Ecuaciones Diferenciales Capítulo 2 2.1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Autónomas Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es autónoma. Si el símbolo x denota la variable independiente, entonces una ecuación diferencial de primer orden autónoma se puede escribir como f(y,y´)=0 o en forma norma como Puntos Críticos Se dice que un número real c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma si es un cero de f, es decir f(c)=0 Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto estacionario Puntos Críticos Si c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma, entonces y(x)=c es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma. Asintóticamente Estable Cuando ambas puntas de flecha en cualquier lado del punto marcado con c apuntan hacia c, exhiben el comportamiento asintótico, se dice que el punto crítico c es asintóticamente estable. Asintóticamente Inestable Cuando ambas puntas de flecha en cualquier lado del punto marcado con c apuntan hacia fuera de c, exhiben el comportamiento asintótico, se dice que el punto crítico c es asintóticamente inestable. Asintóticamente Semiestable Si c exhibe características tanto de atractor como de repulsor, es decir, una solución que empieza desde el punto inicial (xo, yo) bastante cerca de c es atraída a c desde un lado y repelida desde el otro lado, se dice que el punto crítico c es semiestable. Ecuaciones Diferenciales Capítulo 2 2.2 Variables Separables Variables Separables Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma es separable o que tiene variables separables. Variables Separables Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial Variables Separables Paso 1: Se separan las variables con su respectivo diferencial, recuerde que K es constante. Variables Separables Paso 2: Se integra a ambos lados, Variables Separables Paso 3: Se despeja para Q en función de t. Ecuaciones Diferenciales Capítulo 2 2.3 Factor Integrante Ecuaciones Lineales Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma es una ecuación lineal en la variable dependiente y. Ecuaciones Lineales Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial Ecuaciones Lineales Paso 1: Dividir toda la ecuación por la expresión que acompaña a dy/dx Ecuaciones Lineales Paso 2: Se calcula el factor integrante Ecuaciones Lineales Paso 3: La solución de la ecuación diferencial es: Ecuaciones Lineales Paso 4: Se integra y finalmente se despeja para y. Ecuaciones Diferenciales Capítulo 2 2.4 Ecuaciones Exactas Ecuaciones Exactas Una ecuación diferencial de primer orden de la forma es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Ecuaciones Exactas Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial Ecuaciones Exactas Paso 1: Se identifica M y N y se calculan las derivadas parciales, si éstas no son iguales se calcula el factor integrante. Ecuaciones Exactas Paso 2: Existe una función f(x,y) tal que Ecuaciones Exactas Paso 3: Se integra la ecuación y se obtiene Ecuaciones Exactas Paso 4: Si se saca la derivada parcial con respecto a y de y luego se iguala el resultado con N(x,y), se obtiene, Ecuaciones Exactas Paso 5: Con el resultado se puede observar que Finalmente Ecuaciones Exactas Si Se tiene que calcular el factor integrante: Utilizando aquella que depende sólo de y. Ecuaciones Diferenciales Capítulo 2 2.5 Sustituciones Sustitución: ED homogénea Si la ecuación de Bernoulli está escrita: La sustitución es Por consiguiente Sustitución: ED homogénea Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial Sustitución: ED homogénea Paso 1: Divida la ecuación diferencial por x y se obtiene Sustitución: ED homogénea Paso 2: La sustitución es : Por lo tanto Sustitución: ED homogénea Paso 3: Se sustituye y y dy/dx en la ecuación original, teniendo: Se multiplica la ecuación anterior por –u2 Sustitución: ED homogénea Paso 4: Simplificando se tiene Se calcula el factor integrante Sustitución: ED homogénea Paso 5: La solución es: Integrando el lado derecho Despejando para u Sustitución: ED homogénea Paso 6: Finalmente se sustituye u por y
