CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Tarea 2: Sumas, Sumas de Riemann y Teorema del Binomio 1. Demuestra por inducción las siguientes propiedades de n P ak : k=1 a) b) c) d) n P c = nc k=1 n P k=1 n P cak = c n P (ak + bk ) = k=1 n P ak k=1 n P ak + k=1 (ak ak 1) n P bk k=1 = an a0 (suma telescópica) k=1 e) si ak bk (k = 1; :::; n), entonces n P n P ak k=1 f) g) h) n P ak k=1 n P k=1 n P k=1 k= i) jak j n(n+1) 2 k2 = k=1 n P n P bk k=1 k3 = k=1 2. Prueba que: n(n+1)(2n+1) 6 n(n+1) 2 n P 2 rk = k=0 1 r n+1 1 r ; (r 6= 1) 3. Calcula los valores de las siguientes sumas: n n n n P P P P 1 3 a) 3k 1 b) c) (k 3) d) (n k 2 k=1 k=1 k + 1)2 k=1 k=1 4. (Teorema del binomio) Demuestra que si x y y son números reales distintos de cero y n es un entero positivo, entonces (x + y)n = n X n n x k k k y k=0 5. Escribe las de…niciones de: a) Partición del intervalo [a; b] y re…namiento de una partición. b) Suma superior U (f; P ) y suma inferior L(f; P ) c) Integral inferior e integral superior d) Función integrable sobre [a; b]. 1 6. Demuestra que si las particiones P y P 0 cumplen la relación P tonces L(f; P ) L(f; P 0 ) y U (f; P 0 ) U (f; P ): 7. Demuestra que si la función f cumple m (f está acotada en [a; b]), entonces: m(b a) Z Z b f a f (x) P 0 en- M para toda x 2 [a; b] b f M (b a): a 8. Demuestra que la siguiente función no es integrable sobre [0; 1] f (x) = 1 si x es irracional 0 si x es racional 9. Sopóngase, como es el caso, que las siguientes funciones son integrables sobre los intervalos dados por los limites de integración. Demuestre que: R R3 1 a) 0 dx 1 senxdx b) 21 0 1 x2 10. Sea f : [a; b] ! R acotada, considera una partición P = fx0 ; x1 ; :::; xn g del intervalo [a; b]. Muestra que para cualquier selección de puntos xk 2 [xk 1 ; xk ] se tiene que: n X L(f; P ) f (xk )(xk xk 1) U (f; P ): k=1 Concluye que si f es integrable se tiene que, para toda partición y para cualquier selección de puntos xk : Z a b f n X f (xk )(xk xk 1) U (f; P ) L(f; P ) k=1 11. Demuestra que si f es no decreciente sobre [a; b], entonces f es integrable sobre [a; b] Sugerencia: Observa que para toda P partición de [a; b] la suma U (f; p) n X L(f; P ) = (Mi mi )(xi xi 1 ) es telescópica. i=0 12. Pruébese que: si f (x) = 0 para todo x 2 [a; b] salvo un número …nito de Zb excepciones, entonces f =0 a 2