𝟏; 𝟒} Calcule el cuadrado de la suma de los cardinales de M, N y P (5 + 4 + 3)2 = 122 = 𝟏𝟒𝟒 7. Si: M={3a + 1; 25 ; 5b +10} Es un conjunto unitario, calcule el valor de (𝑎 − 𝑏)2 Solución: • Si M es un conjunto unitario entonces: 3a + 1 = 25 = 5b +10 • Reemplazamos a y b: (𝑎 − 𝑏)2 = (8 − 3)2 = (5)2 3a + 1 = 25 a=8 25 = 5b +10 b=3 = 𝟐𝟓 8. Si: 𝐴 = {𝑎2 − 5; 16} y 𝐵 = 𝑏2 + 3𝑎; 11 son conjuntos iguales, calcule el valor de (𝑎 − 𝑏 2 )3 Solución: • Si A y B son conjunto iguales entonces: (𝑎 − 𝑏 2 )3 = (4 − 22 )3 𝐴=𝐵 {𝑎2 − 5; 6} = 𝑏2 + 3𝑎; 11 𝒂𝟐 − 𝟓 = 𝟏𝟏 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔 𝒂=𝟒 • Reemplazamos a y b: 𝒃𝟐 + 𝟑(𝟒) = 𝟏𝟔 𝒃𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔 𝒃𝟐 = 𝟒 𝒃=𝟐 = (1)3 =𝟏 9. Sea el conjunto: P = {(x²– x) / x N; - 4 ≤ 2x ≤ 7}, calcule el número de subconjuntos propios que tiene P. Solución: • Hallamos por extensión P: P = {(x²– x) / x N; - 4 ≤ 2x ≤ 7} - 4 ≤ 2x ≤ 7 - 2 ≤ x ≤ 3,5 Valores de x: 0; 1; 2; 3 𝑃 = {0; 2; 6} • Calculamos el número de subconjuntos 𝑛 𝑃 =3 propios de P: 2𝑛(𝑃) − 1 = 23 −1 =𝟕 9. Dados los siguientes conjuntos iguales. • 𝑉 = {b + 2; 4} b+2=5 b=3 • 𝑇 = {b + 1; c + 1} Calcula el valor de (a + b – c ) x ( a – b + c ) 𝑇 = {4; c + 1} Solución: 𝑅=𝑆 {𝑎 + 2; 𝑎 + 1} = 7 − 𝑎; 8 − 𝑎 c+1=5 c=4 • Calculamos: (a + b – c ) x ( a – b + c ) = (3 + 3 – 4 ) x ( 3 – 3 + 4 ) a+2=8−a 2𝑎 = 6 𝑎=3 𝑆 = {7 − 3; 8 − 3} 𝑆 = {4; 5} = (2 ) x (4 ) =8 11. Determine por extensión los siguientes conjuntos: 𝑨 = {𝟏; 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟗; 𝟏𝟏; 𝟏𝟑; 𝟏𝟓; 𝟏𝟕} x: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 𝑩={} x: 7; 8; 9; 10; 11; 12 𝑪 = {𝟎; 𝟓; 𝟏𝟐; 𝟐𝟏; 𝟑𝟐 } x: 2; 3; 4; 5; 6 𝐃 = {4; 5; 6; 7; 9; 12; 15; 21; 39} x: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 12. Observe el gráfico y conteste a las siguientes preguntas a) Determine por extensión cada uno de los conjuntos mostrados 𝑨 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎; 𝟏𝟏; 𝟏𝟐; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓} 𝑩 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟕; 𝟏𝟎; 𝟏𝟑; 𝟏𝟒} 𝑪 = {𝟏; 𝟒; 𝟔; 𝟏𝟎; 𝟏𝟐; 𝟏𝟒} 𝐃 = {1; 4; 9} b) Determine por comprensión (forma simbólica) el conjunto D 𝐃 = {1; 4; 9} 𝐃 = 𝒙𝟐 /𝒙 ∈ 𝐍; 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 12. Observe el gráfico y conteste a las siguientes preguntas c) Calcule: 𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 = 𝟏𝟓 =𝟖 =𝟔 =𝟑 15 × 3 − 6 = 8 45 − 6 = 8 𝟑𝟗 = 𝟖 d) ¿Cuál o cuáles son los elementos que están presentes en todos los conjuntos mostrados? 𝑹𝒑𝒕𝒂 = {𝟒} e) ¿Cuál o cuáles de los conjuntos está incluido el subconjunto { 2; 5; 9} ? 𝑹𝒑𝒕𝒂 = 𝑨 13. Determine por comprensión (forma simbólica) los siguientes conjuntos: 𝐄 = 𝒙/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟖 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟖 𝐅 = 𝟐𝒙 + 𝟏/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟔 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟔 𝐆 = 𝒙(𝒙 + 𝟏)/𝒙 ∈ 𝐍; 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 14. Si , calcula el cardinal de A Solución: • x: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 • Reemplazamos en x en 3𝑥+1 2 • 𝐴 = 2; 5; 8; 11 • 𝑛(𝐴) = 4