CUADERNILLO DE EJERCICIOS MATE 3 SEC

I.
REPASO DE EJERCICIOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA.
I. 1.
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES.
1.
3a+2a=
2.
–5b – 7b =
3.
–a² - 9 a² =
4.
3 ax-2
5.
–4 am+1
6.
1 ab + 2 ab =
2
3
7.
–1 x² y - 1 x²y + 1 x² y =
2
4
8
8.
–1 xy – 2 xy =
3
3

+ 5 ax-2 =
– 7 am+1
=
CON DISTINTO SIGNO Y DIVERSOS TERMINOS
9. 5 a – 6 b + 9 a- 20 c – b + 6 b – c =
10. 0.3 a + 0.46 + 0.5c – 0.6 a – 0.7b – 0.9c + 3 a –3b –3c =
11. 1 a + 1 b + 2 a – 3b - 3 a – 1 b + 3 – 1 =
2
3
4
6
4 2
I.2 S U M A S
12.
x² + 4 x
x² – 5 x
13.
a ² + ab
- 2 ab+ b²
1
14.
x² –4x
2x2 -7x+ 6
3x²
-5
15. a x-1 – 3 ax-2
;
5 ax-1
+ 6 ax-3
; 7 ax-3
+ ax-4
+ ax-1 ; - 13 ax-3
R=___________________________________________________________
16. 1 x3 - 2 x ² y
3
+ 2 y3
+5
5
-1 x ² y + 3 x y ² - 3 y3
10
4
7
1 x y ² - 1 y3
8
-5
2
1.3 RESTAS DE MONOMIOS.
DE
17. –1 RESTAR – 9 =
18. 8x RESTAR – 3 =
19. 6x²y RESTAR -x²y =
20 –8xx+2
RESTAR 11 =
21. –35 ma RESTAR – ½ =
22. 5 RESTAR - ½
=
23. –2/3 RESTAR –1/2 =
24. – 1 ab² RESTAR – 3 ab² =
8
4
2
=
RESTAR:
25. -7 DE –7 =
26. –25 DE 25 a b =
27. –11x3 DE 54 x3 =
28.
ax DE - 3 ax =
29.
–a DE 3 a =
30.
– 6 a DE 1/4 =
31.
– 5 DE –2/3=
32.
45 a3 b² DE –1/9 a3 b²=
33.
– (x² - 5x ) DE (-x² + 6) =
________________________________________
– (a-b) DE (b-a)
______________________________________
DE:
35. DE (x3 - x² + 6) – (5x² - 4x + 6) ______________________________________
34.
36. DE ( x-y + 2) – (a-b)
______________________________________
37. ( 1 a²b² - 3 ab - 8)
6
5
RESTAR
( 4 a3 b3 + 1 ab + 2 a² b² - 9 ) =
10
3
1.4 SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION Y REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES.
38.
x- (x - y) =
39.
4m – (2m – n) =
40.
a + (a-b) + (-a+b)=
41.
a+
42.
2x +
- 5x – (2-y+
43.
2m -
(m-n) – (m+n)
( -2 a +b) – ( -a+b-c) +a =
-x + y
)=
=
3
44.
3x -
x+ y – (2x + y)
45.
2a+
a – (a+b)
=
=
5 + (- 5m+6) – (m+5) – 6
46.
47.
2a-
-x + a-1
-
=
a+x–3
=
1.5 MULTIPLICACIONES ALGEBRAICAS
48.
( 2) POR (-3)=
49.
-4 POR –8 =
50.
-15
51.
ab POR –ab=
52.
(2x²) (-3x)=
53. am
+ 16 =
am+1
54. 4 an bx
=
- abx+1
POR –4 an+2
55.
-3 an+4
56.
am bn c POR – am b2n =
57.
1 a² POR 4 a3b
2
5
58.
bn+1
=
bn+3
=
=
2 x² y3 POR –3 a² x4 y =
3
5
4
59.
3 am bn POR – 4 a2m bn =
8
5
60.
1a
3
3 am =
61. –5x3 y
xy² =
62.
a² x3
3 a²x=
63.
am bn POR –ab =
64.
-5 am bn POR -6 a² b3 x=
65.
-mx na POR –6m ² n=
66. 3x² - x
67. 8x² - 3y²
2 ax3
-2x
69. a 3 -5a² - 3ab²
4
2
-4a m
68. a3 - 4a² + 6ª
3ab
70. am-1 + a m-2
-2a
71. a – 4
a+3
72. – a - 2
- a-3
1.6 DIVISION ALGEBRAICA
73. –24 ENTRE 8 =
76. 14 a3 b4 c ENTRE –2ab2 =
74. –63 ENTRE –7 =
77. a3b4c ENTRE a3b4 =
75. –5a² ENTRE –a =
78. –x y² ENTRE 2y =
5
79. 20 a² ENTRE 4 a =
81. –80 ENTRE –40 =
80. –5 a4b3c ENTRE -a2b =
82. –120 a ENTRE –120 a =
83. – 3 ax bm =
a b2
84. axbm =
-4am bn
85. 5x4 y5
- 6 x4y
86. –3ma nx x3 =
-5mxn2x3
87. a m+3
a m+2
88. 2 x a+4
- x a+2
89. 12 xn+3 =
-4x n+4
=
90. a x+3 b m +2
a x+2 b m+1
91. – 5ab2c3 =
6ambncx
=
1
93. 2 x2 =
2
3
92. 2/3 a2bc =
-5/6 a2 bc
94. 2 xy5 z3
3
-1 z 3
4
=
95. 3m4 n5 p6
-1 m4 n p5
3
=
96. –2 a x+4 b m+3
-1 a4 b3
=
97.
=
7 a-2 b-5 c-6
8
5
2
6
- 5 ab c
6
=
=
a2 –ab
98. a
100. a2
ax + a m-1
102 .-3 a3
2 am- 3 a m+2 + 6 a m+4
103. 2 x
3
1 x2 – 2x
2
3
105. a+1
106.
99. –3x2
3x2 y3 –5 a2 x4
101. m2
mb + mb-2
104. –3 1 a3 – 3 a2 + 1 a
3
5
4
a2 –2 a – 3
4a – 5b
12 a3 – 35 a2b + 33 ab2 – 10b3
7
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 5x = 8x - 15
2. y - 5= 3y - 25
3. 9y –11 = 10 + 12y
4. 11x + 5x -1= 65x- 36
5. 8x + 9 –12x= 4x-13 - 5x =
6. 14 -12x +39x -18x = 256 -60x- 657x
7. x-(2x+1) = 8- (3x+3)
8. (5 - 3x) – (-4x+ 6) = (8x+ 11) – ( 3x- 6)
9. x- 5+3x- 5x - (6+x)
=-3
10. 3x+ -5x- (x+3)
= 8x + (-5x – 9 )
Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas elaborar por los
métodos de: igualación, sustitución, reducción, determinantes y graficación.
1.
x + 6y = 27
7x - 3y = 9
2.
3x - 2y = - 2
5x + 8y = - 60
3.
3x + 5y = 7
2x – y = - 4
4.
7x - 4y = 5
9x +8y = 13
5.
15x - 11y = - 87
-12x - 5y = - 27
8
II.
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES.
Suma de dos cantidades al cuadrado.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
118.
119.
(m +3)2 =
(5 + x)2 =
(6a + b)2 =
(9 + 4n)2 =
(7x +11)2 =
(x+y)2 =
(1+x)2 =
(3 a3+ 8b4)2 =
(4m5 + 5n6)2=
(7 a2b3 + 5x4)2=
(4 ab2 + 5xy3)2=
(am + bn )2=
(ax + bx+1)2=
(x a+1 + y x-2)2=
RESTA DE DOS CANTIDADES AL CUADRO
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
(a-3) 2=
(x-7)2=
(9-a)2=
(2 a –3b)2=
(4ax – 1)2=
(a3 –b3)2=
(3 a4 – 5b2)2=
(x2 –1)2 =
(x5-3ay2)2 =
(a7 –b7)2 =
(2m – 3n)2 =
(10x3 – 9 xy5)2=
(xm – yn)2=
(a x-2 –5)2=
(x a+1 –3x a-2)2=
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
135.
136.
137.
138.
139.
(x+y) (x-y)=
(m-n) (m+n)=
(a-x) (
)=
(x2+a2) (
)=
(
) (1+2 a)=
9
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
(n - 1) (
)=
(2n +9) (
)=
(a3- b2) (
)=
(y2-3y) (
)=
(1-8xy) (
)=
(6x2 – m2x) (6x2m2x)=
(am+bn) (am - bn)=
(3xa - 5ym) (5ym +3xa)=
(a x+1 -2bx-1) (2b x-1+a x+1)=
(a+x) (
)=
(x+y+z) (x+y-z)=
151.
(x+y-2) (x-y+2)=
152.
(2a+ b - c) (2a – b + c)=
153.
(x2-5x+6) (x2+5x-6)=
CUBO DE UN BINOMIO
157. (a+2)3 = (
)3+3(
158. (x-1)3 = (
)3_3(
)2 (
)2 (
)+3(
)+3(
)(
)(
)2+(
)3=
)2 _ (
)3=
159. (m +3)3 =
160. (n - 4)3 =
161. (2x +1)3 =
162. (1- 3y)3=
10
163. (2 + y2)3 =
164. (1-2n)3 =
165. (4n + 3)3 =
166. (a2 - 2b)3 =
167. (2x+3y)3 =
168. (1- a2)3 =
169. (2a +3)3 =
170. (3m2-2n)3 =
171. (x2+2y2)3 =
172. (5m+1)3 =
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x+a) (x+b)
173. (a+1) (a+2)=
174. (x+2) (x+4)=
175. (x+5) (x-2)=
176. (m-6) (m-5)=
177. (x+7) (x-3)=
178. (x+2) (x-1)=
179. (n2-1) (n2+20)=
180. (n3+3) (n3-6)=
181. (x3+7) (x3-6)=
182. (a5-2) (a5+7)=
183. (a6+7) (a6-9)=
184. (ax-3) (ax+8)=
11
185. (a2b2-1) (a2b2+7)=
186. (a x+1-6) (a x+1-5)=
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (mx+a) (nx+b)
187. (2 a+3) (3 a+6)=
188. (8m+6) (5m-2)=
189. (10 a2+3) (7 a2-3)=
190. (5 a+1) ( a-7)=
191. (3m2-3) (14 a+1)=
192. (7n3+3) (n3-1)=
193. (2a3+7) (3a3+5)=
194. (3m-7) (10m+5)=
195. (4y-2) (5y-5)=
196. (13 a4 - b2) (a4-3b2)=
197. (n2+1) (5n2-7)=
MISCELANEA
198. (x+2)2=
199. (x-2) (x+3)=
200. (x+2) (x-2)=
201. (x-1)2=
202. (n - 3) (n+5)=
203. (m-3) (m+3)=
204. (a+b-1) (a+b+1)=
12
205. (1+b)3=
206. (a2+4) (a2-4)=
207. (3ab-5x2)2=
208. (ab+3) (3-ab)=
209. (1- 4ax )2 =
210. (5a -3) (10a + 5)=
211. (m+8) (m+12)=
212. (ax+bn) (ax-bn)=
213. (ax+1-8) (xa+1+9)=
214. (a+b) (a-b) (a2-b2)=
215. (x+1) (x-1) (x2-2)=
216. (a+3) (a2+9) (a-3)==
III. COCIENTES NOTABLES. CASO 1
217. x2-1 =
x+1
218. a4b6-4x8y10 =
a2b3+2x4y5
219. x2-y2 =
x+y
220. a2x+2-100 =
ax+1 _ 100
221. y2-x2 =
y-x
222. x2n - y2n =
xn + yn
223. 25-36 x4 =
5- 6 x2
224. b2x+4-81 =
bx+2 _ 9
225. 36m2 - 49n2x2 =
6m - 7nx
226. (x+y)2-z2 =
(x+y) –Z
227. 1- (a+b)2 =
1+ (a+b)
13
CASO 2
228. 1+a3 =
1+a
229. 1+a3b3 =
1+ab
230. 1-a3 =
1-a
231. n6+1 =
n2 +1
232. x3 + y3 =
x +y
233. 8a3-1 =
2 a-1
234. 8x3+27y3 =
2x +3y
235. 27m3 –125m3 =
3m – 5n
236. 216 - 125 y3 =
6 - 5y
237.64 a3+343 =
4a+7
DESCOMPOSICION FACTORIAL.
I.
Factor común monomio.
1. m + m2 =
2. 3 a3 - a2 =
3. 3 x 3- 4x4 =
4. a 2 -15 a3 =
5. mn – mp =
6. 35 a 2b3 –70 a3 =
7. a3 + a5 - a7 =
8. 24m2 n p2- 36m2n2 =
9. 100 y2 z-150 y z 2 + 50y z 3 =
10. a6-3 a4 +8 a3 – 4 a2 =
11. a7-10 a5 +15 a3 –5 a2 =
12.4x 2- 8x + 2 =
13.a3 + a2 + a =
14.14x 2y 2 -28y 3 + 56x 4=
15. x15-x12 + 2x 9-3 x6=
14
POLINOMIO
16. x(a+1) –3 (a+1)=
17. 2(x-1) +m (x-1)=
18. p (a-b) + (a-b) m=
19. 2x (n-1) –3(n-1)=
20.–m-n+x (m+n)=
21.a3 (a-b+1) –b2 (a-b+1)=
22(x+y) (n+1) –3(n+1)=
23 4m (a2+x-1) +3n (x-1+a2)=
24 a3 (a-b+1) –b2 (a-b+1)=
20. 4 a (m-n) +n-m=
21. 5x (a2 +1) + (x+1) (a2+1)=
22. (x-a) (m+2) + b (m+2)=
23. (x+2) (x-1) – (x-1) (x-3)=
24. (a+b-1) (a2+1) – a2 –1=
25. 3x(x-1) –2y (x-1) +z (x-1)=
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
26. am-bm+an +bn=
27. a2x2 -3bx2 + a2y2-3by 2 =
28. x2 -a2 + x - a2x =
29. 4 a3-1- a2 + 4 a=
30. 1+ a + 3ab +3b =
31. 4 am3 -12 amn - m2+3n =
15
32. a3 + a2 + a + 1=
33. 2 am- 2an +2 a – m+ n-1=
34. 3x3- 9ax2 - x + 3 a =
35. 2x2y+2xz2+y2z2+xy3=
36. 6m-9n + 21nx- 14mx=
37. 3 - x 2 +2 a b x2 - 6ab =
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
38. m2-2m+1=
39. p2 +2pn + n2 =
40. y2-10y + 25 =
41. 9- 6 a + x2 =
42. 1-2m3 + m6 =
43. m8+18m4+81=
44. 9b2-30 a2b+25 a4=
45. 400x10 + 40x5 + 1 =
46. 16 a6 +2 a3y2 + y4/16 =
47. a4- a2b2 + b4 =
4
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
48. m2-n2 =
49. a2-25 =
50. 16-n2 =
51. 1- y2 =
16
52. a10- 49b1 2 =
53. 100- a2b6 =
54. 1 – 9 a2 =
4
COMBINACION DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE
CUADRADOS.
55. a2+2ab + b2 - x2 =
56. a2-2 a +1- b2 =
57. x2-2xy + y2- m2 =
58. n2+ 6n + 9- c2 =
59. x2+ 4y2- 4xy – 1 =
60. 1- a2+2ax - x2 =
61. 9-n2-25-10n=
62. 1-a2- 9n2- 6an =
63. a2-b2-2bc - c2 =
64. 25 - x2 -16y 2 + 8xy =
65. –a2 +25m2 -1 - 2 a =
TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c
66. a2+7 a + 6 =
67. x2-3x + 2 =
68. 12- 8n + n2 =
69. x2+7x +10 =
70. x2- 6 - x =
17
71. c2 + 5c- 24=
72. m2-12m +11=
73. n2 + 6n - 16=
74. y2+y-30=
75. n2-6n-40=
76. a2-2 a –35=
77. a2 + 33 - 14a =
78. c2-13c-14 =
79. x2-15x + 54 =
80. x2- 17x - 60 =
81. m2-20m-300=
82. m2-2m-168=
83. m2- 41m+ 400=
84. x2 +12x -364=
85. c2- 4c- 320=
TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
86. 3x2-5x – 2 =
87. 6x2-6- 5x =
88. 4 a2+ 15a + 9 =
89. 12m2- 13m -35 =
90. 20y2 + y - 1=
91. 8 a2- 14 a - 15=
92. 16m+15n2 - 15=
18
93. 12x2 - 7x -12 =
94. 20n2-9n -20 =
95. m -6 +15 m2 =
96. 9x2 +37x + 4 =
97. 14m2-31m-10=
98. 20 a2 - 7a - 40=
99. 4n2 + n - 33 =
100. 30x2 + 13x -10 =
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
101. m3+3m2n+3mn2+n3=
102. x3+3x2+3x+1=
103.
8+12 a2+6 a4+a6=
104.
8 a3-36 a2b + 54 ab2- 27b3=
105.
125 a3+150 a2b+60ab2+8b3=
106.
8-12 a2+6 a4-a6=
107. x9- 9x6y4 +27x3y8- 27y12 =
108. 3 a12 +1+ 3 a6+ a18=
109. 1+18 a2b3+ 108 a4 b6 + 216 a6b9 =
110. 64 x 9 -125y12 - 240 x6 y4 + 300 x 3y8 =
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
111. 1+a3=
112. m3-n3=
113. a3-1=
19
114. y3 + 1=
115. y 3- 1 =
116. 8x3- 1=
117. 1- 8x3=
118. x3- 27=
119. 27 a3-b3=
120. a3-125=
121. 8 a3+ 27b6=
122. 8x3-27y3=
123. 512+27 a6 =
124. x6- 8y12=
125. 1+ 729x6=
126. x9+ y9=
127. x12- y12=
128. m6- 1=
129. a3b3 - 1=
130. 216 - x12=
131. 8x9 - 125y3z6=
132. (a+b)3 + 1=
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES (IMPARES)
133. a5 + 1=
134. a7+ b7=
135. 32 - m5 =
136. x7+ 128 =
137. 243- 32 a5=
138. 1+ x7=
139. x7- y 7 =
140. 1 - 128 a7 =
COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
145. 4x4 - 29x + 25 =
20
C.T.C 2.P.
EJERCICIO 106
MISCELANEA SOBRE LOS 10 CASOS DE DESCOMPOSICION EN FACTORES
1. 5 a2+a=
2. m2+2mx+x2=
3. a2 +a- ab -b=
4. x2-36=
5. 9x2-6xy+y2=
6. x2-3x-4=
7. 6x2-x-2=
8. 1+x9=
9. 27 a6-1=
10. x5+m5=
11. a3-3 a2b+5 ab2=
12. 2xy-6y+xz-3z=
13. 1-4b+4b2=
14. 4x4+3x2y2+y4=
15. x8-6x4+y8=
16. a2-a-30=
17. 15m2+11m-14=
18. a6+1=
19. 8m3-27y6=
20. 16 a2-24ab+9b2=
21. 1+a7=
22. 8 a3- 12 a2+6 a -1=
23. 1-m2=
24. x4+4x2-21=
25. 125 a6+1=
26. a2+2ab+b2 -m2=
27. 8 a2b+16 a3b-24 a2b2=
28. x5-x4+x-1=
29. 6x2+19x-20=
30. 25x4-81y2=
31. 1-m3=
32. x2-a2+2xy+y2+2ab-b2=
33. 21m5n-7m4n2+7m3n3-7m2n=
34. a(x+1)-b(x+1)+c (x+1)=
35. 4+4 (x-y) + (x-y)2=
36. 1- a2b4 =
37. b2+121 ab+36 a2 =
38. x6+4x3-77 =
39. 15x4-17x2-4 =
40. 1- (a-3b)8=
41.x4+x2+25=
42. a8 – 28 a4+36=
43. 343 + 8 a3=
44. 12 a2bx-15 a2by=
45. x2+2xy-15y2=
46. 6 am- 4 an-2n+3m=
47. 81 a6-4b2c8=
48. 16-(2 a+b)2=
49. 20-x-x2=
50. n2+n-42=
51. a2-d2+n2-c2-2 an-2cd=
52. 1+216x9=
53. x3-64=
54. x3-64x4=
55. 18 ax5y3-36x4y8-65c3y8=
56. 49 a2b2-14 ab+1=
57. (x+1)2-81=
58. a2-(b+c)2=
59. (m+n)2-6(m+n)+9=
60. 7x2+31x-20=
61. 8 a3+63 a-45 a2=
62. ax+a-x-1=
63. 81x4+25y2-90x2y=
64. 1-27b2+b4=
65. m4+m2n2+n4=
66. c4-4d4=
67. 15x4-15x3+20x2=
68. a2-x2-a-x=
69. x4-8x2-240=
70. 6m4+7m2-20=
71. 9n2+4 a2-12 an=
72. 2x2+2=
73. 7 a(x+y-1) –3b (x+y-1)=
74. x2+3x-18=
75. (a+m)2-(b+n)2=
76. x3+6x2y+12xy2+3y3=
77. 8 a2-22 a –21=
78. 1+18 ab+81 a2b2=
79. a6-1=
21
80. x6-4x3-480=
81.ax-bx+b-a-by+ay=
82. 6 am-3m-2 a+1=
83. 15+14x-8x2=
84. a10-a5+a6+a4=
85. 2x (a-1) –a+1=
86. (m+n) (m-n)+3n(m-n)=
87. a2-b3+2b3x2-2 a2x2=
88. 2am-3b-c-cm-3bm+2 a=
89. x2- 2/3 x +1/9=
90. 4 a2a-b4n=
91. 81x2-(a+x)2=
92. a2 +9-6 a-16x2=
93. 9 a2-x2-4+4x=
94. 9x2-y2+3x-y=
95. x2-x-72=
96. 36 a4-120 a2b2+49b4=
97. a2-m2-9n2-6mn+4ab+4b2=
98. 1- 4/9 a8=
99. 81 a8+64b12=
100. 49x2-77x+30=
101. x2-2 abx-35 a2b2=
102. 125x8-225x2+135x-27=
103. (a-2)2-(a+3)2=
104. 4 a2m+12 a2n-5bm-15bn=
105. 1+6x3+9x6=
106. a4+3 a2b-40b2=
107. m3+8 a3x3=
108. 1-9x2+24xy-16y2=
109. 1-11x+24x2=
110. 9x2y3-27x3y3-9x5y3=
111. (a2+b2-c2)2-9x2y2=
112. 8 (a+1)3-1=
113. 100x4y6-121m4=
114. (a2+1)2+5 (a2+1)-24=
115. 1 + 1000 x6
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
A. COMPLETAS
I.
POR LA FORMULA GENERAL.
1. x2 + 6x + 5 = 0
2. x2 + 12x + 35 = 0
3. 2x2- 6x + 1 = 0
4. 9x2 - 30x + 23 = 0
5. 3x2 + 10x – 8 = 0
II. POR FACTORIZACION
6. x2 +12x + 27 = 0
7. x2+ 9x – 36 = 0
8. x2 + 7x = 18
9. x2 = 108 - 3x
10. 2x2 + 7x – 4 =0
B. INCOMPLETAS
DE LA FORMA: ax2+bx=0
11. 5x2 = - 3x
12. 3x2 - 12x = 0
13. x2 = 5x
14. 4x2 = - 32x
15. x2- 3x = 3x2- 4x
22
DE LA FORMA : ax2+c=0
16. 2 x2 = -32
17. 3 x2 = 48
18. 5x2-9=46
19. 7x2+14=0
20. 2x2=18
III. COMPLETANDO CUADRADOS
21. 5x2 - 7x = 90
22. x + 11 = 10x2
23. 8x+5= 36 x2
23. x2= 16x -63
24. 8x2 - 2x -3 = 0
IV. POR GRAFICACION
25. x2 + 2x- 8=0
26. 2x2 - 9x + 7= 0
27. x2 = 6 - x
28. 2x2 -5x -7 =0
23
LOGARITMOS
El logaritmo de un número positivo N en una base dada (lo cual se escribe
logbn) es el exponente de la potencia a que hay que elevar b para tener N.
NOTA: No hay logaritmos de números negativos. El b, la base, es positivo y distinto en 1.
EJEMP. 9=32, luego log39=2; 64=43, luego log464=3; 64=26, luego log264=6; 1000=103,
luego log101000=3; 0.01=10-2, luego log100.01=-2
LEYES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS.
1. El producto de 2 o más números positivos, es igual a la suma de los logaritmos
de los factores. EJEMP. logb (P.Q.R)= logbP + logbQ+ logbR
2. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor. EJEMP. logb P
Q= logbP-logbQ
3. El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al logaritmo de
dicho número multiplicado por el exponente de la potencia.
EJEMP.
n
logb(p )= n logbP
4. El logaritmo de una raíz de un número positivo es igual al logaritmo de dicho
número dividido por el índice de la raíz. EJEMP. logb (P) = 1/n logbp
LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES
En los cálculos numéricos, la base más útil para un sistema de logaritmos es
10 . El logaritmo vulgar de un número positivo consta de 2 partes: un número
entero (positivo, negativo o nulo) llamado característica y una fracción decimal
positiva llamada mantisa.
ALGUNAS NORMAS PARA ENCONTRAR LA CARACTERISTICA
1. La característica de un número múltiplo de 10 es su exponente correspondiente.
Ejemp. log1000=3 (103=1000)
2. La característica de un número mayor de la unidad... tantas cifras como tenga
menos una. Ejemp. log 3493= 3 (positivo).
24
3. La característica de un número menor de la unidad.... el lugar que ocupa la
primera cifra significativo después de un punto decimal. Ejemp. log 0.0034= 3
(negativa)
4. La característica de un número que consta de entero y decimal... es positiva y,
se encuentra haciendo caso omiso de la parte decimal. Ejemp. log 637.43= 2
NOTA: La mantisa se encuentra, en este caso, haciendo caso omiso del punto
decimal. Ejemp. log 37.43=1.5732
EJERCICIOS
1. Cambiar de forma potencial a logarítmica:
a) 72= 49 (log749) =2
b) –6-1=1/6) =-1
c) –10º=1 (log101) =0
d) 4=1 (log41=0)
e) 3 8 = 2 (log82= 1/3
2.
a)
b)
c)
d)
Cambiar de forma logarítmica a exponencial:
log381= 4 (34=81)
log5(1/625)=14
log1010=1 (101= 10)
log927= 3/2 (9 3/2 = 27
3. Calcular x
a) x= log5125
b) x= log100.001
c) log82
d) x= log 2(1/16)
e) x=log 1/2 32
f) logx243=5
g) log (1/16) =-2
h) log6x=2
1) Determinar las características del logaritmo de:
a) 3860 (
b) 7.84
(
c) 52.8
(
d) 782000 (
e) 5.463 (
)
)
)
)
)
f) 0.3748
g) 0.02345
h) 0.0001234
i) 28.66
j) 0.000005
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
k) 77.62
(
l) 830.003 (
m) 77.07
(
n) 0.003007 (
Ñ) 96.460 (
25
)
)
)
)
)
b) 101.0101 (
p) 0.00103
(
g) 111.011
(
r) 473.04
(
0.000005
(
)
)
)
)
)
2) Hallar:
a) log 5.463=
b) log 0.3748=
c) log 3860=
d) log 52.6 =
e) log 7.84=
f) log 728000=
g) log 0.02345=
h) log 0.0001234=
i) log 2.866=
j) log 0.00005=
k) log 77.82=
l) log 0.002945=
m) log 3.268 =
n) log 0.8794 =
ñ) log 0.8183=
o) log 0.0544=
p) log 5.378=
q) log 92.86 =
r) log 36.234=
s) log 0.62315=
t) log 869.2
u) log 37.37
v) log 95.02
w) log 1560
x) log 01.345
a1) 33.89
b1) log 2.984
c1) log 0.5467
d1) log 1800
e1) log 0.00034
3) BUSQUESE:
a) antilog 1.4232 =
b) antilog 3.9217= 0.00835
c) antilog 2.7514=
d) antilog 2.6362=
e) antilog 0.9702=
f) antilog 2.5884=
g) antilog 4.8353=
h) antilog 1.5829=
i) antilog 3.9231=
j) antilog 0.9150=
Cologaritmo de un número positivo (colog N) es el logaritmo del inverso, de su
recíproco: 1/N.
Prueba: Sumando el logaritmo de un número con el cologaritmo de su recíproco es
cero, es decir, el logaritmo de 1 (uno).
Regla.- A la característica se le agrega la unidad positiva y a la suma se le cambia
el signo.
La mantisa se lleva a 9 excepto la última cifra significativa que se lleva a 10.
Ejemp. log 265= 2.4232 luego, colo 265 3.5768
Prueba:
log 265= 2.4232
+ colog 265= 3.5768
a) colog 0.00715= 2.1457
b) colog 0.07943= 1.1000
c) colog 2468 = 4. 6077
d) colog 35.68 = 2.4476
A menor número menor mantisa.
26
La característica indica en donde se encuentra el punto decimal. Se llama ecuación
exponencial aquella en que una o más incógnitas aparecen en un exponente.
Ejem. 2x=7 (1.03) –x= 2.5 son equaciones exponenciales.
Se resuelven mediante logaritmos: 2x= 7 luego, x log 2= log 7
x= log 7: log 2
x= 2.808
LOGARITMOS-ANTILOGARITMOS-COLOGARITMOS-OPERACIONES
Calcular los siguientes logaritmos:
1. 26.36
2. 0.00028
3. 0.4747
4. 147.9
5. 4.384
6. 396
Calcular el antilogaritmo:
7. 1.8597
8. 2.8993
9. 0.9912
10. 2.6830
11. 3. 6928
12. 4.0492
Efectuar las siguientes operaciones:
13. 7.95 x 705
14. 0.472 x 1259
15. 471 : 75.4
16. 8.57 : 4.75
17. 4942
18. 74.24
19. 7.234
20.5 35.5
Obtener los cologaritmos de:
21. 238.5
22. .00293
23. 8500
24. .00681
25. .199
26. 7.782
Cambiar la forma potencial a logaritmo o viceversa
27. 72 = 49 (
28. 4º = 1 (
Potencias
29. ( 4 a2) 2=
30. (-6 a2n)2=
31. (ambn)x=
)
)
70. –1–6 =1/6 (
71. 3 8 = 2 (
35. ( -3x2) 2=
4y
36. ( -1 a2b4)5=
27
) 72. log3 81) 4 (
) 73. log927=3/2(
)
)
32. (-x) 2
2y
=
37. (a2b3c) m
2
34.
8x 3
4
3
) =
Radicales
39. 3
48
=
38.
=
6
18
=
41. 3 16
=
43.
2
3
=
3
40.
1
3
128 =
42. 3
81x3y4
=
Caso II
43.
4
6
=
OPERACIÓN:
1/3
44. 8 16
=
1/2
+
+
45.
4
25 a2b2
=
3/4 =
INTRODUCIR CANTIDADES BAJO EL SIGNO RADICAL
46.
6
4
=
49. 5x2y
3
47.
3
5
=
50. 4m
3
2m2
=
51. 2a
4
3
=
48. 1/2
2
=
=
OPERACIÓN CON RADICALES. (suma y resta)
53
2
2
+
3
2
+
54. 3
2
+
5
2
-
55.
8a +
56.
57.
4
5
2
27a
+
7
5
=
2
=
2a
-
3
2a =
3
2
-
5
2 =
+
3
3a
2
-
15
3a =
28
52.
(a+b)
a
=
a+b
MULTIPLICACION. Radicación de radicales.
58.
3
8a 5
59.
3
5
60.
5
32
61.
a
62.
4ª
63.
3
por
3
68 .
por
3 a2
65 .
67 .
3
=
=
2
=
2b por
2b
por
-
3
a2
=
3
3a
por
3 a3
por
8a
=
=
=
2
=
2
2
=
3
=
35
4
25 a2
69 .
4a
8ª3
5
por
2a
3
3
por
64 .
66 .
por
=
3
5
3
=
29
70. 7
5
+
5
3
por
4
3
=
2
3
DIVISION
71.
3xy
8
:
72.
75x2y3
73. 3
3 16
:
5
a5 :
3xy
=
4 3 2 a2 =
74. 4x
a3 x 5 : 2 a2x3 =
75.
2
3
76.
:
9x
:
3
77. (4
2
)
3
=
78. (5
7
)
2
=
79. 2
80.
3
6
81. (4a
2
=
3x2
=
4 )2 =
18 ) 2 =
2x
)
2
=
30
EXPONENTES
Expresar con signo radicales:
82. x1/3 =
83. m 3/5
84. 4 a 3/4
85. Xy
½
=
86. 3x 2/7 y 4/5 z 2/7 =
87. a 4/5 b 3/2=
88. x 3/2 y ¼ z 1/5=
EXPRESAR CON EXPONENTES FRACCIONARIO.
89.
a5 =
90.
3
91 .
94.
a3
3
b5 =
x7 =
x =
92.
3
93 . 3
m =
x7=
Expresar con signo radical y exponentes positivos
95. x-1/2
96.
97. 5 a 5/7 b –1/3 =
=
1
=
–1/2
2/3
a
b
98.
31
3x -1
x -1/2
=
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En el triángulo BAC
a=5
b=3
c=4
1. Escribe en el nombre y su relación de todas las funciones trigonométricas del:
B Y A
Nombre de este lado A
a =5
c=3
Sen B = c = cat op.
=3
Nombre de este lado
a hipotenusa
5
B
b=4
C
Nombre de este lado
2. Hacer una representación de las funciones recíprocas y las cofunciones.
Definirlas.
3. Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm., calcular las
funciones trigonométricas del
agudo mayor (trazar figura)
4. Calcular las funciones trigonométricas del
Sabiendo que A (3,4)
5. Calcular las funciones trigonométricas del
B (2,-3).
6. Encontrar la altura de un
X0A=
X0B= B (BETA) sabiendo que
equilatero de 13cm x lado.
32
7. Encontrar el <) de inclinación de la sombra que proyecta un mástil de 60m., de
altura , la sombra mide 84m.
8. Dado sen A = 5 encontrar las demás funciones.
9
9. Dado cotan B = 4 encontrar las demás funciones
7
10. Dado coseno A = 3 encontrar todas las funciones de B y A y las medidas de
los
A y B.
5
33
11. Dados los catetos B=40 y C= 56 encontrar la hipotenusa y
s.
12. Dados a=60 hipotenusa y c= 48 encontrar el cateto y B
13. Dados b= 2.5 y A =41º encontrar lado desconocido y
desconocido.
14. Dado hipotenusa a= 30.1 y c = 35º 20’ encontrar los dos catetos y valor del
ángulo
B
15. Dada la función tang B = 7 encontrar tan
9
A
16. Un avión despega con
constante de 9º, cuando ha alcanzado una altura
de 2,500m., respecto al horizonte:
a) CALCULA EL ALCANCE HORIZONTAL DEL AVION
b) CALCULA LA DISTANCIA QUE REALMENTE HA VOLADO
17. Dados b=2.5 y A
desconocidos.
= 41º encontrar lados desconocidos y ángulos
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