FORMULAS EN FISICA

Fórmulas en Física:
principios y ecuaciones básicas
Dr. José Antonio Ruz Hernández
Rector
Lic.Javier Zamora Hernández
Secretario General
Dr. José Luis Rullán Lara
Secretario Académico
LCC. Joel Adir Acuña Gálvez
Director General de Extensión Universitaria
Fórmulas en Física:
principios y ecuaciones básicas
Celia Escamilla-Rivera
Primera edición 2018
Fórmulas en Física:
principios y ecuaciones básicas
Celia Escamilla-Rivera
© D.R. Universidad Autónoma del Carmen
Av. Concordia, Calle 56 N°4, C.P. 24180
Ciudad del Carmen, Campeche, México
Teléfono: 01 (938) 38 110 18
ISBN: 978-607-7826-50-7
Coordinación editorial
Ana Isabel Polkey Gomez
Diseño y diagramación
Cecilia Martínez Macias
Corrección y revisión de estilo
Eduardo Martínez Hernández
Fórmulas en Física:
principios y ecuaciones básicas
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Estimado lector:
Este manuscrito contiene alrededor de 98 páginas, las cuales contienen un compendio de las fórmulas
más requeridas en la Fı́sica. Ası́ mismo, este ejemplar está escrito a nivel de licenciatura y posgrado,
usando la literatura básica empleada en los diferentes campos de la Fı́sica. Su finalidad es el de ser
una breve referencia para cualquiera que trabaje en la diversas áreas de esta ciencia, ası́ mismo el de
ubicar con rapidez y facilidad las principales ecuaciones que forman la columna vertebral de la Fı́sica.
En este ejemplar, además de encontrar las fórmulas básicas, podrá revisar ejercicios resueltos en cada
bloque.
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Sobre la autora
Celia del Carmen Escamilla Rivera es originaria de Ciudad del Carmen, Campeche. Licenciada y
Maestra en Fı́sica por la Universidad de Guanajuato. Es Doctor en Ciencia, Tecnologı́a y Observación
Espacial por la Universidad del Paı́s Vasco (España) en colaboración con la University of Oxford
(Reino Unido) y cuenta con dos postdoctorados realizados en la Universidad de Nottingham (Reino
Unido) y la Universidad Federal Espirito Santo (Brasil).
Ha sido autora de numerosas publicaciones internacionales en sus áreas de investigación como el
estudio de la cosmologı́a teórica y observacional, el desarrollo de la cosmo-estadı́stica numérica y la
energı́a oscura.
Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores Nivel 1, del Sistema Estatal (Chiapas) de Investigadores Nivel 2, del Instituto Avanzado de Cosmologı́a y de la Sociedad Mexicana de Fı́sica. A nivel
internacional, es miembro de la Red Temática de Relatividad y Gravitación Española.
En su estado natal recibe dos preseas: el Premio Estatal de la Juventud Edición Bicentenario y el
Reconocimiento Mujer Extraordinaria por la Unión Femenina Iberoamericana.
Actualmente es Profesora Investigadora en el Mesoamerican Centre for Theoretical Physics (MCTPICTP).
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
A mis padres y hermana
Y a todos los futuros fı́sicos en búsqueda del entendimiento de la naturaleza
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Prefacio
La primer pregunta que alguien puede formularse ante la aparición de un nuevo libro sobre ecuaciones en física es
justamente ¿por qué un nuevo libro sobre este tema habiendo tantos? Estas breves líneas están dirigidas a contestar
esta pregunta.
Una buena mayoría de los libros que se refieren a este tema son verdaderos compendios, tratados muy completos
y complejos, de gran utilidad como textos de enseñanza, pero que tal vez no sean lo más apropiado para que un
estudiante de ciencias físicas tome contacto como una primera vez con el tema. Es por ello que, ástas Fórmulas
en Física: principios y ecuaciones básicas se basan en un enfoque completamente distinto. Este manuscrito es el
resultado de apuntes de clase (mejorados), sus bloques se restringen a los de un curso general en cada materia, pero
al mismo tiempo provee lo necesario para que el futuro físico profesional lo utilice en su trabajo.
Lo que el lector podrá encontrar en las siguientes páginas es un libro dedicado a las ecuaciones más bellas e importantes de la Física. Es un formulario pensado para quienes han visto todas éstas ecuaciones o han oído mencionarlas
como un ejemplo de elegancia o belleza con el fin de explicar el comportamiento de la naturaleza. Mi intención es
que, si estás estudiando una licenciatura o posgrado en éstas áreas, puedas adquirir una rápida destreza en cuando
al manejo de las ecuaciones y operaciones que éstas involucran, al menos sabiendo qué significa conceptualmente
cada una de las ecuaciones, qué consecuencias tienen y cómo describen el mundo que vemos a nuestro alrededor.
Digamos que este libro es un “directo al grano” de las ecuaciones.
Además, intentaré resarcir a quienes –como yo misma– estudiaron las ecuaciones pero sin que se les explicáse antes,
cualitativamente, qué significan cada una antes de ponerse a hacer problemas con ellas y a ejecutar operaciones
abstractas. Estoy segura de que hay gente que las explica como debe, pero también hay quien no lo hace, de modo
que si esto sirve para que quienes estudien esta ciencia tengan a su alcance un breve pero completo formulario.
La estructura de este libro esta dividida en 8 bloques de estudio: en primer lugar veremos el desarrollo de las ecuaciones
en la Mecánica Clásica, todo esto desde el punto de vista analítico así como en su notación tensorial. Pasaremos a
continuación al estudio de la ecuación de onda y algunos ejemplos. Introduciremos las diversas ramas de la electricidad
y el magnetismo, así como la unificación de ambas fuerzas. Pasaremos al estudio de la luz en el bloque 4, donde
analizaremos diferentes fenómenos. Luego expondremos las bases de la Termodinámica Clásica. Una vez adquiridas
las herramientas para la termodinámica, entraremos en materia de la Mecánica Estadística, donde se calcularán
las diferentes funciones de distribución de un sistema. Con el bloque 7 iniciaremos el estudio a pequeñas escalas,
la Física Cuántica. Detallaremos los fenómenos usuales en ésta área así como la famosa ecuación de Schrödinger.
Cerraremos este bloque con una introducción a la teoría de perturbaciones. Los dos últimos bloques de este libro
estarán dedicados al estudio del cosmos. Veremos las ecuaciones de la Relatividad Especial y General de Einstein,
y las ecuaciones que rigen el universo.
A pesar de que no se expone ampliamente todos los conceptos físicos de cada tema, es importante mencionar que el
propósito de este libro es para que el lector acuda a buscar de manera rápida una ecuación específica y sus respectivas
soluciones. Cada una de éstas ecuaciones poseen notaciones especiales dadas en operaciones como rotacionales,
divergencias, etcétera, por ello podemos encontrar en los apéndices las herramientas necesarias para ejecutar los
cálculos. El primer apéndice muestra todas las constantes de la física (hasta la actualidad). El segundo apéndice contiene
las unidades
y extras)
en el Sistema
Internacional
Finalmente,
en el tercer
apéndice se desarrollan las
(básicas
y extras)(básicas
en el Sistema
Internacional
(SI).
Finalmente,(SI).
en el
tercer apéndice
se desarrollan
diferentesexpresiones
expresionesque
quetiene
tieneeleloperador
operador denominado
denominado nabla
nabla (∇) en
las diferentes
en tres
trescoordenadas
coordenadasespaciales.
espaciales.
Invito al lector a disfrutar cada uno de los bloques con la finalidad de ampliar su manejo en las ecuaciones más
Invito al lector a disfrutar cada uno de los bloques con la finalidad de ampliar su manejo en las ecuaimportantes de esta ciencia. Tal vez no hace falta conocimientos matemáticos profundos, pero sí le será necesario
ciones más importantes de esta ciencia. Tal vez no hace falta conocimientos matemáticos profundos,
razonar con cuidado, leer cada bloque más de una vez y probablemente dedicarle más tiempo a los conceptos
pero sı́ le será necesario razonar con cuidado, leer cada bloque más de una vez y probablemente dediabstractos hasta someterlos a su voluntad. Paciencia y empecemos. . .
carle más tiempo a los conceptos abstractos hasta someterlos a su voluntad. Paciencia y empecemos. . .
México, Febrero de 2018.
México, Febrero de 2018.
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Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Indice
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Prefacio
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Bloque 1: Mecánica
1.1 Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definiciones de cantidades clásicas . . . . . .
1.1.2 Las coordenadas polares . . . . . . . . . . . .
1.1.3 El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Fuerza, momento y energı́a . . . . . . . . . .
1.2.2 Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Las ecuaciones de la órbita . . . . . . . . . .
1.2.5 Las ecuaciones de Kepler . . . . . . . . . . .
1.2.6 El teorema del Virial . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dinámica de un sistema de referencia en movimiento
1.3.1 Fuerzas aparentes . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Notación tensorial . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dinámica de una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 El centro de masa . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Dinámica del cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Ejes principales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Dependencia temporal . . . . . . . . . . . . .
1.6 Mecánica de Hamilton-Lagrange . . . . . . . . . . .
1.6.1 Cálculo variacional . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Mecánica de Hamilton . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Movimiento en equilibrio . . . . . . . . . . .
1.6.4 Espacio fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.5 Funciones generatrices . . . . . . . . . . . . .
1.7 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bloque 2: Ondas y Oscilaciones
2.1 El oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mecánica oscilatoria . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Oscilaciones en sistemas eléctricos . . . . . . . . .
2.4 Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Acoplación de conductores y transformadores . . .
2.6 Ejemplos de péndulos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 La ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Ondas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Ondas cilı́ndricas . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Solución general en una dimensión . . . . .
2.9 El método de onda estacionaria . . . . . . . . . . .
2.10 Funciones de Green y el problema del valor inicial
2.11 Guı́a de ondas y cavidades resonantes . . . . . . .
2.12 La ecuación de onda no lineal . . . . . . . . . . . .
2.13 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Bloque 3: Electricidad y Magnetismo
3.1 Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fuerza y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Transformaciones de norma . . . . . . . . . . . . .
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Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2.13 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Bloque 3: Electricidad y Magnetismo
3.1 Las ecuaciones de Maxwell . . . . .
3.2 Fuerza y potencial . . . . . . . . .
3.3 Transformaciones de norma . . . .
3.4 Energı́a y campo electromagnético
3.5 Ondas Electromagnéticas . . . . .
3.5.1 En el vacı́o . . . . . . . . .
3.5.2 En la materia . . . . . . . .
3.6 Multipolos . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Carga eléctrica . . . . . . . . . . .
3.8 Campo despolarizado . . . . . . . .
3.9 Conjunto de materiales . . . . . . .
3.10 Ejemplos resueltos . . . . . . . . .
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Bloque 4: Optica
4.1 La luz . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Geometrı́a paraxial . . . . . . . .
4.2.1 Espejos . . . . . . . . . .
4.2.2 Lentes . . . . . . . . . . .
4.2.3 Planos principales . . . .
4.2.4 Magnificación . . . . . . .
4.3 El método de matrices . . . . . .
4.4 Aberraciones . . . . . . . . . . .
4.5 Transmisión y reflexión . . . . .
4.6 Polarización . . . . . . . . . . . .
4.7 Prismas . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Difracción . . . . . . . . . . . . .
4.9 Los efectos ópticos . . . . . . . .
4.10 El interferómetro de Fabry-Perot
4.11 Ejemplos resueltos . . . . . . . .
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52
40
53
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42
Bloque 5: Termodinámica
5.1 Notación diferencial . . . . . . . . . . . . .
5.2 Cantidades termodinámicas . . . . . . . . .
5.3 Calor y capacidad térmica . . . . . . . . . .
5.4 Las leyes de la termodinámica . . . . . . . .
5.5 Las relaciones de Maxwell . . . . . . . . . .
5.6 Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Trabajo termodinámico . . . . . . . . . . .
5.8 Transiciones de fase . . . . . . . . . . . . .
5.9 Potencial termodinámico . . . . . . . . . . .
5.10 Mezclas ideales . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Condiciones para el equilibrio . . . . . . . .
5.12 Bases de la estadı́stica para termodinámica
5.13 Aplicaciones para otros sistemas . . . . . .
5.14 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . .
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51
63
51
64
52
Bloque 6: Mecánica Estadı́stica
6.1 Grados de libertad . . . . . . .
6.2 La función de la distribución de
6.3 Presión sobre una pared . . . .
6.4 La ecuación de estado . . . . .
6.5 Colisiones entre moléculas . . .
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la energı́a
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Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
6.6
6.7
Interacción entre moléculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
58
70
58
Bloque 7: Mecánica Cuántica
7.1 Radiación de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 El efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Difracción de un electrón . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Operadores en Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . .
7.4
El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
La ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
El operador paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7
El efecto túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8
El oscilador armónico cuántico . . . . . . . . . . . . . . .
7.9
El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 El espı́n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 El formalismo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Soluciones a la ecuación de Schrödinger . . . . . . . . . .
7.12.1 Ecuaciones de autovalores . . . . . . . . . . . . . .
7.12.2 Interacción espı́n-órbita . . . . . . . . . . . . . . .
7.12.3 Reglas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Interacción con campos electromagnéticos . . . . . . . . .
7.14 Teorı́a de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.14.1 Teorı́a de perturbaciones independiente del tiempo
7.14.2 Teorı́a de perturbaciones dependiente del tiempo .
7.15 Sistema de N-partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15.1 Moléculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.16 Estadı́stica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.17 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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63
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63
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68
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69
81
69
81
69
81
70
82
72
84
Bloque 8: Relatividad Especial y General
8.1 Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . .
8.1.2 Corrimiento al azul y al rojo . . . . . . . . . . .
8.1.3 Tensor de energı́a-momento y el tensor de campo
8.2 Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Geometrı́a Riemaniana y el tensor de Einstein .
8.2.2 El elemento de lı́nea . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Orbitas planetarias y el corrimiento del perihelio
8.2.4 La trayectoria de un fotón . . . . . . . . . . . . .
8.2.5 Ondas Gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Cosmologı́a moderna . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.7 Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Apéndice A: Constantes en Fı́sica
87
99
Apéndice B: El Sistema Internacional (SI)
88
100
Apéndice C: Sobre el operador ∇
89
101
Bibliografı́a
91
103
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 1: Mecánica
La Mecánica Clásica es uno de los dos principales subcampos de estudio en la ciencia de la mecánica.
Esta se relaciona con el conjunto de leyes fı́sicas que rigen la naturaleza y la matemática que describe
el movimiento de sistemas de partı́culas fı́sicas (macroscópicos) y a velocidades pequeñas comparadas
con la velocidad de la luz. El término clásico se utiliza en contraste con el de moderno dentro de
la fı́sica para denotar que estamos tratando con sistemas que no necesitan la hipótesis de la fı́sica
moderna para estudiarse. Este subcampo se utiliza por ejemplo para describir el movimiento de los
proyectiles, objetos astronómicos tales como naves, planetas, estrellas y galaxias. Además de esto,
muchas especialidades se ocupan de los gases, lı́quidos y sólidos.
Existen varias formulaciones diferentes en relación con los principios que la describen. Sin embargo,
independientemente de los aspectos formales y metodológicos, todas estás formulaciones llegan a la
misma conclusión. En este primer bloque, describiremos la mecánica vectorial derivada directamente
de las Leyes de Newton y la mecánica analı́tica donde las cantidades están relacionadas de forma
diferencial.
1.1
1.1.1
Cinética
Definiciones de cantidades clásicas
La posición r, la velocidad v y la aceleración a están definidas en coordenadas cartesianas por:
r = (x, y, z), v = (ẋ, ẏ, ż), a = (ẍ, ÿ, z̈). Tenemos en base a éstas definiciones que:
s(t) = s0 +
r(t) = r0 +
v (t) = v0 +
|v (t)|dt,
(1.1)
v (t)dt,
(1.2)
a(t)dt.
(1.3)
Cuando la aceleración resulta ser una constante obtenemos: v(t) = v0 + at y s(t) = s0 + v0 t + 21 at2 .
Para un vector unitario en la dirección perpendicular (⊥) a la órbita et y paralelo (||) a en tenemos
las siguientes combinaciones:
et =
dr
v
=
,
|v |
ds
v
e˙ t = en ,
ρ
en =
e˙ t
.
|e˙ t |
(1.4)
Para la curvatura k y el radio de la curvatura ρ se tiene:
1.1.2
2
k = det = d r = dϕ ,
ds ds
ds2
ρ=
1
.
|k|
(1.5)
Las coordenadas polares
Las coordenadas polares están definidas por las funciones trigonométricas: x = r cos(θ), y = rsen(θ).
Entonces, para las coordenadas de un vector unitario se tiene que: e˙ r = θ̇eθ , e˙ θ = −θ̇er .
La velocidad y la aceleración son derivadas de cada una de las cantidades anteriores: r = rer ,
v = ṙer + rθ̇eθ , a = (r̈ − rθ̇2 )er + (2ṙθ̇ + rθ̈)eθ .
17
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
1.1.3
El movimiento relativo
ω
× vQ
Para el movimiento de un punto D con respecto a un punto Q se cumple que: rD = rQ +
con
ω2
= rD − rQ y ω = θ̇. Además, se tiene que α = θ̈. La prima ( ) indica que la cantidad es definida
QD
en un sistema de coordenadas en movimiento. En este sistema se cumple que:
v = vQ + v + ω
× r ,
a = aQ + a + α
× r + 2
ω × v + ω
× (
ω × r ),
(1.6)
(1.7)
con ω
× (
ω × r ) = −ω 2r n .
1.2
1.2.1
Dinámica
Fuerza, momento y energı́a
La Segunda Ley de Newton relaciona la fuerza sobre un objeto y la aceleración resultante de este con
el momento p. Esta ley está dada por:
d(mv )
dv
dm
d
p
=
=m
+ v
= ma,
F (r, v , t) =
dt
dt
dt
dt
(1.8)
con m =constante y donde p = mv . También podemos escribir la relación de la Tercera Ley de
Newton: Faccion = −Freaccion .
Para la potencia P obtenemos que: P = Ẇ = F ·v . Para la energı́a total W , la energı́a cinética T y la
energı́a potencial U podemos definir las siguientes cantidades, respectivamente: W = T + U , Ṫ =
−U̇ con T = 12 mv 2 .
está dado por:
El vector S
= ∆
S
p=
F dt,
(1.9)
El trabajo A, desempeñado por la fuerza, es
A=
2
1
F · ds =
2
F cos(α)ds.
(1.10)
1
τ = L
˙ = r × F , y
La torca τ está relacionada con el momento angular L:
2
L = r × p = mv × r, |L| = mr ω. Por lo que:
τ =−
Las condiciones para el equilibrio mecánico son:
∂U
.
∂θ
(1.11)
τi = 0.
Fi = 0 y
La fuerza de fricción es usualmente proporcional a la fuerza perpendicular a la superficie, excepto
cuando el movimiento se lleva a cabo. Si esto pasa: Ffriccion = f · Fnormal · et .
1.2.2
Fuerzas conservativas
. De
Una fuerza conservativa puede escribirse como el gradiente de un potencial: Fconstante = −∇U
aquı́ se sigue que ∇ × F = 0. Para una campo (fuerza) también se cumple que:
F · ds = 0 → U = U0 −
18
rf
r0
F · ds.
(1.12)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Entonces, el trabajo realizado por una campo de fuerza conservativa no depende de la trayectoria
sino de los puntos iniciales y finales del movimiento tal y como se indica en los lı́mites de la integral.
1.2.3
Gravitación
La Ley de la Gravitación Universal está dada por:
m1 m2
Fg = −G 2 er .
r
(1.13)
donde G es la Constante de Gravitación Universal. El potencial gravitacional está dado por V =
−Gm/r. Como veremos en el bloque 3, de la Ley de Gauss se sigue que: ∇2 V = 4πG.
1.2.4
Las ecuaciones de la órbita
Si el potencial varı́a con respecto al radio r, V = V (r), podemos derivar de las ecuaciones de Lagrange
la conservación del momento angular:
∂V
∂L
=
=0
∂φ
∂φ
→
d
(mr2 φ) = 0
dt
→
Lz = mr2 φ = constante,
(1.14)
La posición radial es una función del tiempo y podemos calcularla como:
dr
dt
2
=
L2
2(W − V )
− 2 2.
m
m r
(1.15)
La ecuación angular es:
φ − φ0 =
r mr2
L
0
L2
2(W − V )
− 2 2
m
m r
−1

dr= arccos 1 + 
1
r
−
1
r0
1
r0
+
km
L2z
 .
(1.16)
Si F = F (r): L =constante. Si F es conservativa: W =constante. Si F ⊥ v entonces ∆T = 0 y
U = 0.
1.2.5
Las ecuaciones de Kepler
En un campo de fuerza F = kr−2 , las órbitas son secciones cónicas con el origen de la fuerza en un
foco (Primera Ley de Kepler). La ecuación de la órbita es:
r(θ) =
, o x2 + y 2 = ( − εx)2 ,
1 + ε cos(θ − θ0 )
(1.17)
con
=
L2
Gµ2 M
,
ε2 = 1 +
total
2W L2
2
G2 µ3 Mtotal
=1−
,
a
a=
k
,
=
1 − ε2
2W
(1.18)
donde a es la mitad de la longitud del eje mayor
de la órbita elı́ptica en el caso que sea cerrada. La
√
mitad de la longitud del eje menor es b = a. ε es la excentricidad de la órbita. Las órbitas con
igual ε son de la misma forma. Los 5 tipos de órbitas posibles con:
1. k < 0 y ε = 0: un cı́rulo.
2. k < 0 y 0 < ε < 1: una elipse.
3. k < 0 y ε = 1: una parábola.
19
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
4. k < 0 y ε > 1: una hipérbola, curvada hacia el centro de fuerza.
5. k > 0 y ε > 1: una hipérbola, curvada lejos el centro de fuerza.
La energı́a total en un campo de fuerza siempre es positiva, entonces ε > 1.
Si la superficie entre la órbita que abarca t1 y t2 y el foco C alrededor de un planeta el cual se mueve
es A(t1 , t2 ), y la Segunda Ley de Kepler es
A(t1 , t2 ) =
LC
(t2 − t1 ).
2m
(1.19)
La Tercera Ley de Kepler es:
4π 2
T2
=
,
3
a
GMtotal
(1.20)
con T el perı́odo y Mtotal es la masa total del sistema.
1.2.6
El teorema del Virial
El teorema del Virial para una partı́cula es:
mv · r = 0 ⇒ T = − 12 F · r =
1
2
r
dU
dr
= 21 n U if U = −
k
.
rn
(1.21)
El teorema del Virial para un conjunto de partı́culas es:
T =
− 12
particulas
Fi · ri +
pares
Fij · rij
.
(1.22)
Estas proposiciones también pueden escribirse como: 2Ecinetica + Epotencial = 0.
1.3
1.3.1
Dinámica de un sistema de referencia en movimiento
Fuerzas aparentes
La fuerza total en un sistema de coordenadas en movimiento puede ser calculado al restar todas las
fuerzas aparentes de las fuerzas en un sistema de referencia: F = F − Faparente . Las diferentes fuerzas
aparentes están dadas por:
• Transformación del origen: Forigen = −maa .
α × r .
• Rotación: Fα = −m
• Fuerza de coriolis: Fcoriolis = −2m
ω × v .
2
mv
er .
• Fuerza centrı́fuga: Fcenfrifuga = mω 2rn = −F , F = −
r
1.3.2
Notación tensorial
La transformación de las ecuaciones de movimiento de Newton a xα = xα (x) están dadas por:
∂xα dx̄β
dxα
=
,
dt
∂ x̄β dt
20
(1.23)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Por regla de la cadena se sigue que:
d2 xα
d
d dxα
=
=
dt dt
dt2
dt
∂xα dx̄β
∂ x̄β dt
∂xα d2 x̄β
dx̄β d
=
+
∂ x̄β dt2
dt dt
∂xα
∂ x̄β
,
(1.24)
entonces:
∂ 2 xα dx̄γ
∂ ∂xα dx̄γ
d ∂xα
=
.
=
dt ∂ x̄β
∂ x̄γ ∂ x̄β dt
∂ x̄β ∂ x̄γ dt
(1.25)
De lo anterior podemos obtener:
∂xα d2 x̄β
∂ 2 xα dx̄γ
d2 xα
=
+
2
β
2
dt
∂ x̄ dt
∂ x̄β ∂ x̄γ dt
dx̄β
dt
.
(1.26)
Por tanto, la ecuación de movimiento de Newton es:
m
d2 xα
= F α,
dt2
(1.27)
y se transforma en notación tensorial como:
2 α
β
γ
d x
α dx dx
= F α.
m
+
Γ
βγ
dt2
dt dt
(1.28)
dxβ dxγ
. Este término recibe el nombre
Las fuerzas aparentes están en el origen y dadas por: Γα
βγ
dt dt
de cuadri-fuerzas. Las Γ indican los sı́mbolos de Christoffel. Cabe mencionar que esta ecuación es
conocida como la Segunda Ley de Newton Relativista.
1.4
1.4.1
Dinámica de una partı́cula
El centro de masa
está dada por (v − R).
˙ Podemos expresar las coordeLa velocidad con respecto al centro de masa R
nadas del centro de masa como:
miri
.
(1.29)
rm = mi
En un sistema de dos partı́culas, las coordenadas del centro de masa están dadas por:
= m1r1 + m2r2 ,
R
m1 + m2
(1.30)
con r = r1 − r2 . La energı́a cinética es: T = 12 Mtotal Ṙ2 + 12 µṙ2 , con la masa reducida µ dada por:
1
1
1
=
+
.
µ
m1
m2
El movimiento dentro y fuera del centro de masa puede ser dividido en:
˙ fuera = τfuera ,
L
p = mvm ,
1.4.2
˙ dentro = τdentro ,
L
Fext = mam ,
F12 = µu.
(1.31)
(1.32)
Colisiones
Considere el punto B en las coordenadas de la colisión y un punto C en cualquier otra posición
arbitraria, se cumple entonces que: p = mvm y T = 21 mvm2 son constantes. Los cambios en las
= ∆
C = CB
× S,
velocidades relativas pueden derivarse de S
p = µ(vantes − vdespues ). Además ∆L
=constante y L
con respecto del punto B es constante.
p S
21
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
1.5
1.5.1
Dinámica del cuerpo rı́gido
Inercia
El momento angular en un sistema de coordenadas en movimiento está dado por:
,
= I
ω+L
L
n
(1.33)
donde I es el momento de inercia con respecto al eje central:
I=
miri
2
T = Wrotacional = 12 ωIij eiej = 12 Iω 2 ,
,
(1.34)
i
o, en un caso continuo:
m
I=
V
2
r n dV
=
2
r n dm.
(1.35)
Además tenemos que se cumple:
Li = I ij ωj ,
Iii = Ii ,
Iij = Iji = −
mk xi xj .
(1.36)
k
El teorema de Steiner nos dice que: ID = IC + m(DM )2 si el eje C al eje D.
Objecto
I
Objecto
I
Cavidad cilı́ndrica
I = mR2
Cilindro masivo
I = 12 mR2
Disco (ejes en el plano del disco)
I = 14 mR2
Disco
I = 12 µR2
Cavidad esférica
I = 23 mR2
Esfera masiva
I = 25 mR2
Barra (ejes ⊥ al plano)
I=
1
2
12 ml
I = 13 ml2
Rectángulos (ejes ⊥ al plano)
I=
1
2
12 m(a
Barra, (ejes al plano)
Rectángulos (ejes al plano)
I = ma2
1.5.2
+ b2 )
Ejes principales
Cada cuerpo rı́gido tiene (al menos) tres ejes principales los cuales son perpendiculares entre ellos.
Para el eje principal se tiene:
∂I
∂I
∂I
=
=
= 0, entonces Ln = 0.
∂ωx
∂ωy
∂ωz
Por tanto: ω̇k = −aijk ωi ωj con aijk =
1.5.3
(1.37)
I i − Ij
if I1 ≤ I2 ≤ I3 .
Ik
Dependencia temporal
La fuerza de torsión τ nos dice que:
τ = I θ̈ ,
d L
.
= τ − ω
×L
dt
La torsión T está definida por: T = F × d.
22
(1.38)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
1.6
1.6.1
Mecánica de Hamilton-Lagrange
Cálculo variacional
Empecemos con la variación de la acción de la densidad lagrangiana L:
δ
b
a
L(q, q̇, t)dt = 0 con δ(a) = δ(b) = 0 y δ
du
dx
=
d
(δu).
dx
(1.39)
Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser derivadas de:
∂L
d ∂L
=
.
dt ∂ q̇i
∂qi
(1.40)
Las condiciones adicionales aplicadas al problema variacional δJ(u) = 0 de tipo K(u) =constante,
entonces el nuevo problema es ahora: δJ(u) − λδK(u) = 0.
1.6.2
Mecánica de Hamilton
El Lagrangiano está dado por:
L=
El Hamiltoniano está dado por:
H=
En dos dimensiones se tiene:
T (q̇i ) − V (qi ).
q̇i pi − L.
L = T − U = 12 m(ṙ2 + r2 φ̇2 ) − U (r, φ).
(1.41)
(1.42)
(1.43)
Si las coordenadas usadas son canónicas, las ecuaciones de Hamilton (ecuaciones de movimiento) para
el sistema son:
∂H
∂H
dpi
dqi
=
=−
,
.
(1.44)
dt
∂pi
dt
∂qi
Las coordenadas son canónicas si: {qi , qj } = 0, {pi , pj } = 0, {qi , pj } = δij donde {, } es el corchete
de Poisson:
∂A ∂B
∂A ∂B
.
(1.45)
{A, B} =
−
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
Un ejemplo clásico es el Hamiltoniano del oscilador armónico dado por
H(x, p) = p2 /2m + 12 mω 2 x2 .
(1.46)
Con
canónica x = 2I/mω cos(θ) y p =
√ nuevas coordenadas (θ, I), obtenemos una transformación
− 2Imωsen(θ), con la inversa θ = arctan(−p/mωx) y I = p2 /2mω + 12 mωx2 se sigue que: H(θ, I) =
ωI.
El Hamiltoniano de una partı́cula cargada q en un campo electromagnético está dado por
H=
2
1  + qV.
p − q A
2m
(1.47)
Este Hamiltoniano puede ser derivado del de una partı́cula libre H = p2 /2m con las transformaciones
 y H → H − qV . Esta es una forma elegante desde un punto de vista relativista y es
p → p − q A
equivalente a las transformaciones del cuadri-vector momento pα → pα − qAα . Una transformación
de recalibración o de norma sobre los potenciales Aα corresponde a una transformación canónica, la
cual hace que las ecuaciones de Hamilton sean las ecuaciones de movimiento del sistema.
23
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
1.6.3
Movimiento en equilibrio
Para sistemas usuales en equilibrio, las ecuaciones válidas son:
∂V
∂qi
=0,
V (q) = V (0) + Vik qi qk con Vik =
0
∂2V
∂qi ∂qk
.
(1.48)
0
Con T = 12 (Mik q̇i q̇k ) obtenemos un conjunto de ecuaciones M q̈ + V q = 0. Si qi (t) = ai exp(iωt),
las soluciones a este sistema existen si det(V − ω 2 M ) = 0. De aquı́ derivamos el problema de las
aT V a k
. Si el equilibrio es estable se
autofrecuencias (eigenfrecuencias, del eigen en alemán): ωk2 = Tk
ak M a k
tiene que: ∀k ωk2 > 0. La solución general es la superposición de las autovibraciones (eigenvibraciones).
1.6.4
Espacio fase
En el espacio-fase se tiene que (consultar el Aṕendice C):
∇=
∂ ∂
,
∂qi i ∂pi
i
∂ ∂H
∂ ∂H
−
entonces ∇ · v =
.
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
(1.49)
Si la ecuación de continuidad, ∂t + ∇ · (v ) = 0 se cumple, entonces puede escribirse
{, H} +
∂
= 0.
∂t
(1.50)
Para una cantidad arbitraria A se tiene que:
∂A
dA
= {A, H} +
.
dt
∂t
(1.51)
El teorema de Liouville puede escribirse como:
d
=0,
dt
1.6.5
o
pdq = constante.
(1.52)
Funciones generatrices
Empecemos con una transformación de coordenadas de posición Q y momento P :
Qi = Qi (qi , pi , t),
Pi = Pi (qi , pi , t),
(1.53)
de donde podemos derivar las ecuaciones de Hamilton con el nuevo Hamiltoniano K:
dQi
∂K
=
,
dt
∂Pi
∂K
dPi
=−
.
dt
∂Qi
(1.54)
De aquı́ se derivan cuatro posibles casos:
1. Si pi q̇i − H = Pi Qi − K(Pi , Qi , t) −
pi =
∂F1
,
∂qi
dF1 (qi , Qi , t)
, las coordenadas son:
dt
Pi = −
24
∂F1
,
∂Qi
K=H+
∂F1
.
∂t
(1.55)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2. Si pi q̇i − H = −Ṗi Qi − K(Pi , Qi , t) +
pi =
∂F2
,
∂qi
3. Si −ṗi qi − H = Pi Q̇i − K(Pi , Qi , t) +
qi = −
dF2 (qi , Pi , t)
, las coordenadas son:
dt
Qi =
Pi = −
4. Si −ṗi qi − H = −Pi Qi − K(Pi , Qi , t) +
∂F4
,
∂pi
K=H+
∂F2
.
∂t
(1.56)
dF3 (pi , Qi , t)
, las coordenadas son:
dt
∂F3
,
∂pi
qi = −
∂F2
,
∂Pi
∂F3
,
∂Qi
K=H+
∂F3
.
∂t
(1.57)
dF4 (pi , Pi , t)
, las coordenadas son:
dt
Qi =
∂F4
,
∂Pi
K=H+
∂F4
.
∂t
(1.58)
Las funciones F1 , F2 , F3 and F4 son llamadas funciones generatrices.
1.7
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 1.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Un robot se encuentra caminando sobre un puente de la vı́a férrea que une los
puntos A y B. Repentinamente, cuando se encuentra a 3/8 del tramo AB de A, escucha el
silbido del tren que se acerca a velocidad constante vT . Lamentablemente, el robot se puede
desplazar por los rieles con una rapidez máxima vr , lo que ocasiona bajo estas circunstancias,
que si el robot corre hacia A, el tren lo alcanza en A, y si corre hacia B, el tren lo alcanza en
B. Determine la rapidez mxima vr del robot en función de la rapidez del tren.
Solución
La posición del tren en función del tiempo está dado por:
xT (t) = −d + vT t,
(1.59)
donde d es la distancia entre el tren y el punto A en el instante inicial. Supongamos que el
robot decide correr hacia la izquierda, de esta forma tenemos que
xR (t) =
3L
− vr t,
8
(1.60)
pero sabemos que en este caso, el robot es alcanzado por el tren en A(x = 0), esto significa que
0 = −d + vT t1 =
3L
− v r t1 ,
8
(1.61)
donde t1 corresponde al tiempo en el cual ambos se encuentran. De esto se deriva que t1 = d/vT ,
de donde
3LvT
vr =
.
(1.62)
8d
Ahora, si el robot decide correr hacia la derecha se tiene que:
xR (t) =
25
3L
+ vr t,
8
(1.63)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
pero en este caso, el robot y el tren se encuentran en B en un tiempo t2 , tal que
L = −d + vT t2 =
Ası́ se obtiene
(1.65)
3L
L+d
+ vr
.
8
vT
(1.66)
L=
8dvr
3vT
(1.64)
L+d
= t2
vT
de donde
Ası́ podemos obtener
3L
+ v r t2
8
= L, y reemplazamos este valor en la ecuación anterior para obtener
8dvr
3vT
5vT
=
=
3 8dvr
+ vr
8 3vT
8vr + 3vT .
8dvr
3vT
+d
vT
,
(1.67)
(1.68)
Finalmente, podemos expresar la rapidez a la que se mueve el robot en términos de la rapidez
del tren
vT
2vT = 8vr → vr =
.
(1.69)
4
• Ejemplo 2. Una partı́cula se mueve en el plano x − y con una velocidad que depende de su
posición mediante la función v = ax + bxy, donde a y b son constantes. Si en el instante inicial
la partı́cula se encuentra en el origen, encuentre la ecuación de la trayectoria y(x)
Solución. Sea
r(t) = x(t)x̂ + y(t)ŷ,
(1.70)
el vector posición de la partı́cula. La velocidad está dada por:
v(t) = ẋ(t)x̂ + ẏ(t)ŷ.
(1.71)
v(t) = ax̂ + bxŷ,
(1.72)
Del texto sabemos que
por lo que se debe cumplir que
ẋ(t) = a
y
ẏ(t) = bx(t).
(1.73)
La primera ecuación indica que a lo largo del eje x el movimiento es uniforme, es decir
x(t) = x(0) + at = at,
(1.74)
ya que en t = 0 la partı́cula se encuentra en el origen (x0 = 0). Sustituyendo este resultado en
la ecuación para ẏ = 0 obtenemos
ẏ(t) = bat.
(1.75)
De este último resultado se puede observar que el movimiento en el eje y es uniformemente
acelerado, por lo tanto
1
1
y(t) = y(0) + ẏ(0) + bat2 = bat2 .
(1.76)
2
2
Donde hemos considerado las condiciones iniciales y0 = 0 e ẏ(0) = 0. Finalmente, las coordenadas x e y de la partı́cula como función del tiempo están dadas por
x(t) = at,
y(t) =
ab 2
t .
2
(1.77)
Podemos escribir t = x/a y reemplazar la ecuación y(t), con lo que se deduce que la ecuación
de la trayectoria es
bx2
y(x) =
.
(1.78)
2a
Es decir, la trayectoria de la partı́cula es una parábola en el plano x − y.
26
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• Ejemplo 3. Considere el caso del bloque en reposo sobre el plano inclinado. Sabemos que la
fuerza de roce entre el plano y el bloque es la que evita que este último deslice hacia abajo bajo
la acción de la gravedad. Sin embargo, hemos visto que la fuerza de roce estática posee un valor
máximo, y que si la componente del peso en la dirección paralela al plano inclinado es demasiado
grande, el bloque inevitablemente comenzará a deslizar. Supongamos que el coeficiente de roce
estático es µe . Calcule los ángulos para los cuales el bloque permanecerá en reposo.
Solución. El equilibrio de fuerzas en el eje X (paralelo al plano inclinado) esta dado por:
fe = M gsenα.
(1.79)
Mientras que en el eje Y (perpendicular a X)
N = M g cos α
(1.80)
La fuerza de roce estática debe ser menor o igual a µe N (o de lo contrario el bloque se caerá)
fe = M gsenα < µe M g cos α,
(1.81)
por lo que,
tan α < µe
(1.82)
−1
El bloque permanecerá en reposo siempre y cuando 0 < α < tan
(µe ).
• Ejemplo 4. Considere un cuerpo de masa m que se desliza por el plano inclinado sin roce.
– (a) Calcule la variación de la energı́a cinética del cuerpo al desplazarse desde el punto 1 al
punto 2.
– (b) Encuentre el trabajo realizado por la fuerza de gravedad durante el trayecto. Note que
esta es la única fuerza que hace trabajo.
Solución.
– (a) Como la aceleración es constante, utilizamos la ecuación de trabajo indicada en el texto
que nos dice que si la masa m tiene una velocidad v1 en el punto 1, la velocidad en el punto
2 estará dada por:
(1.83)
v22 = 2ad + v12 ,
donde la componente de la aceleración de gravedad que va en la dirección del movimiento
es a = gsenθ. Reemplazando el valor de la aceleración, y considerando que dsenθ = h
obtenemos que:
v22 = 2gh + v12 ,
(1.84)
ası́ multiplicando por m/2 a ambos lados de la ecuación, obtenemos la variación de la
energı́a cinética
1
1
∆K = mv22 − mv12 = mgh.
(1.85)
2
2
Note que esta variación de la energı́a cinética no depende del ángulo θ, sino que sólo de la
altura h.
– (b) Como mencionamos, en este caso la única fuerza que realiza trabajo sobre la masa m es
la gravedad, ya que la fuerza normal es siempre perpendicular al plano, y por lo tanto no
realiza trabajo debido a que no está en la dirección del movimiento. El trabajo realizado
sobre la masa m desde el punto 1 al punto 2 es
wg = mgdsenθ.
(1.86)
Pero dsenθ = h, por lo que podemos escribir
wg = mgh.
(1.87)
Este trabajo es igual a la variación de energı́a cinética calculada anteriormente. Este es un
ejemplo de la validez del teorema del trabajo y energı́a.
27
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• Ejemplo 5. Un cordel largo está enrollado alrededor de una rueda que se encuentra en reposo
sobre una superficie horizontal sin roce. El cordel tiene masa despreciable y la rueda tiene masa
M , radio R y momento de inercia Ig respecto a su centro de masa. Si el otro extremo de la
cuerda es tirado con una fuerza constante F paralela a la superficie horizontal, encuentre el
desplazamiento x del centro de masa en función de la cantidad de cuerda s desenrollada.
Solución. Se pide x(s), donde x está referido al centro de masa de la rueda. De la segunda ley
de Newton obtenemos que
F = M ẍ → ẍ =
F
.
M
(1.88)
En base al resultado anterior, y dado que la rueda parte desde el reposo, su posición en función
del tiempo está dada por
x(t) =
1 2
1F 2
at =
t .
2
2M
(1.89)
Por otro lado, el análisis de la dinámica rotacional indica que
tg
=
tg
=
dLg
,
dt
Rŷ × F x̂ = −RF ẑ.
(1.90)
(1.91)
Luego, si θ(t) mide la rotación en sentido horario, entonces
Lg = lg θk̂
(1.92)
lo que junto al resultado anterior nos da
RF
=
α
=
lg α,
FR
.
lg
(1.93)
(1.94)
Considerando el resultado anterior, tenemos que
θ(t) =
1 2
αt ,
2
(1.95)
donde el largo desenrrollado corresponde a
1
1
s(t) = θ(t)R = αRt2 =
2
2
F R2
lg
t2 ,
(1.96)
por tanto
t2 =
2lg s
.
F R2
Notamos que ẍ = αR. Ahora reemplazando t2 en x(t) se obtiene que
1F
2lg s
,
x(t) =
2 M F R2
lg
x(s) =
s.
M R2
28
(1.97)
(1.98)
(1.99)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 2: Ondas y Oscilaciones
El movimiento oscilatorio es el cual el cuerpo se mueve hacı́a uno y otro lado respecto a una posición
de equilibrio, es decir, efectúa un movimiento de vaivén. Si este movimiento se repite en intervalos
de tiempo iguales se le denomina movimiento periódico. El desplazamiento de una partı́cula que
describe un movimiento periódico puede expresarse siempre en términos de funciones trigonométricas.
Podemos observar diversos ejemplos del movimiento ondulatorio en la naturaleza: las oscilaciones del
péndulo de un reloj, las de una cuerda de una guitarra, una masa sujeta a un resorte, los átomos y
moléculas de una estructura cristalina sólida, las señales electromagnéticas generadas por emisoras
de televisión y radio, etcétera.
La clase de ondas que precisan de un medio material que haga el paper de soporte de la perturbación
para propagarse se denominan ondas mecánicas. Algunos ejemplos de éstas ondas son: el sonido, las
ondas que se forman en la superficie del agua y las ondas en cuerdas. Es ası́ como en este bloque se
presentará las propiedades especiales de las oscilaciones, la ecuación de onda y sus soluciones.
2.1
El oscilador armónico
La forma general de un oscilador armónico es:
Ψ(t) = Ψ̂ei(ωt±ϕ) ≡ Ψ̂ cos(ωt ± ϕ),
(2.1)
donde Ψ̂ es la amplitud. Una superposición de varios armónicos con la misma frecuencia resulta en
otra oscilación armónica de la forma:
i
con
i
tan(β) = Ψ̂i cos(αi ± ωt) = Φ̂ cos(β ± ωt),
Ψ̂i sen(αi )
Ψ̂i cos(αi )
y
Φ̂2 =
2.2
Ψ̂2i + 2
i
i
Para las oscilaciones armónicas se cumple que:
x(t)dt =
j>i
i
(2.2)
Ψ̂i Ψ̂j cos(αi − αj ).
(2.3)
x(t) dn x(t)
y
= (iω)n x(t).
iω
dtn
Mecánica oscilatoria
Para un resorte con constante C paralelo a la amortiguación k el cual es conectado a una masa
M , y cuya fuerza periódica F (t) = F̂ cos(ωt) es aplicada se cumple la ecuación de movimiento
mẍ = F (t) − k ẋ − Cx. Con amplitudes complejas, esta se convierte en −mω 2 x = F − Cx − ikωx.
Con ω02 = C/m obtenemos:
x=
m(ω02
F
F
,
, y para las velocidades: ẋ = √
2
− ω ) + ikω
i Cmδ + k
ω
ω0
donde δ =
. La cantidad Z = F/ẋ es llamada impedancia del sistema y Q =
−
ω0
ω
Analizamos varios casos con lo anterior:
29
(2.4)
√
Cm
.
k
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• La frecuencia con mı́nima |Z|
√ es llamada frecuencia de velocidad resonante y es igual a ω0 . En
de ω/ω0 . La amplitud de la curva se
la curva de resonancia |Z|/ Cm se grafica en términos
√
caracteriza por los puntos donde |Z(ω)| = |Z(ω0 )| 2. En estos puntos se cumple que: R = X
y δ = ±Q−1 , y la amplitud es 2∆ωB = ω0 /Q.
• La rigidez de un sistema oscilatorio está dada por F/x. La frecuencia de amplitud resonante
ωA es la frecuencia donde iωZ es mı́nima. Este es el caso para ωA = ω0 1 − 12 Q2 .
• La frecuencia de amortiguamiento ωD es
la medición por tiempo de un sistema oscilante que
1
. De aquı́ tenemos tres posibles casos:
llega al reposo y está dado por ωD = ω0 1 −
4Q2
1. Una amortiguación débil (k 2 < 4mC) desaparece después de un perı́odo TD = 2π/ωD .
2. Para una amortiguación crı́tica (k 2 = 4mC) se cumple que ωD = 0.
3. Para una fuerte amortiguación (k2 > 4mC) decae como (if k 2 4mC) x(t) ≈ x0 exp(−t/τ ).
2.3
Oscilaciones en sistemas eléctricos
La impedancia está dada por: Z = R + iX. La fase angular es ϕ := arctan(X/R). La impedancia de
un resistor es R, de un capacitor 1/iωC y la de un autoinductor es iωL. La calidad de una bobina es
Q = ωL/R. La impedancia total para varios elementos está dada por:
1. Conectores en serie: V = IZ,
Ztotal =
Zi , Ltotal =
i
i
Li ,
1
Ctotal
=
1
Z0
, Z = R(1 + iQδ).
, Q=
C
R
i
i
(2.5)
2. Conectores en paralelo: V = IZ,
1
Ztotal
=
Donde, Z0 =
1
1
1
R
R
.
,
=
, Ctotal =
Ci , Q =
, Z=
Z
L
L
Z
1
+
iQδ
i
total
i
0
i
i
i
(2.6)
1
L
.
y ω0 = √
C
LC
La potencia impartida por una fuente está dada por P (t) = V (t)·I(t), entonces P t = V̂efectivo Iˆefectivo cos(∆φ)
= 12 V̂ Iˆ cos(φv − φi ) = 12 Iˆ2 Re(Z) = 12 V̂ 2 Re(1/Z), donde cos(∆φ) es el factor de trabajo.
2.4
Conductores
Estos cables son usados para transferencia de señales, por ejemplo para un cable coaxial. Para éstos
se cumple que:
dL dx
.
(2.7)
Z0 =
dx dC
dx dx
La velocidad de transmisión ésta dada por: v =
.
dL dC
30
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2.5
Acoplación de conductores y transformadores
Para dos bobinas el flujo es: si Φ12 es la parte de un flujo originado desde I2 a través de una segunda
bobina y encerrado por una primera bobina se cumple que: Φ12 = M12 I2 , Φ21 = M21 I1 . Para los
coeficientes de inducción mutua Mij tenemos:
M12 = M21 := M = k
N 1 Φ1
N 2 Φ2
L1 L2 =
=
∼ N1 N 2 ,
I2
I1
(2.8)
donde 0 ≤ k ≤ 1 es el factor de acoplamiento. Para un transformador k ≈ 1 la carga completa es:
I2
iωM
V1
=
=−
≈−
V2
I1
iωL2 + Rcarga
2.6
N1
L1
=− .
L2
N2
(2.9)
Ejemplos de péndulos
El tiempo de oscilación T = 1/f , y para diferentes tipos de péndulos está dado por:
1. Resorte oscilante: T = 2π m/C si la fuerza del resorte está dada por F = C · ∆l.
2. Péndulo fı́sico: T = 2π I/τ con τ el momento de la fuerza y I el momento de inercia.
3. Péndulo en torsión: T = 2π
inercia.
I/κ con κ =
4. Péndulo matemático: T = 2π
péndulo.
2.7
2lm
la constante de torsión y I el momento de
πr4 ∆ϕ
l/g con g la aceleración de la gravedad y l la longitud del
La ecuación de onda
La forma general de la ecuación de onda es u = 0 (donde se denomina D’Alambertiano):
u = ∇2 u −
1 ∂2u
∂2u ∂2u ∂2u
1 ∂2u
=
+ 2 + 2 − 2 2 = 0,
2
2
2
v ∂t
∂x
∂y
∂z
v ∂t
(2.10)
donde u es la onda y v la velocidad de propagación. En general se cumple que: v = f λ. Por definición:
kλ = 2π y ω = 2πf .
En principio, existen dos tipos de ondas:
1. Ondas longitudinales: para éstas se cumple que k v u.
2. Ondas transversales: para las cuales se cumple que: k v ⊥ u.
La velocidad de fase está dada por vfase = ω/k. La velocidad de grupo está dada por:
vg =
dω
dvfase
k dn
= vfase + k
= vfase 1 −
,
dk
dk
n dk
(2.11)
donde n es el ı́ndice de refracción del medio. Si vfase no depende de ω se cumple que: vfase =
vg . En un medio dispersivo es posible que vg > vfase or vg < vfase , y vg · vf = c2 . Si queremos
transferir información con una onda, como por ejemplo por modulación de ondas electromagnéticas,
la información viaja con una velocidad de cambio igual a la del campo electromagnético. Esta
velocidad es usualmente llamada velocidad de grupo.
Para algunos medios, la velocidad de propagación es:
31
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• Ondas presurizadas en un lı́quido o gas: v = κ/, donde κ es el módulo de la compresión.
• Para ondas presurizadas en un gas: v = γp/ = γRT /M .
• Ondas presurizadas en una barra sólida delgada con diámetro d << λ: v = E/.
• Ondas en un resorte: v = Flapso l/m
2πh
gλ 2πγ
+
tanh
, donde h es la profundidad
• Ondas superficiales en un lı́quido: v =
2π
λ
λ
√
del lı́quido y γ la tensión superficial. Si h λ se cumple que: v ≈ gh.
2.8
2.8.1
Soluciones
Ondas planas
En n-dimensiones, donde n es entero, una onda armónica esta definida como
u(x, t) = 2n û cos(ωt)
n
sen(ki xi ).
(2.12)
i=1
La ecuación para una onda plana armónica es
u(x, t) = û cos(k · x ± ωt + ϕ).
(2.13)
Si la onda se refleja al final de un resorte esto resultará en un cambio en la fase. Un extremo fijo
da un cambio de fase de π/2 en la onda reflejada, con una condición de frontera u(l) = 0. Un
extremo libre no genera ningún cambio en la fase la onda reflejada, con una condición de frontera de
A (∂u/∂x)l = 0.
Si un observador es mueve con respecto a la velocidad de la onda vobs , entonces observará un cambio
en la frecuencia: el efecto Doppler:
vf − vobs
f
=
.
(2.14)
f0
vf
2.8.2
Ondas esféricas
Cuando la situación es simétricamente esférica, la ecuación de onda homogénea está dada por:
1 ∂ 2 (ru) ∂ 2 (ru)
−
= 0,
v 2 ∂t2
∂r2
(2.15)
con solución general:
u(r, t) = C1
f (r − vt)
g(r + vt)
+ C2
.
r
r
(2.16)
con C1 y C2 constantes de integración.
2.8.3
Ondas cilı́ndricas
Cuando la situación tiene una simetrı́a cilı́ndrica, la ecuación de onda homogénea se convierte en:
1 ∂2u 1 ∂
∂u
r
= 0.
(2.17)
−
v 2 ∂t2
r ∂r
∂r
Esta es la ecuación de Bessel, con soluciones que pueden escribirse con funciones de Hankel. Para
valores suficientemente largos de r estás soluciones son aproximadamente:
û
u(r, t) = √ cos[k(r ± vt)].
r
32
(2.18)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2.8.4
Solución general en una dimensión
Considere:
N ∂ 2 u(x, t)
∂m
=
bm m u(x, t),
∂t2
∂x
m=0
(2.19)
donde bm ∈ IR. Proponiendo como solución u(x, t) = Aei(kx−ωt) obtenemos dos casos ωj = ωj (k)
como una relación de dispersión. La solución general está dada por:
u(x, t) =
∞ a(k)ei(kx−ω1 (k)t) + b(k)ei(kx−ω2 (k)t) dk.
−∞
(2.20)
Debido a que las frecuencias ωj son no lineales en k entonces hay una dispersión y la solución no
puede ser escrita como una suma de funciones que solo dependan de x ± vt: la transformación del
frente de ondas.
2.9
El método de onda estacionaria
Usualmente las integrales de Fourier no pueden ser calculadas de manera exacta. Si ωj (k) ∈ IR el
método de la fase estacionaria puede ser aplicado. Asumimos que a(k) es slo una función que varı́a de
k, podemos considerar que las partes del eje k son la fase de kx − ω(k)t y cambia rápidamente, lo cual
no generará cambios a la contribución de la integral debido a que el exponente oscilará rápidamente.
Las únicos términos que son significantes en la integral son las secciones con una fase estacionaria,
d
para determinar
(kx − ω(k)t) = 0. Por ello se considera la siguiente aproximación:
dk
∞
i(kx−ω(k)t)
a(k)e
i=1
−∞
2.10
N 2π
d2 ω(k
dk ≈
i)
dki2
exp −i 41 π + i(ki x − ω(ki )t) .
(2.21)
Funciones de Green y el problema del valor inicial
Este método es indicado si las soluciones se desvı́an de las soluciones estacionarias, como las excitaciones puntuales. Empezando con la ecuación en una dimensión, con ∇2 = ∂ 2 /∂x2 se cumple que: si
∂Q(x, x , 0)
Q(x, x , t) es la solución con valores iniciales Q(x, x , 0) = δ(x − x ) y
= 0, y P (x, x , t)
∂t
∂P (x, x , 0)
es la solución con valores iniciales P (x, x , 0) = 0 y
= δ(x − x ), entonces la solución de
∂t
∂u(x, 0)
una ecuación de onda con condiciones iniciales arbitrarias f (x) = u(x, 0) y g(x) =
está dada
∂t
por:
∞
∞
u(x, t) =
f (x )Q(x, x , t)dx +
g(x )P (x, x , t)dx .
(2.22)
−∞
−∞
P y Q son llamados los propagadores de Green. Estos están definidos por:
Q(x, x , t)
=
P (x, x , t)
=
También se cumple que: Q(x, x , t) =
1
2 [δ(x − x − vt) + δ(x − x + vt)],
1
if |x − x | < vt,
2v
0
if |x − x | > vt.
∂P (x, x , t)
.
∂t
33
(2.23)
(2.24)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2.11
Guı́a de ondas y cavidades resonantes
Las condiciones de frontera para un conductor ideal pueden ser derivadas de las ecuaciones de Maxwell.
es la densidad
Si n es un vector unitario perpendicular a la superficie, entre los extremos 1 y 2, y K
de corriente superficial, entonces:
2 − D
1 ) = σ,
n · (D
n · (B2 − B1 ) = 0,
2 − E
1 ) = 0.
n × (E
1 ) = K.
n × (H2 − H
(2.25)
x, t) = E(x,
y)ei(kz−ωt) y B(
x, t) = B(x,
y)ei(kz−ωt) .
En un tren de ondas se cumple la simetrı́a cilı́ndrica: E(
De aquı́ podemos deducir que si Bz y Ez no son ≡ 0:
∂Bz
∂Ez
k
− εµω
,
Bx =
εµω 2 − k 2 ∂x
∂y ∂Bz
i
∂Ez
+ εµω
,
Ex =
k
εµω 2 − k 2
∂x
∂y
i
∂Bz
∂Ez
k
By =
+ εµω
,
εµω 2 − k 2 ∂y
∂x ∂Bz
i
∂Ez
Ey =
− εµω
.
k
εµω 2 − k 2
∂y
∂x
i
(2.26)
Podemos distinguir tres casos de lo anterior:
1. Bz ≡ 0: el modo magnético transversal (MMT). Condiciones de frontera: Ez |superficie = 0.
∂Bz = 0.
2. Ez ≡ 0: el modo eléctrico transversal (MET). Condiciones de frontera:
∂n superficie
Los MET y MMT generan el problema de autovalores para Ez respecto a Bz con condiciones
de frontera:
∂2
∂2
+ 2
2
∂x
∂y
ψ = −γ 2 ψ con autovalores γ 2 := εµω 2 − k 2 .
(2.27)
Esto da la solución discreta ψ con autovalor γ2 : k = εµω 2 − γ2 . Para ω < ω , k es imaginario
y la onda es amortiguada. ω es llamada la frecuencia de corte. En conductores rectangulares
la siguiente expresión puede ser calculada por la frecuencia de corte de los modos MET m,n de
MMTm,n :
2
λ = .
(2.28)
2
(m/a) + (n/b)2
3. Ez y Bz son cero en cualquier otro valor: el modo electromagnético transversal (MEMT).
√
Entonces se cumple: k = ±ω εµ y vf = vg . Además k ∈ IR, por lo que no existe frecuencia de
corte.
En una cavidad resonante rectangular tridimensional con ejes a, b y c el posible número de onda está
n1 π
n2 π
n3 π
, ky =
, kz =
. Esto resulta en las posibles frecuencias f = vk/2π en
dado por: kx =
a
b
c
la cavidad:
n2y
v n2x
n2
f=
+ 2 + 2z .
(2.29)
2
2 a
b
c
Para una cavidad en forma de cubo, con with a = b = c, el posible número de modo de oscilaciones
NL para ondas longitudinales dado por:
NL =
4πa3 f 3
.
3v 3
(2.30)
Debido a que la ondas transversales tienen dos posibles polarizaciones, se tiene que: NT = 2NL .
34
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
2.12
La ecuación de onda no lineal
La ecuación de Van der Pol está dada por:
d2 x
dx
+ ω02 x = 0.
− εω0 (1 − βx2 )
dt2
dt
(2.31)
El término βx2 puede ser ignorado para
pequeños valores de la amplitud. Proponiendo como solución
x ∼ eiωt obtenemos: ω = 12 ω0 (iε±2 1 − 12 ε2 ). El más bajo orden de inestabilidades crece como 12 εω0 .
Mientras que x crece, el segundo término se hace grande y disminuye el crecimiento. Oscilaciones en
una escala de tiempo ∼ ω0−1 pueden existir. Si x se expande como x = x(0) + εx(1) + ε2 x(2) + · · · y
se sustituye, además del perı́odo, términos seculares ∼ εt. Si se asume que existe escalas temporales
τn , 0 ≤ τ ≤ N con ∂τn /∂t = εn y si los términos seculares son cero, entonces obtenemos:
2
2
d 1 dx
dx
1 2 2
+ 2 ω0 x = εω0 (1 − βx2 )
.
dt 2 dt
dt
(2.32)
Esta es la ecuación de la energı́a. La energı́a se conserva si el término de la izquierda es cero. Si
x2 > 1/β, el lado derecho de la ecuación cambia de signo y el crecimiento en la energı́a experimenta
un decrecimiento. Este mecanismo limita el crecimiento de las oscilaciones.
La ecuación de Korteweg-De Vries está dada por:
∂u ∂u
∂3u
∂u
+
− au
+ b2 3 = 0.
∂t
∂x
∂x ∂x
no
lineal
(2.33)
dispersiva
Esta ecuación representa por ejemplo un modelo de ondas acústicas de iones en un plasma. Para ésta
ecuación, la solución es de tipo solitones:
u(x − ct) = −
d
.
cosh (e(x − ct))
2
(2.34)
con c = 1 + 13 ad y e2 = ad/(12b2 ).
2.13
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 2.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. La nota musical “la” tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz.
Si en el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula
su longitud de onda en esos medios.
Solución. La frecuencia es una caracterı́stica del centro emisor. Por tanto es la misma en todos
los medios.
λaire
=
λagua
=
340
vaire
=
= 0.773m.
ν
400
1400
vagua
=
= 3.27m.
ν
400
(2.35)
(2.36)
• Ejemplo 2. Un oscilador vibra con una frecuencia de 500 Hz y genera onda que se propagan
con una velocidad de 350 m/s. Encuentra:
– (a) La separación de dos puntos consecutivos que vibren con una diferencia de fase de 60◦ .
35
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
– (b) El intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados de vibración consecutivos de
un punto con una diferencia de fase de 180◦ .
– (c) Diferencia de fase en un instante cualquiera entre dos puntos separados por una distancia de 3.15 m.
Solución. El perı́do y la longitud de onda son: T = 1/ν = 1/500 = 2 × 10−3 s, λ = v/ν =
350/500 = 0.7m.
– (a) Un desfase de 60◦ corresponde a ∆φ = 60◦ = (60 × 2π)/360 = π/3rad. Dos puntos
separados por una distancia λ = 0.7m están desfasados 2π rad. Por tanto:
∆x =
π 0.7
= 0.117m.
3 2π
(2.37)
– (b) Una diferencia de fase de 180◦ es equivalente a π rad y los instantes están en oposición
de fase. Dos instantes separados por un tiempo T = 2 × 10−3 s están desfasados 2π rad.
Por tanto:
T
2 × 10−3 s
∆t = π
=π
= 10−3 s,
(2.38)
2π
2π
que es un tiempo igual a la mitad del perı́odo.
– (c) Dos puntos separados por una distancia λ = 0.7m están desfasados 2π rad. Por tanto:
∆φ = 2π
3.15
∆x
= 2π
= 2π(4.5) = πrad.
λ
0.7
(2.39)
Los dos puntos están en oposición de fase. A la misma conclusión se llega expresando la
distancia en función de la longitud de onda, ∆x = 3.15 = 4.5 × 0.7 = 9/2λ, que es un
múltiplo impar de semilongitudes de onda.
• Ejemplo 3. Una onda que se propaga por una cuerda, responde a la ecuación, en unidades del
S.I. (véase Apéndice 1)
y(x, t) = 3 × 10−3 sen(80t − 6x).
(2.40)
Si la cuerda tiene un extremo fijo en una pared, escribe la ecuación de la onda reflejada.
Solución. La onda reflejada se propaga hacia la izquierda y está en oposición de fase con la
incidente.
(2.41)
y(x, t) = 3 × 10−3 sen(80t + 6x + π).
Teniendo en cuenta que sen(α + π) = −senα, queda que la ecuación de la onda reflejada es:
y(x, t) = −3 × 10−3 sen(80t + 6x).
(2.42)
• Ejemplo 4. Una onda, de 4 cm de longitud de onda, se propaga por la superficie del agua de
una cubeta de ondas con una velocidad de 20 cm/s. En un instante dado el frente de ondas
accede a una zona menos profunda con un ángulo de 30◦ , respecto a la superficie de la recta
que separa los dos medios. Si la longitud de onda en este segundo medio es 3 cm, deduce la
dirección por la que se propaga.
Solución. La frecuencia de la onda es la misma en los dos medios, por ser una caracterı́stica
del centro emisor
20
v1
= 5Hz.
(2.43)
=
ν=
λ1
4
Al pasar al segundo medio la frecuencia permanece constante y la longitud de onda disminuye,
por lo que la velocidad de propagación es
v2 = λ2 ν = 3 × 5 = 15cm/s.
36
(2.44)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Aplicando la ley de Snell
senθi
senθR
=
senθR
=
v1
,
v2
v2
15
sen30◦ = 0.375.
senθi =
v1
20
(2.45)
(2.46)
El ángulo que forma la dirección de propagación en el segundo medio con la recta normal es
θR = arcsen(0.375) = 22◦ 1 28 .
(2.47)
• Ejemplo 5. En dos puntos de la superficie de un estanque se dejan caer simultáneamente gotas
de agua. representa geométricamente las interferencias que se producen en los puntos de la
superficie del agua, en el supuesto de que las perturbaciones sean ondas coherentes.
Solución. Al caer las gotas de agua generan ondas circulares. Se traza con centro en un
punto (foco F1 ) una serie de cı́rculos concéntricos igualmente espaciados, alternando los de
trazo continuo con los de trazo discontinuo. Asignamos los trazos continuos a crestas y los
trazos discontinuos a valles. Duplicamos en torno a otro punto que es el foco F2 . Al superponer
los diagramas se observan puntos en los que se cortan dos crestas o dos valles y en ellos la
interferencia es constructiva. Mientras que en los puntos que se superpone una cresta con un
valle la interferencia es destructiva. A los puntos del plano cuya amplitud es nula se le llaman
nodos y las lı́neas que los unen lı́neas nodales (lı́neas de trazo discontinuo del diagrama). Estas
lı́neas se caracterizan por englobar a los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,
los focos de las ondas, es una constante y con una ecuación:
λ
x1 − x2 = (2n + 1) .
2
(2.48)
Esta última expresión es la ecuación de una familia de hipérbolas de focos F1 y F2 , determinada
cada una de ellas por un valor de n. Su posición no se ve afectada por la propagación de
los movimientos ondulatorios, están en estado estacionario. Lo mismo se puede decir para los
puntos de interferencia constructiva, hipérbolas de trazo continuo.
37
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 3: Electricidad y
Magnetismo
Los fenómenos relacionados a la electricidad y al magnetismo han sido observados y estudiados desde
hace muchos siglos. No obstante, las leyes fundamentales que rigen estos fenómenos fueron descubiertas en el siglo XIX. Estas dos fuerzas forman parte de las denominadas fuerzas fundamentales de
la naturaleza y son responsables de la existencia de átomos, moléculas y, consecuentemente, de las
propiedad quı́micas y estructurales de la materia. Ambas dan lugar a la radiación electromagnética
(incluidas las ondas de radio, los rayos X y la luz visible) y su unificación da origen a las ecuaciones de Maxwell, las cuales en su conjunto son la descripción del campo electromagnético y su
comportamiento en una región determinada.
Existen ondas que pueden propagarse aún en ausencia de medio material, es decir, en el vacı́o. Son las
ondas electromagnéticas, categorı́a a la que pertenecen las ondas luminosas. Independientemente de
esta diferenciación, existen ciertas caracterı́sticas que son comunes a todas las ondas, cualquiera que
sea su naturaleza. Es por ello que a lo largo de este bloque nos enfocaremos en las famosas ecuaciones
de Maxwell que describen de manera general el fenómeno electromagnético.
3.1
Las ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones clásicas del electromagnetismo están descritas por las ecuaciones de Maxwell. Estas
pueden escribir como ecuaciones diferenciales e integrales:
· n )d2 A = Qvacio
(D
· n )d2 A = 0
(B
· ds = − dΦ
E
dt
· ds = Ivacio + dΨ
H
dt
Los flujos quedan descritos por: Ψ =
= ρvacio
∇·D
=0
∇·B
= − ∂B
∇×E
∂t
(3.1)
= Jvacio + ∂ D
∇×H
∂t
· n )d2 A, Φ =
(D
· n )d2 A.
(B
el vector polarización P y la fuerza del campo eléctrico E
El vector de desplazamiento eléctrico D,
dependen uno de otro de acuerdo, respectivamente con:
= ε0 E
+ P = ε0 εr E,
D
P =
p0 /Vol,
ε r = 1 + χe ,
donde χe =
(3.2)
(3.3)
(3.4)
np20
y Vol indica el volumen del espacio.
3ε0 kT
la magnetización M
y la densidad de flujo de campo magnético
La fuerza del campo magnético H,
39
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
dependen uno de otro de acuerdo, respectivamente con:
B
+M
) = µ0 µr H,
= µ0 ( H
M
=
B
m/Vol,
(3.5)
µr = 1 + χm ,
(3.6)
χm =
3.2
µ0 nm20
3kT
.
(3.7)
Fuerza y potencial
La fuerza y el campo eléctrico entre dos cargas puntuales están dadas por:
F12 =
Q1 Q2
er ,
4πε0 εr r2
= F.
E
Q
(3.8)
La fuerza de Lorentz es una fuerza la cual siente la partı́cula cargada y que se mueve a través del
campo magnético. El origen de esta fuerza es una transformación relativista de la fuerza de Coulomb:
) = l(I × B
).
FL = Q(v × B
(3.9)
El campo magnético en un punto P el cual resulta de la corriente de un campo eléctrico está dada por
la Ley de Biot-Savart, también conocida como la Ley de Laplace. Según esta ley, dl I y r apunta
de dl a P :
P = µ0 I dl × er .
dB
(3.10)
4πr2
Si la corriente es dependiente del tiempo debemos considerar un efecto de retraso. Por tanto, el
término I(t) → I(t − r/c) necesita aplicarse.
Los potenciales están dados por: V12 = −
2
1
· ds y A
= 1B
× r.
E
2
Los campos pueden derivarse de los potenciales como:
= −∇V − ∂ A ,
E
∂t
= ∇ × A.
B
(3.11)
= v × E.
Y las siguientes relaciones se preservan: c2 B
3.3
Transformaciones de norma
Los potenciales de los campos electromagnéticos se transforman de la siguiente manera cuando una
transformación de norma es aplicada:

= A
− ∇f,
 A
(3.12)
∂f
 V =V +
,
∂t
yB
no cambian. Este cálculo resulta en una transformación canónica
de esta manera, los campos E
del Hamiltoniano. De aquı́ consideramos dos opciones:
y V:
+ 1 ∂V = 0. Esto separa las ecuaciones diferenciales para A
1. La norma de Lorentz: ∇ · A
c2 ∂t
ρ
= −µ0 J.
V = − , A
ε0
= 0. Si ρ = 0 y J = 0 se cumple que V = 0 y A
de A
= 0.
2. La norma de Coulomb: ∇ · A
40
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
3.4
Energı́a y campo electromagnético
La densidad de energı́a de un campo electromagnético es:
dW
= w = HdB + EdD,
dVol
(3.13)
La densidad de energı́a puede expresarse en los potenciales y corrientes respectivamente como:
d3 x , welectrico = 1 ρV d3 x.
wmagnetico = 12 J · A
(3.14)
2
3.5
Ondas Electromagnéticas
3.5.1
En el vacı́o
La ecuación de onda Ψ(r, t) = −f (r, t) tiene una solución general, con c = (ε0 µ0 )−1/2 :
Ψ(r, t) =
f (r, t − |r − r |/c) 3 d r,
4π|r − r |
(3.15)
r, t) = J(
r ) exp(−iωt) y A(
r, t) = A(
r ) exp(−iωt) con:
Podemos escribir lo anterior como: J(
r) = µ
A(
4π
r ) exp(ik|r − r |) d3r ,
J(
|r − r |
V (r ) =
1
4πε
ρ(r )
exp(ik|r − r |) 3 d r .
|r − r |
(3.16)
Una derivación a través de una expansión multipolar mostrará que la energı́a radiada cumple con
d, λ r:
2
k2
dP
i
k·
r 3 =
J⊥ (r )e d r .
(3.17)
2
dΩ
32π ε0 c
La densidad de energı́a de una onda electromagnética de un dipolo en vibración a una distancia larga
es:
w = ε0 E 2 =
p20 sen2 (θ)ω 4
sen2 (kr − ωt) ,
16π 2 ε0 r2 c4
wt =
p20 sen2 (θ)ω 4
ck 4 |
p |2
.
, P =
2
2
4
32π ε0 r c
12πε0
(3.18)
La energı́a radiada puede ser derivada del vector de Poynting S:
=E
×H
= cW ev .
S
(3.19)
|t . La presión de radiación
La irradiancia es el tiempo promedio de un vector de Poynting: I = |S
ps está dada por ps = (1 + R)|S |/c, donde R es el coeficiente de reflexión.
3.5.2
En la materia
Las ecuaciones en la materia, donde cmateria = (εµ)−1/2 es la velocidad de la luz en la materia, son
∂2
µ ∂
∇ − εµ 2 −
∂t
ρ ∂t
2
=0,
E
∂2
µ ∂
∇ − εµ 2 −
∂t
ρ ∂t
2
= 0.
B
(3.20)
= E exp(i(k · r − ωt)) y B
=
Después de sustituir las ondas monocromáticas planas obtenemos: E
B exp(i(k · r − ωt)) y la relación de dispersión:
k 2 = εµω 2 +
41
iµω
.
ρ
(3.21)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
El primer término surge de la corriente de desplazamiento, el segundo término de la conductancia. Si
k se escribe de la forma k := k + ik se cumple que:
k = ω
1
εµ 1 + 1 +
2
1
(ρεω)2
k = ω
y
1
εµ −1 + 1 +
2
1
.
(ρεω)2
(3.22)
= E exp(−k n · r ) exp(i(k n · r − ωt)). Si el material
Este resultado es una onda amortiguada: E
es un buen
conductor, la onda se desvanece aproximadamente después de una longitud de onda de
µω
.
k = (1 + i)
2ρ
3.6
Multipolos
∞
1
1
=
Consideremos
|r − r |
r 0
l
r
Pl (cos θ), entonces el potencial puede describirse como:
r
V =
Q kn
.
4πε n rn
(3.23)
En orden cero, este se simplifica en tres opciones:
• Monopolo: l = 0, k0 = ρdV .
• Dipolo: l = 1, k1 = r cos(θ)ρdV .
• Cuadripolo: l = 2, k2 = 12 (3zi2 − ri2 ).
i
externo , y
1. El dipolo eléctrico: momento dipolar p = Qle , donde e va de ⊕ a , y F = (
p · ∇)E
W = −
p · Efuera .
3
p · r
fuera .
≈ Q
−
p
. La torsión es: τ = p × E
Campo eléctrico: E
4πεr3
r2
√
fuera
= I × (Ae⊥ ), F = (
µ · ∇)B
2. El dipolo magnético: momento dipolar: si r A: µ
2
mv⊥
fuera .
, W = −
µ×B
|µ| =
2B
fuera .
= −µ 3µ · r − µ
. El momento es: τ = µ
×B
Campo magnético: B
4πr3
r2
3.7
Carga eléctrica
La ecuación de continuidad para la carga es:
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
∂t
(3.24)
La corriente eléctrica está dada por:
dQ
=
I=
dt
(J · n )d2 A.
(3.25)
Para la mayorı́a de los conductores se cumple que: J = E/ρ,
donde ρ es la resistividad eléctrica.
dΦ
.
Si el flujo cerrado en un conductor cambia este resultado genera un voltaje inducido Vind = −N
dt
Si el flujo de voltaje a través de un conductor cambia, este resultado es una auto-inductancia la cual
42
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
dI
se opone al cambio original: Vautoindividual = −L . Si el conductor cierra un flujo Φ se cumple que:
dt
Φ = LI.
µN I
donde l es la
+ 4R2
fuerza, R el radio y N el número de vueltas. La energı́a contenida dentro de la bobina está dada por:
W = 12 LI 2 y L = µN 2 A/l.
La inducción magnética dentro una bobina es de aproximadamente: B = √
l2
La capacitancia está definida por: C = Q/V . Para un capacitor se cumple que: C = ε0 εr A/d donde
d es la distancia entre los platos y A la superficie de un plato. La fuerza del campo eléctrico entre los
platos es E = σ/ε0 = Q/ε0 A donde σ es la carga de la superficie. La energı́a acumulada está dada
dV
.
por W = 12 CV 2 . La corriente a través de la capacitancia está dada por I = −C
dt
Para la mayorı́a de los resistores tipo PTC se cumple aproximadamente que: R = R0 (1 + αT ), donde
R0 = ρl/A. Para los resistores de tipo NTC se cumple que: R(T ) = C exp(−B/T ) donde B y C
depende solo sobre el material.
Si la corriente fluye a través de dos diferentes conductores conectados el área de contacto se calentará
o enfriará dependiendo de la dirección de la corriente: esto se conoce como efecto Peltier. El calor
generado o removido está dado por: W = Πxy It, donde x y y representan los conductores. Este
efecto puede ser amplificado con semiconductores
El voltaje térmico entre dos metales está dado por: V = γ(T − T0 ). Para conexiones de tipo CuKonstantane se cumple que: γ ≈ 0.2 − 0.7 mV/K.
En una
red eléctrica con sólo corrientes estacionarias,se aplican
las ecuaciones de Kirchhoff: para
nodos:
In = 0, y a lo largo de un camino cerrado:
Vn =
In Rn = 0.
3.8
Campo despolarizado
Si un material dieléctrico es colocado en un campo eléctrico o magnético, la fuerza del campo dentro
y fuera del material cambiará debido a que el material se polarizará o magnetizará. Si el medio tiene
0 o B
0 entonces la
una forma elipsodial y uno de sus ejes principales es paralelo al campo externo E
despolarización del campo es homogénea.
material − E
0 = − N P ,
despolarizacion = E
E
ε0
despolarizacion = H
material − H
0 = −N M
.
H
(3.26)
(3.27)
N es una constante que depende solo de la forma del objeto colocado en el campo, con 0 ≤ N ≤ 1.
Para los casos lı́mites de un elipsoide: una placa delgada: N = 1, de una barra larga y delgada:
N = 0, de una esfera: N = 13 .
3.9
Conjunto de materiales
El promedio del desplazamiento de la carga eléctrica en un material inhomogéneo es: D = εE =
−1
φ2 (1 − x)
y x = ε1 /ε2 . Para una esfera: Φ = 13 + 23 x. Para todos los
ε∗ E donde ε∗ = ε1 1 −
Φ(ε∗ /ε2 )
casos, se debe cumplir que
−1
φi
≤ ε∗ ≤
φ i εi .
(3.28)
εi
i
i
43
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
3.10
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 3.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Suponiendo una nube de electrones confinada en una región entre dos esferas de
radios 2 cm y 5 cm, tiene una densidad de carga en volumen expresada en coordenadas esféricas
ρv =
−3 × 10−8
× cos2 φ
R4
Cm−3 .
(3.29)
Calcular la carga total contenida en dicha región.
Solución. La carga total estará dada por
ρv =
dq
→Q=
dv
ρv dv,
(3.30)
v
donde dv = R2 sen(θ)dRdφdθ. Sustituyendo la densidad de carga en volume e integrando en el
volumen especificado:
0.05
π
dR 2π
2
cos
φdφ
senθdθ = −1.8 × 10−6 πC.
(3.31)
Q = −3 × 10−8
2
R
0.02
0
0
• Ejemplo 2. En un material de constante dieléctrica , existe un campo eléctrico uniforme E.
Si se inserta una cavidad esférica en el interior del material, calcule el valor del campo eléctrio
existente en el centro de la cavidad.
Solución. El problema nos dice que tenemos un dieléctrico al cual se le ha hecho una cavidad
esférica. Sin embargo, no especifica si el dieléctrico es finito o infinito de manera que vamos a
considerarlo finito por hacer el problema más cercano a la realidad. De esta forma el campo
eléctrico en el interior del dieléctrico es generado por un campo exterior al dieléctrico Eext
que, por las condiciones de contorno y suponiendo que solo tiene componente normal az obtenemos dela siguiente forma según las condiciones de contorno la componente normal del vector
desplazamiento se conserva
Dext = Ddn .
(3.32)
Según la relación entre el vector desplazamiento y el campo eléctrico, la componente normal del
campo eléctrico es:
Eext =
Ed .
0 n
(3.33)
Como solo tiene una componente normal, el campo del dieléctrico, el campo exterior solo tendrá
componente normal:
Eext = Eext âz =
Ed âz .
0 n
(3.34)
Para hallar el campo en el centro de la cavidad podemos hacerlo de varias formas. Podemos
utilizar el teorema de superposición explicado en el texto, de esta forma, el campo en el centro
de la cavidad es la suma del campo exterior con el campo producido por cargas de polarización.
Debido a la interacción del campo eléctrico con las moléculas del dieléctrico, se crean cargas de
polarización en la superficie interior del dieléctrico. Estas cargas se representan vectorialmente
con el vector de polarización P que, viene relacionado con el campo eléctrico según la siguientes
expresiones:
D
D
d + P ,
E
d.
= E
=
44
(3.35)
(3.36)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
d . Lo cual significa que el vector polarización tiene la misma dirección y
donde P = ( − 0 )E
sentido que el campo eléctrico. Por lo tanto el campo creado por las cargas de polarización en
el centro de la cavidad es:
Ep (0) =
( − 0 )
Ed âz .
30
(3.37)
• Ejemplo 3. Sobre un disco plano de radio R se distribuye una carga superficial que varı́a
radialmente de la forma:
2
si r < R
ρ0 Rr
ρs =
0
si r > R
siendo r la distancia al centro del disco. Calcular el potencial y el campo en el eje perpendicular
al disco y que pasa por su centro.
Solución. La fórmula que define el potencial es la siguiente:
ρs
ds.
V (z) =
d
(3.38)
Teniendo en cuenta que d es la distancia al punto del eje en que calculamos el potencial. En el
disco:
r 2
ρs = ρ0
,
R
ds = rdϕdr,
d = (z 2 + r2 )1/2 .
(3.39)
Calculando la integral
V (z) =
2π
0
R
0
ρ0 (r/R)2 rdrdϕ
.
(z 2 + r2 )1/2
La cual resolvemos para obtener:
2z 3
1 2
ρ
2 3/2
2 2
2 1/2
(z
.
+
r
)
−
z
(z
+
R
)
+
V (z) =
20 R2 3
3
(3.40)
(3.41)
Ahora calculamos el campo por la fórmula del gradiente, sabiendo de antemano que, por la
simetrı́a del problema, sólo consideramos tener el campo en el eje z:
∂V
ρ0 2
2 1/2
3 2
2 −1/2
2
E=−
z(z
uz .
uz =
+
R
)
−
z
(z
+
R
)
−
2z
(3.42)
∂z
20 R2
• Ejemplo 4. Una esfera dieléctrica de radio a está polarizada de forma que P = (K/R)ar ,
siendo ar , el vector unitario radial. Calcule las densidades volumétricas y superficial de carga
ligada.
Solución. Se define la densidad volumétrica de carga de polarización δpv como:
δpv = −∇P.
(3.43)
Calculamos la divergencia de P en esféricas:
K
K
1
∂
R2 senθ
= 2.
∇P = 2
R senθ ∂R
R
R
(3.44)
Por lo que la densidad volumétrica de carga será
δpv = −
K
.
R2
(3.45)
Se define la densidad superficial de carga de polarización δps como δps = paR , por tanto:
δps = P ag = P (R = a)aR =
45
K
K
→ δps = .
a
a
(3.46)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• Ejemplo 5. Explique qué es una onda plana monocromática e identifique explcitamente la
direccin de propagación, la velocidad de propagación, la frecuencia, y la longitud de onda.
y B
son
En el caso que la onda plana sea electromagnética, demuestre que los campos E
perpendiculares entre si y (ambos) perpendiculares a la dirección de propagación. Indicación:
use las ecuaciones de Maxwell.
Solución. Una onda plana es una onda tal que se propaga en una sola dirección en el espacio,
o equivalentemente, su frentes de ondas son infinitos planos perpendiculares a la dirección de
propagación. Un onda plana es monocromática debido a que posee una única frecuencia de
propagación. La forma matemática para expresarla (solución de la ecuacin de ondas) es
A(r, t) = Aej(kr−ωt) .
(3.47)
donde:
– La dirección de propagación está dada por el vector k.
– La velocidad de onda puede ser obtenida al reemplazar la expresión anterior en la ecuación
de ondas, resultando v = ω/k.
– La frecuencia angular está dada por ω = 2πf , donde f es la frecuencia.
– La longitud de onda λ está dada a partir del módulo del número de onda como k = 2π/λ.
Además, se debe considerar un campo eléctrico arbitrario como:
E = E0 ej(kr−ωt) = (E0 x̂ + E0 ŷ + E0 ẑ)ej(kr−ωt) .
Tomando la divergencia:
∂Ey
∂Ez
∂Ex
∂Ez
∂Ex
∂Ey
∇×E =
−
x̂ +
−
ŷ +
−
ẑ.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(3.48)
(3.49)
= B0 ej(kr−ωt) y aplicando la
Suponiendo que el campo magnético también es de la forma B
Ley de Faraday
∇×E =−
∂B
k×E
→ jk × E = jωB → B =
.
∂t
ω
46
(3.50)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 4: Optica
La óptica o ciencia que estudia la luz, es una de las ramas más antiguas de la fı́sica. Existen dos
subcampos dentro de ésta área: la óptica fı́sica que estudia los fenómenos luminosos e investiga cual
es la naturaleza de la luz y la óptica geométrica que se basa en el concepto del rayo luminoso como
trayectoria que siguen las partı́culas materiales emitidas por los cuerpos luminosos sin preocuparse de
estudiar cual es la naturaleza de la luz. Este último subcampo introduce el manejo de los instrumentos
ópticos como microscopios, telescopios, cámaras fotográficas, etcétera. Además de estudiar el ojo
humano y el proceso de visión. Algunos subcampos adyacentes son: la óptica ondulatoria, que incluye
el estudio de la radiometrı́a, fotometrı́a, sensores ópticos, etcétera. La óptica electromagnética que
estudia la polarización y los efectos electro/magneto-ópticos en un cristal lı́quido. Y finalmente
tenemos la óptica cuántica, la encargada de estudiar las fuentes de luz convencionales, láseres y la
interacción luz-materia (óptica no lineal).
Durante siglos se creyó que la luz consistı́a en un chorro de partı́culas emitidas por una fuente
luminosa. Es hasta 1704 que Isaac Newton asienta el modelo corpuscular de la luz sobre las ideas de
Descartes, suponiendo que la luz está formada por corpúsculos materiales que son lanzados a gran
velocidad por los cuerpos emisores de luz. Durante este bloque presentaremos primero la Ley de Snell
y el Principio de Fermat. A continuación veremos como ciertas aproximaciones sobre éste principio da
origen a varios ejemplos en la geometrı́a paraxial. Finalmente veremos las ecuaciones que describen
los principales objetos ópticos.
4.1
La luz
Para la refracción en un superficie tenemos que:
ni sen(θi ) = nt sen(θt ),
(4.1)
donde n es el ı́ndice de refracción de un material. La Ley de Snell es:
λ1
v1
n2
=
= ,
n1
λ2
v2
(4.2)
Si ∆n ≤ 1, el cambio en la fase de la luz es ∆ϕ = 0. Si ∆n > 1 se cumple que: ∆ϕ = π. La refracción
de la luz en un material es causada por la dispersión de átomos la cual está descrita por:
n2 = 1 +
ne e2 fj
2 − ω 2 − iδω ,
ε0 m j ω0,j
(4.3)
donde ne es la densidad del electrón y fj la fuerza del oscilador, la cual cumple que:
fj = 1.
j
Considerando lo anterior, se obtiene que: vg = c/(1 + (ne e2 /2ε0 mω 2 )). De ésta ecuación se puede
derivar la ecuación de Cauchy:
n = a0 + a1 /λ2 .
(4.4)
De manera general, podemos expandir esto alrededor de n como: n =
n
ak
.
λ2k
k=0
√
Para una onda electromagnética: n = εr µr .
El camino seguido por un rayo de luz en un material puede encontrarse vı́a el Principio de Fermat:
δ
2
1
dt = δ
2
1
n(s)
ds = 0 ⇒ δ
c
47
2
1
n(s)ds = 0.
(4.5)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
4.2
4.2.1
Geometrı́a paraxial
Espejos
Para imágenes en un espejo tenemos:
1 1
2
h2
1
= + =
+
f
v
b
R
2
1
1
−
R v
2
,
(4.6)
donde h es la distancia perpendicular desde el punto donde el rayo de luz incide en el espejo hasta el eje
óptico. La aberración esférica puede ser reducida al no usar espejos esféricos. Un espejo parabólico
no tiene una aberración esférica debido a que los rayos de la luz son paralelos con respecto al eje
óptico, caracterı́stica por la cual se usan en telescopios.
La convención de signos son:
Cantidad
R
f
v
b
4.2.2
Signo
(+)
Espejo cóncavo
Espejo cóncavo
Objeto real
Imagen real
Signo
(−)
Espejo convexo
Espejo convexo
Objeto virtual
Imagen virtual
Lentes
La fórmula gaussiana para los lentes puede deducirse del Principio de Fermat con las aproximaciones
cos ϕ = 1 and sen ϕ = ϕ. Para la refracción en una superficie esférica de radio R se cumple que:
n2
n1 − n2
n1
−
=
,
v
b
R
(4.7)
donde |v| es la distancia de un objeto y |b| la distancia a la imagen. Aplicando lo anterior resulta en:
1
= (nl − 1)
f
1
1
−
R2
R1
,
(4.8)
donde nl es el ı́ndice de refracción de la lente, f es la distancia focal y R1 , R2 los radios de curvatura
de cada superficie. Para una lente doble cóncava se cumple que R1 < 0, R2 > 0. Para una lente doble
convexa se cumple que R1 > 0 y R2 < 0. Además:
1 1
1
= − .
f
v
b
(4.9)
D := 1/f es llamada la potencia de dioptrı́a de una lente. Para lentes con un espesor d y diámetro D
se cumple la aproximación: 1/f = 8(n − 1)d/D2 . Para dos lentes colocados sobre una lı́nea con una
distancia d tenemos
1
1
d
1
=
+
−
.
(4.10)
f
f1
f2
f1 f2
En éstas ecuaciones los siguientes signos son usados para la refracción en una superficie esférica visto
desde el rayo incidente:
Cantidad
R
f
v
b
Signo
(+)
Superficie cóncava
Lente convergente
Objeto real
Imagen virtual
48
Signo
(−)
Superficie convexa
Lente divergente
Objeto virtual
Imagen real
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
4.2.3
Planos principales
El punto nodal de una lente está definido como N . Si la lente está rodeada por un medio en ambos
lados, los puntos nodales son los mismos al igual que los puntos principales H. El plano perpendicular
al eje óptico a través de los puntos principales es llamado plano principal. Si la lente está descrita
por una matriz mij y por las distancias h1 and h2 al borde de la lente, se cumple que:
h1 = n
4.2.4
m11 − 1
,
m12
h2 = n
m22 − 1
.
m12
(4.11)
Magnificación
La magnificación lineal está definida por:
b
N =− .
v
(4.12)
La magnificación angular está definida por:
Nα = −
αsistema
,
α0
(4.13)
donde αsistema es el tamaño de la imagen de la retina usando un sistema óptico y α0 es el tamaño
de la imagen de la retina sin el sistema. Además se cumple que: N · Nα = 1. Para los telescopios:
N = fobjectivo /focular , si el número f está definido por f /Dobjectivo .
4.3
El método de matrices
Un rayo de luz puede ser descrito por un vector (nα, y) con α el ángulo con respecto al eje óptico y
y la distancia al eje óptico. El cambio del rayo de luz interactúando con un sistema óptico puede ser
obtenido usando la matriz de multiplicación:
n2 α 2
y2
=M
n1 α1
y1
,
(4.14)
donde la traza Tr(M ) = 1. M es el producto de las matrices elementales, las cuales están dadas por:
1 0
1. Transferencia a lo largo de la longitud l: MR =
.
l/n 1
1 −D
.
2. Refracción en una superficie con un potencia de dioptrı́a D: MT =
0
1
4.4
Aberraciones
Los lentes usualmente no generan una perfecta imagen y algunas de las causas del porque son:
1. Aberración cromática. Esta es causada por el hecho de que n = n(λ). Esto es parcialmente
correcto con una lente que está compuesta de más lentes con diferentes ni (λ). Usando N lentes
podemos obtener el mismo f para N longitudes de onda.
2. Aberración esférica. Causada por efectos de segundo orden los cuales son despreciables en
casos generales. Una superficie esférica no forma una lente ideal. Los rayos incidentes desde el
eje óptico lucen doblados.
49
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
3. Coma. Es causado por el hecho de que los planos principales de una lente están planos cerca
del eje principal. A distancias largas de los ejes ópticos éstos lucen curvados. Este curvatura
puede ser positiva o negativa.
4. Astigmatismo. Desde cada punto de un objeto, este efecto forma una imagen elipsoidal debido
a que el espesor de la lente no es la misma desde cualquier punto.
5. La curvatura de campo. Esta puede ser corregida por el ojo humano.
6. La distorsión. Esta genera aberraciones cerca de los ejes de la imagen. Puede ser corregida
con la combinación de una lente positiva y una negativa.
4.5
Transmisión y reflexión
Si una onda electromagnética incide en un medio transparente, parte de la onda será reflejada al
mismo ángulo incidente y la otra parte será refractada a un ángulo de acuerdo a la Ley de Snell. Esto
campo de la onda es perpendicular o paralelo con respecto de la superficie.
hace una diferencia si el E
Los coeficientes de reflexión r y transmisión t están definidos por:
r ≡
E0r
E0i
, r⊥ ≡
E0r
E0i
⊥
, t ≡
E0t
E0i
, t⊥ ≡
E0t
E0i
,
(4.15)
⊥
donde E0r es la amplitud reflejada y E0t la amplitud transmitida.
Las ecuaciones de Fresnel son:
r =
tan(θi − θt )
,
tan(θi + θt )
r⊥ =
sen(θt − θi )
,
sen(θt + θi )
(4.16)
(4.17)
t =
2sen(θt ) cos(θi )
,
sen(θt + θi ) cos(θt − θi )
t⊥ =
2sen(θt ) cos(θi )
.
sen(θt + θi )
(4.18)
Para éstas expresiones se cumple que: t⊥ − r⊥ = 1 and t + r = 1. Podemos reescribir los coeficientes
de reflexión t y de transmisión t como (con θi = θr )
r≡
Ir
Ii
y
t≡
It cos(θt )
,
Ii cos(θi )
(4.19)
y R + T = 1. Un caso especial es r = 0, el cual sucede si el ángulo entre el reflejado y
con I = |S|
el transmitido es de 90◦ . De la Ley de Snell se sigue que: tan(θi ) = n. Este ángulo es llamado ángulo
de Brewster. El caso con r⊥ = 0 no es posible.
4.6
Polarización
La polarización está definida por
P =
Ip
Imaximo − Iminimo
=
,
Ip + Iu
Imaximo + Iminimo
(4.20)
donde la intensidad de la luz polarizada está dada por Ip y la intensidad de la luz no polarizada está
dada por Iu . Imaximo y Iminimo son el máximo y el mı́nimo de las intensidades cuando la luz pasa por
un polarizador. Si la luz polarizada atraviesa el polarizador se aplica la Ley de Malus:
I(θ) = I(0) cos2 (θ),
(4.21)
donde θ es el ángulo del polarizador.
El estado de la luz puede describirse por los parámetros
de Stokes: empezando con cuatro filtros,
50
los cuales transmiten la mitad de la intensidad. El primero es independiente de la polarización, el
segundo y el tercero están alineados linealmente con los ejes de transmisión horizontal y a +45◦ ,
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
donde θ es el ángulo del polarizador.
El estado de la luz puede describirse por los parámetros de Stokes: empezando con cuatro filtros,
los cuales transmiten la mitad de la intensidad. El primero es independiente de la polarización, el
segundo y el tercero están alineados linealmente con los ejes de transmisión horizontal y a +45◦ ,
mientras que el cuarto es un polarizador circular de tipo opaco L. Entonces se cumple que S1 = 2I1 ,
S2 = 2I2 − 2I1 , S3 = 2I3 − 2I1 and S4 = 2I4 − 2I1 .
El estado del rayo de luz polarizado puede ser descrito por el vector de Jones :
E0x eiϕx
.
E=
E0y eiϕy
(4.22)
= (1, 0). Para el estado vertical P E
= (0, 1). El estado R está
Para los estados√horizontales P : E
√
1
1
=
dado por E
2 2(1, −i). El estado L por E = 2 2(1, i). El cambio en los estados del rayo de luz
2 = M · E
1 . La matriz de Jones
después de pasar por un equipo óptico puede ser descrito como E
para algunos tipos de equipos ópticos está dada por:
1 0
Polarizador horizontal:
,
0 0
0 0
Polarizador vertical:
,
0 1
1 1
1
,
Polarizador a +45◦
2
1 1
1 −1
1
Polarizador a −45◦
,
2
−1 1
1 0
1
iπ/4
,
e
4 -λ Platos, eje vertical
0 −i
1 0
1
,
eiπ/4
4 -λ Platos, eje horizontal
0 i
1 i
1
Polarizador homogéneo circular derecho
,
2
−i 1
1 −i
1
Polarizador homogéneo circular izquierdo
.
2
i 1
4.7
Prismas
Un rayo que incide sobre un prisma es refractado dos veces y adquiere una desviación de su dirección
original de δ = θi + θi + α con respecto a la dirección incidente, donde α es el ángulo del vértice,
θi es el ángulo entre el ángulo de incidencia y la lı́nea perpendicular a la superficie y θi es el ángulo
entre el rayo que desvı́a el prisma y la lı́nea perpendicular a la superficie. Cuando θi varı́a hay un
ángulo para el cual δ es mı́nimo. El ı́ndice de refracción de un prisma es:
n=
sen[ 12 (δminimo + α)]
.
sen( 12 α)
(4.23)
La dispersión de un prisma está definida por:
D=
dδ dn
dδ
=
,
dλ
dn dλ
(4.24)
donde el primer factor depende de la forma y el segundo de la composición del prisma. Para el primer
factor obtenemos:
2sen( 12 α)
dδ
.
(4.25)
=
dn
cos[ 12 (δminimo + α)]
51
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Para luz visible usualmente se cumple que dn/dλ < 0: longitudes de onda cortas son fuertemente
curvadas en comparación con las longitudes de onda largas. El ı́ndice de refracción en ésta área puede
ser usualmente aproximado a la fórmula de Cauchy.
4.8
Difracción
La difracción de Fraunhofer ocurre muy lejos de la(s) fuente(s). Este tipo de difracción a través de
múltiples rendijas está descrita por:
2 2
sen(u)
sen(N v)
I(θ)
=
·
,
I0
u
sen(v)
(4.26)
donde u = πbsen(θ)/λ, v = πdsen(θ)/λ. N es el número de rendijas, b es el espesor de la rendija y d
es la distancia entre rendijas. La máxima intensidad está dada por: dsen(θ) = kλ.
La difracción a través de una apertura esférica de radio a está descrita por:
2
J1 (ka sen(θ))
I(θ)
=
.
I0
ka sen(θ)
(4.27)
El patrón de difracción de una apertura rectangular a la distancia R con una longitud a en la dirección
x y b en la dirección y está descrito por:
2 2
sen(α )
sen(β )
I(x, y)
=
,
I0
α
β
(4.28)
donde α = kax/2R and β = kby/2R.
Un ejemplo de éste fenómeno es cuando los rayos X están difractados por un cristal y se cumple que
para la posición del máximo de intensidad genera la Relación de Bragg:
2dsen(θ) = nλ,
(4.29)
donde d es la distancia entre las capas de los cristales.
Cerca de la fuente, el modelo de Fraunhofer no es válido debido a que ignora la dependencia angular
de las ondas reflejadas. Esto está descrito por la oblicuidad o el factor de inclinación, el cual describe
la direccionalidad de las emisiones secundarias: E(θ) = 12 E0 (1 + cos(θ)), donde θ es el ángulo con
respecto al eje óptico.
La difracción limita la resolución de un sistema. Esta queda en el mı́nimo ángulo ∆θmin entre dos
rayos incidentes provenientes de puntos muy lejanos para los cuales sus patrones de refracción pueden
ser detectados separadamente.
Para una rendija circular se cumple que: ∆θmin = 1.22λ/D, donde D es el diámetro de la rendija.
Para una rendija: ∆θmin = 2λ/(N a cos(θm )), donde a es la distancia entre dos picos y N es el número
de picos. La diferencia mı́nima entre dos longitudes de onda que dan patrones de difracción separados
en una rendija múltiple está dado por ∆λ/λ = nN , donde N es el número de lı́neas y n el orden del
patrón.
4.9
Los efectos ópticos
no es paralelo con E
si la polarización P de un material no
• Birrefringencia. Para éste caso D
es igual en todas las direcciones. Hay al menos tres direcciones en los cuales los ejes principales
son paralelos. Esto resulta en tres ı́ndices de refracción ni los cuales pueden ser construidos
usando un elipsoide de Fresnel. Para el caso n2 = n3 = n1 , el cual sucede, por ejemplo, en
52
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
cristales trigonales, hexagonales y tetragonales hay un eje óptico en la dirección de n1 . El
rayo indicente puede ser dividido en dos partes: en una onda ordinaria la cual es linealmente
polarizada y perpendicular al plano a través de la direción de transmisión y el eje óptico. La
segunda parte es una onda extraordinaria la cual es linealmente polarizada en el plano a través
de la dirección de transmisión y el eje óptico.
• Dicroismo. Este efecto es causado por una absorción diferente de las ondas ordinarias y
extraordinarias en algunas materiales. Las imágenes dobles ocurren cuando un rayo incidente
hace un ángulo con el eje óptico: la onda extraordinaria será refractada y la ordinaria no.
• Retardadores. Una luz incidente tendrá una traslación de fase de ∆ϕ = 2πd(|n0 − ne |)/λ0
si un cristal uniaxial es cortado de tal manera que el eje óptico es paralelo con el frente y la
parte trasera del plano. Aquı́ λ0 es la longitud de onda en el vacı́o y n0 y ne son los ı́ndices de
refracción de las ondas ordinarias y extraordinarias. Para un sector de un 1/4 de la placa de la
onda se cumple que: ∆ϕ = π/2.
• El efecto Kerr. Los materiales isotrópicos y transparentes pueden convertirse en birrefringente
La
cuando los colocamos en un campo eléctrico. En este caso, el eje óptico es paralelo a E.
2
diferencia en el ı́ndice de refracción entre dos direcciones está dada por: ∆n = λ0 KE , donde
K es la constante de Kerr del material. Si los electrodos tienen un efecto en la longitud y
están separados por una distancia d, el efecto de retardo estará dado por: ∆ϕ = 2πKV 2 /d2 ,
donde V es el voltaje aplicado.
• El efecto Faraday. La polarización de una luz que atraviesa un material de longitud d y por
el cual se aplica un campo magnético en la dirección de propagación es rotado por un ángulo
β = VBd donde V es la constante de Verdet.
• El efecto Pockels (efecto óptico electro-lineal). Este puede ocurrir en 20 (de un total de
32) clases de simetrı́a de cristales, llámense a éstos sin un centro de simetrı́a. Estos cristales
son también piezoeléctricos, es decir su polarización cambia cuando una presión es aplicada y
El efecto de retardo de una celda Pockels es ∆ϕ = 2πn3 r63 V /λ0
viceversa: P = pd + ε0 χE.
0
donde r63 es el elemento 6-3 de un tensor óptico-eléctrico.
• Radiación de Cherenkov. Esta surge cuando una partı́cula cargada incide con vq > vf . La
radiación emitida dentro de un cono con un ángulo del vértice α con sen(α) = c/cmedio = c/nvq .
Una analogı́a para explicar esta radiación es el estampido sónico de un avión a reacción. Los
sonidos generado por el avión supersónico se propagan a la velocidad del sonido, mientras el
jet adelanta al frente de ondas formando detrás el denominado frente de choque. De manera
similar, la partı́cula cargada genera luz formando un frente de choque que viaja por el medio.
4.10
El interferómetro de Fabry-Perot
Para un interferómetro de Fabry-Perot se cumple en general que T +R+A = 1 donde T es el factor de
transmisión, R el factor de reflexión y A el factor de absorción. Si F está dado por F = 4R/(1 − R)2
se tiene que la distribución de la intensidad es:
2
A
It
1
.
= 1−
Ii
1 − R 1 + F sen2 (θ)
(4.30)
El término [1 + F sen2 (θ)]−1 := A(θ) es llamada la función de Airy.
√
El espesor
de los picos a mitad de altura está dado por γ = 4/ F . La finura F está definida como
√
F = 12 π F . La máxima resolución está dada por ∆fminimo = c/2dnF.
53
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
4.11
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 4.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Un rayo luminoso incide sobre una superficie de agua formando un ángulo de
30◦ con la horizontal. Calcule los ángulos que forman con la horizontal los rayos reflejado y
transmitido.
Solución. El ángulo de incidencia vale θi = 90 − 30 = 60◦ . El de reflexión es también 60◦ ,
por lo que el rayo reflejado forma un ángulo de 30◦ con la horizontal. El ángulo de transmisión
viene dado por la ley de Snell, n1 senθi = n2 senθi , y despejando tenemos:
1
sen60◦ = 40.6◦ .
(4.31)
θi = arcsin
33
El rayo transmitido forma un ángulo de 90◦ − 40.6◦ = 49.4◦ con la horizontal.
• Ejemplo 2. Un rayo luminoso incide oblicuamente sobre una piscina con agua. Parte del rayo
se refleja en la superficie del agua y otra parte, tras penetrar en el agua, se refleja en el suelo
de la piscina y luego sale al aire. Demuestra que los dos rayos emergentes son paralelos.
Solución. Deseamos demostrar que θ1 = θ6 . Por la ley de reflexión sabemos que θi = θ1 . Por
la ley de Snell
n1
(4.32)
senθi .
θ2 = arcsin
n2
Por ser las dos superficies paralelas θ3 = θ2 y θ5 = θ4 . Por la ley de la reflexión, θ4 = θ3 . Es
decir, que θ5 = θ2 . Finalmente, la ley de Snell aplicada al rayo de salida nos dice que
n2
senθ5 ,
θ6 = arcsin
n1
n 2 n1
= arcsin
senθi ,
n1 n2
= θi ,
= θ1 .
(4.33)
• Ejemplo 3. El ángulo de Brewster entre dos medios es el ángulo de incidencia tal que la suma
de los ángulos de reflexión y de refracción es igual a 90◦ . La luz reflejada de un rayo incidente
con el ángulo de Brewster sale linealmente polarizada. Deduce el valor del ángulo de Brewster
en función de los ı́ndices de refracción de los dos medios involucrados.
Solución. Para el ángulo de Brewster tenemos θr + θt = 90◦ . La ley de la reflexión nos dice
que θr = θi = θB , y la de la refracción:
n1 senθB = n2 senθt .
(4.34)
Por tanto:
n1 senθB = n2 sen(90 − θB ),
→
tan θB =
n2
.
n1
(4.35)
• Ejemplo 4. Una fibra óptica posee una apertura numérica de 0.9 y un ángulo crı́tico de 52◦ .
Calcula los ı́ndices de refracción de los plásticos interior y exterior de la misma.
Solución. Sabemos las siguientes relaciones:
sen52◦
=
0.9
=
nf
= 0.79,
nd
n2d − n2f →
54
0.81 = n2d − n2f .
(4.36)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Deducimos de lo anterior:
0.81 = n2d (1 − 0.792 ).
(4.37)
Y los ı́ndices de refracción valen:
nd = 1.47
y
nf = 1.47 × 0.79 = 1.16.
(4.38)
• Ejemplo 5. Demuestra que la imagen virtual producida por una lente convergente es siempre
mayor que el objeto, y que la imagen producida por una lente divergente es siempre menor que
el objeto.
Solución. Como el tamaño de la imagen es |h | = h|q|/p, entonces ésta será mayor que el
objeto siempre que |q| > p y viceversa. Una lente convergente produce una imagen virtual
cuando p < P −1 y entonces tenemos:
1
1 1
1 1
+ =P →
= P − < → |q| > p.
(4.39)
p q
|q|
p
p
Si la lente es divergente P < 0, se cumple que:
1 1
1
= P− >
|q| p
p
55
→
|q| < p.
(4.40)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 5: Termodinámica
La termodinámica nació como ciencia de las máquinas térmicas. Sin embargo, el concepto térmico
ya no es válido en la actualidad, ya que la termodinámica no sólo estudia el calor, sino todo tipo
de formas de energı́a (mecánica, eléctrica, quı́mica, nuclear, etcétera). Además, la termodinámica
clásica se ocupa de estados de equilibrio y no de estados dinámicos, para los cuales las fuerzas son
importantes (pero que señalaremos brevemente al final del bloque). Entonces, definimos con certeza
a la termodinámica como la ciencia que estudia las transformaciones energéticas.
La termodinámica se fundamenta en cuatro leyes universales denominadas cero, primera, segunda y
tercera. Cada una de ellas requiere de un sistema termodinámico el cual describe cualquier cantidad de
materia o radiación lo suficientemente grande como para ser descrito por parámetros macroscópicos,
sin referencia alguna de sus componentes individuales (microscópicos). También, para la descripción
completa del sistema se necesita delimitar los contornos (los lı́mites) y de las interacciones que se
permiten en el entorno. Estos contornos permiten el paso de materia y energı́a. En este bloque
describiremos las cantidades termodinámicas que involucran los diferentes sistemas termodinámicos,
ası́ como también revisaremos sus funciones de estado mediante las relaciones de Maxwell. Finalmente
desarrollaremos los principios de la estadı́stica termodinámica.
5.1
Notación diferencial
Si existe una relación f (x, y, z) = 0 entre tres variables, puede escribirse: x = x(y, z), y = y(x, z) y
z = z(x, y). El diferencial total dz de z está dado por:
dz =
∂z
∂x
dx +
y
∂z
∂y
dy.
(5.1)
= −1.
(5.2)
x
Escribimos similarmente para dx y dy para obtener:
∂x
∂y
z
·
∂y
∂z
x
Debido a que dz es una diferencial total entonces
·
∂z
∂x
y
dz = 0.
Una función homogénea de grado m cumple que: εm F (x, y, z) = F (εx, εy, εz). Para tal función
aplicamos el teorema de Euler:
mF (x, y, z) = x
5.2
∂F
∂F
∂F
+y
+z
.
∂x
∂y
∂z
(5.3)
Cantidades termodinámicas
• El coeficiente de presión isócrono:
βV =
1
p
• La compresibilidad isotérmica:
1
κT = −
V
57
∂p
∂T
∂V
∂p
.
(5.4)
V
T
.
(5.5)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• El coeficiente de volumen isobárico:
γp =
1
V
• La compresibilidad adiabática:
∂V
∂T
1
κS = −
V
.
∂V
∂p
(5.6)
p
.
(5.7)
S
El ejemplo más general es el de un gas ideal, donde tenemos que: γp = 1/T , κT = 1/p and βV = −1/V .
5.3
Calor y capacidad térmica
• El calor especı́fico a una constante X es:
CX = T
• El calor especı́fico a una presión constante:
Cp =
• El calor especı́fico a un volumen constante:
CV =
∂S
∂T
.
(5.8)
X
∂H
∂T
∂U
∂T
.
(5.9)
.
(5.10)
p
V
Para un gas ideal tenemos que: Cmp − CmV = R. Además, si la temperatura es lo suficientemente
alta para termalizar todas los grados de libertad (rotaciones internos y vibracionales) se cumple que:
CV = 12 sR. Entonces Cp = 12 (s + 2)R. Donde la proporción es ahora γ = (2 + s)/s. A bajos valores
de T necesitamos considerar grados de libertad termalizados. Para un gas de Van der Waals tenemos:
CmV = 12 sR + ap/RT 2 .
En general se cumple que:
Cp − CV = T
∂p
∂T
V
·
∂V
∂T
p
= −T
∂V
∂T
2 p
∂p
∂V
T
≥ 0.
(5.11)
Debido a que (∂p/∂V )T < 0, lo siguiente es válido: Cp ≥ CV . Si el coeficiente de expansión es cero,
Cp = CV , y también a T = 0K.
5.4
Las leyes de la termodinámica
La Ley Cero de la Termodinámica dice que el calor fluye de altas a bajas temperaturas. La Primera
Ley es la conservación de la energı́a. Para un sistema cerrado se cumple que Q = ∆U + W , donde
Q es la cantidad total de calor añadido, W es el trabajo realizado y ∆U la diferencia en la energı́a
interna. En forma diferencial obtenemos: d Q = dU + d W . Para un proceso quasi estático se cumple
que: d W = pdV . Para un proceso reversible tenemos: d Q = dU + pdV .
Para un sistema abierto la primera ley es: Q = ∆H + Wi + ∆Ekin + ∆Epot . La cantidad de trabajo
extraı́da de un sistema Wt y la cantidad de trabajo añadida al sistema es Wt = −Wi .
58
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
La Segunda Ley de la Termodinḿica nos dice que para un sistema cerrado existe una cantidad aditiva
S, llamada entropı́a y su diferencial tiene la siguiente propiedad:
dS ≥
dQ
.
T
(5.12)
Si el único proceso que ocurre es reversible entonces: dS = d Qrev /T . La entropı́a después del proceso
reversible es:
f
d Qrev
.
(5.13)
S2 − S1 =
T
i
Para un ciclo reversible tenemos:
Para un ciclo irreversible tenemos:
d Qrev
= 0.
T
d Qirr
< 0.
T
La Tercera Ley de la Termodinámica es (Nernst):
lim
T →0
∂S
∂X
= 0.
(5.14)
T
De aquı́ podemos concluir que la capacitancia térmica tiende a cero si T → 0, entonces la temperatura
de cero absoluto no puede ser alcanzada al enfriarse el sistema en una serie de pasos finitos.
5.5
Las relaciones de Maxwell
Las cantidades de estado y sus diferenciales son:
Cantidad
Energı́a interna
Entalpı́a
Energı́a libre
Entalpı́a libre de Gibbs
Representación estándar
U
H = U + pV
F = U − TS
G = H − TS
Representación diferencial
dU = T dS − pdV
dH = T dS + V dp
dF = −SdT − pdV
dG = −SdT + V dp
De aquı́ es posible derivar las relaciones de Maxwell:
∂T
∂V
S
=−
∂p
∂S
,
V
∂T
∂p
=
S
∂V
∂S
,
p
∂p
∂T
=
V
∂S
∂V
,
T
∂V
∂T
p
=−
∂S
∂p
.
T
(5.15)
Mediante una diferencial total y las definiciones de CV and Cp podemos obtener:
T dS = CV dT + T
∂p
∂T
V
dV y T dS = Cp dT − T
∂V
∂T
dp.
(5.16)
(5.17)
p
La ecuación del gas ideal es:
Sm = CV ln
T
T0
+ R ln
V
V0
+ Sm0 y Sm = Cp ln
Las ecuaciones de Helmholtz son:
∂U
∂p
=T
−p ,
∂V T
∂T V
59
∂H
∂p
T
T
T0
− R ln
=V −T
∂V
∂T
p
p0
p
,
.
+ Sm0
(5.18)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
para una superficie prolongada se cumple que: d Wrev = −γdA, con γ la tensión superficial. De aquı́
se sigue que:
∂F
∂U
γ=
=
.
(5.19)
∂A S
∂A T
5.6
Procesos
La eficiencia η de un proceso está dada por: η =
Trabajo realizado
.
Calor anadido
El factor de enfriamiento ξ de un proceso con baja temperatura está dado por: ξ =
Frı́o entregado
.
Trabajo anadido
• Procesos reversibles adiabáticos
Para los procesos adiabáticos se cumple que: W = U1 − U2 . La ecuación de Poisson con
γ = Cp /CV es pV γ =constante. También se obtiene que: T V γ−1 = T γ p1−γ =constante.
Los procesos adiabáticos exhiben grandes precipitaciones en el diagrama p-V que las isotermas
debido a que γ > 1.
• Procesos isobáricos
Para estos procesos se cumple que: Hf − Hi =
se tiene que: Hf − Hi = Qreversible .
f
i
Cp dT . Para un proceso reversible isobárico
• El proceso de Carnot
El sistema evoluciona hacia un ciclo reversible con dos isotermas y dos adiabáticas. Consideremos los estados 1 y 2, entonces tenemos:
1. Expansión isotérmica a T1 . El sistema absorbe un calor Q1 del reservorio.
2. Expansión adiabática con una temperatura por debajo de T2 .
3. Compresión isotérmica a T2 , eliminando Q2 del sistema.
4. Compresión adiabática a T1 .
La eficiencia de un proceso de Carnot es:
η =1−
T2
|Q2 |
=1−
:= ηC .
|Q1 |
T1
(5.20)
La eficiencia de Carnot ηC es la máxima eficiencia a la cual la máquina de calor puede operar.
Si el proceso es aplicado en sentido inverso y el sistema evoluciona con un trabajo −W el factor
de enfriamiento está dado por:
ξ=
|Q2 |
T2
|Q2 |
=
=
.
W
|Q1 | − |Q2 |
T1 − T2
(5.21)
• El proceso de Stirling
El ciclo de Stirling consiste de dos isotermas y 2 isocronas. La eficiencia en el caso ideal es la
misma que el ciclo de Carnot.
• El proceso acelerador
Este proceso también es llamado efecto de Joule-Kelvin y es una expansión adiabática de un gas
a través de un material poroso o con una pequeña abertura. Aquı́ H es la cantidad conservada,
60
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
y dS > 0. En general esto se acompaña con un cambio de temperatura. La cantidad que es
importante en el cálculo es el coeficiente de aceleración:
αH =
∂T
∂p
H
1
∂V
=
−V .
T
Cp
∂T p
(5.22)
La temperatura de inversión es la temperatura donde un gas se expande adiabáticamente y
mantiene la misma temperatura. Si T > Ti el gas se calienta, si T < Ti el gas se enfrı́a. Ti = 2TB ,
para TB : [∂(pV )/∂p]T = 0. El proceso acelerador es aplicado, por ejemplo, en los refrigeradores.
5.7
Trabajo termodinámico
Considere un sistema que cambia del estado 1 al estado 2, con una temperatura y una presión en los
alrededores dados por T0 y p0 . El trabajo máximo que puede obtenerse de este cambio es, cuando
todos los procesos son reversibles,
1. Sistema cerrado: Wmaximo = (U1 − U2 ) − T0 (S1 − S2 ) + p0 (V1 − V2 ).
2. Sistema abierto: Wmaximo = (H1 − H2 ) − T0 (S1 − S2 ) − ∆Ecinetico − ∆Epotencial .
El trabajo mı́nimo que se necesita para alcanzar un determinado estado es: Wminimo = −Wmaximo .
5.8
Transiciones de fase
Las transiciones de fase son isotermas e isobáricas, entonces dG = 0. Cuando las fases indicadas por
β
α, β y γ cumplen: Gα
m = Gm entonces
β
α
− Sm
=
∆Sm = Sm
rβα
,
T0
(5.23)
donde rβα es la transición de fase (calor) β a la fase α y T0 es la transición de la temperatura. Lo
anterior se cumple para: rβα = rαβ y rβα = rγα − rγβ . Además
Sm =
∂Gm
∂T
,
(5.24)
p
entonces G tiene un giro en el punto de transición. En un sistema de dos fases, la ecuación de
Clapeyron es válida:
β
S α − Sm
rβα
dp
.
= m
=
β
α
α
dT
Vm − Vm
(Vm − Vmβ )T
(5.25)
Para un gas ideal podemos encontrar una lı́nea de vapor a una distancia de un punto crı́tico:
p = p0 e−rβα/RT .
(5.26)
Existen también transiciones de fase con rβα = 0 para aquellas que ocurren sólo en la discontinuidad
de la segunda derivada de Gm . Estas transiciones de segundo order aparecen en fenónomenos de
organización.
En un cambio de fase de tercer orden con [∂ 3 Gm /∂T 3 ]p aparecen efectos no continuos, por ejemplo
en hierros ferromagnéticos y con un estado paramagnético.
61
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
5.9
Potencial termodinámico
Cuando un número de partı́culas dentro de un sistema cambia, éste número se convierte en una
tercera cantidad de estado. Debido a que la adición de materia usualmente se lleva a cabo a p y T
constantes, G es una cantidad importante. Si existen más componentes tenemos:
dG = −SdT + V dp +
µi dni ,
(5.27)
i
donde
µ=
∂G
∂ni
,
(5.28)
p,T,nj
es el llamado el potencial termodinámico. Esta es una cantidad parcial. Para V se cumple que:
c
c
∂V
V =
ni
:=
ni Vi ,
(5.29)
∂ni nj ,p,T
i=1
i=1
donde Vi es el volumen parcial de la componente i. Lo siguiente también se cumple:
Vm =
x i Vi
(5.30)
i
0=
xi dVi ,
(5.31)
i
donde xi = ni /n es la fracción molar del componente i. El volumen molar es la combinación de dos
componentes que pueden coexistir en una lı́nea cóncava en el digrama V -x2 .
Los potenciales
termodinámicos no son independientes en un sistema de múltiples
fases. Esto puede
ser derivado:
ni dµi = −SdT + V dp, que resulta con una p y T constantes:
xi dµi = 0 (Gibbsi
i
Duhmen).
Cada componente tiene a lo más µ y que equivale al número de fases. El número de parámetros libres
en un sistema con c componentes y p diferentes fases está dado f = c + 2 − p.
5.10
Mezclas ideales
La mezcla o combinación de n componentes dicta lo siguiente: (el superı́ndice X 0 indica el valor para
cada componente):
Umezcla =
ni Ui0 , Hmezcla =
ni Hi0 , Smezcla = n
xi Si0 + ∆Smezcla ,
(5.32)
i
i
donde para los gases ideales: ∆Smix = −nR
i
xi ln(xi ).
i
Para los potenciales termodinámicos tenemos que: µi = µ0i + RT ln(xi ) < µ0i . Una mezcla de dos
lı́quidos no es ideal: esto es usual si sólo es en el caso de componentes quı́micos o en isótopos. A
pesar de esto, se cumple la Ley de Raoult para la presión del vapor de varias mezclas binarias:
pi = xi p0i = yi p. Aquı́, xi es la fracción del i-énesimo componente en fase lı́quida y yi es la fracción
de la i-énesima componente en la fase de gas.
Una solución de un componente en otro da origen al incremento en el punto de ebullición ∆Tk y un
decrecimiento del punto congelamiento ∆Ts . Para x2 1 se cumple que:
∆Tk =
RTk2
RT 2
x2 , ∆Ts = − s x2 ,
rβα
rγβ
(5.33)
con rβα la evaporación y rγβ < 0 el calor derretido. Definimos la presión osmótica como Π y cumple
0
= x2 RT .
que: ΠVm1
62
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
5.11
Condiciones para el equilibrio
Cuando un sistema evoluciona hacia el equilibrio, el único cambio que es posible son los cuales cumple
que:
(dS)U,V ≥ 0
(dU )S,V ≤ 0
(dH)S,p ≤ 0
(dF )T,V ≤ 0
(dG)T,p ≤ 0.
(5.34)
β
γ
En equilibrio, para cada componente: µα
i = µi = µi .
5.12
Bases de la estadı́stica para termodinámica
El número de posibilidades P a distribuir en N partı́culas sobre n posibles niveles de energı́a, cada
uno con una degeneración g es llamada probabilidad termodinámica y está dada por:
P = N!
g ni
i
i
ni !
.
(5.35)
La más probable distribución, con un máximo valor para P , es el equilibrio del estado. Cuando
empleamos la ecuación de Stirling, ln(n!) ≈ n ln(n) − n encontramos para un sistema discreto la
distribución de Maxwell-Boltzmann. La ocupación del número en equilibrio está dado por:
ni =
N
Wi
gi exp −
.
Z
kT
(5.36)
La suma de estados Z es la constante de normalización dada por: Z =
gi exp(−Wi /kT ). Para un
i
gas ideal se cumple que:
Z=
V (2πmkT )3/2
.
h3
(5.37)
La entropı́a del sistema puede definirse como:
S = k ln(P ).
(5.38)
Para un sistema en equilibrio termodinámico:
U
+ kN ln
S=
T
Z
N
U
+ kN ≈
+ k ln
T
Para un gas ideal, con U = 32 kT se cumple que: S = 52 kN + kN ln
5.13
ZN
N!
.
(5.39)
V (2πmkT )3/2
.
N h3
Aplicaciones para otros sistemas
La termodinámica puede ser aplicada a otros sistema de gases y lı́quidos. Para añadir estos componentes necesitamos reemplazar el término d W = pdV con el indicado término de trabajo, por ejemplo
d Wrev = −F dl para el estiramiento de un cable, d Wrev = −γdA para la expansión de una burbuja
de jabón o d Wrev = −BdM para un sistema magnético.
Otro ejemplo lo podemos encontrar en astronomı́a: un agujero negro rotante, no cargado y con
un temperatura de T = h̄c/8πkm. Este tiene una entropı́a de S = Akc3 /4h̄κ con un área en el
horizonte de eventos A. Para un agujero negro de Schwarzschild el horizonte de eventos está dado
por A = 16πm2 . El teorema del área de Hawking establece que dA/dt ≥ 0.
Por tanto, el tiempo de vida de un agujero negro es de t ∼ m3 .
63
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
5.14
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 5.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Los sistemas A y B son gases ideales con coordenadas (p, V ) y (p , V ), respectivamente, y el sistema C es una sustancia elástica de coordenadas (F, L). Cuando A y C están
en equilibrio térmico se cumple:
L2
L
(5.40)
kpV
− 02 − F R = 0.
L0
L
Cuando están en equilibrio térmico A y B se cumple:
pV − p (V − b) = 0,
(5.41)
siendo b, R, k y L0 constantes. Calcule las funciones del par de variables de cada sistema y diga
si son iguales entre sı́ en el equilibrio térmico. Exprese la relación del equilibrio térmico entre
los sistemas B y C.
Solución.Partiendo de las relaciones de equilibrio:
L2
L
kpV
− 02 − F R = 0,
L0
L
FR
,
pV = L2
k LL0 − L0
(5.42)
entonces
pV − p (V − b) = 0
pV = p (V − b) =
→
FR
k
k
pV = p (V − b),
L2
L
− 0
L0
L
−1
.
(5.43)
(5.44)
Partiendo de la relación entre el par de variables de cada sistema en el equilibrio podemos
deducir la relación que expresa el equilibrio térmico entre B y C:
−1
FR
L20
L
k
−
.
(5.45)
p (V − b) =
k
L0
L
• Ejemplo 2. Tres sistemas, que llamaremos 1, 2 y 3 y que tienen el volumen y la presión como
variables mecánicas, se ponen en contacto térmico por parejas. Cuando el primero y el tercero
están en equilibrio térmico se cumplen:
p1 V1 − p2 V2 = bp1 ,
(5.46)
y cuando lo están el segundo y el tercero:
V3 (p2 V2 − p3 V3 ) = a,
(5.47)
donde a y b son constantes. Verifique si estos tres gases cumplen el principio cero. Si la hacen,
derive las funciones que se igualan en el equilibrio térmico.
Solución. Si lo cumplen, ya que existen dos ecuaciones que relacionan las variables de estado
de dos sistemas con uno de ellos, y esto implica que todos los tres sistemas van a estar ligados en
el equilibrio por tres ecuaciones. Por tanto las funciones que se igualan en el equilibrio térmico
son:
p1 V1 − p2 V2 = bp1 ,
V3 (p2 V2 − p3 V3 ) = a
64
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
p2 V 2
=
p2 V 2
=
p1 V1 − bp1
a
+ p3 V 3 .
V3
(5.48)
de donde obtenemos la igualdad:
p2 V2 = p1 V1 − bp1 =
a
+ p3 V 3 .
V3
(5.49)
• Ejemplo 3. Los valores lḿites a p → 0 del producto pV en un termómetro de gas a volumen
constante, en contacto térmico con dos sistemas, θ1 y θ2 , son 45.423 y 53.394 Pa m3 , respectivamente. Calcule la relación de temperaturas T (θ1 )/T (θ2 ), de los dos sistemas. Si el sistema
θ1 es una célula de punto triple del agua. Calcule la temperatura T (θ2 ).
Solución. Partiendo de la definición de temperatura en nuestro caso:
→
θ = θ(X, Y )
θ = θ(p, V ) = pV.
(5.50)
p1 V
p1
45.423
T (θ1 )
=
=
= 0.851.
=
T (θ2 )
p2 V
p2
53.394
(5.51)
Por tanto la relación de temperaturas:
• Ejemplo 4. Un mol de gas real, a presiones moderadas, cumple con la ecuación:
p(V − b) = RT,
(5.52)
donde R y b son constantes. Calcular el coeficiente de compresibilidad isoterma y de dilatación
cúbica.
Solución. Pariendo de las expresiones diferencias de dichos coeficientes, derivando determinaremos los mismos:
R
R
1 ∂V
→ β=
.
(5.53)
=
β=
V ∂T p
Vp
Vp
y
1
κT = −
V
∂V
∂p
=
T
RT
V p2
→
κT =
RT
.
V p2
(5.54)
• Ejemplo 5. Un gas perfecto se comprime isotérmicamente a 300 K desde 2 a 500 atmósferas.
Calcular la variación de la entalpı́a libre G y de la energı́a libre F para un mol de gas.
Solución. Partiendo
= −SdT + V dp,
= −SdT − pdV.
dG
dF
(5.55)
(5.56)
Al ser un proceso a temperatura constante dT = 0:
pf = 2atm
entonces:
dG = V dp → δG =
dF = pdV → δF =
→
pf
V dp = RT
pi
Vf
Vi
pdV = −RT
Vf =
pf
pi
Vf
Vi
RT
= 12.3L,
pi
(5.57)
RT
= 4.92 × 10−2 L,
pf
(5.58)
→
pi = 2atm
Vi =
dp
= RT ln
p
dV
= RT ln
V
65
pf
pi
Vf
Vi
= 135.83atm L = 13.76KJ.(5.59)
= 135.83atm L = 13.76KJ.(5.60)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 6: Mecánica Estadı́stica
EL nexo entre las propiedades macroscópicas que trata la Termodinámica y las propiedades moleculares y atómicas de la materia está dado por la Mecánica Estadı́stica, cuyos principios están basados
en:
• La equiprobabilidad de todos los estados accesible a un sistema aislado.
• La definición estadı́stica de entropı́a.
Con éstos postulados derivamos la descripción estadı́stica de un sistema fı́sico, el cual debe cumplir
con los siguiente requisitos: especificar el estado del sistema y el conjunto de estados accesibles
(esto es lo que se conoce como ensamble estadı́stico), especificar la probabilidad de cada estado y
desarrollar una metodologı́a para el cálculo estadı́stico. Por ello, en este bloque describiremos los
grados de libertad de los ensambles estadı́sticos. También veremos como en un sistema aislado en
equilibrio todos los estados accesibles tienen la misma probabilidad, a partir de donde introduciremos
la definición estadı́stica de la entropı́a, la cual establece una conexión directa entre los estados y las
variables macroscópicas. Finalmente presentaremos un par de ejemplos relativo al movimiento entre
partı́culas.
6.1
Grados de libertad
Consideremos una molécula con n número de átomos y s = 3n grados de libertad. En general,
existen tres grados de libertad traslacionales, una molécula linear tiene s = 3n − 5 grados de libertad
vibracionales y una molécula no lineal tiene s = 3n − 6. Una molécula lineal tiene dos grados de
libertad rotacionales y una no lineal tiene tres.
Debido a que los grados de libertad vibracionales son considerados en la energı́a cinética y potencial,
ambos cuentan el doble. Entonces, para moléculas lineales esto resulta en un total de s = 6n − 5.
Para moléculas no lineales s = 6n − 6. El promedio de la energı́a de una molécula en equilibrio
termodinámico es Etotal = 12 skT . Cada grado de libertad de una molécula tiene en principio la
misma energı́a. Esto es lo que se conoce como el Principio de equipartición.
Las energı́as rotacional y vibracional de una molécula son:
Wrotacional =
h̄2
l(l + 1) = Bl(l + 1) , Wvibracional = (v + 12 )h̄ω0 .
2I
(6.1)
Los niveles vibracionales están excitados si kT ≈ h̄ω, los niveles rotacionales de una molécula hetronuclear están excitados si kT ≈ 2B. Para moléculas homonucleares se aplica una regla de selección
adicional, entonces hay acoplamiento de los niveles rotacionales si kT ≈ 6B.
6.2
La función de la distribución de la energı́a
La forma general de la función de equilibrio de la distribución de la velocidad es:
con
P (vx , vy , vz )dvx dvy dvz = P (vx )dvx · P (vy )dvy · P (vz )dvz ,
(6.2)
2
1
v
P (vi )dvi = √ exp − i2 dvi ,
α
α π
(6.3)
67
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
donde α = 2kT /m√es la más probable velocidad de una partı́cula.
El promedio de la velocidad está
dado por v = 2α/ π, y el valor absoluto de la velocidad por v 2 = 32 α2 . La distribución es una
función del valor absoluto de la velocidad:
4N
mv 2
dN
= 3 √ v 2 exp −
.
(6.4)
dv
2kT
α π
La forma general de la función de distribución de la energı́a se convierte entonces en:
P (E)dE =
c(s)
kT
E
kT
12 s−1
E
dE,
exp −
kT
(6.5)
donde c(s) es una constante de normalización dada por:
• Par s: s = 2l: c(s) =
1
.
(l − 1)!
• Impar s: s = 2l + 1: c(s) = √
6.3
2l
.
π(2l − 1)!!
Presión sobre una pared
El número de moléculas que colisionan con una pared de superficie A en un tiempo τ está dado por:
3
d N=
∞ π 2π
0
0
nAvτ cos(θ)P (v, θ, ϕ)dvdθdϕ.
(6.6)
0
De aquı́ se sigue que el flujo de una partı́cula sobre la pared es: Φ = 14 n v. Para la presión sobre la
pared se sigue que:
d3 p =
6.4
2
2mv cos(θ)d3 N
, entonces p = n E .
Aτ
3
(6.7)
La ecuación de estado
Si las fuerzas intermoleculares y el volumen de las moléculas son despreciables, entonces para los gases
p = 23 n E and E = 32 kT se deriva
pV = ns RT =
1
N m v2 ,
3
(6.8)
donde ns es el número de moles por partı́cula y N es el número total de partı́culas dentro de un
volumen V . Si el propio volumen y las fuerzas intermoleculares no pueden ser despreciables, entonces
se deriva la ecuación de Van der Waals:
an2
(6.9)
p + 2s (V − bns ) = ns RT.
V
En ésta última ecuación se puede observar una lı́nea isoterma con un punto horizontal de inflexión, la
cual corresponde con la temperatura crı́tica, presión y volumen de un gas. Este es el lı́mite superior
que indica la coexistencia entre el ı́quido y el vapor. Para dp/dV = 0 and d2 p/dV 2 = 0 se sigue que:
Tcr =
8a
a
, pcritica =
, Vcr = 3bns .
27bR
27b2
68
(6.10)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Para los puntos crı́ticos se cumple que: pcritica Vm,critica /RTcritica = 38 , los cuales difieren de la unidad,
por lo que se considera la ley general de los gases.
Reescalando las cantidades con p∗ := p/pcritica , T ∗ = T /Tcritica y Vm∗ = Vm /Vm,critica con Vm := V /ns
se cumple que:
∗ 1 8 ∗
3
∗
(6.11)
p +
Vm − 3 = 3 T .
(Vm∗ )2
Los gases se comportan de la misma manera para valores iguales de las cantidades reducidas. Este
fenómeno está delineado por la ley de los estados correspondientes.
Una expansión de virial es usada para casos exactos:
1
B(T ) C(T )
p(T, Vm ) = RT
+
+
+
·
·
·
.
Vm
Vm2
Vm3
(6.12)
La temperatura de Boyle TB es la temperatura para la cual el segundo coeficiente del virial es cero.
En la ecuación de Van der Waals esto sucede a TB = a/Rb. La temperatura de inversión de define
como Ti = 2TB .
La ecuación de estado para los sólidos y lı́quidos está dada por:
V
1 ∂V
1 ∂V
= 1 + γp ∆T − κT ∆p = 1 +
∆T +
∆p.
V0
V ∂T p
V
∂p T
6.5
(6.13)
Colisiones entre moléculas
La probabilidad de colisión de una partı́cula en un gas se calcula usando una traslación en la distancia
v1
con
dx dada por nσdx, donde σ es la sección de transversal. El camino principal es =
nuσ
2
2
u = v1 + v2 , la velocidad relativa entre las partı́culas. De aquı́ surgen dos casos:
u
m1
1
.
• Si m1 m2 se cumple que:
= 1+
, entonces =
v1
m2
nσ
• Si m1 = m2 se cumple:
=
1
√ .
nσ 2
1
. Si las moléculas están
nσv
1
aproximadamente en un sección transversal de una esfera rı́gida: σ = 4 π(D12 + D22 ). El promedio
de la distancia entre dos moléculas es 0.55n−1/3 . Las colisiones entre las moléculas y unas pequeñas
partı́culas en un solución están en movimiento
Para el promedio del movimiento de una
browniano.
partı́cula de radio R puede ser derivado: x2i = 13 r2 = kT t/3πηR.
Esto significa que el tiempo promedio de dos colisiones está dado por: τ =
Un gas es llamado de Knudsen si el camino principal es mayor que la dimensión del gas, algo que
usualmente ocurre a bajas presiones.La condición√de equilibrio
√ para un depósito el cual tiene un
agujero con
una
superficie
A
y
A/π
es:
n
T
=
n
1
1
2 T2 . Empleando la ley general de los
√
√
gases: p1 / T1 = p2 / T2 .
Si dos platos se mueven juntos a una distancia d con una velocidad wx , la viscosidad η está dada por:
Awx
Fx = η
. El perfil de velocidad entre los platos es w(z) = zwx /d. Podemos derivar dicho perfil
d
1
como η = 3  v donde v es la velocidad térmica.
dQ
T2 − T1
La conductancia de calor en un gas estático está descrita por:
= κA
, la cual resulta
dt
d
1
en un temperatura T (z) = T1 + z(T2 − T1 )/d. Esta puede ser derivada de κ = 3 CmV n v /NA .
Donde se cumple que: κ = CV η. Una mejor expresión para κ puede obtenerse con la corrección de
Eucken: κ = (1 + 9R/4cmV )CV · η con un error de menor al 5%.
69
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
6.6
Interacción entre moléculas
Para una interacción dipolar entre las moléculas puede derivarse U ∼ −1/r6 . Si la distancia entre dos
moléculas se aproxima al diámetro molecular D aparece una fuerza repulsiva en la nube del electrón.
Esta fuerza está descrita por Urepulsiva ∼ exp(−γr) o Vrep = +Cs /rs con 12 ≤ s ≤ 20. El resultado
se conoce como el potencial de Lennard-Jones para fuerzas intermoleculares:
ULJ = 4
D
r
12
−
D
r
6 ,
(6.14)
con un mı́nimo a r = rm . Lo siguiente se cumple: D ≈ 0.89rm . Para los coeficientes de Van der
Waals a y b y las cantidades crı́ticas son: a = 5.275NA2 D3 , b = 1.3NA D3 , kT = 1.2 y Vm = 3.9NA D3 .
Un modelo más sencillo para las fuerzas intermoleculares asume un potencial U (r) = ∞ para r < D,
U (r) = ULJ para D ≤ r ≤ 3D y U (r) = 0 con r ≥ 3D. De aquı́ se obtiene un potencial para una
3D
molécula: Epotencial =
U (r)F (r)dr, con F (r) la función de distribución espacial, la cual para
D
una distribución homogénea está dada por: F (r)dr = 4nπr2 dr.
6.7
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 6.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Para mantener un edificio la temperatura media de 18◦ C, su sistema frigorı́fico
se ve obligado a extraer de su interior 600 cals−1 , mientras consume un trabajo eléctrico de 1
kW. Determinar el incremento de entropı́a por segundo que sufre el universo debido al acondicionamiento del edificio sabiendo que el ambiente externo se encuentra a 35◦ C.
Solución. Consideremos el edificio y el medio como dos focos cuyas temperaturas permanecen
inalterables todo el tiempo, y que sobre ellos trabaja una máquina frigorı́fica. Llamemos Q̇1 al
calor por unidad de tiempo extraı́do por la máquina del edificio, Ẇ al trabajo consumido por
unidad de tiempo, y Q̇2 al calor total producido por unidad de tiempo. Por tanto:
Q̇2 = Q̇1 + Ẇ = 600cal/s + 1000J/s = 839.2cal/s.
(6.15)
La entropı́a por unidad de tiempo perdida por el edificio y cedida al medio es:
∆Ṡ1
=
∆Ṡ2
=
−600
Q̇1
= −2.06cal/Ks
=
T1
291
Q̇2 −839.2
= −2.72cal/Ks.
T2 308
(6.16)
(6.17)
La producción total de entropı́a por unidad de tiempo es:
∆Ṡ1 = ∆Ṡ1 + ∆Ṡ2 = 0.66cal/Ks.
(6.18)
• Ejemplo 2. Una viga metálica de 125 kg se encuentra en un ambiente a 12◦ y dispuesta para
ser colocada en un edificio en construcción. Por un descuido, la viga cae al suelo desde una
altura de 24 m sin sufrir daños. Posteriormente la viga se pone en un lugar, a 24 m de altura,
usando un motor que consume una potencia de 0.5 kW durante minuto y medio. Calcular el
incremento de entropı́a que ha experimentado el universo.
Solución. Dado que es constante la temperatura, el incremento de entropı́a es proporcional a
la energı́a perdida en el problema. La energı́a que se pierde es la potencial que tiene la viga y
70
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
aquella del motor que no es ı́ntegramente empleada en subir la viga. Procedemos a calcularlas
comenzando por la potencial:
Ep = mgh = 29400J.
(6.19)
Esta es la energı́a potencial que perderá la viga. El trabajo que produce el motor para subir la
viga es:
W = P t = 45000J.
(6.20)
Teniendo en cuenta que de ese trabajo solo 29400 J se usarán para subir otra vez la viga,
quedando en forma de energı́a reutilizable (mientras no se vuelva a caer otra vez), el resto
(15600 J) se perderá seguramente en forma de calor. Por tanto la energı́a total perdida tras la
caı́da de la viga y su posterior colocación es:
E = 29400 + 15600 = 45000J.
(6.21)
La entropı́a generada (incrementada en el universo) es por tanto:
∆S =
E
45000
=
= 157.9J/K.
T
285
(6.22)
• Ejemplo 3. Calcular ∆S cuando se mezcla 1 mol de N2 con 3 moles de O2 a 25◦ C y una
atmósfera de presión, siendo la presión final de una atmósfera.
Solución. El cambio de entropı́a es básicamente debido a una entropı́a de mezcla, que responde
a la expresión:
∆SM = −ntotal R(xO2 ln xO2 + xN2 ln xN2 ),
(6.23)
donde xO2 y xN2 son las fracciones molares de cada gas, cuyos valores son:
xO 2
=
xN2
=
nO 2
= 0.75
n O 2 + nN 2
nN2
= 0.25.
n O 2 + nN 2
(6.24)
(6.25)
Por tanto
∆SM = −ntotal R(xO2 ln xO2 + xN2 ln xN2 ) = 18.70J/K.
(6.26)
• Ejemplo 4. Se suministra reversiblemente 1200 J/g a una sustancia pura que realiza el proceso
(i → f ) de T = 250K con s(J/g K)=40 a T = 500K con s(J/g K)=sf . Calcule el valor de la
entropı́a en el estado de equilibrio final.
Solución. Sabemos que se le ha suministrado 1200 J/g y que la sustancia no ha devuelto
parte de esa energı́a al medio exterior. Suponemos que ha asumido por completo los 1200 J/g.
Realizando el diagrama, el área bajo la recta es de 1200 g/J. Con esta idea podemos determinar
el valor de sf :
1200 = (sf − 40)250 +
(sf − 40)(500 − 250)
2
→
sf = 43.2J/g.
(6.27)
• Ejemplo 5. Determinar las relaciones de orden cero y de primer orden (relaciones de Maxwell)
de un hilo metálico que cumple:
dU = T dS + ZdL,
(6.28)
donde Z es la fuerza de contracción o estiramiento, L su longitud y T su temperatura.
Solución. Determinaremos las expresiones correspondientes a la entalpı́a, entalpı́a libre de
Gibbs y energı́a libre de Helmholtz:
dH = T dS − LdZ
dG = −SdT − LdZ
71
dF = −SdT − LdZ,
(6.29)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
De aquı́ se deducen las relaciones de orden cero:
∂H
∂H
∂U
∂U
= T,
= −L,
= T,
= Z.
∂S Z
∂Z S
∂S L
∂L S
∂G
∂G
∂F
∂F
= −S,
= −L,
= −S,
= Z.
∂T Z
∂Z T
∂T L
∂L T
Las correspondientes relaciones de Maxwell
∂T
∂Z S
∂T
∂L S
∂S
∂Z T
∂S
∂L T
(6.30)
(6.31)
son:
=
=
=
=
∂L
,
∂S T
∂Z
−
,
∂S L
∂L
−
,
∂T Z
∂Z
−
.
∂T L
−
72
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 7: Mecánica Cuántica
La Mecánica Cuántica se ocupa del comportamiento de la materia y la radiación en las escalas
atómica y subatómica. Por lo que describe y explica las propiedades de las moléculas, los átomos y
sus constituyentes: electrones, protones, neutrones y otras partı́culas fundamentales como los quarks
y los gluones. Estas propiedades incluyen las interacciones de las partı́culas entre sı́ y con la radiación
electromagnética.
En la Mecánica Clásica se identifica el estado de un sistema fı́sico con los valores usuales de ciertos
observables del sistema (por ejemplo, la posición x y la cantidad de movimiento p). En cambio, la
Mecánica Cuántica establece un nexo entre estados y observables. El estado de un sistema cuántico
se describe por medio de la función de onda Ψ(r, t), donde las variables dinámicas se representan
mediante operadores Hermitianos, cuyos autovalores son siempre reales y cuyas autofunciones forma
un sistema ortonormal completo. Esta función de onda no es más que un instrumento de cálculo que
sólo tiene significado en el contexto de la ecuación de Schrödinger. Pero esto no implica que ésta
función carezca de interés fı́sico. Incluso Ψ(r, t) contiene toda la información de interés fı́sico acerca
del sistema, es decir, es posible calcular el valor esperado de cualquier variable dinámica. En este
bloque presentaremos las principales ecuaciones que rigen los fenómenos cuánticos como la radiación
de cuerpo negro, el efecto Compton y la difracción de un electrón. Además presentaremos la función de
onda, el principio de incertidumbre y la famosa ecuación de Schrödinger. Continuaremos analizando
casos como el efecto túnel y el oscilador armónico cuántico. Veremos la matemática dentro del
formalismo de Dirac. Finalmente presentaremos la teorı́a de perturbaciones y la estadı́stica cuántica.
7.1
Radiación de cuerpo negro
La Ley de Planck de la distribución de la energı́a para la radiación de un cuerpo negro es:
w(f ) =
8πhf 3
1
,
3
hf
/kT
c
e
−1
→
w(λ) =
8πhc
1
.
5
hc/λkT
λ e
−1
(7.1)
La Ley de Stefan-Boltzmann para la densidad total puede ser derivada de:
P = AσT 4 .
(7.2)
La Ley de Wien para el máximo puede ser derivada de:
T λmaximo = kW .
7.1.1
(7.3)
El efecto Compton
La longitud de onda de la dispersión de luz, si la luz es considerada como “hecha” de partı́culas,
puede ser derivada de:
λ = λ +
7.1.2
h
(1 − cos θ) = λ + λC (1 − cos θ).
mc
(7.4)
Difracción de un electrón
La difracción de electrones en un cristal puede explicarse al asumir que las partı́culas tienen un
carácter de onda con una longitud llamada de Broglie:
λ=
h
.
p
73
(7.5)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
7.2
Funciones de onda
El carácter de onda de las partı́culas puede ser descrito por una función de onda Ψ. Esta función
puede ser descrita en un espacio de momentos o normal. Ambas definiciones son transformadas de
Fourier donde:
1
1
(7.6)
Φ(k, t) = √
Ψ(x, t)e−ikx dx y Ψ(x, t) = √
Φ(k, t)eikx dk.
h
h
Estas ondas definen una partı́cula con un velocidad de grupo vg = p/m y una energı́a E = h̄ω.
La función de onda puede ser interpretada como la medida de la probabilidad P de encontrar una
partı́cula en algún lugar: dP = |ψ|2 d3 V .
El valor de expectación f de una cantidad f de un sistema está dado por:
f (t) =
Ψ∗ f Ψd3 V.
(7.7)
Esto también puede escribirse como f (t) = Φ|f |Φ. La condición de normalización para las funciones de onda sigue que: Φ|Φ = Ψ|Ψ = 1.
7.3
Operadores en Mecánica Cuántica
En Mecánica Cuántica las candidades clásicas son trasladadas a operadores. Estos operadores son
Hermitianos debido a que sus autovalores deben ser reales:
ψ1∗ Aψ2 d3 V = ψ2 (Aψ1 )∗ d3 V.
(7.8)
Cuando un es una autofunción de la ecuación de
autovalor AΨ = aΨ para el autovalor an , Ψ puede
expandirse en una base de autofunciones: Ψ = cn un . Si esta base es ortonormal, entonces tenemos
n
para los coeficientes: cn = un |Ψ. Si el sistema se encuentra en un estado descrito por Ψ, la
posibilidad de encontrar el autovalor an cuando A es medido esta dado por |cn |2 en la parte discreta
del espectro y |cn |2 da en la parte continua del espectro entre a y a + da.
La matriz del elemento Aij está dada por:
Aij = ui |A|uj .
|un un | = 1.
Debido a que (AB)ij = ui |AB|uj = ui |A |un un |B|uj se cumple que:
n
(7.9)
n
La dependencia temporal de un operador esta dado por (Heisenberg):
∂A [A, H]
dA
=
+
,
dt
∂t
ih̄
(7.10)
con [A, B] ≡ AB − BA, el conmutador de A y B. Para los operadores Hermitianos el conmutador
siempre es complejo. Si [A, B] = 0, los operadores A y B tienen un conjunto de autofunciones.
Aplicando esto a px y x se sigue que (Teorema de Ehrenfest):
md2 xt
dU (x)
.
(7.11)
=−
dt2
dx
La aproximación a primer orden F (x)t ≈ F (x), con F = −dU/dx representa una ecuación de tipo
clásica.
Los operadores de la mecánica cuántica son el producto de otros operadores los cuales deben ser
simétricos: un producto clásico AB se convierte en 12 (AB + BA).
74
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
7.4
El principio de incertidumbre
2
Si la incertidumbre ∆A en A está definida como: (∆A)2 = ψ|A − A |2 ψ = A2 − A tenemos
que:
∆A · ∆B ≥ 12 | ψ|[A, B]|ψ |.
(7.12)
De aquı́ se sigue que: ∆E · ∆t ≥ 12 h̄, y debido a que [x, px ] = ih̄ se cumple:
∆px · ∆x ≥ 12 h̄,
(7.13)
y ∆Lx · ∆Ly ≥ 12 h̄Lz .
7.5
La ecuación de Schrödinger
El operador momento está dado por: p = −ih̄∇. El operador de posición es : x = ih̄∇p . El operador
de energı́a está dado por: E = ih̄∂/∂t. El Hamiltoniano de una partı́cula con masa m, energı́a
potencial U y energı́a total E está dado por: H = p2 /2m + U .
De Hψ = Eψ se obtiene la ecuación de Schrödinger:
−
∂ψ
h̄2 2
∇ ψ + U ψ = Eψ = ih̄
.
2m
∂t
(7.14)
La combinación lineal de las soluciones de ésta ecuación da origen a una solución general. En una
dimensión tenemos:
iEt
.
(7.15)
ψ(x, t) =
+ dE c(E)uE (x) exp −
h̄
h̄
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ).
2im
∂P (x, t)
= −∇J(x, t).
La siguiente ley de conservación se preserva:
∂t
La densidad de corriente J está dada por: J =
7.6
El operador paridad
El operador paridad en una dimensión está dado por Pψ(x) = ψ(−x). Si la función de onda se divide
en funciones impares y pares, esta puede expanderse en autofunciones de P:
ψ(x) = 12 (ψ(x) + ψ(−x)) + 21 (ψ(x) − ψ(−x)),
+
−
par: ψ
impar: ψ
(7.16)
y [P, H] = 0. Las funciones ψ + = 12 (1 + P)ψ(x, t) y ψ − = 12 (1 − P)ψ(x, t) satisfacen la ecuación de
Schrödinger. Por tanto, la paridad es una cantidad conservada.
7.7
El efecto túnel
La función de onda de una partı́cula en un potencial infinito para x = 0 a x = a está dada por
ψ(x) = a−1/2 sen(kx). Los niveles de energı́a estás dados por En = n2 h2 /8a2 m.
Si la función de onda con energı́a W interactúa con un potencial tipo pared de W0 > W ésta, a
diferencia del caso clásico, será diferente de cero dentro del potencial. Si 1, 2, y 4 son las áreas
frontales, dentro y detrás del potencial, respectivamente, se cumple que:
ψ1 = Aeikx + Be−ikx ,
ψ2 = Ceik x + De−ik x ,
75
ψ3 = A eikx ,
(7.17)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
con k 2 = 2m(W − W0 )/h̄2 y k 2 = 2mW . Usar las condiciones de frontera en este problema requiere
de continuidad, es decir, las funciones ψ =continua y ∂ψ/∂x =continua a x = 0 y x = a obteniendo
B, C y D y A expresados en términos de A. La amplitud T de la onda transmitida está definida por
T = |A |2 /|A|2 . Si W > W0 y 2a = nλ = 2πn/k se tiene: T = 1.
7.8
El oscilador armónico cuántico
Para un oscilador armónico se cumple que: U = 12 bx2 y ω02 = b/m. El Hamiltoniano H es:
H=
con
A=
p2
+ 1 mω 2 x2 = 12 h̄ω + ωA† A,
2m 2
1
2 mωx
+√
ip
y A† =
2mω
1
2 mωx
−√
(7.18)
ip
,
2mω
(7.19)
donde A = A† es no hermitiano. Además
[A, A† ] = h̄
y
[A, H] = h̄ωA,
(7.20)
donde A es llamado el operador de creación y A† el operador de aniquilación. HAuE = (E − h̄ω)AuE .
Existe una autofunción u0 para la cual se cumple que: Au0 = 0. La energı́a en este estado base es
1
2 h̄ω: la energı́a en el punto cero. Para las funciones normalizadas se sigue que:
1
un = √
n!
A†
√
h̄
n
u0 con u0 =
4
mωx2
mω
exp −
,
πh̄
2h̄
(7.21)
y En = ( 12 + n)h̄ω.
7.9
El momento angular
Para los operadores de momento angular L tenemos: [Lz , L2 ] = [Lz , H] = [L2 , H] = 0. Sin embargo,
hay términos cı́clicos: [Lx , Ly ] = ih̄Lz . No todos los componentes de L pueden conocerse al mismo
tiempo con cierta precisión arbitraria. Para Lz tenemos:
∂
∂
∂
= −ih̄ x
−y
.
Lz = −ih̄
∂ϕ
∂y
∂x
(7.22)
El operador L± está definido por: L± = Lx ± iLy . Ahora: L2 = L+ L− + L2z − h̄Lz . Además,
∂
∂
+ i cot θ
.
L± = h̄e±iϕ ±
∂θ
∂ϕ
(7.23)
Para [L+ , Lz ] = −h̄L+ tenemos: Lz (L+ Ylm ) = (m + 1)h̄(L+ Ylm ).
Para [L− , Lz ] = h̄L− tenemos: Lz (L− Ylm ) = (m − 1)h̄(L− Ylm ).
Para [L2 , L± ] = 0 tenemos: L2 (L± Ylm ) = l(l + 1)h̄2 (L± Ylm ).
Debido a que Lx and Ly son Hermitianos (esto implica L†± = L∓ ) y |L± Ylm |2 > 0 sigue que:
l(l + 1) − m2 − m ≥ 0 ⇒ −l ≤ m ≤ l. Además se tiene que l tiene un valor entero. Los valores
impares l no dan una única solución ψ.
76
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
7.10
El espı́n
Para el operador espı́n se definen las siguientes relaciones de conmutación: [Sx , Sy ] = ih̄Sz . Debido a
que los operadores de espı́n no actúan en un espacio fı́sico (x, y, z) la unicidad de la función de onda
Ψ no es un criterio en este punto: también los valores medios impares están permitidos por el espı́n.
Debido a que [L, S] = 0, el espı́n y el momento angular no tienen un conjunto de autofunciones en
común. Los operadores de espı́n están dados por: S
= 1 h̄σ , con
2
σx =
0
1
1
0
, σy =
0
i
−i
0
, σz =
1
0
0
−1
.
(7.24)
Los autoestados de Sz son llamados espinores:
χ = α+ χ+ + α− χ− ,
(7.25)
donde χ+ = (1, 0) representa el estado con espı́n arriba (Sz = 12 h̄) y χ− = (0, 1) representa el estado
con espı́n abajo (Sz = − 12 h̄). Entonces, la probabilidad de encontrar el espı́n arriba después de una
medición está dada por |α+ |2 y la probabilidad de encontrar el espı́n abajo esta dada por: |α− |2 . Por
supuesto, se cumple que |α+ |2 + |α− |2 = 1.
debido a que su espı́n, dado por
El electrón tendrá un momento dipolar magnético intrı́nseco M
M = −egS S/2m, genera la relación giromagnética gS = 2(1 + α/2π + · · · ). En presencia de un
· B.
La ecuación de
campo magnético externo este momento da una energı́a potencial de U = −M
Schrödinger se convierte en:
∂χ
≡0
∂xi
→
ih̄
egS h̄
∂χ(t)
=
σ · Bχ(t),
∂t
4m
(7.26)
= Bez tenemos dos autovalores para este problema: χ± para E =
σy , σz ). Si B
con σ = (
σx , ±egS h̄B/4m = ±h̄ω. Entonces la solución general está dada por χ = (ae−iωt , beiωt ). De aquı́ puede
derivarse: Sx = 12 h̄ cos(2ωt) y Sy = 12 h̄sen(2ωt). Además, el espı́n precesa alrededor del eje z con
frecuencia 2ω. Esto causa el efecto Zeeman, donde se observa un desdoblamiento de lı́neas espectrales
y también una polarización de la luz emitida cuando se coloca un átomo en un campo magnético
externo.
El operador potencial de dos partı́culas con espı́n ± 12 h̄ está dado por:
V (r) = V1 (r) +
1 1
3
2 (S1 · S2 )V2 (r) = V1 (r) + 2 V2 (r) S(S + 1) − 2 .
h̄
(7.27)
Lo anterior hace posible que dos estados existan: S = 1 (triplete) or S = 0 (singlete).
7.11
El formalismo de Dirac
Si el operador para p y E se substituyen en la ecuación relativista E 2 = m20 c4 + p2 c2 , se obtiene la
ecuación de Klein-Gordon:
1 ∂2
m2 c2
∇ − 2 2 − 02
c ∂t
h̄
2
ψ(x, t) = 0.
(7.28)
El operador − m20 c2 /h̄2 puede separarse en:
1 ∂2
m2 c 2
∇ − 2 2 − 02 =
c ∂t
h̄
2
m0 c
∂
γλ
−
∂xλ
h̄
77
m0 c
∂
γµ
+
∂xµ
h̄
,
(7.29)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
donde las matrices de Dirac γ están dadas por: {γλ , γµ } = γλ γµ + γµ γλ = 2δλµ (en Relatividad
General esto se convierte en 2gλµ ). Podemos también ver que las matrices γ son Hermitianas 4 × 4:
γk =
0
iσk
−iσk
0
, γ4 =
I
0
0
−I
.
(7.30)
La ecuación de Dirac queda representada por:
γλ
∂
m0 c
+
∂xλ
h̄
ψ(x, t) = 0,
(7.31)
con el espinor ψ(x) = (ψ1 (x), ψ2 (x), ψ3 (x), ψ4 (x)).
7.12
Soluciones a la ecuación de Schrödinger
Las soluciones a la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas, si la energı́a potencial es una
función de r solamente, puede ser escrita como: ψ(r, θ, ϕ) = Rnl (r)Yl,ml (θ, ϕ)χms , con
Clm
Ylm = √ Plm (cos θ)eimϕ .
2π
(7.32)
Para un átomo o un ion con dos electrones tenemos: Rlm (ρ) = Clm e−ρ/2 ρl L2l+1
n−l−1 (ρ) con ρ = 2rZ/na0
j
2
2
y a0 = ε0 h /πme e . Las Li son las funciones asociadas de Laguerre y los Plm son los polinomios
asociados de Legendre:
|m|
Pl
(x) = (1 − x2 )m/2
(−1)m n! −x −m dn−m −x n
d|m| 2
(x − 1)l , Lm
e x
(e x ).
n (x) =
|m|
(n − m)!
dxn−m
dx
(7.33)
La paridad de éstas soluciones es de (−1)l . Las funciones degeneradas son: 2
n−1
(2l + 1) = 2n2 .
l=0
7.12.1
Ecuaciones de autovalores
Las ecuaciones de autovalores para un átomo o ion con un electrón son:
Ecuación
Autovalor
Rango
Hψ = Eψ
En = µe4 Z 2 /8ε20 h2 n2
n≥1
Lz = ml h̄
−l ≤ ml ≤ l
Lz Ylm = Lz Ylm
2
7.12.2
2
2
2
L Ylm = L Ylm
L = l(l + 1)h̄
l<n
Sz χ = Sz χ
Sz = ms h̄
S2χ = S2χ
S 2 = s(s + 1)h̄2
ms = ± 12
s=
1
2
Interacción espı́n-órbita
+M
. El momento dipolar magnético total de un electrón es
El momento total está dado por J = L
S = −(e/2me )(L
+ gS S)
=M
L + M
donde gS = 2.0023 es la relación giromagnética del electrón.
M
S
= L2 +S 2 +2Lz Sz +L+ S− +L− S+ . J tiene los número cuánticos j con
Además: J 2 = L2 +S 2 +2L·
1
un posible valores de j = l± 2 , con 2j+1 posibles y z-componentes (mJ ∈ {−j, .., 0, .., j}). Si la energı́a
78
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
· L.
de interacción entre S y L es pequeña entonces puede establecerse que: E = En + ESL = En + aS
De aquı́ puede derivarse que:
a=
|En |Z 2 α2
.
h̄ nl(l + 1)(l + 12 )
(7.34)
2
Después de una corrección relativista esto se convierte en:
|En |Z 2 α2
E = En +
n
3
1
−
4n j +
1
2
.
(7.35)
La estructura fina en el espectro atómico surge de este efecto. Con gS = 2, el promedio del momento
donde g es el factor de Landé:
promedio = −(e/2me )gh̄J,
magnético es: M
g =1+
· J
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
S
.
=1+
2
J
2j(j + 1)
(7.36)
Para un átomo con más de un electrón tenemos las siguientes situaciones:
1. Acoplamiento L-S: para átomo pequeños la interacción electroestática es dominante y el estado
puede ser caracterizado por L, S, J, mJ . J ∈ {|L − S|, ..., L + S − 1, L + S} y mJ ∈ {−J, ..., J −
1, J}. La notación espectroscópica para esta interacción es: 2S+1 LJ . 2S + 1. Esto es la
multiplicidad de un multiplete.
2. Acoplamiento j-j: para átomos consideradamente grandes la interacción electroestática es más
pequeña que la interacción del electrón Li · si . El estado está caracterizado por ji ...jn , J, mJ
donde solamente ji deben tenerse en cuenta.
La diferencia de energı́a para átomos grandes en un campo magnético es: ∆E = gµB mJ B, donde
g es el factor de Landé. Para una transición entre dos estados singletes divididos en tres partes
∆mJ = −1, 0 + 1. De aquı́ resulta el efecto normal Zeeman, donde se observa un desdoblamiento en
tres lı́neas espectrales con una lı́nea central sin corrimiento. A altos S la lı́nea se divide en más parte
(un número mayor que tres) y se deriva el efecto Zeeman anómalo.
La interacción con el espı́n de un núcleo genera la estructura hiperfina, la cual consiste en diversas
subdivisiones de lı́neas que resultan de las interacciones magnéticas.
7.12.3
Reglas de selección
Para una transición dipolar, los elementos de la matriz son:
· r |l1 m1 |.
p0 ∼ |l2 m2 |E
(7.37)
La conservación del momento angular nos dice que para la transición de un electrón se cumple que
∆l = ±1.
Para un átomo donde el acoplamiento L-S es dominante se tiene que: ∆S = 0 (pero no estrictamente),
∆L = 0, ±1, ∆J = 0, ±1 excepto para transiciones J = 0 → J = 0, ∆mJ = 0, ±1, pero ∆mJ = 0 si
∆J = 0.
Para un átomo donde el acoplamiento j-j es dominante se sigue que: para un electrón que salta
al siguiente nivel se cumple, ∆l = ±1, también: ∆j = 0, ±1, y para todos los demás electrones:
∆j = 0. Para el átomo completo se tiene que: ∆J = 0, ±1 pero no hay transiciones J = 0 → J = 0
y ∆mJ = 0, ±1, y ∆mJ = 0 si ∆J = 0.
79
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
7.13
Interacción con campos electromagnéticos
El Hamiltoniano de un electrón en un campo electromagnático está dado por:
H=
2
2
1
2 − eV = − h̄ ∇2 + e B
·L
+ e A2 − eV,
(
p + eA)
2µ
2µ
2µ
2µ
(7.38)
donde µ es la masa reducida del sistema. El término ∼ A2 puede despreciarse, excepto para campos
= Bez tenemos e2 B 2 (x2 + y 2 )/8µ.
fuertes o para movimientos macroscópicos. Para B
= A
− ∇f , V =
Cuando las siguientes transformaciones de norma son aplicadas al potencial A
iqef /h̄
donde qe es la carga
V + ∂f /∂t la función de onda también se transforma de acuerdo a ψ = ψe
de la partı́cula. Definimos f = f (x, t) como la transformación de norma local en contraste con la
transformación global de norma la cual puede aplicarse en todos los casos.
7.14
Teorı́a de perturbaciones
7.14.1
Teorı́a de perturbaciones independiente del tiempo
Para resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
(H0 + λH1 )ψn = En ψn ,
(7.39)
tenemos que encontrar las autofunciones de H = H0 + λH1 . Supongamos que φn es un conjunto
completo de autofunciones del Hamiltoniano no perturbado H0 : H0 φn = En0 φn . Como φn es un
conjunto completo tenemos:

ψn = N (λ) φn +
k=n

cnk (λ)φk  .
(7.40)
Cuando cnk podemos expandir En alrededor de λ:
(1)
(2)
cnk = λcnk + λ2 cnk + · · ·
(7.41)
En = En0 + λEn(1) + λ2 En(2) + · · ·
(7.42)
(1)
Considerando lo anterior en la ecuación de Schrödinger obtenemos: En = φn |H1 |φn y c(1)
nm =
φm |H1 |φn si m = n. La corrección a segundo orden de la energı́a está dada por: En(2) =
0
En0 − Em
φk |λH1 |φn | φk |H1 |φn |2
. Entonces, a primer order tenemos: ψn = φn +
φk .
0
0
En − Ek
En0 − Ek0
k=n
k=n
En el caso de que los niveles sean degenerados lo anterior no se cumple. En este caso un conjunto de
autofunciones ortonormales φni se escoge para cada nivel n, tal que φmi |φnj = δmn δij . Ahora, ψ
puede expandirse como:


(1) ψn = N (λ) 
αi φni + λ
cnk
βi φki + · · ·  ,
i
k=n
(1)
(7.43)
i
0
0
+ λEni se aproxima por Eni
:= En0 . Reemplazando en la ecuación de Schrödinger
donde Eni = Eni
(1)
y calculando el producto punto con φni obtenemos:
αi φnj |H1 |φni = En αj . La normalización
i
|αi |2 = 1.
requiere que
i
80
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
7.14.2
Teorı́a de perturbaciones dependiente del tiempo
Para la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
ih̄
y la expansión ψ(t) =
cn (t) exp
n
c(1)
n (t) =
λ
ih̄
−iEn0 t
h̄
t
0
7.15
∂ψ(t)
= (H0 + λV (t))ψ(t),
∂t
(7.44)
(1)
φn con cn (t) = δnk + λcn (t) + · · · obtenemos:
φn |V (t )|φk exp
i(En0 − Ek0 )t
dt .
h̄
(7.45)
Sistema de N-partı́culas
Las partı́culas idénticas son indistinguibles, aunque suene obvio, pero para la función de onda total
de un sistema de partı́culas indistinguibles tenemos dos principales aspectos:
1. Partı́culas con un espı́n fraccionario (Fermiones): ψtotal debe ser antisimétrico con respecto
al intercambio de las coordenadas (espacial y de espı́n). El principio de Pauli dicta que dos
fermiones no pueden existir en un estado idéntico debido a que ψtotal = 0.
2. Partı́culas con un espı́n entero (Bosones): ψtotal debe ser simétrico con respecto al intercambio
de las coordenadas (espacial y de espı́n) de cada par de partı́culas.
Para un sistema de dos electrones hay dos posibilidades para la función de onda espacial. Cuando a
y b son los número cuánticos del electrón 1 y 2 entonces:
ψS (1, 2) = ψa (1)ψb (2) + ψa (2)ψb (1) , ψA (1, 2) = ψa (1)ψb (2) − ψa (2)ψb (1).
(7.46)
Como las partı́culas no se aproximan entre ellas la energı́a de repulsión a ψA en este estado es pequeña.
Las siguientes funciones de onda de espı́n son posibles:
χA =
1
2
√
2[χ+ (1)χ− (2) − χ+ (2)χ− (1)]

 χ+
√(1)χ+ (2)
1
χS =
2[χ+ (1)χ− (2) + χ+ (2)χ− (1)]
 2
χ− (1)χ− (2)
ms = 0,
(7.47)
ms = +1
ms = 0
ms = −1
(7.48)
Entonces, la función de onda total debe ser antisimétrica: ψtotal = ψS χA o ψtotal = ψA χS .
Para N partı́culas la función de simetrı́a espacial está dada por:
ψS (1, . . . , N ) =
ψ(todas las permutaciones de 1 . . . N ).
(7.49)
1
La función de onda antisimétrica está dada por el determinante ψA (1, . . . , N ) = √ |uEi (j)|.
N!
7.15.1
Moléculas
Las funciones de onda de un átomo a y b son, respectivamente φa y φb . Si los dos átomos se aproximan
entre sı́ entonces hay dos posibilidades:
la función de onda total se aproxima a una función de unión
√
con menor energı́a total ψB = 12 2(φa + φb ) o se aproxima a una función anti-unión con una alta
√
energı́a ψAB = 12 2(φa − φb ). Si el orbital molecular es simétrico con respecto al eje que los conecta,
81
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
como una combinación de dos orbitales tipo s, este es llamado orbital σ, de cualquier otra manera un
orbital π como la combinación de dos orbitales tipo p a lo largo de los dos ejes.
La energı́a del sistema es:
E=
ψ|H|ψ
.
ψ|ψ
(7.50)
La energı́a calculada con este método siempre es mayor que la energı́a real si ψ es sólo una aproximación para las soluciones de Hψ = Eψ. También, si hay más funciones, la función que dé la
más baja energı́a es la mejor aproximación. Aplicando esto a la función ψ =
ci φi obtenemos:
(Hij − ESij )ci = 0. Esta ecuación solo tiene soluciones si el determinante es |Hij − ESij | = 0. Donde,
Hij = φi |H|φj and Sij = φi |φj . Definimos αi := Hii como la integral de Coulomb y βij := Hij el
intercambio integral. Sii = 1 y Sij es la integral superpuesta.
La primera aproximación en la teorı́a de órbita molecular se aplica a electrones y enlaces quı́micos en
el órbital: ψ(1, 2) = ψB (1)ψB (2). Esto resulta en un valor grande de la densidad del electrón entre el
núcleo y por lo tanto existe una repulsión. Una mejor aproximación es: ψ(1, 2) = C1 ψB (1)ψB (2) +
C2 ψAB (1)ψAB (2), con C1 = 1 y C2 ≈ 0.6.
En algunos átomos, tales como el carbono C, resulta más energético formar orbitales los cuales son
una combinación linear de s, p y estados d. Hay tres maneras de obtener la hibridación en C:
√
1. Hibridación SP: ψsp = 12 2(ψ2s ± ψ2pz ). Existen dos orbitales hı́bridos los cuales se posicionan
en una lı́nea debajo de 180◦ . Además los orbitales 2px y 2py permanecen.
√
2. Hibridación SP2 : ψsp2 = ψ2s / 3 + c1 ψ2pz + c2 ψ2py , donde (c1 , c2 ) ∈ {( 2/3, 0),
√
√
√
√
(−1/ 6, 1/ 2),(−1/ 6, −1/ 2)}. Los orbitales 3 SP2 caen en un solo plano, con un eje
simétrico a un ángulo de 120◦ .
3. Hibridación SP3 : ψsp3 = 12 (ψ2s ± ψ2pz ± ψ2py ± ψ2px ). Los orbitales 4 SP3 de un tetraedro con
un eje simétrico a un ángulo aproximado de 109◦ .
7.16
Estadı́stica cuántica
Si el sistema existe en un estado en el cual no hay disposición de la máxima cantidad de información
acerca del sistema, entonces puede describirse una matriz de densidad ρ. Si la probabilidad de que
ese sistema esté en el estado ψi está dada por ai , y podemos escribir el valor de expectación a de A
como:
a =
ri ψi |A|ψi .
(7.51)
i
Si ψ se expande en una base ortonormal {φk } como: ψ (i) =
A =
k
(i)
ck φk , se cumple:
(Aρ)kk = Tr(Aρ),
(7.52)
k
ri |ψi ψi |. La
donde ρlk = c∗k cl . ρ es Hermitiano con Tr(ρ) = 1. Además se tiene que ρ =
probabilidad de encontrar el autovalor an cuando se realiza la medición de A está dado por ρnn si
usamos la base de autovectores de A para {φk }. Para la dependencia temporal se cumple que (desde
el punto de vista de los operadores de Schrödinger esto no es explı́citamente dependiente del tiempo):
ih̄
dρ
= [H, ρ].
dt
82
(7.53)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Para un sistema macroscópico en equilibrio se tiene que [H, ρ] = 0. Si todos los estados cuánticos con
la misma energı́a son igualmente probables: Pi = P (Ei ), se puede generar una distribución
Pn (E) = ρnn =
e−En /kT
con la suma de estados Z =
e−En /kT .
Z
n
(7.54)
Las cantidades termodinámicas están relacionadas con las siguientes definiciones:
U = H =
F = −kT ln(Z),
∂
ln(Z),
pn En = −
∂kT
S = −k
Pn ln(Pn ).
n
(7.55)
(7.56)
(7.57)
n
Para estados mezclados de M estados cuánticos ortonormales con una probabilidad 1/M se cumple
que: S = k ln(M ).
La función de distribución para los estados internos de un sistema en equilibrio térmico es la más
probable función. Esta puede derivarse al considerar el máximo de una función la cual genere un
número de estados con la ecuación de Stirling:
ln(n!) ≈ n ln(n) − n,
y usando las condiciones
k
nk = N y
(7.58)
nk Wk = W . Para partı́culas indistinguibles las cuales
k
cumplen con el principio de exclusión de Pauli, el posible número de estado está dado por:
P =
k
gk !
nk !(gk − nk )!
(7.59)
Esto resulta en la estadı́stica de Fermi-Dirac. Para partı́culas indistinguibles las cuales no cumplen
con el principio de exclusión de Pauli, el posible número de estado está dado por:
P = N!
g nk
k
k
nk !
(7.60)
Esto resulta en la estadı́stica Bose-Einstein. Entonces, la distribución de funciones las cuales explican
como las partı́culas son distribuidas sobre diferentes estados de una sola partı́cula k las cuales están
degeneradas gk dependen del espı́n de las partı́culas. Estás están dadas por:
1. Estadı́stica de Fermi-Dirac: espı́n entero. nk ∈ {0, 1},
nk =
con ln(Zg ) =
N
gk
,
Zg exp((Ek − µ)/kT ) + 1
(7.61)
gk ln[1 + exp((Ei − µ)/kT )].
2. Estadı́stica de Bose-Einstein: espı́n fraccionario. nk ∈ IN ,
nk =
con ln(Zg ) = −
N
gk
,
Zg exp((Ek − µ)/kT ) − 1
gk ln[1 − exp((Ei − µ)/kT )].
83
(7.62)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Donde,
Zg es suma del gran canónico y µ el potencial quı́mico. Encontramos que puede ser demandado
que
nk = N , y se cumple que la energı́a de Fermi lim µ = EF . N es el número total de partı́culas.
T →0
La distribución de Maxwell-Boltzmann puede ser derivada de la anterior expresión en el lı́mite Ek −
µ kT :
Ek
N
Ek
exp −
, con Z =
,
(7.63)
nk =
gk exp −
Z
kT
kT
k
Con la energı́a de Fermi, las estadı́sticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein pueden escribirse como:
1. Estadı́stica Fermi-Dirac:
nk =
gk
.
exp((Ek − EF )/kT ) + 1
(7.64)
nk =
gk
.
exp((Ek − EF )/kT ) − 1
(7.65)
2. Estadı́stica Bose-Einstein:
7.17
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 7.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Demuestre que según la fı́sica clásica, una carga libre puede dispersar un fotón
pero no absorberlo.
Solución. Inicialmente se tiene una partı́cula libre con masa en reposo m0 y un fotón con
energı́a E0 = hν que se propaga en una dirección fija hacia la partı́cula libre. Suponiendo que
la partı́cula absorbe el fotón, la situación final corresponderı́a a la partı́cula con energı́a Ef
y momento pf ; suponiendo también que la energı́a total se conservara en tal proceso, deberá
cumplirse que
hν + m0 c2 = Ef .
(7.66)
Como por otro lado
Ef2
− m20 c2 ,
c2
eliminando Ef entre ambas expresiones queda
p2f =
p2f =
(hν)2
+ 2hνm0 .
c2
(7.67)
(7.68)
Sin embargo, como antes de la colisión el momento lineal del sistema es pi = hν/c, es posible
reescribir la expresión anterior en la forma
p2f = p2i + 2hνm0 > p2i ,
(7.69)
lo que viola la ley de conservación del momento lineal. Esto significa que el proceso descrito
no se realiza en la naturaleza para ninguna frecuencia ν del fotón. En otras palabras, mientras
que la absorción no puede garantizar la conservación simultánea del momento y la energı́a, la
dispersión sı́ lo hace, pues en este caso el momento lineal se distribuye entre los dos sistemas
finales.
• Ejemplo 2. Utilice la regla de cuantización de Wilson-Sommerfeld para calcular los niveles
permitidos de energı́a para una pelota de masa m que rebota elásticamente en la dirección
vertical.
Solución. De la expresión para la energı́a de la pelota en presencia del campo gravitatorio
cerca de la superficie terrestre,
p2
+ M gz,
(7.70)
E=
2M
84
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
se sigue que
p=
2M (E − M gz).
(7.71)
El
movimiento está acotado entre z = 0 y z = E/M g. La aplicación de la regla de cuantización
pdz = 2πh̄n, con n = 0, 1, 2, . . ., conduce a:
E/M g √
4E 3/2
= 2πh̄n,
(7.72)
2M (E − M gz)dz = 2M
2
3M g
0
de donde
En =
9 2
π M g 2 h̄2 n2
8
1/3
= E1 n2/3 .
(7.73)
• Ejemplo 3. Este ejemplo consta de dos partes:
– (a) Calcule la masa relativista de un electrón cuya longitud de onda de de Broglie es
λ = 0.042Å.
– (b) Defina una masa m∗ del fotón mediante la expresión e = hc/λ = m∗c2 . Calcule cuanto
vale esta masa efectiva con longitud de onda de λ = 0.042Å.
Solución.
– (a) De la expresión relativista
E = mc2 =
calculamos
m=
p2
m0 + 2 =
c
m20 c4 + p2 c2 ,
h2
m20 + 2 2 = m0
c λ
(7.74)
1+
λC
λ
2
,
(7.75)
en donde λC = h/m0 c es la longitud de onda de Compton del electrón. Nótese que de aquı́
se sigue que la longitud de onda de de Broglie se puede expresar en la forma
h
λ= .
2
c m − m20
Sustituyendo en lo anterior que λ = 0.0420Å, obtenemos
2
2π × 3.8615
m = m0 1 +
= 1.155m0 = 1.052 × 10−30kg.
42
(7.76)
(7.77)
– (b) De la definición propuesta para la masa efectiva del fotón podemos escribir
m∗ =
λC
h
=
m0 .
λc
λ
(7.78)
en donde m0 es cualquier masa apropiada de referencia, con λC = h/m0 c la correspondiente
longitud de onda de Compton.
• Ejemplo 4. Compruebe que las eigenfunciones de la partı́cula en un pozo cuadrado infinito no
son funciones propias del operador Ô = −ih̄(d/dx).
Solución. Aplicando el operador Ô a las eigenfunciones de una caja rı́gida que describen los
estados estacionarios de partı́culas
πn
2
sen x,
(7.79)
ϕn =
a
a
obtenemos
πn √
πnx
dϕn (x)
= −ih̄
,
(7.80)
2a cos
dx
a
a
resultado que no tiene la forma de la ecuación de eigenvalores o ecuación de Schrödinger. Esto
muestra que las ϕn (x) no son eigenfunciones del operador −ih̄d/dx.
−ih̄
85
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• Ejemplo 5. Demuestre que la función
ζ(η) = φ ∗ (x)(x − η)2 φ(x)dx,
(7.81)
tiene un mı́nimo para η = x̄.
Solución. Escribimos, sumando y restando la constante arbitraria a en el integrando,
2
ζ(η) =
φ ∗ (x)(x − η) φ(x)dx = φ ∗ (x − a + a − η)2 φdx
=
(x − a)2 + (a − η)2 + 2(x̄ − a)(a − η).
(7.82)
El mı́nimo de esta expresión como función de η ocurre para η solución de la ecuación
−2(a − η) − 2(x̄ − a) = 0,
es decir, η = x̄, lo que da ζmı́n = ζ(x̄) = (x − x̄)2 , la variancia de x.
86
(7.83)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bloque 8: Relatividad Especial y
General
La teorı́a de la Relatividad Especial nació como consecuencia de diez años de continua investigación
y reflexión. Y fue durante el año 1905 que Albert Einstein vislumbró las ecuaciones fundamentales
de la teorı́a, la cual está basada en dos postulados:
• El principio de Relatividad: Todas las leyes de la Fı́sica son válidas para todos los sistemas
inerciales (sea este el conjunto de cuerpos respecto de los cuales se describe el movimientos y
en donde se verifica la ley de la inercia).
• El principio de constancia de la velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacı́o es igual
para todos los observadores y tiene un valor de c = 3 × 108 m/s2 , independientemente del estado
de movimiento de la fuente.
El aspecto más revolucionario de la teorı́a fue la desaparición de la simultaneidad absoluta, es decir,
la duración de un intervalo de tiempo para un observador inercial no tiene porqué coincidir con
la duración del mismo intervalo para otro observador. El tiempo se vuelve relativo al sistema de
referencia y por lo tanto al estado de movimiento de este. Sin embargo, en 1907, mientras escribı́a un
artı́culo acerca de las consecuencias de éstos fenómenos, Einstein comprendió que todos estos podı́an
ser descritos en términos de la Relatividad Especial, excepto para aquellos sistemas que estuviesen
acelerados, en particular en sistemas inmersos en un campo gravitatorio, por lo que el postulado del
principio de relatividad tendrı́a que extenderse a sistemas que, entre ellos, están en movimiento no
uniforme. Es ası́ como se inició el camino hacia la Relatividad General.
La teorı́a de la Relatividad General es un increı́ble logro. Junto con la teorı́a cuántica de campo, es
ahora considerada como uno de los dos pilares de la fı́sica moderna. Es importante ver como está
teorı́a fija un nuevo color en como una teorı́a fı́sica debe ser. Usando el lenguaje de la geometrı́a
diferencial, la Relatividad General nos ha dirigido a nuevas teorı́as, como por ejemplo la conocida
teorı́a de cuerdas. La Relatividad General ha permanecido en las mentes de los fı́sicos desde su
revolucionaria publicación por Einstein en Noviembre de 1915 y es hasta ahora la teorı́a que mejor
describe el comportamiento de nuestro Universo. Además, se encuentra formada por un conjunto de
diez ecuaciones diferenciales de segundo orden, no lineales y acopladas, que gobiernan la expansión
del Universo, el comportamiento de los agujeros negros, la propagación de las ondas gravitacionales y
la formación de todas las estructuras en el Universo, desde los planetas y estrellas hasta los grandes
cúmulos y super cúmulos de galaxias.
En éste último bloque analizaremos las ecuaciones que describen las transformadas de Lorentz en
sistemas inerciales en movimiento uniforme, además de estudiar las modificaciones en éste escenario,
como el efecto Doppler relativista y los corrimientos al azul y rojo. Describiremos el tensor de
energı́a-momento para luego entrar en el escenario de la Relatividad General, donde describiremos
las ecuaciones de Einstein y algunos ejemplos cosmológicos importantes.
8.1
8.1.1
Relatividad Especial
Transformaciones de Lorentz
Las transformaciones de Lorentz de un sistema primado a un sistema no primado (x , t ) = (x (x, t), t (x, t))
preservan invariante la ecuación de onda si c es invariante:
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
+
+
−
=
+
+
−
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
87
(8.1)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Esta transformación también puede encontrarse cuando ds2 = ds2 . La forma general de la transformación de Lorenta está dada por:
(γ − 1)(x · v )v
x · v
.
(8.2)
x = x +
− γv t , t = γ t − 2
|v|2
c
donde
γ=
2
1
1 − β2
,
(8.3)
donde β 2 = vc2 . La diferencia de las velocidades entre dos observadores v se transforma de acuerdo
a la siguiente expresión:
−1 v1 · v2
v1 · v2
v = γ 1 −
v2 + (γ − 1) 2 v1 − γv1 .
c2
v1
(8.4)
Si la velocidad es paralela al eje x, entonces la anterior expresión se transforma en y = y, z = z y:
x = γ(x − vt), x = γ(x + vt ),
x v
xv t =γ t− 2 , t=γ t + 2 ,
c
c
v2 − v 1
v =
v1 v2 .
1− 2
c
(8.5)
(8.6)
(8.7)
Si v = vex se cumple que:
βW
,
px = γ px −
c
W = γ(W − vpx ).
(8.8)
Con β = v/c el campo eléctrico de una carga en movimiento está dado por:
=
E
Q
(1 − β 2 )er
.
2
4πε0 r [1 − β 2 sen2 (θ)]3/2
(8.9)
El campo electromagnético se transforma de acuerdo a:
+ v × B
),
= γ(E
E
v
×
E
−
=γ B
B
.
c2
(8.10)
(8.11)
La longitud, la masa y el tiempo se transforman, respectivamente, de acuerdo a:
lr = l0 /γ,
mr = γm0 ,
(8.12)
(8.13)
(8.14)
∆tr = γ∆t0 ,
con X0 las cantidades en un sistema comóvil de referencia y Xr las cantidades en un sistema en
movimiento uniforme con respecto al sistema comóvil. El tiempo propio τ está definido como: dτ 2 =
ds2 /c2 , entonces ∆τ = ∆t/γ.
Para la energı́a y el momento se cumple que:
W = mr c2 = γW0 ,
→
W 2 = m20 c4 + p2 c2 ,
2
p = mr v = γm0 v = W v/c ,
pc = W β.
88
(8.15)
(8.16)
(8.17)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
La fuerza está definida por F = d
p/dt.
Un cuadri-vector tiene la propiedad de que su módulo es independiente del observador: sus componentes pueden cambiar después de una transformación de coordenadas pero no su módulo. La
diferencia entre dosα cuadri-vectores también es un cuadri-vector. El cuadri-vector velocidad está
dx
dado por U α =
. La relación con la velocidad “usual” ui := dxi /dt es: U α = (γui , icγ). Para
dτ
partı́culas con una masa en reposo se cumple que: U α Uα = −c2 , para partı́culas con una masa que
no ésta en reposo se cumple que (con v = c): U α Uα = 0. El cuadri-vector de la energı́a y el momento
está dado por: pα = m0 U α = (γpi , iW/c). Entonces: pα pα = −m20 c2 = p2 − W 2 /c2 .
8.1.2
Corrimiento al azul y al rojo
Existen tres causas de los corrimientos al rojo y al azul:
1. Movimiento con ev · er = cos(ϕ) donde se tiene que:
v cos(ϕ)
f
=γ 1−
.
f
c
(8.18)
Esto puede generar un corrimiento al rojo - o al azul-, también perpendicular a la dirección del
movimiento.
2. Corrimiento al rojo gravitacional:
κM
∆f
= 2.
f
rc
(8.19)
3. Corrimiento al rojo debido a la expansión del universo, resultado derivado de, por ejemplo, la
radiación cósmica de fondo:
R0
λ0
=
.
(8.20)
λ1
R1
8.1.3
Tensor de energı́a-momento y el tensor de campo
El tensor de energı́a-momento está dado por:
Tµν = (c2 + p)uµ uν + pgµν +
1 Fµα Fνα + 14 gµν F αβ Fαβ .
2
c
(8.21)
Las leyes de conservación pueden ser escritas como ∇ν T µν = 0. El tensor electromagnético está dado
por:
Fαβ =
∂Aβ
∂Aα
−
,
α
∂x
∂xβ
(8.22)
iV /c) y Jµ := (J,
icρ). Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse como:
con Aµ := (A,
∂ν F µν = µ0 J µ ,
∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0.
(8.23)
(8.24)
Las ecuaciones de movimiento de una partı́cula cargada en un campo electromagnético se convierten
a:
dpα
= qFαβ uβ .
(8.25)
dτ
89
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
8.2
8.2.1
Relatividad General
Geometrı́a Riemaniana y el tensor de Einstein
Los principios básicos de la Relatividad General son:
1. El Postulado de la Geodésica. Partı́culas en caı́da libre se mueven a lo largo de una geodésica
en el espacio-tiempo con un tiempo propio τ o la longitud de arco s como parámetro. Para
las partı́culas con una m = 0 en reposo (como por
ejemplo los fotones), se requiere del uso de
un parámetro libre debido a que ds = 0. De δ ds = 0 las ecuaciones de movimiento pueden
derivarse de la ecuación de la geodésica:
β
γ
d2 xα
α dx dx
= 0.
+
Γ
βγ
ds2
ds ds
(8.26)
2. El Principio de Equivalencia: la masa inercial es equivalente a la masa gravitacional, por lo que
la gravitación es equivalente con un espacio-tiempo curvado donde las partı́culas se mueven a
lo largo de geodésicas.
3. Por una elección propia de sistema de coordenadas es posible definir una métrica localmente
plana en cada punto: xi : gαβ (xi ) = ηαβ :=diag(−1, 1, 1, 1).
El tensor de Riemann está definido como:
µ
Rναβ
T ν := ∇α ∇β T µ − ∇β ∇α T µ ,
(8.27)
donde la derivada covariante está dada por ∇j ai = ∂j ai + Γijk ak y ∇j ai = ∂j ai − Γkij ak . Además,
Γijk =
1 il
g
2
∂g k
∂glk
∂glj
+
− jl
∂xk
∂xj
∂x
,
(8.28)
donde para espacios Euclideanos esto se reduce a:
Γijk =
∂ 2 x̄l ∂xi
,
∂xj ∂xk ∂ x̄l
(8.29)
y son los llamados sı́mbolos de Christoffel. Para un tensor de segundo orden se cumple que: [∇α , ∇β ]Tνµ =
µ
σ
Tσµ , ∇k aij = ∂k aij − Γlkj ail + Γikl alj , ∇k aij = ∂k aij − Γlki alj − Γlkj ajl y ∇k aij =
Rσαβ
Tνσ + Rναβ
∂k aij + Γikl alj + Γjkl ail . Por consiguiente obtenemos el tensor de Riemann:
α
α
α
σ
α
σ
Rβµν
= ∂ µ Γα
βν − ∂ν Γβµ + Γσµ Γβν − Γσν Γβµ .
(8.30)
Definimos al tensor de Ricci como una contracción del tensor de Riemann:
µ
Rαβ := Rαµβ
,
(8.31)
∇λ Rαβµν + ∇ν Rαβλµ + ∇µ Rαβνλ = 0.
(8.32)
el cual es simétrico: Rαβ = Rβα .
Las identidades de Bianchi son:
El tensor de Einstein está dado por:
Gαβ := Rαβ − 12 g αβ R,
90
(8.33)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
α
es el escalar
Ricci, el cual cumple que: ∇β Gαβ = 0. Con el principio variacional
donde R := Rα
de
2
4
δ (L(gµν )−Rc /16πκ) |g|d x = 0 para las variaciones de gµν → gµν +δgµν las ecuaciones de campo
de Einstein pueden ser derivadas:
8πκ
Tαβ ,
c2
(8.34)
8πκ
(Tαβ − 12 gαβ Tµµ ).
c2
(8.35)
Gαβ =
Rαβ =
Para el vacı́o esto es equivalente a Rαβ = 0. La ecuación de Rαβµν = 0 tiene como única solución un
espacio plano.
Las ecuaciones de Einstein son diez ecuaciones independientes, las cuales son de segundo orden en gµν .
De aquı́, la ecuación de Laplace de la gravitación newtoniana puede ser derivada: gµν = ηµν + hµν ,
donde |h| 1. En el caso estacionario, este resultado es ∇2 h00 = 8πκ/c2 .
La forma más general de las ecuaciones de campo es:
Rαβ − 12 gαβ R + Λgαβ =
8πκ
Tαβ ,
c2
(8.36)
donde Λ es la Constante Cosmológica. Esta constante juega un rol importante en modelos inflacionarios del universo.
8.2.2
El elemento de lı́nea
El tensor métrico en un espacio Euclidiano está dado por:
gij =
∂ x̄k ∂ x̄k
.
∂xi ∂xj
(8.37)
k
En general se cumple que: ds2 = gµν dxµ dxν . En Relatividad Especial esto puede escribirse como:
ds2 = −c2 dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 . Esta métrica, ηµν :=diag(−1, 1, 1, 1), es llamada la métrica de
Minkowski.
El tensor externo de Schwarzschild se aplica en el vacı́o en el exterior de una distribución de masa
esférica, y está dado por:
−1
2m
2m 2 2
c dt + 1 −
dr2 + r2 dΩ2 ,
ds = −1 +
r
r
2
(8.38)
donde, m := M κ/c2 es la masa geométrica de un objeto con masa M , y dΩ2 = dθ2 + sen2 θdϕ2 , es el
elemento de lı́nea en coordenadas esféricas. Esta métrica es singular para r = 2m = 2κM/c2 . Si un
objeto es más pequeño que el horizonte de eventos r = 2m, esto implica que la velocidad de escape es
mayor que c, y el objeto resultante es llamado un agujero negro. El lı́mite newtoniano de esta métrica
está dado por:
ds2 = −(1 + 2V )c2 dt2 + (1 − 2V )(dx2 + dy 2 + dz 2 ),
(8.39)
donde V = −κM/r es el potencial gravitacional newtoniano. En Relatividad General, los componentes de gµν están asociados con el potencial y las derivadas de gµν .
Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son usadas para resolver ciertos problemas con la métrica de
Schwarzschild cerca de r = 2m. Estas están definidas por:
• r > 2m:



u







 v
=
=
r
r
− 1e( 4m ) cosh
2m
r
r
− 1e( 4m ) senh
2m
91
t
4m
t
4m
(8.40)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
• r < 2m:



u







 v
=
=
1−
r
r ( 4m
) senh
e
2m
r
r ( 4m
) cosh
e
1−
2m
t
4m
t
4m
,
(8.41)
.
• r = 2m: aquı́, las coordenadas de Kruskal son singulares, por lo cual es necesario eliminar la
coordenada singular. El elemento de lı́nea de éstas coordenadas está dado por:
ds2 = −
32m3 −r/2m 2
e
(dv − du2 ) + r2 dΩ2 .
r
(8.42)
La lı́nea r = 2m corresponde a u = v = 0, el lı́mite x0 → ∞ con u = v y x0 → −∞ con u = −v.
Las coordenadas de Kruskal son sólo singulares en la hipérbola v 2 − u2 = 1, esto corresponde a
r = 0. Sobre la lı́nea dv = ±du se cumple que dθ = dϕ = ds = 0.
Para la métrica fuera de una esfera de masa rotante y cargada se aplica la métrica de Newman:
2mr − e2
r2 + a2 cos2 θ
2
2 2
dr2 − (r2 + a2 cos2 θ)dθ2 −
c dt −
ds =
1− 2
r + a2 cos2 θ
r2 − 2mr + a2 − e2
(2mr − e2 )a2 sen2 θ
2a(2mr − e2 )
2
2
2
2
r +a +
sen θdϕ + 2
sen2 θ(dϕ)(cdt).
r2 + a2 cos2 θ
r + a2 cos2 θ
(8.43)
donde m = κM/c2 , a =√L/M c y e = κQ/ε0 c2 . Un agujero negro rotante tiene un horizonte de
eventos con RS = m + m2 − a2 − e2 . Cerca de este agujero negro un efecto de arrastre ocurre
debido a que
√ gtϕ = 0. Para la métrica de Kerr (e = 0, a = 0) se sigue que dentro de la superficie
RE = m + m2 − a2 cos2 θ ninguna partı́cula puede estar en reposo.
8.2.3
Orbitas planetarias y el corrimiento del perihelio
Para encontrar una órbita planetaria,
variacional δ ds = 0 tiene que resolverse. Esto
2 el problema
es equivalente al problema de δ ds = δ gij dxi dxj = 0. Reemplazando la métrica externa de
Schwarzschild para una órbita planetaria tenemos:
m
du du d2 u
,
(8.44)
3mu
+
+
u
=
dϕ dϕ2
dϕ
h2
donde u := 1/r y h = r2 ϕ̇ =constante. El término 3mu no se encuentra presente en la solución
clásica. Este término
en el caso clásico también puede ser encontrado usando el potencial V (r) =
h2
κM
1+ 2 .
−
r
r
La ecuación de la órbita resulta con una r =constante como solución, o puede también derivarse a
través de du/dϕ, y resolverse con teorı́a de perturbaciones. A orden cero, este resultado en una órbita
elı́ptica es: u0 (ϕ) = A + B cos(ϕ) con A = m/h2 y B es una constante arbitraria. A primer orden, se
obtiene
B2
B2
−
cos(2ϕ) .
(8.45)
u1 (ϕ) = A + B cos(ϕ − εϕ) + ε A +
2A 6A
donde ε = 3m2 /h2 es despreciable. El perihelio del planeta es el punto para el cual r es mı́nimo, o
u máximo. Este es el caso si el término cos(ϕ − εϕ) = 0 → ϕ ≈ 2πn(1 + ε). Para el corrimiento del
perihelio se cumple que: ∆ϕ = 2πε = 6πm2 /h2 por órbita.
92
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
8.2.4
La trayectoria de un fotón
Para la trayectoria de un fotón (y para cualquier partı́cula con masa en reposo igual a cero) se cumple
que ds2 = 0. Reemplazando la métrica externa de Schwarzschild obtenemos la ecuación de la órbita:
du d2 u
+ u − 3mu = 0.
(8.46)
dϕ dϕ2
8.2.5
Ondas Gravitacionales
Considerando la aproximación gµν = ηµν + hµν para un campo débil gravitacional y la definición
ν
hµν = hµν − 12 ηµν hα
α se tiene que hµν = 0 si la condición de norma ∂hµν /∂x = 0 se satisface. De
aquı́ obtenemos que la pérdida de energı́a de un sistema mecánico, si las velocidades son menores a
la c y para las longitudes de onda mayores al tamaño del sistema, esto está dado por:
2
dE
G d3 Qij
=− 5
,
(8.47)
dt
5c i,j
dt3
con Qij =
8.2.6
(xi xj − 31 δij r2 )d3 x el cuadripolo del momento de la masa.
Cosmologı́a moderna
Si para el Universo se asume que:
1. Existe una coordenada de tiempo global la cual actúa como x0 de un sistema gausiano de
coordenadas,
2. Los espacios tridimensional son isotrópicos para un cierto valor de x0 ,
3. Cada punto es equivalente a cualquier otro para un fijo x0 ,
entonces la métrica de Robertson-Walker puede ser derivada del elemento de lı́nea:
ds2 = −c2 dt2 +
R2 (t)
2
2
2
2 (dr + r dΩ ),
kr
r02 1 − 2
4r0
(8.48)
Para el factor de escala R(t) se pueden derivar las siguiente ecuaciones:
8πκp
2R̈ Ṙ2 + kc2
+
= − 2 + Λ,
2
R
R
c
Ṙ2 + kc2
Λ
8πκ
+ ,
=
2
R
3
3
donde p es la presión y
desaceleración q:
(8.49)
(8.50)
la densidad del universo. Si Λ = 0 puede derivarse el parámetro de
q=−
4πκ
R̈R
=
,
2
3H 2
Ṙ
(8.51)
donde H = Ṙ/R es la constante de Hubble. Esta es una medición de la velocidad a la cual las galaxias
−1
se mueven unas de las otras, y tiene un valor de ≈ (67.2+1.2
·Mpc−1 . Esto da tres posibles
−1.0 ) km·s
condiciones para el universo (donde, W es la cantidad total de la energı́a en el universo):
1. Universo parabólico: k = 0, W = 0, q = 12 . La tasa de expansión de la velocidad del universo
→ 0 si t → ∞. La densidad crı́tica es c = 3H 2 /8πκ.
2. Universo hiperbólico: k = −1, W < 0, q <
universo permanece siempre positiva.
1
2.
La tasa de expansión de la velocidad del
3. Universo elı́ptico: k = 1, W > 0, q > 12 . La tasa de expansión de la velocidad del universo es
negativa y después de un tiempo el universo empieza a colapsarse.
93
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
8.2.7
Algunas soluciones
Obviamente, es imposible dar una solución exacta de las ecuaciones de Einstein que describan el
Universo entero con todas las estrellas, galaxias, ondas gravitacionales, campos eléctricos y magnéticos
en todo detalle. Pero esto no es lo que pretende la cosmologı́a. Esta ciencia describe la dinámica del
Universo entero a muy grandes escalas, donde la influencia de galaxias e incluso cúmulos de galaxias
con meramente perturbaciones despreciables. De aquı́ se deriva el llamado Principio Cosmológico:
en cualquier momento, el universo es homogéneo e isotrópico a muy grandes escalas.
Definamos las diferentes componentes que contribuyen a la densidad ρ = ρ(R):
2
H ≡
Ṙ
R
2
=
k
8πGρ(R)
− 2,
3
a
(8.52)
de donde vemos inmediatamente que la única forma de tener un Universo plano (k = 0) estático
(H = 0) es que el Universo este vacı́o ρ = 0. Es posible tener un Universo abierto (k = −1)
sin materia con Ṙ = 1 y R ∝ t. Para un Universo dominado por materia, ρ(R) ≈ R−3 , y plano
(k = 0) tenemos Ṙ/R ≈ R−3/2 y por tanto R(t) ∝ t2/3 . Para un Universo dominado por radiación,
ρ(R) ≈ R−4 , y plano (k = 0) tenemos Ṙ/R ≈ R−2 y por tanto R(t) ∝ t1/2 .
8.3
Ejemplos resueltos
En esta sección resolveremos algunos problemas esenciales usando las ecuaciones de este Bloque 8.
El lector podrá consultar los valores correspondientes a las constantes fı́sicas en los Apéndices.
• Ejemplo 1. Un astronauta que se aleja de la Tierra a velocidad v tiene su reloj sincronizado
con un observador terrestre, quien observa los dos relojes simultáneamente con un telescopio.
Calcule el tiempo total desde la posición del astronauta.
Solución. Lo ideal es definir los eventos de importancia y luego convertirlos a partir de las
transformaciones de Lorentz apropiadas. Cuando el astronauta tiene una hora medida (t =
1hr), está en una posición x = 0, siendo que se haya sentado en el origen del sistema de
referencia. De aquı́ podemos aplicar las ecuaciones de Lorentz sobre el evento (t = 1h, x = 0),
y encontrar que
β (8.53)
t=γ t + x ,
c
es decir, t = γt . Simple dilatación. Sin embargo, debemos considerar el tiempo que tarda
la luz en llegar al ojo del observador. Y esto está directamente relacionado con la posición
del astronauta. En el sistema terrestre, este tiempo adicional τ viene dado por τ = r/c,
donde r es la posición del astronauta al momento de medir la hora. Aplicando nuevamente las
transformaciones, tenemos que el evento (t , 0) es en la tierra (t = γt , r = uγt ), por lo que el
tiempo total es
1+β
.
(8.54)
T = γt + βγt = t
1−β
• Ejemplo 2. Una nave se aleja de la tierra a velocidad v = 0.8c. Cuando se encuentra a una
distancia d = 6.66 × 108 km, se le envı́a una señal de radio desde la tierra. Calcule cuanto tarda
en llegar la señal, medido en ambos sistemas de referencia. Determine la posición de la nave
cuando recibe la señal en ambos sistemas de referencia.
Solución. En el sistema de referencia de la Tierra, es muy simple. Igualamos las ecuaciones
de movimiento del cohete y del rayo de luz que sale de la Tierra:
c∆t = d + v∆t,
94
(8.55)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
por lo que
∆t =
d
,
c−v
(8.56)
y por ende, la posición de la nave en este sistema es
c∆t =
cd
,
c−v
(8.57)
que es la misma del la señal cuando se juntan. Ahora, en el sistema de referencia de la nave,
podemos transformar simplemente los eventos anteriores con las ecuaciones de Lorentz. Para el
tiempo, tenemos que el evento (∆t, c∆t) es
vc∆t
∆t = γ ∆t − 2
,
(8.58)
c
y como la nave es el origen del sistema localizado en ella, su posición siempre es x = 0. En
números, ∆t = 11.1 × 103 s y ∆t = 3.7 × 103 s.
• Ejemplo 3. La luz de una señal procedente del centro de una barra en reposo de longitud L0 ,
alcanza sus extremos simultáneamente. Calcular el tiempo, medido en un reloj en reposo, si la
barra se mueve con velocidad V según su eje.
Solución. Se la L longitud de la barra en el sistema en reposo. La distancia entre la señal
luminosa emitida y el extremo izquierdo de la barra disminuye una distancia c + V en cada
segundo. El tiempo que tarda en llegar al extremo izquierdo es
tiz =
L
,
2(c + V )
(8.59)
desde el momento del destello. La distancia entre la señal emitida y el extremo derecho de la
barra, disminuye c − V en cada segundo. El tiempo que tarda en llegar al extremo derecho es
td =
L
.
2(c − V )
El tiempo de retraso es (la señal alcanza el extremo izquierdo antes)
1
LV
L
1
∆t = td − tiz =
−
= 2
.
2 c−V
c+V
c −V2
(8.60)
(8.61)
Debido a la contracción de la longitud, para el sistema en movimiento, la longitud de la barra
es
L=
1
L0 ,
γ
(8.62)
con lo cual, el retraso temporal en la recepción de la onda luminosa es
∆t =
1 L0 V
= 0.
γ c2 − V 2
(8.63)
La conclusión es que la simultaneidad de sucesos tiene carácter relativo, y depende del sistema
de referencia.
• Ejemplo 4. Muestre que, para un universo con constante cosmológica:
ȧ2 =
8πG r0
m0 kc2
− 2,
+
3c2 a2
a
R0
el factor de escala a(t):
95
(8.64)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
– (a) alcanzará un valor máximo valor y luego recolapsará si k > 0;
– (b) incrementará su tasa de crecimiento, es decir ȧ → 0 como t → ∞, si k = 0;
– (c) incrementaá su tasa la cual se acercará a un valor constante como t → ∞, si k < 0.
Solución. Para la ecuación de Friedmann con Λ = 0 tenemos
8πG r0
m0 kc2
− 2,
+
ȧ2 =
3c2 a2
a
R0
(8.65)
– Para el caso (a): el primer término es positivo y tiende a infinito cuando a → 0 y a cero
cuando a → ∞. El segundo término es negativo y constante. A un valor finito de a, los
dos términos se cancelan y ȧ = 0. Por lo tanto, alcanza un valor máximo finito y después
colapsa bajo la gravedad.
– Para el caso (b), el primer término es positivo, tiende a infinito cuando a → 0 y a cero
cuando a → ∞. El segundo término es cero. Además ȧ decrece de un valor largo y tiende
a cero cuando a(0, t) → ∞, es decir, la tasa de expansión decrece con el tiempo.
– Para el caso (c), el primer término es positivo, tiende a infinito cuando a → 0 y a cero
cuando a → ∞. El segundo término es positivo y constante. Además, cuando a → ∞ la
tasa de expansión tiende a un valor constante debido a que el primer término se vuelve
despreciable.
De la ecuación de Friedmann
donde
Ωm0
Ωr0
Ωk0
H2
= 3 + 4 + 2 ,
H02
a
a
a
1
t=
H0
H0 t =
f
Ωm0
−
ln
3/2
Ωk0
2Ωk0
entonces
con f =
√
√
(8.66)
ada
,
Ωm0 a + Ωr0 + Ωk0 a2
(8.67)
(8.68)
√
f
Ωk0
,
Ωm0 a + Ωr0 + Ωk0 a2 .
• Ejemplo 5. Derive el Tensor de Riemann a partir de las ecuaciones de la fuerza gravitacional.
Solución. Empecemos con las ecuaciones de la fuerza gravitacional:
2
r̂,
F = G mr1 m
2
(8.69)
Esta es una fuerza conservativa, ya que
F = −∇φ,
Por el Teorema de Gauss
s
s
2
= −G m1 m
∇φ
r 2 r̂.
F · n̂ds = 4πGM,
· n̂ds = −4πG
∇φ
Usando el Teorema de la divergencia
v
2
∇ φdv = −4πG
∇2 φ = 4πGρ.
Esta es la denominada Ecuación de Poisson .
96
ρdv.
v
ρdv,
v
(8.70)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
∂xµ ∂ 2 xβ
∂xµ ∂xγ ∂xδ β =
Γ
,
δ +
γ
∂xβ ∂xλ ∂xν
∂xβ ∂xν ∂xλ
µ
Γνλ
(8.71)
Del último término de ésta expresión vamos a despejar, derivarla y permutar los ı́ndices
∂xµ ∂ 2 xβ
∂xµ ∂xγ ∂xδ β µ
= Γνλ
−
Γ ,
β
ν
λ
∂x ∂x ∂x
∂xβ ∂xλ ∂xν γ δ
Multiplicamos por
∂xσ
∂xµ
(8.72)
para obtener
∂xσ
∂xσ ∂xµ ∂ 2 xβ
=
∂xµ ∂xβ ∂xν ∂xλ
∂xµ
∂xµ ∂xγ ∂xδ β −
Γ ,
∂xβ ∂xλ ∂xν γ δ
µ
Γνλ
∂xσ µ
∂xγ ∂xδ σ
∂ 2 xσ
=
Γ
−
Γ ,
∂xν ∂xλ
∂xµ νλ
∂xλ ∂xν γ δ
y derivamos
∂ 3 xσ
∂xρ ∂xν ∂xλ
∂ 2 xσ
∂xσ µ
µ
Γ
+
Γ
−
∂xρ ∂xµ νλ
∂xµ νλ,ρ
=
−
∂ 2 xγ ∂xδ
∂xγ ∂ 2 xδ
+
∂xρ ∂xλ ∂xν
∂xλ ∂xρ ∂xν
Γγσ δ
∂xγ ∂xδ ∂xτ σ
Γ ,
∂xλ ∂xν ∂xρ γ δ ,τ
(8.73)
Usando las dos últimas expresiones
∂ 3 xσ
=
ρ
∂x ∂xν ∂xλ
∂xσ α
∂xγ ∂xδ σ
Γρµ −
Γ α
∂x
∂xρ ∂xµ γ δ
∂xτ ∂x γ − λ
Γ ∂x ∂xρ τ ∂xγ
∂xδ
+
∂xν
∂xλ
∂xσ
µ
+ µ
Γνλ
∂x
∂xγ
µ
Γνλ,ρ
− λ
∂
∂xδ ∂xτ σ
Γ −
∂xν ∂xρ γ δ ,τ
∂xδ µ
∂xτ ∂x δ
Γ
−
Γ ρν
∂xµ
∂xρ ∂xν τ ∂xγ µ
Γ
∂xµ ρν
Γγσ δ ,
Factorizando Γ
∂xγ ∂xδ ∂xτ σ
∂xσ α
∂ 3 xσ
α µ
=
+
Γ
Γ
Γγ δ ,τ − Γτ γ Γσ δ − Γτ δ Γγσ ,
Γ
−
νλ,ρ
ρµ νλ
ρ
ν
λ
α
λ
ν
ρ
∂x ∂x ∂x
∂x
∂x ∂x ∂x
(8.74)
γ
γ
γ
δ
∂x
∂x
∂x
∂x
+
Γµ +
Γµ +
Γµ
Γ σ (8.75)
∂xρ νλ
∂xν ρλ
∂xλ νρ ∂xµ γ δ
Ahora permutando ı́ndices mudos ρ → λ, γ → τ ∂ 3 xσ
∂ 3 xσ
−
= 0,
∂xρ ∂xν ∂xλ
∂xλ ∂xν ∂xρ
0
=
∂xγ ∂xδ ∂xτ σ
∂xσ α
α
α
µ
α µ
−
Γ
+
Γ
Γ
−
Γ
Γ
Γγ δ ,τ − Γτσ δ ,γ Γ
−
νρ,λ
νλ,ρ
λµ νρ
ρµ νλ
α
λ
ν
ρ
∂x
∂x ∂x ∂x
+Γγ δ Γτα − Γτ δ Γγσ ,
97
(8.76)
(8.77)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Despejando las Γ
Γωσ η ,ξ
−
Γωσ ξ ,η
+
Γησ Γω ξ
−
Γξσ Γω η
=
donde:
Rωσ ξ η =
∂xσ ∂xλ ∂xν ∂xρ
α
ξ
ω ∂xν ∂xα ∂x ∂x
α
α
µ
α µ
Γνρ,λ − Γνλ,ρ
+ Γνµ
Γνρ
− Γρµ
Γνλ (8.78)
∂xσ ∂xλ ∂xν ∂xρ α
R
∂xα ∂xξ ∂xω ∂xη νλρ
(8.79)
con
α
α
α
α
µ
α ν
Rνλρ
− Γνλ,ρ
+ Γλµ
Γνρ
− Γρµ
Γνλ
= Γνρ,λ
Esta es la expresión para el Tensor de Riemann.
98
(8.80)
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Apéndice A: Constantes en Fı́sica
Nombre
π
e
Constante de Euler
Sı́mbolo
π
e
γ = lim
n→∞
n
k=1
Carga elemental
Constante Gravitacional
Constante de estructura fina
Velocidad de la luz en el vacı́o
Permitibidad en el vacı́o
Permeabilidad en el vacı́o
(4πε0 )−1
e
G, κ
α = e2 /2hcε0
c
ε0
µ0
Constante de Planck
Constante de Dirac
Magnetón de Bohr
Radio de Bohr
Constante de Rydberg
Longitud de onda del electrón Compton
Longitud de onda del protón Compton
Masa reducida del átomo de H
h
h̄ = h/2π
µB = eh̄/2me
a0
Ry
λCe = h/me c
λCp = h/mp c
µH
Constante
Constante
Constante
Constante
Constante
σ
kW
R
NA
k = R/NA
de Stefan-Boltzmann
de Wien
del gas molar
de Avogadro
de Boltzmann
Masa del electrón
Masa del protón
Masa del neutron
Unidad elemental de masa
Magnetón nuclear
me
mp
mn
mu =
µN
Diámetro del sol
Masa del sol
Perı́odo rotacional del sol
Radio de la Tierra
Masa de la Tierra
Perı́odo rotacional de la Tierra
Perı́odo orbital terrestre
Unidad astronómica
Año luz
Pársec
Constante de Hubble
D
M
T
RA
MA
TA
Año tropical
AU
ly
pc
H
1/k − ln(n)
1
12
12 m( 6 C)
99
Valor
3.14159265358979323846
2.71828182845904523536
Unidades
= 0.5772156649
1.60217733 · 10−19
6.67259 · 10−11
≈ 1/137
2.99792458 · 108
8.854187 · 10−12
4π · 10−7
8.9876 · 109
C
m3 kg−1 s−2
5.67032 · 10−8
2.8978 · 10−3
8.31441
6.0221367 · 1023
1.380658 · 10−23
Wm−2 K−4
mK
J·mol−1 ·K−1
mol−1
J/K
1392 · 106
1.989 · 1030
25.38
6.378 · 106
5.976 · 1024
23.96
365.24219879
1.4959787066 · 1011
9.4605 · 1015
3.0857 · 1016
≈ (75 ± 25)
m
kg
dı́as
m
kg
horas
dı́as
m
m
m
km·s−1 ·Mpc−1
m/s
F/m
H/m
Nm2 C−2
6.6260755 · 10−34
1.0545727 · 10−34
9.2741 · 10−24
0.52918
13.595
2.2463 · 10−12
1.3214 · 10−15
9.1045755 · 10−31
Js
Js
Am2
Å
eV
m
m
kg
9.1093897 · 10−31
1.6726231 · 10−27
1.674954 · 10−27
1.6605656 · 10−27
5.0508 · 10−27
kg
kg
kg
kg
J/T
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Apéndice B: El Sistema Internacional (SI)
Unidades básicas
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura
Carga eléctrica
Intensidad luminosa
Cantidad de sustancia
Unidad
metro
kilogramo
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
Sı́mbolo
m
kg
s
K
A
cd
mol
Unidades extras
Angulo plano
Angulo sólido
Unidad
radianes
esterradian
Sı́mbolo
rad
sr
Derivación de otras unidades fı́sicas
Cantidad
Unidad
Sı́mbolo
Derivación
Frecuencia
Fuerza
Presión
Energı́a
Potencia
Carga
Potential
Capacitancia
Resistencia
Conductividad
Flujo magnético
Densidad de flujo magnético
Inductancia
Flujo luminoso
Iluminación
Actividad
Dosis absorbida
Dosis equivalente
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
bequerel
gray
sievert
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
s−1
kg · m · s−2
N · m−2
N·m
J · s−1
A·s
W · A−1
C · V−1
V · A−1
A · V−1
V·s
Wb · m−2
Wb · A−1
cd · sr
lm · m−2
s−1
J · kg−1
J · kg−1
Prefijos del SI
yotta
zetta
exa
peta
tera
Y
Z
E
P
T
1024
1021
1018
1015
1012
giga
mega
kilo
hecto
deca
G
M
k
h
da
109
106
103
102
10
deci
centi
milli
micro
nano
100
d
c
m
µ
n
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
pico
femto
atto
zepto
yocto
p
f
a
z
y
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Apéndice C: Sobre el operador ∇
Podemos expresar el operador ∇ en tres principales coordenadas.
En coordenadas cartesianas (x, y, z) es:
=
∇
Gradf
=
Div a
=
∇2 f
=
Rot a
=
∂
ex
∂x +
∂
ey
∂y +
∂
ez
∂z ,
= ∂f ex + ∂f ey + ∂f ez ,
∇f
∂x
∂y
∂z
∂a
∂a
∂a
x
y
z
· a =
∇
+
+
,
∂x
∂y
∂z
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
,
∂x2
∂y 2
∂z 2
× a = ∂az − ∂ay ex + ∂ax − ∂az ey + ∂ay − ∂ax ez .
∇
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
En coordenadas cilı́ndricas (r, ϕ, z):
=
∇
∇f
=
· a
∇
=
∇2 f
=
× a
∇
=
∂
er
∂r +
1 ∂
eϕ
r ∂ϕ +
∂
ez
∂z ,
∂f
1 ∂f
∂f
er +
eϕ +
ez ,
∂r
r ∂ϕ
∂z
ar
1 ∂aϕ
∂az
∂ar
+
+
+
∂r
r
r ∂ϕ
∂z
1 ∂2f
∂2f
1 ∂f
∂2f
+
+
+
,
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
∂z 2
∂aϕ
∂az
aϕ
1 ∂ar
∂ar
∂aϕ
1 ∂az
−
er +
−
eϕ +
+
−
ez .
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
∂r
r
r ∂ϕ
En coordenadas esféricas (r, θ, ϕ):
=
∇
∇f
=
· a
∇
=
× a
∇
=
∇2 f
=
∂
er
∂r +
1 ∂
eθ
r ∂θ +
1
∂
eϕ
rsenθ ∂ϕ 1 ∂f
1 ∂f
∂f
er +
eθ +
eϕ ,
∂r
r ∂θ
rsenθ ∂ϕ
2ar
1 ∂aθ
aθ
1 ∂aϕ
∂ar
+
+
+
+
,
∂r
r
r ∂θ
r tan θ rsenθ ∂ϕ
aθ
1 ∂aθ
∂aϕ
aϕ
1 ∂ar
1 ∂aϕ
+
−
er +
−
−
eθ +
r ∂θ
r tan θ rsenθ ∂ϕ
rsenθ ∂ϕ
∂r
r
∂aθ
aθ
1 ∂ar
+
−
eϕ ,
∂r
r
r ∂θ
1 ∂2f
1
∂2f
2 ∂f
1
∂f
∂2f
+ 2 2 + 2
+ 2
+
.
2
2
∂r
r ∂r
r ∂θ
r tan θ ∂θ
r sen θ ∂ϕ2
Las coordenadas generales ortonormales y curvilı́neas (u, v, w) pueden obtenerse de las coordenadas
cartesianas usando la transformación x = x(u, v, w). El vector unitario está dado por:
eu =
1 ∂x
1 ∂x
1 ∂x
, ev =
, ew =
,
h1 ∂u
h2 ∂v
h3 ∂w
101
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
donde los factores hi fijan la norma igual a 1. Entonces:
∇f
=
· a
∇
=
× a
∇
=
∇2 f
=
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
eu +
ev +
ew ,
h1 ∂u
h ∂v
h3 ∂w
2
∂
∂
∂
1
(h2 h3 au ) +
(h3 h1 av ) +
(h1 h2 aw ) ,
h1 h2 h3 ∂u
∂v
∂w
1
1
∂(h3 aw ) ∂(h2 av )
∂(h1 au ) ∂(h3 aw )
−
eu +
−
ev +
h2 h3
∂v
∂w
h3 h1
∂w
∂u
∂(h2 av ) ∂(h1 au )
1
−
ew ,
h1 h2
∂u
∂v
∂ h3 h1 ∂f
∂
h1 h2 ∂f
1
∂ h2 h3 ∂f
+
+
.
h1 h2 h3 ∂u
h1 ∂u
∂v
h2 ∂v
∂w
h3 ∂w
102
Fórmulas en Física: principios y ecuaciones básicas
Bibliografı́a
1. Marion and Thorton. Classical Mechanics of particles and systems. Fifth Edition. Thompson
brooks/cole. USA. 2004.
2. Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. and John L. Safko. Classical Mechanics. 3rd Edition.
Pearson. USA. 2001.
3. L D Landau and E.M. Lifshitz. Mechanics. Volume 1 (Course of Theoretical Physics S). 3rd
Edition. Butterworth-Heinemann. 1976.
4. John David Jackson. Classical Electrodynamics. Third Edition. Wiley. USA. 1998.
5. David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. 3rd Edition. Prentice Hall. 1999.
6. Ray D’Inverno. Introduction to Einstein’s Relativity. Oxford Clarendon Press. UK. 1992.
7. Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General
Theory of Relativity. 1st Edition. John Wiley and Sons, Inc. 1972.
8. Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Pearson. 2003.
9. John A. Adam. Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics (Princeton Series in Applied Mathematics). Princeton University Press. 2017.
10. J. Billingham and A. C. King. Wave Motion (Cambridge Texts in Applied Mathematics).
Cambridge University Press. 1 edition. 2001.
11. Eugene Hecht. Optics. Pearson. 5 edition. 2016.
12. Max Born, et al. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference
and Diffraction of Light. Cambridge University Press. 7th edition. 1999.
13. Grant R. Fowles. Introduction to Modern Optics. Dover Publications. 2 edition. 1989.
14. R K Pathria and Paul D. Beale. Statistical Mechanics. Academic Press. 3 edition. 2011.
15. L D Landau and E.M. Lifshitz. Statistical Physics, Part 1: Volume 5 (Course of Theoretical
Physics, Volume 5). 3rd Edition. Butterworth-Heinemann. 1976.
16. David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics. Cambridge University Press. 2 edition.
2016.
17. R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics. Plenum Press. 2nd edition. 2011.
18. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Cambridge University Press. 2 edition. 2017.
19. L D Landau and E.M. Lifshitz. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory (Volume 3). 3rd
Edition. Butterworth-Heinemann. 1976.
20. George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris. Mathematical Methods for Physicists,
Seventh Edition: A Comprehensive Guide. Academic Press. 7 edition. 2012.
21. Bradley W. Carroll and Dale A. Ostlie. An Introduction to Modern Astrophysics. Cambridge
University Press. 2 edition. 2017.
22. Hale Bradt. Astronomy Methods: A Physical Approach to Astronomical Observations. Cambridge University Press. 1 edition. 2004.
23. Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 2nd edition.
2009.
103