REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NUCLEO- GUANARE GUIA I (Limites Por Definición E Indeterminaciones) UN POCO DE HISTORIA Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.2 Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.3 La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 18604 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908. I. Límite: de un enfoque informal. Las dos grandes áreas de cálculo se dividen en calculo diferencial y calculo integral que son los que se basan en un concepto fundamental del límite en esta sección el enfoque que haremos a este concepto será intuitivo centrado en la comprensión de que es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y ejemplos. II. Definición Informal De Limites Una función f tiene límite un número real L en C si f(x) se acerca cada vez más al número L cuando x se aproxima más y más al número C, sin llegar a veler C, en cualquier sentido. EJERCICIOS Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve III. Existencia O No De Un Límite: si tanto el limite por la izquierda lim x–a- f(x) como el limite por la derecha lim f(x)x—a+ existen y tiene un valor común L,. IV. Teoremas sobre continuidad 1. Teorema de los valores intermedios: Sea f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], tal que f(a)≠f(b). Entonces f(x) toma todos los valorescomprendidos entre f(a) y f(b) cuando x varía entre a y b. 2. Teorema de Bolzano: Sea f una función continua en [a,b] tal que f(a) y f(b) tienensignos distintos. Entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal quef(c) = 0 3. Teorema de los valores óptimos (Weierstrass): Si una función f es contínua en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, entonces f alcanza un máximo y un mínimo dentro del intervalo. IV. Definición formal De Limites El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo todo número real x en el dominio de la función existe un . EJERCICIOS Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,001 Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,002 Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,003 Si entonces calcule el valor δ, para un valor de ε = 0,003 Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve tal que para V. Propiedades de los Límites. Ejercicios Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso: (LIMITES INDETERMINADOS) Operaciones con infinito Sumas con infinito Infinito más un número Infinito más infinito Infinito menos infinito Productos con infinito Infinito por un número Infinito por infinito Infinito por cero Cocientes con infinito y cero Cero partido por un número Un número partido por cero Un número partido por infinito Infinito partido por un número Cero partido por infinito Infinito partido por cero Cero partido por cero Infinito partido por infinito Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve VI. Limites Indeterminados Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones (Factor común, trinomio, diferencia de cuadrados, Ruffini, conjugada entre otras). VII. Tipos de indeterminación Estudiaremos los casos 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 1∞ . Cero sobre EJERCICIOS RESUELTOS cero Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten x3 x 1 x2 x4 4. Lim 3 x 2 x 3 r 7. Lim r 8 r 3m 2 3 m 1 m 1 t2 9 5. Lim 2 t 3 t 5t 6 3 x 1 8. x 1 5 n 5 11. Lim n 0 2n 1 1 16 8 2 8 v 1 2 10. Lim v 3 v 3 1. Lim Infinito partido por 2. Lim ( x 2) 2 x 2 x2 4 x 64 6. Lim x 64 x 8 3. Lim x2 2x 1 x 1 x 1 x 2 11. Lim 2 x 2 x x 6 9. Lim Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente. infinito EJERCICIOS RESUELTOS Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve Infinito Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado. menos infinito Calcula los siguientes límites, eliminando las indeterminaciones que se presenten Uno al Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e. infinito Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve VIII. Límites Trigonométricos En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. lim x 0 1 cos x tan x senx tan 2 x 0 1 cos x lim x lim x 0 1 cos x senx senx cos x tan 2 0 1 cos 0 0 (1 1) lim x 0 1 cos x cos x senx senx cos x lim x 0 1 cos x cos x senx(1 cos x) lim x 0 cos x senx cos0 sen0 1 0 0 0 2 tan 2 x lim x 0 1 cos x lim x 0 1 cos x cos2 x senx cos x lim x 0 1 cos x 1 cos0 cos2 0 sen 2 x lim x 0 1 cos x cos2 x 1 1 12 1 cos2 x lim x 0 1 cos x cos2 x lim x 0 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos2 x 2 Ejercicios Propuestos: “No es grande aquel que nunca falla si no el que nunca se da por vencido” Prof. REIMY PALENCIA……………reimypalencia.webnode.com.ve
