Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Segunda Unidad
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Variables aleatorias discretas
Variable aleatoria
Definición
Una variable aleatoria es una regla(función) que asocia un número real a cada
resultado del espacio muestral.
Ejemplos: Nivel de colesterol, nivel de ácido úrico o número de ingresos
en un servicio de urgencias.
Notación: Las variables se denotan por letras mayúsculas usualmente X e Y.
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Variables aleatorias discretas
Cuando las variables son de tipo cualitativo como el sexo será necesario asignar
valores numéricos a cada una de las posibilidades (Ejemplo: 1 Hombre, 2 Mujer).
Una consecuencia inmediata derivada de este proceso de asignación de valores
numéricos es que las variables aleatorias se clasifican únicamente en: variables
aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.
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Variables aleatorias discretas
Nuestro interés es el estudio de variables aleatorias discretas, a continuación se
presentan algunos ejemplos
Ejemplo
La otitis media, una enfermedad del oı́do medio, es una de las razones más comunes
para visitar a un médico en los primeros 2 años de vida que no sea una visita de
rutina de rutina. Sea X la variable aleatoria que representa el número de episodios de
otitis media en los primeros 2 años de vida. Entonces X es una variable aleatoria
discreta, que toma los valores 0, 1, 2, y ası́ sucesivamente.
Ejemplo (Hipertensión)
Se han introducido muchas drogas nuevas en las últimas décadas para controlar la
hipertensión, es decir, reducir la presión arterial alta a niveles normotensivos.
Supongamos que un médico acepta usar un nuevo medicamento antihipertensivo en
un base de prueba en los primeros cuatro hipertensos no tratados que encuentra en su
práctica, antes de decidir si adoptar el medicamento para uso habitual. Sea X = el
número de pacientes de cuatro que están bajo control. Entonces X es una variable
aleatoria discreta, que toma los valores 0, 1, 2, 3, 4.
Es necesario, poder determinar los valores reales que puede tomar la variable
aleatoria, que dependerá del contexto de estudio.
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Variables aleatorias discretas
Distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta.
Definición
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla,
una gráfica, una fórmula u otro sistema utilizado para especificar todos los valores
posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas.
Ası́, la distribución de probabilidad para una variable aleatoria se puede definir de la
siguiente manera:
f (x) = P (X = x)
donde,
X: La variable aleatoria.
x: Los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria X.
P (X = x): Es la probabilidad de que X tome el valor de x.
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Variables aleatorias discretas
Ejemplo 1
Propiedades:
Ejemplo
Una mujer portadora de hemofilia tiene 3 hijos.
a ¿ Encuentre el espacio muestral para estudiar la posible hemofilia de estos?
b Sea la variable aleatoria X: número de hijos que pueden padecer hemofilia , ¿
Encuentre la función de probabilidad para X?
Solución:
a) Observe que para cada hijo hay dos posibilidades:
Primera: Pueden padecer hemofilia(S)
Segunda: No pueden padecer hemofilia(N)
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Variables aleatorias discretas
Como el número de hijos es tres, entonces es posible construir un diagrama de árbol,
para determinar el espacio muestral:
7S
/N
/N
/S
8S
7S
'
&
7N
N
'
/S
/S
N
/S
'
N
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Variables aleatorias discretas
Contando las ramas en la última etapa, tenemos que son ocho posibles resultados, ası́
el espacio muestral es:
S = {SSS, SSN, SN S, SN N, N SN, N SS, N N S, N N N }
b) X: número de hijos que pueden padecer hemofilia, observe que entonces:
X(SSS) = 3
X(SSN ) = X(SN S) = X(N SS) = 2
X(SN N ) = X(N SN ) = X(N N S) = 1
X(N N N ) = 0
Por tanto, los valores posibles que puede tomar la variable X son: 0, 1, 2, 3.
Luego, la función de probabilidad es:
x
f (x) = P (X = x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
Nota: Observe que la suma de las probabilidades de todos los posibles
valores para X es 1.
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Variables aleatorias discretas
Ejemplo 3
Ejemplo
La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad para la variable Y: número
de personas por dı́a que solicitan un tratamiento innecesario en el servicio de
urgencias de un pequeño hospital.
y
f (y) = P (Y = y)
0
0.01
1
0.1
2
0.3
3
0.4
4
0.1
5
c
1
Encontrar el valor de c para que f (y) sea una distribución de probabilidad.
2
Encontrar P (Y ≤ 2).
3
Encontrar P (Y > 3).
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Variables aleatorias discretas
Solución:
1
Aplicando la propiedad que la suma de las probabilidades es 1.
Es decir,
X
P (Y = y) = 1
y
Sea c = f (5),
0.91 + c = 1
Despejando para c se tiene que c = 0.09.
2
Se esta pidiendo la probabilidad de todos los valores de Y menores o iguales a 2,
asi
P (Y ≤ 2)
3
=
P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)
=
0.01 + 0.1 + 0.3
=
0.41
Similarmente,
P (Y > 3)
=
P (Y = 4) + P (Y = 5)
=
0.1 + 0.09
=
0.19
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Variables aleatorias discretas
Valor esperado y Varianza de una variable aleatoria discreta
Definición
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f (x) = P (X = x).
La media o valor esperado de X es:
X
µ = E(X) =
xP (X = x)
x
Propiedad del valor esperado:
Sean dos números reales a y b entonces:
E(aX + b) = aE(X) + b
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Variables aleatorias discretas
Definición
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f (x) = P (X = x).
La varianza de X es:
X
σ 2 = V (X) =
(x − µ)2 P (X = x)
x
Una fórmula, mas simplificada para el cálculo de la varianza es:
V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2
donde,
E(X 2 ) =
X
x2 P (X = x)
x
Propiedad de la varianza:
Sean dos números reales a y b entonces:
V (aX + b) = a2 V (X)
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Variables aleatorias discretas
Ejemplo
La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad para la variable Y: número
de personas por dı́a que solicitan un tratamiento innecesario en el servicio de
urgencias de un pequeño hospital.
y
f (y) = P (Y = y)
0
0.01
1
0.1
1
Encuentre el valor esperado
2
Encuentre la varianza
2
0.3
3
0.4
4
0.1
5
0.09
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Variables aleatorias discretas
Solución:
1
Aplicando la definición tenemos que:
X
E(Y ) =
yP (Y = y)
y
2
=
0(0.01) + 1(0.1) + 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.1) + 5(0.09)
=
2.75
Aplicando la fórmula simplificada, como por el inciso anterior ya se tiene la
esperanza, calculando E(X 2 ) se tiene:
X 2
E(Y 2 ) =
y P (Y = y)
y
2
=
0 (0.01) + 12 (0.1) + 22 (0.3) + 32 (0.4) + 42 (0.1) + 52 (0.09)
=
8.75
Por tanto,
V (Y )
=
E(Y 2 ) − (E(Y ))2
=
8.75 − (2.75)2
=
1.1875
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