Subido por Sebastian Tacuri

Trabajo1 parte b

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𝑇 𝑇
P1. Demostrar que si 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) son continuas por tramos en el intervalo (− 2 , 2) y periódicas de
período 𝑇, entonces la función
𝑇
1 ⁄2
ℎ(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏
𝑇 −𝑇⁄
2
es continua y con período 𝑇
P2. Encontrar la serie de Fourier de la función de la figura, definida por 𝑓(𝑡) = 𝑒 𝑡 en el intervalo
(−𝜋, 𝜋) y 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
Respuesta:
Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20
primeros coeficientes diferentes de cero.
P3. Aproximar la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 en el intervalo (−𝜋, 𝜋) mediante una serie infinita de Fourier de 5
términos que sean diferentes de cero. Calcular también el error cuadrático medio en la
aproximación.
Respuesta:
P4. Si 𝑓(𝑡) es una función periódica integrable, con período 𝑇, demostrar que
∞
1 𝑇
𝑇
𝑏𝑛
∫ 𝑓(𝑡) ( − 𝑡) 𝑑𝑡 = ∑
𝑇 0
2
𝑛𝜔𝑜
𝑛=1
Donde 𝑏𝑛 es un coeficiente de Fourier de 𝑓(𝑡) y 𝜔𝑜 =
2𝜋
𝑇
𝑇
Sugerencia: desarrolle el término (2 − 𝑡) en series de Fourier para 0 < 𝑡 < 𝑇
P5. Use el teorema de Parseval para probar:
∞
1
𝜋2
∑
=
(2𝑛 − 1)2
8
𝑛=1
𝑇 𝑇
P6. SI 𝑓(𝑡) es una función periódica con período 𝑇 definida en (− 2 , 2) cuya serie de Fourier es
∞
𝑓(𝑡) = 𝑎𝑜 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑜 𝑡) + 𝑏𝑛 𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜔𝑜 𝑡)
𝑛=1
Donde 𝜔𝑜 =
2𝜋
𝑇
Si 𝑓𝑝 (𝑡) y 𝑓𝑖 (𝑡) son las componentes par e impar de 𝑓(𝑡), demostrar que las series de Fourier de
𝑓𝑝 (𝑡) y 𝑓𝑖 (𝑡) son respectivamente:
∞
𝑓𝑝 (𝑡) = 𝑎𝑜 + ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑜 𝑡)
𝑛=1
∞
𝑓𝑖 (𝑡) = ∑ 𝑏𝑛 𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜔𝑜 𝑡)
𝑛=1
P7 Utilizar diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función 𝑓(𝑡) definida por
𝑓(𝑡) = 𝑡 para (−𝜋, 𝜋) y 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20
primeros coeficientes diferentes de cero.
P8 Utilizar diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier de la función de la onda
sinusoide rectificada 𝑓(𝑡) = |𝐴𝑆𝑖𝑛(𝜔𝑜 𝑡)|
Mostrar las gráficas de la aproximación de 𝑓(𝑡) (en un programa como Matlab) con: 5, 10, 15 y 20
primeros coeficientes diferentes de cero.
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