Subido por Tupac Amaru9879

Esercizi di oligopolio

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C.d.l. EMA
Microeconomia - A.A. 2014/2015
(Mattia Suardi, Ultima esercitazione, 23 giugno 2015)
OLIGOPOLIO
Esercizio 1.
In un modello di oligopolio à la Cournot, la funzione di domanda di mercato è
. Sul mercato operano due imprese le cui funzioni di costo totale sono,
rispettivamente,
e
.
i) La funzione di reazione dell’impresa 1 è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Nel modello di Cournot le imprese determinano simultaneamente la quantità da produrre.
Ciascuna impresa sceglie la quantità che massimizza il suo profitto date le aspettative circa la
scelta dell’altra: queste informazioni sono determinabili attraverso la funzione di reazione
della singola impresa. Nell’equilibrio le aspettative si realizzano: nessuna delle due imprese
ritiene profittevole variare l’output, una volta che sia venuta a conoscenza della scelta
dell’altra.
Dal momento che sul mercato operano due imprese:
È allora possibile riscrivere la funzione di domanda:
=
Per entrambe le imprese, la condizione di massimizzazione del profitto è
Impresa 1:
.
Per trovare il ricavo marginale, occorre prima esprimere il ricavo totale in funzione della
quantità:
=(
)
=
1
Nel passaggio precedente bisogna fare attenzione al fatto che il prezzo
utilizzando la funzione di domanda.
Derivando il ricavo totale appena determinato:
viene sostituito
Uguagliando MR e MC:
Poiché si sta cercando la funzione di reazione dell’impresa 1, si esprime
in funzione di
:
La funzione di reazione dell’impresa 1 è:
A fini della rappresentazione grafica, è opportuno riscrivere la funzione esprimendo
funzione di , posto che
viene rappresentata sull’asse delle ordinate:
in
La funzione di reazione dell’impresa 1 rappresenta la scelta ottima dell’impresa 1 per ogni
livello di quantità scelto dall’impresa 2. Ad es., se
, allora all’impresa 1 converrà
produrre 16. Se
, allora all’impresa 1 converrà produrre 24 …
2
ii) La funzione di reazione dell’impresa 2 è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Ripetendo lo stesso procedimento per l’impresa 2:
Si trova il ricavo totale esprimendo anzitutto il prezzo a partire dalla funzione di domanda:
=(
)
=
Uguagliando MR e MC:
Risolvendo rispetto a
:
Dunque, la funzione di reazione dell’impresa 2 è:
iii) L’equilibrio di mercato è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Per trovare l’equilibrio di mercato (quanto produce ogni impresa in equilibrio per
massimizzare il proprio profitto) si mettono a sistema le due funzioni di reazione:
3
Per risolvere, si può sostituire
Sostituendo
nella seconda equazione:
nella prima equazione:
=
In blu la funzione di reazione dell’impresa 1, in rosso quella dell’impresa 2. Il punto di equilibrio
corrisponde all’intersezione tra le due rette.
iv) Nell’equilibrio, il prezzo vale:
a) 72,7
b) 71,7
c) 70,7
d) 69,7
Soluzione.
Si tratta di trovare il valore del prezzo a partire dalla funzione di domanda. Posto che la
quantità totale prodotta dalle due imprese è:
è allora possibile sostituire nella funzione di domanda per trovare il prezzo:
=
4
v) I profitti totali nell’equilibrio di duopolio sono uguali a:
a) 4.286,75
b) 4.086,75
c) 4.186,75
d) 4.786,75
Soluzione.
Si calcolano i profitti di ciascuna impresa.
Impresa 1:
=
Impresa 2:
=
Sommando i profitti, si ottiene
.
Esercizio 2.
In un modello di oligopolio à la Cournot, la funzione di domanda di mercato è
. Sul mercato operano due imprese tra loro identiche (
, ciascuna
delle quali ha una funzione di costo totale del tipo
.
i) La funzione di reazione dell’impresa 1 è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Nel modello di Cournot le imprese determinano simultaneamente il livello dell’output.
Ciascuna impresa sceglie la quantità che massimizza il suo profitto date le aspettative circa la
scelta dell’altra: queste informazioni sono determinabili attraverso la funzione di reazione
della singola impresa.
Nell’equilibrio le aspettative si realizzano (ossia, nessuna delle due imprese ritiene
profittevole variare l’output, una volta che sia venuta a conoscenza della scelta dell’altra).
Dal momento che sul mercato operano due imprese:
È allora possibile riscrivere la funzione di domanda:
=
Per entrambe le imprese, la condizione di massimizzazione del profitto è
5
.
Impresa 1:
Per trovare il ricavo marginale, occorre prima esprimere il ricavo totale in funzione della
quantità:
=(
)
=
Nel passaggio precedente bisogna fare attenzione al fatto che il prezzo
utilizzando la funzione di domanda.
viene sostituito
Derivando:
Uguagliando MR e MC:
Poiché si sta cercando la funzione di reazione dell’impresa 1, si esprime
in funzione di
:
La funzione di reazione dell’impresa 1 è:
ii) La funzione di reazione dell’impresa 2 è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Andrebbe ripetuto il procedimento visto per l’impresa 1. Tuttavia, considerando che le
imprese hanno la stessa struttura di costi (“imprese gemelle”) si può subito dire che
l’impresa 2 ha la stessa funzione di reazione dell’impresa 1, basta semplicemente
invertire i pedici delle equazioni (1):
Attenzione! Questa “scorciatoia” vale se le due imprese hanno la stessa struttura di costi. Se
così non è (cfr. Esercizio 1) bisogna svolgere il procedimento per intero e calcolare
separatamente le funzioni di reazione dell’impresa 1 e dell’impresa 2.
6
1
iii) L’equilibrio di mercato è:
a)
b)
c)
d)
Soluzione.
Per trovare l’equilibrio di mercato (e, dunque, quanto produce ogni impresa per massimizzare
il proprio profitto) si mettono a sistema le due funzioni di reazione:
Per risolvere, si può sostituire
Sostituendo
nella seconda equazione:
nella prima equazione:
=
Le due imprese, in equilibrio, producono la stessa quantità. Il risultato si spiega considerando
che non solo le due imprese determinano simultaneamente la quantità da produrre (modello
di Cournot) ma hanno anche la stessa struttura di costi (“imprese gemelle”).
iv) Nell’equilibrio, il prezzo vale:
a) 56,67
b) 46,67
c) 76,67
d) 66,67
Per il caso delle imprese identiche, il libro di testo (pp. 438-439) propone anche un altro procedimento
che riguarda le imprese per cui, a partire dalla funzione di domanda, in equilibrio vale che
. Questo caso vale però per le imprese identiche i cui costi marginali siano uguali a zero (non è il caso
del presente esercizio).
7
Soluzione.
Si tratta di trovare il valore del prezzo a partire dalla funzione di domanda. Posto che la
quantità totale prodotta dalle due imprese è:
è allora possibile sostituire nella funzione di domanda:
v) Il profitto di ciascuna impresa nell’equilibrio di duopolio è uguale a:
a) 721,28
b) 711,28
c) 701,28
d) 691,28
Soluzione.
I profitti di ciascuna impresa:
=
=
Il profitto è uguale per entrambe perché, come osservato, si tratta di “imprese gemelle”.
Esercizio 3.
Si considerino le due imprese dell’esercizio precedente e si ipotizzi che queste operino
in un duopolio à la Bertrand.
i) Si determini il prezzo praticato da ciascuna impresa.
Soluzione.
Nel modello di Bertrand ciascuna impresa decide il prezzo di vendita, assumendo come fisso il
prezzo praticato dall’altra.
L’omogeneità del prodotto consentirebbe all’impresa che fissa il prezzo più basso di
accaparrarsi l’intero mercato: ne deriverebbe un processo di azione e reazione in una sorta di
“guerra al ribasso”.
Si consideri, ad es., una situazione iniziale in cui entrambe le imprese vendono a un prezzo, ,
superiore al costo marginale
. L’impresa 1 avrebbe incentivo a ridurre di un piccolo
ammontare k il proprio prezzo, così da conquistare l’intero mercato praticando il prezzo – k.
A sua volta, l’impresa 2 avrebbe incentivo a reagire e a ridurre ulteriormente il prezzo, al di
sotto di – k. Dal canto suo, l’impresa 1 reagirebbe riducendo nuovamente il prezzo. La
“guerra al ribasso” continuerebbe sino a raggiungere l’equilibrio in cui
(ossia,
il livello del prezzo al di sotto del quale nessuna impresa avrebbe più convenienza a
produrre).
Dunque, nell’equilibrio di Bertrand vale che
. In questo caso,
.
ii) Si determini la quantità totale venduta dalle due imprese.
Soluzione.
Come detto, nell’equilibrio di Bertrand vale che
. Nel caso dell’esercizio:
8
Da cui l’eguaglianza:
Come si nota, si tratta dello stesso equilibrio che si genererebbe in un mercato di
concorrenza perfetta, avendo posto la condizione
.
iii) Si determini la quantità venduta da ciascuna impresa.
Nel modello di Bertrand è necessario che le due imprese abbiano la medesima
struttura dei costi. Se così non fosse, il mercato si trasformerebbe in monopolistico, in
quanto rimarrebbe la sola impresa più efficiente (ossia, quella con costi minori).
L’unica soluzione di equilibrio corrisponde pertanto a una spartizione del mercato in quote
uguali tra le due imprese:
iv) A quanto ammontano i profitti delle due imprese?
Soluzione.
L’equilibrio di Betrand (in cui
) dà un risultato che è lo stesso della concorrenza
perfetta: si azzera il potere di mercato delle imprese e non vi sono extra-profitti. La risposta
è verificabile anche algebricamente. Per l’impresa 1:
=
Lo stesso risultato vale per l’impresa 2.
Esercizio 4.
In un duopolio la funzione di costo per entrambe le imprese è
. La domanda di mercato è
, con
i) Se le imprese concorrono à la Bertrand, il prezzo di equilibrio di mercato è uguale a:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
Soluzione.
Cfr. esercizio precedente. Nell’equilibrio di Bertrand, analogamente alla concorrenza perfetta,
, per cui non vi sono extra-profitti. Nel caso dell’esercizio, per entrambe le imprese:
9
Dovendo essere
, allora il prezzo è uguale a
.
ii) nella competizione à la Bertrand, la quantità prodotta da ciascuna impresa è:
a) 115
b) 125
c) 135
d) 145
Soluzione.
A partire dalla condizione di equilibrio
imprese sul mercato Infatti, essendo:
, si trova la quantità totale offerta dalle due
eguagliando:
Nel modello di Bertrand, la soluzione di equilibrio corrisponde a una spartizione del mercato
in quote uguali tra le due imprese, che hanno identiche strutture di costo:
iii) A quanto ammontano i profitti delle due imprese?
Soluzione.
L’equilibrio di Betrand (in cui
) dà un risultato che è lo stesso della concorrenza
perfetta: si azzera il potere di mercato delle imprese e non vi sono extra-profitti. La risposta
è verificabile anche algebricamente. Per l’impresa 1:
=
Lo stesso risultato vale per l’impresa 2.
Esercizio 5.
In un modello di duopolio à la Stackelberg (leadership di quantità), l’impresa 1 si
comporta da leader, l’impresa 2 da follower. Le funzioni di costo totale sono,
rispettivamente,
e
. La funzione di domanda di mercato è
.
i) La funzione di reazione del follower è:
a)
= 900 –
b)
= 900 –
c)
= 450 –
10
d)
= 450 –
Soluzione.
Leadership di quantità (Stackelberg): il gioco è sequenziale, decide per primo il leader
(impresa 1). L’impresa 2 (follower) considera perciò come data , la quantità prodotta dal
leader. A sua volta, il leader si aspetta che, date le sue scelte, il follower massimizzi il proprio
profitto: il leader deve allora considerare il problema di massimizzazione del profitto del
follower.
Ciascuna impresa sa inoltre che il prezzo di equilibrio p( ) nel mercato dipende dall’output
totale,
.
La funzione di reazione del follower (in questo caso, impresa 2) si costruisce considerando
l’usuale condizione di massimizzazione del profitto:
Ricavi totali:
 si utilizza la definizione
 poi si sostituisce il prezzo, posto che
=
:
=
=
–
Ponendo
Da cui la funzione di reazione dell’impresa 2 (ossia, reazione del follower alla scelta del
leader):
⇒
= 450 –
ii) L’equilibrio di mercato è:
a)
b)
c)
d)
11
Soluzione.
L’impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower,
–
= 450
(ossia, il leader sa che le sue azioni influenzano le decisioni del follower).
Applicando la condizione di massimizzazione del profitto per il leader,
.
Per trovare il ricavo marginale, occorre prima determinare la funzione dei ricavi totali:
 si utilizza la definizione
;
 si sostituisce il prezzo avvalendosi della funzione di domanda;
 si sostituisce
usando la funzione di reazione del follower trovata in
precedenza.
=
]
]
=
]
=
]
=
Ponendo
550 –
= 50
= 500
Sostituendo in
= 450 –
:
= 450 – 500 = 200
Da cui la quantità totale del mercato:
= 200 + 500 = 700
Sostituendo
nella funzione di domanda, si può trovare anche il prezzo di equilibrio:
iii) Il profitto totale delle due imprese nell’equilibrio è:
a) 175.000
b) 145.000
c) 155.000
d) 165.000
Soluzione.
I profitti di ciascuna impresa:
=
=
12
=
Da cui il totale, 165.000.
Esercizio 6.
In un modello di duopolio à la Stackelberg (leadership di quantità) l’impresa 1 si comporta da
leader, l’impresa 2 da follower. Per ciascuna impresa la funzione di costo totale è
,
con i = 1, 2.
La funzione di domanda di mercato è
.
Attenzione! Qui le due imprese hanno la stessa funzione di costo totale ma, diversamente, da
come avviene con il modello di Cournot (cfr. Esercizio 2) non possiamo dire che siano
“gemelle” e che dunque produrranno la stessa quantità allo stesso prezzo … dobbiamo infatti
tenere presente che una è leader, l’altra è follower.
i) Si ricavi la funzione di reazione del follower.
Soluzione.
Leadership di quantità (Stackelberg): il gioco è sequenziale, decide per primo il leader
(impresa 1). L’impresa 2 (follower) considera perciò come data , la quantità prodotta dal
leader. A sua volta, il leader si aspetta che, date le sue scelte, il follower massimizzi il proprio
profitto: il leader deve allora considerare il problema di massimizzazione del profitto del
follower.
Ciascuna impresa sa inoltre che il prezzo di equilibrio p( ) nel mercato dipende dall’output
totale,
.
La funzione di reazione del follower (in questo caso, impresa 2) si costruisce considerando
l’usuale condizione di massimizzazione del profitto:
Ricavi totali:
 si utilizza la definizione
 poi si sostituisce il prezzo, posto che
=
]
= 400
:
–2
Ponendo
13
–
Da cui la funzione di reazione dell’impresa 2 (ossia, reazione del follower alla scelta del
leader):
⇒
= 95 –
ii) Si determini l’equilibrio di mercato.
Soluzione.
Anzitutto, bisogna determinare la funzione di reazione dell’impresa 1. L’impresa 1 (leader)
massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower,
= 95 –
.
Occorre applicare la condizione di massimizzazione del profitto per il leader,
.
Per trovare il ricavo marginale, occorre prima determinare la funzione dei ricavi totali:
 si utilizza la definizione
;
 si sostituisce il prezzo avvalendosi della funzione di domanda;
 si sostituisce
usando la funzione di reazione del follower trovata in
precedenza.
=
]·
=
2(95 – 12 1]· 1= [210− 2 1]· 1 = 210 1− 12
]·
=
Ponendo
210 –
= 20
= 95
Sostituendo in
:
= 95 –
= 95 – 95 = 47,5
Attenzione! Si ricordi la premessa: le due imprese sono identiche per struttura di costi.
Tuttavia, il gioco è sequenziale e l’impresa 1 è leader, dunque produce più dell’impresa 2
(follower).
Sostituendo
e
nella funzione di domanda, si trova il prezzo di equilibrio:
= 115
iii) Si calcoli il profitto totale nell’equilibrio di duopolio.
Soluzione.
I profitti di ciascuna impresa:
=
=
14
=
= 13.537,5
CONCORRENZA MONOPOLISTICA
Esercizio A.
Si consideri un’impresa che opera in un mercato di concorrenza monopolistica con la
seguente funzione di costo:
(per semplicità, si ipotizzi che le curve di
costo totale di breve e di lungo periodo coincidano).
Nel breve periodo, questa impresa fronteggia la funzione di domanda
.A
seguito del comportamento delle imprese concorrenti, nel lungo periodo la funzione di
domanda fronteggiata dall’impresa considerata diventa
.
i) Si determini la scelta ottimale dell’impresa nel breve periodo.
Soluzione.
Nel modello di concorrenza monopolistica di Chamberlin l’impresa massimizza il profitto
economico di breve periodo eguagliando ricavo e costo marginale.
Essendo la curva di domanda dell’impresa lineare:
Ponendo
:
Risolvendo:
Sostituendo
nella curva di domanda, si ottiene il prezzo di equilibrio di breve periodo:
15
Breve periodo, concorrenza monopolistica: l’impresa fronteggia una curva di domanda inclinata
negativamente e produce la quantità in corrispondenza della quale MR = MC.
ii) Si quantifichi il profitto economico dell’impresa nel breve periodo.
Soluzione.
Si osservi il grafico precedente: sulla curva di domanda (qui lineare e rappresentata dalla
retta blu) si legge il prezzo di equilibrio, corrispondente alla quantità per cui
. In
corrispondenza di questa quantità, il prezzo è maggiore del costo totale (che si legge sulla
curva ATC, in blu). Di conseguenza,
e l’impresa realizza un profitto economico
positivo, rappresentato dall’area in grigio.
iii) Si specifichi come varia il numero di imprese presenti nell’industria nel passare dal
breve a lungo periodo.
Soluzione.
Come in concorrenza perfetta, anche in concorrenza monopolistica la presenza di profitti
economici di breve periodo provoca l’entrata di nuove imprese. È proprio quanto accade
anche in questo esercizio, dal momento che la singola impresa nel breve periodo realizza un
profitto economico positivo, uguale a 44.
Il fatto che vi sia uno stimolo all’entrata di nuove imprese è verificabile, oltre che guardando
direttamente al profitto economico, considerando che nel breve periodo il prezzo è maggiore
del costo medio totale:
16
Nel lungo periodo, l’entrata di nuove imprese aumenta l’offerta di mercato e riduce il prezzo,
portando a un equilibrio in cui il profitto economico è zero.
iv) Si determini l’equilibrio della singola impresa nel lungo periodo.
Soluzione.
Nel modello di Chamberlin, la configurazione di equilibrio di lungo periodo si raggiunge
quando la curva di domanda della singola impresa diventa tangente alla curva di costo medio
di lungo periodo LAC (e anche alla corrispondente curva di costo medio di breve periodo,
ATC): ciò fa sì che il profitto economico sia nullo. La tangenza implica che nel punto di
equilibrio curva di domanda e curva di costo medio totale abbiano la stessa pendenza.
La curva di domanda dell’impresa nel lungo periodo è
, la sua pendenza è – 3. La
pendenza della curva di costo medio totale è espressa dalla derivata:
Uguagliando:
Da cui:
Sostituendo nella funzione di domanda, si ottiene il prezzo:
Con questi dati, si potrebbe poi verificare che il profitto economico è effettivamente nullo …
Lungo periodo, concorrenza monopolistica: l’impresa fronteggia una curva di domanda
inclinata negativamente e produce la quantità in corrispondenza della quale la curva di
domanda e la curva di costo medio totale hanno la stessa pendenza.
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