Trabajo métodos numéricos enpdf

1) Crecimiento de plantas
Facultad de ciencias agropecuarias de argentina FCA
http://www.fca.uner.edu.ar/files/academica/deptos/catedras/WEBFV_2010/mat_did/
UT7.pdf
Para analizar el crecimiento de ciertas plantas, Hunt (1978), Radosevich y Holt
(1984) definieron el crecimiento como un incremento irreversible en el tamaño
de las plantas el cual a menudo es acompañado por cambios en la forma. Una
descripción muy aproximada de su comportamiento es la función sigmoide
𝒉𝒕 = −𝒂𝟎 +
𝑩
𝟏 + 𝒆−𝒕+𝒄
 B es el tamaño promedio que alcanza la especie de planta
 a0 es una constante propia de la especie de planta
Si h0 sería nulo y la altura promedio de la especie es 1m, el gráfico es simple
Como se ve, a lo máximo que puede crecer la función es 1 y lo mínimo es 0
Pero las cosas se complican con el uso de una a inicial constante, aplicándola
ecuación a un árbol con B=4 y a0=0.2 y c=5.334, la fórmula se complica y se
procede a utilizar el método de bisección o falsa posición
𝒉𝒕 = −0.2 +
𝟒
𝟏 + 𝒆−𝒕+5.334
No es posible un resultado exacto con el método gráfico, como se puede ver
Con ayuda evaluamos esto en códigos de bisección y falsa posición en Matlab, es
importante que en la notación, no se escriba el número de Euler como e, sino
como 2.71828. Tuvimos problemas de error por ese desconocimiento.
Ecuación en notación para Matlab: -0.2+4/(1+2.71828 ^(-t+5.334) )
Se definieron como límites el 2 y 3 por el método gráfico tanto para el método
de la bisección como el método de la falsa posición.
Método de bisección:
En solo 10 iteraciones nos da 2.38965 de respuesta, con un error de 0.00098
Método de falsa posición:
En 10 iteraciones nos da 2.38956 con un error de 0.30522
Para el método de N-R se elige como valor inicial el 2por que visualmente se
acerca a la raíz.
Método de newton-raphson:
Ecuación en notación para Matlab: -0.2+4/(1+2.71828 ^(-t+5.334) )
Valor inicial: 2
Nos da el siguiente cuadro
La respuesta con este método nos da 2.38956 con un error menor a los
anteriores métodos.
2) flujo de un líquido a través de un lecho empacado
Caso del libro de métodos numéricos para ingenierías, por Steven C. Chapra quinta edición,
sustraída de la página de la UNACH México.
La ecuación de Ergun hecha por Sabri Ergun en 1952 sirve para describir el flujo
de un líquido a través de un lecho empacado.
Donde
 ΔP es la caída de presión,
 r es la densidad del fluido,
 GO es la velocidad másica (el cociente del flujo de masa dividido entre el
área de la sección transversal)
 Dp es el diámetro de las partículas dentro del lecho
 μ es la viscocidad del fluido, L es la longitud del lecho
 e es la fracción vacía del lecho.
Si se quiere encontrar la fracción vacía e del lecho con los siguientes datos
Sustituyendo los parámetros
El problema se expresa de la siguiente manera
Analizando la expresión, se puede resolver por el método de la bisección pero
con una dificultad: La fracción (la fracción del volumen que no es sólido; es decir,
consiste en vacíos) varía entre O y I.
Entonces se debería tomar como valores iniciales a 0 y 1 pero por la naturaleza
de la expresión, el 1 daría una división sobre cero, por lo que se toma entre 0 y
0.99
Se buscó ayuda en Matlab para el código de bisección y falsa posición y se
pusieron los datos.
El formato de la ecuación en Matlab es: 0.15*(1-x)+1.75-10*((x^3)/(1-x))
Se definieron como límites a 0 y 0.99 por lo que el grupo explicó hace dos
párrafos.
Método de la bisección
Donde aplicando bisección produce un resultado de 0,461857 en 15 iteraciones
con un error relativo absoluto aproximado de 6,5x10.
k
a
1.0000
b
c
f(c)
error
0 0.8000 0.4000 0.7733 0.4000
2.0000 0.4000 0.8000 0.6000 -3.5900 0.2000
3.0000 0.4000 0.6000 0.5000 -0.6750 0.1000
4.0000 0.4000 0.5000 0.4500 0.1757 0.0500
5.0000 0.4500 0.5000 0.4750 -0.2126 0.0250
6.0000 0.4500 0.4750 0.4625 -0.0100 0.0125
7.0000 0.4500 0.4625 0.4563 0.0849 0.0063
8.0000 0.4563 0.4625 0.4594 0.0380 0.0031
9.0000 0.4594 0.4625 0.4609 0.0141 0.0016
10.0000 0.4609 0.4625 0.4617 0.0021 0.0008
11.0000 0.4617 0.4625 0.4621 -0.0039 0.0004
12.0000 0.4617 0.4621 0.4619 -0.0009 0.0002
13.0000 0.4617 0.4619 0.4618 0.0006 0.0001
14.0000 0.4618 0.4619 0.4619 -0.0001 0.0000
15.0000 0.4618 0.4619 0.4618 0.0002 0.0000
Hay que darse cuenta que por la forma de la función el método de la falsa
posición hubiese sido mala elección.
Método de la falsa posición
Cuando pusimos la ecuación, incluso para 25 iteraciones, el resultado tardaba en
acercarse
Solución:
 c= 0.38254
 F(c)= 0.93601
 Error= 0.26236
y el error es de un 26%, nada comparable a nuestra respuesta con el método de
la bisección que sí está bien.
Método de newton- raphson
El formato de la ecuación en Matlab es: 0.15*(1-x)+1.75-10*((x^3)/(1-x))
Se elige como valor inicial el número 0.9, el 1 como valor inicial da el siguiente
resultado:
Con 0.9 de valor inicial:
Donde aplicando Newton-Raphson produce un resultado de 0,46186 en 8
iteraciones con un error relativo absoluto aproximado de 1.1631*10^-6.
3) Mecanismo para cortes
Libro mecánica vectorial para ingenieros Beer & jonsthon 10ma edición. Apartado de
preguntas de repaso y su respectivo solucionario.
En el mecanismo de retorno rápido de whitworth utilizado en herramientas de
maquinado para realizar cortes sobre una pieza., su comportamiento es definido
luego de realizar los cálculos por las siguientes ecuaciones:
𝑑𝑒 − 90 ≤  < 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑑𝑒 − 90 ≤  < 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 90 <  < 270 𝑦 𝑑𝑒 − 90 ≤  < 90
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 180
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 270 <  < 360 𝑦 𝑑𝑒 − 90 <  ≤ 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
Que en fin tienen la misma estructura. , Ferdinand P. Beer en su libro de
mecánica vectorial propone hallar la posición  con los siguientes datos 𝑙 =
4𝑝𝑢𝑙𝑔,  = 3/4𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑏 = 2.5𝑝𝑢𝑙𝑔 nótese que como te trabaja en radianes, el
360 grados también es en radianes.
9/10 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
4𝑠𝑒𝑛 − 2.5
) + 2
4𝑐𝑜𝑠
Para usarlo en notación de Matlab la función pasa a ser:
atan((4*sin(x)-2.5)/4*cos(x))+2*3.1416-19*3.1416/10
Esta función tienen muchas raíces, pero vamos a buscar la más cercana al 0
Para los métodos de bisección y falsa posición vamos a usar el intervalo de -1 a 1
Método de bisección
En 10 iteraciones, el método de la bisección nos da el resultado 0.29102 con
error de 0.00195
Método de falsa posición
En 10 iteraciones, el método de la bisección nos da el resultado 0.28997 con
error de 0*10^-6
Método de Newton Rapson
Para este método usaremos el 1 como inicial.
Nos da como resultado el siguiente cuadro:
Como vemos este método no funciona con este tipo de ecuaciones oscilantes
4) Rociador de jardín oscilante con problemas de mojar
comensales
Libro mecánica vectorial para ingenieros Beer & jonsthon 10ma edición. Apartado de
preguntas de repaso y su respectivo solucionario.
Al instalar un rociador se ha tenido un problema, el jardín tienen al lado un
quiosco con los lados abiertos pero techatada por encima. Se quiere evitar que
el agua llegue a mojar a los comensales
La distancia entre rociador y quiosco es de 2.2 m y el tamaño del quiosco es de
3.2 x 1.8
Luego de resolver con los datos con conocimientos de dinámica, nos queda esta
ecuación. Los valores positivos y negativos corresponden a si el agua toca el
quiosco por encima o debajo respectivamente.
𝑥𝑞𝑢𝑖𝑜𝑠𝑐𝑜 = 𝑡𝑎𝑛 ± √
(−𝑡𝑎𝑛𝑎)2 −
𝑔
3.6𝑔
𝑣𝑜2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎
𝑣𝑜2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎
6 posibles trayectorias del rociador, solo la 1 es admisible, la 2 y la 5 tampoco
mojan a los comensales pero no riegan nada
Para pasarlo a la computadora, se separan por cada valor de x
𝑦2.2 = 2.2𝑡𝑎𝑛 −
0.0242𝑔
𝑐𝑜𝑠 2 𝑎
𝑦5.4 = 5.4𝑡𝑎𝑛 −
0.1458𝑔
𝑐𝑜𝑠 2 𝑎
Para 𝑦𝑚𝑎𝑥 < 1,8𝑚
𝑥𝑞𝑢𝑖𝑜𝑠𝑐𝑜 = 𝑑 = 100𝑠𝑒𝑛(2𝑎)/𝑔
Para 𝑦2.2 > 1,8𝑚 y 𝑦5.4 > 1,8𝑚
𝑥𝑞𝑢𝑖𝑜𝑠𝑐𝑜 = 𝑑 = 100cos(2𝑎)(𝑠𝑒𝑛𝑎 + √𝑠𝑒𝑛2 𝑎 − 0.036𝑔)/𝑔
Luego de ejecutar las ecuaciones, encontramos que la ecuación marcada en roja
es la única que nos sirve para evitar el quiosco pero regar el jardín
Evaluando, a partir de valores de 46.23° el rociador hace su trabajo bien.
Para usarlo en notación de Matlab la función pasa a ser:
100*sin(2*x)/9,81
Para hallar una de sus raíces pasamos a hacer métodos numéricos, el intervalo
elegido es de -1 a 1
Método de la bisección
Soluciónn
c= 0.99805
Iteraciones: 10
Error= 0.00195
Método de la falsa posición
c= 0.00000
Iteraciones: 10
error= 0.50000
Método de Newton rapson
Iterac.
Raiz
Error
1
2.09252
0.522107
2
1.23395
0.695794
3
1.63309
0.244411
4
1.57047
0.0398741
5
1.5708
0.000206501
6
1.5708
2.89698e-11
7
1.5708
0
8
1.5708
0
9
1.5708
0
10
1.5708
0
Encontramos que solo con el método de la falsa posición llegamos al resultado
más preciso, el método N-R otra vez nos da más error
5) Mecánica celeste
Tema del libro de hibbeler de dinámica
Una muy buena aproximación a la gravitación real de universo es la ley de
gravitación de newton, para exploraciones espaciales la NASA y SpaceX aún usa
esta ley para calcular la fuerza que ejerce la tierra en sus satélites. La ecuación es
la siguiente
𝐹 = 𝐺. 𝑀. 𝑚. 𝑢2
Donde:
 M es la masa de la tierra
 m es la masa del vehículo
 u es la inversa de la distancia del centro de la tierra al vehículo
Con un poco de análisis nos damos cuenta que las única variables son la
fuerza ejercida por la tierra y la masa del vehículo (por que va perdiendo su
combustible)
El lanzamiento del primer Falcon Heavy de la empresa espacial privada SpaceX
tuvo lugar el 6 de febrero de 2018. Este pesaba 22.800 kg, en cierto punto se
despoja de ambos de sus propulsores, aún mantiene su fuerza de 934kN para
contrarrestar la fuerza ejercida por la tierra pero no se sabe su masa
Para hallar su masa se debe despejar de tal manera que necesitemos hallar una
raíz para 0
0 = 𝐺. 𝑀. 𝑚. 𝑢2 − 𝐹
𝐶𝑜𝑛 𝐺 = 6.674 ∗ 10^ − 11𝑁. 𝑚2/𝐾𝑔2
𝑀 = 5.972 × 10^24 𝑘𝑔
𝑚 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑢 = (200𝑘𝑚) − ^1
𝐹 = 934kN
La ecuación para ser usada en Matlab sería:
6.674*10^-11*5.972*10^24*x*200^-2-934
Para hallar una de sus raíces pasamos a hacer métodos numéricos, el intervalo
elegido es de -1 a 2
Método de la bisección
Método de la falsa posición
6) Tasa de crecimiento poblacional total de Huánuco
por la INEI
INEI instituto nacional de estadística e informática, lista de datos demográficos
en su página oficial https://www.inei.gob.pe/
El INEI evaluó el crecimiento poblacional en Huánuco con datos de las
poblaciones en 2017 y 2014, por el transcurso de 7 años.
𝑃𝑡 = 𝑃0 ( 1 + 𝑟 )𝑡
Donde
𝑃𝑡 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑃0 = 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
En la ciudad de Huánuco
P0 = 762.223 población en 2007
P25 = 854.234 población en 2014
t = 7 años
854.234 = 762.223 ( 1 + 𝑟 )7
Su notación para Matlab es 762.223*(1+x)^7-854.234
Método de bisección
Solución:
c=-0.03125
f(c)=-243.90493
Error= 0.09375
Método de falsa posición
Solución:
c=-1.74963
f(c)=-955.62532
error= 1.38882
Método de newton rapson
Y nos da el siguiente cuadro
Rpta 0.016435
7) Rendimiento de plantación de arboles
Ejercicios resueltos de rendimientos pdf de la universidad de piura UDEP
Colección de ejercicios de matemática aplicada a la biología de la universidad de
Sevilla de España
El rendimiento de una determinada plantación de árboles viene dado por
𝑥2 − 8
𝑓(𝑥) =
𝑥4
Donde x es la distancia en metros entre los distintos árboles. Si se necesita saber
una distancia óptima para producir un rendimiento valuado en 1, se hace de la
siguiente manera.
Se puede realizar en cálculo con cualquiera de los tres métodos ahora
estudiados
La ecuación en Matlab debe representarse así:
(x^2-8)/x^4
Se define el intervalo de 0 a 2
Método de bisección
Solución:
c= 1.99805
f(c)=-0.25147
error= 0.00195
ojo que dio un valor muy acercado a 2
Método de falsa posición
Si da error y en el método de bisección solo se acerca a 2 cada vez máses porque
esta punción es creciente a la derecha y tendiente a 0.
Método de Newton rapson
Comprobamos que esta ecuación fue un fiasco por parte de
8) Piscigranja
Modificado ejercicio encontrado en la siguiente página
http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/ColeccionEjercicios.pdf
El dueño de una piscigranja entre Utau y Huarapa se dio cuenta que luego de
ponen a cierta cantidad en una piscina y luego el doble en la otra para luego de
un tiempo ver que casi eran las mismas, le pidió ayuda a su sobrina que sabía
métodos numéricos esta ha determinado que si llena una cierta cantidad x en
decenas de peces en una sola piscina entonces, al cabo de un mes tendrá
aproximadamente
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑐𝑒𝑠 = 𝑓(𝑥) = 9𝑥
1
2𝑥 + 4
Por la pendiente muy pequeña no se puede ver su comportamiento con
métodos visuales, esto porque el “Y” varía muy poco cuando el “x” varía mucho
Ahora con la ecuación definida, se dispone a usar los métodos de bisección, falsa
posición o N-R para evaluar en los siguientes valores
Piscigranja 1: 50 peces
Piscigranja 2: 70 peces
La ecuación en notación para Matlab es: 9x+1/(2x+4)
Para la piscigranja 1 se usa 9*x+1/(2*x-4)-50
Para la piscigranja 2 se usa: 9*x+1/(2*x-4)-70
Método de falsa posición piscigranja 1
Usando como valores iniciales 5 y 6 y 6 y 8 con 10 iteraciones tenemos:
Método de bisección piscigranja 2
Por lo que se ve, conviene más usar 70 peces.
9) Carne artificial
Carne in vitro: la empresa que produce pollo sin matar un solo animal
https://www.bbc.com/mundo/noticias-45897953
Empresa de cultivo de carnes y mariscos JUST https://www.ju.st/en-us/stories/clean-meat
El cultivo de carne de pollo artificial de la empresa “Just” tiene el crecimiento
volumétrico medido simplificadamente con la siguiente formula
𝑡
𝐶𝑡 = 10 ∗ 1.22−24 − 0.0667
Con t midiendo al cabo de horas
Partiendo de 0.06m3 para que empiece a crecer
Se necesita saber cuánto tiempo tardaría en hacer 1m3
Para ello en la ecuación se despeja 𝐶𝑡 para hacer una función que relacione
ambas variables.
𝑡
𝑓(𝑡 ) = 10 ∗ 1.22−24 − 0.0667 − 𝐶𝑡
Y se procede a resolver por métodos numéricos con la ayuda de Matlab
poniendo a Ct como constante igual a 1m3
La ecuación en notación de Matlab sería: 10*(1.2)^(t/2-24)-0.0667-1
Por métodos numéricos establecemos como valores iniciales el 20 y 30
Método de bisección
Solución:
c=23.44727
f(c)=-0.00025
error= 0.00977
Método de falsa posición
Solución:
c=23.44979
f(c)=-0.00000
error= 3.27511
10)
Estado de los gases y líquidos reales
Información sobre la ecuación de los gases y líquidos reales de van der waals
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Van_der_Waals
En 1873 s Johannes Diderik van der Waals (1837—1923) fue el primero en darse
cuenta de la necesidad de tomar en consideración el volumen de las moléculas y
las fuerzas intermoleculares para la correcta descripción del estado de los gases
y líquidos reales
La fórmula que lo describía es esta.
(𝑝 +
𝐴
𝑣2
) (𝑉 − 𝑏 ) = 𝑅𝑇
Donde:
p es la presión del fluido en atm
R es la constante universal de los gases ideales
T es la temperatura, en kelvin.
V es el volumen molar del gas
A, b son constantes particulares por cada gas
Por un ejemplo, el gas de CO2 tiene las siguientes constantes:
𝑎 = 3.599
𝑏 = 0.04267
La ecuación de van der Waals también se puede escribir de la siguiente
manera
𝐹 (𝑣) = 𝑃𝑉 3 − (𝑃. 𝑏 + 𝑅. 𝑇 )𝑣 2 − 𝑎. 𝑉 − 𝑎. 𝑏 = 0
Para hallar el V del CO2 se puede usar el método de falsa posición,
bisección o NR
Para esto, se reemplazan los valores y se mete al código hecho en Matlab
Donde T es la temperatura en Huánuco 294.15 kelvin, R toma el valor de
62.36367, P es la presión de 1 atm por encontrarse el CO2 estudiado al
aire libre y las constantes “a” y “b” tomarían los valores ya precisados.
𝐹 (𝑣) = 1 ∗ 𝑉 3 − (1 ∗ 0.04267 + 62.36367 ∗ 294.15)𝑣 2 − 3.599 ∗ 𝑉
− 3.599 ∗ 0.04267 = 0
La notación de la función para Matlab sería:
(x)^3-(18344.3162005)* x^2-3.599*x-3.599*0.04267
Por métodos numéricos establecemos los valores iniciales de 18mil a
19mil
Método de bisección
Solución:
c=18344.32983
f(c)=4521842.92269
error= 0.03052
Método de Newton rapson
Nos da el siguiente cuadro
En ambos métodos el resultado es el mismo.
11)
Volumen molar del óxido nítrico
Solucionario del libro de métodos numéricos para ingenierías Chapra
Este se forma naturalmente con oxígeno y nitrógeno en el ambiente, después se
puede convertir en acido produciendo así la lluvia acida. También es en parte
responsable del agujero de la capa de ozono, para hallar su volumen molar, se
debe seguir la siguiente ecuación.
𝐹 (𝑣) = 𝑃𝑉 3 − (𝑃. 𝑏 + 𝑅. 𝑇 )𝑣 2 − 𝑎. 𝑉 − 𝑎. 𝑏 = 0
Donde:
p es la presión del fluido en atm
R es la constante universal de los gases ideales
T es la temperatura, en kelvin.
V es el volumen molar del gas
A, b son constantes particulares por cada gas
Por un ejemplo, el gas de CO2 tiene las siguientes constantes:
𝑎 = 1.34
𝑏 = 0.02789
Para hallar el Volumen molar del NO se puede usar el método de falsa
posición, bisección o NR
Para esto, se reemplazan los valores y se mete al código hecho en Matlab
Donde T es la temperatura en Huánuco 294.15 kelvin, R toma el valor de
62.36367 siempre, P es la presión de 1 atm por encontrarse el gas
estudiado al aire libre y las constantes “a” y “b” tomarían los valores ya
precisados.
𝐹 (𝑣) = 1 ∗ 𝑉 3 − (1 ∗ 0.02789 + 62.36367 ∗ 294.15)𝑣 2 − 1.34 ∗ 𝑉
− 1.34 ∗ 0.02789 = 0
La notación de la función para Matlab sería:
1*x^3-(1*0.02789+62.36367*294.15) *x^2-1.34*x-1.34*0.02789
Se toma de 18mil a 20mil y con N-R se toma 19mil
Método de falsa posición
Solución:
c=18344.30149
f(c)=-0.12208
error=827.84925
Método de newton Rapson
Tenemos el siguiente cuadro de resultado
13) He
Solucionario del libro de métodos numéricos para ingenierías Chapra
También podemos hallar el volumen molar de otros gases, como en este caso el
del helio. Su descubrimiento se dio durante un eclipse solar en 1868. El
astrónomo francés Pierre Janssen observó una línea espectral amarilla en la luz
solar que hasta ese momento era desconocida. Norman Lockyer observó el
mismo eclipse y propuso que dicha línea era producida por un nuevo elemento,
al cual llamó helio
Se usa la misma ecuación que la anterior
𝐹 (𝑣) = 𝑃𝑉 3 − (𝑃. 𝑏 + 𝑅. 𝑇 )𝑣 2 − 𝑎. 𝑉 − 𝑎. 𝑏 = 0
Donde:
p es la presión del fluido en atm
R es la constante universal de los gases ideales
T es la temperatura, en kelvin.
V es el volumen molar del gas
A, b son constantes particulares por cada gas
El helio tiene como constantes:
𝑎 = 0.03412
𝑏 = 0.02370
Para esto, se reemplazan los valores y se mete al código hecho en Matlab
Donde T es la temperatura en Huánuco 294.15 kelvin, R toma el valor de
62.36367 siempre, P es la presión de 1 atm por encontrarse el gas
estudiado al aire libre y las constantes “a” y “b” tomarían los valores ya
precisados.
𝐹 (𝑣) = 1 ∗ 𝑉 3 − (1 ∗ 0.02370 + 62.36367 ∗ 294.15)𝑣 2 − 0.03412 ∗ 𝑉
− 0.03412 ∗ 0.02370 = 0
En sí, poniendo en el graficador las escalas de x e y iguales, se obtiene esta
gráfica
Que es muy complicado de entender con métodos visuales, por lo que se pasa a
usar métodos como la bisección o la falsa posición para encontrar
aproximaciones más precisas.
La notación de la función para ser usada en Matlab es la siguiente
1*x^3-(1*0.02370+62.36367*294.15)*x^2-0.03412*x-0.03412*0.02370
Método de biseccion
Solución:
c=18344.26880
f(c)=-9568230.29593
error= 0.03052
Método de newton Rapson
Tenemos el siguiente cuadro de resultado
En fin, comparando con los resultados pasados, son muy parecidos pero están
bien. Por eso hice con distintos métodos entre los dos para verificar
14) Insectos
http://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/ColeccionEjercicios.pdf
La población de cierta especie de insectos en miles ha crecido de la siguiente
forma tras la eclosión de huevos puestos
𝑃(𝑡 ) = 𝑡 2 𝑒 −𝑎𝑡
Donde
T es siempre positivo y es el tiempo en meses desde el punto de eclosión.
A es una constante con valor 0.36
Se quiere saber en cuánto tiempo se encontrará una población de 4mil
individuos
En 5 meses su población es casi máxima, luego por cuestiones de supervivencia
esa generación de insectos va disminuyendo, hasta tender a 0
Para facilitar el cálculo, se van a usar métodos numéricos.
La ecuación se despeja para ser:
𝑃(𝑡 ) = 𝑥^2 ∗ 𝑒^(−0.36𝑥) − 4
Vemos que directamente la curva se ha desplazado hacia abajo y ahora la raíz
será cuando esta toque el eje x
La función a usarse en Matlab será la siguiente
(x^2)*2.71828^(-0.36*x)-4
Método de bisección
Se toman como valores iniciales el 3 y el 5
Solución:
c= 4.47852
f(c)= 0.00010
error= 0.00195
15) Vertedor con contracciones
Manual de prácticas del laboratorio de 42idráulica en la universidad nacional de
Colombia UNAL http://bdigital.unal.edu.co/12697/31/3353962.2005.Parte%206.pdf
En 1848 Francis hizo una fórmula que después llevaría su nombre
La fórmula de Francis para el caudal en este tipo de vertederos es la
siguiente:
𝑄 = 3.33(𝐵 − 0.2𝐻)(𝐻3 )1/2
Donde
Q= cantidad de agua que pasa por el vertedero en pies3/s
B=ancho de vertedero en pies
H=carga sobre la cresta del vertedor en pies
Con un vertedero de 3 pies de ancho y con un caudal de 8 pies cúbicos pos
segundo, se tiene la siguiente formula
8 = 3.33(3 − 0.2 ∗ 𝐻)𝐻3/2
Despejando para hacer la función
3
𝐹 (𝐻) = 3.33(3 − 0.2 ∗ 𝐻)𝐻 2 − 8
Vemos que en y la función no está definida
Ahora hallamos la raíz con los 3 métodos del trabajo. La notación para ser usada
en Matlab es:
3.33*(3-0.2*x)*x^(3/2)-8
Método de falsa posición:
Se usan como valores iniciales 10 y 20
Solución:
c=14.78841
f(c)= 0.01390
error= 2.60611
16) Sin raiz
Ley de la termodinámica formula encontrada en wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Tercer_principio_de_la_termodin%C3%A1mica#Descripci%C3%B3n
Walther Nernst fue el autor del tercer principio de la termodinámica o tercera
ley de la termodinámica, más adecuadamente Postulado de Nernst afirma que
no se puede alcanzar el cero absoluto en un número finito de etapas. La
ecuación que desarrolló durante los años 1906-1912 dicta:
𝑆 − 𝑆0 = 𝑘𝑏 . 𝑙𝑛
Δs = 𝑘𝑏 . 𝑙𝑛
Donde:
S es la entropía,
kB es la constante de Boltzmann
 es el número de micro estados consistentes con la configuración
macroscópica.
Pasando a buscar la raíz, para que 𝑆 − 𝑆0 sea 0, la gráfica debería tocar al eje y
alguna vez con un  entero.
Suponiendo que la entropía al ser la medida de desorden de un sistema, no es
fácilmente manipulable por los hombres por lo que en nuestra consideración s y
s0 son constantes al igual que kb
Para su análisis por métodos numéricos se despeja la variación de entropía
𝑓() = 𝑘𝑏 . 𝑙𝑛 − Δs
Antes, con un análisis de la función valoramos las funciones de las constantes 𝑘𝑏
y Δs.
El Δs solo desplaza el Y de la gráfica
El Kb estira la gráfica en dirección del eje y
Ninguno de los dos podría hacer que la gráfica alcance otros valores de x, o sea
el rango de la función permanece invariable. Como solo nos importa el “x” y la
forma de la gráfica para entender la afirmación de Walther Nernst, podemos
eliminar las constantes, solo con intención de análisis.
Por lo que se puede trabajar con 0=ln(x)
Pero queremos evaluar la raíz en el otro eje por que nuestra función evaluada
sería
𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥
La función en lenguaje de Matlab es la siguiente:
2.71828^x
Método de Newton rapson
Nos da el siguiente cuadro de resultado
Se acerca a una de los valores iniciales. Comprobamos con otro método por si
acaso
Método de bisección
Ojo que se acerca demasiado a uno de los valores iniciales. Quiere decir que es
una función creciente a la derecha que tiende a cero por la izquierda.
Por lo que se comprueba que no se puede alcanzar el cero absoluto en un
número finito de etapas. Como dijo Walther Nernst
17) Velocidades en formas espirales
Una partícula se mueve a lo largo de la espiral mostrada. Sabiendo que  es
cte. y denotando esta cte. por w determine la magnitud de la aceleración de la
partícula en términos de b, θ y w.

θ̇es cte e igual a W …..(a)
Integrando (a)
𝜃 = 𝑤𝑡
Derivando (a)
θ̈ = 0
 De la ecuación:
𝑟=
𝑟=
𝑏
θ2
𝑏 −2
𝑡
𝑤2
𝑏 −3
𝑡
w2
𝑏
𝑟̈ = 6 2 𝑡 −4
𝑤
𝑟̇ = −2
 Ya tenemos r, θ con sus respectivas derivadas, Ahora calcular con
las formulas cada componente de la aceleración
𝑎⃗ = 𝑎⃗θ + 𝑎⃗r
𝑎θ = 𝑟θ̈ + 2𝑟̇ θ̇
𝑎r = 𝑟̈ − r θ̇2
 Reemplazando:
𝑎θ =
𝑎θ =
𝑎r =
−4𝑏
𝑤𝑡 3
𝑏 −4
( )
𝑡 2 𝑤𝑡
𝑏 6
(
− 1)
𝑡 2 𝑤𝑡 2
 Entonces, el módulo de la aceleración es:
𝑎 = √𝑎θ 2 + 𝑎r 2
2
𝑏
−4 2
6
𝑎 = 2 √( ) + ( 2 − 1)
𝑡
𝑤𝑡
𝑤𝑡
𝑎=
𝑏
√15𝑤 2 𝑡 2 + 6
𝑤 2𝑡 4
Luego con esta fórmula para aceleración, se puede calcular cualquier aceleración
dados los datos
b=3
W=1.34rad/s2
A=3.224rad/s2
Luego se despeja la ecuación para evaluarlo con métodos numéricos.
𝐹 (𝑡 ) =
𝑏
√15𝑤 2 𝑡 2 + 6 − 𝑎
𝑤 2𝑡 4
Reemplazando:
𝐹 (𝑡 ) =
3
√15 ∗ 1.342 ∗ 𝑡 2 + 6 − 3.224
1.34 ∗ 𝑡 4
La ecuación en Matlab sería:
3*(15*1.34^2*x^2-6)^(1/2)/1.34*x^4-3.224
Procedemos con los métodos numéricos.
Método de bisección
Se toman como base los valores iniciales de 0 y 1
Solución:
c= 0.80762
f(c)= 0.01537
error= 0.00098
18) Motores
Pregunta de aplicaciones de movimientos del libro de mecánica hibbeler
Un motor de par variable da a un disco una aceleración angular de
𝜔
𝛼 = ( − 8)2 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔2
16
Determinar:
a. El tiempo que tarda el motor en hacer dar 50 revoluciones al disco.
b. La velocidad angular del disco al cabo de 50 revoluciones
Se desarrolla como un problema normal.
Como a relación no está con respecto al tiempo, debemos llevarla a esa
situación.
Seguimos la fórmula:
𝛼=
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝜔
𝑑𝜔
𝛼 = ( − 8)2 =
16
𝑑𝑡
𝑑𝜔 (𝜔 − 128)2
=
𝑑𝑡
256
256𝑑𝜔
= 𝑑𝑡
(𝜔 − 128)2
∫
256𝑑𝜔
= ∫ 𝑑𝑡
(𝜔 − 128)2
𝑐−
256
=𝑡
(𝜔 − 128)1
Pero cuando t = 0, ω = 0, θ = 0
𝑐+2=0
𝑐 = −2
Entonces:
2−
256
=𝑡
(𝜔 − 128)1
Despejando 
256
𝜔 = 128 − 𝑡+2 ;
Que vamos a utilizar para hallar la parte b. y su gráfica es:
Ilustración 1: y=128-256/(x+2)
Recordemos que como el tiempo solo puede ser positivo, se trabaja en el I y IV
cuadrante
Segunda ecuación
𝜔=
𝜔=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝜃
256
= 128 −
𝑑𝑡
𝑡+2
𝑑𝜃 = (128 −
256
) 𝑑𝑡
𝑡+2
∫ 𝑑𝜃 = ∫ (128 −
256
) 𝑑𝑡
𝑡+2
Integrando
𝜃 = 128𝑡 − 256 ln(𝑡 + 2) + 𝑐
Pero cuando t = 0, ω = 0, θ = 0
−256 ln(2) + 𝑐 = 0
𝑐 = 177.4457
𝜃 = 128𝑡 − 256 ln(𝑡 + 2) + 177.4457; Que es la ecuación de la posición en
radianes en un tiempo t y su gráfica es:
Ilustración 2: θ=128t-256 ln (t+2)+177.4457;
a) El tiempo que tarda el motor en hacer dar 50 revoluciones al disco
1𝑟𝑒𝑣 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
50𝑟𝑒𝑣 = 100𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝜃𝑓
𝜃𝑓 = 100𝜋 = 128𝑡 − 256 ln(𝑡 + 2) + 177.4457
0 = 128𝑥 − 256𝑙𝑛(𝑥 + 2) − 100 ∗ 3.1416 + 177.4457
Esta es una ecuación que no es fácil de resolver. Por lo que se recurre a métodos
numéricos.
Ilustración 3: y=128x-256ln(x+2)-100*3.1416+177.4457
La notación para Matlab es: y=128*x-256*log(x+2)-100*3.1416+177.4457
Método de falsa posición:
Se usan los valores iniciales de 0 a 10
Solución:
c= 4.94377
f(c)=-0.00000
error= 2.52811
Entonces:
𝑡 = 4.9437 … 𝑅𝑝𝑡𝑎
19) Crecimiento de especies
Facultad de ciencias agropecuarias de argentina FCA
http://www.fca.uner.edu.ar/files/academica/deptos/catedras/WEBFV_2010/mat_did/UT7.pdf
Una descripción muy aproximada para analizar el crecimiento de ciertas plantas,
de su comportamiento es la función sigmoide según hunt
𝒉𝒕 = 𝒂𝟎 +
𝑩
𝟏 + 𝒆−𝒕+𝒄
 B es el tamaño promedio que alcanza la especie de planta
 a0 y c es una constante propia de la especie de planta
como ya explicamos, si h0 sería nulo y la altura promedio de la especie es 1m,
el gráfico es simple

Como se ve, a lo máximo que puede crecer la función es 1 y lo mínimo es 0
Pero las cosas se complican con el uso de una a inicial constante, aplicándola
ecuación a un árbol con B=5 y a0=0.7 y c=7, la fórmula se complica y se
procede a utilizar el método de bisección o falsa posición
𝒉𝒕 = −𝟎. 𝟕 +
𝟓
𝟏 + 𝒆−𝒕+𝟕
No es posible un resultado exacto con el método gráfico, como se puede ver
Con ayuda evaluamos esto en códigos de bisección y falsa posición en
Matlab, es importante que en la notación, no se escriba el número de Euler
como e, sino como 2.71828. Tuvimos problemas de error por ese
desconocimiento.
Ecuación en notación para Matlab: -0.7+5/(1+ 2.71828^(-t+7) )
Se definieron como límites el 4 y el 6 por el método gráfico tanto para el
método de la bisección como el método de la falsa posición.
Método de bisección:
Solución:
c= 5.18555
f(c)= 0.00050
error= 0.00195
Método de falsa posición:
Solución:
c= 5.18471
f(c)=-0.00000
error= 0.40765
20) Mecanismo de retorno rápido de whitworth
Libro mecánica vectorial para ingenieros Beer & jonsthon 10ma edición.
Apartado de preguntas de repaso y su respectivo solucionario.
En el mecanismo de retorno rápido de whitworth utilizado en herramientas de
maquinado para realizar cortes sobre una pieza., su comportamiento es definido
luego de realizar los cálculos por las siguientes ecuaciones:
𝑑𝑒 − 90 ≤  < 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑑𝑒 − 90 ≤  < 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 90 <  < 270 𝑦 𝑑𝑒 − 90 ≤  < 90
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 180
𝑙𝑐𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 270 <  < 360 𝑦 𝑑𝑒 − 90 <  ≤ 0
 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑙𝑠𝑒𝑛 − 𝑏
) + 360
𝑙𝑐𝑜𝑠
Ferdinand P. Beer en su libro de mecánica vectorial propone hallar la posición 
con los siguientes datos 𝑙 = 4𝑝𝑢𝑙𝑔,  = 6.31𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑏 = 2.1𝑝𝑢𝑙𝑔
6.31 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
4𝑠𝑒𝑛 − 2.1
) + 2
4𝑐𝑜𝑠
Para usarlo en notación de Matlab la función pasa a ser:
atan((4*sin(x)-2.1)/4*cos(x))+2*3.1416-6.31
Trataremos de encontrar una de sus raices
Método de newton rapson
Comenzamos con el valor de0, tratando de buscar un valor cercano a 1
Nos da el siguiente cuadro de resultado
Que parece que no es raíz, por el gráfico visual, pero sí
Porque el método newton rapson es un método abierto y elige la primera raíz
que encuentra, buscamos otra raíz con el método má seguro, el de bisección
Método de bisección
Buscamos la raíz entre 0 y 1
Solución:
c= 0.59082
f(c)=-0.00020
error= 0.00098
que son los valores que necesitamos
Códigos generales usados en el trabajo en el programa
de métodos numéricos Matlab
Bisección:
format long;
a=input('Introduzca el valor de a: ');
b=input('Introduzca el valor de b: ');
cont=input('Introduzca el número de iteraciones cont: ');
fun=input('Introduzcal a funcion f(x)=','s');
f=inline(fun);
for k=1:cont
c=(a+b)/2;
e=abs(b-a)/2;
A(k,:)=[k a b c f(c) e];
if f(a)*f(c)<0
b=c;
else
a=c;
end
end
fprintf('\n \tk \ta \tb \tc \tf(c) \terror \n')
disp(A)
fprintf('Solución:\n c=%8.5f\n',c)
fprintf('f(c)=%8.5f\n',f(c))
fprintf('error=%8.5f\n',e)
Falsa posición
clear all
format long;
a=input('Introduzca el valor de a: ');
b=input('Introduzca el valor de b: ');
cont=input('Introduzca el número de iteraciones cont: ');
fun=input('Introduzcal a funcion f(x)=','s');
f=inline(fun);
for k=1:cont
c=b-((a-b)*f(b))/(f(a)-f(b));
e=abs((b-a)/2);
A(k,:)=[k a b c f(c) e];
if f(a)*f(c)<0
b=c;
else
a=c;
end
end
fprintf('\n \tk \ta \tb \tc \tf(c) \terror \n')
disp(A)
fprintf('Solución:\n c=%8.5f\n',c)
fprintf('f(c)=%8.5f\n',f(c))
fprintf('error=%8.5f\n',e)
Newton-Rapson
clear all
disp ('NEWTON-RAPHSON');
fprintf('\nPROBAR CON LA FUNCION f(x)=exp(-x)-x\n')
fprintf('xo=1, n=10\n\n')
xo=input('Introduza el valor inicial xo:');
n=input('Introduzca el número de iteraciones n:');
fun=input('Introduzca la función f(x)=','s');
f=inline(fun);
dxf=diff(sym(fun));
dx=inline(dxf);
salida=ones(n,3);
for i=1:n
x1=xo-(f(xo)/dx(xo));
vsal=[xo;x1];
error=abs((x1-xo)/x1);
xo=x1;
salida(i,1)=i;
salida(i,2)=x1;
salida(i,3)=error;
end
disp('Iterac. Raiz
Error');
disp(num2str(salida));