PROGRAMA ACADÉMICO Departamento de ciencias básicas UNIDAD DE ESTUDIO Métodos Numéricos INTEGRANTE Kevyn Estiven Marín Nivia Maicol Estiven Romero Buitrago Juan José Cerquera González DOCENTE Sergio David Diaz Taller II Taller II: Aplicación de métodos principales códigos Métodos: METODOS DE SIMPSON MATLAB syms x; fx=input("Introduce tu función:"); a=input("Introduce a:"); b=input("Introduce b:"); n=input("Introduce n para el método de Simpson múltiple:"); vr=int(fx,x,a,b); fprintf("El valor verdadero de la integral es %f \n", vr) fa=subs(fx,a); fb=subs(fx,b); fprintf("\nMÉTODO DE SIMPSON 1/3") ah=(b-a)/2; ax1=a+ah; afx1=subs(fx,ax1); aI=((ah)*(fa+4*afx1+fb))/3; aE=((vr-aI)/vr)*100; fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f", aI); fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%% \n\n", aE); fprintf("\nMÉTODO DE SIMPSON 3/8") bh=(b-a)/3; bx1=a+bh; bx2=a+2*bh; bfx1=subs(fx,bx1); bfx2=subs(fx,bx2); bI= (b-a)*((fa+3*bfx1+3*bfx2+fb)/8); bE=((vr-bI)/vr)*100; fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f% \n", bI); fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%%\n", bE); fprintf("MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE") ch=(b-a)/n; s1=0; s2=0; for i=1:n x(i)=a+i*ch; end for i=1:2:n-1 s1=s1+subs(fx,x(i)); end for i=2:2:n-2 s2=s2+subs(fx,x(i)); end cI= (b-a)*((fa+(4*s1)+(2*s2)+fb)/(3*n)); cE=abs(((vr-cI)/vr)*100); fprintf("\nEl resultado aproximado es: %f% \n", cI); fprintf("\nEl porcentaje de error es del %f%%", cE); METODO DEL TRAPECIO MATLAB clc; close all; clear fprintf ('Cálculo del área por el método de trapecio\n'); fprintf('-----------------------------------------------\n') f=input('ingrese la función f(x)=','s'); a=input('ingrese el límite inferior de la integral='); b=input('ingrese el límite superior de la integral='); N=input('Número de intervalos ='); g=inline(f); h=(b-a)/N; s=0; m=(feval(g,a)+feval(g,b))*h/2; for i=1:N-1 s=feval(g,a+(i)*h)*h+s; fprintf('Trapecios centrales: %10.2f\n',s); end R=m+s; fprintf('\t\tEl área aproximado: %10.2f\n',R); ezplot(g); a) Cálculo del área por el método de trapecio ----------------------------------------------ingrese la función f(x)=1/(x*(x+2)) ingrese el límite inferior de la integral=2 ingrese el límite superior de la integral=10 Número de intervalos =7 Trapecios centrales: 0.07 Trapecios centrales: 0.11 Trapecios centrales: 0.14 Trapecios centrales: 0.16 Trapecios centrales: 0.18 Trapecios centrales: 0.19 El área aproximado: 0.27 Introduce tu función:1/(x*(x+2)) Introduce a:2 Introduce b:10 Introduce n para el método de Simpson múltiple:7 El valor verdadero de la integral es 0.255413 MÉTODO DE SIMPSON 1/3 El resultado aproximado es: 0.288889 El porcentaje de error es del -13.106655% MÉTODO DE SIMPSON 3/8 El resultado aproximado es: 0.273593 El porcentaje de error es del -7.117991% MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE El resultado aproximado es: 0.245000 El porcentaje de error es del 4.076865%>> b) Punto2 : (exp(1)^-x)*(sin(x))^2 Cálculo del área por el método de trapecio ----------------------------------------------METODO DEL TRAPECIO ingrese la función f(x)=(exp(1)^-x)*(sin(x))^2 ingrese el límite inferior de la integral=0 ingrese el límite superior de la integral=10 Número de intervalos =30 Trapecios centrales: 0.03 Trapecios centrales: 0.09 Trapecios centrales: 0.18 Trapecios centrales: 0.26 Trapecios centrales: 0.32 Trapecios centrales: 0.36 Trapecios centrales: 0.38 Trapecios centrales: 0.38 Trapecios centrales: 0.38 Trapecios centrales: 0.38 Trapecios centrales: 0.39 Trapecios centrales: 0.39 Trapecios centrales: 0.39 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 Trapecios centrales: 0.40 El área aproximado: 0.40 METODOS SIMPOSON Introduce tu función:(exp(1)^-x)*(sin(x))^2 Introduce a:0 Introduce b:10 Introduce n para el método de Simpson múltiple:30 El valor verdadero de la integral es 0.399971 MÉTODO DE SIMPSON 1/3 El resultado aproximado es: 0.041328 El porcentaje de error es del 89.667343% MÉTODO DE SIMPSON 3/8 El resultado aproximado es: 0.005543 El porcentaje de error es del 98.614109% MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE El resultado aproximado es: 0.400400 El porcentaje de error es del 0.107366% c) Punto 3: (1/(sqrt(2*x)))*((exp(1))^(-x)^2) Cálculo del área por el método de trapecio ----------------------------------------------ingrese la función f(x)=(exp(1))^(-x^2) ingrese el límite inferior de la integral=0 ingrese el límite superior de la integral=4 Número de intervalos =10 Trapecios centrales: 0.34 Trapecios centrales: 0.55 Trapecios centrales: 0.65 Trapecios centrales: 0.68 Trapecios centrales: 0.68 Trapecios centrales: 0.69 Trapecios centrales: 0.69 Trapecios centrales: 0.69 Trapecios centrales: 0.69 El área aproximado: 0.89 METODOS SIMPSON Introduce tu función:(exp(1))^(-x^2) Introduce a:0 Introduce b:4 Introduce n para el método de Simpson múltiple:10 El valor verdadero de la integral es 0.886227 MÉTODO DE SIMPSON 1/3 El resultado aproximado es: 0.715508 El porcentaje de error es del 19.263516% MÉTODO DE SIMPSON 3/8 El resultado aproximado es: 0.754744 El porcentaje de error es del 14.836257% MÉTODO DE SIMPSON MÚLTIPLE El resultado aproximado es: 0.886227 El porcentaje de error es del 0.000014% Metodo de Romberg 𝐼𝐽∗𝐾 = 4𝐾−1 𝐼𝐽+1,𝐾−1 − 𝐽𝐽𝐾−1 4𝐾−1 − 1 𝐼1,2 = 𝐼1,2 = 4(2,4) − 0 = 3.2 3 𝐼1,3 = 𝐼1,4 = 4𝐼2,1 − 𝐼1,1 3 𝐼1,2 = 4(3.325) − 2.4 = 3.6333 3 16(3.633) − 3.2 = 3.662 15 64(3,6483) − 3,662 = 3,6491 63 A. Hacer conversión de la tasa dada de la unidad de automóviles por 4 minutos a automóviles por día. Tiempo(t) 7:30 C (autos por día) 18 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 6480 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 7:45 24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 8640 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 8:00 14 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 5040 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 8:15 24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 8640 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 8:45 21 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 7560 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 9:15 9 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 1440 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ = 3240 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑑í𝑎 Evaluar los primeros 4 segmentos usando Simpson 3/8. ℎ= = 1 𝑑𝑖𝑎 45 min∗ 1440 𝑚𝑖𝑛 3 1 96 𝐴1 = 3ℎ [𝐶 + 3(𝐶1 + 𝐶2 ) + 𝐶3 ] 8 0 3 1 = ( ) [6480 + 3(8640 + 5040) + 8640] 8 96 = 1755 8 Los últimos dos segmentos son evaluados por Simpson 1/3. ℎ= = 1 𝑑í𝑎 60 min∗ 1440 𝑚𝑖𝑛 2 1 48 𝐴2 = ℎ [𝐶 + 4𝐶4 + 𝐶5 ] 3 3 1 1 = ( ) [8640 + 4(7560) + 3240] 3 48 = 585 2 El número de autos que pasan entre el intervalo de 7:30 a 9:15 es igual a la suma de las dos integrales anteriores. 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = 1755 585 + 8 2 = 511.875 ≈ 512 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 B. Tiempo(t) 7:30 Tasa de autos por minuto 18 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ = 4.5 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 7:45 24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ =6 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 8:00 14 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ = 3.5 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 8:15 24 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ =6 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 8:45 21 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ = 5.25 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 9:15 9 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑥 ∗ = 2.25 4 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 PROCEDIMIENTO REALIZADO EN EL EXCEL ADJUNTO Modificar la tabla y asignarle un valor I a cada par de datos t, y. I t y 0 0 0 1 25 32 2 50 58 3 75 75 4 100 92 5 125 100 Se usa la fórmula de la derivada numérica hacia adelante en A t=0, así conseguir la aceleración y la velocidad. 𝑣= −𝑓(𝑡𝑦0+2 ) + 4 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 3𝑓(𝑡𝐼 ) 2ℎ = −𝑓(𝑡2 ) + 𝑎 𝑓(𝑡1 ) − 3𝑓(𝑡0 ) 2(25) = −58 + 4(32) − 3(0) 50 = 1.40 𝑎= −𝑓(𝑡𝑦0+3 ) + 4 𝑓(𝑡𝑦0+2 ) − 5𝑓(𝑡𝑦0+1 ) + 2𝑓(𝑡𝐼 ) ℎ2 = −𝑓(𝑡3 ) + 4 𝑓(𝑡2 ) − 5𝑓(𝑡1 ) + 2𝑓(𝑡0 ) 252 = −78 + 4(58) − 5(32) + 2(0) 625 = −0.0096 Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=25. 𝑣= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) 2ℎ = 𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡0 ) 2(25) = 58 − 0 50 = 1.16 𝑎= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 ) ℎ2 = 𝑓(𝑡2 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 ) 252 = −78 + 4(58) − 5(32) + 2(0) 625 = −0.0096 Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=50. 𝑣= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) 2ℎ = 𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡0 ) 2(25) = 78 − 32 50 = 0.92 𝑎= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 ) ℎ2 = 𝑓(𝑡3 ) − 2 𝑓(𝑡2 ) − 3𝑓(𝑡3 ) 252 = 78 − 2(58) + 32 625 = −0.0096 Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=75. 𝑣= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) 2ℎ = 𝑓(𝑡4 ) − 𝑓(𝑡2 ) 2(25) = 92 − 58 50 = 0.68 𝑎= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 ) ℎ2 = 𝑓(𝑡4 ) − 2 𝑓(𝑡3 ) − 3𝑓(𝑡2 ) 252 = 92 − 2(78) + 58 625 = −0.0096 Se usa la fórmula de derivada numérica central en A t=100. 𝑣= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) 2ℎ = 𝑓(𝑡5 ) − 𝑓(𝑡3 ) 2(25) = 100 − 92 50 = 0.16 𝑎= 𝑓(𝑡𝑦0+1 ) − 2 𝑓(𝑡𝐼 ) − 3𝑓(𝑡𝑦0−1 ) ℎ2 = 𝑓(𝑡5 ) − 2 𝑓(𝑡4 ) − 3𝑓(𝑡3 ) 252 = 100 − 2(92) + 78 625 = −0.0096 Se usa la fórmula de derivada numérica hacia atrás en A t=125. 𝑣= 3𝑓(𝑡𝐼 ) − 4 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) + 𝑓(𝑡𝑦0−2 ) 2ℎ = 3𝑓(𝑡5 ) − 4 𝑓(𝑡4 ) + 𝑓(𝑡3 ) 2(25) = 3(100) − 4(92) + (78) 50 = 0.20 𝑎= = 2𝑓(𝑡𝐼 ) − 5 𝑓(𝑡𝑦0−1 ) + 4𝑓(𝑡𝑦0−2 ) − 𝑓(𝑡𝑖−3 ) ℎ2 2(100) − 5(92) + 4(78) − 58 625 = −0.0096 t 0 25 50 75 100 125 Y 0 32 58 78 92 100 v 1.40 1.16 0.92 0.68 0.44 0.20 a -0.0096 -0.0096 -0.0096 -0.0096 -0.0096 -0.0096