FUNDAMENTOS DE HIDROLOGÍA APLICADA Ludwig Stowhas UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES re lim in rP Bo rra do ar ar re lim in rP FUNDAMENTOS DE HIDROLOGÍA APLICADA Bo rra do Ludwig Stowhas B. Editado por: Álvaro Ossandón Á. Raúl Flores A. Documento borrador preliminar, uso reservado alumnos Hidrologı́a CIV-243 re lim in rP Bo rra do ar ar CONTENIDO ÍNDICE DE FIGURAS re lim in XIII ÍNDICE DE TABLAS 1. INTRODUCCIÓN XVI 1 1 1.2. Hidrologı́a e Ingenierı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Disponibilidad del Recurso Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4. El Ciclo Hidrológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 rP 1.1. Definición y Alcance de la Hidrologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuación General de Balance Hidrológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ELEMENTOS DE CLIMATOLOGÍA Y METEOROLOGÍA 6 9 10 2.1.1. Leyes de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2. Medición de la Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3. Radiación de Onda Corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4. Balance de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Distribución de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Medición de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1. Leyes Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Ley de Clausius - Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3. Variables para Cuantificar la Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.4. Medición de la Humedad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bo rra do 2.1. Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 28 2.4.1. Hidrostática de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. Atmósfera Isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3. Atmósfera de Gradiente Térmico Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4. Gradiente Adiabático Seco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.5. Gradiente Adiabático Húmedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.6. Estabilidad Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.1. Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.2. Transporte Latitudinal de Energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.2.1. Vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6.3. Circulación General de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.4. El Fenómeno ENOS, El Niño - Oscilación del Sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 rP 2.6.3.1. Corrientes Marinas re lim in ar 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. EVAPORACIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN 55 56 3.2. Factores que Afectan la Evaporación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1. Poder Evaporante de la Atmósfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2. Caracterı́sticas de la Superficie Evaporante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.3. Disponibilidad de Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3. Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4. Medición de la Evaporación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.0.1. Evaporı́metros de Estanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1. Evaporı́metro de Papel Poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.2. Evaporı́metro de Porcelana Porosa o Atmómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5.1. Fórmula de Thornthwaite-Holzman o Método Aerodinámico . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5.2. Método del Balance de Energı́a o Fórmula de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bo rra do 3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5.3.1. Fórmula de Mc Ilroy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5.3.2. Formula de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5.4. Fórmulas Basadas en la Ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.4.1. Fórmula del Lago Hefner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.4.2. Fórmula de los Servicios Hidrológicos de la ex URSS . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.4.3. Fórmula de Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.5. Fórmulas Climatológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.5.1. Fórmula de Turc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5.5.2. Método de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6. Evaporación desde Salares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.7. Evaporación desde Superficies de Hielo o Nieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.8. Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 rP 4. PRECIPITACIÓN re lim in ar 3.5.3. Fórmulas Combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 76 4.1.1. Precipitaciones Convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2. Precipitaciones Ciclónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.3. Precipitaciones Orográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Mecanismos de Formación de Gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.1. Coalescencia Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.2. Núcleos de Condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Formas de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. Lluvias Artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5. Medición de la Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5.1. Pluviómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5.2. Pluviógrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5.2.1. Pluviógrafo de Báscula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.5.2.2. Pluviógrafo Gravimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5.2.3. Pluviógrafo de Sifón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Bo rra do 4.1. Mecanismos de Condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.4. Observaciones Satelitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.6.1. Relleno de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6.2. Homogeneidad de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6.2.1. Ampliación de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7. Precipitación Media Real o en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.1. Promedio Aritmético Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.7.2. Polı́gonos de Thiessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7.3. Método de las Isoyetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.8. Intensidades de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.8.1. Curva Intensidad – Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.8.2. Precipitaciones Máximas en 24 Horas y Precipitaciones Máximas Diarias . . . . . . . 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 re lim in ar 4.5.3. Medición de Precipitación Nival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rP 4.8.3. Precipitaciones Máximas en 1, 2 y 3 Dı́as Consecutivos 5. ANÁLISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGÍA 101 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Bo rra do 5.1.1. Selección de Datos Hidrológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1.1.1. Serie de Duración Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1.1.2. Serie de Duración Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1.1.3. Serie de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.2. Función de Densidad de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.3. Perı́odo de Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2.1. Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comúnmente en Hidrologı́a . . . . . . 111 5.2.1.1. Distribución Normal o Distribución de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2.1.2. Distribución Logarı́tmico Normal o Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.1.3. Distribuciones de Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.1.3.1. Distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución Gumbel . 116 5.2.1.3.2. Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución Weibull . 120 5.2.1.4. Distribución Gamma de Dos Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2.1.5. Curvas de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2.1.6. Distribución de Pearson Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.1.7. Distribución Log – Pearson Tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ar 5.2.1.8. Distribuciones de Frecuencia Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.2. Uso de Intervalos de Confianza en Análisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.3. Selección de Modelos Probabilı́sticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 re lim in 5.2.3.1. Test o Prueba χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.2.3.2. Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.4. Coeficientes de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.5.1. Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 rP 5.5.2. Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.5.3. Estadı́sticas con Valores Nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Bo rra do 5.6.1. Curvas Intensidad-Duración-Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.6.2. Curvas de Variación Estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.6.3. Curvas de Duración General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6. PRECIPITACIÓN MÁXIMA PROBABLE 157 6.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2. Influencia del Tipo de Precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.3. Factores Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable . . . . . . . 159 6.4.1. Maximización de la Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4.2. Maximización del Viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4.3. Maximización de Tormentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.4.4. Estimación de la PMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.4.5. Curvas Precipitación-Duración-Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.4.6. Precipitación Máxima Probable Vı́a Método Estadı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7. ESCORRENTÍA 167 7.1. Fluviometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 ar 7.1.1. Técnicas de Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.1.1. Flotadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 re lim in 7.1.1.2. Trazadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.1.1.3. Molinetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1.2. Perı́odo de Validez de la Curva de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3. Extensión de Curvas de Descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.1.4. Homogeneidad de Estadı́sticas Fluviométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1.5. Presentación de Estadı́sticas Fluviométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1.5.1. Curvas de Variación Estacional de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 rP 7.1.5.2. Curvas de Duración General de Caudales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1.6. Caudales Mı́nimos, Sequı́as y Caudales Ecológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8. ESTIMACIÓN Bo rra do DE LA ESCORRENTÍA 181 8.1. Transposición de Caudales Medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.2. Transposición de Caudales de Crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.3. Uso de Correlaciones Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3.1. Regresión Lineal Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3.2. Regresiones No Lineales o Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.4. Pronósticos o Predicción de Caudales Estacionales Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.4.1. Pronóstico de Volúmenes Estacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.4.2. Distribución Estacional del Volumen de Deshielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.5. Relleno y Extensión de Estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5.0.1. Extensión o Relleno de Datos Individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5.0.2. Extensión de Curvas de Duración General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5.1. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.5.1.1. Déficit de Escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.5.1.2. Fórmulas Empı́ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.5.1.3. Método del Balance de Thornthwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9. ESTUDIO Y ESTIMACIÓN DE CRECIDAS 199 ar 9.1. Estimación de la Infiltración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.1.1. Ecuación de Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 re lim in 9.1.2. Ecuación de Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.1.3. Ecuación de Green-Ampt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.1.4. Tiempo de Encharcamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.1.5. Índices de Infiltración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.1.6. Método de la Curva Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 9.1.7. Condiciones Antecedentes de Humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.2. Estimación del Flujo Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 rP 9.3. Hidrogramas Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9.3.1. Obtención del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante . . . 213 9.3.2. Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Bo rra do 9.3.3. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 9.3.4. Estimación de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Variable . 216 9.3.5. Hidrograma Unitario Instantáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.3.6. Hidrograma Unitario de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.3.7. Hidrogramas Unitarios Sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.3.7.1. Hidrograma Unitario de Snyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.3.7.2. Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.3.8. Hidrogramas Unitarios sintéticos en Chile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.4. Fórmulas Empı́ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.4.1. Fórmulas tipo Burkli-Ziegler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.4.2. Fórmula Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.4.2.1. Estimación del Coeficiente de escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.4.2.2. Estimación del Tiempo de Concentración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.4.3. Fórmula de Verni-King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.4.4. Fórmulas DGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.4.5. Hidrogramas de Crecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.4.5.1. Hidrograma de Santa Bárbara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.4.5.2. Hidrograma del SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 ar 9.4.5.3. Fórmula de Millán-Stowhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.4.6. Hietogramas de Tormentas de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 re lim in 9.4.6.1. Distribución de Tormentas de Endesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Bo rra do rP 9.4.6.2. Método de los Bloques Alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 ar ÍNDICE DE FIGURAS 5 1.2. Diagrama de flujo del Ciclo Hidrológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1. Espectros de emisión de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965). . . . . . . . . . . . . . . . . 11 re lim in 1.1. El Ciclo Hidrológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Distribución estacional de la radiación de onda corta incidente en función de la latitud. Fuente: 15 2.3. Balance anual promedio de radiación solar de onda corta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Balance anual promedio de radiación terrestre de onda onda larga. . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5. Estratificación térmica de la atmósfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6. Diagrama presión de vapor - temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7. Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente estable (γ > Γs ). . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8. Diagrama termodinámico atmósfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs ). . . . . . . . . . 33 2.9. Diagrama termodinámico atmósfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs ). . . . . . . . . 34 2.10. Diagrama termodinámico atmósfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd ). . . . . . . . . 34 2.11. Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente inestable (γ < Γd ). . . . . . . . . . . . . . 35 Bo rra do rP Sellers (1965) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.13. Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.14. Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.15. Circulación General de la Atmósfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3. Pluviograma de un pluviógrafo de sifón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 xi 4.4. Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) distintas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5. Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medición. . . 89 4.6. Polı́gonos de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.7. Coeficientes de duración inferiores a 1 hora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.8. Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas altiplánicas (Convectivas). . . . 96 ar 4.9. Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas ciclónicas sin excesivo efecto 98 re lim in orográfico (IV a X Regiones). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2. Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamaño finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3. Curva de frecuencia acumulada distribución normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . 144 5.4. Papel normal de probabilidades.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.5. Papel Log-normal de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6. Papel Gumbel-Powel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 rP 5.7. Análisis gráfico excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.8. Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estación USM, Valparaı́so. . . . . . . . 153 5.9. Curva de variación estacional de los caudales medios mensuales . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Bo rra do 5.10. Curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro. . . . . . . . . . . . . 155 6.1. Diagrama pseudo adiabático para reducir temperaturas de punto de rocı́o . . . . . . . . . . . 162 7.1. Ciclo Escorrentı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.2. Curva de variación estacional de caudales Estación Aconcagua en Desembocadura. . . . . . . 176 7.3. Curva de duración general de caudales Estación Rı́o el Salto en Bocatoma (1978-2008). . . . 178 8.1. Distribución caudal máximo de deshielo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.2. Distribución caudales de deshielo para el caso en que el caudal máximo ocurre en noviembre. 190 8.3. Curva duración serie mayor longitud (Q1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.4. Curva de duración serie menor longitud (Q2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.1. Variación de CN en función de la precipitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.2. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación inactiva (Mayo-Agosto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.3. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación crecimiento (Septiembre-Abril). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales en 24 hrs., estación inactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.5. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales ar en 24 hrs., estación crecimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.6. Separación de hidrogramas de crecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.7. Punto de separación de escorrentı́a directa y flujo base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 re lim in 9.8. Fabricación de Hidrograma Unitario promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.9. Hidrograma en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.10. Hietograma discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.11. Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240 Bo rra do rP 9.12. Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. . . . . . . 241 re lim in rP Bo rra do ar ar ÍNDICE DE TABLAS re lim in 1.1. Disponibilidad de agua en la tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1. Balance hı́drico medio anual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Gradiente pseudo adiabático húmedo [ºC/km]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presión “p” en una atmósfera saturada pseudo adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4. Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa 43 2.5. Rugosidades superficiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6. Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dı́as. . . . . . 48 3.1. Coeficientes de embalse de Evaporı́metros de Bandeja Tipo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2. Evaporación mensual de bandeja [mm]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 (p = 1000 [Hpa]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4. Coeficiente de horas de luz (d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5. Valores estimativos de sublimación de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.]. . . . . . . . . . . 72 4.1. Precipitaciones Medias Mensuales [mm]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Bo rra do rP superficie en una atmósfera saturada pseudo adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Valores de la función ∆ ∆+γ 4.2. Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a una hora, en base a la precipitación en 60 minutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3. Coeficientes de Duración(Cd ) para valores menores a un dı́a, en base a la precipitación en 24 horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1. Equivalencia entre perı́odos de retorno y probabilidades de excedencia. . . . . . . . . . . . . . 109 5.2. Distribución normal centrada y reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3. Rı́o Maule en Armerillo, caudales máximos instantáneos anuales. . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4. Medias y desviaciones estándar de la variable reducida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 xv 5.5. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a positiva. . . . . . . 125 5.6. Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a negativa. . . . . . . 129 5.7. Factores de corrección fc (α) para estimación de intervalos de confianza (β = 0.9). . . . . . . . 135 5.8. Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.9. Valores de χ2ν,(1−α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ar 5.10. Valores de Dν,α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 re lim in 5.11. valores de la constante b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.1. Parámetros Fórmula de Langbein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2. Tabulación Ejemplo del Método del Balance de Thorntwaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.1. Parámetros de la ecuación de Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.2. Curva Número equivalente en función de la precipitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.3. Condiciones antecedentes de humedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.4. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias. . . . . . 207 rP 9.5. Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales en 24 hrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 9.6. Hidrograma Adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Bo rra do 9.7. Coeficientes de Escorrentı́a en Cuencas Rurales Pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.8. Coeficientes de Escorrentı́a en función de tipo de área y tipo de calzada . . . . . . . . . . . . 228 9.9. Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. . . . . . 240 9.10. Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. . . . . . . 241 re lim in ar Capı́tulo 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Definición y Alcance de la Hidrologı́a La Hidrologı́a puede definirse como la ciencia que tiene que ver con el origen, distribución, circulación y propiedades del agua en su estado natural y sus relaciones con el medio ambiente. Es considerada, en consecuencia, rP como una Ciencia de la Tierra y parte de la Geografı́a Fı́sica. Sin embargo, considerando que de una u otra forma, el agua se presenta en manifestaciones múltiples en distintas partes del planeta, su estudio no es exclusivo de la hidrologı́a, existiendo múltiples interrelaciones entre ella y otras Ciencias de la Tierra que le son afines, tales como la Meteorologı́a, Geologı́a, Oceanografı́a, Bo rra do Limnologı́a y otras. Por otra parte, si bien es cierto que la Hidrologı́a puede ser estudiada y considerada como una ciencia pura, de carácter más bien descriptivo y cualitativo, no es menos cierto que existen importantes aplicaciones de ella a otras disciplinas más cuantitativas, tales como la Agronomı́a, Ingenierı́a en general e Ingenierı́a Hidráulica en particular, donde aparecen métodos y procedimientos aplicados especiales que configuran lo que algunos autores han denominado Ingenierı́a Hidrológica. En este contexto, aparecen una serie de herramientas matemáticas, métodos y procedimientos empleados en Hidrologı́a, que provienen de otras disciplinas, marcando su dependencia, entre otras, respecto a la Mecánica y Fı́sica de Suelos, Mecánica de Fluidos e Hidráulica, Estadı́stica Matemática, Análisis Matemático y Análisis de Sistemas. Aún ası́, muchos de los métodos y procedimientos de la hidrologı́a le son en general propios y sólo aplicables a sus fines y objetivos. De lo anteriormente expuesto se deduce que existe una amplia gama de enfoques y aproximaciones al estudio de la Hidrologı́a que van desde su visión como una disciplina eminentemente descriptiva hasta su visión como una especialidad de la ingenierı́a. El presente texto está orientado especialmente a las aplicaciones ingenieriles de la Hidrologı́a. 1 2 Introducción 1.2. Hidrologı́a e Ingenierı́a Definiendo al Ingeniero como al profesional encargado de concebir, planificar, diseñar, construir, operar y mantener obras de infraestructura destinadas a aprovechar y a transformar los recursos naturales renovables o no renovables en beneficio de la satisfacción eficiente, segura, justa, económica y sustentable de las necesidades humanas, resulta claro que la necesidad e interés del Ingeniero por la Hidrologı́a se centra por una parte en ar la conservación y aprovechamiento óptimo del agua como recurso natural, y por otra parte en la protección y conservación de las obras de infraestructura frente a la acción destructiva que los eventuales excesos de agua provocan sobre ellas. re lim in Es ası́, por ejemplo, como los estudios y análisis hidrológicos en ingenierı́a tratan de la determinación de la cantidad, calidad y distribución en el tiempo y en el espacio de los recursos hı́dricos de una cuenca o región, de la magnitud y distribución de los caudales de un determinado curso de agua, de la evaluación y aprovechamiento de recursos de agua subterránea, del establecimiento o determinación de los caudales máximos o de diseño para el dimensionamiento de obras de protección, del establecimiento o determinación de los caudales mı́nimos o ecológicos que deben preservarse en un determinado cauce, del pronóstico o previsión de caudales a corto y mediano plazo, o de la determinación del impacto o efectos fı́sicos provocados sobre el recurso por cambios climáticos o cambios en el uso de la tierra o del agua provocados por la intervención humana (Urbanizaciones, construcción de grandes embalses, deforestación, etc.). rP Los resultados de estos estudios resultan fundamentales para planificar la toma de decisiones en torno al óptimo aprovechamiento del recurso y le permiten al ingeniero abordar el diseño y dimensionamiento de las obras civiles afectadas por el agua con la seguridad requerida, asegurando la preservación del ambiente y Bo rra do estableciendo las mejores condiciones de construcción, operación y explotación de las obras. 1.3. Disponibilidad del Recurso Agua El agua, siendo uno de los elementos naturales más abundantes de la Tierra, se encuentra principalmente depositada en forma de agua salada en los océanos y en forma de hielo o nieve en los inhóspitos casquetes polares. Como se desprende de las cifras de la Tabla 1.1, de una disponibilidad total estimada cercana a los 1,386 millones de kilómetros cúbicos de agua en el planeta Tierra, menos de un 0.8 % de este volumen ocurre en los continentes habitados por el hombre. De este porcentaje, gran parte se encuentra en forma subterránea o glaciares continentales, resultando que sólo 122,000 Km3 o un 0.009 % del volumen total queda disponible como aguas dulces superficiales de utilización relativamente inmediata. Resulta innecesario, por otra parte, destacar cuán vital es el agua para la existencia de vida en la Tierra y para el desarrollo social y económico de los pueblos. El vertiginoso incremento de la población y las modalidades de la vida moderna han provocado una creciente demanda de recursos hidráulicos que han, no sólo desencadenado una intensa competencia entre los diversos sectores de consumidores, sino que además ha provocado serios y crecientes problemas de contaminación y calidad de las aguas, agravando aún más el Introducción 3 problema de desabastecimiento. Tabla 1.1: Disponibilidad de agua en la tierra. Distribución del agua en la Tierra Volumen en Km3 Agua salada Agua dulce Agua total - 1,338,000,000 - 96.5 24,064,000 - 68.7 1.74 0.04 0.001 - 0.94 - 0.006 Océanos y mares Casquetes y glaciares polares Porcentaje Agua dulce 12,900 - Agua subterránea salada - 12,870,000 Lagos de agua salada - 85,400 Aguas Continentales Agua subterránea dulce Glaciares continentales y Permafrost Lagos de agua dulce Humedad del suelo Embalses Rı́os Agua biológica Total agua dulce Total agua en la tierra 10,530,000 - 30.1 0.76 300,000 - 0.86 0.022 91,000 - 0.26 0.007 16,500 - 0.05 0.001 11,470 - 0.03 0.0008 2,120 - 0.006 0.0002 1,120 - 0.003 0.0001 10,952,210 31.27 0.79 35,029,110 100 2.53 - 100 rP Total aguas continentales re lim in Atmósfera ar Situación del agua 1,386,000,000 Fuente: UNESCO (2003), World Water Balance and Water Resources of the Earth. Bo rra do Además, la distribución y ocurrencia natural de las aguas continentales es extraordinariamente variable tanto en el tiempo como en el espacio. Esto origina la paradojal situación de la existencia de regiones donde el principal factor limitante al desarrollo es la poca disponibilidad o déficit de agua, mientras en regiones no muy lejanas y aún en las mismas regiones pero en distintas temporadas, el principal problema sea el control o eliminación parcial o total de los efectos nocivos o catastróficos provocados por los excesos de agua. Esta situación ha llevado a la necesidad de desarrollar programas y proyectos regionales para el control y aprovechamiento integral de los recursos hı́dricos, como a mejorar la tecnologı́a y métodos necesarios para la concepción, planificación, diseño y construcción de las obras o sistemas hidráulicos que dichos programas requieren. La hidrologı́a, como se ha mencionado anteriormente, proporciona elementos de decisión y diseño que contribuyen en forma importante al buen comportamiento de los desarrollos abordados. 4 Introducción 1.4. El Ciclo Hidrológico El ciclo hidrológico es un concepto más bien académico que corresponde a un modelo o idealización del movimiento de circulación del agua dentro del planeta Tierra, e incluye por lo tanto el movimiento y distribución del agua dentro de la litosfera (continentes), hidrosfera (océanos y mares) y atmósfera, al igual que los procesos de transferencia del agua entre estos elementos a través de los mecanismos de evaporación, precipitación y escorrentı́a. ar Aún cuando el ciclo hidrológico es globalmente un proceso continuo, contiene variables de ocurrencia aleatoria, que configuran elementos discretos al considerar extensiones, territorios o intervalos de tiempo de re lim in análisis a escalas reducidas. Por ejemplo, dentro de una cuenca hidrográfica especı́fica, la precipitación a una escala diaria aparece como un elemento discreto de ocurrencia aleatoria, mientras la evaporación y la escorrentı́a se presentan como procesos continuos, aún cuando variables e impermanentes en el tiempo. Es decir, un fenómeno que constituye una función o proceso continuo desde un punto de vista global, aparece con una distribución discreta desde el punto de vista local. Esta situación es un hecho importante y conveniente, ya que facilita el análisis estadı́stico de los estudios hidrológicos de carácter local, en que las variables deben ser necesariamente discretizadas. En primer lugar, se hace referencia a la Figura 1.1 que describe en forma pictórica los diferentes elementos que constituyen el ciclo hidrológico, distinguiéndose tanto elementos de almacenamiento como de transferencia rP o transporte de agua. Ası́, se observa como el agua depositada en el principal elemento de almacenamiento, el cual son los océanos y mares, es transferida mediante procesos de evaporación a la atmósfera donde se almacena en forma de vapor de agua. Este vapor puede condensar e incorporarse a la superficie terrestre a través de procesos de precipitación pluvial o nival, cayendo sobre océanos, lagos, montañas y valles. Parte de la precipitación caı́da sobre Bo rra do la superficie terrestre puede escurrir sobre ella, incorporándose a redes de drenaje natural que la retornarán nuevamente al mar. Otra parte puede quedar temporalmente almacenada en depresiones, lagos o en forma de hielo o nieve, o puede infiltrarse quedando retenida en la zona de raı́ces de las plantas o percolar profundamente hasta alcanzar las napas subterráneas, o escurrir a través de grietas en los estratos profundos de roca. El agua superficialmente almacenada o retenida en el suelo, retornará a la atmósfera a través de procesos de evaporación, sublimación de hielo o transpiración de las plantas, o infiltrará y percolará profundamente, escurriendo en forma subterránea hasta aflorar en rı́os o lagos, o descargará subterráneamente al mar. Puede observarse a su vez, la interacción o traspaso de agua entre diferentes elementos superficiales y sub- terráneos del ciclo, y la existencia de distintas alternativas de circulación o subciclos, como agua precipitada directamente sobre los océanos o precipitación evaporada durante su caı́da, antes de alcanzar la superficie de la Tierra. La representación gráfica del ciclo hidrológico permite efectuar una especie de inventario de los fenómenos que forman parte del ciclo, pero no permite establecer las relaciones funcionales entre los distintos elementos componentes que determinan la trayectoria del agua a través de los distintos subciclos o cortacircuitos existentes en su camino de retorno a la atmósfera o al mar. Finalmente la imagen de la Figura 1.1 no permite considerar la variable tiempo, que introduce algunas 5 re lim in ar Introducción Figura 1.1: El Ciclo Hidrológico. rP complicaciones, como en el caso del agua temporalmente almacenada en forma de nieve o hielo, ni permite considerar procesos más complejos como la existencia de perı́odos húmedos o de crecidas, o perı́odos secos o sequı́as. Para lograr parte de estos objetivos, levantando algunas de las limitaciones, se puede recurrir a otras formas Bo rra do de idealización del ciclo hidrológico, en las que se abandona la forma pictórica. Estas se basan en diagramas de flujo del ciclo hidrológico en los que es posible distinguir claramente entre elementos de almacenamiento y de traslación del agua, estableciendo relaciones conceptuales entre los diferentes componentes, permitiendo resolver determinados problemas aplicando procedimientos apropiados de análisis. La Figura 1.2 muestra uno de estos diagramas de flujo describiendo los diversos fenómenos que intervienen en el ciclo hidrológico y las interconexiones entre los distintos procesos. Mediante una lı́nea de trazos se ha delimitado en la Figura 1.2, los procesos correspondientes al ciclo de escorrentı́a, materia de estudio de la Hidrologı́a. La definición del ciclo de escorrentı́a determina como unidad fı́sica territorial fundamental en hidrologı́a, a la cuenca u hoya hidrográfica, que queda definida al seleccionar un punto o sección de salida en el cauce de un rı́o u otro curso de agua, por todo el territorio adyacente cuyas aguas fluyen o drenan hacia dicho punto. La lı́nea perimetral que encierra y delimita la superficie de la cuenca, se denomina la lı́nea divisoria de aguas. Cabe agregar aquı́, la ventaja de utilizar la cuenca hidrográfica no sólo como unidad territorial hidrológica, sino también como unidad polı́tica y administrativa, lo que elimina, o al menos disminuye, las disputas y conflictos territoriales y de uso del agua, facilitando el manejo y administración racional del recurso. 6 Introducción FIGURA Nº 1.2 EVAPOTRANSPIRACION EVAPORACION ATMOSFERA EVAPORACION PRECIPITACION EVAPORACION INTERCEPCION PRECIPITACION SOBRE EL OCEANO ar PRECIPITACION SOBRE CAUCES PRECIPITACION SOBRE DEPRESIONES SUPERFICIALES TRANSPIRACION VEGETACION EVAPORACION DEPRESIONES SUPERFICIALES INFILTRACION AGUA ABSORBIDA EVAPORACION DESDE SUELOS re lim in ESCORRENTIA SUPERFICIAL INFILTRACION CURSOS SUPERFICIALES DE AGUA OCEANOS FLUJO SUBTERRANEO FLUJO SUBSUPERFICIAL SUELOS rP PERCOLACION AGUA SUBTERRANEA FLUJO SUBTERRANEO FLUJO SUBTERRANEO Bo rra do CICLO DE ESCORRENTIA Figura 1.2: Diagrama de flujo del Ciclo Hidrológico. 1.5. Ecuación General de Balance Hidrológico Asociado a la cuantificación de los conceptos de ciclo hidrológico y ciclo de escorrentı́a surge otro concepto básico en hidrologı́a, cual es el concepto de conservación de la masa o su equivalente en mecánica de fluidos, la ecuación de continuidad. Expresada en su forma más básica y general, la ecuación de continuidad puede representarse por la relación, I −Q= ∂V ∂t (1.1) donde I y Q son los flujos de entrada y salida a un determinado volumen de control y V es el almacenamiento al interior de dicho volumen. La ecuación (1.1) expresada en su forma integral y aplicada a una cuenca hidrográfica como “volumen de control”, se conoce con el nombre de ecuación de balance de masas o ecuación general de balance hidrológico. Introducción 7 Para un intervalo de tiempo ∂t comprendido entre dos instantes t1 y t2 , el balance de masas en una cuenca se representa por la siguiente ecuación: P + Qa − R − E − T − Qe = ∂Vsup + ∂Vsub + ∂Vh + ∂H (1.2) donde P es la precipitación total ocurrida en el perı́odo t2 − t1 sobre la cuenca, Qa es el volumen de agua ar afluente a la cuenca como caudales superficiales o subterráneos, R es la precipitación retenida por la vegetación, E es la evaporación desde superficies de suelo húmedo o desde espejos de agua, T es la transpiración vegetal ocurrida en el perı́odo, Qe es la escorrentı́a total efluente en la sección de salida de la cuenca, y los re lim in valores ∂Vsup , ∂Vsub , ∂Vh y ∂H corresponden a la variación del volumen de agua almacenado en la cuenca en depresiones superficiales, lagos y embalses, en forma de agua subterránea, en forma de hielos, glaciares o nieve estacional, y en forma de humedad contenida en los suelos, respectivamente. Salvo en cuencas intervenidas por el hombre, el término Qa es normalmente nulo o despreciable, aunque se dan excepciones en lo que se refiere a caudales afluentes en forma subterránea ; la evaporación, retención y transpiración vegetal pueden agruparse en un término global denominado “evapotranspiración”, ET , por lo que la ecuación (1.2) puede reescribirse de la forma rP P − ET − Qe = ∂Vsup + ∂Vsub + ∂Vh + ∂H (1.3) Siendo conceptualmente exacta, para la aplicación práctica de la ecuación de balance hidrológico se requiere que sólo uno de los términos del balance sea incógnita, debiendo disponerse de información respecto a todas las demás variables involucradas. Considerando los errores que se cometen en la medición o estimación de Bo rra do cada uno de los términos de la ecuación, la sumatoria de ellos, que pasa a ser el valor estimado de la variable incógnita, puede alcanzar magnitudes de error inadmisibles, dando resultados, en consecuencia, absurdos, a menos que se elija adecuadamente el intervalo de tiempo para el cual se aplica la ecuación. En efecto, utilizando como intervalo de tiempo t2 − t1 , un perı́odo que se denomina un año hidrológico, el cual difiere del año calendario en el sentido de que comienza y termina al término del perı́odo de estiaje que presentan las variables hidrológicas en su variación cı́clica anual, pueden lograrse resultados admisibles en la aplicación directa de la ecuación de balance. Si, por ejemplo, se inicia y termina el perı́odo de balance al final de la temporada seca de verano, en la zona central de Chile, digamos desde el 1 de Abril al 31 de Marzo del año siguiente, los valores de nieve estacional almacenada o humedad de los suelos serán nulos o se encontrarán en su valor mı́nimo, independientemente de los valores que hayan alcanzado durante la época húmeda del invierno, por lo cual los términos ∂Vh y ∂H de la ecuación serán nulos o al menos mı́nimos. Análogo raciocinio puede efectuarse con los términos que representan la variación del almacenamiento de aguas superficiales y subterráneas, por lo que también pueden despreciarse con un margen aceptable de error. La situación más habitual, en consecuencia, es la de estimar la escorrentı́a media anual de la cuenca mediante la ecuación simplificada expresada de la forma, 8 Introducción (1.4) Q ≈ P − ET Esta ecuación permite una primera estimación aproximada de la escorrentı́a media anual de una cuenca, conocidas la precipitación y la evapotraspiración, salvo en aquellos casos en que las variaciones de almacenamiento a escala anual no sean despreciables o existan aportes externos importantes. ar Mayor aproximación aún se logra con la ecuación anterior, si se aplica a la estimación de la escorrentı́a media anual durante largos perı́odos de tiempo, del orden de décadas hidrológicas o más, dado que siendo los términos de la izquierda de la ecuación (1.3), a diferencia de los de la derecha, acumulativos, estos pasan a re lim in ser de órdenes de magnitud superiores a los términos de la derecha, los que pasan a ser despreciables. Para un largo perı́odo de tiempo, digamos del orden de 30 años, puede aseverarse sin mayor error, que en un sistema estacionario en que no existen aportes externos significativos, se cumple en forma muy exacta, la relación, Q = P − ET (1.5) En los capı́tulos siguientes se verá una descripción detallada de las variables que participan en la ecuación de balance hidrológico y de los principales métodos utilizados en ingenierı́a hidrológica, precedidos por algunos conceptos fundamentales de Climatologı́a y Meteorologı́a, que resultan imprescindibles para lograr una Bo rra do rP comprensión global del ciclo hidrológico. re lim in ar Capı́tulo 2 ELEMENTOS DE CLIMATOLOGÍA Y Introducción rP METEOROLOGÍA La disponibilidad de recursos hı́dricos y las caracterı́sticas hidrológicas de una determinada cuenca o región quedan determinadas principalmente por la estructura geológica y geomorfologı́a del área, y por una serie Bo rra do de factores climatológicos, como la radiación solar, vientos y circulación del aire, temperatura y humedad ambiental, que condicionan y regulan la intensidad del ciclo hidrológico y la cantidad y distribución de las precipitaciones. Es fundamental, en consecuencia, para lograr una comprensión global del ciclo hidrológico, disponer de algunos conocimientos básicos de climatologı́a y meteorologı́a, dada la fuerte dependencia que existe entre estas ciencias y algunos campos de la hidrologı́a. 9 10 2.1. 2.1.1. Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Radiación Leyes de Radiación El 99.97 % de la energı́a necesaria para la realización de los procesos fı́sicos que ocurren en la Tierra, proviene originalmente de la radiación solar. ar De acuerdo a la ley de radiación de Planck, la intensidad de radiación en una determinada longitud de onda emitida por un cuerpo negro, es decir, un cuerpo que absorbe toda la radiación incidente sobre su superficie, re lim in puede expresarse mediante la ecuación, 1 2h · c2 · hc (2.1) 5 λ e λkT − 1 donde Eλ se obtiene en [erg/(cm2 · seg · cm)], h corresponde a la constante de Planck (6.55 × 10−27 [erg · seg]), Eλ = c a la velocidad de la luz (3 × 101 0 [cm/seg]), k a la constante de Stefan-Boltzmann (1.37 × 10−16 [erg/◦ K]) y T a la temperatura absoluta del cuerpo en ◦ K. Esta ley indica que un cuerpo negro emite distintas intensidades de radiación en diferentes longitudes de onda y que estas intensidades varı́an en función de la temperatura del cuerpo. Dos importantes leyes pueden deducirse fácilmente a partir de la ecuación (2.1). rP Derivando respecto a la longitud de onda e igualando a cero, se obtiene la ley de Wien, que determina la longitud de onda en la cual se produce la máxima emisión de radiación. Este valor de λ es inversamente Bo rra do proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo, donde λmax se obtiene en [cm] y a = h·c 5k λmax = a T (2.2) = 0.288 [cm ·◦ K]. Por otra parte, integrando la ecuación (2.1) para todas las longitudes de onda, bajo la hipótesis de una emisión isotrópica, se puede calcular el flujo total de radiación emitido por un cuerpo negro. Esta es la ley de Stefan-Boltzmann, expresada por la ecuación F = σT 4 (2.3) donde F se obtiene en [cal/(cm2 · min)] y σ corresponde a la constante de Stefan-Boltzmann (8.14 × 10−11 [cal/(cm2 · min ·◦ K 4 )]). Como lo indican las ecuaciones (2.2) y (2.3), la radiación total emitida por un cuerpo negro aumenta con la cuarta potencia de su temperatura absoluta, desplazándose además el espectro de emisión hacia longitudes de onda más cortas a medida que la temperatura aumenta. La Figura 2.1 muestra los espectros de emisión de un cuerpo negro para las temperaturas de 6000 y 293 ºK, que corresponden aproximadamente a las temperaturas del Sol y la Tierra respectivamente. FIGURA Nº 2.1 2.1. Radiación 11 FIGURA Nº 2.2 0 70º RADIACION SOLAR EXTRATERRESTRE 50º 0 10 0 0 2 0 30 0 0 4 40º 50 60º 1.0 0.5 70 EMISION CUERPO NEGRO A 300º K LATITUD 20º 0.1 0 80 10º 90 EMISION INFRAROJO AL ESPACIO ABSORCION GAS OZONO 0.01 0 CL 0 10º 0.02 0 ar 30º re lim in ENERGIA ( LY / MIN / ) RADIACION SOLAR EN SUPERFICIE TERRESTRE 0.2 0.05 0 0 60 DE 2.0 1000 80º EMISION CUERPO NEGRO A 600º K IN 700 0 50 0 30º 40 1000 3 60º 0 00 20 0 10 0 1100 0 80º 0.2 0.5 1.0 0.1 5.0 10 20 rP 0.001 0.1 SU N 800 60 70º OF 900 20º 50º 0.002 ON AT I 40º 0.005 Summer Solstice 11 INFRAROJO Equinox VISIBLE Vernal ULTRAVIOLETA 00 90º N 5.0 LONGITUD DE ONDA ( MICRONES ) 50 100 90º S JAN FEB MAR APR Figura 2.1: Espectros de emisión de un cuerpo negro. Fuente: Sellers (1965). Los cuerpos fı́sicos reales no se comportan como cuerpos negros teóricos y absorben y emiten una cantidad Bo rra do de radiación en general menor a la indicada por la ley de Stefan-Boltzmann. Si la cantidad de radiación emitida es proporcionalmente igual en cualquier longitud de onda, estos cuerpos se denominan “cuerpos grises”, siéndoles aplicables la ecuación (2.3), corregida en la forma F = εσT 4 (2.4) donde ε se denomina la emisividad del cuerpo y es tal que 0 < ε < 1. Aunque los cuerpos reales tienen una emisividad variable con la longitud de onda, existiendo bandas especı́ficas, caracterı́sticas de cada cuerpo, en las que se producen distintas cantidades de absorción y emisión, el flujo total de radiación emitido por estos cuerpos se calcula en la práctica en base a la ecuación de StefanBoltzmann, adoptando una emisividad media del cuerpo, equivalente a la de un cuerpo gris. En la Figura 2.1 se incluyen los espectros reales estimados de radiación solar extraterrestre en el borde exterior de la atmósfera y de la emisión real al espacio desde la Tierra. Debido a la gran diferencia de temperaturas entre el Sol y la Tierra, puede apreciarse que sus espectros electromagnéticos, en la práctica no se traslapan; la radiación solar ocurre en el rango de longitudes de onda entre 0.15 y 4.0µ con un 45 % dentro del rango de la luz visible (0.4 a 0.74µ), mientras la radiación terrestre ocurre a longitudes de onda más largas, en el rango infrarrojo entre 4 y 30µ aproximadamente. Por estas MAY JUN JUL Month AUG 12 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a razones, la radiación solar es denominada normalmente “radiación de onda corta”, mientras la radiación terrestre es denominada “radiación de onda larga”. 2.1.2. Medición de la Radiación Diversos instrumentos han sido desarrollados para medir los distintos componentes del balance radiativo. ar Entre ellos podemos distinguir los siguientes: Piroheliómetro: Es el instrumento básico, diseñado para medir la intensidad de la radiación solar, re lim in es decir, la radiación directa desde el Sol sobre una superficie unitaria normal a la dirección del rayo. El más común de ellos es el llamado piroheliómetro de Angstrom, que consiste en dos placas metálicas gemelas aisladas. Una de ellas se expone, mediante un tubo colimador, a la radiación solar, siguiendo durante el dı́a la trayectoria del Sol en el cielo, de manera que reciba permanentemente la radiación directa desde el Sol. La otra placa, aislada a la radiación externa, se conecta a un circuito eléctrico y se mide la cantidad de energı́a o calor necesario para calentar eléctricamente esta placa aislada, a la misma temperatura que la placa calentada por el Sol. Como ambas placas son gemelas, la intensidad solar, será igual a la potencia eléctrica disipada, es decir, donde, rP Roc,dir = K · i2 (2.5) Roc,dir : Radiación solar directa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente. i: Intensidad de la corriente en el circuito eléctrico. Bo rra do K: Constante de calibración del instrumento. Piranómetro: Es un instrumento diseñado para medir la radiación solar total, tanto directa como difusa, incidente sobre una superficie horizontal, radiación denominada comúnmente radiación global. El más utilizado de estos instrumentos es el piranómetro Eppley, que consiste en dos anillos de plata concéntricos, uno pintado de negro y el otro de blanco (óxido de magnesio), protegidos por una ampolleta de cuarzo que filtra la radiación de onda larga. La mayor absorción de radiación por parte del anillo negro, genera una diferencia de temperatura entre los dos anillos que es aproximadamente proporcional a la intensidad de radiación global recibida. Roc,dir + Roc,dif = K · (Tn − Tb ) donde, Roc,dir : Radiación solar directa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente. Roc,dir : Radiación solar difusa en [cal/(cm2 ·año)] u otra unidad equivalente. T n: temperatura de los anillos negro. T b: temperatura de los anillos blanco. K: Constante de calibración del instrumento. (2.6) 2.1. Radiación 13 La diferencia de temperatura entre los anillos se mide en base a termocuplas o termojuntas en contacto con los anillos, midiéndose la diferencia de voltaje generada. Actinógrafo: Es un instrumento similar y que cumple la misma función que el piranómetro. La diferencia fundamental está en el mecanismo sensor de la diferencia de temperatura entre las placas blanca y negra, que en este caso se mide en base a la dilatación de elementos bimetálicos. Es un instrumento de uso más común que el piranómetro debido a su menor costo. Desgraciadamente tiene mayor retardo ar en su respuesta a los cambios de intensidad de radiación y una menor precisión que los piranómetros eléctricos. re lim in Piroradiómetro: Es un instrumento diseñado para medir el total de radiación de onda corta y larga (solar y terrestre o atmosférica) incidente sobre una superficie horizontal. Consiste en dos elementos sensores, uno superior, expuesto a la intemperie y uno inferior protegido por una placa pulida de aluminio que lo aı́sla radiativamente. La intensidad de radiación se mide en función de la temperatura y la diferencia de temperatura entre los sensores. Radiómetro neto: Instrumento que mide el balance neto de radiación sobre una superficie horizontal, es decir, el total de la radiación incidente menos la radiación reflejada por la superficie y la emisión de radiación de onda larga de la superficie. Se basa también en dos placas sensoras expuestas horizontalmente, una hacia arriba y otra hacia abajo, siendo el flujo neto de radiación proporcional a la diferencia rP de temperatura de las placas sensoras. Si se define el albedo o reflectividad “a” de la superficie como el cuociente entre la radiación reflejada Bo rra do y la radiación incidente sobre ella, la radiación neta Rn resulta en definitiva Rn = (Roc,dir + Roc,dif )(1 − a) + Rol,inc − Rol,emit = K(Tu − Td ) (2.7) donde, Rn : Radiación neta. Roc,dir : Radiación solar directa. Roc,dir : Radiación solar difusa. a: Albedo de reflexión de la superficie. Rol,inc : Radiación de onda larga incidente. Rol,emit : Radiación de onda larga emitida. Tu : Temperatura de la placa expuesta hacia arriba. Td : Temperatura de la placa expuesta hacia la superficie del terreno. K: Constante de calibración del instrumento. En la página web de la Dirección Meteorológica de Chile1 pueden obtenerse más detalles y fotografı́as de la mayorı́a de los instrumentos antes señalados. 1 http://www.meteochile.gob.cl/ 14 2.1.3. Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Radiación de Onda Corta El Sol, con una temperatura cercana a los 6000 [K] y una emisividad próxima a la de un cuerpo negro, emite aproximadamente 56 × 1026 calorı́as por minuto. En consecuencia, la Tierra, ubicada a una distancia media de 1.5 × 1013 [cm] del Sol, recibe en el borde exterior de su atmósfera una radiación por unidad de superficie S= 56 × 1026 4π(1.5 × 1013 ) 2 ≈ 2.0 [ly/min] (2.8) ar de La unidad de intensidad de radiación es el “langley” [ly], que equivale a 1 [cal/cm2 ]. re lim in La intensidad de radiación en el borde exterior de la atmósfera, S, recibe el nombre de Constante Solar, aún cuando su constancia es sólo estadı́stica, ya que la magnitud depende de las manchas y actividad solar. Las mediciones más exactas logradas de la constante solar mediante el uso de satélites artificiales, arrojan el valor, S = 1.961 ± 0.005 [ly/min] (2.9) El total de energı́a interceptado por la Tierra es proporcional a su proyección plana πR2 , donde R es el radio R̄oc = rP de la Tierra, por lo tanto, la energı́a media repartida a través de toda la superficie del globo es πR2 S S = = 0.49 [ly/min] = 706 [ly/dı́a]= 258 [Kly/año] 4πR2 4 Obviamente la distribución no es uniforme sobre toda la superficie, pues depende del ángulo de incidencia, Bo rra do de la distancia Sol-Tierra y del tiempo de exposición, variando en consecuencia en función de la época del año y la latitud del lugar. En promedio, la energı́a recibida en las regiones ecuatoriales es del orden de 2.4 veces la energı́a recibida cerca de los polos. La Figura 2.2 muestra la distribución estacional de la radiación de onda corta incidente en función de la latitud. La radiación que logra llegar a la superficie terrestre, es obviamente menor a la existente en el borde exterior de la atmósfera, ya que la atmósfera absorbe parte de la radiación, de acuerdo a la ley de absorción de radiación, Ix = I0 e−kx (2.10) donde, I0 : Radiación en el borde exterior de la atmósfera. x: Distancia atravesada en el medio absorbente (atmósfera). k: Masa óptica atmosférica, función de su composición y nubosidad. Al respecto cabe señalar que la radiación ultravioleta, altamente dañina para la salud humana, prácticamente no alcanza a llegar a la superficie terrestre producto de su absorción en la alta atmósfera principalmente por parte del gas ozono existente en ella, situación que se ha visto revertida (sobre todo en las regiones po- FIGURA Nº 2.2 2.1. Radiación 00 90º N 11 INFRAROJO 60 20º 10º 90 0 NA T I ON OF SU N 900 0 800 10º 700 20º EMISION INFRAROJO AL ESPACIO I CL 30º 60 0 50 0 40 1000 40º 50º 700 800 3 0 00 20 1 60º 900 1000 EMISION CUERPO NEGRO A 300º K 00 Vernal LATITUD 8 0 0 40 0 50 0 60 0 re lim in 70 0 DE 30º Equinox RADIACION SOLAR EN SUPERFICIE TERRESTRE 0 0 30 0 00 80º 5.0 10 20 50 100 90º S DE ONDA ( MICRONES ) JAN FEB MAR APR MAY JUN JUL Month 1100 1100 0 70º rP 0.1 0 20 ar 50 10 Winter Solstice 40º 60º 0 Equinox 50º 0 10 0 20 0 30 0 0 4 1000 0 70º Summer Solstice 80º SION CUERPO NEGRO 0º K DIACION SOLAR TRATERRESTRE 15 Autumnal IGURA Nº 2.1 AUG SEP OCT NOV DEC Figura 2.2: Distribución estacional de la radiación de onda corta incidente en función de la latitud. Fuente: Bo rra do Sellers (1965) lares) en los últimos años por efectos de la acción antropogénica de contaminación atmosférica, que tiende a reducir el contenido de ozono en la alta atmósfera. 2.1.4. Balance de Radiación La temperatura de la Tierra permanece en promedio constante a lo largo del tiempo. Para que esto ocurra, es necesario que esta emita al espacio, por reflexión o emisión en onda larga, una cantidad de energı́a igual a la que es recibida por efecto de la radiación solar. Diversos intentos por cuantificar este intercambio de radiación, pueden resumirse en forma aproximada en el siguiente balance de la disposición de la radiación en el sistema terrestre para un año promedio: 16 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Radiacion solar de onda corta: Radiación total incidente sobre el planeta: 258 [Kly/año] 258 53 13 Radiación reflejada por la atmósfera (nubes, vapor de agua, impurezas, etc.): 66 8 51 Radiación total incidente sobre la superficie terrestre: 141 [Kly/año] Radiación reflejada por la superficie 127 14 Radiación absorbida en la superficie terrestre: 127 [Kly/año] Absorción total del planeta (51+127): Figura 2.3: Balance anual promedio de ra- re lim in terrestre (nieve, agua, suelos, etc.): 43 14 ar (nubes, vapor de agua, ozono, etc.): Vapor de agua, impurezas, ozono, etc. Nubes Radiación absorbida por la atmósfera diación solar de onda corta. 156 178 [Kly/año] 22 272 Atmósfera 403 Radiacion terrestre de onda larga: Emisión neta de la atmósfera al espacio exterior: 131 [Kly/año] Emisión total del planeta: 47 178 [Kly/año] rP Emisión neta de la superficie terrestre: 247 294 Tierra (15 ºC) Figura 2.4: Balance anual promedio de radiación terrestre de onda onda larga. Bo rra do De las cifras anteriores se observa que la radiación solar total absorbida por el planeta se ve compensada por la emisión de este en onda larga, resultando un equilibrio radiativo que mantiene en equilibrio el balance de energı́a global, y por ende la temperatura del planeta. Sin embargo, las mismas cifras nos indican que internamente no existe un equilibrio radiativo. En efecto, la atmósfera emite 131 [Kly/año] y sólo absorbe 51 [Kly/año] de radiación solar, presentando un enfriamiento radiativo de 80 [Kly/año]. Con la superficie terrestre pasa lo contrario, emite 47 [Kly/año] y absorbe 127 [Kly/año], resultando una tasa de calentamiento radiativo de 80 [Kly/año]. Para mantener entonces el balance energético interno total, se requiere un traspaso de energı́a no radiativa desde la superficie terrestre a la atmósfera, a una tasa media de 80 [Kly/año]. Los mecanismos no radiativos de traspaso de energı́a corresponden a la evaporación de agua en la superficie y su posterior condensación en la atmósfera (calor latente) y a la conducción y difusión de calor sensible desde la superficie terrestre a la atmósfera (calor de convección). Se estima que del orden de 68 [Kly/año] año son transferidas de la tierra a la atmósfera vı́a calor latente, mientras las 12 [Kly/año] restantes son transferidas vı́a calor sensible. Considerando por último, un calor latente de vaporización del agua, del orden de 600 [cal/gr], resulta una evaporación media anual desde la superficie terrestre (océanos y continentes) de 113 [gr/cm2 ] o 1130 [mm] anuales. Considerando, a su vez, 2.1. Radiación 17 que el volumen de agua que almacena la atmósfera en forma de humedad es relativamente pequeño, la cifra anterior debe corresponder además a la precipitación media anual sobre el planeta. La Tabla 2.1 muestra una estimación, basada en datos de la UNESCO (1995), de la distribución geográfica de evaporaciones y precipitaciones en el planeta. Tabla 2.1: Balance hı́drico medio anual. Precipitación [mm] Evaporación [mm] Pacı́fico 178.7 1,460 1,510 Atlántico 91.7 1,010 1,360 Indico 76.2 Artico Total océanos 14.7 361.3 Continentes Europa 10.5 Asia 43.5 Africa 30.1 Oceanı́a 9 Norteamérica 24.2 Sudamérica 17.8 Total continentes -350 1,420 -100 361 220 141 1,271 1,400 -129 790 507 283 740 416 324 740 587 153 791 511 280 756 418 338 1,600 910 690 14 165 0 165 149.1 798 483 315 510.4 1,133 1,133 0 Bo rra do Total planeta 1,320 rP Antártica -50 re lim in Océanos: Escorrentı́a [mm] ar Área 106 km2 Región El proceso continuo de evaporación de agua desde la superficie a la atmósfera, su arrastre por parte de los vientos y circulación atmosférica y su posterior condensación y precipitación configuran el ciclo hidrológico. Se observa de la Tabla 2.1, que el continente sudamericano, favorecido por su posición geográfica meridional, por su exposición abierta al Océano Pacı́fico y por las caracterı́sticas de su relieve, es el continente donde el ciclo hidrológico se presenta más intenso. Considerando que 1 [mm] de precipitación es equivalente a 1 litro de agua por metro cuadrado de superficie, el caudal especı́fico promedio de los rı́os del planeta alcanza un valor del orden de 10 [l/(s · km2 )], cifra que en el caso de Sudamérica se eleva a 21.9 [l/(s · km2 )]. A partir de las cifras de las Figuras 2.3, 2.4 y Tabla 2.1 puede estimarse en forma aproximada el tiempo de residencia del agua en los océanos, continentes y atmósfera. Una gota de agua permanece en promedio en los océanos un tiempo del orden de 2570 años; en los continentes y casquetes polares, del orden de 309 años, mientras que en la atmósfera el tiempo de residencia promedio serı́a del orden de tan sólo 8 dı́as. En definitiva, una gota de agua promedio demora del orden de 2900 años en completar el ciclo hidrológico. Al respecto de todo lo anterior, cabe agregar que existen estudios asociados al cambio climático que postulan que el equilibrio energético del planeta y actual balance de evaporaciones y precipitaciones, ha sido alterado por la acción antropogénica del hombre al alterar la composición de los gases constituyentes de la atmósfera. Ası́ por ejemplo, se ha detectado una disminución del contenido de ozono o disminución de la capa de este 18 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a gas en la alta atmósfera, que tiene por consecuencia un aumento de la radiación ultravioleta que alcanza la superficie del planeta, con nefastas consecuencias para la salud humana. Por otra parte, el aumento del contenido de anhı́drido carbónico y otras impurezas de origen antropogénico, estarı́an generando un efecto de invernadero que traerı́a como consecuencia un calentamiento global de la atmósfera, pronosticándose un aumento de la temperatura media en un par de grados en las próximas décadas, proceso que ya ha manifestando algunas consecuencias. Todos estos cambios, necesariamente deben influir en algún grado, en Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera 2.2.1. re lim in 2.2. ar el actual régimen de precipitaciones y evaporaciones. Distribución de Temperaturas La temperatura es una medida o un ı́ndice de la energı́a interna de un cuerpo; en consecuencia, la distribución y variación de temperaturas en la tierra y en la atmósfera es el resultado del balance radiativo y energético global. En términos promedios y globales entonces, las temperaturas disminuyen con la latitud debido al déficit radiativo de las zonas polares. Por la misma razón, las temperaturas en la atmósfera son menores que las temperaturas en la superficie terrestre. Como se mencionó anteriormente, el déficit radiativo de la atmósfera rP se ve compensado por un traspaso de calor latente y calor de convección desde la superficie terrestre. Esto significa que la atmósfera es calentada desde su borde inferior, lo que origina en general un aumento de temperatura en las capas más bajas y un gradual descenso de la temperatura con la altura. En regiones marı́timas y húmedas, el traspaso de calor ocurre preferentemente en forma de calor latente, Bo rra do fenómeno que origina una mayor uniformidad térmica en superficie y una atenuación de la oscilación térmica diaria. En regiones continentales y áridas, prevalece el traspaso de calor como calor de convección, lo que exige un mayor recalentamiento de la superficie durante el dı́a, originando una fuerte amplitud de la oscilación térmica diaria. Independientemente de la magnitud de la oscilación térmica diaria en superficie, la atmósfera disminuye gradualmente su temperatura con la altura, situación que se verifica aproximadamente dentro de los primeros 10,000 a 18,000 metros desde la superficie, dependiendo de la latitud, y definiendo un primer estrato atmosférico inferior, denominado tropósfera , en que la temperatura disminuye a una tasa cercana a 6 o 7 [°C/km]. En las inmediaciones de la superficie de la tierra, debido al efecto del ciclo diurno del balance radiativo antes mencionado, o a veces debido a la presencia de campos de hielo o nieve, o de condiciones micrometeorológicas particulares, puede ocurrir que esta situación se invierta, especialmente en horas de la noche, creando zonas en que la temperatura del aire aumenta con la altura, situación que se denomina inversión térmica. Los gradientes térmicos en la atmósfera, como se verá más adelante, condicionan la estabilidad atmosférica, que influye en forma importante en el desarrollo del ciclo hidrológico. Por encima de la tropósfera, y separada de ella por la tropopausa, definida como la cota a la cual la 2.2. Temperatura y Estratificación Térmica de la Atmósfera 19 temperatura atmosférica deja de decrecer, se extiende un segundo estrato atmosférico que abarca entre aproximadamente los 10,000 y 55,000 metros de altura, que se denomina estratósfera. En la parte baja de la estratósfera, hasta cerca de los 30,000 metros de altura, las temperaturas son sensiblemente constantes y del orden de –55 °C. Por sobre esta cota, se encuentra la zona donde se produce la mayor concentración de gas ozono. Este gas, que absorbe gran parte de la radiación ultravioleta incidente, provoca un calentamiento radiativo de la alta atmósfera, con un incremento de la temperatura con la altura, hasta llegar a un máximo ar cercano a los 0°C en la estratopausa o lı́mite superior de la estratósfera. Por sobre la estratósfera, se extiende la mesósfera, hasta unos 85,000 metros de altura, capa en la cual la temperatura nuevamente desciende hasta llegar a un mı́nimo cercano a –80°C en la mesopausa. re lim in Finalmente, la capa exterior de la atmósfera se identificará como la ionósfera, aún cuando hay otras sub- divisiones, entendida como la zona donde el aire está tan enrarecido que los gases componentes se ionizan, interactuando con la radiación solar. Por este proceso, el aire absorbe radiación, lo que sumado a su extraordinaria baja densidad provoca aumentos de temperatura que alcanzan en las zonas altas, hasta los 1000°C. La Figura 2.5 muestra un perfil aproximado de la estratificación y temperaturas de la atmósfera. 200 140 120 100 Bo rra do Elevación [km.s.n.m.] 160 Temperatura Tropopausa Estratopausa Mesopausa rP 180 80 60 40 20 0 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Temperatura [°C] 40 60 80 100 Figura 2.5: Estratificación térmica de la atmósfera. Desde el punto de vista meteorológico e hidrológico, la única capa de interés es la tropósfera, zona donde se concentra casi el 90 % de la masa atmosférica y prácticamente el 100 % de la humedad atmosférica. En esta zona se producen además, todos los fenómenos hidrometeorológicos. Si consideramos el espesor de la troposfera, del orden de 10 [km], comparado con el radio de la Tierra, de 6,400 [km], resulta que proporcionalmente, la troposfera, vista a veces como un recurso de disponibilidad inagotable de aire, es bastante más delgada que la cáscara de una manzana. 20 2.2.2. Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Medición de Temperaturas Si bien hoy en dı́a existen diversos procedimientos para la medición de temperatura, tales como sensores infrarrojos y otros, crecientemente incorporados en estaciones meteorológicas compactas, en meteorologı́a el instrumento básico para la medición de la temperatura del aire, salvo en regiones muy frı́as, sigue siendo el termómetro de mercurio. ar La temperatura del aire en superficie se mide por convención, a una altura de 1.50 metros desde el suelo con termómetros ubicados en una caseta meteorológica de madera provista de celosı́as con sus puertas orientadas hacia el sur en el hemisferio sur, a fin de evitar el ingreso de radiación solar directa sobre los instrumentos. re lim in Las instalaciones básicas incluyen un termómetro de máxima, que es básicamente igual a un termómetro clı́nico, provisto de un estrechamiento en el bulbo que provoca que la medición mantenga el valor máximo de temperatura registrado. Además, incluyen un termómetro de mı́nima, provisto de un dispositivo que permite registrar la temperatura mı́nima alcanzada. De esta manera, efectuando una sola medición diaria, se puede establecer las temperaturas máximas y mı́nimas alcanzadas en las 24 horas anteriores. Adicionalmente la estación puede incluir un termógrafo o instrumento inscriptor que registra mecánica o digitalmente, la variación de la temperatura durante el dı́a, obteniéndose un termograma del cual es posible determinar la temperatura media del dı́a, además de la hora a la cual ocurrieron las temperaturas máximas y mı́nimas diarias. En general los termógrafos son de menor precisión que los termómetros de mercurio, rP por lo que en caso de discrepancia con estos últimos debe prevalecer el dato medido por los termómetros de mercurio y debe corregirse los registros del termograma, por desplazamiento del origen, por un factor de escala o ambos, de manera de hacer coincidir los valores máximos y mı́nimos del termograma, con los registros de máxima y mı́nima de los termómetros de mercurio. Bo rra do En ausencia de un termógrafo, es posible lograr una aceptable estimación de la temperatura media diaria mediante la expresión T = Tmáx + Tmı́n + T08 + T16 4 (2.11) donde T08 y T16 son las temperaturas a las 8 de la mañana y 4 de la tarde respectivamente. En ausencia de estos últimos datos, sólo cabe estimar la temperatura media como el promedio entre la máxima y la mı́nima. Para la medición de la temperatura del aire en altura se recurre normalmente a globosondas o radiosondas que son lanzadas normalmente una o dos veces al dı́a, las cuales van registrando la temperatura ambiente a medida que ascienden. La información registrada por las naves marı́timas y aéreas, también contribuye a la medición de la temperatura del aire. En los últimos años, con el creciente uso de satélites meteorológicos, es posible evaluar mediante radiotermómetros las temperaturas en altura, en particular, la de los estratos nubosos. 2.3. Humedad Atmosférica 2.3. 2.3.1. 21 Humedad Atmosférica Leyes Básicas La atmósfera está constituida por una mezcla de gases, fundamentalmente nitrógeno y oxı́geno, a los que se agregan algunos componentes menores, entre los que destacan por su importancia, el anhı́drido carbónico y ar el vapor de agua, por lo que le es aplicable la ley de presiones parciales de gases o Ley de Dalton. De acuerdo a esta ley, la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones re lim in parciales ejercidas por cada uno de sus componentes: pt = n X pi (2.12) 1 donde, pt : Presión total de la mezcla. pi : Presión parcial del componente i. n: Número de gases de la mezcla. Desde el punto de vista hidrometeorológico, donde el componente de mayor interés es el vapor de agua, la atmósfera es posible visualizarla como la mezcla de dos componentes, el vapor de agua y el aire seco que Bo rra do expresar de la forma, rP contiene al resto de todos los constituyentes de la mezcla. De acuerdo a esto, la ley de Dalton se puede pt = pd + e (2.13) donde, pd : Presión parcial del aire seco. e: Presión de vapor de agua. Para la mayorı́a de las aplicaciones prácticas, se puede aceptar que tanto el aire seco como el vapor de agua se comportan como gases perfectos, por lo que les es aplicable la Ley de los Gases Perfectos. De acuerdo a esta ley, en un volumen V ocupado por un gas ideal, se cumple que p · V = n · R∗ · T donde, p: Presión ejercida por el gas. n: Número de moles contenidos en el volumen. T : Temperatura absoluta del gas. R∗ : Constante universal de los gases= 8.3144 × 107 [erg/mol· K] =1.987 [cal/mol· K]. (2.14) 22 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Dividiendo por la masa M de gas contenida en el volumen, p·V n · R∗ · T = M M (2.15) El término V /M , volumen por unidad de masa, recı́proco de la densidad, es el volumen especı́fico α, mientras la masa dividida por el número de moles, M/n es el peso molecular, m. o R∗ · T m (2.16) re lim in p·α= ar Ası́, La ecuación queda, p·α=R·T (2.17) donde R = R∗ /m es la constante particular de cada gas. 2.3.2. Ley de Clausius - Clapeyron rP La cantidad de agua que puede existir en estado gaseoso en un volumen dado, queda limitada por la presión de vapor saturante, la cual es función única de la temperatura y se expresa mediante la relación teórica pero es es0 Bo rra do aproximada, ln mv L = R∗ 1 1 − T0 T (2.18) donde, es : Presión de vapor saturado, en [Hpa]. mv : Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol]. L: Calor latente de vaporización o sublimación, [cal/gr]. T : Temperatura absoluta, en [K]. Los valores es0 y T0 corresponden a algún punto conocido de la curva. Para el punto triple del agua, 0 [°C] o 273 [K] se ha determinado experimentalmente que es0 = 6.11 [Hpa]. Luego, la ley de Clausius - Clapeyron se puede expresar como, ln e m L 1 1 s v = − 6.11 R∗ 273 T Al respecto, cabe recordar que una atmósfera fı́sica vale 1 [atm] = 1.013 [bar] = 1.013 × 105 [pa] = 1.013 × 106 [dinas/cm2 ] (2.19) 2.3. Humedad Atmosférica 23 luego, 1 [mb] = 100 [pa] = 1 [Hpa] La unidad usual de presión en meteorologı́a es el hectopascal [Hpa] o milibar [mb]. En unidades técnicas, 1 [kg/cm2 ]=9.81 [N/cm2 ]=9.81 × 104 [pa], luego ⇓ re lim in 1 [Hpa] = 0.0102 [m.c.a.] ar 1 [atm] = 1013 [Hpa] = 1.033 [kg/cm2 ] = 10.33 [m.c.a.] Con respecto al calor latente de vaporización, o calor necesario para evaporar 1 gr de agua, este es ligeramente dependiente de la temperatura y puede expresarse mediante la relación aproximada, Lv = 597.25 − 0.566 · T (2.20) donde el calor latente de vaporización (Lv ) se expresa en [cal/gr] y la temperatura (T ) en [°C]. Si el cambio de estado es de sólido a gas, se debe agregar el calor de fusión del agua (Lf = 80 [cal/gr]), rP por lo que el calor latente de sublimación se puede expresar aproximadamente mediante la relación, Ls = 677.04 − 0.062 · T (2.21) Bo rra do Para muchos cálculos aproximados, basta suponer valores constantes de 600 y 680 [cal/gr], aproximadamente. Una fórmula práctica de buen ajuste para el cálculo de la presión de vapor saturado, viene dada por la expresión, es = 6.11 · e T +239 17.4T (2.22) donde es está en [Hpa] y T en [°C]. 2.3.3. Variables para Cuantificar la Humedad Atmosférica Diversas variables se utilizan en meteorologı́a para cuantificar el contenido de vapor de agua o humedad atmosférica. Entre ellas podemos distinguir: Humedad absoluta (ρv ): Se define como la masa de vapor contenida por unidad de volumen de aire por lo que es equivalente a la densidad de vapor de agua. ρv = donde ρv se expresa en [gr/cm3 ]. Mv V (2.23) 24 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Razón de mezcla (ω): Se define como la razón o cuociente entre la masa de vapor de agua y la masa de aire seco contenido en un volumen dado. ω= Mv ρv = Md ρd (2.24) donde ω se expresa como [gr vapor/gr aire seco] y ρd es la densidad del aire seco en [gr/cm3 ]. y al aire seco independientemente, se obtiene, re lim in R∗ e = ·T ρv mv ar La densidad es el recı́proco del volumen especı́fico, luego aplicando la ley de los gases al vapor de agua R∗ pd = ·T ρd md (2.25) (2.26) Como la temperatura en la mezcla de ambos gases es la misma, dividiendo resulta, ω= ρv mv e = · ρd md pd (2.27) El peso molecular del aire seco es variable, dependiendo de la composición del mismo, pero se acepta rP para un aire seco “normal” el valor md = 29 [gr/mol], por lo que puede definirse la razón, ε= mv = 0.622 md (2.28) Bo rra do Como la presión del aire seco es, pd = pT − e (2.29) e pT − e (2.30) Reemplazando, se obtiene finalmente, ω=ε Esta última expresión permite evaluar la razón de mezcla en función de la presión total y la presión de vapor del aire. El factor ε = 0.622 es de frecuente ocurrencia en fórmulas meteorológicas. Humedad especı́fica (q): Se define la humedad especı́fica q, como el cuociente entre la masa de vapor y la masa total de aire contenidas en un volumen dado, q= Mv Mv ρv = = MT Mv + Md ρv + ρd (2.31) donde q se expresa como [gr vapor/gr aire humedo]. Además, se tiene que, 1 ρd 1 = +1= +1 q ρv ω (2.32) 2.3. Humedad Atmosférica 25 de donde, q= ω 1+ω (2.33) Haciendo un desarrollo análogo al anterior, en función de la ley de los gases, se obtiene, ε·e 0.622 · e = pT − (1 − ε)e pT − 0.378 · e (2.34) ar q= Como la presión de vapor es generalmente mucho menor que la presión total del aire, los valores re lim in numéricos de la razón de mezcla y de la humedad especı́fica, siendo la razón de mezcla ligeramente mayor, son muy parecidos, por lo que habitualmente ambas variables se confunden. Humedad relativa (h): Se define la humedad relativa h, normalmente expresada como porcentaje, como el cuociente entre la presión de vapor existente en el aire y la presión de vapor saturado correspondiente a su temperatura, h= e ω q · 100 ≈ · 100 ≈ · 100 es ωs qs [ %] (2.35) rP Siendo la humedad relativa una de las variables más frecuentemente utilizadas para expresar la humedad del aire, de acuerdo a su definición, sólo tiene valor como variable cuantitativa de la humedad, si se conoce además, el valor de la temperatura del aire Bo rra do Temperatura de punto de rocı́o o Punto de Rocı́o (TR ): Esta variable, con dimensiones de temperatura, se define como la temperatura a la que habrı́a que enfriar el aire, manteniendo constante su presión de vapor, hasta llegar a saturar el aire. De acuerdo a esta definición, un aire saturado tiene una temperatura de rocı́o igual a su temperatura real. La diferencia entre la temperatura real y la temperatura de rocı́o es una medida indirecta de la “sequedad” del aire. Mientras más seco el aire, más baja su temperatura de rocı́o. En el diagrama presión - temperatura de la Figura 2.6, se visualizan los tres estados en los que se puede encontrar el agua: Vapor, agua lı́quida y hielo, en función a su presión real relativa a la presión de vapor saturado. Si una partı́cula de vapor con presión e < es y temperatura T , es enfriada manteniendo e constante, la partı́cula se saturará en el punto en que se cumpla, e = es (TR ) (2.36) donde es (T R) es la presión de vapor saturado a la temperatura de rocı́o. En la Figura 2.6 una parcela de aire con temperatura de 30[ºC] y presión de vapor de 11 [Hpa], tiene una temperatura de punto de rocı́o de 8.36 [ºC]. Visto de otra manera entonces, la temperatura de rocı́o es la temperatura, cuya presión de vapor saturado coincide con la presión de vapor real del aire. Presión de vapor saturado es(hielo) es(agua) TR T 26 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Presión de vapor saturado es(hielo) es(agua) TR T 1000 T; 8.36 T; 30 10 100 T; 8.36 1 ar Presión de vapor (Hpa) Presión de vapor (Hpa) 100 1000 T; 30 0.1 -40 -20 0 1 20 re lim in 10 40 60 80 100 Temperatura ºC Figura 2.6: Diagrama presión de vapor - temperatura. 0.1 -40 -20 2.3.4. 0 20 40 60 80 100 Medición de la Humedad Atmosférica Temperatura ºC Los instrumentos normalmente utilizados para medir la humedad atmosférica son el psicrómetro, el higrógrafo o higristores. rP y una serie de otros instrumentos de aplicación más bien industrial, que podrı́amos clasificar como higrómetros a) Psicrómetro: El psicrómetro es un instrumento basado en el principio del balance calórico. Consiste básicamente en dos termómetros de mercurio por los cuales se hace pasar una corriente del aire cuya Bo rra do humedad se desea determinar. Uno de los termómetros se deja con su bulbo seco, con lo cual mide la temperatura real del aire que por él circula, denominada temperatura de bulbo seco. El otro termómetro se envuelve en una gasa o muselina húmeda, razón por la cual alcanza una temperatura de equilibrio menor que la de bulbo seco, producto del enfriamiento provocado por la evaporación del agua contenida en la muselina húmeda. A la temperatura de equilibrio se le denomina temperatura de bulbo húmedo (Tw ). Si no hay aporte externo de calor, la masa de aire debe disminuir su energı́a interna en una magnitud igual al calor latente entregado para la evaporación del agua de la muselina; luego, si el aire se aproxima a la muselina con una temperatura de bulbo seco T y una razón de mezcla ω, y sale con una temperatura Tw y razón de mezcla ω 0 , un balance calórico entrega la ecuación, C · ∆T = Lv · ∆ρv (2.37) donde C es la capacidad calorı́fica del aire en [cal/gr] y Lv es el calor latente de vaporización. La ecuación (2.37) expresada en función de los calores especı́ficos a presión constante de los componentes de la masa de aire, resulta 2.3. Humedad Atmosférica 27 (ρd · cp + ρv · cpv ) · (T − Tw ) = Lv · (ρ0v − ρv ) (2.38) dividiendo por la densidad del aire seco ρd , se obtiene donde, re lim in cp : Calor especı́fico a presión constante del aire seco. (2.39) ar (cp + ω · cpv ) · (T − Tw ) = Lv · (ω 0 − ω) cpv : Calor especı́fico a presión constante del vapor de agua. Para ω 0 se acepta que es la razón de mezcla saturada correspondiente a la temperatura de bulbo húmedo Tw . En consecuencia, midiendo las temperaturas de bulbo seco T y de bulbo húmedo Tw , por ser el calor especı́fico del aire seco, el calor especı́fico del vapor de agua y el calor latente de vaporización, constantes conocidas, y la razón de mezcla saturada ω 0 una función conocida de la temperatura de bulbo húmedo y de la presión barométrica del lugar, es posible calcular la razón de mezcla del aire ω. La ecuación (2.39) es conocida como la ecuación psicrométrica. Para fines prácticos de medición de la humedad atmosférica, existen tablas, llamadas tablas Psicrométri- rP cas, que permiten obtener directamente la humedad relativa, presión de vapor del aire u otra variable relacionada, entrando a las tablas con la temperatura del aire T , la depresión de bulbo húmedo (T − Tw ) y la presión barométrica del lugar. Bo rra do La circulación del aire a través de la muselina se logra en los instrumentos más simples, haciendo girar en el aire el instrumento, provisto de una cuerda o cadena; instrumentos más sofisticados, (Psicrómetro Assman) vienen provistos de un ventilador que fuerza la circulación del aire a través de la muselina. b) Higrógrafo de cabellos: Un instrumento de uso más sencillo aún cuando bastante menos preciso, es el higrógrafo de cabellos, basado en la propiedad higroscópica observada de los cabellos (humanos), de variar su longitud por efecto de los cambios de la humedad del aire. Estas variaciones de longitud, amplificadas por un sistema de palancas conectadas a un puntero, se registran sobre una banda previamente calibrada que se monta sobre un tambor que rota en el tiempo. Las bandas o papel de higrogramas vienen calibrados en términos de la humedad relativa, lográndose la medición directa de esta variable, mientras se trabaje dentro de un rango especificado por el fabricante. Para temperaturas extremas (muy frı́as) deben corregirse los registros de acuerdo a las instrucciones del fabricante. La forma rutinaria de medir la humedad atmosférica es el registro continuo en base a un higrógrafo de cabellos, verificando periódicamente con mediciones puntuales mediante psicrómetro, que permita corregir errores de desplazamiento de escala y de amplitud de las oscilaciones. Es frecuente la existencia de un instrumento que mide simultáneamente en una misma banda, humedad relativa y temperatura del aire. En este caso el instrumento pasa a llamarse termohigrógrafo o higrotermógrafo. 28 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a c) Higristores: Existen además una serie de instrumentos que se llaman genéricamente higrómetros o higristores, que permiten medir la humedad atmosférica, basados en una serie de materiales de caracterı́sticas higroscópicas que varı́an sus propiedades fı́sicas o eléctricas, en función del grado de humedad. La ventaja de estos instrumentos, es que facilitan el registro digital de la información, aún cuando su precisión es baja. Hoy en dı́a son cada vez más frecuentes, las estaciones meteorológicas compactas, que permiten medir no ar sólo la humedad relativa, sino muchas de las otras variables meteorológicas en forma digital, información 2.4. re lim in que se puede almacenar en un “datalogger” o teletransmitir en forma remota. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica Para lograr la comprensión de los procesos de transferencia de masa y energı́a que ocurren entre la atmósfera, la hidrósfera y la litósfera, es necesario tener algunos conceptos elementales de estática y termodinámica atmosférica. Aún cuando los ciclos termodinámicos y procesos de movimiento y circulación de la atmósfera son extraordinariamente complejos, en particular en la tropósfera, que es la capa de mayor interés para efectos hidrometeorológicos, es posible abordar su estudio en base a una serie de simplificaciones que permiten 2.4.1. rP obtener resultados suficientemente precisos para los efectos de su aplicación práctica. Hidrostática de la Atmósfera Bo rra do Si despreciamos los movimientos de la atmósfera, y la consideramos en reposo, debe cumplirse en ella la ecuación de la ley hidrostática z+ p = Cte. ρ·g (2.40) Para los efectos meteorológicos, conviene expresar esta ley en su forma diferencial, es decir: dp = −ρ · g · dz (2.41) Como la densidad ρ de la atmósfera no es constante con la altura, la ecuación hidrostática sólo es integrable con la ayuda de la ley de los gases perfectos y suponiendo ciertos modelos simplificados o situaciones especiales. Recordando que la densidad es el recı́proco del volumen especı́fico y reemplazando la ecuación (2.17) en la ecuación (2.41), se obtiene, dp g = dz p R·T (2.42) 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica 29 Esta ecuación es analı́ticamente integrable para ciertos modelos simplificados de estratificación térmica en la atmósfera. 2.4.2. Atmósfera Isotérmica inmediata y resulta, p = p0 · e− R·T (z−z0 ) re lim in g ar Si la temperatura de la atmósfera se supone constante en la vertical, la integración de la ley hidrostática es (2.43) Esta situación corresponde aproximadamente a la atmósfera real en la zona de la estratósfera y ha sido utilizada para definir la “estratósfera normal”, adoptando los valores p0 = 234.53 [Hpa], z0 = 10.769 [km] y T = −55°C, hasta los 32,000 metros de altura. 2.4.3. Atmósfera de Gradiente Térmico Constante Si se supone que la temperatura de la atmósfera varı́a en forma lineal en la vertical de acuerdo a la expresión, rP T = T0 − γ · z (2.44) donde γ es un gradiente constante de temperatura, reemplazando la ecuación (2.44) en la ecuación (2.42), se obtiene Bo rra do g dz dp = p R (T0 − γ · z) (2.45) de cuya integración resulta, p = po T T0 g/(Rγ) (2.46) Esta situación corresponde aproximadamente a la atmósfera real en la zona de la tropósfera y ha sido adoptada para definir la “tropósfera normal”, entre 0 y 10,760 metros de altitud, adoptando los valores γ = 6.5 [°C/km] y T0 = 15°C. 2.4.4. Gradiente Adiabático Seco En diversas aplicaciones prácticas, interesa conocer los gradientes térmicos que se producen en la atmósfera, producto de procesos adiabáticos o sin incorporación de calor externo. De acuerdo a la primera ley de la termodinámica, el calor incorporado a un sistema es igual a la variación de su energı́a interna más el trabajo efectuado por el sistema. Expresada en forma diferencial y por unidad de masa, se tiene: 30 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a dh = du + dw = du + p · dα (2.47) donde, du: Variación de la energı́a interna por unidad de masa. presión por la variación del volumen especı́fico. Definiendo el calor especı́fico a volumen constante como dh dt re lim in cv = resulta para un gas perfecto que ar dw: Trabajo por unidad de masa, que en el caso de la expansión de un gas corresponde al producto de la (2.48) α=cte du = cv · dT (2.49) dh = cv · dT + p · dα (2.50) Diferenciando la ley de los gases perfectos, se obtiene p · dα = R · dT + α · dp (2.51) rP luego, remplazando la ecuación (2.51) en la ecuación (2.50), se obtiene dh = (cv + R) · dT − α · dp Bo rra do dh = cp · dT − α · dp (2.52) donde cp = cv + R: calor especı́fico a presión constante, igual a 0,24 [cal/gr ·◦ K] para el aire seco. Ahora, si un proceso es adiabático, dh = 0 y se cumple para un gas perfecto que cp dT = αdp (2.53) Por otra parte, de la ley hidrostática sabemos que, dp = −ρ · g · dz de donde resulta finalmente que en un proceso adiabático, α·ρ·g g dT =− = − = Cte. dz cp cp (2.54) El gradiente de temperatura constante Γd , denominado gradiente adiabático seco, cuyo valor numérico vale -9.76 [°C/km], rige aproximadamente el cambio de temperatura de una parcela de aire que se desplaza verticalmente en la atmósfera en forma adiabática, es decir, sin quitarle o agregarle calor. Como los movimientos 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica 31 verticales del aire en la atmósfera son en general rápidos, el tiempo para intercambiar calor externamente es pequeño, y el concepto es generalmente aplicable a situaciones reales. Por último, reemplazando el valor del gradiente adiabático seco en la ecuación de la atmósfera de gradiente de temperatura constante, ecuación (2.46), se obtiene la denominada Ley de Poisson, que rige aproximadamente los procesos adiabáticos en la atmósfera. T T0 cp /R (2.55) Gradiente Adiabático Húmedo re lim in 2.4.5. ar p = p0 Las expresiones desarrolladas en el acápite anterior son válidas para un aire ideal y seco. Sin embargo, considerando que el contenido de vapor de agua de un aire húmedo es siempre una fracción bastante pequeña de la masa total de aire, su efecto sobre la tasa de enfriamiento es despreciable y es posible utilizar en la práctica el gradiente adiabático determinado para el aire seco, para el aire real con algún contenido de humedad. Sin embargo, cuando debido al enfriamiento, el aire alcanza la temperatura de punto de rocı́o y llega al nivel de saturación, lo anterior deja de ser válido. En efecto, cualquier enfriamiento adicional del aire bajo el punto de rocı́o, provocará la condensación del exceso de vapor de agua, el cual liberará su calor latente de condensación que se transformará en calor sensible y que se traspasará a la masa de aire, produciendo una rP tasa de enfriamiento menor que en el caso de un aire seco o un aire húmedo no saturado. El gradiente adiabático en condiciones de saturación se denomina gradiente adiabático húmedo, que deja de ser constante, siendo función de la presión y la temperatura del aire. Bo rra do Puede demostrarse, con un desarrollo similar al anterior y haciendo uso de la definición de razón de mezcla y la ley de Clausius - Clapeyron para cuantificar la cantidad de vapor de agua condensado, que el gradiente adiabático húmedo queda expresado por la relación, L ω dT g 1 + Rd Ts =− 2 dz cp 1 + cεLR Tωs2 p (2.56) d donde, L: Calor latente de condensación. Rd : Constante del aire seco. ωs : Razón de mezcla de saturación correspondiente a la presión y temperatura del aire (mv /md = 0.622). T : Temperatura absoluta del aire. La expresión entre paréntesis de la ecuación (2.56) siempre es menor que la unidad. El desarrollo para derivar la expresión anterior, desprecia el calor aportado por la fase lı́quida condensada, es decir, supone que toda el agua lı́quida precipita, desapareciendo del sistema. En estricto rigor, en consecuencia, el proceso no es exactamente adiabático y se denomina más apropiadamente a este gradiente como “gradiente pseudo adiabático húmedo”. Numéricamente no es muy diferente al gradiente adiabático húmedo propiamente 32 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a tal, y considerando que la situación real de la atmósfera en la naturaleza será una situación intermedia entre ambos extremos, se utiliza en la práctica el gradiente pseudo adiabático húmedo como el gradiente térmico de la atmósfera en procesos adiabáticos bajo condiciones de saturación. En la Tabla 2.2 se indican algunos valores del gradiente pseudo adiabático húmedo para distintas condiciones de temperatura y presión atmosférica. Se observa de la tabla, que a medida que el aire se enfrı́a gradiente pseudo adiabático húmedo se aproxima al gradiente adiabático seco. ar o aumenta su presión barométrica, con la consiguiente disminución de la razón de mezcla de saturación, el Tabla 2.2: Gradiente pseudo adiabático húmedo [ºC/km]. [°C] -20 0 20 2.4.6. Estabilidad Atmosférica Presión [Hpa] re lim in Temperatura 1000 700 500 8.6 8.2 7.8 6.5 5.8 5.1 4.3 3.7 3.3 El método más simple para establecer las condiciones de estabilidad atmosférica es el llamado “método de la parcela de aire”, que puede desarrollarse sin siquiera hacer uso formal de las matemáticas. El método, sin exactamente en la práctica: rP embargo, no es rigurosamente exacto, ya que se basa en dos suposiciones simplificatorias que no se cumplen i) Cuando una parcela de aire se mueve, no existe un movimiento compensatorio del ambiente para llenar Bo rra do el vacı́o dejado por la parcela. ii) La parcela, al moverse, no se mezcla con el ambiente y por lo tanto, mantiene su identidad. Si bien la primera simplificación introduce errores que en general son menores, la segunda simplificación normalmente inhabilita el uso del método para la obtención de resultados cuantitativos, ya que las parcelas al desplazarse sufren una difusión y mezcla de sus propiedades con el ambiente que las rodea. Consideremos una atmósfera en equilibrio hidrostático con un cierto gradiente de temperatura −dT /dz = Cte. Si una parcela de aire está inicialmente en equilibrio con su ambiente, es decir, a igual presión, densidad y temperatura que el aire que la rodea, permanecerá “flotando” en él. Supongamos ahora que por efecto de un impulso externo, la parcela es puesta en movimiento hacia arriba. Si este movimiento es lo suficientemente rápido, como de hecho ocurre en la práctica, tal que el proceso sea adiabático, la parcela se irá enfriando a medida que asciende, con un gradiente igual al gradiente adiabático seco, Γd , si no está saturada o con un gradiente pseudo adiabático húmedo, Γs , en caso contrario. Considerando que el gradiente adiabático seco es siempre mayor, en valores absolutos, que el gradiente adiabático húmedo, y como la presión de la parcela tenderá a equilibrarse rápidamente con la del ambiente, existirán cinco situaciones posibles, dependiendo del valor del gradiente de temperatura γ de la atmósfera: 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica 33 I. Si γ > Γs, la parcela, al ascender, sea según el gradiente adiabático seco o húmedo, estará siempre a una temperatura más baja que el ambiente que la rodea; en consecuencia, será más densa y adquirirá una aceleración contraria al sentido del movimiento que tenderá a devolverla a su punto de origen. Igual efecto se produce si el desplazamiento inicial hubiese sido hacia abajo. Esta condición representa lo que se denomina una atmósfera absolutamente estable o de inversión térmica. En la Figura 2.7 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición re lim in ar inicial de equilibrio. Saturación Saturación Parcela de Parcela de aire saturada aire saturada Parcela de aire de aire Parcela no saturada no saturada (a) Parcela de aire inicialmente no saturada. (b) Parcela de aire inicialmente saturada. rP Figura 2.7: Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente estable (γ > Γs ). II. Si γ = Γs, tenemos una condición lı́mite, la atmósfera será estable mientras no esté saturada inicialmente (Figura 2.8a). En caso contrario, (condiciones de saturación, Figura 2.8b), la parcela al ascender, estará en todo momento a la misma temperatura que el ambiente, no experimentará efectos de flotación Bo rra do o boyancia en ningún sentido y tenderá a continuar su movimiento en forma uniforme e indefinida. Esta condición se denomina atmósfera estable seca o neutra saturada. Saturación Saturación Parcela de aire de aire Parcela no saturada no saturada (a) Parcela de aire inicialmente no saturada. Parcela de Parcela de aire saturada aire saturada (b) Parcela de aire inicialmente saturada. Figura 2.8: Diagrama termodinámico atmósfera estable seca o neutra saturada (γ = Γs ). III. Si Γd < γ < Γs, la parcela al ascender permanecerá más frı́a que el ambiente si no está saturada inicialmente, siendo en consecuencia, la atmósfera estable. Sin embargo, si el impulso inicial dado a la parcela 34 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a es suficientemente intenso, como para que pase más allá de su punto de saturación, continuará ascendiendo por el gradiente adiabático húmedo, pudiendo alcanzar y sobrepasar la temperatura del ambiente. En este caso, la parcela será más liviana que el aire que la rodea y las fuerzas hidrostáticas tenderán a acelerar indefinidamente su movimiento. Por ultimo, si la parcela de aire inicialmente se encuentra saturada, debido al impulso inicial tenderá a acelerar indefinidamente su movimiento, ya que, como ascenderá por el gradiente adiabático húmedo, estará en todo momento a una mayor temperatura que ar la del ambiente. Esta situación se denomina atmósfera condicionalmente inestable. En la Figura 2.9 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición re lim in inicial de equilibrio. Saturación Saturación Parcela de aire de aire Parcela no saturada no saturada rP (a) Parcela de aire inicialmente no saturada. Parcela de Parcela de aire saturada aire saturada (b) Parcela de aire inicialmente saturada. Figura 2.9: Diagrama termodinámico atmósfera condicionalmente inestable (Γd < γ < Γs ). IV. Si γ = Γd, tenemos una nueva condición lı́mite; si la parcela no se encuentra inicialmente saturada, se Bo rra do mantendrá a la misma temperatura que el ambiente a medida que asciende y por lo tanto en equilibrio indiferente, mientras no se sature. Una vez saturada, la atmósfera se hará inestable. Esta situación se denomina atmósfera neutra seca o inestable saturada. En la Figura 2.10 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición inicial de equilibrio. Saturación Saturación Parcela de aire Parcela de aire no saturada no saturada (a) Parcela de aire inicialmente no saturada. Parcela de de Parcela aireaire saturada saturada (b) Parcela de aire inicialmente saturada. Figura 2.10: Diagrama termodinámico atmósfera neutra seca o inestable saturada (γ = Γd ). 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica 35 V. Finalmente, si γ < Γd , la parcela, al ascender, alcanzará en todo momento temperaturas más altas que el ambiente, será más liviana y las fuerzas hidrostáticas tenderán a acelerar indefinidamente su movimiento. Esta condición corresponde a lo que se denomina atmósfera absolutamente inestable. En la Figura 2.11 se presentan los ascensos posibles de la parcela de aire, dependiendo de la condición ar inicial de equilibrio. re lim in Saturación Saturación Parcela de de Parcela aireaire saturada saturada Parcela de aire Parcela de aire no saturada no saturada (a) Parcela de aire inicialmente no saturada. (b) Parcela de aire inicialmente saturada. Figura 2.11: Diagrama termodinámico atmósfera absolutamente inestable (γ < Γd ). En resumen, se tiene: rP En todas las desigualdades anteriores, los gradientes llevan implı́cito su signo, que es normalmente negativo. Si γ > Γs : Atmósfera absolutamente estable. Si γ = Γs : Atmósfera estable seca o neutra saturada. Si Γd < γ < Γs Si γ = Γd : Atmósfera neutra seca o inestable saturada. Si γ < Γd : Atmósfera absolutamente inestable. Bo rra do : Atmósfera condicionalmente inestable. Considerando los gradientes térmicos de la atmósfera standard o normal, se tiene que la troposfera, con un gradiente γ promedio de 6.5 [°C/km], presenta normalmente caracterı́sticas condicionalmente inestables; la estratosfera, por otra parte, con un gradiente térmico nulo en su estrato inferior, presenta caracterı́sticas absolutamente estables, lo que significa la ausencia de turbulencia y un movimiento del aire estratificado, que le da el nombre al estrato, constituyendo además una barrera impenetrable para las inestabilidades que suelen presentarse en la troposfera y limitando a ella todos los fenómenos de tipo hidrometeorológico. En meteorologı́a, dependiendo de su objetivo, se utilizan diversos tipos de diagramas termodinámicos, en que las cotas se reemplazan por alturas geopotenciales o niveles de presión atmosférica, utilizándose además, escalas logarı́tmicas para linealizar algunas variables. Abordando el problema con un enfoque fı́sico matemático, aún cuando con las mismas suposiciones simplificatorias que en el análisis anterior, de acuerdo a la primera ley de Newton, X Fi = m · a (2.57) 36 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Para una parcela de aire de volumen V que mantiene su identidad, en movimiento dentro de una atmósfera en reposo, las fuerzas actuantes sobre ella serán su propio peso (P ), el empuje (E) y las fuerzas de roce (R), fuerzas que se pueden representar por las ecuaciones, (2.58) E = ρa gV (2.59) R = ρa gcD A ar P = ρp gV v|v| 2g (2.60) ρa g − ρp g − re lim in Suponiendo una parcela esférica y expresada por unidad de volumen, la ley de Newton queda: 3 cD dv dv dz dv ρa v|v| = ρp a = ρp = ρp = ρp v 4D dt dz dt dz (2.61) Suponiendo equilibrio de presiones y substituyendo las densidades por temperaturas en base a la ley de los gases perfectos se obtiene, g 3 cD Tp dv Tp −1 − v|v| = v Ta 4 D Ta dz (2.62) rP Si el proceso es adiabático, Tp = Tp0 − Γ · z y la ecuación queda, g Tp0 − Ta − Γ · z Ta − 3 cD Tp0 − Γ · z dv v|v| = v 4D Ta dz (2.63) La ecuación anterior podrı́a integrarse, al menos en forma numérica, si se conoce el perfil de temperaturas Bo rra do del aire en la vertical, Ta = f (z). Despreciando el roce y suponiendo una atmósfera isotérmica, la integración es directa, resultando, v= Como v = dv dz , r v02 + 2g Tp0 − Ta Γ z − g z2 Ta Ta (2.64) la ecuación anterior es a su vez integrable, resultando, ∆T z= + Γ s Ta v02 + gΓ ∆T Γ 2 r Γ ∆T /Γ sin g · t − arcsin q 2 Ta v0 Ta ∆T 2 + gΓ (2.65) Γ donde ∆T = Tp0 − Ta En el caso particular en que la temperatura inicial de la parcela es la misma del aire, es decir ∆T = 0, se obtiene, v0 z=q sin g TΓa Γ ·t g Ta r ! (2.66) 2.4. Elementos de Estática y Termodinámica Atmosférica v = v0 cos 37 Γ g ·t Ta r ! (2.67) Es decir, un movimiento armónico simple de amplitud A = Ta v02 /(gΓ) y perı́odo T = 2π p Ta /(gΓ). Si bien el perı́odo puede que se cumpla aproximadamente en la práctica, la amplitud teórica no se alcan- ar zará nunca, pues se ha despreciado el roce y la dispersión o difusión. Si la temperatura inicial de la parcela es distinta a la del aire, pero su velocidad inicial v0 = 0 , el resultado re lim in se reduce a ∆T ∆T z= + sin Γ Γ Γ π g ·t− Ta 2 r ! (2.68) En los casos en que la atmósfera no es isotérmica, la integración de la ecuación 2.56 se complica, resultando en general más conveniente su integración numérica. Aún ası́, para obtener resultados que representen en forma más adecuada los procesos reales, deberán considerarse los procesos de difusión y mezcla, que deben consultarse en un texto más especializado Todos los análisis anteriores, tanto cualitativos como cuantitativos suponen además una atmósfera en rP reposo. En la práctica, el grado de estabilidad o inestabilidad de la atmósfera no depende sólo del gradiente térmico, que define la magnitud de las fuerzas de boyancia o flotación, sino también de la magnitud relativa de estas fuerzas respecto a las fuerzas de inercia asociadas a la velocidad del movimiento horizontal del viento. Un parámetro adimensional que relaciona la magnitud relativa de ambas fuerzas, y que se utiliza, en Bo rra do consecuencia para cuantificar la estabilidad atmosférica, corresponde al Número de Richardson, definido por la relación: Ri = g(dT /dz − Γ) g∆T ∆z = 2 T (du/dz) ∆u2 (2.69) donde ∆T y ∆u son las diferencias de temperatura y de velocidad del viento entre dos niveles de medición separados una distancia ∆z en la vertical. De acuerdo a la definición anterior resulta: Si Ri < 0 : Atmósfera inestable. Ri ≈ 0 : Atmósfera neutra. Ri > 0 : Atmósfera estable. El grado de estabilidad o inestabilidad se asocia a la magnitud absoluta del Número de Richardson. Otro parámetro adimensional utilizado para caracterizar la estabilidad atmosférica es una función del Número de Richardson, denominado parámetro de estabilidad de Monin - Obukhov z/L, donde z es la cota del punto de medición respecto a la superficie del terreno y L es una variable con dimensiones de longitud, equivalente a la longitud de mezcla de la teorı́a de la capa lı́mite, definida por la expresión: 38 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a u∗ · T · ∆u k · g · ∆T donde u∗ es la velocidad de fricción y k es la constante de Von Karman. L= (2.70) Si se acepta la validez de la ley de Von Karman Prandtl para representar la variación del perfil de velocidades 1 u = ln ∗ u k z z0 ar en la capa lı́mite atmosférica, (2.71) El Número de Richardson y el parámetro de Monin - Obukhov pueden relacionarse aproximadamente por la re lim in expresión, z = Ri · ln L donde z0 es la rugosidad de la superficie del terreno. 2.5. z z0 (2.72) Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera La masa total de vapor de agua contenida en una columna vertical de la atmósfera se denomina “equivalente rP en agua del vapor” o “altura de agua precipitable” de la atmósfera. Expresada en unidades de altura de columna de agua [cm], queda determinada por la integración en la columna de la humedad absoluta, dividida Bo rra do por la densidad del agua lı́quida, W = 1 ρw Z z2 ρv dz (2.73) z1 donde W es la altura de agua precipitable entre los niveles z1 y z2 , ρw es la densidad del agua y ρv es la densidad de vapor de agua o humedad absoluta. Recordando la definición de humedad especı́fica, la ecuación queda, W = 1 ρw Z z2 qρa dz (2.74) z1 donde q es la humedad especı́fica y ρa es la densidad del aire húmedo. Reemplazando, por último, la ley hidrostática, la ecuación se puede expresar de la forma, 1 W = gρw Z p1 qdp (2.75) p2 Cualquiera que sea la forma de la ecuación empleada para calcular el contenido de agua precipitable de la atmósfera, siempre será necesario conocer el perfil de variación de la humedad en la altura. En la práctica, pocas veces esta información está disponible, y cuando lo está, su integración numérica resulta poco precisa. 2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera 39 En la práctica, sin embargo, muchas veces interesa conocer lo que se denomina la “máxima” altura de agua precipitable de la atmósfera, que como su nombre lo indica es el máximo equivalente de agua lı́quida que la atmósfera podrı́a contener bajo ciertas condiciones térmicas. En este caso, afortunadamente, es posible hacer uso de dos factores que permiten estimar W , sólo con información de la cota inferior o de superficie. La primera condición o factor, es que evidentemente el contenido de humedad será máximo cuando la ar humedad atmosférica sea máxima y esta última está limitada por las condiciones de saturación del aire, dependiente únicamente de la temperatura. Es decir, para estas condiciones bastarı́a con disponer de un perfil de temperaturas de punto de rocı́o, que en el caso de una atmósfera saturada corresponde al perfil re lim in térmico real de la atmósfera, para conocer la máxima altura de agua precipitable. La segunda condición, resulta al considerar que cálculos teóricos, experimentalmente comprobados, demuestran que durante las grandes tormentas, la velocidad de ascenso de las masas de aire es tan alta, que masas de aire en la superficie llegan al punto más alto de la zona de tormenta en intervalos que varı́an entre unos pocos minutos hasta no más de una hora. Para tiempos tan cortos, el intercambio de calor es despreciable, por lo que puede postularse que el ascenso de las masas de aire se produce en forma adiabática seca hasta el nivel de saturación y después, en forma pseudo adiabática húmeda. En el caso más extremo, en que el nivel de saturación se encuentre en la superficie, el gradiente térmico durante las grandes tormentas corresponderá al gradiente pseudoadiabático húmedo, partiendo desde la superficie. De esta manera, el máximo contenido de superficie. rP agua precipitable de la atmósfera queda determinado conociendo solamente la temperatura de rocı́o en la En las Tablas 2.3 y 2.4, se han tabulado las alturas de agua precipitable [mm] contenidas entre la superficie, supuesta a un nivel 1000 [Hpa], hasta una altura o nivel de presión dado, en función de la temperatura de Bo rra do punto de rocı́o al nivel 1000 [Hpa], para una atmósfera saturada pseudo adiabática. Ası́, por ejemplo, la altura de agua precipitable contenida en una columna de aire de 5000 [m] de altura por sobre el nivel 1000 [Hpa], cuando la temperatura de punto de rocı́o en este nivel es de 23°C, es de 58 [mm], siempre que se trate de una atmósfera saturada pseudo adiabática. El concepto de máxima altura de agua precipitable se utiliza en meteorologı́a y en hidrologı́a para evaluar los conceptos de “precipitación máxima probable” o “crecida máxima probable”, definidos como la máxima cantidad de precipitación o máxima magnitud de crecida que es fı́sicamente posible de ocurrir, para una condición térmica dada. Nótese de las Tablas 2.3 y 2.4 que el máximo contenido de agua precipitable de la atmósfera es en general inferior a la magnitud de las precipitaciones en las grandes tormentas. Lo anterior, debido a que no se ha considerado el contenido de agua que puede contener la atmósfera en estado lı́quido o sólido, pero principalmente porque representa una condición estática, es decir, no considera la convergencia de aire húmedo que va reemplazando a las masas de aire que ya han descargado su humedad. En las Figuras 2.12 a 2.14 se presentan perfiles reales promedio de humedad relativa, temperatura del aire y velocidad del viento en altura, medidos durante perı́odos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas, mediante globosonda en la ciudad de Quintero, latitud 33° Sur, (Soto, 2003). En general se observa que para 40 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a lluvias moderadas e intensas, la humedad relativa supera el 85 % sobre el nivel 760 [Hpa], es decir, valores cercanos a la saturación, disminuyendo ligeramente a niveles más bajos. En cuanto a las temperaturas, el ajuste de expresiones del tipo potencial, entrega las siguientes expresiones de mejor ajuste: P ara lluvias moderadas T = 288.45 p 1/5.90726 1007.4 T = 288.467 p 1/5.8663 1008.1 R2 = 0.99 (2.76) ar P ara lluvias intensas R2 = 0.98 (2.77) Esta información permitirı́a una estimación más acuciosa del contenido de agua precipitable en la atmósfera re lim in durante tormentas reales. Sin embargo, los perfiles térmicos difieren muy poco respecto a un perfil adiabático húmedo, con una temperatura en superficie cercana a 13.5°C, lo que sumado a las altas humedades relativas confirman que las hipótesis utilizadas para el cálculo del máximo contenido de agua precipitable parecen adecuadas para la estimación del contenido de agua precipitable durante perı́odos con precipitaciones. El contenido de agua lı́quida o sólida que pueda contener la atmósfera en forma de nubes, dependerá de la Bo rra do rP densidad que alcance esta agua en las nubes, valor que puede oscilar entre 0.5 y 2 [gr/m3 ]. Figura 2.12: Ajuste de curvas a perfiles de temperatura medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas. 41 re lim in ar 2.5. Altura de Agua Precipitable de la Atmósfera Figura 2.13: Ajuste de curvas a perfiles de humedad relativa medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias Bo rra do rP moderadas y lluvias intensas. Figura 2.14: Ajuste de curvas a perfiles de velocidad del viento medidos durante dı́as de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas. 42 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Tabla 2.3: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie 1000 [Hpa] y un nivel de presión “p” en una atmósfera saturada pseudo adiabática, en función de la temperatura de rocı́o (Tr ) al nivel 1000 [Hpa]. P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 T [°C] 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 980 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 970 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 960 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 950 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 12 13 940 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14 15 16 930 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18 920 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 16 17 19 20 21 910 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 900 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 24 890 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 24 25 27 28 880 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 26 27 29 31 870 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 860 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 10 11 850 5 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 840 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 830 5 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 820 5 6 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 810 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 800 6 6 7 7 8 8 9 10 11 12 12 13 15 790 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 780 6 7 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 16 770 6 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 760 6 7 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 17 750 6 7 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 740 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 18 730 7 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 17 720 7 7 8 9 10 11 11 12 13 15 16 710 7 8 8 9 10 11 12 13 14 15 700 7 8 8 9 10 11 12 13 14 690 7 8 9 9 10 11 12 13 680 7 8 9 10 10 11 12 670 7 8 9 10 11 11 660 8 8 9 10 11 640 8 8 9 10 620 8 9 9 600 8 9 580 8 560 ar 990 re lim in [Hpa] 12 13 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 26 28 29 31 33 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36 12 13 14 15 16 18 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36 38 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 26 28 30 32 34 36 38 40 14 15 16 17 18 19 21 22 24 26 27 29 31 33 35 38 40 43 14 15 17 18 19 20 22 24 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45 15 16 17 19 20 21 23 25 26 28 30 32 34 37 39 42 44 47 16 17 18 19 21 22 24 26 28 29 32 34 36 38 41 44 46 49 16 17 19 20 22 23 25 27 29 31 33 35 38 40 43 46 49 52 17 18 19 21 23 24 26 28 30 32 34 37 39 42 45 48 51 54 17 19 20 22 23 25 27 28 30 32 34 37 39 42 45 48 52 55 18 19 21 22 23 25 27 29 31 33 35 38 41 43 46 49 53 56 18 20 21 23 25 27 29 31 33 35 38 41 44 47 50 53 57 60 19 20 22 24 26 28 30 32 34 37 39 42 45 48 51 55 59 62 18 20 21 23 24 26 28 30 33 35 38 40 43 46 50 53 57 60 64 17 18 20 22 23 25 27 29 31 34 36 39 42 45 48 51 55 58 62 65 16 17 19 20 22 24 26 28 30 32 35 37 40 43 46 49 53 56 60 64 68 15 16 18 19 21 23 24 26 28 31 33 35 38 41 44 47 50 54 58 62 66 70 14 15 17 18 20 21 23 25 27 29 31 34 36 39 42 45 48 52 55 59 63 68 72 13 15 16 17 19 20 22 24 25 27 30 32 34 37 40 43 46 49 53 57 61 65 69 74 12 14 15 16 17 19 20 22 24 26 28 30 33 35 38 41 44 47 51 54 58 62 67 71 76 12 13 14 15 16 18 19 21 23 24 26 29 31 33 36 39 42 45 48 52 55 60 64 68 73 78 11 12 13 14 15 17 18 20 21 23 25 27 29 32 35 37 40 43 46 50 54 58 62 67 71 76 81 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 30 33 36 38 42 45 48 52 56 60 65 69 74 79 85 9 10 11 12 13 15 16 17 19 21 23 25 27 29 31 34 37 40 43 46 50 54 58 62 67 72 77 82 88 9 10 11 11 13 13 14 15 16 18 19 21 23 25 27 30 32 35 38 41 44 48 51 55 60 64 69 74 80 85 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 21 23 26 28 30 33 36 39 42 45 49 53 57 61 66 71 77 82 88 94 540 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 20 22 24 26 28 31 33 36 39 42 46 50 54 58 63 68 73 79 85 91 97 520 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 43 47 51 55 60 64 70 75 81 87 93 100 500 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 24 27 29 32 34 37 41 44 48 52 56 61 66 71 77 83 89 96 103 Bo rra do rP 11 12 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 43 Tabla 2.4: Altura de agua precipitable [mm] entre la superficie a 1000 [Hpa] y un nivel z[m] sobre esa superficie en una atmósfera saturada pseudo adiabática,en función de la temperatura de rocı́o (Tr ) al nivel 1000 [Hpa]. z [m] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Tr [°C] 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 400 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 600 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10 11 11 12 13 14 15 15 16 17 800 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1000 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 28 1200 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 26 27 29 31 32 1400 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 23 24 26 28 29 31 33 35 37 1600 5 6 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 23 24 25 27 29 31 33 35 37 39 41 1800 6 6 7 7 8 9 9 10 11 12 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 25 26 28 30 32 34 36 39 41 43 46 2000 6 7 7 8 9 9 10 11 11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 24 25 27 29 31 33 35 37 39 42 44 47 50 2200 7 7 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 18 19 20 22 24 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45 48 51 54 2400 7 8 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 23 25 27 29 31 33 35 37 40 42 45 48 51 54 57 2600 7 8 8 9 10 11 11 12 13 14 16 17 18 20 21 23 24 26 28 30 32 35 37 40 42 45 48 51 55 58 61 2800 7 8 9 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 21 22 24 26 27 30 32 34 36 39 42 45 48 51 54 58 61 65 3000 8 8 9 10 10 11 12 13 14 15 17 18 20 21 23 25 27 29 31 33 35 38 41 44 47 50 53 57 61 64 68 3200 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 22 24 26 28 30 32 34 37 40 42 45 49 52 56 59 63 67 71 3400 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 21 23 24 26 29 31 33 36 38 41 44 47 51 54 58 62 66 70 74 3600 8 9 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 22 23 25 29 29 32 34 37 39 42 45 49 52 56 60 64 68 73 77 3800 8 9 10 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 30 32 35 38 41 44 47 50 54 58 62 66 70 75 80 4000 8 9 10 11 11 12 14 15 16 17 19 21 22 24 26 28 31 33 36 39 42 45 48 52 56 60 64 68 73 78 83 4200 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 19 21 23 25 27 29 31 34 37 40 43 46 49 53 57 61 66 70 75 80 85 4400 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 21 23 25 27 29 32 34 37 40 44 47 51 54 58 63 67 72 77 82 87 4600 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 22 24 25 28 30 32 35 38 41 44 48 52 56 60 64 69 74 79 84 90 4800 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 20 22 24 26 28 30 33 36 39 42 45 49 53 57 61 65 70 75 81 86 92 5000 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 28 31 33 36 39 42 46 50 54 58 62 67 72 77 82 88 94 5200 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 43 47 50 54 59 63 68 73 78 84 90 96 5400 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 20 22 24 26 29 31 34 37 40 44 47 51 55 60 64 69 74 80 85 92 98 5600 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 24 27 29 32 35 38 41 44 48 52 56 60 65 70 76 81 87 93 100 5800 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 22 25 27 29 32 35 38 41 45 48 52 57 61 66 71 77 82 88 95 101 6000 8 9 10 11 12 13 14 16 17 19 21 23 25 27 30 32 35 38 42 45 49 53 57 62 67 72 78 84 90 96 103 6200 8 9 10 11 12 13 15 16 17 19 21 23 25 27 30 32 35 38 42 45 49 54 58 63 68 73 79 85 91 98 104 6400 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 35 39 42 46 50 54 58 63 68 74 80 86 92 99 106 6600 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 36 39 42 46 50 54 59 64 69 74 80 86 93 100 107 6800 8 9 10 11 12 13 15 16 18 19 21 23 25 27 30 33 36 39 42 46 50 55 60 65 70 75 81 87 94 101 108 7000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 46 51 55 60 65 70 76 82 88 95 102 110 7200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 55 60 65 71 76 82 89 96 103 111 7400 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 71 76 83 90 97 104 112 7600 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 72 77 83 90 98 105 113 7800 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 39 43 47 51 56 61 66 72 78 84 91 98 106 114 8000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 25 28 30 33 36 40 43 47 52 56 61 67 72 78 85 92 99 107 115 8200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 67 73 78 85 92 100 108 115 8400 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 67 73 79 85 92 100 108 116 8600 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 73 79 86 93 101 109 117 8800 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 73 79 86 93 101 109 118 9000 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 47 52 57 62 68 74 80 86 94 102 110 118 9200 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 43 48 52 57 62 68 74 80 87 94 102 110 119 14 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 62 68 74 80 87 94 102 110 119 15 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 80 87 94 102 111 120 16 18 19 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 80 87 95 103 111 120 18 19 re lim in rP Bo rra do 9400 9600 9800 10000 11000 12000 13000 ar 200 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 80 87 95 103 112 121 21 23 26 28 30 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 81 88 96 104 113 122 33 36 40 44 48 52 57 63 68 74 81 88 96 105 114 122 52 57 63 68 74 81 88 97 105 114 123 57 63 68 74 81 88 97 105 115 124 15000 81 88 97 106 115 124 16000 81 88 97 106 115 124 89 97 106 115 124 14000 17000 44 2.6. Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera Del análisis del balance radiativo terrestre, efectuado en acápites anteriores, se deduce la existencia de un desequilibrio radiativo interno que requiere de procesos extra radiativos que transporten calor en forma latitudinal desde las zonas ecuatoriales hacia los polos y en forma vertical, desde la superficie terrestre hacia 2.6.1. Procesos de Intercambio Turbulento de Calor y Masa ar la atmósfera. re lim in El transporte vertical de energı́a entre la superficie terrestre y la atmósfera se produce fundamentalmente a través de procesos de intercambio turbulento de calor sensible (calor de convección) y de calor latente de evaporación. En un fluido newtoniano en escurrimiento laminar, el traspaso de cantidades de movimiento por unidad de área o esfuerzo tangencial, queda dado por la relación τ =µ du dz (2.78) rP donde µ es la viscosidad dinámica. Además, como µ = ρν τ = ρν du dz (2.79) donde ν es la viscosidad cinemática y ρ es la densidad del fluido. Bo rra do Igualmente, el traspaso de calor sensible por procesos de conducción molecular viene dado por la ecuación de conducción de calor QH = λ dT dz (2.80) donde λ es la conductividad calórica del medio conductor. Definiendo la difusividad calórica κt = λ/C , donde C, la capacidad calórica queda a su vez definida como C = ρ · cp , donde ρ es la densidad y cp el calor especı́fico a presión constante, la ecuación (2.80) queda, QH = ρ · cp · κt dT dz (2.81) Por último, si existe algún gradiente de concentración de algún constituyente del fluido, en este caso, vapor de agua, existirá una difusión másica dada por la relación E = ρk dT dz donde q es la humedad especı́fica y k es la difusividad de vapor de agua. (2.82) 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 45 Para expresar la ecuación anterior en términos calóricos, debe multiplicarse ambos términos por el calor latente de evaporación, de donde el flujo de calor latente resulta QL = ρLk dT dz (2.83) Cuando el proceso se torna turbulento, el transporte de masa y energı́a se efectúa no sólo por interacción ar molecular, sino que son volúmenes finitos de fluidos que acarrean sus propiedades, en el proceso de mezcla, a regiones vecinas, aumentándose la tasa de intercambio en varios órdenes de magnitud. re lim in En el caso de los esfuerzos tangenciales, la ley de Newton puede expresarse de la forma τ = ρ (ν + ε) du dz (2.84) donde ε ν corresponde a una “viscosidad cinemática turbulenta” equivalente. Por analogı́a con las ecuaciones de los procesos de transporte molecular, pueden plantearse, para el caso de intercambio turbulento, las ecuaciones du dz rP τ = ρKM Bo rra do QH = −ρcp KH QL = −ρLKW (2.85) dT dz (2.86) dq dz (2.87) Donde KM = (ν + ε) corresponde a una viscosidad turbulenta y KH y KW a difusividades turbulentas de calor sensible y de vapor de agua. KM , KH y KW , se conocen también bajo el nombre de coeficientes de intercambio turbulento de cantidad de movimiento, de calor sensible y de calor latente, respectivamente. Desgraciadamente, a diferencia de sus equivalentes moleculares, los coeficientes de intercambio turbulento no son constantes y no existe aún un conocimiento teórico completo de sus leyes de variación, por lo que deben ser determinados experimentalmente. Se postula sı́, que la magnitud de estos coeficientes debe ser función del grado relativo de turbulencia térmica y mecánica, es decir, de la estabilidad atmosférica. Además, la presencia de paredes o bordes sólidos limita la existencia de turbulencia, generando capas limites, por lo que estos coeficientes varı́an también dependiendo de la distancia a la pared o superficie de la tierra, en este caso. En virtud de lo anterior, la gran mayorı́a de las determinaciones empı́ricas de los coeficientes de intercambio turbulento los expresan como funciones del Número de Richardson o del parámetro de Monin Obukhov. 46 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Por ultimo, las ecuaciones (2.86) y (2.87) han sido definidas con un signo negativo, para que arrojen valores positivos cuando el flujo de calor sea desde la superficie terrestre hacia la atmósfera, ya que, es de esperar los gradientes de humedad especı́fica y temperatura sean negativos, excepto en los casos de inversión térmica. 2.6.2. Transporte Latitudinal de Energı́a ar El desequilibrio radiativo y energético que se produce entre las zonas ecuatoriales y polares exige a su vez el traspaso de energı́a en dirección latitudinal. El medio de transporte de esta energı́a es a través del desplazamiento de grandes masas de aire y de agua a través del globo terrestre, las que acarrean consigo atmósfera, y las corrientes marinas. 2.6.2.1. Vientos re lim in sus propiedades térmicas. Estos mecanismos son los vientos y el movimiento de circulación general de la Entendemos por viento, simplemente a la velocidad con que se mueve una determinada masa de aire en algún punto del espacio y del tiempo. Como en cualquier otro fluido, su movimiento se produce para compensar la existencia de algún gradiente de presión, es decir, en general, ∂p ∂s rP vs ∝ (2.88) Si v es la velocidad del viento en un determinado instante y lugar, esta se puede expresar como (2.89) Bo rra do v(x, t) = v(x) + w(x, t) donde v(x) es la velocidad media del viento en dicho lugar, una vez filtrados todos los componentes transientes, locales y aleatorios w(x, t) que puedan existir en dicho lugar. La velocidad media del viento se entiende como parte de la denominada circulación general de la atmósfera, definida como el movimiento de circulación promedio, es decir la dirección y magnitud promedio de los vientos atmosféricos, una vez suavizados y filtrados todos los movimientos o vientos transientes y locales w(x, t) causados por perturbaciones barométricas, térmicas o de densidad, que pueden ser de carácter cı́clico, como las brisas marinas, o simplemente aleatorios. El instrumento básico para la medición de la velocidad del viento es el anemómetro, compuesto de una hélice o un sistema de copas, cuya velocidad angular resulta proporcional a la velocidad del viento reinante y de una veleta o plancha metálica aerodinámica que se orienta indicando la dirección del viento reinante, normalmente discretizado en 8 octantes, N (norte), NE, E(este), SE, S(sur), SW, W(oeste o “weste”) y NW, aunque los hay de registro continuo que van indicando el azimut o ángulo respecto al norte en cada momento. En cuanto a la magnitud del viento, también hay instrumentos de registro continuo y otros solamente totalizadores que indican el recorrido acumulado en un perı́odo determinado de tiempo, normalmente millas marinas, millas terrestres o kilómetros en un dı́a. Por convención, la dirección del viento se identifica con el punto cardinal desde el cual el viento proviene, ası́ el viento Norte es aquel que se desplaza desde el Norte hacia el Sur. 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 47 En superficie, producto del roce con ella, se producen importantes gradientes verticales de la velocidad del viento, por lo que las mediciones deben indicar la cota sobre la superficie a la que se efectúa la medición, pudiendo existir torres anemométricas en que la velocidad se mide a diferentes alturas, 0.4 [m], 1.5 [m], 3 [m], 10 [m] u otra altura que resulte de interés en algún caso particular. Dentro de la capa lı́mite atmosférica, las velocidades a distintas alturas pueden relacionarse adoptando una v1 = v2 z1 z2 ar ley de variación potencial, del tipo, p (2.90) re lim in con p ≈ 1/7 a 1/3 dependiendo de la rugosidad de la superficie y de la estabilidad atmosférica. También puede utilizarse, en estricto rigor para atmósferas neutras o cuasi neutras, la Ley de la Pared o ley de Von Karman - Prandtl, vz 1 = ln ∗ v k donde v ∗ es la velocidad de fricción v ∗ = de la pared. q τ0 ρ , z z0 (2.91) k es la constante de von Karman k ≈ 0.4 y z0 es la rugosidad rP Valores tı́picos de rugosidad de distintas superficies se indican en la Tabla 2.5 Tabla 2.5: Rugosidades superficiales. Rugosidad [cm] Agua libre, pantanos 0.001 - 0.1 Nieve 0.01 - 0.1 Suelo despejado, arenales ≈ 0.03 Céspedes y pastizales 0.15 - 2.0 Plantaciones de trigo ≈ 20 Plantaciones de maı́z 70 - 120 Arbustos y matorrales 50 - 150 Bo rra do Tipo de superficie En presencia de macrorugosidades, como por ejemplo bosques o edificios en zonas urbanas, se suele intro- ducir un desplazamiento de la cota de referencia, reemplazando la cota z sobre el suelo, por la cota corregida z 0 = z−d, donde d es aproximadamente el espesor de la capa de aire que queda atrapada entre las rugosidades. Cuando la atmósfera no es neutra, el perfil de velocidades se aleja del perfil teórico de Von Karman - Prandtl. Para atmósferas estables, el perfil tiende a linealizarse como en un flujo laminar, mientras que para atmósferas inestables las velocidades tienden a uniformarse en la vertical. Estas situaciones pueden manejarse introduciendo modificaciones a la constante de Von Karman, normalmente en función del Número de Richardson o del parámetro de Monin - Obukhov. Para medir vientos en altura, la aplicación de estas fórmulas deja de ser válida, ya que la disminución 48 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a de la densidad del aire, tiende a provocar aumentos crecientes de la velocidad en la altura por lo que debe recurrirse al empleo de globosondas. En las Figuras 2.12 a 2.14 se mostraron perfiles promedios de distribución vertical de la componente oeste de la velocidad del viento en altura durante perı́odos de lloviznas, lluvias moderadas y lluvias intensas, obtenidos del análisis de información de radiosonda en la ciudad de Quintero, a los que puede ajustárseles ar expresiones del tipo: donde v está en [m/s] y z en [km]. (2.92) re lim in v = a · zb + c En la Tabla 2.6, se muestran los valores de las constantes correspondientes a la expresión precedente que fue posible ajustar a los datos medidos, junto a sus correspondientes coeficientes de correlación. Tabla 2.6: Constantes para definir el perfil de viento correspondiente a diferentes tipos de dı́as. 2.6.3. a b c R2 Intensa 2.88995 1.1625 0.753854 0.997 Moderada 1.55294 1.40117 0.251655 0.999 Llovizna 0.9825 1.55797 0.130278 0.998 rP Tipo de Lluvia Circulación General de la Atmósfera Desde el punto de vista climatológico y del transporte latitudinal de energı́a, la componente más importante Bo rra do del viento es la circulación general de la atmósfera, para cuya explicación se han desarrollado diversas teorı́as y modelos de simulación. Todo modelo que pretenda simular en forma general la circulación atmosférica, debe necesariamente satis- facer las siguientes condiciones: Proporcionar un mecanismo para el transporte latitudinal de calor desde las zonas ecuatoriales a las regiones polares. Satisfacer la ecuación de continuidad de masas de agua, aire y de vapor de agua. Satisfacer las leyes básicas de conservación de cantidad de movimiento y momento angular. Respetar las leyes básicas de la termodinámica atmosférica y del movimiento de fluidos reales. Ninguna teorı́a simple es capaz, en consecuencia, de explicar individualmente la circulación general de la atmósfera y sólo es posible aproximarse a ella a través de modelos de alta complejidad, que a pesar de los notorios progresos experimentados en las últimas décadas, no siempre dan resultados satisfactorios, considerando además que la desigual distribución de mares, continentes, montañas y cordilleras, complican aún más el problema. 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 49 Es posible incluso que exista más de una solución al sistema general de ecuaciones del movimiento que satisfagan las condiciones restrictivas anteriormente mencionadas, por lo que no es sorprendente que no exista aun un conocimiento cabal y completo de la circulación atmosférica. En todo caso, hoy en dı́a existen modelos numéricos, entre ellos los modelos MM52 (The PSU/NCAR mesoscale model) y WRF3 (The Weather Research & Forecasting Model), que permiten simular el comportamiento de la atmósfera, utilizándose incluso para fines de pronóstico meteorológico, con relativo éxito. ar Sin necesidad de entrar en estos modelos matemáticos de alta complejidad que hoy en dı́a permiten el análisis cuantitativo de la circulación general de la atmósfera, es posible el análisis simplificado y cualitativo re lim in del fenómeno, a partir de modelos básicos simples. Si suponemos inicialmente una Tierra homogénea y en reposo, calentada en forma desuniforme por la radiación solar, tendrı́amos un primer modelo de circulación termal. El aire, recalentado en las regiones ecuatoriales, tenderı́a a ascender, produciendo un desplazamiento de las masas de aire desde las regiones polares hacia el Ecuador. El ciclo se completarı́a con un descenso de aire frı́o en las regiones polares y una circulación en altura desde el Ecuador hacia los polos, según se ilustra en la Figura 2.15a. La Tierra, sin embargo, posee un movimiento de rotación con velocidad angular w, por lo que cada unidad rP de masa de aire posee un momento angular dado por la relación, I = wR2 cos2 (φ) (2.93) Bo rra do donde R es el radio de la tierra y φ es la latitud del lugar. El momento angular debe permanecer constante, por lo tanto, al desplazarse latitudinalmente las masas de aire, inicialmente en reposo relativo a la tierra, adquirirán componentes longitudinales de velocidad que compensen la variación del radio de giro. En general, debido a la rotación de la Tierra, una aceleración aparente, la aceleración de Coriolis, tenderá a derivar en el hemisferio Sur, en el sentido contrario a los punteros del reloj, a toda partı́cula en movimiento. En consecuencia, la circulación hacia el Ecuador derivarı́a hacia el oeste (vientos del este), mientas la circulación en altura derivarı́a hacia el este (vientos del Oeste), según se ilustra en la Figura 2.15b. Las corrientes ascendentes en el Ecuador, producirı́an una zona de bajas presiones y correspondientemente una zona de altas presiones en los polos. Este simple esquema de circulación termal no se cumple en la práctica, a excepción de las zonas polares y ecuatoriales, debido principalmente a que no se ha considerado el enfriamiento radiativo que sufren las masas de aire en la atmósfera. Además, la desaceleración relativa de todos los vientos en superficie tenderı́a, por fricción, a frenar la rotación terrestre. 2 http://www2.mmm.ucar.edu/mm5/ 3 http://www.wrf-model.org/index.php 50 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a N N W W E E ar SE SE NW S (a) Circulación termal en reposo re lim in S (b) Circulación termal en rotación N N W E rP E SE NW SE NW SE Bo rra do S SW SE NW (c) Circulación más acorde con la realidad Figura 2.15: Circulación General de la Atmósfera. En la práctica ocurre que las masas de aire caliente que ascienden en el Ecuador, al desplazarse en altura hacia los polos, sufren un enfriamiento radiativo tal que al alcanzar aproximadamente una latitud aproximada de 25 a 30° su aumento de densidad es suficiente para que desciendan a la superficie, (subsidencia), calentándose adiabáticamente y divergiendo en dos subcorrientes superficiales, una hacia el ecuador y otra hacia los polos, como se ilustra en la Figura 2.15c. Esto define una celda cerrada en los trópicos (Celda de Hadley), con vientos del este hacia el ecuador, (vientos alisios) y vientos del oeste en altura hacia los polos (vientos contraalisios). La subcorriente que deriva hacia los polos, adquiere una componente oeste en el hemisferio Sur, que equilibra las fuerzas de fricción, manteniendo la rotación terrestre. Esta rama de aire se enfrenta, al llegar a una latitud de 55 a 60° con la corriente de aire frı́o y seco proveniente en superficie desde los polos, dando 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 51 origen a la zona denominada “frente polar”. Se denomina “frente”, en general, a la zona en que se ponen en contacto masas de aire de distinta calidad térmica. La convergencia de masas de aire en superficie hacia el frente polar, tanto desde el Norte como del Sur, exige, para mantener la circulación, el ascenso de estas masas de aire, dando origen a por lo menos dos nuevas celdas, con corrientes de aire en altura hacia los polos en la celda polar y con movimiento del aire en altura hacia el ecuador en la celda intermedia. ar Este nuevo modelo de circulación está en general, en mucho mejor acuerdo con lo observado y medido en la naturaleza, excepto que los vientos en altura de la celda intermedia, debiendo tener, de acuerdo a incluso el “chorro (jet) del oeste”. re lim in la aceleración de Coriolis, una componente Este, presentan una fuerte componente Oeste, denominándose Una explicación a esta anomalı́a radica en los fuertes vientos en altura que se generan en los frentes. En efecto, si la presión barométrica en superficie es aproximadamente la misma, por tener el aire caliente un mayor volumen especifico, tiene mayor desarrollo vertical, lo que crea en altura un fuerte gradiente de presiones entre el aire caliente y el frı́o. El aire caliente, proveniente del norte en el hemisferio Sur, es acelerado por el gradiente de presiones y derivado hacia el este por la acción de la aceleración de Coriolis. En ausencia de roce, el equilibrio se produce cuando el aire se mueve en forma uniforme, en dirección al este, paralelo a las curvas isobaras, anulándose los vectores de aceleración de presión, en dirección al Sur con el vector de aceleración de Coriolis, normal hacia la izquierda al vector velocidad y por lo tanto en dirección norte. A rP este viento que en altura tiende a correr con velocidad uniforme, paralelo a las curvas isobaras, producto del equilibrio de fuerzas, se le denomina viento geostrófico. Cerca de la superficie, donde las fuerzas de roce, en dirección opuesta al movimiento, comienzan a ser importantes, la dirección de equilibrio tiende a ser oblicua a las curvas isobaras. Las turbulencias a macroescala que existen en estas áreas, denominadas ondas de Rossby, Bo rra do transmitirı́an la componente de velocidad oeste a toda la celda intermedia. La circulación general de la atmósfera, si bien sigue en forma global el modelo descrito, en términos estadı́sticos medios, se ve perturbada por la heterogeneidad de la distribución de océanos y continentes, por vientos locales tales como brisas marinas de carácter periódico diurno nocturno y por la presencia de sistemas migratorios de alta o baja presión generados por la turbulencia a meso o macroescala, denominados anticiclones y ciclones respectivamente. En todo caso, la circulación general de la atmósfera marca los rasgos climáticos principales de las distintas latitudes. La subsidencia de aire en las latitudes 30° y en los polos, está asociada a calentamientos adiabáticos y altas presiones, por lo que corresponde a zonas de clima seco. La ascensión del aire en los trópicos y frentes polares se asocia a bajas presiones y enfriamientos adiabáticos, con la correspondiente condensación y precipitación de la humedad atmosférica, lo que genera climas lluviosos. El desplazamiento de la ubicación del ecuador térmico, producto de la inclinación del eje de rotación terrestre y del movimiento de traslación de la tierra, genera el mismo desplazamiento cı́clico con perı́odo de un año en los lı́mites entre zonas secas y lluviosas. El clima de Chile es un buen exponente de esta situación; la zona norte está permanentemente bajo el efecto de una zona de marcadas y permanentes altas presiones, denominada anticiclón del Pacifico que se centraliza 52 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a frente a la costa en la zona oceánica, dándole su predominante caracterı́stica desértica con precipitaciones anuales de menos de 10 [mm] e incluso nula en algunos sectores; la zona sur queda permanentemente dominada por la zona del frente polar, con su caracterı́stica pluviosidad durante todo el año, alcanzando pluviometrı́as por sobre los 3000 [mm], mientras la zona central presenta una pluviometrı́a intermedia, del orden de centenas de [mm], con caracterı́sticas húmedas en invierno y secas en verano, cuando el desplazamiento hacia el sur 2.6.3.1. ar del anticiclón del Pacı́fico bloquea los frentes de mal tiempo generados en el frente polar. Corrientes Marinas re lim in Al igual que en la atmósfera, el calentamiento radiativo de los océanos tiene una fuerte desuniformidad en el sentido latitudinal, por lo cual, en principio, las corrientes marinas son producidas por circulaciones de tipo termal, enteramente análogas a las descritas para la atmósfera, estando de hecho profundamente influenciadas por la circulación general de la atmósfera y vientos predominantes, cuyas trayectorias las corrientes marinas intentan reproducir, generándose corrientes de masas de aguas frı́as, de origen polar que se desplazan hacia el ecuador acarreando sus propiedades térmicas, generándose a su vez corrientes de aguas calientes que se desplazan desde los trópicos hacia altas latitudes. A diferencia de las circulaciones atmosféricas, la presencia de barreras continentales constituye un obstáculo insalvable para las corrientes marinas, por lo que resulta más difı́cil plantear un modelo de circulación rP general simple que resulte adecuadamente representativo. A esto contribuye la existencia de otro tipo de corrientes entre las que pueden distinguirse las corrientes de densidad, generadas por gradientes de salinidad y/o temperatura, corrientes de deriva, provocadas por arrastre del roce de los vientos, corrientes de pendiente, provocadas por desniveles generados por apilamientos de agua por efecto del viento, y corrientes de marea, Bo rra do normalmente de carácter cı́clico, provocadas por las mismas fuerzas gravitacionales de generación de mareas. En relación a su influencia sobre el clima de Chile, resulta de particular importancia la corriente de Hum- boldt, corriente frı́a que se desplaza de Sur a Norte a lo largo de la costa, influyendo sobre el régimen de temperaturas en el sentido de generar una gran uniformidad térmica latitudinal, provocando particularmente en las zonas costeras central y norte temperaturas bastante más moderadas que las tı́picas correspondientes a su latitud. Este enfriamiento superficial contribuye a su vez a la generación de inversiones térmicas, incrementando la estabilidad atmosférica. 2.6.4. El Fenómeno ENOS, El Niño - Oscilación del Sur Se entiende por el fenómeno ENOS, (El Niño - Oscilación del Sur), a una anomalı́a que en forma aperiódica sufren tanto la circulación general de la atmósfera como las corrientes marinas en el sector del Pacı́fico Sur ecuatorial. El fenómeno, cuyas causas aún se investigan, se presenta en forma aperiódica y con distintas intensidades, en promedio cada tres a cuatro años, y se manifiesta por una parte como una perturbación barométrica, fenómeno denominado Oscilación del Sur en que se debilitan o invierten los gradientes barométricos normales entre el Pacı́fico ecuatorial en la zona de Indonesia y las costas subtropicales sudamericanas. Este fenómeno se asocia a su vez a un debilitamiento de los vientos alisios en el Océano Pacifico ecuatorial y a un 2.6. Procesos de Intercambio de Energı́a y Masa en la Atmósfera 53 cambio en el régimen térmico del océano, al cual se le atribuye la ocurrencia de ciertas anomalı́as climáticas, entre ellas, perturbaciones térmicas y pluviométricas. En efecto, en condiciones normales, los vientos alisios arrastran las aguas superficiales más calientes del océano en las cercanı́as de las costas de Ecuador y Perú, provocando la surgencia de masas oceánicas más profundas de menor temperatura. Al debilitarse esta circulación, se altera la estratificación térmica del océano, observándose un recalentamiento de sus aguas superficiales, que se extiende hacia el Sur, generándose una ar corriente caliente que puede alcanzar hasta la costa norte y central de Chile, y que ha sido denominada corriente de El Niño, término introducido por los pescadores peruanos, al observar que el fenómeno suele iniciarse en el mes de diciembre, junto con la fecha de nacimiento del Niño Jesús. El fenómeno genera por re lim in una parte una alteración en la biótica acuática, ya que los peces se desplazan hacia el Sur, en busca de aguas más frı́as, con un perjuicio económico para la pesquerı́a de esos paı́ses y por otra parte el fenómeno se asocia a perturbaciones en el régimen pluviométrico de diversas regiones. En Chile, si bien la correspondencia y correlación entre ambos fenómenos no es muy alta, estadı́sticamente se ha detectado una mayor probabilidad de tener años más húmedos cuando prevalece el fenómeno de El Niño y una mayor probabilidad de tener años más secos, cuando prevalece la situación inversa y las aguas oceánicas tienden a enfriarse, situación que ha sido denominada “La Niña”. La relación se hace más clara durante el invierno entre las latitudes 30ºS y 36ºS con predominio de años normales – lluviosos durante eventos El Niño y normales – secos durante eventos La Niña. Más hacia el sur, entre los 36ºS y 41ºS, la presencia del fenómeno de El Niño se asociarı́a Bo rra do Bibliografı́a rP a la ocurrencia de veranos en el rango normal - seco. (Montecinos, 1998) Bliss, R. (1961), Atmospheric Radiation Near the Surface of the Ground: A summary for engineers, Solar Energy, 5, pp 103-120, doi:10.1016/0038-092X(61)90053-6. Flohn, H. (1968), Climate and Weather, World Univ. Lib., McGraw Hill. Hess, S. L. (1959), Theoretical Meteorology, Holt, Rinehart, Winston. Marvin, C. F. (1941), Psycrometric Tables, U.S. Weather Bureau. Montecinos, A. (1998), Pronóstico Estacional de la Precipitación en Chile Central, Departamento De Geofı́sica, Universidad de Chile. Plate, E. (1972), Aerodynamic Characteristics of Atmospheric Boundary Layers,U.S. Atomic Energy Commission. Ramanathan, V., B. R. Barkstrom, and E. F. Harrison (1989), Climate and the Earth’s Radiation Budget, Physics Today. Sellers, W. D. (1965), Physical Climatology, The Universiy of Chicago Press. Soto, C. (2003), Caracterı́zación de condiciones meteorológicas durante eventos de precipitación a la latitud 33° sur en Chile, XVI Congreso Nacional de Hidráulica, Santiago, Chile. 54 Elementos de Climatologı́a y Meteorologı́a Bo rra do rP re lim in ar UNESCO (1995), World Water Balance and Water Resources of the Earth. re lim in ar Capı́tulo 3 EVAPORACIÓN Y Introducción rP EVAPOTRANSPIRACIÓN La evaporación, proceso mediante el cual el agua pasa del estado lı́quido al estado de vapor, es un proceso natural de enorme trascendencia, ya que como se analizara anteriormente, transforma en energı́a cinética Bo rra do su calor de vaporización (≈ 600 [cal/gr]), enfriando la superficie evaporante y traspasando esta energı́a a la atmósfera. Este proceso evita los recalentamientos excesivos de la superficie terrestre y contribuye a compensar el desequilibrio existente en el balance radiativo. Además, los procesos de evaporación inician la circulación del agua en la Tierra, generando y manteniendo el ciclo hidrológico. La evaporación ocurre desde la superficie de los mares, desde la superficie de las aguas dulces continentales, desde suelos u otras superficies húmedas y a través de los procesos de transpiración de organismos vivos, fundamentalmente los vegetales. Desde el punto de vista de los recursos hı́dricos, cuando el proceso de evaporación ocurre desde la superficie de los mares, es tremendamente beneficioso, pues constituye la fuente primaria del recurso. Sin embargo, cuando la evaporación ocurre desde las aguas dulces continentales, es decir, desde lagos, suelos húmedos, transpiración vegetal y otros, el proceso constituye una pérdida del recurso que puede llegar a constituir una gran parte y en ocasiones la casi totalidad del recurso agua disponible. Es en consecuencia de fundamental importancia en ingenierı́a de recursos hidráulicos, poder medir o cuan- tificar en forma adecuada las pérdidas por evaporación, si se desea evaluar las disponibilidades netas de agua en una cuenca o región. Las pérdidas por evaporación son también factores importantes a considerar en la planificación, diseño y operación de embalses destinados a la regulación de aguas. Por último, toda una rama de la Ingenierı́a Hidráulica, como la Ingenierı́a de Riego o Hidráulica Agrı́cola, se origina en la necesidad de reponer a los suelos la humedad perdida por procesos de evaporación y transpiración vegetal. 55 56 Evaporación y Evapotranspiración 3.1. Definiciones A continuación se presentación algunas definiciones importantes para facilitar la compresión de este capı́tulo: Evaporación: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado lı́quido al estado gaseoso, a temperaturas inferiores al punto de ebullición. ar Sublimación: Proceso por medio del cual el agua pasa directamente del estado sólido al estado gaseoso, sin pasar por la fase lı́quida. re lim in Transpiración: Proceso de evaporación del agua absorbida por las plantas y vegetación natural Evapotranspiración: Efecto conjunto de la evaporación del agua contenida en las plantas y la evaporación desde la superficie del suelo adyacente. Uso Consumo: Término utilizado en Agronomı́a, que corresponde a la evapotranspiración neta más la cantidad de agua utilizada por las plantas en la construcción de su tejido vegetal. En términos prácticos es cuantitativamente casi equivalente a la evapotranspiración. Condensación: Proceso por medio del cual el agua pasa del estado gaseoso al estado lı́quido o eventualmente al estado sólido. rP Rocı́o: Condensación que ocurre al estado lı́quido, directamente sobre la superficie del terreno. Bo rra do Escarcha: Condensación que ocurre directamente al estado sólido, sobre la superficie del terreno. 3.2. Factores que Afectan la Evaporación La tasa o intensidad a la cual se produce el proceso de evaporación depende de una serie de factores condicionantes, que pueden clasificarse en tres grupos: Poder evaporante de la atmósfera. Caracterı́sticas de la superficie evaporante. Disponibilidad de agua. A continuación se describen cada uno de estos factores. 3.2.1. Poder Evaporante de la Atmósfera Se entiende por poder evaporante de la atmósfera al conjunto de factores de origen atmosférico que controlan la tasas de evaporación, independientemente de la disponibilidad de agua para evaporar y de las caracterı́sticas de la superficie evaporante. 3.2. Factores que Afectan la Evaporación 57 Los principales factores atmosféricos que constituyen y condicionan el poder evaporante de la atmósfera son los siguientes: Déficit Higrométrico Se vio al establecer las ecuaciones de intercambio turbulento, que para que exista un flujo de vapor de agua, es necesaria la existencia de un gradiente de humedad, o expresado de otra manera, un gradiente ar de presiones de vapor. En la superficie de un espejo de agua u otra superficie que contenga agua libre, la presión de vapor va a corresponder a la presión de vapor saturado, dependiente de la temperatura de la superficie re lim in evaporante, que como se mencionara anteriormente en el capı́tulo 2, puede cuantificarse utilizando la ley de Clausius-Clapeyron, según la expresión: e m L 1 1 v s = − ln 6.11 R∗ 273 T donde, es : Presión de vapor saturado, en [Hpa]. mv : Peso molecular del vapor de agua = 18 [gr/mol]. L: Calor latente de vaporización o sublimación, [cal/gr]. T : Temperatura absoluta, en [K]. rP o en forma más práctica, por la expresión aproximada, es = 6.11 · e T +239 Bo rra do 17.4T donde es está en [Hpa] y T en [°C]. Si el aire en contacto con la superficie del agua tiene una presión de vapor ea menor que la de saturación, se producirá un gradiente de presiones de vapor, denominándose déficit higrométrico, a la diferencia entre estas presiones de vapor, es decir, ϑ = es − ea (3.1) donde ϑ es el déficit higrométrico. Este déficit higrométrico se utiliza para cuantificar el gradiente de humedad entre la superficie del agua y el aire, que originará un flujo o traspaso de humedad desde la superficie a la atmósfera, lo que constituye el proceso de evaporación. El primero en reconocer la importancia de este factor en el proceso de evaporación fue Dalton en 1802, quién estableció una relación para evaluar la evaporación desde superficies de agua conocida como la Ley de Dalton. E = k (es − ea ) (3.2) 58 Evaporación y Evapotranspiración El factor k depende de otros factores que intervienen en el poder evaporante de la atmósfera, entre los que destacan la velocidad del viento, la estabilidad atmosférica y el suministro de energı́a o radiación solar para proporcionar el calor que consume el proceso de cambio de estado del agua. De hecho, aún hoy en dı́a, la mayorı́a de las fórmulas empı́ricas propuestas para cuantificar la evaporación se basan en la ley de Dalton, cuantificando con distintos criterios el factor k. Suministro de Calor ar Dado que la evaporación consume calor latente de vaporización, si el proceso ocurre sin suministro de calor externo, la superficie evaporante comenzará a enfriarse disminuyendo su presión de vapor re lim in saturado, hasta anular el déficit higrométrico. Para mantener el proceso evaporativo en el tiempo, en consecuencia, es necesario un suministro externo de calor, que evite el enfriamiento del agua. La fuente de calor es normal y principalmente la radiación solar, razón por la cual la evaporación natural ocurre fundamentalmente durante las horas del dı́a, disminuyendo considerablemente, aún hasta anularse o invertirse (condensación) durante las horas de la noche. Vientos Si la atmósfera está en reposo durante el proceso de evaporación, el aumento de vapor de agua se concentrará en las capas bajas con muy poca difusión, incrementando la presión de vapor del aire, tendiendo también a anular el déficit higrométrico. En el proceso evaporativo, en consecuencia, es rP importante la acción del viento en la remoción del aire húmedo y su reemplazo por masas de aire más secas, que mantengan el déficit higrométrico. El grado de influencia del viento depende además del tamaño de la superficie evaporante. Estabilidad Atmosférica Bo rra do La estabilidad o inestabilidad atmosférica al frenar o aumentar la difusión vertical turbulenta de las masas de aire influyen en forma similar a los vientos en la remoción del aire húmedo en superficie. Una atmósfera inestable, en definitiva tenderá a provocar más evaporación que una atmósfera estable. Presión Atmosférica El aumento de la presión atmosférica implica un aumento de la densidad del aire por lo que habrá un mayor número de moléculas de aire que interfieren y dificultan el flujo de las moléculas de vapor. En general, entonces, la evaporación tenderá a disminuir con el aumento de la presión atmosférica. 3.2.2. Caracterı́sticas de la Superficie Evaporante Las caracterı́sticas de la superficie evaporante influyen también en el proceso de evaporación, en términos de la cantidad de agua libre que esté disponible para la evaporación. Ası́, espejos de agua libre tienden a evaporar más que superficies de suelos húmedos o saturados y que el follaje de la vegetación, donde actúan fuerzas que tienden a atraer y fijar el agua. Dentro de superficies de agua libre, el agua con movimiento u oleaje evapora del orden del 5 al 10 % más que el agua en reposo. 3.3. Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal 59 Otro factor que influye es la salinidad del agua, ya que la presencia de sólidos solubles disminuye la presión de vapor saturado de acuerdo a la Ley de Raoult, ew − ews m = =f ew m+M (3.3) donde, ar f : Fracción molar de la solución. m: Número de moles de sal. re lim in M : Número de moles de agua. ew : Presión de vapor saturado sobre agua pura. ews : Presión de vapor saturado sobre agua salada. En general, la tasa de evaporación disminuye del orden de un 1 % por cada 1 % de aumento de la salinidad. Una última caracterı́stica de la superficie evaporante que influye en el proceso de evaporación, es el tamaño de la superficie. En los bordes de la superficie la tasa de evaporación tiende a ser mayor por efectos de difusión lateral, efecto conocido como “efecto oasis”. Por lo anterior, las superficies evaporantes más pequeñas tienden a tener una tasa de evaporación por unidad de superficie mayor. A lo anterior se suma una mayor influencia 3.2.3. rP de los efectos del viento y del calor de advección sobre superficies más pequeñas. Disponibilidad de Agua Aunque parezca de Perogrullo, es necesario destacar que para que exista un proceso de evaporación, se Bo rra do necesita disponer de la cantidad de agua necesaria para satisfacer el poder evaporante de la atmósfera. Si por alguna razón la disponibilidad de agua para evaporar es menor que el poder evaporante de la atmósfera, ya sea porque la superficie comienza a secarse o por alguna otra razón, la tasa de evaporación comenzará a disminuir quedando restringida a la disponibilidad de agua libre, llegando incluso a anularse. Al respecto se definen los conceptos de evaporación y evapotranspiración potencial, como la máxima tasa de evaporación o evapotranspiración que puede ocurrir para un determinado poder evaporante de la atmósfera, siempre que en todo momento exista la disponibilidad de agua necesaria. En estos términos, la evaporación o evapotranspiración potencial es el lı́mite máximo de evaporación o evapotranspiración posible. La evaporación o evapotranspiración real podrá ser menor o a lo sumo igual a la potencial, dependiendo de la disponibilidad de agua, llegando incluso a anularse si la disponibilidad de agua se agota. 3.3. Evaporación de Suelos y Transpiración Vegetal La evaporación no sólo ocurre desde superficies de agua libre; también ocurre desde cualquier superficie húmeda, como pueden ser los suelos o el follaje de la vegetación. La evaporación de suelos superficialmente saturados puede ser del orden del 80 % al 95 % del valor de 60 Evaporación y Evapotranspiración un espejo de agua, pero se reduce rápidamente al secarse la capa superficial del suelo. Valores tı́picos de evaporación desde superficie de suelos saturados respecto a la evaporación desde espejos de agua libre, son los siguientes: 95 - 100 % Limos: 85 - 95 % Arcillas: 75 - 85 % ar Arenas: La transpiración vegetal, en cambio, al extraer las plantas el agua a través de su sistema radicular que penetra en profundidad el suelo, es mucho más permanente en el tiempo, siendo de hecho la principal fuente re lim in de evaporación en zonas continentales. El flujo de agua a través de troncos y tallos desde las raı́ces hasta las hojas, donde fundamentalmente traspira, cumple además la función de lı́quido portador de los nutrientes necesarios para la planta. Al efecto conjunto de la transpiración vegetal y de la evaporación del suelo que la circunda, se le denomina evapotranspiración, que si bien puede ser medida mediante instrumentos llamados lisı́metros, normalmente se evalúa mediante la expresión, ETp = cc · Ep (3.4) rP Donde ETp es la evapotranspiración potencial y el coeficiente cc , llamado coeficiente de cultivo, depende del tipo de vegetación y de la etapa de su desarrollo vegetativo. El término evapotranspiración potencial surge del hecho de suponer que en todo momento existe la disponibilidad de agua necesaria para satisfacer las necesidades transpirativas de la planta. Si existen restricciones de Bo rra do suministro de agua y el suelo baja de cierto nivel mı́nimo de humedad, la evapotranspiración real será menor que la potencial, hasta llegar a anularse si la planta se marchita. En algunos textos de Agronomı́a suele definirse la evapotranspiración potencial como la tasa de evaporación que ocurre desde una superficie de alfalfa verde con cobertura total sobre el terreno, siempre que exista en todo momento la disponibilidad de agua para satisfacer el proceso, aún cuando originalmente dicha definición correspondió al término evapotranspiración “referencial”. En estos términos esta definición concuerda más con lo que en este texto ha sido definido como poder evaporante de la atmósfera o evaporación potencial, bajo el supuesto de que la alfalfa tenga un coeficiente de cultivo cercano al valor 1.0 A la evapotranspiración potencial de otro tipo de cultivos, con coeficientes distintos del valor 1.0, se le identifica en algunos textos de Agronomı́a como Evapotranspiración Actual, en una desafortunada traducción del término inglés “Actual Evapotranspiration” que vendrı́a a corresponder a lo que aquı́ se ha denominado evapotranspiración potencial, siempre mayor o a lo sumo igual a la evaporación real. 3.4. Medición de la Evaporación El instrumento básico para medir la evaporación es el evaporı́metro, del cual se distinguen tres tipos: 3.4. Medición de la Evaporación 61 Evaporı́metro de estanque o de bandeja Evaporı́metro de papel poroso (tipo Piche) Evaporı́metro de membrana porosa o atmómetro. La medición que arroja un evaporı́metro es sólo un “ı́ndice” de la verdadera evaporación ocurrida sobre una superficie de agua de mayor tamaño, debido principalmente a diferencias en el calor absorbido y distintos ar efectos del viento y del calor de advección. Por estos efectos, la evaporación medida debe multiplicarse por un factor correctivo, denominado coeficiente de embalse del evaporı́metro, para hacerla más representativa re lim in de la evaporación real. Se define entonces el coeficiente de embalse de un evaporı́metro por la relación, C= donde, Er Em (3.5) C: Coeficiente de embalse del evaporı́metro, dependiente de su tipo y de las condiciones de instalación. Er : Evaporación real. Em : Evaporación medida. rP En general en meteorologı́a o hidrologı́a el concepto de “ı́ndice hidrológico o meteorológico” se aplica a todas aquellas variables medidas que no corresponden exactamente a la variable que se desea medir, pero que corresponden a una variable asociada, altamente correlacionada con la variable original y de cuyo análisis Bo rra do puedan extraerse conclusiones válidas para la variable de interés. 3.4.0.1. Evaporı́metros de Estanque El evaporı́metro de estanque, como su nombre lo indica consiste en un estanque o bandeja de sección circular o rectangular que se llena con agua y que puede instalarse sobre la superficie del terreno, semi-enterrado en el terreno de manera que la superficie del agua coincida con la rasante del suelo, o flotando en un lago o embalse. El coeficiente de embalse del evaporı́metro dependerá de su diseño y condiciones de instalación, por lo que es conveniente para propósitos comparativos que todos los instrumentos sean iguales. Existiendo diversos modelos diseñados para medir la evaporación, el instrumento básico y más frecuente es el evaporı́metro de bandeja o estanque tipo A del U.S.W.B., instrumento que consiste simplemente en un estanque de sección circular construido en fierro galvanizado sin pintar, que se instala sobre una parrilla de manera que permite la circulación del aire bajo él y cuyas dimensiones y condiciones de instalación están normalizadas. Las principales dimensiones son las siguientes: Diámetro: 4’ o 122 [cm] Alto: 10” o 25.5 [cm] 62 Evaporación y Evapotranspiración Alto de la parrilla sobre la que se instala el instrumento: 15 [cm] Borde libre o revancha inicial de llenado: 2” o 5 [cm] La unidad de medida es el milı́metro de altura de agua y la medición se efectúa llenando inicialmente el estanque hasta el nivel inicial predeterminado y registrando la cantidad de agua necesaria para reponer el nivel original en un intervalo de tiempo dado, normalmente un dı́a, lo que da origen a las estadı́sticas de ar evaporaciones diarias. Las principales instituciones que recopilan información evaporı́metrica en Chile son la Dirección General de Aguas del Ministerio de Obras Públicas (DGA), la Dirección Meteorológica de Chile, dependiente de la re lim in Dirección de Aeronáutica (DMC) y organismos dependientes del Ministerio de Agricultura. El coeficiente de embalse del evaporı́metro de bandeja Tipo A, puede variar, según recomendaciones de la FAO, entre 0.35 y 0.85 dependiendo del ambiente de su instalación, de la humedad del aire y de la velocidad del viento, según se indica en la Tabla 3.1; en ausencia de mejor información se recomienda un valor del orden de 0.7. Tabla 3.1: Coeficientes de embalse de Evaporı́metros de Bandeja Tipo A. Condición de instalación Instrumento en terreno con cobertura vegetal verde Instrumento en terreno seco sin cubierta vegetal (*) Humedad relativa Baja Media Alta Baja Media Alta media [ %] (< 40) (40 – 70) (> 70) (< 40) (40 – 70) (> 70) 0.85 Distancia del área verde [km/dı́a] viento arriba [m] 0.55 0.65 0.75 Distancia del área seca Viento arriba [m] 0 0.7 0.8 Ligero 10 0.65 0.75 0.85 10 0.6 0.7 0.8 (<175) 100 0.7 0.8 0.85 100 0.55 0.65 0.75 1000 0.75 0.85 0.85 1000 0.5 0.6 0.7 0.8 Bo rra do 0 rP Recorrido del viento 0 0.5 0.6 0.65 0 0.65 0.75 Moderado 10 0.6 0.7 0.75 10 0.55 0.65 0.7 (175 – 425) 100 0.65 0.75 0.8 100 0.5 0.6 0.65 1000 0.7 0.8 0.8 1000 0.45 0.55 0.6 0 0.45 0.5 0.6 0 0.6 0.65 0.7 10 0.55 0.6 0.65 10 0.5 0.55 0.65 100 0.6 0.65 0.7 100 0.45 0.5 0.6 1000 0.65 0.7 0.75 1000 0.4 0.45 0.55 Fuerte (425 – 700) 0 0.4 0.45 0.5 0 0.5 0.6 0.65 Muy fuerte 10 0.45 0.55 0.6 10 0.45 0.5 0.55 (> 700) 100 0.5 0.6 0.65 100 0.4 0.45 0.5 1000 0.55 0.6 0.65 1000 0.35 0.4 0.45 (*): En el caso de vastas extensiones de suelos desnudos y en ausencia total de vegetación, reducir los valores del coeficiente de embalse en un 20 % en condiciones calurosas y ventosas, y en un 5 a 10 % en condiciones moderadas de viento, temperatura y humedad. Por último es necesario señalar que la medición de un evaporı́metro es de tipo puntual, es decir mide la variable o “ı́ndice” en el punto especı́fico de su instalación. Para poder cuantificar la evaporación sobre una cuenca o región, es necesario instalar una adecuada red de evaporı́metros. En la publicación “Balance Hı́drico de Chile”, de la DGA (1987) se presentan curvas de isoevaporación para diversas regiones del paı́s. Valores tı́picos de evaporación media mensual en distintas localidades de Chile, se presentan en la Tabla 3.2. 3.4. Medición de la Evaporación 63 Aún cuando las cifras no son estrictamente comparables pues corresponden a distintos perı́odos y longitudes de medición, muestran claramente la dependencia de la evaporación con las caracterı́sticas térmicas y de humedad ambiental de las distintas localidades, además de la eventual dependencia de las condiciones de instalación del instrumento. Tabla 3.2: Evaporación mensual de bandeja [mm]. Estación ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL 251 285 2600 213 242 2069 429 444 4515 235 282 2194 221 240 1979 325 283 286 228 181 134 121 133 159 214 260 214 197 149 122 100 106 127 148 191 Calama 432 364 410 348 344 314 338 323 354 415 Copiapó 322 249 209 148 99 103 88 116 145 198 Vallenar 302 228 195 134 97 73 71 108 133 177 La Serena 159 134 115 81 65 51 48 53 75 92 113 148 1134 Vicuña 287 242 210 137 99 85 85 114 149 214 246 284 2152 San Felipe 268 219 176 104 64 47 36 62 105 144 203 245 1673 Santiago 224 174 138 71 39 24 27 45 69 115 160 214 1300 Rancagua 210 150 109 60 28 18 21 34 51 103 155 190 1129 Curicó 236 191 142 88 47 37 42 53 75 107 163 215 1396 Linares 244 204 153 73 33 19 16 30 58 106 130 218 1284 Chillán 245 189 144 85 32 16 21 40 73 113 170 203 1310 Ls. Angeles 225 183 135 65 33 25 28 39 65 102 144 196 1240 Victoria 190 152 121 67 37 34 37 40 78 84 124 162 1126 Temuco 137 117 101 55 28 22 32 41 68 86 94 135 916 Osorno 133 127 110 81 46 36 68 51 47 69 91 133 992 Pto. Montt 161 119 89 66 43 37 43 50 73 109 130 154 1074 Pta. Arenas 118 98 56 36 13 0 0 0 30 65 114 127 657 re lim in Evaporı́metro de Papel Poroso Bo rra do 3.4.1. rP Fuente: CNR-CIREN (1997). ar Arica Antofagasta El evaporı́metro de papel poroso o evaporı́metro Piche, de uso frecuente en Europa, es poco utilizado en Chile, consistiendo en un tubo de vidrio con forma de un pequeño bastón invertido, de 14 [mm] de diámetro y 22.5 [cm] de largo, que se llena con agua. En el extremo inferior, lleva una tapa de material poroso, exactamente de papel filtro en forma de “hostia” de 32 [mm] de diámetro, que permite la evaporación del agua, cuya magnitud se mide mediante una escala en el tubo de vidrio. Presenta el problema de que por su pequeño tamaño, es muy sensible a las variaciones de radiación y viento, con un coeficiente de embalse promedio del orden de C=0.5, con fuertes variaciones estacionales. 3.4.2. Evaporı́metro de Porcelana Porosa o Atmómetro Consisten en esferas, placas o cilindros de porcelana porosa, conectados a una fuente de agua para mantenerlos permanentemente saturados, que se utilizan principalmente en Agronomı́a para estimar la evapotranspiración potencial. Tienen poco uso en Meteorologı́a. 64 3.5. Evaporación y Evapotranspiración Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración Considerando que la evaporación potencial o poder evaporante de la atmósfera depende fundamentalmente de las caracterı́sticas climatológicas y meteorológicas, se han propuesto diversos métodos basados en consideraciones teóricas aerodinámicas, en balances de energı́a, ası́ como fórmulas empı́ricas, semi empı́ricas y combinadas, para lograr estimaciones de la evaporación y evapotranspiración potencial. Dentro de un gran Fórmula de Thornthwaite-Holzman o Método Aerodinámico re lim in 3.5.1. ar número de fórmulas o métodos que se han propuesto en la literatura, pueden destacarse los siguientes métodos. Este método es tal vez el de mayor base teórica, basado en los conceptos de intercambio turbulento de masa y energı́a. Dividiendo las ecuaciones (2.85) y (2.83) de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movimiento, se obtiene: QL = −τ · L · KW dq/dz KM du/dz (3.6) los niveles 1 y 2, se obtiene, rP Utilizando a su vez la ecuación (2.89) de Von Karman-Prandtl para estimar los esfuerzos tangenciales τ entre τ = ρa k 2 (u2 − u1 )2 (3.7) (ln(z2 /z1 )) 2 Bo rra do donde ρa es la densidad del aire. Reemplazando en la ecuación anterior y expresando las derivadas como diferencias finitas entre los niveles 1 y 2, resulta, QL = ρa · L · k 2 KW (q1 − q2 ) · (u2 − u1 ) 2 KM (ln(z2 /z1 )) (3.8) Postulando que los coeficientes de intercambio turbulento de calor latente y cantidad de movimiento fuesen parecidos, (KW ≈ KM ), Thornthwaite y Holzman plantean su ecuación para estimar la tasa másica de evaporación por unidad de superficie mediante la relación simplificada, ṁa = ρa · k 2 (q1 − q2 ) · (u2 − u1 ) (ln(z2 /z1 )) 2 (3.9) La ecuación anterior, conocida como fórmula aerodinámica o fórmula de Thornthwaite-Holzman, debe ser aplicada con precaución, ya que sólo es válida cuando las condiciones atmosféricas son neutras o cuasi neutras, , debido por una parte a la hipótesis de igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento que es sólo admisible bajo esas condiciones, y por otra parte porque cuando la atmósfera no es neutra, los perfiles de velocidad pueden apartarse considerablemente de la ley de Von Karman-Prandtl. 3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración 65 Diversos autores han propuesto factores correctivos a la fórmula de Thornthwaite-Holzman, para condiciones no neutras, principalmente en función del Número de Richardson o del parámetro de Monin-Obukhov, que deben consultarse en bibliografı́a especializada. 3.5.2. Método del Balance de Energı́a o Fórmula de Bowen ar Los flujos de intercambio de energı́a entre la tierra y la atmósfera corresponden a flujos radiativos, de calor latente y calor sensible. Por lo tanto, planteando una ecuación de balance energético sobre una superficie re lim in unitaria de agua o suelo, resulta: RN − QL − QH = Qs donde, RN : Flujo de radiación neto. QL : Flujo de calor latente. QH : Flujo de calor sensible (3.10) Qs : Flujo de calor que se incorpora a la superficie. rP En la expresión anterior la radiación se considera positiva si incide sobre la superficie, los flujos de calor latente y sensible se consideran positivos cuando los emite la superficie y el flujo de calor incorporado será nulo si el sistema está en equilibrio, positivo si se está calentando y negativo si se está enfriando. La ecuación anterior supone también que todo el intercambio energético ocurre en la vertical. En la práctica puede ocurrir Bo rra do que existan aportes de calor laterales como por ejemplo viento o aportes de agua con temperaturas distintas a la del sistema, calor que se denomina genéricamente calor de advección, por lo que la ecuación de balance, en su forma más general queda, RN − QL − QH + QA = Qs (3.11) donde, QA : calor de advección. Reordenando la ecuación anterior, se obtiene, QH QL 1 + = RN + QA − Qs QL (3.12) Al cuociente entre el flujo de calor sensible y calor latente se le conoce con el nombre de cuociente o razón de Bowen, β, de donde, QL = RN + QA − Qs 1+β (3.13) 66 Evaporación y Evapotranspiración Para evaluar la razón de Bowen se puede recurrir a las ecuaciones de intercambio turbulento de calor sensible y latente, de donde, β= QH cp KH dT = QL L KW dq (3.14) calor latente se expresa finalmente mediante la relación, RN + QA − Qs c KH dT 1 + Lp K W dq (3.15) re lim in QL = ar Suponiendo nuevamente la igualdad entre los coeficientes de intercambio turbulento (KH = KW ), el flujo de La ecuación anterior se conoce como ecuación o fórmula de Bowen, que ha demostrado ser aplicable para condiciones atmosféricas no neutras, ya que la hipótesis de igualdad de los coeficientes de intercambio turbulento ha resultado más válida que en el caso de la fórmula aerodinámica. Sin embargo la fórmula pierde precisión, tendiendo a indefinirse, para condiciones atmosféricas muy particulares en que el coeficiente o razón de Bowen tiende al valor β = −1. 3.5.3. Fórmulas Combinadas rP Los métodos anteriores permiten estimar las tasas de evaporación, estrictamente en forma instantánea, o a lo más, a escala horaria, requiriendo de mediciones meteorológicas de buena calidad, lo que es difı́cil de lograr en la práctica. En consecuencia, son poco apropiadas para estimaciones rutinarias en que basten valores promedios a escala diaria o mensual. Debido a lo anterior, se han propuesto diversas fórmulas semiempı́ricas que Bo rra do tratan de adaptar la teorı́a a la realidad, mediante la introducción de coeficientes o funciones experimentales. Estas fórmulas se pueden clasificar en dos grupos: las fórmulas combinadas y las fórmulas basadas en la Ley de Dalton. Las fórmulas combinadas son las que tienen una mayor base teórica y se basan en una combinación de las ecuaciones de intercambio turbulento y de balance de energı́a, con el objeto de eliminar algunas variables desconocidas y expresar las ecuaciones en función de variables comúnmente disponibles. Contienen además, alguna función de tipo empı́rico, que normalmente representa una estimación de los coeficientes de intercambio turbulento. Entre diversas fórmulas de este tipo, pueden destacarse las fórmulas de Penman y de Mc Ilroy. 3.5.3.1. Fórmula de Mc Ilroy Combinando las ecuaciones de intercambio turbulento y la ecuación de balance de energı́a, y reemplazando además algunas variables en base a la ecuación psicrométrica, Mc Ilroy propuso la siguiente expresión para la estimación del flujo de calor latente: QL = ∆ (RN + QA − Qs ) + h · (D − D0 ) ∆+γ (3.16) 3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración 67 donde, ∆= des dT : Derivada o pendiente de la curva de presión de vapor saturado vs. temperatura, evaluada con la temperatura de bulbo húmedo (Tw ). γ= cp p εL : Constante psicrométrica. D = (T − Tw ): Depresión de bulbo húmedo a una cota z. D0 : Depresión de bulbo húmedo en superficie. ρa cp KH : z Función a determinar empı́ricamente. ar h= La ecuación permitirı́a estimar tanto evaporación como evapotranspiración a partir de información de ra- diación neta, temperatura de bulbo seco y temperatura de bulbo húmedo, estas últimas medidas en superficie re lim in y a una cota z. En el caso de evaporación de superficies de agua lı́quida puede aceptarse que D0 tiene un valor nulo. En cuanto a la función empı́rica “h”, experiencias efectuadas en California, con un clima muy parecido al de Chile Central, proponen estimar esta función mediante la expresión, h = 0.036 · (1 + u1 ) (3.17) donde u1 es la velocidad del viento en [m/seg] medida a una cota z = 1 [m] y aplicable cuando el flujo de calor latente se expresa en unidades de [cal/cm2 · min]. ∆ ∆+γ en función de la temperatura de bulbo húmedo rP En la Tabla 3.3 se presentan valores de la función (Tw ), para una presión barométrica de 1000 [Hpa]. Por otro lado, La derivada de la presión de vapor saturado respecto a la temperatura puede ser determinada a partir de la ley de Clausius-Clapeyron. Ası́, considerando la ecuación (2.22) se obtiene: des 4158.6 ( T17.4T +239 ) = 2 · 6.11 · e dT (T + 239) Bo rra do ∆= (3.18) donde T está en [°C]. Como el valor de γ se puede obtener fácilmente, la ecuación (3.18) permite determinar el valor de la función ∆ ∆+γ para cualquier valor de Tw . Tabla 3.3: Valores de la función ∆ ∆+γ (p = 1000 [Hpa]). Tw [°C] ∆ ∆+γ Tw [°C] ∆ ∆+γ 0 0.4 18 0.651 2 0.431 20 0.675 4 0.461 22 0.699 6 0.49 24 0.722 8 0.519 26 0.744 10 0.547 28 0.765 12 0.575 30 0.785 14 0.601 32 0.805 16 0.626 34 0.824 68 Evaporación y Evapotranspiración 3.5.3.2. Formula de Penman En base a un desarrollo muy similar al anterior, Penman propuso la expresión ∆ γ · (RN + QA − Qs ) + · L · Ea ∆+γ ∆+γ (3.19) ar QL = re lim in donde Ea es una medida del poder evaporante de la atmósfera, para lo cual propone la expresión, ε Ea = ρa (a + b · u)(es − e) p donde, ρa : Densidad del aire. p: Presión atmosférica. u: Velocidad del viento. (3.20) a: Constante con dimensión de velocidad a determinar empı́ricamente. b: Constante adimensional, a determinar empı́ricamente. rP es : Presión de vapor saturado a una temperatura T . e: Presión de vapor a una temperatura T . Bo rra do Para condiciones normales de densidad y presión atmosférica, se ha propuesto la relación, Ea = 0.0265(1 + 0.0062 · u2 )(es − e) (3.21) donde Ea se expresa en [gr/cm2 · dı́a], la presión de vapor en [Hpa] y u2 es la velocidad del viento a 2 metros de altura expresado en [km/dı́a]. Reemplazando lo anterior en la ecuación (3.19) y expresando en términos volumétricos, la ecuación de Penman queda finalmente, E= QL ∆ γ = 0.0167 · (RN + QA − Qs ) + 0.265 (1 + 0.0062 · u2 )(es (T ) − e(T )) ρw · L ∆+γ ∆+γ (3.22) donde Ea se obtiene en [mmdı́a], el término RN se expresa en [gr/cm2 · dı́a] y los términos QA y Qs , suelen despreciarse. Nótese que el término γ ∆+γ equivale al valor 1 − la Tabla 3.3, o bien a partir de la ecuación (3.18). ∆ ∆+γ , por lo que su valor numérico puede obtenerse de 3.5. Estimación de la Evaporación y Evapotranspiración 3.5.4. 69 Fórmulas Basadas en la Ley de Dalton Un gran número de fórmulas empı́ricas han sido propuestas en la literatura especializada para estimar tasas de evaporación a distintas escalas de tiempo, las cuales se basan en la ecuación (3.2) o Ley de Dalton, 3.5.4.1. Fórmula del Lago Hefner ar proponiendo distintas expresiones para evaluar el coeficiente de proporcionalidad k. Esta fórmula, deducida originalmente en 1954, en base a datos de evaporación del Lago Hefner, ha sido re lim in extendida para su aplicación universal mediante la expresión, E = 0.291 · A−0.05 u2 (es − e) donde, E: Evaporación en [mm/dı́a]. (3.23) A: Área del lago o superficie evaporante en [m2 ] u2 : Velocidad media diaria del viento a 2 [m] de altura, en [m/s]. es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa]. Fórmula de los Servicios Hidrológicos de la ex URSS rP 3.5.4.2. Bo rra do E = 0.15(1 + 0.72 · u2 )(es − e) (3.24) donde, E: Evaporación en [mm/dı́a]. u2 : Velocidad media diaria del viento a 2 [m] de altura, en [m/s]. es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa]. 3.5.4.3. Fórmula de Meyer Esta fórmula ha dado resultados relativamente buenos en Chile, E = c(1 + 0.22 · u10 )(es − e) (3.25) donde, E: Evaporación en [mm/mes]. u10 : Velocidad media diaria del viento a 10 [m] de altura, en [m/s]. es − e: Déficit higrométrico en [mb] o [Hpa]. c: Factor que depende de la profundidad y tamaño de la superficie evaporante. sus valores oscilan entre 8 y 11. 70 3.5.5. Evaporación y Evapotranspiración Fórmulas Climatológicas Desde un punto de vista climatológico, se han propuesto también una serie de métodos o fórmulas para estimar la evaporación o evapotranspiración natural a nivel de cuencas u hoyas hidrográficas. Entre ellas es posible destacar: Fórmula de Turc Fórmula de origen climatológico para estimar evapotranspiración potencial: T 65 − h · (R + 50) · 1 + T + 15 120 donde, ETp : Evapotranspiración potencial [mm/dı́a]. T : Temperatura media diaria [°C]. R: Radiación global [cal/cm2 dı́a]. h: Humedad relativa media diaria [ %]. re lim in ETp = 0.013 · ar 3.5.5.1. (3.26) 3.5.5.2. rP En esta fórmula el último factor toma un valor 1 para humedades mayores a 65 %. Método de Thornthwaite De acuerdo a este autor, la evapotranspiración potencial en cuencas naturales se puede estimar por la expre- Bo rra do sión, T ETp = 16 · d · 10 · Ic a (3.27) donde, ETp : Evapotranspiración potencial [mm/mes]. T : Temperatura media mensual [°C]. d: Coeficiente de horas de luz. Ic : Indice de calor anual. El coeficiente de horas de luz (d) corresponde al cuociente entre la duración media de las horas de luz del mes respecto al valor promedio 12 horas. Es un valor calculable astronómicamente, dependiendo de la latitud del lugar y la época del año. En la Tabla 3.4 se presentan valores del coeficiente mensual de horas de luz en función de la latitud u época del año. Por otro lado, el indice de calor anual está definido por la relación, IC = 12 X i=1 ic (3.28) 3.6. Evaporación desde Salares 71 donde a su vez, el ı́ndice de calor mensual ic se estima por la relación, 1.51 T ic = 5 (3.29) Por último, El exponente a se calcula por la expresión, a = 6.75 × 10−7 Ic3 − 7.71 × 10−5 Ic2 + 1.79 × 10−2 Ic + 0.492 ar (3.30) Tabla 3.4: Coeficiente de horas de luz (d). E F M A M J J A S O N D 10 1.08 0.98 1.05 0.99 1.01 0.96 1 1 1 1.06 1.05 1.1 20 1.14 1.01 1.05 0.97 0.96 0.91 0.95 0.99 1 1.09 1.09 1.15 30 1.2 1.04 1.06 0.95 0.92 0.85 0.9 0.95 1 1.12 1.14 1.21 35 1.23 1.06 1.06 0.94 0.89 0.82 0.87 0.93 1 1.13 1.17 1.25 40 1.27 1.08 1.07 0.93 0.86 0.78 0.84 0.91 1 1.15 1.2 1.29 45 1.31 1.1 1.07 0.91 0.82 0.73 0.8 0.89 0.99 1.17 1.24 1.33 50 1.37 1.14 1.1 0.89 0.79 0.68 0.74 0.86 0.99 1.19 1.29 1.41 re lim in Latitud Sur [°] Para ambas fórmulas recién presentadas, se debe considerar que para su aplicación a alguna cobertura rP vegetal especı́fica, deben multiplicarse por su respectivo coeficiente de cultivo. Existen además numerosas otras fórmulas empı́ricas que se utilizan principalmente en Agricultura, para la estimación de la evapotranspiración potencial de cultivos comerciales. En la publicación “Calculo y Bo rra do Cartografı́a de la Evapotranspiración Potencial en Chile”, de CNR-CIREN (1997) se proponen valores de evapotranspiración potencial para distintas localidades del paı́s, estimados con diversas metodologı́as. 3.6. Evaporación desde Salares En la zona Norte del paı́s existen numerosas cuencas endorreicas que no tienen descarga al mar, por lo que las aguas se concentran en el punto más bajo de ellas, conformando lagos o lagunas cerradas que al evaporar potencialmente más que la alimentación que reciben, se transforman en salares, de los cuales se evaporan todos o gran parte de los recursos hı́dricos de la cuenca. Cuando los salares mantienen lagunas o espejos de agua libre, o cuando su costra se mantiene permanen- temente saturada, la evaporación debe ser cercana a la evaporación potencial de agua o suelos saturados, corregidos por un factor que considere la salinidad del agua. Si la superficie del salar se seca, y el nivel de las aguas subterráneas del salar comienza a bajar, las tasas de evaporación deben reducirse considerablemente, en forma análoga a lo que sucede en los suelos. A pesar de la enorme trascendencia que tiene el recurso agua en zonas desérticas, existe muy poca información que permita estimar las tasas de evaporación desde salares. 72 Evaporación y Evapotranspiración Algunos estudios realizados, proponen leyes de decaimiento exponencial de la tasa de evaporación, a medida que la profundidad del nivel freático aumenta, expresadas mediante la relación, E = Ea e−k·z (3.31) donde, ar E: Evaporación desde el salar o laguna [mm/dı́a]. Ea : Evaporación desde superficie de agua [mm/dı́a]. z: Profundidad de la napa [m]. re lim in k: Constante de decaimiento Para la constante k se han propuesto los valores k = 3.25 para el Salar de Atacama (Mardones, 1986) y k = 0.92 para el Salar de Bellavista (Grilli et al., 1987). Sin embargo, estos valores se estiman aún muy aproximados y de carácter sólo referencial. 3.7. Evaporación desde Superficies de Hielo o Nieve Muy poca información se dispone respecto a las tasas de evaporación desde superficies de hielo o nieve. En general se estima que la sublimación directa es bastante reducida, produciéndose principalmente la evapora- rP ción cuando el hielo o nieve comienzan a tener algún contenido de agua lı́quida. Se han informado valores del orden de 20 a 40 [mm/año] en regiones frı́as septentrionales, del orden de 10 a 20 [mm/mes] en latitudes medias y valores de 2 a 4 [mm/dı́a] en zonas montañosas subtropicales como los Montes Atlas en Marruecos o la Cordillera de Los Andes en el Norte de Chile. Bo rra do Algunos valores medidos en la localidad de La Parva, en la precordillera de Santiago, arrojaron los valores estimativos que se presentan en la Tabla 3.5. Tabla 3.5: Valores estimativos de sublimación de nieves Lat. 33º Cota 2600 [m.s.n.m.]. Mes E F M A M J J A S O N D E [mm/mes] 52.7* 43.9* 41.8* 26.4* 17.5 12.5 12.5 11.5 20.7* 29.3* 40.5* 45.0* Los valores marcados con asterisco (*) no corresponden a valores medidos, sino que estimados en base a correlación con evaporación de agua libre. Todos estos valores son de carácter sólo referencial y serı́an sólo aplicables a la cota y latitud indicada, variando en función de estas variables en forma similar a la variación de la evaporación desde agua, es decir dependientes principalmente de la humedad, velocidad del viento y temperatura atmosféricos. Maluk (2009) modelando el balance energético en un manto de nieve obtuvo valores estacionales de evaporación de nieve en la zona central de Chile, que oscilan entre un 10 % de la precipitación invernal para cotas bajas en años húmedos hasta un 45 % de esta en zonas altas en años secos. Las mayores tasas de evaporación ocurrirı́an en cotas bajas a fines de invierno y en primavera en cotas medias y altas, coincidiendo con el perı́odo en que la nieve alcanza su máxima madurez, es decir, temperaturas cercanas al punto de fusión y 3.8. Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas 73 con contenido de agua lı́quida. Los parámetros meteorológicos de mayor incidencia serı́an la sequedad del aire y principalmente la velocidad del viento. En ausencia de mejor información, Maluk (2009) propone las siguientes relaciones para estimar la evaposublimación mensual de nieves en la zona central de Chile. Perı́odo Abril - Septiembre 0.951 1.112 h Es = λ (85.32 + 7.972 · ln(z)) u · 1 − 100 Perı́odo Octubre - Marzo donde, z: Cota sobre el nivel del mar en [m]. re lim in h Es = λ (8.348 + 1.058 · ln(z)) u · 1 − 100 (3.32) ar (3.33) u: Velocidad media del viento a 1.5 [m] de altura, en [m/s]. h: Humedad relativa [ %]. λ: Fracción espacio-temporal de cobertura de nieve. Reducción de la Evaporación desde Superficies Lı́quidas rP 3.8. Bajo ciertas condiciones climáticas o de exposición, la pérdida de agua por efecto de la evaporación puede llegar a ser considerable, al punto que justifique tomar algunas medidas para intentar reducir las tasas de Bo rra do evaporación. Algunas medidas que pueden tomarse son las siguientes: Reducción de la superficie evaporante: En el caso de estanques o embalses, aumentar la profundidad de la cuba, de manera de reducir la relación superficie del espejo de agua/volumen almacenado. Esto desgraciadamente implica un aumento de la altura de muros con el correspondiente aumento de costos. Cubiertas artificiales: En estanques o embalses pequeños pueden utilizarse cubiertas artificiales o balsas de troncos flotantes que protegen de la radiación disminuyendo la evaporación. Capas superficiales monomoleculares: Es ampliamente conocido que la aplicación de substancias aceitosas sobre la superficie del agua reduce la evaporación. Sin embargo, el procedimiento es costoso, difı́cil de aplicar e interfiere sobre la oxigenación, sobre el intercambio de gases con la atmósfera y sobre la flora y la fauna. Existen sin embargo, algunos tipos de hidrocarburos de cadenas largas, tales como el hexadecanol (C16 OH) o el octadecanol (C18 OH) que son repelentes al agua y se esparcen espontáneamente sobre la superficie formando capas o pelı́culas de sólo una molécula de espesor. Esto tiene la ventaja de no interferir a los procesos de aireación, no son tóxicos a la flora y la fauna, permitiendo reducciones de la evaporación de hasta un 50 %. Es, sin embargo, costoso y requiere de permanente mantención, ya que el viento arrastra la capa hacia las orillas, perdiéndose eficiencia. 74 Evaporación y Evapotranspiración Barreras cortavientos: Cualquier acción que tienda disminuir el poder evaporante de la atmósfera reducirá la evaporación. Un procedimiento simple y expedito es la plantación de alamedas o barreras de árboles que al disminuir o deflectar la velocidad del viento disminuyen la evaporación. La mayor eficiencia se logra con barreras perpendiculares a la dirección predominante de los vientos, sin aberturas o interrupciones, que pueden ser contraproducentes, y no demasiado densas, ya que si forman una barrera impenetrable se generan turbulencias a sotavento, sobre el espejo de agua, que incrementan la ar evaporación. re lim in Bibliografı́a Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana, S.A. Santafé de Bogota, Colombia. CNR-CIREN (1997), Calculo y Cartografia de la ET potencial en Chile, Comisión Nacional de Riego y Centro de Información de Recursos Naturales. DGA (1987), Balance hı́drico de Chile, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas. Espı́ldora, B., E. Brown, G. Cabrera, & P. 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Tec., UTFSM, Valparaı́so, Chile WMO (1966), Measurement and Estimation of Evaporation and Evapotranspiration,World Meteorological Organization, Technical Note No. 83, WMO-No. 201.TP.105, Geneva, Switzerland. re lim in ar Capı́tulo 4 PRECIPITACIÓN Introducción rP En hidrologı́a se entiende por precipitación a toda agua de origen meteórico que cae o se deposita sobre la superficie terrestre. Comprende en consecuencia, la lluvia, el granizo, la nieve, el rocı́o y la escarcha. El mayor elemento de almacenamiento de agua del planeta es obviamente la hidrósfera (mares y océanos), desde donde el agua se evapora, consumiendo la energı́a recibida principalmente desde el sol, para almacenarse Bo rra do en forma de vapor en la atmósfera. El vapor que se incorpora, ejerce una presión, al igual que cualquier otro gas, la cual va aumentando a medida que se incorpora más vapor, hasta alcanzar un valor máximo o condición de saturación que aumenta, de acuerdo a la ley de presión de vapor saturado, en forma exponencial con la temperatura. Al ser sobrepasado el lı́mite de saturación, se provoca la condensación del sobrecontenido de vapor, el que pasa al estado lı́quido o sólido, constituyendo las nubes, formadas por microscópicas gotas de agua o cristales de hielo, del orden de micrones o milésimas de milı́metros de diámetro, en una concentración variable pero del orden de 400 [gotas/cm3 ], que se mantienen en el aire en suspensión. Para que estas gotas o cristales precipiten, es necesario un proceso de crecimiento de su tamaño del orden de un millón de veces, hasta que alcancen el peso necesario para precipitar. 75 76 Precipitación 4.1. Mecanismos de Condensación El mecanismo más frecuente utilizado por la naturaleza para condensar el vapor de agua, formar nubes y precipitar, consiste en provocar el ascenso adiabático de masas de aire húmedo. El aire al ascender, se enfrı́a; con ello su presión de vapor saturado disminuye, logrando la saturación y condensación. Es posible clasificar las precipitaciones dependiendo del mecanismo natural que provoque el ascenso de las ar masas de aire, en distintos tipos: Precipitaciones ciclónicas Precipitaciones ciclónico-frontales Precipitaciones orográficas. 4.1.1. Precipitaciones Convectivas re lim in Precipitaciones convectivas. Debido al recalentamiento de masas de aire húmedo próximas a la superficie terrestre, la atmósfera se hace inestable provocando el ascenso casi vertical de este aire, que al enfriarse adiabáticamente, alcanza la tempe- rP ratura de rocı́o y la condensación. Las nubes ası́ formadas, de tipo cúmulus, tienen un gran desarrollo vertical, alcanzando hasta la tropopausa y dando origen a precipitaciones localizadas y de gran intensidad. Sin embargo, al no haber realimentación externa de aire húmedo, dado el escaso contenido de agua precipitable de la atmósfera, estas lluvias son en general de corta duración. Bo rra do El mecanismo generador del ascenso del aire es en este caso de origen térmico, siendo las precipitaciones convectivas tı́picas de zonas tropicales o de perı́odos calurosos en zonas templadas. 4.1.2. Precipitaciones Ciclónicas La presencia de un ciclón, o zona de baja presión atmosférica, provoca la convergencia del aire hacia ese punto, en un movimiento en espiral por la acción de la aceleración de Coriolis, debiendo el aire necesariamente ascender en el centro u ojo del ciclón, con su correspondiente enfriamiento y condensación. Las precipitaciones ası́ generadas se denominan precipitaciones ciclónicas. En presencia de un frente o zona donde se ponen en contacto masas de aire de distinta calidad térmica, siendo de particular importancia el frente polar que se genera aproximadamente a la latitud de 60°, donde se ponen en contacto masa de aire caliente y húmedo de origen subtropical con masas de aire frı́o y seco provenientes de las regiones polares, si se produce, por motivos de inestabilidad de la circulación atmosférica, un centro de baja presión o ciclón, las masas de aire circundantes, frı́as y calientes se ponen en movimiento, producto del gradiente de presión, hacia el centro de baja. El movimiento en espiral en torno al centro de baja presión, provoca el choque de masas de aire de distinta calidad térmica. Esto provoca dos fenómenos distintos: En algunos sectores, especı́ficamente al oriente del centro de baja en el hemisferio sur, las masas 4.1. Mecanismos de Condensación 77 de aire caliente irrumpen sobre las masas de aire frı́o y al ser más livianas las primeras, estas se ven forzadas a ascender por encima del aire frı́o, con lo que se enfrı́an y condensan. Esto es lo que se denomina un frente caliente. En otros sectores, es el aire frı́o el que irrumpe sobre el aire caliente y al ser más denso, penetra como una cuña por debajo del aire caliente, provocando en definitiva el mismo efecto, las masas de aire caliente y húmedo, se ven forzadas a ascender, se enfrı́an y condensan. Esto es lo que se denomina un frente frı́o. Las precipitaciones ası́ generadas, se denominan precipitaciones ciclónico - frontales, las cuales pueden ser ar de magnitud muy variable, dependiendo de la energı́a del frente, son de duración prolongada, alcanzando desde horas a dı́as de duración y cubren una gran extensión de territorio, de cientos o más kilómetros con 4.1.3. Precipitaciones Orográficas re lim in una distribución espacial bastante uniforme. Cuando la circulación de masas de aire húmedo se ve obstaculizada por la presencia de barreras orográficas o cadenas montañosas dispuestas perpendicularmente a la dirección del viento, el aire se ve obligado a ascender por la presencia de esta barrera fı́sica, produciéndose su enfriamiento con la consiguiente condensación y precipitación. Por estos motivos, en las vertientes a barlovento de las montañas la precipitación es bastante mayor que a sotavento, donde el descenso posterior del aire, provoca su calentamiento y disipación de las nubes, generando regiones secas y de temperaturas más altas que en la vertiente opuesta, ya que el rP calentamiento del aire se aproxima más a un proceso adiabático seco. Las precipitaciones orográficas puras, sin embargo, suelen generar sólo lloviznas, manifestándose su efecto principalmente en combinación con algún otro mecanismo, ya que las precipitaciones reales suelen ser mezclas de los distintos tipos. Bo rra do En Chile, salvo las precipitaciones altiplánicas del Norte Grande (Invierno Boliviano) y algunas precipita- ciones principalmente de verano en la cordillera, que son de tipo convectivo, las principales precipitaciones son de origen ciclónico frontal. Los frentes, que se generan normalmente sobre el Océano Pacı́fico, son desplazados por los vientos que en esas regiones predominan en dirección oeste – este, hacia la costa y territorio de Chile, provocando la gran mayorı́a de las precipitaciones desde la III Región hacia el sur. El desplazamiento sucesivo de un frente caliente seguido de uno frı́o en un lapso de uno a dos dı́as, debiera en principio generar dos perı́odos de mal tiempo, separados por algunas horas de tiempo inestable, aún cuando en la práctica, los frentes calientes suelen pasar desapercibidos. Al alcanzar los frentes la zona continental, se hace presente el efecto orográfico debido a la presencia de la Cordillera de la Costa y la Cordillera de Los Andes, que obligan a las masas de aire a ascender aún más, provocando un aumento de las precipitaciones a barlovento de las montañas, y su disminución a sotavento, generando en definitiva, una distribución bastante más irregular de las precipitaciones que la que corresponderı́a a un fenómeno ciclónico - frontal puro. El desplazamiento anual en sentido norte - sur del ecuador térmico, provocado por la inclinación del eje terrestre, provoca a su vez el desplazamiento latitudinal estacional de los frentes de mal tiempo, generándose el clima caracterı́stico de Chile, donde la zona norte es de carácter desértico, por encontrarse permanentemente bajo predominio de condiciones anticiclonales, la zona central presenta una clara distribución de precipita- 78 Precipitación ciones que se concentran en los meses de invierno, mientras la zona sur se mantiene permanentemente bajo la influencia del frente polar, con precipitaciones bastante más parejas entre invierno y verano. 4.2. Mecanismos de Formación de Gotas ar La presencia de nubes no necesariamente significa que habrá precipitaciones. Las microgotas o microcristales de hielo producidos por la condensación, se mantienen en suspensión en la atmósfera, requiriéndose de un proceso adicional de incremento de su tamaño, para que logren precipitar. re lim in Los procesos de crecimiento de tamaño de las gotas, hasta alcanzar el peso suficiente para su precipitación, ocurren fundamentalmente por dos mecanismos distintos: Coalescencia directa y Núcleos de Condensación. 4.2.1. Coalescencia Directa Se entiende por coalescencia directa a una serie de procesos que contribuyen al aumento de tamaño de las gotas, entre los cuales pueden mencionarse las atracciones electrostáticas, colisiones mecánicas y el arrastre 4.2.2. rP de partı́culas de agua que caen incorporando a otras en su paso. Núcleos de Condensación La presión de vapor saturado, de acuerdo a la ley de Clausius - Clapeyron, función única de la temperatura, es válida sobre superficies planas. Sobre superficies curvas, en particular sobre gotas de agua, por efecto de Bo rra do la tensión superficial, la presión de vapor saturado depende del radio de curvatura de acuerdo a la ecuación de Kelvin: ln er e∞ = 2σmv ρv T R ∗ r (4.1) donde, er : Presión de vapor sobre superficie de radio r. e∞ : Presión sobre superficie plana. mv : Peso molecular del vapor de agua. R∗ : Constante universal de los gases. σ: Tensión superficial. ρv : Densidad del vapor de agua. T : Temperatura absoluta. De acuerdo a esta relación, a una temperatura dada, la presión de vapor saturado aumenta al disminuir el radio, efecto que se hace particularmente importante para diámetros menores a un micrón. De esta manera, las gotas de muy pequeño diámetro tienden a evaporarse y a condensar sobre gotas de mayor diámetro. 4.4. Lluvias Artificiales 79 Esta relación, sin embargo, se ve alterada cuando existen impurezas en el agua. La presencia de núcleos de condensación, entendiéndose por ello a pequeñas partı́culas de sal arrastradas en los procesos de evaporación desde el mar o simple y más frecuentemente, por impurezas o partı́culas de polvo elevadas por el viento, al ser generalmente higroscópicas, atraen la humedad, generando superficies con presión de vapor saturante más baja que la de las gotas de agua pura. Esto provoca, en consecuencia, la evaporación de las gotas de agua pura y su condensación sobre estos núcleos, los que van incrementando progresivamente su tamaño hasta alcanzar vivos como integrantes de los núcleos de condensación. ar el peso suficiente para precipitar. Algunas investigaciones recientes sugieren la presencia de microorganismos De acuerdo a la teorı́a del meteorólogo Thor Bergeron, cuando en una nube coexisten gotas de agua con re lim in cristales de hielo, por ser la presión de vapor sobre el hielo más baja que sobre el agua, los cristales actúan como núcleos de condensación, atrayendo a las gotas de agua, que evaporan para condensar sobre ellos. Este serı́a el principal mecanismo de incremento del tamaño de los cristales y de generación de precipitación en climas templados y frı́os donde la precipitación se genera inicialmente en forma de nieve en zonas altas, derritiéndose eventualmente durante su caı́da al ir aumentando la temperatura, para alcanzar la superficie en forma de lluvia. Formas de Precipitación rP 4.3. Dependiendo de la temperatura del aire, la condensación del vapor de agua se traduce en su cambio al estado lı́quido o al estado sólido, generando en definitiva precipitación en formas de lluvia o en forma de nieve. Ya que la precipitación, al caer, tenderá a la temperatura de bulbo húmedo del aire que atraviesa, la precipitación Bo rra do serı́a lı́quida o sólida dependiendo de si la temperatura de bulbo húmedo en superficie es superior o inferior a 0°C. Un buen ı́ndice para discriminar entre la forma de lluvia y nieve, es una temperatura superficial del aire cercana a –0.9°C, recomendándose como valor diario el ı́ndice, Ti = 1 (Tmax + 6Tmin ) 7 (4.2) donde, Tmax : Temperatura máxima diaria. Tmin : Temperatura mı́nima diaria. Para valores del ı́ndice Ti mayores a -0.9°C, la precipitación diaria serı́a predominantemente lı́quida. Si la condensación se produce directamente sobre la superficie terrestre, tendremos los fenómenos de rocı́o y escarcha respectivamente, dependiendo de si la temperatura de la superficie supera o no los 0°C. El granizo corresponde a precipitación originalmente en forma lı́quida que por problemas de inestabilidad atmosférica, se recongela antes de alcanzar la superficie. Es frecuente también que precipitación originalmente en forma de nieve, tenga tiempo de derretirse antes de alcanzar la superficie, cayendo como agua-nieve o lluvia propiamente tal. 80 4.4. Precipitación Lluvias Artificiales De acuerdo a lo anteriormente expuesto, los mecanismos de condensación y formación de nubes no bastan para que se produzca precipitación; se requiere de un mecanismo adicional que provoque el aumento del tamaño de las gotas de agua o cristales de hielo para que logren precipitar. Los métodos de generación de lluvias artificiales consisten precisamente en la incorporación de núcleos de ar condensación de baja presión de vapor saturante, normalmente mediante el bombardeo de nubes con cristales de yoduro de plata, con lo cual se favorece el incremento del tamaño de las gotas y su posterior precipitación. La efectividad de estos métodos es aún materia de controversia, pues se argumenta que sólo aceleran un re lim in proceso que se producirı́a de todas maneras en forma natural o que provocan precipitación sobre ciertas áreas en perjuicio de otras donde habrı́a precipitado naturalmente. 4.5. Medición de la Precipitación Existe una gran variedad de instrumentos para medir la precipitación, tanto a nivel de valores diarios como 4.5.1. Pluviómetro rP a nivel horario. A continuación, se presentan algunos de estos. El instrumento básico para la medición de la precipitación lı́quida es el pluviómetro, que consiste simplemente en un embudo colector, normalmente de 20 [cm] de diámetro, que descarga a un recipiente de sección Bo rra do circular, cuyas dimensiones y condiciones de instalación están normalizadas. La unidad de medida es el milı́metro de altura de agua, equivalente a un volumen de 1 litro por metro cuadrado de superficie. La medición se efectúa registrando la altura de agua acumulada en un intervalo de tiempo dado, normalmente un dı́a, lo que da origen a las estadı́sticas de precipitaciones diarias. Las mediciones se efectúan rutinariamente entre las 08:00 de la mañana de un dı́a y las 08:00 de la mañana del dı́a siguiente, debiendo consignarse por convención, la precipitación medida, al dı́a en que se efectúa la lectura final. En algunas ocasiones, las mediciones se efectúan cada 8 horas, a las 08:00, a las 16:00 y a las 24:00 horas. Normalmente, la boca del colector descarga en un tubo graduado de sección circular 10 veces menor, con lo que se logra una precisión 10 veces mayor en la simple lectura ocular del instrumento. Se recomienda que el pluviómetro debe instalarse en un lugar abierto pero relativamente protegido del viento, la boca de captación debe ubicarse a una altura de 1.5 metros sobre la superficie del terreno, debiendo existir un cono de pendiente 1V:4H libre de cualquier obstáculo tales como árboles o construcciones. Cuando la precipitación ocurre en forma de nieve, el sistema de embudo resulta inadecuado y se usa generalmente un colector de sección troncocónica, para evitar la acumulación de nieve en la boca del colector. En este caso, el instrumento pasa a llamarse nivómetro, recomendándose el uso de anticongelantes (cloruro de calcio, CaCl2 ), previamente incorporado al receptáculo, para facilitar la medición del equivalente en agua 4.5. Medición de la Precipitación 81 lı́quida de la nieve y para disminuir la posibilidad de que la nieve sea arrastrada por el viento. Como se verá más adelante, la medición de precipitación nival mediante nivómetros, es altamente incierta, por lo que a menudo se opta por tapar la boca de los pluviómetros durante perı́odos de precipitación en forma de nieve, midiendo simplemente la altura de nieve acumulada en el suelo adyacente. Es importante señalar que la medición de la precipitación está sujeta a una serie de errores aleatorios y sistemáticos, que la eficiencia de captación es variable, principalmente en función de la velocidad del viento, ar por lo que en definitiva la medición obtenida debe considerarse sólo como un “ı́ndice” de la precipitación real y no como la verdadera magnitud de la precipitación caı́da. re lim in El viento es normalmente la principal fuente de error en la medición de la precipitación, debido a los torbe- llinos y perturbaciones aerodinámicas que la presencia del pluviómetro origina, efecto que es particularmente importante en el caso de la precipitación nival. Se denomina eficiencia de un pluviómetro, al cociente entre la precipitación realmente captada y la precipitación real. El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro se presenta en la Figura 4.1. 2 3 9 20 2 7 9 10 2 6 3 3 40 lluvia predominante Nieve predominante rP 1 1 Bo rra do Eficiencia del pluviómetro o nivómetro [%] 0 3 7 8 7 10 5 2 60 7 3 2 3 4 5 2 80 100 0 10 20 40 30 Velocidad del viento [millas/hr] 50 60 Figura 4.1: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. Para mejorar la eficiencia de captación, en el caso de los nivómetros, estos suelen equiparse con pantallas corta viento, de las cuales la más común es la denominada pantalla Alter, que se muestra en la Figura 4.2. Precipitación re lim in ar 82 Figura 4.2: El efecto del viento sobre la eficiencia del pluviómetro o nivómetro. Por último es necesario señalar que la medición de un pluviómetro es de tipo puntual, es decir mide la variable o “ı́ndice” en el punto especı́fico de su instalación. Para poder cuantificar la precipitación sobre un área más extensa, cuenca o región, es necesario instalar una red de pluviómetros adecuadamente distribuidos a lo largo y ancho de la zona a estudiar. La densidad de la red necesaria dependerá de la uniformidad espacial de las precipitaciones en la región. En zonas planas con precipitación ciclónica frontal, de distribución muy rP uniforme, podrá bastar un instrumento cada cientos de kilómetros cuadrados o más. En zonas con acentuado efecto orográfico, la densidad ideal serı́a considerablemente mayor. Pluviógrafos Bo rra do 4.5.2. Si se desea disponer de información de precipitación en intervalos menores a la escala diaria o aún en forma continua, es necesario recurrir a instrumentos inscriptores llamados pluviógrafos, que registran en forma continua la precipitación acumulada en función del tiempo. Se utilizan principalmente tres tipos de pluviógrafos: Pluviógrafos de báscula Pluviógrafos de sifón Pluviógrafos gravimétricos o de balanza. 4.5.2.1. Pluviógrafo de Báscula En el pluviógrafo de báscula, el embudo de la boca del colector descarga sobre una báscula o balanza compuesta de dos compartimentos que oscilan en torno a un pivote de eje horizontal. Al acumularse una cierta cantidad de agua predeterminada sobre uno de los compartimentos, la báscula se desequilibra, inclinándose 4.5. Medición de la Precipitación 83 hacia el otro lado, descargando el agua acumulada y comenzando a llenar el otro compartimiento. Cada oscilación de la báscula acciona unos engranajes que van inscribiendo la precipitación acumulada en un tambor giratorio. El gráfico resultante, llamado pluviograma, queda constituido, en consecuencia por lı́neas discontinuas en forma de escalera, donde cada trazo vertical indica, por ejemplo, 1 mm de precipitación acumulada. Este tipo de instrumento, pierde precisión para intensidades de precipitación muy extremas, altas o bajas, no habiendo sido muy usado históricamente en Chile. En los últimos años, sin embargo, con la aparición de ar instrumentos digitales, que reemplazan la inscripción gráfica por el envı́o de señales remotas a una central computacional de procesamiento, estos instrumentos se han hecho más habituales, ya que parecen ser los más 4.5.2.2. Pluviógrafo Gravimétrico re lim in adaptables al registro digital de la información. En este caso el colector descarga sobre un balde montado sobre una pesa o romana de alta precisión, registrándose el aumento de peso o precipitación acumulada en un tambor giratorio. El pluviograma resultante, en este caso, es una lı́nea continua, cuya tangente representa la intensidad de la precipitación, medida habitualmente en unidades de milı́metros por hora. dP dt rP i= (4.3) Este tipo de pluviógrafo es el más adecuado para medir precipitación nival, eliminando el embudo del Bo rra do colector y cargando inicialmente el balde con una carga de anticongelante (CaCl2 ) y una ligera capa de aceite liviano, para reducir la evaporación. En este caso el instrumento pasa a llamarse nivógrafo, normalmente provisto de una pantalla Alter, para disminuir el efecto del viento en su eficiencia. Aún ası́, la medición con nivógrafo mantiene las dificultades señaladas en el caso de los nivómetros. 4.5.2.3. Pluviógrafo de Sifón En el pluviógrafo de sifón, el embudo del colector descarga sobre una probeta provista de un flotador conectado mediante poleas y engranajes a una aguja inscriptora que va inscribiendo la precipitación acumulada en un tambor. La probeta está conectada a un sifón, que se ceba al alcanzarse una cierta precipitación acumulada (10 mm), vaciando el agua contenida en la probeta hasta que el sifón se desceba, acumulándose el agua descargada en un recipiente conectado a la descarga del sifón, lo que permite el registro manual del total de precipitación acumulada. El mecanismo de inscripción genera un tipo de pluviograma particular, tal como el que se presenta en la Figura 4.3, donde se observa la descarga brusca de la probeta, cada vez que se acumulan 10 [mm] de precipitación. Precipitación re lim in ar 84 Figura 4.3: Pluviograma de un pluviógrafo de sifón. Este es el tipo de pluviógrafo históricamente más utilizado en Chile, al menos en las versiones convencionales o mecánicas. Medición de Precipitación Nival rP 4.5.3. Como se mencionara anteriormente, la eficiencia y confiabilidad de las mediciones de nivómetros y nivógrafos es bastante baja. Debido a esto y gracias a que la precipitación nival queda acumulada sobre el terreno, a Bo rra do menudo se recurre a la técnica de tubos muestreadores para medir la precipitación nival. El tubo muestreador más utilizado corresponde al que se denomina tubo “Monte Rosa”, que consiste en un tubo de aluminio que se hinca en la nieve con el objeto de obtener una muestra cilı́ndrica del perfil de nieve acumulada sobre el terreno. El tubo, conocido su peso inicial vacı́o, se pesa con su contenido de nieve en una balanza portátil especialmente calibrada, que por diferencia de peso, entrega directamente el peso de la nieve contenida en la muestra, expresado en términos de su equivalente en agua, definido como la altura de agua lı́quida que resultarı́a de la fusión total de la nieve. El tubo mismo trae exteriormente una escala graduada que permite, al hincarlo en la nieve, determinar directamente el espesor H del estrato de nieve muestreado. Con la información de altura y equivalente en agua de la nieve se puede conocer además, su densidad aparente, donde, ρn : Densidad aparente de la nieve, en [gr/cm3 ]. E.A.: Equivalente en agua en [cm] o [gr/cm2 ]. H: Altura del manto en [cm]. ρn = E.A. H (4.4) 4.5. Medición de la Precipitación 85 Cuando sólo se hacen mediciones de la altura del espesor del manto con alguna regla graduada, para conocer el equivalente en agua de la nieve, se suele suponer una densidad de nieve recién caı́da, de ρn = 0.1 [gr/cm3 ]. Uno de los problemas del uso de tubos muestreadores es su representatividad, ya que miden la cantidad de nieve que queda depositada en un punto especı́fico del terreno, magnitud que no tiene por qué coincidir depositándola en lugares protegidos contra el viento. ar con la nieve precipitada, ya que las ventiscas o “viento blanco” suelen arrastrar la nieve de lugares expuestos, Para salvar parcialmente esta limitación, deben hacerse varias mediciones simultáneas del equivalente en agua de la nieve a lo largo de un perfil longitudinal del terreno que sea representativo de las variaciones re lim in topográficas del lugar y de las distintas condiciones de acumulación de la nieve. Un promedio de todas las mediciones efectuadas, se considera más representativo del equivalente en agua promedio del manto. Las mediciones sucesivas, deben efectuarse siempre en el mismo lugar, a fin de que sus datos sean comparables, por lo que el trazado del perfil se señala con balizas o jalones a lo largo de la zona de medición. Estas instalaciones se conocen con el nombre de “rutas de nieve”. Aparte del uso de tubos muestreadores y rutas de nieve, existen procedimientos más sofisticados para medir el equivalente en agua de la nieve, entre los que destacan métodos basados en la atenuación de la radiación emitida por alguna fuente radioactiva instalada en el terreno, ya que la absorción de la radiación dependerá de la masa de nieve atravesada por la radiación, e instrumentos conocidos como “colchones de nieve”, que rP consisten en estanques sellados, con forma de “almohada” o colchones que se depositan inicialmente en el terreno, llenos de algún lı́quido que no se congele. Al irse acumulando nieve sobre el colchón, el peso de esta se traduce en un aumento de la presión interior del lı́quido, cuya magnitud será proporcional al equivalente en agua de la nieve acumulada sobre él. Los registros de variación de presión del lı́quido, pueden trasmitirse Bo rra do en forma remota a alguna estación de control. Todos estos métodos más sofisticados, tampoco están exentos de incertidumbres y errores, manteniéndose la precipitación nival como una de las variables hidrológicas más difı́ciles de medir en forma confiable. 4.5.4. Observaciones Satelitales Con el espectacular desarrollo tecnológico de los últimos años, hoy en dı́a se dispone de estaciones automatizadas de medición con teletrasmisión de la información, ası́ como de satélites meteorológicos que permiten conocer en tiempo real el estado del tiempo a escala mundial. Mediante dichas estaciones y a través de fotografı́as satelitales en bandas de luz visible y diversas bandas infrarrojas, es posible identificar las áreas cubiertas por nubes, las áreas cubiertas de nieve, las áreas donde está precipitando, además de varias otras variables meteorológicas tales como temperatura, radiación, humedad y vientos. A dicha información y fotografı́as, ası́ como a su interpretación y pronósticos en base a ellas, se puede acceder a través de Internet o instituciones como la Dirección Meteorológica de Chile y la Dirección General de Aguas. 86 4.6. Precipitación Procesamiento de Datos Pluviométricos Como resultado de la medición continua o diaria de información sobre precipitación es posible generar estadı́sticas de precipitación a escala diaria, mensual o anual que permiten caracterizar el régimen de precipitaciones en una determinada estación de medición. Ası́ es como producto de la acumulación en un mes de mediciones pluviométricas diarias, es posible de- ar terminar la precipitación mensual de un año determinado; de la suma de estas, se obtiene la precipitación total anual, y del promedio de estas últimas, para un perı́odo en lo posible de 30 años, se obtiene el módulo pluviométrico o precipitación media anual de un determinado lugar. Esta información estadı́stica es reco- re lim in pilada por los organismos encargados de su medición, particularmente el Banco Nacional de Aguas de la DGA y la Dirección Meteorológica de Chile, aún cuando existen diversos otros organismos fiscales, privados o particulares, que colaboran en esta función. En la Tabla 4.1 se presentan estadı́sticas de precipitaciones medias mensuales en diversas localidades del paı́s, donde se observan las variaciones latitudinales del clima y el efecto de la orografı́a sobre los montos de precipitación en cada lugar. Tabla 4.1: Precipitaciones Medias Mensuales [mm]. Estación FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ANUAL 0.3 0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0 0 1.3 Antofagasta 0 0 0 0.2 0.1 1 1.5 0.8 0.7 0.5 0.3 0.1 5.2 Copiapó 0 0 0.1 0.7 3.9 7.5 6.2 4.3 0.3 1 0.1 0 24.5 Vallenar 0 0 0 1.8 7.4 10.1 8.4 11.4 3.3 1.85 0.3 0 45.5 0.1 0.6 0.8 2.3 21.2 38.9 33.8 22.1 6.2 3.4 0.7 0.4 125.8 1.3 3.6 23.3 36 29.8 25.6 7.2 4.2 0.9 0.3 137.5 6.6 16.7 82.7 124.3 97.2 67.7 25.9 11.7 5.6 3 449.1 La Serena 0 0.8 Valparaı́so 1.4 1.2 San Felipe 1.4 2.1 1.6 9.2 42.8 62.1 48 45.9 17.9 8.4 3.9 2 245.8 Santiago 1.4 2.3 4.3 14.6 59.3 81.3 73.3 56.8 28.7 13.9 6.2 4.2 346 Rancagua Bo rra do Vicuña rP Arica ENE 2.8 2.2 7.3 21.9 74.7 103 77.9 65.6 31.4 17.2 9.9 4.4 420.2 Curicó 6 4 12.2 41.2 142 172 144 105 56.6 31 15.7 12 722.6 Linares 14.7 10.4 21.1 67.4 170 203 184 134 82.6 43.6 34.7 17.1 986.5 Chillán 19.8 15.4 27.4 62.2 167.1 201.8 175 145 88.7 47.1 31.8 29 1033 Los Angeles 24.8 26 46.1 85.3 210.8 250.9 218 185 106 60.9 51.5 35.8 1301 Victoria 43.5 40.5 66.4 115 250 292 265 225 138 90.7 75 59.2 1654 Temuco 34.2 39.7 66.6 110 218 207 194 158 98.5 69.4 72.6 58.1 1332 Osorno 47.6 46.9 62.5 110 195 227 187 164 109 70.6 59.3 57.6 1331 Pto. Montt 106 99 149 176 252 251 250 223 163 128 130 126 2060 Pta. Arenas 33.9 28.2 42.3 44.6 46.8 37.2 36.2 37 30.5 24.8 30.4 33.3 425.3 Para llegar a esta representación estadı́stica de la caracterı́sticas pluviométricas de un determinado lugar, la información recopilada debe previamente revisarse, analizarse y procesarse a fin de detectar errores u omisiones en su medición, ası́ como debe verificarse la homogeneidad de la información recopilada, que dé validez estadı́stica a los análisis a que dicha información sea sometida. La utilización de esta información requiere, por lo tanto, de una serie de tratamientos de verificación, relleno, corrección y ampliación de ella. 4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos 87 En primer lugar la estadı́stica debe revisarse y compararse con la de estaciones vecinas, a fin de verificar su consistencia y detectar errores groseros que pueda contener producto de omisiones de medición o errores de trascripción. Es ası́ como la omisión o error en un dı́a de medición en un año completo, invalida el dato de la precipitación del correspondiente mes y en definitiva del año completo, por lo que resulta altamente conveniente, para dato faltante o erróneo. ar aprovechar el resto de la información medida, rellenar o estimar mediante algún procedimiento confiable el Otras veces ocurre que la longitud del perı́odo de medición de una determinada estación es demasiado corto, invalidando cualquier análisis estadı́stico, por lo que puede resultar necesario extender la longitud de re lim in dicho perı́odo aprovechando otra información cercana disponible. Por último puede ocurrir que producto de variaciones de las condiciones de medición, recordando que el dato medido es sólo un ı́ndice, distintas mediciones en un mismo lugar no sean estrictamente comparables entre sı́, lo que requiere de tratamientos de homogeneización de dicha información. Los procedimientos y métodos utilizados para este tipo de correcciones se indican en los acápites siguientes. 4.6.1. Relleno de Estadı́sticas rP Es frecuente que en una estadı́stica pluviométrica falten datos sobre la precipitación caı́da en algunos dı́as, meses o años completos, por lo que es conveniente disponer de métodos que permitan rellenar estadı́sticas en estas condiciones. Para el relleno de valores faltantes aislados se recomienda utilizar los valores simultáneos disponibles en al menos las tres estaciones más cercanas. Bo rra do Si el módulo pluviométrico de las estaciones difiere en menos de un 10 %, basta estimar la información faltante como el promedio simple de las estaciones vecinas Px = Pa + Pb + Pc 3 (4.5) Si los módulos difieren en más de un 10 %, es preferible un promedio ponderado según los módulos de cada estación Px = Pa /Ma + Pb /Mb + Pc /Mc 3 (4.6) donde, Px : Precipitación o dato faltante. Pi : Precipitación en estación vecina i. Mi : Módulo pluviométrico de la respectiva estación i. Para estos propósitos pueden utilizarse también correlaciones estadı́sticas entre las estaciones o aún métodos geoestadı́sticos, aunque normalmente no se justifica. 88 4.6.2. Precipitación Homogeneidad de Estadı́sticas Una vez que se dispone de la estadı́stica completa, es necesario verificar la homogeneidad de la misma. Como se mencionara anteriormente, el dato pluviométrico es sólo un ı́ndice; luego, producto de modificaciones ambientales, cambio de ubicación del instrumento, cambios del instrumento mismo o aún cambios del sin que ello signifique un cambio de la precipitación verdadera o real. ar operador del instrumento, puede producirse un cambio, disminución o aumento de la precipitación medida, Para detectar la presencia de heterogeneidades en la estadı́stica, se utiliza normalmente el método de las curvas doble acumuladas, que consiste en graficar la precipitación anual acumulada de la estación en análisis, re lim in versus el valor acumulado de una precipitación patron, constituida por un promedio de las estaciones vecinas. El método se basa en la hipótesis de que si la zona es pluviométricamente homogénea, la precipitación anual en un lugar dado, debe ser estadı́sticamente proporcional a la precipitación del patron. Es decir, Px = αPp + ε (4.7) donde ε es algún resto aleatorio, error o simple dispersión. rP Acumulando en el tiempo, X Px = αPp + X X X ε≈0 = αPp (4.8) Bo rra do ya que la suma o promedio de los errores o dispersiones debiera ser despreciable, si no nula. Luego, si la estadı́stica es homogénea, la curva será una recta de pendiente α que pasa por el origen. Si se observa una discontinuidad, o dos o más tramos de pendientes distintas α1 y αi , significa que en esos perı́odos hubo cambios en las condiciones de medición. Para homogeneizar la información, deben llevarse todos los datos a una recta de pendiente única, corrigiendo los valores medidos, previa investigación de la causa que pudo haber producido el cambio, por la relación Pc = Pm α1 αi (4.9) donde, Pc Precipitación corregida. Pm Precipitación medida. αi : Pendiente del perı́odo a corregir. α1 : Perı́odo de homogeneización, por convención, normalmente el perı́odo más reciente. Este procedimiento de corrección debe efectuarse en forma cautelosa, no recomendándose corregir cambios de pendiente no muy notorios o que perduren por menos de cinco años. Además, el procedimiento debe ser iterativo, partiendo inicialmente con un patron que contenga todas las estaciones disponibles y eliminando sucesivamente de él aquellas estaciones que no resulten homogéneas. 4.6. Procesamiento de Datos Pluviométricos 89 En algunas ocasiones se observa un desplazamiento brusco de la curva acumulada, manteniendo su misma pendiente. Esta discontinuidad revela casi siempre la existencia de un error grosero en el dato de la precipitación anual de la estación en análisis, en el año en que se produce el desplazamiento. Las Figuras 4.4 y 4.5, muestran curvas doble acumuladas tı́picas donde es posible apreciar los efectos de ar cambios en las condiciones de medición o errores groseros en la estadı́stica. 8000 7000 re lim in Estación [mm] 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Patron [mm] rP Figura 4.4: Curva doble acumulada con tramos de pendientes (α) distintas. 10000 9000 Estación [mm] Bo rra do 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Patron [mm] Figura 4.5: Curva doble acumulada con desplazamiento brusco debido a un error grosero de medición. 4.6.2.1. Ampliación de Estadı́sticas Es frecuente que existan estaciones pluviométricas cuya longitud es demasiado corta para los efectos de análisis estadı́sticos, por lo que puede resultar conveniente intentar ampliar la longitud de la serie de datos. Aunque la información que no se midió, será imposible conocerla en exactitud, esta es posible estimarla en 90 Precipitación base a información de estaciones vecinas. Los procedimientos utilizados pueden ser en base a las curvas doble acumuladas o a correlaciones estadı́sticas. Para precipitaciones anuales, la extensión de la serie faltante puede efectuarse en base a la pendiente de la curva doble acumulada, (4.10) ar Px = αPp Esta estimación, sin embargo, genera estadı́sticas con una desviación estándar parecida a la del patron, que por ser un valor promedio, es inferior a la de las estaciones individuales. re lim in Por lo anterior, para precipitaciones anuales, como para escalas de tiempo más cortas, precipitaciones estacionales, mensuales o aún perı́odos menores, puede recurrirse a correlaciones estadı́sticas, intentando regresiones lineales, simples o múltiples con estaciones vecinas del tipo: Px = αPp (4.11) La gran disponibilidad actual de software estadı́stico o planillas electrónicas, facilita enormemente hoy en dı́a este tipo de cálculos. Deben intentarse a criterio diversas regresiones posibles y elegir aquella que muestre la mejor correlación, a juzgar por el coeficiente de correlación obtenido. Un coeficiente igual a 1 significa rP una correlación perfecta, un coeficiente nulo significa que no hay ninguna correlación. En general, se estima aceptables o admisibles, coeficientes de correlación superiores a R = 0.7, sujetos a tests estadı́sticos que aseguren su representatividad. Precipitación Media Real o en el Espacio Bo rra do 4.7. Conocida la precipitación en una serie de estaciones de una red pluviométrica, normalmente resulta necesario establecer la magnitud media de la precipitación en una determinada zona, cuenca o región. Para ello se utilizan normalmente tres procedimientos alternativos de precisión creciente: Promedio aritmético simple. Método de los Polı́gonos de Thiessen. Método de las Isoyetas. 4.7.1. Promedio Aritmético Simple El promedio aritmético de todas las estaciones existentes dentro de la cuenca o área en estudio, es la estimación más fácil y simple de la precipitación promedio sobre el área. P̄ = PN i=1 N Pi (4.12) 4.7. Precipitación Media Real o en el Espacio 91 donde Pi es la precipitación individual de cada estación. Desgraciadamente, debido a que la red de estaciones pluviométricas es normalmente desuniforme, concentrándose las estaciones en los lugares poblados o más accesibles, normalmente en zonas bajas donde la precipitación es menor, el promedio aritmético es normalmente la estimación menos precisa del promedio de precipitación sobre una cuenca. Polı́gonos de Thiessen ar 4.7.2. El método de los polı́gonos de Thiessen es un promedio ponderado de las precipitaciones en las diferentes re lim in estaciones de la cuenca o áreas vecinas, usando como factor de ponderación la magnitud relativa de las superficies o áreas que resultan las más cercanas a una estación dada. Las áreas de influencia de cada estación se obtienen al determinar los polı́gonos que resultan de la intercepción de las simetrales trazadas a una red Bo rra do rP de triángulos que unen a todas las estaciones, según se ilustra en la Figura 4.6. Figura 4.6: Polı́gonos de Thiessen. En este caso, la precipitación media espacial viene dada por la relación, P̄ = donde, PN i=1 Pi Ai AT (4.13) Pi : Precipitación individual de cada estación. Ai : Área de cada polı́gono de influencia, en el caso de polı́gonos internos, o área encerrada por las aristas del polı́gono y la lı́nea divisoria de agua, en el caso de los polı́gonos exteriores abiertos. AT : Área total de la cuenca. Nótese que en este caso pueden y deben incluirse estaciones que se ubiquen fuera de los lı́mites de la cuenca, siempre que su área de influencia abarque algún sector de la cuenca en estudio. 92 Precipitación Este procedimiento da normalmente una mejor estimación de la precipitación media espacial, que el simple promedio aritmético. 4.7.3. Método de las Isoyetas Las lı́neas isoyetas, definidas como las lı́neas de igual precipitación, se trazan a partir de los puntos indivi- ar duales con información medida, en forma análoga a las curvas de nivel topográfico, obteniéndose un promedio ponderado, según la ecuación (4.13), utilizando como factor de ponderación, el área o superficie comprendida isoyetas que definen dichas áreas. re lim in entre dos curvas isoyetas sucesivas y como precipitación representativa, el promedio de los valores de las Al igual que en el caso de los polı́gonos de Thiessen, debe considerarse la información que entregan estaciones ubicadas fuera, pero cercanas a la cuenca en estudio. El problema de las curvas isoyetas es que estas son dinámicas. A diferencia de los polı́gonos que se trazan una sola vez, ya que sólo dependen de la ubicación fı́sica de cada estación, las curvas isoyetas resultarán distintas para diferentes conjuntos de datos de precipitación. Otra caracterı́stica de las curvas isoyetas, es que tienen una componente subjetiva, dependiendo de la persona que efectúe su trazado. Si bien es cierto que hoy en dı́a, existen programas computacionales que rP permiten su trazado objetivo, adoptando algún criterio matemático predeterminado de interpolación, es conveniente modificar su trazado, incorporando el conocimiento adicional que se tenga de las caracterı́sticas pluviométricas de la región, como ser el efecto de la orografı́a sobre la distribución de las precipitaciones. El trazado de isoyetas efectuado por una persona experta y conocedora de las caracterı́sticas pluviométricas Bo rra do del área en estudio, se postula que es la mejor estimación de la precipitación media sobre una cuenca. Parte de la subjetividad puede eliminarse, utilizando técnicas geoestadı́sticas más sofisticadas, como es el método de interpolación en base a “kriging”, donde se puede incorporar como elemento de interpolación, la cota o altitud de cada estación (Jacquin, 2001). En la publicación “Balance Hı́drico de Chile”, de la DGA (1987), se han trazado las curvas isoyetas medias anuales de diversas regiones de Chile. 4.8. Intensidades de Precipitación En muchas aplicaciones, especialmente de ingenierı́a, resulta de mayor interés que la precipitación diaria total, establecer la tasa o intensidad a la cual ocurre la precipitación, para perı́odos más cortos de tiempo, expresada normalmente en la unidad [mm/hr]. Aún cuando se han propuesto instrumentos para medir directamente esta información, normalmente se recurre a registros de pluviógrafos, que proporcionan un “pluviograma”, o curva que muestra la variación en el tiempo de la precipitación acumulada. 4.8. Intensidades de Precipitación 93 Derivando estas curvas, lo que se efectúa en la práctica en forma discreta, estableciendo para intervalos de tiempo pequeños dt, la intensidad media en el intervalo, dada por la expresión, īdt = dP dt (4.14) Es posible establecer el hietograma de la tormenta, o curva que representa la variación de la intensidad ar de la precipitación en el tiempo. Mediante instrumentos con registro digital es posible hoy en dı́a medir precipitaciones caı́das en cortos intervalos de tiempo, del orden de 10 o menos minutos, de los cuales se puede 4.8.1. Curva Intensidad – Duración re lim in derivar en forma directa el hietograma correspondiente. Para establecer las caracterı́sticas de la variabilidad de las intensidades de precipitación en el tiempo, se recurre a la curva intensidad-duración, o curva que representa la intensidad media máxima de precipitación ocurrida durante la tormenta para intervalos continuos de tiempo de distintas duraciones. Para ello se rastrea a lo largo del hietograma, los promedios móviles ocurridos para distintas intervalos de duración n∆t, n = 1, 2, · · · , N , siendo N el valor T ∆t rP N= (4.15) donde T es la duración total de la tormenta. La forma tı́pica de una curva de intensidad- duración es la de una exponencial decreciente, con las mayores Bo rra do intensidades para los intervalos más cortos y las menores para intervalos mayores. Para cada tormenta ocurrida, es posible entonces, si se dispone de registro pluviográfico, determinar su curva intensidad - duración, que indica la máxima intensidad media que ocurrió para dicha tormenta, para distintos intervalos continuos de duración. Desgraciadamente la disponibilidad de registros pluviográficos es escasa, y si sólo se dispone de estadı́sticas pluviométricas diarias, sólo se dispondrá de un punto de la curva, correspondiendo a la intensidad media diaria o en 24 hrs, dada por la expresión i24 = P24 24 (4.16) donde, i24 : Intensidad media en 24 hrs, en [mm/hr]. P24 : Precipitación caı́da en 24 hrs, en [mm]. Sin embargo, estadı́sticamente se ha establecido, en diversas partes del mundo que la forma de las curvas intensidad - duración es muy poco variable para tormentas de un mismo tipo, por lo que es posible estimar intensidades en distintas duraciones de las tormentas a partir de un punto conocido de ellas, normalmente la intensidad media diaria i24 . 94 Precipitación Es ası́, que para caracterizar estadı́sticamente la distribución temporal de las precipitaciones, se ha propuesto el uso de coeficientes de duración, definidos por la relación, P (t) P0 Cd (t) = (4.17) P (t): Máxima precipitación caı́da en un intervalo de duración t. ar donde, P0 : Máxima precipitación caı́da en un intervalo de referencia conocido, normalmente 1 hora o 24 horas. Los coeficientes de duración se postulan estadı́sticamente constantes para una estación dada, e incluso diferentes lugares del mundo. re lim in para una cuenca o región con un mismo tipo de régimen de precipitaciones, habiendo sido determinados en Postulando, como se verá más adelante, su independencia respecto a la probabilidad o frecuencia de la lluvia, pueden deducirse coeficientes de duración promedios para distintas ciudades chilenas, a partir de estudios realizados por distintos autores, según se indica en las Tablas 4.2 y 4.3. En relación a los valores de la Tabla 4.2, para intervalos de duración menores a una hora, los valores propuestos por Broekman y Quintana, muy coincidentes entre si, corresponden al análisis de un grupo reducido de tormentas en la ciudad de Santiago de la primera mitad del siglo XX. Los valores propuestos por Schroeder (1971), Estellé et al. (2003) y Espinoza (2005), para las estaciones Santiago - Quinta Normal y Valparaı́so - rP Universidad Santa Marı́a, respectivamente, también muy coincidentes entre sı́, han sido deducidos de análisis probabilı́sticos de tormentas, y corresponden, en consecuencia, a valores promedios de grandes tormentas de lluvias que ocurren con intervalos de recurrencia entre 2 y 100 años. Los valores propuestos por Espı́ldora (1971), corresponden a valores promedios, obtenidos del análisis de Bo rra do datos propuestos por distintos autores, para diversas ciudades del paı́s. En la literatura se han propuesto además diversas fórmulas que pretenden tener validez universal, entre las que destaca, por su frecuente aplicación en Chile, la denominada fórmula de Grunsky, según la cual, i(t) = i24 r 24 t (4.18) donde, i(t): Intensidad en una duración cualquiera t, en [mm/hr]. i24 : Intensidad media en 24 horas, en [mm/hr]. t: Duración en horas. Del uso recursivo de esta fórmula, para una duración cualquiera y una duración de una hora, se obtiene una expresión para el coeficiente de duración en base a la lluvia en una hora, dada por la relación, Cd (t) = donde t es la duración del intervalo, en minutos. r t 60 (4.19) 4.8. Intensidades de Precipitación 95 Para duraciones menores de una hora, ha sido propuesta por Bell, una relación que también pretende ser universal, la que puede expresarse por la expresión, Cd (t) = 0.54 · t0.25 − 0.50 (4.20) Este coeficiente es respecto a una lluvia de una hora, Cd = Pd /P60 , y el tiempo se expresa en minutos. ar Los valores resultantes de estas expresiones se han incorporado en la Tabla 4.2 y en la Figura 4.7. donde se observa la buena correspondencia entre los coeficientes resultantes de los análisis de Schroeder (1971), Estellé et al. (2003) y Espinoza (2005), que respaldan los coeficientes generalizados propuestos por Espı́ldora re lim in (1971) y validan la aplicación en Chile, con un ligero error por exceso, de la fórmula de Grunsky, para duraciones menores de una hora. La expresión propuesta por Bell tenderı́a a sobreestimar la intensidad de lluvias de corta duración en Chile. Tabla 4.2: Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a una hora, en base a la precipitación en 60 minutos. Autor Ciudad Broekman Duración en minutos 15 20 30 40 50 Santiago 0.286 0.39 0.48 0.628 0.755 0.877 Quintana Santiago 0.294 - 0.473 0.622 0.756 - Schroeder Santiago 0.358 0.465 0.54 0.677 0.783 0.876 Santiago 0.339 - 0.534 0.654 0.774 0.893 Espinoza Valparaı́so 0.354 - 0.545 0.686 0.813 0.916 Estellé Cca. Maipo 0.394 - 0.526 0.652 0.773 0.887 Espı́ldora Generalizado 0.4 0.53 0.6 0.7 0.82 0.91 Grunsky Generalizado 0.408 0.5 0.577 0.707 0.816 0.912 Bell Generalizado 0.46 0.563 0.642 0.764 0.858 0.936 Bo rra do Estellé rP 10 Para duraciones mayores a una hora, los coeficientes de duración suelen expresarse en términos de la precipitación en 24 horas. Valores propuestos para diferentes ciudades de Chile por distintos autores, se presentan en la Tabla 4.3. En relación a los coeficientes de duración entre 1 y 24 horas, puede distinguirse claramente en la Tabla 4.3 la diferencia entre las precipitaciones de tipo convectivo de la zona Norte, respecto a las precipitaciones de origen ciclónico del resto del paı́s. La Figura 4.8 muestra los coeficientes de duración promedio para lluvias convectivas, que pueden repre- sentarse razonablemente bien mediante la expresión, Cd (t) = (24 + 1.73) · t 1.072 · t = 24 · (t + 1.73) (t + 1.73) (4.21) En las zonas con precipitación primordialmente ciclónica, se observa cierta dispersión entre las distintas estaciones, que en parte parece deberse al método de muestreo y de cálculo. Por ejemplo, para duraciones de 96 Precipitación 1 0.9 0.8 0.6 ar Cd 0.7 0.4 0.3 Broekman 0.2 0.1 Quintana Schroeder Estellé Santiago Espinoza Estellé Cca. Maipo Espíldora Grunsky Bell 0 0 10 re lim in 0.5 20 30 Duración [min] 40 50 60 rP Figura 4.7: Coeficientes de duración inferiores a 1 hora. 1 0.9 Bo rra do 0.8 0.7 Cd 0.6 0.5 Ajuste 0.4 Putre 0.3 Lequena 0.2 Toconce 0.1 Promedio 0 0 5 10 15 Duración [hrs] 20 25 30 Figura 4.8: Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas altiplánicas (Convectivas). una hora, en la zona central aparecen con los mayores valores las estaciones de Santiago (Estellé et al., 2003) y Valparaı́so (Espinoza, 2005; Nicoud, 2004), cifras que provienen de un análisis casi exhaustivo de las series completas de datos, a diferencia de otros estudios que trabajan con series de máximos anuales. 4.8. Intensidades de Precipitación 97 Tabla 4.3: Coeficientes de Duración (Cd ) para valores menores a un dı́a, en base a la precipitación en 24 horas. Localidad Duración en horas 1 2 4 6 12 18 24 Putre (1) 0.468 0.645 0.746 0.788 0.826 0.88 1 Lequena (1) 0.325 0.499 0.735 0.857 0.95 - 1 Toconce (1) 0.382 0.561 0.79 0.908 0.949 0.969 1 Promedio 0.392 0.568 0.757 0.851 0.908 0.925 1 Precipitaciones ciclonicas 0.116 0.2 0.341 0.47 0.74 0.867 1 Paloma (2) 0.156 0.266 0.441 0.597 0.823 0.919 1 Illapel (1) 0.137 0.241 0.401 0.532 0.779 0.914 1 Valparaı́so(3) 0.222 0.298 0.452 0.533 0.752 0.896 1 Valparaı́so(7) 0.213 0.294 0.447 0.553 0.755 0.885 1 Santiago (4) 0.128 0.208 0.339 0.45 0.711 0.89 1 0.576 0.763 0.909 1 0.490 0.728 0.881 1 0.465 0.709 0.907 1 0.428 0.659 0.83 1 0.497 0.717 - 1 0.557 0.738 - 1 0.349 0.608 0.807 1 0.407 0.68 0.806 1 - 1 re lim in Rivadavia(2) ar Zona altiplanica (precipitaciones convectivas) 0.165 0.2697 0.439 0.183 0.254 0.381 Rapel (2) 0.147 0.233 0.337 San Fdo. (2) 0.127 0.213 0.346 Pencahue(6) 0.194 0.267 0.407 Talca (6) 0.164 0.286 0.464 Armerillo (2) 0.08 0.141 0.25 Colbún (2) 0.123 0.194 0.294 Bullileo (6) 0.123 0.184 0.306 0.414 0.652 0.248 0.381 0.467 0.743 - 1 0.245 0.365 0.443 0.677 0.891 1 0.307 0.385 0.479 0.708 0.891 1 0.264 0.39 0.472 0.67 0.877 1 rP Santiago (5) Santiago* (8) 0.171 0.174 Concepción 2 0.197 Quilaco (2) 0.164 Polcura (2) 0.123 0.193 0.325 0.433 0.683 0.869 1 Temuco (2) 0.193 0.317 0.477 0.583 0.792 0.917 1 Pullinque (2) 0.125 0.205 0.33 0.427 0.655 0.832 1 Valdivia (1) 0.128 0.169 0.29 0.41 0.657 0.885 1 Ensenada (2) 0.166 0.233 0.349 0.468 0.676 0.861 1 Pto. Montt (1) 0.16 0.262 0.343 0.449 0.683 0.875 1 Chaitén (1) 0.184 0.298 0.418 0.503 0.746 0.902 1 Pto Aysen (1) 0.141 0.221 0.377 0.499 0.8 0.988 1 Pta. Arenas 1 0.207 0.329 0.485 0.61 0.865 0.98 1 Promedio 0.157 0.245 0.378 0.486 0.722 0.891 1 Grunsky 0.204 0.289 0.408 0.5 0.707 0.866 1 Bo rra do Parral (6) Chillán (2) (1) MOP (2001), (2) Varas y Sánchez (1988), (3) Espinoza (2005), (4) Quintana,(5) Schroeder (1971) (6) Pizarro et al. (2001),(7) Nicoud (2004), (8) Estellé et al. (2003) * Promedio varias estaciones Santiago Urbano. Por otra parte, la Estación Armerillo, ubicada en zona precordillerana, muestra un comportamiento anómalo, situación que se repite para las estaciones de la zona austral, que muestran también un comportamiento algo diferente. Excluyendo estas estaciones, es decir, en las zonas no cordilleranas o sin un importante componente orográfi- 98 Precipitación co, comprendidas entre la IV y X Regiones, la relación de Grunsky, (Ecuación (4.18)) representa razonablemente bien las caracterı́sticas de intensidad - duración, de las tormentas ciclónicas, como se observa en la re lim in ar Figura 4.9. Temuco Rivadavia Pencahue Paloma Talca Pullinque Illapel Colbun Valdivia Valparaíso Bullileo Ensenada Santiago (Q) Parral Pto. Montt Santiago (Sch) Chillan Chaitén Concepción Promedio Rapel Quilaco Grunsky San Fdo. Polcura rP Santiago (E) Duración [hrs] Figura 4.9: Coeficientes de duración para más de 1 hora para tormentas ciclónicas sin excesivo efecto Bo rra do orográfico (IV a X Regiones). Finalmente cabe agregar, que la hipótesis de independencia de los coeficientes de duración respecto a la probabilidad o frecuencia de las tormentas, no es estrictamente válida, ya que se observa en general una ligera disminución de los coeficientes en función de la magnitud de las tormentas, aunque se dan casos que presentan la tendencia contraria. En virtud de lo anterior, siempre será preferible utilizar relaciones intensidad - duración determinadas especı́ficamente para cada localidad, donde dicha información exista. En las publicaciones “Manual de Carreteras” del Ministerio de Obras Públicas (MOP, 2001), “Técnicas Alternativas para Soluciones de Aguas Lluvias en Sectores Urbanos”, del Ministerio de Vivienda y Urbanismo (MINVU, 1996) se presentan valores “oficiales” de curvas intensidad - duración entre 1 y 24 horas, recomendados para diferentes ciudades de Chile. 4.8.2. Precipitaciones Máximas en 24 Horas y Precipitaciones Máximas Diarias Los coeficientes de duración determinados en los acápites anteriores, son en principio válidos para establecer la relación entre la máxima precipitación en un intervalo continuo cualquiera y la máxima precipitación en un intervalo continuo de 24 horas. Cuando se trabaja con información sobre precipitaciones máximas diarias provenientes de registros plu- 4.8. Intensidades de Precipitación 99 viométricos, que como se señalara anteriormente se miden normalmente entre las 08:00 horas de un dı́a y las 08:00 horas del dı́a siguiente, el registro de precipitación diaria no tiene por qué coincidir con el valor máximo en 24 horas continuas, a menos que la tormenta se centre cronológicamente precisamente en el perı́odo de medición entre 08:00 hrs y 08:00 hrs. Debido a lo anterior, el dato de precipitación diaria puede fı́sicamente corresponder a un valor entre un 50 y 100 % de la precipitación en 24 horas dependiendo de su distribución temporal. En rigor, sólo es posible establecer que la precipitación máxima en 24 horas corresponde a un ar valor comprendido entre el valor de la máxima precipitación en un dı́a y la máxima precipitación en dos dı́as seguidos. Si se postula la ocurrencia de tormentas centradas con intensidades horarias que satisfagan la ley o fórmula re lim in de Grunsky, se obtiene que la precipitación medida en un dı́a corresponde a un valor entre el 78 y 100 % de la precipitación máxima en 24 horas, con un valor esperado de 94 %. Debido a lo anterior, se recomienda ampli- ficar las estadı́sticas de precipitaciones máximas diarias por un factor F=1.06, para hacerlas estadı́sticamente representativas de las magnitudes de las precipitaciones máximas en 24 horas. 4.8.3. Precipitaciones Máximas en 1, 2 y 3 Dı́as Consecutivos Como se verá más adelante, para el análisis de cuencas de dimensiones mayores, puede resultar de interés establecer la magnitud de la precipitación de tormentas que duren más de un dı́a. En estos casos, dicha rP información podrá obtenerse a partir de los registros de precipitaciones diarias, considerando la suma móvil en 2, 3 o más dı́as consecutivos, o recurrirse a coeficientes de duración extendidos a dichas duraciones. En la publicación de la Dirección General de Aguas del Ministerio de Obras Públicas, DGA (1989), hay una amplia recopilación y análisis de precipitaciones máximas en dichas duraciones, para las diferentes regiones Bo rra do del paı́s. Bibliografı́a Martı́nez, A., R. Caro (1983), Determinación de la lluvia de cálculo del alcantarillado de Santiago, VI Congreso Nacional de Hidráulica, Santiago, Chile. Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana, S.A. Santafé de Bogota, Colombia. DGA (1987), Balance hı́drico de Chile, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas. DGA (1989),Investigación de eventos hidrometeorológicos extremos: precipitaciones máximas en 24, 48 y 72 horas, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas, Departamento de Hidrologı́a, bf Ingenieros Civiles. Espı́ldora, B. (1971), Estimación de curvas intensidad-duración-frecuencia mediante coeficientes generalizados, Memorias I Coloquio Nacional, Sociedad Chilena de Ingenierı́a Hidráulica, Santiago, Chile. Espı́ldora, B., E. Brown, G. Cabrera, & P. Isensee (1975), Fundamentos de Hidrologı́a, Centro de Recursos 100 Precipitación Hidráulicos. Departamento de obras civiles, facultad de ciencias fı́sicas y matemáticas, Universidad de Chile. Espinoza, R. (2005), Curvas intensidad-duración-frecuencia de la estación pluviográfica USM, Depto. de Obras Civiles, Universidad T. F. Santa Marı́a, Valparaı́so, Chile. Estellé, L. et al. (2003), Análisis espacial y temporal de la pluviografı́a de la ciudad de Santiago, XVI Congreso Nacional de Hidráulica, Santiago, Chile. de Obras Civiles, Universidad T. F. Santa Marı́a, Valparaı́so, Chile. ar Jacquin, A. P. (2001), Interpolación espacial de precipitaciones mensuales mediante krigeado puntual, Depto. Linsley, R., M. Kohler, J.Paulhus (1958), Hydrology for Engineers, McGraw¸ Hill. re lim in Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology, Mc Graw Hill. MINVU (1996), Técnicas Alternativas para Soluciones de Aguas Lluvias en Sectores Urbanos, Ministerio de Vivienda y Urbanismo. MOP (2001), Manual de Carreteras, Vol. 3, Dirección de Vialidad, Ministerio de Obras Publicas. Nicoud, J. (2004), Curvas IDF para la Ciudad de Valparaı́so, Universidad Técnica Federico Santa Marı́a, Valparaı́so. Pizarro, R., D. Aravena, A. Abarza (2001), Análisis comparativo de las curvas intensidad-duración-frecuencia de Hidráulica. rP (IDF) en seis estaciones pluviográficas distribuidas en la VII Región del Maule, Chile, XV Congreso Nacional Schroeder, R. (1971), Curvas IDF Santiago, Universidad de Chile. Stowhas, L., Fundamentos de Hidrologı́a Aplicada, Apuntes Dir. Gral. Des. Cient. Tec., UTFSM, Valparaı́so, Bo rra do Chile Varas, E. Sánchez, S. (1988), Curvas generalizadas de intensidad-duración-frecuencia de lluvias, Hidrologı́a y drenaje vial, Chile. re lim in ar Capı́tulo 5 ANÁLISIS DE FRECUENCIA EN Introducción rP HIDROLOGÍA La medición o registro de todas las variables hidrológicas, sea evaporación, precipitación, escorrentı́a, ası́ como muchas otras series de tiempo, pasa a constituir una “estadı́stica” de estas variables, las cuales pueden Bo rra do considerarse como variables aleatorias, en el sentido de que no se tiene un conocimiento determinı́stico para establecer la magnitud que ellas van a alcanzar en un determinado instante o perı́odo de tiempo. En el diseño y estudio de obras hidráulicas se requiere interpretar estas estadı́sticas o registros hidrológicos históricos, en términos de su futura probabilidad de ocurrencia. Esta necesidad se manifiesta, por ejemplo, en el diseño del vertedero de un embalse o de una obra de defensa fluvial en que se requiere dimensionar la obra, de manera de asegurar su adecuado funcionamiento ante la ocurrencia de un evento de magnitud extrema, sin provocar su falla o colapso. Considerando los costos asociados a la construcción de estas obras hidráulicas, no siempre será conveniente asegurar su funcionamiento ante un acontecimiento de caracterı́sticas catastróficas, debiendo aceptarse un riesgo de que esta falle, con una probabilidad de ocurrencia, que dependerá de la importancia, magnitud y consecuencias asociadas a la falla de la obra. Ası́ por ejemplo, una alcantarilla en un camino provisorio que se requiera temporalmente para el acceso al frente de trabajo de una obra, se diseñará con un riesgo de falla mucho más alto que una obra definitiva tal como una presa o embalse, cuya falla puede tener caracterı́sticas catastróficas. En el caso de estudios destinados a establecer la disponibilidad de recursos hı́dricos, también se presentan situaciones parecidas. La evaluación de la disponibilidad de agua para satisfacer determinadas demandas 101 102 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a de agua potable, por ejemplo, requerirá normalmente establecer niveles de seguridad de abastecimiento más rigurosos que aquellos para satisfacer necesidades de regadı́o, tomando en consideración la trascendencia de un eventual desabastecimiento. Para la adecuada determinación de las magnitudes de diseño a adoptar para las distintas variables hidrológicas ante los distintos escenarios posibles, la Hidrologı́a recurre a una herramienta de la ciencia Estadı́stica o de la teorı́a de probabilidades, cual es la técnica del análisis de frecuencia, que puede definirse en forma ar general, como el procedimiento que permite expresar los datos hidrológicos históricos en términos estadı́sti- cos y aplicar a ellos ciertos modelos probabilı́sticos que permiten establecer la probabilidad de ocurrencia o repetición de dichos eventos hidrológicos en el futuro. re lim in Los resultados que se obtienen con estos procedimientos, llevan siempre asociada una incertidumbre, pro- veniente no sólo del método estadı́stico mismo, sino además, de la posible falta de representatividad de los datos o estadı́stica disponible, respecto a la población total de la cual provienen. Por esto, si bien los resultados del análisis de frecuencia serán siempre fundamentales para establecer la seguridad y eficiencia de una obra hidráulica, estos deberán complementarse con análisis de tipo económico y con el sentido práctico y experiencia del proyectista, en función de la envergadura y trascendencia de la falla de la obra. Ası́, para el diseño del sistema de drenaje de una carretera, cuya falla sólo origine la paralización temporal del tránsito en ella mientras dure una tormenta, se elegirá una magnitud de lluvia moderada, que ocurra por ejemplo, una vez cada 5 años, por establecer un criterio, o se diseñará para un valor que minimice el costo rP conjunto de la construcción del sistema de drenaje, más los costos asociados a la paralización de la carretera. Por otra parte, el vertedero de un gran embalse, construido aguas arriba de sectores poblados, cuya falla originarı́a una catástrofe de proporciones mayores, deberá ser diseñado para ser capaz de evacuar una crecida lo suficientemente grande como para tener una bajı́sima probabilidad de ocurrencia dentro de la vida útil del Bo rra do embalse, o bien para una crecida que se estime como la máxima fı́sicamente posible. 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia Si tenemos una serie de datos de una variable aleatoria, hidrológica o no, de ocurrencia secuencial en el tiempo, hablamos de una serie de tiempo. Esta serie de datos, al ser finita en el tiempo, podemos interpretarla como una muestra estadı́stica finita proveniente de un universo infinito asociado a la variable en cuestión, la cual para poder ser tratada estadı́stica y probabilı́sticamente, deberá ser una muestra aleatoria representativa de la población de la cual proviene, y sus valores deberán ser homogéneos e independientes. La muestra será más representativa del universo a medida que aumente el número de datos disponibles, estimándose en general, que una estadı́stica de al menos 30 años de longitud, es requerida para lograr una adecuada representatividad. A ello se debe la conveniencia de extender estadı́sticas demasiado cortas, antes de realizar un análisis de frecuencia. Considerando que los datos estimados tienen una mayor incertidumbre que los directamente medidos, se requiere en general, de una extensión de al menos un 25 % de su longitud, para lograr mejorar la representatividad de la muestra. 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia 103 Por otra parte, muestras de más de 50 años de longitud van aportando cada vez menor información adicional, por lo que sumados los efectos de la manipulación de un excesivo número de datos y la posible falta de estacionareidad de los información, no hacen aconsejable trabajar con muestras de mayor longitud a la indicada. Una muestra es homogénea si todos los datos disponibles provienen realmente de la misma población, razón por la cual, considerando que normalmente nuestras variables son sólo ı́ndices hidrológicos, será necesario ar aplicar procedimientos como el método de las curvas doble acumuladas, para verificar la consistencia y homogeneidad de la información. El principal problema al analizar probabilı́sticamente datos hidrológicos, es su eventual falta de indepen- re lim in dencia, ya que puede existir entre ellos, tanto dependencia espacial como temporal. Existe dependencia en el espacio, por ejemplo, cuando dos pluviómetros están ubicados muy cercanos uno del otro, registrando datos similares que posean algún grado de correlación. Para estos propósitos, ellos deberı́an ser considerados como un solo dato. La dependencia en el tiempo es sin embargo, la causa de error más común en el análisis de frecuencia de datos hidrológicos. Por ejemplo, los gastos máximos de dos crecidas que suceden una a continuación de la otra, dentro de un intervalo corto de tiempo, pueden no ser independientes entre sı́, ya que pueden deberse al mismo fenómeno meteorológico, o bien, de ser distintos fenómenos, la magnitud de la segunda crecida puede quedar influenciada por las condiciones provocadas por la primera crecida. En un caso ası́, sólo uno de los rP valores debe ser considerado para el análisis de frecuencia. Por último, como ya se adelantara, otra condición que debe cumplir una serie de tiempo para someterla a un análisis de frecuencia, es que esta sea estacionaria, en particular autoestacionaria. Un proceso es auto- Bo rra do estacionario cuando sus caracterı́sticas o propiedades no cambian al realizar un desplazamiento en el origen del tiempo. Es decir, las caracterı́sticas de una serie de tiempo de m observaciones, (z1 , z2 , z3 , · · · , zm ) son las mismas que la de una serie (z1+k , z2+k , z3+k , .....zm+k ), para cualquier valor del desplazamiento k. Pueden definirse no estacionariedades de distinto orden, dependiendo del orden del momento de la distri- bución al cual afectan. Los procesos no estacionarios más comunes que afectan al promedio de la serie, son los de tendencia, periodicidad y persistencia. Existe tendencia en una serie, cuando el promedio móvil de las caracterı́sticas o parámetros de ella, muestran una variación sostenida, ya sea creciente o decreciente en el tiempo. La periodicidad es una caracterı́stica intrı́nseca de muchas variables hidrológicas, ya que quedan sujetas a los ciclos climatológicos diurnos y anuales, habiendo sido sugeridas además, la existencia de otros ciclos de perı́odo mayor. La persistencia es la tendencia de algunas variables aleatorias a mantenerse sostenidamente en valores similares a los que la han precedido. Existen variados procedimientos y tests estadı́sticos que permiten detectar la presencia de procesos no estacionarios, que en caso de detectarse, deben ser eliminados de la serie, antes de someterla a análisis de frecuencia. 104 5.1.1. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Selección de Datos Hidrológicos Los datos hidrológicos pueden presentarse en forma continua o discreta, pero para su análisis estadı́stico deben ser discretizados. Las temperaturas del aire o los caudales de un rı́o, por ejemplo, son variables esencialmente continuas, por lo que pueden ser discretizadas tomando valores promedios en un determinado intervalo de tiempo; temperaturas o caudales medios diarios, temperaturas o caudales medios mensuales o valores proo mı́nimos de una variable continua dentro de ciertos intervalos de tiempo. Serie de Duración Completa re lim in 5.1.1.1. ar medios anuales. También resulta una serie discreta si se consideran sólo los valores extremos, sean máximos La serie cronológica de datos que incluye toda la información disponible respecto a una variable hidrológica se denomina serie de duración completa. Este tipo de series, que tienen importantes usos en algunas aplicaciones ingenieriles que se verán más adelante, no resultan apropiadas para someterlas a análisis de frecuencia, principalmente por la fuerte dependencia temporal que puede existir entre sus valores y porque al contener toda la información disponible incluyen mucha información irrelevante, especialmente en estudios en que sólo interesan los valores crı́ticos o extremos que toma la variable, valores máximos o mı́nimos. Es por estas razones que normalmente, para el desarrollo de análisis de frecuencia, se seleccionan subconextremos. 5.1.1.2. rP juntos de las series de duración completa, cuales son las series de duración parcial y las series de valores Serie de Duración Parcial Bo rra do Una serie de duración parcial es un subconjunto de la serie de duración completa constituido por todos los valores de la variable que exceden, o complementariamente, que no logran exceder, la magnitud de un cierto valor umbral base, arbitrariamente seleccionado. De las distintas series de duración parcial que pueden definirse, cambiando la magnitud del valor umbral, resulta de especial interés el caso particular en que la magnitud del valor umbral se elige de manera tal, que permanezcan en la serie sólo un número de valores igual al número de años de estadı́stica de que se disponga. Esta serie particular pasa a denominarse serie de excedencias anuales y corresponderá al subconjunto de la serie de duración completa que contiene los “N” mayores (o menores) valores medidos de la variable, donde “N” es el número de años de estadı́stica disponible. Si bien esta serie elimina toda la información irrelevante, al retener sólo los N valores extremos de la serie, presenta el inconveniente de que no asegura su total independencia, ya que puede contener dos o más valores extremos ocurridos en un mismo año, cortamente distanciados en el tiempo, los que pueden tener dependencia temporal. 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia 5.1.1.3. 105 Serie de Valores Extremos Una serie de valores extremos es un subconjunto de la serie de duración completa constituido sólo por los valores máximos o mı́nimos que toma la variable dentro de un intervalo o perı́odo de tiempo previamente establecido. Si para evitar problemas de dependencia temporal, se elige como intervalo de tiempo el perı́odo de un año hidrológico, la serie resultante pasa a ser la serie de valores extremos anuales, que contendrá tantos ar valores como años de estadı́stica haya disponible, es decir, contendrá el mayor (o menor) valor de cada año. Si bien la serie de valores extremos anuales contiene el mismo número de datos que la serie de excedencias anuales, los valores incluidos no son necesariamente los mismos, ya que incluye sólo un valor por año, a re lim in diferencia de la serie de excedencias anuales que puede contener más de un valor en algún año, en perjuicio de años que quedan sin representación. La serie de valores extremos anuales elimina también toda la información irrelevante, y asegura su total independencia temporal, pero presenta el inconveniente de eliminar importantes eventos históricos por el simple motivo de no ser los extremos de un año, aún cuando estos eventos hayan sido independientes. Es decir, pueden llegar a omitir información que sı́ es relevante. En la Figura 5.1 se muestra, a manera de ejemplo una serie de 42 eventos ocurridos durante un perı́odo de 10 años. Con trapecios rojos se ha identificado el mayor valor ocurrido en cada año, constituyéndose este subconjunto en la serie de valores extremos anuales de la variable en análisis. Por otra parte, con cı́rculos rP grises se han identificado los 10 mayores valores de la serie, constituyéndose este subconjunto en la serie de excedencias anuales. Se observa que en este caso 8 de los 10 valores son coincidentes, quedando los años 6 y 7 sin representación en la serie de excedencias anuales, en beneficio de los años 8 y 9 que quedan con doble Bo rra do representación. 120 SEA SVEA 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Años Figura 5.1: Serie de excedencias anuales y de valores extremos anuales. 10 106 5.1.2. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Función de Densidad de Frecuencia Si el número de datos disponibles de una variable aleatoria x es N , decimos que tenemos una muestra de tamaño N de nuestra variable aleatoria, la cual será más representativa del universo o población de la cual proviene, mientras mayor sea el valor de N . Si nos damos un intervalo de clase dx, podemos construir un histograma de nuestra muestra, contabili- ar zando el número de eventos ocurridos por unidad de intervalo de clase, o frecuencia absoluta de ocurrencia. Ası́, el histograma será un diagrama de barras que nos representa la variable frecuencia absoluta (f /dx), en función de la magnitud de la variable x. re lim in Si la frecuencia absoluta se divide por el número total de datos N , se obtiene lo que se denomina histo- grama relativo, diagrama que presenta la particularidad de que el área total encerrada bajo él, es unitaria: X fi X fi 1 X dx = = fi = 1 dxN N N (5.1) ya que la sumatoria del número de valores en cada clase, f es igual al número total de datos N . Si se comienza a reducir el intervalo de clase, en el lı́mite cuando dx tiende a cero, el histograma relativo rP se transforma en una curva continua que corresponde a la curva denominada curva o función de densidad de frecuencia de los datos, f (x). Bo rra do f (x) = lı́m dx→0 fi dxN (5.2) El área bajo la curva continuará siendo unitaria, por lo que se cumplirá que, Z ∞ f (x)dx = 1 (5.3) −∞ Ahora, la teorı́a de probabilidades nos dice que la probabilidad de que la variable x tome valores menores o iguales a x, queda dada por el área bajo la curva a la izquierda del valor x. P (x ≤ χ) = Z χ f (x)dx = F (χ) (5.4) −∞ donde F (χ) es la curva o función de frecuencia acumulada de la variable. Esta probabilidad se identifica con el nombre de probabilidad de no excedencia o con el nombre, estrictamente mal utilizado pero de uso común, de probabilidad de ocurrencia de un evento de magnitud x. Complementariamente, la probabilidad de que la variable x exceda el valor χ, o probabilidad de excedencia, queda dada por la expresión, 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia 107 P (x > χ) = 1 − F (χ) (5.5) Lo anterior significa que si la función de densidad de frecuencia o su integral, la función de frecuencia acumulada de una serie de datos, fuese conocida, la probabilidad de ocurrencia o de excedencia de una magnitud dada de un evento hidrológico, quedarı́a automáticamente determinada. ar El problema práctico es que esta función no es normalmente conocida a priori, debiéndose inferir, a partir de los datos de la muestra que se dispone, cuál es la función de densidad de frecuencia de la población desde la cual fue extraı́da. El procedimiento en general consiste en suponer un cierto modelo probabilı́stico que nos re lim in proporciona la teorı́a de probabilidades, es decir, atribuirle una cierta función de densidad de frecuencia a la población y verificar el comportamiento de ese modelo, comparando el ajuste de esa distribución teórica con las observaciones de la realidad, proporcionadas por la serie de datos disponibles. Debido al carácter probabilı́stico mismo del proceso y por ser la serie de datos sólo una muestra de la población, resulta poco probable una correspondencia exacta entre el modelo teórico y la muestra real, aún en el caso en que la distribución teórica escogida corresponda exactamente a la función de densidad de frecuencia de la población. Más aún, si se considera otra muestra distinta proveniente de la misma población, el ensayo dará probablemente un resultado algo diferente. Es necesario, en consecuencia, efectuar algún ensayo o test estadı́stico que permita definir alguna magnitud de discrepancia aceptable, sin que sea necesario rechazar la rP función de densidad de frecuencia supuesta. Por otra parte, hay que hacer notar que un buen ajuste de los datos reales con el modelo teórico, no es suficiente garantı́a de que la función de densidad de frecuencia adoptada corresponda exactamente a la de la población. Bo rra do Existen procedimientos tanto analı́ticos como gráficos para efectuar el ajuste de las funciones de frecuencia, en particular, las curvas de frecuencia acumulada. 5.1.3. Perı́odo de Retorno Las variables hidrológicas en análisis son series de tiempo, es decir, constituyen sucesiones cronológicas, por lo que la probabilidad de excedencia va asociada a una excedencia en el tiempo. Por ello, el objetivo principal del análisis de frecuencia de series hidrológicas es determinar lo que se denomina el intervalo de recurrencia o perı́odo de retorno asociado a una magnitud dada x de una variable hidrológica. Se define el perı́odo de retorno T de una magnitud de una serie de tiempo, como el intervalo promedio de tiempo dentro del cual se espera que la magnitud x de un evento hidrológico se iguale o exceda solamente una vez. Ası́, por ejemplo, si tenemos una estadı́stica de precipitaciones diarias, y seleccionamos sólo la máxima precipitación diaria de cada año, formando la serie llamada serie de precipitaciones máximas diarias anuales, aquella magnitud de precipitación Po , asociada a una probabilidad de excedencia Pex = 0.01, se dice que corresponde a la precipitación máxima diaria con perı́odo de retorno 100 años. Definido en esos términos, el perı́odo de retorno asociado a una cierta magnitud x de una variable hi- 108 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a drológica, corresponde al valor recı́proco de su respectiva probabilidad de excedencia, Pex = P (x > χ) = 1 T (5.6) El concepto de perı́odo de retorno no debe asociarse a alguna recurrencia cı́clica de la variable. Si una lluvia o caudal de perı́odo de retorno T = 100 años, ocurre en un instante cualquiera, no significa que tengan que ar transcurrir 100 años para que ese evento vuelva a ocurrir. Esta lluvia o caudal puede volver a ocurrir al año siguiente o aún dentro del mismo año; el perı́odo de retorno sólo nos dice que la probabilidad de que el evento re lim in se exceda en un año cualquiera es Pex = 1/T , en nuestro ejemplo, Pex = 0.01. En el muy largo plazo, sı́ Po tendrá una frecuencia promedio de ocurrencia de una vez cada 100 años. La correcta dimensión de la variable T dependerá de la frecuencia con la cual se haya medido la variable en análisis. Sólo si se selecciona la muestra, tomando un solo valor por año, sea el máximo o el mı́nimo, de manera que N , el tamaño de la muestra corresponda al número de años de estadı́stica, el perı́odo de retorno pasa a tomar la dimensión “año”. En estricto rigor, la definición de perı́odo de retorno antes dada corresponde al recı́proco de la probabilidad de excedencia de una serie de excedencias anuales. Si se considera una serie de valores extremos anuales, el recı́proco de la probabilidad de excedencia indicará el número promedio de años en que la magnitud será igualada o excedida, sin negar la posibilidad de que en un año el evento ocurra rP más de una vez. Si se postula que los eventos hidrológicos ocurren en el tiempo de acuerdo a un proceso del tipo Poisson, la relación entre las probabilidades de excedencia obtenidas de series de excedencias anuales y series de valores Bo rra do extremos anuales, viene dada por la expresión propuesta por Langbein, Pex,V E = 1 − ePex,EA (5.7) o en términos del perı́odo de retorno como, TV E = 1 1 − e−1/TEA (5.8) donde, Pex,V E : Probabilidad de excedencia resultante de una serie de valores extremos anuales. Pex,EA : Probabilidad de excedencia resultante de una serie de excedencias anuales. TV E : Perı́odo de retorno resultante de una serie de valores extremos anuales. TEA : Perı́odo de retorno resultante de una serie de excedencias anuales. Las relaciones inversas resultan: Pex,EA = ln 1 1 − Pex,V E (5.9) 5.1. Tratamiento de Datos Hidrológicos para el Análisis de Frecuencia TEA = 109 1 ln TV E TV E −1 (5.10) La Tabla 5.1 muestra la comparación entre los resultados obtenidos entre ambos tipos de series, en términos de su probabilidad de excedencia y del perı́odo de retorno resultante. ar Tabla 5.1: Equivalencia entre perı́odos de retorno y probabilidades de excedencia. Serie de excedencias anuales pxe (VE) T(VE) años pex(EA) T(EA) años 0.632 1.58 1 1 0.5 2 0.693 1.44 0.405 2.47 0.223 4.48 0.105 9.49 0.051 19.5 0.02 49.5 0.01 99.5 0.333 3 0.2 5 0.1 10 0.05 20 0.02 50 0.01 100 re lim in Serie de valores extremos rP Se observa de los resultados de la Tabla 5.1, que para perı́odos de retorno mayores de 10 años, las diferencias en los resultados son prácticamente despreciables, por lo que habitualmente se trabaja con series de valores extremos anuales, dada la mucho mayor disponibilidad de información respecto a este tipo de series. Para perı́odos de retorno menores, acercándose al valor 2 años, valor utilizado para el diseño de algunas obras Bo rra do menores, el uso de series de valores extremos anuales generarı́a una sobrestimación del perı́odo de retorno, que se puede traducir en un subdimensionamiento de las obras. Sin embargo, el análisis de datos reales medidos en Valparaı́so, (Espinoza et al., 2005) sugiere que, al menos en ese caso, el criterio propuesto por Langbein sobreestima la corrección necesaria a los perı́odos de retorno estimados, proponiéndose las siguientes fórmulas modificadas, que permite un mejor ajuste a la corrección necesaria a los perı́odos de retorno estimados mediante la serie de valores extremos anuales, aplicables a perı́odos de retorno inferiores a 5 años. TV E = 1 1 − e−1/(TEA +0.22) (5.11) o bien, TEA = 1 ln TV E +0.22 TV E −0.78 (5.12) Si se utiliza alguna otra serie de duración parcial, el perı́odo de retorno, expresado en “años”, se relaciona con la probabilidad de excedencia mediante la relación, 110 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Pex = P (x > χ) = 1 n·T (5.13) donde n es el número promedio de observaciones disponibles por año de estadı́stica. Análisis de Frecuencia Analı́tico ar 5.2. Para materializar el análisis de frecuencia de una serie de datos, puede recurrirse a procedimientos directos o re lim in gráficos, donde las probabilidades o perı́odos de retorno se determinan directamente a partir de la información que proporciona la muestra disponible, o puede recurrirse a la teorı́a de probabilidades que proporciona modelos analı́ticos teóricos de la función de densidad de frecuencia f (x), de cuya integración puede obtenerse la probabilidad o perı́odo de retorno asociado a la magnitud de la variable en análisis. Existe un gran número de funciones matemáticas f (x) que cumplen con las condiciones de servir como funciones de densidad de frecuencia, en particular, en términos de establecer una relación biunı́voca entre la magnitud de la variable y su probabilidad y de respetar que la integral de la función en todo el dominio de validez de la variable, sea unitaria. Estas funciones se establecen en términos de un conjunto de parámetros o estadı́grafos que caracterizan al universo o población del cual la muestra disponible proviene, que se deducen muestra. rP a partir de los momentos de la distribución y que pueden inferirse a partir de la información contenida en la Si el número de datos disponibles de una variable x es N , decimos que tenemos una muestra de tamaño N de nuestra variable aleatoria, a partir de la cual es posible estimar los estadı́grafos del universo del cual Bo rra do proviene. En particular, resultan de interés los cuatro primeros momentos de la distribución, asociados a los conceptos de promedio, varianza, asimetrı́a y kurtosis, cuyos estimadores son: 1° Momento o Promedio aritmético x̄ = PN xi (5.14) (xi − x̄)2 N −1 (5.15) i=1 N 2° Momento o Varianza s2x = PN i=1 3° Momento o Asimetrı́a PN N i=1 (xi − x̄)3 Ax = (N − 1)(N − 2) 4º Momento o Kurtosis (5.16) 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 111 "N #2 N X X (N 2 − 2N + 3) 3(2N − 3) 4 2 Kx = (x − x̄) − (x − x̄) (N − 1)(N − 2)(N − 3) i=1 N (N − 1)(N − 2)(N − 3) i=1 (5.17) En términos prácticos los momentos segundo, tercero y cuarto, suelen reemplazarse por la desviación standard, coeficiente de asimetrı́a y coeficiente de kurtosis , respectivamente, según las relaciones, Desviación (5.18) p s2x re lim in sx = ar Estándar: Coeficiente de Asimetrı́a: Cs,x = Coeficiente de Kurtosis: κx = Ax s3x Kx s4x (5.19) (5.20) Existen procedimientos matemáticos más poderosos para estimar los estadı́grafos de una distribución, como rP los métodos de máxima verosimilitud, que pueden consultarse en un buen texto de estadı́stica, pero que para muestras de pequeño tamaño, como es el caso habitual en hidrologı́a, no presentan una ventaja sustantiva. Funciones de Densidad de Frecuencia Utilizadas Comúnmente en Hidrologı́a Bo rra do 5.2.1. Dentro de las numerosas funciones de densidad de frecuencia que proporciona la teorı́a de probabilidades, existen algunas que por la facilidad de uso o por haber demostrado su buen ajuste con datos hidrológicos, se utilizan comúnmente en hidrologı́a. Dentro de ellas, es posible destacar las siguientes. 5.2.1.1. Distribución Normal o Distribución de Gauss Se dice que una variable aleatoria es normalmente distribuida, si su función de densidad de frecuencia viene expresada por la relación, 1 x−µ 2 1 f (x) = √ e− 2 ( σ x ) 2πσx −∞<x<∞ (5.21) donde µ y σx son los parámetros de esta distribución, los que resultan ser el promedio y la desviación estándar, respectivamente. Por ser los parámetros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base a los parámetros muestrales: µ ≈ x̄; σx ≈ sx . La función de frecuencia acumulada de una magnitud “b” de la variable, está dada por: 112 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a F (b) = P (x ≤ b) = Z b √ −∞ 1 x−µ 2 1 e− 2 ( σx ) dx 2πσx (5.22) y consecuentemente, (5.23) ar P (x > b) = 1 − F (b) La función de frecuencia acumulada no es analı́ticamente integrable y se encuentra normalmente tabulada o disponible en medios electrónicos, sólo para el caso particular donde µ ≈ 0; σx ≈ 1, que corresponde a la re lim in denominada distribución normal centrada y reducida. En consecuencia, si se define la variable centrada y reducida z como, z= se puede escribir, x − x̄ sx x = x̄ + z · sx (5.24) (5.25) donde z, el valor de la variable reducida o factor de frecuencia se obtiene de tablas o medios electrónicos rP dependiendo de la probabilidad de ocurrencia asociada al valor x y de la forma de función de densidad de frecuencia f (x), en este caso la distribución normal. En la Tabla 5.2 se incluyen valores de la función de frecuencia acumulada para la distribución normal Bo rra do centrada y reducida. En dicha Tabla se dan los valores del área bajo la curva de distribución normal para valores de la variable estandarizada “z” entre los valores 0 y 3.29. Por ser la distribución normal simétrica, la probabilidad de tener un valor menor o igual que un cierto valor positivo dado de la variable estandarizada, se obtiene sumando al valor dado por la tabla la cantidad 0.5 que corresponde al área total bajo la curva de densidad en el rango de los valores negativos de z. Como ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de obtener un valor de la variable centrada y reducida menor que 1.67, se entra a la Tabla 5.2: Para z = 1.67 se obtiene A = 0.4525 ⇓ P (z ≤ 1.67) = 0.5 + A = 0.9525 P (z > 1.67) = 1 − 0.9525 = 0.0475 Complementariamente, para obtener la probabilidad asociada a un valor negativo de la variable reducida, debemos restar a la cantidad 0.5 el valor de la Tabla 5.2 correspondiente al módulo o valor positivo de la variable z. 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 113 Para z = −1.67 se obtiene A = 0.4525 ⇓ P (z ≤ −1.67) = A − 0.5 = 0.0475 P (z > −1.67) = 1 − 0.0475 = 0.9525 ar Muchas calculadoras cientı́ficas y programas en la actualidad permiten obtener en forma directa las áreas bajo la distribución normal, por ejemplo, la función Distr.norm.estand de Microsoft Excel. re lim in Tabla 5.2: Distribución normal centrada y reducida. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0308 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2214 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389 0.3621 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.372 0.3749 0.377 0.379 0.381 0.383 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.409 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4326 0.4351 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.437 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.1554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4761 0.4767 Bo rra do rP 1 1.1 2 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.483 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.489 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.49 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.498 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.499 0.499 3.1 0.499 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 114 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Ejemplo 5.2.1: Se tiene una estadı́stica de 30 años de longitud de los caudales máximos anuales en el rı́o Maule en la Estación Armerillo y se desea saber cuál es la probabilidad de que ocurra en dicho lugar un caudal mayor que 3100 [m3 /s]. Se supondrá para el análisis que los datos siguen una distribución normal. Q [m3 /s] Año Q [m3 /s] Año Q [m3 /s] Año Q [m3 /s] 1 2650 7 3000 13 950 19 1950 2 750 8 1750 14 610 20 2100 3 2400 9 1300 15 850 21 4 1700 10 1100 16 1500 22 5 1650 11 850 17 1250 6 1600 12 1500 18 1300 De la muestra (N = 30) se obtiene: i=1 N s xi = 1500 [m3 /s]; sx = PN Q [m3 /s] 25 1400 26 1750 800 27 700 1250 28 3200 23 850 29 390 24 1100 30 2800 (xi − x̄)2 = 732.1 [m3 /s] N −1 i=1 rP x̄ = PN Año re lim in Año ar Tabla 5.3: Rı́o Maule en Armerillo, caudales máximos instantáneos anuales. Considerando b = 3100 [m3 /s], se tiene que Bo rra do z= b − x̄ = 2.185 sx Ası́, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene: P (x ≤ 3100) = 0.9856 P (x > 3100) = 1 − 0.9856 = 0.0144 T = 5.2.1.2. 1 1 = ≈ 69.4 años P (x > 3100 0.0144 Distribución Logarı́tmico Normal o Log-normal La distribución normal antes vista, siendo la distribución estadı́stica más utilizada en muchas disciplinas, está definida en el dominio de los números reales, es decir, acepta la existencia de valores negativos. En este sentido, su aplicabilidad a datos hidrológicos se ve bastante reducida, ya que muchas de las variables involucradas tales como precipitaciones, caudales, humedades, etc. sólo tienen sentido con números positivos o 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 115 cuando menos nulos, por lo que suelen presentar funciones de densidad de frecuencia asimétricas que teóricamente no pueden ser representadas por una distribución normal. Aún cuando podrı́an utilizarse distribuciones normales truncadas, que no acepten valores negativos, en hidrologı́a ha resultado conveniente el empleo de transformaciones de la variable original que cumplan el objetivo de eliminar valores negativos. Entre ellas, la más utilizada corresponde a la denominada distribución logarı́tmico normal. Si x es una variable aleatorio e y = ln(x) es una transformación logarı́tmica de ella, se dice que x es ar distribuida en forma logarı́tmico normal, si la función de densidad de frecuencia de la variable transformada y viene expresada por la relación, 1 −1 e 2 2πσy y−µ σy 2 re lim in f (y) = √ −∞<y <∞ (5.26) donde µ y σy son los parámetros de esta distribución, los que resultan ser el promedio y la desviación estándar de los logaritmos de la variable original x, respectivamente. Por ser los parámetros poblacionales, normalmente desconocidos, estos se estiman en base a los parámetros muestrales: µ ≈ ȳ; σy ≈ sy , donde, ln(yi ) = ln(x) N i=1 rP ȳ = PN PN i=1 s2y = ln(yi ) − ln(x) (5.27) 2 (5.28) N −1 Bo rra do La función de densidad de frecuencia de x se obtiene haciendo la transformación: f (x)dx = f (y)dy f (x) = f (y) x = ey dx = ey dy dy 1 −1 =√ e 2 y dx 2πσy e y−µ σy 2 (5.29) La utilización de esta distribución, exige la misma estandarización que la distribución normal. Ejemplo 5.2.2: Se utilizarán los mismos datos del ejemplo 5.2.1, excepto que se supondrá para el análisis que los datos siguen una distribución logarı́tmico normal. A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene: ȳ = i=1 ln(yi ) = 7.196; N PN PN s2y = i=1 2 ln(yi ) − ln(x) N −1 = 0.505; 116 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Considerando ln(b) = ln(3100) = 8.039, se tiene que z= ln(b) − ȳ = 1.670 sy P (x ≤ 3100) = 0.9525 T = 5.2.1.3. re lim in P (x > 3100) = 1 − 0.9525 = 0.0475 ar Ası́, ingresando en la Tabla 5.2, se obtiene: 1 1 = ≈ 21.1 años P (x > 3100 0.0475 Distribuciones de Valores Extremos Las series de datos utilizadas para el análisis de frecuencia en hidrologı́a, corresponden como se mencionó anteriormente, no a series de duración completa sino a series de valores extremos o de excedencias anuales, es rP decir, cada dato en sı́ corresponde a un valor extremo, normalmente máximo, dentro de un conjunto de datos mayor. En estos términos, es conceptualmente lı́cito aplicar a las series hidrológicas, teorı́as provenientes de la rama de la estadı́stica correspondiente a la teorı́a de valores extremos, que proporciona distribuciones de frecuencia lı́mites aplicables a este tipo de variables, entre las que se destacan la Distribución de valo- Bo rra do res Extremos Tipo I o Distribución Gumbel y la Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución Weibull. 5.2.1.3.1. Distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución Gumbel La teorı́a de valores extremos establece que si se tienen M muestras de N valores cada una correspondientes a una variable aleatoria x cuya función de densidad de frecuencia es ilimitada hacia los valores altos, o sea, de tipo exponencial abierta hacia la derecha, entonces cuando el número de muestras M aumenta y el número de valores N de cada muestra aumenta, tendiendo ambos a infinito, la función de densidad de frecuencia de la serie conformada por los valores máximos de cada una de las series tiende, cuando M y N tienden a infinito, a la distribución de Valores Extremos Tipo I o Distribución de Gumbel. La curva de frecuencia acumulada F (x) de esta distribución queda representada por la ecuación: F (x) = e−e −y (5.30) donde y se denomina la variable reducida y viene dada por y = a(x − xf ) (5.31) 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 117 donde a su vez, “a” es un parámetro de dispersión definido por: π 1 1.28255 a= √ ≈ sx 6 σx (5.32) y xf es la moda de la distribución γ a (5.33) ar xf = µ − γ= Z 0 ∞ 1 x re lim in donde γ es el número de Euler dado por 1 −x −e dx = 0.57721 1+x (5.34) Reemplazando en función de los parámetros muestrales, resulta x = x̄ + 0.450sx (5.35) En consecuencia, la probabilidad de que la variable x exceda un valor dado b, viene dada en forma directa rP por P (x > b) = 1 − F (b) = 1 − e−e donde yb = a(b − xf ). −yb (5.36) Bo rra do La distribución de valores extremos Tipo I, depende de sólo dos parámetros, por lo que su coeficiente de asimetrı́a debe ser constante. Se puede demostrar que en este caso el coeficiente de asimetrı́a vale, Cs = 1.139 = Cte. En la práctica se trabaja con un número finito de muestras que contienen a su vez un número finito de valores, por lo cual esta función lı́mite no es estrictamente aplicable. Sin embargo, al trabajar con series de valores extremos anuales se puede interpretar que cada año es una muestra del cual el valor disponible es el valor máximo de un gran número N de eventos que pudieron haber ocurrido ese año, aceptándose en consecuencia que el tamaño de la muestra es suficientemente grande, estadı́sticamente cercano a infinito. No ocurre lo mismo con el número de muestras M que corresponderı́a en este caso al número de años de estadı́stica disponible, el cual puede ser una cifra bastante reducida, no asimilable al valor infinito. Al respecto Gumbel realizó un estudio de esta distribución y determinó que cuando se trabaja con un √ número M finito de muestras, las constantes lı́mites γ y π/ 6 deben reemplazarse por ȳm y σm ,la media y la desviación estándar de la variable reducida, respectivamente. En términos prácticos, para una muestra de tamaño M , se le puede asignar a cada valor su probabilidad muestral, dada por la expresión 118 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a P = m M +1 (5.37) donde m es el número de orden de la variable ordenada de menor a mayor. Para cada valor de probabilidad se obtiene el correspondiente valor de la variable reducida “y” mediante la curva de frecuencia acumulada de la distribución, valores a los cuales se les determina su promedio y desviación estándar. ar En Tabla 5.4 se presentan valores de las medias y desviaciones estándar de la variable reducida para diferentes números de muestra o años de estadı́stica disponibles M . ȳm σm M ȳm σm M ȳm σm 10 0.49521 0.94963 50 0.54854 1.16066 150 0.56462 1.22534 15 0.51284 20 0.52355 1.02057 55 0.55044 1.16817 200 0.56715 1.23598 1.06282 60 0.55208 1.17467 250 0.56878 1.24292 25 0.53086 1.09145 70 0.55477 1.18535 300 0.56993 1.24787 30 0.53622 1.11237 80 0.55689 1.19382 400 0.57144 1.2545 35 0.54034 1.12847 90 0.5586 1.20073 500 0.5724 1.2588 40 0.54362 1.14131 100 0.56002 1.20649 1000 0.5749 1.2691 45 0.5463 1.15184 120 0.56225 1.21558 ∞ 0.57721 1.28255 rP M re lim in Tabla 5.4: Medias y desviaciones estándar de la variable reducida. Bo rra do De la definición de la variable reducida (ecuación (5.31)), se puede despejar xf , xf = x − y a (5.38) xf = µ − γ a (5.39) pero por definición de xf , Igualando ambas expresiones y reemplazando las constantes por las propuestas por Gumbel, se obtiene una expresión para el factor de frecuencia a través de la igualdad, k= x − x̄ y − ȳm = sx σm (5.40) Esta expresión, llamada Ley de Gumbel, nos da una relación directa entre la magnitud de la variable x y la variable reducida “y” en función única de parámetros dependientes sólo del tamaño de la muestra. Una vez determinada la variable reducida “y” se puede obtener la probabilidad directamente de la función de frecuencia acumulada. El perı́odo de retorno T , definido por la ecuación 5.6, se puede reemplazar en este caso como 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 119 −y 1 = 1 − e−e T (b) (5.41) de donde se obtiene otra relación directa, ahora entre la variable reducida y el perı́odo de retorno T y = − ln ln T −1 re lim in y = ln(T ) ar expresión que para T > 50 años se puede aproximar por la relación, (5.42) Ejemplo 5.2.3: (5.43) Se continuará con el mismo problema de los ejemplos anteriores, suponiendo ahora que los datos siguen una distribución de valores extremos Tipo I, Gumbel. A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene: i=1 xi = 1500 [m3 /s]; N De la Tabla 5.4, para M = 30, sx = PN (xi − x̄)2 = 732.1 [m3 /s] N −1 i=1 rP x̄ = s PN ȳm = 0.53622; σm = 1.11237; Bo rra do Luego, considerando b = 3100 [m3 /s], se tiene, b − x̄ y − ȳm = sx σm 2.185 = =⇒ y − 0.53622 1.11237 y = 2.9667 En consecuencia, P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e −y = 1 − 0.9498 = 0.0502 y por lo tanto, T = 1 1 = = 19.9 años P (x > 3100) 0.0502 120 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a 5.2.1.3.2. Distribución de Valores Extremos Tipo III o Distribución Weibull La distribución de valores extremos tipo III resulta de la teorı́a de valores extremos si se postula que la variable en análisis está acotada superiormente a un valor lı́mite. Su curva de frecuencia acumulada queda representada por la expresión, F (x) = e−( γ−θ ) k (5.44) ar γ−x para −∞ < x < γ y θ < γ. re lim in Esta distribución tiene tres parámetros: γ, el limite superior y los parámetros de forma θ y k. Para la estimación de estos parámetros puede recurrirse al siguiente cambio de variable: y = −k [ln(γ − x) − ln(γ − θ)] luego, y = − ln γ−x γ−θ k o e −y = γ−x γ−θ k rP de donde su curva de frecuencia acumulada se reduce a F (x) = e−e −y (5.45) Bo rra do Esta ecuación que corresponde a la estructura de la distribución de valores extremos Tipo I. Esto nos dice que la distribución de Valores Extremos Tipo III es una transformación logarı́tmica de la distribución de valores extremos Tipo I. Recordando que y = a(x − xf ) = k [− ln(γ − x) + ln(γ − θ)] (5.46) resulta que la variable z = − ln(γ − x) tiene una distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel, con parámetros, a= xf = σm =k sz (5.47) (5.48) sz z̄ − ym σm = − ln(γ − θ) 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 121 donde, z̄ = − N 1 X ln(γ − xi ) N i=1 y con coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139 = Cte. (− ln(γ − xi ) − z̄) (N − 1)(N − 2)s3z PN 3 i=1 re lim in Cs,z = N ar En consecuencia, el valor de debe satisfacer la ecuación, la cual deberá resolverse por tanteo o mediante procedimientos analı́tico-gráficos descritos por Yevyevich. Resuelto γ, la constante θ se obtiene de la ecuación (5.48). Ahora, si X tiene una distribución de valores extremos Tipo III, acotada superiormente por el parámetro γ, entonces, la variable –X es una variable con distribución de valores extremos tipo III, acotada inferiormente a un valor lı́mite −γ, denominada distribución Weibull, la cual suele aplicarse a series de valores extremos mı́nimos. rP Su curva de frecuencia acumulada queda representada por la expresión, F (x) = e−( θ−γ ) x−γ para γ < x < ∞ y θ > γ. k (5.49) Bo rra do En forma análoga, resulta ahora que la variable z = − ln(x − γ) tiene una distribución de valores extremos Tipo I o Gumbel, cuyos parámetros se evalúan en igual forma que el caso anterior. Ejemplo 5.2.4: Se continuará con el mismo problema, suponiendo ahora inicialmente que los datos siguen una distribución de valores extremos Tipo III, acotada superiormente. Ası́, evaluando z = − ln(γ − x) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 e iterando el valor de γ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139, se obtiene γ = 6079.25 z̄ = 1 X zi = −8.4154; N ⇓ rP (zi − z̄)2 sz = = 0.175; N −1 b = − ln(6079.25 − 3100) = −7.999 122 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a De la Tabla 5.4, para M = 30, ȳm = 0.53622; σm = 1.11237; Luego, ar b − z̄ y − ȳm = sz σm y − 0.53622 1.11237 re lim in 2.3775 = =⇒ En consecuencia, y = 3.181 P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − e−e −y rP y por lo tanto, = 1 − 0.9593 = 0.041 T = 1 1 = = 24.4 años P (x > 3100) 0.041 Bo rra do De acuerdo a este modelo, los caudales estarı́an limitados a un valor máximo superior de 6079.25 [m3 /s]. Ahora, si se supone que los datos siguen una distribución de valores extremos Tipo III, acotada inferiormente o distribución de Weibull, evaluando z = − ln(x − γ) para los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 e iterando el valor de γ hasta que satisfaga un coeficiente de asimetrı́a Cs,z = 1.139, se obtiene z̄ = 1 X zi = −6.8616; N sz = rP γ = 308.58 ⇓ (zi − z̄)2 = 0.7555; N −1 b = − ln(3100 − 308.58) = −7.9343 De la Tabla 5.4, para M = 30, ȳm = 0.53622; σm = 1.11237; Luego, b − z̄ y − ȳm = sz σm 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 123 −1.4197 = =⇒ y − 0.53622 1.11237 y = −1.043 ar En consecuencia, −y P (x > 3100) = 1 − F (b) = 1 − 1 − e−e = 0.05854 T = re lim in y por lo tanto, 1 1 = = 17.1 años P (x > 3100) 0.05854 De acuerdo a este modelo, los caudales estarı́an limitados a un valor mı́nimo inferior de 308.58 [m3 /s]. 5.2.1.4. Distribución Gamma de Dos Parámetros de densidad de frecuencia es rP Una variable aleatoria “x” tiene una distribución Gamma de dos parámetros o Gamma 2, cuando su función F (x) = 1 xα−1 e−x/β β α Γ(α) x>0 (5.50) Bo rra do donde α y β son los dos parámetros de la distribución y Γ(α) es la función Gamma completa definida por la integral, Γ(α) = Z ∞ y α−1 e−y dy (5.51) 0 Integrando la función Gamma por partes, puede demostrarse que Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1) (5.52) de donde resulta que si es un número entero positivo Γ(α) = (α − 1)! (5.53) Para valores no enteros de α, la función Γ(α) no es analı́ticamente integrable y se haya tabulada en tablas matemáticas y estadı́sticas o puede obtenerse mediante aproximaciones analı́ticas polinomiales. La función de frecuencia acumulada está dada por 124 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a F (b) = P (x ≤ b) = 1 b Z 0 β α Γ(α) (5.54) xα−1 e−x/β dx Haciendo el cambio de variable y = x/β se tiene, F (b) = P (x ≤ b) = Z b/β re lim in 0 1 β α−1 y α−1 e−y βdy β α Γ(α) ar dx = βdy F (b) = P (x ≤ b) = 1 Γ(α) Z b/β y α−1 e−y dy (5.55) 0 La integral resultante tiene la estructura de la función Gamma, pero integrada sólo hasta el valor finito b/β, por lo que se le denomina función Gamma incompleta, en este caso de dos parámetros Γ (b/β, α). Esta función también se haya tabulada. En definitiva, Γ (b/β, α) Γ(α) rP F (b) = P (x ≤ b) = (5.56) Los parámetros α y β satisfacen las siguientes relaciones: Bo rra do x̄ = αβ; s2x = β 2 α; (5.57) de donde β= s2x ; x̄ α= x̄ sx 2 = 1 ; c2v (5.58) donde cv = sx /x̄ es el coeficiente de variación. Siendo la distribución Gamma 2 dependiente de sólo dos parámetros, su coeficiente de asimetrı́a no es independiente, quedando definido por la relación 2 Cs = √ = 2cv α (5.59) Para fines prácticos, se adjunta la Tabla 5.5 simplificada, que permite relacionar la variable centrada y reducida o factor de frecuencia con su probabilidad de excedencia en función del coeficiente de asimetrı́a, que en este caso siempre es positivo, ya que el dominio de la variable es sólo para valores positivos con lı́mite inferior nulo. 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 125 Tabla 5.5: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a positiva. Perı́odo de retorno [años] Cs 1.01 1.053 1.25 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 2000 10000 Probabilidad de excedencia 0.99 0.95 0.8 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0001 -2.326 -1.645 -0.842 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326 2.576 2.878 3.090 3.291 3.719 -2.253 -1.616 -0.846 -0.017 0.836 1.292 1.785 2.107 2.400 2.670 3.000 3.233 3.455 3.935 0.2 -2.178 -1.586 -0.850 -0.033 0.830 1.301 1.818 2.159 2.472 2.763 3.122 3.377 3.621 4.153 0.3 -2.104 -1.555 -0.853 -0.050 0.824 1.309 1.849 2.211 2.544 2.856 3.244 3.521 3.788 4.374 0.4 -2.029 -1.524 -0.855 -0.067 0.816 1.317 1.880 2.261 2.615 2.949 3.366 3.666 3.956 4.597 0.5 -1.955 -1.491 -0.857 -0.083 0.808 1.323 1.910 2.311 2.686 3.041 3.487 3.811 4.124 4.821 0.6 -1.880 -1.458 -0.857 -0.099 0.800 1.329 1.939 2.359 2.755 3.132 3.609 3.956 4.293 5.047 0.7 -1.806 -1.423 -0.857 -0.116 0.790 1.333 1.967 2.407 2.824 3.223 3.730 4.100 4.462 5.274 0.8 -1.733 -1.389 -0.856 -0.132 0.780 1.336 1.993 2.453 2.891 3.312 3.850 4.244 4.631 5.501 0.9 -1.660 -1.353 -0.854 -0.148 0.769 1.339 2.018 2.498 2.957 3.401 3.969 4.388 4.799 5.729 1 -1.588 -1.317 -0.852 -0.164 0.758 1.340 2.043 2.542 3.023 3.489 4.088 4.531 4.967 5.957 1.1 -1.518 -1.280 -0.848 -0.180 0.745 1.341 2.066 2.585 3.087 3.575 4.206 4.673 5.134 6.185 1.2 -1.449 -1.243 -0.844 -0.195 0.733 1.340 2.088 2.626 3.149 3.661 4.323 4.815 5.301 6.412 1.3 -1.383 -1.206 -0.838 -0.210 0.719 1.339 2.108 2.667 3.211 3.745 4.438 4.955 5.467 6.640 1.4 -1.318 -1.168 -0.832 -0.225 0.705 1.337 2.128 2.706 3.271 3.828 4.553 5.095 5.633 6.867 1.5 -1.256 -1.131 -0.825 -0.240 0.691 1.333 2.146 2.743 3.330 3.910 4.667 5.234 5.797 7.093 1.6 -1.197 -1.094 -0.817 -0.254 0.675 1.329 2.163 2.780 3.388 3.990 4.779 5.371 5.960 7.318 1.7 -1.140 -1.056 -0.808 -0.268 0.660 1.324 2.179 2.815 3.444 4.069 4.890 5.507 6.122 7.543 1.8 -1.087 -1.020 -0.799 -0.282 0.643 1.318 2.193 2.848 3.499 4.147 4.999 5.642 6.283 7.766 1.9 -1.037 -0.984 -0.788 -0.294 0.627 1.311 2.207 2.881 3.553 4.223 5.108 5.775 6.443 7.989 2 -0.990 -0.949 -0.777 -0.307 0.609 1.303 2.219 2.912 3.605 4.298 5.215 5.908 6.601 8.210 2.1 -0.946 -0.915 -0.765 -0.319 0.592 1.294 2.230 2.942 3.656 4.372 5.320 6.039 6.758 8.431 2.2 -0.905 -0.882 -0.752 -0.330 0.574 1.284 2.240 2.970 3.705 4.444 5.424 6.168 6.914 8.650 2.3 -0.867 -0.850 -0.739 -0.341 0.555 1.274 2.248 2.997 3.753 4.515 5.527 6.296 7.068 8.868 Bo rra do rP re lim in ar 0 0.1 2.4 -0.832 -0.819 -0.725 -0.351 0.537 1.262 2.256 3.023 3.800 4.584 5.628 6.423 7.221 9.084 2.5 -0.799 -0.790 -0.711 -0.360 0.518 1.250 2.262 3.048 3.845 4.652 5.728 6.548 7.373 9.299 2.6 -0.769 -0.762 -0.696 -0.369 0.499 1.238 2.267 3.071 3.889 4.718 5.826 6.672 7.523 9.513 2.7 -0.740 -0.736 -0.681 -0.376 0.479 1.224 2.272 3.093 3.932 4.783 5.923 6.794 7.671 9.725 2.8 -0.714 -0.711 -0.666 -0.384 0.460 1.210 2.275 3.114 3.973 4.847 6.019 6.915 7.818 9.936 2.9 -0.690 -0.688 -0.651 -0.390 0.440 1.195 2.277 3.134 4.013 4.909 6.113 7.034 7.964 10.146 3 -0.667 -0.665 -0.636 -0.396 0.420 1.180 2.278 3.152 4.051 4.966 6.205 7.152 8.108 10.354 3.2 -0.625 -0.624 -0.606 -0.405 0.381 1.148 2.277 3.185 4.125 5.087 6.386 7.384 8.392 10.766 3.4 -0.588 -0.588 -0.577 -0.411 0.341 1.113 2.273 3.214 4.193 5.199 6.561 7.606 8.671 11.172 3.6 -0.556 -0.555 -0.549 -0.414 0.302 1.077 2.264 3.238 4.256 5.306 6.730 7.830 8.943 11.573 3.8 -0.529 -0.526 -0.522 -0.414 0.264 1.040 2.253 3.258 4.314 5.407 6.894 8.044 9.210 11.968 4 -0.500 -0.4.9999 -0.498 -0.413 0.226 1.001 2.238 3.274 4.368 5.504 7.053 8.253 9.472 12.357 4.5 -0.444 -0.444 -0.444 -0.400 0.137 0.900 2.189 3.298 4.483 5.724 7.427 8.752 10.101 13.305 5 -0.400 -0.400 -0.400 -0.379 0.058 0.795 2.124 3.300 4.573 5.916 7.771 9.220 10.698 14.220 Ejemplo 5.2.5: Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, se supone ahora que los datos siguen una distribución Gamma de 2 parámetros. 126 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene: x̄ = s PN i=1 xi = 1500 [m3 /s]; N sx = PN (xi − x̄)2 = 732.1 [m3 /s]; N −1 i=1 cv = sx = 0.488; x̄ s2 β = x = 357.3; x̄ α= x̄ sx 2 = 1 = 4.198; c2v re lim in Considerando que b = 3100 [m3 /s] y entrando en la Tabla 5.5 con ar De esta forma, a partir de los parámetros estadı́sticos se calculan los parámetros de la distribución gamma 2 Cs = √ = 2cv = 0.9761 α interpolando se obtiene y k= b − x̄ = 2.185 sx P (x > b) = 0.0334 ⇓ 5.2.1.5. 1 1 = = 30.3 años P (x > b) 0.0334 rP T = Curvas de Pearson Karl Pearson encontró una ecuación diferencial que cumple la propiedad de ajustarse a las distribuciones más Bo rra do importantes de la estadı́stica. Esta ecuación diferencial es ln d−x 1 d (f (x)) = f (x) dx a + bx + cx2 (5.60) d (f (x)) d−x = dx f (x) a + bx + cx2 (5.61) f (x) f (x0 ) (5.62) = Z x x−0 d−x dx a + bx + cx2 Por lo tanto, la llamada función de densidad de la curva de Pearson es f (x) = f (x0 )e Rx d−x x−0 a+bx+cx2 dx (5.63) A partir de esta distribución general se puede llegar a diversas distribuciones conocidas, dependiendo del valor que se le dé a los parámetros a, b, c y d. 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 127 La constante f (x0 ) se obtiene al imponer la condición de que el área bajo la curva dentro de todo el rango de variación de x sea unitaria, Z x2 f (x)dx ≡ 1 (5.64) x1 ≤ x ≤ x2 x1 Los parámetros a, b, c y d pueden calcularse a partir de los cuatro primeros momentos de la distribución, Distribución de Pearson Tipo III re lim in 5.2.1.6. ar es decir, en función del promedio, desviación estándar, coeficiente de asimetrı́a y coeficiente de kurtosis. Para aplicaciones en hidrologı́a, la curva de Pearson de mayor interés corresponde a la llamada Distribución de Pearson Tipo III, que cumple con la condición de que el parámetro c = 0. Puede demostrarse por integración directa, que en este caso la función de densidad de frecuencia se reduce a: f (x) = x−x0 1 (x − x0 )α−1 e− b bα Γ(α) (5.65) Esta función se conoce también como distribución Gamma de 3 parámetros, ya que es una generalización de rP la distribución Gamma de 2 parámetros, en que el lı́mite inferior no es nulo, sino: x0 = −a b Bo rra do Las condiciones que deben cumplir las constantes de Pearson en este caso son, c=0 b>0 c=0 a = −bx0 d = x0 − b En el caso particular x0 = 0, se cumple a = c = 0, b > 0, d > −b, con lo que la distribución queda en función de 2 parámetros, f (x) = 1 xα−1 e−x/b bα Γ(α) (5.66) expresión que corresponde a la distribución Gamma de 2 parámetros, anteriormente vista. Se cumple entonces que si la variable x > x0 tiene distribución Pearson Tipo III, entonces la variable y = x–x0 > 0 tiene distribución Gamma de 2 parámetros, cumpliéndose las relaciones, 128 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a (5.67) s2y = s2x = b2 α (5.68) re lim in 2 Cs,x = Cs,y = √ α ar ȳ = x̄ − x0 (5.69) de donde los parámetros de la Distribución Pearson Tipo III se pueden estimar mediante las relaciones, 4 2 Cs,x (5.70) sx |Cs,x | 2 (5.71) α= sx |Cs,x | rP b= x0 = x̄ − 2 (5.72) En el caso en que Cs,x sea nulo, la distribución es simétrica y tiende a la distribución normal. Bo rra do Para el cálculo de la distribución Pearson Tipo III, hay que recurrir también a Tablas o integraciones aproximadas. Como la distribución en este caso tiene 3 parámetros, el coeficiente de asimetrı́a debe ser estimado en forma independiente a partir de los datos muestrales, con los estimadores del segundo (ec. (5.15)) y tercer momento (ec. (5.16)) de la distribución, Cs,x = Ax s3x (5.73) La misma Tabla 5.5 aplicable a la Distribución Gamma 2, sumada a la Tabla 5.6, que incluye los valores de la variable reducida para coeficientes de asimetrı́a negativos, son aplicables a la Distribución Gamma 3, las cuales permiten estimar la probabilidad de excedencia de la variable reducida o factor de frecuencia k= en función del coeficiente de asimetrı́a. x − x̄ sx 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 129 Tabla 5.6: Factores de frecuencia para distribuciones Pearson Tipo III con asimetrı́a negativa. Perı́odo de retorno (años) Cs 1.01 1.053 1.25 2 5 10 25 50 100 200 500 1000 2000 10000 Probabilidad de excedencia 0.99 0.95 0.8 0.5 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 0.0005 0.0001 -2.326 -1.645 -0.842 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326 2.576 2.878 3.090 3.291 3.719 -2.400 -1.673 -0.836 0.017 0.846 1.270 1.716 2.000 2.253 2.482 2.757 2.948 3.128 3.507 -0.2 -2.472 -1.700 -0.830 0.033 0.850 1.258 1.680 1.945 2.178 2.388 2.637 2.808 2.967 3.299 -0.3 -2.544 -1.726 -0.824 0.050 0.853 1.245 1.643 1.890 2.104 2.294 2.517 2.669 2.809 3.096 -0.4 -2.615 -1.750 -0.816 0.067 0.855 1.231 1.606 1.834 2.029 2.201 2.399 2.533 2.654 2.899 -0.5 -2.686 -1.774 -0.808 0.083 0.857 1.216 1.567 1.777 1.955 2.108 2.283 2.399 2.503 2.708 -0.6 -2.755 -1.797 -0.800 0.099 0.857 1.200 1.528 1.720 1.880 2.016 2.169 2.268 2.355 2.525 -0.7 -2.824 -1.819 -0.790 0.116 0.857 1.184 1.489 1.663 1.806 1.926 2.057 2.141 2.213 2.350 -0.8 -2.891 -1.839 -0.780 0.132 0.856 1.166 1.448 1.606 1.733 1.837 1.948 2.017 2.077 2.184 -0.9 -2.957 -1.859 -0.769 0.148 0.854 1.147 1.407 1.549 1.660 1.749 1.842 1.899 1.946 2.029 re lim in ar 0 -0.1 -3.023 -1.877 -0.758 0.164 0.852 1.128 1.366 1.492 1.588 1.664 1.741 1.786 1.822 1.884 -3.087 -1.894 -0.745 0.180 0.848 1.107 1.324 1.444 1.518 1.581 1.643 1.678 1.706 1.751 -1.2 -3.149 -1.910 -0.733 0.195 0.844 1.086 1.282 1.379 1.449 1.501 1.550 1.577 1.597 1.628 -1.3 -3.211 -1.925 -0.719 0.210 0.838 1.064 1.240 1.324 1.383 1.424 1.462 1.482 1.497 1.518 -1.4 -3.271 -1.938 -0.705 0.225 0.832 1.041 1.198 1.270 1.318 1.351 1.380 1.394 1.404 1.418 -1.5 -3.330 -1.951 -0.691 0.240 0.825 1.018 1.157 1.217 1.256 1.282 1.303 1.313 1.319 1.328 -1.6 -3.388 -1.962 -0.675 0.254 0.817 0.994 1.116 1.166 1.197 1.216 1.231 1.238 1.242 1.247 -1.7 -3.444 -1.972 -0.660 0.268 0.808 0.970 1.075 1.116 1.140 1.155 1.165 1.170 1.172 1.175 -1.8 -3.499 -1.981 -0.643 0.282 0.799 0.945 1.035 1.069 1.087 1.097 1.105 1.107 1.109 1.111 -1.9 -3.553 -1.989 -0.627 0.294 0.788 0.920 0.997 1.023 1.037 1.044 1.049 1.051 1.052 1.052 rP -1 -1.1 -3.605 -1.996 -0.609 0.307 0.777 0.895 0.959 0.980 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000 1.000 -3.656 -2.001 -0.592 0.319 0.765 0.869 0.923 0.939 0.946 0.949 0.951 0.952 0.952 0.952 -2.2 -3.705 -2.006 -0.574 0.330 0.752 0.844 0.888 0.900 0.905 0.907 0.909 0.909 0.909 0.909 -2.3 -3.753 -2.009 -0.555 0.341 0.739 0.819 0.855 0.864 0.867 0.869 0.669 0.869 0.870 0.870 -2.4 -3.800 -2.011 -0.537 0.351 0.725 0.795 0.823 0.830 0.832 0.833 0.833 0.833 0.833 0.833 -2.5 -3.845 -2.012 -0.518 0.360 0.711 0.771 0.793 0.798 0.799 0.800 0.800 0.800 0.800 0.800 -2.6 -3.889 -2.013 -0.499 0.369 0.696 0.747 0.765 0.768 0.769 0.769 0.769 0.769 0.769 0.769 -2.7 -3.932 -2.012 -0.479 0.376 0.681 0.724 0.738 0.740 0.740 0.741 0.741 0.741 0.741 0.741 -2.8 -3.973 -2.010 -0.460 0.384 0.666 0.702 0.712 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714 0.714 -2.9 -4.013 -2.007 -0.440 0.390 0.651 0.681 0.688 0.689 0.690 0.690 0.690 0.690 0.690 0.690 Bo rra do -2 -2.1 -3 -4.051 -2.003 -0.420 0.396 0.636 0.660 0.666 0.666 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 0.667 -3.2 -4.125 -1.993 -0.381 0.405 0.606 0.622 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 0.625 -3.4 -4.193 -1.980 -0.341 0.410 0.577 0.587 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 0.588 -3.6 -4.256 -1.963 -0.302 0.414 0.549 0.555 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 0.556 -3.8 -4.314 -1.943 -0.264 0.414 0.522 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 0.526 -4 -4.368 -1.920 -0.226 0.413 0.498 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 -4.5 -4.483 -1.853 -0.137 0.400 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 0.444 130 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Ejemplo 5.2.6: Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen una distribución Gamma de 3 parámetros. A partir de los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) se obtiene: ar re lim in x̄ = s PN 2 x i 3 i=1 i=1 (xi − x̄) = 1500 [m /s]; sx = = 732.1 [m3 /s]; N N −1 PN N i=1 (xi − x̄)3 Ax = = 316612684.7; (N − 1)(N − 2) PN Calculando el coeficiente de asimetrı́a se obtiene Cs,x = Ax = 0.8068 s3x Considerando que b = 3100 [m3 /s] y entrando en la Tabla 5.5 con interpolando se obtiene y k= b − x̄ = 2.185 sx rP Cs,x = 0.8068 Bo rra do P (x > b) = 0.03096 T = 5.2.1.7. ⇓ 1 1 = = 32.3 años P (x > b) 0.03096 Distribución Log – Pearson Tipo III La distribución Log – Pearson Tipo III resulta de reemplazar la variable hidrológica original por sus logaritmos, en forma análoga a la relación entre las distribuciones normal y log-normal. Su función de densidad de frecuencia, en consecuencia es, f (y) = y−y0 1 (y − y0 )α−1 e− b bα Γ(α) (5.74) donde y = ln(x). En consecuencia, los parámetros estadı́sticos son ȳ = PN ln(xi ) N i=1 (5.75) 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 131 s2y Cs,y = PN i=1 (ln(xi ) − ȳ) N −1 2 (5.76) PN 3 N i=1 (ln(xi ) − ȳ) = (N − 1)(N − 2)s3y (5.77) 4 2 Cs,y (5.78) re lim in α= ar y los parámetros de la distribución resultan sy |Cs,y | 2 sy y0 = ȳ − 2 |Cs,y | b= (5.79) (5.80) Esta distribución ha sido recomendada por el Water Resources Council de los Estados Unidos, como la distribución más adecuada para la determinación de crecidas de diseño en los EE.UU., razón por la cual ha ganado gran popularidad en los últimos años. Ejemplo 5.2.7: Continuando con el mismo problema de los ejemplos anteriores, pero ahora se supone que los datos siguen rP una distribución Log – Pearson Tipo III. se aplica la transformación logarı́tmica y = ln(x) a los datos de la muestra entregados en la Tabla 5.3 (N = 30) Bo rra do y se obtiene: ȳ = PN ln(yi ) = 7.196; N i=1 Cs,y sy = v uP u N ln(y ) − ln(x) 2 t i=1 i N −1 = 0.505; PN 3 N i=1 (ln(xi ) − ȳ) = = −0.2578; (N − 1)(N − 2)s3y Considerando que b = 3100 [m3 /s] y que ln(b) = 8.039, y luego entrando en la Tabla 5.6 con Cs,y = −0.2578 y k= ln(b) − ȳ = 1.670 sy interpolando se obtiene P (x > 3000) = 0.0391 ⇓ T = 1 1 = = 25.6 años P (x > 3000) 0.0391 132 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a 5.2.1.8. Distribuciones de Frecuencia Generalizadas Como se ha analizado, cuando el tamaño de las muestras es pequeño, la estimación de los parámetros, en particular el coeficiente de asimetrı́a, adquiere gran incertidumbre, caracterı́stica que se traslada a la estimación de las variables asociadas a algún perı́odo de retorno. Como una manera de aminorar este problema se han propuesto una serie de técnicas que tratan de reducir la incertidumbre, incorporando información regional adicional disponible. Por ejemplo, se ha propuesto corregir los valores muestrales del coeficiente de ar asimetrı́a ponderando su valor con estimaciones regionales de este parámetro, correspondiente a promedios de valores de estaciones vecinas. re lim in También se ha propuesto trabajar con variables adimensionalizadas, dividiendo los valores por su valor promedio e incorporando como una sola muestra, valores obtenidos de distintas estaciones vecinas, con lo que se ampliarı́a el tamaño de la muestra y se reducirı́a la incertidumbre. Varas y Lara (1997) proponen un modelo regional en función de parámetros fisiográficos y meteorológicos que permitirı́a incluso la estimación probabilı́stica de variables en lugares no controlados. 5.2.2. Uso de Intervalos de Confianza en Análisis de Frecuencia rP En estricto rigor, la magnitud de un evento xT de perı́odo de retorno T , viene dada por la expresión xT = µ + k T σx (5.81) donde µ y σx son el promedio y desviación estándar de la población y kT es el factor de frecuencia , función de la distribución de frecuencia de la población y del perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia del Bo rra do evento. En la práctica, como desconocemos los valores exactos de los parámetros de la distribución, los estimamos con los parámetros muestrales, por lo que el valor estimado del evento xT , resulta xT = x̄ + kT sx (5.82) donde x̄ y sx son los estimadores del promedio y desviación estándar en base a la información que proporciona la muestra finita de tamaño N . En consecuencia, estos estimadores son a su vez variables aleatorias que dependen de la distribución de frecuencia de la población y del tamaño de la muestra de la cual provienen. Es posible entonces establecer un rango o intervalo de confianza, dentro del cual se espera en forma razonable, que quede comprendido el valor correcto de la estimación. El tamaño del intervalo de confianza depende del nivel β de confianza que se escoja. A cada nivel de confianza le corresponde a su vez un nivel de significancia α, que viene dado por las expresiones α= 1−β 2 o α=1−β (5.83) 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 133 dependiendo si la distribución de origen es abierta en sus dos extremos o sólo en uno, respectivamente. Ası́ entonces, en el caso del promedio, se puede plantear la expresión = x = x ±kx,α σx (5.84) donde los parámetros son el promedio y desviación estándar del estimador del promedio y kx,α es el coeficiente ar de frecuencia asociado al nivel de significancia. Expresiones análogas pueden plantearse para cualquier estimador estadı́stico, en este caso, la desviación re lim in estándar de la muestra. En el caso de la distribución normal, la teorı́a estadı́stica nos dice que la variable t= x̄ − µ √ sx / N (5.85) tiene una distribución “t” de Student, con ν = N − 1 grados de libertad. Análogamente, en el caso de la distribución normal, la variable (N − 1)s2x σx2 (5.86) rP χ2 = tiene una distribución χ2 con ν = N − 1 grados de libertad. La distribución χ2 es un caso particular de la distribución Gamma de 2 parámetros, con los valores α = ν/2 Bo rra do y β = 2. Despejando de estas expresiones los parámetros de la población y remplazando en la ecuación (5.82), finalmente queda. tα xT = x̄ ± √ sx + kT N s (N − 1) sx χ2α (5.87) Normalmente se trabaja con un nivel de confianza del 90 % (β = 0.9) por lo que la expresión anterior nos da el lı́mite superior utilizando el signo positivo y un nivel de significancia de α = 0.05 o α = 0.1 , y el lı́mite inferior del intervalo de confianza utilizando el signo negativo y el nivel de significancia complementario. Tanto la distribución t de Student como la χ2 se hayan tabuladas para distintos niveles de significancia y grados de libertad. La distribución normal, sin embargo, generalmente no es apropiada para el análisis de frecuencia de datos hidrológicos, sin embargo, trabajando con los logaritmos de los datos, el procedimiento descrito es aplicable a la distribución log-normal. Desgraciadamente, para distribuciones que presenten asimetrı́as distintas de cero (Cs 6= 0), el establecimiento de niveles de confianza se torna muy complejo o simplemente imposible; sin embargo, se acepta utilizar 134 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a en forma aproximada los lı́mites de la distribución normal para otras distribuciones. En la Tabla 5.7 se entregan factores de corrección fc ,propuestos por el U.S. Water Resources Council, que permiten una estimación aproximada de los lı́mites de confianza superior e inferior, utilizando las expresiones, xT = x̄ + fc (α)kT sx (5.88) ar y (5.89) re lim in xT = x̄ + fc (1 − α)kT sx donde kT es el factor de frecuencia asociado a la distribución y al perı́odo de retorno asociado. El procedimiento es preciso para valores del coeficiente de asimetrı́a en el rango |Cs | < 0.5. Para asimetrı́as mayores, se pierde precisión Ejemplo 5.2.8: Se considera el ejemplo 5.2.7 del ajuste de la distribución log-Pearson, donde al caudal de Q = 3.100 [m3 /s] se le asignaba un perı́odo de retorno de T = 25.6 años. El problema de determinación de intervalos de confianza se puede abordar en la determinación del intervalo de confianza del perı́odo de retorno estimado para el caudal Q = 3.100 [m3 /s], o en términos de plantear el problema inverso de establecer el intervalo de rP confianza de los caudales para el perı́odo de retorno estimado de T = 25.6 años. El segundo caso es de solución directa. Bo rra do De los datos y solución del problema 5.2.7, se tiene: T = 25.6 años; ȳ = 7.196; sy = 0.505; 1 = 0.0391; N = 30; T Cs,y = −0.2578; z = kT = 1.670; Pex = por lo que la estimación es precisa Para un nivel de confianza de β = 0.9, para una distribución abierta se tiene, αs = 1−β = 0.05; 2 αI = 0.95; Interpolando en la Tabla 5.7, para N = 30 entre las probabilidades 0.02 y 0.05, se obtiene, fc (αs ) = 1.343; fc (αI ) = 0.767; Reemplazando en las ecuaciones (5.88) y (5.89), resulta ys = ln(Qs ) = 7.196 + 1.343 · 1.670 · 0.505 = 8.329 ⇒ Qs = 4141 [m3 /s] yI = ln(QI ) = 7.196 + 0.767 · 1.670 · 0.505 = 7.843 ⇒ QI = 2.547 [m3 /s] 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 135 Tabla 5.7: Factores de corrección fc (α) para estimación de intervalos de confianza (β = 0.9). Perı́odo de retorno [años] 2.5 5 10 20 50 100 200 1000 Nivel Tamaño Significancia Muestra α N 0.4 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001 10 3.55 2.02 1.84 1.77 1.73 1.71 1.7 1.68 15 2.96 1.76 1.61 1.56 1.53 1.51 1.5 1.49 20 2.65 1.63 1.5 1.46 1.43 1.42 1.41 1.4 30 2.31 1.49 1.39 1.35 1.33 1.32 1.31 1.3 40 2.12 1.41 1.32 1.29 1.27 1.26 1.26 1.25 50 1.99 1.36 1.28 1.26 1.24 1.23 1.23 1.22 70 1.84 1.3 1.23 1.21 1.2 1.18 1.18 1.18 100 1.69 1.25 1.19 1.17 1.16 1.15 1.15 1.15 2.48 20 2.26 30 2 40 1.86 50 1.76 0.95 ar 1.75 1.61 1.56 1.53 1.52 1.51 1.5 1.57 1.46 1.42 1.39 1.38 1.37 1.36 1.47 1.38 1.34 1.32 1.31 1.31 1.3 1.37 1.29 1.26 1.25 1.24 1.23 1.23 1.31 1.25 1.22 1.21 1.2 1.2 1.19 1.28 1.22 1.19 1.18 1.18 1.17 1.17 1.23 1.18 1.16 1.15 1.14 1.14 1.14 1.19 1.15 1.13 1.12 1.12 1.12 1.11 70 1.65 100 1.54 10 -0.64 0.51 0.65 0.7 0.72 0.74 0.75 0.76 15 -0.26 0.62 0.72 0.76 0.78 0.79 0.79 0.8 20 -0.14 0.64 0.74 0.77 0.79 0.8 0.81 0.82 30 0.07 0.7 0.78 0.81 0.83 0.83 0.84 0.85 40 0.2 0.74 0.81 0.83 0.85 0.85 0.86 0.86 50 0.28 0.76 0.83 0.85 0.86 0.87 0.87 0.88 Bo rra do 0.9 2.9 15 re lim in 0.1 10 rP 0.05 Probabilidad de excedencia 70 0.4 0.8 0.85 0.87 0.88 0.89 0.89 0.89 100 0.5 0.83 0.87 0.89 0.9 0.9 0.91 0.91 10 -1.14 0.38 0.56 0.62 0.66 0.67 0.68 0.7 15 -0.71 0.48 0.63 0.68 0.71 0.72 0.73 0.74 20 -0.47 0.55 0.67 0.71 0.74 0.75 0.76 0.77 30 -0.19 0.62 0.72 0.76 0.78 0.79 0.8 0.81 40 -0.03 0.67 0.76 0.79 0.81 0.81 0.82 0.83 50 0.07 0.7 0.78 0.81 0.82 0.83 0.84 0.84 70 0.22 0.75 0.81 0.84 0.85 0.86 0.86 0.86 100 0.35 0.79 0.84 0.86 0.87 0.88 0.88 0.89 En definitiva, para un perı́odo de retorno de T = 25.6 años, el caudal esperado es de Q = 3100 [m3 /s], pudiendo establecerse con un nivel de confianza del 90 %, que el verdadero valor estará comprendido aproximadamente entre los lı́mites 2547 y 4141 [m3 /s]. La solución al problema inverso, de establecer los lı́mites de confianza de los perı́odos de retorno correspondientes al caudal Q = 3100 [m3 /s], resultan de establecer por tanteo, con la ayuda de las Tablas 5.6 y 136 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a 5.7, para qué perı́odos de retorno se cumple en este ejemplo, la relación y − ȳ fc (α, T ) · kT = = z = 1.670 sy Para el coeficiente de asimetrı́a Cs,y = −0.2578 y los valores de alfa 0.05 y 0.95. Selección de Modelos Probabilı́sticos ar 5.2.3. Los procedimientos descritos en los acápites anteriores permiten determinar el perı́odo de retorno de una cierta magnitud de un evento hidrológico o, inversamente, calcular la magnitud del evento asociado a un re lim in perı́odo de retorno determinado, siempre y cuando se sepa o se suponga a priori, cuál es la función de densidad de frecuencia que posee la población de la cual fue extraı́da la muestra. Como se vio en los ejemplos desarrollados, el resultado de un análisis de frecuencia efectuado a una misma serie de datos será distinto dependiendo de la función de densidad de frecuencia que se adopte como distribución más apropiada para los datos. De hecho, para los ejemplos del Rı́o Maule en Armerillo, el caudal estimado de Q = 3100 [m3 /s], resultó con los siguientes perı́odos de retorno según la distribución elegida Tabla 5.8: Resumen obtenidos en los ejemplos 5.2.1 a 5.2.7. rP DISTRIBUCION T [años] 69.4 Logarı́tmico normal 21.1 Valores extremos Tipo I, Gumbel 19.9 Valores Extremos Tipo III, acotada superiormente 24.4 Valores extremos Tipo III Weibull 17.1 Gamma de 2 parámetros 30.3 Gamma de 3 parámetros o Pearson 32.3 Log-Pearson 25.6 Bo rra do Normal En este caso, salvo la distribución normal, que no puede adaptarse a una serie de datos con asimetrı́a, el resto de las distribuciones nos dice que el perı́odo de retorno del caudal señalado, osciları́a entre los 20 a 30 años aproximadamente. Este rango de variación, de ya importante, se acentúa enormemente al evaluar eventos más extremos, de alto perı́odo de retorno, lo que obliga a adoptar algún criterio objetivo para establecer cuál de los resultados obtenidos es el más adecuado, lo que implica establecer cuál de las distribuciones teóricas es la que mejor se ajusta a la distribución empı́rica de los datos. En otras palabras, habrá que inferir a partir de la información proporcionada por la muestra, cuál es la distribución que mejor se ajusta a los datos disponibles, es decir, se deberá escoger aquella función de densidad de frecuencia que mejor coincida con la forma del histograma normalizado de la muestra. La teorı́a estadı́stica nos proporciona tests que permiten establecer, con un determinado nivel de confianza, cuál distribución o distribuciones es posible aceptar como representativa de los datos disponibles. Los tests más comúnmente utilizado corresponden al Test χ2 y al Test Kolmogorov- Smirnov. 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 5.2.3.1. 137 Test o Prueba χ2 Si se dispone de una muestra de datos de tamaño N, es posible dividir el rango de variación de la variable en K intervalos de clase y determinar para cada uno de ellos la frecuencia absoluta o número de datos de la muestra que caen dentro de cada intervalo, confeccionando ası́ el histograma absoluto de la muestra y la respectiva frecuencia absoluta (fi ) para cada uno de los intervalos. ar El número de intervalos de clases que reproduce en forma adecuada la forma de la distribución de origen, puede estimarse mediante la relación aproximada, (5.90) re lim in K = 1 + 1.45 ln(N ) recomendándose además que el valor de K sea igual o superior a K = 5 y que a su vez, la frecuencia absoluta observada de cada intervalo sea igual o superior a fi = 5. El Test se basa en adoptar la hipótesis nula respecto a que los datos provienen de un universo con una cierta función de frecuencia dada f (x), conocida. Si la hipótesis es válida, entonces si se designa con Ci el lı́mite superior de un intervalo de clase cualquiera, la probabilidad de la variable aleatoria de caer dentro de ese intervalo queda dada por la integral, rP P (Ci−1 < x < Ci ) = Pi = Z Ci f (x)dx (5.91) Ci−1 de donde el valor teórico esperado de la frecuencia absoluta de ese intervalo de clase queda dado por la expresión Bo rra do ti = N · Pi (5.92) Manteniendo la validez de la hipótesis, la diferencia entre el valor teórico y el observado ε = (fi − ti ) (5.93) sólo puede provenir de un error de muestreo, teniendo según la teorı́a de errores una distribución normal. Se demuestra en ese caso que la variable, χ2m = K X (fi − ti )2 i=1 ti (5.94) se aproxima a una distribución χ2 con ν = K − s − 1 grados de libertad, donde s es el número de parámetros de la función de densidad de frecuencia en análisis. Se recuerda que la distribución χ2 es un caso particular de la distribución gamma de 2 parámetros y se encuentra tabulada para distintas probabilidades de excedencia y distintos grados de libertad. Escogiendo un nivel de significancia α, se cumple con un nivel de confianza (1 − α) que la variable χ2m debiera tomar valores menores que el valor χ2ν,(1−α) correspondiente al valor de la variable χ2 que tiene una probabilidad de excedencia α. 138 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a En consecuencia la prueba es la siguiente: Se compara el valor obtenido de la muestra χ2m con el valor de la variable χ2ν,(1−α) , tabulado para un cierto nivel de confianza elegido, Si χ2m < χ2ν,(1−α) : No hay argumentos para rechazar la hipótesis nula de que los datos provienen de la distribución f (x) elegida. Si χ2m ≥ χ2ν,(1−α) : Se rechaza la hipótesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de con- ar fianza elegido, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la distribución en análisis. re lim in Es importante hacer notar que si bien este test permite rechazar una distribución por no ser adecuada, en ningún caso permite probar que una distribución aceptada sea realmente la correcta. Si al probar distintas distribuciones resulta que dos o más de ellas pueden ser aceptadas, normalmente se elige como más probable a aquella distribución que arroje el menor valor de la variable χ2m . Con el propósito de minimizar los errores de Tipo I, normalmente se acostumbra trabajar con un nivel de confianza del 95 % o α = 0.05. En la Tabla 5.9 se incluyen los valores de la distribución para distintos grados de libertad y niveles de significancia. Tabla 5.9: Valores de χ2ν,(1−α) . rP Nivel de significancia (α) ν 0.2 1 1.64 2 3.22 3 4.64 4 5.99 5 7.29 9.24 11.07 13.39 15.09 16.75 18.91 20.52 6 8.56 10.64 12.59 15.03 16.81 18.55 20.79 22.46 7 9.80 12.02 14.07 16.62 18.48 20.28 22.60 24.32 8 11.03 13.36 15.51 18.17 20.09 21.95 24.35 26.12 9 12.24 14.68 16.92 19.68 21.67 23.59 26.06 27.88 10 13.44 15.99 18.31 21.16 23.21 25.19 27.72 29.59 11 14.63 17.28 19.68 22.62 24.72 26.76 29.35 31.26 12 15.81 18.55 21.03 24.05 26.22 28.30 30.96 32.91 13 16.98 19.81 22.36 25.47 27.69 29.82 32.54 34.53 14 18.15 21.06 23.68 26.87 29.14 31.32 34.09 36.12 15 19.31 22.31 25.00 28.26 30.58 32.80 35.63 37.70 16 20.47 23.54 26.30 29.63 32.00 34.27 37.15 39.25 17 21.61 24.77 27.59 31.00 33.41 35.72 38.65 40.79 18 22.76 25.99 28.87 32.35 34.81 37.16 40.14 42.31 19 23.90 27.20 30.14 33.69 36.19 38.58 41.61 43.82 20 25.04 28.41 31.41 35.02 37.57 40.00 43.07 45.31 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 2.71 3.84 5.41 6.63 7.88 9.55 10.83 4.61 5.99 7.82 9.21 10.60 12.43 13.82 6.25 7.81 9.84 11.34 12.84 14.80 16.27 7.78 9.49 11.67 13.28 14.86 16.92 18.47 Bo rra do 0.1 5.2. Análisis de Frecuencia Analı́tico 5.2.3.2. 139 Test o Prueba de Kolmogorov – Smirnov Un procedimiento alternativo a la Prueba χ2 para evaluar la bondad de ajuste de la distribución de una determinada muestra respecto de alguna distribución teórica, corresponde al Test de Kolmogorov-Smirnov, que presenta para muestras pequeñas la caracterı́stica de ser más potente. A diferencia del Test χ2 , que compara las diferencias entre el histograma de la muestra y la función ar de densidad de frecuencia, este test compara la función de frecuencia acumulada de la distribución teórica ensayada F (x) con la curva de frecuencia acumulada empı́rica que se obtiene de los datos. re lim in Si la función teórica de frecuencia acumulada es F (x0 ) = P (x ≤ x0 ) entonces la función empı́rica vale, Fe (x0 ) = P (x ≤ x0 ) ∼ = N0 N (5.95) (5.96) Donde N0 es el número de valores de la muestra de magnitud menor o igual a x0 y N es el tamaño total de la muestra. rP En teorı́a si el tamaño de la muestra tiende a infinito y la hipótesis nula respecto a que la función de frecuencia acumulada ensayada es la correcta, los valores de F (x) y Fe (x) debieran coincidir. Para muestras finitas, manteniendo la validez de la hipótesis nula, las diferencias entre F (x) y Fe (x) corresponde a errores de muestreo y análogamente a la prueba anterior, se demuestra que si la hipótesis nula adoptada es válida, Bo rra do entonces la variable D definida por el valor absoluto de la mayor diferencia entre F (x) y Fe (x), D = max|Fe (xi ) − F (xi )| i = 1, · · · , N (5.97) Tiene una distribución de Kolmogorov Dν,α de ν = N − s − 1 grados de libertad, que está tabulada para distintos niveles de significancia α. En definitiva, comparando el valor muestral D con la variable de referencia Dν,α , se tiene Si D < Dν,α : No hay argumentos para rechazar la hipótesis nula de que los datos provienen de la distribución F (x) elegida. Si D ≥ Dν,α : Se rechaza la hipótesis nula, ya que es muy poco probable, con el nivel de confianza elegi- do, que la variable alcance un valor tan grande, si realmente los datos correspondieran a la distribución en análisis. En general, se dispone de muestras de tamaño finito, lo que provoca una incertidumbre en el valor de D. Esto se aprecia en la Figura 5.2. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a re lim in ar 140 Figura 5.2: Incertidumbre en el valor de D para muestras de tamaño finito. En este caso, para el calculo de D deben obtenerse las siguientes expresiones rP D+ = max|Fe (xi ) − F (xi )| D− = max|Fe (xi−1 ) − F (xi )| Bo rra do y a partir de estos valores: D = max D+ , D− i = 1, · · · , N i = 1, · · · , N (5.98) (5.99) (5.100) La Tabla 5.10 entrega valores de la distribución de Kolmogorov para distintos grados de libertad y un nivel de confianza del 95 %. 5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico 141 Tabla 5.10: Valores de Dν,α N Nivel de significanción α 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 1 0.9000 0.9500 0.9750 0.9900 0.9950 0.9975 0.9990 0.9995 2 0.6834 0.7764 0.8419 0.9000 0.9293 0.9500 0.9684 0.9776 3 0.5648 0.6360 0.7076 0.7846 0.8290 0.8643 0.9000 0.9207 4 0.4927 0.5652 0.6239 0.6889 0.7342 0.7764 0.8222 0.8505 5 0.4470 0.5095 0.5633 0.6272 0.6685 0.7054 0.7500 0.7814 6 0.4104 0.4680 0.5193 0.5774 0.6166 0.6529 0.6957 7 0.3815 0.4361 0.4834 0.5384 0.5758 0.6098 0.6507 8 0.3583 0.4096 0.4543 0.5065 0.5418 0.5743 0.6137 9 0.3391 0.3875 0.4300 0.4796 0.5133 0.5444 0.5821 0.6085 10 0.3226 0.3687 0.4093 0.4556 0.4889 0.5187 0.5550 0.5804 11 0.3083 0.3524 0.3912 0.4367 0.4677 0.4954 0.5314 0.5559 12 0.2958 0.3382 0.3754 0.4192 0.4491 0.4767 0.5105 0.5342 13 0.2847 0.3255 0.3614 0.4036 0.4325 0.4592 0.4919 0.5149 14 0.2748 0.3142 0.3489 0.3897 0.4176 0.4435 0.4752 0.4975 15 0.2659 0.3040 0.3375 0.3771 0.4042 0.4293 0.4561 0.4818 16 0.2578 0.2947 0.3273 0.3657 0.3920 0.4164 0.4464 0.4675 17 0.2504 0.2863 0.3180 0.3553 0.3809 0.4046 0.4338 0.4554 18 0.2436 0.2785 0.3094 0.3457 0.3706 0.3938 0.4222 0.4423 19 0.2374 0.2714 0.3014 0.3369 0.3612 0.3838 0.4116 0.4312 20 0.2316 0.2647 0.2941 0.3287 0.3524 0.3745 0.4017 0.4209 21 0.2252 0.2586 0.2872 0.3210 0.3443 0.3659 0.3924 0.4112 22 0.221I5 23 0.2165 24 25 ar 0.2 0.7248 0.6793 rP re lim in 0.6410 0.2809 0.3139 0.3367 0.3578 0.3838 0.4022 0.2749 0.3073 0.3295 0.3503 0.3758 0.3938 0.2121 0.2424 0.2693 0.3010 0.3229 0.3432 0.3679 0.3859 0.2079 0.2377 0.2640 0.2952 0.3166 0.3365 0.3610 0.3774 26 0.2040 0.2332 0.2591 0.2896 0.3096 0.3302 0.3543 0.3714 27 0.2003 0.2290 0.2544 0.2844 0.3050 0.3243 0.3479 0.3647 28 0.1968 0.2250 0.2499 0.2794 0.2997 0.3186 0.3419 0.3584 29 0.1935 0.2212 0.2457 0.2747 0.2947 0.3133 0.3362 0.3524 30 0.1903 0.2176 0.2417 0.2702 0.2899 0.3082 0.3307 0.3467 32 0.1845 0.2109 0.2342 0.2619 0.2809 0.2987 0.3206 0.3361 34 0.1791 0.2147 0.2274 0.2543 0.2727 0.2901 0.3113 0.3264 36 0.1742 0.1991 0.2212 0.2473 0.2653 0.2821 0.3028 0.3175 38 0.1697 0.1939 0.2154 0.2409 0.2584 0.2748 0.2950 0.3093 40 0.1655 0.1891 0.2101 0.2349 0.2521 0.2680 0.2877 0.3017 42 0.1616 0.1847 0.2052 0.2294 0.2461 0.2617 0.2810 0.2947 44 0.1580 0.1805 0.2006 0.2243 0.2406 0.2559 0.2747 0.2881 46 0.1546 0.1767 0.1963 0.2194 0.2354 0.2504 0.2688 0.2819 48 0.1514 0.1730 0.1922 0.2149 0.2306 0.2452 0.2633 0.2761 50 0.1484 0.1696 0.1884 0.2107 0.2260 0.2404 0.2581 0.2707 Bo rra do 0.2528 0.2475 142 5.3. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico Como alternativa al análisis de frecuencia puramente analı́tico de los datos hidrológicos, existe la posibilidad de realizar un análisis de frecuencia directo o gráfico, que tiene la ventaja de permitir una mejor visualización del comportamiento de las variables en análisis y la intervención del criterio y experiencia del analista. Los resultados incorporan algo de subjetividad, pero el método puede llegar a ser tanto o más potente que el ar método analı́tico puro. Incluso, aún cuando el análisis se haga con los procedimientos analı́ticos antes descritos, para la presentación y visualización de los resultados, suelen utilizarse las técnicas del análisis gráfico. El método gráfico de análisis de frecuencia consiste simplemente en construir una curva de frecuencia re lim in acumulada de la variable en forma empı́rica, a partir de la información disponible, sin recurrir en principio a ningún modelo o distribución teórico. Esto implica atribuir una cierta probabilidad o perı́odo de retorno a los valores de la muestra disponible y con ello construir una curva empı́rica de probabilidad de excedencia en función de la magnitud de cada evento. La probabilidad de excedencia que se le asigne a cada valor observado de la serie de datos se conoce con el nombre de posición de trazado o posición de ploteo. Si ordenamos la serie de datos disponible de mayor a menor, y le asignamos un número de orden m a cada dato, tal que al mayor le corresponde el valor m = 1, y al menor, el valor m = N , la probabilidad empı́rica rP de excedencia de cada valor de la muestra valdrá Pex = m N (5.101) Esta expresión se conoce como la probabilidad empı́rica o posición de ploteo de California, que serı́a Bo rra do la probabilidad exacta si estuviésemos trabajando con el universo completo. Al trabajar con una muestra finita de tamaño N, esta expresión presenta el inconveniente de que al menor valor medido le asigna una probabilidad de excedencia Pex = 1, es decir, niega la posibilidad de que pueda existir un evento de magnitud menor al menor evento medido. Para subsanar este inconveniente, se han propuesto una serie de fórmulas que pretenden disminuir el sesgo de la estimación adoptando una estructura del tipo Pex = m−b N + 1 − 2b 0 ≤ b ≤ 0.5 En la Tabla 5.11 se presentan los valores de la constante “b” propuestos por distintos autores. Tabla 5.11: valores de la constante b. Autor Año b A. Hazen 1930 0.5 Weibull 1939 0 Chegodayev 1955 0.3 Gringorten 1963 0.44 (5.102) 5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico 143 Se ha sugerido que el valor más apropiado de la constante b depende de la distribución teórica a la cual pertenezcan los datos, pero lo más habitual es utilizar la posición de ploteo propuesta por Weibull, utilizando el valor b = 0, con lo que la expresión queda, Pex = m N +1 (5.103) ar Disponiendo de los pares (x, Pex ), es posible graficarlos, obteniéndose una representación empı́rica de la función de frecuencia acumulada de los datos. Para fines prácticos, salvo para los eventos más extremos, las diferencias entre las distintas fórmulas de ploteo no son significativas, luego al ajustar la curva debe dársele re lim in menos ponderación a los valores extremos, que presentan mayor incertidumbre. Disponiendo de la curva de frecuencia acumulada empı́rica, esta puede utilizarse sin mayor error para interpolar valores dentro del rango de valores medidos. Cuando se trata de extrapolar valores a perı́odos de retorno más extremos, el procedimiento se torna muy incierto, ya que el error de extrapolación de curvas puede ser de magnitud considerable, El procedimiento en estos casos consiste en comparar gráficamente la curva de frecuencia acumulada empı́ricamente determinada, con curvas de frecuencia acumulada de distribuciones de frecuencia teóricas y ver cual de ellas se ajusta mejor. Para facilitar esta comparación, y especialmente para dar mayor seguridad a la extrapolación de datos, se recurre a un tipo de gráfico especial, llamado gráfico o papel de probabilidades, rP en el cual se distorsiona la escala de probabilidades de tal manera que la curva de frecuencia acumulada de la distribución teórica se transforma en una recta. Deberá existir, por lo tanto, un papel de probabilidades para cada distribución de frecuencia. El procedimiento para la confección de un gráfico o papel de probabilidades se ilustra en la Figura 5.3, para Bo rra do el caso de la distribución normal centrada y reducida. A escala natural, la curva de frecuencia acumulada, que corresponde a la integración de la campana de Gauss, es una curva conocida (curva cian), asintótica a más y menos infinito para el rango de probabilidades entre 0 y 1. Simplemente imponiendo una recta (lı́nea roja) como curva de frecuencia acumulada, es posible determinar para cada valor de la variable z, a través de la recta, el valor correspondiente a su probabilidad, en la escala de probabilidades. Al valor z = −1, le corresponde según la curva cian una probabilidad de P = 0.159, valor que se impone en la escala de probabilidades para el mismo valor z = −1 de la recta roja. Análogamente, para z = 0, P = 0.5, para z = 1, P = 0.841, para z = 2, P = 0.977 y ası́ sucesivamente. La curva resultante es para la variable centrada y reducida, pero puede generalizarse desplazando el origen y utilizando la desviación estándar como factor de escala. El gráfico resultante, intercambiando los ejes de coordenadas, denominado papel de probabilidades se muestra en la Figura 5.4. Una serie de datos que estén normalmente distribuidos, se alinearán en ese gráfico formando una recta, de fácil extrapolación. Si la escala natural de las ordenadas se transforma a escala logarı́tmica, se tiene el papel logarı́tmico-probabilidades, que sirve para la distribución logarı́tmico normal. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a 0.977 0.841 re lim in 0.159 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 ar 144 Figura 5.3: Curva de frecuencia acumulada distribución normal centrada y reducida. Para la distribución de valores extremos Tipo I, existe el llamado papel de probabilidades Gumbel-Powel, que es simplemente un gráfico o papel en escala natural llevando como variables, la variable hidrológica “x” y la variable reducida “y”, ya que de acuerdo a la ecuación (5.31), la relación entre dichas variables corresponde a una recta. La probabilidad de excedencia se lleva en una escala auxiliar, paralela a la escala de la variable rP reducida “y”, la cual se determina a partir de la ecuación Pex = 1 − e−e −y (5.104) Las Figuras 5.5 y 5.6 muestran los papeles Log-normal y Gumbel-Powel. Bo rra do Para distribuciones de forma variable como la Gamma o Pearson III, habrı́a que construir un gráfico con escalas ad hoc, para cada combinación de parámetros, por lo que el método gráfico se hace impracticable, y sólo se acostumbra graficar dichas distribuciones, en forma de curvas no lineales, en alguno de los papeles antes descritos. La selección de la distribución de mejor ajuste, puede hacerse a criterio, en forma de inspección visual, seleccionando la distribución cuya curva coincida mejor con la curva de frecuencia acumulada empı́rica, recordando darle menor importancia a los puntos extremos, ya que para ellos la probabilidad calculada con las fórmulas de ploteo es cada vez menos confiable. La Figura 5.7, muestra, aprovechando la potencialidad de una planilla Excell, el ajuste gráfico de diversas curvas teóricas de frecuencia a los datos de la estación Maule en Armerillo, ploteados con la fórmula de Weibull en un papel logarı́tmico-probabilidades. 0.01 99.99 0.05 0.1 99.95 99.9 Figura 5.4: Papel normal de probabilidades.. 0.5 99.5 1 99 2 98 5 95 10 90 20 80 70 60 50 30 40 50 40 30 20 10 5 60 70 80 90 95 re lim in rP Bo rra do 98 99 1 0.5 99.5 ar 2 0.05 99.9 99.95 0.1 99.99 0.01 5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico 145 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Bo rra do rP re lim in ar 146 Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014). Figura 5.5: Papel Log-normal de probabilidades. 147 Bo rra do rP re lim in ar 5.3. Análisis de Frecuencia Directo o Gráfico Fuente: Manual de Carreteras, MOP (2014). Figura 5.6: Papel Gumbel-Powel. Prec [mm] Figura 5.7: Análisis gráfico excel. 0.01 1 10 100 1000 0.1 0.5 1 5 WEIBULL EMPÍRICA 2 40 50 60 70 PEARSON GUMBEL Probabilidad [%] 10 20 30 LOG-NORMAL 80 90 99 ar 98 LOG-PEARSON 95 re lim in rP Bo rra do 99.9 99.99 1 10 100 1000 148 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a 5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño 5.4. 149 Coeficientes de Frecuencia Una alternativa para establecer la magnitud asociada a un cierto perı́odo de retorno, es recurrir al concepto de coeficiente de frecuencia CT , definido por la relación, xT x10 (5.105) ar CT = donde xT es la magnitud de la variable asociada a un perı́odo de retorno de T años, y x10 es la magnitud, re lim in supuestamente conocida, asociada a un perı́odo de retorno de 10 años. En la publicación de la DGA (1989), “Investigación de Eventos Meteorológicos Extremos, Precipitaciones Máximas en 24, 48 y 72 horas”, se presenta un exhaustivo análisis de las precipitaciones máximas con perı́odo de retorno de 10 años, y de los respectivos coeficientes de frecuencia para otros perı́odos de retorno. 5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño El perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia que se obtiene mediante el análisis de frecuencia corresponde al intervalo promedio de tiempo en que una magnitud dada de un evento hidrológico se excede una rP vez, pero no nos proporciona ninguna información referente a la probabilidad de que dicho evento ocurra dentro de la vida útil de una determinada obra. La pregunta que se plantea entonces es la siguiente: Si proyectamos, por ejemplo, la altura y longitud de un puente de manera que permita el paso de una crecida con un perı́odo de retorno de, digamos, 500 años, Bo rra do qué seguridad tenemos de que esa crecida no vaya a ocurrir dentro de los próximos 50 años, que es la vida útil que estimamos para dicha obra? Inversamente, nos podemos preguntar, ¿con qué perı́odo de retorno debemos diseñar una determinada obra hidráulica para tener una cierta seguridad de que no vaya a fallar dentro de la vida útil de la misma? Las respuestas se pueden encontrar mediante la aplicación de una de las distribuciones discretas más importantes de la estadı́stica, la cual es la distribución binomial. 5.5.1. Distribución Binomial Esta distribución, basada en los conceptos de “éxito” o “fracaso”, nos da la probabilidad de tener x éxitos al efectuar N ensayos independientes de un experimento cuya probabilidad de éxito es P . Si la probabilidad de excedencia de un evento hidrológico es “P ”, y a esto lo llamamos “éxito”, entonces la probabilidad de no excedencia o “fracaso” será (1 − P ) y la probabilidad de tener x éxitos en N ensayos será P x (1−P )N −x para un determinado orden de ocurrencia de los sucesos. Como el número de combinaciones en que x éxitos pueden ocurrir en N ensayos es N x , entonces la probabilidad de tener x éxitos en N ensayos cuando la probabilidad de éxito es P , será 150 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a P (x, N, P ) = N P x (1 − P )N −x x (5.106) Si la probabilidad de excedencia del evento hidrológico proviene del análisis de una serie de excedencias anuales, entonces N el número de ensayos, pasa a ser un número de años y P es el recı́proco del perı́odo de retorno. exceda en N años y por lo tanto la obra no falle, será re lim in P (0, N, P ) = (1 − P )N ar De lo anterior resulta que la probabilidad de tener 0 “éxitos” en N años, es decir, que la magnitud no se (5.107) y la probabilidad o riesgo J de que la obra falle en un perı́odo de N años, será el complemento, J = 1 − P (0, N, P ) = 1 − (1 − P )N N 1 J =1− 1− T (5.108) (5.109) Por ejemplo, si aceptamos un riesgo de falla J del 5 % de que la obra falle dentro de un perı́odo de previsión rP N de 10 años, el perı́odo de retornos de diseño será, 1 J =1− 1− T 10 1 0.05 = 1 − 1 − ⇒ T N T = 195 años Bo rra do 5.5.2. Distribución de Poisson En forma alternativa al procedimiento anterior y tal vez con mayor propiedad, pues asocia el fenómeno con la variable tiempo, puede utilizarse la distribución de Poisson. Esta es una distribución continua que resulta como distribución lı́mite de la distribución binomial, cuando la probabilidad del evento tiende a 0 y el número de ensayos tiende a infinito, tendiendo el producto p · N a un valor constante λ, que pasa a ser la tasa media de ocurrencia del evento, es decir, en este caso, el recı́proco del perı́odo de retorno T . La distribución de Poisson da la probabilidad de que ocurran x eventos en un intervalo de tiempo, cuando la tasa media de ocurrencia de este en dicho intervalo es λ. P (x, λ) = λx e−λ x! (5.110) Luego la probabilidad de que no falle en un año cualquiera (x = 0) resulta P (0, λ) = e−λ (5.111) 5.5. Selección del Perı́odo de Retorno de Diseño 151 Como la suma de distribuciones Poisson de parámetros λi , es otra distribución Poisson de parámetro λT = P λi , la probabilidad de que no falle en N años de vida útil es P = e−N λ = e−N/T (5.112) J = 1 − P = 1 − e−N/T 0.05 = 1 − e−10/T que es el mismo resultado anteriormente. 5.5.3. (5.113) re lim in Volviendo al ejemplo anterior, si J = 0.05 y N = 10 ar y el riesgo hidrológico de falla será el complemento ⇒ T = 195 años Estadı́sticas con Valores Nulos En zonas áridas o semiáridas como es el caso de la zona norte de Chile, puede ocurrir que las series sean de precipitación o caudales máximos anuales, contengan valores nulos. Esta situación distorsiona la verdadera rP distribución de la variable y de hecho inhabilita el uso de distribuciones logarı́tmicas. Una manera de salvar esta situación es diferenciar previamente los años con precipitación de aquellos sin precipitación, trabajando con el subconjunto de años con valores no nulos. Los resultados que se obtengan serán probabilidades condicionadas a que haya llovido, valores que deberán multiplicarse por la probabilidad Bo rra do de que exista lluvia para convertirlos a probabilidades absolutas. Ejemplo: Tenemos una serie de valores máximos anuales para un perı́odo total de 56 años, dentro de los cuales se han registrado 7 años con valores nulos. Entonces empı́ricamente la probabilidad de años con eventos nulos es P (0) = 7 = 0.125 56 Por lo tanto, la probabilidad de un año con lluvia será el complemento, P (LL) = 1 − 0.125 = 0.875 Luego se calculan los estadı́grafos y se procede al análisis de frecuencia con el subconjunto de 49 años con valores no nulos. Suponiendo que se llega a un resultado que nos dice que la probabilidad de excedencia de una lluvia de 75 [mm] es de P (x > 75|LL) = 0.012 es decir, un perı́odo de retorno condicional de T = 1/0.012 = 83.33 años. 152 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Ası́, la probabilidad de excedencia corregida será P (x > 75) = P (x > 75|LL) · P (LL) = 0.012 · 0.875 = 0.0105 5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas ar y el verdadero perı́odo de retorno será T = 1/0.0105 = 95.24 años. re lim in Todas las variables hidrológicas, y a diferentes escalas de tiempo, pueden ser consideradas como variables aleatorias y en consecuencia ser sometidas a análisis de frecuencia asociando sus magnitudes a respectivas probabilidades de excedencia o perı́odos de retorno. Para facilitar la interpretación de los resultados que se obtienen, estos suelen representarse en forma gráfica, destacando por su importancia práctica las curvas de Intensidad-duración-frecuencia de precipitaciones, las curvas de variación estacional y las curvas de duración general. 5.6.1. Curvas Intensidad-Duración-Frecuencia rP Volviendo al problema de la estimación de intensidades de precipitación, se definió la curva IntensidadDuración como la representación gráfica de la intensidad media máxima de precipitación en función del intervalo de duración de la misma, existiendo para cada tormenta su respectiva curva. Ahora, si se dispone de un número suficientemente grande de tormentas a las que se le ha confeccionado su curva de intensidadduración, es posible someter a un análisis de frecuencia a las series formadas por las intensidades medias Bo rra do máximas de cada tormenta correspondientes a una misma duración, obteniéndose como resultado la probabilidad de excedencia o perı́odo de retorno asociado a cada magnitud de intensidad de precipitación, para cada uno de los intervalos de duración considerados. Los resultados obtenidos pueden representarse mediante las curvas intensidad-duración-frecuencia, curvas IDF que corresponden a una familia de curvas intensidadduración, que llevan como parámetro, el perı́odo de retorno o probabilidad de excedencia, asociado a cada magnitud. La Figura 5.8 muestra las curvas IDF propuestas por Espinoza et al. (2005) para la ciudad de Valparaı́so (Estación USM), a partir de series de excedencias anuales de datos. Curvas similares han sido propuestas para otras ciudades del paı́s. La disponibilidad de estas curvas IDF es indispensable para abordar el diseño de muchas obras hidráulicas. Desgraciadamente, en muchas localidades no se dispone de información pluviográfica suficiente para su determinación directa, por lo que a menudo resulta necesario sintetizarlas en base a los conceptos de coeficientes de duración y coeficientes de frecuencia antes definidos. En forma análoga a la definición de coeficiente de duración de precipitaciones, que expresaba el cuociente entre la precipitación en un tiempo cualquiera respecto a una duración base, es posible definir los coeficientes de frecuencia de precipitaciones por la relación, 5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas 153 Curvas IDF Valparaíso (UTFSM) Serie de Excedencias Anuales Log-Pearson 60 T = 100 Pearson T = 50 T = 20 50 T = 10 T =2 Log-Pearson ar Intensidad [mm] T =5 40 30 10 0 0 200 400 re lim in 20 600 800 Duracion [m in] 1000 1200 1400 Figura 5.8: Curvas IDF para la serie de excedencias anuales de la estación USM, Valparaı́so. donde, P (T ) P0 rP CF (T ) = (5.114) Bo rra do P (T ): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno T . P0 : Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno base o de referencia conocido, normalmente 10 años De esta manera, combinando las ecuaciones (4.17) y (5.113), la precipitación para una duración y perı́odo de retorno cualquiera, puede expresarse mediante la expresión P (T, t) = CF (T ) · Cd (t) · P (T0 , t0 ) (5.115) donde, P (T, t): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno T y una duración t. P (T0 , t0 ): Máxima precipitación caı́da para un perı́odo de retorno y una duración base conocidos, normalmente T0 = 10 años y t0 = 1 hora o 24 horas. Los coeficientes de frecuencia se postulan estadı́sticamente constantes para una estación dada, e independientes de los coeficientes de duración, habiendo sido determinados en diferentes lugares del paı́s. (Espı́ldora, 1971; DGA, 1991). 154 5.6.2. Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Curvas de Variación Estacional Prácticamente todas las variables hidrológicas poseen la periodicidad que impone el ciclo hidrológico anual, por lo cual en principio no es lı́cito utilizar valores de las variables obtenidos en distintos perı́odos del año para efectuar análisis de frecuencia, ya que la serie no resultarı́a homogénea. En muchos casos este inconveniente puede obviarse subdividiendo el año en subperı́odos, normalmente meses, dentro de los cuales se postula que la variable es estacionaria, efectuándose los análisis de frecuencia para cada una de las 12 subseries mensuales ar resultantes. De estos análisis resultan las curvas de variación estacional, normalmente asociadas a caudales medios mensuales, pero aplicables a muchas otras variables hidrológicas, en las cuales se representa para cada re lim in uno de los meses del año, las magnitudes de las variables asociadas a diferentes porcentajes de excedencia. La Figura 5.9 muestra a manera de ejemplo, la curva de variación estacional de los caudales medios mensuales del Rı́o Chopa en Puente Negro, para distintos niveles de “sequedad” o “humedad”. Se habla normalmente de un valor o año, por ejemplo, 80 % seco (o 20 % húmedo) a aquellos valores que en cada uno de los meses del año tienen un 80 % de excedencia. 160 140 100 80 rP Caudal [m3/s] 120 60 40 Bo rra do 20 0 5% 20% 50% 80% ABR 17.9 5.7 1.7 0.5 MAY 13.2 7.8 3.9 1.6 JUN 31.7 14.9 6.8 3.1 JUL 40.0 19.2 8.9 4.1 AGO 36.9 17.1 7.9 3.7 SEP 35.6 19.0 8.1 2.5 OCT 44.0 24.7 11.4 4.2 NOV 74.0 41.6 19.4 7.1 DIC 135.9 36.1 9.0 2.2 ENE 56.4 12.4 2.8 0.7 FEB 21.4 6.0 1.7 0.5 MAR 16.3 4.7 1.3 0.4 Figura 5.9: Curva de variación estacional de los caudales medios mensuales del Rı́o Chopa en Puente Negro. Debe tomarse conciencia de que el promedio o suma de los doce valores mensuales de una misma proba- bilidad de excedencia no necesariamente coincide con el valor medio anual de la variable para esa misma probabilidad. 5.6.3. Curvas de Duración General Las curvas de duración general tienen importantes aplicaciones en ingenierı́a y representan simplemente la probabilidad media, en estricto rigor, el porcentaje del tiempo en que una cierta magnitud de una variable hidrológica es excedida. Son en definitiva análogas o equivalentes a la curvas de frecuencia acumulada, pero considerando en estos casos la serie de duración completa de la variable en análisis. Aún cuando se trate de una variable continua, como las temperaturas o los caudales de un rı́o, para el análisis la serie debe ser 5.6. Presentación Estadı́stica de Variables Hidrológicas 155 discretizada, trabajando con valores medios horarios, medios diarios o medios mensuales, dependiendo de la precisión que se desee obtener. Los datos se ordenan de mayor a menor y su porcentaje de excedencia en el tiempo se calcula simplemente con la fórmula de California, Pex = m N (5.116) ar donde m es el número de orden a cada dato y N es el número total de datos disponibles. Como los valores diarios son el promedio de los horarios y los mensuales los promedios de los diarios, a medida que se aumenta la escala de tiempo de discretización, las curvas de duración general van resultando cada vez más amortiguadas re lim in y menos representativas. La Figura 5.10 muestra la curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro, considerando las series de caudales medios diarios y caudales medios mensuales. 180 160 140 rP 120 100 80 60 40 Bo rra do Caudal Medio Mensual [m3/s] 200 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Probabilidad de Excedencia [%] Figura 5.10: Curva de duración general de caudales del Rı́o Chopa en Puente Negro. Bibliografı́a DGA (1989),Investigación de eventos hidrometeorológicos extremos: precipitaciones máximas en 24, 48 y 72 horas, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas, Departamento de Hidrologı́a, bf Ingenieros Civiles. DGA (1991),Precipitaciones máximas en 1, 2 y 3 dı́as, Ministerio de Obras Públicas, Dirección General de Aguas, Departamento de Hidrologı́a. Espı́ldora, B. (1971), Estimación de curvas intensidad-duración-frecuencia mediante coeficientes generalizados, Memorias I Coloquio Nacional Sociedad Chilena de Ingenierı́a Hidráulica, Santiago, Chile. 156 Análisis de Frecuencia en Hidrologı́a Espinoza, A., J. Nicoud y L. Stowhas (2005), Curvas IDF para Valparaı́so, XVII Congreso Chileno de Hidraulica, SOCHID,Valparaı́so. Bo rra do rP re lim in ar MOP (2014), Manual de Carreteras, Vol. 3, Dirección de Vialidad, Ministerio de Obras Publicas. re lim in ar Capı́tulo 6 PRECIPITACIÓN MÁXIMA Introducción rP PROBABLE Como se ha analizado en capı́tulos anteriores, la precipitación es la variable primaria, normalmente origen de toda la disponibilidad de agua en la litósfera, por lo que su conocimiento y análisis es vital para la mayorı́a Bo rra do de los propósitos de la ingenierı́a hidrológica. Su ocurrencia se produce por la acción de diversos procesos hidrometeorológicos, presentándose en forma discreta y con magnitudes e intensidades variables en el tiempo y en el espacio. Desconociéndose en detalle los mecanismos que la generan o al menos la oportunidad en que se presentarán dichos mecanismos generadores, sólo cabe analizar la variabilidad de las precipitaciones tratándola como una variable aleatoria, aplicando las técnicas provenientes de la teorı́a de probabilidades a través de métodos de análisis de frecuencia de variables aleatorias, vistos en el capı́tulo anterior, lo que permite asociar las magnitudes de las precipitaciones con la probabilidad de que ellas ocurran o se excedan. Sin embargo, estos procedimientos llevan implı́citos diversos niveles de incertidumbre que hacen extremadamente incierta la estimación de las máximas magnitudes que la precipitación pueda alcanzar. Sin perjuicio de lo anterior, e incluso intuitivamente, es posible señalar que debe existir un nivel o lı́mite fı́sico máximo que la magnitud de las precipitaciones no debieran poder sobrepasar en un determinado tiempo y lugar. Conceptualmente, la magnitud de la precipitación dependerá de la magnitud del contenido de agua precipitable de la atmósfera y de la velocidad con que este contenido de agua sea capaz de renovarse en la atmósfera cuando se produce la precipitación. La magnitud de la precipitación alcanzará su lı́mite fı́sico máximo cuando el contenido de agua precipitable y su velocidad de renovación alcancen sus valores fı́sicos lı́mites máximos. Basado en estos raciocinios, se han propuesto procedimientos para tratar de cuantificar el máximo valor que la magnitud de una precipitación pueda fı́sicamente alcanzar. 157 158 Precipitación Máxima Probable 6.1. Definición Precipitación máxima probable (P M P ), es la mayor cantidad teórica de precipitación de una duración dada que es fı́sicamente posible sobre una cuenca en particular, para una época especifica del año, suponiendo condiciones climáticas estacionarias. El término “precipitación máxima probable” es preferible al término “precipitación máxima posible”, con 6.2. re lim in cualquier estimación de precipitaciones máximas. ar que a menudo se refiere al mismo concepto, ya que destaca en forma explicita la incertidumbre asociada a Influencia del Tipo de Precipitación Debido a las diferentes caracterı́sticas que adquieren las tormentas, según sea el mecanismo que provoca la condensación, para una duración dada de ellas será generalmente el mismo tipo de precipitación el que origina las tormentas crı́ticas que tienden a producir la precipitación máxima probable en el lugar. Ası́, para duraciones cortas, serán las precipitaciones de tipo convectivo, intensas, cortas y locales, las que produzcan las condiciones más desfavorables. Por el contrario, para duraciones largas, serán las precipitaciones de tipo ciclónico, de larga duración y abarcando zonas extensas, las más desfavorables. rP Lo anterior, es sin considerar la importancia fundamental que tiene la presencia de barreras orográficas en los procesos de elevación, enfriamiento, condensación y posterior precipitación de la humedad atmosférica. Los efectos orográficos se superponen y a menudo sobrepasan a las caracterı́sticas ciclónicas o convectivas, creando precipitaciones de tipo orográfico de propiedades distintas dependiendo principalmente de la orografı́a Bo rra do del lugar. Por estos motivos, es conveniente analizar primero, en forma general, los casos de precipitación no orográfica y abordar posteriormente en forma separada la precipitación máxima probable en zonas orográficas. 6.3. Factores Determinantes En general, la magnitud de una tormenta quedará determinada principalmente por tres condiciones meteorológicas: i) Contenido de humedad de la atmósfera: Mientras mayor sea el contenido de agua que sea capaz de almacenar la atmósfera, mayor será la cantidad de agua que podrá precipitar. ii) Velocidad de condensación: La intensidad con que al agua atmosférica pueda precipitar, queda determinada por la intensidad de condensación o paso del agua del estado gaseoso al estado liquido. Este proceso depende principalmente de la velocidad de los movimientos verticales o ascensos de la masa de aire húmedo. 6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable iii) 159 Convergencia de humedad: Como se analizó anteriormente el contenido de agua precipitable o cantidad de agua que puede contener la atmósfera rara vez excede de un par de centı́metros de altura de agua. En consecuencia, para que una precipitación de cierta intensidad pueda mantenerse en el tiempo, es necesaria una reposición continua de aire húmedo proveniente del mar u otra fuente de humedad. Es por esto, que la magnitud de una tormenta queda condicionada a la velocidad de convergencia de aire ar húmedo hacia la zona de la tormenta. La precipitación máxima probable resultará de la maximización de todos estos factores determinantes, junto a la distribución en el espacio y ordenación secuencial en el tiempo de las tormentas máximas, que re lim in produzca la combinación hidrológicamente más desfavorable. Las relaciones teóricas entre máximo contenido de humedad, presión y temperatura de una masa de aire, ası́ como las relaciones entre condensación y ascenso vertical son conocidas a través de las leyes de los gases y de la termodinámica. De esta forma, el contenido, de humedad de una masa de aire, puede ser maximizado en forma aceptable a partir de una apropiada interpretación de la información climatológica. Por otra parte, aún cuando los procesos de convergencia y movimiento vertical del aire son dependientes uno del otro a través de la ecuación de continuidad, no existe aún una base teórica satisfactoria que permita maximizar los fenómenos de convergencia y ascenso vertical. Para obviar esta dificultad, a menudo se supone que las máximas tormentas rP históricas observadas son ı́ndices de las máximas tasas de convergencia y movimiento vertical de la atmósfera, lo que permite entonces estimar o maximizar estas últimas en forma indirecta a través de un análisis de las máximas precipitaciones observadas. Este procedimiento se conoce como Método Hidrometeorológico de Bo rra do Estimación de la Precipitación Máxima Probable. 6.4. 6.4.1. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable Maximización de la Humedad Como se analizó anteriormente, el máximo contenido de agua precipitable de la atmósfera durante una tormenta es posible estimarlo, suponiendo una atmósfera totalmente saturada con una distribución vertical de temperatura de acuerdo a un gradiente pseudoadiabático húmedo, conociendo solamente la temperatura de rocı́o del aire en la superficie, según los valores que se entregaron en las Tablas 2.3 y 2.4. Por este motivo, es la temperatura de punto de rocı́o en superficie la variable que se usa normalmente como ı́ndice de humedad, postulando, que maximizar la altura de agua precipitable de la atmósfera equivale a maximizar las temperaturas de rocı́o. Más claramente, la máxima altura de agua precipitable en una región será el valor correspondiente al máximo punto de rocı́o de esa misma región. El criterio a emplear depende del tipo de información disponible, pero debido a que observaciones puntuales de punto de rocı́o, pueden indicar situaciones transientes de poca significación, aparte de estar sujetas a errores 160 Precipitación Máxima Probable importantes de medición, se recomienda usar como Índice de humedad el “Máximo punto de rocı́o persistente por 12 horas”, que se define como el máximo valor de punto de rocı́o igualado o excedido durante un intervalo continuo de 12 horas. De esta manera, el máximo valor observado de punto de rocı́o persistente por 12 horas, o si se prefiere, un análisis estadı́stico de esta variable que permita definir una magnitud correspondiente a una probabilidad de muy baja excedencia, se considera representativo de las condiciones de saturación más cálidas probables. ar Una limitación de este ı́ndice es que normalmente presenta una variación estacional, observándose los máximos valores frecuentemente en verano. re lim in Serı́a un error, en consecuencia, maximizar una tormenta en regiones donde las máximas precipitaciones ocurren en invierno mediante un ı́ndice máximo obtenido para los meses de verano. Lo que corresponde hacer es establecer valores de máximo punto de rocı́o persistente para distintas épocas del año, en lo posible para intervalos de tiempo de no más de 15 dı́as y maximizar cada tormenta usando el Índice correspondiente a la fecha en que ella ocurrió. 6.4.2. Maximización del Viento En forma análoga a la maximización de la humedad, puede analizarse la información sobre velocidad del viento y determinar para cada época del año, digamos para intervalos de cada 15 dı́as, las velocidades rP máximas observadas. Alternativamente, mediante un análisis estadı́stico, podemos determinar las más altas magnitudes correspondientes a un perı́odo determinado. Sólo debe considerarse en el análisis, la información de velocidad del viento cuya dirección corresponda a la dirección de entrada de las masas de aire húmedo que aportan la humedad local. Si existen dos o más fuentes de humedad, el análisis debe hacerse en forma Bo rra do separada para cada dirección del viento. Una complicación de la maximización del viento frente a la maximización del punto de rocı́o es que si bien el valor máximo de punto de rocı́o persistente durante 12 horas es un ı́ndice suficiente para cualquier duración de tormenta, en el caso del viento el análisis debe hacerse para cada duración en forma separada hasta llegar a una duración máxima de 24 horas que se estima suficientemente representativa de tormentas de duración igual o mayor a 24 horas. Esto significa que deben construirse curvas de velocidad media máxima-duración del viento similares a las curvas de intensidad-duración usadas al analizar datos de precipitación. El producto de la máxima altura de agua precipitable multiplicada por la máxima velocidad media del viento para una duración dada, se conoce como “Índice de aporte máximo de humedad”. La información experimental analizada en diversas regiones indica, sin embargo, que la velocidad del viento no es un muy buen Índice de la convergencia de humedad y que en ciertas ocasiones las máximas precipitaciones no coinciden con las máximas velocidades del viento. Debido a esto, frecuentemente, se supone que las grandes tormentas ocurren siempre con una máxima eficiencia dinámica, omitiéndose la maximización por concepto de velocidad del viento. E1 efecto de la velocidad del viento sı́ es de gran importancia en regiones orográficas y en estos casos procede su maximización, tal como se ha indicado. 6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable 6.4.3. 161 Maximización de Tormentas La maximización de tormentas consiste en estimar en base al ı́ndice de aporte máximo de humedad, la magnitud que las tormentas históricas hubiesen tenido si hubieran ocurrido bajo las condiciones más desfavorables de humedad y eventualmente, de velocidad del viento. Para este objeto, se seleccionan las más grandes tormentas históricas ocurridas en una determinada cuenca ar o región en estudio y se determina para cada una de ellas, el máximo punto de rocı́o persistente por 12 horas y la velocidad media del viento para la correspondiente duración. El producto de la velocidad del viento por la altura de agua precipitable, correspondiente al punto de rocı́o de la tormenta es el “Índice de aporte re lim in de humedad de la tormenta”. Finalmente, las tormentas históricas se maximizan multiplicando la cantidad de agua o precipitación caı́da por el cuociente entre el Índice de aporte máximo de humedad y el Índice de aporte de humedad de cada tormenta en particular. Pmax = Pi donde, Pmax : Precipitación maximizada. Pi : Precipitación medida. Wmax · Vmax Wi · Vi (6.1) rP Wmax : Máxima altura de agua precipitable del lugar. Vmax : Índice de velocidad máxima del viento. Wi : Altura de agua precipitable. Vi : Velocidad media del viento de la tormenta medida. Bo rra do Para estimar los valores de Wmax y Wi pueden usarse las integraciones numéricas de la altura de agua precipitable para una atmósfera saturada pseudo adiabática tabuladas en las Tablas 2.3 y 2.4. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, estas tablas corresponden a la altura de agua precipitable hasta un nivel dado, por sobre el nivel del mar (1000 [mb]) en función de la temperatura de rocı́o al nivel 1000 [mb]. En consecuencia, el uso de las tablas, requiere previamente, reducir el valor de máximo punto de rocı́o persistente por 12 horas al valor correspondiente al nivel 1000 [mb], cuando este haya sido determinado para una altura distinta y requiere además, definir los niveles lı́mites de integración. La reducción de los valores de punto de rocı́o al nivel 1000 mb, puede efectuarse en forma analı́tica, pero resulta mucho más práctico recurrir a un diagrama termodinámico tal como se indica en la Figura 6.1. Por ejemplo, si el punto de rocı́o Índice es de 10ºC y ha sido determinado en una estación ubicada a 1000 [m] sobre el nivel del mar, entrando con estos dos valores al diagrama y desplazándose por la lı́nea adiabática correspondiente, se llega al valor 15ºC para el nivel del mar, supuesto a 1000 [mb]. Con este último valor debe entrarse a las Tablas 2.3 y 2.4. Con respecto a los 1ı́mites o niveles de integración, el inferior es generalmente la cota media sobre el nivel del mar del lugar en estudio; sin embargo, si existe entre la zona en estudio y la fuente de humedad (el mar), una barrera orográfica o cadena montañosa que interfiere significativamente el paso de las masas de aire húmedo, resulta más adecuado usar como nivel inferior de integración la altura media de la barrera montañosa. Como nivel o lı́mite superior de integración se usa generalmente, el nivel de 162 Precipitación Máxima Probable la tropopausa o limite entre la tropósfera y estratósfera que corresponde a la cota máxima de las masas de aire inestable en las cuales ocurren las tormentas. Este nivel corresponde más o menos a 10,000 metros sobre el nivel del mar o 250 [Hpa]. 4.0 3.5 ar 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 0 2 4 6 8 10 re lim in Altura [km] 3.0 12 14 16 18 20 Temperatura [°C] 22 24 26 28 30 rP Figura 6.1: Diagrama pseudo adiabático para reducir temperaturas de punto de rocı́o al nivel 1000 [Hpa]. Sin embargo, debido a la poquı́sima cantidad de agua que es capaz de contener la atmósfera a estas alturas, cualquier nivel por sobre los 400 [Hpa] que se adopte como lı́mite superior, no afecta mayormente el resultado. Ejemplo: Supongamos que en el lugar hipotético mencionado anteriormente a una cota de 1000 [m] sobre Bo rra do el nivel del mar y cuyo máximo punto de rocı́o persistente era de Trmax = 10 °C, queremos maximizar una tormenta en la cual precipitaron Pi = 100 [mm], con un punto de rocı́o persistente de Tri = 6 °C. Mediante la Figura 6.1, reducimos los valores de punto de rocı́o al nivel 1000 [mb]. Resulta: Trmax = 15 °C; Ti = 11.5 °C; Mediante las Tablas 2.3 y 2.4, calculamos las alturas de agua precipitable correspondientes entre la cota del lugar (1000 [m]) y el nivel 250 [mb]. W1000[m] = W1000[mb] − W1000[mb] 250[mb] 250[mb] 1000[m] De esta forma, se tiene: Wmax = 33 − 11 = 22 [mm] Wi = 24 − 9 = 15 [mm] 6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable 163 En consecuencia, la precipitación maximizada por humedad atmosférica resulta: Pmax = Pi Wmax 22 = 100 = 147 [mm] Wi 15 El valor P = 147 [mm] obtenido corresponde a la magnitud de precipitación que esa tormenta histórica hubiese tenido, si hubiere ocurrido bajo condiciones de máxima humedad. ar Faltarı́a solamente maximizar por velocidad del viento. Esta última corrección, como se indicó, normalmente se omite a menos que queramos diseñar con máxima seguridad, aparte de la dudosa eficacia del viento como, 6.4.4. Estimación de la PMP re lim in Índice de convergencia de humedad. El procedimiento de maximización de tormentas recién descrito, solamente implica una estimación de la magnitud que una tormenta histórica pudo haber tenido si hubiera ocurrido en las condiciones más desfavorables. En ningún momento nos asegura que la tormenta analizada haya sido extrema y que su maximización implique una estimación de la Precipitación Máxima Probable. Aún más, nada hemos visto con respecto a la distribución en el tiempo de la intensidad de la precipitación. En consecuencia, es muy probable que aún cuando una tormenta maximizada alcance el valor de la PMP para un intervalo de tiempo o duración dada, rP esté bastante por debajo de la PMP para otras duraciones. Por esta razón, el análisis de una o un par de tormentas históricas, independientemente de cuan sofisticado haya sido el método de maximización, no da ninguna seguridad de que la magnitud de la PMP haya sido alcanzada. Parece lógico, sin embargo, esperar que una curva envolvente superior que iguale o exceda las Bo rra do magnitudes maximizadas de una serie de tormentas para distintas duraciones, tienda a representar la PMP. Este es el procedimiento usualmente seguido para determinar la magnitud de la PMP. Se calculan inicialmente para cada tormenta las curvas precipitación duración área; o intensidad duración área; se maximizan estas curvas por concepto de humedad del aire y velocidad del viento y finalmente se construye un juego de curvas precipitación duración área envolventes a las curvas históricas que se consideran representativas de la PMP. 6.4.5. Curvas Precipitación-Duración-Área Las curvas Precipitación-Duración Área o Intensidad-Duración-Área, se emplean para analizar la distribución espacial y temporal de la precipitación caı́da durante una tormenta. Son una extensión de las curvas de intensidad – duración o precipitación – duración vistas anteriormente, en términos de que el análisis se efectúa no sólo para los registros de una estación individual sino que también para las precipitaciones medias espaciales ocurridas sobre distintas magnitudes de superficie de una cuenca, lo que genera familias de curvas intensidad media máxima – duración, llevando como parámetro el tamaño de la superficie considerada o alternativamente, familias de curvas precipitación media máxima – área, llevando como parámetro el intervalo 164 Precipitación Máxima Probable de tiempo o duración de la lluvia. 6.4.6. Precipitación Máxima Probable Vı́a Método Estadı́stico El cálculo de la Precipitación Máxima Probable por la vı́a de maximización hidrometeorológica de tormentas históricas, según los procedimientos indicados en los acápites anteriores resulta altamente engorroso y ar requiere disponer de completa información hidrometeorológica, razón por la cual no siempre se justifica y frecuentemente no es posible llevarlo a cabo por falta de la información mı́nima indispensable. En estos casos es posible efectuar estimaciones de la PMP siguiendo un procedimiento estadı́stico simplifi- re lim in cado, propuesto inicialmente por Herschfield (1965). Basado en el análisis de un gran número de estadı́sticas de precipitaciones máximas diarias, Herschfield (1965) propone estimar la precipitación máxima probable mediante la expresión, P M P = P̄c + KM · σc donde, (6.2) P̄c : Precipitación máxima anual media corregida. σc : Desviación estándar corregida de las precipitaciones máximas anuales. rP KM : Coeficiente de frecuencia máximo para una lluvia de 24 horas de duración, que se puede aproximar con suficiente aproximación mediante las expresiones, Bo rra do KM = −0.00212P̄c 18.2 · e 20 · e−0.00279P̄c P̄c > 140 [mm] (6.3) P̄c ≤ 140 [mm] Los valores del promedio y de la desviación estándar deben corregirse según Herschfield, por los efectos de la longitud de estadı́stica y por la presencia de eventos extremos que distorsionan estos estadı́grafos, según factores que se obtienen de ábacos o gráficos, pero que se pueden aproximar con un error similar o menor al resultado de la lectura gráfica, mediante las expresiones: (6.4) σN −1 0.699 σc = σN 0.993 + 0.307 · e−0.258·(N −10) 1.09 + 0.223 · e−0.07·N + 0.008 σN (6.5) P̄c = P̄N 1 + 0.143 · e−0.105·N (1.05 − 0.0008 · N ) P̄N −1 2 + 3.9 × 10−5 (N − 37) + 0.002 P̄N No obstante lo anterior, en un estudio efectuado en Chile, (Stowhas, 1983) analizando 190 estaciones pluviométricas con un total de 6504 años de registro, se concluye que los valores del coeficiente de frecuencia propuestos por Herschfield tienden a sobreestimar las precipitaciones máximas probables en Chile, donde predominan lluvias de gran variabilidad, con altos coeficientes de variación, sugiriéndose utilizar un coeficiente de frecuencia máximo constante, KM = 11, es decir, 6.4. Método Hidrometeorológico de Estimación de la Precipitación Máxima Probable P M P1 = P̄c + 11 · σc 165 (6.6) Alternativamente, en base a un trazado de envolventes superiores que respeta no sólo los máximos eventos a nivel nacional, sino a eventos mundiales a los que se tuvo acceso, se propone estimar la PMP con las 1.141 P M P2 = P̄c 4 + 3.8e−0.0069·P̄c o re lim in 1.102 P M P3 = P̄c 3.5 + 3.65e−0.0076·P̄c ar expresiones: (6.7) (6.8) donde P M P2 de la ecuación (6.7) serı́a aplicable a estaciones pluviométricas cordilleranas y P M P3 de la ecuación (6.8) serı́a aplicable a estaciones pluviométricas no cordilleranas. En definitiva, ante la imposibilidad de aplicar el método hidrometeorológico, se recomienda estimar la PMP con el método estadı́stico, utilizando el valor más conservador que resulte entre las ecuaciones (6.6) y la que corresponda entre (6.7) o (6.8). Debe recordarse que todo lo anterior es válido para precipitaciones máximas diarias, recomendándose un Bibliografı́a rP factor de amplificación 1.06 para evaluar precipitaciones máximas en 24 horas. Bo rra do Herschfield, D. M. (1961), Estimating the probable maximum precipitation, J. Hyd.Div, ASCE, Vol 87. Herschfield, D. M. (1965), Method for estimating probable maximum precipitation, J. American Waterworks Assoc., Vol 57. Stowhas (1973), Métodos Hidrometeorológicos en el Estudio de Crecidas, Universidad de Chile. Stowhas, L. (1983), Precipitaciones Máximas Diarias en Chile, VI Congreso Nacional de Hidráulica, SOCHID. WMO (1973), Manual on Estimation of Probable Maximum Precipitation (PMP), World Meteorological Organization, Op. Hydr. Report N° 1, WMO-332. re lim in rP Bo rra do ar re lim in ar Capı́tulo 7 ESCORRENTÍA Introducción rP El ciclo de escorrentı́a es la fase del ciclo hidrológico que ocurre sobre la litósfera, y es en definitiva el más importante en términos de la evaluación de los recursos hidráulicos disponibles en una determinada cuenca. La forma como el agua se desplaza a través de la litósfera puede esquematizarse a través del diagrama de flujo que se presenta en la Figura 7.1. La primera precipitación caı́da, es interceptada por la capa de vegetación Bo rra do que cubre el suelo, la que normalmente es devuelta a la atmósfera como evaporación. El agua lluvia que sobrepasa la retención vegetal, llega a la superficie del suelo donde es detenida en zonas depresionarias y/o es infiltrada al interior del suelo, inicialmente seco. A medida que la precipitación continúa, la capacidad de retención se colmata, la infiltración, al hume- decerse el suelo, disminuye, hasta que se produce una precipitación en exceso que genera escorrentı́a superficial, que comienza a escurrir inicialmente en la forma de una lámina superficial, para posteriormente irse concentrando a través de la red de drenaje natural de la cuenca. El agua que infiltra en el suelo, puede seguir dos caminos. Uno, encontrarse con capas de suelo permeable que le permitan percolar profundo hasta alcanzar los acuı́feros o napas subterráneas, donde escurrirá como flujo subterráneo, volviendo posteriormente a la superficie en forma de vertientes o afloramientos en los cauces de los rı́os, o eventualmente descargando en forma subterránea hasta alcanzar un lago o el mar. El otro camino es encontrarse con estratos impermeables que le impidan la percolación profunda, por lo que el agua infiltrada se desplaza en forma subsuperficial, ya sea en forma de flujo intermedio rápido o flujo intermedio lento, dependiendo del tiempo que se demore en retornar a la superficie para agregarse a la escorrentı́a superficial. La suma de la escorrentı́a superficial más el flujo intermedio rápido, definido como aquel que aflora a la 167 168 Escorrentı́a superficie dentro de la escala de tiempo de la tormenta que lo produjo, constituyen la denominada escorrentı́a directa. A su vez, la precipitación en exceso sumada a aquella parte del agua infiltrada que se manifiesta como escorrentı́a directa y que se indican con lı́neas de trazos en la Figura 7.1, constituyen lo que se denomina precipitación efectiva. El flujo intermedio lento sumado a la escorrentı́a subterránea, que retornan a la superficie en un tiempo posterior a la ocurrencia de la tormenta que los generó, constituyen lo que se denomina el flujo base. ar La escorrentı́a total o el caudal presente en el cauce de un rı́o en un determinado instante, tiene entonces dos componentes: El flujo base o caudal semi permanente en el cauce, originado por infiltración y recuperación de precipitaciones ocurridas en perı́odos anteriores, y la escorrentı́a directa, producto de las precipitaciones re lim in que están ocurriendo en ese instante o en instantes inmediatamente anteriores. PRECIPITACIÓN TOTAL PRECIPITACIÓN EN EXCESO INTERCEPCIÓN Y EVAPOTRANSPIRACIÓN INFILTRACIÓN ESCORRENTÍA SUPERFICIAL PRECOLACIÓN PROFUNDA PRECIPITACIÓN FLUJO INTERMEDIO RÁPIDO Bo rra do EFECTIVA rP ESCORRENTÍA SUBSUPERFICIAL ESCORRENTÍA DIRECTA FLUJO INTERMEDIO LENTO ESCORRENTÍA SUBTERRÁNEA FLUJO BASE ESCORRENTÍA TOTAL Figura 7.1: Esquema del Ciclo de Escorrentı́a 7.1. Fluviometrı́a A diferencia de las variables meteorológicas antes analizadas, cuya medición es responsabilidad de la meteorologı́a, la medición de la escorrentı́a es responsabilidad de la ingenierı́a hidráulica o de la hidrologı́a. Se denomina fluviometrı́a a una rama de la hidrologı́a dedicada a la acción de medir los caudales que escurren por un determinado cauce en una sección especı́fica de él denominada sección de aforo. A diferencia de las variables meteorológicas donde las mediciones instrumentales constituı́an sólo un ı́ndice de la variable en interés, en el caso de los caudales, que se van concentrando hasta llegar a la sección de aforo, la medición co- 7.1. Fluviometrı́a 169 rresponde a la variable misma y en este sentido la escorrentı́a es normalmente la única variable constituyente del ciclo hidrológico que se puede medir directamente y no a través de un ı́ndice. Sin embargo, la medición directa del caudal, lo que se denomina “aforo”, es bastante tediosa y complicada, por lo que la medición rutinaria de los caudales de un rı́o se hace normalmente en forma indirecta, midiendo la altura o niveles del agua, traduciendo posteriormente esta información a caudales, a través de la denominada curva de descarga, o función que relaciona los niveles del agua con el caudal. ar Las secciones de aforo se pueden clasificar en: Artificiales re lim in Naturales Naturales modificadas Una sección de aforo es artificial, cuando existe en ella alguna estructura hidráulica, tales como venturı́metros, canaletas Parshall o generalmente un vertedero, que permite establecer una relación analı́tica teórica o semiempı́rica entre el nivel de agua y el caudal. En el caso de vertederos esta relación es del tipo donde, Q: Caudal. Ω: Sección transversal. g: Aceleración de gravedad. p 2gH (7.1) rP Q=m·Ω· Bo rra do H: Carga o altura de agua sobre el vertedero. m: Coeficiente de gasto teórico o empı́rico particular para cada tipo de estructura. La instalación de secciones artificiales sólo se justifica para caudales relativamente pequeños. Para caudales mayores suele aprovecharse la existencia de dichas estructuras con otros propósitos, tales como barreras de bocatomas, vertederos de embalses u otras, pero lo usual es que la sección de aforo sea simplemente una sección adecuada del propio cauce, o sección de aforo natural. En el caso de secciones naturales, no existe a priori una curva de descarga conocida por lo que esta debe determinarse experimentalmente mediante mediciones sucesivas, simultáneas e independientes del nivel de agua y del caudal. Una sección de aforo natural modificada es una sección natural en la que se introducen algunas modificaciones, por ejemplo, muros laterales de confinamiento, que permiten una mejor definición de la geometrı́a de la sección. Los niveles de agua pueden medirse con limnı́metros, reglas limnimétricas muy similares a las miras topográficas, técnicas basadas en reflexión de ondas o en base a presostatos que miden la presión ejercida por el agua sobre el fondo del cauce. Las mediciones pueden ser puntuales, normalmente se miden uno o dos valores diarios, o pueden registrarse en forma continua, con instrumentos inscriptores denominados limnı́grafos, que pueden ser mecánicos o electrónicos, hoy en dı́a incluso conteletransmisión de los registros. Los limnı́grafos, 170 Escorrentı́a para evitar que sean dañados o arrastrados por las aguas durante las crecidas, normalmente se instalan en un pozo ubicado fuera del cauce, pero conectado hidráulicamente con él, aprovechando el principio de los vasos comunicantes. Las técnicas de medición directa de caudales o aforos son diversas, yendo desde el simple uso de flotadores, dinamómetros, uso de trazadores puntuales o continuos, tanto quı́micos como radioactivos, diversos tipos de caudalı́metros mecánicos o electrónicos, pero el método habitual de medición se basa en el instrumento ar denominado molinete, los cuales pueden ser electrónicos, que estiman la velocidad del agua por efecto Doppler, o mecánicos, de los cuales existen dos tipos genéricos, de eje vertical o de copas, análogo a un anemómetro 7.1.1. 7.1.1.1. Técnicas de Medición Flotadores re lim in y de eje horizontal o hélice, análogo a un molino de viento. El uso de flotadores se restringe a mediciones improvisadas en terreno o determinaciones muy preliminares del caudal y consiste simplemente en medir el tiempo “t” que demora un flotador en recorrer, en lo posible por el centro del cauce, una determinada distancia “s”. Con ello se determina la velocidad del flotador, según s t rP vf = (7.2) Si el flotador es superficial, su velocidad será normalmente mayor que la velocidad media del escurrimiento, Bo rra do la cual puede estimarse en una primera aproximación como v ≈ 0.8vf (7.3) Estimando en forma independiente la sección mojada del escurrimiento Ω, se obtiene una primera aproximación al valor del caudal como Q ≈ 0.8 · Ω · vf (7.4) Si se logra, mediante la introducción de algún lastre, que el flotador escurra semi-sumergido, ocupando toda la vertical del escurrimiento, suele suponerse que su velocidad corresponde a la velocidad media del flujo. La estimación de caudales mediante flotadores debe repetirse al menos dos o tres veces, para evitar errores groseros. 7.1.1.2. Trazadores El uso de trazadores quı́micos o radioactivos, por su costo y carácter contaminante, se limita a condiciones muy particulares, donde se necesite buena precisión y donde el uso de otras técnicas no resulte factible. Básicamente consiste en efectuar un balance másico de algún trazador incorporado a la corriente. En el 7.1. Fluviometrı́a 171 caso del aforo continuo, esto consiste en inyectar a la corriente un caudal “q” de algún trazador en una concentración o radioactividad C0 , y medir aguas abajo, después de que se haya logrado una mezcla perfecta, la concentración o radioactividad final Cf . Si el caudal del rı́o es “Q”, entonces de un balance másico del trazador se obtiene Normalmente Q >> q, por lo que C0 ·q Cf (7.6) re lim in Q+q = (7.5) ar q · C0 = (Q + q) · Cf C0 ·q Cf Q= (7.7) La concentración final de los trazadores quı́micos, los que no deberán reaccionar con ningún componente del agua o el lecho, se determina tomando muestras que se analizan en laboratorio. La concentración de trazadores radioactivos, para lo cual se usa frecuentemente 131 I, puede determinarse rP in situ mediante el uso de contadores Geiger o preferentemente contadores de centelleo. Los aforos puntuales consisten en inyectar de una sola vez, una “bomba” con una concentración conocida C0 e integrar aguas abajo, una vez que se ha producido la mezcla, la variación de la concentración en el tiempo y espacio. La deducción del caudal en estos casos se hace más compleja y debe consultarse en algún Bo rra do texto más especializado. 7.1.1.3. Molinetes El molinete, mide en estricto rigor la velocidad del agua en un punto especı́fico del escurrimiento, por lo que el caudal se determina a través de la relación Q= Z v · dΩ (7.8) Ω En términos prácticos la integral se resuelve efectuando diversas mediciones de velocidad en distintas verticales de la sección de escurrimiento, e integrando numéricamente, Q= N X vi · dΩi (7.9) i=1 donde vi es la velocidad puntual del agua, la cual se determina en el caso de instrumentos electrónicos por efecto Doppler y en el caso de molinetes mecánicos a través de una curva de calibración del instrumento, midiendo la velocidad angular de las copas o hélice del instrumento. 172 Escorrentı́a Otra alternativa es trazar, en base a las diversas mediciones, las curvas isotáquicas o curvas de igual velocidad en la sección de aforo, e integrar posteriormente en función del área asociada a cada curva. En teorı́a, la medición será mas exacta mientras más valores de velocidad se midan, sin embargo, la medición se hace cada vez más lenta y si el caudal del rı́o es variable en el tiempo, aparte del trabajo consumido, se comienza a perder precisión. En la práctica, una vez calibrada la medición, se recomienda subdividir la sección en una serie de subsecla velocidad media en cada sección mediante re lim in Vx = donde, V x : Velocidad media en la sección x. V0.8 + V0.2 2 ar ciones verticales de ancho ∆x, tal que ninguna de ellas sea mayor que el 20 % de la sección total, estimando (7.10) V0.8 : Velocidad a un 80 % de la profundidad total en la sección (Hx ). V0.2 : Velocidad a un 20 % de la profundidad total en la sección (Hx ) El caudal en este caso resultará según la expresión, Nx X V x · Hx · ∆x rP Q= (7.11) i=1 donde Nx corresponde al número de subsecciones en que se dividió la sección. La medición de la velocidad en las distintas verticales, puede lograrse bajando el instrumento en cada vertical, mediante una barra o un cable graduados, desde una embarcación que logre mantenerse estacionaria, desde algún puente cuyas cepas Bo rra do no interfieran el escurrimiento o lo que es más habitual mediante un cable-carro, consistente en un pequeño carro que se desplaza accionado manualmente, a lo largo de un cable que se tensa entre las dos riberas del rı́o. Una vez que se dispone de sucesivas mediciones simultaneas de altura limnimétrica y caudal, se dispondrá de pares de puntos (H, Q) que permitirán la definición empı́rica de la curva de descarga. Finalmente, una vez establecida la curva, se continúa la medición rutinaria de las alturas limnimétricas o limnigráficas, y a través de la curva de descarga se determina el caudal. Si la instalación es limnimétrica, se recomienda la lectura mı́nima de dos valores diarios, a partir de los cuales se estima el caudal medio diario. Si la instalación es limnigráfica, se dispondrá de una curva continua de niveles en función del tiempo, denominada limnigrama, de cuya traducción se puede obtener una curva continua de caudales en función del tiempo, o hidrograma. El promedio mensual de los caudales diarios dará origen al caudal medio mensual, y el promedio de estos últimos dará origen al caudal medio anual. También se acostumbra mantener registros especiales de los caudales extremos, caudales máximos y mı́nimos diarios en el caso de estaciones limnimétricas, y de caudales extremos instantáneos en el caso de estaciones limnigráficas. La institución encargada en Chile de registrar, procesar y almacenar esta información es oficialmente la Dirección General de Aguas del M.O.P. (DGA), aunque también existen estadı́sticas controladas por parti- 7.1. Fluviometrı́a 173 culares, para sus propios intereses, especialmente las empresas hidroeléctricas. A través del Banco Nacional de Aguas de la DGA, esta información se hace accesible a los distintos usuarios. 7.1.2. Perı́odo de Validez de la Curva de Descarga Desgraciadamente, en la mayorı́a de los casos no basta con establecer sólo en forma inicial la curva de descarga, ar pues esta puede ser variable en el tiempo. Luego, es necesario efectuar aforos esporádicos, normalmente una vez al mes, que permitan verificar la invariancia de la curva o detectar cuándo esta ha sufrido algún cambio. En efecto, si utilizamos algún modelo hidráulico para representar la relación entre la altura de agua y el re lim in caudal, como por ejemplo, la conocida fórmula de Manning, tendremos la relación, Q= donde, J: Pendiente del eje hidráulico. Ω: Sección transversal. Rh : Radio hidráulico. (7.12) rP n: Coeficiente de rugosidad de Manning. √ J 2/3 · Ω · Rh n Del análisis de esta ecuación tenemos que funcionalmente, el caudal Q depende de Bo rra do Q = f (H, J, n, geometrı́a) Luego, la curva de descarga sólo será invariante, si permanecen constantes en el tiempo, la pendiente del eje hidráulico (o del fondo del lecho), la rugosidad del lecho y la forma geométrica de la sección. En secciones naturales, por efecto de socavaciones de fondo y laterales, por embancamientos, por crecimiento de vegetación acuática o ribereña o por perturbaciones del rı́o en otros puntos del cauce, todas estas variables pueden sufrir cambios en el tiempo. Si alguno o alguna combinación de estos parámetros sufre algún cambio, brusco o paulatino, la curva de descarga variará, siendo necesario comenzar nuevamente la recopilación en terreno de pares de valores (Q, H) con el propósito de establecer la nueva curva de descarga. El perı́odo de tiempo para el cual una determinada curva de descarga es válida, es lo que se denomina su perı́odo de validez. Algunas secciones resultan muy estables y mantienen de forma permanente su curva de descarga, o al menos esta se mantiene durante perı́odos muy largos. Otras, sin embargo, resultan tan cambiantes que resulta imposible establecer adecuadamente su curva de descarga y deben ser abandonadas como secciones de aforo. Una manera de lograr secciones estables es elegir secciones del rı́o en que este escurra en lecho rocoso, ya que será difı́cil de socavar y en consecuencia su sección y geometrı́a será constante. También es posible intentar independizarse de las variaciones de pendiente del fondo y rugosidad, si se escoge una sección, normalmente a corta distancia aguas arriba de un rápido, donde el escurrimiento tiende a ser en régimen crı́tico o de energı́a 174 Escorrentı́a mı́nima. Bajo estas condiciones, la teorı́a hidráulica nos dice que la relación entre altura y caudal pasa a ser función única de la geometrı́a del cauce. En definitiva, una sección en roca, alguna corta distancia aguas arriba de un rápido, parece ser el lugar ideal escogido por la naturaleza para instalar una sección de aforo estable. Como se mencionó anteriormente, si en alguna sección se efectúan algunas modificaciones, como construir muros guı́as laterales a fin de confinar el escurrimiento y estabilizar su sección, se habla de secciones de aforo Extensión de Curvas de Descarga re lim in 7.1.3. ar naturales modificadas. Para la traducción de estadı́sticas fluviométricas, faena que hoy en dı́a se efectúa normalmente en forma computacional, es necesario ajustar expresiones analı́ticas a las curvas de descarga a fin de facilitar el trabajo. Cuando se trata de interpolar datos dentro del rango de valores aforados que definen la curva, podrá ajustarse, utilizando los numerosos software que existen para ello, la expresión analı́tica que logre el mejor ajuste. Un problema especial lo constituye la extrapolación de las curvas, situación que se presenta cuando se mide un valor de altura extremo, normalmente muy alto, que cae fuera del rango de los aforos efectuados. En estos casos la extrapolación debe ser muy cuidadosa, a fin de no cometer errores de extrapolación severos. Para estos propósitos se recomienda el uso de expresiones analı́ticas relativamente simples o con alguna estructura rP que tenga algún sentido fı́sico. Para ello pueden utilizarse polinomios algebraicos de no muy alto grado o preferiblemente expresiones potenciales del tipo, Bo rra do Q = a · (H − b)c (7.13) La constante b es normalmente necesaria porque el origen o valor 0 de la escala del limnı́metro, no tiene porqué coincidir con el fondo exacto del cauce, o condición Q = 0. Una técnica de extrapolación que suele dar buenos resultados, es apoyarse en alguna fórmula hidráulica como la de Manning. A partir de la información que se obtiene de los aforos, es posible expresar la altura limnimétrica en función de los factores hidráulico y geométrico de la fórmula, es decir, se pueden establecer las relaciones, H = f (Ω · Rh ) 2/3 (7.14) √ H = f ( J/n) (7.15) La primera función, es solamente geométrica y puede extrapolarse en base a un levantamiento topográfico de la sección del cauce. La segunda función, para caudales altos, en que el escurrimiento se acerca al crı́tico, suele hacerse constante o muy poco variable, con lo que resulta menos azarosa su extrapolación. Luego, la extrapolación se efectúa, para un valor de H más alto que el rango aforado, evaluando en forma independiente los factores geométricos e hidráulicos, resultando de su producto, el caudal asociado a dicha altura. 7.1. Fluviometrı́a 175 Un problema frecuente en las mediciones fluviométricas es el embanque, mal funcionamiento del limnı́grafo o destrucción de la regla limnimétrica durante las grandes crecidas del rı́o, precisamente en los perı́odos en que las mediciones resultan de mayor interés. Por eso es conveniente instalar medidores de niveles máximos que consisten simplemente en un tubo vertical ranurado que por efecto de vasos comunicantes mantiene su nivel de aguas al mismo nivel del rı́o. En el interior del tubo se incorpora algún material granular flotante, por ejemplo, pellets de plumavit, algunos de los cuales se quedan adheridos a la pared interior del tubo, Homogeneidad de Estadı́sticas Fluviométricas re lim in 7.1.4. ar permitiendo detectar el más alto nivel alcanzado por las aguas. Con motivo de cambios no detectados de la curva de descarga o mal ajuste de estas, u otras veces, por intervenciones hechas aguas arriba que cambian el régimen natural del escurrimiento, las estadı́sticas fluviométricas pueden contener errores sistemáticos o representar regı́menes de escurrimiento diferentes en distintos perı́odos de tiempo, por lo que en definitiva, para los propósitos de análisis estadı́sticos, se constituyen en series no homogéneas. Con el propósito de detectar y corregir estas heterogeneidades, puede utilizarse en principio el método de las curvas doble acumuladas descrito para la homogeneización de las estadı́sticas pluviométricas. Sin embargo, el método en este caso tiene algunas limitaciones. A diferencia de las precipitaciones, las cuales dentro de rP una zona homogénea tienen un mismo orden de magnitud, la magnitud de los caudales de los distintos rı́os involucrados en el análisis puede ser bastante diferente, dependiendo de los tamaños de las respectivas cuencas aportantes. Por ello resulta conveniente no trabajar con los caudales mismos sino con los caudales especı́ficos, definidos como el caudal por unidad de área aportante, expresados por ejemplo en [m3 /s/km2 ]. Bo rra do Una segunda limitación proviene de que la hipótesis de que la relación entre las variables corresponde a una relación lineal que pasa por el origen, no necesariamente se cumple en el caso de caudales, lo que puede generar una curva acumulada serpenteante, dependiendo del rango de magnitud de los mismos. Esta situación puede resolverse efectuando una regresión lineal o no lineal entre los valores no acumulados de la variable en análisis y el patrón, construyendo posteriormente las curvas doble acumuladas entre los valores medidos versus los estimados por la ecuación de regresión. La corrección de los datos, en caso de detectarse algún quiebre, se recomienda en estos casos verificando el trazado y perı́odo de validez de las curvas de descarga, o corrigiendo los datos medidos para llevarlos al régimen natural, en caso que este sea la causa del quiebre. 7.1.5. Presentación de Estadı́sticas Fluviométricas De toda la información que se recopila en una estación fluviométrica, suelen rescatarse los caudales medios diarios y extremos diarios, mientras que en las estaciones fluviográficas se rescatan los caudales medios diarios y los caudales máximos o mı́nimos instantáneos. A partir de ellos pueden construirse las series de caudales medios y extremos mensuales y las series de caudales medios y extremos anuales, series a las que se les dará distinto uso dependiendo de los propósitos del estudio. Para el estudio de crecidas, por ejemplo, se considerarán las series de caudales máximos diarios o instantáneos anuales, las que se someterán a análisis 176 Escorrentı́a de frecuencia con los procedimientos antes vistos, los que permitirán asociar la magnitud de estos caudales de crecida con su respectivo perı́odo de retorno. Para la evaluación de recursos hı́dricos, se trabajará normalmente con las series de caudales medios diarios, mensuales o anuales, dependiendo del detalle o precisión requeridos. Existen diferentes métodos o procedimientos para presentar los resultados de los análisis estadı́sticos efectuados a las estadı́sticas fluviométricas a fin de lograr su mejor visualización e interpretación, entre los que Curvas de Variación Estacional de Caudales re lim in 7.1.5.1. ar destacan las curvas de variación estacional y las curvas de duración general, descritas anteriormente. Corresponden a curvas asociadas normalmente a caudales medios mensuales, que muestran, para cada mes del año, la magnitud de la variable asociada a una determinada probabilidad de ocurrencia. Permiten establecer, por ejemplo, qué caudal medio mensual habrá en un cauce dado, en un cierto mes del año con una cierta probabilidad de ocurrencia o “ % de sequedad”. Como se mencionó en el capı́tulo 5, resultan de someter a un análisis de frecuencia a las 12 series de caudales medios mensuales. La Figura 7.2 muestra la curva de variación estacional en una sección del Rı́o Aconcagua. rP 150 140 130 120 110 100 90 80 70 Bo rra do Caudal [m3/s] 160 60 50 40 30 20 10 0 ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MAR 39.88 5% 42.77 68.43 132.96 156.92 141.12 113.94 105.05 123.82 156.23 103.79 49.67 85% 6.12 18.81 20.62 24.52 Qmedio 18.03 36.05 57.39 67.88 24.14 62.77 15.79 47.59 8.46 37.99 12.38 51.32 3.76 0.00 0.00 3.60 59.56 37.70 18.46 16.34 Figura 7.2: Curva de variación estacional de caudales Estación Aconcagua en Desembocadura. La simple inspección ocular de una curva de variación estacional permite determinar el régimen de un rı́o. Ası́, si las curvas presentan un solo máximo que coincide con la época lluviosa del año (invierno en Chile central), entonces el régimen será pluvial, es decir, las precipitaciones caen en forma lı́quida sobre la cuenca. Si los máximos ocurren en el perı́odo seco estival, entonces el régimen será nival, las precipitaciones 7.1. Fluviometrı́a 177 caen en forma de nieve en el invierno, la cual se derrite e incrementa los caudales en la época calurosa del verano. Si las curvas presentan dos máximos, en el caso de Chile central, el régimen es mixto pluvio-nival, las precipitaciones ocurren en forma lı́quida en la parte baja de la cuenca y en forma sólida en las partes altas. Debe tenerse en consideración que la suma o promedio de todos los caudales medios mensuales con una misma probabilidad normalmente no coincide con la magnitud del caudal medio anual correspondiente a la misma probabilidad. Para estimar la variación estacional de un año tipo, es preferible efectuar el análisis de ar frecuencia a los caudales medios anuales y adoptar la distribución mensual histórica media de aquellos años históricos que más se acerquen a la probabilidad anual de excedencia que se desea establecer, verificando 7.1.5.2. re lim in obviamente que el promedio de todos los meses coincida con el caudal medio anual. Curvas de Duración General de Caudales Son curvas normalmente asociadas a caudales medios diarios o mensuales, que permiten determinar en qué porcentaje del tiempo total existirá en el cauce un caudal mayor (o menor) a un cierto valor especificado. Resultan de ordenar de mayor a menor la serie de caudales medios diarios o mensuales de todo el perı́odo de estadı́sticas y asociar la probabilidad empı́rica de California con el porcentaje del tiempo de excedencia (ver sección 5.6.3). Este es uno de los casos en que se trabaja con la serie de duración completa, y en estricto rigor debiera trabajarse con la variable continua. A medida que se incrementa el intervalo de medición, promedio horario, promedio diario o promedio mensual la curva va perdiendo precisión. Ası́ la rP curva de duración general efectuada con la serie de caudales medios mensuales resulta más plana que la curva construida con los valores diarios, subestimando la magnitud de los valores altos y sobreestimando la magnitud de los valores bajos, ya que obviamente dentro de un mes habrá caudales diarios que exceden y otros que no exceden el valor promedio. En el caso de rı́os de régimen nival, en que las ondas de crecida son Bo rra do paulatinas y estacionales, el uso de serie de caudales medios mensuales no introduce en general mayor error respecto a las series diarias (Castillo, 2004). No ocurre lo mismo en las cuencas de régimen pluvial, donde los caudales altos se concentran en unos pocos dı́as del mes en que ocurren las precipitaciones. Hormaechea (1999) presenta un procedimiento para corregir la cantidad de agua que es posible de extraer de un rı́o de régimen pluvial, cuando la estimación se efectúa a partir de la serie de caudales medios mensuales. La Figura 7.3 muestra la curva de duración general de caudales para el perı́odo 1978-2008 en la estación Rı́o El Salto en Bocatoma. 178 Escorrentı́a 70 60 50 40 ar 30 20 10 0 0 10 20 30 re lim in Caudal Medio Mensual [m3/s] 80 40 50 60 70 80 90 100 Probabilidad de Excedencia [%] Figura 7.3: Curva de duración general de caudales Estación Rı́o el Salto en Bocatoma (1978-2008). 7.1.6. Caudales Mı́nimos, Sequı́as y Caudales Ecológicos Para el análisis de caudales mı́nimos puede en principio utilizarse las mismas técnicas de análisis de frecuencia rP que permitirán asociar la magnitud de dichos caudales con su probabilidad de ocurrencia o perı́odo de retorno. Sin embargo, el análisis de sequı́as es un problema más complejo, pues los perjuicios que provoca una sequı́a no dependen sólo de la magnitud de las precipitaciones o de los caudales mı́nimos, sino además del tiempo en que se prolonguen dichos valores mı́nimos pues a diferencia de los eventos máximos que normalmente son Bo rra do eventos aislados e independientes, los perı́odos secos y los caudales mı́nimos son mucho más persistentes. A su vez, debe distinguirse entre sequı́as meteorológicas o déficit de precipitaciones y sequı́as hidrológicas o déficit de caudales. La ocurrencia, por ejemplo, de una serie de caudales bajos no muy extremos puede ser, y de hecho, normalmente lo es, más perjudicial que un evento mı́nimo más extremo que ocurra en forma aislada. En definitiva, las sequı́as dependen tanto de la magnitud como de la duración del evento, por lo que su análisis se debe abordar con metodologı́as ad hoc para distintos casos particulares. Fernández (1991) presenta un completo análisis de las sequı́as en la zona central de Chile. Los caudales ecológicos corresponden a un concepto distinto que se refiere a los caudales mı́nimos que deben mantenerse en el cauce de un curso natural de agua, para preservar los ecosistemas que de él dependen, cuando los caudales son disminuidos por la acción humana de extracción de dichos recursos. Si bien la definición del concepto de caudal ecológico es bastante clara, cuando llega el momento de cuantificar sus magnitudes, el problema se complica pues aparecen distintos criterios que van desde lo puramente estadı́stico, hidrológico, hidráulico, biológico y ecológico, hasta posiciones puramente conservacionistas. La Dirección General de Aguas, DGA, institución encargada de velar por los recursos hı́dricos del paı́s ha definido a lo largo del tiempo distintos criterios para cuantificar los caudales ecológicos o caudales mı́nimos que deben respetarse al extraer los caudales de un rı́o. En general, el caudal ecológico ha sido establecido en términos probabilı́sticos tales como el 10 % del caudal medio anual o el 50 % del caudal medio mensual 7.1. Fluviometrı́a 179 mı́nimo de un año 95 % seco. Hoy en dı́a, este último criterio se ha extendido a la escala mensual, permitiendo tener una variación estacional, con una serie de restricciones que se pueden consultar en el Manual de Normas y Procedimientos de la DGA. Estos criterios, de alguna manera algo arbitrarios, podrı́an continuar cambiando en el transcurso del tiempo, ar por lo que siempre será necesario consultar a futuro cuáles son las últimas determinaciones vigentes al respecto. Bibliografı́a S.A. Santafé de Bogota, Colombia. re lim in Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana, Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology, Mc Graw Hill. Hendriks, M. R. (2010), Indroduction to Physical Hydrology, Oxford University Press. Hormaechea, J. (1999), Estimación del caudal útil de extracción de bocatomas en cauces de régimen pluvial, XIV Congreso Chileno de Hidraulica. Castillo, J. (2004), Estimación de extracciones mensuales de bocatomas en rı́os de régimen nival, Universidad T. F. Santa Marı́a, Depto. de Obras Civiles. rP Fernández, B. (1991), Sequı́as en la Zona Central de Chile, Informe final de proyecto, 94 pp., Pontificia Bo rra do Universidad Católica de Chile, Santiago, Chile. re lim in rP Bo rra do ar re lim in ar Capı́tulo 8 ESTIMACIÓN Introducción rP DE LA ESCORRENTÍA Uno de los problemas más frecuentes a que se ve abocado un hidrólogo o ingeniero hidráulico, es a la estimación de los caudales en alguna sección especı́fica de un rı́o. Esto se debe a que es difı́cil, en caso de Bo rra do que exista información fluviométrica medida en dicho cauce, que esta información coincida exactamente con el lugar en que se necesita conocer dichos caudales, o lo que es más frecuente, debido a que simplemente no existe información fluviométrica en la zona. Los métodos a utilizar en estos casos corresponderán a relaciones estadı́sticas, correlaciones entre distintas variables o a modelos conceptuales que permitan evaluar la escorrentı́a a partir de información primaria respecto a precipitaciones, simulando el ciclo de escorrentı́a subsiguiente. El método especı́fico a utilizar en cada caso, dependerá por una parte de los objetivos y fines de la estimación requerida, y por otra parte, del tipo y cantidad de información disponible y de la escala de tiempo requerida para caracterizar adecuadamente el problema en análisis. Por ejemplo, las metodologı́as a utilizar serán bastante distintas si lo que se pretende es evaluar recursos hı́dricos en términos de caudales medios o volúmenes de agua en perı́odos largos de tiempo o si se pretende estimar caudales máximos o mı́nimos en un instante histórico dado, o en términos probabilı́sticos. Las situaciones más frecuentes, para las cuales se necesita estimar escorrentı́a, son entre otras, las siguientes: (i) Interpolar o rellenar estadı́sticas incompletas. Muchas veces estadı́sticas disponibles resultan inútiles por la falta de algún dato individual o la pérdida 181 182 Estimación de la Escorrentı́a de algún perı́odo de medición. La interpolación o relleno de la información faltante, permite la utilización del resto de la información medida. (ii) Extender estadı́sticas de duración demasiado corta. La representatividad estadı́stica de los parámetros de una muestra depende fundamentalmente del tamaño de la muestra. Para el análisis de series hidrológicas se recomienda utilizar series del orden de 30 años. Si las estadı́sticas disponibles son demasiado cortas, estas podrán extenderse mediante ar distintos procedimientos a fin de aumentar el tamaño de la muestra. Sin embargo, como los datos estimados tendrán mayor incertidumbre que los datos medidos, para una mayor representatividad de longitud de la estadı́stica original. re lim in los parámetros de la estadı́stica extendida, se recomienda que la extensión sea al menos del 25 % de la (iii) Trasladar o trasponer información fluviométrica desde un punto conocido a otro de mayor interés. (iv) Sintetizar información fluviométrica, donde ella simplemente no existe. (v) Predecir o pronosticar caudales o escorrentı́a futura. (vi) Análisis de gastos mı́nimos o sequı́as. (vii) Análisis de gastos máximos o estudios de crecidas. rP Para cada una de las situaciones anteriores, a su vez, podrá requerirse información a distinta escala de tiempo, ya sea caudales instantáneos, medios diarios, medios mensuales o simplemente volúmenes anuales de escorrentı́a. Bo rra do En cuanto a la información disponible, podrán presentarse las siguientes situaciones: (i) Existencia de información fluviométrica en el lugar, pero en cantidad insuficiente. (ii) Existencia de información fluviométrica, pero en un lugar distinto, en la misma cuenca o cuencas vecinas. (iii) Existencia sólo de información meteorológica, en particular, pluviométrica. De lo anterior se deduce que los métodos tenderán en general a buscar relaciones estadı́sticas entre distintas series de caudales o relaciones entre lluvias y caudales, conocidas como relaciones precipitación-escorrentı́a. Al respecto, es de especial importancia en la selección de la metodologı́a a utilizar, establecer la escala de tiempo requerida para la información a estimar. Los procedimientos serán distintos si sólo se requiere conocer el caudal medio anual del rı́o, si se requiere sintetizar estadı́sticas a nivel de caudales anuales, incluso de caudales medios mensuales, respecto a si se requiere estimar caudales extremos, caudales máximos diarios o instantáneos. Para valores promedios en perı́odos de tiempo largo, las relaciones tendrán en general menos dispersión, pudiendo intentarse relaciones caudal-caudal o precipitación-escorrentı́a entre caudales totales y precipitaciones totales. Para intervalos de tiempo cortos o estudios de crecidas, estas relaciones serán en general de baja calidad, debiendo intentarse relaciones entre escorrentı́a directa y precipitación efectiva. 8.2. Transposición de caudales de crecida 183 Como práctica de sana ingenierı́a es conveniente intentar inicialmente el uso de métodos o procedimientos más simples, derivando hacia procedimientos más complejos o sofisticados, en función de la calidad de los resultados obtenidos. 8.1. Transposición de Caudales Medios ar Algunos de los procedimientos o métodos más utilizados se describen en los acápites siguientes. Si se dispone de información fluviométrica en otras secciones de la misma cuenca o en cuencas vecinas, pueden re lim in estimarse caudales postulando igualdad de gastos especı́ficos: Qx Qy = Ay Ax (8.1) Donde Ay y Ax son las respectivas áreas de las cuencas aportantes a cada sección. Esta relación, en definitiva una regla de tres simple, supone la semejanza total entre las dos cuencas, excepto por su tamaño, por lo que debe ser utilizada sólo para secciones dentro de una misma cuenca o cuencas vecinas, y sólo para la estimación de caudales promedio, cuando mucho a escala mensual. Si además se conoce la pluviometrı́a sobre las respectivas cuencas, la transposición anterior puede mejorarse rP imponiendo una condición de igualdad de rendimientos: Qy Qx = P y · Ay P x · Ax (8.2) Bo rra do donde P y y P x son las precipitaciones medias sobre las respectivas áreas aportantes. La relación anterior, nuevamente es recomendable sólo para escalas de tiempo grandes, caudales medios anuales y tal vez caudales medios mensuales, siempre que no haya una componente nival. En general, la transposición en base a igualdad de rendimientos resulta más precisa que la transposición en base a gastos especı́ficos para el caso de caudales medios anuales; no sucede lo mismo si se intentan transposiciones a escala mensual, donde la transposición en base a rendimientos tiende a resultar mejor sólo en el perı́odo lluvioso en que la magnitud de las precipitaciones es grande, mientras que en los perı́odos de estiaje, debido a la inercia de la variable caudal, su relación con la precipitación, que incluso puede ser nula, pierde validez. Ambas relaciones anteriores son adimensionales. El uso del análisis dimensional ha sido intentado por diversos autores para intentar mejorar la calidad de las transposiciones, incorporando otros factores de tipo geomorfológico o climatológico, lo que ha dado origen a diversas fórmulas de transposición (André, 2009, Miranda, 2011). 8.2. Transposición de Caudales de Crecida Una fórmula propuesta por Creager para la estimación de caudales máximos, tiene la estructura 184 Estimación de la Escorrentı́a Q = 1.302 · C · (0.386 · A) 0.9358A−0.048 (8.3) m3 /s donde A es la superficie de la cuenca en km2 y C es una constante a determinar localmente. Puede intentarse para la transposición de caudales de crecida, la relación (8.4) ar 0.9358A−0.048 y Qy (0.386Ay ) = 0.9358A−0.048 x Qx (0.386Ax ) Diversos procedimientos similares a este, basados en fórmulas empı́ricas pueden encontrarse en la literatura. re lim in Estas fórmulas, incluida la de Creager, deben utilizarse con precaución, a menos que hayan sido validadas de alguna manera en la zona de análisis. 8.3. Uso de Correlaciones Estadı́sticas Las correlaciones estadı́sticas son una herramienta matemática poderosa que puede utilizarse pragmáticamente para relacionar cualquier conjunto de variables, sujeto a que se obtengan niveles de correlación admisibles. Su única restricción es que exige la disponibilidad de datos simultáneos de las variables en análisis durante algún perı́odo mı́nimo de tiempo. rP Ası́, en caso de disponerse de algún nivel de información fluviométrica en la sección de interés, como es el caso de relleno o ampliación de estadı́sticas y pronósticos, puede intentarse el uso de estas correlaciones estadı́sticas con alguna o más variables explicativas, tales como caudales en secciones vecinas, precipitaciones u otras variables. Bo rra do Estas correlaciones podrán ser lineales, no lineales, simples o múltiples, escogiendo aquella que resulte más significativa de acuerdo a los coeficientes de correlación obtenidos. 8.3.1. Regresión Lineal Simple El caso más elemental corresponde a la regresión lineal simple entre dos variables, que obedece a la ecuación, ŷ = a · x + b (8.5) donde ŷ es el valor estimado de la variable dependiente, x es la variable independiente y los coeficientes a y b se obtienen de una minimización de los errores de estimación mediante el método de los mı́nimos cuadrados, con las expresiones a= P (xi − x) (yi − y) P 2 (xi − x) b=y−a·x (8.6) (8.7) 8.3. Uso de Correlaciones Estadı́sticas 185 El coeficiente de correlación R, cuyo valor absoluto varı́a entre 1 y 0, para una correlación perfecta y una correlación nula respectivamente, puede estimarse, entre otras fórmulas, como s R= P 1− P (yi − ŷ) 2 (yi − y) 2 (8.8) a > 0). El signo negativo se utiliza para correlaciones negativas. ar Por convención se utiliza el signo positivo para R cuando la correlación es positiva (coeficiente de regresión El cuadrado del coeficiente de correlación, el coeficiente de determinación R2 , es un ı́ndice del porcentaje re lim in o fracción de las variaciones de la variable dependiente que son explicadas por las variaciones de la variable independiente. Es costumbre en hidrologı́a aceptar el valor R2 > 0.5 o |R| ≥ 0.7, como grado de correlación aceptable. Como todo estimador estadı́stico, el coeficiente de correlación R es un estimador del coeficiente de correlación de la población ρ, y su significancia depende del tamaño N de la muestra, siendo más significativo mientras mayor sea el tamaño de la misma. Luego, para muestras muy pequeñas suelen obtenerse coeficientes distintos de cero sólo por efecto del muestreo, aún cuando no exista correlación. Un test estadı́stico, que es estrictamente válido sólo para poblaciones de distribución binormales, pero de utilización generalizada, es el siguiente: rP Si se plantea la hipótesis nula que la correlación poblacional es nula, ρ = 0, y se extrae de ella una muestra de tamaño N , entonces la variable Bo rra do t= q R (8.9) 1−R2 N −2 tiene una distribución de t-Student con N − 2 grados de libertad. Luego, comparando el valor de t muestral con el valor teórico tα , generalmente con un nivel de confianza del 90 % (α = 0.05), se acepta la hipótesis nula ρ = 0, si tα > t. En caso contrario, la hipótesis se rechaza, aceptándose por consiguiente la existencia de correlación (ρ 6= 0). El hecho de establecer la existencia de una correlación no nula, no significa que el valor muestral de R coincida con ρ. Para determinar el intervalo de confianza del valor muestral R, puede utilizarse el siguiente test: Si R constituye una representación muestral del coeficiente de correlación ρ 6= 0, entonces la variable 1 1+R z = ln 2 1−R (8.10) 1 1+ρ µz = ln 2 1−ρ (8.11) tiene una distribución gaussiana con media 186 Estimación de la Escorrentı́a y desviación estándar σz = r 1 N −3 (8.12) zr = z − µz = σz ln h i − ln q 4 N −3 1+R 1−R h 1+ρ 1−ρ i ar Luego, la variable (8.13) re lim in tiene una distribución normal centrada y reducida cuyo valor |zr | deberá ser menor a la cantidad |zα | para un nivel de confianza determinado, lo que permite conocer el intervalo de confianza del coeficiente de correlación ρ. Ejemplo: De una regresión lineal simple de una muestra de N = 52 pares de datos, se obtuvo un coeficiente de correlación R = 0.53. De esta forma, 1+R = 1.18 1−R rP 2z = ln 2σz = r 4 = 0.286 N −3 Ahora, para un intervalo de confianza del 95 % (α = 0.05), de las tablas de la distribución normal se obtiene Bo rra do |zα | ≤ 1.96. Luego: 1+ρ 2z − 2µz ≤ 0.286|zα | = 0.56 ≤ |zα | ⇒ 1.18 − ln 2σz 1−ρ 1+ρ ln = 1.18 ± 0.56 1−ρ 1+ρ < 1.74 0.62 < ln 1−ρ 0.3 < ρ < 0.70 Es decir, con un 95 % de confianza, el verdadero valor de ρ está comprendido entre los valores 0.3 y 0.7 8.3.2. Regresiones No Lineales o Múltiples Algunas relaciones no lineales pueden linearizarse utilizando logaritmos y resolverse con el mismo procedimiento anterior. En el caso de las relaciones lineales múltiples o relaciones polinomiales, aunque conceptualmente el procedimiento es el mismo, la determinación de los coeficientes de regresión implica la solución de 8.4. Pronósticos o predicción de caudales estacionales futuros 187 sistemas de ecuaciones que puede tornarse bastante laboriosa. Afortunadamente existen numerosos programas computacionales (SPSS u otros), incluyendo las planillas electrónicas de cálculo, que permiten establecer regresiones de diferentes tipos, incluyendo sus coeficientes de regresión y correlación. Las correlaciones estadı́sticas pueden utilizarse para el relleno y extensión de estadı́sticas demasiado cortas, pudiendo las variables independientes ser datos de caudales en estaciones vecinas, datos de precipitación u Pronósticos o Predicción de Caudales Estacionales Futuros re lim in 8.4. ar otras variables hidrológicas o meteorológicas que resulten pertinentes. Un caso tı́pico del uso de regresiones y correlaciones se presenta en el caso de predicciones o pronósticos de escorrentı́a estacional. En muchas regiones del mundo, particularmente en Chile Central, se presenta el fenómeno de que la temporada lluviosa ocurre durante el perı́odo de invierno siendo la temporada de verano bastante seca en términos pluviométricos. Sin embargo, en los principales rı́os de la zona la precipitación ocurre en forma sólida y se mantiene acumulada en forma de nieve estacional, produciéndose la escorrentı́a durante la temporada pluviométricamente seca de la primavera y el verano, época en que se produce el derretimiento de la nieve acumulada. Es decir, al comienzo de la temporada de crecidas o de deshielos, digamos al 1º de Septiembre, en Chile Central, ya ha ocurrido y se conoce gran parte de la precipitación que ha ocurrido en el invierno inmediatamente anterior, que será la fuente de la escorrentı́a de deshielos. rP Ante esta caracterı́stica climática, que corresponde como se ha dicho a las cuencas de mayor importancia en Chile, resulta de gran beneficio económico poder pronosticar o determinar a priori, los caudales que habrá disponibles durante el verano, a fin de poder planificar en forma óptima los programas de utilización Bo rra do de aguas de regadı́o, de operación de centrales hidroeléctricas y el uso del agua en general. 8.4.1. Pronóstico de Volúmenes Estacionales El método más utilizado para efectuar estos pronósticos se basa en correlacionar el volumen de agua escurrido durante la temporada de deshielo con la precipitación total caı́da en el invierno inmediatamente anterior. Por ejemplo, si se acepta que la temporada lluviosa se concentra entre los meses de Mayo y Agosto, en Chile Central, será posible estimar el volumen de agua a escurrir entre Septiembre y Abril teniendo medida la precipitación caı́da en el perı́odo inmediatamente anterior. Se intenta, en general, correlaciones del tipo, VSA = a · I + b o VSA = m · I n (8.14) donde VSA es el volumen de escorrentı́a entre Septiembre y Abril o el perı́odo que se estime más adecuado en algún caso particular, e I es un ı́ndice general de precipitación entre Mayo y Agosto, o el perı́odo que corresponda, que puede elaborarse con las estadı́sticas disponibles que permitan la mejor correlación posible. Este ı́ndice I puede incorporar, según la información que se disponga, datos de precipitación lı́quida (datos de pluviómetros), precipitación sólida (datos de rutas de nieve) e incluso otras variables meteorológicas e hidrológicas que puedan mejorar la correlación. Si existe, por ejemplo, “n” registros de valores acumulados 188 Estimación de la Escorrentı́a de precipitaciones o rutas de nieve en la región, el ı́ndice I se puede asimilar a un ı́ndice de precipitación caracterı́stico de la cuenca denominado Índice de Precipitación Media Estacional Ponderada, P , definido por I=P = n X (8.15) ai Pi i=1 donde Pi es la precipitación o valor de ruta de nieve acumulado en cada una de las n estaciones de la cuenca ar en el perı́odo Mayo-Agosto. re lim in Los coeficientes de ponderación αi pueden obtenerse mediante una correlación múltiple del tipo VSA = b1 P1 + b2 P2 + ... + bn Pn + b0 (8.16) de la cual se eliminan las estaciones que den coeficientes de regresión negativos o cercanos a 0, pues significa que no influyen significativamente en la correlación. Los coeficientes de ponderación resultan entonces n X bi ai = 1 ai = P con bi i=1 (8.17) En ocasiones no todos los meses del perı́odo de invierno tienen la misma importancia en el establecimiento rP de la correlación, pues las precipitaciones de los primeros meses pueden verse afectas a las condiciones iniciales del suelo que generan deshielos prematuros o quedar más afectas a otras condiciones climáticas imperantes. Luego, si el ı́ndice P no logra resultados satisfactorios, este puede ampliarse a un ı́ndice de precipitación Bo rra do mensual ponderada, I=Z= n X (8.18) Zi i=1 donde Zi a su vez corresponde a un promedio ponderado temporal de las precipitaciones de cada estación, del tipo Zi = ai αM PiM + αJN PiJN + αJL PiJL + αA PiA (8.19) Donde los αK representan a su vez la importancia relativa de la precipitación de cada mes en cada estación, los cuales se obtienen en forma similar al caso anterior mediante regresiones múltiples extendidas. Debe tenerse en cuenta que al ir incorporando un mayor número de variables explicativas se le van quitando grados de libertad al sistema con lo que el poder predictivo de la relación disminuye, por lo que conviene no abusar de este procedimiento. Hay incluso casos, particularmente en cuencas altas, donde la nieve acumulada puede perdurar de un año para otro con una regulación interanual. En estos casos, puede resultar necesario recurrir a un Índice de Precipitación Anterior, definido como 8.4. Pronósticos o predicción de caudales estacionales futuros 189 IAt = β1 It + β2 It−1 (8.20) donde β1 + β2 = 1 y el subı́ndice “t” se refiere al año para el cual se establece la correlación. Cualquiera que sea la ecuación de regresión que se obtenga, recomendándose la más simple que arroje una correlación admisible, conociendo al 1º de septiembre de un año cualquiera, las precipitaciones ocurridas Distribución Estacional del Volumen de Deshielo re lim in 8.4.2. ar entre Mayo y Agosto, puede pronosticarse el volumen de escorrentı́a a ocurrir entre Septiembre y Abril. De tanto interés como conocer el volumen total a escurrir, es saber como se van a distribuir los caudales en los distintos meses de la temporada. Para pronosticar la magnitud del escurrimiento y ubicar cuál será el mes de máximo caudal, suele dar buenos resultados buscar una correlación entre el volumen total estacional entre Septiembre y Abril, con el volumen del mes de máximo caudal, tal como se indica en la Figura 8.1, donde aparte de la correlación obtenida se indica con distinta nomenclatura, cuál fue el mes en que dicho máximo escurrió. Como se observa en la figura, dentro de un cierto rango de volúmenes totales, el máximo caudal ocurre sistemáticamente el mismo mes. Luego, si la relación obtenida es aceptable, conocido o pronosticado el volumen total a escurrir, esta relación nos permite establecer cuánto será el volumen a escurrir durante el Bo rra do rP mes de máximo caudal y cuál será ese mes. Figura 8.1: Distribución caudal máximo de deshielo. Finalmente, para evaluar la distribución de los caudales durante el resto de los meses, suele postularse que su distribución será similar al promedio históricamente ocurrido. Para ello se determina para todos los años históricos en que el máximo ocurrió en un mismo mes, cuál fue la fracción escurrida, respecto a ese máximo, del resto de los meses de la temporada. La Figura 8.2 muestra un ejemplo de estas relaciones, para el caso 190 Estimación de la Escorrentı́a de los años en que el máximo ocurrió en noviembre en un cierto rı́o. Debe considerarse que como la distribución de los volúmenes de cada mes se evalúa independientemente de la determinación del volumen total, para propósitos de consistencia debe verificarse que se cumpla la ecuación de balance másico Vmes,i = VSA (8.21) ar A X S Si la diferencia entre ambos valores es pequeña, digamos menor al 10 %, suele multiplicarse la magnitud de re lim in cada uno de los caudales mensuales, para lograr la igualdad. Si la diferencia es mayor, el mejor procedimiento max es el siguiente: Con la diferencia entre los volúmenes totales, se determina de la Figura 8.1 un δmes con el cual se corrige la estimación del mes de máximo y a través de la Figura 8.2, los valores del resto de los meses. El procedimiento se repite hasta que las sumas cuadren. 1.2 0.8 rP Vmes/Vmes máximo 1.0 0.6 0.4 Bo rra do 0.2 0 oct nov dic ene feb mar abr mes Figura 8.2: Distribución caudales de deshielo para el caso en que el caudal máximo ocurre en noviembre. El procedimiento indicado, al considerar que el comportamiento de los caudales corresponderá a una situación promedio del comportamiento histórico del rı́o en el perı́odo de deshielo, puede dar pronósticos errados si las condiciones pluviométricas de un año en particular resultan distintas a la situación promedio. Por ello resulta conveniente ir actualizando el pronóstico a medida que se conoce la nueva información. En el caso anterior, al 1 de Octubre, cuando ya se conocen las precipitaciones del mes de septiembre, puede repetirse todo el proceso, pero considerando ahora un ı́ndice de precipitación que cubra el perı́odo Mayo-Septiembre, para obtener un pronóstico actualizado del perı́odo Octubre-Abril. Como se verá más adelante, existen otras alternativas para efectuar estos pronósticos, que se basan en técnicas de simulación, y potencialmente, métodos matemáticos más avanzados como redes neuronales u otros. 8.5. Relleno y Extensión de Estadı́sticas 8.5. 191 Relleno y Extensión de Estadı́sticas 8.5.0.1. Extensión o Relleno de Datos Individuales Para el relleno de estadı́sticas aisladas y eventualmente extensión de registros a escala mensual o anual, cuando los objetivos son meramente estadı́sticos, pueden utilizarse los mismos procedimientos descritos para el relleno o extensión de precipitaciones en la sección 4.6.1, respecto a relleno con promedios de estaciones ar vecinas, curvas doble acumuladas o correlaciones, con la salvedad de la conveniencia de trabajar con caudales 8.5.0.2. re lim in especı́ficos. Extensión de Curvas de Duración General En el caso en que el objetivo de extender estadı́sticas, sea el de generar curvas de duración general más confiables, y las correlaciones obtenidas para su estimación con una estación vecina, no sean muy buenas, puede extenderse la curva de duración de la estación de menor longitud, mediante el siguiente procedimiento. Se construyen las curvas de duración general de las dos estaciones considerando solamente el perı́odo común. Luego se construye la curva de duración con la información completa de la estación más larga, determinando para cada magnitud de caudal la nueva probabilidad de excedencia que resulta, para finalmente construir la curva de duración extendida de la estación más corta, imponiéndole a cada caudal, la misma modificación de rP su probabilidad de excedencia que resultó para la estación más larga. En las Figuras 8.3 y 8.4 se ilustra el procedimiento. Sean Q1 los caudales correspondientes a la estación de mayor longitud, y Q2 los caudales de la estación que se desea extender. Se procede a confeccionar las curvas de duración de la estación de mayor duración para el perı́odo de tiempo total (sean 280 datos) y para Bo rra do el perı́odo en que existe información común (sean 210 datos), Figura 8.3. Para un caudal dado, sean 3020 [m3 /seg], la serie completa indica una probabilidad de excedencia de 0.25 mientras que en la serie truncada la probabilidad de excedencia se reduce a 0.13, es decir, si la serie más larga hubiese tenido la misma longitud y perı́odo que la serie más corta, se le hubiese asignado una probabilidad de excedencia de 0.13 en vez del valor más representativo de 0.25. En la Figura 8.4 se confecciona la curva de duración general de la serie más corta, según la cual a la probabilidad de excedencia de 0.13 le corresponde un caudal de Q2 = 1260 [m3 /s]. Aplicando el raciocinio inverso al anterior, se postula que si la serie corta hubiese tenido la extensión de la serie mayor, al caudal Q2 = 1260 [m3 /s] se le hubiese asignado una probabilidad de 0.25. Repitiendo el procedimiento para distintos valores de las probabilidades y caudales de la serie corta, se va construyendo la curva de duración general extendida a un perı́odo de 280 datos, indicada en rojo, de la serie Q2 . 192 Estimación de la Escorrentı́a Serie Q1 completa, 280 valores Serie Q1 truncada, 210 valores 0 0.1 0.2 re lim in ar Caudal [m3/s] Distintas probabilidades asignadas a un mismo caudal 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Probabilidad de excedencia Figura 8.3: Curva duración serie mayor longitud (Q1 ). Serie Q2 original, 210 valores Bo rra do Caudal [m3/s] rP Serie Q2 extendida 0 0.1 0.2 0.3 Distintas probabilidades asignadas a un mismo caudal 0.4 0.5 0.6 0.7 Probabilidad de excedencia 0.8 0.9 1 Figura 8.4: Curva de duración serie menor longitud (Q2 ). 8.5.1. 8.5.1.1. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas Déficit de Escorrentı́a La forma más simplificada para representar la ecuación de balance hidrológico es de la forma, P − ET = Q + δV (8.22) 8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas 193 donde δV a escala anual (o mayor) tiende a cero. Diversos autores han propuesto métodos para estimar lo que se ha denominado el déficit de escorrentı́a, definido como, D =P −Q (8.23) Fórmula de Turc re lim in Turc propuso para estimar el déficit de escorrentı́a, la relación, P D= p ar Disponiendo de alguna expresión para estimar D, conocida la precipitación P , se podrá estimar Q. 0.9 + (P/L)2 [mm/año] (8.24) donde P es la precipitación anual en [mm] y L es un ı́ndice de calor definido por la relación, L = 300 + 25T + 0.05T 3 (8.25) rP donde T es la temperatura media anual en ºC. Fórmula de Coutagne-Wundt Bo rra do Coutagne propone la relación, D = P − λ · P 2 [mm/año] (8.26) λ = (0.8 + 0.14T )−1 (8.27) donde Esta fórmula serı́a válida para valores de P que cumplan la relación, 1 1 <P < 8λ 2λ Para precipitaciones menores, la escorrentı́a serı́a nula y para valores mayores, D se independiza de P , tomando el valor Dmax = 0.2 + 0.035T Wundt, propone la misma fórmula, pero limitando el máximo valor de D por la relación, (8.28) 194 Estimación de la Escorrentı́a 1 4λ Dmax = (8.29) que resulta de reemplazar en la ecuación (8.28) el valor de T dado por la ecuación (8.27). ar De la estructura de la fórmula anterior, se deduce que la evaluación directa de Q darı́a la expresión, (8.30) re lim in Q = λP 2 Esta expresión, válida para P < 1 m, ha sido frecuentemente utilizada en Chile, bajo los nombres de Fórmula de Grunsky (λ = 0.4) o Fórmula de Quintana o Peñuelas (λ = 0.5). 8.5.1.2. Fórmulas Empı́ricas Se ha propuesto en la literatura un sinnúmero de fórmulas empı́ricas para relacionar la escorrentı́a anual con rP la precipitación anual. La mayorı́a de ellas tiene la estructura Q = aP b mm/año o Q = a (P − P0 ) b [mm/año] (8.31) Bo rra do Las fórmulas de Grunsky o Peñuelas, antes vistas corresponderı́an al primer tipo. Entre la fórmulas propuestas con la estructura del segundo tipo, es posible rescatar la fórmula de Langbein, Q = a (P − P0 ) 2 mm/año si P < Pc (8.32) donde los parámetros a, b y P0 dependen según este autor de una temperatura media anual ponderada por la magnitud de las precipitaciones, según la expresión, Tp = 12 X Ti Pi i=1 12 X (8.33) Pi i=1 donde Pi y Ti son las precipitaciones mensuales y temperaturas medias mensuales en ºC, respectivamente. Los valores de los parámetros serı́an los siguientes: 8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas 195 a P0 (m) Pc (m) 0 0.90 0.00 0.55 5 0.60 0.08 0.90 10 0.50 0.15 1.15 15 0.47 0.27 1.32 20 0.41 0.38 1.58 25 0.34 0.49 1.91 re lim in Tp °C ar Tabla 8.1: Parámetros Fórmula de Langbein Cualquier precipitación en exceso a Pc , escurrirı́a totalmente. 8.5.1.3. Método del Balance de Thornthwaite En la sección 3.5.1 se vio la fórmula de Thornthwaite, para estimar la evapotranspiración potencial. Para estimar la evaporación real, el déficit de escorrentı́a y por ende la escorrentı́a mensual, Thornthwaite propuso desarrollar un balance hı́drico sobre la capa superficial del suelo, que contribuye a la evapotranspiración. El método supone que la evaporación real será igual a la potencial si la disponibilidad de agua, es decir, la suma de la precipitación del mes más la humedad inicial contenida en el suelo son suficientes; en caso contrario, la rP evaporación real queda limitada a la disponibilidad de agua. Si la precipitación excede a la evaporación potencial, el exceso de agua aumenta la humedad del suelo hasta completar su capacidad máxima de almacenamiento o capacidad de campo, supuesta del orden de 100 mm. Todo exceso de agua por sobre este valor umbral, constituye la escorrentı́a de la cuenca. A fin de considerar Bo rra do los efectos de retardo de la cuenca sobre la escorrentı́a, Thornthwaite propone que sólo el 50 % del exceso de agua de un mes dado, se manifiesta como escorrentı́a durante ese mismo mes, sumando el otro 50 % al exceso de agua del mes siguiente, y ası́ sucesivamente. Para la aplicación el método de balance, no necesariamente deben utilizarse las estimaciones de evapotrans- piración potencial propuestas por el propio Thorntwaite, pudiendo recurrirse a otras fuentes de información al respecto. Utilizando los datos de precipitación y evaporación de bandeja de la ciudad de Rancagua y postulando que la evapotranspiración potencial sea un 70 % de la evaporación de bandeja, en la Tabla 8.2 se incluye una tabulación ejemplo del método del balance de Thornthwaite. Al respecto, como en todo balance en el tiempo, deben postularse ciertas condiciones iniciales, en este caso la humedad del suelo y escorrentı́a iniciales. Iniciando el balance al comienzo del año hidrológico, puede postularse una humedad inicial nula, verificando su validez comparándola con la humedad final del último mes, la que también debiera resultar nula. Si esto no ocurre, debiera iterararse este valor, hasta verificar que ambas humedades resulten iguales. Algo similar debe hacerse con la escorrentı́a inicial, suponiendo un año cı́clico, es decir, el retardo del último mes debe sumarse al excedente del primer mes, iterando hasta que la solución converja. Ambos aspectos se destacan con color cian en la Tabla 8.2. 196 Estimación de la Escorrentı́a Tabla 8.2: Tabulación Ejemplo del Método del Balance de Thorntwaite MES M J J A S O N D E F M TOT 21.9 74.7 103 77.9 65.6 31.4 17.2 9.9 4.4 2.8 2.2 7.3 418.3 Ev. de bandeja 60 28 18 21 34 51 103 155 190 210 150 109 1129 ET Potencial [mm] 42 19.6 12.6 14.7 23.8 35.7 72.1 109 133 147 105 76.3 790.3 Humedad Inicial 0 0 55.1 100 100 100 95.7 40.8 0 0 0 0 21.9 19.6 12.6 14.7 23.8 35.7 72.1 50.7 4.4 2.8 2.2 7.3 Evapotranspiración real 0 55.1 145.5 163 142 95.7 40.8 0 0 20.1 0 0 0 0 0 0 57.8 129 Humedad final 0 55.1 100 100 100 95.7 40.8 0 0 Excedente 0 0 45.5 63.2 41.8 0 0 0 0 0.17 0.083 22.79 43 42.4 21.2 10.6 5.3 2.6 Déficit Escorrentı́a [mm] 0 0 0 144 103 69 0 0 0 0 0 0 150.5 1.32 0.66 0.33 150.5 re lim in Humedad intermedia 267.8 ar Precipitación [mm] A 522.5 Los valores del balance resultan en [mm/mes], por lo que deberán multiplicarse por la superficie de la cuenca aportante para transformarlos en unidades de caudal. Aparte de la estimación de los caudales mensuales, alguna otra información puede obtenerse de este balance; por ejemplo, nos indica cuánto es la evapotranspiración real, y el déficit de Thornthwaite nos indica la cantidad de agua que habrı́a que aplicar para mantener cultivos permanentes durante todo el año, en el ejemplo, 522.5 [mm], y en que meses debiera aplicarse, en el ejemplo, entre Noviembre y Abril. Hoy en dı́a, sin embargo, el principal interés del método de Thornthwaite es que puede considerarse un rP precursor de los modelos de simulación hidrológica. Efectivamente, los valores de humedad máxima de 100 [mm] y un retardo de la escorrentı́a del 50 % son cifras bastante arbitrarias y no tienen por qué ser válidas para diferentes configuraciones geomorfológicas de las cuencas. En consecuencia, parece razonable adoptar para distintas cuencas valores distintos de estos dos “parámetros”, de manera que reproduzcan de la mejor Bo rra do forma posible los volúmenes de escorrentı́a y la variación estacional de una cuenca en particular. Con el advenimiento de los computadores en las últimas décadas, esto no sólo es fácilmente realizable utilizando algún método de optimización, sino que idealizaciones conceptuales del ciclo de escorrentı́a tan simples como la planteada por Thornthwaite, han podido ser ampliadas incorporando conceptos y relaciones cada vez más complejas, con la posibilidad de calibrar los parámetros de los modelos, permitiendo una respuesta de las simulaciones, cada vez más próximas a las respuestas reales de los sistemas fı́sicos que se pretende modelar. A partir del primer modelo de este tipo, el Stanford Watershed Model, propuesto en la década de los sesentas del siglo 20 por Crawford y Linsley (1966), se han desarrollado en diversas partes del mundo, modelos de simulación hidrológica de este tipo, tanto a escala mensual, diaria o aún horaria. En Chile, uno de los primeros y más utilizados, corresponde al desarrollado por Brown, Ferrer y Ayala (1973), que trabaja a escala mensual. Posteriormente se han propuesto en Chile, modelos a escala diaria, como el modelo SIMED de la DGA o el modelo QMD propuesto por Kuhlmann y modificado por Y. Morales. A nivel internacional, existe hoy en dı́a una gran cantidad de modelos de este tipo, algunos comerciales y otros de libre disposición en Internet, entre los que se puede mencionar el modelo Sacramento del U.S. Corps of Engineers. 1 8.5. Relaciones Precipitación-Escorrentı́a Volumétricas 197 Bibliografı́a Brown, E., P. Ferrer, & L. Ayala (1973), Simulación de gastos medios mensuales en una cuenca pluvial, II Coloquio Nacional de Ingenierı́a Hidráulica, Universidad Católica, Santiago, Chile. Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays (1994), Hidrologı́a Aplicada, Mc Graw Hill Interamericana, S.A. Santafé de Bogota, Colombia. ar Crawford, N. H., & R. K. Linsley, (1966), Digital Simulation in Hydrology: Stanford Watershed Model IV, Technical Report No. 39, Department of Civil Engineering, Stanford University, p. 210. Bo rra do rP re lim in Maidment, D. R. (1993), Handbook of Hydrology, Mc Graw Hill. re lim in rP Bo rra do ar re lim in ar Capı́tulo 9 ESTUDIO Y ESTIMACIÓN DE Introducción rP CRECIDAS Cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales a escala horaria y aún instantánea, las relaciones entre precipitación total y escorrentı́a total suelen no dar buenos resultados, debiendo intentarse relaciones Bo rra do entre la precipitación efectiva y la escorrentı́a directa. Para ello, por una parte debe descontarse o restarse a la escorrentı́a total, aquella fracción más o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente en el rı́o antes del comienzo de una determinada tormenta, mientras por otra, debe restarse al hietograma de precipitación total, aquella fracción de la lluvia que es retenida, detenida o infiltrada, dejando sólo aquella parte que contribuye a la escorrentı́a directa, anteriormente definida como precipitación efectiva. 9.1. Estimación de la Infiltración La fracción de la lluvia que se pierde para efectos de la escorrentı́a directa por concepto de infiltración, puede evaluarse por medición directa, con instrumentos llamados infiltrómetros, puede estimarse con distintas fórmulas o modelos analı́ticos tales como los propuestos por Horton, Phillip, Green-Amt, o Morel-Seytouk o pueden utilizarse “indices de infiltración” constantes, que consisten en restar al hietrograma de precipitación total una tasa constante de infiltración, tal que resulte un volumen de precipitación efectiva igual, por definición, al volumen de escorrentı́a directa. 199 200 9.1.1. Estudio y Estimación de Crecidas Ecuación de Horton Horton (1939) propuso una ecuación para estimar la variación de la tasa de infiltración en el tiempo que obedece a la siguiente estructura de decaimiento exponencial, (9.1) ar f (t) = fc + (f0 − fc ) e−k·t donde f0 es la tasa de infiltración inicial, dependiente de la humedad inicial del suelo, y fc es la tasa constante de infiltración a la que tenderı́a el suelo a medida que el proceso de infiltración continúa. Para la mayorı́a de re lim in los suelos esta tasa constante se alcanza antes de un par de horas, por lo que el parámetro fundamental de la ecuación es fc y para el cual se ha propuesto el siguiente rango de valores: Tabla 9.1: Parámetros de la ecuación de Horton fc [mm/hr] Arcillas 0.5 a 4 Limos 4a8 Arenas 8 a 12 Ecuación de Philip rP 9.1.2. Tipo de suelo Philip (1957), con un desarrollo de base teórica, según una tasa de decaimiento de tipo potencial, propone Bo rra do una fórmula con la siguiente estructura, f (t) = 1 S · t−1/2 + K 2 (9.2) donde, S: denominada “adsorción”, depende de la humedad del suelo. K: es equivalente a fc de Horton, debiendo aproximarse ambos valores a lo que se denomina como conducti- vidad hidráulica del suelo, cuando el flujo de infiltración es vertical. 9.1.3. Ecuación de Green-Ampt Si la tasa de infiltración en función del tiempo es f (t), entonces la variable F (t) = Z t f dt (9.3) 0 corresponde al volumen total por unidad de superficie incorporado al suelo, o infiltración acumulada hasta el instante t. 9.1. Estimación de la Infiltración 201 Green-Ampt (1911), postulando que el frente de infiltración progresa en la forma de una lámina horizontal que va saturando progresivamente al suelo a medida que avanza en profundidad, y resolviendo la ecuación de continuidad correspondiente, llegan a la expresión, F (t) = K · t + (p − θ)(h0 + ϕ) ln 1 + F (t) (p − θ)(h0 + ϕ) (9.4) Ampt son los siguientes: p = porosidad del suelo o cuociente entre el volumen de vacı́o y volumen total. ar ecuación implı́cita que puede resolverse por el método de Newton. Los parámetros de la ecuación de Green- re lim in θ = humedad inicial del suelo o cuociente entre el volumen de agua y el volumen total. Nótese que el valor máximo posible de humedad, cuando el suelo está saturado, alcanza el valor θs = p. K = conductividad hidráulica o coeficiente de permeabilidad del suelo saturado, parámetro altamente dependiente de la granulometrı́a del suelo ([L/T ]). h0 = carga o lámina de agua sobre la superficie del suelo, [L], valor que normalmente se supone despreciable. ϕ = carga de succión del suelo, [L], en rigor, energı́a por unidad de peso, valor asociado a la cantidad de agua que el suelo es capaz de retener contra la acción de la gravedad por efecto de tensión superficial, valor altamente dependiente de la humedad del suelo. Los valores numéricos de los parámetros involucrados en la ecuación de Green-Ampt deben buscarse en rP textos más especializados de aguas subterráneas o de mecánica de suelos. En cualquier caso, conocidos o estimados los parámetros involucrados, la infiltración acumulada F (t) puede determinarse resolviendo por tanteo o mediante el método de Newton. Por último, una vez conocida la infiltración acumulada F (t) al Bo rra do tiempo t, la tasa de infiltración f (t), se obtiene derivando la ecuación anterior, obteniéndose, (h0 + ϕ)(p − θ) f (t) = K 1 + F (t) 9.1.4. (9.5) Tiempo de Encharcamiento Todas las expresiones anteriores para estimar la infiltración, suponen que en todo momento existe la cantidad de agua necesaria para infiltrar, es decir, la intensidad de la precipitación i(t) es mayor que la tasa de infiltración f (t). En estos términos, las fórmulas corresponden a un concepto de infiltración potencial. Evidentemente si la intensidad de precipitación es inferior a la capacidad potencial de infiltración del suelo, la tasa real de infiltración quedará limitada a la tasa de precipitación. Se define el concepto de “tiempo de encharcamiento” como el tiempo requerido para lograr la formación de una capa libre de agua sobre el suelo o punto de encharcamiento, tiempo a partir del cual la tasa de infiltración potencial se hace inferior a la tasa de precipitación, produciéndose precipitación en exceso e infiltración a tasa potencial gobernada por las caracterı́sticas del suelo. Antes de este tiempo, se infiltrará sólo la intensidad de la lluvia i(t) que será menor que f (t). En estricto rigor, el tiempo de encharcamiento se debiera producir cuando la tasa de infiltración se haga 202 Estudio y Estimación de Crecidas igual a la intensidad de la lluvia, supuesta constante, y cuando el total infiltrado real sea igual al potencial. En general, ambas condiciones resultan imposibles de conciliar, por lo que hay que optar por satisfacer una u otra condición, normalmente f (t) = i. En el caso de la fórmula de Green-Ampt (1911), en que existe una relación entre f (t) y F (t), imponiendo en la ecuación las condiciones (9.6) ar f (te ) = i se obtiene te = re lim in F (te ) = i · te K(h0 + ϕ)(p − θ) i(i − K) (9.7) (9.8) donde te es el tiempo de encharcamiento e inicio de la escorrentı́a superficial. Índices de Infiltración rP 9.1.5. Todas las fórmulas anteriores incluyen una serie de parámetros, en general difı́ciles de cuantificar, suponiendo además suelos espacialmente homogéneos, lo que dificulta su aplicación práctica. Por estos motivos, se han propuesto una serie de métodos simplificados de mayor aplicación práctica, denominados Indices de Infiltra- Bo rra do ción, entre los que destaca por su simplicidad, el denominado Índice φ, el cual supone una tasa de abstracción o infiltración constante en el tiempo de magnitud φ [mm/hr] tal que satisfaga la condición de que el volumen de precipitación efectiva iguale al volumen de escorrentı́a directa. Si la intensidad de la precipitación satisface en todo momento la relación i ≥ φ, su estimación se reduce a la ecuación φ= PT otal − QED tLi (9.9) donde PT otal es la precipitación total, QED es el volumen de escorrentı́a directa por unidad de superficie y tLi es la duración de la tormenta. En los últimos años, sin embargo, ha ganado popularidad, un método también simple, propuesto por el Soil Coservation Service de EE. UU. (1972), conocido como Método de la Curva Número. 9.1.6. Método de la Curva Número Definiendo como I0 la abstracción inicial hasta antes del punto de encharcamiento y como F la abstracción o infiltración ocurrida a continuación del punto de encharcamiento, el método, desarrollado por el U.S. Soil 9.1. Estimación de la Infiltración 203 Conservation Service (SCS), postula la igualdad entre el cuociente entre la infiltración F y el potencial máximo de infiltración S del suelo, respecto al cuociente entre la precipitación efectiva o escorrentı́a directa expresada como lámina de agua Pef y la precipitación efectiva máxima posible (P − I0 ), es decir F Pef = S P − I0 (9.10) ar Por continuidad se cumple que (9.11) re lim in P = Pef + F + I0 y eliminando F entre las dos relaciones anteriores, resulta Pef = (P − I0 )2 [mm] (P + S − I0 ) (9.12) donde P es la precipitación total de la tormenta y S, el déficit potencial máximo de escorrentı́a, es evaluado a su vez mediante la relación, S = 25.4 · 1000 − 10 CN [mm] (9.13) rP donde CN es un ı́ndice de las caracterı́sticas geológicas, morfológicas y de uso de los suelos de la cuenca, además de sus condiciones iniciales de humedad, llamado “Curva Número”, que varı́a entre los lı́mites CN = 0 para una cuenca donde todo lo que llueve se infiltra, hasta CN = 100 para una cuenca absolutamente impermeable, donde todo lo que llueve escurre. Valores tı́picos de CN para cuencas naturales, oscilan entre Bo rra do 40 y 80 y se hayan tabulados para distintos tipos de suelo, o pueden ser estimados a partir de las caracterı́sticas geológicas y de uso de los suelos, ası́ como de su contenido de agua inicial. A partir de datos experimentales, el SCS propone la relación I0 ≈ 0.2 · S (9.14) de donde la fórmula queda en definitiva Pef 2 (P − 0.2 · S) mm = P + 0.8 · S 0 si P ≥ 0.2 · S si P < 0.2 · S (9.15) lo que permite estimar la precipitación efectiva o escorrentı́a directa sólo en función de la precipitación total de la tormenta y del Número de curva de la cuenca. El método es válido nuevamente sólo para cuencas homogéneas, en que el valor de S es único. En la realidad, difı́cilmente existirán cuencas que sean totalmente homogéneas y más aún en el caso de cuencas semi urbanizadas, existiendo en consecuencia diferentes sectores con distinto valor de Curva Número. 204 Estudio y Estimación de Crecidas En dichos casos se ha propuesto el uso de una Curva Número promedio evaluada como el promedio ponderado de los distintos valores sectoriales de la Curva Número, es decir, P CN = Ai · CNi AT (9.16) donde Ai y CNi son el tamaño de cada subsector y su correspondiente Curva Número, y AT es el área total ar de la cuenca. El inconveniente de dicho criterio es que la fórmula generará escorrentı́a nula mientras la magnitud de la precipitación no supere el valor de I0 = 0.2 · S correspondiente al valor promedio de la curva número, re lim in mientras que en la realidad, supuesta la validez del método, los subsectores con curva número mayor al promedio si estarán generando escorrentı́a. Lo anterior le resta aplicabilidad al método en zonas áridas o cuando se evalúen crecidas de bajo perı́odo de retorno. Por definición de promedio, la precipitación efectiva promedio se estima por la expresión, P ef = 1 AT Z QdA (9.17) AT y reemplazando las ecuaciones (9.13) y (9.15) en (9.17), resulta Z P − 5.08 · P + 20.32 · 2 1000 CN − 10 dA 1000 CN − 10 rP 1 = AT P ef AT (9.18) Esta última expresión serı́a integrable, si se conociera la función de distribución de CN dentro de la cuenca. Bo rra do Difı́cilmente en la realidad esta distribución será conocida y lo más probable es que sólo se puedan identi- ficar sectores de la cuenca con distintos valores de su Curva Número. En estos casos, la determinación de la Curva Número equivalente deberı́a efectuarse, no ponderando las distintas curvas para obtener su promedio, sino estableciendo la Curva Número equivalente a la precipitación efectiva promedio, mediante una integración numérica, como se explica en el siguiente ejemplo. Estimación de la Curva Número Equivalente Como ejemplo se considera una cuenca hipotética, con un 2 % de superficie impermeable, sea una CN = 98, de acuerdo a las recomendaciones del Manual de Carreteras; un 10 % de suelos montañosos con rocas sin vegetación, sea CN = 90; un 5 % de conos de deyección con escasa vegetación, sea CN = 72; un 35 % de suelos limo arcillosos cubiertos de bosques, sea CN = 76; y un 48 % de praderas en suelos limosos, sea CN = 60; resultando una Curva Número promedio CN = 69.96. En la Tabla 9.2 se incluye en la primera columna el porcentaje de área correspondiente a cada suelo con su respectiva CN que se indica en la segunda columna. En las dos columnas siguientes, los valores de S e I0 que se obtienen con las ecuaciones 9.13 y 9.14. En las columnas siguientes, para distintos valores de la precipitación total se indica la precipitación efectiva que resulta para cada tipo de suelo, ası́ como su valor promedio ponderado por cada porcentaje de 9.1. Estimación de la Infiltración 205 área. Las dos últimas lı́neas muestran la infiltración inicial equivalente I0 y la Curva Número equivalente a dicha infiltración inicial. La Figura 9.1 muestra la variabilidad de la Curva Número equivalente en función de la magnitud de la precipitación. Para precipitaciones muy bajas la Curva Número equivalente, tiende a ser la máxima, CN = 98, el valor de la Curva Número promedio se alcanza en este ejemplo, para una precipitación del orden de 225 [mm] y para precipitaciones mayores la curva número equivalente tiende a un valor ligeramente menor al promedio. ar Este comportamiento parece estar en mucha mejor concordancia con el comportamiento real de cuencas heterogéneas, en que el uso de la curva promedio parece adecuado sólo para precipitaciones de gran magnitud, subestimándose la magnitud de las crecidas, al utilizarse para precipitaciones bajas. re lim in Es importante señalar por último, que el procedimiento antes descrito supone que cada una de los sectores de la cuenca se comporta en forma independiente o en paralelo, situación no necesariamente válida en cuencas reales, donde escorrentı́a proveniente de zonas más impermeables puede infiltrarse en zonas más bajas de mayor permeabilidad. Esta consideración implica que la variabilidad real de la Curva Número equivalente de una cuenca especı́fica en función de la precipitación, sólo podrá determinarse empı́ricamente para cada cuenca en particular. Tabla 9.2: Curva Número equivalente en función de la precipitación Precipitación [mm] 1.04 10 25 50 75 100 125 150 200 250 300 CN S [mm] I0 [mm] Pef [mm] 48 60 169.33 33.87 0 0 0 1.4 18.6 31.89 47.25 82.27 121.2 162.7 35 76 80.21 16.04 0 0 0.9 10.1 25 42.9 62.76 83.79 128.1 174.2 221.4 5 72 98.78 19.76 0 0 0.26 7.09 19.8 36 54.29 74.07 116.4 161.1 207.2 10 90 28.22 5.64 0 0.58 7.87 27.1 49.3 72.6 96.53 120.8 169.7 219.1 268.6 2 98 5.18 100 69.96 8.04 1.04 0 5.68 19.7 44.3 69.1 94 119 144 193.9 243.9 293.9 P̄ef [mm] 0 0.17 1.51 8.16 19.9 34.9 52.02 70.66 111 154 198.7 I0,eq [mm] 1.04 7.39 14 18.3 19.7 20.4 20.87 21.2 21.65 21.94 22.15 CNeq 98 87.3 78.5 73.5 72.1 71.4 70.88 70.56 70.12 69.84 69.64 Bo rra do rP % Área 100 95 Curva Número 90 85 80 75 70 65 60 0 50 100 150 200 250 300 350 Precipitación [mm] Figura 9.1: Variación de CN en función de la precipitación. 206 Estudio y Estimación de Crecidas A partir del análisis del comportamiento real de cuencas chilenas, Saavedra (2003) estima la variación de la Curva Número en función de la precipitación y como alternativa propone utilizar el método de la Curva Número en cuencas reales, manteniendo constante el valor de la Curva, pero incorporando su variabilidad producto de su heterogeneidad a través del valor de la Infiltración inicial I0 . Para precipitaciones mayores a un monto cercano a los 100 mm, la cuenca se comporta como cuenca I0 = 0.23 · S si P > 100 [mm] ar homogénea con un valor de I0 constante dado por la relación, (9.19) re lim in Para precipitaciones menores, I0 serı́a aproximadamente linealmente variable con P , a través de la relación I0 = 2.3 · 10−3 · P · S si P < 100 [mm] (9.20) La relación propuesta serı́a aplicable al norte de la cuenca del rı́o Maule. 9.1.7. Condiciones Antecedentes de Humedad Como se mencionó anteriormente, el valor de la Curva Número puede estimarse en función de tablas elabo- rP radas para diversos tipos de complejos Suelo-Vegetación (tipos de suelo y usos de estos). Estas tablas, sin embargo, están definidas para condiciones antecedentes de humedad calificadas por el SCS como “normales“ o condición II. Para otras condiciones de humedad antecedente, el número de la curva debe modificarse, a Bo rra do partir de sus condiciones normales, en base a tablas o a las siguientes relaciones: (Ven Te Chow, 1994) CN (I) = 4.2 · CN (II) 10 − 0.058 · CN (II) (9.21) Para condiciones antecedentes de humedad secas (I), y CN (III) = 23 · CN (II) 10 + 0.13 · CN (II) (9.22) Para condiciones antecedentes húmedas (III). Las condiciones antecedentes de humedad, se clasifican en tres grupos en base a la lluvia antecedente total de 5 dı́as: Tabla 9.3: Condiciones antecedentes de humedad. Lluvia antecedente total en 5 dı́as (mm) Grupo Tipo Estación inactiva Estación de Crecimiento I Seca Menor a 12.7 Menor a 35.6 II Normal 12.7 a 28 35.6 a 53.5 III Húmeda Sobre 28 Sobre 53.5 9.1. Estimación de la Infiltración 207 Barrientos (2001) analizó estadı́sticamente las condiciones antecedentes de humedad en tormentas chilenas, considerando 63 estaciones pluviométricas entre las latitudes 30 y 42º S tanto para la estación inactiva (mayoagosto) como para la estación de crecimiento (septiembre-abril). El análisis se efectuó tanto para el total de las lluvias diarias como para las precipitaciones máximas anuales en 24, 48 y 72 horas. Parte de los resultados se presentan en las siguientes Tablas 9.4 a 9.5 y las Figuras 9.2 a 9.5. ar FRECUENCIAS RELATIVAS PROMEDIO PORde CUENCA Tabla 9.4: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH las precipitaciones diarias. Pdiarias-serie completa N° CUENCA REGION ESTACION CRECIMIENTO ESTACION INACTIVA REGIMEN SEPTIEMBRE-ABRIL M AYO-AGOSTO I (<12.7mm) II (12.7-28) D.E. 1 ELQUI IV P-N 73.3% - 2 LIMARI IV P-N 66.6% 5.1% 3 CHOAPA IV P-N 63.3% 2.6% 4 QUILIMARI IV P 58.2% 2.8% 5 PETORCA V P 68.3% 2.8% 6 ACONCAGUA V N-P 56.3% 3.9% 7 MAIPO RM N-P 40.7% 4.1% II (35.6-53.5) III (>53.5) PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. 11.1% - 15.6% - 98.4% - 0.0% - 1.6% D.E. - 12.8% 1.1% 20.6% 5.2% 97.1% 0.9% 0.9% 1.1% 2.0% 1.2% 14.3% 2.0% 22.4% 3.8% 96.8% 2.1% 1.9% 1.5% 1.2% 1.2% 14.7% 1.2% 27.1% 2.6% 94.3% 3.0% 3.9% 2.8% 1.8% 1.7% re lim in PROM. I (<35.6mm) III (>28) 16.9% 2.9% 14.8% 0.1% 97.8% 0.6% 2.0% 0.3% 0.3% 0.4% 16.4% 2.6% 27.2% 5.8% 96.3% 1.5% 1.8% 0.6% 1.9% 0.9% 15.1% 0.8% 44.3% 3.2% 82.6% 4.6% 5.5% 2.2% 12.0% 2.3% 14.1% 2.2% 45.4% 5.0% 86.5% 5.9% 6.1% 0.5% 7.4% 5.4% 13.4% 3.2% 49.4% 8.0% 79.6% 8.9% 6.8% 0.5% 13.5% 9.1% 12.5% 3.0% 54.8% 8.2% 78.4% 7.5% 7.9% 1.7% 13.6% 6.8% 10.7% - 67.0% - 71.0% - 10.3% - 18.7% - 23.3% 0.9% 48.7% 1.3% 87.3% 2.2% 7.7% 1.7% 5.0% 0.4% RAPEL VI P-N 40.5% 2.9% MATAQUITO VII P-N 37.2% 4.9% 10 MAULE VII P-N 32.7% 5.8% 11 ITATA VIII P-N 22.3% - 12 IMPERIAL IX P-N 28.0% 2.1% 13 TOLTEN IX P-N 15.5% - 14.5% - 70.0% - 70.4% - 12.4% - 17.2% - 14 PUERTO MONTT X P 17.4% - 21.6% - 61.0% - 73.5% - 14.8% - 11.7% - rP 8 9 D.E.: Desviación estándar de la muestra. Bo rra do C A H PR O M E D IO P O R C U E N C A E S T A C IO N IN A C T IV A (M A Y O -A G O S T O ) P diarias 10 0 % 90% I (< 1 2.7m m ) II (12 .7 -2 8) III (> 2 8 ) F R E C U E N C IA R E L A T IV A 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% N E M O LT R TO TO R E TT N L IA TA P IT U A M A IM A C U E N C AS P U E M C A LE O IT L TA R Q A U P IP A M G A O E N C TO E O A U A C R A IM P U Q C H IL O M A A P R A I R I U LI LQ E I 0% Figura 9.2: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación inactiva (Mayo-Agosto). 208 Estudio y Estimación de Crecidas C A H P R O M E D IO P O R C U E N C A E ST A C IO N C R E C IM IE N TO (S E P TIE M BR E -A BR IL) P diarias 100% I (< 35.6m m ) II (35.6-53.5) III (> 53.5) 90% 70% 60% ar 50% 40% 30% TT M O LT TO IM R A N EN L IA R A PE M IT U A U Q R TA LE O IT L AP IP M U E M O C A A G A N C TO E E O A U A C R A M P U Q C H IL I O M A A P R A I R I U LI LQ E I 0% TA 10% re lim in 20% TO FR E C U E N C IA R E LA T IV A 80% P CUENCAS Figura 9.3: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones diarias, estación rP crecimiento (Septiembre-Abril). Tabla 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales en 24 hrs. FRECUENCIAS RELATIVAS PROMEDIO POR CUENCA Bo rra do PMAX ANUAL 24 hrs N° CUENCA REGION ESTACION INACTIVA REGIMEN ESTACION CRECIMIENTO M AYO-AGOSTO I (<12.7mm) II (12.7-28) SEPTIEMBRE-ABRIL III (>28) I (<35.6mm) II (35.6-53.5) III (>53.5) PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. PROM. D.E. 1 ELQUI IV P-N 66.7% - 18.2% - 15.2% - 100.0% - 0.0% - 0.0% - 2 LIMARI IV P-N 72.1% 11.6% 14.2% 5.6% 13.7% 10.2% 99.4% 1.4% 0.0% 0.0% 0.6% 1.4% 3 CHOAPA IV P-N 65.7% 10.3% 14.6% 8.0% 19.7% 11.9% 98.4% 2.4% 1.3% 1.9% 0.3% 1.0% 4 QUILIMARI IV P 64.4% 11.1% 3.4% 4.3% 32.2% 11.0% 99.3% 1.9% 0.7% 1.9% 0.0% 0.0% 5 PETORCA V P 65.6% 3.9% 20.5% 0.7% 13.8% 4.7% 98.4% 2.2% 1.6% 2.2% 0.0% 0.0% 6 ACONCAGUA V N-P 41.9% 5.5% 18.1% 5.3% 40.0% 10.8% 97.8% 3.8% 0.0% 0.0% 2.2% 3.8% 7 MAIPO RM N-P 13.9% 2.0% 10.1% 3.4% 76.0% 1.4% 92.3% 10.9% 0.0% 0.0% 7.7% 10.9% 8 RAPEL VI P-N 19.1% 2.9% 9.1% 5.2% 71.8% 7.0% 88.2% 2.2% 8.6% 3.4% 3.2% 5.5% 9 MATAQUITO VII P-N 30.5% 11.6% 23.4% 15.6% 46.0% 19.7% 88.2% 14.4% 4.9% 5.7% 6.9% 9.7% 10 MAULE VII P-N 27.2% 9.2% 9.8% 9.1% 63.1% 16.9% 76.7% 13.9% 6.1% 2.6% 17.2% 12.4% 11 ITATA VIII P-N 16.7% - 0.0% - 83.3% - 63.3% - 13.3% - 23.3% - 12 IMPERIAL IX P-N 26.7% 13.7% 25.8% 9.3% 47.4% 20.7% 91.4% 2.9% 5.7% 1.4% 2.9% 2.6% 13 TOLTEN IX P-N 14.7% - 11.8% - 73.5% - 55.9% - 17.6% - 26.5% - 14 PUERTO MONTT X P 9.5% - 14.3% - 76.2% - 81.0% - 9.5% - 9.5% - D.E.: Desviación estándar de la muestra. 9.1. Estimación de la Infiltración 209 CA H PRO MED IO POR CUEN CA ESTA CION INA CTIV A (M A YO -A GO STO ) Pmax 24 hrs. 100% I (<12.7mm) II (12.7-28) III (>28) 90% 70% 60% ar 50% 40% 30% TT O R TO TO P U E M A N E LT R PE IT IM M AT O C N L IA TA A AU U AQ LE O IT EL P A AI M G A C N ET P Q PO A U A C R O IM IL U C H LI O M A A AR PA I R I U LQ E I 0% R 10% re lim in 20% M FRECUENCIA RELAT IVA 80% CUENCAS Figura 9.4: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales en 24 hrs., estación inactiva. rP C A H P R O M E D IO P O R C U E N C A E S T A C IO N C R E C IM IE N T O (S E P T IE M B R E -A B R IL) P m a x 2 4 hrs. 100% 80% 70% 60% Bo rra do F R E C U E N C IA R E L A T IV A 90% I (< 3 5 .6 m m ) II (35 .6 -5 3 .5 ) III (> 5 3 .5 ) 50% 40% 30% 20% 10% TT N L R TO TO M O LT N E IA R E P IT U A A IM A T A P U E M M U Q A R TA LE O IT L P IP M A G A C O C A E O A U A C N T E P U Q O IM IL O H C R A P A A M LI R A I R I U LQ E I 0% CUENCAS Figura 9.5: Frecuencias relativas promedio por cuenca de las CAH de las precipitaciones máximas anuales en 24 hrs., estación crecimiento. Es interesante destacar de los resultados que indican las tablas y gráficos, que la condición calificada como normal por el método (Condición II) es lejos la menos frecuente prácticamente en toda la región analizada. En el caso de las precipitaciones diarias (Figuras 9.2, 9.3 y Tabla 9.4), incluso en invierno, desde la cuenca de Aconcagua al norte predominan claramente las condiciones antecedentes secas. Entre Maipo y Mataquito 210 Estudio y Estimación de Crecidas hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y húmedas, manteniéndose en forma minoritaria la condición “normal”. De Maule al sur, la condición antecedente predominante, es condición húmeda. En la estación de crecimiento, perı́odo Septiembre-Abril, la condición predominante en toda la región, desde Elqui hasta Puerto Montt, es la condición seca. El problema del análisis de lluvias diarias es la falta de independencia entre los eventos, ya que dos o más ar dı́as pueden corresponder a una misma tormenta. En el caso de las precipitaciones máximas diarias anuales (Figuras 9.4, 9.5 y Tabla 9.5), la condición predominante en invierno, es la condición antecedente seca desde la cuenca de Petorca al norte. En la cuenca re lim in de Aconcagua hay un equilibrio predominante entre condiciones secas y húmedas, manteniéndose en forma minoritaria la condición “normal”, presentándose como condición antecedente predominante, la condición húmeda desde Rapel al sur. En la estación de crecimiento, perı́odo Septiembre-Abril, se mantiene como condición predominante en toda la región, desde Elqui hasta Puerto Montt, la condición seca. La alternancia entre condiciones secas y húmedas introduce una complicación a la estimación probabilı́stica de crecidas mediante relaciones precipitación-escorrentı́a, ya que la magnitud de la crecida pasa a ser una función bivariada entre la magnitud de la precipitación y las condiciones antecedentes de humedad. Este problema ha sido tratado por Barrientos (2001). rP El análisis de lluvias diarias no resuelve totalmente el problema de falta de independencia, puesto que esta no representa necesariamente la precipitación máxima en 24 horas, ya que la tormenta puede distribuirse cronológicamente entre dos dı́as calendario, estimándose que estadı́sticamente la lluvia máxima en 24 horas Bo rra do es estadı́sticamente del orden de un 6 % mayor que la lluvia máxima diaria. 9.2. Estimación del Flujo Base Como se mencionó en acápites anteriores, cuando se pretende analizar o reproducir crecidas, o caudales a escala horaria o instantánea, deben intentarse relaciones entre la precipitación efectiva y la escorrentı́a directa. Para evaluar la escorrentı́a directa debe descontarse o restarse a la escorrentı́a total, aquella fracción más o menos constante, que constituye el flujo base o caudal existente en el rı́o antes del comienzo de una determinada tormenta. Diversos procedimientos simplificados se han propuesto para la separación de hidrogramas de crecida o determinación del flujo base. Un criterio consiste en extrapolar el hidrograma existente antes de la tormenta como si esta no hubiese ocurrido, hasta llegar al tiempo en que se produce el caudal máximo de la crecida, punto a partir del cual se empalma la curva de flujo base mediante una recta que alcanza a la curva de recesión del hidrograma de crecida N dı́as después del instante del caudal máximo. Para el valor de N se ha propuesto la expresión N = 0.83 · A0.2 [dı́as] (9.23) 9.2. Estimación del Flujo Base 211 donde A es el área de la cuenca en [km2 ]. El procedimiento se ilustra en la Figura 9.6 3500 N 3000 ar 2000 1500 1000 500 0 0 20 re lim in Caudal 2500 40 60 80 Tiempo Figura 9.6: Separación de hidrogramas de crecida Otra alternativa es postular que la curva de recesión de la crecida obedece a un decaimiento exponencial del rP tipo Q(t) = Qmax · e−k·t (9.24) Bo rra do donde k es la constante de decaimiento. Graficando a escala semilogarı́tmica la expresión anterior, resulta ln (Q(t)) = ln (Qmax ) − k · t (9.25) Es decir, la ecuación de una recta con constante de regresión “−k”. Si al graficar la curva se observa un quiebre, o en otras palabras, un cambio en la magnitud de la constante inicial k1 , como se ilustra en el instante t = 19 de la Figura 9.7, se interpreta el instante del quiebre como el punto donde cesa la escorrentı́a directa y continúa sólo la recesión del flujo base. Si se observan dos quiebres en vez de uno, el tramo intermedio suele asociarse al aporte del flujo intermedio rápido. En estos casos, a partir de la constante k2 correspondiente al flujo base, se extrapola hacia atrás este flujo, hasta llegar al punto de inflexión de la crecida total, que da inicio a la curva de recesión. Desde este punto se una mediante una recta o curva suave, hasta empalmar con el inicio de la crecida. Por último, cualquier trazado a criterio que empalme el inicio de la crecida con la curva de recesión separando el hidrograma total en escorrentı́a directa y flujo base es igualmente admisible, ya que en las grandes crecidas, la componente escorrentı́a directa es mucho mayor que la componente flujo base, por lo que los errores que se cometan en su separación son poco significativos respecto a la componente escorrentı́a directa. 212 Estudio y Estimación de Crecidas 8.2 8.1 8.0 7.9 7.8 7.7 ar 7.6 7.5 7.3 7.2 7.1 re lim in 7.4 Figura 9.7: Punto de separación de escorrentı́a directa y flujo base. Es importante recordar que el volumen de escorrentı́a directa debe ser igual al volumen de precipitación efectiva, es decir, debe cumplirse la relación Qed dt = Pef · A rP Z (9.26) t donde Pe f es la magnitud de la precipitación efectiva y A es el área de la cuenca. La importancia de Bo rra do respetar la ecuación anterior, es que representa la ecuación de continuidad. 9.3. Hidrogramas Unitarios Conocido el hietograma de precipitación efectiva de una tormenta, para su transformación a escorrentı́a directa o hidrograma de escorrentı́a directa, el procedimiento más utilizado consiste en recurrir al concepto de función de transferencia del análisis de sistemas lineales, que en su aplicación a la hidrologı́a toma el nombre de Método del Hidrograma Unitario. Se define el hidrograma unitario de una cuenca como el hidrograma de escorrentı́a directa provocado por una lluvia de duración efectiva T , y de intensidad efectiva constante ief = 1/T , tal que la precipitación efectiva total Pef = ief · T sea unitaria, digamos 1 mm. Si este hidrograma unitario HU (T, t) fuese conocido, de acuerdo a las leyes de los sistemas lineales, la magnitud de la crecida provocada por una tormenta cualquiera de magnitud efectiva Pef , será, Q(t) = Pef · HU (T, t) (9.27) es decir, se amplifican las ordenadas del hidrograma unitario, por la magnitud P de la tormenta efectiva. 9.3. Hidrogramas Unitarios 213 La estimación del hidrograma unitario de una cuenca puede realizarse en base a tormentas históricas registradas, o puede recurrirse al concepto de “hidrograma unitario sintético”, que permite estimarlo a partir de información morfológica de la cuenca, disponiendo sólo de un plano topográfico de ella. 9.3.1. Obtención del Hidrograma Unitario a partir de Lluvias de Intensidad Constante ar Si se dispone de información concurrente de hidrogramas de crecidas y de hietogramas de las tormentas que los produjeron, es posible proceder de la siguiente manera: re lim in (i) Se seleccionan tormentas históricas que cumplan con la hipótesis del método, es decir, que tengan una intensidad constante en un tiempo de duración T . Para ello resultan adecuadas tormentas de corta duración y gran intensidad. (ii) A partir del hidrograma total, se le resta el flujo base según alguno de los criterios antes vistos, obteniéndose el hidrograma de escorrentı́a directa Q(t). (iii) En base a la ecuación 9.26, evaluando el volumen de escorrentı́a directa y conocida el área de la cuenca se obtiene la magnitud de la precipitación efectiva Pef y su intensidad efectiva. Pef T rP ief = (9.28) (iv) Por último, de la definición de Hidrograma Unitario, ecuación 9.27, se obtienen las ordenadas de este dividiendo las ordenadas del hidrograma de escorrentı́a directa por la magnitud de la precipitación Bo rra do efectiva HU (T, t) = Q(t) Pef (9.29) Por las hipótesis del método, se postula que el sistema es invariante en el tiempo, es decir, dos tormentas idénticas producirán dos crecidas idénticas; además, el tiempo base o tiempo de duración de la escorrentı́a directa debiera ser el mismo para dos tormentas de la misma duración efectiva T . Estas idealizaciones no tienen por qué cumplirse con exactitud en cuencas reales, por lo que es conveniente estimar el hidrograma unitario en base a dos o más tormentas de aproximadamente la misma duración efectiva T , y adoptar un hidrograma representativo promedio entre los distintos resultados obtenidos. Al respecto, no es conveniente estimar el hidrograma promedio por la vı́a de promediar las ordenadas de los distintos resultados, ya que esto distorsiona la forma resultante del hidrograma. En relación a la Figura 9.8, el procedimiento recomendado para el cálculo del hidrograma promedio es el siguiente: En una cuenca de 52 [km2 ] se obtuvieron tres estimaciones del HU correspondiente a tormentas de 4 horas de duración. En base a los distintos resultados, se calculan los promedios del tiempo de duración 214 Estudio y Estimación de Crecidas 3.0 2.0 ar 1.5 1.0 re lim in Caudal [m3/s mm] 2.5 0.5 0 0 10 20 30 40 50 60 Tiempo [hr] Figura 9.8: Fabricación de Hidrograma Unitario promedio de la escorrentı́a directa o tiempos base tB ; análogamente se calculan los promedios de los tiempos rP hasta alcanzar el máximo, o tiempo al pico tp , y la magnitud del caudal máximo promedio Qp . Se imponen estos valores promedios como válidos para el hidrograma unitario promedio representativo, (indicados en la Figura 9.8), y las ordenadas correspondientes a otros instantes de tiempo se obtienen a criterio, tratando de reproducir en la mejor forma posible la distribución temporal de los hidrogramas individuales, recordando en todo momento que el área bajo la curva del hidrograma o volumen de Bo rra do escorrentı́a directa debe ser unitario. Expresados los caudales como gastos especı́ficos, es decir, como caudales por unidad de área de la cuenca, el volumen bajo la curva del hidrograma representativo deberá valer V = Z 0 tB HU (T, t) dt = 1 A [mm] (9.30) Se incluye en la Figura 9.8 el HU que hubiese resultado en base al promedio aritmético de las ordenadas de los tres resultados, observándose que resulta un caudal máximo menor que cada uno de los tres HU individuales, subestimando el caudal máximo, lo que ilustra la inconveniencia de ese criterio. 9.3.2. Hidrogramas Unitarios para Otras Duraciones En el caso anterior, el análisis debe hacerse para tormentas de aproximadamente la misma duración T y el Hidrograma Unitario que se obtiene, HU (T, t), es válido sólo para tormentas de dicha duración. En estricto rigor, si se desease calcular el HU para otras duraciones, debiera repetirse el procedimiento utilizando tormentas de la duración deseada. 9.3. Hidrogramas Unitarios 215 Sin embargo, considerando que el método postula que la cuenca se comporta como un sistema lineal, es posible aprovechar el principio de superposición de soluciones de los sistemas lineales. En efecto, si se dispone del HU para una duración T correspondiente a una lluvia de dicha duración, si ocurre una lluvia de duración 2T , esta puede interpretarse como la sucesión inmediata de dos tormentas idénticas de duración T , cada una de las cuales producirá la misma crecida, sólo que desfasadas en el tiempo en la magnitud T . Luego, las ordenadas de la crecida generada por la tormenta total corresponderá a la suma ar de las ordenas del H.U. de cada una de las tormentas, desfasadas en T unidades de tiempo. Como cada una de las tormentas era unitaria, la magnitud de la tormenta total será de P = 2 [mm], por lo que para llevarla a una magnitud unitaria, las ordenadas de la crecida total resultante deberán dividirse por dos. re lim in Con esto, el H.U (2T, t), correspondiente a una lluvia de duración 2T , quedará dado por la relación HU (2T, t) = HU (T, t) + HU (T, t − T ) 2 (9.31) Es fácil visualizar que el raciocinio anterior puede generalizarse para tormentas de duración n · T , donde n es un múltiplo entero de la duración base: HU (n · T, t) = HU (T, t) + HU (T, t − T ) + ... + HU (T, t − (n − 1) · T ) n (9.32) rP La ecuación anterior permite, en consecuencia, estimar los HU de cualquier tormenta cuya duración sea un múltiplo entero de la duración de la tormenta base. Hidrograma en S Bo rra do 9.3.3. Si se desea evaluar el HU de una duración cualquiera, conocido el HU de una duración base, puede recurrirse al concepto de Hidrograma en S. Se define el Hidrograma en S, como el hidrograma de escorrentı́a directa generado por una lluvia de intensidad efectiva constante unitaria (ief = 1 [mm/hr]) y de duración indefinida. Luego, si sumamos un número indefinido de HU de duración T , el resultado será el hidrograma de crecida correspondiente a una lluvia indefinida de intensidad ief = 1/T , y el Hidrograma en S, que corresponde a una lluvia indefinida de intensidad ief = 1 [mm/hr], corresponderá al hidrograma anterior amplificado por T . Luego, S(t) = T [HU (T, t) + HU (T, t − T ) + ... + HU (T, t − k · T ) + ...] (9.33) En la práctica, cuando la cuenca tienda a alcanzar una situación de equilibrio, el Hidrograma en S tenderá a un valor de equilibrio constante, como se indica en la Figura 9.9, tomando la forma que da origen a su nombre. Luego, bastará sumar sólo “k“ hidrogramas, donde 216 Estudio y Estimación de Crecidas k= tB T (9.34) re lim in Caudal acumulado ar siendo tB el tiempo base del HU original. Tiempo [hr] rP Figura 9.9: Hidrograma en S Suele ocurrir que el hidrograma en S no se estabilice, sino que presente ondulaciones finales en forma indefinida. Esto se debe al no cumplimiento en la realidad, de las hipótesis del método; si las ondulaciones Bo rra do son menores, pueden ignorarse tomando un valor promedio final constante. Si las oscilaciones resultan de importancia, normalmente revela la existencia de un error en la estimación de la duración T de la tormenta original. Conocido en definitiva el Hidrograma en S, el HU de una tormenta de duración cualquiera τ , podrá esti- marse restando al Hidrograma S(t) el mismo hidrograma desfasado en la magnitud τ . La tormenta restante, dado que la intensidad de la lluvia que genera el Hidrograma es S es unitaria, será de magnitud Pef = τ , por lo que el H.U. de cualquier duración τ , vendrá dado por la relación HU (τ, t) = 9.3.4. S(t) − S(t − τ ) τ (9.35) Estimación de Hidrogramas Unitarios a partir de Tormentas de Intensidad Va- riable Si sólo se dispone de registros de tormentas cuya intensidad efectiva es sensiblemente variable, siempre será posible representar su hietograma en forma discreta adoptando para distintos intervalos ∆t, la intensidad efectiva media ocurrida en cada intervalo, como se indica en la Figura 9.10 9.3. Hidrogramas Unitarios 217 10 8 ar 6 4 2 0 0 0 1 1 2 re lim in Intensidad efectiva media [mm/hr] 12 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 Intervalo Dt Figura 9.10: Hietograma discretizado Cada intervalo j tendrá su intensidad efectiva media ief,j y duración ∆t, por lo que la precipitación efectiva en el intervalo será Pef,j = ief,j ∆t. por la expresión rP Cada intervalo de lluvia j provocará un hidrograma de escorrentı́a directa cuyas ordenadas quedan dadas Bo rra do Qk = Pef,j · uk (9.36) donde se ha adoptado la notación simplificada para el HU de duración ∆t, uk = HU (∆t, k · ∆t) (9.37) Aplicando el principio de superposición de soluciones, el hidrograma de escorrentı́a directa de la tormenta total resultará de la suma de los hidrogramas parciales de cada intervalo de precipitación, sumados con el desfase correspondiente. Ası́, se tendrá, si la lluvia tiene una duración T = m · ∆t y el HU tiene un tiempo base tB = n · ∆t, donde normalmente n > m, 218 Estudio y Estimación de Crecidas Q(0) = 0 Q(1) = Pef,1 · u1 Q(2) = Pef,2 · u1 + Pef,1 · u2 Q(3) = Pef,3 · u1 + Pef,2 · u2 + Pef,1 · u3 Q(k) = Pef,k · u1 + Pef,k−1 · u2 + ... + Pef,1 · uk .. . ar .. . re lim in Q(m) = Pef,m · u1 + Pef,m−1 · u2 + ... + Pef,2 · um−1 + Pef,1 · um (9.38) Q(m + 1) = 0 + Pef,m · u2 + ... + ... + ... + ... + Pef,2 · um + Pef,1 · um+1 .. . Q(n) = 0 + 0 + 0 + ... + Pef,m · un−m+1 + Pef,m−1 · un−m+2 + ... + Pef,1 · un Q(n + 1) = 0 + 0 + 0 + 0 + ... + Pef,m+1 · un−m+1 + ... + ... + ... + Pef,2 · un .. . Q(n + m + 1) = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + Pef,m · un rP En general, el caudal de crecida en un instante k, viene dado por Qk = k X Pef,k−i+1 · ui (9.39) Bo rra do i=1 El sistema de ecuaciones anterior se puede expresar matricialmente como [Q] = [Pef ] · [u] (9.40) donde [Q] es el vector de dimensión (m + n + 1) correspondiente a las ordenadas de la crecida real, en este caso conocida, [u] es el vector de dimensión n correspondiente a las ordenadas del HU (∆T, t), en este caso la incógnita, y [Pef ] es la matriz de precipitaciones de dimensión (m + n + 1) · n correspondiente a las precipitaciones con la estructura bandeada 9.3. Hidrogramas Unitarios ··· ··· 0 ··· ··· 0 ··· ··· 0 Pef,1 0 ··· ··· 0 ··· 0 ··· ··· 0 Pef,2 Pef,1 0 ··· ··· 0 ··· 0 ··· 0 Pef,3 .. . Pef,2 .. . Pef,1 .. . 0 .. . ··· .. . 0 .. . ··· .. . 0 .. . ··· .. . 0 .. . Pef,m Pef,m−1 Pef,m−2 ... ... P1 0 ... ... 0 0 .. . Pef,m .. . Pef,m−1 .. . Pef,m−2 .. . ... .. . ... .. . P1 .. . 0 .. . 0 ··· ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· ··· 0 ··· 0 ··· ar Pef = 0 ... .. . 0 .. . ··· Pef,m Pef,m−1 ··· 0 Pef,m re lim in 219 Como [Pef ] no es una matriz cuadrada, para la solución del sistema debe premultiplicarse por la traspuesta de [Pef ], que equivale a minimizar errores por el método de mı́nimos cuadrados, quedando [Pef ]T [Q] = [Pef ]T [Pef ][u] (9.41) lo que permite determinar [u] premultiplicando por la inversa de [Pef ]T [Pef ], de forma que 9.3.5. rP −1 [u] = [Pef ]T [Pef ] [Pef ]T [Q] (9.42) Hidrograma Unitario Instantáneo Bo rra do Se vio en el acápite anterior, que el caudal de crecida en un instante k, donde k corresponde en el tiempo al instante t = k · ∆t, siendo ∆t el intervalo en que se ha discretizado el hietograma de la tormenta, viene dado por la ecuación Qk = k X uj · Pef,k−j+1 j=1 Volviendo a la notación original, esta ecuación se transforma en Q(k∆t) = k X HU (∆t, j∆t) · Pef ((k − j + 1)∆t) (9.43) j=1 o de forma equivalente Q(t) = k X HU (∆t, τ ) · Pef (t − τ + ∆t) j=1 donde τ = j · ∆t. Recordando que Pef = i · ∆t (9.44) 220 Estudio y Estimación de Crecidas Q(t) = k X HU (∆t, τ ) · i(t − τ + ∆t)∆t (9.45) j=1 Si el intervalo de discretización se hace disminuir, en el lı́mite cundo ∆t → 0, la ecuación anterior se transforma en t Z HU I(τ ) · i(t − τ )dτ 0 (9.46) ar Q(t) = donde HUI es el hidrograma Unitario Instantáneo de la cuenca, es decir, el hidrograma de escorrentı́a directa re lim in producido por un pulso unitario de precipitación de duración infinitesimal y magnitud P = 1 mm. En la ecuación, τ es una variable muda de integración. La ecuación anterior, en términos matemáticos corresponde a la integral de Duhamel o integral de convolución, para la cual se cumple, cambiando variables, la relación Q(t) = Z 0 t Z HU I(τ ) · i(t − τ )dτ = t HU I(t − τ ) · i(τ )dτ (9.47) 0 El concepto de hidrograma unitario instantáneo amplı́a la aplicabilidad de métodos matemáticos y el 9.3.6. rP desarrollo de modelos conceptuales para la definición del hidrograma unitario de una cuenca. Hidrograma Unitario de Nash Entre los desarrollos conceptuales de hidrogramas unitarios destaca el HUI propuesto por Nash. Bo rra do De acuerdo a la ecuación de balance hidrológico, debe cumplirse la ecuación de continuidad I −Q= dV dt (9.48) Si se acepta que una cuenca se comporta como un embalse lineal, es decir, el caudal de salida Q es proporcional al volumen embalsado V , de acuerdo a la relación V =k·Q (9.49) donde k es la constante de tiempo del embalse, la ecuación de continuidad queda I −Q=k dQ dt (9.50) Ahora, si el caudal de entrada I es un impulso unitario, I = 0 para todo tiempo t > 0. Luego, −Q = k dQ dt t>0 (9.51) 9.3. Hidrogramas Unitarios 221 Integrando entre 0 y t se llega a Q(t) = Q0 · e−t/k (9.52) Por otra parte, siendo I un impuso unitario, el volumen total de la crecida deberá ser igual a V = A · 1, ∞ Z Q0 e−t/k dt = Q0 k = A re lim in 0 ar donde A es el área de la cuenca aportante. Integrando, → Q0 = A k (9.53) De lo anterior, resulta que el caudal especı́fico q = Q/A resulta q(t) = Q(t) 1 = e−t/k A k (9.54) Lo anterior nos dice que el HUI de una cuenca que se comporta como un embalse lineal, tiene la forma de una distribución exponencial. rP Nash propuso que una cuenca real se comporta como una sucesión de n embalses lineales o n embalses lineales en cascada, donde la entrada de cada uno corresponde a la salida del anterior. La salida del primer embalse corresponde a su HUI, luego, la ecuación de continuidad para el segundo Bo rra do embalse queda representada por 1 −t/k dq2 e − q2 (t) = k k dt (9.55) cuya solución es q2 (t) = 1 −t/k te k2 (9.56) Generalizando a n embalses se llega a qn (t) = 1 tn−1 e−t/k − 1)! k n (n (9.57) Es decir, el HUI de una cuenca real corresponderı́a a una distribución Gamma 2, con parámetros β = k y α = n. La crecida generada por un chubasco intenso de corta duración de magnitud efectiva P quedarı́a dada por Q(t) = P ·A tn−1 e−t/k k n (n − 1)! (9.58) 222 Estudio y Estimación de Crecidas Luego, de la función q(t) = Q(t) A (9.59) que corresponde a una distribución Gamma 2, a partir de su promedio en el tiempo y su desviación 9.3.7. ar standard, podrı́an estimarse los parámetros k y n de la cuenca. Hidrogramas Unitarios Sintéticos re lim in Los procedimientos de determinación del Hidrograma Unitario de una cuenca, antes descritos, son bastante laboriosos y muchas veces imposible de practicar por no existir registros simultáneos de información pluviográfica e hidrográfica. Por el motivo anterior, se han desarrollado muchas investigaciones tratando de obtener H.U. en forma sintética, es decir, relacionando las principales variables del hidrograma con parámetros geomorfológicos de la cuenca. Para caracterizar adecuadamente un hidrograma unitario es necesario conocer las siguientes variables: rP Tiempo base o tiempo total desde el inicio hasta el término de la escorrentı́a directa. Tiempo al máximo o instante en que se produce el caudal máximo instantáneo. Magnitud del caudal máximo. Bo rra do Duración de la lluvia efectiva que lo genera. A lo anterior se agrega la condición de que su volumen total debe ser unitario y que su forma debe mostrar alguna semejanza con una distribución gamma 2. 9.3.7.1. Hidrograma Unitario de Snyder Snyder (1938) fue el primero en proponer expresiones analı́ticas para la generación de H.U. sintéticos, proponiendo relaciones del tipo: Tiempo al máximo: tp = CD (LL)0.3 Caudal máximo : qp = Cp A tp [horas] (9.60) [m3 /s·mm] (9.61) +3 (9.62) Tiempo base : tB = 3 tp 24 [dı́as] 9.3. Hidrogramas Unitarios 223 donde L es el largo total del cauce principal [km], L es la distancia desde el centro de masa de la cuenca hasta la sección de salida [km] y A es el área de la cuenca en [km2 ]. Para las constantes CD y Cp propuso los rangos: 1.35 < CD < 1.65 obtenidos del análisis de crecidas en las montañas Rocallosas de los EE. UU. ar 0.15 < Cp < 0.19 Snyder desarrolló sus fórmulas utilizando tormentas cuya duración efectiva cumplı́a la relación tp 5.5 re lim in tLL = (9.63) Para tormentas de otras duraciones, dentro de un rango de variación moderado, Snyder propuso corregir el valor de tp mediante la relación, tp = tp + tR − tLL 4 (9.64) donde tR es la duración real de la tormenta considerada. rP Para estimar crecidas provocadas por tormentas de duraciones muy distintas a la que resulta de la aplicación de la fórmula anterior, debe aprovecharse la propiedad de los sistemas lineales, en cuanto a la validez del método de superposición de soluciones. Bo rra do Si bien conceptualmente el aporte de Snyder resultó importantı́simo, su método presenta la desventaja y limitación de que al intentar utilizarlo en regiones distintas a la que originó las fórmulas, se obtienen valores de los coeficientes CD y Cp que escapan bastante al rango de variación sugerido por el autor, dependiendo de las caracterı́sticas de cada cuenca en particular. 9.3.7.2. Hidrogramas Unitarios Tipo Linsley Linsley señala que las limitaciones de las fórmulas de Snyder provienen de no haber considerado explı́citamente la pendiente de las cuencas en la determinación del tiempo al máximo, proponiendo una relación con la estructura tp = CD L·L √ S n (9.65) donde S es la pendiente media de la cuenca evaluada mediante la fórmula de Mocciornita. S= h L0 2 + Pn−1 i=1 A Li + Ln 2 (9.66) 224 Estudio y Estimación de Crecidas donde, h: Diferencia de alturas entre curvas de nivel. L0 : Longitud de la curva de nivel de menor cota en [m]. Li : Longitud de la curva de nivel intermedia i en [m]. Ln : Longitud de la curva de nivel de mayor cota en [m]. 9.3.8. Hidrogramas Unitarios sintéticos en Chile ar A: Superficie de la cuenca en [m2 ]. Para la región Maipo Maule: tp = qp = tB = 0.386 0.397 [hrs] L·L √ S 355 · t−1.22 p 2.7 · t1.1 p [lts/s· km2 ] [hrs] Para la región Itata-Valdivia: qp = 0.241 L·L 1.315 √ S 171.3 · t−0.829 p tB = 5.45 · t0.714 p [hrs] rP tp = re lim in Benitez y Arteaga (1986) estudiaron la determinación de HU en Chile, proponiendo las siguientes expresiones: [lts/s· km2 ] [hrs] Bo rra do La DGA (1995) actualizó los estudios de Benitez y Arteaga, incluyendo más información, proponiendo las siguientes expresiones: IIIª a VIª Regiones tp = qp = tB = 0.422 L·L √ S 144.141 · t−0.796 p 5.377 · t0.805 p 0.323 [hrs] [lts/s· km2 ] [hrs] VIIª Región qp = 0.327 L·L 0.584 √ S 522.514 · t−1.511 p tB = 1.822 · t1.412 p tp = [hrs] [lts/s· km2 ] [hrs] 9.4. Fórmulas Empı́ricas 225 VIIIª a Xª Región qp = 0.237 L·L √ S 172.775 · t−0.835 p tB = 5.428 · t0.717 p tp = 1.315 [hrs] [lts/s· km2 ] [hrs] cuanto a la duración de la lluvia que genera el hidrograma. ar En todos los casos anteriores se mantiene, en forma más o menos arbitraria, las relaciones de Snyder en re lim in Para el perfilamiento del hidrograma se propone el siguiente hidrograma adimensional Tabla 9.6: Hidrograma Adimensional t/tp q/qp 0 0.2 0.5 0.4 0.6 0.6 0.75 0.8 1 1 1.3 0.8 1.5 0.6 1.8 0.4 2.3 0.2 2.7 0.1 Bo rra do rP 0 0.3 El hidrograma adimensional anterior debe considerarse sólo como referencial, ya que de mucho mayor importancia resulta satisfacer la condición de volumen unitario. 9.4. Fórmulas Empı́ricas Para la estimación en forma rápida del caudal máximo de una crecida se han propuesto en diversas partes del mundo fórmulas empı́ricas, la mayorı́a de las cuales tiene una estructura del tipo. Qp = b · An (9.67) donde el exponente n varı́a según distintos autores entre 0.5 < n < 0.9, mostrando el coeficiente b un fuerte rango de variación. Este tipo de fórmulas debe utilizarse con mucha precaución, a menos que el coeficiente b no se suponga constante, sino que incorpore al menos la intensidad de la lluvia que provoca la crecida. 226 9.4.1. Estudio y Estimación de Crecidas Fórmulas tipo Burkli-Ziegler Burkli y Ziegler proponen una fórmula con una estructura del tipo Qp = k r S iA A (9.68) que al menos incorpora la pendiente de la cuenca S, la intensidad de la tormenta que provoca la crecida i, Fórmula Racional re lim in 9.4.2. ar siendo k un coeficiente dependiente de las condiciones de infiltración de la cuenca. Dentro del grupo anterior puede encontrarse la fórmula denominada Fórmula Racional, tal vez la fórmula más utilizada a nivel mundial para la estimación rápida de caudales máximos de crecida en cuencas pequeñas. Diagrama Tiempo-Área Dada una cuenca especı́fica, es conceptualmente posible establecer la ubicación de las lı́neas isócronas o lı́neas de igual tiempo de viaje de una partı́cula de agua desde su punto de precipitación hasta la sección de salida de la misma. Calculando el área de la cuenca ubicada aguas abajo de cada lı́nea isócrona y graficando esta en función del tiempo de viaje, se obtiene el denominado diagrama tiempo-área, que representa la variación rP del área aportante de la cuenca en función del tiempo, hasta alcanzar el área total de la misma para el denominado “tiempo de concentración de la cuenca”, tc . Si sobre la cuenca se produce una tormenta con intensidad efectiva ief constante en el tiempo y en el Bo rra do espacio, el caudal en la sección de salida de la cuenca se puede expresar por la relación, Q(t) = ief · A(t) t < tc (9.69) donde el área aportante hasta dicho instante A(t) podrı́a obtenerse del diagrama tiempo-area. Si la duración de la lluvia supera el tiempo de concentración de la cuenca, el sistema entra en régimen y el caudal alcanzarı́a un valor máximo constante Qmax = ief · AT = cte t > tc (9.70) En la práctica, la intensidad de la lluvia será variable en el tiempo, y si no se conoce dicha variación, el caudal máximo podrá estimarse utilizando el máximo valor promedio de la intensidad de la lluvia para una duración correspondiente al tiempo de concentración de la cuenca tc , luego Qmax = ief (tc ) · AT t > tc (9.71) Finalmente, la intensidad efectiva puede estimarse en función de la intensidad total, introduciendo un factor de corrección denominado coeficiente de escorrentı́a C, con lo que la ecuación queda finalmente 9.4. Fórmulas Empı́ricas 227 Qmax = Cief (tc ) · AT (9.72) t > tc donde C depende de las condiciones de intercepción, retención e infiltración de la cuenca, quedando limitado al rango 0 < C < 1. ar Lo anterior supone que la lluvia efectiva dura más que el tiempo de concentración de la cuenca. De ahı́ que la fórmula sea aplicada normalmente para cuencas de pequeño tamaño. La fórmula racional es dimensionalmente correcta; si se utilizan las dimensiones habituales de [mm/hr] para la intensidad de la lluvia y [km2 ] para el Q= re lim in tamaño de la cuenca la fórmula queda dada por la expresión, C · ief (tc ) · A 3.6 m3 /seg (9.73) donde C es el coeficiente de escorrentı́a (0 < C < 1), i(tc ) es la intensidad media máxima de la precipitación, correspondiente a una duración igual al tiempo de concentración de la cuenca tc . La confiabilidad en el uso de esta fórmula depende de una adecuada evaluación del coeficiente de escorrentı́a rP C y del tiempo de concentración de la cuenca. Si la duración de la lluvia efectiva te resulta menor que el tiempo de concentración de la cuenca, lo que puede ocurrir en cuencas grandes, se demuestra (Stowhas, 2003) que el caudal máximo de crecida para una Bo rra do lluvia de intensidad efectiva constante queda dado por la expresión Qmax = ie (te ) · Amax (te ) te < tc (9.74) Esta condición introduce la incertidumbre de determinar la duración de la lluvia efectiva y el tamaño del área aportante hasta dicho instante, ambas variables difı́ciles de determinar. En la práctica, el uso de la fórmula racional, válida para cuencas pequeñas (ecuación 9.73), ha sido generalizada para su uso en cuencas mayores, traspasando la incertidumbre al coeficiente de escorrentı́a C. 9.4.2.1. Estimación del Coeficiente de escorrentı́a De la gran experiencia que se dispone respecto a la utilización de la fórmula racional, diversos autores han propuesto valores representativos del coeficiente de escorrentı́a para diferentes condiciones de aplicación. Chow (1994) recomienda para zonas rurales los siguientes valores: Para zonas urbanas, el Manual Nº 37 de la ASCE (1969) propone los siguientes valores en función del uso del área y del tipo de superficies: 228 Estudio y Estimación de Crecidas Tabla 9.7: Coeficientes de Escorrentı́a en Cuencas Rurales Pequeñas Coeficiente de Escorrentı́a (C) Tipo de suelo Terrenos Cultivados Praderas Terrenos Boscosos 0.2 0.15 0.10 0.4 0.35 0.30 0.5 0.45 Arenoso con alta tasa de Francos con tasa media de infiltración Arcillosos o suelos poco profundos sobre roca con 0.40 re lim in bajas tasas de infiltración ar infiltración Tabla 9.8: Coeficientes de Escorrentı́a en función de tipo de área y tipo de calzada Tipo de área C Tipo de calzada C 0.7 - 0.95 Asfaltos 0.7 - 0.95 Comercial suburbana 0.5 - 0.7 Concretos 0.8 - 0.95 Edificios de Departamentos 0.5 - 0.7 Ladrillo o tierra endurecida 0.7 - 0.85 Residencial unifamiliar 0.3 - 0.5 Aceras y pasajes 0.75 - 0.85 Unidades múltiples pareadas 0.6 - 0.75 Techos 0.75 - 0.95 rP Comercial Céntrica Unidades múltiples separadas 0.4 - 0.6 Prados arenosos de 2 a 7 % 0.05 - 0.2 de pendiente Residencial suburbana 0.25 - 0.4 Prados arcillosos de 2 a 7 % 0.13 - 0.35 de pendiente 0.6 - 0.9 Parques y cementerios 0.1 - 0.25 Industrial Baja Densidad 0.5 - 0.8 Patios de ferrocarriles 0.2 - 0.4 Bo rra do Industrial Alta Densidad Cabe destacar que estos coeficientes no consideran la intensidad de la lluvia o perı́odo de retorno del evento, por lo que en su selección debe primar la experiencia y criterio del proyectista. En la publicación de la DGA (1995), se proponen coeficientes de escorrentı́a para cuencas grandes en función del perı́odo de retorno en diferentes regiones de Chile. Si se considera una tormenta de intensidad variable, centrada, simétrica y monomodal, respetando para todas las duraciones la fórmula de Grunsky, se demuestra que el coeficiente de escorrentı́a se puede estimar en forma más objetiva mediante las relaciones, C= 1 2 1 2 · t∗ · cf 1− si t∗ < 1 si t∗ = 1 1 2t∗ si t > 1 ∗ (9.75) 9.4. Fórmulas Empı́ricas 229 donde cf es un coeficiente de forma que en primera aproximación puede estimarse mediante la relación si t∗ √ 6 < 0.089 si 0.089 ≤ si ∗ t √ 6 t∗ √ 6 > 0.408 y su vez, t∗ es una variable adimensional definida por la ecuación r 6 i24 tc f (9.77) re lim in t∗ = (9.76) ≤ 0.408 ar 2.7 ∗ −0.65 t cf = 0.56 √ 6 1 donde tc es el tiempo de concentración de la cuenca en horas, i24 es la intensidad media diaria en [mm/hr] y f es la tasa media de infiltración o abstracción durante el perı́odo de encharcamiento, en [mm/hr]. Las expresiones anteriores se basan en una tasa media de infiltración constante, es decir, aplican sobre un intervalo de tormenta que ocurre una vez llegado al tiempo de encharcamiento de una cuenca homogénea. Si la precipitación ocurre sobre un suelo relativamente seco, los coeficientes de escorrentı́a serı́an menores a los indicados por las fórmulas propuestas. Esto exige estimar la tasa media de infiltración adecuada a cada situación. En este sentido, resulta conveniente expresar la tasa media de infiltración a partir del método de la Curva Número, que permite considerar por una parte las condiciones antecedentes de humedad y por otra, rP incorporar la eventual heterogeneidad de la cuenca a través de la Curva Número Equivalente en función de la magnitud de la precipitación. En este caso, la infiltración media durante el intervalo en que la precipitación supera a la infiltración puede Bo rra do estimarse mediante la relación f =6 (i24 )2 Pef (9.78) Ejemplo Se considera una cuenca pequeña de 8 [km2 ], cuyo tiempo de concentración se estima en 1 hora, con una CNeq igual a 65 sobre la que cae una precipitación total en 24 horas de 100 [mm] con una intensidad media i24 = 100/24 = 4.17 [mm/hr]. De la Curva Número se obtiene S = 25.4 1000 − 10 = 136.8 [mm] CN Adoptando I = 0.23S = 31.5 [mm], la precipitación efectiva resulta Pef = (P − I)2 = 22.9 [mm] (P + S − I) Luego, f =6 (i24 )2 = 4.56 [mm/hr] Pef 230 Estudio y Estimación de Crecidas t∗ √ = 6 r 1 i24 → t∗ = 2.24 tc f Además, Por Grunsky, i(tc ) = i24 r 24 = 20.43 [mm/hr] tc ar cf = 1.0 → C = 0.777 Finalmente Q = 0.777 · 20.43 · 8/3.6 = 35.3 [m3 /s], con un gasto especı́fico de q = Q/A = 4.41 [m3 /s· km2 ]. re lim in Si la misma tormenta ocurre sobre una cuenca de las mismas caracterı́sticas pero de tamaño mayor de 800 [km2 ] con un tiempo de concentración de 12 hrs, se obtiene t∗ √ = 6 Luego, r 1 i24 → t∗ = 0.647 tc f cf = 1.33 → C = 0.431 r 24 = 5.90 [mm/hr] tc rP Por Grunsky, i(tc ) = i24 Donde finalmente Q = 0.431 · 5.9 · 800/3.6 = 565 [m3 /s], con un gasto especı́fico de q = Q/A = 0.71 [m3 /s· Bo rra do km2 ]. 9.4.2.2. Estimación del Tiempo de Concentración El tiempo de concentración de la cuenca se define como el tiempo que demora en llegar a la sección de salida de la cuenca, la partı́cula de lluvia que cae en el punto más alejado de ella, es decir, es el tiempo a partir del cual toda la superficie de la cuenca está aportando agua a la sección de salida. Para estimar a su vez el tiempo de concentración pueden utilizarse diversos procedimientos. Por ejemplo: tc = L v (9.79) donde L es la longitud del cauce principal y v es la velocidad media del escurrimiento. A continuación se presentan algunas ecuaciones utilizadas para el cálculo del tiempo de concentración: Fórmula de Kirpich tc = k L3 ∆h 0.385 [hrs] (9.80) 9.4. Fórmulas Empı́ricas 231 Con L longitud del cauce principal [km], ∆h es el desnivel máximo de la cuenca [m] y 0.5 < k < 1.5 dependiendo del grado de definición de la red de drenaje (Normal en cuencas naturales, k ≈ 1). Fórmula de Hathaway tc = 2.19·L·n √ S 0.47 (9.81) [hrs] ar donde L es la longitud del cauce principal [m], n es el coeficiente de rugosidad de Manning y S es la Fórmula de Giandotti re lim in pendiente media de la cuenca. √ 4 A + 1.5 · L √ tc = 0.8 H [hrs] (9.82) donde A es la superficie de la cuenca en [km2 ], L es la longitud del cauce principal en [km] y H es la altitud media de la cuenca en [m]. La fórmula es aplicable en cuencas con A < 200 Há y si L/5.4 < tc < L/3.6. 7 · L0.6 n0.6 i0.4 S 0.3 rP Fórmula de Linsley-Morgali tc = [hrs] (9.83) donde L es la longitud de cauce principal en [km], n es el coeficiente de rugosidad de Manning, i es la intensidad de la lluvia en [mm/hr] y S es la pendiente media de la cuenca. Esta fórmula es iterativa Bo rra do debido a que tanto i como tc son desconocidos. Fórmula Manual de Carreteras de España tc = 0.3 · L0.76 S 0.19 [hrs] (9.84) donde L es la longitud de cauce principal en [km] y S es la pendiente media de la cuenca. Leignier (2006) obtuvo buenos resultados al aplicar esta fórmula en cuencas grandes de Chile. Para la aplicación de la fórmula racional, la magnitud de la intensidad media máxima de la tormenta para el tiempo de concentración respectivo (independiente la fórmula que se utilice), debe obtenerse de la curva intensidad-duración de la tormenta. 9.4.3. Fórmula de Verni-King Esta fórmula ha tenido gran aplicación en el paı́s dada su simplicidad y debido a que fue deducida a partir del análisis de crecidas registradas en Chile. 232 Estudio y Estimación de Crecidas Sus autores, a partir de un análisis dimensional, proponen que el caudal máximo provocado por una tormenta de precipitación total diaria P [mm] que ocurre sobre una cuenca de tamaño A [km2 ], viene dado por la expresión, Q = 0.00618 · P 1.24 · A0.88 (9.85) [m3 /s] ar La fórmula es generalmente aplicable para tormentas de alto perı́odo de retorno en cuencas de tamaño medio o mayor. La DGA (2005b) propone minoraciones al coeficiente de la fórmula para utilizarla para tormentas de perı́odo de retorno menores a 100 años. re lim in Aplicada al segundo ejemplo anterior se obtiene Q = 0.00618 · 1001.24 · 8000.88 = 669 [m3 /s] Es decir, un 18 % mayor al resultado del ejemplo anterior. 9.4.4. Fórmulas DGA La Dirección General de Aguas, DGA (2005b), propone un método que se conoce como Método DGA-AC, rP en el cual se estima el caudal máximo medio diario para un perı́odo de retorno de 10 años, para distintas regiones del paı́s, en base a las siguientes ecuaciones: Bo rra do Regiones III y IV: 10 · P24 Q10 = 1.94 × 10−7 · A0.776 p 3.108 [m3 /s] (9.86) 10 Q10 = 5.42 × 10−8 · A0.915 · P24 p 3.432 [m3 /s] (9.87) Regiones V, RM y VI: Regiones VII y IX: 10 Q10 = 2 × 10−3 · A0.973 · P24 p 1.124 [m3 /s] (9.88) 10 es la precipitación en 24 horas con 10 años de perı́odo donde Ap es el área pluvial de la cuenca en [km2 ] y P24 de retorno. A partir del caudal máximo medio diario con perı́odo de retorno de 10 años, se estiman los caudales medios diarios para otros perı́odos de retorno, utilizando coeficientes de frecuencia determinados para 23 distintas zonas homogéneas del paı́s. Finalmente, el método propone factores para pasar del caudal máximo medio diario al caudal máximo instantáneo. 9.4. Fórmulas Empı́ricas 233 A manera de ejemplo, en la cuenca de 800 [km2 ] utilizada en los ejemplos anteriores, supuestamente ubicada en la cuenca del Aconcagua (V región), con una precipitación en 24 horas con perı́odo de retorno de 10 años de 80 [mm], el caudal Q10 resulta: Q10 = 5.42 × 10−8 · 8000.915 · 803.432 = 84.2 [m3 /s] Factor de frecuencia 5 0.74 10 1.00 20 25 50 75 100 re lim in Perı́odo de Retorno [años] ar Para la zona de Aconcagua, zona Pp del Manual de la DGA, se obtiene la Tabla 1.29 1.39 1.72 1.94 2.10 Luego, si la precipitación de 80 [mm], tiene un perı́odo de retorno de 50 años, el caudal máximo medio diario para dicho perı́odo de retorno resulta, rP Q50 = 1.72 · 84.2 = 144.8 [m3 /s] Finalmente, para pasar a valores máximos instantáneos, el Manual propone para dicha zona el valor α = Bo rra do 1.43 de donde Q50,max = 1.43 · 144.8 = 207.1 [m3 /s] Este resultado es del orden de un 25 % inferior al de los métodos anteriores. Las diferencias, aunque son habituales en fórmulas hidrológicas, pueden deberse en este caso, a que se consideró una cuenca hipotética, adoptando valores estimativos, pero arbitrarios, para el tiempo de concentración y el perı́odo de retorno de las lluvias. 9.4.5. Hidrogramas de Crecidas Las fórmulas empı́ricas permiten estimar en forma rápida el caudal máximo de una crecida pero no dan información sobre la forma del hidrograma correspondiente. Si dicha información resulta necesaria, en principio debiera recurrirse al uso de Hidrogramas Unitarios, efectuando la convolución en función de un determinado hietograma de la tormenta resultando crecidas cuyo caudal máximo y forma dependerán bastante de la forma del hietograma o distribución temporal de la tormenta. Sin embargo, se han propuesto algunos procedimientos más o menos simplificados que permiten generar en forma directa el hidrograma de crecida sin pasar a través del concepto de hidrograma unitario. Estos métodos 234 Estudio y Estimación de Crecidas resultan adecuados para su incorporación en modelos computacionales que modelan el comportamiento de redes hidrográficas o sistemas artificiales de drenaje de aguas lluvias. 9.4.5.1. Hidrograma de Santa Bárbara El hidrograma de Santa Bárbara es un procedimiento simple y conceptualmente interesante desarrollado para ar calcular crecidas de diseño en sistemas de aguas lluvias. El modelo supone una cuenca (urbana) con una fracción “p” de suelos impermeables y una fracción “(1−p)” de suelos con una tasa de infiltración constante “f ”. re lim in En consecuencia, si sobre la cuenca cae una lluvia que un instante tiene una intensidad “i”, el flujo o caudal superficial efectivo que ingresa a la cuenca será, I = A · (p · i + (1 − p) · (i − f )) i>f (9.89) Si el caudal en la sección de salida es Q, la ecuación de continuidad nos dice que I −Q= dV dt (9.90) rP El modelo postula un comportamiento lineal, en que el almacenamiento en la cuenca es V = Q · tc = k · Q · tc (9.91) Bo rra do donde Q es el caudal medio que circula por la cuenca, tc es el tiempo de concentración de la cuenca, y k < 1 es un factor que relaciona el caudal medio con el caudal de salida Q. Luego, I − Q = k · tc dQ dt (9.92) Intergrando en forma numérica la ecuación de continuidad para un intervalo ∆t I −Q= Vf − Vi ∆t Ii + If Qi + Qf k · tc − = (Qf − Qi ) 2 2 ∆t Donde los subı́ndices indican los valores al inicio y término del intervalo. Reordenando, se obtiene Qf = Qi + ∆t ∆t + 2ktc (Ii + If − 2Qi ) (9.93) Aplicada en forma recursiva, esta ecuación permite sintetizar el hidrograma de salida Q(t) en función del hietograma de la tormenta i(t) y de las caracterı́sticas de la cuenca (A, p, f ). 9.4. Fórmulas Empı́ricas 235 Si no se dispone de información pluviográfica se puede considerar una intensidad efectiva media constante, en cuyo caso I = ief · A (9.94) ief A − Q = ktc dQ dt ar De donde la ecuación de continuidad queda re lim in t < Tef −Q = ktc dQ dt t > Tef Donde Tef es la duración de la lluvia efectiva. La integración directa de las ecuaciones anteriores lleva a Q(t) = ief A 1 − e−t/(ktc ) t < Tef t−Tef Q(t) = ief A 1 − e−Tef /(ktc ) e− ktc t > Tef (9.95) (9.96) rP Se observa de la ecuación 9.96 que de acuerdo a este modelo, si la lluvia se prolonga en forma indefinida el caudal es siempre creciente tendiendo asintóticamente al caudal en régimen. De lo anterior se desprende que el máximo caudal ocuurrirı́a en el instante t = Tef con una magnitud Bo rra do Tef Qmax = ief A 1 − e− ktc (9.97) Por otra parte la intensidad efectiva media será a su vez función de la duración de la tormenta. Si se acepta nuevamente una tormenta centrada, simétrica, monomodal que satisfaga en todo momento la ley de Grunsky, con una tasa de infiltración constante “f ”, se demuestra que P q24 (9.98) T P24 − ktefc p = A 1−e 24 Tef /6 (9.99) ief = 24 Tef 6 De donde Qmax Derivando el caudal máximo respecto a la duración de la lluvia e igualando a cero, se llega a la expresión Tef e ktc + 2 Tef − Tktef e c =0 ktc (9.100) 236 Estudio y Estimación de Crecidas Ecuación que se satisface para Tef ktc ≈ 1.2565. De lo anterior, la duración de lluvia más desfavorable de la cuenca serı́a Tef = 1.2565k · tc (9.101) Qmax = P p 24 A 1 − e−1.2565 24 1.2565ktc /6 ar Con un caudal máximo dado por la expresión (9.102) re lim in Si la precipitación se expresa en mm, el tiempo de concentración en horas y el área de la cuenca en km2 , se llega a la fórmula Qmax = 0.018 √ P A ktc 24 m3 /s (9.103) El hidrograma original de Santa Bárbara supone un coeficiente k = 1, lo que implica aceptar que en toda la cuenca el caudal es el mismo que en la sección de salida. Esta hipótesis parece exagerada, ya que en la cabecera de la cuenca el caudal será nulo, pareciendo más razonable utilizar un valor menor, cercano a k = 0.5 Aplicado al primer caso del ejemplo anterior, y utilizando k = 0.5, se tiene En el segundo caso, rP 0.018 Qmax = √ 100 · 8 = 20.4 [m3 /s] 0.5 Bo rra do 0.018 Qmax = √ 100 · 800 = 588 [m3 /s] 0.6 9.4.5.2. Hidrograma del SCS El Soil Conservation Service (SCS) de los EE. UU. propone el uso de una hidrograma de crecida simplificado de forma triangular. La precipitación efectiva o volumen de escorrentı́a directa se calcula mediante el método de la Curva Número. Para el tiempo al máximo proponen la relación tp = Tef + 0.6tc 2 (9.104) Mientras que para el tiempo base proponen tB = 2.67 · tp Como el hidrograma es triangular, el volumen de escorrentı́a directa valdrá (9.105) 9.4. Fórmulas Empı́ricas 237 Ved = Pef A = 1 tB qp 2 (9.106) de donde 2Pef A 2.67 Tef 2 + 0.6tc (9.107) ar Qp = Expresando la precipitación en [mm], el área en [km2 ] y los tiempos en horas resulta finalmente [m3 /s] re lim in ef Qp = 0.416 Tef +1.2t c P A (9.108) Con el mismo modelo de tormenta de los casos anteriores, se demuestra que Tef = 6 Volviendo a los ejemplos anteriores, se tiene Donde en el primer caso 4.167 4.56 i24 f 2 2 (9.109) = 5.01 [hr] rP Tef = 6 22.9 · 8 = 12.3 [m3 /s] 5.01 + 1.2 Bo rra do Qp = 0.416 y en el segundo Qp = 0.416 9.4.5.3. 22.9 · 800 = 393 [m3 /s] 5.01 + 1.2 · 12 Fórmula de Millán-Stowhas Este método permite una metodologı́a generalizada simplificada que entrega valores directos de los principales factores que intervienen en el hidrograma de una crecida; caudal máximo instantáneo, tiempo al máximo y forma de la onda de crecida, sin necesidad de pasar a través del método del hidrograma unitario. Utilizando el método del Hidrograma Unitario Sintético propuesto por Arteaga y Benı́tez (1986) para la zona central-norte de Chile, se generó un gran número de hidrogramas de crecida para distintas combinaciones de las variables que intervienen en el fenómeno, tales como magnitud y duración de la tormenta, potencial de infiltración y caracterı́sticas geomorfológicas de la cuenca, ajustando relaciones generalizadas para representar la magnitud y forma de la onda de crecida en función de las variables hidrometeorológicas y geomorfológicas que la originan, aún cuando los hidrogramas generados corresponden tormentas centralmente distribuidas según la Distribución Centrada de Endesa (Benitez, 1985). 238 Estudio y Estimación de Crecidas Para evaluar la infiltración y la precipitación efectiva se utiliza el Método de la Curva Número para cuencas con Curva Número entre 60 y 80. El método permite evaluar las siguientes variables: Tiempo en el cual ocurre el máximo caudal (TM), en horas. ar Caudal máximo por unidad de área del hidrograma de crecida generado (qm ), en [m3 /s · km2 ]. Instante en el cual comienza a generarse la escorrentı́a directa (TI), en horas. re lim in Forma del hidrograma de crecida, según la función Gamma propuesta por McEnroe (1992), la cual obedece a la siguiente expresión: Q(t) = Qp · donde: t Tp p p· ·e t Tp −1 (9.110) Q(t) : Caudal del hidrograma en función del tiempo. Qp : Caudal máximo de la crecida (Qp = qm · A). Tp : Tiempo en que ocurre el máximo caudal, medido con respecto al inicio del hidrograma (Tp = (TI). rP T M − T I), ya que el origen de esta función se fijó en el instante en que comienza la escorrentı́a directa p : Factor de forma adimensional. Bo rra do Para el factor de forma p se propone, en forma referencial, la expresión, p= 2.38 · qm · (T M − T I) + 0.113 Pef 2.041 (9.111) donde el producto qm ·(T M −T I)/Pef debe ser adimensional (factor de corrección 3.6 si se usa [m3 /s·km2 ], horas y [mm]). Sin embargo, para cada aplicación particular, el factor p debe ajustarse de manera que el volumen de escorrentı́a sea igual al volumen precipitación efectiva, es decir, igual al producto de la precipitación efectiva (Pef ) por el área de la cuenca (A). Para el caudal máximo se propone la relación qm = 0.383 TPD − S(P −0.16S) 3.3T D(P +0.8S) P − 61.971 TGM D 3.322 N C 1.135 0.854 0.759 m3 /s/km2 (9.112) donde S se obtiene del método de la Curva Número, N C es la Curva Número, P es la lluvia de diseño [mm], T D es la duración de la lluvia de diseño [hrs] y GM es el parámetro geomorfológico de Linsley, GM = L·L √ S [km2 ] 9.4. Fórmulas Empı́ricas 239 Para el tiempo al máximo se propone la relación TM = + 0.565GM 0.348 TD 2 (9.113) [hrs] 0 21.01T D 1.288 P (N C/100)4.536 donde T I esta en horas y Plim = 78.15 9.4.6. si P ≥ Plim si P < Plim re lim in TI = ar Por último, para el tiempo de inicio de la escorrentı́a directa se proponen las relaciones 1000 CN (9.114) − 10 en [mm]. Hietogramas de Tormentas de Diseño Cuando se pretende sintetizar el hidrograma de una crecida mediante un método precipitación-escorrentı́a, tal rP como los hidrogramas unitarios u otros de los procedimientos antes vistos, es necesario establecer previamente el hietograma de la tormenta de diseño, es decir, hay que establecer la sucesión u orden cronológico en que se presentan los distintos intervalos de intensidad de precipitación. Diversos estudios se han realizado en Chile y en el mundo intentando establecer alguna forma o hietograma Bo rra do tı́pico de las tormentas, pero los resultados no son concluyentes. La intensidad de las precipitaciones puede distribuirse de cualquier forma, existiendo a lo más, algunas formas o distribuciones que se presentan con mayor frecuencia que otras. Dependerá en consecuencia del criterio y experiencia del proyectista la distribución a seleccionar en función del objetivo de la estimación, ya que tormentas de igual magnitud, pero de distinta distribución temporal generarán caudales máximos de crecida distintos, perdiéndose la asociación entre el perı́odo de retorno de la tormenta y el perı́odo de retorno del caudal máximo de crecida resultante. No obstante lo anterior, diversos criterios se han propuesto para la distribución de tormentas en el tiempo. 9.4.6.1. Distribución de Tormentas de Endesa Benitez y Verni (1985) estudiaron la distribución temporal de tormentas chilenas con duraciones entre 12 y 72 horas, proponiendo tres distribuciones distintas, una con valores máximos al comienzo, otra centrada y otra con valores máximos al final de la tormenta. Por efectos de infiltración y forma de los hidrogramas unitarios, los caudales máximos se incrementarán cuando las máximas intensidades se concentren al final de la tormenta. De ellas, la más utilizada, por generar valores de crecida intermedios, es la denominada Distribución Centrada de Endesa. En la Tabla 9.9 y la Figura 9.11. 240 Estudio y Estimación de Crecidas % Tiempo % Ptotal % Tiempo % Ptotal 0-10 6.9 50-60 14.2 10-20 8.3 60-70 11.6 20-30 10.4 70-80 9.5 30-40 12.6 80-90 7.5 40-50 13.7 90-100 5.3 re lim in 16 14 % Ptotal 12 10 8 6 4 rP 2 0 ar Tabla 9.9: Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. % Tiempo Bo rra do Figura 9.11: Distribución de Endesa centrada para tormentas de duraciones 12 [hr] ≤ t ≤ 72 [hr]. 9.4.6.2. Método de los Bloques Alternantes Un procedimiento alternativo, aún cuando más conservador, es distribuir cronológicamente la precipitación mediante el denominado método de los bloques alternantes. Este consiste en postular valores de precipitación para un cierto intervalo de tiempo, digamos 1 hora, de manera que su suma coincida con la precipitación total de la tormenta. Los bloques (horarios) de precipitación se distribuyen ubicando el intervalo u hora de mayor precipitación en forma central, agregando en forma alternante los bloques de precipitación siguientes ordenados de mayor a menor, sucesivamente antes y después del bloque central. Con el propósito de que la distribución de la tormenta resulte crı́tica para todos los tiempos de concen- tración, conviene asignarle a cada bloque de precipitación la magnitud que le corresponda de acuerdo a los coeficientes de duración de precipitaciones. Ejemplo: Distribución cronológica o hietograma de diseño de una tormenta de diseño de 120 [mm] en 24 horas. Utilizando la fórmula de Gunsky, Pt = P24 · q t 24 , se indica en la columna 2 de la Tabla 9.10, para cada 9.4. Fórmulas Empı́ricas 241 duración, la precipitación máxima acumulada correspondiente a ella y por diferencia con el valor anterior, se obtiene en la columna 3, la magnitud de precipitación individual de cada bloque u hora. Finalmente, el hietograma de diseño que se muestra en la columna 4 de la Tabla 9.10 y Figura 9.12, se construye ubicando en este caso la mayor precipitación horaria en el bloque u hora 13, la segunda mayor precipitación horaria en el bloque u hora 12, la tercera magnitud, alternadamente en el bloque u hora 14 y ası́ sucesivamente. Duración Precipitación Hietograma Duración ar Tabla 9.10: Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. Precipitación Horaria Diseño Acumulada [hr] [mm] [mm/hr] [mm/hr] [hr] [mm] 1 24.5 24.5 2.5 13 2 34.6 10.1 2.6 3 42.4 7.8 4 49 5 Hietograma Horaria Diseño [mm/hr] [mm/hr] 88.3 3.5 24.5 14 91.7 3.3 7.8 2.8 15 94.9 3.2 5.8 6.6 2.9 16 98 3.1 4.8 54.8 5.8 3.1 17 101 3 4.2 6 60 5.2 3.3 18 103.9 2.9 3.8 7 64.8 4.8 3.6 19 106.8 2.8 3.5 8 69.3 4.5 4 20 109.5 2.8 3.2 9 73.5 4.2 4.5 21 112.2 2.7 3 10 77.5 4 5.2 22 114.9 2.6 2.8 11 81.2 3.8 6.6 23 117.5 2.6 2.7 12 84.9 3.6 10.1 24 120 2.5 2.6 Bo rra do rP re lim in Acumulada 25 Intensidad [mm/hr] 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Tiempo [hr] Figura 9.12: Obtencion de hietograma de diseño mediante el método de los bloques alternantes. 242 Estudio y Estimación de Crecidas Bibliografı́a ASCE (1969), Manual of Practice No. 37, American Society of Civil Engineers, 978-0-7844-5316-2 (print), 1969, 332 pp. Barrientos, M. A., & L. 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