OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. PROPIEDADES. CONTENIDOS: Operaciones con números reales: suma, resta, producto, cociente. Propiedades de las operaciones. Producto y cociente de potencias de igual base. Potencia de potencia. Potencia de exponente negativo. Potencia de un producto y de un cociente. Radicación. Potencia de exponente fraccionario. Ejercicios combinados. CONJUNTOS DE NUMÉROS REALES Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se lo llama conjunto de los números reales y se lo designa con R. OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS REALES Suma algebraica de fracciones. a- De igual denominador a c a c con b 0 b b b Ej.1 1 2 3 Ej.2 4 9 5 5 5 5 7 7 7 b- De distinto denominador. Hay dos formas para resolverlo. a c a.d b.c con b 0 y d 0 b d b.d Ej. 2 3 2.5 3.3 19 3 5 3.5 15 a c m b.a m d .c con b 0 y d 0 siendo m = mínimo común b d m múltiplo entre b y d Ej. 5 72 24.3 72 18.5 9 20 11 24 18 72 72 72 3 Multiplicación de fracciones a c a.c con b 0 y d 0 . b d b.d 2 1 2.1 2 Ej. . 5 3 5.3 15 División de fracciones a c a.d con b 0 , c 0 y d 0 b d b.c Ej. 2 5 2.2 4 3 2 3.5 15 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Conmutativa de la suma y el producto La suma o adición de dos números reales es conmutativa. a+b=b+a Ej. 2+5 = 5+2 =7 El producto o multiplicación de dos números reales es conmutativo. a.b b.a Ej. 2.5 5.2 10 Asociativa de la suma y el producto La suma algebraica de tres o más términos es asociativa. a + b + c = a+ (b + c) = (a + b) + c Ej. 2+5+9 = 2+ (5+9) =2+14= (2+5)+9= =7+9=16 El producto de tres o más números reales es asociativa. a . b. c (a. b).c a.( b. c) Ej: 2.5.9 = (2.5).9 = 10.9=2.(5.9) =2.45= 90→ Recordá que: El producto o el cociente de dos números reales de igual signo es un número real positivo. Ej. a) –2.(-3)=6 b) -2/-4=1/2 c) 2.4=8 El producto o cociente de dos números reales de diferente signo es siempre un número real negativo. Ej. a) 2.(-4)=-8 b) -6.2=-12 c) 6/-3=-2 d) –8/2=-4 El elemento neutro para el producto o el cociente es el 1. Ej: a) 6.1=6 b) 6/1=6 Distributiva del producto con respecto a la suma (y a la resta) algebraica La multiplicación de números reales es distributiva respecto de la suma algebraica. a. (b + c - d) = a .b + a .c - a .d Ej. 2. (5+9-3) = 2.5 + 2.9 –2.3=22 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales Se define la potencia de un número como: a n a . a. a.. . ..a se lee: “a elevado a la ene”, donde n pertenece a los Naturales n veces 42 = 4.4 = 16 “CUATRO ELEVADO AL CUADRADO” 43 = 4.4 .4 = 64 “CUATRO ELEVADO AL CUBO” Sea an c; a: es la base, n: exponente, c: potencia enésima de a Si n<0 , entonces puedo reescribirla de la siguiente manera Ej: La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente de las bases. (a . b)n = a n . b n Ej. (2.5 )3= (2) 3. (5) 3 = 1000 (a / b)n = a n / b n con b 0 Ej. (20 /5)3= (20) 3 / (5) 3 = 64 La potenciación es asociativa respecto del producto y del cociente de las bases cuando ambos exponentes son iguales. a n . b n = (a . b)n Ej. (2) 3. (5) 3 = (2.5 )3= 1000 a n / b n = (a / b)n con b 0 Ej. (20) 3 / (5) 3 = (20 /5 )3= 64 La multiplicación de dos potencias de igual base los exponentes se suman siendo su base la misma. a n . a m = a n+m Ej. 5 3.5 2 = 53+2= 5 5=3125 El cociente de dos potencias de igual base los exponentes se restan siendo su base la misma.. a n / a m = a n-.m Ej. 5 3/ 5 2 = 53.-2= 5 La potencia de una potencia se obtiene tomando la misma base y por exponente el producto de ambas potencias. 23 6 (a n.)m = a n.m Ej. 2 2 64 Toda potencia con base distinta de cero cuyo exponente es cero, su valor es siempre igual a uno. (a)0=1 a: base distinta de cero Ej. 50=1; (-1/2)0=1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. a1=a 51=5 ACTVIDAD 1: Teniendo en cuenta las propiedades de la potencia, completen V (verdadero) o F (falso). Si es falso justifique con la propiedad correcta y si es verdadero coloque la propiedad que usó. (5 + 3)2 = 52 + 32 F Porque la potencia no es distributiva con respecto a la suma. 34 = 12 F Porque el 3 debe multiplicarse 4 veces por sí mismo. (5.3)2 = 52. 32 se usó la propiedad distributiva V (8 − 4)2 = 82 − 42 F porque la propiedad distributiva no se aplica a la suma o resta. (8: 4)2 = 82: 42 potencia distributiva 23 = 32 F V porque no se puede conmutar la base con el exponente (27)2 = 27. 22 (43)2 = 43.2 F V porque se debe multiplicar el exponente por el exponente es la potencia de la potencia RADICACIÓN La radicación es la operación inversa a la potenciación. 2√64 = 8, porque 82 = 64 Se define la raíz de un número como: na b bn a Se lee: “raíz enésima de a”; a: radicando, n: índice, b: raíz enésima : radical. A tener en cuenta que: La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente excepto en aquellos casos donde el radicando sea negativo y el índice de la raíz sea par. n a.b n a.n b n a :b n a : n b Ej. con b 0 Ej. 2 4.9 2 36 2 4.2 9 2.3 6 2 4 : 9 2 4 : 2 9 2 / 3 La radicación de índice n se puede expresar como una potencia donde el exponente es 1/n. 1 a na 1 n 38 Ej. a) 83 2 m n m a a b) 4 2 9 9 2 1 4 923 4 n 2 4 Ej. 3 32 9 2 3 IMPORTANTE : La potenciación y la radicación no son distributivas ni asociativas con respecto a la suma y a la resta. ACTIVIDAD 2: I)Completen V (verdadero) o F (falso). Justifique su respuesta con la propiedad correcta que usó. 2√100 = 50 F porque su raíz es 10 (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 2 2 2√8. 2√2 = √16 2√9 + √16 = √25 2 2√16: 2√2 2√16 F V 2 = √16: 2 2 F porque la propiedad distributiva no se aplica a la suma el resultado es 3 + 4 =7 se aplica la propiedad asociativa V 2 + √2 = √16 + 2 se aplica la propiedad asociativa F la propiedad asociativa no se aplica a la suma o resta II)Resuelve aplicando las propiedades cuando sea posible: a) 218 . (25)4 : (230 . 27) . 2= 218 . 220 : 237 . 2 = 238 : 237 . 2 = 2 . 2 = 4 5 5 5 b) √5 . √53 . √54 ∶ 6 6 6 c) √16 . √8 : √2 = 5√53 = 2 d) √81 . 64 ∶ 144 = e) 4 . (5 .7 + 10) + 270: 30 − (18 − 4. 2)= f) 58 . 513 : 519 +(4 . 9 -12)0 -√45: √5 = EJERCICIOS COMBINADOS Para resolver este tipo de ejercicios: 1. Se separa en términos. 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis. 3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 5. Se resuelven las sumas y restas. Ejemplos: Para tener en cuenta al trabajar con los signos: ACTIVIDAD 3 Indica la opción que tiene la igualdad correcta a) (𝑎. 𝑏2)3 = 𝑎3. 𝑏5 b) (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 𝑏4 c) 𝑎𝑚 + 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑚+𝑛 = ACTIVIDAD 4 Usar el signo = 𝑜 ≠ , según corresponda para que las expresiones sean verdaderas. (12 -4)-2 ............................................ …12-(4-2) 23 + 32 …………………………………………… (2 + 3)2 9.8 6 9+6 9−6 43+42 4 9 8 ……………………………………………… . 6 6 …………………………………………….. 3+2 3−2 …………………………………………… 4 + 42 ACTIVIDAD 5 Unir con flecha según corresponda a+a+a a2+a a.a 4.a2 3.a.a 3.a a2.a 2.a2 (2.a)2 a3 a2+ a2 3.a2 a2+a a2 ACTIVIDAD 6 Resolver los siguentes ejercicios combinados teniendo en cuenta todas las propiedades y usando la calculadora. Nos interesa el “proceso” y no el resultado . 71 PRODUCTOS NOTABLES 1. Suma por diferencia (a+b)(a−b)= a2 – b2 Esta fórmula se lee como suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. Ejemplo: (x+2) (x−2) = x2 − 22 = x2 – 4 2. Cuadrado de la suma (a+b)2=a2+2.a.b+b2 Ejemplo: (x+1)2 = x2+2.x.1+ 12 = x2 + 2x +1 3. Cuadrado de la resta (a−b)2 = a2 – 2.a.b + b2 Ejemplo: (x−2)2 = x2 − 2.x.2 + 22 = = x2 – 4x + 4 ACTIVIDAD 7: Resuelve: 1. 2. 3. 4. (x+1) . (x-1)= (3x+2) . (3x-2)= (x2+2) . (x2-2)= (2x+5) . (2x-5)= 5. (X-1)2 = 6. (4B+3C)2 = 7. (2A – 3B)2 = 8. (3x – 4)2 = 9. (x + 5)2 = 10. -(x + 3)2 =