OpenStax-CNX module: m12900 1 Series de Fourier y los Sistemas LTI * Justin Romberg Translated By: Fara Meza Erika Jackson Based on Fourier Series and LTI Systems by Justin Romberg This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 2.0 1 Introduciendo las Series de Fourier a los Sistemas LTI Antes de ver este modulo, usted debería familiarizarse con los conceptos de Eigenfunciones de los sistemas LTI. Recuerde, para Figure 1: donde est H sistema LTI tenemos la siguiente relación Señales de entrada y salida para nuestro sitema LTI. es una eigenfunción de H. Su eigenvalor correspondiente respuesta de impulsoh (t) Z ∞ H (s) = −∞ * Version 1.2: Jul 25, 2005 2:08 pm -0500 http://cnx.org/content/m10752/2.7/ http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/ http://cnx.org/content/m12900/1.2/ h (τ ) e−(sτ ) dτ H (s) pueden ser calculado usando la OpenStax-CNX module: m12900 2 Así, usando la expansión de las series de Fourier para f (t) = X f (t)periódica donde usamos la entrada cn eiω0 nt n en el sistema, Figure 2: nuestra salida Sistema LTI y (t) será y (t) = X H (iω0 n) cn eiω0 nt n Podemos ver que al aplicar las ecuaciones de expansión de series de fourier, podemos ir de viceversa, y es lo mismo para la salida, f (t) a cn y y (t) 2 Efectos de las Series de Fourier Podemos pensar de un sistema LTI como el ir moldeando el contenido de la frecuencia de la entrada. Mantenga en mente el sistema básico LTI que presentamos en Figure 2. El sistema LTI, H, multiplica todos los coecientes de Fourier y los escala. {cn } Dado los coecientes de Fourier de la entrada de Fourier de la salida, es note: {H (iw0 n) cn } los eigenvalores, y los eigen valores del sistema H (iw0 n) describen T = 2πw0 las series completamente lo que un sistema LTI le hace a una señal periódica con periodo Example 1 ¾Qué hace este sistema? Figure 3 http://cnx.org/content/m12900/1.2/ {H (iw0 n)}, (una simple multiplicación de termino por termino). OpenStax-CNX module: m12900 3 Example 2 Y, ¾esté sistema? (a) (b) Figure 4 3 Examples Example 3: El circuito RC h (t) = 1 −t e RC u (t) RC ¾Qué es lo que este sistema hace a las series de fourier de la f (t)? Calcula los eigenvalores de este sistema H (s) = R∞ = R∞ = = = −∞ h (τ ) e−(sτ ) dτ −τ 1 e RC e−(sτ ) dτ 0 RC R ∞ (−τ )( 1 +s) 1 RC dτ RC 0 e 1 (−τ )( RC +s) ∞ 1 1 e |τ =0 1 RC RC +s 1 1+RCs (4) Ahora, decimos que a este circuito RC lo alimentamos con una entrada periodo Vea los eigen valores para periódica (con s = iw0 n |H (iw0 n) | = El circuito RC es un sistema frecuencias altas ( n 1 1 =√ 2 |1 + RCiw0 n| 1 + R C 2 w0 2 n2 pasa bajas: pasa frecuencias bajas grandes). Example 4: Pulsó cuadrado a través del Circuito RC • f (t) T = 2πw0 ). f (t) 1 sin π2 n cn = π 2 2n Señal de entrada : tomando las series de Fourier 1 t en n=0 http://cnx.org/content/m12900/1.2/ n alrededor de 0) atenúa OpenStax-CNX module: m12900 • 4 Sistema : Eigenvalores H (iw0 n) = • 1 1 + iRCw0 n Señal de salida: tomando las series de Fourier de y (t) 1 1 sin π2 n dn = H (iw0 n) cn = π 1 + iRCw0 n 2 2n 1 1 sin π2 n dn = π 1 + iRCw0 n 2 2n y (t) = X dn eiw0 nt n ¾Qué podemos decir sobre y (t) de {dn }? y (t) real? y (t) simétrico par? ¾simétrico impar? ¾Comó se y (t) ¾es mas suave que f (t)? (el 1. ¾Es 2. ¾ Es 3. dn = 1 1 sin π2 n π 1 + iRCw0 n 2 2n |dn | = q http://cnx.org/content/m12900/1.2/ radio de descomposición de 1 2 1 + (RCw0 ) n 1 sin π2 n π 2 2 2n dn vs. cn )