Aplicación de la Identidad de Parseval en el cálculo de la potencia de señales periódicas Agustín Losi Estudiante de Ingeniería Electrónica Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina alos.19502@gmail.com Agosto 2021 Resumen: En este informe se habla primeramente de la potencia en señales, las ecuaciones necesarias para su obtención, y se introduce la identidad de Parseval. Luego se menciona la aplicación de dicha identidad en el cálculo de la potencia de señales periódicas y se presentan los distintos métodos para hallar los coeficientes de Fourier que se requieren al utilizarla. Además se realiza un ejemplo, empleando los coeficientes trigonométricos y los complejos. Por último, se plasman las conclusiones alcanzadas por este trabajo y se citan las referencias a las que se recurrió para su elaboración. Palabras clave: identidad de Parseval, señal, potencia. I. INTRODUCCIÓN La identidad de Parseval, también conocida como igualdad de Parseval o relación de Parseval, es en el campo de las matemáticas, una generalización del afamado Teorema de Pitágoras. Esta identidad tiene diversas y contundentes aplicaciones en distintas áreas, como por ejemplo en las series de Fourier y en el análisis de señales periódicas. Resulta importante destacar que, si bien su demostración no se presenta en este trabajo, es posible realizarla mediante el uso del Teorema de Riesz-Fischer como se muestra en [1]. Una señal se puede definir como todo aquello que contiene información acerca de la naturaleza o comportamiento de un fenómeno físico, y que puede ser representada con una función matemática de una o más variables independientes [7]. Si se desea realizar el análisis de una señal periódica, puede resultar interesante calcular su potencia, y es en este cálculo en donde se puede aplicar la relación de Parseval para vincular la potencia total de la señal con la suma de las potencias de sus componentes espectrales o armónicas [3], [5]. II. DESARROLLO DEL ARTÍCULO A. Potencia en señales: Cuando se estudia de manera detallada las características de una señal, resalta la gran importancia de conocer el valor de su potencia media para: poder utilizarla en otros cálculos, clasificarla en una señal de potencia o de energía, o simplemente saber cuál es su energía por unidad de tiempo [8]. Para obtener este resultado, la potencia queda definida de la siguiente manera, en donde P es el valor de la potencia, R es un rango de tiempo y x(t) es la función (dependiente de t) que representa a la señal. Definición 1: 𝑅 |𝑥(𝑡)|2 P = lim ∫−𝑅 𝑅→∞ 𝑅 𝑑𝑡 En el caso particular de que la señal que se analiza tenga un período fundamental, el cálculo anterior se reduce a esta otra manera, tomando el valor de T como período [6]. Definición 2: 1 𝑇 P = 𝑇 ∫0 |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 Página 1 de 4 B. Relación de la Potencia con la identidad de Parseval: Si bien la potencia para señales periódicas se puede calcular utilizando la definición 2, en algunos casos resulta más eficiente efectuar las cuentas aplicando el Teorema de Parseval. 1 𝑇 ∫ |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇 0 Teorema de Parseval: 1 2 = ∑+∞ 𝑛=−∞|𝛾𝑛 | 𝑇 ∫ |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = 𝑇 0 𝑎0 2 4 o 1 2 2 + 2 ∑+∞ 𝑛=1(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) De esta manera se obtiene una relación directa entre la potencia total de una señal periódica y la potencia de cada una de sus componentes armónicas [2]. C. Obtención de los coeficientes de Fourier: Para poder emplear la identidad de Parseval en el cálculo de la potencia de señales periódicas, es necesario saber o encontrar de antemano los coeficientes de Fourier (ya sean los trigonométricos o los complejos). Es por esto que nos valemos de las siguientes definiciones para hallar los valores de los mismos, sabiendo que L es la mitad del período T [2], [6]. 𝑇 1 Definición 3: 𝑎0 = 𝐿 ∫0 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 Definición 5: 𝑏𝑛 = 𝐿 ∫0 𝑥(𝑡)sen( Definición 7: 𝛾𝑛 = 𝑇 1 𝑎𝑛 −𝑖𝑏𝑛 2 1 1 𝑛𝜋𝑡 𝐿 )𝑑𝑡 𝑇 𝛾0 = Definición 6: = 𝑇 ∫0 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑖 𝑛𝜋𝑡 𝐿 𝑑𝑡 y 𝑇 𝑎𝑛 = 𝐿 ∫0 𝑥(𝑡)cos( Definición 4: 𝑎0 2 1 𝑛𝜋𝑡 𝐿 )𝑑𝑡 𝑇 = 𝑇 ∫0 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 _ 𝛾𝑛 = 𝛾−𝑛 También es posible encontrar estos coeficientes por inspección (sin tener que utilizar ninguna de las definiciones 3-7) si la función ya está representada de forma similar a la de una serie de Fourier. Esto se muestra más adelante en el ejemplo. D. Ejemplo: Consideraremos la siguiente señal periódica para ejemplificar el cálculo de la potencia. 𝜋𝑡 𝜋𝑡 2𝜋𝑡 𝑥(𝑡) = 1 + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) + 2 cos ( 𝐿 ) + cos ( 𝐿 𝜋 + 4) (1) Si se quisiera resolver utilizando la definición 2, el cálculo quedaría de la siguiente manera: 1 𝑇 𝜋𝑡 𝜋𝑡 𝑃 = 𝑇 ∫0 |1 + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) + 2 cos ( 𝐿 ) + cos ( 2𝜋𝑡 𝐿 𝜋 2 + 4 )| 𝑑𝑡 (2) Sin embargo, aquí resulta más óptimo aplicar la identidad de Parseval para evitar la resolución del cuadrado del módulo de la función. Para esto, es conveniente separar la fase interna del último coseno llegando a la siguiente expresión. 𝜋𝑡 𝜋𝑡 𝑥(𝑡) = 1 + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝐿 ) + 2 cos ( 𝐿 ) + 2𝜋𝑡 √2 cos ( 𝐿 ) 2 Página 2 de 4 − 2𝜋𝑡 √2 sen ( 𝐿 ) 2 (3) Teniendo la señal representada de esta manera, se pueden determinar fácilmente los coeficientes de Fourier por inspección. 𝑎0 = 2 ; 𝑎1 = 2 ; 𝑎2 = √2 2 ; 𝑏1 = 1 ; 𝑏2 = − √2 2 Ahora resulta sencillo aplicar el teorema de Parseval para calcular la potencia, reemplazando por los coeficientes obtenidos anteriormente. 𝑃= 22 1 √2 2 + 2 (22 + 12 + ( 2 ) + (− 4 2 √2 ) 2 )=4 (4) Partiendo de este resultado se podría calcular adicionalmente cuánto aporta el primer armónico del coseno a la potencia total de la señal de la siguiente manera, considerando a la potencia del a 1 como a12/2. 𝑃𝑎1 𝑃 22 2 ∗ 100% = 4 ∗ 100% = 50% (5) Por otra parte, se podría realizar la misma cuenta pero con los coeficientes complejos de Fourier, transformando la señal x(t) (1) al descomponer las funciones trigonométricas en exponenciales complejas. 𝑖𝜋𝑡 −𝑖𝜋𝑡 𝑒 𝐿 −𝑒 𝐿 𝑥(𝑡) = 1 + ( 2𝑖 𝑖𝜋𝑡 )+ 2( −𝑖𝜋𝑡 𝑒 𝐿 +𝑒 𝐿 2 𝑒 𝑖( )+( 2𝜋𝑡 𝜋 2𝜋𝑡 𝜋 + ) −𝑖( + ) 𝐿 4 +𝑒 𝐿 4 2 ) (6) 𝑖2𝜋𝑡 √2 𝐿 ) 𝑒 4 (7) Resolviendo nos queda: √2 𝑥(𝑡) = ( 4 − 𝑖 −𝑖2𝜋𝑡 √2 𝐿 ) 𝑒 4 𝑖 + (1 + 2) 𝑒 −𝑖𝜋𝑡 𝐿 𝑖 + 1 + (1 − 2) 𝑒 𝑖𝜋𝑡 𝐿 √2 +(4 +𝑖 De esta manera se pueden encontrar sin dificultar los coeficientes complejos de Fourier por inspección, quedando de la siguiente manera: √2 𝛾−2 = ( 4 − 𝑖 √2 ) 4 𝑖 𝑖 √2 ; 𝛾−1 = (1 + 2) ; 𝛾0 = 1 ; 𝛾1 = (1 − 2) ; 𝛾2 = ( 4 + 𝑖 √2 ) 4 Volviendo a calcular la potencia con Parseval y reemplazando por los coeficientes, obtenemos: √2 𝑃 = |( 4 − 𝑖 2 √2 )| 4 𝑖 2 𝑖 2 √2 + |(1 + 2)| + |1|2 + |(1 − 2)| + |( 4 + 𝑖 2 √2 )| 4 (8) Resolviendo los cuadrados de los módulos se llega a: 1 5 5 1 𝑃 =4+4+1+4+4=4 Haciendo esto, comprobamos que el resultado de la ecuación (4) y el de la ecuación (9) son iguales [4]. Página 3 de 4 (9) CONCLUSIONES Recapitulando los temas tratados en este informe, se puede partir de que la potencia es una característica fundamental en el análisis de señales y que nos puede brindar datos de gran relevancia sobre el fenómeno en estudio. Pero para poder calcularla, no siempre resulta sencillo utilizar la definición 2. Es por esto que, en los casos en donde la señal tiene un período fundamental que se repite a lo largo de su dominio, la identidad de Parseval nos es de gran utilidad para poder expresar la integral del cuadrado del módulo de la señal (2) como una sumatoria que involucra los coeficientes de Fourier al cuadrado (4), (8). Otro aspecto que pudo ser comprobado en este trabajo (si bien ya era presupuesto como verdadero) es que el cálculo de la potencia al aplicar el teorema de Parseval concluye al mismo valor tanto con los coeficientes complejos como con los trigonométricos. REFERENCIAS [1] LinkFang, Identidad de Parseval, [internet], disponible en: https://es.linkfang.org/wiki/Identidad_de_Parseval , [acceso el 5 de agosto de 2021]. [2] Glyn James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002. [3] Blogspot, Teorema de Parseval, [internet], disponible en: http://teoremaparseval.blogspot.com/2013/04/teorema-de-parseval.html , [acceso el 5 de agosto de 2021]. [4] YouTube, 7.3 Teorema de Parseval y espectro de potencia, Pedro Antonio Teppa Garran, [internet], disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=eWJCKNSYeR0 , [acceso el 5 de agosto de 2021]. [5] Wordpress, Capítulo 2: Análisis espectral de señales, [internet], disponible en: https://maixx.files.wordpress.com/2011/02/sce_cap02_v01.pdf , [acceso el 5 de agosto de 2021]. [6] Camilo José Carrillo Gonzáles, Fundamentos del análisis de Fourier, Departamento de Enxeñería Eléctrica - Escola Técnica Superior de Enxeñeiros Industriáis - Universidade de Vigo, 2003. [7] Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. Universidad de Vigo, Tema I: Señales y Sistemas, [en línea], disponible en: http://enrique.sanchez.webs.uvigo.es/PDFs/125_TemaI-Senales.pdf , [consultada el 5 de agosto de 2021]. [8] Wikiversity, Caracterización de señales, [internet], disponible en: https://es.wikiversity.org/wiki/Caracterizaci%C3%B3n_de_se%C3%B1ales , [acceso el 5 de agosto de 2021]. Página 4 de 4
