Unidad 3 1 //Escenario Escenario25 Lectura fundamental Fundamental Estrategias Etapas de uny plan aplicaciones de comunicación de las estratégica derivadas Contenido 1 Aplicaciones de la derivada Palabras clave: optimización, derivada, puntos críticos, crecimiento, decrecimiento. 1. Aplicaciones de la derivada La información que obtenemos de la derivada puede utilizarse para analizar las propiedades de las funciones, para solucionar variedad de problemas de optimización y para establecer si el nivel de producción se maximiza en determinada empresa obteniendo costos mínimos. En general, la teoría de la optimización y sus técnicas comprende un área extensa de las matemáticas aplicadas e incluye la exploración de los "mejores valores" dada una función preliminar en un dominio definido. En el presente escenario de aprendizaje se profundizará en las herramientas descritas anteriormente. Se ampliará la comprensión de la primera y la segunda derivadas, desarrollaremos un método para encontrar los valores máximos o mínimos de una función y así lograr optimizar estos procedimientos basados en el cálculo. 1.1. Derivadas: interpretaciones Figura 1. Relación entre f’( x ) y las funciones crecientes /decrecientes Fuente: elaboración propia POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 2 1.2. La primera derivada La primera derivada representa la razón de cambio instantánea en f ( x ) respecto de una modificación en x. En la figura 1 podemos identificar las condiciones de la pendiente, la cual está representada por la primera derivada. Si la primera derivada de f es positiva en todo un intervalo, entonces la pendiente será positiva y f será una función creciente en el intervalo. Pasará todo lo contrario si la primera derivada de f es negativa a lo largo de todo un intervalo; entonces la pendiente será negativa y f será una función decreciente en el intervalo. Esto lo podemos sintetizar de la siguiente manera: 1.2.1. Función creciente Se dice que la función f es una función estrictamente creciente en un intervalo si, para cualquier x1 y x2 dentro del intervalo, x1 < x2, implica que f ( x1) < f ( x2 ) (ver figura 1 apartado a) y b)). 1.2.2. Función decreciente Se dice que la función f es una función estrictamente decreciente en un intervalo si, para cualquier x1 y x2 dentro del intervalo, x1 < x2 implica que f ( x1) > f ( x2) (ver figura 1 apartado c) y d)). 1.2.3. Criterios para funciones crecientes, decrecientes o constante con la primera derivada Sea f diferenciable en el intervalo (a, b). Si f’( x ) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en (a, b). Si f’( x ) < 0, para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en (a, b). Si f’( x ) = 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces, f es constante en (a, b). POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 3 Ejemplo 1 Para determinar los intervalos donde la función f ( x ) = constante. 18x es creciente, decreciente o Estimemos todos los valores de x para los que f’( x ) = 0 o f’ ( x ) es discontinua e identifiquemos los intervalos abiertos definidos por estos números. La derivada de: f'( x ) = -2x2 +18 = 2(-x2 + 9) = 2 (-x + 3)(x + 3) Encontremos los posibles puntos donde la derivada es cero para cada valor de x en un intervalo (a, b) f'( x ) = 0 Lo que implica: 2 (-� + 3)(� + 3) = 0 Esto es válido cuando x = ±3 y con este resultado podemos dividir a la recta real en los intervalos (-∞, -3),(-3, 3) y (3, +∞) Para determinar el signo de f'( x ) en los intervalos anteriormente descritos, haremos uso de un valor para x conveniente en cada uno de los intervalos. Este valor puede variar según el que se escoja, pero en últimas en este intervalo será cierto el signo de la derivada (positivo o negativo). Tabla 1. Intervalos para la función del crecimiento y decrecimiento Intervalo Punto de prueba c f´(c) Signo de f’(x) Característica (-∞,-3) -4 2(-(-4)+3)(-4+3)=-14 - Decreciente (-3,3) 0 2(-(0)+3)(0+3)=18 + Creciente (3,+∞) 4 2(-(4)+3)(4+3)=-14 - Decreciente Fuente: elaboración propia POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 4 La figura 2 muestra los tramos donde la función es creciente y decreciente, y para x = ±3 no es ni creciente ni decreciente: Figura 2. Tramos crecientes /decreciente Fuente: elaboración propia En la figura 3 notamos la inclusión de unos nuevos elementos a la hora de describir una función. Estos términos los llamaremos máximo relativo y mínimo relativo; en caso de que fueran los más altos o los más bajos serían absolutos. Figura 3. Mínimos y máximos relativos Fuente: elaboración propia POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 5 1.2.4. Máximo y mínimo relativo Una función tiene un máximo relativo para un valor de c si existe un intervalo abierto que contenga a este valor sobre el cual f ( c ) ≥ f ( x ) para toda x en el intervalo. El máximo relativo es f ( c ). Una función tiene un mínimo relativo para un valor de c si existe un intervalo abierto que contenga a c sobre el cual f ( c ) ≤ f ( x ) para toda x en el intervalo. El mínimo relativo es f ( c ). 1.2.5. Máximo y mínimo absoluto Una función tiene un máximo absoluto para un valor de c si f ( c ) ≥ f ( x ) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f ( c ). Una función f tiene un mínimo absoluto para un valor de f ( c ) ≤ f ( x ), para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f ( c ). En la figura 3 observamos que P1 y P3 son máximos relativos; no son absolutos por el hecho de que la gráfica se extiende desde (-∞, +∞) y no se tiene certeza en todo el dominio de la función. Por otro lado, notamos un mínimo relativo en P2, el cual es el único que se logra identificar en el tramo mostrado. A los puntos P1, P2 y P3 se les conoce como punto crítico y tienen las siguientes características: Si c está en el dominio de f y f’( c ) = 0 o f’( c ) no está definida, entonces c se denomina valor crítico de f. Si c es un valor crítico, entonces el punto (c, f ( c )) se denomina punto crítico. Note que P1 y P2 tienen una derivada igual a cero y en P3 la derivada no está definida. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 6 1.3. Estrategias para determinar los puntos máximos y mínimos en una función continua f 1. Determine los valores críticos de f. 2. Determine el signo de f’( x ) a la izquierda y derecha de cada valor crítico. a. Si f’( x ) cambia de signo positivo a negativo conforme se mueve a través de un valor crítico c, entonces f ( c ) es un máximo relativo. b. Si f’( x ) cambia de signo negativo a positivo conforme se mueve a través de un valor crítico c, entonces f ( c ) es un mínimo relativo. c. Si f’( x ) no cambia de signo mientras se mueve a través de un valor crítico c, entonces f ( c ) no es un extremo relativo. Lo anterior se puede ejemplificar para mayor claridad en la figura 4: Figura 4. Resumen para la estrategia de máximos y mínimos Fuente: elaboración propia POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 7 Ejemplo 2 Determinar los máximos y mínimos relativos de la función: f ( x ) = x³- 3x²- 24x + 32 Hagamos uso de la estrategia descrita anteriormente para determinar los máximos y los mínimos relativos: 1. Determinemos los valores críticos de f Para encontrar estos valores hagamos uso de f'( x ) = 0, luego tenemos: f'( x ) = 3x² - 6x - 24 Esta expresión que obtenemos la factorizamos e igualamos a cero, obteniendo: f'( x ) = 3(x + 2) (x - 4) = 0 Luego se obtienen los valores críticos para cuando x = -2 y x = 4, y con este resultado podemos dividir a la recta real en los intervalos (-∞, -2),(-2, 4) y (4, +∞). Tabla 2. Intervalos para la función del crecimiento y decrecimiento Intervalo Punto de prueba c f´(c) Signo de f’(x) Característica (-∞,-2) -3 3((-3)+2)(-3-4)=21 + Creciente -2 0 0 Máximo 0 3(0+2)(0-4) = - 18 - Decreciente 4 0 0 Mínimo 5 2(5+3)(5+3)=450 + Creciente (-2,4) (4,+∞) Fuente: elaboración propia En la tabla 2 queda resumida la información correspondiente a los máximos y los mínimos relativos; notamos que pasó de un intervalo donde la pendiente es positiva a otro donde la pendiente es negativa, luego, tenemos un máximo relativo y de manera análoga sucede para el punto mínimo (ver figura 5). POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 8 Figura 5. Máximo y mínimos relativos Fuente: elaboración propia Ejemplo 3 El número de delitos graves cometidos en una determinada ciudad entre los años 1995 a 2002 es aproximado por la función: D( t ) = -0.1t³ + 1.5t² + 100 (0 ≤ t ≤ 7) Donde D( t ) representa la cantidad de delitos cometidos en el año y t los años; t = 0 es el año 1995. Determinaremos dónde la cantidad de delitos es creciente y dónde es decreciente para el intervalo de tiempo señalado. La derivada de D'( t ) de la función D es: D'( t ) = -0.3t² + 3t = -0.3t(t - 10) Esta expresión la factorizamos e igualamos a cero: -0.3t(t -10) = 0 Luego se obtienen los valores críticos para cuando t = 0 y t = 10, y con este resultado podemos dividir a la recta real en los intervalos (-∞, 0), (0, 10) y (10, + ∞) POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 9 Tabla 3. Intervalos para la función del crecimiento y decrecimiento Intervalo Punto de prueba c f´(c) Signo de f’(x) Característica (-∞,0) -1 -0.3(-1)(-1-10)=-3.3 - Decreciente 0 0 0 Mínimo 1 -0.3(1)(1-10)= 2.7 + Creciente 10 10 0 Máximo 11 -0.3(11)(11-10)=3.3 - Decreciente (0,10) (10,+∞) Fuente: elaboración propia En la tabla 3 queda resumida la información correspondiente a los máximos y los mínimos relativos. Notamos que pasó de un intervalo donde la pendiente es negativa a otro donde la pendiente es positiva; luego, tenemos un mínimo relativo y de manera análoga sucede para el punto máximo (ver figura 6). Adicionalmente, para el periodo (0 ≤ t ≤ 7) vemos que nuestra función es creciente. Pasado el periodo de 10 años, notamos un decrecimiento en los índices delictivos de esta ciudad. Figura 6. Gráfica ejemplo 3 Fuente: elaboración propia POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 10 1.4. La segunda derivada La segunda derivada, representada por f’'( x ), nos da cuenta de la razón de cambio instantánea de f’( x ) respecto a x. En otras palabras, indica la tasa a la cual la pendiente de la función está variando en relación con el cambio en x; para ello dirija su atención a la figura 7. Figura 7. Relación entre la segunda derivada y la pendiente Fuente: elaboración propia En esta figura, la función se presenta en las regiones delimitadas por los diferentes colores; se notan ciertas concavidades, es decir, tiene una parte hundida y otra pronunciada. Este tipo de comportamiento es predecible en la medida que se cumplan una serie de condiciones. Acontinuación, detallaremos la relación de la segunda derivada y la concavidad. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 11 1.4.1. Relaciones entre la segunda derivada y la concavidad • Si f''( x ) < 0 en un intervalo a ≤ x ≤ b, la gráfica de f será cóncava hacia abajo en ese intervalo. Para cualquier punto x = c dentro del intervalo, se dice que f es cóncava hacia abajo en [c, f ( c)]. En la figura 7, vemos que de A hasta B y de D hasta E la función es cóncava hacia abajo. • Si f''( x ) > 0 en cualquier intervalo a ≤ x ≤ b, la gráfica de f será cóncava hacia arriba en ese intervalo. Para cualquier punto x = c dentro del intervalo, se dice que f es cóncava hacia arriba en [c, f ( c )]. En la figura 7, vemos que de B hasta D la función es cóncava hacia abajo. • Si f''( x ) = 0 en cualquier punto x = c en el dominio de f, no puede sacarse conclusión alguna sobre la concavidad en [c, f ( c )]. 1.4.2. Criterio de la segunda derivada para hallar máximo y mínimo de una función Sea f una función tal que f'( c ) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. 2. Si f''( c ) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f ( c )). En la figura 7 el punto C cumple con esta condición. 3. Si f''( c ) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f ( c )). En la figura 7 el punto A y el punto E cumple con esta condición. Si f''( c ) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f posiblemente tiene un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de los dos. En este caso, se puede utilizar el criterio de la primera derivada. 1.4.3. Punto de inflexión Si (c, f ( c )) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f''( c ) = 0 o f '' no existe en x = c. En la figura 7 el punto B y el punto D cumplen con esta condición. Si f''( x ) cambia de signo cuando pasa por x = c, hay un punto de inflexión en x = c. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 12 Ejemplo 4 Analicemos la propagación de una epidemia que tiene un comportamiento descrito en la siguiente función: n = f ( t ) = -0.3t³ + 10t² + 300t + 250 Donde n representa el número de personas afectadas por la epidemia y t representa el número de días desde la detección inicial de la epidemia hasta un día posterior. Determinar: 1. Puntos críticos Igualemos f'( x ) = 0 f'( t ) = -0.9t² + 20t + 300 -0.9t2 + 20t + 300 = 0 Los valores para los cuales la anterior expresión matemática se iguala a cero es: Estos valores se obtienen resolviendo la fórmula general de la ecuación cuadrática. Aproximadamente obtenemos los siguientes valores: t1 = -10.2615 y t2 = 32.4838 De estos dos valores obtenidos tienen sentido aquellos valores de t > 0, pero para nuestro análisis tendremos todos los valores de t. 2. Intervalos de crecimiento, máximos y mínimos relativos Luego de obtener los valores críticos para cuando t = -10.2615 y t = 32.4838, con este resultado podemos dividir la recta real en los intervalos (-∞, -10.26),(-10.26,32.48) y (32.48, +∞), tal como se muestra en la figura 8. Notamos un decrecimiento en la función en los intervalos (-∞, -10.26) y (32.48, + ∞) y un crecimiento en (-10.26,32.48). POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 13 Por otro lado, tenemos un mínimo relativo cuando pasamos del intervalo de (-∞,-10.26) a (-10.26,32.48); es decir, vamos de un intervalo donde la función es decreciente a otro donde es creciente. También encontramos un máximo relativo cuando pasamos del intervalo (-10.26,32.48) a (32.48, + ∞), lo que significa que vamos de un intervalo donde la función es creciente a otro donde es decreciente. 3. Punto(s) de inflexión Para los puntos de inflexión encontremos los puntos donde f''( x ) = 0 f''( t )= -1.8t + 20 = 0 Es decir que para t = 11.11 hay un cambio de concavidad, tal como vemos en la figura 8. Interpretación. El punto de inflexión puede interpretarse como la representación del punto en el tiempo cuando decrece la tasa a la que se contagian las personas con gripe. Antes de t = 11.11 se contagian personas adicionales con una tasa creciente. Después de t = 11.11 se contagian personas adicionales, pero con una tasa decreciente. ¿Sabía que...? Al obtener la gráfica de la derivada de una función es importante deducir cuál debe ser la concavidad de la curva; en este caso, lo determinamos intuitivamente. Siempre existen solo dos posibilidades: que sea cóncava hacia arriba o hacia abajo. Hay que poner especial atención en que no se alteren las características que determinamos y que se incluyan en la gráfica de la función derivada. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 14 4. Intervalos de concavidad Para ello hacemos uso de la relación entre la segunda derivada y la concavidad, y tenemos presente el punto de inflexión encontrado. Luego realizamos una división de nuestra recta real en dos intervalos (-∞, 11.11) y (11.11, + ∞), y con unos valores de prueba arbitrarios es posible saber el signo que tiene en estos tramos (ver figura 8). Figura 8. Descripción de la propagación de una epidemia Fuente: elaboración propia En síntesis... »» La primera derivada se usa para determinar los puntos críticos y los intervalos donde la función es creciente y decreciente. »» La segunda derivada se usa para determinar la concavidad y los puntos de inflexión. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 15 Referencias Tan, S. (2010). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y la vida (5ª ed.). Mexico: Cengage Learning. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 16 INFORMACIÓN TÉCNICA Módulo: Matemáticas II Unidad 3: Puntos críticos y óptimos Escenario 5: Trazado de curvas con la ayuda de la derivada Autor: Rogelio Alvarado Martínez Asesor Pedagógico: Jeiner Velandia Sanabria Diseñador Gráfico: Daniel Moreno Sarmiento Asistente: Ginna Quiroga Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano. Prohibida su reproducción total o parcial. POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO 17