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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN
2.2.0. INTRODUCCIÓN
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS
FINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
2.2.6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS
DIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
2.2.8. EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN FUNCIONAL
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
1
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN,
2.2.0. INTRODUCCIÓN
En el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la manera como
determinar una función o funciones a partir de un conjunto de datos discretos, i.e.,
puntos tabulados, situación que siempre se enfrenta cualquier investigador, para
decir generalmente un Ingeniero siempre tiene al frente esta problemática
fenómeno que será el objetivo de este ítem.
Pues es común encontrar datos con valores discretos, y sin embargo nosotros
queremos encontrar valores entre estos puntos discretos, y esto es lo que lo
llamamos ajuste de curvas y, generalmente se usa el procedimiento de mínimos
cuadrados.
Cuando existe un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa lo que se
llama interpolación.
Las funciones de aproximación generalmente es obtenida por combinación lineal
de funciones elementales, que toman la forma de:
a n g n ( x)  a n 1 g n 1 ( x)  ........  a1 g1 ( x)  a 0 g 0 ( x)
: 0in
En donde:
ai: Son constantes que deseamos encontrar, i=1,2,...,n
gi(x): Son funciones elementales específicas, i=1,2,...,n
Ejemplo:

0
1
1.
gi (x): Puede ser la familia de monomios en x : x , x , ..... , x
tenemos la combinación lineal:
n
p( x)  a n x n  an 1 x n1  ......  ai x i  .......  a2 x 2  a1 x1  a0 x 0
2.
La familia de funciones elementales de Fourier, en función de “x”
1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, sen 3x, cos 3x,..
La combinación lineal que genera aproximaciones de la forma:
n
n
i 1
i 1
a 0   a i cos i x   bi sen i x
3.
La familia de funciones exponenciales en x:
1, e x , e 2 x , e 3 x , ...
Que proporciona la siguiente combinación lineal
a 0  a1e x  a 2 e 2 x  a3 e 3x  ...  ai e ix  ...  a n e nx
Observación:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
2

luego
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
1. De las tres familias observadas podemos decir que la primera es la más
utilizada y la más sencilla en su manejo.
2. ¿Qué buscamos en esta unidad?
Buscamos unan función f(x) a partir de una tabulación funcional f (x):
Punto
Variable
Función
0
1
x0
x1
f (x0) f (x1)
Es decir
2
x2
f (x2)
.....
....
.......
n
xn
f (xn)
queremos aproximar a f(x) por medio de la familia elemental de
monomios
x
0

, x 1 , x 2 , ..... , x i , ...... , x n es decir,
p( x)  a n x n  an 1 x n1  ......  ai x i  .......  a2 x 2  a1 x1  a0 x 0 , que se puede
realizar por medio de los siguientes criterios:
 Ajuste exacto
 Mínimos cuadrados
Ajuste Exacto:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos
proporcionados tubularmente. Esto es:
Mínimos Cuadrados:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos y que
cumpla la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevados al
cuadrado.
n
i.e.;
d
i 0
2
i
= mínimo
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
3
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Encontrado el polinomio de aproximación podemos utilizarlo para determinar otros
puntos que no están en la tabla, mediante una evaluación, fenómeno que se llama
Interpolación, así mismo se puede derivar o integrar con la finalidad de buscar
alguna otra información adicional de la función tabular.
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL
Podemos decir que la interpolación lineal es el eje para muchos métodos
numéricos y de gran relevancia en la ingeniería, puesto que una gran información
se encuentra en su forma tabular como veremos más adelante y es usado por una
diversidad de métodos numéricos, por ejemplo si integramos este método
tendremos el método de integración trapezoidal.
¿En qué consiste este método?
Supongamos que tenemos los siguientes cuadros:
Puntos
0
1
f(x)
56
78
X
1
2
Puntos
0
f(x)
56
X
1
2
3
4
5
6
Cuadro 1
113 144 181 205 214
5
10
20
1
2
3
30
40
Cuadro 2
¿-? 113 181 214
2
5
20
40
Supongamos por un instante que sólo se dispone del cuadro 2 y que queremos el
valor de la variable “y=f(x)” cuando x tiene un valor de 2 unidades. Una manera
muy común es considerar la ecuación de una línea recta así:
p( x)  a0  a1 x , y sustituirlos valores de los puntos 0 y 1, obteniendo dos
ecuaciones con variables a0 y a1
Punto “0” = (1,56); punto 1: (5,113); (x, f(x))
57
 14.2
 4a1  57 
4
113  a 0  5a1
a 0  56  14.2  41.8
56  a 0  a1
a1 
Luego la ecuación de la función lineal:
p(x) = 41.8 + 14.2x
Esta ecuación puede ser usado para calcular f (x) cuando x = 2
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
4
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f (2)  41.8  (14.2)2  41.8  28.4  70.2
Observación:
Si queremos una mejor aproximación para nuestra función deberíamos considerar
otro punto más y tendremos:
p( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2 ,
Sean los puntos
P0  (1, 56)  56  a 0  a1  a 2
P2  (5, 113)  113  a 0  5a1  25a 2
P3  (20, 181)  181  a 0  20a1  400a 2
a 0  a1  a 2  56
 0  4a1  24a 2  57
a 0  a1  a 2  56
 0  4a1  24a 2  57
0  19a1  399a 2  125
0  19a1  399a 2  125
Resolviendo el sistema, tenemos que:
a 0  39.9 ,
a1  17.2 ,
p( x)  39.9  17.2 x  0.51x
a 2  0.505
2
p(2)  39.9  34.4  2.04  76.34
Gráficamente representa una parábola. En general tendremos la siguiente
aproximación polinomial.
p n ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  .......  ai x i  .......  a n x n
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON
En esta oportunidad presentaremos los polinomios de llamados de Newton como
previos al proceso recursivo, p0; p1; p2;....; pn,en donde cada pk se obtiene
simplemente añadiendo un término a pk-1 , y al final del proceso pn se encuentra
formado por una suma de términos.
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
5
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,
En otros términos.
,
Se considera
, siempre
que m<0
Los primeros términos de la ecuación son
,
,
Estos serian los tres primeros polinomios de interpolación de Newton.
Cabe destacar que existe un método muy eficiente para evaluar pk(x) suponiendo
conocidos los coeficientes c0, c1, c2,....ck llamado algoritmo de Horner.
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
Comentarios:
El método anterior tiene su punto débil en la aproximación exacta, al realizar la
interpolación, pues se tenía que solucionar un sistema de ecuaciones que su
orden dependía de la exactitud de la aproximación, con la finalidad de salvar
estos inconvenientes, surgen otros métodos de aproximación polinomial, que
realicen cálculos directos sin desarrollar tales sistemas de ecuaciones que
envuelven cierta dificultad en su solución. Entre estos métodos tendremos la
aproximación polinomial de LaGrange. El método que consiste en:
Primero: Supongamos una función desconocida f (x) dada en forma tabular y se
asume un polinomio de primer grado es decir una línea recta el cual se puede
escribir de la siguiente manera:
1. Supongamos que la ecuación de un recta se escribe así:
P( x)  a 0 ( x  x1 )  a1 ( x  x 0 )
En donde:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
6
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x0, x1: Son valores de la función en puntos conocidos [x0, f (x0)], [x1, f (x1)]
a0, a1: Coeficientes por
consideraciones siguientes:
determinar,
y
lo
encontramos
haciendo
Determinando a0 para ello consideramos
: x  x 0  P( x 0 )  a 0 ( x 0  x1 )  a 0 
P( x 0 )
f ( x0 )

x 0  x1 x 0  x1
Determinando a1 para ello hacemos:
x  x1  P( x1 )  a1 ( x1  x 0 )  a1 
P( x1 )
f ( x1 )

x1  x 0 x1  x 0
Luego
P( x) 
f ( x0 )
f ( x1 )
( x  x1 ) 
( x  x0 )
( x 0  x1 )
( x1  x 0 )
P( x)  f ( x 0 )
( x  x0 )
( x  x1 )
 f ( x1 )
( x 0  x1 )
( x1  x 0 )
P( x)  L0 ( x) f ( x 0 )  L1 ( x) f ( x1 )
2. Supongamos un polinomio de segundo grado
P2 ( x)  a 0 ( x  x1 )( x  x 2 )  a1 ( x  x0 )( x  x 2 )  a 2 ( x  x 0 )( x  x1 )
En donde:
x0, x1, x2 son los valores de los puntos conocidos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]
Si x  x0  a0 
P2 ( x0 )
f ( x0 )

( x0  x1 )( x0  x2 ) ( x0  x1 )( x0  x2 )
Si x  x1  a1 
P2 ( x1 )
f ( x1 )

( x1  x0 )( x1  x2 ) ( x1  x0 )( x1  x2 )
Si x  x2  a2 
P2 ( x2 )
f ( x2 )

( x2  x0 )( x2  x1 ) ( x2  x0 )( x2  x1 )
Luego:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
7
las
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
P2 ( x)  L0 ( x) f ( x 0 )  L1 ( x) f ( x1 )  L2 ( x) f ( x 2 )
En donde:
L0 ( x) 
( x  x0 )( x  x2 )
( x  x0 )( x  x1 )
( x  x1 )( x  x2 )
; L1 ( x) 
; L2 ( x) 
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x1  x2 )
( x2  x0 )( x2  x1 )
3. Podemos suponer un polinomio de grado n:
Pn ( x)  L0 ( x) f ( x0 )  L1 ( x) f ( x1 )  .....  Li ( x) f ( xi )  ......  Ln ( x) f ( xn )
En donde:
L0 ( x ) 
( x  x1 )( x  x 2 ).....( x  x i ).....( x  x n )
( x 0  x1 )( x 0  x 2 ).....( x 0  x i )....( x 0  x n )
L1 ( x) 
( x  x 0 )( x  x 2 ).....( x  x i ).....( x  x n )
( x1  x 0 )( x1  x 2 ).....( x1  x i )....( x1  x n )

Li ( x) 
( x  x 0 )( x  x1 ).....( x  x i  1 ).....( x  x n )
( xi  x 0 )( xi  x1 ).....( x i  x i  1 )....( x i  x n )
Que en general el polinomio se puede escribir:
n
Pn ( x)   Li ( x) f ( x i ) , polinomio LaGrange
i 0
En donde:
(x  x j )
n
Li ( x )  
j 0 ( x i  x j ) ,
j i
La aproximación polinomial de LaGrange, es la combinación lineal de f(xi ) y de
los coeficientes Li(X).
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la función tabular
i
0
1
2
3
F(Xi)
-3
0
5
7
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
8
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Xi
0
1
3
6
a) Determinar la aproximación polinomial de LaGrange usando todos los puntos
b) Determinar el valor aproximado de f (x) para x = 1.8
Solución:
Debemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos lo que induce la existencia
de un polinomio de tercer orden
P3 ( x)  L0 ( x) f ( x0 )  L1 ( x) f ( x1 )  L2 ( x) f ( x 2 )  L3 ( x) f ( x3 )
P3( x)  L0 ( x)( 3)  L1 ( x)(0)  L2 ( x)(5)  L3 ( x)(7)
L0 ( x) 
( x  x1 )( x  x 2 )( x  x3 )
( x  1)( x  3)( x  6) ( x  1)( x  3)( x  6)


( x0  x1 )( x0  x 2 )( x0  x3 ) (0  1)(0  3)(0  6)
 18
L1 ( x) 
( x  x0 )( x  x 2 )( x  x3 )
( x  0)( x  3)( x  6) x( x  3)( x  6)


( x1  x0 )( x1  x 2 )( x1  x3 )
(1  0)(1  3)(1  6)
10
L2 ( x ) 
( x  x0 )( x  x1 )( x  x3 )
( x  0)( x  3)( x  6) x( x  1)( x  6)


( x 2  x0 )( x 2  x1 )( x 2  x3 ) (3  0)(3  1)(3  6)
 18
L3 ( x) 
( x  x0 )( x  x1 )( x  x 2 )
x( x  1)( x  3) x( x  1)( x  3)


( x 2  x0 )( x3  x1 )( x3  x 2 ) 6 (6  1)(6  3)
90
Operando tenemos:
x 3 x 2 46
P3   

x 3
30 30 15
El valor aproximado de la función cuando x = 1.8
(1.8) 3 (1.8) 2 46
P3 (1.8)  

 (1.8)  3  2.2176
30
30
15
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Así como podemos aproximar una función mediante la aproximación
polinomial de LaGrange, también podemos aproximar la derivada y la integral
de una función con diferencias divididas. La derivada y la integral
respectivamente el polinomio de interpolación, que en realidad es el principio
básico para la diferenciación e integración de los métodos numéricos.
Supongamos una función f (x) con derivada en el punto x0 analíticamente esta
dado por:
lim
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )
 f ' ( x)
x  x0
Pero cuando la función es dada de manera tabular, se tiene.
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
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Punto
0
1
..........
i
..........
n
x
x0
x1
..........
xi
..........
xn
f ( x)
f ( x0 )
f ( x1 ) ..........
f ( x i ) ..........
f (xn )
La derivada sólo puede obtenerse de manera aproximada, por ejemplo si se
desea calcular la derivada de f(x) en el punto “x” tal que x0 < x < x1
Esto se determina así:
f ' ( x) 
f ( x1 )  f ( x 0 )
,
x1  x 0
x 0  x  x1
La expresión de la derecha se llama primera diferencia dividida de f (x)
respecto a los valores de x0 y x1 y se denota generalmente f [x0, x1], esto es,
f x 0 , x1  
f ( x1 )  f ( x 0 )
x1  x 0
Observación:
1.
Se debe destacar que la relación entre la primera diferencia dividida
y la primera derivada esta dada por el teorema del valor medio.
f ( x1 )  f ( x 0 )
 f ' (c) ,
x1  x 0
c  ( x 0 , x1 )
Siempre que f (x) cumpla con las condiciones del teorema del valor medio.
2.
Podemos generalizar para un orden más alto en donde el argumento
es xi , 0  i  n ; f xi  se llama diferencia dividida, de orden cero:
f x 0 , x1 , ..... , xi  
f x1 , x 2 , ..... , xi   f x 0 , x1 , ..... , xi 1 
xi  x 0
i.e.; orden cero:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
10
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Primero
x 0 f x 0 
f x 0 , x1  
x1 f x1 
f x1 , x 2  
x 2 f x 2 
f x 2 , x 3  
x3 f x3 
Segundo
f x1   f x 0 
x1  x 0
f x 2   f x1 
x 2  x1
f x 3   f x 2 
x3  x 2
f x   f x 3 
f x 3 , x 4   4
x 4  x3
x 4 f x 4 
f x 4 , x 5  
x5 f x5 
f x 5   f x 4 
x5  x 4
f x0 , x1 , x2  
f x1 , x2 , x3  
f x2 , x3 , x4  
f x3 , x4 , x5  
f x1 , x2   f x0 , x1 
x2  x0
f x3 , x2   f x1 , x2 
x3  x1
f x3 , x4   f x2 , x3 
x4  x 2
f x4 , x5   f x3 , x4 
x5  x3
Tercero
f x0 , x1 , x2 , x3  
f x1 , x2 , x3 , x4  
f x2 , x3 , x4 , x5  
f x1 , x2 , x3   f x0 , x1 , x2 
x3  x0
f x2 , x3 , x4   f x1 , x2 , x3 
x4  x1
f x3 , x4 , x5   f x2 , x3 , x4 
x5  x2
Observación:



Para formar la expresión se requiere i + 1 puntos.
El numerador es la recta de dos diferencias de orden i – 1.
El denominador es la recta de los argumentos no comunes en el numerador.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la siguiente información
Puntos
0
1
2
3
4
5
x
2
1
0
2
3
6
f ( x)
 18  5  2  2 7 142
Obtenido del polinomio x 3  2 x 2  2
La primer diferencia dividida en los puntos (0), (1) y (1), (2)
f x 0 , x1  
f ( x1 )  f ( x 0 ) 5  (18)

 13
x1  x 0
 1  (2)
f x1 , x 2  
f ( x 2 )  f ( x1 ) 2  (5)

3
x 2  x1
0  (1)
La segunda diferencia dividida para (0), (1) y (2)
f x 0 , x1 , x 2  
f `x1 , x 2   f x 0 , x1  3  (13)

 5
x 2  x0
0  (2)
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
11
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
De esta manera construimos la tabla de diferencias divididas
Puntos
X
f(x)
0
-2
-18
1º orden
2º orden
3º 0rden
4º orden
13
1
-1
-5
-5
3
2
0
-2
1
-1
0
0
3
2
-2
1
3
0
9
4
2
7
1
9
45
5
6
142
Observemos que:
Todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor
independiente del valor de las x que se usen para calcularse.
Las diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo que tiene afinidad
con el criterio que la derivada de tercer orden es una constante y la de cuarto
orden es cero, para cualquier valor de x.
El razonamiento anterior nos induce a decir que si al construir una tabla de
diferencias divididas en alguna columna el valor es constante y la siguiente
columna es cero la información proviene de un polinomio de grado igual al
orden de las diferencias que tengan valores constantes.
El razonamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomio es de grado 3
es decir mi polinomio será:
n
k 1
k 0
j 0


p( x)   f x 0 , x1 ,..., x k   x  x j  f x 0   f x 0 , x1 ( x  x 0 )  f x 0 , x1 , x 2 ( x  x 0 )( x  x1 )  ...
En nuestro ejemplo se tiene:
p( x)  f x0   f x0 , x1 ( x  x0 )  f x0 , x1 , x 2 ( x  x0 )( x  x1 )  f x0 , x1 , x 2 , x3 ( x  x0 )( x  x1 )( x  x 2 )
p( x)  18  13( x  2)  5( x  2)(x  1)  1( x  2)(x  1)(x  0)
p ( x )  x3  2 x 2  2
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
12
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2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Supongamos que tenemos una función tabular y que queremos aproximar
mediante un polinomio de primer grado:
Puntos
0
1
2

i

n
x
x0
x1
x2

xi

xn
f x 0 
f ( x)
f x1 
f x 2  
f x i  
f x n 
Aproximación por un Polinomio de Primer Grado
1.
P1 ( x)  a 0  a1 ( x  x 0 )
En donde:
: Es la abscisa del punto “0”
x0
a0, a1 : Constantes por determinar
Si:
x  x 0  a 0  P( x 0 )  f x 0 

a 0  f x 0 
x  x1  a1 

a1 
P( x1 )  f x 0 
( x  x0 )
x  x0
f x1   f x 0 
x1  x 0
Consecuentemente tendremos: a1  f x 0 , x1 
P1 ( x)  f x 0  
f x1   f x 0 
( x  x 0 ) Pero: a1  f x 0 , x1 
x  x0
Luego:
P1 ( x)  f x 0   ( x  x 0 ) f x 0 , x1 
Es un polinomio de primer grado en términos de diferencias derivadas
Aproximación por un Polinomio de Segundo Grado
2.
P2 ( x)  a 0  a1 ( x  x 0 )  a 2 ( x  x0 ) ( x  x1 )
En donde:
x0, x1
: Son las abscisas de los puntos “0” y “1”
a0, a1, a2
: Constantes que debemos encontrar
Si:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
13
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
x  x0  a 0  P2 ( x)  a 0  f x0 
x  x1  a1 
x  x2  a2 
P2 ( x1 )  a 0
f x1   f x0 
 a1 
x1  x0
x1  x0
P2 ( x 2 )  a 0  a1 ( x 2  x0 )
 a2 
( x 2  x0 )( x 2  x1 )
( f x 2   f x0 ) ( f x1   f x0 )

( x 2  x1 )
( x1  x0 )
 a2 
( x 2  x0 )
 a2 
a
1
 f x0 , x1 
f x1   f x0 
( x 2  x0 )
( x1  x0 )
( x 2  x0 )( x 2  x1 )
f x 2   f x0  
( f x 2   f x0 ) ( x1  x0 )  ( f x1   f x0 ) ( x 2  x1 )
 f x0 , x1 , x 2 
( x 2  x0 )( x 2  x1 )( x1  x0 )
Luego tenemos:
P2 ( x)  f x 0   ( x  x 0 ) f x 0 , x1   ( x1  x 0 ) ( x  x1 ) f x0 , x1 , x 2 
3.
GENERALIZACIÓN
Pn ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) ( x  x1 )  ...  an ( x  x0 ) ( x  x1 ) ... ( x  xn 1 )
En donde:
x0 , x1 , ... , x n : Son las abscisas de los puntos 0, 1, 2, …, n
a 0 , a1 , ..., a n : Son coeficientes por determinar y están dados por:
a 0  f x 0 ; a1  f x 0 , x1 ; a 2  f x 0 , x1 , x 2 ; .... ; a n  f x 0 , x1 , .... , x n 
Esto es tendremos la siguiente aproximación polinomial
Pn ( x)  f x0   ( x  x0 ) f x0 , x1   ( x  x0 )( x  x1 ) f x0 , x1 , x2   ...
 ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn ) f x0 , x1 , ..., xn 
n
j 1
j 0
i 0
Pn ( x)   a j 
x  x i 
Polinomio de aproximación de Newton
Ejemplo:
Determinar la aproximación polinomial de Newton para la información tabular e
interpolar para x = 2
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
14
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Diferencias divididas
Puntos X
f[x]
0
56
1
1º dividida
2º dividida
3º dividida
14.2
1
5
113
-0.31
4.5
2
20
181
0.019
0.081
1.68
3
40
214
P1 ( x)  a 0  a1 ( x  x 0 )  f x0   f x 0 , x1 x  x 0   56  14.2 ( x  1)
Observación:
f x 0 , x1  
f x1   f x 0  113  56 57


 14.2
x1  x 0
5 1
4
P2 ( x)  a 0  a1 ( x  x 0 )  a 2 ( x  x 0 )( x  x1 )  f x 0   f x 0 , x1 x  x 0 
 f x 0 , x1 , x 2 x  x 0 x  x1 
f x 0 , x1 , x 2  
f x1 , x 2  
f x1 , x 2   f x 0 , x1  4.5  14 .2  9.7


 0.51
x 2  x0
20  1
19
f x 2   f x1  181  113 68


 4.5
x 2  x1
15
15
P2 x   56  14 .2x  1  0.51x  1x  5
P1 2  56  14 .22  1  70 .2
P2 2   56  14 .22  6  0.512  12  5  70 .2  1.53  71 .7
 P3 ( x)  a 0  a1 x  x0   a 2 x  x0 x  x1   a3 x  x0 x  x1 x  x3 
a 0  f x 0   56; a1  f1 x 0 , x1   14 .2 ; a 2  f x 0 , x1 , x 2   0.51 ;
a 3  f x 0 , x1 , x 2 , x3  

f x1 , x 2 , x3   f x 0 , x1 , x 2   0.081  0.51

x3  x 0
40  1
0.429
 0.011
39
Pero:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
15
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
f x1 , x 2 , x 3  
f x 2 , x 3   f x1 , x 2  1.68  4.5

 0.081
x 3  x1
40  5
P3 ( x)  56  14.2( x  1)  0.51( x  1)( x  5)  0.019( x  1)( x  5)( x  20)
Si: x = 2
f (2)  P3 (2)  56  14.2(2  1)  0.51(2  1)( 2  5)  0.019(2  1)( 2  5)( 2  20)
 71.7  0.969  72.67
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes
datos:
Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de
interpolación de Newton.
Solución.
Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :
Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes
datos:
Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de
Newton.
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
16
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Solución. Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS
FINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
Supongamos que la distancia entre dos argumentos (abscisas) consecutivas
cualquiera es igual, en toda la función tabular y sea “h”.
El polinomio de aproximación de Newton se puede escribir de manera más
simple, para nuestro propósito, consideremos otro punto S; definido por:
x  x 0  sh
x: Es el valor que se quiere interpolar
Pero:
x1  x0  h , x 2  x0  2h , x3  x0  3h , ..., xi  x0  ih
i  1, 2, .... , n
Que ocurre si restamos xi en ambos miembros
x  x i  x 0  sh  xi
 x 0  sh  x 0  ih
x  x i  h( s  i )
Para; i  1,2,..., n
x  x1  h( s  1); x  x 2  h( s  2); x  x 3  h( s  3); .... ; x  x n  h( s  n)
Si consideramos el desarrollo general del polinomio de Newton, i.e.:
Pn ( x)  a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 )( x  x1 )  ...  a n ( x  x0 )( x  x1 )...( x  x n 1 )
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
17
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Pn ( x 0  sh)  f x 0   f x 0 , x1 hs  f x 0 , x1 , x 2 h 2 s( s  1)  f x 0 , x1 , x 2 , x3 h 3 s( s  1)( s  2)
 ...  f x 0 , x1 ,..., x n h 3 s ( s  1)( s  2)  ..  f x 0 , x1 ,..., x n h n s ( s  1)...( s  (n  1))
ó:
n
k 1
k 0
i 0
1
Pn ( x)   a k h k  ( s  i )
Observemos que la última relación de aproximación se puede simplificar si
hacemos ingresar los operadores lineales
y, conocidos como:
: Operador lineal en diferencias hacia delante
: Operador lineal en diferencias hacia atrás
En donde:
Primera Diferencia f (x)
 f ( x )  f ( x  h)  f ( x )
La segunda diferencia: 2 f ( x)
( f ( x))  2 f ( x)  ( f ( x  h)  f ( x))  f ( x  h)  f ( x)
 f ( x  h  h)  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x )
 f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x )
La tercera diferencia: 3 f ( x)
(2 f ( x))  ( f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x))  f ( x  2h)  2f ( x  h)  f ( x)
 f ( x  2h  h)  f ( x  2h)  2( f ( x  h  h)  f ( x  h))  f ( x  h)  f ( x)
 f ( x  3h)  3 f ( x  2h)  3 f ( x  h)  f ( x)
En general:
i f ( x)  (i 1 f ( x))
De manera análoga para el operador lineal de diferencia hacia atrás
Primera Diferencia: f (x)
f ( x)  f ( x)  f ( x  h)
Segunda Diferencia:  2 f ( x)
( f ( x))  ( f ( x)  f ( x  h))  f ( x)  f ( x  h)
 f ( x )  f ( x  h)  f ( x  h)  f ( x  2h)
 f ( x )  2 f ( x  h)  f ( x  2h)
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
18
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
En general:
 i f ( x)  ( i 1 f ( x)
Que ocurre si aplicamos  al primer valor funcional f [x0] de una tabla
proporcionada.
 f x1   f x0  
  x1  x0   h f x0 , x1 
f x0   f x0  h  f x0   
x

x
1
0


1
ie : f ( x0 )  h f x0 , x1   f x0 , x1   f ( x0 )
h
Para
f x 2   2 f x1   f x0  2 f x0 
f x0 , x1 , x 2  

2h 2
2h 2
para
f x0 , x1 , x 2 , x3  
f x3   3 f x 2   3 f x1   f ( x0 ) 3 f x0 

2  3h 3
3! h 3
En general:
f x 0 , x1 ,..., x n  
n f ( x 0 )
n! hn
De manera análoga para el operador de diferencias hacia atrás
 n f ( xn )
f xn , xn1 , ..., x1 , x0  
n! h n
Consecuentemente al sustituir f x0 , x1 ,..., x n  , i  0,1,2,..., n en
Pn ( x0  sh)  f x0   sf x0  
1
s ( s  1) 2
s( s  1)( s  2)...( s  (n  1)) n
  f x0   ... 
 f ( x0 )
2!
n!
Es conocido como el polinomio de Newton en diferencia finita hacia delante.
Ejemplo:
Supongamos que tienen las siguientes tabulaciones:
Puntos
0
1
2
3
4
5
x
50
60
70
80
90
100
f ( x)
24.94 30.71 36.05 42.84 50.57 59.30
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
19
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Aproximar la función tabulada usando el polinomio de Newton en diferencias
finitas hacia delante e interpole para 64
Solución
 En este conjunto de datos tenemos que h = 10, el valor por interpolares 64
x  x0 64  50
 El valor de s 

 1.4  S  1.4
h
10
PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDEN
Para n = 1
P1 ( x)  f x0   s f x0 
;
 24 .94  1.4(5.17 )  32 .17
en donde
f x 0   f x 0  h  f x 0   f x1   f x 0 
f x 0   30 .11  24 .94  5.17
Punto xi
f xi 
0
50
24.94
1
60
30.11
2
70
36.05
3
80
42.84
4
90
50.57
5 100 59.30
f xi 
2 f xi 
f x 0   5.17
f x1   5.94
f x 2   5.79
f x3   7.73
f x 4   8.73
2 f x 0   0.77
 f x1   0.85
2
2 f x 2   0.94
2 f x3   1
3 f xi 
4 f xi 
3 f x 0   0.08
 f x1   0.09
3
 f x 2   0.06
3
4 f x 0   0.01
4 f x1   0.03
 Es preciso destacar que en realidad se esta extrapolando, pues el valor de x
queda fuera del intervalo de los puntos que se usan para formar el polinomio de
aproximación.
 Debemos observar que el polinomio de aproximación descrita en 1 fue
estructurado considerando x0 como pivote y luego si queremos aplicar para los
puntos (1) y (2) debemos modificar 1 así:
Pn ( x)  f x1  sh  f x1  sf xi  
s(s  1) 2
s(s  1)...( s  (n  1)) n
 f x1  ... 
 f x1
2!
n!
P( x)  f x1   sf x1  en donde:
s
x  x1 64  60

 0.4 Luego tenemos:
h
10
f (64)  30.11  0.4(5.94)  32.49
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
20
2
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
 Debemos resaltar que si deseamos aproximar con un polinomio de segundo
grado se requieren tres puntos, tendríamos dos alternativas, tomar como puntos
(0), (1) y (2) ó (1), (2) y (3), en este caso tomaría la primera serie por que el valor
a interpolar está más al centro, luego tendríamos:
s ( s  1) 2
P2 ( x)  f x 0   sf x 0  
 f x 0  ;
s  1.4
2!
1.4 (1.4  1)
P2 (64)  24.94  1.4 (5.17) 
0.77  32.385
2!
2.2.6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS
DIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn
Supongamos n = 2 y asumamos que el polinomio sea de 2º grado:
P2 ( x)  a 0  a1 ( x  x n )  a 2 ( x  x n ) ( x  x n1 )
En donde:
x n ; x n 1
: Son abscisas de los puntos “n” y “n – 1"
a 0 y a1 , a 2
: Son las constantes por determinar
Si:
x  x n  a 0  P2 ( x n )  a 0  f x n 
x  x n 1  a1 
x  x n2  a 2 
P2 x n 1   a 0
f x n 1   f x n 
 a1 
 f x n , x n 1 
x n 1  x n
x n 1  x n
f x n  2   f x n   f x n , x n 1 
 a 2  f x n , x n 1 , x n  2 
( x n  2  x n ) ( x n  2  x n 1 )
Luego tendremos que:
P2 ( x)  f x n   f x n , x n1 ( x  x n )  f x n , x n1 , x n2 ( x  x n )( x  x n1 )
Generalizar
Pn ( x)  a 0  a1 ( x  x n )  a 2 ( x  x n ) ( x  x n 1 )  ...  a n ( x  x n )( x  x n 1 )...( x  x1 )
En donde:
a 0  f x n  ; a1  f x n , x n 1  ; a 2  f x n , x n 1 , x n  2  ; ... ; a n  f x n , x n 1 , ... , x1 , x0 
Considerando la diferencia de las abscisas consecutivas igual a h e introducimos
una variable paramétrica “s” definida como:
s
x  xn
; x: el valor a interpolar
h
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
21
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
x  x n  sh
x  x n 1  x n  x n 1  sh  h  sh
 h( s  1)
x  x n  2  x n  x n  2  sh  2h  sh  h( s  2)

x  x 0  x n  x 0  sh  nhsh
 h( s  n)
Luego tenemos:
Pn ( x n  sh)  f x n   3f x n  
s(s  1) (s  2)...( s  (n  1)) n
s(s  1) 2
 f x n   ... 
 f x n 
2!
n!
Ecuación de Newton en diferencias hacia atrás
Ejemplo:
En el ejemplo realice la interpolación para x = 98 usando el polinomio de Newton

Si usamos un polinomio de primer grado tenemos
x  x n 98  100
P1 ( x)  f x5   sf x 5  ;
s

 0.2
10
10
p1 (98)  59.30  0.2(8.73)  57.55

Si usamos un polinomio de segundo grado tenemos
s ( s  1) 2
P2 (98)  f x 5   sf x 5  
 f x 5 
2!
 0.2(0.2  1)
 59.3  .2(8.73) 
(1)  57.63
2!
Punto xi
f xi 
0
50
24.94
1
60
30.11
2
70
36.05
3
80
42.84
4
90
50.57
5 100 59.30
f xi 
f x0   5.17
f x1   5.94
f x2   5.79
f x3   7.73
f x4   8.73
2 f xi 
2 f x0   0.77
 f x1   0.85
2
2 f x2   0.94
2 f x3   1
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
3 f xi 
4 f xi 
3 f x0   0.08
 f x1   0.09
3
 f x2   0.06
3
22
4 f x0   0.01
4 f x1   0.03
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
En los ítems anteriores para interpolar entre n+1 puntos se usaron polinomios de
grado n, para decir para un conjunto de 8 puntos se puede obtener un polinomio
de grado 7, parecerá que se llevaba todo correctamente pero sin embargo se
tenían resultados erróneos como errores de redondeo y los puntos lejanos.
Una alternativa para mitigar estos errores fue pensar considerar polinomios de
grado inferior en subconjunto de datos y a tales polinomios se llamaran funciones
segmentarias.
Por ejemplo, las curvas de tercer grado usadas para unir cada par de puntos se
llaman segmentarias cubicas. Tales funciones d se pueden construir de tal
manera que las conexiones entre las ecuaciones cubicas adyacentes sean
suaves, pareciera que las aproximaciones de tercer grado de las segmentarias
serian inferior a la aproximación de séptimo grado. Veamos algunos gráficos que
ilustran mejor la idea.
f(x)
f(x)
x
Caso (a)
x
Caso (b)
f(x)
f(x)
x
Caso ( c )
x
Caso (d)
En definitiva las figuras plasman mejor la idea de la aproximación segmentaria,
las figuras de a hasta c representan las oscilaciones de una función suave
.Debemos destacar que esta aproximación también se le llama aproximación
spline, en ingles para dibujar curvas suaves a través de un conjunto de puntos.
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
23
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2.2.7.1.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL
La unión mas simple entre dos puntos es una recta, las segmentarias de primer
grado para un grupo de datos ordenados se define como un conjunto de
funciones lineales.
,
,
:
,
De donde la pendiente mi de la línea recta que une los puntos.
,
Esta relación se usa para evaluar la función de cualquier punto entre x0 y x1,
Ejemplo
Dado el siguiente conjunto de datos,
x
f(x)
3
2.
4.5
1
7
2.5
9
0.5
Ajuste con segmentaras de primer orden y evalué la función en x=5
Solución
Primero. Usar los datos para determinar las pendientes entre los puntos
Para decir en el intervalo [4.5 ,7] la pendiente calculamos usando el modelo
planteado.
,
,
,
El valor en x=5 es 1.3 .
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
24
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
f(x)
f(x)
Segmentaria de primer orden
Segmentaria de Segundo orden
x
x
f(x)
Segmentaria de Tercer orden
x
Interpolacion cubica
2.2.7.2.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICA
En esta oportunidad el objetivo de las segmentarias cuadrática es obtener un
polinomio de segundo grado para cada intervalo en el conjunto de datos, en
General el polinomio en cada intervalo se representa así,
,
En donde a, b y c son tres constantes desconocidas y se requieren tres
ecuaciones, en el caso que se tengan n+1 datos existen n intervalos y por cada
intervalo se requieren tres ecuaciones es decir 3n, se deben tener en
consideración los siguientes criterios.
1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben de ser guales en
los nodos interiores esta condición lo representamos de la siguiente manera.
,
,,
Para i=2 a n como solo se emplean dos nodos interiores cada ecuación
proporciona n-1 condiciones en total 2n-2 .
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
25
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
2. La primera y la ultima función deben de pasar a través de los puntos extremos
esto agrega dos ecuaciones mas,
,
,
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales es decir,
,
En consecuencia en general tenemos,
, para i=2 a n, esto proporciona otras n-1
condiciones.
4. Suponga que
representa así,
en el primer punto de la derivada es cero, esta condición se
a1=0. Esto quiere decir que los dos primeros puntos se unirán con una línea
recta.
Ejemplo.
Considerando el conjunto de datos
x
f(x)
3
2.
4.5
1
7
2.5
9
0.5
Ajuste usando segmentarias de segundo grado y estime el valor de x=5
Solución
En este problema tenemos cuatro datos y n=3 intervalos por lo tanto 3(3)=9
incógnitas que deben de determinarse, consideran las dos condiciones del primer
criterio es decir 2(3)-2=4 condiciones
,
,
,
,
Evaluando las dos condiciones del segundo criterio se tienen 2 ecuaciones
,
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
26
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
,
A seguir consideramos la continuidad de las derivadas la cual crea 3-1=2
ecuaciones esto del tercer criterio.
,
,
Por ultimo consideramos el cuarto criterio que determina que a1=0, como esta
relación nos dice de manera exacta que a 1 tiene como valor cero entonces se
reduce a determinar ocho ecuaciones simultaneas.
,
Este sistema se puede resolver usando cualquier técnica analizado y tenemos:
a1 =0
a2=0.64
a3=-1.6
b1=-1
b2=-6.76
b3=24.6
c1=5.5
c2=18.465
c3=-91.3
Consecuentemente tenemos las siguientes relaciones para cada intervalo.
,
,
,
Como x=5 usamos f2 para determinar su aproximación
,
2.2.7.3.
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTARÍAS CUBICAS
En esta oportunidad tenemos como objetivo de encontrar un polinomio de
interpolación de tercer grado para cada intervalo entre los nodos.
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
27
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
,
Para n+1 datos existen n intervalos en consecuencia 4n incógnitas que
debemos evaluar requiriéndose 4n condiciones para evaluar. Las cuales se
obtienen de las siguientes consideraciones:
1. Los valores de la función deben de ser iguales en los nodos interiores (2n-2
condiciones)
2. La primera y la ultima función deben pasar a través de los puntos extremos
(2 condiciones)
3. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben de ser guales (n-1
condiciones)
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales (n-1
condiciones)
5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son ceros (2 condiciones
) esta condición dice que la función en los extremos se vuelve en una línea
recta, lo que induce a que se le llame segmentara natural o lineal.
Las cinco condiciones anteriores permiten obtener 4n ecuaciones requeridas
para obtener los 4n coeficientes.
Para determinar las ecuaciones de la segmentaria cubica tenemos la siguiente
relación valida para cada intervalo.
,
&
Esta ecuación solo contiene dos incógnitas las segundas derivadas en los
extremos de cada intervalo.
Las incógnitas se evalúan usando la siguiente relación.
,
@
Si escribimos esta relación para todos los nodos interiores resultan n-1
ecuaciones simultáneas con n-1 incógnitas. No debemos olvidar que las
segundas derivadas en los puntos extremos son ceros.
Ejemplo.
Considerando el conjunto de datos
x
3
4.5
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
7
9
28
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
f(x)
2.
1
2.5
0.5
Ajuste usando segmentarias de tercer grado y estime el valor de x=5
Solución
Primero: Usaremos la ultima relación llamado @ con la finalidad de obtener un
conjunto de ecuaciones para las segundas derivadas en los nodos.
X0=3 , f(x0) =2.5, x1=4.5 , f(x1) =1 x2=7 , f(x2) =2.5 valores que serán sustituidas
en l relación @
, pero como
por ser segmentaria natural
,
De manera análoga se aplica al segundo punto interior y obtenemos
,
Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente y tenemos
,
,
Valores que serán sustituidos en & junto con los valores de las x y las f(x),
,
0
,
Esta ecuación es la segmentaria cubica para el primer intervalo de igual manera
se obtienen para el segundo y tercer intervalo.
,
Y
,,
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
29
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Las tres ecuaciones se pueden usar para calcular valores dentro de cada
intervalo.
Por ejemplo x=5 se encuentra dentro del segundo intervalo se calcula como
sigue
,
2.2.8. EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN FUNCIONAL
I. Determine el polinomio que interpolan los siguientes conjuntos de datos:
Primer grado, segundo grado, tercer grado, y cuarto grado.
a)
I
0
1
2
3
4
f(xi)
40
45
50
55
60
xi
2
3
5
6
8
I
0
1
2
3
4
f(xi)
10
15
20
25
30
xi
0
1
2
3
4
I
0
1
2
3
4
f(xi)
140
245
450
655
960
xi
1
5
10
15
20
I
0
1
2
3
4
f(xi)
1
-3
2
4
10
xi
3
1
2
6
9
I
0
1
f(xi)
3
7
xi
5
-1
I
0
1
b)
c)
d)
e)
f)
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
2
30
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
f(xi)
146
2
1
xi
7
1
2
I
0
1
2
3
f(xi)
10
146
2
1
xi
3
7
1
1
I
0
1
2
3
f(xi)
12
20
50
55
xi
3
7
1
2
g)
h)
NOTA: CUANDO SEA NECESARIO, REDONDEA A CINCO DECIMALES.
I.1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:
i)
ii)
Soluciones:
2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:
i)
ii)
Soluciones:
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
31
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
II Encuentre un polinomio de Interpolación de Lagrange, Diferencias Divididas y
Newton
a)
I
0
1
2
3
f(xi)
3
2
-4
5
xi
1
2
0
3
I
0
1
2
f(xi)
11
7
28
xi
2
0
3
I
0
1
2
f(xi)
1
-1
0
xi
0
1
-2
I
0
1
2
f(xi)
10
5
20
xi
2
1
2
b)
c)
d)
III Determinar la interpolación en los puntos dados usando los dos polinomios :
a)
Para el caso (a)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
32
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
b)
Para el caso (b)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4
c)
Para el caso (c)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 3
IV: Solucionar las siguientes problemáticas
1.- Se conoce que la densidad del carbonato neutro de potasio en solución
acuosa varia en temperatura y en su concentración de acuerdo a la siguiente
investigación:
T(ºC)
0
40
80
100
4
1.0381
1.0276
1.0063
0.9931
12
1.1160
1.1013
1.0786
1.0663
20
1.1977
1.1801
1.1570
1.1451
28
1.2846
1.2652
1.2418
1.2301
c(%)
a) Calcular la densidad a 40ºC y 15% de concentración
b) Calcular la densidad a 50º Cy 28% de concentración
c) Calcular la concentración que tiene una solución de densidad 1.129 a una
temperatura 60ºC
2.- Supongamos que se tiene un conjunto de datos, donde e representa los
voltios y p los kilowatios en una curva de pérdida en el núcleo para un motor
eléctrico:
a) Construir una tabla de diferencias divididas
b) Usando el polinomio de Newton de segundo grado aproxime el valor
correspondiente a e = 90 voltios
I
0
1
2
3
4
5
6
E
40
60
80
100
120
140
160
P
0.63
1.36
2.18
3.00
3.93
6.22
8.59
3.- Se tiene los siguientes datos tabulados:
Puntos
0
1
2
3
a = l/r
140
180
220
240
y = p/a
12,800
7,500
5,000
3,800
Donde y = p/a es la carga en lb/pul2 que causa la ruptura de una columna de
hierro dulce con extremos redondeados y a es la razón de la longitud de la
columna al mínimo radio de giro en su sección transversal a = l/r
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
33
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Determinar el polinomio de tercer grado que pasa por estos puntos en sus
distintas formas
a) p3 ( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3 Aproximación polinomial simple
b) Formula de Lagrange
c) Aproximación de Newton y Diferencias Divididas.w
Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica
34
Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería MNAISECA 2010