Integrales Indefinidas

Análisis Matemático I - Profesorado en Física - Profesorado en Matemática - FCEQyN - UNaM
INTEGRALES INDEFINIDAS
Apuntes tomados de:
Stewart, J. ; Redlin, L.; Watson, S. (2012) Cálculo I. Cengage Learning. Pág. 391.
Rabuffeti, H () Introducción al Análisis Matemático . pág 386.
PRIMITIVAS
El Análisis elemental incluye dos procesos fundamentales: el cálculo de derivadas y el cálculo de
integrales.
El primer proceso, derivación diferenciación, conduce a definir la recta tangente al gráfico de una función
derivable en cualquier punto del mismo. El segundo proceso, la integración, permite hallar el área de
regiones limitadas por el gráfico de funciones continuas.
Ambos problemas, el de la recta tangente y el del área, se resuelven por caminos totalmente
independientes, pero terminan vinculándose entre sí, pues el cálculo de área se reduce finalmente al
cálculo de antiderivadas o primitivas.
De acuerdo con las consideraciones anteriores, debe darse, como en la historia, primero el concepto de
integral definida y una definición conveniente de área. Después, mediante el teorema fundamental del
cálculo integral, se relacionan ambos conceptos con la derivada, o mejor dicho con las antiderivadas.
A continuación, nos abocaremos solamente a la antiderivación o “proceso inverso” de la derivación.
Primitiva o Antiderivada
Si f es una función definida en un conjunto D, la función F, definida en el mismo conjunto, es una primitiva
de f si y sólo si F es derivable en D y f es su derivada.
Es decir:
F es primitiva de f en D   x  D: F ´ (x) = f (x)
F es una primitiva de f y no “la primitiva”, porque hay infinitas funciones diferentes cuya derivada es f (en
el caso en que haya por lo menos una).
La función F es una primitiva o antiderivada de f, o también integral indefinida de f.
Por ejemplo: Sea f(x) = 4𝑥 3
También 𝐹1 = 𝑥 4 + 3
y
F(x) = 𝑥 4
𝐹2 = 𝑥 4 + √2
es una primitiva de f, porque  x: F´(x) = 4𝑥 3 = f(x)
son primitivas de f.
En general, F(x) = 𝑥 4 + 𝑐 ,  c  R, es una primitiva de f.
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G(x) = sen x + c  c  R, es una primitiva de g, porque  x:
Otro ejemplo: si g(x) = cos x
G´(x) = cos x = g(x)
Por lo tanto, recordando las fórmulas que dan las derivadas, se pueden hallar las primitivas.
Se comprende inmediatamente que no todas las funciones tienen primitivas. Además, su cálculo no es
simple en general.
Teorema
Una función f que admite, en un conjunto, una función primitiva F, admite infinitas primitivas, todas ellas
se la forma F + c, donde c es un número real cualquiera.
Demostración
Si F es una primitiva de f en D, por definición:  x  D: F ´ (x) = f (x)
Si c es un número real cualquiera, la función 𝐹𝑐 = 𝐹 + 𝑐 es derivable y su derivada es:
𝐹 ´𝑐 = 𝐹 ´ + 0 = 𝑓
Por lo tanto, existen infinitas funciones que son primitivas de f. Si el dominio es un intervalo I, todas ellas
difieren en una constante y f no admite otra primitiva fuera de ellas.
En efecto, si F y G son dos primitivas cualesquiera de la función f en el intervalo I, por definición:
 x  I: F ´ (x) = f (x)
y
G ´ (x) = f (x)
Entonces F y G son funciones que tienen la misma derivada. Por consecuencia del Teorema del Valor
Medio del cálculo diferencial, F y G difieren en una constante.
O sea,
cR/G=F+c
Para designar una primitiva cualquiera de la función f suele utilizarse el símbolo ∫ 𝑓 , que se lee “primitiva
de f o antiderivada de f o integral indefinida de f ”.La función f es el integrando de la integral indefinida
∫ 𝑓.
Es más común el símbolo
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 , que designa también una primitiva cualquiera de f y fue
introducido por Leibniz en el año 1675.
Por razones prácticas, los símbolos
∫ 𝑓 , ∫ 𝑓 (𝑥)
y
∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
, suelen utilizarse en forma
equivalente, aunque nosotros utilizaremos la última notación.
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Por ejemplo:
∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝑐
De este modo, considere una integral indefinida como la representante de una familia entera de
funciones, (es decir, una antiderivada para cada valor de la constante c).
Nota: Debe distinguir con cuidado entre las integrales definidas y las indefinidas. Una integral definida es un número, en
tanto que una integral indefinida es una función (o una familia de funciones).
Ejemplos: Resuelva las siguientes situaciones:
1) Halle una función F(x) cuya derivada sea f(x) = 2x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.
∫(2𝑥 + 6)𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑐
Condición: x = 2
F(x) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑐
familia de primitivas.
22 + 6 . 2 + 𝑐 = 25
F(2) =25

c=9
F(x) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 9
2) Calcule la ecuación de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x² + 5x
− 2.
5
∫(3x² + 5x − 2)𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑐
familia de primitivas
La función que pasa por P(1 , 5):
13 +
F(1) = 5
F(x) = 𝑥 3 +
5
2
5
2
𝑥 2 − 2𝑥 +
12 − 2.1 + 𝑐 = 5

c=
7
2
7
2
Integrales inmediatas
Las propiedades de las derivadas facilitan el cálculo de algunas integrales:
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Ejemplos: 3) Encuentre la integral indefinida de:
8
 3

𝑥5
2 7
5 8
2 7
5
a)   2 x 5  x  6 dx = 2 8 + 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑐 = 𝑥 5 + 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑐


7
4
7
5



b)
  2 x
c)

d)
e
3
 6x 
1 4
3 
𝑥 − 3𝑥 2 + 3 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑐
dx 
2
x 1
2
1
1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1  senx
dx  ∫ ( 2 +
) 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + sec 𝑥 + 𝑐
2
𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
cos
𝑥
cos x
4 x 1
1
dx  4 𝑒 4𝑥+1 + 𝑐
x 4  2 x3  1
𝑥4
𝑥3
1
1
1
(𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑥 −2 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − + 𝑐
dx
e) 
=
(
−
2
∫
2
2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥
𝑥
3
𝑥
x
4
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f)

 3.x
4

 2.e x 

x
 3. cos x  dx 
3

3 5
𝑥
5
− 2𝑒 𝑥 +
2
9
√𝑥 3 + 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐
C.A.
∫
g)
√𝑥
𝑑𝑥
3

=∫
x2  3 x2
x
𝑥 1/2
3
𝑑𝑥 =
𝑥 3/2
3
3
2
=
𝑥 3/2
9
2
2
= √𝑥 3 +c
9
dx =
Integración por sustitución (Regla de la Cadena)
Sea, por ejemplo:
∫ 2𝑥 √1 + 𝑥 2 𝑑𝑥
(1)
Para hallar esta integral, aplique la estrategia para la solución de problemas de introducir algo adicional. En
este caso, el “algo adicional” es una nueva variable; cambie de una variable x a una variable u. Suponga que
hace que la cantidad debajo del signo integral de (1) es:
𝑢 = 1 + 𝑥2
(2)
Nota: Diferencial de una función: sea f una función definida en D, df = f ´(x) dx
Entonces la diferencial de u es: du = u´(x) dx
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
(3)
2𝑥
Reemplazando (2) y (3) en (1):
𝑑𝑢
∫ 2𝑥 √1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 √𝑢 2𝑥 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢
=
2
2
√𝑢3 + 𝑐 = √(1 + 𝑥 2 )3 + 𝑐
3
3
5
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Ejemplos: 4) Resuelva las siguientes integrales usando el método de sustitución:
a)
dx
 2x  5
1 𝑑𝑢
2
=
= ∫𝑢
1 1
∫ 𝑑𝑢
2 𝑢
=
1
2
𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐
1
Cálculo auxiliar
u = 2x + 5
= 2 𝑙𝑛|2𝑥 + 5| + 𝑐

du = 2 dx

= 𝑙𝑛√|2𝑥 + 5| + ln|𝑐|
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
= 𝑙𝑛 |𝑐|√|2𝑥 + 5|
𝑑𝑢
b) ∫ 𝑎tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎𝑢 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢
=
1
𝑎𝑢
ln 𝑎
+𝑐
Cálculos auxiliares
u = tan x
du = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
1
= ln 𝑎 𝑎tan 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 =
y = 𝑎𝑢
ln y = u ln a
1
𝑦´ = ln 𝑎
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑦
y´ = ln a 𝑎𝑢
c)
 cot g  x  dx
=∫
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑥 𝑑𝑢
𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥
= ln|𝑢| + 𝑐
= 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝑐
d)
x
2 x  3dx = ∫
𝑢−3
2
√𝑢
𝑑𝑢
2
1
1
= ∫ 𝑑𝑢 Cálculos auxiliares
𝑢
u = sen x
du = cos x dx
𝑑𝑢
𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
3
= ∫ (2 𝑢 − 2) 𝑢1/2
1
3
= ∫ ( 𝑢3/2 − 𝑢1/2 ) 𝑑𝑢
4
4
1 5/2 1 3
=
𝑢 − 𝑢2 + 𝑐
10
2
1
1
5
√(2𝑥 + 3) − √(2𝑥 + 3)3 + 𝑐
=
10
2
𝑑𝑢
2
Cálculos auxiliares
u = 2x + 3
u = 2x + 3 
𝑑𝑥 =
du = 2 dx
𝑥=
𝑢−3
2
=
1
𝑢
2
−
𝑑𝑢
2
3
2
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e)

=
cosln 3 x 
cos 𝑢
dx = ∫ 2𝑥 𝑥 𝑑𝑢 =
2x
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐 =
1
2
1
∫ cos 𝑢
2
𝑠𝑒𝑛 (ln 3𝑥) + 𝑐
𝑑𝑢
Cálculos auxiliares
u = ln(3x)
𝑑𝑢 =
1
3 𝑑𝑥
3𝑥
=
1
𝑑𝑥
𝑥
dx = x du
Integración por Partes
Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo, la regla de sustitución para integración
corresponde a la regla de la cadena para derivación. La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla
para integración por partes.
La regla del producto establece que, si f y g son funciones derivables, entonces:
En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en:
o bien,
Esta ecuación se puede reordenar como:
La fórmula 1 se llama fórmula para integración por partes. Quizás es más fácil recordarla en la siguiente notación.
Sean
𝑢 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑣 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
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Se debe hallar
Por ejemplo:
𝑑𝑢
𝑣. Para hallar du se deriva y para hallar v, se integra.
y
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑢=x
Haciendo:
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = − cos 𝑥
Volviendo a la integral original:
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = x (− cos 𝑥 ) − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = −x cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
= −x cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐
Ejemplos: 5) Use la integración por partes para realizar las integraciones adecuadas:
a)
 x

 2 x  e  x dx = −(𝑥 2 − 2𝑥)𝑒 −𝑥 − ∫ −𝑒 −𝑥 (2x − 2)dxCálculos auxiliares
2
2
= −(𝑥 − 2𝑥)𝑒
−𝑥
2
−𝑥
= −(𝑥 − 2𝑥)𝑒
+ ∫𝑒
−𝑥 (2x
− 2)dx
+ (2𝑥 − 2)(−𝑒
−𝑥 )
− ∫(−𝑒
−𝑥
)2𝑑𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
u = 𝑥 2 − 2𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
du = (2x – 2) dx
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑒 −𝑥
u = 2x – 2
𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
du = 2 dx
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
= −(𝑥 2 − 2𝑥)𝑒 −𝑥 − (2𝑥 − 2) 𝑒 −𝑥 + ∫ 𝑒 −𝑥 2 𝑑𝑥
= −(𝑥 2 − 2𝑥)𝑒 −𝑥 − (2𝑥 − 2) 𝑒 −𝑥 − 2 𝑒 −𝑥 + 𝑐
∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −𝑒 −𝑥
por sustitución z = -x
dz = -dx
dx = - dz
∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑒 𝑧 𝑑𝑧 = −𝑒 𝑧 + 𝑐 = −𝑒 −𝑥 + 𝑐
b)
 x  sen3x  dx =
1
1
1
= − 3 𝑥 cos 3𝑥 + ∫ 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥
1
3
= − 𝑥 cos 3𝑥 +
1
9
1
− 3 𝑥 cos 3𝑥 − ∫ − 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥
C. A.
u=x
du = dx
dv = sen 3x dx
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = − 3 cos 3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
z = 3x
dz = 3 dx
𝑑𝑥 =
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑧
𝑑𝑧
3
𝑑𝑧
1
= − cos 𝑧 + 𝑐
3
3
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1
1
∫ 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 3 cos 𝑧
𝑑𝑧
3
1
= 9 ∫ cos 𝑧 𝑑𝑧 =
1
9
𝑠𝑒𝑛 𝑧 + 𝑐
1
= 9 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐
z = 3x
c)

arc sen x dx = 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 - ∫ 𝑥
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 - ∫ 𝑥
1
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
dx=
𝑑𝑧
3
Cálculos auxiliares
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑢 =
1 𝑑𝑧
√𝑧 −2𝑥
1
dz = 3 dx
1
√1−𝑥 2
dv = dx
𝑑𝑥
v=x
1
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 ∫ 𝑧 −2 𝑑𝑧
𝑧 = 1 − 𝑥2
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + √𝑧 + 𝑐
𝑑𝑧 = −2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝑑𝑧
−2𝑥
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + √1 − 𝑥 2 + 𝑐
d)

sen (ln x) dx =
C. A.
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
1
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − ∫ 𝑥 cos(ln 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − ∫ cos(ln 𝑥) 𝑑𝑥
1
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥)
𝑑𝑢 = cos(ln 𝑥) 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
v=x
1
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos(ln 𝑥) + ∫ 𝑥 (−𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑥)𝑑𝑥
= 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos(ln 𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥
1
𝑢 = cos(ln 𝑥)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) 𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
v=x
∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos(ln 𝑥)
2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos(ln 𝑥)
1
∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 = (𝑥 𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥) − 𝑥 cos(ln 𝑥)) + 𝑐
2
9