Capacitancia Los desfibriladores ventriculares usan grandes condensadores para aplicar un choque de corriente eléctrica al músculo cardiaco hasta que establezca su propio ritmo. Cada año mueren más de 250 000 estadounidenses debido a ataques cardiacos súbitos. Cada minuto que transcurre sin aplicar el desfibrilador, las oportunidades de vida de la víctima de un ataque disminuyen de 10% a 7%. En este capítulo se estudian las propiedades fundamentales de los condensadores. (.Fotografía © vol. 154/ Corbis.) 512 26.1 Limitaciones al cargar un conductor 513 Objetivos Cuando termine de estudiar este capítulo el alumno: 1. 2. 3. 4. 5. Definirá capacitancia y aplicará una relación entre capacitancia, voltaje* aplica­ do y carga total. Calculará la capacitancia de un condensador de placas paralelas cuando se co­ noce el área de las placas y su separación en un medio de constante dieléctrica conocida. Escribirá y aplicará expresiones para calcular la constante dieléctrica como una función del voltaje, del campo eléctrico o de la capacitancia antes y después de la inserción de un dieléctrico. Calculará la capacitancia equivalente de cierto número de condensadores co­ nectados en serie y en paralelo. Determinará la energía de un condensador cargado, cuando se cuenta con la información apropiada. Cualquier conductor cargado puede considerarse un depósito o una fuente de carga eléctrica. Si un alambre conductor se conecta a ese depósito, la carga eléctrica puede transferirse para llevar a cabo un trabajo útil. En numerosas aplicaciones eléctricas se almacenan grandes can­ tidades de carga en un conductor o en un grupo de conductores. Cualquier aparato diseñado para guardar carga eléctrica se llama condensador o capacitor. En este capítulo estudiaremos la naturaleza y las aplicaciones de estos dispositivos. Limitaciones al cargar un conductor ¿Cuánta carga eléctrica puede contener un conductor? En la práctica, ¿hay un límite en cuanto al número de electrones que pueden transferirse a un conductor o ser transferidos desde él? Supon­ ga que se conecta un gran depósito de cargas positivas y negativas, como la Tierra, a un objeto conductor, como se muestra en la figura 26.1a. La energía necesaria para transferir electrones de la Tierra al conductor puede proporcionarla un aparato eléctrico llamado batería. Cargar el conductor es como bombear aire en un tanque vacío de acero (véase la figura 26.1b). Cuanto más aire se bombea al tanque, más aumenta la presión que se opone al flujo de más aire. De for­ ma similar, cuanto más carga Q se transfiere al conductor, el potencial V del conductor se eleva, lo que dificulta transferirle más carga. Se dice que el aumento del potencial V es directamente proporcional a la carga Q que soporta el conductor. Simbólicamente esto se expresa así: Vex Q Figura 26.1 La carga de un conductor es como bombear aire a un tanque de acero vacío. *A la diferencia entre los potencíales de dos puntos de un circuito, se le puede llamar también voltaje o tensión. Cuando se pasa a través de un elemento de un circuito se produce una caída de potencial o un voltaje negativo. Y a la diferencia de potencial producida por los generadores, capaz de elevar las cargas eléctricas de un potencial a otro más alto, es decir, una subida de potencial se le conoce como fuerza electromotriz. La fuerza electromotriz (fem) de un generador es la diferencia de potencial que se mide en sus bornes (sus puntas) cuando está en circuito abierto, es decir, sin suministrar corriente. Una fuente de voltaje es una fem. 514 Capítulo 26 Capacitancia Por tanto, la razón de la cantidad de carga Q al potencial eléctrico V producido será constante para un conductor específico. Esa razón refleja la capacidad del conductor para almacenar carga y se le llama su capacitancia C. (26.1) La unidad de capacitancia es el coulomb por volt, que se define como farad (F). Por con­ siguiente, si un conductor tiene una capacitancia de un farad, la transferencia de un coulomb de carga al conductor elevará su potencial un volt. Volvamos ahora a la pregunta original acerca de las limitaciones que se presentan cuando se carga un conductor. Se ha dicho que cada conductor tiene una determinada capacitancia C para almacenar carga. El valor de C para un determinado conductor no es una función de la carga que soporta el conductor ni del potencial producido. En principio, la razón QIV permanecerá cons­ tante mientras se añade carga indefinidamente, pero la capacitancia depende del tamaño y la forma del conductor, así como de la naturaleza del medio que lo rodea, o medio circundante. Suponga que se trata de transferir una cantidad de carga indefinida Q a un conductor esfé­ rico de radio r, como se presenta en la figura 26.2. El aire que rodea al conductor es un aislante, a menudo llamado dieléctrico, que contiene unas cuantas cargas en libertad de movimiento. La intensidad del campo eléctrico £ y el potencial V en la superficie de la esfera están dados por Puesto que el radio r es constante, tanto la intensidad del campo como el potencial en la su­ perficie de la esfera aumentan en proporción directa a la carga Q. Sin embargo, hay un límite para la intensidad del campo que puede haber en un conductor sin que se ionice el aire a su alrededor. Cuando esto sucede, el aire se vuelve esencialmente un conductor y cualquier car­ ga adicional que se coloque en la esfera se “fugará” al aire. Este valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el que un material pierde sus propiedades aislantes se conoce como la rigidez dieléctrica de ese material. La rigidez dieléctrica de un material es la intensidad del campo eléctrico para la que el material deja de ser un aislante y se convierte en un conductor. La rigidez dieléctrica para el aire seco a 1 atm de presión es de 3 MN/C, aproximadamente. Puesto que la rigidez dieléctrica de un material varía considerablemente con las condiciones ambientales, como la presión atmosférica y la humedad, es difícil calcular valores exactos. Figura 26.2 La cantidad de carga que puede transferirse a un conductor está limitada por la rigidez dieléc­ trica del medio circundante. 26.2 El condensador E 515 6 ! :s ¿Cuál es la carga máxima que puede transferirse a un conductor esférico cuyo radio es de 50 cm? Suponga que está rodeado de aire. Plan: La carga máxima queda determinada por la intensidad del campo eléctrico nece­ sario para volver el aire circundante un conductor de electrones. Estableceremos la carga necesaria para alcanzar la rigidez dieléctrica del aire para un radio de 0.5 m. Solución: Se tiene que r = 0.50 m y Emix = 3 MN/C = 3 X 106 N/C, de forma que la carga máxima Q será F -^m áx Q = kQ_ ? n = ;'2£máx ^ (0.5 m)2(3 X 106N/C) = 8.33 (9 X 109 N • n r/C 2) ^ X 7 10 C o 83.3 ¡juC En este ejemplo se ilustra la enorme magnitud del coulomb cuando se usa como unidad de carga electrostática. Figura 26.3 La densidad de carga en un conductor es mayor en las regiones donde la curvatura es más grande. Observe que la cantidad de carga que puede soportar un conductor esférico disminuye con el radio de la esfera. Por tanto, los conductores pequeños generalmente pueden soportar menos carga. Pero la forma del conductor también influye en su capacidad para retener carga. Considere los conductores cargados que se ilustran en la figura 26.3. Si se probaran con un electroscopio, se descubriría que la carga situada en la superficie de un conductor se concentra en los puntos de mayor curvatura. Debido a la mayor densidad de carga en esas regiones, la intensidad del campo eléctrico es también más grande en las regiones donde la curvatura es mayor. Si la superficie se remodela y se le da una forma puntiaguda, la intensidad del campo puede volverse lo suficientemente grande como para ionizar el aire circundante. En esos sitios a veces se produce una lenta fuga de carga que da por resultado una descarga de corona, que se observa como un tenue destello de color violeta cerca del conductor puntiagudo. Es importante eliminar todos los bordes afilados en los equipos eléctricos para minimizar esta fuga de carga. El condensador Cuando varios conductores se colocan cerca unos de otros, el potencial de cada uno se ve afectado por la presencia de los otros. Suponga que una placa A cargada negativamente se conecta a un electroscopio, como se ve en la figura 26.4. La divergencia de la hoja de oro del electroscopio proporciona una medida del potencial del conductor. Ahora imaginemos que otro conductor B se coloca en forma paralela a A, a una corta distancia de él. Cuando el segundo conductor se conecte a tierra, se inducirá en él una carga positiva a medida que los electrones sean forzados a fluir a tierra. La hoja de oro de inmediato se caerá ligeramente, lo que indica un descenso en el potencial del conductor A. 516 Capítulo 26 Capacitancia A B Figura 26.4 Un condensador consta de dos conductores con muy poca separación entre sí. Debido a la presencia de la carga inducida en B , se requiere menos trabajo para transferir al conductor A unidades de carga adicionales. En otras palabras, la capacitancia del sistema para retener carga se ha incrementado a causa de la proximidad de los dos conductores. Dos conductores de ese tipo, muy próximos uno al otro, transportando cargas iguales y opuestas, constituyen un condensador. Un condensador está formado por dos conductores, muy cercanos entre sí, que transportan cargas iguales y opuestas. El condensador más sencillo es el condensador de placas paralelas, ilustrado en la figura 26.4. Se puede comprobar que existe una diferencia de potencial entre dichas placas si se conecta a ellas una batería, como se muestra en la figura 26.5. Los electrones se transfieren de la placa A a la B, con lo que se produce una carga igual y opuesta sobre las placas. La capaci­ tancia de este arreglo se define como sigue: La capacitancia entre dos conductores que tienen cargas iguales y opuestas es la razón de la magnitud de la carga sobre cualquier conductor a la diferencia de potencial resultante entre los dos conductores. La ecuación para la capacitancia de un condensador es la misma que la ecuación (26.1) para un conductor individual, excepto que en este caso el símbolo V se aplica a la diferencia de potencial y el símbolo Q se refiere a la carga en cualquiera de los conductores. Condensador | + - + - + + - A B V i ~m Batería Figura 26.5 Carga de un condensador mediante la transferencia de carga de una placa a otra. 26.3 Cálculo de la capacitancia 517 Q C=— y (26.2) En vista de la enorme magnitud del coulomb como unidad de carga, el farad es una uni­ dad de capacitancia demasiado grande para las aplicaciones prácticas. Por ello, con frecuen­ cia se usan los submúltiplos siguientes: 1 microfarad (/xF) = 10~6F 1 picofarad (pF) = 10“12 F No es raro encontrar capacitancias de unos cuantos picofarads en ciertas aplicaciones de co­ municación eléctrica. (r Un condensador que tiene una capacitancia de 4 fiF está conectado a una batería de 60 V. 4 ¿Qué carga hay en él? Solución: La carga en el condensador se relaciona con la magnitud de la carga en cual­ quiera de sus placas. De la ecuación (26.2) se tiene que Q = CV = (4 /¿F)(60 V) = 240 ¡jlC Cálculo de la capacitancia En general, un conductor de gran tamaño puede contener una gran cantidad de carga, y un condensador puede almacenar más carga que un simple conductor debido al efecto inductivo de dos conductores situados muy cerca uno del otro. Cuanto más cerca se encuentran estos conductores es mayor el efecto inductivo y, por tanto, aumenta también la facilidad de trans­ ferir una carga adicional de un conductor al otro. Sobre la base de estas observaciones se pue­ de predecir que la capacitancia de un condensador será directamente proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a su separación. La relación exacta puede deter­ minarse considerando laintensidaddel campo eléctrico entre las placasdel condensador. La intensidad del campo eléctrico entre las placasdel condensador cargado que aparece en la figura 26.6 puede determinarse con base en la ecuación y E = d (26.3) donde V = diferencia de potencial entre las placas (V) d = separación entre las placas (m) Una ecuación alternativa para calcular la intensidad del campo eléctrico se dedujo en el capítulo 24, a partir de la ley de Gauss. En ella se relaciona la intensidad del campo, E, con la densidad de carga, a, de la manera siguiente: a Q e = - = y ~ c26-4) eo A éq donde O — carga en cualquier placa A = área de cualquier placa e0 = permitividad del vacío (8.85 C2 Nm~ X . 10~12C2/N • m2)* F m F m C Vm C m * Las unidades de la permitividad del vacío son ---- - o bien — como lo demostramos a continuación: — = — = — —= c_ _ c- _ cJm Nmm Nm 518 Capítulo 26 Capacitancia r +o k II üq t V d -- ► Figura 26.6 La capacitancia es directamente proporcional al área de cualquier placa e inversamente pro­ porcional a la separación que hay entre las placas. Para un condensador con vacío entre las placas se combinan las ecuaciones (26.3) y (26.4) para obtener d Ae0 Considerando que la capacitancia C es la razón de la carga al voltaje podemos reordenar los términos y obtener Q ^ C° = Í7 V = 6°a7 (26-5) El subíndice 0 indica que existe vacío entre las placas del condensador. Para obtener una determinación aproximada también se puede usar la ecuación (26.5) cuando hay aire entre las placas del condensador. Ejemplo 26.3 * Las placas de un condensador en paralelo están separadas entre sí 2 cm a lo ancho y 4 cm a lo largo. ¿Cuál debe ser la separación en el aire de las placas de este condensador si la capacitancia total ha de ser de 4 pF? Plan: La separación necesaria se determina resolviendo el de la ecuación 26.5, tras calcu­ lar el área de cada placa. Recuerde que 1 pF = 1 X 10“12F. Solución: El área de cada placa se obtiene como sigue: A = (0.02 m)(0.04 m) = 8 X 10~4 m2 e0A e0A d = d C0 Puesto que C = 4 Cl = X 10~12F y e = 8.85 85 X X 10~12 C2/N • m2, se obtiene que 10“ 12 C2/N ■nr)(8 4 X X - 4 . 10“4 n r) 10"12F = 1.77 X 10" m La separación entre las placas debe ser de 1.77 mm. Con frecuencia, los condensadores de placas paralelas están constituidos por un conjunto de placas conectadas en forma alternada, como se observa en la figura 26.7. Si se hace que uno de los juegos de placas se mueva el resultado es un condensador variable. Si se hace gi- 26.4 Constante dieléctrica; permitividad 519 + (a) Figura 26.7 (a) Un condensador está formado de varias placas apiladas que alternan las cargas positiva y negativa, (b) En un condensador variable uno de los juegos de placas gira con relación a otro, lo que ocasiona un cambio en el área real. rar un juego de placas con relación a otro, cambia el área real de las placas del condensador, lo que resulta en una variación en la capacitancia. Los condensadores variables se usan a veces en los circuitos de sintonía de receptores de radio. :íl!Í 26.4 Constante dieléctrica; permitividad relativa La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor en gran medida está determinada por la de la rigidez dieléctrica del medio circundante. De forma similar, la rigidez dieléctrica del material situado entre las placas de un condensador limita su capacidad para almacenar carga. La mayor parte de los condensadores tienen entre las placas un material no conductor, llamado dieléctrico, para proporcionar una rigidez dieléctrica mayor que la del aire. He aquí algunas de las ventajas de ello: 1. Un material dieléctrico proporciona una pequeña separación de las placas sin que hagan contacto. 2. Un dieléctrico aumenta la capacitancia de un condensador. 3. Se pueden usar altos voltajes sin peligro de que el dieléctrico alcance el punto de ruptura. 4. Un dieléctrico a menudo proporciona una mayor resistencia mecánica. Entre los materiales dieléctricos comunes se puede mencionar la mica, el papel parafinado, la cerámica y los plásticos. Se pueden arrollar hojas alternadas de chapa metálica y papel parafinado para fabricar un condensador compacto, con una capacitancia de varios microfarads. Para entender el efecto de un dieléctrico, consideraremos el material aislante de la figura 26.8 colocado entre las placas de un condensador que tienen una diferencia de potencial V. Los electrones en el dieléctrico no tienen la libertad de dejar sus átomos correspondientes, pero sí de desplazarse ligeramente (corrimiento) hacia la placa positiva. Los protones y los electrones de cada átomo se alinean del modo que se indica en la figura. Se dice que el mate­ rial se ha polarizado y que los átomos forman dipolos. Todas las cargas positivas y negativas dentro de la elipse punteada de la figura 26.8a se neutralizan entre sí. Sin embargo, una capa de carga negativa sobre una superficie y una capa de carga positiva sobre la otra no se neutra- 520 Capítulo 26 Capacitancia E - En- Ed Figura 26.8 (a) La polarización de un dieléctrico cuando se le inserta entre las placas de un condensador, (b) La polarización resulta en una reducción general de la intensidad del campo eléctrico. lizan. Se establece un campo eléctrico EDen el dieléctrico que se opone al campo E0, el cual existiría aun sin el dieléctrico. La intensidad del campo resultante es E = E0 — E d (26.6) Por tanto, la inserción de un dieléctrico origina una reducción en la intensidad del campo entre las placas del condensador. Puesto que la diferencia de potencial V entre las placas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico, V = Ed, una reducción en la intensidad causará una caída en la diferencia de potencial. Este hecho se ilustra con el ejemplo de la figura 26.9. La inserción de un dieléctrico origina una divergencia en la hoja de oro del electroscopio. + + + + + + K - 1 K = C / C 0 = V0 / V + c + + + + K + - + - - - Figura 26.9 La inserción de un dieléctrico entre las placas de un condensador ocasiona una caída en la diferencia de potencia, lo que resulta en una mayor capacitancia. 26.4 Constante dieléctrica; permitividad 521 C o n s ta n te d ie lé ctrica y rig id e z d ie lé ctrica Material Aceite de transformador Aire seco a 1 atm Baquelita Mica Papel parafinado Plástico Plásticos de nitrocelulosa Teflón Vidrio Constante dieléctrica media Rigidez dielétrica media, MN/C 4.0 1.006 7.0 5.0 2.0 3.0 9.0 2.0 7.5 16 3 16 200 51 28 250 59 118 A partir de la definición de capacitancia, C = Q/V, se observa que una caída en el voltaje da por resultado un incremento en la capacitancia. Si representamos la capacitancia antes de insertar un dieléctrico por medio de CQy la capacitancia después de la inserción por C, la razón C/C mostrará el incremento relativo en la capacitancia. Si bien es cierto que esta razón varía según el material empleado, su valor es constante para un dieléctrico en particular. 0 La constante dieléctrica K para un material concreto se define como la razón de la capacitancia C de un condensador de acuerdo con el material que hay entre sus placas y la capacitancia C0 en el vacío. K = ^r (26.7) La constante dieléctrica de diversos materiales aparece en la tabla 26.1 junto con la rigidez dieléctrica de los mismos materiales. Observe que, en el caso del aire, K tiene un valor de 1.0 aproximadamente. Con base en las proporcionalidades, se demuestra que la constante dieléctrica también puede expresar así: V0 E0 K = —V =E — (26.8) donde V E = voltaje y campo eléctrico cuando hay vacío entre las placas del condensador V, E = valores respectivos después de insertar el material dieléctrico A partir de la ecuación (26.7), la capacitancia C de un condensador que tiene un dieléc­ trico entre sus placas es C = KC0 Sustituyendo en la ecuación (26.5) tenemos una relación para calcular directamente C: C = Ke0~ (26.9) a donde A es el área de las placas y d es su separación. La constante eQya ha sido definida anteriormente como la permitividad en el vacío. Recuerde que al analizar la ley deGauss vimos que eQesen realidad laconstante de propor­ cionalidad que relaciona ladensidad de las líneas delcampo eléctrico conla intensidad del 522 Capítuío 26 Capacitancia campo eléctrico en el vacío. La permitividad e de un dieléctrico es mayor que eg por un factor igual a la constante dieléctrica K. En consecuencia, e = Ke0 (26.10) Con base en esta relación, se entiende por qué la constante dieléctrica, K = e/e , se conoce a veces como la permitividad relativa. Cuando sustituimos la ecuación (26.10) en la ecuación (26.9), la capacitancia para un condensador que contiene un dieléctrico es simplemente A C = e d- (26.11) Estarelación esla ecuación másgeneral para calcular la capacitancia. Cuando hay espa­ cio vacío o aireentre las placas delcondensador, e = eQy la ecuación (26.11) se reduce a la ecuación (26.5). Un determinado condensador tiene una capacitancia de 4 ¡jlV cuando sus placas están se­ paradas 0.2 mm por espacio vacío. Se utiliza una batería para cargar las placas a una dife­ rencia de potencial de 500 V y luego se desconecta del sistema, (a) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre las placas si una hoja de mica de mm de espesor se inserta entre las placas? (b) ¿Cuál será la capacitancia después de que se inserta el dieléctrico? (c) ¿Cuál es la permitividad de la mica? Plan: Cuando se inserta el dieléctrico el voltaje del condensador cae debido a la carga in­ ducida en el dieléctrico. Ello produce un descenso en el campo real que hay entre las placas. Por tanto, el voltaje disminuirá a una cantidad determinada por la constante dieléctrica de la mica. Ahora habrá mayor capacitancia para retener carga, o una capacitancia aumentada. La permitividad real del dieléctrico es larazón dela capacitancia nueva a la original. Solución (a):La constante dieléctrica de la mica es K = 5.Por tanto, con la ecuación (26.8) resulta 500 V= íoo v k = —Vo o y = V0 — = -------y k 5 Solución (b): De la ecuación (26.7), C K=— o C = KC0 = 5(4 ¡xF) = 20 ¡iF Co Solución (c): La permitividad se calcula a partir de la ecuación (26.10): K = ~e o e = Ke0 = 5(8.85 X 10 C2/N • m2) o e = 44.2 X 10 C2/N • n r Cabe notar que la carga en el condensador es la misma antes y después de la inserción, ya que la fuente de voltaje no permanece conectada al condensador. 0 . 2 “ ” Ejemplo 26.5 12 12 Suponga que la fuente de voltaje permanece conectada al condensador de 4 ¡xF del ejem­ plo 26.4. ¿Cuál será el aumento de la carga como resultado de la inserción de una hoja de mica? Plan: El voltaje permanece a 500 V cuando se inserta el dieléctrico. Puesto que la capa­ citancia aumenta debido a éste, debe resultar un incremento en la carga. La carga será la diferencia entre la carga final y la inicial. 26.5 Condensadores en paralelo y en serie 523 La carga inicial en el condensador era Q0 = C0VÜ= (4 /xF)(500 V) = 2 000 /xC Al insertar la mica la capacitancia aumenta de 4/xF a 20 ¡jlF (K = 5): Q = CV= (20 /xF)(500 V) = 10 000 /xC Por tanto, el incremento en la carga es AQ = 10 000 fiC - 2000 ¡xC = 8000 ¡iC Estos 000 ¡l C se deben a la capacitancia aumentada al mismo voltaje. Solución: 8 Condensadores en paralelo y en serie A menudo los circuitos eléctricos están formados por dos o más condensadores conectados en grupo. Para conocer el efecto de esta agrupación es conveniente recurrir al diagrama del circuito, en el que los dispositivos eléctricos se representan mediante símbolos. En la figura 26.10 se ilustran cuatro de los símbolos más comunes relacionados con los condensadores. El extremo de mayor potencial de una batería se indica mediante una línea más larga. El extremo de mayor potencial de un condensador se representa con una línea recta, en tanto que con una línea curva se denota el lado de menor potencial. Una flecha indica un condensador variable. Una conexión a tierra es una conexión eléctrica entre los alambres de un aparato y su chasis metálico o cualquier otro depósito grande de cargas positivas y negativas. En primer lugar, consideremos el efecto de un grupo de condensadores conectados a lo largo de una sola trayectoria, como se muestra en la figura 26.11. Ese tipo de conexión, en la que la placa positiva de un condensador está conectada a la placa negativa de otro, recibe el nombre de conexión en serie. La batería mantiene la diferencia de potencial V entre la placa Batería Condensador variable Condensador + Tierra V= 0 . + - + - + - .( Depósito de cargas + y - (a ) Figura 26.10 (b ) (c ) (d ) Definición de los símbolos más usados al trabajar con condensadores. c' ! + 1(- + I¡U i C, .+ JZ _ +1 \ - Batería y (a ) 1 +l! + 11- + l¡\B A ---------------- ---------------V (b ) Figura 26.11 Cálculo de la capacitancia equivalente de un grupo de condensadores conectados en serie. 524 Capítulo 26 Capacitancia positiva de C1 y la negativa de C3, transfiriendo electrones de una a la otra. La carga no pue­ de pasar entre las placas de un condensador; por tanto, toda la carga que se halla dentro del paralelogramo punteado en la figura 26.11a es carga inducida; debido a ello, la carga en cada condensador es idéntica. Escribimos q = q ^ q 2= q3 donde Q es la carga efectiva transferida por medio de la batería. Los tres condensadores pueden reemplazarse por una capacitancia equivalente C sin que cambie el efecto externo. Ahora conviene deducir una expresión para calcular esta capacitan­ cia equivalente en el caso de conexiones en serie. Puesto que la diferencia de potencial entre A y B es independiente de la trayectoria, el voltaje de la batería debe ser igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada condensador y = + v2+ y3 (26.12) Si recordamos que la capacitancia C se define por la razón QIV, la ecuación (26.12) queda Q _ Q\j Qi | Qi ce ~ c, c2 c3 Para una conexión en serie, Q = O, = Q, = Qv así que podemos dividir entre la carga, como sigue — = “ +— + — Conexión en serie (26.13) C, C2 C3 La capacitancia efectiva total para dos condensadores en serie es C,C9 Ce = 7C i7 -t-~ l r2 (26.14) Ce ¿Sabe usted cuánto tiem po pasan los satélites expuestos a la luz solar para cargar sus baterías? Los de órbita terrestre baja requieren 60 min de luz del Sol por cada 35 min de oscuridad. Los de órbita terrestre geosíncrona (G EO ), que se hallan mucho más distantes de nuestro planeta, pasan menos tiempo en las sombra proyectada por la Tierra. Por cada 1.2 horas de oscuridad requieren 22.8 horas de luz solar. Durante el periodo de oscuridad la potencia que necesitan para funcionar procede com pletam ente de las baterías. Se deja como ejercicio la deducción de la ecuación 26.14. Ahora consideremos un grupo de condensadores conectados de tal modo que la carga pue­ da compartirse entre dos o más conductores. Cuando varios condensadores se conectan directa­ mente a la misma fuente de potencial, como en la figura 26.12, se dice que están conectados en paralelo. Con base en la definición de capacitancia, la carga en cada condensador paralelo es qx= CjV, Q2= cy 2 o3= c3v3 La carga total Q es igual a la suma de las cargas individuales. Q = Q1 + Q2 + Q} (26.15) La capacitancia equivalente del circuito completo es Q = CV, de modo que la ecuación (26.15) se transforma en CV = CjVj + C2V2 + C V (26.16) Para una conexión en paralelo , v= V = V = V ya que todos los condensadores están conectados a la misma diferencia de potencial. Por tanto, dividiendo entre los voltajes la ecuación (26.16) se obtiene C = C( + C + C3 Conexión en paralelo (26.17) 3 1 2 3 r 3 2 + + + + + — Figura 26.12 + m V r - + ++ + + + e __ + r v (a) (b) Capacitancia equivalente de un conjunto de condensadores conectados en paralelo. 26.5 Condensadores en paralelo y en serie 525 (a) Determine la capacitancia equivalente del circuito que aparece en la figura 26.13a. (b) Determine la carga de cada condensador, (c) ¿Cuál es el voltaje que hay en el conden­ sador de 4 /xF? Plan: Empezaremos en la región más alejada de la fuente de voltaje usando las reglas para combinar condensadores en paralelo y en serie. De esta forma, obtendremos circuitos cada vez más sencillos hasta obtener una sola capacitancia equivalente en serie con la fuente. La carga en toda la red y a través de cada condensador que hay en ella se determina con base en el hecho de que Q = CV y el conocimiento de cómo se distribuye el voltaje en condensadores conectados en serie y en paralelo. Solución (a): Los condensadores de 4 y de 2 /xF están en serie. Su capacitancia combina­ da se determina a partir de la ecuación (26.14). (2/xF)(4/xF) Q = CC c 2 + C4 2 fxF + 4 ¡jlF = 1.33 aiF Estos dos condensadores pueden sustituirse por su capacitancia equivalente, como se muestra en la figura 26.13b. Los dos condensadores restantes están conectados en paralelo; por tanto, la capacitancia equivalente es C, = C, + C ,4 = 3 /xF + 1.33 /xF = 4.33 fxF Solución (b): La carga total dentro de la red es Q = C V = (4.33 /xF)(120 V) = 520 /jlC La carga Q, en el condensador de 3 /xF es Q, = C3v = (3 /xF)(120 V) = 360 fxC El resto de la carga, Q - Q3 = 520 ¡iC - 360 /xC = 160 ¡iC debe depositarse en los condensadores en serie. Luego Qz = e 4 = 160 ¡xC Para comprobar estos valores para <9, y Qx, la capacitancia equivalente de las dos se­ ries de condensadores se multiplica por la caída de voltaje correspondiente: Q2A = C2A V = (1.33 ¿xF)(120 V) = 160 /xC 2 4 1 4 (b) + 1 2 0 V- + + 1 .3 3 (jlF ;4|xF 3 |x F + 2 jíF C e = 4 .3 3 jx F (a) Figura 26.13 (c) Simplificación de un problema sustituyendo valores equivalentes por capacitancia. Capacitancia el voltaje a través del condensador de 4 ¡iF es Q4 160 uC y = — = — — = 40 v C 4 ¿¿F Los 80 Y restantes corresponden a la caída de voltaje a través del condensador de 2 ^F. Solución (c): 4 4 En la tabla 26.2 se resumen los datos generales acerca de los condensadores conectados en serie y en paralelo. Tabla 26.2 C ircuitos condensadores Circuitos en serie HHHh Carga Q Voltaje V rr__t1__tL ° J o.... Q = Q¡ = Qi ~ Qi v = v¡ + v 2 + y3 Q - Q\ + Qi + Q¡ i Tipo de circuito Circuitos en paralelo ii Capítulo 26 i 526 Capacitancia equivalente 1 1 1 1 -- —---- 1------ 1---- Ce — Ci + C2 + C3 Capacitancia para dos elementos r - c^- Ce = Cj + c 2 Ce e Cj c2 C, + c 2 c3 Energía de un condensador cargado Considere un condensador que estaba descargado inicialmente. Cuando una fuente de dife­ rencia de potencial se conecta a él, la diferencia de potencial entre las placas se incrementa en la medida que se transfiere carga. A medida que se acumula más y más carga en el condensa­ dor, se vuelve cada vez más difícil transferir una carga adicional. Supongamos ahora que se representa con Q la carga total transferida y la diferencia de potencial final con V. La diferen­ cia de potencial promedio a través de la cual se mueve la carga se expresa de este modo: V = ^final + Viinicial V + 0 1 r ítv — Puesto que la carga total transferida es Q, el trabajo total realizado en contra de las fuerzas eléctricas es igual al producto de Q por la diferencia de potencial promedio V . Por tanto, Trabajo :QV Este trabajo equivale a la energía potencial electrostática de un condensador cargado. Si par­ timos de la definición de la capacitancia (Q = CV), esta energía potencial puede escribirse de diversas maneras: U = -Q V 1 2 , = -C 2 V2 1 (26 . 18 ) 2C Cuando C se expresa en farads, V en volts y Q en coulombs, la energía potencial estará expresada en joules. Estas ecuaciones se aplican por igual a todos los condensadores, inde­ pendientemente de cómo estén construidos. = Qr_ Resumen El almacenamiento de cargas eléctricas es un proceso nece­ sario cuando se requiere suministrar grandes cantidades de energía eléctrica para satisfacer la demanda de un mundo in­ dustrial moderno. En este capítulo estudiamos los principios básicos que determinan la cantidad de carga que es posible al­ macenar en los condensadores. Hemos analizado la inserción de condensadores en los circuitos eléctricos y los factores que afectan la distribución de la carga en esos circuitos. A conti­ nuación se resumen los conceptos fundamentales. ° La capacitancia es la razón de la carga Q al potencial V para un conductor concreto. En el caso de dos placas con cargas opuestas, la O se refiere a la carga en cada placa y la V a la diferencia de potencial entre ellas. 1 coulomb (C) 1 volt (V) Capacitancia 1 farad (F) C= La rigidez dieléctrica es el valor de E para el cual un ma­ terial específico deja de ser aislador y se convierte en con­ ductor. En el caso del aire, dicho valor es * E = -kQ rf = 3 X 10 N/C Rigidez dieléctrica del aire En un condensador de placas paralelas, el material que se encuentra entre las placas se conoce como dieléctrico. La inserción de dicho material produce un efecto en el campo eléctrico y el potencial entre las placas. Por tanto, su pre­ sencia cambia la capacitancia. La constante dieléctrica K para un material en particular es la razón de la capacitancia con el dieléctrico C a la capacitancia para un vacío CQ. vT = v¡ + v2 + y3 C~2 C ~C\ 3 Conexiones en serie b. En conexiones en paralelo, la carga total es igual a la suma de las cargas a través de cada condensador, la caí­ da de voltaje a través de cada condensador es igual que la caída correspondiente a través de la batería, y la capa­ citancia efectiva es igual a la suma de las capacitancias individuales Qt ~ Q\ + Q2 + Q¡ z? l La permitividad de un dieléctrico es mayor que la per­ mitividad de un vacío por un factor igual a la constante dieléctrica. Por esta razón, K se conoce a veces como la permitividad relativa. c = Ci + C + C 2 3 Conexiones en paralelo La energía potencial almacenada en un condensador car­ gado se determina mediante cualquiera de las relaciones siguientes: 0 y m K = —€ 6o Qt = Qi = Qi ~ Qí ! E0 Vb K = — K= — V E Constante dieléctrica Capacitancia Para un vacío, K = 1 en la relación anterior. Los condensadores se pueden conectar en serie, como se muestra en la figura 26.11, o en paralelo, como en la figu­ ra 26.12. a. Para conexiones en serie, la carga de cada condensador es igual que la carga total, la diferencia de potencial a través de la batería es igual a la suma de las caídas de voltaje en cada condensador, y la capacitancia neta se halla mediante 1 C_ Q A C = Ke o c. 6 K La capacitancia de un condensador de placas paralelas depende del área superficial A de cada placa, de la sepa­ ración entre las placas, d, y de la permitividad o constante dieléctrica. La ecuación general es en = 8.85 X 10“ C7N • m 1 2 2 Cuando C se expresa en farads, V en volts y Q en coulombs, la energía potencial estará expresada en joules. 527 conexión en serie 523 constante dieléctrica 521 descarga de corona 515 dieléctrico 514 Preguntas de repaso Comente varios factores que limitan la capacidad de un conductor para almacenar carga. Se bombea aire de un depósito de metal a otro, lo que crea un vacío parcial en uno de ellos y alta pre­ sión en el otro. Al quitar la bomba, la energía po­ tencial se almacena. La energía es liberada si los dos depósitos vuelven a conectarse entre sí y ambos llegan a estar a la misma presión. ¿En qué forma se asemeja a la carga y la descarga de un condensador este ejemplo mecánico? 26.3. Con frecuencia se ve que saltan chispas de las correas de impulsión de cuero de las máquinas. Explique por qué. 26.4. La botella de Leyden es un condensador que consiste en un frasco de vidrio forrado por dentro y por fuera con papel de estaño, como se muestra en la figura 26.14. El contacto con el forro interior se realiza me­ diante una cadena de metal conectada a la varilla metálica central. Con base en la figura, explique cómo se carga el condensador. ¿Qué función desempeña el alambre a tierra? ¿Qué propósito tiene el vidrio? 26.5. ¿Se puede considerar que un rayo es la descarga de un condensador? Explique su respuesta. 26.6. Comente la afirmación siguiente: la permitividad es la medida de la facilidad con la que un dieléctrico permite el establecimiento de líneas de campo eléc­ trico dentro del propio dieléctrico. 26.7. Un dieléctrico con mayor permitividad da lugar al almacenamiento de mayores cantidades de carga. Explique esta situación. 26.8. Establezcaladiferenciaentrelarigidezdieléctricadeun material y su constante dieléctrica. ¿Qué parte desem­ peña cada una en el diseño de un condensador? 26.9. El término voltaje de ruptura se usa a menudo en electrónica en relación con los condensadores. ¿Cómo definiría usted ese término? ¿En qué aspec­ tos se distingue de la rigidez dieléctrica? farad 514 permitividad 521 rigidez dieléctrica 514 Figura 26.14 26.10. 26.11. 26.12. La botella de Leyden. Si dos cargas puntuales están rodeadas por un die­ léctrico, ¿aumentará o disminuirá la fuerza que cada una ejerce sobre la otra? La unidad de permitividad es el C2/N • m2. Demues­ tre que la permitividad puede expresarse como fa­ rad por metro. Demuestre que cada una de las expresiones de la energía potencial, como aparecen en la ecuación (26.18), proporciona una unidad de energía apro­ piada (el joule). Problemas Sección 26.2 El condensador 26.1 528 . ¿Cuál es la carga máxima que puede acumularse en una esfera metálica de 30 mm de diámetro rodeada de aire? Resp. 75 nC Capítulo 26 Resumen y repaso 26.2. ¿Cuánta carga puede acumularse en una esfera me­ tálica de 40 mm de radio si está sumergida en acei­ te de transformador cuya rigidez dieléctrica es de 16 MV/m? 26.3. ¿Cuál sería el radio de una esfera de metal en el aire si ésta pudiera contener teóricamente una carga de C? Resp. 54.8 m Un condensador de placas paralelas de 28 ¡xF está co­ nectado a una fuente de diferencia de potencial de V. ¿Cuánta carga se almacenará en este condensador? Una diferencia de potencial de 110 V se aplica a tra­ vés de las placas de un condensador de placas para­ lelas. Si la carga total en cada placa es de 1200 /U.C, ¿cuál es la capacitancia? Resp. 10.9 /xF Determine la capacitancia de un condensador de placas paralelas si en cada placa se acumula una carga de 1600 fxC cuando la diferencia de potencial es de 80 V. ¿Qué diferencia de potencial se requiere para alma­ cenar una carga de 800 fxC en un condensador de 40 ^F? Resp. 20 V Escriba una ecuación para el potencial en la superficie de una esfera de radio r en función de la permitividad del medio circundante. Demuestre que la capacitan­ cia de una esfera semejante está dada por C = er. Un condensador esférico tiene un radio de 50 mm y está rodeado por un medio cuya permitividad es de 3 = 10 C2/N • m2. ¿Cuánta carga se puede trans­ ferir a esta esfera con una diferencia de potencial de 400 V? Resp. 4.71 X 10 C 26.16. 1 26.4. 1 2 0 26.5. 26.6. 26.7. 26.8. 4 7 7 *26.9. “ 11 “ 14 Sección 26.3 Cálculo de la capacitancia Entre las placas de un condensador de 5 /xF hay una separación de 0.3 mm de aire. ¿Cuál será la carga en cada placa si hay una diferencia de potencial de 400 V? ¿Cuál es el área de cada placa? 26.11 . Las placas de un condensador están separadas 3 mm y tienen un área de 0.04 m2. ¿Cuál es la capacitancia si el dieléctrico es aire? Resp. 118 pF 26.12. Las placas de un condensador tienen un área de 0.034 m y una separación de aire de 2 mm. La diferencia de potencial entre las placas es de 200 V. ¿Cuál es la ca­ pacitancia y cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? ¿Cuánta carga hay en cada placa? 26.13. Un condensador, cuyas placas tienen un área de 0.06 m y una separación de 4 mm entre ellas, tiene una diferencia de potencial de 300 V cuando el die­ léctrico es el aire. ¿Cuál es la capacitancia con los dieléctricos aire (K = 1) y mica (K = 5)? 26.10. 2 2 *26.17. Sección 26.5 Condensadores en paralelo y en serie Calcule la capacitancia equivalente de un condensa­ dor de 6 /xF y otro de 12 /xF conectados (a) en serie y (b) en paralelo. 26.1 9. Determine la capacitancia efectiva de un condensa­ dor de 6 /xF y otro de 15 /xF conectados (a) en serie y (b) en paralelo. Resp. 4.29 /xF, 21.0 /xF 26.20. ¿Cuál es la capacitancia equivalente para condensa­ dores de 4, 7 y 12 /xF conectados (a) en serie y (b) en paralelo? 26.21. Determine la capacitancia equivalente para conden­ sadores de 2, 6 y 8 ,aF conectados (a) en serie y (b) en paralelo. Resp. 1.26 /xF, 16 ¡xF 26.22. Dos condensadores de 20 y 60 /xF están conectados en paralelo. Después la pareja se conecta en serie con un condensador de 40 ¿uF. ¿Cuál es la capaci­ tancia equivalente? *26.23. Si se establece una diferencia de potencial de 80 V a través del grupo de condensadores del problema 26.22, ¿cuál será la carga en el condensador de 40 ,u-F? ¿Cuál será la carga en el condensador de 20 /xF? Resp. 2136 ¡jlC, 534 /xC *26.24. Calcule la capacitancia equivalente de un circuito en el cual un condensador de 6 ¡jl¥ está conectado en serie con dos condensadores en paralelo cuyas ca­ pacitancias son 5 y 4 yuF. *26.25. ¿Cuál es la capacitancia equivalente para el circuito ilustrado en la figura 26-15? Resp. 6.00 yu,F 26.18. 3 |xF i r - 200V Resp. 133 pF, 664 pF 26.14. 26.15. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico para la mica y el aire en el problema 26.13? Determine la capacitancia de un condensador de placas paralelas si el área de cada placa es de 0.08 m2, la separación entre las placas es de 4 mm y el dieléctrico es (a) aire o (b) papel recubierto de parafina (K = 2)? Resp. (a) 177 pF, (b) 354 pF Las dos placas paralelas de un condensador tienen una separación de 4.0 mm y el área de cada una de ellas es de 0.03 m2. El dieléctrico es vidrio (K = 7.5) y el voltaje de las placas es de 800 V. ¿Cuál es la carga en cada placa y cuál es la intensidad del campo eléctrico entre las placas? Se desea fabricar un condensador de placas parale­ las con capacitancia de 2.0 nF, utilizando mica (K = 5) como dieléctrico, de modo que pueda sopor­ tar una diferencia de potencial máxima de 3000 V. La rigidez dieléctrica de la mica es de 200 MV/m. ¿Cuál es el área mínima que pueden tener las placas del condensador? Resp. 6.78 X 10~4 m2 ~ 6 fj.F Figura 26.15 *26.26. ¿Cuál es la carga en el condensador de 4 /xF de la figura 26.15? ¿Cuál es el voltaje a través del con­ densador de 6 /xF? Capítulo 26 Resumen y repaso 529 *26.27. Un condensador de y otro de 3 /xF están conecta­ dos en serie con una batería de 24 V. ¿Cuáles son la carga y el voltaje a través de cada condensador? Resp. V = 16.0 V, Q = 48.0 /xC, V6 = 8.00 V, Q = 48.0 ¡xC Si los condensadores de y 3 /xF del problema 26.27 se vuelven a conectar en paralelo con una batería de 24 V, ¿cuáles serán la carga y el voltaje a través de cada condensador? Calcule la capacitancia equivalente para todo el circuito mostrado en la figura 26.16. ¿Cuáles es la carga total sobre la capacitancia equivalente? Resp. 1.74 /xF, 20.9 ¡xF 6 3 6 *26.28. *26.29. *26.30. ¿Cuáles son la carga y el voltaje a través de cada uno de los condensadores de la figura 26.16? Sección 26.6 Energía de un condensador cargado 26.31. 6 26.32. 26.33. 3 |xF *26.34. ¿Cuánta energía potencial se encuentra almacenada en el campo eléctrico de un condensador de 200 ¡xF cuando éste se carga con un voltaje de 2400 V? Resp. 576 J ¿Cuál es la energía almacenada en un condensador de 25 /xF cuando la carga en cada una de sus placas es de 2400 /xC? ¿Cuál es el voltaje a través del con­ densador? ¿Cuánto trabajo se requiere para cargar un conden­ sador hasta una diferencia de potencial de 30 kV si hay 800 /xC en cada placa? Resp. 12.0 J Las placas paralelas de un condensador tienen un área de 4 cm y una separación de 2 mm. Un dieléc­ trico cuya constante es K = 4.3 se coloca entre las placas y el condensador se conecta a una batería de 100 V. ¿Cuánta energía se almacena en el conden­ sador? 2 Figura 26.16 Problemas adicionales 26.35. ¿Cuál es el voltaje de ruptura de un condensador con dieléctrico de vidrio (K = 7.5) si la separación entre sus placas es de 4 mm? La rigidez dieléctrica promedio es de 118 MV/m. Resp. 472 kV 26.36. Un condensador tiene una diferencia de potencial de 240 V, placas con un área de 5 cm y una separación entre ellas de 3 mm. ¿Cuáles son la capacitancia y el campo eléctrico que existe entre las placas? ¿Cuál es la carga en cada placa? 26.37. Suponga que el condensador del problema 26.36 se desconecta de la batería de 240 V y luego se inser­ ta mica (K = 5) entre las placas. ¿Cuáles son los nuevos valores de voltaje y campo eléctrico? Si se vuelve a conectar la batería de 240 V, ¿cuál será la carga sobre las placas? Resp. 48.0 V, 1.60 X 10 V/m, 1.78 nC 26.38. Un condensador de ¡xF se carga con una batería de 24 V y luego se desconecta. Cuando se inserta un dieléctrico, el voltaje cae a V. ¿Cuál es la carga total en el condensador después que la batería se ha conectado de nuevo? 26.39. Un condensador está formado por 30 placas para­ lelas, cada una de 20 X 20 cm. Si entre cada placa hay una separación de mm de aire seco, ¿cuál es la capacitancia total? Resp. 5.13 nF 2 *26.40 *26.41 Cuatro condensadores, A, B, C y D, tienen capaci­ tancias de 12, 16, 20 y 26 /xF, respectivamente. Los condensadores A y B están conectados en paralelo. Después, la combinación se conecta en serie con C y D. ¿Cuál es la capacitancia efectiva? Considere el circuito ilustrado en la figura 26.17. ¿Cuál es la capacitancia equivalente del circuito? ¿Cuáles son la carga y el voltaje a través del condensador de ¡xFl Resp. 6.00 ¡xF, 18 ¡xC, 9.00 V 2 2 ixF 4 6 6 2 530 Capítulo 26 Resumen y repaso *26.42 . Dos condensadores idénticos de 20 ¡xF, A y B, se conectan en paralelo con una batería de 12 V. ¿Cuál es la carga en cada condensador si se inserta una lámina de porcelana (K = 6) entre las placas del condensador B y la batería permanece conectada? *2 6 .4 3 . Tres condensadores, A, B y C, tienen capacitancias de 2, 4 y 6 ¡jlF, respectivamente. Calcule la capa­ citancia equivalente si los tres están conectados en serie con una fuente de 800 V. ¿Cuáles son la carga y el voltaje a través del condensador de 4 /xF? Resp. 1.09 fiF, 873 /xC, 218 V *2 6.4 4. Supongamos que los condensadores del proble­ ma 26.43 se conectan nuevamente en paralelo con la fuente de 800 V. ¿Cuál es ahora la capacitancia equivalente? ¿Cuáles son la carga y el voltaje a tra­ vés del condensador de 4 ,uF? *2 6 .4 5 . Demuestre que la capacitancia total de un conden­ sador con placas múltiples que contenga N placas separadas entre sí por aire está dada por: Cn = CN - l)e 0A donde A es el área de cada placa y d es la separación entre cada una de ellas. *26.46. La densidad de energía u de un condensador se de­ fine como la energía potencial (EP) por unidad de volumen (Ad) del espacio comprendido entre las placas. Con esta definición y varias fórmulas de este capítulo encuentre la siguiente relación para hallar la densidad de energía ir. w= 1 E- donde E es la intensidad del campo eléctrico entre las placas. *26 .4 7 . Un condensador entre cuyas placas hay una sepa­ ración de 3.4 mm está conectado a una batería de 500 V. Aplique la relación obtenida en el problema 26.46 para calcular la densidad de energía entre las placas. Resp. 95.7 m J/m 3 Preguntas para la reflexión crítica 26.48. Cierto condensador tiene una capacitancia de 12 /xF cuando sus placas tiene una separación de 0.3 mm de espacio vacío. Una batería de 400 V carga las placas y después se desconecta del condensador, (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de las placas si se inserta una lámina de baquelita (K = 7) entre las placas? (b) ¿Cuál es la carga total en las placas? (c) ¿Cuál es la capacitancia con el dieléctrico inserta­ do? (d) ¿Cuál es la permitividad de la baquelita? (e) ¿Cuánta carga adicional puede acumularse en el con­ densador si la batería de 400 V se vuelve a conectar? Resp. (a) 57.1 V, (b) 4800 ¡jlC, (c) 84.0 /xF, (d) 6.20 X 10 11 C2/N m2, (e) 28.8 mC *2 6.49. Un desfibrilador médico usa un condensador para rea­ nimar a las víctimas de ataques cardiacos. Suponga que un condensador de 65 /xF de uno de esos apara­ tos se carga hasta 1500 V. ¿Cuál es la energía total almacenada? Si 25% de esa energía pasa a través de una víctima en 3 ms, ¿que potencia se descarga? *2 6.50. Considere tres condensadores de 10, 20 y 30 ¿xF. Muestre cómo podrían conectarse para producir la máxima y la mínima capacitancia equivalente y escri­ ba una lista de esos valores. Trace en un diagrama la conexión que daría como resultado una capacitancia equivalente a 27.5 /xF. Presente una conexión capaz de producir una capacitancia combinada de 22.0 ¿xF. Resp. 60 /xF, 7.5 /xF *26.51. Un condensador de aire de 4 /xF está conectado a una fuente de diferencia de potencial de 500 V. Después, el condensador se desconecta de la fuente y se inserta una lámina de mica (K = 5) entre las placas. ¿Cuál es el nuevo voltaje en el condensador? Suponga que se vuelve a conectar la batería de 500 V y calcule la carga final en el condensador. ¿En qué porcentaje se incrementa la energía total en el condensador a causa del dieléctrico? *26.52. Un condensador de 3 /xF y otro de 6 ¡iF están co­ nectados en serie a una batería de 12 V. ¿Cuál es la energía total del sistema? ¿Cuál es la energía total si la conexión se realiza en paralelo? ¿Cuál es la ener­ gía total para cada una de esas conexiones si se usa mica (K = 5) como dieléctrico en cada uno de los condensadores? Resp. 0.144 mJ, 0.648 mJ, 0.720 mJ, 3.24 mJ Capítulo 26 Resumen y repaso 531