ejercicios 1

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a
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.1.
Modelar y calcular la función de transferencia del siguiente sistema, donde la entrada es la
fuerza F y la salida la posición x:
k
f
x
M
F
F( t )  M
d 2 x(t)
dt
2
f
dx ( t )
 kx( t )
dt
Tomando transformadas con condiciones iniciales nulas:


F(s)  s 2 M  fs  k X(s)
X(s)
1
 2
F(s) s M  fs  k
EJERCICIO 1.2.
Modelar y calcular la función de transferencia del siguiente sistema, donde la entrada es el
desplazamiento y(t) y la salida es el desplazamiento x(t):
x(t)
M
M
k
f
y(t)
F  ma
d 2 x(t)
 dy( t ) dx ( t ) 

f
  k y( t )  x ( t )   M
dt 
dt 2
 dt
1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Tomando transformadas:
sf  k Y(s)  s 2 M  fs  k X(s)
X(s)
sf  k
 2
Y(s) s M  fs  k
EJERCICIO 1.3.
Modelar y calcular las funciones de transferencia del siguiente sistema, considerando como
entrada la fuerza F y como salidas las velocidades v1 y v2:
k
f1
M2
v2
f2
M1
v1
F
F( t )  M 1
dv 1 ( t )
 f 1 v 1 ( t )  f 2 v 1 ( t )  v 2 ( t ) 
dt
f 2 v 1 ( t )  v 2 ( t )   M 2
dv 2 ( t )
 k  v 2 ( t )dt
dt
Tomando transformadas con condiciones iniciales nulas:
F(s)  sM 1  f 1  f 2 V1 (s)  f 2 V2 (s)
k

f 2 V1 (s)   M 2 s  f 2  V2 (s)
s

Ordenándolo:
sM 1  f 1  f 2 V1 (s)  f 2 V2 (s)  F(s)
k

 f 2 V1 (s)   M 2 s  f 2  V2 (s)  0
s

De forma matricial:
 sM 1  f 1  f 2


 f2

 f2
 V (s)   F(s) 
k  1   

M 2 s  f 2   V2 (s)   0 
s
2
Modelado de Sistemas de Control
Resolviendo por Cramer:
 f2
F(s)
V1 (s) 
sM 1  f 1  f 2
 f2
V1 (s) 
M 2s  f 2 
k
s
M 2s  f 2  k s
sM 1  f 1  f 2 M 2 s  f 2  k s   f 22
V2 (s) 
M 1s  f 1  f 2
 f2
sM 1  f 1  f 2
 f2
V2 (s) 
k
s
 f2
M 2 s  f1 
0
F(s)
F(s)
0
 f2
M 2s  f 2 
f2
k
s
sM 1  f1  f 2 M 2 s  f 1  k s   f12
F(s)
Entonces:
V1 (s)
M 2s  f 2  k s

F(s)
sM 1  f1  f 2 M 2 s  f 2  k s  f 22
V2 (s)
f2

F(s) sM 1  f 1  f 2 M 2 s  f 2  k s   f 22
EJERCICIO 1.4.
Obtener la función de transferencia
V2 (s)
correspondiente a los siguientes circuitos
V1 (s)
eléctricos representados:
Circuito 1:
R
C
i1
V1
V2
ic
3
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
i1 ( t )  i c ( t )  i 2 ( t )
V1 ( t )  V2 ( t )
dV ( t )
C 2
R
dt
V1 ( t )  RC
dV2 ( t )
 V2 ( t )
dt
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V1 (s)  ( RCs  1) V2 (s)
V2 (s)
1

V1 (s) RCs  1
Circuito 2:
R2
V1
R2
C1
i1
i2
ic
v 1 ( t )  R  i1 ( t ) 
0  R  i 2 (t)  2
v 2 (t) 
1
1
i 1 ( t )dt   i 2 ( t )dt

C
C
1
1
i 2 ( t )dt   i 1 ( t )dt

C
C
1
i 2 ( t )dt
C
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V1 (s)  R  I 1 (s) 
0  R  I 2 (s ) 
V2 (s) 
1
1
I 1 (s ) 
I 2 (s)
Cs
Cs
2
1
I 2 (s) 
I 1 (s )
Cs
Cs
1
I 2 (s )
Cs
4
V2
Modelado de Sistemas de Control
Reorganizando los términos comunes:
1 
1

V1 (s)   R 
I 2 (s )
  I 1 (s) 
Cs 
Cs

2 
1

0  R 
I 1 (s ) 
  I 2 (s) 
Cs 
Cs

V2 (s) 
2 

I 1 (s)  Cs R 
  I 2 (s)  ( RCs  2)  I 2 (s)
Cs 

1
I 2 (s )
Cs
Sustituyendo:
1 
1

V1 (s)   R 
I 2 (s )
  ( RCs  2)  I 2 (s) 
Cs 
Cs

1 
1 

V1 (s)    R 
  ( RCs  2)    I 2 (s)
Cs 
Cs 

2
1 

   I 2 (s)
V1 (s)   R 2 Cs  2 R  R 
Cs Cs 

1 

V1 (s)   R 2 Cs  3R 
  I 2 (s )
Cs 

Sustituyendo V2 (s) 
1
I 2 (s) en la ecuación anterior:
Cs
1 

V1 (s)   R 2 Cs  3R 
  Cs  V2 (s)
Cs 



V1 (s)  R 2 C 2 s 2  3RCs  1  V2 (s)
V2 (s)
1
 2 2 2
V1 (s) R C s  3RCs  1
5
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.5.
Modelar y calcular la función de transferencia
I 1 (s )
del siguiente sistema:
V (s )
3
6
4
i1
2
i2
L
7
5
+
v
t
di ( t )
1
2i 1 ( t )  3 1  4i 1 ( t )  i 2 ( t )   i 1 ( t )  i 2 ( t )dt  V(s)
5 
dt
t
6
di 2 ( t )
1
 7i 2 ( t )  4i 2 ( t )  i 1 ( t )   i 2 ( t )  i 1 ( t )dt  0
5 
dt
Transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
3s  6  1 / 5s I 1 (s)   4  1 / 5s I 2 (s)  V(s)
 4  1 / 5s I 1 (s)  6s  11  1 / 5s I 2 (s)  0
En forma matricial:
 4  1 / 5s   I 1 (s)   V(s)
3s  6  1 / 5s
  4  1 / 5s 6s  11  1 / 5s  I (s)   0 

  2  

Resolviendo por Cramer:
V(s)
 4  1 / 5s
0
6s  11  1 / 5s
I1 (s) 
3s  6  1 / 5s
 4  1 / 5s
 4  1 / 5s 6s  11  1 / 5s
I (s ) 
1
6s  11  1 / 5sV(s)
3s  6  1 / 5s6s  11  1 / 5s  4  (1 / 5s)2
6
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.6.
Modelar el sistema y calcular la función de transferencia T1 (s) Q(s) del sistema térmico
de la figura siguiente.
Ta
T2
T1
q2
q1
q
A1
A2
El calor transmitido por convección:
q 1 ( t )  h 1 A 1 T1 ( t )  T2 ( t ) 
T1 ( t )  T2 ( t )
R1
q 2 ( t )  h 2 A 2 T2 ( t )  Ta ( t ) 
T2 ( t )  Ta ( t )
R2
El calor que absorbe o cede un cuerpo:
q( t )  C
dT( t )
; C  mc e ;
dt
Variación de calor en el interior:
dT ( t )
T ( t )  T2 ( t )
C1 1  q  1
dt
R1
(1)
La variación de calor en la pared:
dT ( t ) T1 ( t )  T2 ( t ) T2 ( t )  Ta ( t )
C2 2


(2)
dt
R1
R2
Tomando transformadas de (1) y (2) con condiciones iniciales nulas:
R 1C1s  1T1 (s)  T2 (s)  R 1Q(s)
 R 2T1 (s)  R1R 2C 2s  R1  R 2 T2 (s)  R1Ta (s)
De forma matricial:
1
 R1C1s  1
 T1 (s)   R1Q(s) 




R1R 2C 2s  R1  R 2  T2 (s)   R1Ta (s) 
  R2
7
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Ta es una perturbación ya que actúa como una entrada no controlable.
La función de transferencia buscada es:
R 1 R 1R 2 C 2 s  R 1  R 2 Q(s)  R 1Ta (s)
R 1C1s  1R 1R 2 C 2 s  R 1  R 2   R 2
T1 (s) 
Q(s)
T1(s)
R1(R1R2C2s+R1+R2)
+
(R1C1s+1)(R1R2C2s+R1+R2)-R2
+
R1
Ta(s)
(R1C1s+1)(R1R2C2s+R1+R2)-R2
EJERCICIO 1.7.
Modelar y calcular la función de transferencia del péndulo de la figura:
L

M
El momento que ejerce la masa será:
T( t )  MgLSen( t )
Esta expresión relaciona el momento T con el ángulo de desviación respecto de la vertical
. Esta relación viene expresada mediante una ecuación no lineal ya que dicho momento T
depende del seno del ángulo .
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor se obtiene una aproximación lineal de la
función:
y  g( x )
y  g( x 0 ) 
dg
dx
x x0
(x  x 0 ) d 2 g
 2
1!
dx
8
x x0
(x  x 0 ) 2
 ...
2!
Modelado de Sistemas de Control
Suficiente con los dos primeros términos:
y  g( x 0 ) 
dg
dx
x x0
(x  x 0 )
; y  m x
1!
Para el caso del péndulo con condiciones de equilibrio:  0  0º ; T0  0;
T  T0 
dT
d
 0
(   0 )
T( t )  MgL( t )
Ahora esta expresión ya es lineal, y tomando transformadas con condiciones iniciales
nulas:
(s)
1

T (s) MgL
Aproximación que solo es válida para valores del ángulo muy pequeños.
EJERCICIO 1.8.
Modelar el sistema de nivel de líquido, cuya estructura viene definida en la figura
siguiente, y calcular la función de transferencia Q0 (s) Qe (s) :
r
qe
h
45º
a
Volumen del cono:
qo
1
1
V  r 2 h;  r = h  V( t )  h( t ) 3 ;
3
3
Velocidad de salida:
V0 ( t )  2gh( t )
9
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Caudal de salida:
q 0 ( t )  aV0 ( t )  a 2gh( t )
Variación del volumen de agua:
dh( t )
dV( t )
dV( t )
 q e (t)  q o (t) y
 h( t ) 2
dt
dt
dt
Luego se tendrá:
q e ( t )  h( t ) 2
dh( t )
 a 2gh( t )
dt
Esta ecuación es no lineal, ya que presenta valores cuadráticos de h. Se realizará una
linealización por serie de Taylor.
En este caso para las condiciones de equilibrio h 0 , q e0  :
dq e ( t )
dh
q e ( t )  q e0  ( h( t )  h 0 )
hh0
dq e ( t )
d  dh( t )  a 2g
dh( t )
 2 h ( t )
 h ( t ) 2


dh  dt  2 h ( t )
dt
dh
dq e
dh
 2h 0
h h0
q e ( t )  q e 0  h 0 2
Llamando:
dh 0
d a 2g
 h 0 2 
dt
dt 2 h 0
a 2g
d
h( t )  h 0  
h( t )  h 0 
dt
2 h0
q e ( t )  q e0  q( t )
h( t )  h 0  h( t )
h( t )'
a 2g
2 h 0 h 0
h( t ) 
1
h 0 2
Tomando transformadas con condiciones iniciales nulas:
2
1 h 0
H(s)

Q(s) 
 s  a 2g

2h 0 h 0

10




q( t )
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.9.
Modelar el sistema de control de posición mostrado en la figura y obtener la función de
 (s )
transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia c .
 r (s )
Entrada
referencia
r
e A ea
v
Motor
Inductor
if=cte
Amplif.
m
N2
N1
f
J
Carga
c
v
Datos del sistema:
r = Desplazamiento angular del eje de referencia en radianes.
c = Desplazamiento angular del eje de salida en radianes.
m = Desplazamiento angular del eje del motor en radianes.
Ks = Ganancia del potenciómetro = 1 volt/rad.
A = Ganancia del amplificador = 200.
e = Señal de error (voltios).
ea = Señal a la salida del amplificador.
em = Fuerza contraelectromotriz del motor.
Ra = Resistencia del inducido = 5 ohm.
La = Inductancia del inducido = 0.1 Hr.
K3 = Cte de fuerza contraelectromotriz = 0.68 volt/(rad/sg).
K2 = Cte del par motor = 0.68 newton*m/sg.
n = relación de engranes (N1/N2) = 1/10.
Jc = Momento de inercia de la carga = 0,136 N*m*sg.
fc = Fricción Viscosa de la carga = 0.136 N*m/(rad/sg).
Jm = Momento de inercia del motor = 0.00136 N*m*sg.
fm = Fricción Viscosa del motor = Despreciable.
- Detector de error potenciométrico:
e( t )  K s  r ( t )   c ( t )  E(s) =  r (s)   c (s)
- Amplificador:
e a ( t )  A  e( t )  E a (s)  A  E(s)
11
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
- Motor:
Engrane:
Tm ( t )   m ( t )  Tc ( t )   c ( t )
2r1   m ( t )  2r2   c ( t )
N1r2  N 2 r1
Luego, las principales relaciones del engrane son:
Tm ( t )  c ( t ) r1 N 1

 
Tc ( t )  m ( t ) r2 N 2
Ecuación mecánica del motor y de la carga:
Tc ( t )  J c
d 2 c ( t)
dt
2
 fc
d c ( t )
dt
Traduciéndolo al primario del engrane:
N
N2
Tm ( t )  J c  1
N1
 N2
N
Tm ( t )  J c  1
 N2
N
 d 2  m (t)

 f c  1
2
 N2
 dt
2
 d 2  m (t)
N

 f c  1
2
dt

 N2
 d m ( t )

 dt
2
 d m ( t )

dt

Donde:
2
2
N 
N 
J T  J c  1  y f T  f c  1  son, respectivamente, el momento de inercia y la fuerza
 N2 
 N2 
de rozamiento que se ven desde el primario del engrane.
Luego, la ecuación mecánica del motor y carga queda:
Tm ( t )  J T
Y tomando transformadas:
d 2  m (t)
dt
2
 fT

d m ( t )
dt

Tm (s)  J T  s 2  f T  s m (s)
(1)
Ecuaciones eléctricas:
( t )  K f  I f ( t )
Tm ( t )  K a K f I f I a (t)  Tm (s)  K 2 Ia (s)
12
(2)
Modelado de Sistemas de Control
e m (t)  K 3
e a (t)  R a I a (t)  L a
d m ( t )
 E m (s)  K 3sm (s)
dt
(3)
dI ( t )
dI a ( t )
d ( t )
 K3 m
 e m (t)  e a ( t )  R a I a ( t )  L a a
dt
dt
dt
E a (s)  R a  La s Ia (s)  K 3sm (s)
Ia (s) 
E a (s)  K 3sm (s)
R a  La s 
(4)
Desde las expresiones (1), (2) y (4):
J
T

 s 2  f T  s m (s)  K 2
E a (s)  K 3sm (s)
R a  La s 
m (s)
K2

2
E a (s) (J T  s  f T  s)(R a  L a s)  K 2 K 3s
El diagrama de bloques del sistema:
r (s)
+-
E(s) Amplific.
Ea(s)
Motor
m(s)
Engrane
Función de transferencia de lazo abierto:
G (s) 
50000
s(s  50.5s  1725)
2
La función de transferencia de lazo cerrado:
M (s) 
G (s)
50000
 3
2
1  G (s) s  50.5s  1725s  50000
13
c (s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.10.
Para el sistema que se muestra en la figura, y que se encuentra en la posición de reposo,
obtener la función de transferencia que relaciona la fuerza aplicada con el desplazamiento.
f(t)
Deslizador(móvil)
y
d
Eje Deslizamiento(fijo)
h
Base (elemento fijo)
x
x=0
Datos del sistema:
Constante elástica del muelle: Km=100
Constante de rozamiento: b=10
Masa del deslizador: M=3
Distancia Base - Deslizador: h=3
Desplazamiento en x, en reposo: d=1
 Fx  M  a
f ( t)  f b ( t)  f mx ( t)  M  a( t)
f m ( t )  K m (l( t )  l o )
l( t )  h 2  x ( t ) 2
f m ( t )  K m ( h 2  x ( t ) 2  10 )
f m x ( t )  f m  sen ( t )  f m ( t ) 
Luego:
f (t)  M 
d 2 x(t)
dt
2
f (t)  M 
 b
dx ( t )
 Km 
dt
d 2 x( t)
dt 2
 b
h
2
dx ( t )
 Km
dt
14
x(t)
h 2  x( t) 2

 x ( t ) 2  10 
x( t)
h 2  x(t) 2

x ( t ) 10
  x( t ) 

h 2  x( t ) 2





Modelado de Sistemas de Control
Esta ecuación tiene una parte no lineal. Llamando a la parte no lineal:
x
g( x ) 
h2  x2
Haciendo una aproximación lineal mediante el desarrollo en serie de Taylor en torno al
punto de funcionamiento:
dg( x )
g( x )  g o ( x 0 ) 
(x  x 0 )
dx x  x 0
dg
dx
2x
h 2  x 2  (x 
2
2 h x
h  x2

2
)
10 

2
x 1
10
1
10 
9
10 10
x 1
g0 (x 0 ) 
g(x ) 
1
10
1
9

x
10 10 10
A partir de este punto se trabaja con incrementos de las variables.
f (t)  M 
d 2  x (t)
dt 2
f (t)  M 
 b
d x ( t )
 Km
dt
d 2  x ( t)
dt 2
 b

9
 1

   x ( t )  10 

 x ( t )  
 10 10 10


d x ( t )
9
 K m  x (t)  K m  K m  x (t)
dt
10
llamando f ( t )  f ( t )  K m
 f ( t)  M 
d 2  x (t)
dt 2
 b
d x ( t )
9
 K m  x ( t)  K m  x (t)
dt
10
Tomando transformadas con condiciones iniciales nulas:
9


F(s)   M  s 2  b  s  K m  K m X(s)
10


Sustituyendo los valores de M, b y Km:


F(s)  3  s 2  10  s  10 X(s)
1
X(s)

2
F(s) 3  s  10  s  10
15
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.11.
La figura muestra, de forma básica, un satélite de reconocimiento astronómico. En ella se
puede ver cómo este satélite está formado por dos bloques (unidos por conexiones no rígidas),
siendo el mayor de estos bloques el que contiene el sistema de comunicación, sistema de
impulsión y suministradores de alimentación, mientras que el otro bloque sólo contiene
sensores que deben estar aislados de las vibraciones de primer bloque.
1
2
Las ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento dinámico entre el par para
posicionamiento, ejercido en el primer bloque, y la posición del bloque de sensores, son las
siguientes:
J11  d 1  2   k 1  2   T
J 22  d2  1   k 2  1   0
siendo:
J  10; J  0.1; K  1.78; d  0.6
1
2
Como para el buen funcionamiento de los sensores del satélite es necesario que el
movimiento de su posicionamiento sea muy suave, es necesario diseñar un sistema de control
para que el par de orientación aplicado al bloque mayor no haga que los sensores se muevan
de forma brusca.
Calcular:
a) Función de transferencia entre el par aplicado y el ángulo del bloque de sensores (2).
b) Si se dispone de un sensor de posición cuya función de transferencia es la unidad y un
elemento actuador cuya función de transferencia entre la señal de control u(t) y el par
obtenido T(t) es una cte. de valor 1.666, dibujar el diagrama de bloques del sistema para
control de la posición 2, incluyendo un bloque para un controlador en cascada.
a) Función de transferencia entre el par aplicado y el ángulo del bloque de sensores 2


J11'' ( t )  d 1' ( t )  '2 ( t )  k1 ( t )  2 ( t )  T( t )


J 2 '2' ( t )  d '2 ( t )  1' ( t )  k2 ( t )  1 ( t )  0
16
Modelado de Sistemas de Control
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
J 1  s 2  1 (s)  d  s  ( 1 (s)   2 (s))  k  ( 1 (s)   2 (s))  T(s)
J 2  s 2  2 (s)  d  s  (2 (s)  1 (s))  k  (2 (s)  1 (s))  0
J 2  s 2  2 (s)  d  s  2 (s)  k  2 (s)  d  s  1 (s)  k  1 (s)  0
(J 2  s 2  d  s  k )   2 (s)  (d  s  k )  1 (s)
J2  s2  d  s  k
1 (s) 
  2 (s)
d s  k
J 1  s 2  1 (s)  d  s  1 (s)  k  1 (s)  T(s)  d  s   2 (s)  k   2 (s)
(J1  s 2  d  s  k )  1 (s)  T(s)  (d  s  k )   2 (s)
(J1  s 2  d  s  k ) 
J2  s2  d  s  k
  2 (s)  T(s)  (d  s  k )   2 (s)
d s  k
 ( J1  s 2  d  s  k )( J 2  s 2  d  s  k )

 ( d  s  k )    2 (s)  T (s)

d s  k


J1J 2  s 4  J1d  s3  J1k  s 2  J 2d  s3  d 2s 2  kd  s 
J 2 k  s 2  kd  s  k 2  (d 2s 2  k 2  2dk  s)
d s  k

T(s)
2 (s)
J 1 J 2  s 4  ( J 1  J 2 )d  s 3  ( J 1  J 2 ) k  s 2
T(s)

ds  k
 2 (s)
 2 (s)
0.6s  1.78
 2 2
T (s) s (s  6.06s  17.978)
 2 (s )
0.6(s  2.967)
 2
T(s) s ((s  3.03) 2  2.966 2 )
b) Diagrama de bloques.
Planta
Controlador
Ref
+_
R(s)
Actuador
U(s)
T(s)
1.666
Sensor posición
1
17
0.6(s  2.967)
2 2
s (s  6.06s  17.978)
2(s)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.12.
El sistema de la figura 1 representa el sistema de control de posición de un émbolo,
formado por los siguientes elementos:
a) Bomba de presión controlada por la tensión v(t) que genera la presión p(t), tal que la
función de transferencia puede representarse como un sistema de primer orden con
ganancia 1.2 y constante de tiempo 2.
b) Émbolo de 5 Kg de masa M con una área A de contacto con el fluido de 0.25 m2. Se
mueve por la carcasa, empujado por la fuerza debida a la presión, con un rozamiento
viscoso B de 2.5 N/m/s.
c) El émbolo está en contacto con un cuerpo elástico con cte. elástica k=1 N/m.
d) Transductor de posición x(t) a tensión c(t) lineal con salida de 0V con 0 metros de
desplazamiento y salida 10V con 1 m de desplazamiento.
La figura 2 representa un modelo simplificado de los elementos b) y c)
X
k
F
M
B
x(t)
Bomba
de
presión
F
k
M
A
B
Figura 2
p(t)
v(t) Amplificador e(t)
K
Sensor de
posición
x(t)
Referencia
de posición
r (t)
+
_
c(t)
Transductor
Posición/tensión
Figura 1
Obtener la función de transferencia
X(s)
y dibujar el diagrama de bloques del sistema.
P(s)
El modelado del sistema será:
F( t )  P( t )  A
F(s)  A  P(s)
Aplicando T. de Laplace:
F  m a
dx ( t )
d 2 x( t)
M
F( t )  k  x ( t )  B
dt
dt 2
F( t )  M 
d 2 x( t)
dt
2
B
dx ( t )
 k  x( t)
dt
Aplicando transformadas de Laplace:
F(s)  (Ms 2  Bs  k )X(s)
A  P(s)  (Ms 2  Bs  k )X(s)
18
Modelado de Sistemas de Control
X(s)
A

2
P(s) Ms  Bs  k
X(s)
0.25
 2
P(s) 5s  2.5s  1
Bomba
Amplificador
e(t)
r(t)
v(t)
K
+_
Embolo
p(t)
1 .2
2s  1
0.25
5s 2  2.5s  1
x(t)
c(t)
Transductor
10
EJERCICIO 1.13.
Un sistema de control para el posicionamiento automático del carro longitudinal de un
torno paralelo viene representado por el diagrama de bloques siguiente:
E(s)
R(s)
+
_

G1(s)
G0(s)

Engranajes
Amplificador Actuador
H1 (s) 
G3(s)
G2(s)
G4(s)
C(s)
Carro
1
s3
El amplificador tiene una ganancia K = 200.
G1(s) corresponde a la función de transferencia de un motor de corriente continua
controlado por campo de excitación, tal que Te  Tm  5 / 6 y Te  Tm  1 / 6 siendo Te la
constante de tiempo eléctrica, Tm la constante de tiempo mecánica del motor y la ganancia
estática del motor K m  1 / 6 .
La rueda conductora acoplada al eje del motor tiene 20 dientes y la conducida 40. Esta
última engrana con la cremallera del torno que permite el movimiento del carro longitudinal,
pudiéndose asemejar este sistema al mostrado en la figura:
K  25
N
m
y(t)=respuesta
f(t)=entrada
B8
N
m
seg
M  1Kg
19
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
cuya función de transferencia es
Y(s)
.
F(s)
1. Obtener las funciones de transferencia de cada uno de los elementos que forman el
sistema de control.
2. Calcular la función de transferencia de lazo abierto del sistema.
3. Calcular la función de transferencia de lazo cerrado del sistema.
Se calcula inicialmente el valor de cada uno de los bloques que forman el sistema de
control:
 Amplificador:
G0(s) = 200
 Actuador G1(s):
La función de transferencia del motor de C.C. controlado por campo de excitación es:
G1 (s) 
Km
Km

2
(Tes  1) (Tms  1) (Te  Tm ) s  (Te  Tm ) s  1
sustituyendo los valores que nos dan, nos quedará:
G1 (s) 
1
1
6
 2
1 2 5
s  s  1 s  5s  6
6
6

Engranajes G2(s):
La relación de transmisión viene dada por la relación entre el número de dientes de la
rueda conductora y el número de dientes de la rueda conducida, luego:

z1 20 1


z 2 40 2
luego:
G 2 (s) 

1
2
G3(s):
La entrada del bloque es la velocidad angular y la salida es el desplazamiento angular,
luego la entrada es la derivada de la salida, luego el bloque será un elemento integrador, por lo
que:
1
G 3 (s) 
s
 Carro G4(s):
Como se asemeja a la función de transferencia del sistema mecánico, aislaremos la masa:
20
Modelado de Sistemas de Control
M
d 2 y( t )
d t2
y(t)
Ky(t)
M
B
f(t)
d y( t )
dt
luego:
f (t)  M
d 2 y( t )
d y( t )

B
 K y( t )
dt
d t2
tomando transformadas de Laplace y teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son
nulas:
F(s)  Ms 2 Y(s)  BsY(s)  KY(s)
sustituyendo valores y despejando:
Y(s)
1
1

 2
2
F(s) Ms  Bs  K s  8s  25
luego:
G 4 (s) 
1
s  8s  25
2
b) Función de transferencia en lazo abierto:
F.T.L.A.  G (s)  G 0 (s)  G1 (s)  G 2 (s)  G 3 (s)  G 4 (s)  H1 (s)
G (s)  200 
1
1 1
1
1
200
   2


s  5s  6 2 s s  8s  25 s  3 2s(s  3)(s  2)(s 2  8s  25)(s  3)
2
G (s) 
100
s (s  2) (s  3) 2 (s 2  8s  25)
c) Función de transferencia en lazo cerrado:
F.T.L.C.  M (s) 
G 0 (s)  G1 (s)  G 2 (s)  G 3 (s)  G 4 (s)
1  G 0 (s)  G1 (s)  G 2 (s)  G 3 (s)  G 4 (s)  H1 (s)
100
100 (s  3)
s (s  2) (s  3) (s 2  8s  25)

M (s) 
100
1
s (s  2) (s  3) 2 (s 2  8s  25)  100
1

s (s  2) (s  3) (s 2  8s  25) s  3
M (s) 
100 (s  3)
s  16 s  110 s  386 s3  669 s 2  450 s  100
6
5
4
21
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.14.
La figura representa un sistema de control de la altura de un líquido en un depósito. Ésta es
captada mediante un sensor de presión de constante Km=1 V/m. La altura en régimen
permanente se fija mediante una tensión de referencia u(t).
u(t)
+
-
e(t)
v(t)
Regulador
M
qe(t)
h(t)
qs(t)
A
La señal de error e(t) alimenta un regulador. Las siguientes figuras muestran para una
entrada e(t) la respuesta v(t) del regulador.
e(t)
v(t)
20
1
10
5
t
t
La señal de salida del regulador v(t) actúa sobre una válvula motorizada que regula el
caudal de entrada al depósito, según la ecuación:
q e ( t )  10  v( t )
Dibujar el diagrama de bloques del sistema, representando las relaciones entre todas las
variables del mismo y obteniendo las ecuaciones que determinan el comportamiento de la
planta.
Datos:
Altura de equilibrio del depósito: h0 = 4m
Radio de la tubería de salida: rs = 0.05m
Superficie de la base del depósito: A = 1 m2.
La variación del volumen del líquido es igual a la diferencia entre el caudal de entrada y
salida:
dV( t )  q e ( t )  q s ( t ) 
dh ( t )

 q e (t)  q s (t)
 A
dt

V( t )  A  h ( t )

22
Modelado de Sistemas de Control
donde:
V: volumen del depósito.
A: área de la base del depósito.
qe: caudal de entrada.
qs: caudal de salida.
Y el caudal de salida:
v s ( t )  2gh( t ) 

 q s ( t )  a s 2gh( t )
q s ( t)  a s  v s ( t)

donde vs: velocidad de salida del fluido
En esta expresión puede verse que el caudal de salida depende de forma no lineal de la
altura del líquido en el depósito. Haciendo una linealización mediante la serie de Taylor se
tiene:
dq
q s ( t )  q s0  s
( h( t )  h 0 )
dh h  h 0
q s ( t )  q s0 
dq s
dh
q s ( t )  q s0  a s
( h( t )  h 0 )
h h0
2g
2 2gh 0
( h( t )  h 0 )
Y utilizando incrementos de las variables entorno al punto de funcionamiento se tiene:
a sg
q s ( t ) 
h( t )
2gh 0
A
dh( t )
 q e ( t )  q s ( t )
dt
Aplicando transformadas de Laplace:
a sg
Q s (s) 
2gh 0
H(s)
A  s  H(s)  Q e (s)  Q s (s)
Y sustituyendo los valores:
h0 = 4m
rs = 0.05m
a s    r 2    0.05 2  0.008m 2
Para pequeñas variaciones en la altura del líquido se considera por tanto que el caudal de
23
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
salida es:
Q s (s) 
0.008  9.8
2  9.8  4
H(s)
Q s (s)  0.009H(s)
Y la altura del líquido es:
s  H(s)  Q e (s)  Q s (s)
H (s)  Q e (s)  Q s (s)
1
s
Ecuación del regulador:
La entrada al regulador es:
e(t)=1
Y aplicando la transformada de Laplace a la entrada: E(s) 
1
s
20  10
t  10  2 t
5
2
La salida del regulador para esa entrada es: v ( t )  10 
Y aplicando la transformada de Laplace: V(s) 
10

s s2
La función de transferencia del regulador será:
10 2

V (s ) s s 2
2

 10 
1
E(s)
s
s
V (s )
0.2 

 10 1 

E(s)
s 

Válvula motorizada:
Q e (s)  10V(s)
Luego el diagrama de bloques quedará:
F(s)
U(s)
+_
E(s)
 0.2 
101 

s 

V(s)
10
Qe(s)
1
s
+_
Qs(s)
0.009
24
H(s)
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.15.
En la figura se muestra un péndulo invertido para el cual se desea controlar su posición
angular:
Y
45º
Vástago
m
Vm

Sensor de
Posición
X
Tm
Motor CC
Z
Como se puede observar, está formado por un motor de corriente continua (el cual está
controlado por armadura y, por tanto, la alimentación del campo magnético de excitación
permanece constante), un sensor de posición que se ha ajustado de forma que proporcione la
salida que se muestra en la figura:
135º
90º
45º
+18V 180º
-18V
0º 0V
225º
270º
315º
y un regulador que se encarga de restar la señal de realimentación de la de consigna y
aplicar un control proporcional de ganancia A.
Obtener el modelo linealizado del sistema, sabiendo que el punto de funcionamiento está
en 45º. Dibujar el diagrama de bloques del sistema, indicando el valor de la señal que se
encuentra en cada punto cuando la posición del péndulo corresponde al punto de
funcionamiento. Considerando La despreciable, calcular el valor de tensión que se debe
proporcionar a la entrada para que el sistema permanezca estabilizado a 45º.
Parámetro
Ra : Resistencia del inducido
La : Inductancia del inducido
K3 : Cte. de fuerza contraelectromotriz
K2 : Cte. del par motor
Jc : Momento de inercia de la carga
fc : Fricción viscosa de la carga
Jm : Momento de inercia del motor
A : Ganancia del amplificador
m : Masa del péndulo
M : Masa del brazo
L : Longitud del brazo
25
Valor
(Unidades en S.I.)
1
0.01
0.68
0.68
m · L2
0
0
150
1
0
1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
1. Modelo linealizado del sistema.
Ecuaciones mecánicas:
Tm ( t )  K 2  i a ( t )
Tm ( t )  J T
d 2 ( t )
dt
2
 fT
d( t )
 Tp ( t )
dt
Tp ( t )  m  g  L  cos ( t )
Esta última ecuación no es lineal. Se linealizará mediante el desarrollo de Taylor.
y  y( x 0 )  ( x  x 0 )
dy
dx
x x0
Que en este caso puede escribirse como:
Tp ( t )  Tp (  0 )  ( ( t )   0 )
dTp ( t )
d
  0
Tp (45º )  1  9.8  1  cos 45º  6.93
dTp
d
  m  g  L  sen 
  45º
 45º
  m  g  L  sen 45º  1  9.8  1  0.707  6.93
Tp ( t )  6.93  ( ( t )  45º )( 6.93)
Tp ( t )  6.93  6.93( ( t )  45º )
Trabajando ahora con variables de desviación la ecuación quedará como:
Tp ( t )  6.93  ( t )
Si se representan todas las ecuaciones anteriores mediante variables de desviación respecto
del punto de funcionamiento se tiene:
Tm  K 2  i a
d 2 
d
Tm  J T
 fT
 Tp
2
dt
dt
Tp  6.93  
26
Modelado de Sistemas de Control
Y aplicando transformadas de Laplace:
Tm (s)  K 2  I a (s)
Tm (s)  ( J T s 2  f T s) (s)  Tp (s)
Tp (s)  6.93  (s)
Ecuaciones eléctricas:
v m (t)  R a  i a (t)  L a
e m (t)  K 3 
di a ( t )
 e m (t)
dt
d( t )
dt
Trabajando con variables de desviación la ecuación quedará como:
di a ( t )
v m ( t )  R a  i a ( t )  L a
 e m ( t )
dt
e m ( t )  K 3 
d( t )
dt
Aplicando transformadas de Laplace:
Vm (s)  ( R a  L a s)  I a (s)  E m (s)
E m (s)  K 3s  (s)
Con las expresiones obtenidas se puede dibujar el diagrama de bloques que relaciona las
variables:
R
+_
A
1
R a  Las
+_
Ia
K2
1
Tm
J Ts  fT
+_
Tp
Em
Vs

2
-6.93
K 3s
0.1
Operando con dichas ecuaciones o moviendo bloques en el diagrama puede obtenerse un
diagrama de bloques más simplificado.
27
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Uniendo las tres ecuaciones mecánicas resultantes:
K 2  I a (s)  ( J T s 2  f T s) (s)  6.93  (s)
K 2  I a (s)  ( J T s 2  f T s  6.93) (s)
(s) 
K2
J T s 2  f T s  6.93
 I a (s)
Y uniendo las dos ecuaciones eléctricas:
Vm (s)  (R a  L a s)  I a  K 3 s(s)
I a 
Vm (s)  K 3s(s)
R a  Las
Uniendo la ecuación mecánica y eléctrica resultante:
Vm (s)  K 3s(s)
R a  Las
J T s 2  f T s  6.93
K2
(s) 
(s) 

K 2 Vm (s)  K 2 K 3s(s)
( J T s 2  f T s  6.93)( R a  L a s)
( J T s 2  f T s  6.93)( R a  L a s) (s)  K 2 Vm (s)  K 2 K 3s(s)
(J
Ts
2

 f T s  6.93)( R a  L a s)  K 2 K 3s (s)  K 2 Vm (s)
(s) 
K 2  Vm (s)
2
( J T s  f T s  6.93)( R a  L a s)  K 2 K 3s
Sustituyendo por los valores numéricos:
El momento de inercia equivalente JT y el coeficiente de fricción viscosa equivalente fT
referidos al eje del motor son:
J T  J m  J c  J m  m  L2  0  1  1
f T  f m  f c  0.1  0  0.1
(s) 
0.68  Vm (s)
2
(s  0.1s  6.93)(1  0.01s)  0.4624s
28
Modelado de Sistemas de Control
(s) 
0.68  Vm (s)
0.01s 3  1.001s 2  0.4931s  6.93
Diagrama de bloques del sistema de control:
A
R(s)
+_
Vm(s)
150
0.68
3
0.01s  1001
. s2  0.4931s  6.93
Vs (s)
(s)
0.1
El valor de tensión que se debe proporcionar a la entrada para que el sistema permanezca
estabilizado a 45º será:
Cuando esté estabilizado a 45º:
  0
  45º
Tp  m  g  L  cos   1  9.8  1  0.707  6.93N  m
Tp  6.93    0
I a  0
Tm  Tp  6.93N  m
Ia 
Tm
 10.2A
K2
En esta posición:
em  0
Vm  R a  i a  L a
di a
dt
Si consideramos L a  0 entonces:
Vm  R a  i a  1  10.2  10.2V
Y el error:
V
10.2
e m 
 0.068
A
150
El valor que llega de la realimentación al comparador será:
v c    0.1  4.5V
La entrada será:
eRb
R  e  v c  0.068  4.5  4.568V
29
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 1.16.
Se desea controlar el nivel de dos depósitos de agua idénticos. Para ello se ha utilizado un
montaje como el que se observa en la figura siguiente:
Tanque 1
Punto 1
R(s)
+
-
Sensor
Punto 2
Regulador
Amplificador
Electrónica
Potencia
Bomba
h1
+
Sensor
-
Desde el Suministro Hidráulico
h2
Tanque 2
El objetivo del sistema es mantener constante el nivel de los depósitos.
Para ello se emplean sensores de nivel que permiten obtener una medida de la altura del
agua, siendo su función de transferencia igual a 1Volt/m. De igual forma, la función de
transferencia de la electrónica de potencia y del amplificador es 1Volt/Volt.
Como no se conoce la función de transferencia del conjunto motor CC - turbina, se realiza
un experimento introduciendo una entrada impulso unidad al sistema y obteniendo una
respuesta como la que se muestra en la figura:
-4
8
0.000702
x 10
Respuesta ante impulso unidad
7
6
m3/sg
5
4
3
2
1
0
0
Area=0.0035
5
10
tiempo(sg)
15
20
Por otro lado la función de transferencia del regulador es la siguiente:
C ( s )  1000( s  0.01)
30
Modelado de Sistemas de Control
Obtener la función de transferencia linealizada de cada uno de los elementos del sistema.
Datos:
Fluido: Agua.
Sección transversal depósitos: 2 m2.
Altura Máxima depósitos: 4 m.
F. Gravedad: 10 m/s2.
Radio orificio salida: 0.05 m.
Punto trabajo: Ho=1m. Qo=0.0351 m3/s.
Para la bomba:
La respuesta al impulso unitario del conjunto motor CC - turbina representada en la figura
corresponde a un sistema de primer orden de la forma:
k
k
1
 
1
s  1 
s

Cuya respuesta temporal ante entrada impulso corresponde con:
G b (s ) 
t
k 
y b (t)   e 

Se indica en la gráfica que el área de la respuesta vale 0.0035 luego:


Area  
0
k

t


 e dt
Por tanto:
 t 
k e  
k
 
  0    k

  t


  0
k  0.0035
En la gráfica puede verse también que para el instante inicial t=0 la respuesta del sistema
vale:
y b (0)  0.000702
y b (0) 
k
 0.000702

Luego:

k
0.0035

 4.99
0.000702 0.000702
Luego la función de transferencia será:
G b (s ) 
k
1
0.0035
1



1
1

4.99
s
s

4.99
31
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
G b (s ) 
0.0007
s  0.2
Modelado de los depósitos:
Tanque 1
q1
Sensor
h1
q2
Sensor
h2
Tanque 2
q3
La variación del volumen de líquido en el tanque 1 es:
dV( t )
 q1 (t)  q 2 (t)
dt
y como V = A · h
entonces:
dh ( t )
dV( t )
A 1
dt
dt
A
dh 1 ( t )
 q1 ( t)  q 2 (t)
dt
2
dh 1 ( t )
 q1 (t)  q 2 (t)
dt
La velocidad de salida del líquido del tanque 1 es:
v liq ( t )  2gh 1 ( t )
El caudal de salida será:
q 2 ( t )  s  v liq ( t )  s 2gh 1 ( t )
Donde s es la sección del orificio de salida:
s    r 2    0.05 2  0.00785m 2
Luego:
q 2 ( t )  0.00785 20h 1 ( t )
32
Modelado de Sistemas de Control
Esta ecuación no corresponde con una relación lineal entre la altura h1 y el caudal q2. Se
linealiza esta ecuación mediante el desarrollo en serie de Taylor para las condiciones de
equilibrio.
dq
q 2  q 2o  2
( h 1  h 1o )
dh 1 h  h
o
h10 = 1 m
q 2 o  0.0351
dq 2
dh 1
 0.00785
h1  h10
m3
s
20
2 20h 1
 0.01755
h1 1
q 2 ( t )  0.0351  0.01755( h 1 ( t )  1)
q 2 ( t )  0.0351  0.01755( h 1 ( t )  1)
Representando las variables como incrementos respecto al punto de equilibrio.
q2 (t)= q2(t) - 0.0351
h1(t)= h1(t) - 1.2
las ecuaciones quedan:
q 2 ( t )  0.01755  h ( t )
2
dh 1 ( t )
 q 1 ( t )  q 2 ( t )
dt
Y aplicando transformadas de Laplace:
Q 2 (s)  0.01755  H 1 (s)
2s  H 1 (s)  Q1 (s)  Q 2 (s)
Uniendo estas ecuaciones se puede obtener la relación entre Q1 y H1.
2s  H 1 (s)  Q1 (s)  0.01755  H 1 (s)
( 2s  0.01755)  H 1 (s)  Q1 (s)
H 1 (s)
1

Q1 (s) 2s  0.01755
33
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Y como el segundo tanque es idéntico al primero, de la misma forma se tendrá:
Q 3 (s)  0.01755  H 2 (s)
2s  H 2 (s)  Q 2 (s)  Q 3 (s)
Y uniéndolas:
H 2 (s)
1

Q 2 (s) 2s  0.01755
La representación del diagrama de bloques del sistema completo será:
Electr. Bomba
Regulador Pot.
Q1
0.0007
100(s+0.01)
1
s  0.2 +_
Amplif._
+_
1 +
Q2
1
0.01755
+_
2s H1
1
2s
H2
0.01755
Si se resuelven los lazos internos mediante movimiento de bloques o utilizando las
expresiones analíticas anteriores, el diagrama de bloques queda como:
Q1
R
+_
+_
100(s+0.01)
0.0007
s  0.2
1
2s  0.01755
H1
Q2
0.01755
1
2s  0.01755
H2
Y agrupando de nuevo las funciones de transferencia:
R(s)
+_
+_
0.07(s  0.01)
(s  0.2)( 2s  0.01755)
34
H1(s)
H2(s)
0.01755
2s  0.01755
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.17.
La figura 1 muestra un sistema de control de elevación para una bola de acero. El sistema
está formado por un levitador magnético, un sensor ultrasónico de distancia, un amplificador
diferencial, un motor de CC, un engrane, un potenciómetro lineal y un amplificador de
potencia.
Levitador
Amplificador
Potencia
RL IL(t)
E2(t)
LL
Motor CC
m(t)
Potenciómetro
fL(t)
Bola
Acero
hmax
h(t)
V
p(t)
Ia(t)
Engrane
Amplificador E (t)
a
Diferencial
Sensor
Es(t)
-
E(t)
+
Referencia
Figura1: Sistema de Control de elevación mediante un levitador magnético
IL=7 A
FL (N)
IL=6 A
IL=5 A
1.6
1.2
0.8
0.4
h (cm)
0
10
20
30
40
Figura 2: Relación Fuerza-Intensidad-Distancia
del Levitador Magnetico
Suponer que el punto de trabajo habitual es:
35
i L o  6A
h o  22cm
E1(t)
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Datos:
m = Desplazamiento angular del eje del motor en grados.
p = Giro del eje del potenciómetro en grados (de 0º a 360º).
m = Desplazamiento angular del eje del motor en radianes.
kp = Ganancia del potenciómetro = 0.01388 volt/grado.
V = Alimentación del Potenciómetro = 6 v.
A1 = Ganancia del amplificador diferencial = 1.
A2 = Ganancia del amplificador de Potencia = 20.
RL = Resistencia del circuito levitador = 16 ohm
LL = Coef. de autoinducción del circuito levitador = 0.1 Hr.
Ra = Resistencia del inducido = 5 ohm.
La = Inductancia del inducido = 0.01 Hr.
K3 = Cte de fuerza contraelectromotriz = 0.68 volt/(rad/sg).
K2 = Cte del par motor = 0.68 newton*m/sg.
N = Relación de engranes (N1/N2) = 1/10.
Jc = Momento de inercia de la carga = 0,136 N*m*sg.
fc = Fricción Viscosa de la carga = 0.136 N*m/(rad/sg).
Jm = Momento de inercia del motor = 2.73 N*m*sg.
fm = Fricción Viscosa del motor = 2.73.
ks = Constante del sensor = 0.25 Voltios/centímetro
hmax = Altura Máxima =40 cm
M = Masa de la Bola = 100 gr
Modelar y calcular la función de transferencia del sistema considerando como entrada la
señal de referencia E(t) y como salida la altura de la bola h(t).
Cálculo de las funciones de transferencia.
- Motor:
Circuito eléctrico:
I a (s)
E a (s)
di a ( t )
 e fem ( t )
dt
E a (s)  (R a  L a s)I a (s)  E fem (s)
La ecuación que rige su funcionamiento es: e a ( t )  R a i a ( t )  L a
Tomando transformadas de Laplace:
I a (s)
1

E a (s)  E fem (s) R a  L a s
I a (s)
1

E a (s)  E fem (s) 5  0.01s
36
Modelado de Sistemas de Control
FEM:
E fem (s)
Wm (s)
La ecuación que rige su funcionamiento es: e fem ( t )  K  ( t )   m ( t )
Si la intensidad de excitación es constante, el flujo será constante y por tanto:
e fem ( t )  K 3   m ( t )
Tomando transformadas de Laplace:
E fem (s)  K 3  Wm (s)
E fem (s)
 K3
Wm (s)
Par:
E fem (s)
 0.68
Wm (s)
Tm (s)
Ia (s)
Para el motor, al ser la intensidad de excitación constante, el flujo será constante. El par
motor desarrollado es proporcional al producto de la intensidad por el flujo, luego se puede
poner como:
Tm(t) = K2 · ia(t)
Tomando transformadas de Laplace:
Tm (s)  K 2 I a (s)
Tm (s)
 K2
I a (s)
Sistema Mecánico:
Tm (s)
 0.68
I a (s)
 m (s)
Tm (s)
d 2  m (t)
Tm ( t )  J
Tomando transformadas de Laplace:
Tm (s)  (Js 2  fs)   m (s)
dt
2
f
d m ( t )
dt
La ecuación que rige su funcionamiento es:
 m (s)
1
 2
Tm (s) Js  fs
Donde J y f son el momento de inercia y el coeficiente de fricción viscosa equivalente
referidos al eje del motor:
J  Jm  n 2 Jc  2.73  0.12  0.136  2.73136 N  m  s
f  fm  n 2  fc  2.73  0.12  0.136  2.73136 N  m /(rad / s)
37
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
luego la función de transferencia queda:
 m (s)
1

Tm (s) 2.73136s 2  2.73136s
Engranes:
 p (s)
 m (s)
La ecuación que rige su funcionamiento es:
 p (t)  N   m (t)
Tomando transformadas de Laplace:
 p (s)  N   m (s)
 p (s)
 m (s)
-Potenciómetro:
 p (s)
N
 m (s)
 0.1
E1 (s)
 p (s)
La ecuación que rige su funcionamiento es:
e1 ( t )  k p   p ( t )
Tomando transformadas de Laplace:
E1 (s)  k p   p (s)
E1 (s)
 kp
 p (s)
k p  0.01388
V
360º
V

 0.7953
gra do 2rad
rad
E1 (s)
 0.7953
 p (s)
-Amplificador de Potencia :
E 2 (s)
E 1 (s)
La ecuación que rige su funcionamiento es:
e 2 ( t )  A 2  e1 ( t )
Tomando transformadas de Laplace:
E 2 (s)  A 2  E1 (s)
E 2 (s)
 A2
E1 (s)
E 2 (s)
 20
E1 (s)
E a (s)
E(s)
La ecuación que rige su funcionamiento es: e a ( t )  A1  e( t )
-Amplificador diferencial :
38
Modelado de Sistemas de Control
E a (s)  A1  E (s)
Tomando transformadas de Laplace:
E a (s)
 A1
E(s)
-Sensor:
E a (s)
1
E(s)
E s (s)
H(s)
La ecuación que rige su funcionamiento es:
e s (t)  k s  h(t)
Tomando transformadas de Laplace:
E s (s)  k s  H(s)
E s (s)
 ks
H(s)
k s  0.25
V 100cm
V

 25
cm 1m
m
E s (s)
 25
H(s)
-Bola:
H(s)
Fl (s)
f L (t)  M 
La ecuación que rige su funcionamiento es:
d 2 h(t)
dt 2
Tomando transformadas de Laplace: FL (s)  M  s 2  H(s)
H(s)
1

FL (s) M  s 2
H(s)
1

FL (s) 0.1  s 2
-Levitador:
Circuito eléctrico:
I L ( s)
;
E 2 ( s)
e 2 (t)  R L i L (t)  L L 
La ecuación que rige su funcionamiento es:
Tomando transformadas de Laplace:
di L ( t )
dt
E 2 (s)  (R L  L L  s)I L (s)
I L (s)
1

E 2 (s) R L  L L  s
I L (s)
1

E 2 (s) 16  0.1  s
39
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Sistema Magneto-Mecánico:
FL (s)
I L (s)
El funcionamiento viene definido por la gráfica de la figura 2.
i L o  6A
Suponiendo que el punto de trabajo habitual es:
h o  22cm
se linealiza la función para
dicho punto de trabajo:
IL=7 A
h=22
FL (N)
IL=6 A
IL=5 A
1.6
1.2
0.8
0.4
h (cm)
0
10
f L ( t ) 
f
 iL
f
h
20
f
 iL
i L 6
h  22
i L 6
h  22
i L 6
h  22
40
30
i L ( t ) 
f
h
i L 6
h  22
h ( t )

1.35  0.55
N
 0 .4
75
A

1.3  0.75
N
 2.75
0 .3  0 .1
A
f L ( t )  0.4i L ( t )  2.75h ( t )
Aplicando transformadas de Laplace:
FL (s)  0.4I L (s)  2.75H(s)
Utilizando ahora la expresión anterior obtenida:
H(s)
1

FL (s) M  s 2
FL (s)  0.4I L (s)  2.75 
1
 FL (s)
M  s2
2.75 

FL (s) 1 
 0.4I L (s)
 M  s 2 
40
Modelado de Sistemas de Control
 M  s 2  2.75 
FL (s) 
  0.4I L (s)
2
 M s

FL (s)
0.4  M  s 2

I L (s) M  s 2  2.75
Ref
+
E(s)
Ea(s)
1
-
Circuito
eléctrico
Motor
Es(s)
1
2.73136s2 +2.73136s
0.68
0.01s+5
+
Amplif.
diferencial
Tm(s)
Ia(s)
1
Constante
par
Efem(s)
FL (s)
0.04  s 2

I L (s) 0.1s 2  2.75
0.68
Sistema mecánico
Wm(s)
m(s)
E1(s)
p(s)
0.7953
0.1
Potenc. Amplif.
de potencia
Engranes
Circuito
eléctrico
Levitador
s
Sistema
MagnetoMecánico
FEM
E2(s)
20
1
0.1s+16
IL(s)
0.04s 2
0.1s 2 -2.75
FL(s)
Bola
Sensor
25
Se resuelve en primer lugar el lazo interno:
1
+
0.01s+5
-
Circuito
eléctrico
Motor
Efem(s)
Ia(s)
Tm(s)
0.68
Constante
par
0.68
1
2.73136s2 +2.73136s
m(s)
Sistema mecánico
Wm(s)
s
FEM
1
1
 0.68 
2
0.01s  5
2.73136s  2.73136s
M 1 (s ) 
1
1
 0.68 
 0.68s
1
2
0.01s  5
2.73136s  2.73136s
M 1 (s ) 
0.68
(0.01s  5)( 2.73136s 2  2.73136s)  0.68 2 s
41
0.1s 2
H(s)
Si se obtiene ahora la función de transferencia del sistema total.
Ea(s)
1
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
M 1 (s ) 
0.68
3
0.0273136s  13.6841136s 2  14.1192s
Con lo que el diagrama de bloques total quedará:
+
m
Ea
E(s)
Ref
1
-
M1(s)
Amplif.
diferencial
p
E1
0.7953
0.1
20
Engranes Potenciom.
Amplif.
de potencia
FL(s)
IL(s)
E2
1
0.04s 2
1
0.1s+16
0.1s 2 -2.75
0.1s 2
Circuito
eléctrico
Levitador
Sistema
MagnetoMecánico
Bola
H(s)
Es(s)
25
Sensor
Reuniendo todas las constantes de numerador en una sola quedará:
K  1  0.1  0.7953  20  1.5906
La función de transferencia de cadena directa será:
1
0.04s 2
1
G T (s)  1.5906 



3
2
2
0.0273136s  13.6841136s  14.1192s 0.1s  16 0.1s  2.75 0.1s 2
0.68
G T (s ) 
0.04326s 2
0.00002731s 8  0.01805s 7  2.203s 6  1.763s 5  60.6s 4  62.12s 3
G T (s ) 
0.04326
0.00002731s 6  0.01805s 5  2.203s 4  1.763s 3  60.6s 2  62.12s
Calculamos ahora la función de transferencia de lazo cerrado:
0.04326
G T (s) 
6
1
M (s ) 
5
0.00002731s  0.01805s  2.203s 4  1.763s 3  60.6s 2  62.12s
0.04326
0.00002731s 6  0.01805s 5  2.203s 4  1.763s 3  60.6s 2  62.12s
 25
0.04326
6
5
0.00002731 s  0.01805 s  2.203 s 4  1.763 s 3 - 60.6 s 2 - 62.12 s  1.082
42
Modelado de Sistemas de Control
EJERCICIO 1.18.
Conociendo las características básicas del amplificador operacional ideal:
V1
-
A
Vo
+
V2
Vo  A(V2  V1 )
- Impedancia de entrada infinita.
- Impedancia de salida nula.
- Ganancia de tensión infinita.
1) No entra corriente al amplificador.
2) Entradas a igual tensión, pero sin circulación de corriente (Tierra virtual).
Obtener las funciones de transferencia de los siguientes circuitos.
Amplificador Inversor:
R2
R1
Vi
-
i1
i2
A
Vo
+
- No se hace uso de la entrada diferencial.
i1 ( t)  i 2 ( t)
i1 ( t) 
Vi ( t )
;
R1
i 2 (t)  
V0 ( t )
R2
V (t)
Vi ( t )
 0
R1
R2
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V0 (s)
R
 2
Vi (s)
R1
43
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Adaptador de Impedancia
-
A
Vo
+
Vi
V0 ( t )  Vi ( t )
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V0 (s)
1
Vi (s)
Propiedades:
- Alta impedancia de entrada.
- Detección de señales muy débiles.
Amplificador no inversor
R2
R1
i2
-
A
i1
Vo
+
Vi
i1 ( t)  i 2 ( t)
i1 ( t ) 
Vi ( t )
;
R1
i 2 (t) 
V0 ( t )  Vi ( t )
R2
Vi ( t ) V0 ( t )  Vi ( t )

R 1 (t)
R2
V0 ( t )  Vi ( t ) 
R2
Vi ( t )
R1
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V0 (s)
R
1 2
Vi (s)
R1
44
Modelado de Sistemas de Control
Sumador Inversor
R1
V1
V2
i1
R2
V3
i2
R3
Rf
ia
-
ib
A
Vo
+
i3
i a (t)  i b (t)
i a ( t )  i1 ( t )  i 2 ( t )  i 3 ( t ) 
i b (t)  
V1 ( t ) V2 ( t ) V3 ( t )


R1
R2
R3
V0 ( t )
Rf
V (t)
V1 ( t ) V2 ( t ) V3 ( t )


 0
R1
R2
R3
Rf
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:

R
R
R 
V0 (s)   V1 (s) f  V2 (s) f  V3 (s) f 
R1
R2
R3 

Integrador Inversor
C
R
Vi
-
i1
i2
A
+
Vo
i 1 ( t )  i 2 ( t )
i1 ( t ) 
V0 ( t ) 
V1 ( t )
R
1
1 V ( t)
i 2 ( t )dt    1 dt

C
C
R
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V0 (s)
1

V1 (s)
RCs
45
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Diferenciador
R
C
Vi
i1
i2
A
Vo
+
i1 ( t)  i 2 ( t)
i1 ( t )  C
dV1 ( t )
dt
i 2 (t)  
V0 ( t )
R

V0 ( t )
dV ( t )
C 1
R
dt
V0 ( t )   RC
dV1 ( t )
dt
Tomando transformadas de Laplace con condiciones iniciales nulas:
V0 (s)  RCsV1 (s)
V0 (s)
  RCs
V1 (s)
Comparador
R
V1
V2
i1
R
R
-
A
B +
i2
A
R
i 1  i 2
VB 
46
V2
2
Vo
Modelado de Sistemas de Control
V1  VB V1  V2 / 2

R
R
V0  VB V0  V2 / 2
i2 

R
R
i1 
V  V2 / 2
V1  V2 / 2
 0
R
R
V0  V2  V1
Sistema de primer orden
R1
C
R1
-
Vr
R1
R2
-
V1
+
Vo
+
R1
V1 (s)  Vr (s)  V0 (s)
V0 (s)  
V0 (s)  
V1 (s)
RCs
Vr (s)  V0 (s)
RCs
RCs  1V0 (s)  Vr (s)
V0 (s)
1

RCs  1
Vr (s)
Sistema de segundo orden
R1
Vr
R1
R1
C
+
R2
V1
V2
C1
R1
47
R2
+
Vo
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
V1 (s)  Vr (s)  V0 (s)
V0 (s)  
V2 (s) 
V2 (s)
RCs
V1 (s)
R 2 C1s  2
Vr (s)  V0 (s)
Vr (s)  V0 (s)
R 2 C 1s  2
V0 (s)  

RCsR 2 C1s  2 
RCs
V0 (s) 
Vr (s)
RCsR 2 C1s  2   1
V0 (s)
1

Vr (s) RCs R 2 C1s  2   1
48