Dddddddd Dddddddd Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Dpto. Economía Aplicada III “MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” PROGRAMA Y RELACIÓN DE EJERCICIOS Grado: Economía. Curso: Cuarto. Cuatrimestre: Segundo. Año académico: 2019/20 Profesorado: Dolores Gómez Domínguez. Victoriana Rubiales Caballero (coordinadora). 1 Programa y bibliografía. Curso 2019/20 PLAN DOCENTE A) CONTENIDOS Y DESARROLLO DE LA ASIGNATURA. La materia que se imparte en esta asignatura es la que se recoge en los nueve temas que contiene el programa adjunto. Tras un primer tema en el que se aborda una introducción a la Matemática Financiera, se analizan los Sistemas Financieros de Capitalización y Descuento, Simple y Compuesto, que constituyen el primer bloque de la asignatura. Posteriormente el estudio se centra en la Teoría de Rentas Financieras que constituyen el segundo bloque, y es la base para abordar, en los temas 7 y 8, las Operaciones de Amortización (tercer bloque). El último bloque, que comprende el tema 9, está dedicado al estudio financiero de algunas Operaciones con Títulos Valores. El desarrollo de la materia se lleva a cabo a través de clases teóricas y prácticas, según los horarios establecidos por el Centro, impartidas por los profesores de la asignatura. En las primeras se exponen los principales contenidos teóricos, y en las segundas se plantean y resuelven distintas operaciones financieras. Para el desarrollo de estas últimas es fundamental la participación activa del alumno. A lo largo del curso se realizarán cuatro actividades: Actividad 1: Seminario “Liquidación de Cuentas Corrientes y de Crédito”. La asistencia y participación se puntúa con 0,3 y la realización del trabajo individual correspondiente con un máximo de 0,7 puntos. Actividad 2: Consiste en una prueba escrita con cuestiones teórico-prácticas sobre los contenidos de los dos primeros bloques de la asignatura. La puntuación máxima es de 4 puntos. Actividad 3: Seminario “Operaciones con Deuda Pública”. La asistencia y participación se puntúa con 0,3 y la realización del trabajo individual correspondiente con un máximo de 0,7 puntos. Actividad 4: Consiste en una prueba escrita con cuestiones teórico-prácticas sobre los contenidos de los bloques 3 y 4 de la asignatura. La puntuación máxima es de 4 puntos. B) SISTEMA DE EVALUACIÓN. Para la evaluación del alumno se tendrá en cuenta la participación activa del mismo en el desarrollo de la asignatura, que se valorará mediante la realización de las actividades propuestas. Al final del cuatrimestre y en la fecha y horario establecido por el Centro se realizará un examen global de la asignatura que constará de cuestiones teórico-prácticas y ejercicios. 2 Programa y bibliografía. Curso 2019/20 Para superar la asignatura hay que obtener un mínimo de 5 puntos existiendo dos posibilidades: 1.- Sumar al menos 5 puntos con las cuatro actividades, siendo necesario obtener un mínimo de 1,6 puntos en la actividad 2 y un mínimo de 1,6 puntos en la actividad 4. 2.- Sumar al menos 5 puntos con las actividades 1 y 3 y con el examen que se realizará al final del cuatrimestre, siendo necesario obtener un mínimo de 3,2 puntos en el examen. C) EXÁMENES. Calendario de exámenes aprobado por el centro: Primera convocatoria ordinaria: 22/06/2020 Segunda convocatoria ordinaria: 15/09/2020 La hora y lugar de realización de cada examen se publicará en la correspondiente convocatoria. PROGRAMA BLOQUE 1: Sistemas Financieros Clásicos de Capitalización y Descuento TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA 1.- Concepto de capital financiero. 2.- Leyes financieras. 3.- Sistemas financieros. TEMA 2: SISTEMA FINANCIERO CLÁSICO DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO SIMPLE 1.- Sistema financiero de capitalización simple. 2.- Sistemas financieros de descuento simple comercial y racional. 3.- Equivalencia de capitales. 4.- Liquidación de cuentas corrientes. TEMA 3: SISTEMA FINANCIERO CLÁSICO DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO 1.- Sistema financiero de capitalización compuesta. 2.- Sistemas financieros de descuento compuesto comercial y racional. 3.- Equivalencia de capitales. 4.- Operaciones con deuda pública. BLOQUE 2: Teoría de Rentas TEMA 4: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS. 1.- Definición de renta financiera. Clasificación. 2.- Valoración de Rentas. Conceptos de valor actual y valor final. TEMA 5: RENTAS DE TÉRMINOS CONSTANTES. 1.- Valoración de rentas temporales. 2.- Valoración de rentas perpetuas. 3 Programa y bibliografía. Curso 2019/20 TEMA 6: RENTAS DE TÉRMINOS VARIABLES. 1.- Valoración de rentas con términos variables en progresión aritmética. 2.- Valoración de rentas con términos variables en progresión geométrica. 3.- Fraccionamiento de una renta variable. Valoración. BLOQUE 3: Operaciones de Amortización de Préstamos TEMA 7: OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN 1.- Conceptos generales sobre amortización de préstamos. Tantos efectivos. 2.- Definición de usufructo, nuda y plena propiedad. 3.- Amortización de préstamos mediante reembolso único. 4.- Amortización de préstamos con reembolso único y pago periódico de intereses. TEMA 8: AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS MEDIANTE RENTA 1.- Valoración de préstamos que se amortizan mediante renta. Fórmulas de Makeham. 2.- Sistema de amortización francés. 3.- Sistema de amortización con términos variables. 4.- Sistema de amortización uniforme. 5.- Sistema de amortización americano. 6.- Sistema de amortización alemán. BLOQUE 4: Valoración de Obligaciones, Bonos y Acciones TEMA 9: VALORACIÓN DE OBLIGACIONES, BONOS Y ACCIONES. 1.- Empréstitos. Características generales y tipos. 2.- Valoración de bonos y obligaciones. 3.- Acciones. Efectivos de compra y venta. Rentabilidades. 4.- Ampliaciones de capital. BIBLIOGRAFÍA ALEGRE, P. y OTROS (2004): Ejercicios resueltos de Matemáticas de las Operaciones Financieras, Ed. AC, Madrid BAQUERO, M.J.; MAESTRO, M.L. (2003): Problemas Resueltos de Matemática de las Operaciones Financieras, Ed. AC, Madrid. BONILLA, M.; IVARS, A.; MOYA, I. (2006): Matemáticas de las operaciones financieras. Teoría y práctica, Ed. Paraninfo. BONILLA, M.; IVARS, A. (2000): Operaciones de Financiación: Enfoque teórico-práctico, Ed. AC, Madrid. CAMACHO, E y OTROS (1997): Problemas de Matemáticas Financieras, Ed. Pirámide, Madrid. DE PABLO, A. (2002): Valoración Financiera, Ed. Centro de Estudios Ramón, Madrid. DE PABLO, A. (2001): Manual Práctico de Matemática Comercial y Financiera. Ed. Centro de Estudios Ramón, Madrid. FANJUL, J.L. Y OTROS (2001): Análisis de las Operaciones Financieras, Ed. Civitas, Madrid. MINER ARANZABAL, J. (2010): Curso de Matemática Financiera, Ed. McGraw-Hill, Madrid. VÁZQUEZ CUETO, M.J. (2000): Curso de Matemática Financiera, Ed. Pirámide, Madrid. 4 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 SISTEMAS FINANCIEROS 1.- Calcule el capital final o montante que obtendremos al invertir 18.000€ al 3,5% de interés simple anual durante 10 meses. ¿Y si la inversión sólo dura 5 meses? 2.- ¿Qué capital debemos invertir hoy al 2,75% de interés simple anual para que al cabo de 5 años el capital final sea de 40.000€? 3.- Calcule el interés que produjo un capital de 60.000€ invertido al 2,5% de interés simple anual durante 8 meses. 4.- Un capital de 20.000€ colocado al 2% de interés simple anual alcanzó un montante de 20.300€. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido? 5.- Un capital de 100.000€ ha estado invertido durante 11 meses, obteniéndose un montante de 102.842€. Determine el tanto de interés simple anual al que ha estado invertido. 6.- Obtenga: a) tanto trimestral equivalente al 3% anual de interés simple. b) tanto trienal equivalente al 2,5% anual de interés simple. c) tanto mensual equivalente al 0,5% trimestral de interés simple. 7.- Calcule el montante que se obtiene al invertir 50.000€ al 0,9% de interés simple semestral durante 3 años y 3 meses. 8.- Una entidad financiera tiene la siguiente promoción: Imposición a tres meses Remuneración en especie en el momento de la imposición Remuneración en efectivo en régimen de capitalización simple Tasa anual equivalente en capitalización simple ¿Cuál es el valor monetario del cocedor? 1.950€ Cocedor de pastas 0,10% anual 3,48% 9.- Calcule el valor del descuento racional y comercial que resulta al aplicar un tanto del 6% simple anual a un capital de 2.000€ que vence dentro de 8 meses. 10.- Determine el tanto de descuento simple anual al que se ha descontado un capital de 68.000€ disponible dentro de 7 meses, sabiendo que su valor efectivo ha sido de 66.215€. Determine asimismo el tanto de interés simple anual equivalente al de descuento obtenido. 11.- Determine el día de vencimiento de una letra de 601€, sabiendo que se negoció el día 7 de Diciembre, que su valor efectivo fue de 598,10€ y el tanto de descuento simple anual aplicado fue el 5,85%. 5 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 12.- Determine el valor del descuento racional y comercial, y el nominal de un efecto, sabiendo que la diferencia de los descuentos es de 129,43€ y el tanto aplicado fue del 6% simple anual durante 9 meses. 13.- Cierta persona adquiere en bolsa un pagaré de Telefónica de 1.000€ con vencimiento dentro de 6 meses, pagando por él 965€. Al cabo de 3 meses lo vende al precio de 988,75€. Calcule las tasas de descuento practicados en las operaciones de compra y de venta. 14.- Se descuenta un pagaré de 1.788€, que vence dentro de 38 días, a una tasa de descuento del 6% anual, y además se aplica 0,25% de comisión y 0,2€ por gastos de correspondencia. ¿Cuál es el tanto por ciento de descuento simple anual efectivamente aplicado? 15.- Para hacer frente al pago de una deuda, el Sr. Pérez vende un pagaré de 6.000€ que había adquirido en el mercado secundario tres meses después de su emisión. Dicho pagaré se emitió a un año, al 6% anual de descuento, y el Sr. Pérez lo adquirió al 95%. Si la venta la realiza seis meses antes del vencimiento del pagaré, calcule: a) Cuantía de la deuda, si la rentabilidad obtenida por el Sr. Pérez ha sido del 5% simple anual. b) Tanto de interés simple al que resulta la operación al primer poseedor del pagaré. c) El tanto de descuento anual aplicado en la venta realizada por el Sr. Pérez. 16.- Una persona adquirió en el momento de la emisión 6 letras de 1.000€ nominales cada una. El tanto de interés simple de la emisión fue del 5%, siendo su vencimiento un año. Posteriormente, cuando han transcurrido 5 meses desde la fecha de emisión, las vende a un precio del 97% del nominal. Calcule: a) Precio al que resultó la emisión. b) Tanto de interés simple que obtiene esa persona, si tiene que pagar una comisión del 0,3% del nominal al adquirirlas, y otra del mismo importe a la venta. c) Tanto de interés que obtendrá el comprador si mantiene las letras hasta su vencimiento, sabiendo que le aplica la misma comisión que al vendedor en la operación de compra. 17.- El día 1 de Septiembre de 2019 el señor Y presta al señor X 3.000€ que éste le devolverá el 26 de Febrero de 2020 junto con sus intereses al 2% simple trimestral. El día 20 de Septiembre de 2019, X le propuso a Y cancelar la deuda pendiente mediante cinco abonos iguales a satisfacer el 15 de Octubre, 19 de Noviembre, 29 de Diciembre, 7 de Febrero y 14 de Marzo siguientes. Si aceptó la operación fijando como tanto de descuento el 6% simple, ¿de cuánto fue cada pago? 18.- Para cancelar una deuda de 1.500€ se hace una entrega en efectivo y se aceptan 5 letras cuyos nominales son iguales cada uno a la entrega inicial. Dichas letras se descuentan al 5% y pago de una comisión del 0'10% sobre el nominal de cada letra descontada. Determine la cantidad de la entrega sabiendo que los vencimientos se escalonaron a partir de la misma de 30 en 30 días. 6 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 Si pagadas las dos primeras letras, y al vencimiento de la tercera, decidimos sustituir las tres letras restantes por una sola con vencimiento a los 90 días, ¿cuál será el nominal de esta última letra si en la operación de sustitución se aplica un tanto de interés del 6%? 19.- Un comerciante tiene pendiente tres letras de igual nominal con vencimiento el 15 de Junio, 15 de Agosto y 15 de Octubre respectivamente. El 1 de Mayo, de acuerdo con el acreedor, decide cambiarlas por una entrega de 405,68€ el 20 de Mayo, y 172,27€ el 20 de Julio. ¿Cuál es el nominal de las tres letras, sabiendo que el tanto de interés aplicado es del 5%? Si llegado el 15 de Mayo el comerciante pide hacer un solo pago el 15 de Septiembre, ¿de cuánto ha de ser éste para que el acreedor acepte, si en la operación de sustitución se acuerda un 5% de descuento? 20.- Un establecimiento comercial realiza sus operaciones de venta al contado y a plazos. Para las operaciones a plazos, recarga el precio de contado en un 10% y exige el pago de este nuevo precio de la forma siguiente: al concertar la operación de venta el 20%, y el resto en 20 cuotas mensuales iguales consecutivas, pagaderas todas al final de cada mes a partir de la fecha de concertada la operación. Calcule el tanto de descuento simple anual que utiliza el propietario del establecimiento para las operaciones a plazos para que le sea indiferente vender a plazos o al contado. 21.- Una entidad vende a crédito aplicando un recargo al precio de contado del 10% y cobrando 10 plazos mensuales de igual importe, el primero en el momento de la venta. Descuenta en un Banco los nueve efectos suscritos por el comprador a una tasa de descuento del 6% anual y comisión del 3 por 1000. Determine el beneficio inmediato que produce a la entidad esta operación en el supuesto de un artículo cuyo precio de venta al contado es de 3.000€. 22.- Un comerciante vende aparatos de DVD y tiene fijado su precio al contado en 359€. A la vista de que los compradores solicitan con frecuencia el pago a plazos, decide hacer dos propuestas: 1) En 6 mensualidades. 2) En 12 mensualidades. Si el tipo de descuento fijado para la negociación de letras es del 6,5% anual, ¿cuál será la mensualidad que deba exigir en uno y otro caso para que la venta a plazos resulte equivalente a la de contado? 23.- Compramos un automóvil a plazos bajo las siguientes condiciones: en el momento de la firma del contrato, abonamos un 30% del precio de venta a plazos, siendo éste un 10% superior al precio de contado, y el resto en 15 letras iguales pagaderas en meses sucesivos, la primera, un mes después de la compra. Si el comerciante descuenta las letras en una entidad bancaria, ¿cuál sería el tanto por ciento anual de descuento aplicado, si pretende que le sea indiferente vender a plazos o al contado? 24.- Determine el montante de un capital de 10.000€ invertido al 4% anual compuesto durante 8 años. ¿Cuál sería el tipo de interés aplicado si el montante obtenido fuese de 7 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 13.585€? ¿Qué cuantía deberíamos haber invertido para que transcurridos 8 años el montante obtenido hubiese sido de 15.000€ siendo el tanto de interés del 4%? 25.- ¿Durante cuánto tiempo debe invertirse un capital de 15.000€ al 3,5% compuesto anual para que llegue a obtenerse un montante de 18.750€? 26.- Obtenga: a) el tanto anual de interés compuesto equivalente al 2% semestral compuesto b) el tanto quinquenal compuesto equivalente al 4% anual compuesto. 27.- Determine el montante de un capital de 12.000€ invertido durante 10 años al 3% anual capitalizable por trimestre. ¿Cuál sería el montante si nos aplican un 3,25% nominal cuatrimestral? 28.- ¿Qué capital tendremos que invertir durante 7 años y 8 meses al 3,5% nominal cuatrimestral si al cabo de ese tiempo queremos disponer de 16.000€? 29.- Un capital de 11.000€ colocado al 3,5% anual compuesto por el convenio lineal se convirtió en 12.743,80€ ¿Cuánto tiempo estuvo invertido? ¿Cuál hubiera sido el montante si nos hubieran aplicado el convenio exponencial? 30.- Calcule los intereses generados por un capital de 13.000€ colocado durante 5 años en una entidad que capitaliza al 1,5% semestral. Determínese asimismo el tanto efectivo anual i que permite obtener el mismo resultado en el mismo periodo de tiempo, y el tanto efectivo i' que permita duplicar los intereses obtenidos en el citado intervalo. ¿Cuál sería el i efectivo si el tanto aplicado fuese el 5% nominal semestral? 31.- Hace 14 años una entidad bancaria nos proporcionó dos formas de inversión, ambas a plazo fijo y a un tanto nominal del 4,5%. Invertido un capital en ambas proposiciones, observamos una diferencia de 438€. Calcule el capital invertido sabiendo que en la primera forma de inversión el tanto nominal tenía una frecuencia semestral, y en la segunda bianual. Si en la primera forma de inversión colocamos 9.000€, ¿cuánto habremos de colocar en la segunda para obtener el mismo montante? 32.- Una entidad bancaria realiza la siguiente promoción: por un depósito a plazo fijo de 3.000€ durante cuatro meses nos regalan en el momento de la imposición una cristalería de 18 piezas. Si en la promoción, la remuneración en efectivo es del 0% y el TAE es del 3,25%, ¿qué valor monetario asigna el banco a la cristalería? 33.- Un banco paga el 4% nominal semestral. Un depositante, que tenía al principio del año 20.000€ en su cuenta, nota que los intereses del año son 4€ más de lo que él esperaba. Le informan en el banco que el aumento se debe a que ha sido variada la frecuencia del tanto nominal. ¿Cuál fue esta variación? 34.- El señor X tiene un plan de ahorro consistente en ingresar en una entidad de depósito los siguientes capitales: 8 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 5.000€ - 10-12-16 6.000€ - 09-07-17 7.000€ - 11-09-18 7.500€ - 01-06-20 Calcule el montante que obtendrá el 31 de diciembre de 2020 sabiendo que la tasa de interés anual compuesta que ofrece dicha cantidad es del 3% desde el inicio de la operación hasta el 31-12-17, el 3,5% entre esta fecha y el 31-12-18 y el 4% desde esta última hasta el 31-12-20. Plantee la ecuación que determina el TAE de la operación. 35.- Un pagaré de 10.000€ vence dentro de 5 años y se descuenta hoy al 6,5%. Calcule el descuento comercial y el descuento racional, ambos compuestos. Calcule el líquido en los siguientes supuestos: a) Se aplica una comisión del 0,1% sobre el nominal. b) Se aplica una comisión del 0,1% sobre el efectivo. 36.- Un pagaré de nominal 6.000€ y vencimiento a los dos años y medio se presenta al descuento, aplicándosele una tasa de descuento compuesto semestral del 3,15% y una comisión del 0,15% sobre el nominal. Calcule el importe obtenido y el TAE de la operación. 37.- Descontamos hoy una letra que vence dentro de 420 días al 6,5% de descuento simple anual. Con el importe obtenido realizamos las siguientes operaciones: - Invertimos la tercera parte al 4,5% de interés compuesto anual durante dos años y 4 meses. - El resto lo invertimos al 2,4% de interés simple semestral durante 2 años y 4 meses. Sabiendo que el montante total obtenido es de 10.986,60€, determine el nominal de la letra. 38.- Calcule el momento en que deben sustituirse tres deudas de 10.000, 20.000 y 30.000€ que vencen dentro de 3, 5 y 7 años respectivamente, por un pago único, sabiendo que el tanto de valoración es el 6% de interés compuesto anual y el pago único que desea hacerse es de: a) 55.000€. b) 60.000€. Suponiendo que el pago único se quiere realizar dentro de 6 años, determine la cuantía de dicho pago. 39.- Deseamos sustituir dos deudas de 7.000 y 9.000€ que vencen dentro de 5 y 7 años respectivamente por un único pago. Suponiendo que la valoración se realiza al 6,5% nominal semestral, determine: a) Vencimiento del pago único si éste es de 16.500€. b) Vencimiento medio. c) Cuantía del pago único si éste se realiza dentro de 10 años. 40.- Por tres préstamos contraídos con una entidad bancaria tenemos las siguientes obligaciones: 1) Pago de 20.000€ dentro de 5 años. 9 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 2) Pago de 30.000€ dentro de 10 años. 3) Pago de 50.000€ dentro de 15 años. Si queremos efectuar una entrega única de 100.000€, ¿dentro de cuántos años debemos de efectuar la entrega, si en la operación de sustitución se aplica un tanto de interés del 6% anual compuesto? 41.- El señor X tiene una deuda con una inmobiliaria a la que debe abonar los 4 últimos pagos semestrales de cuantía 10.000€ cada uno, por la compra de una parcela. En este momento, cuando faltan tres meses para efectuar el próximo pago, llega a un acuerdo con la inmobiliaria para hacer efectiva la cuantía total de la deuda, abonando el capital unificado en base al sistema de descuento compuesto con tanto anual del 6,75%. Calcule la cuantía de dicho capital. RENTAS FINANCIERAS 42.- Sean n pagos de cuantía "a" efectuados a finales de los años 1,2,...,n. Sea "A" su valor actual, "S" su valor final e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la siguiente tabla. A a n i S ¿ 1.000 10 6% ¿ 20.000 ¿ 15 5,5% ¿ 20.000 2.131 12 ¿ ¿ 20.000 2.085 ¿ 5,5% ¿ 43.- Para saldar una deuda que hemos contraído en este momento decidimos hacer diez pagos anuales de 1.200€ cada uno, el primero dentro de un año. Si en la operación nos aplican un 6,8% anual, ¿cuál es el importe de la deuda? 44.- Abrimos una cuenta hoy en una entidad bancaria, en la que depositaremos 2.000€ anuales, realizando la primera imposición dentro de un año. ¿De qué capital dispondremos dentro de 5 años si la remuneración es del 4,5%? ¿En cuánto tendríamos que incrementar estas imposiciones para obtener un capital de 12.800€? 45.- Hemos obtenido un premio de 30.000€ que depositamos en una entidad financiera que remunera al 3,90%. De este capital queremos percibir todos los años 1.800€, retirándose la primera cuantía dentro de un año. ¿Cuántos reintegros de esta cuantía podemos efectuar? Si no resulta un número entero, ¿en qué cantidad debemos incrementar el último reintegro para poder liquidar la cuenta en dicho momento? ¿Qué cuantía anual se podría retirar indefinidamente? 46.- Depositando en una entidad bancaria 15.000€ puedo retirar durante 20 años y al final de cada uno 1.079€. Calcule el tipo de interés al que capitaliza la citada entidad. 47.- Calcule la cuantía que debemos depositar hoy en una entidad bancaria que nos ofrece un 4,25% para retirar 6.000€ anuales, la primera cuantía dentro de 4 años, y a partir de ese momento todos los años durante 15. 10 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 48.- Para hacer frente a la educación de mi hijo que acaba de nacer, he abierto una cuenta en el banco en la que he depositado 1.000€ que es la misma cuantía que depositaré en años sucesivos hasta su mayoría de edad, depositando la última en su 17 cumpleaños. Si la remuneración de la cuenta joven es del 3,75%, ¿de qué capital dispondrá en el momento de cumplir 18 años? 49.- ¿Dentro de cuánto tiempo hemos de comenzar a percibir una renta de 1.000€ anuales durante 50 años, si hemos entregado hoy 18.000€ en una entidad bancaria que remunera al 4% anual? 50.- Una ONG recibe anualmente una subvención de 4.000€. Calcule el valor actual de esta corriente de capitales teniendo en cuenta que para la valoración se utiliza un 5% anual los 5 primeros años, un 5,25% los cinco siguientes y un 5,5% a partir de ese momento. Supóngase que la primera cuantía se recibe dentro de un año. 51.- En el momento actual un particular deposita en un banco 100.000€ para retirar 5.000€ durante los cinco próximos años y al final de cada uno, y durante los “n” años siguientes 6.000€ al final de cada año. Los tantos de interés son 4% para los 5 primeros años y 4,5% para los siguientes. Se pide: a) Calcule “n”. b) ¿Cuál será el valor de la última anualidad para que “n” resulte un número entero? 52.- Calcule el capital del que dispondremos dentro de 20 años con el siguiente plan de ahorro: Entrega en una entidad bancaria de una cuantía anual, la primera en este momento y las siguientes de año en año. Las cinco primeras son de 600€, las siete siguientes son de 900€ y las ocho restantes de 1.000€. La remuneración ofrecida por la entidad financiera es el 3,75% anual. ¿Cuál sería el capital formado si transcurridos diez años el tipo de interés se revisa y pasa a ser del 3,10%? 53.- Con objeto de poder renovar su maquinaria agrícola una cooperativa ingresó al final de cada uno de los años 2018 y 2019 una cuantía de 15.000€ en una entidad financiera que capitalizaba al tanto anual del 3%. En el momento actual, principio de abril del año 2020, la cooperativa estima que el punto óptimo para la renovación es al finalizar el año 2024 y que en ese momento el coste será de 100.000€. Sabiendo que el nuevo tipo de interés a partir de 2021 es el 3,5% anual determine la cuantía constante que tendrá que ingresar la citada cooperativa al final de cada uno de los próximos cinco años para conseguir su objetivo. 54.- Durante los próximos cinco años, vamos a recibir mensualmente 300€ en concepto de atrasos salariales. La primera cuantía nos será entregada dentro de un mes. Suponiendo un tanto de valoración del 2,5%, calcule el capital equivalente que deberíamos recibir hoy. Si depositamos las cuantías recibidas en una entidad financiera que capitaliza al 3,80% nominal, ¿de qué capital dispondríamos transcurridos 7 años? 55.- Realizamos un depósito de 35.000€ con una remuneración del 3,5% anual. De esta cuantía se quieren ir retirando cantidades trimestrales indefinidamente, ¿de qué importe será cada una? 11 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 56.- Hemos alquilado un local de nuestra propiedad en un centro comercial por un periodo de 10 años. La renta se cobrará bianualmente y la cuantía de cada pago asciende a 300.000€. Si vamos depositando las cantidades cobradas en una entidad bancaria que nos ofrece un 3,75% anual, ¿de qué capital dispondremos al cabo de los 10 años? 57.- Considere tres rentas de duración n años, valoradas al tanto efectivo i, con las siguientes características: a) Renta pospagable mensual de 100 €. b) Renta pospagable trimestral de 300 €. c) Renta prepagable trimestral de 300 €. Razone cuál de ellas resulta preferible financieramente. 58.- Sean n pagos de cuantía "ak" efectuados al final de los años k=1,2,...,n. Los pagos crecen cada uno con respecto al anterior en 200€. Sea "A" su valor actual, "S" su valor final e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la siguiente tabla. A ¿ 20.000 a1 1.000 ¿ n 10 15 i 6% 5,5% S ¿ ¿ 59.- El valor al contado de un piso es de 240.000€ y nos proponemos adquirirlo entregando 48.000€ en el momento de la compra y el resto en 20 pagos anuales, que crecen cada uno con respecto al anterior en 1.000€, el primero al año de la compra. La proposición es aceptada aplicando un 4,5% de interés compuesto. ¿Cuál es el importe de la primera cuota? Si se depositasen estas anualidades en una entidad financiera que ofrece el 3,5% los 12 primeros años y del 4% los restantes ¿de qué capital se dispondría dentro de 25 años? 60.- Cierta persona concierta con una entidad financiera un plan de ahorro para formar un capital de 72.000€ en 15 años. Si desea depositar cantidades crecientes en progresión aritmética y la primera cuantía que ingresa hoy es de 2.500€, ¿en cuánto tendrán que crecer los términos si la entidad financiera remunera al 4%? Si transcurridos 8 años la entidad decide incrementar en un punto la remuneración de sus pasivos, y suponiendo que no cambia la razón de variación de las anualidades, calcule la cuantía que obtendrá al final del periodo. 61.- Sean n pagos de cuantía "ak" efectuados al final de los años k=1,2,...,n. Los pagos crecen cada uno con respecto al anterior un 3%. Sea "A" su valor actual, "S" su valor final e "i" la tasa de interés compuesta del periodo. Complete la siguiente tabla. A a1 n i S ¿ 1.000 10 4% ¿ ¿ 1.000 10 3% ¿ 13.461,50 ¿ 10 4,5% ¿ 6.745,80 500 ¿ 4% ¿ 12 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 62.- Un propietario vende una finca valorada actualmente en 225.000€ debiendo efectuar el cobro en 50 pagos que se entregaran al final de cada año con un crecimiento anual acumulativo del 5% 1) Supuestos todos los valores colocados al 4% de interés compuesto anual, ¿de qué cuantía tiene que ser el primer pago para que al propietario de la finca le resulte este valor? ¿Y si el tanto de valoración es del 5%? 2) Supuesto que al terminar los 25 primeros años se modifica el contrato conviniéndose en completar el pago en cuotas anuales constantes durante los 12 años siguientes, ¿qué valor tendrá esta cuota? Tanto de valoración del 4%. 63.- Hemos recibido una herencia en metálico de 647.000€ que depositamos en una entidad bancaria que nos ofrece una remuneración del 4,25% anual. De este capital queremos retirar cada año durante los próximos 30 años una cuantía que crece cada año con respecto al anterior un 3,25%. Calcule la cuantía del primer reintegro teniendo en cuenta que la primera cantidad se retirará dentro de un año. ¿Cuál sería la primera cuantía si queremos hacer 30 reintegros siendo el primero dentro de tres años? ¿Cuál sería la primera cuantía si queremos comenzar a retirar dentro de un año pero queremos que los reintegros se hagan indefinidamente? 64.- Cierta persona con derecho a percibir en los próximos 10 años una cuantía anual de 1.800€, la primera dentro de dos años, desea transformar esta corriente en otra con periodicidad trimestral, la misma duración, cobro de la primera cuantía en este momento y cuantías creciendo cada una con respecto a la anterior en 10€. Obtenga la primera cuantía trimestral que se cobrará si en la operación de sustitución se aplica un 3% anual. 65.- Cierta persona con derecho a percibir pasados 3 años una cantidad constante semestral de cuantía 1.000€ y con duración indefinida, solicita en el momento actual sustituir esta corriente de pagos por otra de periodicidad trimestral, duración 20 años, cuantías crecientes un 1,5% acumulativo y cobro del primer término en este mismo momento. Calcule la cuantía de este término si en la operación de sustitución se aplica 2% semestral para los 10 primeros años y un 2,25% semestral para los restantes. ¿Y si se aplicase un 1,5% trimestral durante todo el periodo? 66.- Con objeto de poder disponer de una furgoneta para su transporte interno, la empresa Z se plantea dos alternativas: 1) Comprar el vehículo al contado a un precio de 21.078,17€. 2) Concertar una operación de leasing con otra sociedad por la que pagaría un alquiler mensual en los próximos cinco años. El primer año de 200€ y los restantes, creciendo las cuantías con respecto al anterior en 50€ y manteniéndose constantes en el año, obligándose a la compra de la furgoneta transcurridos éstos a un precio de X €. Determínese la cuantía X para que ambas operaciones resulten indiferentes desde el punto de vista financiero, tomando como tanto de valoración el 5,75%. 67.- El señor X posee un inmueble cuyo alquiler le proporciona este año unos ingresos al principio de cada mes de 600€ y unos gastos al final de cada semestre de 360€. Tanto el ingreso como el gasto tiene un crecimiento anual acumulativo del 3%. Además, para la 13 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 conservación del inmueble, cada 3 años hay que realizar diversos arreglos con un coste estimado de 1.500 €, el próximo dentro de tres años, y estimando un incremento en esta cuantía de 500€ en cada uno de los sucesivos vencimientos. Se desea conocer el valor financiero del citado inmueble aplicando un interés del 3,5% anual. 68.- Calcule con fecha 1 de enero, el valor actual de los ingresos que pueden obtenerse por la explotación de un kiosco de venta de helados durante los próximos 10 años, si se estima que los ingresos ascenderán a 2.400 € al final de cada mes durante los meses de mayo a septiembre en que permanece abierto, utilizando para su valoración un tanto constante anual del 3,5%. ¿Cuál sería el valor actual si estos ingresos fuesen los del primer año y esta cuantía creciese de un año en otro en 300€? ¿y si fuese un crecimiento anual acumulativo del 3,5%? 69.- Determine a fecha 1 de enero el valor de los dividendos que percibirá el señor X durante los próximos 15 años bajo la hipótesis siguiente: el primer año los dividendos de periodicidad trimestral (finales de marzo, junio, septiembre y diciembre) ascenderán a 3.000€ cada trimestre, estimándose un incremento anual acumulativo del 8% para los 10 próximos años y suponiendo que permanecerá constante la cuantía a percibir (la misma que en el año 10) en los 5 años restantes. Para la valoración se utiliza un nominal trimestral del 3% los cinco primeros años, 3,5% los cinco siguientes y 3,75% los restantes. 70.- Calcule el valor actual de los ingresos de la empresa Z en los próximos 5 años, teniendo en cuenta los siguientes datos: Dicha empresa se dedica a la fabricación de calzados, ascendiendo su producción mensual en el presente año a 2.000 pares, los meses de enero a mayo y de octubre a diciembre; en los meses junio, julio y septiembre se produce la mitad y en agosto nada, pues la fábrica permanece cerrada. Se estima que cada año la producción de los meses de enero a mayo y de octubre a diciembre se incrementará en 100 pares y la de los meses de junio, julio y septiembre en 50 pares. Los ingresos por cada par de zapatos se estiman en 13€. Repetir los cálculos para el caso en que, de esta producción, un 40% se dedique a la exportación y un 60% se comercialice en el mercado interior y los ingresos por cada par de zapatos se estimen en 12 € en el exterior y 14 en el mercado interior. Tanto de valoración para ambos supuestos 3,25% anual. 71.- Con fecha 1-1-2020 el señor X es beneficiario de una herencia compuesta por: a) Una finca rústica que le proporcionará unos beneficios netos anuales de 12.000€ contabilizados a final de año. b) Un apartamento cuyo alquiler ascienden a 1.000€ mensuales en este año, con gastos de comunidad a cargo del propietario de 600€ al trimestre. Se prevé que ambas partidas experimenten un incremento anual acumulativo del 4% durante 20 años, al cabo de los cuales el valor estimado del inmueble es de 600.000€. c) 5000 acciones de nominal 1,20€ que devengan intereses del 2,5% semestral pagaderos el 31-3 y 30-9 respectivamente. d) Por otra parte, debe hacer frente al pago de 6 letras trimestrales de 360€, la primera de las cuales venció el 1-4-2019 y que restan para terminar de pagar un coche adquirido por el causante cuyo valor a 1-7-2021 se supone que ascenderá a 9.000€. 14 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 Si además recibe 18.000€ en metálico al hacerse cargo de la herencia (1-1-2020), determine el valor de dicha herencia en el momento de recibirla aplicando como tanto de valoración el 3,5% anual compuesto. 72.- Cierta persona dedicada a la fabricación de turrones, se plantea el lanzamiento de un nuevo producto cuya fabricación generaría los siguientes costes: - Coste inicial de nuevas instalaciones 300.000€. - Gastos de mano de obra, y materias primas 30.000€ mensuales el primer año, que aumentan anualmente a una tasa del 3% acumulativa anual. - Por revisión de las instalaciones se esperan unos costes anuales de 60.000€ y en años sucesivos creciendo en progresión aritmética un 10% de esta cantidad. Las ventas del citado producto se concentran básicamente en los meses de octubre, noviembre y diciembre, estimándose que del total de unidades producidas anualmente (300.000), las ventas se repartirían de la siguiente forma: 10.000 unidades cada uno de los meses de enero a septiembre, 55.000 en octubre y noviembre y 100.000 en diciembre. Se estima que el precio de venta no podría superar los 2,30€ por unidad durante los tres años de vida previstos para las instalaciones, con valor residual nulo. ¿Cuál sería el beneficio actualizado neto si se toma como tanto de valoración el 4% efectivo anual? ¿Cuál sería el precio necesario para que, con el mismo tanto de valoración, el beneficio actualizado neto fuera un 5% mayor? Nota: Contabilizar el coste inicial a 1 de enero, comenzándose la producción y venta en ese mismo mes. Todos los demás costes e ingresos se contabilizan a final de su periodo de imputación. OPERACIONES DE AMORTIZACION PRÉSTAMOS 73.- Nos conceden un préstamo de 15.000€ al 6,5% de interés para amortizar dentro de 7 años con sus intereses acumulados. a) ¿Cuánto tendremos que pagar transcurridos 7 años para devolver la deuda contraída? b) Si transcurridos 5 años desde la concesión del préstamo, decidimos cancelar totalmente la deuda ¿cuál será el importe que debemos abonar si el tanto de mercado en este momento es del 5%? 74.- Un préstamo de 90.000€ debe amortizarse a los 20 años con intereses acumulados al 6%. A los 9 años el deudor propone hacer una entrega parcial de 10.000€ y el acreedor acepta a condición de no salir perjudicado, ya que el tanto de interés en dicho momento es del 5%. Obtenga la cuantía del saldo que quedará después del reintegro y la cantidad a pagar por el deudor a los 20 años. 75.- Un préstamo de 75.000€ al 6% de interés debe devolverse en 10 años a través de un pago único. A los 4 años se entregan 12.000€, siendo el tanto de mercado en ese momento del 4,25%. Y a los 8 años se cancela el préstamo. 15 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 a) ¿qué cantidad deberá entregarse en el momento de la cancelación para amortizar el préstamo si el tanto de mercado en ese momento es del 4,5%? b) Plantee la ecuación que permita obtener el TAE al que ha resultado la operación para el deudor. c) Obtenga el usufructo y la nuda propiedad del préstamo a los 5 años de iniciarse la operación, siendo el tanto de valoración del 4%. 76.- Se concede un préstamo de 90.000€ al 7% nominal semestral, amortizable en 10 años mediante reembolso único con pago semestral de intereses. Inmediatamente después de pagados los intereses del sexto año, el deudor quiere cancelarlo. ¿Qué cantidad debe entregar si en dicho momento el tanto de mercado es del 5%? Plantee la ecuación que permite obtener el TAE del prestatario. 77.- Si por un préstamo de 70.000€, amortizable a los 12 años mediante reembolso único con pago anual de intereses al 6%, el deudor decide hacer una entrega de 35.000€ al principio del quinto año, ¿cuál será el saldo que quedará pendiente después de la entrega realizada, si el interés de mercado en dicho momento es del 5,5%? Calcule el valor y el usufructo del préstamo al principio del cuarto año si el tanto de valoración es del 4,5%. 78.- Se concede un préstamo de 40.000€ para amortizar en seis años con abono de intereses semestrales al 6,5% nominal. Calcule la cantidad que cancela el préstamo al término de la operación en los siguientes supuestos: 1) A los 4 años se realiza una cancelación parcial de 12.000€, siendo el tanto de mercado del 4,04% anual. 2) A los 2 años se realiza una cancelación parcial de 6.000€, siendo el tanto de mercado en este momento del 4% anual y a los 3 años, cuando el tanto de mercado es del 4,04%, se hace una cancelación total. Plantee la ecuación que permite obtener el TAE del deudor. 79.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 85.000€, amortizable en cuatro años mediante anualidades constantes al 4,5% de interés anual. 80.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 120.000€ para ser amortizado en 15 años mediante anualidades constantes. Si el tanto de interés concertado es el 3,5%, determine: a) Cuantía de las anualidades constantes. b) Cuota de amortización del sexto período. c) Cuota de interés del décimo año. d) Capital amortizado en los 7 primeros años. e) Capital vivo al principio del año 15. f) Valor, usufructo y nuda propiedad al principio del octavo año sabiendo que el tanto de valoración es el 3%. 81.- De un préstamo contratado para ser amortizado en cinco años por el sistema de amortización francés se conoce la anualidad que asciende a 2.230,52€ y la última cuota 16 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 de amortización que es de 2.149,90€. ¿Cuál es el tanto de interés y cuál es el importe del préstamo? 82.- Se desea amortizar un préstamo de 250.000€ mediante 25 anualidades de igual cuantía, siendo el tipo de interés del 3,5% para los primeros 10 años, del 3,75% para los 10 años siguientes y del 4% para los restantes. Se pide: a) Anualidad constante que amortiza el préstamo. b) Saldo al principio del año 8. c) Cuota de interés y de amortización del año 15. d) Tanto de interés efectivo para el prestamista. e) Valor y nuda propiedad del préstamo al final del año 16, si el tanto de valoración es el 3%. 83.- Una persona cobra durante 15 años 1.535,52€ al principio de cada uno de ellos y los deposita en una entidad financiera que capitaliza al 1,5%. Al finalizar el año 15, retira el depósito, y presta la cantidad retirada a un comerciante que se compromete a reembolsar el préstamo en 10 años mediante semestralidades constantes, que empezará a pagar un año después de constituirse el préstamo a un tanto de interés del 4% nominal. Se desea conocer: a) El importe de la semestralidad que deberá abonar el comerciante. b) El importe de la deuda del comerciante después del pago de la séptima semestralidad. 84.- Una persona solicita un préstamo de 80.000€ que se compromete a amortizar en 10 años mediante el sistema de amortización francés al 3,75%. Al final del quinto año se encuentra que no dispone de efectivo para hacer frente al pago correspondiente a ese momento y conviene con su acreedor en abonar solamente los intereses vencidos. Al final del séptimo año comienza de nuevo a pagar anualmente una cantidad constante hasta amortizar completamente el préstamo al final del año diez. Se pide: a) Anualidad correspondiente a los cuatro primeros años. b) El abono hecho en concepto de intereses el quinto y sexto año. c) Anualidad de los últimos cuatro años. 85.- Un préstamo de 90.000€ es concedido en las siguientes condiciones: tipo de interés 4% anual, duración 15 años, amortización con anualidades constantes abonándose la primera a los cuatro años de concertada la operación. Si el prestatario tiene unos gastos iniciales de 540€ y el sistema impositivo le detrae al prestamista el 1% de las anualidades: a) Plantee las ecuaciones que permiten obtener el tanto efectivo para el prestamista y para el prestatario. b) En el supuesto de que el préstamo fuera cancelado inmediatamente después de hacer el quinto pago y la cancelación llevase una penalización del 1% sobre la deuda pendiente, plantee la ecuación que permite obtener el tanto efectivo del prestatario. c) Calcule el usufructo al final del sexto año siendo el tanto de valoración del 2%. 17 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 86.- Nos conceden un préstamo de 56.000€ para ser amortizado en 6 años mediante anualidades constantes, cobrándonos al inicio de la operación una comisión de estudio del 0,75 por mil (mínimo 30 €). Nos ofrecen para los dos primeros años un tanto de interés del 2,25% y para el resto el EURIBOR + 0,75 con revisiones bianuales. Si en la primera revisión el EURIBOR ha sido del 1,6%, y en la segunda del 2%, plantee la ecuación que permite obtener el TAE de la operación para el prestatario. Obtenga el valor del préstamo a principio del cuarto año si el tanto de valoración es 2,15%. 87.- Se solicita un préstamo de 68.000€ para amortizarlo en 20 años con mensualidades constantes. Nos ofrecen un tanto nominal mensual del 2,5% los seis primeros meses y para el resto un nominal mensual del EURIBOR + 0,5 puntos con revisiones anuales. a) Calcule el importe de las seis primeras mensualidades y de la mensualidad tras la primera revisión si en ese momento el EURIBOR se sitúa en el 2,2%. b) Plantee la ecuación que permite calcular el TAE de la operación si en la segunda revisión el EURIBOR se sitúa en el 2,5% y permanece constante para el resto de la operación. c) Calcule el valor, el usufructo y la nuda propiedad del préstamo una vez satisfecha la mensualidad número 30, si el tanto de valoración es del 3%. 88.- Hace 5 años que tengo concedido un préstamo de 90.000€ y 10 años de duración que estoy pagando con mensualidades constantes al 3,6% de interés nominal. Si me cambio a otro banco que opera al 2% efectivo anual tendré que pedir prestado al nuevo banco el saldo pendiente, la cantidad necesaria para pagar una comisión de cancelación del 1 por mil sobre el saldo pendiente a mi banco actual, y 1.500€ más para los gastos de la nueva hipoteca. Si en este nuevo banco se amortiza el préstamo con anualidades constantes, ¿me conviene cambiar? 89.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 55.000€ amortizable en 4 años al 6,75% de interés anual con anualidades variables en progresión aritmética de razón 650€. 90.- En un préstamo de 90.000€ amortizable en 12 años con anualidades variables en progresión aritmética de razón 600€, y tanto de interés del 6,5%, determine: a) Primera anualidad b) Saldo pendiente al principio del tercer año. c) Cuota de amortización del sexto año. d) Total amortizado al final del noveno año. e) Valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del noveno año si el tanto de valoración es el 5%. 91.- Un particular solicita un préstamo de 75.000€ para amortizar en 6 años mediante semestralidades crecientes en progresión aritmética de razón 520€. Le ofrecen un 4,5% nominal para el primer año y para el resto EURIBOR + 0,5 con revisiones bianuales. Si en la primera revisión el EURIBOR es del 3,9%, calcule: a) Cuantía de la primera y quinta semestralidad. 18 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 b) Cantidad que cancela el préstamo a los tres años de inicia la operación. c) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE deudor teniendo en cuenta que se efectúa la cancelación total y que la comisión por cancelación anticipada es del 0,5%. 92.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 75.000€ amortizable en 3 años al 6,5% de interés anual, con semestralidades variables en progresión geométrica de razón q=1,005. 93.- Un préstamo de 60.000€, se amortiza en 5 años con anualidades que aumentan cada una con respecto a la anterior en un 20%, siendo el tanto de interés del 6%. Determine la primera anualidad, el total amortizado al final del año 3, así como el valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo en ese momento si el tanto de valoración es del 4,5%.0 Çli7e 94.- Una industria recibe de una entidad bancaria un préstamo de 155.000€ reembolsable en 15 años con anualidades variables en progresión geométrica de razón 1,07. El tipo de interés aplicable es del 6% para los cinco primeros años, 6,5% para los cinco siguientes y del 7% para los restantes. Se pide: a) Calcule la primera anualidad. b) Determine el saldo pendiente al final del décimo año. c) Calcule el usufructo al principio del décimo año si el tanto de valoración es del 5%. 95.- Si en un préstamo de 96.000€ concedido al 6,5% anual con 2 años de carencia y pago de diez anualidades, cada una de ella inferior a la anterior en un 6%, pretendemos hacer una cancelación anticipada, justo después de haber pagado la tercera anualidad, ¿qué cantidad debemos entregar? Escriba la ecuación que permita calcular el TAE de la operación. 96.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 78.000€ amortizable en 5 años al 3% de interés anual mediante cuotas de amortización constantes. 97.- Un préstamo de 50.000€ se otorga en las siguientes condiciones: - Tipo de interés anual 3,75% - Duración de la operación 10 años. - Amortización con cuotas de amortización constantes. Obtenga: a) La cuantía del primer término amortizativo. b) Capital pendiente de amortización al principio del octavo año. c) Capital total amortizado al final del sexto año. d) Cuota de intereses del quinto año. e) Valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del cuarto año, siendo el tanto de valoración del 2,5%. 98.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 80.000€ para ser amortizado en 8 años mediante pagos trimestrales constantes a un interés del 4,5% nominal. Transcurridos cinco años se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del 19 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 préstamo pasando a ser amortizado con cuotas de amortización trimestrales constantes al 4% de interés nominal. Se pide: a) Cuantía trimestral con que se inicia la devolución del préstamo. b) Cuantía de la primera trimestralidad que se abona tras el cambio de condiciones. c) Si a los cinco años y medio, tras el cambio de condiciones, se decide cancelar el préstamo, ¿cuál es la cantidad que se debe abonar en el momento de la cancelación si la comisión por cancelación anticipada es del 0,5%? d) TAE del prestatario, teniendo en cuenta la cancelación anticipada del apartado anterior, y sabiendo que por el cambio de condiciones la entidad bancaria cobra el 1% del saldo pendiente. e) Valor del préstamo al principio del sexto año a un tanto de valoración del 3,6%. 99.- Una empresa recibe de una entidad bancaria un préstamo de 69.000€ reembolsable mediante cuotas de amortización semestrales constantes en 15 años. El tipo de interés aplicable es del 3% nominal para los tres primeros años, del 4% nominal para los cinco siguientes y del 4,6% nominal para los restantes. Se pide: a) Calcule la cuota de amortización. b) Obtenga los términos amortizativos que se hacen efectivos al final del primer, quinto y noveno año. c) Calcule el usufructo al final del quinto año utilizando un tanto de valoración del 2,01%. 100.- Nos conceden un préstamo de 60.000€ con una duración de 10 años y amortización mediante cuotas de amortización constantes, nos cobran al inicio de la operación una comisión del estudio del 1 por mil (mínimo 45 €). Nos ofrecen para el primer año un tanto de interés de 2,75% y para el resto el EURIBOR + 0,60 con revisiones anuales. Si en los años del segundo al sexto, ambos inclusive el EURIBOR ha sido del 2,15%, y los cuatro últimos años del 2,65%, plantee la ecuación para el cálculo del TAE de la operación para el prestatario. 101.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 44.000€ a amortizar en cuatro años, por el sistema americano de amortización. El tanto del fondo en el que se entregan las cantidades anuales constantes es del 3,5% y el tanto del préstamo es el 6% anual. Calcule el TAE deudor y el TAE acreedor. 102.- Una sociedad contrata un préstamo con una entidad bancaria con arreglo a las siguientes condiciones: - Capital prestado 110.000€ - Amortización mediante el sistema americano. - Tanto anual del préstamo 5,5% - Duración 10 años. Por otra parte, constituye un fondo en otro banco en el cual se realiza imposiciones semestrales para conseguir el montante que extinga la deuda. El fondo tiene un interés del 4,6% nominal capitalizable por semestres. Calcule: a) Cuota de interés del préstamo del sexto año. 20 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 b) Cuantía constante que hay que imponer en el fondo. c) Tanto efectivo al que resulta la operación. d) Usufructo, valor y nuda propiedad del préstamo al principio del tercer año si el tanto de valoración es del 4%. 103.- Solicitamos un préstamo de 20.000€ para amortizar en 5 años al 5,7% anual. El prestamista ofrece dos posibilidades: a) amortizar mediante anualidades constantes, b) pago anual de los intereses y constitución de un fondo, para amortizar la deuda al vencimiento, en el que se hacen entregas semestrales y se remunera al 4,8% anual. ¿Qué opción interesa más al deudor? ¿Y al acreedor? 104.- Hemos solicitado un préstamo de 50.000€ que vamos a amortizar en 6 años por el sistema de amortización americano. La comisión de apertura es del 1%, el interés del préstamo del 4,25% anual y el interés del fondo del 5,2% anual. Deseamos que las cantidades destinadas al fondo sean semestrales, abonando la primera en el momento de concertada la operación. Calcule: a) Cantidad destinada al fondo de amortización. b) Interés efectivo del deudor e interés efectivo del acreedor. c) ¿Por cuánto puede vender el acreedor la nuda propiedad a los tres años de concertada la operación, si el tanto de valoración es del 2,9% semestral? 105.- Construya el cuadro de amortización de un préstamo de 120.000€ que se amortiza en cinco años mediante anualidades constantes, a un tipo de interés anual anticipado del 5,5%. 106.- Se concede un préstamo de 75.000€ para amortizar en 10 años mediante anualidades constantes a un tipo de interés anual anticipado del 7%. Se pide: a) Anualidad que amortiza el préstamo. b) Saldo al principio del cuarto año. c) Cuota de amortización del sexto período d) Capital total amortizado al finalizar el octavo año. e) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE del deudor. f) Valor y usufructo del préstamo al final del tercer año, siendo el tanto de valoración 5,5%. 107.- Un préstamo de 25.000€ se solicita para ser amortizado en 8 años a un tanto de interés semestral anticipado del 4,1% con semestralidades constantes. En el momento de la concesión del préstamo se paga una comisión de apertura del 1%. Transcurridos 3 años se cancela el préstamo pagando una comisión del 1% sobre el importe cancelado. Plantee la ecuación que permita calcular el TAE de la operación. 108.- Una sociedad cooperativa agrícola quiere efectuar mejoras en sus instalaciones siendo necesario para ello realizar una inversión de 180.000€. Para la financiación de esta inversión solicita un préstamo amortizable por el sistema alemán en quince años con anualidades constantes. El tipo de interés anticipado fijado para la operación es del 5,5% para los diez primeros años y el 6% para los cinco últimos. Determine: a) La anualidad. 21 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 b) Cuota de interés pagadera al principio del undécimo año. c) Nuda propiedad al principio del décimo año, siendo el tanto de valoración del 4,3%. d) Ecuación que permite obtener el tanto efectivo al que ha resultado la operación. 109.- Una empresa tiene concertado tres préstamos con una institución financiera: - Uno de 95.000€ que solicitó hace 5 años para amortizar mediante 15 cuotas anuales constantes pagándose la primera al final del primer año y siendo el tipo de interés del 6,5%. - Otro de 95.000€ que solicitó hace 8 años para amortizar mediante 20 anualidades constantes pagándose la primera a los cuatro años de concertado el préstamo, al 6,5% de interés anual. - Un tercero de 80.000€ que solicitó hace dos años al 5,5% de interés anticipado para amortizar mediante 12 anualidades constantes. a) Hoy la empresa quiere saber cuánto ha de pagar en concepto de intereses y cuanto de amortización. b) ¿Qué capital obtendrá la institución si vende los préstamos a una entidad bancaria que trabaja al 4% nominal semestral? 110.- Un préstamo de 73.000€ se amortiza en 32 trimestres a un tanto de interés trimestral anticipado del 1,5% con cuotas de amortización constantes. Se pide: a) La primera trimestralidad. b) La cuota de interés correspondiente a la quinta trimestralidad. c) El valor del préstamo al final del tercer trimestre, siendo el tanto de valoración del 4% anual. 111.- Una entidad bancaria concede un préstamo de 24.000€ para ser amortizado en 6 años a un tanto de interés del 7% mediante una renta anual constante. Transcurridos tres años se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del préstamo pasando a ser el tanto del 6% anual anticipado y con cuotas de amortización constantes. Se pide: a) Anualidad con que se inicia el préstamo. b) Razonar si le interesa al prestatario el cambio de condiciones. c) Cuadro de amortización a partir del cambio de condiciones. EMPRESTITOS 112.- Construya el cuadro de amortización de un empréstito formado por 100.000 obligaciones de 6€ nominales cada una, con cupón anual de 0,30€, y que se amortiza en 3 años mediante anualidades constantes. Si los gastos de emisión son de 10 céntimos por obligación, plantee la ecuación que permite obtener el TAE del emisor y el del conjunto de los suscriptores. 113.- Una empresa realiza la emisión de un empréstito con las siguientes características: 22 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 - Títulos emitidos: 500.000 títulos - Nominal de cada título: 3€ - Cupón anual 0,21€ La amortización la realizará en 4 años mediante anualidades constantes. Construya el cuadro de amortización. Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un obligacionista que compra 1000 títulos que son amortizados de la siguiente forma, 100 en el primer sorteo, 180 en el segundo, 420 en el tercero y el resto en el cuarto. 114.- Se emite un empréstito formado por 150.000 títulos de 10€ de valor nominal cada uno. La amortización se realizará en tres años, amortizando cada año el mismo número de títulos, y pagando un cupón anual de 0,40€. Existen unos gastos de emisión del 0,5% del volumen emitido y unos gastos de administración anuales del 0,25% de la anualidad, ambos a cargo del emisor, unos gastos de suscripción de 5 céntimos por título a cargo del suscriptor. Construya el cuadro de amortización. Plantee la ecuación del TAE para el emisor y para el conjunto de los suscriptores. 115.- Cierta sociedad emite un empréstito de 100.000 obligaciones de nominal 10€ cada una. Las características son: duración 8 años; abono de cupones anuales del 3% los dos primeros años, del 4,5% los tres años siguientes, y del 5% los últimos tres años. Calcule la anualidad constante, el número de títulos que se amortizan en el cuarto sorteo, y el TAE del conjunto de los suscriptores. 116.- Un empréstito formado por 150.000 obligaciones de 10€ nominales cada una, se amortiza en 4 años mediante anualidades variables en progresión aritmética de razón 2000€, pagando un cupón anual de 0,50€. Determine el número de títulos amortizados cada año. Si las anualidades crecieran un 10% acumulativo, ¿qué número de títulos se deberán amortizar cada año en este caso? 117.- Una compañía industrial desea emitir un empréstito dividido en obligaciones de 5€ nominales cada una, con cupón de 0,20€, para amortizarlo mediante 75 anualidades de 15.835,88€ cada una. ¿Cuál será el volumen nominal y el número de títulos emitidos? ¿Cuál será el valor de emisión de los títulos para que resulte un tipo efectivo del 4,2% al conjunto de los suscriptores? 118.- Se emite un empréstito con las siguientes características: - Número de títulos emitidos: 20.000. - Valor nominal: 20€ - Pago del cupón anual: 0,80€ - Duración de la amortización: 5 años. - Los títulos se amortizarán con una prima de 3€. a) Obtenga la anualidad constante que amortiza el empréstito. b) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un suscriptor que compra dos títulos que le son amortizados en el segundo año correspondiéndole premio a uno de ellos. c) Plantee también la ecuación que permite calcular el tanto de interés efectivo para el emisor. 23 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 119.- Construya el cuadro amortización de un empréstito de 1.000 obligaciones de 6€ nominales cada una a reembolsar en 3 años pagando un cupón anual de 0,30€ y un lote anual constante de 600€, a repartir entre las obligaciones que se amortizan cada año. ¿Cuál sería la anualidad que amortizaría el empréstito si el lote aumentase en 50€ cada año? 120.- Se emite un empréstito con las siguientes características: - Número de títulos emitidos: 50.000. - Valor nominal: 20€ - Pago del cupón anual: 0,60€ - Duración de la amortización: 5 años. - Los títulos se amortizarán con una prima de 2€. - Entre los títulos amortizados cada año, se rifará 6 lotes de 180€ cada uno. a) Obtenga la anualidad constante que amortiza el empréstito. b) Plantee la ecuación que permite obtener el TAE de un suscriptor que compra dos títulos que le son amortizados en el segundo año correspondiéndole premio a uno de ellos. c) Plantee también la ecuación que permite calcular el tanto de interés efectivo para el emisor. 121.- Se emite un empréstito con las siguientes características: número de títulos emitidos 2.000, nominal de cada título 600€, cupón anual de 24€ por título, amortización a la par, los títulos amortizados cada año pierden el derecho al cobro del último cupón, duración 5 años. Calcule la anualidad constante que amortiza el empréstito y el cuadro de amortización. 122.- Se emite un empréstito con las siguientes características: número de títulos emitidos 5.000, nominal de cada título 300€, cupón anual de 14€ por título, amortización al 110%, los títulos amortizados cada año pierden el derecho al cobro del último cupón, duración 5 años, gastos de emisión del 0,25% del nominal emitido. Calcule la anualidad constante que amortiza el empréstito y el cuadro de amortización. Plantee la ecuación del TAE para el emisor y para el suscriptor de tres títulos que le son amortizados dos en el tercer sorteo y el otro en el último sorteo. 123.- Una entidad emite un empréstito a 10 años de 40.000 obligaciones de 60€ nominales, a un tanto de interés del 3%. Sabiendo que todos los años se amortiza el mismo número de títulos y que los títulos amortizados cada año pierden el derecho al último cupón, determine: a) El nº de obligaciones vivas al finalizar el sexto año. b) Ecuación del tanto de interés efectivo para un obligacionista poseedor de dos títulos que le son amortizados el segundo y cuarto año respectivamente. 124.- Construya el cuadro de amortización de un empréstito de 200.000 obligaciones de 12€ nominales cada una, emitidas y amortizadas a la par. Se amortizan con anualidades constantes en 4 años, pagando un cupón anticipado de 0,60€. Si se decide amortizar todos los años el mismo número de títulos, ¿cuál será la cuantía de las anualidades que se deberán abonar cada año? 24 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 125.- Se han emitido 100.000 obligaciones de 60€ nominales cada una, al 3,25% de interés anual anticipado, que deberán amortizarse en cinco años, mediante anualidades constantes. Calcule la cuantía anual destinada al pago de un lote, a repartir entre las seis primeras obligaciones amortizadas cada año, para que el tanto efectivo emisor resulte ser del 4,5%. 126.- Sea un empréstito con las siguientes características: Títulos emitidos 50.000; nominal de cada título 30€; duración de la emisión tres años; abono de intereses en el momento de la amortización al 3,25% anual. Obtenga el tanto de interés efectivo para el emisor en los siguientes supuestos: a) Las anualidades que amortizan el empréstito son constantes. b) Todos los años se amortiza el mismo número de títulos. 127.- Cierta sociedad emite un empréstito de 100.000 obligaciones de nominal 10€ cada una. Las características son: duración 6 años; abono de cupones anuales del 3%; los gastos de administración anuales, a cargo del emisor, son del 1% sobre el pago de los cupones y del 1’5% sobre los valores de reembolso. Calcule la anualidad constante y el TAE emisor y el del conjunto de los suscriptores. 128.- Determínese el valor financiero de una obligación y su descomposición en valor financiero del usufructo y de la nuda propiedad, transcurridos cinco años de la vida de un empréstito con las siguientes características: Nº de títulos emitidos 10.000, nominal de cada título 15€, duración de la operación 8 años y tanto anual constante del 3’5%, en los siguientes casos: a) anualidad constante. b) Se amortizan el mismo número de títulos cada año. El tanto de valoración es del 3% anual. VALORES MOBILIARIOS 129.- Calcule la cantidad que tenemos que pagar al adquirir 225 obligaciones de 60 € cada una, que cotizan al 115%, sabiendo que nos cobran el 0,2% de corretaje sobre el efectivo de la compra. 130.- ¿Qué cantidad de títulos de 10 € nominales tendremos que comprar para conseguir una renta mensual neta de 131,25 € sabiendo que estos valores producen un interés anual del 3% liquidable mensualmente y hay una deducción del 18% en concepto de impuestos? Si cotizan al 87%, ¿cuál es la rentabilidad efectiva neta de estos títulos? 131.- El 15 de Noviembre se adquirieron 5.000 € nominales de Deuda amortizable al 2%, con el cupón del próximo vencimiento. La cotización seca en dicho día para estos títulos es del 85%. Transcurridos 160 días, y después de haber cobrado el cupón del día 1 de Abril, son vendidas al cambio del 94,4%. Determine la rentabilidad de la operación sabiendo que tanto en la compra como en la venta se ha pagado el 0,1% de corretaje sobre el efectivo (cupones trimestrales coincidentes con los trimestres naturales). 132.- Hallar el número de títulos que se pueden comprar, la inversión que se realiza y el sobrante no invertido si se dispone de 1.000 € y se quiere invertir en obligaciones de 25 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 10 € nominales con una rentabilidad efectiva neta del 5%. El corretaje y la comisión suponen el 0,25% y los gastos fijos son de 0,60 €. Las obligaciones pagan un interés anual de 0,50 € con deducción del 25%. 133.- Se compran obligaciones que rentan un 4,5% hasta obtener 4.500 € de renta, al cambio del 115%. Este cambio baja a 98% y entonces se adquiere igual número de valores. Calcule: a) ¿A qué cambio deberán venderse todos los valores para no experimentar pérdidas? b) ¿Que ganancias o pérdidas se tendrían si se venden todos los valores al 101%? Téngase presente que en las transacciones se producen unos gastos de corretaje del uno por mil y una comisión intermediaria sobre el nominal del 0,3%. 134.- ¿Cuantas acciones de 100 € nominales que cotizan al 240% y rentan un 5% anual líquido habremos de pignorar para que nos concedan por 90 días un crédito de aproximadamente 93.630 € líquidos, con un interés del 8% y cobrándonos el 0,25% sobre el nominal del préstamo en concepto de gastos bancarios? 135.- Se pignoran 1.000 títulos de nominal 100 € que cotizan al 235% aplicando un coeficiente reductor del 80%. La operación se concierta por seis meses a un interés anticipado del 7% teniendo el prestatario unos gastos fijos de 30 € debido a la operación realizada, gastos de corretaje del 0,3% sobre el efectivo pignorado y comisión bancaria sobre el nominal del préstamo del 0,1%. Determine: a) Préstamo concedido. b) Líquido recibido. c) Número de títulos a aportar a los dos meses si el cambio desciende hasta el cambio de reposición. d) ¿Qué reducción sufre el préstamo si sólo se aporta la mitad de títulos resultantes del apartado anterior? 136.- Con 1.823,60 € adquirimos obligaciones que cotizan al 120%, corretaje sobre efectivo 0,2%, gastos fijos de 2 €. A continuación pignoramos los valores en un banco que cobra un interés anticipado del 7,5%, aplica un coeficiente reductor del 80%, concede el préstamo a 120 días y cobra una comisión del 0,2% sobre el líquido de la operación. Con el líquido obtenido compramos obligaciones de la misma clase, al mismo cambio y con el mismo corretaje, gastos fijos de 2 €. Determine el interés cobrado por las obligaciones si pagan un 10% con cupones trimestrales. 137.- Una sociedad amplía su capital en la proporción de una acción nueva a la par por cada diez antiguas. Las acciones tiene un nominal de 100 €, y antes de la ampliación cotizaban al cambio del 320%. Determine el valor del derecho de suscripción de los antiguos suscriptores. 138.- Un señor posee 100 acciones de la sociedad Mathemática S.A. que cotizan al 110%. En este momento la sociedad amplía capital en la proporción de dos acciones nuevas por cada cinco antiguas, al 95%. Este señor vende la mitad de los derechos de suscripción y acude a la ampliación comprando todas las acciones que le corresponden. ¿Qué importe recibirá por la venta de los derechos?. A continuación 26 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 pignora la totalidad de las acciones en un banco que cobra un interés del 8% y aplica un coeficiente reductor del 80%. ¿Cuál será el líquido del préstamo solicitado por tres meses?. 139.- Una sociedad hace dos ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una acción nueva gratis por cada cinco antiguas y tres nuevas a la par por cada diez antiguas. Las antiguas se cotizaban antes de la ampliación a 220% y el nominal de las acciones nuevas y antiguas es de 10 €. Determine el valor teórico de los derechos de suscripción. 140.- Una sociedad hace tres ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una acción nueva gratis por cada tres antiguas, dos nuevas a la par por cada cinco antiguas y tres nuevas a 12 € por cada siete antiguas. Las antiguas cotizaban antes de la ampliación a 220% y el nominal de las acciones nuevas y antiguas es de 10 €. Determine el valor teórico de los derechos de suscripción. 141.- La S.A. B amplía su capital con cargo a reservas entregando a los accionistas una acción nueva por cada 75 antiguas. Las nuevas participarán de los beneficios de la sociedad desde 1/7/2010 y la ampliación se realiza durante el mes de Marzo de 2008. Se supone que las acciones viejas se han cotizado en bolsa a 307%. Los títulos son de 50 € nominales. La cotización al 28/2/2008 se estima que la diferencia por dividendo es de 0,60 € por acción, cantidad que supone la percepción de dividendos de las antiguas acciones en los meses que restan hasta mediados de año. Determine el valor teórico del cupón. 142.- Una S.A. efectúa tres ampliaciones simultáneamente de la forma siguiente: 2 nuevas por cada 4 antiguas a la par, 2 nuevas por 8 antiguas a 120%, una gratis por cada 10 antiguas. Las antiguas, que se cotizaban antes de la ampliación a 680%, tendrán derecho a un dividendo de 0,5 € por acción al que no accederán las nuevas igualándose después los derechos futuros. Calcule el valor de los derechos. El nominal es de 50 €. 143.- Una sociedad hace dos ampliaciones de capital simultáneamente ofreciendo una acción nueva gratis por cada tres antiguas y dos nuevas a la par por cada cinco antiguas. Las acciones viejas percibirán un dividendo de 0,80 € al que no accederán las nuevas que son gratis, igualándose después los derechos futuros. Las antiguas se cotizaban antes de la ampliación a 220% y el nominal de las acciones nuevas y antiguas es de 10 €. Determine el valor teórico de los derechos de suscripción. 144.- Un capitalista enterado de que en una sociedad va a efectuarse ampliación de capital compra el 1 de Enero 100 acciones de 50 € nominales el cambio de 390% y coloca en un banco, al 2% anual, el dinero necesario para comprar las acciones nuevas. La ampliación se efectúa a la par el 1 de Julio a razón de una acción nueva por cada dos antiguas, cargándose por gastos de emisión 1,2 € por cada una. Al final de dicho año cobra un dividendo del 6% de las acciones viejas y del 3% de las nuevas. A final de año vende todas las acciones al cambio de 370%. Determine el tanto por ciento de 27 Relación de ejercicios. Curso 2019/20 rentabilidad que le supuso el conjunto de estas operaciones respecto al capital que movilizó el 1 de Enero. 28