Diplomatura en Ciencia y Tecnologı́a Análisis Matemático II - Tercer Parcial - 13/12/06 Apellido y Nombre: 1) TEMA A a) Dada f (x, y) = 4x5 + 5xy(y + 3)2 hallar todos sus puntos crı́ticos y clasificarlos. Si se presenta caso dudoso analizar. b) Hallar los valores extremos absolutos de f (x, y) = x2 + y 2 en el compacto limitado por la curvas: xy = 1 ; x = 2 ; y = −1 ; y = 2x + 1 Sobre la hipébola utilice multiplicadores de Lagrange y sobre el resto del borde reduzca a una variable. Además, para los puntos que surjan de su análisis, utilice (grafique, explique) curvas de nivel de f para clasificarlos como máximos o mı́nimos relativos de f . 2) 6xy dx + (4y + 9x2 ) dy = 0 a) Hallar la solución general de: b) Dada la EDO lineal homogénea: y 00 − 3y 0 + 2y = 0 determine los valores de la constante k de modo que y = ekx sea solución particular. A partir de dichos valores escriba la solución general de la homogénea Considere ahora la EDO lineal inhomogénea: y 00 − 3y 0 + 2y = xe2x . Determine valores de las constantes A, B de modo que y = (Ax + Bx2 )e2x sea solución particular. Escriba la solución general de la inhomogénea. 3) a) Sean: z + x ln y = yez−x ; Qo (1, 1, 1). Mostrar mediante el TFI que la ecuación dada define implı́citamente x = f (y, z) localmente en Qo y deducir los valores de fy0 (1, 1) y fz0 (1, 1) ¿ Puede afirmarse lo mismo para z = f (x, y) localmente en Qo en base al TFI? b) Mediante el TFI mostrar que el sistema: y+z + y2z + 3 = 0 x xz + 5 = y 2 define implı́citamente x = f (y) ; z = g(y) en un entorno de (1, 2, −1) Enunciar hipótesis y conclusión de TFI en este caso. Deducir expresiones para f 0 (2) ; g 0 (2)