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Tabla de integrales y formas de integrar
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Tabla de integrales inmediatas.
función
derivada
integral
dominio
𝒂
0
∫ 𝑎 𝑑𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝐶
−∞ < 𝑎 < +∞
𝒙𝒏
𝑛 ∗ 𝑥 𝑛−1
𝒂𝒙
𝒙−𝟏 =
√𝒙
𝑎
𝟏
𝒙
∫ 𝑎 𝑑𝑎 = 𝑎
𝑥2
1
2√𝑥
𝑚 𝑚 −1
𝑥𝑛
𝑛
1
√𝒙𝒎
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙)
𝑥 ln (𝑎)
1
𝒍𝒏 (𝒙)
+𝐶
∫ 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = xln (𝑥) − 𝑥 + 𝐶
𝑥
𝒆𝒂𝒙
2
+ 𝐶 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ −1}
𝑛+1
1
∫ 𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶
𝑥
2
∫ √𝑥 𝑑𝑥 = √𝑥 3 + 𝐶
3
𝑚
𝑛
+1
∫ 𝑛√ 𝑥𝑚 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛 + 𝐶
𝑚+𝑛
𝑥
∫ 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) −
+𝐶
ln(𝑎)
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
−1
𝒏
𝑥 𝑛+1
𝑥2
𝑒𝑥
∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = −cos (𝑥) + 𝐶
𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)
∫ 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = −ln ( |cos (𝑥)|) + 𝐶
𝒄𝒔𝒄 (𝒙)
−𝑐𝑠𝑐(𝑥)cot (𝑥)
∫ 𝑐𝑠𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = −ln ( |csc(𝑥) + cot (𝑥) |) + 𝐶
𝒔𝒆𝒏 𝟐(𝒙)
2𝑠𝑒𝑛 (𝑥) cos (𝑥)
𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝒙)
2tan(𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)
∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥 +
−2𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)cot(𝑥)
∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −
𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
−𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝒄𝒐𝒕 (𝒙)
−𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)
𝒕𝒂𝒏 (𝒙)
𝒔𝒆𝒄 (𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙)
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 = sen (𝑥) + 𝐶
∫ 𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = ln (|sen (𝑥) |) + 𝐶
∫ 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = ln (|sec(𝑥) + tan (𝑥) |) + 𝐶
𝑠𝑒𝑐(𝑥)tan (𝑥)
∫ 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 =
−𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 =
𝒄𝒐𝒕 𝟐(𝒙)
−2𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)cot(𝑥)
𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙)
2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)tan(𝑥)
𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝒙)
𝒔𝒆𝒏 −𝟏(𝒙)
𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝒙)
𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒙)
1
√1 − 𝑥 2
−1
√1 − 𝑥 2
𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1}
1+
𝑥2
2
𝑥
2
−
+
sen(2𝑎𝑥 )
4𝑎
sen(2𝑎𝑥)
1
𝑎
4𝑎
+𝐶
+𝐶
tan (𝑎𝑥) + 𝐶
∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥 − cot(𝑥) + 𝐶
𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1}
1
𝑥
∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝑎
1
𝑎
cot(𝑎𝑥) + 𝐶
tan (𝑎𝑥) + 𝐶
−∞ < 𝑎 < +∞
− {0}
[0 , +∞)
𝑛
𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑚 √𝑥 𝑒𝑠
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.
[0 , +∞)
[0 , +∞)
−∞ < 𝑥 < +∞
−∞ < 𝑥 < +∞
𝜋
−∞ < 𝑥 < +∞ ; { 𝑥 ≠ + 𝜋𝑛}
2
−∞ < 𝑥 < +∞ ; {𝑥 ≠ 𝜋𝑛}
− {𝑥 ≠ 𝜋𝑛}
− {𝑥 ≠
𝜋
+ 𝜋𝑛}
− {𝑥 ≠
𝜋
+ 𝜋𝑛}
2
2
− {𝑥 ≠ 𝜋𝑛}
− {𝑥 ≠ 𝜋𝑛}
− {𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝜋𝑛}
∫ 𝑠𝑒𝑛 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 −1 (𝑥) + √1 − 𝑥 2 + 𝐶
−1 ≤ 𝑥 ≤ +1
1
∫ 𝑡𝑎𝑛 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑡𝑎𝑛 −1(𝑥) − ln (1 + 𝑥 2 ) + 𝐶
2
−∞ < 𝑥 < +∞
∫ 𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑥) − √1 − 𝑥 2 + 𝐶
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−1 ≤ 𝑥 ≤ +1
𝒄𝒐𝒕 −𝟏 (𝒙)
𝒄𝒔𝒄 −𝟏 (𝒙)
𝒔𝒆𝒄 −𝟏 (𝒙)


1
∫ 𝑐𝑜𝑡 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑡 −1(𝑥) − ln (1 + 𝑥 2) + 𝐶
2
−1
−1
𝑥√𝑥 2 − 1
1
1+
𝑥√𝑥 2 − 1
𝑥2
𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1,0}
−∞ < 𝑥 < +∞
∫ 𝑐𝑠𝑐 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑠𝑐 −1(𝑥) − √1 − 𝑥2 + 𝐶
𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1,0}
(−∞, −1] ∪ [1, +∞)
∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑐− 1( 𝑥) − 𝑙𝑛 | 𝑥 + √𝑥2 − 1 | + 𝐶
(−∞, −1] ∪ [1, +∞)
2
No toda función puede integrarse, ya que estas no poseen anti derivada como lo es el caso de ‫ 𝑥 𝑒 ׬‬.
No son polinomios funciones de la forma
𝑎
𝑥𝑛
𝑜 √𝑥 𝑛 ± 𝑎.
Otras formas de integrar
Integración por partes.
∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖
𝑢 → L.I.A.T.E
𝑑𝑣 → fácil de integrar
Logaritmos Inversa trigonométrica Algebraica (polinomio) Trigonométrica Exponencial
Integración de potencias de funciones trigonométricas.
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 (𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝒏(𝒙)𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) = 𝟏
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒎 (𝒙)𝒕𝒂𝒏𝒏 (𝒙)𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝒙) + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙)


𝑚: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
→ Se usa la sustitución 𝑢 = cos(𝑥)
→ Se usa la sustitución 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠→ Se usa
𝑚: 𝑝𝑎𝑟
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) =
2(
𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
1+cos (2𝑥)
2
1−cos (2𝑥)
2
→ Se usa la sustitución 𝑢 = tan (𝑥)
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
→ Se usa la sustitución 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
Cuando todos son impares (primer caso), se escoge la menor potencia para hacer la sustitución.
Cuando ambas son posibles (segundo caso), se escoge la mayor potencia. En caso de que <𝑚> sea impar y <𝑛>
impar, no se puede realizar ninguna de las sustituciones.
𝒙
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐
𝒙
√𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
Sustitución trigonométrica
𝒂
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𝒙
𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽
√𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 = √𝒂𝟐 − (𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐
=
√𝒂𝟐(𝟏 −
𝒂√𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
=
= 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽)
𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽𝒅𝜽
√𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 = √𝒂𝟐 + (𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽) 𝟐
=
√𝒂𝟐(𝟏 +
𝒂√𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽
=
= 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽
𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽)
𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽𝒕𝒂𝒏𝜽𝒅𝜽
√𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = √(𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽)𝟐 − 𝒂𝟐
= √𝒂𝟐(𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 − 𝟏)
= 𝒂√𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽
= 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽
Tips e integrales para tener en cuenta
1
∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)
𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥)
∫ sec(𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
∫
∫
1
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑙𝑛 (|𝑎𝑥 + 𝑏|)
∫
1
−1
1
𝑑𝑥 =
∗
(𝑎𝑥 + 𝑏) 2
𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏
∫
∫ csc(𝑥 ) 𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐(𝑥)
∫
1
𝑥√𝑥 2 − 𝑎2
√𝑎2
𝑥2
1
1
−
+
𝑥2
𝑎2
𝑑𝑥 =
|𝑥|
𝑠𝑒𝑐 −1 ቈ ቉
𝑎
𝑎
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 −1 ቂ ቃ
𝑎
𝑑𝑥 =
1
𝑥
𝑡𝑎𝑛 −1 ቂ ቃ
𝑎
𝑎
Descomposición en fracciones parciales
Lineales → (𝒎𝒙 + 𝒃) 𝒏 ; Se hacen <n> fracciones parciales de la forma
𝐴𝑛
.
(𝑚𝑥+𝑏) 𝑛
C uadráticas no factorizables; el discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo, se integran de la forma


𝐴𝑛 𝑥+𝐵
(𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑚
El número de constantes que se deben determinar es igual al grado del denominador.
Para la función irracional impropia, donde el grado del denominador es menor o igual, se hace primero la
división sintética antes de descomponer en fracciones parciales.
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