ECUACIONES DIFERENCIALES Unidad V: Transformaciones de Laplace Tema: Definición, propiedades, transformada inversa y teoremas de traslación June 9, 2020 Objetivo Halla la transformada de Laplace de una función. Halla la transformada inversa. Calcula la transformada de una derivada. Definición Si f (t) es una función definida para t ≥ 0, entonces a la integral Z ∞ e −st f (t)dt = lim Z b b→∞ 0 0 e −st f (t)dt se llama transformada de laplace de f , siempre y cuando exista el lı́mite. Notación Z ∞ L{f (t)} = e −st f (t)dt = F (s) 0 L{f (t)} = F (t) Ejemplo Encuentre L{4} Solución Z L{4} = ∞ 4e 0 −st Z dt = lim b→∞ 0 b 4e −st dt b 1 1 1 − e −st = 4 lim − e −sb + b→∞ b→∞ s s s 0 L{4} = 4 lim I I 1 1 4 − e −sb + = b→∞ s s s 1 1 Si s < 0 entonces 4 lim − e −sb + no existe b→∞ s s Por consiguiente, 4 L{4} = , s > 0 s Si s > 0 entonces 4 lim Observación La transfomada de laplace es una transformación lineal. Es decir; L{αf (t) + βg (t)} = αL{f (t)} + βL{g (t)} Definición Se dice que una función f : [0, +∞[→ R es de orden exponencial si existen números c, M > 0 y T > 0, tales que |f (t)| ≤ Me ct , ∀t > T Teorema Si f (t) es continua por tramos en el intervalo [0, +∞[ y de orden exponencial c para t > T . Entonces, existe L{f (t)} para s > c Ejemplo Encuentre L{t} Solución Z L{t} = ∞ e −st lim b→∞ 1 t − e −st − 2 e −st s s b 0 I b te −st dt b −sb 1 −sb 1 = lim − e − 2e + 2 b→∞ s s s I tdt = lim b→∞ 0 0 Z b Si s > 0 entonces lim − e −sb − b→∞ s b Si s > 0 entonces lim − e −sb − b→∞ s 1 Por lo tanto L{t} = 2 , s > 0 s 1 −sb e + s2 1 −sb e + s2 1 1 = 2 2 s s 1 no existe s2 Propiedades a) L{k} = d) e) f) g) k s n! , n = 1, 2, 3, · · · s n+1 1 L{e at } = s −a k L{senkt} = 2 s + k2 s L{coskt} = 2 s + k2 k L{senhkt} = 2 s − k2 s L{coshkt} = 2 s − k2 b) L{t n } = c) '(/5DO,QYHUVR YDU>NW@!>NV@ Ejemplos a) Halle L{t 3 } Solución: 3! L{t 3 } = 4 s b) Halle L{e −7t } Solución: 1 L{e −7t } = s +7 b) Halle L{sen8t} Solución: 8 L{sen8t} = 2 s + 64 Transformada Inversa de Laplace Si la Transformada de Laplace de una función f (t) es: L{f (t)} = F (s) Entonces, la transformada inversa de Laplace es: f (t) = L−1 {F (s)} Propiedades k =k s n! −1 L = t n , n = 1, 2, 3, · · · s n+1 1 −1 = e at L s −a k −1 L = senkt s2 + k2 s −1 L = coskt s2 + k2 k = senhkt L−1 2 s − k2 s −1 = coshkt L s2 − k2 a) L−1 b) c) d) e) f) g) 75$16,19(56$ '(,QD5 GH>NV@!>NW@ Ejemplo Observación La transfomada inversa de laplace es una transformación lineal. Es decir; L−1 {αF (s) + βG (s)} = αL−1 {F (s)} + βL−1 {G (s)} Ejemplo 3s + 4 s2 + 7 Solución 3s + 4 s 1 −1 −1 −1 L = 3L + 4L s2 + 7 s2 + 7 s 2 + 7( ) √ 3s + 4 s 4 7 √ √ L−1 = 3L−1 + √ L−1 s2 + 7 s 2 + ( 7)2 7 s 2 + ( 7)2 √ √ 3s + 4 4 −1 √ L 7t) + 7t) = 3cos( sen( s2 + 7 7 Halle L−1 Primer Teorema de Traslación Si L{f (t)} = F (s) entonces L{e at f (t)} = F (s − a), ∀a ∈ R Es decir; DW!DV L{e at f (t)} = L{f (t)}s→s−a = F (s)s→s−a = F (s − a) Su inversa es: 'D6!DW L−1 {F (s − a)} = e at f (t) Ejemplo Halle L{e −2t cos4t} Solución L{e −2t cos4t} = L{cos4t}s→s+2 = = s 2 s + 16 s +2 (s + 2)2 + 16 s→s+2 Ejemplo Encuentre L−1 s s 2 + 6s + 11 L−1 {F (s − a)} = e at f (t) Solución f (t)} = L{f (t)}s-a →s = F (s) s s L−1 = L−1 s 2 + 6s + 11 (s + 3)2 + 2 s +3−3 −1 =L (s + 3)2 + 2 s +3 3 −1 −1 =L −L (s + 3)2 + 2 (s + 3)2 + 2 s 3 −3t −1 1 −3t −1 √ √ =e L −√ e L s + ( 2)2 2 s + ( 2)2 √ √ 3 = e −3t cos( 2t) − √ e −3t sen( 2t) 2 Función escalón unitaria La función U(t − a), definida como U(t − a) = 0 si 1 si 0≤t<a t≥a Segundo Teorema de Traslación 'HD7!DV Si a > 0, entonces L{f (t − a)U(t − a)} = e −as L{f (t)} = e −as F (s) su inversa es: L−1 {e −as F (s)} = f (t − a)U(t − a) 'HD6!DW Ejemplo Halle L−1 2e −3s s2 + 3 L−1 {e −as F (s)} = f (t − a)U(t − a) Solución: −1 L 2e −3s s2 + 3 = f (t − 3)U(t − 3) ( ) √ √ 2 3 −1 √ f (t) = = 2L = sen 3t 2 s +3 s 2 + ( 3)2 reemplazando −3s √ 2e −1 L = sen( 3(t − 3))U(t − 3) s2 + 3 L−1 −1 L 2e −3s s2 + 3 √ = sen( 3(t − 3))U(t − 3) finalmente, se tiene la solución √ sen( 3(t − 3))U(t − 3) = 0 si √ sen( 3(t − 3)) si 0≤t<3 t≥3 Observación La función escalón unitaria, también nos permite representar en forma conveniente las funciones continuas a tramos. Por ejemplo I Si f (t) = f1 (t) si f2 (t) si 0 ≤ t < t1 t ≥ t1 Entonces f (t) = f1 (t) + U(t − t1 )(f2 (t) − f1 (t)) I Si f1 (t) si f2 (t) si f (t) = f3 (t) si 0 ≤ t < t1 t1 ≤ t < t2 t ≥ t2 Entonces f (t) = f1 (t) + U(t − t1 )(f2 (t) − f1 (t)) + U(t − t2 )(f3 (t) − f2 (t)) Teorema Sea f (t) definida en [0, +∞[. Supongamos que a ≥ 0 y que existe Lf (t). Entonces, L{U(t − a)f (t)} = e −as L{f (t + a)} Ejemplo Calcule L{U(t − 1)(t 2 + 1)} Solución L{U(t − 1)(t 2 + 1)} = L{U(t − 1)f (t)}, f (t) = t 2 + 1 = e −s f (t + 1)} = e −s L{t 2 + 2t + 2} 2 2 2 −s =e + + s3 s2 s Teorema Para n = 1, 2, 3, · · · L{t n f (t)} = (−1)n dn L{f (t)} ds n Ejemplo Halle L{te −t cost} Slución L{te −t cost} s +1 d d −t = − L{e cost} = − ds ds (s + 1)2 + 1 2 2−s = ((s + 1)2 + 1)2 Teorema Para n = 1, 2, 3, · · · L{y n (t)} = s n Y (s) − s n−1 y (0) − s n−2 y 0 (0) − · · · − y n−1 (0) donde Y (s) = L{y (t)} Nota: Este teorema sirve para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales Dennis G. Zill, Michael R Cullen, Ecuaciones Diferenciales con problemas de Valores en la Frontera, Sexta Edición, Thomson,2006 Nagle – Saff – Zinder, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Pearson Addison Wesley 2005 Edwards, C. Henry, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera ECUACIONES DIFERENCIALES Unidad V Transformada de Laplace Tema: • Teorema de convolución. • Transformada de la función Delta Dirac. • Transformada de funciones periódicas. Semana Objetivo • Halla la transformada de Laplace de una función. • Halla la transformada inversa. • Resuelve ecuaciones diferenciales con condiciones iníciales usando transformada de Laplace. • Aplicar las transformadas de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales Convolución f g t 0 NOTA f g g f f u g t u du. EJEMPLO Teorema de la Convolución Forma Inversa del Teorema de la Convolución A veces, el teorema de la convolución es útil para determinar la transformada inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace L1F s G s f * g t f u g t u du 0 FUNCIÓN DELTA DE DIRAC FUNCIÓN DELTA DE DIRAC La función Delta Dirac , también escrita como Dirac , es la función definida por t t0 lim a t t0 a 0 donde 1 a t to 2a 0 si t0 a t to a si en otra parte Equivalent e PROPIEDAD 0 t t0 t t0 dt 1 si t t0 si t t0 TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC a s i L t a e ii L t 0 1 iii t a L1ea s TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIODICAS i Una función f continua en el int ervalo de periodo T si 0, T se dice que es periódica f t T f t para todo t 0. Sea f : 0, una función continua a trozos y de orden exp onencial en el int ervalo 0. . Si f t es periódica, con periódo T , entonces L f t 1 1 e s T T 0 e s t f t dt EJEMPLO L f t 1 1 e s T T 0 e s t f t dt Solución de Ecuaciones Lineales 75$16)250$'$'(/$'(5,9$'$ Solución de Ecuaciones Lineales EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 La Transformada de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales Se puede utilizar la transformada de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Consiste, en convertir el sistema diferencial en un sistema algebraico en el que las incógnitas son las transformadas de las funciones solución del sistema original. Una vez resuelto el sistema algebraico, las transformadas inversas proporcionan las soluciones buscadas. EJEMPLO 1 EJEMPLO 1 EJEMPLO 1 Se concluye que la solución del problema de valores iniciales es: EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 Bibliografía: 515.35 Z945 2009 Ecuaciones Diferenciales con problemas de Valores en la Frontera – Dennis G. Zill, Michael R Cullen – sexta edición - Thomson – 2006 Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera - Nagle – Saff – Zinder Pearson Addison Wesley 2005 515.35 E26 Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Edwards, C. Henry. Mexico D.F. Pearson Educación 2009.