EXAMEN DE MATEMÁTICAS NÚMEROS REALES Apellidos: __________________________Nombre: _______________ Curso: 1º Grupo: C Día: 7 - X- 15 1. CURSO 2015-16 Escribe en forma de inecuaciones o sistemas de inecuaciones e intervalos los números que verifican las desigualdades: a) b) c) d) 2. Averigua los números que cumplen cada una de estas expresiones: a) |x| < 4 b) |x -­‐ 2| ≤ 4 c) |x| ≥ 2 d) |x + 3|> 3 3. Opera y simplifica: a) 4. 3 9 . : 678 4 >;<= 4 678 5;<= 4 4- 2 Halla el valor de a) b) − 2 245 + 125 Racionaliza y simplifica: a) 5. !" # b) / , a≠1 b) log 3 9 − log # C C2 4. c) *" # − 2 12 + 45 − 243 c) / - , . ,. . , 3 35 3 − log D . C *D + log * 8 6. Calcula x para que se cumpla: a) logx 5 + 1 = logx 2 x b) 2500 = 2000.1,05 7. Al realizar una encuesta sobre el interés de los habitantes de una localidad en relación con los equipos informáticos, se observó que exactamente el número de encuestados que contestaron que en su casa había más de un ordenador era el 40,454545...% del total. ¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300? 8. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos: a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30000? c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, ¿cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse? Solución del examen 1. Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades y represéntalos: Solución: a) x < 4 o x ≥ 6 o la unión de semirrectas (–∞, 4)∪[6, +∞) b) x > 3 y x < 6 o el intervalo (–∞, 6)∩(3, +∞) = (3, 6) c) x ≤ -­‐4 y x ≥ 4 o la unión de semirrectas (–∞, -­‐4]∪[4, +∞) d) x < 3 o x ≤ -­‐2 o la semirrecta (–∞,3)∪(–∞,-­‐2] = (–∞,3) 2. Averigua los números que cumplen cada una de estas expresiones: a) |x| < 4 b) |x -­‐ 2| ≤ 4 c) |x| ≥ 2 d) |x + 3|> 3 Solución: a) -­‐4 <x < 4 = (-­‐4,4) b) -­‐4≤ x-­‐2 ≤ 4 ⇒ -­‐2≤ x ≤ 6 = [-­‐2, 6] c) x ≤ -­‐2 o x ≥ 2 ⇒ (–∞,-­‐2]∪[2,∞] d) x+3 < -­‐3 o x+3 > 3 ⇒ (–∞,-­‐6)∪(0,∞] 3. Opera y simplifica: 𝟖𝟎 a) 𝟒 𝟐𝟎 b) − 𝟐 𝟐𝟒𝟓 + 𝟏𝟐𝟓 − 𝟐 𝟏𝟐 + 𝟒𝟓 − 𝟐𝟒𝟑 𝟒 c) 𝟒 𝟐 𝐚 𝟑 𝐚𝟑 . 𝐚 Solución: En a) y b) descomponemos en factores primos y sacamos fuera del radical y sacamos factor común de los radicales semejantes. En c) reducimos a común índice y aplicamos las propiedades de los radicales para obtener un único radical. !" a) # *" b) # - c) / − 2 245 + 125 = # D − 2.7 5 + 5 5 = −8 5 # − 2 12 + 45 − 243 = 4 . 4. . 4 9- = 9- 4P 9- / 4Q . 4 = 4P 9- 4Q .4 * D D # 9/ = − 2.2 3 + 3 5 − 9 3 = + 3 5 − 4 3 − 9 3 = * 9- S C 9- 4S 4 R = 9- = 4 4 O D * − 13 3 4 4. Racionaliza y simplifica: a) 𝒂𝟐 𝟔 b) 𝟒 𝟑 Solución: 2 a) = 3 4- b) / c) 4. 2. 3 3. 3 = 3 35 3 = = 2. 3 / 4- . 4 / ./ 3 4 . 4 - = = 2. 3 3 / 4- . 4 / / 3. 3> 3 35 3 . 3> 3 4 = 𝒂𝟑 c) 𝟑 𝟑5 𝟑 = 2. 3 = / 4- . 4 3. 3> 3- > 4 - 3 3 / = 𝑎 . 𝑎 - = 3. 3>3 W>3 = 3( 3>C) 2 = 3>C * = 5. Halla el valor de a) 𝟏 𝟑 𝒂 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒂 >𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝐥𝐨𝐠 5𝒍𝒐𝒈 𝒂 , a≠1 b) 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟗 − 𝐥𝐨𝐠 𝟒 𝟏 𝟏𝟔 − 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟑 𝟏 𝟐𝟓 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟖 Solución: a) Aplicando las propiedades de los logaritmos relativas a los cocientes, potencias y raíces y tomando log a como factor común obtenemos: 9 . : 678 4 >;<= 4 678 5;<= 4 = 9 . 9 * 678 > ;<=4 - 678 C>;<=45 ;<=4 = 9 . 9 678 4 *> - 678 4 >C5 = 9 > . . 9 . *> - >C5 # = − W b) Expresamos los números en forma de potencia de las bases de los respectivos logaritmos: log 3 3* − log # 4>* − log D 5>*/3 + log * 23 Utilizando la definición de logaritmo y sumando los resultados obtenidos: 2— (2) − >* 3 * *3 3 D + 3 = 2 + 2 + + 3 = 2 6. Calcula x para que se cumpla: a) logx 5 + 1 = logx 2 x b) 2500 = 2000.1,05 Solución: * a) logx 5 + logx x = logx 2 ⇒ logx 5x = logx 2 ⇒ 5x = 2 ⇒ x = = 0,4 x b) 1,05 = *D"" *""" D 678 C,*D # 678 C,"D = ⇒ x.log 1,05 = log 1,25 ⇒ x = D = 4,574 7. Al realizar una encuesta sobre el interés de los habitantes de una localidad en relación con los equipos informáticos, se observó que exactamente el número de encuestados que contestaron que en su casa había más de un ordenador era el 40,454545...% del total. ¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300? Solución: Ponemos el número N = 0,40454545… como fracción irreducible. Al ser un decimal periódico mixto: 10000N = 4045,454545... 100N = 40,454545... Restando ambas igualdades y despejando queda: #""D !W N = = WW"" **" Para calcular el número de encuestados que contestaron que tenían más de un ordenador, se debe !W multiplicar el total por la fracción irreducible . Por tanto, el número total de encuestados debe ser **" múltiplo de 220 y, al ser 220 menor que 300, es exactamente 220. 8. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos: a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30000? c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, ¿cuánto tiempo tardaría la población inicial en triplicarse? Solución: 10 a) P(10) = 100.1,5 = 5766,5 es decir que habrá 5766 conejos al cabo de 10 años. t b) 100.1,5t = 30000 ⇒ 1,5 = 300 ⇒ t log 1,5 = log 300 ⇒ t = t t c) 100.1,1 = 300 ⇒ 1,1 = 3 ⇒ t = 678 3 678 C,C = 11,53 años 3 678 3"" 678 C,D = 14,06 años
