MÉTODOS NUMÉRICOS

Nombres y apellidos de los miembros del grupo:
MÉTODOS NUMÉRICOS - E.T.S.I.I.
TRABAJO DE LA ASIGNATURA - CURSO 2004-2005
Realizar un programa en MATLAB que construya una interpolación spline
cúbica paramétrica de una curva bidimensional cerrada dada por sus ecuaciones
paramétricas o bien de forma discreta por las coordenadas (x, y) de sus puntos.
El trabajo debe considerar los siguientes aspectos y requisitos:
a. Discretización espacial con h en el caso de expresiones analı́ticas de
las curvas.
b. Transformación a paramétricas en el caso de curvas en forma discreta.
c. Construcción del sistema de ecuaciones.
d. Resolución del sistema de ecuaciones.
e. Salida gráfica de la solución.
f. Presentación de manual de usuario del programa.
g. Presentación de ejemplos.
Considérese una spline para un conjunto de n+1 puntos (y0 , y1 , y2 , ..., yn+1 ).
El i-ésimo tramo de la spline viene representado por
Yi (t) = ai + bi t + ci t2 + di t3
donde t es un parámetro, 0 < t1 e i = 0, ..., n − 1 . Entonces
Yi (0) = yi = ai
Yi (1) = yi+1 = ai + bi + ci + di
(1)
(2)
Tomando la derivada de Yi (t) en cada intervalo se obtiene
Yi0 (0)
Yi0 (1)
= Di = bi
= Di+1 = bi + 2ci + 3di
(3)
(4)
Resolviendo las ecuaciones (1-4) para ai , bi , ci , di , tenemos que
ai
bi
ci
di
= yi
= Di
= 3 (yi+1 − yi ) − 2Di − Di+1
= 2 (yi − yi+1 ) + Di + Di+1
(5)
(6)
(7)
(8)
En cada punto interior (en el caso de curva cerrada todo los puntos se consideran interiores) se impone las condiciones de continuidad y derivabilidad hasta
orden 2 de los dos tramos de spline unidos por dicho punto,
Yi−1 (1) = Yi (0) = yi
0
Yi−1
(1) = Yi0 (0)
00
Yi−1
(1) = Yi00 (0)
(9)
(10)
(11)
(12)
Reagrupando términos se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para una
curva cerrada:
(13)
En el caso de una curva bidimensional, cada punto vendrá dado por dos
componentes, {(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn+1 , yn+1 )}. Por tanto, tendremos
que resolver dos sistemas de ecuaciones, siendo la matriz idéntica para los dos.
Si tenemos una curva dada en paramétricas
x = x(t),
y = y(t),
Debemos primeramente proceder a una discretización dándole valores a t desde
t0 a tn , teniendo en cuenta que la curva se cierra uniendo en punto correspondiente a tn con el de t0 .