Tema 5: Funciones homogéneas f se dice homogénea de grado α si se verifica: f (λx̄) = λα f (x̄), ∀x̄, ∀λ > 0 Propiedades: 1. Si f y g son homogéneas de grado α, entonces f ± g es también homogénea de grado α. 2. Si f es homgénea de grado α y g es homogénea de grado β, entonces f · g es homogénea de grado α + β. 3. En las condiciones anteriores, si además g(x̄) 6= 0, ∀x̄, entonces f es homogénea de grado α − β. g 4. Toda función homogénea de grado α queda determinada por los valores que toma sobre los puntos con norma uno: x̄ α . f (x̄) = ||x|| f ||x̄|| 5. Si f es homogénea de grado α y de clase C 1 , entonces todas sus derivadas parciales son también homogéneas de grado α − 1. Teorema de Euler Sea f homogénea de grado α y f ∈ C 1 , entonces para cada x̄ = (x1 , x2 , ..., xn ) se verifica la siguiente igualdad: x1 ∂f ∂f ∂f (x̄) + x2 (x̄) + . . . + xn (x̄) = αf (x̄) ∂x1 ∂x2 ∂xn Nota: El Teorema de Euler también se aplica a cada una de las parciales de f si ésta fuera de clase C 2 ó más. ∂f En tal caso, para una cualquiera de las parciales , digamos se verificará: ∂xi x1 ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂f (x̄) + x2 (x̄) + . . . + xi 2 (x̄) + . . . xn (x̄) = (α − 1) (x̄) ∂x1 ∂xi ∂x2 ∂xi ∂xn ∂xi ∂xi ∂xi Funciones (de producción) homogéneas en Economı́a Q(λx̄) = λα Q(x̄) Al variar en la misma proporción λ todos los factores productivos el producto varı́a en la proporción λα . Rendimiento(variación del producto para una variación proporcional de los factores productivos): (a) α = 1, el producto varı́a en la misma proporción que los factores productivos (rendimientos constantes a escala). (b) α > 1, el producto varı́a en mayor proporción que los factores productivos (rendimientos crecientes a escala). (c) α < 1, el producto varı́a en menor proporción que los factores productivos (rendimientos decrecientes a escala). Q ≡ Q(K, L) = A · K α · Lβ , A > 0. (Tipo Cobb-Douglas) 1. Es homogénea de grado α + β. 2. ∂Q ∂Q y son homogéneas de grado α + β − 1. ∂K ∂L 3. Teorema de Euler: K · ∂Q ∂Q +L· ≡ (α + β) · Q. ∂K ∂L En particular, para un (K0 , L0 ) = Q0 imaginemos que se paga a cada uno de los factores productivos según su prod. marginal: K0 · ∂Q (K0 , L0 ) ≡ parte de Q0 dedicada a retribuir al factor capital. ∂K L0 · ∂Q (K0 , L0 ) ≡ parte de Q0 dedicada a retribuir al factor trabajo. ∂L (a) α+β = 1 (rendimientos constantes): la suma de lo pagado a los factores iguala al valor de lo producido. (b) α + β < 1, parte Q0 no se distribuye entre los factores productivos. (c) α + β > 1, Q0 no es suficiente para retribuir a los factores productivos.
