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autor
de
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©
Oxford
University
publicación
en
P256:
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todos
los
P256:
derechos.
No
se
podrá
reproducir
de
esta
publicación,
recuperación
cualquier
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de
datos
University
por
la
Press
ley,
organización
Cualquier
consulta
margen
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se
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tenga
ilustraciones,
infor máticos,
para
o
distintos
requisitos
del
Diploma
de
conducta
improcedente
revistas.
incluyen
●
evaluación
misma
Otras
manera
de
medios
del
electrónicos
trabajo
correo
de
cualquier
salir
acción
beneciado
consecuencias
alumno
(por
autorizado
indebida
a
documentación
sobre
los
ejemplo,
la
durante
que
sala
un
le
permita
injustamente,
de
resultados
introducir
examen,
examen
relacionada
o
y
a
un
que
de
material
conducta
falsicar
con
CAS).
v
Capí tulo
6
Patrones,
progresiones
Contenidos
y
Capí tulo
1
Funciones
series
6.1
1.1
Introducción
1.2
El
dominio
función
1.3
en
Notación
y
a
las
el
un
funciones
recorrido
plano
de
car tesiano
14
1.5
Funciones
inversas
16
6.2
Progresiónes
aritméticas
164
6.3
Progresiones
geométricas
167
6.4
La
notación
las
series
Funciones
funciones
(Σ)
y
y
170
6.5
Series
aritméticas
172
Series
geométricas
175
6.7
Series
convergentes
y
sumas
de
términos
178
ecuaciones
6.8
Aplicaciones
de
patrones
aritméticos
32
y
2.1
Resolución
de
2.2
La
cuadrática
ecuaciones
cuadráticas
geométricos
El
triángulo
ecuaciones
2.4
Grácos
2.5
Aplicaciones
de
cuadráticas
funciones
las
Pascal
y
el
desarrollo
binomio
184
41
cuadráticas
43
Capí tulo
de
de
38
del
de
181
34
6.9
fórmula
Raíces
sumatoria
21
cuadráticas
2.3
de
6.6
innitos
2
162
8
compuestas
Capí tulo
progresiones
13
Funciones
de
y
una
funcional
Transformación
Patrones
4
1.4
1.6
160
2
7
Lími tes
y
derivadas
194
funciones
cuadráticas
7.1
Límites
7.2
La
y
convergencia
196
53
n
Capítulo
3
Probabilidad
3.1
Deniciones
3.2
Diagramas
7.3
Más
7.4
La
7.5
Razones
Diagramas
reglas
7.6
La
7.7
Más
regla
la
regla
Venn
del
del
3.4
Probabilidad
3.5
Diagramas
4
espacio
condicionada
árbol
Funciones
de
Resolución
4.3
de
exponenciales
107
109
exponenciales
Propiedades
de
4.6
Propiedades
Ecuaciones
4.8
Aplicaciones
y
los
logaritmos
logarítmicas
4.7
de
los
logaritmos
logarítmicas
Capí tulo
5
de
y
las
orden
una
y
movimientos
racionales
y
221
sus
grácos
230
sobre
extremos
y
problemas
optimización
Capí tulo
8.1
8
240
Estadística
Análisis
descriptiva
unidimensional
8.2
Presentación
8.3
Medidas
de
posición
de
dispersión
8.4
Medidas
8.5
Frecuencia
8.6
Varianza
y
Capí tulo
9
de
los
datos
257
central
260
267
acumulada
desviación
254
256
271
típica
127
9.1
9.2
Más
131
9.3
Área
140
Integración
Antiderivadas
sobre
e
9.4
Teorema
9.5
Área
276
la
integral
Volumen
racionales
147
dos
de
indenida
indenidas
denidas
fundamental
Integrales
y
290
integrales
entre
9.6
lineal
y
integrales
9.7
Funciones
208
derivadas
recta
142
5.3
y
215
cambio
derivada
143
Recíprocos
La
cadena
superior
de
recíproca
5.1
5.2
la
122
funciones
logarítmicas
Funciones
función
115
118
exponenciales
exponenciales
vi
ecuaciones
exponenciales
Funciones
de
y
Funciones
4.4
derivación
200
89
103
4.5
x
85
probabilidad
100
4.2
de
77
logarí tmicas
Potencias
derivada
muestral
producto
de
4.1
la
68
de
Capí tulo
de
y
64
de
sobre
y
tangente
62
de
3.3
recta
del
cálculo
cur vas
otros
con
problemas
297
302
309
313
revolución
denidas
291
318
movimiento
321
Capí tulo
10.1
10
Análisis
Diagramas
de
ajuste
10.2
La
10.3
Regresión
recta
10.4
Cómo
Capí tulo
11.1
de
de
la
339
cuadrados
correlación
del
362
triángulo
rectángulo
11.2
Aplicaciones
triángulo
11.3
la
trigonometría
de
los
ejes
de
Capí tulo
12
Vectores
12.1
Vectores:
12.2
Suma
y
12.3
Producto
12.4
Ecuación
12.5
Aplicaciones
Capí tulo
13
básicos
de
vectores
escalar
de
los
Utilización
del
13.2
Resolución
13.3
Identidades
13.4
Representación
recta
círculo
de
círculo
de
de
ecuaciones
radio
unidad
gráca
de
Traslaciones
Combinación
con
13.7
y
las
estiramientos
de
Modelizaciones
seno
seno
que
y
y
coseno
utilizan
14
Análisis
con
Grácos
hallar
de
los
hallar
la
1.5
Resolución
1.6
Grácos
forma
trigonométricas
14.1
Derivadas
14.2
Más
de
trigonométricas
práctica
14.3
Integral
14.4
Un
del
repaso
lineal
con
1.7
Resolución
Cómo
seno
al
y
tema
el
coseno
del
1.9
Grácos
máximo
Cómo
1.12
Cómo
462
1.13
Grácos
1.14
Grados
469
1.15
Grácos
1.16
Resolución
478
510
de
de
Evaluación
505
lineales
572
572
pendiente
sistemas
de
una
recta
de
ecuaciones
de
ecuaciones
cuadráticas
ecuaciones
un
punto
de
y
una
de
hallar
combina
asíntota
la
función
funciones
horizontal
una
inversa
588
trigonométricas
590
regresión
y
que
exponencial
Uso
de
la
Uso
de
transformaciones
1.19
Uso
sinusoidal
2.1
Cómo
2.2
Dibujo
de
máximos
función
deslizadores
función
cuadrática
para
la
pendiente
2.3
Puntos
Cómo
2.5
Grácos
592
594
modelizar
596
en
punto
2.4
591
para
exponencial
hallar
585
logarítmicas
ecuación
cuadrática
una
584
589
funciones
de
583
585
radianes
de
578
punto
logaritmos
1.17
un
o
exponenciales
1.18
una
cuadráticas
mínimo
577
579
funciones
hallar
de
573
574
sistemas
local
1.10
movimiento
570
ceros
funciones
hallar
1.11
500
gráca
576
1.8
496
derivadas
de
de
456
funciones
funciones
de
operaciones
pantalla
lineales
494
las
y
568
gráca
454
funciones
exploración
de
Cómo
modelizar
Capí tulo
la
1.1
Cómo
483
562
562
564
Problemas
Resolución
las
coseno
exploración
tema
de
1.3
las
557
564
del
1.4
transformaciones
funciones
funciones
de
la
556
inter na
académica
calculadora
de
556
exploración
evaluación
evalúa
407
funciones
trigonométricas
se
17
la
de
420
usando
trigonométricas
la
de
520
exploración
1.2
448
funciones
13.6
con
radio
circulares
13.5
Capí tulo
446
unidad
el
389
391
437
circulares
La
Comienzo
430
vectores
Funciones
13.1
la
16
16.7
426
vectorial
de
538
Registros
404
conceptos
diferencia
normal
Elección
380
circulares
distribución
16.5
386
sectores
La
16.6
seno
y
15.3
373
coseno
triángulo
527
Cómo
del
arcos
binomial
Capí tulo
aleatorias
Probidad
del
un
distribución
16.3
teorema
de
Variables
La
16.4
teorema
Área
15.1
369
El
518
15.2
Acerca
El
Radianes,
Distri buciones
Criterios
11.4
11.6
15
probabi lidad
16.1
11.5
11.7
de
16.2
coordenadas
trigonometría
Capí tulo
363
del
rectángulo
Utilización
en
de
345
349
Trigonometría
Trigonometría
332
334
óptimo
mínimos
medimos
11
bidimensional
dispersión
598
la
hallar
de
tangente
una
y
a
una
cur va
mínimos
derivada
derivadas
numérica
numéricas
599
600
602
603
vii
2.6
Uso
de
3.1
Cómo
la
derivada
hallar
el
segunda
valor
de
una
3.2
Cómo
Cálculo
hallar
el
área
bajo
del
producto
del
ángulo
4.2
Cálculo
5.1
Ingreso
de
listas
5.2
Ingreso
de
datos
en
cur va
escalar
entre
de
la
dos
vectores
datos
una
tabla
Dibujo
a
5.4
Dibujo
a
5.5
5.6
de
a
Dibujo
de
par tir
5.8
Cálculo
a
par tir
de
Cálculo
Uso
5.11
Cómo
5.12
Cálculo
de
5.13
Cálculo
de
de
5.14
del
los
usar
las
5.15
valores
Cálculo
de
Diagramas
de
tabla
de
Capí tulo
18
de
de
caja
y
rango
frecuencias
intercuar til
estadísticos
C
binomiales
probabilidades
conociendo
de
X
valores
de
de
Operaciones
Simplicación
de
X
2.1
Desarrollo
reducción
de
números
y
a
la
unidad
648
cientíca
650
651
de
2.2
Fórmulas
2.3
Resolución
2.4
Sistemas
dos
paréntesis
y
657
662
de
de
ecuaciones
ecuaciones
lineales
lineales
2.5
Expresiones
2.6
Resolución
666
exponenciales
de
inecuaciones
2.7
Valor
616
2.8
Suma
absoluto
617
3.1
El
3.2
Transformaciones
618
3.3
Congr uencia
619
3.4
Semejanza
620
3.5
Puntos,
rectas,
planos
planas
(bidimensionales)
resta
664
con
incógnitas
y
645
646
estimación
factorización
614
667
668
669
de
fracciones
algebraicas
670
teorema
de
Pitágoras
673
geométricas
674
676
678
y
ángulos
682
621
3.6
Figuras
622
3.7
El
propiedades
684
624
3.8
Perímetro
685
conociendo
dispersión
y
usando
dispersión
usando
Área
3.10
Volúmenes
627
3.11
Geometría
4.1
Grácos
629
4.2
Análisis
de
632
633
de
expresiones
primos,
deniciones
3.9
una
previos
círculo:
625
una
estadística
raíces
Fracciones
Notación
Conjuntos
643
de
683
r
1.1
1.4
1.10
1.11
a
probabilidades
1.2
Números
610
612
estadísticos
grácos
1.3
Conjuntos
Redondeo
bigotes
estadísticos
Conocimientos
contienen
1.8
615
640
proporción
1.9
y
frecuencias
de
parámetros
datos
Diagramas
página
que
686
cuer pos
Capí tulo
y
y
áreas
de
la
supercie
tridimensionales
688
car tesiana
692
estadísticos
de
datos
699
703
19
708
Práctica
para
la
pr ueba
1
708
Práctica
para
la
pr ueba
2
712
634
divisores
múltiplos
viii
caja
probabilidades
página
5.16
tabla
de
y
método
607
frecuencias
lista
parámetros
n
los
una
de
frecuencias
Porcentajes
608
frecuencias
lista
una
5.9
de
parámetros
una
5.10
de
diagrama
una
de
tabla
diagrama
un
de
de
El
613
histograma
un
de
lista
una
par tir
de
Cálculo
par tir
un
de
bigotes
histograma
una
de
par tir
Razón
1.7
612
un
de
Dibujo
a
5.7
de
par tir
1.6
606
de
frecuencias
5.3
1.5
integral
denida
4.1
605
y
Respuestas
716
Índice
784
637
y
decimales
638
temático
Acerca
Este
libro
cubre
programa
capítulo
de
del
de
completamente
Matemáticas
está
lección
libro
dividido
con
las
en
el
Nivel
actual
Medio.
secciones
siguientes
en
para
Cada
formato
características:
Sugerencias
Consejos
Teoría
exploraciones
están
examinador
Curiosidades
Exploración
lo
en
sí
poderoso
misma
utilidad
en
otras
reconocida
resultan
y
como
desarrollaron
ha
cesado
instr umento
que
de
disciplinas.
las
de
un
valioso,
objeto
enseñanza
5000
desde
y
posee
estudio
Los
matemáticas
aproximadamente
no
libro
del
y
por
como
y
su
nuevo
de
través
cada
su
profesor
lo
guiará
a
Donde
en
sus
así
el
especial
de
los
con
contenidos
evaluación
en
las
Laurie
un
de
equipo
en
pr ueba
2
de
la
de
el
se
y
equipo
a
la
vida
El
Se
de
incluye
Fensom
35
ha
de
años.
Se
en
hojas
que
integra
que
los
el
más
1
talleres
y
y
revisión
Nota:
como
ser
los
enseñado
IB
en
la
el
IB,
Kemp
ha
del
director
y
Se
un
página
trabajar
existe
orden
se
muestra
En
el
según
también
alter nativo.
mediante
TI-Nspire.
de
de
el
la
uso
sitio
ampliación
ejercicios
matemática
El
enfoque
recursos
se
para
ha
utilizado
útiles
de
20
y
años.
Es
de
web
y
es
como,
ejercicios
un
por
resueltos.
campo
creciente
contextualizado
tecnológicos
adapten
a
permite
contextos
toda
la
de
vida.
utilizado
los
el
en
alumnos
el
estilo
matemáticos.
estilo
los
a
formal
de
exámenes
prepararse
del
IB
También
para
se
ha
redacción
del
IB,
para
para
dichas
ayudar
a
pr uebas.
en
jefa
del
currículo
contenidos
y
de
además
talleres
es
en
responsable
línea
para
el
de
IB.
examinadora
examinadora
NM.
Es
Paul
La
para
el
Rondie
ha
enseñado
matemáticas
para
Programa
del
Diploma
en
el
Sevenoaks
además
como
durante
10
años.
Ha
sido
examinador
par te
jefe
de
equipo
de
examinadores
para
ambas
currículo.
cursos
durante
de
aproximadamente
como
escuela
coordinador
Nexus
enseñado
Diploma
del
área
de
en
Matemáticas
evaluación
inter na.
de
del
revisión
contenidos
de
Ha
y
moderador
integrado
currículo
talleres
NM
y
en
es
el
comité
responsable
línea
para
de
el
de
IB.
Inter national
para
desempeñó
en
matemáticas
durante
20
matemática
Inter national
examinador
se
una
y
Stevens
ha
enseñado
el
programa
de
Singapur.
Ruamr udee
Es
pueden
ejemplos
los
términos
empleado
alumno
matemáticas
trabajó
del
desempeñó
Programa
Es
sección
Conocimiento.
pero
per tinente,
alumnos
matemáticas
Edward
incluye
del
seguir
material
cambiante.
Jill
School
cada
la
problemas
del
podrían
enseñado
por
y
cotidiana,
examinadores
del
Matemáticas
se
en
El
aplicaciones
autores
Matemáticas
ha
matemáticas
integrados
alumno
los
educación
pr uebas
Jim
las
ha
matemáticos
libro
que
los
pr ueba
de
de
generar
el
y
del
y
comprensión.
Teoría
de
calculadora
School
responsable
diseñaron
dicultad,
análisis
y
las
amplia
desarrollo
resolución
Colorado,
principal
en
crítico.
Buchanan
Denver,
Se
la
en
de
inter na.
conceptos
preguntas
Acerca
de
los
la
pensamiento
identica
la
énfasis
de
aplicaciones
también
en
ética
propuesta
resulta
aprendizaje
comprensión
la
la
aquellas
(www
.oxfordsecondary
.com/ib-matematicas),
hace
desarrollo
través
el
posibilidad
la
área
y
la
ejemplo,
curriculares
todos
requisito
puesto
de
y
CPG.
de
capítulo
de
secuencia
solución
sumerios
aprendizaje
años
de
belleza
entonces.
alumno
actualizaciones
cober tura
a
de
una
avanzar
habilidades
la
y
las
las
para
aplicación
La
El
emplearse
claramente
nal
El
histórica
matemáticas
más
exámenes
Conocimiento
de
Las
de
inter nacionalismo,
al
del
puede
preguntas
conanza
para
del
las
práctica
reforzar
Investigaciones
que
la
School
de
Matemáticas
el
comité
de
en
en
años.
el
Tailandia.
NM
del
revisión
el
9
Trinity
años.
High
Es
y
líder
del
de
el
Programa
School,
examinadora
responsable
comité
para
de
talleres
revisión
responsable
College
del
en
Euless,
para
y
ha
del
Texas,
examen
Jill
de
en
durante
Matemáticas
formado
currículo.
el
Diploma
NM,
par te
fue
del
lectora
Cálculo
AP
Board.
1
Funciones
1
OBJETIVOS
DEL
2.1
Funciones:
2.2
Grácos
CAPÍTULO:
dominio,
de
recorrido;
funciones
funciones
hechos
a
mano
y
compuesta,
con
identidad
calculadora
de
e
inversa
pantalla
gráca
−1
(en
adelante,
CPG),
T
ransformaciones
2.3
de
transformaciones
Antes
Qué
de
sus
máximos
grácos,
y
mínimos,
traslaciones,
asíntotas,
simetrías,
el
graco
de
(x)
f
estiramientos
y
compuestas
comenzar
necesitamos
saber
Comprobemos
nuestras
habilidades
y
1
Situar
puntos
en
un
eje
1
a
Sitúe
estos
puntos
en
un
plano
cartesiano.
2
de
D
C
coordenadas
A(, 3),
B(5, −3),
C(4, 4),
D(−3, 2),
1
A
Por
ejemplo:
Situar
los
E(2, −3),
0
–2
puntos
A(4, 0),
1
2
3
4
2
–1
B(0, −3),
y
F(0, 3).
x
–1
b
Escriba
C(−, )
y
A
las
–2
1,5
D(2, )
coordenadas
B
de
–3
E
H
1
en
un
plano
puntos A
los
car tesiano.
–4
0,5
hasta
2
Sustituir
valores
en
una
H
expresión
Por
ejemplo:
B
D
C
0
Sabiendo que x = 2, y = 3
–2
x
–1
1
2
3
–0,5
y z = −5, hallar el valor de:
–1
2
a
4x
+
2y
y
b
−
G
3z
–1,5
a
4x
b
y
+
2y
=
4(2)
+
2(3)
=
8
+
6
=
14
F
2
3
3z
Resolver
Por
–2
2
−
=
(3)
−3(−5)
ecuaciones
ejemplo:
=
9
+
15
=
24
lineales
Resolver
6
−
4x
2
=
Sabiendo
que
x
=
4,
y
=
6
y
z
=
−10,
halle:
2x
0
+ 5
2
a
4x
+
3y
z
b
−
3y
c
y
−
z
d
yz
6
−
4x
=
0
,5
=
x
⇒
6
=
4x
3
⇒
x
=
Resuelva:
x
,5
y
a
3x
−
6
=
6
5x
b
+
7
=
−3
4
Usar
la
CPG
2
para
4
obtener
el
+ 6 = 11
c
6
gráco
4
Obtenga
el
gráco
de
estas
funciones
en
la
de
2
CPG
una
0
–6
Por
en
el
dominio
dado.
Después,
ejemplo:
–4
x
–2
2
4
aproximadamente
6
las
funciones
en
Representar
–4
a
y
=
2x
b
y
=
10
−
3,
−4
≤
x
≤
7
grácamente
–6
f (x)
=
2x
−
,
–6
≤
x
≤
productos
de
ejemplo:
−2
2
x
+
x
Funciones
−
x
≤
x
≤
3
5
Desarrollar
y
=
x
–
3,
–3
≤
(x
+
3)
(x
−
Desarrolle:
2)
a
(x
+
4)
(x
+
5)
c
(x
+
5)
(x
−
4)
2
=
≤
binomios
5
Por
2x,
2
c
Desarrollar
−
6
–8
5
dibuje
función
6
b
(x
−
1)
(x
−
3)
papel.
La
Estación
Espacial
Inter nacional
ha
estado
orbitando
la
Tierra
[
Estación
Espacial
Internacional
más
de
5
¿cuántos
espacial
se
sepa
veces
la
no
en
por
hemos
es
tan
qué
día
durante
visto?
difícil
Localizar
como
dirección
más
a
de
años;
simple
podría
mirar.
0
vista
parecer,
Aunque
la
sin
la
embargo,
estación
siempre
estación
y
viaja
cuando
a
una
–
velocidad
a
de
aproximadamente
Gracias
a
brillantes
se
sus
y
desplaza
,
7,7 km s
390
enormes
ello
por
hace
el
está
km
alas
que
cielo
en
una
por
las
encima
solares,
sea
de
es
bastante
órbitas
de
una
fácil
más
nuestras
de
las
bajas
posibles,
cabezas.
“estrellas”
distinguirla
a
más
medida
que
noctur no.
d
La
relación
t
=
da
la
velocidad
de
la
estación
espacial,
donde
Uno
22 744
t
es
el
tiempo
medido
en
horas
y
d
es
la
distancia
recorrida
en
de
los
primeros
matemáticos
estudiar
el
en
concepto
kilómetros.
de
A
esta
de
relación
cómo
una
matemática
función
se
le
llama función
matemática
puede
y
es
emplearse
solo
para
un
ejemplo
describir
función
lósofo
Nicolás
(1323–1382).
con
cantidades
situación.
variables
En
el
francés
Oresme
T
rabajó
una
fue
este
capítulo
exploraremos
las
funciones
y
cómo
se
las
puede
e
aplicar
a
una
amplia
variedad
de
situaciones
dependientes
independientes.
matemáticas.
Capítulo
1
3
.
Introducción
Investigación:
En
algunos
negocios
Si
y
hay
así
2
países
las
es
las
funciones
saludos
costumbre
personas
personas,
a
se
habrá
que
saluden
1
con
las
durante
manos
las
estrechando
saludo;
si
hay
3
reuniones
las
de
manos.
personas,
habrá
3
saludos,
sucesivamente.
a
¿Cuántos
b
Copie
y
saludos
complete
Número
de
habrá
esta
entre
4
personas?
tabla:
personas
Número
de
saludos
Quizás
2
resulte
intentar
grupo
3
esto
de
de
la
En
este
útil
con
un
compañeros
clase.
4
5
6
7
8
9
caso,
no
10
corresponde
los
Sitúe
c
los
puntos
en
un
plano
car tesiano
con
el
puntos,
de
personas
en
el
eje
y
el
número
de
saludos
para
x
el
número
de
saludos,
en
el
eje
una
fórmula
S,
en
con
número
Relaciones
Distancia
de
y
(m)
personas,
n
funciones
T iempo
La
(s)
tabla
muestra
empleado
100
por
el
un
tiempo
estudiante
15
para
200
34
300
60
400
88
correr
cier tas
distancias.
Otra
forma
ordenados:
ordenado
Las
Los
tiene
paréntesis
Una
5),
dos
relación
En
en
Funciones
que
información
34),
(300,
componentes
la
es
forma
un
(x,
por
y
en
una
es
mediante pares
(400,
un
88).
orden
coma
y
Cada
par
especíco.
encerradas
y)
conjunto
palabras,
estos
60)
dadas
separadas
componen
otras
tanto
esta
(200,
están
en
relación
números
especial.
4
representar
componentes
entre
➔
de
(00,
una
de
pares
relación
cualquier
números
ordenados.
no
gr upo
vengan
tienen
de
nada
números
expresados
números
función
enteros
del
trabajando
y
solo
Escriba
porque
número
estamos
d
unir
de
es
como
una
pares.
(discretos).
➔
El
es
dominio
el
componentes
El
dominio
de
anteriormente
➔
El
los
es
pares
{00,
es
recorrido
componentes
El
recorrido
{5,
34,
60,
Ejemplo
Halle
el
de
conjunto
(valores
el
formado
x)
de
ordenados
200,
300,
conjunto
(valores
los
de
pares
de
los
por
primeras
ordenados.
mencionados
Las
400}.
“el
formado
y)
las
pares
de
los
ordenados
por
pares
las
llaves
{
}
conjunto
simbolizan
de”.
segundas
ordenados.
mencionados
anteriormente
es
88}.
dominio
a
{(1, 4),
b
{(−2, 4),
(2, 7),
y
el
recorrido
(3, 10),
(−1, 1),
de
las
siguientes
relaciones:
(4, 13)}
(0, 0),
(1, 1),
(2, 4)}
Respuestas
a
El
dominio
es
El
recorrido
El
dominio
El
recorrido
{1,
2,
3,
4}
Primeras
componentes
de
los
pares
ordenados
es
{4,
7,
10,
13}
Segundas
componentes
de
los
pares
ordenados
b
➔
Una
{−2,
es
función
elemento
del
es
es
del
misma
Ejemplo
¿Cuáles
no
1,
0,
una
de
la
puede
primera
1,
2}
4}
relación
dominio
recorrido
función
{0,
−1,
de
la
función.
haber
No
repetir
4
dos
y
en
matemática
función
Para
dos
1
valores
pares
que
una
asocia
un
relación
ordenados
haya
dos
ordenados
exactamente
que
pares
los
aunque
que
a
cada
elemento
sea
una
tengan
la
componente.
de
los
siguientes
conjuntos
de
a
{(1, 4),
(2, 6),
(3, 8),
(3, 9),
(4, 10)}
b
{(1, 3),
(2, 5),
(3, 7),
(4, 9),
(5, 11)}
c
{(−2, 1),
(−1, 1),
(0, 2),
(1, 4),
pares
ordenados
son
funciones?
(2, 6)}
Respuestas
a
No
es
una
función
componente
b
en
el
Es
una
3
Es
aparece
la
dos
veces
dominio.
función.
componentes
c
pues
una
función.
componentes
Todas
son
Todas
son
las
primeras
distintas.
las
primeras
distintas.
Obser ve
que
algunos
de
no
los
impor ta
valores
de
que
y
sean
iguales
Capítulo
1
5
Ejercitación
¿Cuáles
1
estos
a
{(5, 5),
b
{(−3, 4),
c
{(4, 1),
d
{(−1, 1),
e
{(−4, 4),
f
{(1, 2),
Para
2
de
y
(4, 4),
(4, 2),
(3, 3),
diagrama,
si
la
(2, −1),
(−2, 8)}
(5, 2)}
identique
el
una
dominio
y
el
recorrido
función.
y
b
y
funciones?
(3, −1)}
(−3, 7),
es
son
(2, 8)}
(4, 2),
relación
ordenados
(4, 5)}
(1, 7),
(−3, 6),
(3, 2),
pares
(1, 1)}
(4, 4),
(1, 6),
(−4, 5),
de
(2, 2),
(0, 5),
(4, 3),
(0, 3),
(2, 2),
cada
conjuntos
(−1, 6),
establezca
a
1A
2
Escriba
las
2
1
coordenadas
como
1
pares
1
Revea
3
la
emplea
entre
La
2
tabla
un
la
pueden
Es
posible
relación
rectas
4
de
página
estudiante
de
la
ver ticales
es
que
y
2
o
3
la
cantidad
distancias.
tiempo
el
y
empleado
funciones
recta
una
cr uzan
la
de
¿Es
tiempo
la
una
que
relación
función?
vertical
de
no
muestra
ciertas
el
relaciones
pr ueba
par ticular
que
correr
recta
representar
usar
en
4
recorrida
la
1
–1
la
distancia
prueba
Se
3
ordenados.
x
0
–1
x
0
ver tical
función,
en
planos
para
mediante
car tesianos.
determinar
el
trazado
si
una
de
Las
el
gráco.
coordenadas
plano
deben
➔
Una
relación
cor ta
al
recta
gráco
una
en
función
más
de
si
un
cualquier
punto.
Esta
recta
es
ver tical
no
al
la prueba de la
car tesiano
sus
nombres
matemático
René
de
las
siguientes
relaciones
son
funciones?
y
a
b
y
y
c
y
=
|x|
0
0
x
0
Funciones
x
x
{
6
francés
Descar tes
(1596 – 1650).
vertical
Ejemplo
¿Cuáles
es
y
Continúa
en
la
página
siguiente.
Respuestas
a
y
b
c
y
y
Cor ta
0
a
Es
una
función.
Ejercitación
1
¿Cuáles
a
0
x
de
Es
b
una
x
x
0
función.
No
c
es
una
dos
veces.
función.
1B
las
siguientes
relaciones
b
y
son
funciones?
y
c
y
T
race
o
3
imagine
2
rectas
1
0
x
0
x
ver ticales
x
en
el
–1
gráco.
d
e
y
y
f
y
Si
el
gráco
“punto
tiene
lleno”
•,
un
esto
2
indica
que
el
valor
1
x
0
está
0
1
incluido
en
la
x
función.
x
0
Si
el
gráco
2
–1
tiene
un
“punto
–2
hueco”
que
el
,
°
valor
incluido
en
no
la
indica
está
función.
y
y
y
g
esto
h
i
3
2
2
2
1
1
1
0
x
1
2
3
4
0
5
x
1
–1
x
0
–4
–3
–2
–1
–1
–2
–2
–2
2
Use
la
CPG
para
dibujar
aproximadamente
los
Indique
grácos
de
las
siguientes
cor ta
a
y
e
¿Representan
=
x
f
¿Serán
b
y
todas
=
x
+
todos
las
en
su
gráco
dónde
la
recta
rectas.
2
c
ellos
rectas
y
=
2x
−
funciones?
funciones?
3
d
y
Explique
¿Por
=
su
al
eje
x
y/o
al
eje
y.
4
respuesta.
qué?
Capítulo
1
7
Dibuje
3
aproximadamente
la
región
y
<
3x
−
2.
Cuando
¿Es
esta
Use
4
un
2
una
función?
método
¿Por
utilice
la
CPG
procure
que
los
qué?
algebraico
para
mostrar
extremos
del
gráco
esquinas
de
Pruebe
sustituir
la
estén
ventana
cerca
de
de
las
visualización.
que
2
+
x
y
=
4 no
es
una
función.
a
negativos
de
valores
positivos
y
x
R
E
.
El
dominio
y
el
recorrido
de
una
función
C
D O M I N I O
en
un
plano
cartesiano
R
R
El
dominio
y
el
recorrido
de
una
función
pueden
escribirse
mediante
I
D
la
notación
de
inter valos.
Este
es
otro
método
de
representación
O
para
escribir
un
conjunto
de
números.
Por
ejemplo,
para
el
conjunto
[
de
todos
los
números
que
son
menores
que
3,
podemos
escribir
Una
la
inecuación
x
<
3,
donde
x
es
un
número
en
el
función
aplicación
notación
Para
la
de
inter valos,
notación
de
este
inter valos
conjunto
solo
se
de
números
requieren
se
cinco
escribe
(–∞, 3).
símbolos:
(
)
Corchetes
[
]
Innito
∞
(valores
en
el
eje
en
el
recorrido
(valores
Paréntesis
del
conjunto.
dominio
En
es
la
de
de
y
en
el
ver tical)
¿Cuántos
Menos
innito
números
−∞
hay
Unión
en
la
progresión
∪
0,
si
Para
usar
la
notación
de
1,
la
2,
3,
4,
…
continuamos
inter valos:
indenidamente?
➔
Usamos
paréntesis
(
,
)
si
el
valor
no
está
incluido
en
el
¿Cuántos
gráco,
como
en
(–∞,
3),
o
cuando
la
función
no
está
en
ese
punto
(un
punto
no
o asíntota,
denido
o
un
salto
0;
la
a
el
par tir
entre
Si
un
[
,
]
cuando
el
valor
per tenece
al
gráco
de
función.
Cuando
hasta
corchetes
hay
los
cor te
de
punto
en
cor te.
de
inter valos
gráco
de
x)
derecha,
el
progresión
0,5;
1;
1,5;
3;
si
continuamos
la
3,5;
4;
2;
2,5;
los
Después
cor te.
para
continúa
valores,
se
se
escribe
escribe
Finalmente,
“unirlos”.
Por
se
un
otro
inter valo
coloca
ejemplo:
indenidamente
hacia
la
inter valo
el
para
para
símbolo
(–∞,
3) ∪
los
…
los
de
valores
valores
unión
(4, ∞).
izquierda,
el
dominio
¿Por
(valores
la
indenidamente?
un
punto
del
en
de
discontinuidad).
Usamos
números
denida
hay
comienza
con
(−∞.
Si
continúa
indenidamente
qué
hacia
consideramos
la
dominio
naliza
con
∞).
Si
un
gráco
continúa
indenido
indenidamente
hacia
gráco
indenidamente
naliza
continúa
con
usarla
en
8
de
para
Funciones
usamos
valores
a
describir
notación
el
recorrido
hacia
comienza
arriba,
el
con
(−∞.
Si
el
recorrido
∞).
Generalmente,
conjunto
abajo,
de
la
lo
notación
largo
de
cualquier
inter valos,
x
≥
de
los
inter valos
ejes x
conjunto
6
es
o
de
[6, ∞).
y.
para
Sin
describir
embargo,
números.
Por
un
podemos
ejemplo,
x
horizontal)
al
innito?
eje
y
Asíntotas
8
Podemos
visualizar
las
asíntotas
para
algunas
funciones
mediante
1
6
y
la
CPG.
Una
asíntota
es
una
recta
a
la
que
el
gráco
se
acerca
pero
cor ta.
Por
ejemplo,
en
el
gráco
de y
,
=
x
2
1
no
=
4
la
cur va
se
x
x
0
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
–2
aproxima
que
al
eje
tendemos
de
a
las
x
(y
innito,
siempre
se
aproximará
asíntota
horizontal.
=
la
0),
pero
cur va
más
y
nunca
nunca
más.
El
lo
toca.
llegará
eje x
o
y
a y
=
0
A
=
se
medida
0
pero
denomina
–8
Al
El
eje
y
o
x
=
0
es
Presentaremos
capítulo
asíntota
un
referido
ver tical
tratamiento
a
funciones
por
más
las
mismas
profundo
razones.
sobre
procedimiento
las
asíntotas
en
el
asíntotas
obser vación
racionales.
se
le
de
asíntotas
llama
de
hallar
mediante
del
la
gráco
localización
por
simple
inspección.
Ejemplo
Identique,
si
existen,
las
asíntotas
horizontales
y
ver ticales
x
2x
de
estas
funciones.
+ 2
x
a
y
=
2
y
b
=
y
c
x
=
(
+1
x
) (
+1
x
2
)
Respuestas
y
a
4
A
Asíntota
3
horizontal
y
=
0
x,
2
0
–2
–1,5
–1
–0,5
la
pero
1
–2,5
medida
hacia
la
que
nos
izquierda
cur va
nunca
se
movemos
sobre
acerca
cor ta
al
el
más
eje
eje
y
más
x.
x
0,5
1
1,5
2
2,5
y
b
8
Asíntota
6
horizontal
4
Asíntota
2
x
0
–5
–4
–3
–2
–1
=
y
=
2
ver tical
–
x
1
2
3
4
5
–2
–8
c
y
Asíntota
6
horizontal
4
Asíntotas
y
=
0
ver ticales
2
x
0
–2
–1
=
–
y
x
=
2
x
2
4
–4
Capítulo
1
9
Ejercitación
Identique,
siguientes
si
1C
existen,
las
asíntotas
horizontales
y
ver ticales
de
las
funciones.
4
3
x
y
1
=
3
y
2
=
y
3
=
x
x
2x
y
4
2x
=
y
5
+1
+1
6
=
y
6
=
2
x
+ 2
x
Denición
Cuando
por
1
x
9
comprensión
denimos
un
conjunto
por
comprensión,
usamos
llaves
{
}
Un
y
variables
para
expresar
el
dominio
y
el
recorrido.
tema
para
caracterizar
inecuaciones
usando
símbolos
de
interesante
Podemos
desigualdades
y
explorar
es
el
del
otros
“inter nacionalismo”
símbolos.
de
el
El
conjunto
de
{
los
símbolos
lenguaje
de
en
la
}
matemática.
menor
que
menor
o
igual
mayor
que
mayor
o
es
un
<
que
≤
>
igual
que
elemento
≥
del
conjunto
de
los
∈
números
reales
A
➔
Denición
por
menudo
se
considera
comprensión:
{
x
:
x
>
6
la
}
notación
más
la
de
eciente
denición
inter valos
que
por
comprensión.
El
conjunto
de
Notación
los
valores
de
x
tales
que
x
que
6
por
En
distintas
del
+∞)
x
es
mayor
que
−2
{x : x
>
mundo
diferentes
−2}
para
(–∞,
4]
x
es
menor
x
está
o
igual
que
4
{x : x
≤
3)
comprendido
entre
{x : −3
y
3
no
a
3
incluyendo
a
−3
≤
x
<
∪
[6,
x
+∞)
es
menor
igual
(–∞,
+∞)
x
es
que
que
5
o
Por
corchete
mayor
o
{x : x
<
6
personas
inver tidos
que”.
x
10
>
2,
Por
y
para
indicar
ejemplo:
]−∞,
Funciones
emplean
−4[
]
es
2,
número
corchetes
“mayor
∞
[
es
que”
o
“menor
equivalente
equivalente
a
ejemplo,
también
5,
x
≥
6}
medida
cuestiones
x
<
−4.
a
se
real
x
∈
encontrar
angular
.
estas
afectan
comprensión?
cualquier
mismo
paréntesis
qué
la
¿Puede
otros
ejemplos?
Algunas
el
pero
¿En
5)
palabras
3}
llama
(–∞,
utilizan
4}
el
−3
se
nombrar
símbolo.
[−3,
par tes
comprensión
intervalos
(–2,
mayor
Denición
Descripción
de
es
Ejemplo
Halle
el
dominio
y
el
recorrido
de
esta
Un
función.
tema
para
interesante
explorar
es
y
la
inuencia
de
la
2,5
tecnología
en
notación
viceversa.
la
2
y
1,5
1
0,5
0
–4
–3
–2
x
–1
1
2
3
4
Respuesta
El
dominio
{x :
El
x
≥
de
−4}
o
recorrido
{ y :
y
≥
0}
Ejemplo
o
la
función
[–4,
de
la
[0,
es
x
+∞).
toma
que
función
es
La
+∞).
valores
mayores
o
iguales
−4.
función
mayores
o
solo
toma
iguales
que
valores
de
y
0.
¿Qué
Halle
el
dominio
y
el
recorrido
de
cada
el
a
incluye
dominio
0
≤
x
≤
1?
y
b
y
valores
función.
¿Cuántos
valores
hay?
4
2
3
1
2
0
x
1
–1
–2
¿Usamos
x
0
todos
la
1
–1
–3
misma
notación
en
–4
matemática?
Nosotros
simbolizaremos
un
Respuestas
a
El
0
o
[−2, −1)
El
o
b
dominio
o
x
∪
o
≥
≤
x
<
−1
no
(0, 3].
es
{y : −4
países
<
y
≤
1}
−3}
la
función
es
+∞).
de
o
la
[–3,
+∞).
es
que
x
puede
tomar
cualquier
valor
real.
x
−1
al
emplean
diferentes
simbolizar
mismo.
Más
país
diferentes
esto
aún,
profesores
mismo
el
=
Distintos
notaciones
los
función
hueco
per tenece
para
de
(–∞,
de
conjunto.
1].
recorrido
{y : y
{x : −2
3}
dominio
∈
El
≤
es
recorrido
(−4,
El
x
<
punto
hecho
con
de
un
emplean
notaciones.
Capítulo
1
11
Ejercitación
1
Revea
la
saludos
tabla
de
función?
2
Halle
el
1D
y
la
mano
Si
fuera
fórmula
para
de
varios
la
números
así,
¿cuál
y
recorrido
dominio
el
página
es
el
de
dominio
de
cada
y
a
4
para
el
número
personas.
y
el
una
¿Es
de
esta
una
recorrido?
de
estas
relaciones:
y
b
c
E
1
4
4
3
3
0,5
2
2
0
1
1
–1
x
–0,5
0,5
1
F
–3
–2
–1
1
2
3
x
0
x
0
–4
1
4
2
3
6
5
y
y
d
y
e
f
4
6
2
4
x
0
–4
2
0
–3
1
x
–1
–2
–2
x
0
–6
–4
–2
2
4
–2
–4
–6
y
y
g
h
y
i
5
5
4
4
1
3
3
2
2
0
x
1
1
1
0
0
–2
–1
x
1
–5
2
–4
x
–3
1
3
4
5
–1
–2
–2
–3
–3
–4
pregunta
3
Use
la
estos
tipo
CPG
para
grácos.
recorrido
de
examen
dibujar
Escriba
cada
el
aproximadamente
dominio
y
el
y
=
2x
−
3
b
y
=
x
d
y
=
x
2
c
y
e
y
g
y
=
x
=
5x
x
+
6
ejes
x
e
y.
tenemos
en
x
y
–
=
f
1
cuando
Por
3
+
calculadora
los
hallará
Para
las
hacer
cuenta
que
intersecciones
esto
una
con
algebraicamente,
función
cor ta
al
eje
función.
2
a
La
=
ejemplo,
0
la
y
cor ta
función
al
y
eje
=
y
2x
cuando
−
4
x
cor ta
=
al
0.
eje
4
x
donde
2x
y
=
−
−
4
=
0, x
=
2.
Cor ta
al
eje
y
donde
4
2(0)
4
=
−4.
x
=
h
y
j
y
=
e
x
x + 4
1
i
y
=
3k
=
x + 2
x
tiene
una
respuesta
cuidadosamente
2
x
k
y
l
=
Funciones
y
=
2
x + 3
12
2
9
x
inusual.
Busque
2
+1
un
punto
hueco
cuando
x
=
−3.
.
Las
la
Notación
funciones
fórmula
símbolo
f (x)
f
=
f,
2x
y
=
la
+
se
se
funcional
denen
2x
+
dene
fórmula
;
➔
f (x)
(x)
también
por
lee
‘f
se
lo
de
usualmente
a
queda
tanto,
x’
y
puede
y
como
escrita
y
=
por
fórmulas.
función
en
de
notación
Por
x.
Al
ejemplo,
asignarle
funcional
de
la
el
forma
f (x).
signica
escribir
el
así:
valor
f
:
x
de
→
f
2x
en
+
x.
.
f
Un
par
ordenado
(x, y)
puede
escribirise
como
(x,
:
(x)
→
2x
signica
Hallar
la
f (x)
función
para
f
Ejemplo
a
en
un
ese
valor
par ticular
de
x
signica
f
f
i
(x)
la
=
(2)
valor.
función
x
+
f
ii
es
función
que
el
valor
2x
El
matemático
f
(x)
=
2x
+
1
en
x
=
lósofo
3.
una
asigna
+
a
x
1.
4x
−
(0)
3,
halle:
f
iii
(−3)
f
iv
(x
+
por
1)
y
alemán
Gottfried
Leibniz
primera
término
vez
usó
el
“función”
en
1673.
Respuestas
=
1
f
Evalúe
Si
que
evaluar
2
b
+
f (x)).
a
f
(3)
b
i
f
(2)
2(3)
=
ii
f
(0)
=
iii
f
(−3)
iv
f
(x
+
1
=
7
Reemplazar
x
por
3
2
(2)
+
4(2)
–
3
=
4
+
8
−
3
=
9
2
(0)
+
4(0)
–
3
=
0
+
0
−
3
=
−3
2
=
=
(−3)
9
−
+
12
4(−3)
−
3=
–
3
−6
2
+
1)
=
(x
+
1)
+
4(x
+
1)
1
4x
–
3
2
=
x
=
x
+
2x
+
+
+
4
−
3
2
Ejercitación
+
6x
+
2
1E
1
1
Halle:
f (7)
i
f (−3)
ii
iii
f
(
)
iv
f (0)
v
f (a)
2
para
estas
funciones.
1
a
f (x)
=
x
−
2
f (x)
b
=
3x
c
f (x)
=
x
2
d
f (x)
=
2x
+
5
f (x)
e
=
x
+
2
2
2
Si
a
f (x)
=
x
–
4,
halle:
f (−a)
b
f (a
+
5)
e
f (5
−
a)
c
f (a
−
1)
2
d
f (a
−
2)
Obser ve
pregunta
TIPO
siempre
examen
la
3
Si
g (x)
=
4x
−
5
y
h (x)
=
7
–
letra
f
que
no
usamos
para
una
2x
a
Halle
x
cuando
g (x)
=
3.
b
Halle
x
cuando
h (x)
=
−15.
función.
Aquí
usado
y
g
h.
hemos
Cuando
consideramos
c
Halle
x
cuando
g (x)
=
velocidad
del
1
4
a
Si
h (x)
=
,
x
b
¿Hay
algún
halle
en
tiempo,
función
muchas
h (−3).
6
valor
la
h (x).
veces
para
el
cual
h (x)
no
exista?
usamos
v(t).
Explique.
Capítulo
1
13
El
5
volumen
de
un
cubo
con
aristas
de
medida x
está
Podemos
usar
funciones
matemáticas
3
dado
por
la
función
f (x)
=
x
para
a
Halle
f (5).
b
Explique
3x
el
signicado
de
f (5).
propia
vida.
que
el
número
Por
una
familia
hechos
de
ejemplo,
de
pizzas
depende
nuestra
supongamos
que
del
come
número
+1
g(x ) =
6
representar
de
x
par tidos
de
fútbol
que
miran.
Si
2
comen
3
pizzas
durante
cada
par tido
Evalúe:
a
de
fútbol,
la
de
pizzas”
función
sería
“número
1
g (6)
i
g (−2)
ii
g (0)
iii
g
iv
(p)
=
3
multiplicada
por
3
“número
de
par tidos
de
fútbol”
(g)
Evalúe:
b
o
g (1)
i
g (1,5)
ii
g (1,9)
iii
p
=
otra
g (1,999)
v
3g.
¿Podemos
función
cotidiana?
¿Qué
obser va
d
¿Hay
algún
que
se
emplee
en
en
alguna
la
vida
g (1,9999)
vi
c
pensar
g (1,99)
iv
en
sus
valor
respuestas
de
x
para
el
al
apar tado b?
cual
g (x)
no
total
de
número
exista?
Podría
dinero
de
ser
que
quizás
la
gastamos
minutos
que
suma
o
el
hablamos
por
teléfono.
Obtenga
e
obser ve
PREGUNTA
un
qué
tipo
gráco
ocurre
de
la
función
cuando
x
=
en
2.
la
CPG
y
Explique.
La
examen
2
La
7
velocidad
de
una
par tícula
está
dada
por v (t)
=
signica
−1
t
−
9 m s
Halle
la
velocidad
inicial.
b
Halle
la
velocidad
luego
de
4
c
Halle
la
velocidad
luego
de
10
d
¿En
t
instante
la
par tícula
=
f
Dada
f
(x
+ h)
f
cuando
0.
segundos.
segundos.
está
en
par tícula
está
en
reposo?
reposo
8
velocidad
comienzo,
La
qué
la
inicial
.
al
a
velocidad
cuando
v
=
0.
(x )
halle:
(x ) =
h
Material
f
a
(2
+
h)
f
b
(3
+
de
.
Una
Se
Funciones
función
aplica
➔
La
una
función
composición
como
compuestas
es
compuesta
f (g (x)),
al
de
que
la
combinación
resultado
una
se
de
función
lee
“f
de
g
de
dos
funciones.
otra.
f
con
de
x”,
una
o
función
( f
g)(x),
g
se
que
escribe
se
lee
°
“g
compuesta
Cuando
variable
Por
con
evaluamos
por
f
de
una
x”.
función
sustituimos
si
f (x)
=
2x
+
3,
entonces
2
Podemos
hallar
2
➔
)
Una
otra
=
f (x
+
)
sustituyendo
2(x
+
se
)
+
3
=
2x
compuesta
dene
como
( f
Funciones
+
otra
f (5)
=
2(5)
+
3
=
3
x
+
por
x
para
obtener
5
aplica
g)(x)
°
14
u
2
función
y
valor
2
2
+
f (x
un
x.
ejemplo,
de
disponible
h)
una
=
función
f ( g(x)).
al
resultado
de
ampliación
en
ejercicios
línea:
1:
Hoja
Polinomios
Ejemplo
2
Si
f
(x)
=
5
−
3x
y
g (x)
=
x
+
4,
halle
(f
g)(x).
°
g (x)
va
aquÍ
Respuesta
2
2
(f
g)(x)
=
5
–
3(x
=
5
–
3x
Sustituir
x
+
4
en
f
(x)
°
2
–
12
2
=
−3x
Podríamos
tener
determinado
Ejemplo
–
7
que
valor
evaluar
de
una
función
compuesta
en
un
x.
2
Si
f
(x)
=
5
−
3x
y
g (x)
=
x
+
4,
halle
(f
g)(3).
°
Respuesta
Método
1
2
g)(x)
(f
=
5
–
3(x
+
Obtener
4)
la
función
compuesta
°
2
=
−3x
–
7
2
(f
g)(3)
=
–3(3)
–
=
−27
7
=
−34
7
Después,
°
Método
–
reemplazar
x
por
3
Ambos
métodos
arrojan
el
2
mismo
2
g (3)
=
(3)
+
4
=
13
Sustituir
3
en
g (x)
resultado:
f
(13)
=
5
–
3(13)
=
−34
Sustituir
ese
valor
en
f
el
Ejemplo
puede
usar
(x)
que
preera.
2
Dadas
a
(f
f
(x)
=
2x
+
1
y
g)(x)
g (x)
=
(f
b
x
–
2,
halle:
g)(4)
°
°
Respuestas
2
2
a
(f
g)(x)
=
2(x
–
2)
+
Sustituir
1
x
–
2
en
f
(x)
O
°
use
el
método
2:
2
=
2x
−
2
3
g (4)
y
=
(4)
–
2
=
14
luego
2
b
(f
g)(4)
=
2(4)
–
3
=
29
Reemplazar
°
x
por
4
f (14)
Ejercitación
=
2(14)
+
1
=
29
1F
2
1
Dadas
a
( f
f (x)
=
g)(3)
3x,
g (x)
b
=
( f
°
e
( g
f
( f
)(4)
f
h (x)
=
c
x
j
n
)(5)
)(2)
g)(–6)
d
( f
g
( g
k
f
( f
o
)(–6)
h
( g
)(x)
l
(h
f
)(x)
°
h)(x)
°
f
°
h)(x)
( g
g)(x)
°
°
g)(3)
°
halle:
°
f
(h
2,
°
f
(h
+
( f
°
h)(3)
°
y
°
h)(2)
( g
1
g)(0)
( g
°
m
+
°
°
i
x
p
(h
(f
°
h)(2)
≠
(h
°
f)(2)
g)(x)
°
Capítulo
1
15
2
Dadas
2
f (x)
( g
a
f
=
x
−
)(1)
1
y
g (x)
( g
b
f
°
3
−
x,
halle:
)(2)
( g
c
°
( g
e
=
f
)(3)
( f
f
g)(–4)
°
( f
g
tipo
)(4)
( f
d
g)(3)
°
g)(x
°
PREGUNTAS
f
°
+
1)
( f
h
g)(x
°
+
2)
°
examen
2
Dadas
3
( f
a
las
funciones
g)(x)
f (x)
( f
b
=
x
y
g (x)
=
x
+
2,
halle:
g)(3)
°
°
2
Dadas
4
las
funciones
f (x)
=
5x
y
g (x)
=
x
+
1,
halle:
“A
(
a
f
g )(x)
( g
b
f
°
par tir
de
lo
)(x)
°
anterior”
signica
que
2
g (x)
5
=
x
+
3
y
h (x)
=
x
–
debemos
4
utilizar
resultados
Halle
a
( g
los
obtenidos
h)(x).
°
anteriormente
Halle
b
(h
para
g)(x).
°
responder
A
c
par tir
de
lo
anterior,
resuelva
la
ecuación
(g
h)(x)
=
(h
°
la
pregunta.
g)(x).
°
2
Si
6
r (x)
=
x
–
4
y
s (x)
=
x
,
halle
( r
s)(x)
e
indique
el
dominio
y
el
°
recorrido
.
de
la
función
Funciones
compuesta.
inversas
–
➔
La
inversa
esa
de
una
función
f (x)
es
f
(x).
Revier te
la
acción
de
función.
x
Si
f (x)
=
3x
−
4
y
g (x)
+ 4
,
=
entonces
3
26 + 4
f (0)
=
3(0)
–
4
=
26
y
g ( 26)
=
=
0,
con
lo
cual
volvemos
3
al
punto
Por
No
Si
g
lo
de
tanto,
todas
es
la
(f
par tida.
las
g (x)
es
la
inversa
funciones
función
tienen
inversa
de
f,
de
los
valores
en
el
una
(10)
=
−1
rever tirá
la
acción
de
f
Obser ve
que
signica
la
de f
y
f
también
será
la
inversa
de
➔
Las
y
g
son
funciones
funciones
(
f
g)(x)
f (x)
y
inversas,
g (x)
escribimos
resultan
inversas
g (x)
una
=
de
f
(x).
otra
si:
=
x
para
todos
los
valores
de
x
en
el
dominio
de
g
=
x
para
todos
los
valores
de
x
en
el
dominio
de
f
°
( g
f
)(x)
°
La
prueba
➔
de
Podemos
funciones
Si
una
16
Funciones
usar
que
recta
función,
la
tal
recta
la
horizontal
prueba
tienen
la
recta
horizontal
para
identicar
inversas.
horizontal
función
de
no
cor ta
más
de
tiene
inversa.
una
vez
al
gráco
inversa
de
el
“–1”
no
de
es
un
g.
−
f
f
para
exponente
Cuando
10
inversa.
entonces
dominio
g)
f (x).
f;
todos
°
una
(potencia).
Ejemplo
¿Cuáles
de
estas
funciones
tienen
a
inversa?
y
b
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
–3
–2
x
1
x
–1
1
2
3
3
–1
–2
–3
–4
–5
c
d
y
y
3
3
2
2
1
1
x
x
0
1
2
3
4
5
6
–1
7
–1
–2
–2
–3
–3
–4
Respuestas
y
a
y
b
5
5
4
4
3
2
¿Sabía
2
que
Abu-al-
1
1
Wafa
Buzjani,
un
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
matemático
0
–3
persa
x
1
–1
del
No
tiene
función
inversa.
siglo
X,
funciones?
usó
Un
cráter
–3
en
la
Luna
lleva
su
–4
nombre.
–5
Tiene
y
c
función
inversa.
y
d
3
3
2
2
1
1
0
x
1
2
3
4
5
6
x
7
1
–1
–2
–3
Tiene
función
inversa.
No
tiene
función
inversa.
Capítulo
1
17
Grácos
➔
El
de
gráco
función
Mostramos
las
de
funciones
la
inversa
respecto
aquí
de
la
algunos
de
inversas
una
recta
y
función
=
ejemplos
es
una
simetría
de
tal
x
de
funciones
y
sus
y
=
funciones
inversas.
x
y
y
y
1
f
(x)
y
=
x
y
f (x)
x
1
–1
f
=
f
(x)
(x)
f (x)
x
x
x
f (x)
−
Si
(x, y)
per tenece
respecto
de
la
de
recta
la
y
recta
=
x
Ejercitación
1
Use
la
la
y
cur va
=
x
f (x),
entonces
“intercambia”
convier te
al
punto
x
(, 3)
(y,
e
en
y;
el
x)
per tenece
por
lo
tanto,
punto
a
f
la
(x).
La
simetría
simetría
respecto
(3, ).
1G
pr ueba
siguientes
a
de
la
recta
funciones
horizontal
tienen
para
determinar
cuáles
de
las
inversa.
y
a
b
y
En
el
siglo
VI
a.
C.,
7
7
el
cientíco
hindú
6
6
Panini
fue
un
pionero
5
5
al
incluir
funciones
4
4
sus
3
3
2
2
1
1
0
0
–5
–4
–3
–2
x
–6
–1
–3
–2
–1
x
1
2
3
4
–1
–2
a
–3
c
d
y
y
2
3
2
1
x
0
x
0
1
18
Funciones
2
3
4
5
6
trabajos.
en
Copie
2
la
los
recta
y
grácos
=
x
y
la
de
estas
función
funciones.
En
cada
uno
de
ellos,
dibuje
inversa.
y
a
y
b
y
c
10
8
8
8
6
6
6
4
4
4
2
2
x
0
0
0
–2
x
4
x
–4
–2
2
–2
–4
–4
–4
–6
–6
–6
–8
–8
–10
y
y
d
y
e
f
8
6
8
4
4
6
2
4
x
0
–4
2
–4
0
–1
x
1
2
3
4
–2
x
–3
–2
–1
1
0
2
3
–4
Determinación
procesos
Obser ve
de
la
función
cómo
está
con
formada
x
a
la
la
función f (x)
3x
la
función
=
3x
–
2.
izquierda.
x
formar
mediante
algebraicos
Comenzamos
Para
inversa
inversa
–
2
rever timos
el
proceso,
usando
La
operaciones
x
+
operación
inversa
inversas.
de
+2
La
operación
es
−2.
2
x
inversa
3
de
x
1
En
consecuencia,
f
×3
es
÷3.
+ 2
(x ) =
3
El
próximo
Ejemplo
ejemplo
muestra
cómo
hacerlo
sin
diagramas.
–1
Si
f
(x)
=
3x
–
2,
halle
la
función
inversa
f
(x).
Respuesta
y
=
3x
–
2
x
=
3y
–
2
Reemplazar
f (x)
Reemplazar
cada
y
x
+
2
=
y
=
cada
y
por
por
x
y
por
y,
x
3y
x
+
2
Despejar
y
3
x
+
2
1
1
f
(x )
Reemplazar
=
y
por
f
(x)
3
Capítulo
1
19
Como
se
función
recta
y
vio
en
inversa
=
x,
lo
los
de
cual
intercambiamos
➔
Para
x
grácos
una
funciones
f
es
“intercambia”
e
y,
determinar
reemplazamos
Ejemplo
de
función
y
la
x
e
despejamos
y.
y
por
y,
y
sus
Por
en
algebraicamente
f (x)
y
simetría
la
lo
la
inversas,
de
y
=
tanto,
f
en
expresión
función
despejamos
el
(x)
el
gráco
de
respecto
ejemplo
la
de
la
2,
obtenida.
inversa,
y
−1
Si
f
(x)
=
4
−
3x,
halle
f
(x)
Respuesta
x
−
x
y
=
4
−
3x
x
=
4
−
3y
4
=
−3y
Reemplazar
f (x)
Reemplazar
cada
y
cada
y
por
por
x
y
por
y,
x
4
Despejar
=
y
y
3
4
y
x
=
3
4
x
1
f
(x )
–1
=
Reemplazar
y
por
f
(x)
3
Para
comprobar
podemos
si
1
(
f
f
la
componer
)( x ) = 4
3
función
las
4
en
3
consecuencia,
(
f
ejemplo
3
es
correcta,
= 4 (4 x ) =
x
–
En
el
x
inversa
funciones.
f
−
)(x)
=
x
y
f
y
f
son
la
inversa
una
de
otra
°
➔
La
función
I (x)
La
función
deja
=
x
se
denomina
a
x
invariable.
función
identidad.
−
Por
lo
tanto,
f
=
f
I
°
Ejercitación
pregunta
TIPO
x
1
Si
f (x)
1H
examen
+ 4
=
y
g (x)
=
2x
–
4,
halle:
2
a
g (1)
i
y
( f
g)(1)
f
ii
(–3)
y
( g
°
iii
( f
g)(x)
( g
iv
f
°
b
2
¿Qué
Halle
la
f
)(–3)
°
)(x)
°
le
dice
inversa
esto
de
acerca
cada
de
una
las
de
funciones f
estas
y
g?
funciones:
Existen
f
(x)
=
3x
−
1
b
g (x)
=
x
funciones
–
2
c
h (x)
=
x
+
5
tienen
la
propiedad
4
de
1
3
d
f
(x)
x
=
3
e
g (x)
–
2
f
h (x)
=
2x
+
g
f
su
inversa
3
x
x
que
3
=
coincide
con
x
3
h
,
(x ) =
3 + x
x
función
original.
x
Identique
funciones
estas
en
–1
3
¿Cuál
es
f
(x)
si:
pregunta
1
a
f
(x)
=
1
–
x
b
f
(x)
=
x
c
f
(x)
x
=
x
20
Funciones
la
x
(x ) =
que
1
3
a
0
3.
la
–1
Evalúe
4
f
(5)
en:
2
10
f
a
(x)
=
6
–
x
f
b
(x)
=
f
c
x
(x)
=
4x
+ 7
3
Obser ve
imagen
x
Si
5
f
(x)
del
halle
f
punto
(x).
(a, –b)
2
luego
simetría
pregunta
la
–1
=
x
que
TIPO
de
una
respecto
de
examen
la
recta
y
=
x
es
el
x
6
Constr uya
a
una
tabla
de
valores
para
la
función f (x)
=
2
y
punto
sitúe
los
puntos
b
Dibuje
en
c
Dibuje
el
el
obtenidos,
mismo
para
gráco
la
luego
recta
y
dibujar
=
el
gráco
(b, –a).
de f
x
–1
f
gráco
respecto
de
la
de
f
mediante
recta
y
=
una
simetría
del
gráco
de
x
–1
Indique
d
el
dominio
y
el
recorrido
de f
y
de
f
2
La
7
función
g(x ) =
Halle
f
sí
x
esta
Mediante
(x)
=
x
tiene
función
la
no
tiene
función
inversa.
Sin
embargo,
la
función
inversa.
inversa.
comparación
del
recorrido
y
el
dominio,
explique
por
2
qué
la
inversa
de
g(x ) =
no
x
coincide
con
f (x)
=
x
Material
Demuestre
8
que
los
grácos
de
una
función
lineal
y
su
inversa
de
nunca
.
pueden
resultar
Debe
1
usar
Dibuje
su
y
=
CPG
x,
y
el
mismo
x
de
y
+
dibujar
1,
y
=
todos
x
−
4,
y
los
=
grácos
x
+
en
esta
investigación.
sistema
de
4
contraste
efecto
tienen
sus
los
ecuación
de
y
=
x
+
términos
numéricos
constantes
en
la
recta
Dibuje
y
=
y
−2x
=
+
Compare
¿Qué
3
x
+
3,
y
y
=
=
y
=
2x
0,5x
+
y
=
|x
+
3,
3
en
sus
produce
|x|,
y
2|,
3x
+
y
=
los
|x
−
sistema
y
de
El
ejes.
en
del
el
coeciente
mismo
de
sistema
al
x?
de
contraste
efecto
y
=
|x
+
+
sus
produce
coeciente
valor
b
o
que
de
de
x
es
el
multiplica
x
signica
módulo
de
funciones.
cambiar
los
valores
de
h
en
los
Vea
el
capítulo
18
grácos
para
de
mx
c.
ejes.
x.
¿Qué
=
+
número
valores
3|
mx
3,
mismo
funciones.
cambiar
+
=
el
=
|x|
Compare
y
b?
contraste
efecto
Dibuje
3,
y
escrita
los
y
2
general
funciones.
como
grácos
encontrará
ejes.
de
¿Qué
Hoja
Polinomios
funciones
esta
Compare
línea:
1:
funciones
para
=
ejercicios
T
ambién
en
ampliación
en
per pendiculares.
Transformación
Investigación:
de
disponible
una
mayor
h|?
explicación.
2
4
Dibuje
y
=
Compare
y
x
2
,
y
=
−x
,
contraste
2
y
=
sus
2x
,
2
y
=
0,5x
en
el
mismo
sistema
de
ejes.
funciones.
¿Qué
efecto
produce
el
¿Qué
efecto
produce
cambiar
signo
negativo
en
los
grácos?
2
el
valor
de
a
en
los
grácos
de
y
=
ax
?
Capítulo
1
21
En
la
investigación
apar tados
,
posiciones.
por
una
Estos
2
y
Los
3
grácos
simetría
son
debería
tenían
o
por
ejemplos
estudiaremos
de
estas
haber
la
del
un
encontrado
misma
forma,
apar tado
4
que
pero
los
grácos
aparecían
deberían
haber
en
sido
de
los
diferentes
modicados
estiramiento.
“transformaciones”
transformaciones
en
de
grácos.
Ahora
detalle.
Traslaciones
Desplazamiento
➔
f
(x)
+
k
vertical
desplaza
a
f
u
(x)
➔
ver ticalmente
hacia
distancia
unidades.
de
k
horizontal
arriba
una
f
(x)
–
k
desplaza
a
f
(x)
ver ticalmente
hacia
distancia
unidades.
de
k
abajo
una
y
y
3
3
f (x)
+
1
2
2
f (x)
1
1
f (x)
x
–1
–2
3
x
–1
–2
1
–1
0
1
2
3
f (x)
Desplazamiento
➔
f (x
+
k)
hacia
desplaza
horizontamente
izquierda
unidades,
una
a
f
la
derecha
>
la
de
k
−
k)
desplaza
una
derecha
0.
unidades,
a
f
(x)
hacia
la
distancia
cuando
k
>
de
k
0.
y
3
3
2
2
f (x)
f (x)
1
+
f (x
horizontamente
y
f (x
1
izquierda
➔
distancia
k
la
(x)
hacia
cuando
o
–
1
2)
x
–1
1
2
x
3
–1
1
3
f (x
–
4
5
2)
a
Las
traslaciones
se
representan
mediante
vectores
de
la
forma
b
Intente
donde
a
es
la
componente
horizontal
y
b
la
componente
transformar
ver tical.
algunas
funciones
3
es
un
desplazamiento
horizontal
de
3
unidades
hacia
la
derecha.
para
diferentes
valores
0
de
0
es
un
desplazamiento
ver tical
de
2
unidades
hacia
abajo.
2
La
traslación
de
vector
de
3
unidades
unidades
22
hacia
hacia
Funciones
la
abajo.
3
2
denota
un
desplazamiento
horizontal
derecha,
y
un
desplazamiento
ver tical
de
2
k
en
su
CPG.
Simetrías
Simetría
➔
respecto
f (x)
es
la
respecto
del
eje
simetría
del
eje
x
de
Simetría
f (x)
➔
respecto
f (–x)
x
es
la
respecto
del
eje
simetría
del
eje
y
de
f (x)
y
y
y
3
3
f (x)
2
2
f (x)
1
1
x
0
–2
–1
1
2
x
3
–3
–2
–1
1
f (x)
2
3
f (–x)
Estiramientos
Estiramiento
(o
compresión)
Estiramiento
horizontal
(o
compresión)
ver tical
Un
➔
f (qx)
estira
o
➔
comprime
pf (x)
estira
p,
horizontalmente
a
f (x),
a
con
f
(x),
con
estiramiento
una
donde
razón
de
de
0
<
p
<
razón
1,
hará
razón
que
1
una
de
ver ticalmente
el
gráco
se
p.
comprima.
q
y
y
f (2x)
f (x)
3
3
2
2
1
1
2f (x)
0
–3
–2
x
1
–1
2
x
3
–1
–2
1
3
f (x)
Los
La
transformación
estiramiento
es
un
La
horizontal
transformación
estiramiento
es
cometer
un
los
vertical
1
de
razón
de
razón
estudiantes
errores
con
estiramientos.
impor tante
p
suelen
Es
recordar
q
Cuando
Cuando
q
>
,
el
gráco
acercándose
>
,
el
gráco
diferentes
de,
por
efectos
se
se
estira,
comprime,
p
los
al
eje
apar tándose
del
eje
ejemplo,
2f (x)
y
x
y.
f (2x).
Cuando
Cuando
0
<
q
<
,
el
gráco
0
<
comprime,
estira,
apar tándose
Ejemplo
1
Dado
f
eje
<
,
el
gráco
se
acercándose
al
eje
x.
y
el
dibuje
a
del
q
se
(x
gráco
de
la
función
aproximadamente
+
1)
b
f
(x)
−
2
los
f
(x)
que
grácos
c
f
(−x)
aquí
se
y
muestra,
de:
4
d
−f
(x)
e
2f
(x)
3
2
f (x)
1
x
0
1
{
Continúa
2
en
3
la
4
5
página
6
siguiente.
Capítulo
1
23
Respuestas
y
y
y
a
b
c
4
2
4
1
3
3
f
f
(x)
–
(–x)
2
0
2
2
x
1
f (x
+
2
3
4
5
6
1)
–1
1
1
–2
x
x
–1
1
0
2
Traslación
hacia
la
3
de
4
una
–6
5
unidad
Traslación
izquierda
dos
unidades
hacia
–4
–3
Simetría
–2
–1
respecto
0
del
eje
y
abajo
y
d
de
–5
y
e
1
12
10
0
x
1
2
3
4
5
6
8
–1
6
–2
f (x)
2f (x)
4
–3
2
–4
x
0
1
Simetría
Las
cur vas
usan
en
respecto
de
ofer ta
economía
y
y
del
eje
x
demanda
negocios
3
2
Estiramiento
que
se
son
Las
cur vas
radiactiva
de
4
5
ver tical
6
de
razón
2
desintegración
son
simétricas.
simétricas.
y
Número
Ofer ta
y
átomos
100
somotá
6
Demanda
Oferta
ed
5
oicerP
oremúN
P
Excedente
4
3
P
de
demanda
y
hijos
75
50
Número
25
átomos
de
padres
*
Equilibrio
0
2
1
2
Número
Escasez
3
de
4
5
6
x
semividas
1
C
*
x
0
10
20
30
40
Cantidad
50
60
C
y
Ejercitación
f (x)
1I
4
pregunta
1
Copie
el
TIPO
examen
gráco.
Dibuje
2
estas
funciones
en
el
mismo
sistema
–6
de
ejes
a
f (x)
d
f (x
g
f (2x)
–2
car tesianos.
+
+
x
0
2
4
6
–2
4
b
f (x)
3)
e
f (x
–
−
2
c
4)
f
f (x)
–4
y
2f (x)
g
f (x)
q
4
2
2
Las
funciones
g,
h
y
q
son
transformaciones
de
f (x).
h
Escriba
cada
transformación
en
función
de f (x).
0
–10
–8
–6
–4
–2
–2
–4
24
Funciones
x
2
4
6
8
10
y
3
Las
funciones
Escriba
cada
q,
s
y
t
son
transformaciones
transformación
en
función
de
f (x).
6
de f (x).
t
f (x)
s
4
q
2
x
0
–10
–8
–6
2
4
6
8
–2
pregunta
4
Copie
estas
TIPO
el
examen
gráco
funciones
de
e
f (x).
Dibuje
indique
el
el
gráco
dominio
y
el
de
cada
una
recorrido
de
de
y
3
cada
f (x)
una
de
2
ellas.
1
2f (x
a
–
5)
f (2x)
b
+
3
0
x
–2
2
–1
–2
y
5
Se
muestra
el
gráco
de
f (x).
A
es
el
punto
(1, 1).
5
Realice
aplicar
copias
cada
del
gráco
y
dibuje
la
función
después
de
4
3
transformación.
2
En
cada
gráco,
rotule
la
nueva
posición
de
A
1
A
como
A
0
a
f (x
+
c
f (–x)
e
f (x
1)
b
f (x)
+
d
2f (x)
–4
1
–3
x
1
2
3
4
5
–2
–3
−
2)
+
3
–4
–5
6
En
el
cada
caso,
gráco
de
describa
f (x)
en
el
la
gráco
3
a
f (x)
=
x
transformación
f (x)
=
x
c
f (x)
=
x,
pregunta
cambiaría
g (x).
3
,
g (x)
=
−(x
,
g (x)
=
(x
)
2
b
de
que
2
g (x)
TIPO
=
−
−2x
3)
+
5
examen
Si
7
Sea
f (x)
=
2x
+
se
indica
dominio
a
Dibuje
b
Sea
el
g (x)
para
−3
gráco
=
≤
f (x
x
un
1.
≤
Ejercicios
+
de
3)
f (x)
–
2.
para
En
el
0
≤
x
≤
mismo
2.
pregunta,
gráco,
dibuje g (x)
−1.
de
en
la
función
para
tal
la
debe
dibujar
solamente
dominio.
revisión
✗
1
a
Si
g (a)
=
b
Si
h (x)
=
4a
−
5,
halle
g (a
−
2).
1+ x
,
1
halle
h (1
−
x).
x
2
2
a
Evalúe
f (x
−
3)
cuando
f (x)
=
2x
−
3x
+1.
2
b
Para
f (x)
=
compuesta
2x
+
7
y
denida
g (x)
por
=
1
( f
−
x
,
halle
la
función
g)(x).
°
Capítulo
1
25
3
Halle
la
inversa
3x
de
estas
funciones.
+ 17
3
a
f (x)
=
g (x)
b
=
2x
+
3
2
1
4
Halle
la
inversa
de
f (x)
=
1.
x
A
continuación,
dibuje
la
5
función
5
Halle
y
las
su
inversa.
funciones
inversas
de:
3
a
6
f (x)
Copie
=
3x
+
cada
5
f
b
gráco
y
dibuje
(x ) =
la
x
+ 2
inversa
de
y
cada
función.
y
a
b
4
3
3
2
2
1
1
x
0
x
1
–2
–1
0
1
2
3
–1
–2
–3
–4
7
Halle
el
dominio
a
y
el
recorrido
para
cada
y
uno
de
estos
grácos.
y
b
7,5
10
5
2,5
5
x
–2
6
7
–2,5
0
x
–5
5
–5
–1
–7,5
PREGUNTA
8
Para
TIPO
cada
función,
combinación
a
f (x)
=
EXAMEN
x,
de
escriba
una
única
transformaciones
simetría
respecto
del
expresión
que
represente
la
dadas.
eje
y,
estiramiento
ver tical
de
razón
2,
1
estiramiento
horizontal
de
y
razón
traslación
de
3
unidades
hacia
3
la
izquierda
y
2
hacia
arriba.
2
b
f (x)
=
x
,
simetría
respecto
del
eje
x,
estiramiento
ver tical
de
1
,
razón
estiramiento
horizontal
de
razón
3
y
traslación
de
5
9
unidades
a
Explique
b
Dibuje
PREGUNTA
la
hacia
cómo
derecha
dibujar
inversa
TIPO
la
de
la
f (x)
y
1
hacia
inversa
=
2x
+
de
abajo.
una
función
a
partir
3.
EXAMEN
3
10
Sean
f (x)
=
2x
+
3
y
g (x)
=
3x
–
2.
−1
a
Halle
g (0).
b
Halle
( f
g)(0).
°
26
Funciones
c
Halle
f
(x).
de
su
gráco.
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
y
11
El
gráco
Sea
a
muestra
h (x)
=
la
f (−x).
función
Dibuje
f (x),
para
−2
≤
x
aproximadamente
≤
el
4.
4
gráco
de h (x).
3
1
Sea
b
g (x)
=
f (x
−
1).
El
punto
A(3,
2)
en
el
gráco
2
1
de
f
se
Halle
transforma
las
en
el
coordenadas
punto
de
P
en
el
gráco
de
g.
0
P
–3
12
Las
funciones
f
y
g
se
denen
como
f
(x)
=
g (x)
=
x
+
una
expresión
para
( f
g)
−1
Muestre
instrucción
Sean
g (x)
que
f
Halle
+
g
(12)
=
14.
dada)
En
=
2x
–
1;
h (x)
,
=
una
expresión
x
≠
4
5
que…”
signica
Simplique
Resuelva
su
la
el
resultado
requerido
utilizando
la
información
para
(h
g)
(x).
Un
buen
lado
g)
necesidad
preguntas
generalmente
(h
respuesta.
ecuación
sin
las
(x)
=
de
una
prueba”.
de
tipo
“muestre
se
emplea
que”
2
2
°
b
3
−1
(12)
x
a
“muestre
(posiblemente,
3x
13
2
(x).
°
b
1
2.
“obtenga
Halle
a
–1
3x
La
y
–2
derecho
operar
0.
no
método
con
de
el
consiste
la
lado
calculadora.
en
expresión
izquierdo
cubrir
y
el
luego
hasta
que
el
°
resultado
Ejercicios
1
Use
el
2
la
CPG
dominio
Dibuje
de
para
y
el
y
con
el
lado
derecho.
revisión
dibujar
aproximadamente
recorrido
f
de
aproximadamente
dominio
concuerde
(x ) =
la
función
e
indique
x + 2
la
función y
la
función
=
(x
+
1)(x
−
3)
e
indique
su
recorrido.
1
3
Dibuje
aproximadamente
y
e
=
x
y
su
indique
su
dominio
+ 2
recorrido.
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
1
4
La
función
f (x)
se
dene
f
como
(x ) = 2
x
a
Dibuje
b
Use
con
la
el
aproximadamente
CPG
eje
x
como
y
el
eje
ayuda
la
cur va
para
f (x)
escribir
≠
x
+
para
el
−1
.
+1
−3
valor
≤
de
x
≤
la
2.
intersección
y
5
a
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
de
f
(x ) =
2
x
b
¿Para
qué
c
Indique
el
valor
de
x
dominio
no
y
está
el
recorrido
2x
6
Dada
la
función
f
Escriba
b
Dibuje
c
Escriba
las
ecuaciones
Sea
f (x)
=
5
de
coordenadas
2
7
2
a
Dibuje
b
Resuelva
−
x
las
la
de
asíntotas.
función.
los
puntos
de
intersección
con
ambos
ejes.
2
y
g (x)
=
x
−
aproximadamente
f (x)
de f (x).
+ 2
aproximadamente
las
f (x)?
(x ) =
x
a
denida
=
2.
ambas
funciones
en
un
solo
gráco,
para
−3
≤ x
≤
3.
g (x).
Capítulo
1
27
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
3
8
Sea
f (x)
=
x
–
3.
−1
a
Halle
la
función
b
Dibuje
c
Resuelva
inversa
f
(x).
−1
aproximadamente
f (x)
y
f
(x)
en
el
mismo
sistema
de
ejes.
–1
2 x
9
f
f (x)
,
+
x
todas
f
(x).
2
1
(x ) = e
Dibuje
=
x
≠ 1
+1
aproximadamente
las
la
cur va
de f (x)
para
−5
≤
x
≤
2,
incluidas
asíntotas.
Cuando
10
Considere
las
funciones
f
y
g
donde
f (x)
=
3x
–
2
y
g (x)
=
x
–
3.
en
exámenes
los
del
IB
−1
a
Halle
la
función
inversa,
aparecen
f
−1
b
Sabiendo
que
g
−1
(x)
=
x
+
3,
halle
( g
f
en
)(x).
palabras
negrita
(como
la
°
x
−1
c
Muestre
que
(f
g)(x)
palabra
1
=
ecuaciones
.
°
3
–1
d
Resuelva
en
el
apar tado
( f
g)(x)
=
( g
f
°
signica
)(x)
f
que
se
debe
°
hacer
Sea
e),
–1
exactamente
lo
(x )
,
h( x ) =
x
≠
2.
que
se
requiere.
Por
g(x )
ejemplo,
d
Di buje
el
aproximadamente
gráco
de
h
para
−6
≤
x
≤
10
≤
y
≤
10,
incluidas
todas
las
Escriba
las
ecuaciones
RESUMEN
DEL
Introducción
●
Una
●
El
pares
●
El
●
Una
Una
A
El
las
es
función
de
dominio
conjunto
conjunto
el
de
es
conjunto
una
es
como
como
3.
1
de
pares
todas
o
cuando
un
y
de
el
salto
Usamos
de
relación
una
el
ordenados.
las
las
primeras
segundas
donde
función
componentes
(valores
de x)
de
los
cada
componentes
valor
de x
está
(valores
de y)
relacionado
de
con
cada
un
par.
único
lo
de
gráco
conoce
de
recta
ver tical
cor ta
al
gráco
solo
una
vez.
como prueba de la recta vertical
una
relación
en
un
plano
cartesiano
aper tura
no
está
por
[
,
]
si
cierre
denido
el
en
(
,
)
ese
si
el
valor
punto
(un
no
está
punto
incluido
no
en
denido
el
gráco
o asíntota,
valor
per tenece
al
gráco.
comprensión:
{
de
y
discontinuidad).
corchetes
conjunto
toda
intervalos:
de
Denición
se
si
recorrido
paréntesis
o
los
valores
x
de
:
x
x
<
6
}
tales
que
x
es
menor
que
6
Continúa
Funciones
no
funciones
procedimiento
Usamos
28
y
y
relación
este
El
3,
asíntotas.
CAPÍTULO
un
el
las
=
ordenados.
Notación
●
es
recorrido
valor
●
es
relación
dominio
a
de
darse
asíntotas.
x
e
respuesta
e
debe
−4
la
en
la
página
siguiente.
Notación
●
f (x)
se
funcional
lee
“f
Funciones
●
La
x”
y
signica
“el
valor
de
la
función
f
evaluada
en
x”.
compuestas
función
f (g (x)),
de
compuesta
que
se
lee
“f
de
de
g
la
de
función f
x”,
o
( f
con
la
g)(x),
función
que
se
g
se
escribe
como
lee
°
“g
●
compuesta
Una
y
se
función
dene
con
f
de
x”
aplica
compuesta
como
( f
g)(x)
=
una
función
al
resultado
de
otra
f ( g(x)).
°
Funciones
inversas
−
●
La
●
Las
de
inversa
( f
una
funciones
g)(x)
=
función
f (x)
xpara
y
g (x)
todos
f (x)
es
resultan
los
f
(x)
y
revier te
inversas
valores
de x
una
en
el
de
la
acción
otra
dominio
de
la
función.
si:
de
g,
y
°
( g
f
)(x)
=
x
para
todos
los
valores
de
x
en
el
dominio
de
f .
°
●
Podemos
tienen
vez,
Los
●
entonces
grácos
El
gráco
Para
y
●
de
de
hallar
la
Si
la
la
la
la
función
prueba
una
de
las
y
no
recta
horizontal
tiene
=
función
de
una
para
horizontal
cor ta
a
la
identicar
función
más
funciones
de
que
una
inversa.
funciones
inversa
recta
la
recta
función
de
despejamos
A
la
inversas.
respecto
●
usar
inversas
función
es
una
simetría
de
dicha
función
x.
inversa
algebraicamente,
reemplazamos f (x)
por
y,
y.
I(x)
=
x
se
la
denomina
función
identidad.
Deja
invariables
−
a
los
valores
de
x.
Por
lo
tanto,
f
f
=
I
°
Transformaciones
●
f (x)
+
●
f (x)
–
●
f (x
+
k
k
desplaza
desplaza
k)
desplaza
unidades,
●
f (x
−
k)
a
f
k
a
cuando
f
f
a
cuando
desplaza
unidades,
a
f
k
de
(x)
(x)
(x)
>
ver ticalmente
ver ticalmente
hacia
hacia
horizontamente
arriba
abajo
una
una
distancia
distancia
hacia
la
izquierda
hacia
la
derecha
una
de k
de k
unidades.
unidades.
distancia
de k
0.
(x)
>
funciones
horizontamente
una
distancia
de k
0.
●
−f (x)
es
una
simetría
de
f
(x)
respecto
del
eje
x
●
f (−x)
es
una
simetría
de
f
(x)
respecto
del
eje
y
●
f (qx)
es
un
estiramiento
horizontal
de
●
pf (x)
es
un
estiramiento
ver tical
f
f
(x)
con
una
razón
de
q
de
(x)
con
una
razón
de
p.
Capítulo
1
29
T
eoría
La
del
Conocimiento
representación
A
la
matemática
números,
Cuando
esta
líneas
se
página,
de
grácos
antes
una
de
de
visualmente
funciones
representación
presentarla
se
en
001
6
rop
5
3
2
0
de
por
millas
2
0
47-07
47>
96-56
46-06
por
95-55
Grupos
45-05
94-54
44-04
93-53
x
fatales
millones
6
años
edades
gráco
segura
relaciona
el
número
que
las
de
con
la
distancia
recorrida
20
por
personas
de
80
años
conductores
de
diferentes
¿Qué
manera
muy
¿Cree
son
El
usted
que
estas
referida
a
Monthly
los
Nivel
de
Labor
ingresos
Ingresos
según
educación
el
Teoria
nivel
nivel
de
Mediana
(en
esta
educación
de
los
dólares
75
60
827
Maestría
46
269
Universitario
36
155
Secundario
23
317
esta
título
000
univer sitario
por
Conocimiento:
la
incrementará
año”.
armación
cier ta?
representación
ingresos
Doctorado
un
información
anuales
estadounidenses)
868
¿Es
de
educativo.
71
USD13
del
el
publicó
Profesional
“Obtener
30
Review
según
alcanzado
■
los
armaciones
cier tas?
informe
casi
dice
el
gráco
conductores
de
segura.
y
■
le
acerca
conducen
los
de
de
conducen
■
Las
x
que:
edades.
años.
●
qué
4
43-03
de
más
y
6
92-52
forma
usar
8
accidentes
de
escala
grácos
10
edades
sugiere
personas
los
conducidas,1988
42-02
Las
imágenes,
12
[
Este
●
como
qué
Accidentes
100
91-61
97-57
97>
47-07
96-56
46-06
95-55
45-05
94-54
44-04
93-53
43-03
92-52
42-02
91-61
por
tales
decidido
14
ed
setnediccA
1
Grupos
visual,
y
sallim
selataf
oremúN
ne(
ed
4
gráco
modelos,
relaciones.
16
sadicudnoc
7
)selim
serotcudnoc
fatales,1988
8
[ Este
ha
y
en
mostrar.
conductores
accidentes
representa
senollim
Número
9
y
la
muestra
información
y
se
matemática
matemática
sus
ingresos
en
años?
6
años
de
de
Precisión
■
¿Cuán
útiles
■
¿Cuán
preciso
■
¿Cuáles
son
interpolación
son
grácos
puede
las
y
los
ser
un
ventajas
la
y
para
transmitir
desventajas
extrapolación
de
los
—
600
—
500
—
400
—
300
—
200
—
100
—
0
—
información?
gráco?
las
700
de
la
datos?
y
t
4,5
t
3,6
t
2,7
t
1,8
t
0,9
t
0
t
SUB
5,4
AÍVNART
t
ORTEM
t
6,3
NERT
7,2
A
t
ROTOM
t
8,1
SOLUCÍHEV
9,0
x
voN
ci D
peS
tcO
luJ
ogA
yaM
nuJ
rbA
beF
raM
enE
x
Mes
■
■
¿Cuán
Producto
exactas
X
■
Producto
resultan
Y
■
estas
Producto
Z
representaciones
visuales?
●
Rayos
●
Pinturas
X
●
Instantáneas
Una
es
red
“una
de
de
cómputos
infraestructura
hardware
que
brinda
able,
y
un
■
¿Qué
¿De
en
y
es
qué
una
informática,
se
bajo
de
alta
gama”.
red?
modo
de
capacidades
inf or máticas
Redes
■
a
acceso
constante,
generalizado
costo
software
emplean
Foster
y
Kesselman,
planicación
998
urbana,
biología
y
asuntos
■
¿Existen
militares?
computadores
■
¿En
qué
consisten
no
siguientes
Redes
de
●
Redes
conectados
una
red?
datos
■
●
están
redes?
a
●
que
las
¿Es
un
una
red
computador
agrupadas
Redes
de
campus
Redes
de
mapeo
en
sí
mismo?
●
Capitulo
1
31
Funciones
y
ecuaciones
2
cuadráticas
ObjetivOs
del
capítulO:
2
La
2.4
función
cuadrática
intersecciones
con
f (x)
el
eje
La
forma
x
↦
a(x
−
p)(x
La
forma
x
↦
a(x
−
h)
−
=
x
ax
y
q),
el
+
bx
eje
y,
+
c
=
ejes
0:
de
intersecciones
su
gráco,
su
vér tice,
simetría
con
el
eje
x
(p, 0)
y
(q, O)
2
+
k,
vér tice
(h, k)
2
2.7
Resolución
2.7
La
2.7
El
2.8
Aplicación
fórmula
discriminante
an
1
ecuaciones
de
y
las
de
la
naturaleza
habilidades
ecuaciones
de
a
de
de
las
representación
de
simples
ax
+
bx
la
gráca
vida
+
c
=
0
de
funciones
una
Resuelva
cada
nuestras
ecuación:
dada
ejemplo:
Resolver
en
3a
–
5
=
a
+
7
b:
2
3b
−
2
=
3b
=
2,
4x
+
3(n
–
1
=
21
0
2
b
4)
=
5(n
+
2)
3
Por
ejemplo:
Resolver
la
ecuación
2
n
+
3
=
5:
+
3
=
5
n
=
2
n
2
=
n
2
2,
±
Factorizar
2
expresiones
matemáticas
2
Factorice
2
Por
ejemplo:
Factorizar p
cada
p(p
ax
ejemplo:
–
x(a
3x
–
+
3)
2a
+
Factorizar
–
2(a
5p:
2k
la
–
5)
−
expresión
14a
10k
2
+
21a
−
2x
5a
+
4xy
−
10a
+
+
2)(a
–
−
n
+
4n
+
3
3)
2
f
Por
ejemplo:
Factorizar
la
2x
−
x
−
3
expresión
2
2
x
–
3x
–
0:
(x
+
2)(x
–
g
m
−
h
25x
36
5)
2
Por
ejemplo:
Factorizar
la
expresión
2
4a
32
–
25:
3x
+
6y
2
3)
2
(x
49a
2
6:
–
expresión:
2
–
3
Por
y
de
real
Comprobemos
en
1
Por
forma
raíces
situaciones
saber
ecuaciones
incógnita
la
omnzr
necesitamos
Resolver
cuadráticas
cuadrática
resolución
Qué
de
(2a
+
5)(2a
–
5)
Funciones y ecuaciones cuadráticas
2
−
81y
ab
+
2b
habilidades
Este
monumento
mundial
Las
fue
fuentes
hermosas
La
las
del
de
la
que
y
2004
una
cur vas
pueden
de
en
dejan
la
segunda
guerra
Washington
uir
aguas
DC.
que
forman
cur vas.
derecha
sigue
trayectorias
parábolas
en
monumento
trayectorias
imagen
bebedero,
conmemorativo
inaugurado
muestra
un
trayectoria
de
estos
chorro
similar.
chorros
modelizarse
se
de
agua
Las
de
un
formas
de
denominan
mediante
funciones
de
la
2
forma
f
(x)
denomina
Otras
=
+bx
ax
fnon
situaciones
funciones
laaltura
+c.
un
tales
funciones
se
las
rá
que
pueden
cuadráticas
de
A
objeto
modelizarse
incluyen
en
caída
el
área
libre
en
de
mediante
una
gura
función
y
del
tiempo.
En
este
capítulo,
grácamente
estudiaremos
funciones
cómo
cuadráticas
representar
expresadas
en
2
forma
polinómica,
f
(x)
=
ax
+
bx
+
c;
en
forma
canónica,
2
y
=
a(x
Cada
−
h)
una
+
de
quisiéramos
chorro
de
canónica.
un
k;
estas
saber
agua
Si
de
en
forma
formas
la
un
con
nos
su
mayor
(x)
de
=
las
área
a(x
−
utilidad.
alcanzada
deberíamos
encontrar
medida
de
propia
máxima
bebedero,
una
sería
factorizada, f
tiene
altura
quisiéramos
rectángulo
factorizada
y
por
usar
p)(x
−
q).
Si
el
la
forma
dimensiones
de
par ticular,
forma
la
utilidad.
Capítulo
2
33
.
Roón
on
rá
Algunas
ecuación
que
puede
escribirse
en
la
forma ax
+
bx
+
c
=
a
≠
0,
se
denomina
ón
rá .
Los
siguientes
ejemplos
de
ecuaciones
escritas
en
son
la
todos
no
0,
aparecen
donde
estas
ecuaciones
2
Una
de
forma
cuadráticas:
2
ax
+
bx
+
c
=
0
pero
2
–
x
4x
+
7
=
0
pueden
ser
ordenadas
2
=
5x
3x
–
2
de
2x(3x
–
7)
=
modo
En
–
7)(2
esta
–
tengan
0
esa
(x
que
5x)
sección,
=
forma.
4x
comenzaremos
a
resolver
ecuaciones
En
cuadráticas.
un
trinomio
cuadrado
Resolución
Antes
de
por
factorización
comenzar
factorización
es
a
resolver
impor tante
2
2
ax
ecuaciones
comprender
cuadráticas
una
bx
+
término
por
propiedad
+
bx
fundamental:
y
es
c
es
c,
ax
es
el
cuadrático,
el
término
el
lineal
término
constante.
➔
Si
xy
=
0,
entonces
Esta
propiedad
Si
−
(x
a)(x
−
x
=
puede
b)
=
0,
0
o
ser
y
=
0.
ampliada
entonces
x
−
a
a:
=
Usualmente
0
o
x
−
b
=
0.
conoce
como
emo
Resuelva
estas
ecuaciones
por
2
x
−
5x
−
14
=
0
la
propiedad
ro
roo
no
factorización.
2
esta
se
3x
2
+
2x
−
5
=
0
4x
+
4x
+
1
=
0
Respuestas
2
x
−
(x
x
5x
−
−
−
7)(x
7
=
x
=
7
x
=
−2
14
+
0
o
=
2)
0
=
o
Factorizar
la
expresión
en
el
miembro
izquierdo
de
la
ecuación
0
x
+
2
=
x
=
−2
0
Igualar
cada
factor
a
cero,
usando
la
propiedad
del
producto
nulo
7
2
3x
+
(3x
2x
+
−
5)(x
5
–
=
1)
0
=
Factorizar
0
Igualar
3x
+
5
=
0
o
x
–
1
=
la
cada
expresión
factor
a
en
el
miembro
izquierdo
de
la
ecuación
cero
0
Puede también hallar las soluciones con su calculadora de pantalla
5
x
=
x
=
1
gráca (en adelante, CPG). (Vea la sección 1.7 en el capítulo 17.)
3
5
x
=
,
1
3
2
4x
+
4x
+
1
=
0
Cuando
(2x
+
1)(2x
(2x
+
1)
+
1)
=
0
obtenemos
cuadrado
perf ecto
y
el
mismo
solo
factor
habrá
una
dos
veces,
solución.
se
trata
2
2x +
1
=
=
0
0
1
x
=
−
2
34
Funciones y ecuaciones cuadráticas
decimos
que
esta
ecuación
tiene
dos
raíces
de
un
Usualmente
iguales
Ejercitación
En
este
ejercicio,
verique
sus
resuelva
respuestas
Resuelva
1
A
por
todas
con
una
3x
x
+
2
=
0
−
25
=
0
por
+
5x
+
Si
−
56
=
0
m
x
+
2x
−
48
=
0
f
b
−
+
−
−
16x
11m
+
30
=
0
2h
6b
+
9
=
0
factorización.
4
=
0
2
5c
+
6c
−
8
=
0
2
4x
una
a
2
2
después
CPG.
2
6x
y
2
a
2
mano
2
Resuelva
2
a
2
−
2
ecuaciones
factorización.
2
x
las
−
ecuación
9
=
0
3t
cuadrática
no
−
3h
+
x
−
5
=
0
2
+
14t
está
+
8
=
escrita
0
en
6x
f
la
forma
−
12
=
0
polinómica,
2
ax
+
bx
+
c
=
factorizarla,
emo
Resuelva
0,
tal
deberemos
como
se
reordenar
muestra
en
los
el
términos
ejemplo
antes
de
2.
estas
ecuaciones
por
factorización.
2
8x
−
5
=
10x
−
2
10x
−
2
x (x
+
10)
=
4(x
−
2)
Respuestas
2
8x
−
5
=
Agrupar
todos
los
tér minos
2
8x
−
(4x
+
4 x +
10x
−
1)(2x
1
=
3
−
0
o
=
3)
2x
0
=
−
3
=
x
de
la
=
0
Factorizar
y
resolver
en
x
Hace
+
+
(x +
x +
10)
10x
=
=
6x
+
4)(x
4
=
x
4(x
4x
=
8
+
−
–
0
=
2)
Desar rollar
8
los
o
x
=
+
−4
=
0
2)
x
−4,
Resuelva
los
tér minos
paréntesis
y
agrupar
como
semejantes
x
Factorizar
y
resolver
en
ejemplo,
2
=
=
a
0
−2
−
3z(z
+
4)
soluciones
problemas
de
un
7
=
13
+
2
x
2n
+
11n
=
−(z
+
9)
2(a
−
5)(a
x
36
x
+ 5 =
2x
f
=
3n
−
n
+
5)
=
−
4
Use
21a
“x”
para
número
PREGUNTA
3
Los
x
+
La
dos
2
y
y
y
su
TIPO
lados
5x
–
número
escriba
una
ecuación
2x
para
Un
el
1
1
x
2
el
factorización.
representar
con
rectángulo.
B
por
2x
para
por
relacionados
−2
2
+
x
2
egipcios
ecuaciones
estas
encontrar
,
0
2
y
cuadráticas
área
Ejercitación
1
antiguos
estudiaron
2
2
x
de
o
+
x
los
babilonios
2
x
miles
años,
2
=
x(x
miembro
3
4
un
=
4
1
x
en
ecuación
3
1
x
semejantes
0
cuadrado
dieren
en
12.
Halle
el
resolver
en
x
número.
EXAMEN
per pendiculares
de
un
triángulo
rectángulo
miden
3.
hipotenusa
mide
4x
+
.
Halle
x.
Capítulo
2
35
ingón:
Resuelva
estas
trinomios
ecuaciones
por
x
3
x
2
+
10x
+
25
=
0
2
x
+
14x
+
49
=
0
4
x
2
+
6x
+
9
−
8x
+
16
=
−
20x
0
2
2
=
0
2
x
5
perfectos
factorización.
2
1
cuadrados
−
¿Qué
18x
nota
+
81
de
=
0
x
6
par ticular?
Describa
los
+
100
patrones
=
0
que
reconozca
en
las
ecuaciones
cuadráticas
originales.
Un
trinomio
¿Por
qué
es
cree
Resolución
Algunas
pero
un
polinomio
que
a
por
el
ecuaciones
existen
otros
estos
con
tres
términos.
polinomios
se
les
procedimiento
cuadráticas
métodos
que
no
de
pueden
pueden
llama
"trinomios
completar
resolverse
usarse
para
por
cuadrados
perfectos"?
cuadrados
factorización,
resolverlas
sin
usar
la
CPG.
2
Tomemos
El
la
miembro
+
ecuación x
izquierdo
de
4x
la
+
49
=
ecuación
0
es
de
un
la
investigación
cuadrado
anterior.
perfecto,
2
dos
factores
idénticos: x
porque
tiene
2
+
4x
+
49
=
(x
+
7)(x
+
7)
=
(x
+
7)
2
Para
resolver
la
ecuación
x
+
4x
+
49
=
0,
podríamos
factorizar,
lo
cual
2
nos
daría
solución
la
x
ecuación
=
(x
+
7)
=
0,
que
nalmente
nos
conduce
a
la
−7.
2
¿Qué
Si
se
ocurriría
si
reagr upan
le
pidiesen
los
que
términos
en
resuelva
el
la
ecuación x
miembro
izquierdo
+
4x
de
la
+
49
=
5?
ecuación,
se
2
obtiene
+
x
embargo,
el
4x
aún
ejemplo
+
es
44
=
posible
0,
que
no
obtener
puede
la
factorizarse
solución
exacta,
fácilmente.
tal
como
se
Sin
muestra
en
3.
emo
✗
Resuelva
estas
ecuaciones
sin
emplear
2
x
la
CPG.
2
+
14x
+
49
=
5
x
–
6x
+
9
=
6
Respuestas
2
x
+
14x
+
49
=
5
Factorizar
el
trinomio
cuadrado
perf ecto
2
(x
+
7)
=
5
en
el
miembro
izquierdo
de
la
ecuación
Las
Aplicar
raíz
cuadrada
en
respuestas
ambos
expresadas
x
+ 7
=
±
miembros
5
de
la
ecuación
en
x
x
=
−7 ±
tiene
dos
soluciones:
7 +
5
forma
radicales
5
−7
−
de
y
son
5
soluciones
2
x
–
6x
+
9
=
6
Nuevamente,
observamos
que
el
miembro
2
(x
x
−
3)
− 3
=
=
±
6
izquierdo
de
cuadrado
perf ecto;
=
3 ±
6
Funciones y ecuaciones cuadráticas
el
mismo
apartado
x
36
ecuación
por
es
lo
un
trinomio
tanto,
podemos
6
usar
x
la
tiene
método
empleado
en
el
a
dos
soluciones:
3
+
6
y
3
6
exactas.
En
el
ejemplo
perfectos.
resolver
de
Se
3,
Para
el
al
Resuelva
el
trinomios
Este
y
paso
sume
por
izquierdo
calcule
el
permite
el
perfectos
método
de
la
mitad
resultado
crear
la
un
a
del
+
para
denominado
coeciente
ambos
trinomio
miembros
cuadrado
de x,
de
la
perfecto
ecuación.
cada
ecuación
completando
el
cuadrado.
2
x
cuadrados
2
trinomios
cuadrados
cuadrática
cuadrado,
cuadrado
miembro
emo
involucraban
ro
ecuación.
en
usar
ecuación
completar
elévela
ecuaciones
pueden
cualquier
omr
➔
las
10x
=
6
x
2
–
12x
=
3
x
–
3x
–
1
=
0
Respuestas
2
x
El
+
10x
=
6
+
10x
+
25
coeciente
de
x
es
10;
dividir
por
2
x
=
6
+
2
25
(5)
y
elevar
al
cuadrado
(25)
2
(x
+
5)
=
Completar
31
el
cuadrado
sumando
25
Hace
a
x
+ 5
=
±
ambos
más
años,
=
mil
31
Resolver
x
de
miembros
−5 ±
en
los
matemáticos
x
31
hindúes
y
árabes
2
x
El
–
12x
=
3
–
12x
+
36
coeciente
de
x
es
12.
desarrollaron
2
2
x
=
3
+
12
36
÷
2
=
6,
6
=
36
métodos
similares
2
(x
−
6)
=
Completar
39
Resolver
x
− 6
=
±
el
en
cuadrado
x
al
de
el
cuadrado
completar
resolver
x
=
para
39
6 ±
ecuaciones
39
cuadráticas.
Estaban
2
x
–
3x
–
–
3x
=
1
=
0
Sumar
1
a
ambos
miembros
de
la
buscando
soluciones
2
x
1
ecuación
a
problemas
2
9
9
2
x
3
− 3x
+
= 1 +
La
mitad
de
3
es
⎛
,
3
4
2
Sumar
=
2
2
4
⎠
“¿Cuál
debe
a
ambos
miembros
de
el
cuadrado
que,
la
4
⎟
⎝
⎝
como
ser
13
x
⎜
tales
⎟
9
2
3 ⎞
⎛
matemáticos
9
es
⎜
4
⎞
y
cuando
4
⎠
se
aumenta
ecuación
en
3
±
x
=
Resolver
2
veces
sus
en
propias
raíces,
obtiene
39?”
se
x
2
3 ±
x
10
13
puede
13
Esto
escribirse
como
=
2
x
2
Ejercitación
C
Resuelva
procedimiento
por
el
2
1
x
x
completar
el
+
8x
=
3
2
x
7x
−
4
=
0
5
x
=
39.
2
−
5x
=
3
3
x
2
+
10x
cuadrado.
2
2
4
de
+
−
6x
+
x
+
1
=
0
2
−
2x
−
6
=
0
6
x
−
3
=
0
2
➔
Para
completar
el
cuadrado,
el
coeciente
del
término
en x
debe
2
ser
de
.
Si
el
término
completar
factor
común
el
o
en x
tiene
cuadrado,
dividir
un
puede
toda
la
coeciente
sacar
ese
expresión
distinto
de
coeciente
por
ese
,
antes
como
coeciente.
Capítulo
2
37
emo
Resuelva
estas
ecuaciones
completando
2
2x
el
Abu
cuadrado.
Kamil
Shuja
2
+
8x
=
6
3x
–
15x
=
(c.
2
850 – c.
también
Respuestas
como
930),
conocido
al-Hasib
2
2x
+
8x
=
6
Dividir
ambos
miembros
de
la
2
al-Misri,
que
signica
2
x
+
4x
=
3
+
4x
+
4
ecuación
por
el
coeciente
de
x
,
“la
calculadora
de
2
x
=
3
+
4
que
2
(x
+
2)
x
+
2
x
=
–2
=
=
2
Egipto”,
Completar
7
cuadrados
para
en
20x
=
x
2
4(x
−
5x)
=
5
Dividir
toda
la
en
coeciente
5x
introducir
álgebra
los
para
expresión
por
n
tales
como
m+n
x
=
x
el
2
5
2
–
los
5
m
x
el
símbolos
2
−
de
x
potencias,
4x
uno
resolver
7
±
fue
primeros
en
7
±
es
de
x
,
que
es
4
=
4
25
5
25
2
x
–
5x
=
+
+
2
4
4
4
5
La
mitad
de
5
es
,
2
5 ⎞
⎛
30
x
=
⎜
2
15
⎛ 5
⎞
⎜
⎟
25
y
es
⎝
2
.
4
⎠
=
⎟
2
⎝
4
⎠
5
2
La
15
x
=
respuesta
puede
escribirse
±
2
5
2
también
como
x
±
30
=
2
5
x
15
=
±
2
2
Ejercitación
D
Resuelva
procedimiento
por
el
de
2
1
2x
3
5x
5
2x
completar
cuadrado.
2
+
12x
=
6
−
10x
+
2
=
−
x
6
=
0
2
3x
4
4x
6
10x
2
−
6x
=
3
+
6x
−
5
2
0
2
.
el
=
0
2
l
−
fórm
Sabemos
que
una
+
4x
−
5
=
0
rá
ecuación
cuadrática
puede
escribirse
en
la
forma
2
ax
+
bx
+
c
cuadrática
=
0.
Supongamos
general
usando
el
que
queremos
procedimiento
Tendríamos:
resolver
de
esta
completar
ecuación
el
cuadrado.
Reste
c
de
ambos
2
ax
+
bx
+
c
=
+
bx
=
–c
0
miembros
de
la
ecuación.
2
ax
Divida
ambos
miembros
c
b
2
x
+
x
=
–
de
2
b
⎛
2
x
+
x
b
ecuación
por
=
⎝
⎟
2a
⎠
⎛
b
La
⎜
a
⎝
mitad
de
⎟
2a
b
b
⎞
+
−
es
a
.
2a
⎠
Elevando
al
cuadrado
2
b
obtenemos
2
4a
38
a
2
c
⎞
+
⎜
a
la
a
a
Funciones y ecuaciones cuadráticas
2
2
b
⎛
x
c
⎞
+
=
⎜
b
−
+
⎟
2a
⎝
2
a
⎠
4a
2
2
b
⎛
x
b
⎞
+
4 ac
=
⎜
⎟
2a
⎝
2
4a
⎠
2
b
x
2
b
+
=
4 ac
±
±
b
− 4 ac
=
2
2a
2a
4a
2
−b
x
±
b
− 4 ac
=
2a
Este
procedimiento
nos
da
una
fórmula
muy
útil
que
puede
Esta
utilizarse
➔
l
para
resolver
fórm
cualquier
ecuación
fórmula
aparece
cuadrática.
en
el
cuadernillo
de
fórmulas
de
rá
Matemáticas
2
Para
cualquier
ecuación
de
la
forma ax
+
bx
+
c
=
0,
NM
2
−b
x
±
del
tanto,
b
IB;
no
por
tiene
lo
que
− 4 ac
=
memorizarla.
2a
emo
Resuelva
cada
ecuación
usando
2
x
la
fórmula
cuadrática.
2
+
4x
−
6
=
0
=
0
2x
2
−
3x
=
7
3x
=
7x
+
6
Respuestas
2
x
+
4x
−
6
2
−4
x
±
Usar
4
− 4
(1) (
a
2
4 ±
x
la
f ór mula
cuadrática
con
6)
=
=
1,
b
=
4
y
c
=
−6
(1)
40
Esta
=
respuesta
es
cor recta
pero
puede
2
simplicarse
4 ± 2
x
más.
10
=
= − 2 ±
10
2
2
2x
−
3x
=
7
−
3x
−
7
Primero
escribir
la
ecuación
en
la
2
2x
=
2
0
f or ma
polinómica,
ax
+
bx
+
c
=
0
2
3 ±
x
(
3)
4
2
3 ±
x
(
2)
(
7)
Usar
la
f ór mula
cuadrática
con
=
a
(2)
=
2,
b
=
−3
y
c
=
−7
65
=
4
2
3x
=
7x
+
Primero
6
escribir
la
ecuación
en
la
2
2
3x
−
7x
−
6
=
f or ma
0
Usar
2
7 ±
x
(
7)
4
=
7 ±
f ór mula
+
bx
cuadrática
+
c
=
0
con
=
3,
b
=
−7
y
c
=
−6
(3)
7 ± 11
121
=
la
ax
6)
a
2
x
( 3) (
polinómica,
=
6
6
2
x
=
−
, 3
3
Capítulo
2
39
Ejercitación
Resuelva
estas
E
ecuaciones
usando
la
2
1
4x
3
5x
5
x
7
2x
cuadrática.
2
+
9x
−
7
+
6x
+
1
=
0
2
3x
4
x
6
3x
8
2x
2
+
2x
−
8
=
0
2
=
0
−
2
6x
=
−4
2
=
x
−
3
2
+
10x
=
9x
=
5
2
−
3x
=
1
x
6
–
9
2x
=
9
suma
Halle
4
x
=
5x
emo
+
+ 3
10
x
La
fórmula
2
x
+ 1
de
los
los
dos
cuadrados
números
de
dos
números
enteros
consecutivos
es
613.
enteros.
Respuesta
Primero,
2
+
(x
+
x
2
+
1)
=
613
necesario
escribir
una
ecuación.
+
2x
+
1
2
x
=
Sea
613
2
2x
+
2x
−
612
=
x
el
número
consecutivo.
0
agrupamos
2
x
es
2
x
+
x
−
306
=
entero
menor
Desar rollamos
tér minos
y
los
x
+
1
el
entero
paréntesis
y
semejantes.
0
Dividimos
por
2.
2
(1)
−1 ±
x
− 4
( 1)
(
La
−306 )
cuadrática
por
−1 ±
x
1225
=
factorización
o
completando
−18
dos
o
La
Dado
enteros
son
−18
y
−17,
o
17
y
18.
que
para
x
Hay
dos
+
hay
dos
valores
suma
de
pares
F
dos
números
es
50
y
su
producto
es
576.
Halle
los
2
perímetro
de
un
Halle
el
largo
y
Halle
el
valor
de
4x
+
–
el
x
rectángulo
ancho
en
el
del
de
70
m
rectángulo.
diagrama.
6
6
3x
40
es
Funciones y ecuaciones cuadráticas
y
su
área
es
para
x,
habrá
dos
1.
posibles
números.
x
cuadrado.
2
17
Ejercitación
El
el
=
consecutivos.
3
resolverse
−1 ± 35
=
Los
2
también
(1)
2
1
podría
=
2
x
ecuación
264
m
.
de
números
enteros
valores
PREGUNTAS
Un
4
Si
TIPO
rectángulo
se
reduce
el
EXAMEN
tiene
un
largo
x
largo
cm
y
de
se
23 cm
y
aumenta
un
el
ancho
ancho
x
de
16 cm.
cm,
2
el
área
del
del
nuevo
nuevo
rectángulo
es
378
.
cm
Halle
las
dimensiones
rectángulo.
2
La
5
fórmula
que
h
alcanza
¿Cuánto
=
2
una
+
14t
–
pelota
tiempo
4,9t
t
proporciona
segundos
permanece
la
la
después
pelota
en
el
altura,
de
haber
h
metros,
sido
lanzada.
aire?
Material
de
disponible
.
R
on
ingón:
Resuelva
1
estas
raíces
ecuaciones
de
x
–
8x
+
16
estas
=
0
4x
ecuaciones
5x
–
14
estas
=
0
3x
ecuaciones
3x
+
6
=
patrones
preguntas
Ahora
+
9
la
=
0
25x
fórmula
1,
obser vemos
2x
encontró
y
2
0
3?
en
¿Por
nuevamente
de
cuadráticas
aún
más
difíciles
+
10x
+
1
=
Podemos
considerar
0
2
–
8x
+
2
la
=
0
5x
fórmula
–
3x
–
4
=
0
cuadrática.
2
–
las
qué
Hoja
ecuaciones
cuadrática.
2
+
¿Qué
4
12x
usando
2
x
línea:
Dos
cuadrática.
2
+
Resuelva
3
fórmula
2:
2
–
usando
2
x
la
ejercicios
cuadráticas
2
Resuelva
2
ecuaciones
usando
2
rá
ampliación
en
4x
+
5
=
0
soluciones
cree
la
que
de
las
sucede
fórmula
4x
+
2x
+
ecuaciones
1
=
de
0
las
esto?
cuadrática
usada
para
2
resolver
ecuaciones
de
la
forma
+
ax
bx
+
c
=
0,
donde
a,
b
y
c
son
constantes.
2
−b
x
±
b
− 4 ac
=
2a
Esta
fórmula
cuadrática.
nos
nos
Una
informará
incluso,
fórmula
sin
proporcionará
par te
acerca
dar nos
cuadrática
la
de
de
la
la
raíces
fórmula
gura
El
de
una
cuadrática,
naturaleza
solución.
que
las
de
las
el rmnn ,
raíces
discriminante
bajo
el
signo
ecuación
del
de
es
la
la
ecuación,
par te
radical
de
la
(raíz
2
cuadrada),
–
b
representar
el
4ac.
Usualmente
usamos
el
símbolo
“△”
para
discriminante.
2
➔
Para
una
ecuación
cuadrática
ax
+
bx
+
c
=
0,
2
●
Si
b
–
4ac
>
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales
que
distintas.
con
una
dos
ecuación
raíces
reales
2
●
Si
b
●
Si
b
–
4ac
=
0,
la
ecuación
tendrá
–
4ac
<
0,
la
ecuación
no
dos
raíces
reales
iguales.
iguales
tiene
una
sola
2
tendrá
raíces
reales.
solución.
Capítulo
2
41
emo
Use
el
cada
discriminante
para
determinar
la
naturaleza
de
las
raíces
de
ecuación.
2
9x
+
6x
+
1
=
0
1
=
0
4
3x
–
5
=
x
Respuestas
2
9x
+
6x
+
Esta
a
=
es
9,
una
b
=
ecuación
6
y
c
=
cuadrática
con
1.
2
△ = 6
La
–
4(9)(1)
ecuación
=
36
tendrá
−
36
dos
=
Calcular
0
el
discriminante
Discriminante
raíces
=
0
implica
dos
raíces
iguales.
iguales.
4
3x
–
5
=
Primero,
llevamos
la
ecuación
a
la
x
f or ma
polinómica.
Multiplicamos
2
3x
–
5x
=
4
por
x
ambos
miembros,
luego
2
3x
–
5x
–
4
=
0
restamos
4
de
ambos
2
△
=
(−5)
=
25
Esta
−
+
4(3)(−4)
Recuerde:
=
△
48
ecuación
reales
miembros.
2
73
tendrá
dos
>
0
△
=
signica
b
–
dos
4ac.
raíces
reales
distintas.
raíces
distintas.
emo
2
Halle
tiene
el
valor
dos
o
los
raíces
valores
reales
de
k
para
los
cuales
la
ecuación
2x
–
kx
+
3
=
0
distintas.
Respuesta
2
b
–
4ac
>
0
Para
que
la
ecuación
tenga
dos
raíces
2
(–k)
–
4(2)(3)
>
0
distintas,
se
necesita
que
△
>
0.
2
k
–
24
>
0
2
k
>
24
Para
|k|
>
|k|
>
Puede
24
usar
el
valor
absoluto
más
acerca
opere
2
con
la
raíz
cuadrada
información
cuando
en
del
valor
vea
la
sección
desigualdad.
k
>
6
2
o
k
<
–2
6
capítulo
Ejercitación
1
Halle
el
raíces
G
valor
para
del
cada
discriminante
e
x
5x
–
3
=
0
2x
2
4x
x
naturaleza
+
4x
+
1
=
0
16
=
0
2
–
x
+
5
=
0
x
+
3x
+
8
=
0
f
12x
2
42
la
2
+
indique
ecuación.
2
8x
+
2
–
absoluto,
una
6
Funciones y ecuaciones cuadráticas
–
20x
+
25
=
0
de
las
18.
2.7
del
PREGUNTA
Halle
2
TIPO
los
raíces
EXAMEN
valores
reales
de
p
para
los
cuales
+
4x
+
p
=
0
px
2
x
+
px
los
raíces
+
+
8
=
0
valores
reales
x
de
k
para
los
+
x
3x
+
10x
3px
+
1
=
tienen
dos
0
las
=
0
ecuaciones
k
=
0
2x
x
–
3x
+
k
=
0
2
–
Halle
2kx
los
raíces
+
5
=
valores
0
de
m
para
los
–
4kx
cuales
–
las
3k
=
0
ecuaciones
no
tienen
reales.
2
2
x
–
6x
+
m
=
0
x
2
3mx
Halle
+
5mx
+
25
=
0
2
–
PREGUNTA
5
2
iguales.
+
2
+
2
5x
cuales
2
4
dos
2
Halle
3
tienen
2
x
ecuaciones
distintas.
2
las
8x
+
1
TIPO
los
=
0
x
+
6x
+
m
–
3
=
0
EXAMEN
valores
de
q
para
los
cuales
la
ecuación
cuadrática
2
–
qx
4qx
+
5
–
q
=
0
ingón:
Cada
una
de
las
no
tiene
raíces
grácos
siguientes
reales.
de
funciones
funciones
está
cuadráticas
dada
Si
necesita
ayuda
para
obtener
el
2
en
la
forma
y
=
ax
+
bx
+
c.
gráco
Para
cada
de
funciones
cuadráticas
en
función:
una
CPG,
vea
la
sección
1.6
en
el
2
Halle
el
valor
Obtenga
de
b
–
4ac.
capítulo
el
gráco
de
la
función
en
su
2
y
=
2
x
–
3x
–
5
y
=
3x
y
=
4x
2
y
=
+
2x
+
7
y
=
x
g
y
=
–x
–
6x
+
9
f
y
=
2x
h
y
=
x
2
de
la
6x
+
+
3x
4
+
5
2
entre
–
2
x
2
¿Qué
17.
CPG.
5x
+
2
le
sugieren
estos
el
valor
discriminante
función
–
4x
+
2
2
+
del
ejemplos
y
+
sobre
el
7x
la
+
3
relación
gráco
cuadrática?
y
.
Gráo
fnon
rá
2
y
2
Una
función
donde
a
veremos
≠
0,
de
se
la
forma
y
denomina
grácos
de
=
ax
x
2
+
función
funciones
=
bx
+
c,
o
f
(x)
cuadrática.
=
En
ax
+
esta
bx
+
c,
sección,
cuadráticas.
2
La
forma
más
Mostramos
su
simple
de
una
función
cuadrática
es y
=
x
.
gráco.
0
Este
gráco
simétrico
tiene
un
respecto
mínimo
del
eje
en
el
punto
(0,
0),
y
x
es
y
Capítulo
2
43
Si
obser vamos
algunas
los
grácos
de
otras
2
y
=
funciones
cuadráticas,
deberíamos
2
x
+
notar
similitudes.
2x
–
y
=
3x
2
–
y
4x
+
2
y
=
–2x
+
2x
+
3
y
y
0
0
x
x
0
Cada
uno
de
estos
grácos
Cada
gráco
tiene
además
presenta
un
x
una
punto
gura
máximo
cur va
o
un
conocida
punto
como ráo
mínimo
llamado ér
2
Si
el
con
coeciente
el
vér tice
de
es
x
como
el
positivo,
punto
la
parábola
mínimo
del
se
abrirá
hacia
arriba,
gráco.
2
Si
y
el
el
Si
vér tice
será
imaginamos
que
de
coeciente
el
gráco
esa
recta.
de
un
A
punteada
Ahora
en
El
este
veremos
recta
recta
eje
de
la
parábola
se
abrirá
hacia
abajo
máximo.
ver tical
simétrico
esta
mr .
negativo,
punto
una
es
es
x
a
la
y
que
pase
derecha
ver tical
y
por
a
la
imaginaria
simetría
se
el
vér tice,
izquierda
se
muestra
la
con
notaremos
respecto
denomina
una
línea
0
gráco.
diferentes
formas
de
funciones
x
cuadráticas.
eje
Consideremos
los
grácos
de
estas
funciones
cuadráticas
de
la
forma
2
y
=
ax
y
=
x
+
bx
+
c:
2
2
+
x
–
3
y
=
–
0,5x
y
2
–
2x
+
4
y
=
y
x
–
3x
+
y
3
1
x
=
x
–
=
2
2
(0, 4)
(0, 1)
0
0
x
x
0
(0, –3)
x
=
x
–2
2
➔
Para
el
las
funciones
gráco
cor ta
al
cuadráticas
eje
y
en
(0,
en
forma
c).
b
La
ecuación
del
eje
de
simetría
es
x
=
2a
44
Funciones y ecuaciones cuadráticas
polinómica y
=
ax
+
bx
+
c,
de
simetría
2
➔
Cuando
la
función
transformaciones,
cuadrática
las
básica y
funciones
=
x
Posiblemente
sufre
resultantes
pueden
revisar
escribirse
2
como
y
=
a(x
–
la
los
sección
transformaciones
+
h)
grácos
sobre
de
k
grácos
Obser vemos
quiera
de
estas
funciones
cuadráticas
de
la
de
forma
este
en
el
capítulo
1
libro.
2
y
=
a (x
y
=
(x
–
h)
+
k:
2
–
2
2)
–
y
=
2(x
+
)
y
2
–
4
y
=
– (x
y
–
3)
+
2
y
(3, 2)
0
x
0
0
x
x
(2, –1)
(–1, –4)
2
➔
Para
funciones
cuadráticas
de
la
forma y
=
a(x
–
h)
+
k,
el
Esta
forma
función
gráco
tiene
su
vér tice
en
(h,
“forma
2
Escriba
Dibuje
la
se
a
veces
del
como
vér tice”.
y
la
k).
conoce
emo
de
cuadrática
la
función
y
=
x
2
–
aproximadamente
intersección
con
el
6x
el
eje
y
+
4
en
gráco
la
de
(ordenada
forma
la
al
y
=
(x
función,
–
y
h)
+
rotule
k
el
vér tice
origen).
Respuestas
2
y
=
x
–
6x
+
4
Al
obser var
f or ma
la
ecuación
polinómica,
intersección
con
el
en
la
sabemos
eje
y
que
ocur rirá
la
en
2
y
=
(x
y
=
(x
–
6x
+
9)
+
4
–
9
(0,
4).
2
–
3)
–
5
Usando
el
completar
y
la
el
procedimiento
el
ecuación.
valor
del
ecuación
cuadrado
Al
sumar
miembro
no
se
ha
de
reescribimos
9
y
restar
derecho
de
9,
la
alterado.
(0, 4)
0
x
(3, –5)
Nota:
la
simetría
ecuación
es
x
=
del
eje
de
3.
Capítulo
2
45
emo
2
Escriba
la
función
f
(x)
=
2x
+
8x
+
11
en
la
forma
2
f
(x)
=
a(x
Dibuje
y
la
–
h)
+
k.
aproximadamente
intersección
con
el
el
eje
y
gráco
de
la
(ordenada
función,
al
y
rotule
el
vér tice
origen).
Respuestas
2
f
(x)
=
2x
+
8x
+
11
La
intersección
del
gráco
con
el
eje
y
2
f
(x)
=
f
(x)
=
2(x
+
4x
+
4)
+
11
–
8
es
(0,
11).
2
2(x
+
2)
+
3
y
Se
debe
tener
cuidado
cuando
se
completa
el
cuadrado
si
el
tér mino
en
2
12
x
tiene
un
coeciente
distinto
de
1.
(0, 11)
10
Utilice
este
los
primeros
coeciente
para
factorizar
8
dos
tér minos.
6
El
Al
sumar
2
×
4,
y
luego
restar
nombre
de
parábola
8,
4
fue
(–2, 3)
el
2
valor
del
miembro
derecho
de
introducido
Apolonio
ecuación
0
–5
–4
–3
–2
no
ha
1
(Grecia,
2
c.
Nota:
la
ecuación
simetría
es
x
=
Para
cada
ecuación
eje
de
punto
del
eje
escriba
y
en
de
simetría
Puede
y
intersección
con
f
(x)
cada
=
x
en
sobre
–
su
las
cónicas.
hallar
punto
de
el
vér tice
y
intersección
el
el
eje
y
usando
su
gráco.
2
a.C.)
a.C.
la
con
eje
Perga
262
H
función,
de
c.
secciones
el
el
190
trabajo
–2.
Ejercitación
1
del
de
cambiado.
x
–1
por
la
+
8x
+
CPG.
Vea
en
capítulo
la
sección
1.8
5
el
17.
2
f
(x)
=
x
–
6x
–
3
2
f
(x)
=
5x
f
(x)
=
–3x
+
10x
+
6
2
2
Para
cada
+
10x
función,
+
9
escriba
las
coordenadas
del
vér tice
y
Puede
dé
las
coordenadas
del
punto
de
intersección
del
resultar
sustituir
con
el
eje
la
y
=
(x
x
=
–
–
2
y
=
(x
+
5)
+
2
y
=
4(x
–
1)
función
en
dibuje
cada
6
y
función
en
la
aproximadamente
vér tice
y
la
=
3(x
intersección
forma
el
con
f
(x)
gráco
el
eje
y
de
=
+
a (x
la
2)
–
f
(x)
=
46
f
(x)
=
h)
(ordenada
7
intersección
al
+
y
k.
Luego
rotule
origen).
2
x
+
10x
–
6
f
(x)
=
2
–
función
2
3x
la
forma
x
–
5x
+
+
8x
2
2
–
para
hallar
la
2
+
2
Escriba
escribir
1
(ordenada
3
o
2
7)
polinómica
0,
y.
2
útil
gráco
6x
+
7
Funciones y ecuaciones cuadráticas
f
(x)
=
–2x
–
3
el
al
con
el
eje
origen).
y
Consideraremos
Por
razones
a
continuación
obvias,
a
menudo
funciones
nos
cuadráticas
referimos
a
esta
de
la
forma y
forma
como
=
la
a(x
–
p)(x
–
q).
–
q):
“forma
factorizada”.
Veamos
los
y
3)(x
=
(x
+
grácos
–
de
estas
)
y
funciones
=
–3(x
+
cuadráticas
)(x
–
en
4)
la
y
forma y
=
(x
+
=
2)(x
a(x
–
–
p)(x
5)
y
y
y
20
16
–12
12
8
8
4
4
0
–4
–3
–2
0
x
–1
1
2
3
–3
–2
x
–1
1
2
3
4
5
6
4
0
–2
x
–1
1
2
3
4
5
–4
–8
–8
–12
–16
➔
Para
el
funciones
gráco
Para
las
cor ta
cuadráticas
al
eje
funciones
x
en
de
(p,
la
0)
cuadráticas
forma y
y
en
de
(q,
eje
de
simetría
tendrá
ecuación
x
a(x
–
p)(x
–
q),
0).
forma y
p
el
=
=
a(x
–
p)(x
–
q),
+ q
=
2
Nota:
Las
intersecciones
nos
dan
Por
ejemplo,
cor ta
tiene
las
al
eje
raíces
x
raíces
emo
x
de
en
el
en
(–3,
=
–3
la
con
y
x
eje
ecuación
primer
0)
el
y
=
(,
de
una
cuadrática
gráco
en
x
anterior,
0).
La
función
en
la
la
cuadrática
forma f
función y
ecuación
(x
+
(x)
=
3)(x
(x
–
=
+
)
y
=
f
(x)
0.
3)(x
=
–
)
0
.
2
Escriba
la
Después,
el
eje
función
dibuje
f
(x)
=
x
+
3x
–
10
aproximadamente
el
en
la
forma
gráco
de
f
la
(x)
=
(x
–
función,
p)(x
y
–q).
rotule
las
intersecciones
con
el
eje
x
y
y
Respuesta
2
f
(x)
=
x
+
3x
f
(x)
=
(x
+
5)(x
–
10
–
El
2)
gráco
cor tará
Factorizar
el
al
eje
miembro
y
en
(0,
derecho
de
10).
la
ecuación
y
0
x
(0, –10)
Nota:
La
ecuación
del
eje
de
simetría
es
p
Usar
(
x
5) +
=
2
3
x
+
q
=
2
=
2
2
Capítulo
2
47
emo
2
Escriba
dibuje
con
la
función
y
=
2x
–
aproximadamente
el
eje
x
y
el
eje
x
el
–
3
en
gráco
la
de
forma
la
y
=
a(x
función,
y
–
p)(x
rotule
–
q).
las
Después,
intersecciones
y
Respuesta
2
y
=
2x
–
x
–
3
y
=
(2x
–
3)(x
El
+
1)
gráco
cor tará
Factorizar
el
al
eje
miembro
y
en
(0,
derecho
3).
de
la
ecuación
y
=
2(x
–
1,5)(x
+
1)
Sacar
el
común
y
0
coeciente
del
primer
de
x
como
factor
factor
x
(0, –3)
Nota:
La
ecuación
del
eje
de
1
simetría
x
es
=
4
Ejercitación
1
Escriba
las
I
coordenadas
de
las
intersecciones
del
gráco
de
cada
Puede
función
con
el
eje
x
y
el
eje
x
f
(x)
=
(x
+
3)(x
–
ser
7)
f
(x)
=
2(x
–
4)(x
–
f
(x)
=
–3(x
+
2)(x
+
=
0,
o
1)
f
(x)
=
5(x
+
6)(x
escribir
–
en
Escriba
dibuje
cada
función
en
la
aproximadamente
intersecciones
con
el
eje
forma
el
x
y
y
gráco
el
eje
=
a(x
de
la
y
=
x
y
=
–
q).
función,
y
Después,
rotule
las
y
para
la
intersección
el
eje
y
hallar
con
(ordenada
al
2
–
7x
–
8
y
=
x
y
=
5x
–
2
p)(x
la
forma
origen).
2
–
la
2)
polinómica
2
sustituir
5)
función
útil
y.
–2x
8x
+
15
2
+
3x
+
5
+
6x
–
8
2
3
Escriba
y
=
a(x
del
cada
–
función
p)(x
gráco
–
de
q).
la
en
la
forma
Después,
función,
y
y
realice
rotule
=
a(x
un
el
–
h)
+
dibujo
vér tice
y
k
y
en
la
forma
aproximado
las
pero
intersecciones
claro
con
el
y
eje
x
y
el
eje
y
2
y
=
x
2
+
6x
–
16
y
=
–x
2
y
=
–
4x
+
–
18x
21
2
–0,5x
+
3,5x
–
3
y
=
4x
+
8
A
0
PREGUNTA
TIPO
B
EXAMEN
2
4
Sea
El
48
f
(x)
=
2x
gráco
–
12x.
cor ta
Se
al
muestra
eje
x
A
Escriba
El
la
vér tice
ecuación
del
del
gráco
en
A
B
eje
está
y
de
en
Funciones y ecuaciones cuadráticas
par te
B.
del
gráco
Halle
la
de
f
coordenada
x
de:
simetría.
C.
Halle
las
C
coordenadas
de
C
x
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
2
Sea
5
f
(x)
=
Halle
x
+
(f
g)
3,
y
sea
g (x)
=
x
–
2.
(x).
°
Escriba
las
coordenadas
del
vér tice
del
gráco
de
(f
g).
°
El
gráco
gráco
de
de
la
(f
función
g)
de
5
h
se
genera
unidades
en
mediante
la
una
dirección
traslación
positiva
del
del
eje x
y
°
2
unidades
Escriba
en
la
la
dirección
expresión
de
negativa
la
del
función
eje y.
h(x)
en
la
forma
2
h (x)
A
=
par tir
con
el
+
ax
de
eje
bx
lo
Mucho
la
fórmula
➔
a
puede
de
anterior,
de
la
la
partir
decirse
escriba
la
la
fórmula
de
acerca
función
Cuando
●
c
intersección
del
gráco
de h
y
Determinación
cuadrática
+
en
función
un
del
sus
de
función
gráco
gráco
de
diferentes
está
la
escrita
en
una
función
obser vando
formas.
forma
polinómica,
2
f
(x)
=
ax
+
bx
+
c,
se
sabe
que
la
intersección
con
el
eje y
es
b
(0,
c),
y
la
ecuación
del
eje
de
simetría
x
es
=
2a
Cuando
●
la
función
está
dada
en
forma
canónica,
2
f
(x)
=
a(x
vér tice,
Cuando
●
f
(x)
y
Ahora
par tir
Si
de
la
dan
(forma
el
emo
+
k,
–
p)(x
también
estará
función
–
está
q),
cómo
hallar
forma
vér tice,
la
dada
intersecciones
la
el
en
conocida
(h,
como
forma
del
k).
escrita
gráco
en
forma
cor tará
al
factorizada,
eje
x
en
(p,
0)
0).
información
las
del
h)
vér tice
la
a(x
(q,
veremos
conoce
le
=
en
escribiendo
Si
el
–
fórmula
por
con
su
el
de
una
función
cuadrática
a
gráco.
eje x,
puede
comenzar
factorizada.
puede
comenzar
escribiendo
la
forma
canónica
vér tice).
y
Usando
escriba
Escriba
la
la
la
información
fórmula
de
respuesta
la
provista
función
nal
en
la
por
el
gráco,
cuadrática.
forma
0
(4, 0)
(–2, 0)
x
2
polinómica,
y
=
ax
+
bx
+
c.
(0, –16)
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
2
49
Respuesta
y
=
–16
a(x
=
+
2)(x
a(0
+
–
4)
2)(0
–
Como
4)
el
eje
le
x,
–8a
=
–16
f orma
a
=
2
cuando
en
y
=
2(x
y
=
2x
+
2)(x
–
la
las
intersecciones
comience
con
factorizada.
x
=
0.
ecuación
Puede
4)
dan
la
función
Sabe
que
Reemplace
para
vericar
su
con
y
estos
resolver
en
en
=
16
valores
a.
respuesta
2
–
4x
–
obteniendo
16
su
CPG
y
el
emo
de
comparando
intersección
del
gráco
gráco
con
los
ejes
la
función
los
puntos
x
e
y
con
en
de
los
dado.
y
Escriba
la
muestra
Escriba
fórmula
en
su
el
de
la
función
cuadrática
que
se
(6, 3)
gráco.
respuesta
nal
en
la
forma
polinómica,
0
x
2
y
=
ax
+
bx
+
c.
(0, –15)
R
2
y
=
a(x
–
6)
+
3
Dado
en
Sabe
2
–15
=
a(0
–
6)
+
+
3
=
36a
=
–18
que
se
f or ma
que
y
=
ecuación
en
su
1
con
–
2
1
2
y
=
–
(x
–
6)
+
3
2
1
2
y
=
–
x
+
6x
–
15
2
50
15
para
vericar
función
=
el
vér tice,
comience
por
escribir
la
función
cuando
resolver
x
en
=
0.
Reemplace
estos
valores
en
a.
–15
Puede
a
conoce
canónica.
3
la
36a
la
Funciones y ecuaciones cuadráticas
el
eje
y.
su
respuesta
CPG
y
obteniendo
vericando
el
el
gráco
vér tice
y
la
de
la
intersección
Finalmente,
veamos
intersecciones
nos
lleva
resolver
a
con
emo
Escriba
con
un
qué
los
ejes
sistema
la
sucede
de
del
tres
si
no
gráco.
conocemos
El
ecuaciones
el
próximo
con
tres
vér tice
ejemplo
o
las
también
incógnitas
para
CPG.
la
fórmula
de
la
función
cuadrática
que
se
muestra
en
el
gráco.
y
(–2, 9)
(4, 3)
x
(2, –7)
R
Para
el
punto
(–2,
9),
En
este
caso,
del
gráco
se
dan
las
coordenadas
de
tres
puntos
2
9
=
a(–2)
9
=
4a
Para
el
–
+
2b
punto
b(–2)
+
+
c
de
la
función.
c
(2,
Reemplace
–7),
las
coordenadas
de
x
e
y
de
estos
tres
2
–7
=
a(2)
+
b(2)
+
puntos
c
en
la
función
cuadrática
dada
en
la
f or ma
2
–7
Para
=
el
4a
+
2b
punto
+
(4,
polinómica,
c
Ahora
3),
y
cuenta
=
ax
con
+
tres
bx
+
c.
ecuaciones
con
tres
incógnitas.
2
3
=
a(4)
3
=
16a
+
+
b(4)
4b
+
+
Puede
c
usar
deter minar
sección
la
CPG,
a
CPG
para
resolver
en
a,
b
y
c.
c
Para
Usando
su
=
1,5;
b
=
−4;
y
c
=
−5.
Si
1.5
obtiene
en
el
el
estos
puntos
capítulo
gráco
de
la
en
el
gráco,
vea
la
17.
función
en
su
CPG,
verá
2
y
=
1,5x
–
4x
–
5
que
los
tres
puntos
per tenecen
a
la
cur va,
como
se
indicó.
Capítulo
2
51
Ejercitación
Use
la
J
información
que
brindan
los
grácos
para
escribir
la
fórmula
2
de
cada
función
en
la
forma
polinómica, y
=
ax
+
bx
+
c
y
y
y
(–1, 8)
(0, 5)
(–2, 0)
0
(6, 0)
x
(0, 5)
(0, –12)
0
x
(2, 1)
0
x
y
y
y
(1, 13)
(5, 30)
0
(15, 30)
x
(–4, 8)
(0, 4)
(20, 0)
(4, –5)
x
0
y
x
y
(2, 25)
(1, 3)
(–3, 0)
(7, 0)
0
x
0
52
Funciones y ecuaciones cuadráticas
(0,5; 0)
x
.
En
el
aon
el
comienzo
agua
Las
en
un
Cuando
usar
los
utilice
y
funciones
métodos
CPG
vimos
que
modelizarse
sus
grácos
la
rá
trayectoria
mediante
pueden
una
usarse
formada
función
para
por
cuadrática.
modelizar
cuadráticas
aprendidos
como
ayuda
a
lo
para
largo
para
de
resolver
este
responder
problemas,
capítulo.
muchas
Se
podemos
espera
que
preguntas.
granjero
el
puede
fnon
situaciones.
emo
Un
capítulo,
cuadráticas
usamos
la
este
bebedero
funciones
múltiples
de
desea
Si
Halle
jardín
el
ancho
Halle
el
área
cercar
tiene
x
un
jardín
metros
de
rectangular
ancho,
halle
la
con
un
vallado
longitud
y
el
de
100
área
m.
del
jardín
en
función
de
x
2
del
jardín
máxima
que
que
tiene
puede
un
tener
área
el
de
525
m
jardín.
R
Si
el
del
50
–
granjero
tiene
rectángulo
100
debe
ser
m
de
100.
valla,
La
el
suma
perímetro
del
largo
y
el
x
ancho
será,
por
consiguiente,
50
m.
x
largo
=
área
=
x(50
–
50
–
x(50
x)
=
Área
x
−
=
ancho
×
largo
x)
Igualar
525
el
área
a
525
2
50x
–
x
=
525
Escribir
525
y
la
ecuación
cuadrática
en
f or ma
polinómica
2
x
–
50x
(x
–
15)(x
+
–
35)
=
0
=
resolver
Esta
0
en
x
ecuación
completando
cuadrática
x
=
15
m
o
35
m
y
o
también
el
usando
Si
el
ancho
es
15,
Si
el
ancho
es
35,
La
manera
podría
cuadrado,
más
el
el
su
resolverse
usando
la
f ór mula
CPG.
largo
es
largo
sencilla
35.
es
de
15.
hallar
el
área
máxima
(25, 625)
600
es
representar
donde
y
es
el
grácamente
área
y
x
es
el
la
función
ancho.
y
=
Puede
x(50
–
hacerlo
x),
en
400
200
su
CPG.
El
vér tice
muestra
x
del
–20
Vea
que
jardín
la
(25,
es
el
sección
625)
área
25
es
1.6
el
en
el
punto
máxima
capítulo
extremo
ocur re
17.
del
gráco
cuando
el
y
ancho
m.
2
El
área
máxima
es
625
m
Capítulo
2
53
emo
La
altura
que
alcanza
una
pelota
t
segundos
después
de
ser
lanzada
se
2
modeliza
de
la
mediante
pelota
la
en
Halle
¿Durante
la
función
h
=
24t
–
4,9t
+
1,
donde
h
es
la
altura
metros.
altura
máxima
cuánto
alcanzada
tiempo
la
altura
por
de
la
la
pelota.
pelota
superará
los
20
m?
R
y
Dibuje
(2,45; 30,4)
el
gráco
30
de
la
función
2
y
=
24x
–
4,9x
+
1,
donde
y
es
la
25
altura
20
15
El
10
el
la
vér tice
punto
que
5
la
0
pelota
y
x
es
el
tiempo
en
la
está
aproximadamente
(2,45;
altura
pelota
ha
30,4).
Esto
máxima
ocur re
per manecido
en
muestra
en
cuando
el
aire
x
1
2
3
4
5
por
Se
La
de
segundos.
altura
máxima
2,45
segundos.
puede
hallar
el
vértice
usando
30,4 m.
es
la
CPG.
Vea
capítulo
la
sección
1.8
en
el
17.
2
20
=
24t
–
4,9t
+
1
Sea
h
=
20.
2
4,9t
–
24t
+
19
=
0
Escriba
f or ma
una
polinómica
También
t
≈
0,9930
segundos
y
3,905
ecuación
puede
y
cuadrática
resuelva
resolverla
en
en
t.
usando
la
CPG.
segundos
Vea
el
la
sección
1.7
en
el
capítulo
17.
¿Qué
3,905
–
0,9930
=
2,912
La
pelota
alcanza
la
altura
de
20
de
La
altura
de
la
pelota
superará
dos
veces,
una
cuando
asciende
y
20
m
durante
cuando
situaciones
vida
desciende.
modelizarse
2,91
mediante
funciones
segundos.
cuadráticas?
emo
Luisa
requiere
de
3
horas
para
ascender
y
descender
una
colina
con
su
-1
bicicleta.
su
hasta
de
Su
velocidad
velocidad
la
en
promedio
promedio
cima
Luisa
de
su
la
cuesta
colina
ascenso
y
es
en
cuesta
arriba.
de
su
40
abajo
Si
km,
la
es
halle
descenso
de
35 km
distancia
de
la
la
h
más
desde
velocidad
la
que
base
promedio
colina.
R
distancia
Sea
x
la
velocidad
de
ascenso
de
Recuerde
que
tiempo
=
,
velocidad
Luisa.
y
40
40
+
x
que
y
suma
descenso,
los
el
tiempos
total
es
de
de
3
+ 35
3horas.
{
54
cuando
ascenso
=
x
de
cotidiana
pueden
aproximadamente
clases
otra
la
los
otras
m
Funciones y ecuaciones cuadráticas
Continúa
en
la
página
siguiente.
Puede
40 x
40 +
multiplicar
miembro
a
= 3x
x
miembro
+ 35
para
por
x
eliminar
y
luego
los
por
(x
+
35)
denominadores.
2
40x
+
1400
+
40x
=
3x
+
105x
Exprese
la
ecuación
en
la
f or ma
2
3x
+
25x
–
1400
=
0
polinómica
la
CPG.
capítulo
y
Vea
resuelva
el
la
en
x
sección
usando
1.7
en
el
17.
−1
x
≈
17,8 km
Luisa
h
alcanza
una
velocidad
−1
promedio
de
17,8 km
h
en
−1
el
ascenso
y
52,8 km
h
en
el
descenso.
Ejercitación
1
La
altura
K
que
alcanza
una
pelota
t
segundos
luego
de
ser
lanzada
2
se
modeliza
altura
de
la
pelota
Halle
¿Durante
12
la
mediante
altura
en
la
función
=
15t
–
4,9t
+
3,
donde
h
es
la
metros.
máxima
cuánto
h
alcanzada
tiempo
la
altura
por
de
la
la
pelota.
pelota
superará
los
metros?
2
2
El
área,
A
cm
,
de
un
cuadro
rectangular
está
dada
por
la
2
fórmula
A
=
32x
–
x
,
donde
x
es
el
ancho
del
cuadro
en
cm.
2
Halle
3
Un
las
cable
forman
Si
el
lado
dimensiones
de
dos
40
se
cuadro
cor ta
en
si
dos
el
área
trozos.
es
de
Con
252
los
cm
trozos
se
cuadrados.
lado
del
cm
del
de
uno
de
los
cuadrados
mide x
cm,
¿cuánto
mide
el
otro?
Muestre
que
el
área
combinada
de
los
dos
cuadrados
está
2
dada
4
por
¿Cuál
Un
es
A
la
2x
Si
¿cuál
medida
la
El
largo
de
su
ancho.
el
un
20x
área
rodeado
área
del
100.
combinada
mide
por
marco
aproximada
rectángulo
Halle
+
rectangular
está
constante.
es
–
mínima
por tarretratos
por tarretratos
5
=
las
es
un
es
cinco
cm
marco
igual
del
dimensiones
50
de
a
metros
dos
por
70
cuadrados?
cm.
El
rectangular
de
la
ancho
del
los
del
del
ancho
por tarretratos,
marco?
menos
rectángulo
si
que
su
el
triple
área
de
es
2
de
6
La
782 m
suma
de
los
consecutivos
es
cuadrados
251.
Halle
de
tres
dichos
enteros
positivos
impares
números.
Capítulo
2
55
7
Un
rectángulo
áureo
tiene
la
propiedad
de
que
si
es
dividido
en
La
un
cuadrado
y
un
rectángulo
menor,
el
rectángulo
menor
razón
largo
proporcional
áureo
al
ABCD,
PCBQ,
tal
rectángulo
PQ
como
A
original.
determina
se
un
muestra
P
a
En
el
siguiente
rectángulo
APQD
y
rectángulo
un
entre
rectángulo
continuación.
y
el
ancho
un
rectángulo
se
conoce
n
Quizás
B
otras
BC
de
áureo
como
la
roorón
resulte
interesante
AB
el
será
investigar
situaciones
en
=
AD
PB
las
que
razón
D
Q
Sabiendo
8
Un
car pintero
fondo
con
de
la
una
casa
madera.
Si
baranda
de
pueda
9
que
Javier
y
AD
=
desea
casa.
,
halle
Un
lado
restantes
m,
AB.
constr uir
car pintero
15
esta
C
los
el
aparece
par ticular
.
¿qué
de
tres
tiene
área
una
la
terraza
terraza
lados
compar tirá
tendrán
suciente
tendrá
rectangular
la
una
madera
terraza
en
el
una
pared
baranda
para
más
de
una
grande
que
constr uir?
viaja
para
visitar
distancia.
Viaja
velocidad
promedio
360 km
Si
entero
a
su
en
hermana
autobús
y
que
vive
140 km
a
en
500
km
tren.
de
La
−1
el
del
10
viaje
autobús
Cuando
más
del
Juan
que
Juana
y
cuando
le
lo
ero
a
8
es
10 km
horas,
más
h
halle
las
que
la
del
velocidades
autobús.
promedio
tren.
solo,
hace
limpiar
lleva
tren
toma
trabaja
pueden
tiempo
le
del
Juan
la
la
limpieza
Juana
casa
sola.
en
limpiar
la
2
de
Si
casa
trabajan
horas
casa
su
si
24
le
toma
juntos,
minutos.
trabaja
2
horas
Juan
y
¿Cuánto
solo?
rón
✗
1
Resuelva
cada
ecuación:
2
(x
+
2)
=
16
2
x
–16x
+
64
=
0
2
3x
x
x
+
4x
–
7
=
0
2
–
7x
+
12
=
0
–
12
=
0
2
+
2x
2
3x
f
–
7x
+
3
=
0
y
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
2
2
Sea
f
(x)
x
Escriba
de
56
=
f
con
+
la
el
las
3x
–
4.
Se
muestra
coordenada
eje
y
del
par te
punto
del
de
gráco.
intersección
del
gráco
0
y.
Halle
intersecciones
Escriba
la
ecuación
Escriba
la
coordenada
del
del
eje
x
Funciones y ecuaciones cuadráticas
gráco
de
del
con
el
eje x
simetría.
vér tice
del
gráco.
x
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
y
25
3
Sea
f
(x)
=
a(x
–
p)(x
–
q).
Se
muestra
par te
del
gráco.
20
Los
puntos
(–5,
Escriba
Halle
el
0),
(1,
valor
0)
de
y
p
(0,
y
10)
el
per tenecen
de
al
gráco.
q
10
el
valor
de
a
5
2
4
Sea
f
(x)
=
a(x
+
3)
–
6.
0
–2
–3
Escriba
las
Sabiendo
A
par tir
coordenadas
que
de
f
lo
(1)
=
del
vér tice
del
gráco
2,
halle
el
valor
de
anterior,
halle
el
valor
de f
a.
(3).
Las
La
ecuación
funciones
cuadráticas
2
5
x
+
2kx
+
3
=
0
tiene
dos
x
–1
de f
raíces
reales
están
iguales.
íntimamente
Halle
los
posibles
valores
de
k
relacionadas
2
6
Sea
f
(x)
=
otras
2x
+
12x
+
5.
llamadas
Escriba
la
función
f,
dando
su
respuesta
en
la
(x)
=
a(x
–
h)
cónicas”
g
se
+
gráco
de
4
en
la
de
unidades
en
dirección
vér tice
del
obtiene
la
a
par tir
dirección
positiva
gráco
(véase
la
k
página
El
“secciones
forma
2
f
con
relaciones
de
del
de
f
mediante
positiva
eje
y.
del
Halle
las
eje x
una
y
8
60).
¿Cómo
se
traslación
usan
estas
relaciones
en
mundo
unidades
coordenadas
el
real?
del
g
y
7
Escriba
la
fórmula
cuadrática
Dé
su
que
se
respuesta
de
la
función
muestra
en
la
en
el
gráco.
forma
(–4, 0)
(6, 0)
2
y
=
+
ax
bx
+
c.
0
x
(2, –12)
ero
1
Resuelva
cada
rón
ecuación
y
dé
sus
respuestas
con
una
aproximación
de
3
cifras
signicativas.
2
3x
2
–
5x
–
7
=
0
2x
x
1
=
x
La
2x
–
1
+ 3
PREGUNTA
2
+
altura
de
=
3
1
+
x
TIPO
8x
= 5
x
+ 2
EXAMEN
una
piedra
arrojada
desde
un
puente, h
metros
sobre
2
el
agua,
donde
t
se
es
modeliza
el
tiempo
mediante
en
¿Cuál
es
la
altura
¿Cuál
es
la
máxima
¿Durante
¿Cuánto
cuánto
tiempo
la
función h(t)
segundos
inicial
desde
altura
tiempo
tarda
la
tras
el
altura
piedra
de
en
15t
+
20
lanzamiento
donde
alcanzada
la
=
se
arrojó
por
la
la
4,9t
la
,
piedra.
piedra?
piedra?
piedra
chocar
la
de
–
con
es
el
mayor
agua
a
20 m?
debajo
del
puente?
Capítulo
2
57
3
El
largo
El
área
de
un
rectángulo
excede
en
5
cm
al
triple
del
ancho.
y
2
del
rectángulo
es
1428 cm
.
Halle
el
largo
y
el
ancho
del
rectángulo.
R
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
2
4
La
función
f
está
dada
por
f
(x)
=
ax
+
bx
+
c.
Se
muestra
par te
P
del
gráco
de
f
0
Los
puntos
P(–0,
2),
Q(–5,
–3)
y
R(5,
27)
per tenecen
al
x
gráco.
Q
Halle
5
los
Tomás
valores
conduce
de
su
a,
b
y
auto
c.
120 km
para
ir
a
trabajar.
Si
pudiese
1
incrementar
trabajo
30
su
velocidad
minutos
promedio
antes.
¿Cuál
es
en
la
20 km
h
velocidad
,
llegaría
al
promedio
a
la
que
conduce?
ResuMeN
del
Roón
●
Si
xy
A
esta
●
●
=
0,
propiedad
propiedad
Si
–
Para
–
b)
resolver
completar
elévela
al
x
se
=
la
0
o
y
=
rá
0.
denomina
algunas
veces
la ro
no
Esta
a)(x
on
entonces
roo
(x
capítulO
puede
=
0,
una
entonces
cuadrados,
la
igualdad.
en
el
miembro
ampliada
ecuación
cuadrado
de
ser
y
Este
tome
sume
de
–
por
la
el
proceso
izquierdo
x
a
el
a:
=
0
o
mitad
la
–
b
=
0.
procedimiento
del
resultado
crea
x
un
de
coeciente
en
ambos
trinomio
lineal,
miembros
cuadrado
perfecto
ecuación.
2
●
Para
poder
completar
el
cuadrado,
el
coeciente
de x
debe
ser
.
2
Si
el
ese
por
término
de
coeciente
ese
tiene
x
como
coeciente
factor
común
distinto
o
de
dividir
,
toda
puede
la
sacar
Esta
expresión
coeciente.
fórmula
en
el
de
fórmulas
aparece
cuadernillo
de
Matemáticas
l
fórm
rá
NM
del
IB;
por
lo
2
●
Para
cualquier
ecuación
en
la
forma ax
+
bx
+
c
=
0,
tanto,
±
b
tiene
que
memorizarla.
2
−b
x
no
− 4 ac
=
2a
Podemos
R
on
considerar
rá
que
una
ecuación
2
●
Para
una
ecuación
cuadrática
ax
+
bx
+
c
=
0,
con
dos
raíces
reales
2
■
Si
b
–
4ac
>
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales
distintas.
–
4ac
=
0,
la
ecuación
tendrá
dos
raíces
reales
iguales.
–
4ac
<
0,
la
ecuación
no
iguales
tiene
una
sola
2
■
Si
b
solución.
2
■
Si
b
tendrá
raíces
reales.
Continúa
58
Funciones y ecuaciones cuadráticas
en
la
página
siguiente.
Gráo
●
Para
fnon
ecuaciones
cuadráticas
rá
en
la
forma
polinómica,
2
y
=
ax
+
bx
+
c
=
0,
el
gráco
cor tará
al
eje
y
en
(0,
c).
b
●
La
●
Cuando
ecuación
del
eje
de
simetría
es
x
=
2a
2
la
función
cuadrática
básica y
=
x
sufre
transformaciones,
2
las
funciones
resultantes
pueden
escribirse
como y
=
a(x
–
h)
+
k
2
●
Para
el
●
gráco
Para
el
●
funciones
tendrá
funciones
gráco
Para
cuadráticas
cor ta
funciones
su
vér tice
cuadráticas
al
eje
x
en
de
en
(h,
de
(p,
cuadráticas
la
la
0)
de
y
la
forma y
eje
de
simetría
tendrá
a(x
–
h)
+
k,
=
a(x
–
p)(x
–
q),
=
a(x
–
p)(x
–
q),
k).
forma y
(q,
0).
forma y
p
el
=
ecuación
x
+ q
=
2
2
●
Cuando
la
también
conocida
estará
●
en
Cuando
f
(x)
=
función
(h,
la
a(x
en
como
la
forma
forma
del
f (x)
=
a(x
vér tice,
el
–
h)
+
k,
vér tice
k)
función
–
está
p)(x
–
está
q),
el
escrita
gráco
en
la
forma
cor tará
al
factorizada,
eje
x
en
(p,
0)
y
(q,
0).
Capítulo
2
59
t
or
del
l
conomno
on
mmá
El
gráco
Vemos
por
Las
parábolas
cuatro
un
Las
otras
aire
o
la
(o
cuadrática
mundo
de
una
un
de
real:
chorro
mno
tiene
la
de
la
trayectoria
agua
que
Una
parábola
resulta
cono
de
con
la
y
un
cónicas
un
es
la
de
una
una
uye
de
parábola.
pelota
una
volando
fuente.
y
plano.
son
la
la
hipérbola.
forma
Elipse
Parábola
Hipérbola
que
intersección
plano
de
las
Circunferencia
{
forma
r
secciones
conos)
elipse
el
n
form
como
Estas
secciones
la
en
solamente
dos
circunferencia,
función
forma
conocidas
ón .
cono
una
parábolas
son
formas
on
de
el
de
ón:
de
paralelo
un
a
la
generatriz.
Los
antiguos
secciones
(c.
262
griegos
cónicas
a.C.
–
c.
y
90
estudiaron
Apolonio
a.C.)
fue
las
de
el
Perga
Pueden
para
usarse
describir
ecuaciones
estas
primero
y
práo:
en
darles
entre
un
350
nombre.
d.C.
y
370
Hipatia
fue
una
d.C.,
matemática
murió
y
directora
de
la
Escuela
ax²
+
bx
(Egipto)
en
Platónica
una
(x
de
–
h)²
–
h)²
+
solo
unas
pocas
época
trabajo
a
la
de
mujeres
tenían
Apolonio.
fueron
el
Teoría
secciones
Las
del
(c.
cónicas
secciones
posteriormente
matemático
Khayyám
60
educación.Desarrolló
las
y
poeta
048
Conocimiento:
las
–
c.
–
(y
k)²
=
k)²
=
de
por
Omar
3).
cónicas,
formas
matemáticas
en
el
mundo
(y
–
k)²
–
el
estudiadas
persa
–
b²
h)²
Héro:
cónicas
secciones
–
en
a²
acceso
(y
+
e:
(x
que
c
en
a²
Alejandría
+
astrónoma,
(x
y
=
(nacida
crnfrn:
45)
matemáticas
guras:
real
=
b²
r²
Muchos
■
■
¿Por
consideran
qué
¿Sabía
Esto
que
no
antes,
una
se
que
las
órbitas
mostró
tenían
nombraba
circunferencia
circunferencia
Apolonio
planetas
la
las
de
hasta
había
tales
es
los
planetas
planteado
órbitas
la
más
perfecta
de
“perfecta”?
principios
secciones
es
del
la
formas
siglo
de
estudiaba
pero
elípticas?
XVII.
hipótesis
cuando
cónicas,
son
nunca
Mucho
que
los
y
lo
había
probado.
■
¿Cómo
Hoy
cree
en
puentes
y
de
antenas
hubiese
Obser ve
las
en
evolucionó
hipérbolas
trayectorias
el
espacio,
imaginado
resultar
brindaran
que
cuer pos
conocimiento
elipses,
de
y
la
y
en
el
tiempo?
parábolas
las
naves
forma
de
en
los
espaciales
las
parabólicas.
pudieran
■
este
vemos
colgantes,
otros
¿Quién
que
día,
a
en
formas
su
puedan
que
las
ecuaciones
que
nos
alrededor :
modelizarse
de
matemáticas
ayudan
¿qué
secciones
a
otras
mediante
entender
guras
y
un
tan
el
cono
útiles
y
nos
universo?
formas
ve
ecuaciones
matemáticas?
■
¿Por
qué
para
describir
cree
que
la
gente
formas
y
trata
patrones
de
en
usar
el
las
matemáticas
mundo
que
nos
rodea?
■
¿Por
qué
el
comprender
uso
de
las
nuestro
matemáticas
mundo
y
puede
nuestro
ayudarnos
a
universo?
Capítulo
2
61
Probabilidad
3
ObjetivOs
del
Conceptos
5.5
de
capítulO:
experimento,
resultado,
resultados
equiprobables,
espacio
n( A)
muestral
(U)
y
suceso.
La
probabilidad
de
un
suceso
A
P(A)
es
=
.
Los
n(U )
sucesos
complementarios
diagramas
Sucesos
5.6
de
árbol
y
compuestos,
mutuamente
A
tablas
la
y
A′
de
fórmula
excluyentes:
P(A
(no
A).
El
uso
de
diagramas
de
Venn,
resultados.
∩
para
B)
=
P(A
0.
∪
B).
Sucesos
Probabilidad
incompatibles
condicionada;
la
o
denición
P( A ∩ B)
P(A | B)
.
=
Sucesos
independientes;
la
denición
P(A|B)
=
P(A)
=
P(A | B′).
P(B)
Probabilidades
an
Qué
1
y
sin
reposición.
omnzr
necesitamos
Sumar,
con
restar,
saber
multiplicar
y
Comprobemos
dividir
1
Calcule
sin
usar
3
fracciones
2
10
1
+
3
=
3
7
15
9
3
3
7
–
9
9
5
7
15
2
=
2
×
=
15
2
–
1
5
5
habilidades
calculadora:
+
⎛ 1
la
2
−
13
+
5
1
nuestras
1
−
5 ⎞
×
⎜
=
20
⎝
⎟
3
9
7
⎠
9
9
20
3 × 3
3
3
×
=
4 × 5
5
4
4
3
4
÷
7
4
×
=
7
Sumar,
20
7
=
7
2
9
=
3
restar
1
=
1
3
y
3
multiplicar
decimales
0
0,2
+
0,7
×
+
62
las
1
−
siguientes
operaciones:
0,375
0,65
+
0,7
50% de
g
12%
0,05
×
0,25
×
f
22%
de
0,6
0,64
−0,62
0,4
30
0,22
0,38
0,75
que
entonces
Calcular
52%
Realice
del
10%
de
0,8
0,34
Dado
3
2
0,35
0,9
0,2
9
de
2
×
0,2
34
×
=
68
0,34
=
0,068
porcentajes
60
Probabilidad
=
0,52
×
60
3
=
3,2
Verique
usando
sus
su
respuestas
calculadora.
a
las
preguntas 1
y
2
●
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
llueva
mañana?
[
De
acuerdo
ser vicio
●
¿Qué
●
¿Cuál
tan
probable
es
que
pase
mi
la
probabilidad
de
ganar
el
par tido
de
gobierno
●
tarde?
¿Tengo
lugar
de
llegar
al
colegio
a
tiempo
si
los
Unidos,
probabilidad
cer teza
del
de
fútbol
Estados
esta
el
examen?
del
es
con
meteorológico
uso
el
autobús
en
alcanzado
por
en
dado
un
año
la
de
ser
un
rayo
es
tren?
1
750 000
Consideramos
palabras
preguntas
“suer te”,
como
estas
“posibilidad”,
todo
el
tiempo.
“probabilidad”
y
Usamos
“cer teza”
las
La
probabilidad
ser
en
alcanzado
rayo
nuestras
conversaciones
cotidianas,
pero
estas
mismas
palabras
para
de
por
alguien
un
que
se
1
vive
usan
para
describir
la
probabilidad
matemática.
Esta
80
años
es
impor tante
6250
rama
de
sucesos,
la
matemática
desde
los
nos
ayuda
promedios
a
comprender
depor tivos
hasta
el
el
riesgo
estado
y
del
otros
tiempo
Estas
han
partir
y
la
posibilidad
de
ser
alcanzado
por
un
probabilidades
sido
estimadas
de
datos
rayo.
el
tamaño
población
En
este
capítulo
examinamos
el
lenguaje
de
la
las
cuanticar
la
que
herramientas
probabilidad
involucren
básicas
que
se
(asignarle
necesitan
un
y
valor
personas
una
el
número
para
alcanza-
numérico)
das
y
de
probabilidad,
de
cómo
a
sobre
resolver
problemas
por
últimos
un
30
rayo
en
los
años.
probabilidades.
Capítulo
3
63
ingón:
A
mediados
Pierre
este
dado
es
u
¿Cuál
➔
del
siglo
Fermat
problema
¿Qué
.
de
más
y
dados
XVII,
surgido
a
probable:
obtener
opción
un
cree
los
Antoine
que
matemáticos
de
obtener
6
es
probabilidades
Gombaud
par tir
doble
y
en
más
un
un
24
se
6
juego
en
Blaise
Pascal,
mostraron
por
sencillo:
cuatro
lanzamientos
lanzamientos
probable?
intrigados
¿Por
de
dos
de
un
dados?
qué?
dnon
Un
o
es
el
Un
xrmno
Un
xrmno
incer tidumbre
Algunos
ejemplos
resultado
es
el
un
proceso
oro
acerca
de
de
del
es
experimento.
por
el
aquel
suceso
experimentos
cual
en
que
se
el
obtiene
cual
pueda
aleatorios
un
resultado.
existe
ocurrir.
son:
El
●
Arrojar
●
Lanzar
un
dado
tres
primer
sobre
una
Tomar
●
Registrar
dos
naipes
probabilidades,
de
un
mazo
de
52
libro
número
de
automóviles
de
que
pasan
por
la
entrada
en
un
período
de
5
azar,
fue
minutos
expresar
las
posibilidades
de
que
ocurra
un
suceso
número
comprendido
entre
0
y
.
En
esta
escala,
el
0
representa
fue
imposible
y
representa
un
suceso
que
ocurrirá,
con
medida
es
la ro
de
que
ocurra
el
probable
Su
1
y
ocurra
un
suceso
P (A)
A.
para
De
representar
aquí
que
0
≤
la
P (A)
probabilidad
≤
de
tres
formas
de
calcular
●
Probabilidad
teórica
●
Probabilidad
experimental
Probabilidad
subjetiva
la
probabilidad
de
un
suceso:
dado
cuales
ser
de
los
sucesos
número
tiene
ocurrir
con
seis
la
equiprobables
caras
misma
es
,
2,
numeradas,
todas
probabilidad.
3,
4,
5,
6.
La
las
o
no
a
un
1.
la
como
decimal,
lista
un
dado
de
la
cada
un
una
porcentaje.
equilibrado
la
En
un
equilibrado
que
es
dado
algunos
pueden
probables
(no
probabilidad
resultado
misma.
sucesos
Probabilidad
escribir
“cargado”)
no
64
mayor
teórica
equilibrado
pueden
cómo
trampas.
probabilidad
En
Un
un
quienes
probabilidad
puede
fracción
Probabilidad
para
.
Podemos
●
a
en
que
Una
Existen
saber
atrapar
hacen
escribir
técnicas
trampas
juego
2
Podemos
origen
libro
seguro
hacer
0
de
suceso.
contenía
medianamente
y
certeza.
italiano.
Imposible
lósofo,
matemático
apostador
,
Esta
un
un
médico,
suceso
por
usando
astrónomo,
un
escrito
Cardano
(1501–1575).
Cardano
Podemos
juegos
del
Gerolamo
colegio
los
naipes
de
el
escrito
moneda
El
●
libro
veces
ser
otros.
más
Llamamos
La
a
la
notación
Sea
el
lista
n(U)
suceso
A,
=
de
6
todos
muestra
denido
espacio
muestral
espacio
muestral.
hay
La
los
un
que
como
6.
resultados
hay
“el
n(A)
=
obtenido
muestra
de
el o mr ,
elementos
número
probabilidad
seis
posibles
que
obtener
es
que
un
6
en
el
el
hay
espacio
6”.
un
cuando
En
6
se
U.
muestral.
este
en
el
arroja
1
un
dado
es
una
en
seis,
.
o
En
notación
de
probabilidad:
6
n( A)
P( A )
1
=
:
=
n (U )
6
n( A)
➔
La
probabilidad
teórica
de
un
suceso A
es
P( A )
,
=
n (U )
donde
es
el
n(A)
es
número
el
número
total
de
de
casos
resultados
favorables
al
suceso A
y
n(U)
posibles.
Se
denomina
“icosaedro”
➔
Si
la
probabilidad
de
un
suceso
es
P,
en
n
experimentos
poliedro
espera
que
emo
el
suceso
ocurra
n
×
P
arroja
de
20
un
dado
equilibrado
con
20
resultan
1
al
20.
El
suceso
A
se
demasiado
dene
complicados
número
obtenido
es
un
múltiplo
de
4”.
41
El
dado
se
arroja
100
9
P (A).
4
permitir
Determine
veces
exacto
veces.
espera
un
análisis
pueden
resolverse
9
¿Cuántas
obtener
un
múltiplo
de
para
1
3
6
1
“el
que
2
8
del
procesos
caras
20
caras.
numeradas
como
un
veces.
Los
Se
a
se
mediante
1
1
4?
métodos
que
probabilísticos
emplean
la
“ley
de
Respuestas
los
n(A)
=
5
y
n(U )
=
20
Hallar
grandes
Estos
n( A)
P(
A)
5
=
=
n (U
)
Hay
1
números”.
n(A)
20
resultados
métodos,
posibles.
desarrollados
en
las
=
20
5
4
de
ellos
son
múltiplos
de
4
décadas
(4,
8,
12,
16
y
de
1930
y
20).
1940,
se
conocen
como
1
Probabilidad
×
100
=
×
número
de
experimentos
métodos
25
de
Montecarlo,
4
por
Se
pro
Muchas
veces
los
xrmn
resultados
no
resultan
(mr)
equiprobables
puede
usar
un
experimento
para
estimar
las
ejemplo,
pieza
que
se
deberíamos
para
está
calcular
la
probabilidad
produciendo
evaluar
algunas
en
de
una
ellas.
de
fábrica
Si
la
resulta
defectuosa,
podríamos
son
defectuosas.
Sin
embargo,
situaciones,
pero
la
for taleza
que
sea
una
naipes
determinada
hasta
defectuosa,
primera
pieza
en
que
puede
no
ser
el
juego
llamado
la
la
segunda
pieza
no
es
defectuosa,
una
podríamos
de
“Bridge”,
modelización
estadística
que
todas
el
de
una
nuclear
en
las
Quizás
resulte
caso.
interesante
Si
de
probabilidades.
concluir
este
gran
estimación
cadena.
piezas
una
de
la
reacción
evaluamos
casino.
en
desde
mano
Por
famoso
variedad
de
se
el
emplean
entonces
explorar
las
concluir
aplicaciones
de
los
1
que
la
probabilidad
de
que
una
pieza
sea
defectuosa
,
es
dado
que
2
mitad
de
todas
las
piezas
hasta
el
momento
resultaron
defectuosas.
la
métodos
con
de
mayor
Montecarlo
profundidad.
Capítulo
3
65
Continuando
este
proceso
una
cantidad
de
veces
y
calculando
la
razón:
El
Número de piezas
ser vicio
los
Número de
piezas
A
medida
relativa
se
la
frecuencia
que
el
relativa
número
acerca
Estados
➔
más
y
de
de
que
piezas
más
a
la
una
pieza
evaluadas
resulte
crece,
probabilidad
de
la
que
defectuosa.
probabilidad
por
frecuencia
una
pieza
un
rayo,
Número
usar
probabilidad.
más
se
emo
esta
frecuencia
Cuanto
acerca
la
mayor
frecuencia
relativa
es
el
para
número
relativa
de
una
los
automóviles
mañana
se
dan
que
a
en
la
pasan
tabla
Color
la
ser
alcanzado
de personas
de personas
alcanzadas
en la población
estimar
de
la
experimentos,
la
entrada
del
colegio
siguiente:
Frecuencia
Rojo
45
Negro
16
2
Verde
Estos
14
Azul
17
Gris
23
números
estimaciones,
estamos
Otros
como
la
la
probabilidad
del
colegio
mañana
colegio.
sea
siguiente
Estime
el
de
estimación
de
138
una
entrada
relativas
21
t
o
Estime
son
porque
usando
frecuencias
A
de
que
el
próximo
automóvil
que
pase
por
probabilidad.
la
rojo.
pasaron
número
de
350
automóviles
automóviles
rojos
por
en
la
esa
entrada
del
mañana.
Esta
probabilidad
está
dada
una
como
fracción.
En
los
R
exámenes
45
La
frecuencia
relativa
de
automóviles
rojos
del
IB
es
se
138
debe
dar
la
45
Por
lo
tanto,
la
probabilidad
de
que
un
automóvil
sea
rojo
es
respuesta
en
forma
138
Cuando
350
automóviles
pasan
por
la
entrada
del
colegio,
el
exacta
número
45
de
automóviles
rojos
será
aproximadamente
con
×
350
=
o
tres
en
decimales
cifras
114.
138
signicativas,
para
probabilidades.
Probabilidad
No
En
en
siempre
estos
un
Por
un
de
fue
van
66
juicio
a
los
del
tor neo
pero
Probabilidad
así
de
un
experimento
estimar
la
de
Se
fútbol
de
primera
ambos
nalmente
en
los
las
gran
de
información
Liver pool
podrían
también
un
probabilidad
experiencia,
inglés
gane?
como
desempeño
jugar,
la
equipos
Liver pool
equipos,
el
repetir
podemos
subjetivo,
ejemplo,
que
posible
casos,
par tido
dos
es
subjetiva
y
considerar
que
una
par tidos
de
de
suceso
veces.
basándonos
creencia.
se
¿Cuál
par tidos
condiciones
tendremos
o
Arsenal
división.
últimos
número
un
es
enfrentarán
la
probabilidad
anteriores
cada
entre
equipo
meteorológicas
“adivinar”.
en
en
y
las
los
cuál
que
la
usando:
probabilidad.
por
Amarillo
empleó
estimar
colores
durante
para
defectuosa.
Podemos
Los
Unidos
método
Número
resulte
de
evaluadas
este
obtenemos
meteorológico
defectuosas
las
Ejercitación
1
Se
arroja
un
numeradas
el
número
3A
dado
del
1
octaédrico
al
8.
obtenido
Un
número
Un
múltiplo
¿Cuál
sea
el
(ocho
es
la
caras).
Las
probabilidad
caras
de
están
que,
al
En
arrojarlo,
siguiente?
las
probabilidades,
todos
los
las
par
de
Un
múltiplo
equilibrados
3
Un
número
Menor
de
dados
monedas
que
preguntas
sobre
se
y
son
a
menos
indique
lo
4
contrario.
2
Un
su
que
vendedor
lote.
El
que
no
es
múltiplo
de
4
4
de
automóviles
vendedor
sabe
usados
que
30
tiene
150
automóviles
automóviles
son
“Al
en
azar”
que
defectuosos.
signica
cualquier
automóvil
Uno
de
los
150
automóviles
se
selecciona
al
azar.
¿Cuál
es
tiene
posibilidad
probabilidad
de
que
sea
de
La
de
tabla
los
siguiente
estudiantes
muestra
en
un
las
frecuencias
colegio
relativas
de
las
edades
probable
secundario.
de
los
30
ño)
automóviles
13
0,15
14
0,31
15
0,21
16
0,19
17
0,14
Se
elige
4
azar
un
estudiante
probabilidad
tenga
15
años
El
estudiante
tenga
16
o
200
estudiantes
el
número
caras
tabla
de
muestra
en
la
en
de
una
los
¿Cuál
es
¿Cree
que
Se
gira
obtendrá
Cada
Los
letra
11
¿Cuál
La
la
la
perinola
no
lo
son.
la
un
la
letra
edad.
años
de
edad.
de
están
de
15
años
de
numeradas
100
edad.
del
3
4
5
6
27
18
17
15
16
7
relativa
es
3000
para
la
equilibrada?
veces.
1
al
6.
juegos.
2
perinola
salida
Dé
Estime
el
del
una
1?
razón
número
para
de
su
veces
respuesta.
que
se
4.
la
palabra
se
CONSECUTIVO
colocan
probabilidad
C
colegio.
1
frecuencia
car tones
es
que
colegio.
resultados
perinola
de
este
perinola
este
de
más
estudiantes
Frecuencia
de
estudiante
seis
los
que:
El
Número
5
de
Las
La
al
la
Halle
uno
1
Halle
Hay
como
r
Total
tan
uno
Frn
de
(n
Es
elegir
defectuosos
e
ser
defectuoso?
seleccionado.
3
igual
la
con
de
La
las
elegir
letra
P
letras
un
se
escribe
hacia
car tón
abajo.
con
Una
las
en
car tones
Se
extrae
siguientes
separados.
un
car tón
al
azar.
letras?
vocal
Capítulo
3
67
6
La
perinola
las
probabilidades
obtener
que
verde
se
es
el
Color
Una
7
la
disco
al
Sea
..
doble
la
de
azar.
Halle
número
azul.
La
La
obtener
tabla
muestra
probabilidad
de
amarillo.
verde
0,3
de
40
la
obtener
discos
verde.
numerados
probabilidad
par
dgrm
y
azul
0,4
contiene
un
de
“cargada”.
rojo
amarillo
probabilidad
bolsa
está
obtener
rojo
Frecuencia
Halle
muestra
de
que
Tenga
de
del
el
algún
1
al
40.
Se
número
dígito
elige
del
un
disco:
1
vnn
John
en
Hay
00
estudiantes
en
un
Venn
1834.
de
ellos
practican
tiro
con
puede
mostrar
la
información
mediante
sacerdotes
lo
y
a
animaron
pasos.
College,
conjunto
Inglaterra,
abuelo
John
a
seguir
En
1853
empezó
a
vnn
estudiar
El
su
un
sus
grm
Hull,
y
arco.
también
Se
en
padre
gr upo.
fueron
38
nació
Su
A
El
rectángulo
en
el
de
la
Cambridge,
Gonville
and
Universidad
del
que
se
Caius
de
graduó
en
U
A
es
el
de
los
representa
estudiantes
100
los
1857
estudiantes.
para
adjunto
de
conver tirse
la
en
profesor
universidad.
Durante
38
que
tiro
practican
con
n(A)
=
En
arco.
consecuencia,
n(U)
=
los
100.
con
cinco
el
años
losofía
elige
un
estudiante
al
azar.
La
probabilidad
de
que
continuó
regresó
a
practique
tiro
con
arco
puede
P(A).
A
Venn
1862
de
para
enseñar
probabilidades.
desarrolló
para
estos
como
38
en
teoría
una
forma
escribirse
gráca
P( A )
y
el
John
estudiante
como
y
38
Cambridge
Se
siguientes
sacerdocio
representar
grácos
se
diagramas
los
de
conjuntos.
conoce
Venn.
19
=
=
100
50
n( A)
Recuerde
Suceso
El
área
complementario
fuera
de
A
(pero
que
P( A)
=
n(U )
A´
siempre
dentro
del
espacio
muestral
U)
U
A
representa
Esto
es
a
A´,
los
el
estudiantes
ommno
que
de
no
practican
tiro
con
arco.
A
38
n(A′ )
=
n(U)
–
n(A)
62
Del
La
diagrama
de
probabilidad
Venn
de
n ( A ′)
P( A ′) =
vemos
que
62
n(A′ )
estudiante
=
no
00
–
38
practique
=
62
tiro
con
arco,
31
=
n (U )
un
que
=
100
T
odos
o
Obser vamos
que:
P (A′ )
+
P(A)
Probabilidad
estudiantes
= 1
50
practican
arco
practican
19
+
=
50
68
bien
con
31
los
50
o
bien
tiro
tiro
no
con
arco.
➔
Como
suceso,
P( A ) + P( A ′)
P( A ′)
los
De
ellos,
ocurrir
o
no
ocurrir.
= 1 − P( A )
00
de
sucesos
estudiantes,
6
Podemos
38
puede
= 1
Intersección
De
A,
practican
mostrar
30
juegan
ambos:
esta
tiro
bádminton.
con
información
arco
del
y
bádminton.
siguiente
modo:
estudiantes
practican
arco.
16
tiro
30
con
estudiantes
practican
estudiantes
16
bádminton.
estudiantes
practican
bádminton
practican
bádminton
y
arco,
y
arco,
tiro
con
por
lo
tiro
con
por
lo
U
tanto,
solo
38
–
16
practican
=
22
tiro
tanto,
con
solo
arco.
La
la
–
16
sombreada
nrón
Esta
región
de
es
A
48
representa
estudiantes
100
–
22
ambos:
arco
La
∩
y
se
16
–
14
bádminton.
escribe
48
con
arco
que
ni
no
practican
bádminton.
La
como
B.
probabilidad
de
que
un
estudiante
elegido
al
azar
practique
n(A
tiro
=
tiro
tiro
región
–
que
estudiantes
practican
A
14
y
Hay
aquellos
con
=
bádminton.
región
B.
30
practican
con
arco
y
bádminton
se
escribe
P(A
∩
∩
B)
es
el
de
elementos
intersección
n(A
∩
B)
=
número
B).
en
la
entre
los
6
conjuntos
n( A ∩ B )
P( A ∩ B ) =
16
=
n (U )
A
y
B
4
=
100
25
U
A
La
probabilidad
elegido
pero
sí
al
azar
tiro
de
no
con
que
un
estudiante
practique
arco
se
B
A
∩
B′
bádminton
escribe
P(A
∩
B ′ ).
22
estudiantes
total
de
100
de
un
practican
48
22
P( A ∩ B ′) =
11
tiro
=
100
con
arco
pero
no
50
bádminton.
A′ ∩ B ′
representa
los
estudiantes
que
no
practican
ni
tiro
U
con
arco
ni
bádminton.
48
A′
Capítulo
∩
3
B′
69
Unión
de
sucesos
La
U
A
región
y
B,
la
sombreada
región
estudiantes
con
arco
región
o
se
es
la
representa
que
practican
bádminton
escribe
o
nón
de
aquellos
ya
sea
ambos.
tiro
La
A ∪ B
48
Note
que
“o”
matemática
La
probabilidad
bádminton
o
de
tiro
que
con
un
arco
estudiante
se
escribe
elegido
al
azar
practique
la
P(A ∪ B).
posibilidad
ambos:
“o
Del
y
diagrama,
de
n(A
∪
B )
=
22
+
6
+
4
=
de
llamamos
inclusivo”.
52
aquí
Esto
n( A ∪ B )
P( A ∪ B ) =
52
=
n (U )
A ∪ B ′
con
lo
en
incluye
representa
arco
no
o
par tir
25
probabilidad.
aquellos
practican
a
de
la
denición
de
=
100
todos
es
13
estudiantes
que o practican
tiro
U
bádminton.
14
n(A
∪
B ′)
=
22
+
6
+
48
=
86
y
de
aquí
A
n ( A ∪ B ′)
P( A ∪ B ′) =
86
=
′
43
=
48
n (U )
emo
En
un
de
computador,
Use
el
50
gr upo
Dibuje
100
un
10
30
juegan
diagrama
diagrama
estudiante
estudiantes,
de
elegido
de
con
juegan
con
entretenimientos
Venn
Venn
al
17
para
para
mostrar
hallar
la
entretenimientos
de
esta
mesa
9
no
juegan.
información.
probabilidad
de
que
un
azar:
Juegue
con
entretenimientos
de
mesa
Juegue
con
entretenimientos
de
computador
Juegue
con
entretenimientos
de
mesa,
de
y
de
pero
y
no
de
mesa
con
entretenimientos
computador
R
Sea
C
=
juegan
{estudiantes
con
que
Primero
entretenimientos
denir
la
notación
de
computador},
No
M
=
{estudiantes
que
juegan
sabemos
cuántos
entretenimientos
entretenimientos
de
x
=
n(C
∩
n (C
∩
de
computador
y
mesa}
de
Sea
juegan
con
mesa;
usar
x
para
representar
este
M )
valor.
n(C ′
M ′)
∩
M )
=
=
17
10
−
−
x
x
U
17
–
10
–
x
9
{
70
Probabilidad
Continúa
en
la
página
siguiente.
(17
36
−
−
x)
x
x
+
=
=
x
+
(10
−
x)
+
9
=
Las
30
de
30
cuatro
Venn
U
sumar
U
y
por
el
lo
diagrama
conjunto
tanto
deben
30.
Reemplazar
el
del
conf or man
universal
6
regiones
número
x
en
=
6
para
cada
obtener
región
del
diagrama
9
Usar
10
el
diagrama
de
Venn
y
1
n ( A)
P( M ) =
=
30
P ( A ) =
3
n (U
6
P(C
∩ M
) =
=
30
5
4
2
P(C ′ ∩ M ) =
=
30
Ejercitación
1
En
un
y
son
4
r ubio
2
3
En
o
una
35
con
niños,
ojos
diagrama
se
elige
tenga
clase
al
ojos
de
ellos
estudian
Se
elige
al
azar
de
10
Venn
malayo
uno
de
y
5
estos
En
de
Educación
ha
hecho
ambas
de
estudie
aeróbic
ninguna
de
las
elige
Haya
hecho
ambas
Haya
hecho
gimnasia
una
PREGUNTA
el
los
tienen
ojos
marrones
representar
la
probabilidad
situación.
de
que
el
niño
sea
y
de
15
de
ellos
ellos
no
estudiantes
francés
Física
17
dos
de
y
estudian
estudian
de
la
francés,
ningún
clase.
13
idioma.
¿Cuál
es
la
malayo?
hay
25
niñas.
gimnasia.
actividades.
13
Una
ya
de
¿Cuántas
han
las
niñas
han
no
hecho
actividades?
Se
De
la
estudiantes,
que
clases
14
marrones.
de
gr upo
r ubios,
para
Halle
probabilidad
un
son
marrones.
azar.
25
de
tomado
4
de
r ubios
Un niño
15
3B
gr upo
Dibuje un
)
1
piano
al
azar.
Calcule
la
probabilidad
de
que:
actividades.
pero
no
aeróbic.
TIPO EXAMEN
32
estudiantes
y
ninguna
niña
7
de
Se
elige
un
de
que:
Juegue
Toque
realizan
las
de
ambas
el
clase,
18
juegan
actividades.
al
golf,
¿Cuántos
16
no
tocan
practican
actividades?
estudiante
al
una
golf
pero
piano
al
azar.
no
pero
Halle
toque
no
el
juegue
la
probabilidad
piano.
al
golf.
Capítulo
3
71
PREGUNTA
5
El
TIPO EXAMEN
conjunto
números
universal
positivos
subconjuntos
A
=
B
=
A
B
Ubique
del
Se
Ni
ciudad,
lee
“
A
”
y
el
la
son
de
el
que
3
el
2%
y
divisores
de
la
Lea
solo
“
A
”
Lea
solo
“B”
No
de
3
ni
A
y
B
5%
que
la
el
lee
lee
las
de
que
15.
los
Los
de
de
3}
30}
en
la
región
correspondiente
U
el
de
número
10%
“
A
”
de
y
30
el
“B”;
lee
el
diario
el
diario
“
A
”,
“C”.
leen
una
Para
esta
usar
tres
diagrama
4%
pregunta
círculos
de
representar
“C”.
personas
que
lee
y
sea:
30
población
“B”
de
U.
divisor
de
“B”,
probabilidad
en
iguales
de
de:
divisor
40%
3%
de
conjunto
como:
múltiplos
número
de
el
o
el
Venn.
un
de
como
menores
denen
son
que
diario
“C”;
Además, el
Halle
se
que
múltiplo
encontró
lee
B
probabilidad
una
enteros
azar
Múltiplo
30%
Se
la
dene
elementos
diagrama
al
se
elementos
En
el
los
los
elige
Halle
6
y
{enteros
Enumere
A
{enteros
U
los
tres
persona
Venn,
cada
necesitará
en
uno
al
para
diario.
U
diarios.
elegida
el
azar
ciudad:
C
La
lea
regla
Aquí
tiro
está
con
ninguno
de
el
la
y
los
tres
diarios
adición
diagrama
arco
de
de
Venn
bádminton
de
para
la
los
página
estudiantes
que
practican
69.
U
T
anto
la
probabilidad
estudiante
como
la
nyn
q
n
mo
n(A
∪
B)
=
38
+
30
−
n(A
∪
B)
=
n(A)
+
lo
tanto,
P(A
∪
Para
dos
P(A
72
sucesos
n(B)
B)
∪
Probabilidad
B)
=
A
y
P(A)
que
ro
or.
−
n(A
∩
=
P(A)
+
una
un
arco,
un
rq
B
+
P(B)
−
P(A
cualesquiera
P(B)
–
vez
Solo
esta
queremos
probabilidad,
B)
∩
lo
tanto,
restamos
B)
probabilidades.
➔
de
con
6,
por
por
que
bádminton,
n
considerar
o
practique
de
tiro
probabilidad
estudiante
48
practique
P(A
∩
B)
una
de
estas
jgo
Para
el
próximo
ejemplo
familiarizarse
con
de
de
52
hay
naipes
cuatro
los
y
tréboles
emo
Se
elige
Halle
mazo
En
picas,
diamantes.
son
necesita
común
un
negros,
picas
Hay
as,
3,
2,
reina
mazo
tréboles,
Las
rojos.
y
y
y
13
4,
rey.
se
les
su
país
los
naipes
5,
A
llama
diamantes
6,
la
7,
en
8,
jota,
9,
la
cada
10,
reina
“guras”.
naipes
son
palo:
jota,
y
el
¿Existen
similares
o
rey
en
iguales
a
estos?
los
al
la
un
juego.
palos:
corazones
corazones
n
azar
un
naipe
probabilidad
de
de
un
que
mazo
sea
un
común
corazón
de
o
52
un
naipes.
rey
.
R
Necesitamos
P(C
∪
R).
U
Dibujemos
C
un
diagrama
de
Venn.
R
A ♥
K ♣
Q ♥
J ♥
10 ♥
9♥
8♥
7♥
6♥
5♥
4
3♥
2♥
K
K
K ♠
♥
Hay
13
Hay
4
Hay
un
corazones
en
el
mazo.
13
P(C )
=
52
4
P(R )
=
reyes
en
el
mazo.
52
1
P(C
∩
R )
=
naipe
que
es
rey
y
corazón.
52
Por
lo
P(C
∪
tanto
13
R )
4
+
=
52
1
–
52
4
16
=
52
Usando
=
52
P( C
∪
R )
=
P( C )
+
P( R )
–
P( C
∩
R )
13
Capítulo
3
73
emo
3
9
Si
A
y
B
son
dos
sucesos
tales
que
P(A)
=
y
P(B)
=
y
10
20
P(A
∪
B)
P(A
=
∪
2P(A
B )
∩
B)
halle:
P(A
∪
B )′
P(A
∩
B ′)
R
Sea
P(A
∩
B )
=
x
Usar
3
9
P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) – P (A ∩ B )
2x
=
+
–
x
10
20
15
3x
=
20
3
x
=
÷
3
4
1
x
=
=
P(A
∩
B)
4
1
P(A
∪
B)
=
Dado
que
P (A
∪
Dado
que
P(A′)
B )
=
2P(A
∩
B)
2
1
Si
P(A
∪
B )
=
entonces
2
1
1
P(A
∪
B )′
=
1
–
=
=
1
–
P(A)
2
2
1
Si
P(A
∩
B )
Usar el resultado del apartado a
=
4
P(A
∩
B ′ )
=
P(A)
–
P(A
1
9
–
=
20
∩
B )
Esta es la región del diagrama que
1
representa a A sin la intersección con B.
=
5
4
U
P(A)
P(B)
1
P(A
∩
B)
=
4
Ejercitación
1
Dos
de
dados
los
3C
se
Se obtuvieron
que
las
500
se
veces.
muestran
siguientes
Para
en
cada
las
tiro,
se
escribe
la
suma
caras.
frecuencias:
Suma
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Frecuencias
6
8
21
34
65
80
63
77
68
36
42
Usando
74
arrojan
números
las
frecuencias,
calcule
La
suma
sea
exactamente
La
suma
sea
un
La
suma
sea
exactamente
Probabilidad
número
la
probabilidad
divisible
por
5.
por
5
de
que:
par.
divisible
o
sea
un
número
par.
2
Se
arroja
un
dado
probabilidad
3
de
caras,
numeradas
número
obtenido
sea
primo.
El
número
obtenido
sea
primo
El
número
obtenido
sea
un
En
un
gr upo
mujeres
de
y
cámara
Se
la
80
22
de
turistas,
son
que
fotográca
elige
una
letra
probabilidad
del
1
al
10.
Calcule
la
que:
El
probabilidad
5
10
son
4
de
o
al
de
un
sea
azar
que
tienen
con
turista
múltiplo
múltiplo
40
mujeres
o
de
4
de
o
cámaras
cámaras
elegido
al
4.
un
múltiplo
fotográcas,
fotográcas.
azar
de
del
3.
50
Halle
gr upo
la
tenga
mujer.
de
las
26
letras
del
idioma
inglés.
Halle
esté:
En
la
palabra
Ma
tHeMa
tics
En
la
palabra
tRiGONOMetRY
En
la
palabra
Ma
tHeMa
tics
y
en
la
palabra
tRiGONOMetRY
En
la
palabra
Ma
tHeMa
tics
o
en
la
palabra
tRiGONOMetRY
Una
estudiante
prestada
cción,
obra
0,30;
¿Cuál
una
una
es
¿Cuál
es
ninguna
y
la
obra
va
la
de
biblioteca.
cción
que
pida
probabilidad
de
la
de
a
cción,
de
es
no
probabilidad
de
que
obra
de
cada
que
la
cción
de
probabilidad
0,40;
una
de
La
que
pida
la
una
clase,
estudiante
o
de
que
pida
obra
de
no
0,20.
pida
prestada
ambas?
estudiante
no
pida
prestada
obra?
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
1
6
En
un
camino,
1
de
las
casas
no
reciben
periódicos.
Si
3
4
3
reciben
el
periódico
nacional
y
el
periódico
local,
¿cuál
es
la
5
probabilidad
de
que
una
casa
elegida
al
azar
reciba
ambos?
1
7
Si
X
e
Y
son
dos
sucesos
tales
que
P(X)
=
1
y
P(Y)
4
=
y
8
1
P(X
∩
Y)
=
,
halle:
8
8
P(X
∪
Y)
P(X
∪
Y)′
P(A)
=
0,2
Si
P(A
∪
B)
P(A
∪
B)′
P(A′
∪
y
P(B)
=
0,5
y
P(A
∩
B)
=
0,1,
halle:
B)
Capítulo
3
75
U
Sucesos
En
una
mutuamente
encuesta
estudiantil
excluyentes
se
encuentra
que
A
32
C
estudiantes
38
juegan
los
al
ajedrez.
mismos
días
Los
a
la
clubes
misma
de
ajedrez
hora,
por
y
lo
tiro
al
tanto,
arco
un
32
funcionan
estudiante
no
30
puede
Los
sucesos
Son
P(A
P(A
∩
B)
aquí
P(A
➔
y
En
tiro
B)
C )
caja
extrae
y
+
sucesos
=
P(A)
si
+
A
no
los
en
y
mmn
pueden
ocurrir
círculos
no
–
B
son
mismo
tiempo.
solapan,
P(A
∩
mutuamente
adaptar
la
regla
de
la
C )
=
0.
excluyentes,
adición
para
estos
casos:
P(B).
y
B
son
∪
mutuamente
B)
=
P(A)
+
excluyentes,
P(B).
marcadores
marcador
al
azar.
para
La
tableros
de
varios
probabilidad
de
colores.
extraer
un
Un
profesor
marcador
rojo
3
,
y
la
probabilidad
de
extraer
uno
verde
es
5
de
al
xyn .
0.
1
es
se
consecuencia
P(C )
A
sucesos
contiene
un
0
P(A)
P(A ∩ B) = 0 y P(A
Una
que
=
podemos
general,
emo
arco.
denominan
resultados
=
dos
con
0.
que
∪
se
∩
C )
si
y
obser var
n(A
∪
=
C
cuyos
tanto
general,
De
A
podemos
lo
Ahora
En
ajedrez
sucesos
Aquí
por
hacer
.
¿Cuál
es
la
probabilidad
7
no
extraer
ni
un
marcador
rojo
ni
un
marcador
verde?
R
Sea
R
el
suceso
marcador
Sea
V
el
“se
suceso
“se
verde”.
P(R
=
V )
P(R)
1
=
extrae
+
V )′
=
1
3
He
A:
B:
C:
D:
E:
aquí
el
hay
los
al
es
¿Cuáles
o
prof esor
verde,
extrae
pero
no
cualquiera,
ambos
Dado
que
P(A′)
=
1
76
A
B
y
y
B
E
Probabilidad
colores.
–
P(A)
35
sucesos
7
o
muestran
un
con
la
tirada
de
f
dos
dados:
4
más
un
dados
los
relacionados
6
muestran
muestran
siguientes
el
mismo
números
pares
de
número
impares
sucesos
son
mutuamente
excluyentes?
rojo
3D
dados
de
notación
mutuamente
=
menos
dos
ambos
la
sucesos
13
–
dados
total
denir
son
35
algunos
ambos
V
excluyentes.
=
35
1
y
22
7
Ejercitación
un
P(V )
22
∪
Primero
El
+
5
P(R
un
R
marcador
∪
extrae
rojo”.
A
C
y
y
C
D
g
A
B
y
y
D
C
A
y
E
PREGUNTA
TIPO EXAMEN
1
Dos
2
sucesos
N
y
M
son
tales
que
P(N)
1
=
y
P(M)
¿Son
En
3
N
un
y
M
grupo
estudiantes
elegido
al
PREGUNTA
En
4
un
mutuamente
de
de
89
y
azar
de
este
P(N
∪
M)
.
10
año.
30
Halle
grupo
sea
son
la
de
estudiantes
probabilidad
primer
año
o
de
de
de
primer
que
un
segundo
año
y
27
son
estudiante
año.
TIPO EXAMEN
cer tamen
interescolar,
la
probabilidad
de
que
la
escuela
A
competencia
es
gane
1
1
la
=
10
excluyentes?
estudiantes,
segundo
3
=
5
,
la
probabilidad
de
que
gane
la
escuela
B
es
y
la
4
3
1
probabilidad
de
que
gane
la
escuela
C
es
5
Halle
la
probabilidad
A
o
Gane
Ninguna
.
B
gane
A,
B
la
o
de
de
competencia.
C.
estas
dgrm
rg
que:
escuelas
gane
la
o
competencia.
mr
y
roo
Una
Es
si
posible
no
hay
enumerar
todos
los
resultados
posibles
de
un
experimento
demasiados.
pregunta
pedir
todos
que
los
se
puede
enumeren
resultados
posibles.
emo
Se
hace
girar
tres
los
números
los
resultados
A
par tir
de
resultado
primeros
1,
y
3
de
anterior,
la
una
perinola
estampados
posibles
lo
de
2
veces
última
este
halle
ella.
con
Enumere
todos
experimento.
la
jugada
en
equilibrada
probabilidad
sea
mayor
que
de
que
los
el
dos
resultados.
R
Los
1
1
27
Cuando
son:
1
2
1
1
3
1
los
1
2
2
1
3
2
sistemático
3
1
1
3
3
ninguno.
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
3
2
3
2
2
1
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
3
1
2
3
2
2
3
3
2
3
1
3
3
2
3
3
3
3
último
que
los
3
valores
número
de
los
de
dos
la
3
necesita
para
no
ser
omitir
1
resaltados,
jugada
tiros
resultados,
todos
1
1
cinco
1
3
1
los
2
2
3
En
enumere
2
1
1
2
resultados
es
el
mayor
anteriores.
5
De
aquí
que
la
probabilidad
es
27
Capítulo
3
77
Diagramas
del
espacio
Otra
mostrar
muestral
Los
forma
de
todos
los
resultados
posibles
de
un
suceso
diagramas
espacio
mediante
un
diagrama
del
espacio
muestral
muestral.
también
se
“diagramas
de
emo
Dibuje
dos
denominan
del
espacio
probabilidades”.
un
diagrama
dados.
Halle
Obtener
del
es
un
la
del
espacio
muestral
probabilidad
total
de
6
representar
los
totales
obtenidos
cuando
se
arrojan
de:
Tirar
para
un
doble
Obtener
un
total
menor
que
6
R
DADO
1
2
ODAD
Hay
2
3
1
4
5
6
1
(1,
1)
(2,
1)
(3,
1)
(4,
1)
(5,
1)
(6,
1)
2
(1,
2)
(2,
2)
(3,
2)
(4,
2)
(5,
2)
(6,
2)
3
(1,
3)
(2,
3)
(3,
3)
(4,
3)
(5,
3)
(6,
3)
4
(1,
4)
(2,
4)
(3,
4)
(4,
4)
(5,
4)
(6,
4)
5
(1,
5)
(2,
5)
(3,
5)
(4,
5)
(5,
5)
(6,
5)
6
(1,
6)
(2,
6)
(3,
6)
(4,
6)
(5,
6)
(6,
6)
36
resultados
posibles
representados
en
(1,
1)
da
un
total
de
2,
(4,
6)
da
un
total
de
10.
este
diagrama.
5
a
P(6)
=
Las
cinco
f or mas
posibles
de
obtener
un
total
de
6
36
aparecen
resaltadas.
DADO
1
2
ODAD
6
P(doble)
=
1
3
4
5
6
1
(1,
1)
(2,
1)
(3,
1)
(4,
1)
(5,
1)
(6,
1)
2
(1,
2)
(2,
2)
(3,
2)
(4,
2)
(5,
2)
(6,
2)
3
(1,
3)
(2,
3)
(3,
3)
(4,
3)
(5,
3)
(6,
3)
4
(1,
4)
(2,
4)
(3,
4)
(4,
4)
(5,
4)
(6,
4)
5
(1,
5)
(2,
5)
(3,
5)
(4,
5)
(5,
5)
(6,
5)
6
(1,
6)
(2,
6)
(3,
6)
(4,
6)
(5,
6)
(6,
6)
1
Las
=
36
2
seis
f or mas
posibles
de
tirar
un
doble
aparecen
6
resaltadas.
DADO
1
2
2
ODAD
Probabilidad
4
5
6
1
(1,
1)
(2,
1)
(3,
1)
(4,
1)
(5,
1)
(6,
1)
2
(1,
2)
(2,
2)
(3,
2)
(4,
2)
(5,
2)
(6,
2)
3
(1,
3)
(2,
3)
(3,
3)
(4,
3)
(5,
3)
(6,
3)
4
(1,
4)
(2,
4)
(3,
4)
(4,
4)
(5,
4)
(6,
4)
5
(1,
5)
(2,
5)
(3,
5)
(4,
5)
(5,
5)
(6,
5)
6
(1,
6)
(2,
6)
(3,
6)
(4,
6)
(5,
6)
(6,
6)
{
78
1
3
Continúa
en
la
página
siguiente.
<
6)
Las
5
10
P(total
=
10
f or mas
posibles
de
obtener
18
36
6
aparecen
DADO
2
ODAD
En
un
Halle
un
la
se
diagrama
menor
que
lanza
del
probabilidad
número
menor
a
2
1
3
4
5
6
1
(1,
1)
(2,
1)
(3,
1)
(4,
1)
(5,
1)
(6,
1)
2
(1,
2)
(2,
2)
(3,
2)
(4,
2)
(5,
2)
(6,
2)
3
(1,
3)
(2,
3)
(3,
3)
(4,
3)
(5,
3)
(6,
3)
4
(1,
4)
(2,
4)
(3,
4)
(4,
4)
(5,
4)
(6,
4)
5
(1,
5)
(2,
5)
(3,
5)
(4,
5)
(5,
5)
(6,
5)
6
(1,
6)
(2,
6)
(3,
6)
(4,
6)
(5,
6)
(6,
6)
experimento
Dibuje
total
resaltadas.
1
emo
un
=
3
una
espacio
de
moneda
muestral
obtener
(T)
en
el
y
una
dado,
arroja
para
cara
en
se
en
un
este
la
solo
un
dado.
experimento.
moneda
(C)
y
un
experimento.
R
1
2
3
4
5
6
C
(1,
C)
(2,
C)
(3,
C)
(4,
C)
(5,
C)
T
(1,
T)
(2,
T)
(3,
T)
(4,
T)
(5,
T)
2
P(cara
y
número
menor
que
3)
PREGUNTA
1
Se
C)
(6,
T)
Los
resultados
que
3
que
aparecen
dan
una
cara
y
=
=
6
monedas
equilibradas
una
después
de
otra
y
se
Una
resultados.
Un
posible
resultado
es
que
todas
moneda
dos
puede
salgan
cara
primeras
(C).
Esto
monedas
escribirse
como
se
salgan
escribe
cara
y
como
la
CCC.
última
Otra
ceca
(X).
es
todo
aleatorio.
2
el
Halle
es
aquella
es
tan
número
El
Se
obtengan
al
Se
obtengan
caras
Dibuje
el
aleatorio
caras
El
La
El
la
caras
y
del
dados
del
1
probabilidad
número
en
diferencia
dado
rojo
un
número
La
suma
sea
menos
diagrama
“Dos
numeradas
Halle
de
muestral
probabilidad
el
dos
para
de
mayor
cecas
la
que
probable
que
de
4.
ceca.
experimento
que
caras
el
de
cecas.
consecutivas.
muestral
Se
uno
lanzan
y
para
azul
se
y
el
el
anota
experimento
otro
el
rojo,
tienen
resultado”.
que:
rojo
los
muestre
como
alter nativamente.
espacio
al
este
cara
que:
tetraédricos,
dado
entre
en
Esto
CCX.
espacio
la
(equilibrada)
que
salga
Enumere
no
las
cargada
las
menor
3E
tres
los
monedas
número
TIPO EXAMEN
lanzan
anotan
un
sombreados.
1
12
Ejercitación
(6,
sea
mayor
números
un
de
número
que
los
el
del
dados
impar
y
el
dado
sea
dado
azul.
uno.
azul
muestre
par.
de
los
números
de
los
dados
sea
un
número
primo.
Capítulo
3
79
PREGUNTA
TIPO EXAMEN
Huellas
3
Una
caja
contiene
tres
car tones
marcados
con
El
números
1,
car tones
Un
2,
3.
Una
marcados
car tón
se
con
escoge
Dibuje
el
para
experimento
el
segunda
diagrama
al
los
contiene
números
azar
del
caja
de
cada
espacio
2,
3,
cuatro
4,
genéticas
los
método
fue
5.
Jeffreys,
Universidad
de
muestral
contenida
Halle
la
probabilidad
de
Los
El
La
car tones
tengan
el
mismo
de
los
dos
números
extraídos
sea
de
los
números
de
nuestros
los
car tones
ADN
sea
uidos
producto
de
los
números
de
los
car tones
menos
Se
Seis
extraerse
escoja
al
car tones,
una
bolsa.
corporales
se
se
menos
un
número
usual
elige
y
numerados
Se
luego
un
extrae
se
0,
uno
repone
segundo
comparan
1,
2,
3,
4
y
5,
se
la
Los
El
al
en
car tón.
muestral
para
probabilidad
car tones
mayor
La
para
genética”,
abajo.
huellas
azar,
la
se
bolsa.
Dibuje
el
suma
de
de
de
tengan
anota
genéticas
de
usaron
estas
como
el
los
los
números
dos
a
los
criminales,
está
siendo
pero
el
investigado
a
la
dependencia
extraídos
20
sea
los
de
factores
aleatorio.
número.
en
para
diagrama
examinan
números
comparaciones
pr uebas
Luego,
experimento
mismo
bandas.
el
que:
el
estas
colocan
probabilísticos.
células
par.
debido
espacio
Halle
las
analizarse
más
comparar
procedimiento
del
y
“huella
muestra
condenar
número
se
de
8.
se
en
padres.
nuestra
Algunas
4
está
heredamos
sea
es
que
que
7.
Cuando
al
ADN,
uno
única
menor
como
El
el
la
Cada
una
genética
puede
producir
que
Leicester
.
tenemos
en
por
de
3.
y
suma
1984
número.
El
mayor
en
genéticas
que:
de
huellas
catedrático
de
nosotros
composición
aleatorio.
las
desarrollado
Alec
caja.
de
primo.
comparan
bandas.
sugieren
que
car tones
y
una
Comúnmente
Las
que
la
banda
entre
pr uebas
se
10
y
empíricas
probabilidad
concuerde
de
por
mera
1
sea
menor
que
7.
coincidencia
es
,
aunque
este
4
El
producto
de
los
números
de
los
car tones
valor
sea
al
menos
de
Se
escoja
al
es
debatible.
La
probabilidad
8.
menos
un
número
que
dos
bandas
coincidan
será
par.
1
consecuentemente
5
T
omás
juega
a
un
entretenimiento
con
un
de
dado,
16
llamado
“Vaya
resultado
es
un
a
metro
metro.
Si
Si
o
es
5
Tomás
¿Cuál
la
es
6,
1,
arroja
es
la
venga”.
avanza
se
el
Esté
en
Esté
exactamente
el
posición
Rg
a
mismo
es
un
dos
Si
dos
2,
metro
a
que
la
mueve
izquierda.
está.
dos
ocurra
donde
el
un
donde
Hace
metros
Si
se
retrocede
veces.
de
dado.
es
posición
punto
a
3,
el
lo
pasos.
siguiente?
comenzó.
de
distancia
de
su
original.
más
metro.
la
probabilidad
Esté
en
dado
Arroja
Si
mueve
queda
un
derecha.
4,
se
y
de
uno
pero
roo
menos
r
de
dos
metros
de
distancia
de
su
posición
original.
o
nnn
Cuando
anterior,
moneda
80
se
arrojan
los
no
un
sucesos
inuye
Probabilidad
dado
y
resultan
en
el
una
moneda,
tal
nnn.
resultado
del
dado
y
como
Esto
en
se
el
ejemplo
debe
viceversa.
a
que
el
9
de
la
página
resultado
de
la
➔
Dos
sucesos
ocurra
He
aquí
el
uno
t
Se
espacio
C)
(1,
T)
(2,
T)
suceso
(3,
dado
4
C)
(3,
un
(4,
T)
que
una
5
C)
(4,
y
(5,
T)
(5,
C
como
“la
moneda
T
como
“el
dado
probabilidad
ocurra
el
de
que
otro.
moneda.
6
C)
(6,
C)
T)
(6,
T)
sale
cara”.
1
2
el
suceso
muestra
un
número
menor
3”.
4
P(T )
Hay
1
=
∩
donde
1
T )
=
también
P(C
∩
T )
6
P(C )
1
×
Esta
=
la
También
número
una
dado
que:
menor
un
que
número
3.
6
×
A
B
son
independientes
P(B)
roo
denomina
del
y
“regla
espacio
resultados
r
de
muestral
posibles,
o
la
multiplicación”.
pueden
pero
nnn
no
ayudar
siempre
a
es
visualizar
necesario
uno.
emo
Una
P(A)
se
de
el
1
sucesos
rg
diagramas
dibujar
y
P(T )
3
dos
B)
es
moneda
=
2
∩
×
notar
1
=
P(A
la
cara
muestra
podemos
=
Cuando
sale
=
12
Pero
resultados
3
2
P(C
dos
=
12
el
para
de
la
=
=
dene
Los
probabilidad
si
diagrama:
12
➔
la
3
(2,
el
independientes
muestral
C)
6
que
son
afecta
(1,
P(C )
Se
B
2
dene
Del
y
no
1
c
A
bolsa
contiene
bolilla
Ambas
Al
al
azar
de
bolillas
menos
una
3
bolillas
cada
sean
de
rojas
caja.
y
Halle
rojas.
las
2
blancas,
la
bolillas
sea
otra
bolsa
probabilidad
Las
bolillas
de
contiene
1
roja
y
4
blancas.
Se
selecciona
que:
sean
de
diferentes
colores.
blanca.
Respuestas
3
Los
5
y
sucesos
“tomar
una
bolilla
roja
de
la
bolsa”
(R )
1
De
la
primera
bolsa
P(R
)
=
1
“tomar
una
bolilla
roja
de
la
bolsa”
(R
)
son
2
1
independientes.
De
la
segunda
bolsa
P(R
)
En
R
=
hay
3
bolillas
rojas
de
un
total
de
5.
1
2
5
En
R
hay
1
bolilla
roja
de
un
total
de
5.
2
En
consecuencia,
P(R
1
3
1
3
∩
R
)
Los
sucesos
1
P( R
∩
1
=
×
5
R
2
R
2
)
=
y
R
son
independientes,
)
P(R
entonces
2
P(R
×
1
).
2
=
5
25
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
3
81
3
De
la
primera
bolsa
P(R
)
Si
=
las
bolillas
son
de
colores
dif erentes
signica
que
o
1
5
bien
la
primera
es
roja
y
la
segunda
blanca,
o
bien
la
4
De
la
segunda
bolsa
P(B
)
=
primera
es
blanca
y
la
segunda
roja.
2
5
En
consecuencia,
P(R
∩
B
1
3
2
12
4
=
)
×
=
5
25
5
2
De
la
primera
bolsa
P(B
)
=
1
5
1
De
la
segunda
bolsa
P(R
)
=
2
5
En
consecuencia,
P(B
∩
R
1
=
×
=
5
25
5
P(colores
P(R
∩
B
1
)
+
∩
R
sucesos
excluyentes.
)
14
25
menos
una
–
probabilidad
=
1
–
P(R
∩
R
1
Para
blanca)
1
de
que
ambas
sean
rojas
“al
una
de
calcular
sean
la
blancas,
las
la
bolillas
es
blanca”,
probabilidad
probabilidad
de
que
de
la
que
ambas
primera
sea
)
2
22
3
–
menos
podríamos
blanca
1
mutuamente
2
=
=
son
=
25
P(al
P(B
Estos
=
1
2
+
25
diferentes)
2
12
2
2
1
2
)
y
primera
la
segunda
sea
roja
y
roja
la
y
la
probabilidad
segunda
blanca,
y
de
que
sumar
la
estas
=
25
25
probabilidades.
O
Si
al
menos
pueden
Este
es
ser
un
contengan
1
Ejercitación
1
Mi
roja,
una
camisa
¿Cuál
2
Se
es
elige
una
la
al
la
es
blanca,
signica
que
contiene
blanca
sin
y
mirar.
azar
un
cinco
una
naipe
de
de
camisas:
negra.
Repongo
probabilidad
segundo
las
usual
palabras
probabilidad
del
de
“…
resolver
al
problemas
menos…”.
complemento
que
un
Abro
esta
elija
una
el
mazo
y
luego
camisa
de
una
guardarropa
camisa
la
azul,
del
un
que
Calculamos:
suceso.
52.
roja
Se
marrón,
y
escojo
escojo
las
repone
otra.
dos
y
veces?
se
escoge
naipe.
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
se
elija
un
las
preguntas
rey
de
y
la
2
a
la
8,
diez?
posiblemente
recordar
3
Se
lleva
a
cabo
una
encuesta
sobre
la
comida
que
se
sir ve
en
el
vea
4
cafetería
de
una
gran
escuela.
Se
halló
que
de
a
los
estudiantes
página
5
gusta
la
pasta.
probabilidad
82
Probabilidad
de
Tres
que
a
estudiantes
los
tres
les
se
eligen
guste
la
al
azar.
pasta?
¿Cuál
es
la
73.
necesite
juego
la
naipes:
les
no
rojas.
método
Para
un
ambas
3F
guardarropas
una
–
una
la
de
PREGUNTAS TIPO EXAMEN
4
Adán
el
n
La
juega
de
un
par tido
probabilidad
0,75,
y
la
es
de
que
probabilidad
Suponga
¿Cuál
de
cricket
y
un
par tido
de
hockey
durante
semana.
que
la
los
su
de
equipo
que
resultados
probabilidad
gane
de
de
gane
los
que
el
el
par tido
par tido
par tidos
el
equipo
de
son
de
de
cricket
hockey
es
es
0,85.
independientes.
Adán
gane
ambos
par tidos?
5
6
Los
sucesos
A,
B
y
excluyentes
y
P (B
0,34.
∪
C)
=
P (A)
Calcule
Determine
P(B)
Se
lanza
una
el
y
si
son
=
P (B
B
y
de
∩
C
que
tales
0,2;
moneda
probabilidad
en
C
P (C )
y
=
A
y
0,3;
B
resultan
P (A
∪
B)
mutuamente
=
0,4
y
C ).
son
se
que
independientes.
se
arroja
obtenga
un
una
dado
cara
de
en
seis
la
caras.
moneda
Halle
y
no
la
un
6
dado.
8
7
Un
misil
aire-aire
tiene
una
probabilidad
de
de
dar
en
el
9
blanco.
que
8
Se
el
Si
se
blanco
escogen
tras
10
misiles,
naipes
es
la
de
un
que
P (E ′ )
=
P (F )
=
0,6
Explique
por
qué
E
y
F
son
Explique
por
qué
E
y
F
no
Halle
P(E
bolsas
una.
Se
∪
sea
contienen
PREGUNTA
P(B)
=
de
que
y
seis
veces.
TIPO
la
de
de
de
52
car tas,
escoger
4
con
corazones,
∩
y
P (E
∩
F )
=
0,24
independientes.
son
canicas
una
mutuamente
la
primera
está
¿Cuál
sea
es
rojas
canica
tercera
caras
excluyentes.
de
y
8
canicas
cada
canica
sea
azules
bolsa.
roja,
¿Cuál
la
cada
es
la
segunda
roja?
numerado:
la
1,
2,
probabilidad
2,
de
5,
6,
que
la
6.
Se
lo
suma
de
los
6?
EXAMEN
sucesos
0,3.
4
azar
obtenidos
son
P (A
al
azul
de
tres
números
B
probabilidad
F ′ ).
escoge
dado
y
la
P(E).
Tres
A
mazo
probabilidad
Escriba
lanza
es
destr uido?
Un
¿cuál
TIPO EXAMEN
Sabiendo
canica
12
sea
¿Cuál
probabilidad
11
cinco
otro?
PREGUNTA
9
no
cuatro
reposición.
uno
lanzan
independientes
tales
que
P(A)
=
0,9
y
Halle:
B)
P (A
∩
B ′)
P (A
∪
B)′
Capítulo
3
83
PREGUNTA
Los
13
y
sucesos
P(G′
∩
Dibuje
Sea
Se
dos
=
H)
y
H
=
de
Venn
para
posibles
cuatro
valores
dados.
de
que
P (G
∩
H ′ )
=
0,12
representar
los
sucesos G
y
H.
x
Halle
la
probabilidad
Los
cuatro
dados
muestren
un
Los
cuatro
dados
muestren
el
más
tales
x.
es
son
0,42.
diagrama
∩
arrojan
¿Qué
15
independientes G
H)
un
P(G
Halle
14
TIPO EXAMEN
probable:
obtener
de
que:
6.
mismo
un
6
en
número.
cuatro
tiradas
de
un
Esta
dado,
u
obtener
un
doble
6
en
24
tiradas
de
dos
que
Un
16
programa
azar
del
0
al
247
sea
la
un
Halle
9.
Por
o
Halle
produce
programa
probabilidad
de
probabilidad
es
de
088
que
o
ninguno
un
el
famoso
televisión
que
al
menos
los
dilema
acer tijo
de
de
Monty
probabilidad
estadounidense
conocido
y
le
dan
los
el
asco,
puer ta
¿Qué
o
del
juego
Monty
revela
Monty
son:
Hall,
uno
Hall
cambiar
haría
abordó
de
la
que
de
le
por
después
sabe
los
qué
premios
pregunta
la
de
puer ta
al
elegir
hay
no
la
la
(un
de
deseados.
par ticipante
si
en
un
“Hagamos
un
del
Cambiar
Monty
de
las
de
no
las
desea
y
abre
abrir
continuar
de
las
el
otras
premio
dos
El
automóvil
aleatoriamente
programa.
cerrada
de
de
con
puer tas.
deseados.
una
una
tres
encuentra
colocan
del
permanece
de
entre
no
se
antes
juego
se
detrás
deseados
puer tas,
Luego
elegir
premios
puer tas,
esta
del
puer tas
automóvil)
ascos,
las
Hall.
su
las
las
por
el
dos
restantes
puer tas
primera
y
mostrar
elección
de
restante.
con
su
primera
a
la
puer ta
cerrada
realidad
no
impor ta.
La
a
ver
este
elección.
al
restante.
el
Probabilidad
64.
trato”.
problema
84
página
antrión
par ticipa
posibilidad
una
hay
de
basa
usted
puer ta,
detrás
se
Volveremos
Mantenerse
En
con
usted?
en
5.
programa,
premios
detrás
un
proviene
que
de
puer tas
y
que
del
principal
siempre
se
investigación
Hall
nombre
Detrás
y
la
al
dígitos
sea
como
Suponga
momento.
tres
dígito
original
reglas
pregunta
936
de
un
El
Las
dígitos
dados
o
la
5.
la
siguiente
tres
ejemplo:
309
ingón:
El
(independientemente)
es
dados?
probabilidad
es
la
misma
en
ambos
casos.
capítulo.
nalizar
.
He
pro
aquí
un
practican
diagrama
tiro
con
de
arco
onon
Venn
y
que
muestra
a
los
estudiantes
que
bádminton.
U
48
Si
sabemos
¿cómo
con
En
con
30
la
estudiante
en
probabilidad
par ticular
de
que
practica
también
bádminton,
practique
tiro
estudiantes
practican
arco
la
probabilidad
sabiendo
Notamos
que
(
A| B
se
6
de
estos
practican
)
=
un
estudiante
bádminton
16
=
conoce
resultado
que
practique
como
P
(
A| B
tiro
)
que:
de
A
8
=
30
n( B )
Esto
de
practica
n( A ∩ B )
P
bádminton;
arco.
Escribimos
con
un
a
arco?
total,
tiro
que
afecta
como
15
ro
del
n
onon ,
resultado
de
dado
que
el
B
16
P( A ∩ B )
Además,
se
deduce
que
P
(
A| B
)
=
100
=
P( B )
30
100
16
=
8
=
30
15
Recuerde
➔
En
general,
para
dos
sucesos
A
y
B
la
probabilidad
de
para
ocurra
A
sabiendo
que
ocurrió
B
puede
hallarse
que
que
sucesos
usando:
independientes
P( A ∩ B )
P
(
A| B
)
P(A
∩
P( B )
Por
denición,
para
Si
reordenamos
la
fórmula,
nos
∩
B)
=
Si
A
y
P
B
(
A| B
)
×
probabilidad
(
A| B
)
ocurra
son
sucesos
que
independientes,
=
P(A),
P
(
B|A
)
=
P(B),
P
(
A| B ′ ) =
la
A,
A
P
(
P(B).
B | A′ )
=
P(B)
A
y
de
B,
que
sabiendo
B
será
que
igual
probabilidad
puesto
que
el
P(A)
hecho
y
×
P(B)
de
P
P(A)
sucesos
ocurrió
➔
=
independientes
da:
la
P(A
B)
=
B
no
de
que
afecta
a
ocurra
A.
Capítulo
3
85
emo
De
los
53
miembros
¿Cuántos
Un
miembro
Halle
la
del
miembros
del
personal
del
personal
probabilidad
té
pero
no
del
personal
de
se
colegio,
toman
elige
al
té
36
y
beben
té,
18
beben
café
y
10
no
beben
té
ni
café.
café?
azar.
que:
Beba
Sabiendo
que
bebe
café.
té,
también
Sabiendo
que
bebe
té,
no
beba
beba
café.
café.
Respuestas
Dibujar
un
diagrama
de
Venn
para
mostrar
la
U
inf or mación
36
–
18
–
x
10
Sea
n (T
Por
lo
36
–
64
–
Hay
x
∩
C )
=
x
–
x
n( T
tanto,
+
x
+
x
=
53
x
=
11
11
53
18
+
10
=
53
∩
es
C )
el
total
diagrama
Resolver
personas
que
beben
té
y
es
el
de
de
en
número
que
miembros
beben
del
caf é
personal
y
té.
en
el
Venn.
x
café.
25
P(T
∩
C ′)
=
36
–
11
=
25
33
11
P(C
P(C|T )
∩T )
53
=
=
36
P(T )
53
11
53
11
×
=
53
=
56
36
25
P(C ′ ∩ T )
P(C ′|T )
53
=
P (C ′
=
∩
T )
=
P (T
∩
C ′)
36
P(T )
53
25
×
=
53
Ejercitación
25
53
=
36
36
3G
PREGUNTA TIPO EXAMEN
1
Hay
de
27
T
eatro.
clases
Una
de
Cuatro
ambas
persona
Él
o
ella
Él
o
ella
Él
o
ella
86
estudiantes
Probabilidad
se
en
no
una
clase.
toman
15
toman
ninguna
de
clases
estas
de
dos
Artes
Visuales
asignaturas.
y
20
¿Cuántos
toman
clases
estudiantes
toman
asignaturas?
elige
tomen
tomen
tomen
al
azar.
clases
clases
clases
de
de
de
Halle
la
Teatro
al
menos
Teatro,
probabilidad
pero
no
una
de
de
las
sabiendo
de
Ar tes
dos
que
él
que:
Visuales.
asignaturas.
o
ella
toman
clases
de
Ar tes
Visuales.
PREGUNTA TIPO EXAMEN
2
Para
los
sucesos
A
y
B
se
sabe
que:
P(A′
∩
B ′)
=
0,35;
P(A)
=
0,25;
P(B)
=
0,6.
Halle:
P(A
3
El
∩
48%
poseen
B)
de
los
4
Se
adolescentes
patinetas
adolescente
elige
un
P(A|B)
y
posea
patines
un
número
poseen
de
patín
al
azar
2
patinetas
r uedas.
de
de
r uedas
la
4
P(B ′|A′)
¿Cuál
el
es
lista
39%
la
sabiendo
siguiente
7
y
de
los
adolescentes
probabilidad
que
de
posee
ocho
6
de
una
que
un
patineta?
números:
22
29
Halle:
5
P(sea
par
P(sea
menor
que
15
P(sea
menor
que
5
P(esté
En
de
mi
|
ciudad,
computador
6
La
es
y
8
V
Una
El
9
35%
Una
sin
y
de
La
0,6.
jarra
la
clase
y
es
0,47.
¿Cuál
tenis
de
todos
¿Cuál
que
que
es
un
la
es
la
su
ambos
que
la
comprendido
cuentan
tienen
que
cuenta
tome
un
de
exámenes
y
elegir
una
primera
del
el
la
de
tome
del
=
una
52%
Dos
una
canica
computador
de
hogar
clases
0,26;
de
y
cuente
escritorio?
del
de
P (V)
P (U
una
1
la
o
Diseño
y
Tecnología
tome
clases
de
clase
también
se
negra
en
canica
la
y
0,37.
2
del
pasó
la
Halle:
escogen
luego
en
la
IB.
pr ueba
pasaron
primera
blanca
fue
=
V).
pr ueba
canicas
extraída
escritorio
dado
estudiante
de
negra
25)
Diseño?
y
canica
canica
elegir
IB
y
Tecnología
un
pr ueba
blancas.
elegir
de
1
y
pasaron
de
un
pr ueba
un
5
computador
que
Tecnología
la
al
una
1.
pr ueba
2?
azar,
blanca
extracción
segunda
negra?
TIPO EXAMEN
a
continuación
de
mesa
contiene
diestros
y
el
zurdos
número
en
una
Diestros
de
5
32
37
11
13
Total
7
43
50
de
tenis
de
probabilidad
Un
hombre
Diestra,
mesa
de
zurdo
sabiendo
que
que
es
fue
la
elegido
persona
de
50
hombres
y
mujeres.
Total
2
jugador
jugadores
muestra
Hombres
la
con
estudiante
Mujeres
Halle
que
|V)
una
que
Zurdos
Un
de
clases
de
con
entre
computador
excluyentes. P (U)
negras
de
está
probabilidad
que
probabilidad
sabiendo
|
hogares
clases
clase
canicas
15)
hogares
P (U
aquellos
5)
probabilidad
probabilidad
la
20
estudiante
toma
pasó
que
sabiendo
probabilidad
es
los
mutuamente
a
y
4)
que
los
probabilidad
de
La
10
todos
¿Cuál
contiene
la
menor
entre
de
tomó
reposición.
tabla
es
de
mayor
0,34,
La
de
porcentaje
PREGUNTA
|
es
por tátil
sucesos
es
de
61%
múltiplo
|
V)
extracción
10
es
profesora
¿Qué
95%
sabiendo
son
P (U
un
por tátil.
0,1.
Diseño
Español
U
El
probabilidad
del
7
el
computador
Español
es
comprendido
escritorio.
con
no
al
azar
del
gr upo.
sea:
Diestra
mujer
Capítulo
3
87
11
J
y
K
son
P(K)
12
Su
=
sucesos
0,5,
vecino
Samuel.
halle
tiene
¿Cuál
hermano
independientes.
dos
es
hijos.
la
Usted
Consideremos
una
el
haya
par ticipante
¿Cuál
esté
Sea
de
la
que
2
premio
la
la
de
la
hay
situación
la
1
y
el
de
P(J
|K)
que
que
tiene
un
Samuel
que
el
el
probabilidad
el
automóvil
puer ta
El
3,
3
detrás
el
puer ta
no
3.
hijo
problema
Supongamos
y
Monty
de
la
de
automóvil
ha
Monty
deseado
Hall
puer ta
que
esté
elegido
Hall
llamado
¡No
un
resulta
como
ha
de
A
y
B
(P(A
∩
B))
es
está
es
detrás
Hall
el
tiene
de
detrás
situación
la
que
cómputo
deseado
Esta
de
el
que
revele
2.
automóvil
puer ta
3.
Análisis
puer ta
la
de
1
mostrar
la
la
puede
y
puer ta
el
qué
puer ta
darse
el
auto
está
detrás
de
la
2
Cuando
el
auto
está
detrás
de
la
2
de
Monty
3.
1
×
1
hay
detrás
de
sabiendo
dos
elegido
la
puer ta
mostrado
la
la
2.
un
elección
fue
la
maneras:
puer ta
1
puer ta
3
1
primera
tiene
una
probabilidad
de
,
como
se
mostró
anteriormente.
9
la
la
segunda
puer ta
entre
las
1
o
dos
situación,
la
puer ta
puer tas,
el
2.
antrión
Si
el
podría
antrión
entonces
la
hay
detrás
de
la
puer ta
2
es
1
×
2
de
que
se
revele
un
premio
no
elige
cualquiera:
aleatoriamente
probabilidad
1
que
revelar
de
mostrar
el
par ticipante
ha
deseado
elegido
la
.
Por
lo
tanto,
detrás
de
la
es
P(B),
Queremos
la
la
probabilidad
probabilidad
de
hay
la
probabilidad
puer ta
3
es
2
1
+
×
2
3
=
9
18
B
condicionada,
P
(
A |
B
).
Está
dada
por
1
P( A ∩
P
(
A |
B
)
B)
=
2
9
=
=
3
3
P(B)
18
Esto
signica
detrás
3
y
le
de
la
hayan
que
la
puer ta
probabilidad
3
sabiendo
mostrado
que
hay
condicionada
que
un
el
de
par ticipante
premio
no
que
ha
deseado
el
automóvil
elegido
detrás
la
de
esté
puer ta
la
1
puer ta
2
es
solamente
.
3
88
Probabilidad
Consecuentemente,
¡vale
la
pena
detrás
de
(equiprobablemente)
lo
puer ta
1
9
Esto
que
18
1
cuando
lo
1
=
9
usando
condicionadas
ha
de
que
Hall
porque
9
haber
de
probabilidades
=
3
par ticipante
probabilidad
del
problema
solamente
puer ta
Cuando
En
obvio
de
revelado
la
elegido
1
La
tan
parece!
detrás
la
haya
detrás
par ticipante
de
Monty
problema
premio
y
1?
que
no
juego.
condicionada
que
de
al
3
si
0,3
tenga
1
La
=
Hall
puer ta
par ticipante
premio
sabiendo
en
la
deseado
puer ta
condición
un
elegido
no
condición
puer ta
B
de
volvemos
probabilidad
detrás
A
Sea
un
es
que
varón?
Monty
hay
sabe
probabilidad
ingón:
que
Dado
P(J).
cambiar!
.
Los
dgrm
diagramas
más
de
lugar
un
de
de
suceso.
y
Probabilidad
emo
La
que
del
el
la
resultan
Algunas
todos
con
útiles
veces
los
ro
para
resulta
resultados.
distinguir
de
colegio,
éxito
Represente
Halle
áro
entre
los
problemas
más
Es
sencillo
y
tipos
sucesos
ocurre
emplearlos
importante
diferentes
reposición
donde
leer
de
la
en
pregunta
situaciones.
repetidos
probabilidad
arco
árbol
enumerar
cuidadosamente
de
que
dé
en
cada
esta
Samuel,
la
tiro
diana
es
veces
en
de
Dé
dos
Dé
en
la
diana
una
la
Dé
en
la
diana
al
es
miembro
0,8.
que
es
un
entusiasta
Samuel
independiente
información
probabilidad
un
del
diagrama
intenta
dos
resultado
de
del
club
tiros.
del
tiro
de
tiro
con
Suponga
anterior.
árbol.
Samuel:
diana.
sola
vez.
menos
una
vez.
La
Respuestas
primera
rama
del
diagrama
de
árbol
representa
el
primer
tiro
ÉXITO
de
Samuel. Tendrá
éxito
en
dar
en
la
diana
o
fracasará.
0,8
La
El
probabilidad
resultado
coloca
al
se
lado
de
que
muestra
de
cada
fracase
al
es
nal
1
de
–
la
0,8
=
0,2.
rama,
la
probabilidad
se
rama.
0,2
FRACASO
El
0,8
ÉXITO
segundo
En
tiro
dará
consecuencia,
en
hay
la
diana
cuatro
exitosamente
resultados
o
posibles
fracasará.
para
este
“experimento”:
ÉXITO
0,2
0,8
Un
éxito
seguido
de
un
éxito
Un
éxito
seguido
de
un
fracaso
(E
y
Un
fracaso
seguido
de
un
éxito
Un
fracaso
seguido
de
un
fracaso
E)
FRACASO
(E
y
F)
(F
y
E)
(F
y
F)
ÉXITO
0,2
0,8
FRACASO
0,2
FRACASO
Queremos
Por
=
lo
hallar
tanto,
P(E
P(
y
E
E)
y
=
0,8
y
F)
=
(0,8
=
0,32
×
0,8
en
el
del
0,64
P(E
Dado
E).
×
+
P(F
0,2)
+
y
×
0,8)
solo
segundo
Estos
no
éxito
tiro,
éxito
no,
dos
rama
luego
o
en
el
primer
podemos
podría
si
el
(E
ocur rir
(ya
y
F)
si
a
lo
el
tiro
y
es
(F
primer
no
y
nuevamente
(ya
que
independiente
los
las
largo
da
E)
los
de
la
las
dos
da
en
diana
un
la
y
diana
el
mutuamente
son
resultan
éxito
(regla
primeras
Multiplicamos
sucesos
sucesos
de
probabilidades
tiro
en
son
simultáneamente.
que
sumamos
darse
primer
tiro
multiplicar
Multiplicamos
sucesos
pueden
cada
y
un
producto).
Un
E)
(0,2
que
segundo
ramas.
y
el
segundo
sí.
excluyentes:
a
lo
largo
de
independientes)
mutuamente
excluyentes).
P(al
menos
un
éxito)
Aquí
=
1
–
(0,2
=
1
–
0,04
=
0,96
×
necesitamos
1
–
P(fracaso
en
dar
en
la
diana
las
dos
veces).
0,2)
Por
lo
tanto,
tenemos
1
–
P(F
y
F).
Capítulo
3
89
Ejercitación
1
Liz
contesta
3H
dos
preguntas
de
examen.
La
probabilidad
de
Correcta
que
2
conteste
correctamente
cualquier
pregunta
del
examen
es
3
Copie
y
complete
¿Cuál
es
el
diagrama.
Correcta
la
probabilidad
de
que
conteste
2
3
correctamente
¿Cuál
es
la
solo
una
pregunta?
probabilidad
correctamente
al
de
menos
que
Incorrecta
conteste
2
una?
3
2
Cuando
de
Laura
hockey
,
la
y
Michelle
juegan
probabilidad
de
en
que
el
equipo
Laura
anote
1
1
y
es
la
probabilidad
de
que
lo
haga
Michelle
es
.
2
3
Dibuje
úselo
en
el
un
para
Hay
hallar
próximo
PREGUNTA
3
diagrama
la
de
árbol
para
probabilidad
ilustrar
que
esta
ninguna
información
de
las
dos
y
anote
par tido.
TIPO EXAMEN
igual
número
de
niños
y
niñas
en
una
escuela
y
se
sabe
En
1
que
de
los
varones
y
de
10
pregunta
3,
el
las
niñas
llegan
caminando
a
diagrama
tendrá
dos
10
1
la
la
1
escuela.
Además,
de
los
niños
y
de
3
automóvil.
El
resto
ramas
1
las
niñas
vienen
en
la
primera
en
2
llega
en
sección,
cada
una
de
autobús.
las
Determine:
cuales
ramas
en
tendrá
la
tres
segunda
sección.
La
proporción
llegan
La
4
en
alumnos
de
la
escuela
que
son
niñas
que
autobús
proporción
Determine
de
la
de
alumnos
probabilidad
lanzamientos
de
una
de
de
la
escuela
obtener
moneda
no
dos
que
llegan
caras
equilibrada
en
para
en
autobús
tres
la
cual
2
P(cara)
=
3
5
Un
lo
dado
arroja
de
dos
caras
veces.
tiene
Halle
los
la
Se
obtenga
exactamente
Se
obtenga
al
PREGUNTA
6
10
La
la
menos
un
números
1–10
probabilidad
un
número
número
escritos
de
en
ellas.
Se
que:
primo.
primo.
Lluvioso
TIPO EXAMEN
probabilidad
probabilidad
probabilidad
de
de
de
que
que
que
un
llueva
complete
día
llueva
el
es
sea
es
ventoso
0,4.
Si
no
es
0,6.
está
Si
está
ventoso,
ventoso,
Ventoso
la
0,2.
Copie
y
diagrama
de
árbol.
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
un
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
no
Lluvioso
consecutivos?
90
Probabilidad
día
dado
llueva
llueva?
dos
días
pro
n
roón
y
ro
onon
emo
Una
bolsa
bolillas
de
que
contiene
en
forma
ocurra
lo
Se
haya
elegido
Se
haya
tomado
elegido
al
bolillas
grises
sin
y
6
bolillas
reposición,
rojas.
¿cuál
Si
es
se
la
extraen
dos
probabilidad
al
menos
una
menos
Esto
signica
probabilidad
segunda
siguiente?
ha
5
consecutiva,
roja
una
una
en
depende
gris.
la
primera
extracción
sabiendo
que
se
de
la
que
la
la
extracción
del
resultado
primera
extracción,
gris.
que
de
se
puesto
quitó
la
bolilla
Respuestas
después
Dado
que
extraído
5
en
una
bolillas
primer
bolilla
rojas
(y
5
lugar
roja,
se
ha
Dibuje
quedarán
Las
grises).
un
segunda
que
diagrama
probabilidades
ha
rama
de
de
árbol.
en
la
la
primera
extracción.
la
dependen
ocur rido
de
de
lo
primera
5
R
10
rama.
R
6
11
5
G
10
6
R
10
5
11
G
4
G
10
P(al
=
1
menos
–
P(ambas
⎛
= 1
6
P(roja
Resulta
rojas)
5
⎞
más
probabilidad
3
×
10
11
de
(
roja en
la
gris)
primera
6
5
( al
y
al
menos
una
gris
menos
una
gris
la
primera
extracción,
la
segunda
extracción
en
ambas
11
Algunos
hemos
gris
gris
la
la
roja
se
selecciona
probabilidad
de
que
5
la
segunda
lo
tanto
sea
gris
es
,
por
10
multiplicamos
estas
probabilidades.
3
11
=
8
8
11
diagramas
visto
o
o
extracciones.
)
3
2
=
8
gris
1
10
=
que
de
en
)
×
11
f or ma
en
Cuando
=
P
esta
probabilidad
la
11
primero,
P
de
calcular
=
⎠
seguida
la
rápido
8
= 1
⎟
11
gris)
calcular
⎜
⎝
una
hasta
de
el
árbol
no
tienen
la
disposición
“clásica”
que
momento.
Capítulo
3
91
emo
Tobías
que,
de
es
una
cuando
que
gane
posibilidad
ser vicio
estrella
logra
el
de
punto
0,45
adentro
en
ascenso
colocar
es
de
en
3
0,75.
que
de
del
adentro
5
él
club
el
Cuando
gane
el
ocasiones
de
tennis
primer
usa
su
punto.
y
su
del
ser vicio,
segundo
Logra
segundo
colegio.
la
Sabe
probabilidad
ser vicio,
colocar
el
ser vicio
hay
una
primer
en
3
de
4
ocasiones.
Halle
que
la
le
probabilidad
toque
Sabiendo
haya
el
que
de
que
Tobías
gane
el
punto
la
próxima
vez
ser vicio.
Tobías
colocado
ganó
adentro
su
el
punto,
primer
¿cuál
es
la
probabilidad
de
que
ser vicio?
Respuestas
En
Gana
este
diagrama,
no
es
necesario
0,75
continuar
3
se
Adentro
ha
las
ramas
conseguido
el
una
vez
que
punto.
Gana
5
0,45
0,25
Pierde
Adentro
3
4
2
0,55
Pierde
Afuera
5
1
Afuera
4
P(gane)=
primer
P(coloca
ser vicio
P(pierde
coloca
el
y
y
el
2
× 0, 75
0,585
+
+
a
lo
largo
de
las
ramas.
ser vicio,
segundo
×
5
0,45
Multiplicamos
3
+
5
=
el
gana)
3
=
gana)
primer
adentro
ser vicio
adentro
× 0, 45
4
0,135
er
P(1.
adentro
|
gana
el
punto)
Ambos
P
( 1.
adentro
y
gane el
punto
Esta
P
(
gane el
punto
⎝
hallaron
en
el
respuesta
se
dio
con
3
cs
dado
)
que
⎛ 3
se
a
)
=
la
respuesta
exacta
(en
f or ma
⎞
×
⎜
valores
apar tado
er
0, 75
5
de
⎟
fracción)
no
es
obvia.
⎠
= 0, 769
=
(3
cs )
0, 585
Ejercitación
1
Se
extraen
3I
tres
naipes
al
azar
de
un
mazo
de
naipes.
Los
naipes
Vea
no
se
reponen.
Halle
la
probabilidad
de
el
Tres
guras
Dos
la
mazo
Probabilidad
73
común
para
de
guras
naipes
92
página
obtener:
de
juego.
52
PREGUNTA
2
Una
en
TIPO EXAMEN
caja
contiene
primer
lugar,
y
5
lapiceras
una
niña,
sin
a
tinta
y
7
con
continuación,
tinta.
eligen
Un
una
niño,
lapicera
Aunque
cada
la
no
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
elijan
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
al
dos
sin
lo
pida,
menos
una
de
las
no
tenga
diagrama
se
escoge
exactamente
una
lapicera
sin
tinta,
¿cuál
es
3
En
Se
una
escoge
una
4
bolsa
4
la
haya
bolillas
bolilla
al
escogido
rojas,
azar
y
responder
bolillas
son
ambas
Halle
P(las
bolillas
son
del
Halle
P(ninguna
Halle
P(al
Halle
Un
4
la
de
se
club
tiene
0
Uno
de
presidente
Halle
Dos
del
la
cada
al
repone.
y
Luego,
2
amarillas.
se
escoge
de
mismo
color).
roja).
es
amarilla).
una
contiene
2
después
las
de
otra,
siguientes
sin
bolillas:
púr puras.
obtener
miembros
verdes).
azar,
que
naranjas,
los
de
miembros
se
de
eligen
Halle
7.
responde
El
la
una
los
de
cada
cuales
del
club
que
al
el
6
se
color.
son
elige
azar
presidente
para
probabilidad
es
la
la
de
conteste
pregunta
probabilidad
fue
de
la
mujeres
al
azar
y
4
para
ser
el
elegido
representar
de
que
se
al
sea
varón.
club
elijan
un
en
una
varón
y
la
es
promedio
de
5
de
5
preguntas
preguntas
de
cada
9.
pregunta.
de
que
al
pregunta
respondida
que
un
Natacha
misma
probabilidad
estudiantes
la
correctamente
promedio
contestan
¿Cuál
Si
se
verdes
mujer.
Ambos
bolsa
probabilidad
personas
Guillermo
bolillas
niña?
club.
competencia.
de
3
es
bolilla
extraen
una
azules,
una
probabilidad
varones.
una
bolilla
menos
bolillas
rojas,
la
a
preguntas.
bolilla.
P(las
Cuatro
3
no
Halle
5
6
que
reposición,
5
hay
una
segunda
de
árbol
la
estas
probabilidad
emplear
de
tinta?
para
Si
útil
lapiceras
un
escogidas
puede
tinta?
resultarle
pregunta
uno.
menos
uno
de
los
correctamente?
correctamente,
respuesta
correcta
la
¿cuál
haya
es
la
obtenido
Guillermo?
Si
la
pregunta
probabilidad
fue
de
respondida
que
la
correctamente,
respuesta
correcta
la
¿cuál
haya
es
la
obtenido
Material
de
ampliación
Natacha?
disponible
Si
hubo
al
menos
una
respuesta
correcta,
¿cuál
es
la
Hoja
de
en
Probabilidad
probabilidad
de
que
haya
habido
línea:
ejercicios
3:
condicionada
dos?
Capítulo
3
93
ero
rón
✗
1
Se
anota
¿Cuál
2
es
al
azar
la
Sea
divisible
Sea
mayor
no
una
clase
tienen
¿Cuál
es
número
probabilidad
En
un
por
que
de
dos
que
30
alumnos,
de
los
probabilidad
8
dos.
de
lo
entre
0
Sea
divisible
Sea
un
tienen
99
inclusive.
por
3.
cuadrado.
perro,
escoge
el
y
siguiente?
Se
que
dígitos
ocurra
5.
50.
ninguno
la
de
de
un
20
tienen
estudiante
estudiante
tenga
un
gato
al
y
3
azar.
perro
y
un
gato?
PREGUNTAS
3
Para
P (C )
4
los
=
0,7
P (C
Explique
Calcule
∩
y
A
D
∩
se
D ′)
y
qué
B
C
son
y
las
Ocurra
al
Ocurra
exactamente
Ocurra
B
ambos
gr upo
de
miran
menos
uno
sabiendo
de
00
son
que
los
18 miran
drama
de
tres
=
0,2.
sucesos
P(A)
=
independientes.
0,6,
P(B)
=
0,2
y
que:
los
uno
que
de
ha
los
ocurrido
se
les
A
pregunta
drama,
apor tan
de
sucesos.
la
cuáles
comedia
siguiente
y
de
los
tres
telerrealidad,
información:
programas.
comedia.
35 miran
drama
y
y
telerrealidad.
telerrealidad.
ninguno
que
sucesos.
televisión:
tipos
y
comedia
estudiantes
de
Ellos
22 miran
miran
de
estudiantes
programas
15 miran
Los
P (D)
sucesos.
regularmente.
10 no
0,25
no
probabilidades
tipos
D
tales
Ocurran
un
=
que:
0,.
A
sabe
D ′).
por
sucesos
=
C
P (C ′
Halle
Los
EXAMEN
sucesos
P(A|B)
5
TIPO
de
miran
los
tres
drama
programas
solamente
regularmente.
son
tres
veces
más
U
Drama
que
los
que
miran
miran
comedia
miran
solamente
Si
x
es
el
comedia
solamente
solamente
son
dos
y
veces
los
estudiantes
más
que
Comedia
que
aquellos
que
telerrealidad.
número
de
estudiantes
programas
de
telerrealidad,
número
de
estudiantes
Usando
toda
que
escriba
miran
una
únicamente
expresión
para
el
x
que
miran
solamente
drama.
Telerrealidad
diagrama
94
Calcule
Probabilidad
el
de
la
información
Venn.
valor
de
x
dada,
copie
y
complete
el
ero
1
Sea
P(C )
Halle
¿Son
=
0,4;
P(C
C
y
y
D
P(D)
rón
=
0,5;
P(C
|D)
=
0,6.
D).
mutuamente
excluyentes?
Dé
una
razón
para
su
respuesta.
¿Son
C
y
D
Halle
P(C
Halle
P(D
sucesos
y
independientes?
Dé
una
razón
para
su
Gilda
hace
respuesta.
D).
|C).
3
2
Juan
hace
de
las
tareas
generales
de
la
casa
y
el
resto.
5
Si
el
55%
35%
de
de
los
los
probabilidad
de
de
que
Satisfactoriamente
Por
Gilda
Cada
día,
0,6.
La
La
Juan
se
trabajo
que
no
se
terminan
terminan
general
es
satisfactoriamente
satisfactoriamente,
de
la
casa
haya
sido
y
el
halle
la
realizado:
satisfactorio
EXAMEN
Maximiliano
automóvil.
es
sabiendo
TIPO
de
Gilda
un
PREGUNTAS
3
trabajos
trabajos
viaja
probabilidad
probabilidad
de
al
colegio
que
que
viaje
viaje
en
en
en
bicicleta,
autobús
bicicleta
un
un
en
autobús
día
día
o
en
determinado
determinado
es
0,3.
Dibuje
para
un
los
diagrama
viajes
claramente
los
es
la
bicicleta
lunes
Viaje
en
bicicleta
el
Viaje
por
el
Maximiliano
es
¿Cuál
es
la
la
veces
bolsa
¿Cuál
La
Sin
¿Cuál
lunes
las
jueves
los
y
el
resultados
mar tes.
probabilidades
posibles
Rotule
para
cada
uno
de
Sin
¿Cuál
es
dos
bicicleta
roja
la
en
de
de
siguiente?
autobús
el
transpor te
en
bicicleta
que
en
una
una
en
vez
viaje
al
mar tes.
el
el
lunes
lunes
colegio
bolsa,
y
la
que
ella
de
Juana
bolsa,
probabilidad
en
manzana
de
y
y
el
el
en
mar tes.
mar tes.
bicicleta
el
y
al
la
0
la
que
una
vez
en
autobús
o
Sin
mirar
en
la
bolsa,
azar.
roja?
come.
Luego,
al
azar
manzana
devuelve
al
cualesquiera
y
verdes.
selecciona
elige
de
días
automóvil?
sea
se
que
la
tres
automóvil
rojas
Magdalena
la
en
en
no
manzanas
y
verde
mirar
la
y
probabilidad
es
y
que
veces
probabilidad
es
lo
mar tes.
escuela
de
ocurra
vier nes?
viaje
6
y
medio
la
probabilidad
mirar
es
y
que
lunes
probabilidad
en
la
manzana
Tomás.
es
a
selecciona
manzana
Juana.
mismo
viajó
contiene
Magdalena
de
en
dos
La
muestre
del
escribiendo
probabilidad
Maximiliano
árbol
Viaje
Una
que
Maximiliano
miércoles,
4
árbol
resultados.
¿Cuál
¿Cuál
el
de
de
azar
ambas
a
la
sea
una
sean
la
bolsa
a
manzana.
verde?
bolsa.
dos
pasa
Le
pasa
la
bolsa
a
manzanas.
rojas?
Capítulo
3
95
PREGUNTA
5
En
un
TIPO
camino
zanahorias
Dibuje
un
conejos
EXAMEN
y
cuento
23
son
¿Cuál
es
la
conejos,
hembras
diagrama
hembra
70
de
que
que
Venn
están
y
a
42
son
no
están
par tir
comiendo
probabilidad
hembras,
de
34
comiendo
lo
anterior,
no
están
comiendo
zanahorias.
halle
el
número
de
zanahorias.
de
que
un
conejo
sea
macho
y
de
que
un
conejo
sea
hembra
no
esté
comiendo
zanahorias?
¿Cuál
es
la
comiendo
¿Resulta
sabiendo
que
está
zanahorias?
el
Justique
probabilidad
hecho
su
ResuMeN
de
ser
hembra
independiente
de
comer
zanahorias?
respuesta.
del
capítulO
3
dnon
●
Un
o
Un
xrmno
Un
xrmno
suceso
que
es
el
resultado
es
el
de
proceso
es
oro
pueda
un
experimento.
por
el
aquel
cual
en
el
obtenemos
cual
existe
un
resultado.
incer tidumbre
acerca
del
ocurrir.
n( A)
●
La
probabilidad
teórica
de
un
suceso A
es
P( A )
,
=
n (U )
donde
n(A)
ocurrir
●
Si
la
que
●
y
es
el
número
de
n(U)
el
número
total
probabilidad
el
suceso
Podemos
A
ocurra
emplear
mayor
relativa
de
número
a
la
la
de
un
n
maneras
de
suceso
×
P
en
que
resultados
es
P,
en
n
el
suceso A
puede
posibles.
experimentos
se
espera
veces.
frecuencia
relativa
experimentos,
como
mayor
una
estimación
aproximación
de
la
de
la
probabilidad.
frecuencia
probabilidad.
U
dgrm
●
Como
P(A)
suceso,
+
P (A ′)
P (A ′)
=
−
A,
=
A
vnn
puede
ocurrir
o
no
ocurrir.
P (A)
U
●
Para
dos
sucesos
A
y
B
cualesquiera,
P(A)
P (A
∪
B)
=
P (A)
+
P (B)
–
P (A
∩
P(B)
B)
P(A
∩
B)
U
A
●
En
general,
si
A
y
B
son
sucesos
B
mutuamente
P(A)
P(B)
excluyentes,
P (A
∩
B)
=
0
y
P(A
∪
B)
=
P(A)
+
P(B)
Continúa
96
Probabilidad
en
la
página
siguiente.
dgrm
y
●
rg
Dos
uno
●
sucesos
de
ellos
Cuando
P(A
Esta
∩
dos
B)
=
regla
mr
roo
A
y
no
B
son
afecta
sucesos
P(A)
se
o
×
A
independientes
la
y
probabilidad
B
son
si
de
el
hecho
que
de
ocurra
que
el
ocurra
otro.
independientes,
P(B).
conoce
como
la
rg
roo
r
o
nnn
pro
●
Si
P
●
A
B
son
( A| B ′ )
En
A
y
=
general,
sabiendo
onon
sucesos
P (A),
para
que
P
( B | A′ )
dos
B
independientes,
ha
=
sucesos
P
( A| B ) =
P(A),
P
( B|A) =
P (B),
P (B)
A
ocurrido
y
B,
la
puede
probabilidad
hallarse
de
que
ocurra
usando:
P( A ∩ B )
P
(
A| B
)
=
P( B )
Capítulo
3
97
t
or
del
conomno
pro:
Los
problemas
involucran
esto
en
como
La
en
■
¿Por
qué
lotería
son
la
la
usted
de
la
que
en
posibilidades
uso
o
una
de
diseña
una
pregunta
con
sinceridad?
ganar
¿Cuál
lotería
es
usos
una
encuesta
¿la
e
la
la
probabilidad
que
gente
quiere
saber
al
de
ganar
saber
más
la
de
de
su
escuela
han
r
Esto
se
la
basa
en
directora
que
cada
los
exámenes.
No
está
estudiante
desconoce
una
pregunta
si
si
una
delicada
persona
quiere
en
hecho
Cada
estudiante
lanza
al
Si
obtuvo
aire
global
para
toda
la
cara
en
su
una
lanzamiento,
conteste
hizo
solamente
una
sin
dos
mostrar
veces
pregunta:
nadie
escuela.
“¿Ha
hecho
a
trampa
estimación
una
interesada
par ticular
hacer
una
inofensiva.
la
que
o
los
moneda
sino
sabe
está
primer
trampa,
conar
orzo
contiene
contestará
cuántos
en
tener
sor prendentes,
probabilidad
roo
que
estudiantes
en
puede
nacional?
totalmente
trampa
usualmente
utilidad
delicadas.
malinter preta
■
delicada,
directora
600
¿Qué
algunos
respondiendo
Una
matemáticas
bolsa.
tiene
abusos
números.
de
de
textos
de
preguntas
hacer
billetes
los
probabilidad
a
mal
en
colores
y
pequeñas?
prgn
Si
Pero
hace
compra
las
bolillas
respuestas
también
gente
probabilidades
real?
intuición
cuando
tan
vida
encontrar
gente
su
de
escoger
usos
alguna
vez
en
un
su
examen?”
con
sinceridad.
resultado.
Si
envía
un
cuestionario
a
cada
estudiante
Luego
con
la
sigue
Si
primer
instrucciones
?
hecho
alguna
vez
trampa
en
los
esta
del
ceca
pregunta:
en
el
segundo
colegio?
lanzamiento?”
Sí
sinceridad.
No
Respuesta
es
poco
probable
que
obtenga
P(Sí
a
P1)
respuestas
“sí”
1
p
p
×
=
sinceras.
p
=
2
2
Cara:
El
diagrama
1
P(C)
de
árbol
conteste
la
pregunta
1
=
ayuda
Respuesta
2
1
p
Probabilidad
“no”
a
estimar
de
p,
contestar
“sí”
Cara
la
fracción
1
de
P(C)
1
estudiantes
P(X)
=
=
Responde
=
2
P(Sí
a
P1)
“no”
+
Ceca:
P(Sí
a
2
que
han
conteste
la
pregunta
2
p
hecho
=
en
un
1
P(X)
Ceca
P(Sí
Responde
2
1
“sí”
=
del
Conocimiento:
probabilidad,
usos
y
abusos
1
×
2
Teoría
P2)
=
examen.
98
a
1
=
2
4
1
+
2
trampa
en
su
conteste
“¿Obtuvo
car tilla.
ceca
exámenes
una
lanzamiento,
en
la
Ha
obtuvo
las
pregunta:
4
P2)
con
una
Suponga
que
contestan
de
600
220
“sí”
estudiantes
sobre
un
El
total
número
estimado
estudiantes
encuestados.
trampa
en
que
un
han
de
hecho
examen
es:
7
p
1
600
220
+
=
×
140
30
=
2
4
600
Siempre
p
220
1
600
4
y
cuando
todos
digan
=
2
p
la
verdad
cuando
responden
a
7
sus
preguntas,
este
método
=
2
60
estima
el
número
de
7
p
=
estudiantes
30
hecho
■
¿Responderían
sinceridad
los
esta
problema
■
En
de
una
que
¿Qué
clase
dos
incluso
e
23
tanto
¿Existe
para
vez
han
examen.
algún
problema
descubrir
la
en
personas,
cumplan
1%?
como
¿cuál
el
años
¿Quizás
el
es
la
el
probabilidad
mismo
día?
5%?¿O
Hay
10%?
números:
23
luego
la
23
estudiantes
signica
que
hay
253
pares
posibles
de
×
elecciones
persona
22
en
para
un
elecciones
la
par
y
para
segunda.
estudiantes.
El
23
método
verdad?
primer
Hagamos
este
cumpleaños
personas
¿El
un
intuición:
del
de
piensa?
■
con
alguna
en
pregunta?
Probabilidad
el
estudiantes
que
trampa
par
(Timoteo,
Juana)
es
22
exactamente
=
el
mismo
253
2
que
La
probabilidad
de
que
dos
personas
cumplan
años
el
total
distintos
días
par
Timoteo),
en
se
(Juana,
por
lo
reduce
tanto
a
la
el
mitad.
es:
364
=
0,997260
365
Haciendo
Por
lo
tanto,
personas
364
(
de
para
cada
253
par
pares,
la
cumplan
probabilidad
años
en
días
de
que
las
diferentes
dos
los
364
es:
caso
=
0,4995
omiso
bisiestos,
días
en
cumpleaños
253
)
años
personas
los
de
del
que
las
par
de
hay
los
dos
no
365
coinciden.
Así,
un
1
la
par
–
probabilidad
cumplan
0,4995
=
■
¿Confía
■
¿Existen
■
¿Y
en
en
de
años
0,5005,
la
o
áreas
áreas
de
para
mismo
50,05%.
intuición
otras
otras
que,
el
como
de
las
253
día
pares,
dos
personas
de
es:
¡Poco
ayuda
más
para
de
la
tomar
matemáticas
mitad!
decisiones?
donde
la
intuición
lo
ha
defraudado?
conocimiento?
Capítulo
3
99
Funciones
exponenciales
4
y logarítmicas
ObjetivOs
Estudio
1.2
del
elemental
Propiedades
Funciones
2.6
capítulO:
de
de
las
a
y
y
logaritmos
propiedades
sus
de
los
logaritmos;
cambio
de
base
grácos:
x
,
a > 0,
Funciones
x
potencias;
exponenciales
x
x
potencias
a log
x
e
logarítimicas
x,
x
> 0,
x
y
a ln x,
sus
x
grácos:
> 0
a
Relación
x
x
entre
estas
lna
funciones:
log
x
x
a
a
= e
; log
a
=
x;
a
=
x,
x
> 0
a
x
2.7
Resolución
2.8
Aplicaciones
y
de
1
ecuaciones
de
resolución
an
Qué
de
las
de
la
habilidades
ecuaciones
forma
a
referidas
en
x
=
b,
a
la
a
y
=
b
representación
situaciones
de
la
potencias
saber
gráca
sencillas
con
exponente
1
funciones
nuestras
4
Evaluar
habilidades
Evalúe:
⎛
4
ejemplo:
de
real
Comprobemos
positivo
Por
vida
omnzr
necesitamos
Evaluar
de
3
⎛ ⎞
⎞
3
⎜
⎝
4
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
2
⎠
4
3
=
3
×
3
×
3
×
3
=
8
3
3
⎛
Por
ejemplo:
0,001
2 ⎞
Evaluar
⎜
⎝
⎟
5
⎠
3
3
2
2
2 × 2 × 2
=
2
5
8
=
=
3
5× 5× 5
5
Convertir
125
números
a
la
forma
exponencial
2
Indique
n
Por
ejemplo:
Hallar
n
sabiendo
que
2
el
valor
de
n
en
n
=
28
7
5
estas
ecuaciones:
n
=
343
=
625
3
=
gráco
de
243
7
28
=
2
,
entonces
n
=
n
7
2
3
Transformar
grácos
3
Transforme
el
y
=
x
Por
ejemplo:
Dado
el
gráco
de y
gráco
de
=
x
,
dibujar
2
aproximadamente
el
y
=
y
2
y
=
x
+
3
8
6
4
2
2
y
=
x
x
–3
100
–2
–1
Funciones
0
1
2
3
exponenciales
y
logarítmicas
x
para
2
2
+
3
obtener
el
gráco
de
y
=
(x
− 2)
Facebook,
la
gigantesca
Usuarios
y
red
de
Facebook
600
celebró
aniversario
de
200
en
con
su
sexto
)senollim
social,
febrero
más
de
ne(
millones
Había
00
en
de
crecido
millones
agosto
de
desde
los
registrados
2008,
300
200
100
0
y
90-ciD
80-ciD
70-ciD
60-ciD
ascenso
50-ciD
desde
un
400
40-ciD
experimentado
enorme
usuarios.
sedadinU
450
500
x
diciembre
Fechas
de
2004,
millón
cuando
de
solo
tenía
miembros.
(Fuente:
http://www
.facebook.com/press/info.
php?timeline)
Este
gráco
número
se
ha
Un
un
de
muestra
usuarios
incrementado
crecimiento
rmno
pendiente
de
en
con
este
el
Facebook
el
tiempo.
tipo
(cier tamente
xonn .
aumenta
crecimiento
número
de
cómo
de
a
todo
usuarios
la
par
Si
de
momento
en
ese
se
la
es
sigue
tasa
de
hasta
el
febrero
recorrido
crecimiento.
aproximadamente
de
de
la
La
200)
es
cur va,
tasa
su
de
proporcional
al
momento.
Capítulo
4
101
Un
buen
modelo
para
representar
los
datos
sobre
los
usuarios
Podemos
de
Facebook
también
usar
es:
el
modelo
para
hacer
x
n
=
,32
×
,
predicciones
donde
meses
n
es
el
número
después
de
de
usuarios
diciembre
de
en
millones
y x
es
el
número
de
del
2004.
de
futuro
acerca
crecimiento
Facebook.
Este
procedimiento
se
conoce
x
Podríamos
usar
la
fórmula
n
=
,32
×
,
para
estimar
el
número
como
de
usuarios
en
una
fecha
determinada
o
hallar
la
fecha
en
la
que
se
¿Qué
alcanzó
un
número
determinado
de
“extrapolación”.
problemas
cuando
Encontraremos
y
su
opuesto,
muchos
el
otros
ejemplos
rmno
de
crecimiento
(donde
xonn
la
de
exponencial
este
a
medida
que
seguimos
el
recorrido
de
la
se
usan
tipo
pendiente
otros
Mom
Gw
Imagine
que
doblado
50
Doble
1
toma
una
propuso
un
veces.
qué
gran
¿Qué
hoja
de
sucede
este
problema
pedazo
altura
papel
de
cree
(de
al
papel
que
plegar
en
y
su
lo
el
libro
dobla
alcanzaría
cualquier
tamaño)
a
estimar
futuro?
factores
cur va).
necesitamos
ingón:
modelos
para
crecimientos
¿Qué
decrece
surgen
usuarios.
el
considerar?
papel
The
una
Tipping
y
otra
Point.
vez
hasta
haberlo
plegado?
por
la
mitad
tantas
veces
como
sea
posible.
2
Complete
espesor
Puede
la
del
siguiente
plegado
suponer
que
tabla
para
mostrar
el
número
de
dobleces,
el
número
Se
hoja
equivale
a
1
muestran
a
continuación
Número
de
×
de
papel
tiene
un
espesor
de
aproximadamente
10
km.
Número
de
dobleces
capas
0
1
los
primeros
Espesor
registros:
(km)
T
an
alto
como
−7
1
×
10
Una
hoja
de
papel
−7
1
2
2
×
10
2
4
4
×
10
3
8
4
16
−7
Una
tarjeta
de
crédito
5
6
7
8
9
3
¿Cuántos
dobleces
siguientes
4
102
T
an
Apenas
¿Qué
como
más
altura
Funciones
necesitaría
hacer
para
que
el
plegado
maneras?
alto
una
alto
tendrá
capas
y
formado.
cada
−7
que
de
mesa
que
el
exponenciales
un
hombre
plegado
y
después
logarítmicas
de
50
dobleces?
resulte
de
las
0,1
mm,
el
Probablemente
consiga
hacer
cerca
de
seis
o
siete
dobleces
antes
de
¿Depende
que
no
pueda
plegar
más
el
papel.
En
el
séptimo
doblez
el
proceso
ya
estará
tan
gr ueso
como
este
libro,
después
de
3
el
aproximadamente
la
altura
de
una
mesa
y
después
de
5
papel
más
alto
que
aproximadamente
Después
de
la
3
y
el
plegado
“números
de
la
50
hombre.
3 m:
dobleces
millones
Tierra
El
de
un
de
km.
¡la
el
Después
altura
papel
Esto
es
de
una
tendría
de
7
casa
una
tendrá
de
dos
altura
aproximadamente
tamaño
una
con
el
será
que
mucho
del
plegado
del
tendrá
este
plegado
altura
de
se
comienza?
Inténtelo
pisos!
aproximada
la
distancia
entre
Sol.
de
de
papel
es
capas”
progresión
un
de
son
ejemplo
papel
una
de
forman
función
del
crecimiento
exponencial.
una rogrón.
número
de
Los
Los
términos
dobleces, n,
donde
n
f
(n)
=
f
(n)
es
En
2
una fnón rmno xonn
este
capítulo
exponenciales
.
La
aprenderemos
y
sus
inversas,
más
acerca
de
funciones
llamadas fnon ogr m .
pon
potencia
es
una
multiplicación
forma
reiterada
abreviada
de
un
de
número
representar
por
sí
una
mismo.
5
La
El
expresión
3
en
esta
,
3
por
ejemplo,
expresión
es
la
representa
y
el
5
es
3
×
el
3
×
3
×
3
×
3.
xonn
Es
más
sencillo
4
También
podemos
usar
una
variable
como
base,
por
ejemplo:
escribir
x
que
4
x
=
x
×
x
×
x
×
x
x
Propiedades
de
las
×
x
×
x
×
x
potencias
Multiplicación
5
Simplicar
5
x
x
3
×
x
3
×
x
=
(x
=
x
=
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x)
x
×
×
x
(x
×
×
x
x
×
×
x)
Quitar
x
los
paréntesis
8
5
Por
lo
tanto,
x
3
×
x
(5 + 3)
=
x
8
=
x
Obser ve
m
➔
a
n
×
a
que
en
m+n
=
a
5
x
3
×
son
x
las
iguales.
podemos
5
x
bases
No
simplicar
3
×
y
,
por
usando
5
x
dos
3
×
y
ejemplo,
esta
5
=
x
propiedad.
3
y
Capítulo
4
103
División
Simplicar
5
Simplicar
x
5
÷
x
x
x
÷
x
x
2
x
=
=
x x
lo
tanto,
3
x
=
x
5
Por
factores
comunes
x x
3
x
los
3
x
÷
x
×
x
=
x
(5−3)
x
=
x
=
x
Obser ve
que
no
2
podemos
5
m
➔
a
n
÷
m
a
=
x
n
de
5
5
pues
las
bases
son
iguales.
potencia
Simplicar(x
(x
y
a
no
Potencia
simplicar
3
÷
3
)
3
)
=
(x
=
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
x)
×
x
=
x
×
×
x
(x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
x)
×
×
x
(x
×
x
×
×
x
x
×
×
x
x
×
×
x
×
x)
x
5
=
x
5
Por
lo
tanto,
m
➔
(a
=
n
(x
3
)
5×3
5
=
x
mn
)
=
emo
a
2
Desarrolle
(2xy
3
)
No
olvide
elevar
a
que
la
debe
potencia
R
indicada
2
(2xy
3
)
2
=
(2xy
2
)
×
(2xy
los
números
2
)
×
(2xy
)
No
es
necesario
mostrar
este
paso
que
guran
en
el
inter medio.
paréntesis
3
=
3
2
×
2
x
×
(y
3
)
3
=
8x
Elevar
al
cubo
cada
uno
de
los
modo
del
Recuerde
1
2
x
×
2
x
4
hace
de
3p
×
2p
q
( xy
2
)
×
(x
3
y)
(x
2
y
)(xy
)
las
constantes
2
÷
7
x
2a
3
÷
2a
7
2a
x
3
÷
(2a)
además
entresí,
de
y
variables.
2
2 xy
Simplique:
3
3
La
(x
4
2
)
(3t
potencia
3
3(x
cero
2
Simplicar
3
)
x
2
÷
x
2
x
2
=
x
2
0
=
x
2
x
2
x
= 1
Pero
2
x
0
En
consecuencia,
Funciones
x
=
exponenciales
y
logarítmicas
(los
3
3
5
x
y
multiplicar
Simplique:
con
e
4
números)
2
x
2
2
2
2
104
lo
factores
4A
Simplique:
3
que
paréntesis
los
1
mismo
6
y
factores
Ejercitación
del
2
y
2
)
2
(−y
3
)
las
0
➔
a
=
Cualquier
T
oda
base
distinta
de
cero
elevada
a
la
potencia
0
es
igual
a
.
nula
es
Exponentes
la
1
1
2
2
potencia
a
x
a
× x
es
Entonces,
1
1
,
ro
2
x
× x
2
x
0
2
x
×
x
= (
x )
con
¿Cómo
=
¿qué
1
2
x
sucede
Pero
cero.
1
+
2
la
cero
1.
cualquier
potencia
1
Usando
no
racionales
Cero
Simplicar
a
igual
base
0
?
deberíamos
x
decidir
a
qué
es
igual?
1
2
Por
lo
x
tanto,
=
x
¿Quién
1
1
3
De
forma
3
x
similar,
1
3
3
× x
debería
decidir?
× x
=
x
y
3
x
×
3
x
×
3
3
x
= (
x )
=
x
1
3
y
por
lo
3
tanto
x
=
x
Puede
suponer
1
siempre
n
que
a
es
n
a
➔
=
a
positiva,
cuando
considere
las
raíces
Raíces
pares
3
que
3
2
x
6
=
3
2
x
×
2
=
x
a.
x
6
Dado
de
6
Simplicar
x
x
2
×
2
× x
x
2
× x
2
=
x
6
3
=
x
1
m
n
m
a
➔
=
emo
Sin
usar
(
m
n
m
n
a
)
=
(
)
a
n
=
a
la
calculadora,
Evaluar
evalúe:
signica
“calcular
4
el
valor
de”.
1
⎛
2
36
1
⎞
3
⎜
⎝
⎟
27
⎠
R
1
1
n
2
36
=
36
=
Dado
que
Dado
que
6
n
a
=
a
4
4
1
⎛
⎛
1
⎞
3
⎜
⎞
1
⎛
⎞
n
3
m
⎟
=
⎜
⎝
27
⎟
⎜ ⎜
⎠
⎝ ⎝
27
⎟
⎟
⎠
⎠
(a
mn
)
=
a
4
1
⎛
⎞
=
⎜
⎟
3
⎝
27
⎠
4
⎛ 1 ⎞
=
⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
1
=
81
Capítulo
4
105
Exponentes
negativos
3
Simplicar
x
5
÷
x
3
x
x
×
x
×
x
5
÷
x
=
x
×
x
×
x
× x × x
1
=
x × x
1
=
2
x
3
También
5
x
÷
x
3−5
=
x
−2
=
x
1
2
En
consecuencia,
x
=
2
x
1
Necesita
n
➔
a
aprender
las
=
n
propiedades
a
potencias
emo
están
de
Sin
usar
la
calculadora,
evalúe:
2
⎛
3
⎞
−2
6
⎜
⎝
⎟
4
⎠
R
1
1
1
2
n
6
Usar
=
=
a
=
2
n
36
6
a
2
⎛
3
1
1
⎞
=
=
⎜
⎝
⎟
4
2
⎠
⎛
3
⎜
⎝
⎞
⎟
4
⎠
9
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
16
⎠
16
=
9
Ejercitación
4B
✗
1
Evalúe:
1
1
2
3
2
9
3
125
64
2
2
⎛
3
2
8
8
⎞
3
⎜
⎟
⎝
27 ⎠
Evalúe:
2
−3
1
5
2
4
32
2
4
⎛
3
(
2
)
64
⎞
3
3
⎜
⎟
⎝ 125 ⎠
106
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
81
en
de
pues
el
las
no
cuadernillo
fórmulas.
emo
Aquí
Simplique
estas
expresiones:
“simplique”
1
2
0
−3
5d
2
6x
÷
(2x
3
3
)
⎛
6
27 a
9v
⎜
⎝
signica
2
⎞
que
deben
16w
escribir
solamente
R
0
usando
exponentes
0
5d
=
5
×
1
−3
=
2
6x
estas
⎠
expresiones
se
⎟
4
÷
5
Usar
3
(2 x
−3
)
=
6x
a
=
m
6
÷
8x
6
Usar
positivos.
1
n
(a
mn
)
= a
3
9
m
x
=
=
Usar
a
n
÷
m
a
=
–
n
a
9
8
4 x
1
1
1
1
3
6
6
=
( 27a
= 27
)
n
6
3
3
27 a
m
m
n
3
(a
a
Usar
)
= (a
)
2
= 3a
1
1
2
⎛
4
2
⎞
9v
⎜
4
⎝ 16w
⎞
⎜
⎟
1
2
n
Usar
=
⎟
⎛ 16w
⎠
2
9v
⎝
a
=
n
a
⎠
1
4
(16w
2
2
)
4w
=
=
1
3v
2
(9v
Ejercitación
Simplique
1
2
)
4C
estas
expresiones
exponenciales:
1
1
2
( 64 a
16 x
)
q
estas
3
8
En
este
ejercicio,
3
asegúrese
de
que
sus
q
Simplique
27c
1, 5
2
2
3
q
8
4
6
3
d
2
4
respuestas
exponentes
expresiones:
tengan
positivos.
3
x
a
3
.
2
2
6x
y
÷
2
y
4
2
b
Las
2
1
2
a
3
25 x
b
Roón
ecuaciones
3
8x
on
exponenciales
son
xonn
ecuaciones
en
las
que
la
x
incógnita
es
un
exponente;
por
ejemplo:
5
=
25.
y
x
Se
puede
escribir
emo
ecuación
exponencial
en
la
forma a
=
b
x –1
Resuelva
una
3
5x
=
3
R
x
1
3
x
5x
=
− 1 =
Ambos
3
5x
miembros
potencias
de
exponentes
−1 =
3,
son
de
por
la
lo
ecuación
tanto,
los
son
dos
iguales.
4 x
1
x
=
−
4
Capítulo
4
107
emo
Para
este
ejemplo
3x+1
Resuelva
3
=
81.
y
muchas
de
siguientes
las
preguntas,
R
necesita
aprender
3 x +1
3
=
81
=
3
estas
3 x +1
Escribir
81
como
potencia
de
3
0
2
Igualar
3x
potencias.
4
3
+ 1 =
los
0
=
1
1
4
=
2
2
=
2
3
=
4
3
1
=
3
=
3
9
2
3
2
x
=
1
2
3x
3
exponentes
3
=
8
3
=
16
3
=
32
3
=
64
=
128
=
1
7
=
5
7
=
27
=
81
=
243
=
1
=
7
= 1
4
2
4
5
2
5
6
Ejercitación
4D
2
7
2
Resuelva
1
en
x
estas
ecuaciones.
0
x
✗
5
1−2x
2
=
32
3
=
0
243
1
5
2
x
2 x
2x−1
3
=
27
5
−
25
=
0
2
5
5
x
7
2
=
25
7
=
125
7
=
625
3
1
1
1
=
4
49
Resuelva
2
en
x−3
3
9(3
5
x
estas
ecuaciones.
2−x
=
3x
3
5
2
x−2
=
25
1
3 x +1
2−3x
)
=
x−1
=
4
x
9
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
x +1
Resuelva 8( 2
3
emo
x
)
=
2
2
3
5
Resuelva
3x
= 24
R
3
Dividir
ambos
miembros
por
3
5
3x
= 24
3
Multiplicar
5
x
el
exponente
por
a
recíproco,
dado
que
−
b
×
= 1
−
5
b
3
5
3
(
5
x
)
3
= 8
5
3
x
(
=
2
)
3
3
Reemplazar
−5
x
=
2
1
x =
32
108
su
=8
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
8
por
2
a
=
49
=
343
3
Ejercitación
Resuelva
1
en
4E
x
estas
ecuaciones.
4
5
2x
=
162
x
−
−2
x
=
27x
16
8x
=
0
f
27x
3
=
−2
(8x)
−3
=
Resuelva
2
32
−3
81x
en
x
estas
=
64
ecuaciones.
1
1
2
3
x
=
2
x
3
4
x
= 12
2
1
=
4
x
= 16
1
3
1
4
5
x
3x
f
=
=
6
8
Resuelva
3
en
x
estas
ecuaciones.
3
2
2
3
x
=
125
=
192
x
=
2
3
x
.
216
Fnon
Grácos
y
9x
=
16
xonn
propiedades
de
las
funciones
exponenciales
➔
Una
fnón
es
xonn
una
función
de
la
T
ambien
forma
podemos
x
x
f
(x)
donde
=
a
escribir
es
un
número
ingón:
Usando
una
f
:
x
→
a
a
los
positivo
grácos
calculadora
aproximadamente
real
de
de
pantalla
grácos
de
(o
sea, a > 0)
y
funciones
gráca
estas
(en
a
≠
exponenciales
adelante,
funciones
.
CPG),
1
dibuje
exponenciales.
Piense
acerca
del
x
y
=
3
y
=
5
dominio,
recorrido,
x
intersecciones
con
los
x
y
=
10
ejes,
Obser ve
los
tres
y
grácos.
cada
¿Qué
puede
deducir
acerca
de
la
función
asíntotas,
forma
compor tamiento
gráco
de
cuando
exponencial,
x
tiende
a
innito.
x
f (x)
=
a
,
cuando
Cualquiera
sea
el
a
>
1?
valor
positivo
de
a
en
la
y
x
formula
la
f (x)
misma
=
a
,
el
gráco
siempre
x
tendrá
f(x)
=
e
forma.
x
f (x)
=
a
es
una
fnón
rmno
xonn
1
(0, 1)
0
x
Capítulo
4
109
x
El
de
omno
f
(x)
=
a
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales.
El
rorro
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales
positivos.
La
El
cur va
no
gráco
valor
La
de
x
cor ta
se
con
puntos
base
es
veamos
está
a
al
eje x
a
medida
que
el
eje
y
es
.
(0,)
y
(,a)
per tenecen
al
gráco
de
la
⎟
siempre
los
una
CPG,
creciente.
grácos
comprendida
funciones
más
⎠
ingón:
Usando
vez
f
gráco
a
el
,
−1
,
⎝
Ahora
cada
1 ⎞
⎜
El
x
decrece.
⎛
función
eje
aproxima
intersección
Los
al
de
las
entre
0
funciones
y
cuando
la
.
grácos
dibuje
exponenciales
de
funciones
aproximadamente
los
grácos
exponenciales
de
2
estas
exponenciales.
x
y
=
3
es
equivalente
–x
y
=
3
y
=
5
x
1
y
⎛ 1 ⎞
=
o
–x
y
=
x
3
⎜
⎟
⎝
3 ⎠
,
–x
y
=
10
por
x
¿Qué
puede
deducir
acerca
de
la
función
exponencial,
f (x)
=
a
lo
está
a
>
Cualquiera
1,
sea
a
par tir
el
valor
de
estos
positivo
tres
de
grácos?
a,
el
gráco
de
−x
f
(x)
=
tendrá
a
–x
f(x)
=
siempre
esta
forma.
y
a
(0, 1)
1
x
0
x
f
110
(x)
=
a
es
Funciones
una
fnón
exponenciales
y
rmno
logarítmicas
xonn .
la
base
comprendida
,
entre
cuando
tanto,
0
y
1.
a
La
función
Una
de
las
exponencial
bases
exponenciales
que
es
la
hallaremos
base
ingón:
Cuando
se
invier te
en
base e
con
frecuencia
en
funciones
e
interés
dinero
se
compuesto
ganan
intereses.
n t
r
⎛
Usamos
la
A = C
fórmula
⎜
monto
nal
expresada
número
¿Qué
1
total
ocurre
Una
del
(capital
en
+
persona
las
n
es
el
C
es
el
intereses,
capital,
número
de
capitalizaciones
invier te
durante
¿Cuánto
calcular
donde
A
es
el
r
es
la
tasa
capitalizaciones
de
en
interés
el
año
y
t
el
años.
cuando
100%
para
⎟
n ⎠
intereses),
decimales,
de
⎞
1 +
⎝
1
dinero
1
libra
se
esterlina
a
hacen
una
más
tasa
de
y
más
frecuentes?
interés
año.
tendrá
si
se
capitaliza
solo
n
1
una
vez
en
el
año?
100
P
=
1,
r
=
100%
=
=
1,
=
1,
t
=
100
1
1 ⎞
⎛
A
=
C
⎜
1
+
¿Cuánto
C
=
1,
2
(dado
que
r
=
1
y
n
=
1)
1 ⎠
⎝
=
⎟
r
dinero
=
tendrá
100%
=
1,
n
si
se
=
4,
capitaliza
t
=
trimestralmente?
1
4
1 ⎞
⎛
A
=
⎜
1
+
⎝
2
Copie
y
⎟
=
2,44140625
4 ⎠
complete
Capitalización
la
siguiente
Cálculo
tabla:
Monto
cifras
nal
que
(escriba
lee
en
la
todas
las
calculadora)
1
1 ⎞
⎛
1 +
Anual
⎜
2
⎟
1
⎝
⎠
2
1 ⎞
⎛
Semestral
1 +
⎜
2,25
⎟
2
⎝
⎠
4
1 ⎞
⎛
T
rimestral
1 +
⎜
⎝
⎟
4
2,44 140 625
⎠
Mensual
Semanal
Diaria
Horaria
Cada
minuto
Cada
segundo
Capítulo
4
111
El
monto
nal
crece
a
medida
que
el
inter valo
entre
capitalizaciones
Un
decrece,
pero
los
incrementos
resultan
cada
vez
menores
y
el
no
nal
El
converge
valor
de
e
hacia
es
e
es
un
con
número
aquí
Con
e
=
un
una
y
un
hay
embargo,
828
de
459
obvio
obser ve
1
2,7828
y
lo
es
matemáticas,
denomina e
un
expresado
como
fracción
ni
como
decimal
exacto.
número
puesto
que
tiene
ramas.
mno
20
cifras
045
en
esta
onn
ro
esta
36…
secuencia
que
le
da
de
un
1
+
2 × 1
decimales,
235
serie
1
+
1
sus
se
rron.
patrón
1
1 +
de
en
valor
aproximado
de e:
1
+
3 × 2 × 1
números.
valor
+
+ ...
4 × 3 × 2 × 1
5 × 4 × 3 × 2 × 1
Jacobo
Podría
irracional
ser
orrnn.
281
Sin
=
este
puede
ejemplo.
No
e
varias
aproximación
2,718
A
impor tante
mmá,
hrmoo
He
en
valor.
aproximadamente
excepcionalmente
aplicaciones
un
número
monto
preguntarse
acerca
de
la
conexión
entre
esta
serie
y
el
valor
Bernoulli
de e
(1654-1705)
[La
página
de
Teoría
del
Conocimiento
al
nal
de
este
capítulo
uno
reexiones
y
discusiones
sobre
la
belleza
en
las
fue
contiene
de
los
grandes
matemáticas.]
matemáticos
familia
x
➔
El
gráco
de
la
función
exponencial f
(x)
=
e
es
un
gráco
de
crecimiento
exponencial
y
el
gráco
de f
(x)
=
e
de
es
un
decrecimiento
suizo.
investigaba
problema
del
exponencial.
interés
y
compuesto,
y
trató
de
hallar
el
x
f(x)
=
n
e
=
1 ⎞
⎛
–x
y
límite
e
de
⎜
1 +
⎝
cuando
a
n
innito.
teorema
(0, 1)
1
para
x
0
n ⎠
tiende
Usó
del
x
0
el
y
límite
binomio
debía
3.
Este
Transformaciones
de
funciones
la
forma
general
del
gráco
de
una
grácos
otras
112
del
capítulo
funciones
Funciones
usar
para
las
reglas
ayudar nos
exponenciales.
exponenciales
y
de
logarítmicas
a
2
fue
como
la
transformaciones
dibujar
aproximación
función
hallada
podemos
estar
entre
exponenciales
primera
conocemos
que
proceso
considerado
exponencial,
el
demostrar
comprendido
que
⎟
1
(0, 1)
Ahora
la
gráco
el
de
origen
Cuando
x
de
Bernoulli,
de
aproximadamente
para
e.
➔
f
(x)
de
o
f
±
k
es
(x),
hacia
k
una
traslación
unidades
hacia
ver tical
y
arriba
(x
de
o
f
±
k)
(x),
hacia
es
k
una
traslación
unidades
la
hacia
y
horizontal
la
=
(x)
es
=
f(x
es
simetría
del
la
de
f
eje
pf
(x)
es
un
eje
=
f
(x),
de
f(x)
=
f(x)
–f(x)
de
f
(x)
=
f(–x)
y
=
estiramiento
ver tical
razón
=
2f(x)
p
y
f
(qx)
es
un
f(x)
y
y
de
2)
x
simetría
del
=
y
(x)
y
respecto
+
derecha.
la
respecto
(−x)
2
izquierda
y
f
+
f(x)
y
−f
f(x)
abajo.
y
f
=
=
f(x)
estiramiento
y
=
f(2x)
1
horizontal
de
f
(x),
de
razón
y
=
f(x)
q
emo
y
x
El
diagrama
En
los
muestra
mismos
ejes,
el
gráco
dibuje
de
f
(x)
=
2
8
aproximadamente
x−2
el
gráco
de
g (x)
=
6
2
4
2
x
0
–3
R
y
–1
Hallamos
g(x)
traslación
de
la
1
mediante
f(x)
de
2
3
una
unidades
hacia
derecha.
8
El
gráco
de
g(x)
pasará
por
el
punto
6
1
⎛
4
⎜
⎝
0,
⎞
⎟
4
⎠
2
(0, 1)
Ambos
x
0
–3
–1
1
3
4
5
más
al
grácos
eje
x
a
se
aproximan
medida
que
el
más
valor
y
de
1
4
x
decrece.
Capítulo
4
113
Ejercitación
1
Dado
el
4F
gráco
de
aproximadamente
claramente
las
f
(x),
el
f (x)
=
sin
gráco
usar
de
intersecciones
x
y
la
g (x)
con
calculadora,
en
los
los
ejes
mismos
y
las
x
2
g (x)
=
ejes,
mostrando
asíntotas.
x
2
+
3
f (x)
=
x
3
g (x)
=
3
y
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
0
–3
dibuje
–1
1
x
0
–3
3
–1
1
–2
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
x
3
x
⎛ 1 ⎞
⎛
1 ⎞
x
f
(x )
=
⎜
⎝
⎟
2
(x )
=
⎜
⎠
⎝
⎟
2
f (x)
=
x+1
e
g (x)
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
–1
–3
(x )
–1
1
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
x
f
=
⎜
⎝
⎟
3
=
2
⎝
f
(x )
⎟
3
2 x
⎛ 1 ⎞
f
⎜
⎠
3
x
x
⎛ 1 ⎞
(x )
x
0
3
–2
⎛ 1 ⎞
e
y
0
–3
=
⎠
=
⎜
⎛ 1 ⎞
g(x )
⎟
=
⎝ e ⎠
⎠
y
⎜
⎟
⎝ e ⎠
y
8
8
6
6
4
4
2
x
0
–3
2
114
Indique
Funciones
–1
–3
–1
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
el
dominio
y
exponenciales
el
y
recorrido
logarítmicas
x
0
3
–2
de
cada
1
función g (x)
3
de
la
pregunta
1.
.
pro
o
ogr mo
3
Obser ve
2
es
Por
la
esta
base
lo
igualdad:
y
tanto,
escribimos
3
es
el
=
8
exponente
decimos
como
2
que
8
log
=
el
o
el
ogr mo
ogr mo
en
base
2
de
8
es
3
y
lo
Log
de
3.
es
la
abreviatura
logaritmo.
2
En
general,
siempre
que
a
>
0:
x
➔
Si
b
=
a
entonces
log
b
=
x
a
o,
La
si
b
es
a
a
la
posibilidad
simplicar
emo
Evalúe
los
potencia x,
de
entonces x
cambiar
enunciados
de
una
es
el
forma
referidos
a
logaritmo
a
la
otra
de b en
base a
permite
logaritmos.
log
125.
5
Respuesta
x
=
log
125
Escribir
‘x
=’
expresión
logarítmica
5
x
5
=
125
=
5
exponencial
=
3
Igualar
x
5
x
Cambiar
la
ecuación
a
la
f or ma
3
emo
Evalúe
los
exponentes
0
log
4.
64
Respuesta
x
=
log
4
64
x
64
3
(4
=
4
x
)
Cambiar
a
la
f or ma
1
exponencial
3
=
4
Escribir
3x
=
1
Igualar
x
=
y
1
64
los
despejar
como
4
exponentes
x
3
Ejercitación
✗
1
Evalúe
log
estas
49
4G
expresiones:
log
7
2
Evalúe
5
5
estas
log
64
log
1
9
2
expresiones:
1
1
4
2
log
3
log
125
5
log
8
32
log
3
3
81
Capítulo
4
115
emo
Evalúe
log
4.
4
Respuesta
x
=
log
4
Escribir
‘x
=’
expresión
logarítmica
4
Cambiar
x
4
=
4
=
1
la
ecuación
a
la
f or ma
exponencial
x
1
Igualar
En
general,
➔
log
a
para
=
cualquier
valor
de a,
el
los
exponentes
logaritmo
en
(4
=
base
a
4
)
de
a
es
a
emo
Evalúe
log
1.
5
Respuesta
x
=
log
1
Escribir
la
ecuación
en
f or ma
5
exponencial
x
5
x
=
1
=
0
Cualquier
tanto,
➔
el
log
número
logaritmo
=
(distinto
de
en
de
0)
elevado
cualquier
base
a
la
es
0
es
igual
a
,
por
0.
0
a
Ejercitación
✗
1
4H
Evalúe:
log
6
log
6
log
1
log
8
Algunas
1
¿Qué
log
que
no
ocurre
log
se
1
f
log
puede
cuando
1
b
logarítmicas
las
n
n
2
expresiones
signica
10
10
están nn, lo
cual
evaluar.
intenta
evaluar
la
siguiente
expresión?
(−27)
3
Primero
x
=
escriba
log
la
ecuación.
(−27)
3
Luego,
reescriba
la
ecuación
en
forma
exponencial.
x
3
Esta
=
−27
ecuación
Solamente
➔
log
b
no
no
tiene
podemos
está
solución.
hallar
denido
logaritmos
para
cualquier
a
116
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
de
números o o
base a
si
b
es
negativo.
lo
.
¿Cuál
2
es
el
valor
de
log
0?
3
Primero
x
escriba
=
log
una
ecuación.
0
3
Reescríbala
en
forma
exponencial.
x
3
Esta
➔
=
0
ecuación
log
0
no
no
está
tiene
solución.
denido.
a
El
ejemplo
emo
3
ilustra
otra
propiedad
de
los
logaritmos.
5
Evalúe
log
2
2
Respuesta
5
x
=
log
2
Escribir
la
ecuación
logarítmica
2
x
2
Reescribir
5
=
en
f or ma
exponencial
2
Resolver
x
=
5
n
➔
log
(a
)
=
n
a
Resumen
Dado
a
>
de
las
propiedades
de
los
logaritmos
0
b
●
Si
●
log
●
log
x
=
a
entonces
log
x
=
b
a
a
=
=
0
a
a
●
log
b
no
está
denido
si
b
es
negativo
a
●
log
●
log
0
no
está
denido
a
n
(a
)
=
n
a
emo
Halle
el
valor
de
x
si
log
x
=
5.
2
Respuesta
log
x
=
5
=
x
Reescribir
=
32
Resolver
2
5
2
x
Ejercitación
1
Escriba
estas
2
x
=
ecuaciones
Escriba
x
=
en
forma
estas
log
2
8
exponencial
logarítmica:
5
2
f or ma
4I
9
en
x
=
ecuaciones
x
=
4
3
en
log
3
forma
27
x
=
b
10
x
=
a
x
=
log
exponencial:
x
=
log
10
1000
b
a
Capítulo
4
117
Resuelva
3
log
x
estas
=
ecuaciones:
3
log
4
x
=
4
log
3
64
=
2
x
1
log
6
=
log
x
x
=
−5
2
2
.
Fnon
ogr m
ingón:
funciones
inversas
x
¿Qué
clase
de
función
inver tiría
una
función
exponencial
tal
como
f
:
x
a
2
?
x
↦
x
Copie
y
x
complete
−3
esta
−2
tabla
1
de
0
valores
1
para
2
la
función
y
=
2
3
x
f :
f
es
la
2
signica
función
que
que
a
1
x
y
cada
x
le
asigna
2
8
x
La
fnón
los
valores
Copie
y
de
nr
de
x
e
complete
y
=
2
hará
que
se
intercambien
y.
esta
tabla
de
valores
para
la
inversa
de
la
aproximadamente
el
x
función
y
=
2
1
x
8
y
−3
Usando
estas
tablas
de
valores,
dibuje
gráco
x
de
y
=
¿Qué
Ahora
2
y
el
de
su
inversa
en
el
mismo
sistema
de
ejes
coordenados.
obser va?
hallaremos
la
fórmula
del
gráco
de
la
función
inversa.
x
➔
Para
x
e
y
hallar
y
algebraicamente
reordene
la
la
expresión,
función nr,
intercambie
despejando y.
f :
x
↦
2
manera
es
de
otra
escribir
x
Para
obtener
la
función
inversa,
f
y
=
2
y
es
x
−
,
de
f
:
x
:
2
x
Escriba
y
=
2
x
=
2
x
=
ylog
el
exponente
al
y
log
Intercambiar
2
2
Aplicar
x
e
y
logaritmos
en
base
2
en
ambos
2
que
hay
a
base
la
obtener
Por
lo
tanto,
y
=
log
x
Dado
que
log
2
2
=
2
1
Por
lo
tanto,
f
:
x
log
x
2
x
➔
En
general,
si
f
:
x
a
1
entonces
f
:
x
log
x
a
x
y
=
x
log
es
la
inversa
de
y
=
a
a
118
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
que
elevar
miembros
x
2
para
El
gráco
de
y
=
log
x
es
la
simetría
del
x
gráco
y
y
=
a
a
x
de
y
=
a
respecto
de
la
recta
y
=
x
y
=
x
=
log
(0,1)
y
x
a
x
(1,0)
➔
Una
función
logarítmica,
f
( x)
=
log
x,
tiene
las
siguientes
a
Se
atribuye
a
John
propiedades:
Napier
●
El
dominio
●
El
recorrido
es
el
conjunto
de
todos
los
números
reales
(1550–1617)
positivos.
muchos
es
el
conjunto
de
todos
los
números
de
primeros
●
La
●
El
cur va
no
cor ta
al
eje
●
Cor ta
●
El
y
es
al
una
eje
gráco
x
es
asíntota
en
Transformaciones
Una
vez
que
logarítmica,
examinar
podemos
grácos
Ejercitación
1
Dada
la
¿Diría
creciente.
de
conocemos
los
ver tical.
.
siempre
la
funciones
forma
usar
de
trabajos
y
sobre
eje
los
reales.
lo
que
otras
general
que
inventó
los
logaritmos
los
descubrió?
o
que
logarítmicas
del
gráco
aprendimos
funciones
logaritmos.
en
el
de
una
capítulo
función
para
logarítmicas.
4J
función
f
( x)
=
log
x,
describa
la
y
a
transformación
requerida
en
cada
caso
y
=
log
x
a
para
obtener
el
g ( x)
=
log
g ( x)
=
log
gráco
(x)
−
de
g(x).
2
a
0
x
(1, 0)
(x
−
2)
a
g ( x)
=
2log
x
a
PREGUNTA
2
Dibuje
TIPO
EXAMEN
aproximadamente
el
gráco
de y
=
−2log(x
−
)
sin
usar
Cuando
la
la
indicada,
Incluya
en
su
gráco
las
intersecciones
con
los
dos
3
no
está
los
logaritmos
ejes
son
(si
base
calculadora.
en
base
10.
existen).
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
de
y
=
log
(x
+
)
+
2
y
2
rotule
4
El
claramente
dibujo
muestra
cualquier
el
asíntota
gráco
de
y
=
en
log
el
x.
gráco.
y
a
Halle
el
valor
de
a
(27, 3)
0
(1, 0)
x
−1
5
Sabiendo
que
f
(x)
=
log
x,
halle
f
(2).
3
Capítulo
4
119
Logaritmos
en
base
y
inversa
10
x
=
log
x
es
la
de
y
=
0
.
Este
es
un
logaritmo
impor tante
0
puesto
que
es
calculadora.
logaritmos
en
lugar
uno
A
los
de
los
logaritmos
decimales,
de
únicos
y
que
en
podemos
base
podemos
0
omitir
se
la
hallar
los
con
conoce
base
y
solo
la
como
escribir
log x
x
log
0
La
calculadora
emo
Use
la
tiene
una
tecla
para
“log”.
calculadora
para
evaluar
log
2
con
una
aproximación
de
3
cifras
decimales.
Respuesta
log
2
=
*Logarithms
1.1
0,301
con
aproximación
de
log
una
3
0.30103
(2)
10
cifras
decimales.
1/99
Logaritmos
El
ogr mo
naturales
nr,
log
x
(log
en
base
e),
es
el
otro
logaritmo
e
impor tante.
Escribimos
ln x
en
lugar
de
x.
log
La
calculadora
tiene
una
tecla
e
para
“ln”.
emo
ln 4
Use
la
calculadora
para
evaluar
Asegúrese
de
cerrar
ln 2
el
Respuesta
contrario,
ln 4
In(4)
2
número
la
In(2)
hallará
ln
⎜
4
⎞
⎟
⎝ In2 ⎠
1/99
Ejercitación
1
Use
la
4K
calculadora
aproximación
log 3
de
3
para
cifras
log 4
(cs).
ln
f
log
5
ln 5
2
2
log 3
h
exponenciales
y
5
4
ln 4
(log 3)
Funciones
expresiones
signicativas
log 5
120
estas
4log 2
g
evaluar
logarítmicas
de
lo
calculadora
2.
⎛
ln 2
después
4;
*Logarithms
1.1
=
paréntesis
del
con
una
➔
y
=
ln x
es
la
inversa
de
la
x
función
exponencial
y
=
e
x
y
y
=
e
y
=
x
(0, 1)
y
=
In x
x
(1, 0)
Esta
relación
nos
da
x
➔
log
(a
tres
log
)
=
x
y
impor tantes:
x
a
a
resultados
=
x
a
x
ln(e
lnx
)
=
x
y
e
=
x
log (0
emo
3
log x
)
=
x
y
(0
)
=
x
Resuelva
de
x
estas
cifras
ecuaciones
dando
su
respuesta
una
aproximación
signicativas.
x
x
e
con
=
2,3
ln x
=
–1,5
10
=
0,75
log x
=
3
Respuestas
x
e
=
2,3
x
ln(e
)
=
ln2,3
=
0,833
x
ln x
=
–1,5
=
e
lnx
Escribir
(3 cs)
en
de
logaritmo
natural
–1,5
e
f or ma
x
Usar
ln
(e
)
=
x
y
evaluar
lnx
x
=
0,223
(3 cs)
Usar
(e
)
=
Usar
log(10
Usar
10
x
y
evaluar
x
10
=
0,75
=
log 0,75
x
log(10
x
)
x
log x
=
=
−0,125
3
=
x
=
emo
=
x
y
evaluar
3
log x
10
)
(3 cs)
log x
10
=
x
y
evaluar
Intercambiar
x
e
y
1000
1
2x
Dada
f (x)
=
e
,
−1
halle
f
(x).
3
Respuesta
1
2x
f
(x)
=
e
3
1
2x
y
=
e
3
1
2y
x
=
e
3
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
4
121
2y
3x
=
e
2y
ln(3x)
=
ln e
ln(3x)
=
2y
x
Usar
ln(e
)
=
x
1
ln(3x)
=
Despejar
y
y
2
1
–1
Entonces,
f
(x)
=
ln(3x),
x
>
0
2
Ejercitación
1
Resuelva
4L
estas
signicativas
ecuaciones
donde
sea
dando
x
e
e
las
respuestas
x
=
1,53
con
3
cifras
3
cifras
necesario.
x
e
=
0,003
e
=
1
1
x
x
=
5e
=
0,15
2
2
Resuelva
estas
signicativas
ecuaciones
donde
sea
dando
las
respuestas
con
necesario.
1
x
x
10
=
2,33
x
10
=
0,6
x
10
=
1
10
=
2
3
Halle
4
x
si:
log x
Sin
=
usar
log
2
la
log x
calculadora,
12
log
5
Sin
5
−1
evalúe
log x
estas
=
0
log x
4
ln
usar
la
calculadora,
3
evalúe
e
estas
e
expresiones:
1
5
ln e
−5,1
ln4
5
=
expresiones:
5
5
=
log 100
ln1
ln e
ln
3
e
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
2x−1
−1
6
Dada
f
(x)
=
e
,
7
Dada
f
(x)
=
e
f
(x)
=
ln 3x,
halle
f
(x)
e
indique
su
dominio.
0,25x
,
−2
≤
x
≤
4,
indique
el
dominio
y
el
recorrido
−1
de
f
−1
8
Dada
9
Dadas
x
>
0,
halle
f
(x).
x
f
(x)
=
ln(x
−
1),
x
>
1,
y
g(x)
=
2e
,
halle
(g
f
)(x).
°
.
pro
Podemos
deducir
las
o
propiedades
ogr mo
de
los
p
ecuaciones
exponenciales
x
=
p
x
entonces
p
a
a
=
log
y
x
por
lo
tanto
=
log
y
=
=
a
y
q
=
log
y
a
p
xy
e
q
e
=
a
y
q
q
a
× a
xy
=
p
p+ q
=
a
+ q
a
122
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
a
logaritmos
a
par tir
de
las
y
de
log
aquí
xy
=
log
a
Esta
en
expresión
x
+
log
a
resulta
y
a
verdadera
para
logaritmos
en
cualquier
base,
consecuencia:
Obser ve
log xy
➔
log
x
+
log
y
=
log
≠
que
log x
×
log y
xy
x
y
que
log
log
x
log
y
≠
y
x
p
=
a
q
p
÷ a
=
q
a
y
x
por
lo
tanto
log
=
p
− q
a
y
x
y
de
log
aquí
=
log
a
x
− log
a
y
a
y
x
➔
log
x
–
log
y
=
log
y
n
p
x
=
(a
n
pn
)
=
a
n
por
lo
log
tanto
x
=
pn
a
n
y
de
log
aquí
x
=
n log
a
x
a
n
➔
n
log
x
Podemos
=
log
x
incluso
deducir
1
➔
el
siguiente
resultado
clave
a
par tir
de
la
tercera
propiedad.
1
log
=
log
a
x
=
−1 ×
log
a
x
=
− log
x
a
a
x
Todas
base
estas
y
por
propiedades
lo
propiedades
tanto
puesto
Matemáticas
emo
las
NM
que
del
se
cumplen
bases
no
pueden
para
logaritmos
omitirse.
aparecen
en
el
en
Necesita
cuader nilo
cualquier
aprender
de
estas
fórmulas
de
IB.
1
Exprese
log
5
+
log
2
36
2
log
10
como
un
único
logaritmo.
2
2
Respuesta
1
log
5
+
log
2
36
log
2
10
2
2
1
n
2
=
log
5 + log
2
=
log
36
5 + log
30
2
10
n log
2
6
2
2
= log
log
2
log
x
= log
a
x
a
10
2
log
10
log x
+ log
y = log xy
2
x
=
log
3
2
log x
log y =
log
y
Capítulo
4
123
Ejercitación
1
Exprese
log
4M
como
5
+
un
log
único
6
logaritmo:
log
24
3log
–
log
2
2log
f
log
8
–
4log
2
1
log
49
x
–
2log
y
x
–
log
y
–
log
2
g
2
log
x
+
Exprese
2 log
como
y
un
−
3 log
único
xy
logaritmo:
3
log
6
+
2log
2
3 − log
2
4
log
40
− log
3
2
15 + 2 log
3
3
5
log
4
+
2log
a
3 − 2 log
a
6
2ln3
–
ln18
a
1
3ln2
–
2
4log
f
x
+
log
2
y
− 5 log
2
z
2
3
3
Halle
el
log
valor
2
+
de
log
6
cada
expresión
18
(cada
log
6
24
–
respuesta
log
2
3
es
un
número
log
2
8
2
+
entero).
log
32
8
1
2log
3
+
log
6
24
log
36 − log
15 + 2log
5
6
2
emo
0
Sabiendo
que
a
=
log
x,
b
=
log
5
⎛
log
escriba
en
⎟
2
⎜
y
y
c
=
log
z,
5
⎞
x
⎜
5
y
5
3
función
de
a,
b
y
c
⎟
z
⎝
⎠
Respuesta
⎛
⎞
x
2
log
5
⎜
⎟
2
⎜
y
3
=
log
x
log
5
y
3
z
5
⎟
z
⎝
⎠
1
2
2
=
x
log
y
(log
5
3
+
z
log
5
)
5
1
=
log
x
− 2log
5
y
− 3log
5
z
5
2
1
=
a − 2b
− 3c
2
Ejercitación
PREGUNTA
1
4N
TIPO
Sabiendo
que
p
EXAMEN
=
log
a
y
q
=
log
2
y/o
q
b,
halle
expresiones
2
para:
b
3
log
ab
2
log
a
a
2
b
log
b
2
log
2
a
124
Funciones
exponenciales
y
log
2
2
logarítmicas
en
función
de
p
z
Sean
2
x
=
log P,
y
=
log Q
y
z
=
log R.
3
2
⎛
Exprese
log
Escriba
QR
donde
estas
a
y
b
en
⎟
2
⎝
3
⎞
P
⎜
función
expresiones
son
de
x,
y
y
z
⎠
en
números
la
forma a
+
blog x
enteros
100
log10x
log
log
x
log
2
x
PREGUNTAS
TIPO
x
EXAMEN
a
27
Sabiendo
4
que
y
,
log
escriba
y
en
la
forma
y
=
pa
+
q
3
81
donde
p
y
q
son
números
enteros
a
determinar.
1
log
Escriba
5
en
3
la
forma
a
+
blog
2
x
donde
a
y
b
son
enteros.
3
27 x
x
xln2
Muestre
6
Obser ve
que
que
la
e
=
2
pregunta
6
de
la
ejercitación
4N
ilustra
el
resultado
general
x
xlna
=
a
e
Cambio
A
veces
de
se
fórmula
necesita
que
Suponga
base
cambiar
permite
que
quiere
la
base
de
un
logaritmo
y
existe
una
hacerlo.
evaluar
log
a
utilizando
logaritmos
en
b
otra
base,
c
y
Si
y
=
log
a
entonces
a
=
b
b
y
Comenzamos
Aplicamos
con
a
=
logaritmos
b
en
base
c
en
ambos
miembros:
y
log
a
=
log
c
log
b
c
a
=
ylog
c
b
c
log
a
c
y
=
log
b
c
Pero
y
=
log
a
por
lo
tanto
b
Esta
➔
Fórmula
del
cambio
de
útil
log
a
la
c
log
a
fórmula
resulta
base:
puesto
mayoría
que
de
las
=
b
log
b
calculadoras
solo
c
Esta
fórmula
cambiar
un
se
puede
logaritmo
usar
a
para
evaluar
cualquier
un
logaritmo
o
para
calculan
logaritmos
base
o
10
en
e.
base.
Capítulo
4
125
emo
Use
la
fórmula
del
cambio
de
base
para
evaluar
log
9
con
3
cifras
4
signicativas.
Respuesta
log 9
log
9
Cambiar
=
el
logaritmo
a
la
base
10
Para
logaritmos
en
4
log 4
base
Usar
=
la
calculadora
para
evaluar
la
1, 58 (3 cs)
omite.
respuesta
emo
log
3
=
a
y
log
x
6
=
b
x
Halle
log
6
en
función
de
a
y
b
3
Respuesta
log
6
x
log
6 =
Usar
la
f ór mula
del
cambio
de
base
3
log
3
x
b
=
a
Ejercitación
1
Use
con
la
4O
fórmula
una
del
cambio
aproximación
de
de
3
base
cifras
para
evaluar
estas
expresiones
signicativas.
⎛ 1 ⎞
log
7
log
5
2
⎜
⎝
log
⎟
7
(0,7)
3
⎠
7
log
e
log
7
2
7
3
Sabiendo
que
log
x
=
y,
exprese
log
3
PREGUNTA
3
Si
log
2
TIPO
log
=
x
y
log
log
6
=
y,
log
24
log
y
su
=
en
función
2
log
12
f
log
función
CPG
log
Sabiendo
de
x
e
=
para
x
dibujar
y
=
3
aproximadamente
2log
estos
x
5
que
log
log
a
=
b,
exprese
y
a
en
función
y
=
log
de
a
16
2
y
=
log
1
a
Funciones
exponenciales
y
=
log
1
16
4
126
y
2
4
e
y:
4
y
x
36
2
de
2
6
4
5
halle
6
a
Use
en
a
6
2
4
x
9
EXAMEN
a
10,
y
logarítmicas
a
b
grácos.
el
10
se
.
eon
Resolución
Podemos
En
la
eran
usar
sección
iguales
resolver
de
xonn
ecuaciones
logaritmos
4.2
o
para
resolvimos
podían
ecuaciones
ecuaciones
ecuaciones
En
exponenciales
ogr m
exponenciales
resolver
igualarse.
y
esta
en
exponenciales.
exponenciales
sección
las
que
donde
las
aprenderemos
las
bases
son
bases
cómo
números
distintos.
emo
x
Resuelva
5
=
9.
Respuesta
Elija
logaritmos
en
x
5
=
9
=
log
base
10
o
logaritmos
x
log
5
9
Aplicar
logaritmos en ambos miembros
naturales
x log
5
=
log
9
Ahora
bajar
el
x
la
poder
exponente
usar
Reordenar
log 9
para
su
CPG.
ecuación
=
log 5
x
=
1,3652…
x
=
1,37
(3
cs)
Controlar
respuesta
emo
la
pregunta
requiere
una
exacta
x + 1
x
Resuelva
si
6
=
3
ln a
dando
su
respuesta
en
la
forma
ln b
donde
a
y
b
son
enteros.
Respuesta
x
x+1
6
=
3
x
ln 6
x
x +1
=
ln 6
ln 3
=
(x
Aplicar
+ 1) ln 3
Bajar
los
Aplicar
x
x
ln 6 −
x
ln 6
ln 3
x (ln 6 − ln 3)
=
=
=
x
ln
en
ambos
miembros
exponentes
propiedad
distributiva
para
ln 3 + ln 3
eliminar
los
paréntesis
Agrupar
los
tér minos
ln 3
en
x
ln 3
Factorizar
y
dividir
ln 3
x
=
(ln 6
ln 3 )
ln 3
x
=
a
ln a
ln 2
ln b
=
ln
b
Capítulo
4
127
emo
3x
Resuelva
e
1−x
=
5
,
dando
su
respuesta
en
forma
exacta.
Respuesta
3x
1 – x
e
Usar
=
5
=
ln 5
3x
=
(1–
3x
=
ln 5
3x
3x
+
x (3
x ln 5
+
ln
x)
=
ln 5
=
ln 5
ln 5)
–
e
=
naturales
dado
que
x
ln 5
Bajar
x ln 5
Aplicar
los
exponentes
propiedad
eliminar
Agrupar
ln 5
x
logaritmos
x
1 – x
ln e
los
Deje
para
un
paréntesis
los
Factorizar
distributiva
tér minos
y
en
se
x
su
logaritmo,
exige
exacta.
dividir
=
(3 + ln5)
Ejercitación
1
Resuelva
4P
estas
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
2
x
=
5
3
x
=
50
5
x+1
=
17
7
=
16
x
x
1
−3
2
f
=
3,2
×
x
10
e
g
5
=
6
e
h
=
0,11
3
9
PREGUNTA
2
2x−1
7
TIPO
Resuelva
estas
EXAMEN
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
x+2
x −3
2x −5
2−x
2
e
=
5
3
3x −1
=
emo
3
3
4e
f
=
5
7
x −1
=
(0,5)
−0,001x
3x −2
x
=
4
x
x +3
3
=
244
g
35e
=
95
ln a
x −1
x+2
Resuelva
3
×
6
=
2
×
3
,
dando
su
respuesta
en
la
forma
x
=
,
donde
ln b
a,
b
∈
Z
Respuesta
x
ln (3
×
–
6
ln 3
ln 3
+
+
+
(x
ln (6
–
ln (2
×
3
=
ln 2
+
ln(3
=
ln 2
+
(x
–
–
ln 6
xln 3
ln 3)
=
=
=
ln 2
ln 2
ln 2
+
+
+
+
natural
en
ambos
miembros
)
x ln 3
ln 9
logaritmo
2
2)ln 3
2ln 3
+
Aplicar
)
x
– 1
)
–
x(ln 6
=
1) ln 6
x ln 6
x ln 6
x + 2
)
x
ln 3
1
+
+
+
2ln 3
ln 6
ln 6
–
–
ln 3
Agrupar
los
tér minos
en
x
y
factorizar
ln 3
⎛ 108 ⎞
ln
⎜
⎟
⎝
x
ln 36
⎠
3
=
Este
=
⎛
ln
6
⎞
resultado
ln 2
ln a
⎜
a
⎟
ln
⎝ 3 ⎠
ln b
128
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
b
no
puede
simplicarse
respuesta
más.
una
como
dado
que
respuesta
Ejercitación
PREGUNTAS
Resuelva
1
4Q
TIPO
estas
EXAMEN
ecuaciones
para
hallar
el
valor
de x
con
3
cifras
signicativas.
x
x
7 × 3
5
=
25
x – 1
×
4
3
=
3
×
estas
×
x
2x
2
Resuelva
2
7
ecuaciones
3
2x – 1
=
x
5
x – 1
4
para
3
×
2
x
=
4
×
5
x + 2
=
2
hallar
×
7
el
valor
de x
en
la
ln a
forma
x
,
=
donde
a,
b
∈
ln b
x + 2
2
5
x – 3
=
x
5
=
en
2 x
−
(6
4
3
x
=
×
6
x
8
×
7
–1
)(2
x + 2
)
=
2(4
)
x:
x
e
=
Resolución
Las
2
x
e
×
3 – 2x
3
Resuelva
3
5
x
x + 1
×
0
de
ecuaciones
ecuaciones
logarítmicas
que
x
–
3(2
)
=
0
logarítmicas
presentan
logaritmos
de
igual
base
El
argumento
expresión
en
ambos
miembros
de
la
igualdad
pueden
resolverse
igualando
emo
de
los
la
gura
los
entre
rgmno
es
que
paréntesis
logaritmos.
2
Resuelva
log
(x
)
=
log
a
(3 x
+ 4)
a
Respuesta
2
log
(x
)
=
log
a
(3x
+
4)
a
2
x
=
3x
=
0
+
4
Igualar
los
argumentos
2
x
(x
−
−
3x
4)(x
x
=
+
4
Debemos
1)
o
=
x
Resolver
ambas
recordar
que
no
original
emo
Resuelva
ecuación
cuadrática
−1
que
ambas
la
0
=
Reemplazando
ecuación
caso,
4
vericar
dmo
negativo.
−
se
es
x
=
posible
4
obtienen
soluciones
son
soluciones
y
x
=
son
calcular
−
en
argumentos
posibles.
el
logaritmo
ambos
de
un
miembros
positivos;
por
número
de
ende,
la
en
este
posibles.
ln(12 −
x )
=
ln x
+ ln( x
− 5)
Respuesta
ln(12
−
x)
=
ln x
ln(12
−
x)
=
ln x (x
+
ln(12
−
x)
=
ln(x
ln(x
−
−
5)
5)
2
−
5x)
2
12
−
x
=
x
−
5x
Igualar
argumentos
2
x
(x
−
−
4 x
6)(x
x
=
6
−
+
o
2
2)
x
=
=
=
0
Resolver
0
la
ecuación
cuadrática
−2
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
4
129
Cuando
x
y
(x
−
x
Cuando
x
y
(x
Por
−
lo
=
5),
x
=
5),
6,
ambos
son
−2,
son
tanto,
1
log
los
x
=
6
en
(x )
log
argumentos,
es
la
x
=
las
log
(6 x
ecuaciones:
− 1)
ln( x
log
+ 1)
=
ln(3 −
x )
2
(2
x )
log
(6 x
1)
5
log
x
− log
(x
3
Algunas
solución.
siguientes
5
única
EXAMEN
2
soluciones
4R
TIPO
Resuelva
las
negativos.
Ejercitación
PREGUNTA
Vericar
argumentos,
positivos.
− 1)
=
log
3
veces
(2 x
+ 3) +
log
2
(x
(x
− 1)
Resuelva
resulta
(x
−
más
sencillo
resolver
una
ecuación
logarítmica
2)
=
3.
Respuesta
(2x
–
1)
=
3
5
3
b
5
=
2x
–
1
Dado
que
log
x
=
b
⇒
x
=
a
a
125
emo
Resuelva
=
2x
–
2x
=
126
x
=
63
1
0
log
x
+
log
2
(x
−
2)
=
3.
2
Respuesta
log
x
+ log
2
(x
− 2)
=
3
− 2 )] =
3
2
log
[x (x
Se
usa
la
primera
propiedad
de
2
2
log
página
(x
− 2x )
=
3
=
2
123.
2
2
3
− 2x
x
b
Dado
que
log
x
=
b
⇒
x
=
a
a
2
− 2x
x
=
8
2
x
(x
− 2x
+ 2)( x
x
=
− 8
− 4)
−2
o
x
=
0
=
0
=
4
x
y
(x
−
2 )
positivos.
x
130
=
Funciones
4
es
+ 1)
+ 1)
5
log
(x
3
log
log
2
exponentes.
emo
=
2
la
única
exponenciales
solución
y
logarítmicas
deben
ser
números
la
usando
Ejercitación
Resuelva
1
log
(x
en
−
4S
x
estas
2)
=
ecuaciones:
2
log
9
(2x
−
1)
=
3
log
1
(3 −
x )
= 5
3
2
2
Resuelva
log
en
(x
x
estas
− 5) +
log
6
log
ecuaciones:
x
(2x
−
3)
–
2
Sabiendo
(4x
−
5)
TIPO
una
par tir
x
log
+
log
que
x
8)
–
log
=
(x
−
5)
=
4
2
0
+
log
de
lo
log
para
anterior
(2x
+
(2 x
+ 7)
=
log
2
expresión
2
4
−
EXAMEN
2
A
(4x
7
PREGUNTAS
halle
log
2
log
7
3
=
6
7)
o
=
A
en
de
A
2
función
cualquier
de
x
otro
modo,
resuelva
2
2
Resuelva
log
x
+
log
4
4
= 2
x
Aquí
cambiar
2
5
Resuelva
log
x
+
log
2
.
primero
x
la
fnon
Material
de
disponible
xonn
y
forma
modelos
exponencial
He
aquí
de
y
decrecimiento
crecimiento
emplean
algunas
y
de
línea:
Hoja
Reducción
de
a
la
lineal
exponencial
exponenciales.
los
modelos
de
crecimiento
y
Dos
decrecimiento
4:
decrecimiento
funciones
aplicaciones
ampliación
en
ogrm
ejercicios
Los
base.
= 9
4
aon
Crecimiento
necesitará
áreas
de
las
matemáticas
exponencial.
que
aparentan
estar
totalmente
Biología
desconectadas
●
Crecimiento
de
micro-organismos
en
un
exponenciales
●
Población
●
Propagación
podrían
ser
las
de
cultivo
y
probabilidades.
humana
Pero,
de
un
examine
este
problema.
vir us
Un
grupo
de
personas
salen
Física
a
●
Cadena
de
reacciones
almorzar
sombreros
●
Transferencia
de
y
luego
toman
sus
nucleares
al
azar
.
¿Cuál
es
la
calor
probabilidad
Podría
elegir
de
que
ninguno
alguno
Economía
tome
de
●
Los
diagramas
estos
su
propio
demostrarse
base
Potencia
de
exploración
es
probabilidad
.
e
procesamiento
(Podría
explorar
esto
una
vez
que
computadores
haya
●
esta
1
matemática.
de
que
de
informática
su
●
Puede
temas
piramidales
como
Tecnología
sombrero?
Crecimiento
del
tráco
de
profundizado
el
tema
de
las
Inter net
probabilidades.)
en
otras
que
áreas
estén
¿Puede
de
pensar
conocimiento
asombrosamente
conectadas?
Capítulo
4
131
Crecimiento
emo
La
exponencial
población
de
una
ciudad,
A(t),
en
miles,
se
modeliza
mediante
la
(0,02)t
función
Use
A(t )
este
=
¿Cuál
era
¿Cuál
es
cada
30e
modelo
la
el
donde
para
t
responder
población
porcentaje
de
de
la
es
a
el
número
estas
ciudad
de
años
después
de
2010.
preguntas:
en
crecimiento
el
de
año
la
2010?
población
de
la
ciudad
año?
¿Cuál
será
¿Cuándo
la
la
población
población
en
de
el
la
año
2020?
ciudad
alcanzará
los
60
000
habitantes?
Respuestas
0
A(0)
La
30
=
30e
=
30
t
es
el
2010,
población
en
2010
era
número
por
lo
de
años
tanto,
t
=
después
de
0
de
000.
(0,02)
A(1)
=
30e
Escribir
una
población
( 0 , 02 )
ecuación
un
año
para
después
la
de
2010
30 e
( 0 , 02 )
=
e
Calcular
el
factor
de
multiplicación
30
=
La
1,0202...
población
2,02%
cada
crece
un
año.
( 0 , 02 ) ×10
A (10 )
En
de
30e
=
36, 642 ...
2020
36
En
=
la
población
2020,
t
=
10.
será
642.
( 0 , 02 ) t
60
=
30e
2
=
e
Cuando
( 0 , 02 ) t
A(t)
=
la
población
logaritmos
( 0 , 02 ) t
=
ln e
ln 2
=
0, 02t
Bajar
el
Resolver
ln 2
t
=
0, 02
t
La
=
34, 657...
población
después
es,
132
será
de
34,66
durante
2044.
Funciones
de
60 000
años,
exponenciales
y
esto
logarítmicas
de
60
000,
60.
Aplicar
ln 2
es
exponente
en
t
en
ambos
miembros
Decrecimiento
emo
Una
exponencial
cazuela
se
saca
del
hor no
y
se
enfría
de
acuerdo
con
el
modelo
−0,1t
de
fórmula
T (t)
temperatura
¿Cuál
Si
la
es
=
en
la
85e
,
donde
temperatura
temperatura
transcurrirá
t
es
el
tiempo
en
minutos
y
T
es
la
°C.
de
hasta
la
que
de
la
cazuela
habitación
la
cazuela
es
cuando
de
se
25°C,
alcance
la
saca
¿cuánto
temperatura
del
hor no?
tiempo
ambiente?
R
0
T (0)
=
=
La
es
85e
Cuando
85
t
temperatura
de
de
la
=
la
cazuela
se
saca
del
hor no,
0.
cazuela
85°C.
0 ,1t
85e
T
= 25
25
=
25
si
la
habitación
5
temperatura
es
de
de
la
25°C.
0 ,1t
e
=
=
85
17
5
0 ,1t
ln
e
=
Aplicar
ln
logaritmos
en
ambos
17
miembros
5
0 ,1t
=
ln
17
=
t
=
1,22377...
12,2
(3
cs )
Resolver
La
cazuela
temperatura
de
12,2
Se
invier te
con
t
ambiente
luego
minutos.
Ejercitación
1
en
alcanzará
4T
una
suma
capitalización
Escriba
la
de
450
euros
al
3,2%
de
interés
compuesto,
anual.
fórmula
para
el
valor
de
la
inversión
luego
de n
años.
¿Después
los
2
En
600
las
etapas
infectadas
¿Cuánta
de
cuántos
años
el
valor
superará
por
primera
vez
euros?
primeras
personas
de
gente
y
de
una
cada
resultó
día
epidemia
el
de
número
infectada
en
los
sarampión
aumentó
un
siguientes
había
100
10%.
espacios
tiempo?
Después
¿Cuánto
de
dos
tiempo
días
pasará
hasta
Después
que
se
de
infecten
una
250
semana
personas?
Capítulo
4
133
3
Los
Por
incendios
cada
hora
incrementa
Si
se
¿en
4
han
fuego
un
tiempo
de
un
se
propagan
sin
control,
de
el
manera
área
de
exponencial.
la
quema
se
15%.
quemado
realizó
Después
de
en
cuánto
José
forestales
0
se
salto
saltar
hectáreas
estarán
en
del
y
el
quemando
paracaídas
avión,
fuego
su
para
se
sale
0 000
nes
velocidad
en
control,
hectáreas?
de
el
de
caridad.
tiempo t
segundos
−1
después
de
que
su
paracaídas
se
abrió
era v
,
m s
donde
−0,063t
v
=
9
+
Dibuje
¿Cuál
el
aproximadamente
era
velocidad
de
el
gráco
José
en
el
de
v
en
instante
función
en
el
de
que
t.
se
abrió
paracaídas?
fue
altura
muy
su
aterrizó
que
menor
velocidad
posible
si
se
lanzó
desde
una
grande?
después
de
45
segundos,
¿cuál
fue
la
velocidad
a
la
la
velocidad
que
aterrizó?
¿Cuánto
la
¿Cuál
Si
29e
tenía
tiempo
cuando
se
le
llevó
abrió
alcanzar
el
la
mitad
de
paracaídas?
b
5
Dos
variables
Cuando
de
El
a
y
n
=
x
2,
y
x
n
=
están
32
y
relacionadas
cuando
n
=
3,
por
x
=
la
fórmula
08.
Halle
x
=
los
a
×
n
valores
b
geólogo
terremoto
estadounidense
Charles
Richter
denió
la
magnitud
de
un
como:
I
M
=
log
S
M
es
por
la
la
magnitud
amplitud
epicentro
La
del
intensidad
Explore
en
(en
en
decimales), I
mm,
tomada
terremoto)
de
un
y
S
es
terremoto
profundidad
la
es
por
la
la
un
intensidad
estándar
escala
intensidad
sismógrafo
(S)
de
es
un
del
terremoto
ubicado
a
terremoto
0,001
100
(medida
km
del
“estándar”.
milímetros.
Richter
.
Intensidad
Escala
de
Richter
134
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
Suave
0–4,3
Moderado
4,3–4,8
Intermedio
4,8–6,2
Fuer te
6,2–7,3
Catastróco
7,3+
ero
1
Evalúe
log
rón
287.
5
2
Resuelva
estas
ecuaciones:
2x+3
3
x−1
3
=
Resuelva
log x
log
90
estas
+
(x
6)
–
− 13 )
log
5
ln
(4x
–
7)
log
log
x
=
=
)
=
x
3
=
5
(x
= 1
+
2)
=
log
x
5
(log
x )
2
4 log
10
x
PREGUNTAS
Las
×
2
10
4
2
2
x
(
2
2x
3
5
2
=
ecuaciones:
log (3 x
+
3x
5
TIPO
funciones
f
EXAMEN
y
g
están
denidas
como
2x
f (x)
=
e
para
todo
x
real
3
g ( x )
=
ln x
para
x
>
0
2
Indique
el
recorrido
Explique
por
Halle
las
expresiones
Halle
una
Resuelva
qué
de
f
(x)
ambas
y
g(x)
funciones
tienen
inversa.
–
expresión
de
las
para
funciones
( f
g)(x)
y
( g
°
la
ecuación
( f
f
–
(x)
inversas f
y
g
(x).
)(x).
°
g)(x)
=
( g
°
f
)(x).
°
0,08t
5
El
número,
donde
t
es
n,
el
Halle
la
¿Cuánto
de
insectos
número
de
población
tiempo
ero
en
una
días
de
la
colonia,
después
colonia
transcurre
de
está
de
por n
comenzada
después
antes
dado
que
de
la
50
la
=
4000e
obser vación.
días.
población
se
duplique?
rón
✗
x +2
4 x
1
Resuelva
⎛
3
25
1
⎞
=
⎜
⎝
⎟
125
⎠
x +1
2
Halle
el
valor
exacto
de
x
que
satisface
la
ecuación
(5
x
)(7
2 x +1
)
=
3
log a
Dé
su
respuesta
en
la
forma
donde
a,
b
∈
Z
log b
⎛ 1 ⎞
3
Halle
el
valor
exacto
de
2 log
27
+
3
log
3
⎜
⎟
−
log
3
3
⎝ 3 ⎠
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
1
4
Escriba
4 log
x
+
log
3
y
3
− 5 log
z
como
un
único
logaritmo.
3
3
5
Resuelva:
log
log
(
4 x
− 1) =
( 2 log x )
3
=
log
x +1
4
log
(
(x
2
x
− 1) =
− 2) +
2
log
1
(x
− 1)
= 3
2
Capítulo
4
135
PREGUNTA
6
Si
m
=
TIPO
log
4
y
EXAMEN
n
=
log
x
log
8,
halle
expresiones
en
función
de
m
y
n
para:
x
8
log
4
2
log
x
16
log
x
32
8
3(x−1)
7
La
función
Describa
f
está
una
denida
serie
de
para
todos
los
transformaciones
valores
por
las
reales
cuales
de x
el
por
f
gráco
(x)
de y
=
=
e
f
+
2.
(x)
x
pueda
obtenerse
PREGUNTAS
a
TIPO
par tir
del
gráco
de y
=
e
EXAMEN
−1
8
Halle
la
función
inversa
f
(x)
2x
f
(x)
=
si:
3x
3e
f
(x)
=
0
f
(x)
=
log
(4x)
2
9
Resuelva
a
y
b
este
son
sistema
números
de
ecuaciones
reales
en a
y
b,
sabiendo
que
positivos.
1
log
64 +
log
a
b
=
8;
log
a
=
ba
2
ResuMeN
del
capítulO
4
pon
Propiedades
m
●
a
n
× a
=
m
●
a
●
÷ a
(a
las
potencias
a
n
m
de
m+ n
m
=
n
n
a
mn
)
=
a
0
●
a
=1
1
n
n
a =a
●
1
m
m
n
●
(a
)
(
=
a
m
m
1
m
n
)
=
(
)
a
n
(
=
n
a
)
n
= a
1
n
●
a
=
n
a
Funciones
●
Una
exponenciales
fnón
xonn
es
una
función
de
la
forma
x
f
(x)
=
a
donde
●
El
omno
●
El
rorro
●
El
gráco
de
a
la
es
es
un
número
función
el
real
positivo
exponencial
conjunto
de
todos
es
los
el
(esto
es, a
conjunto
números
de
reales
>
0)
y
todos
a
≠
los
.
números
reales.
positivos.
x
de
la
función
exponencial f (x)
=
e
es
un
gráco
de
crecimiento
−x
exponencial
y
el
gráco
de
f
(x)
=
e
es
un
gráco
de
decrecimiento
exponencial.
y
y
x
f(x)
=
e
–x
y
=
e
(0, 1)
1
(0, 1)
x
0
0
x
Continúa
136
Funciones
exponenciales
y
logarítmicas
en
la
página
siguiente.
logrmo
Propiedades
de
los
logaritmos
log
b
x
●
Si
b
entonces
a
x
a
●
log
a
= 1
a
●
log
1 =
0
a
●
log
b
no
está
denido
para
cualquier
base a
si
b
es
negativo
a
●
log
no
está
denido
a
n
●
log
a
=
n
a
Funciones
●
Para
x
e
logarítmicas
hallar
y
y
algebraicamente
luego
reordene,
la
inversa
despejando
la
En
general,
si
f
:
x
entonces
a
una
función,
intercambie
1
x
●
de
variable y
f
x
log
x
a
x
y
=
log
x
es
la
inversa
de
y
=
a
a
x
●
y
=
ln x
es
la
inversa
de
la
función
exponencial y
=
e
x
y
y
=
e
y
=
x
(0, 1)
y
=
In x
x
(1, 0)
x
●
log
(a
log
)
=
x
y
a
x
a
=
x
a
x
ln(e
lnx
)
=
x
y
e
=
x
log (0
x
log x
)
=
x
y
Propiedades
●
log x log
●
log x
●
log x
●
log
y
(0
de
=
)
=
los
x
logaritmos
log xy
x
−
log
y
=
log
y
n
=
n log x
1
log x
x
Fórmula
del
log
cambio
de
base
a
c
●
log
a
=
b
log
b
c
Capítulo
4
137
t
or
l
la
conomno
z
“Las
y
del
matemáticas
música
más
supremas,
admirables
erigidas
en
Herbert
Los
soon
¿Alguna
que
había
¿Fue
o
vez
se
ha
resuelto
simplemente
porque
su
sentido
un
y
por
la
el
límite
la
belleza
Westren
mmá
simplicidad
entre
del
todo
lo
y
la
inevitabilidad
maravilloso
de
la
de
la
ciencia
poesía
y
toda
ar te”.
Turnbull
(1885–1961)
matemáticos,
1929
n
satisfecho(a)
haber
le
tienen
grandes
problema
resolución
por
la
forma
en
matemático?
llegado
pareció
a
la
respuesta
eciente,
correcta
elegante
y
hasta
hermosa?
Considere
estas
Desarrolle
soón
y
+
y
dos
resoluciones
simplique
(x
+
y
del
+
problema:
z)(x
–
y
–
z)
(x
+
=
x²
–
xy
=
x²
–
2yz
=
x²
–
(y²
=
x²
–
(y
soón
z)(x
–
xz
–
+
+
–
y
–
+
y²
xy
–
2yz
z)
–
y²
–
yz
+
xz
–
yz
–
z²
(x
+
=
(x
=
x²
y
+
+
z)(x
(y
+
–
y
z))(x
–
z)
–
(y
+
z))
z²
+
(y
+
z)²
z²)
z)²
“La
matemática
pura
es,
a
manera,
poesía
■
¿Cuál
solución
es
arrojan
el
mismo
resultado,
por
lo
tanto
ninguna
que
la
otra.
las
lógicas”.
es
Albert
mejor
la
mejor?
ideas
Ambas
de
su
Sin
embargo,
la
solución
2
es
Einstein
más
(1879–1955)
elegante
138
Teoría
del
y
demuestra
Conocimiento:
la
más
belleza
de
perspicacia
las
que
matemáticas
la
solución
.
“La
esencia
hrmo
de
las
y
n:
matemáticas
no
es
complicar
cosas
Stan
Gudder,
catedrático
He
aquí
moo
las
cosas
simples
t
eon
mno
sino
simplicar
las
complicadas”.
de
matemáticas,
algunas
Universidad
ecuaciones
de
Denver
famosas
2
Ecuación
Segunda
de
ley
Einstein:
de
E
Newton:
=
F
mc
=
ma
k
Ley
de
Boyle:
V
=
p
Ecuación
de
Schrödinger:
Hψ
=
E ψ
m
m
1
Ley
de
la
gravitación
universal
de
Newton:
F
=
2
G
2
r
¿No
resulta
universo
Estas
en
la
asombroso
usando
ecuaciones
Luna
Inter net
y
■
han
traerlo
Estas
son
del
solo
podamos
vuelta,
y
a
poner
cuer po
como
al
el
estas?
hombre
desarrollar
comprender
cinco
describir
matemáticas
ayudado
de
inalámbrica
funcionamiento
que
ecuaciones
la
el
humano.
ecuaciones:
¿cuál
es
su
favorita?
■
¿Es
posible
descubran
que
un
día
absolutamente
●
¿Una
las
matemáticas
la
teoría
que
y
la
ciencia
explique
todo?
teoría
que
completamente
explique
todos
los
y
relacione
fenómenos
físicos
conocidos?
●
¿Una
teoría
resultado
pudiera
¿No
sería
”
La
algo
ley
que
de
que
tenga
cualquier
llevarse
a
el
poder
de
predecir
experimento
el
que
cabo?
maravilloso?
de
Boyle
ascienden
explica
a
la
por
qué
supercie
las
del
burbujas
aumentan
su
tamaño
a
medida
agua.
Capítulo
4
139
Funciones
5
racionales
ObjetivOs del capítulO:
1
La
2.5
función
x
recíproca
x
≠
0,
su
gráco
y
la
propiedad
de
coincidir
x
con
La
su
inversa
función
Asíntotas
racional
Qué
1
de
las
Por
+
b
cx
+
d
y
y
su
gráco
ver ticales
funciones
racionales
a
1
Multiplicar
los
polinomios
Desarrolle
−4(2x
−
)
y
−2(3x
3x
−
)
=
2
vida
real
los
−
nuestras
+
):
2
habi lidades
polinomios:
5)
6(2x
−
3)
2
−x (x
+
x (x
3)(x
−
7)
+
x
2
(x
+
3)
8)
3
+
3x (x
+
(x
−6x
2
la
2
2
−2(3x
de
Comprobemos
saber
polinomios
ejemplo:
situaciones
omnzr
necesitamos
Desarrollar
ax
horizontales
Aplicación
an
x
)
=
3x
Representar
+
3x
grácamente
2
Dibuje
las
siguientes
rectas
en
un
gráco:
y
rectas
horizontales
y
x
y
=
=
x
=
0,
y
=
0,
x
=
3,
x
=
−2,
y
=
−3,
2
4
3
ver ticales
2
y
Por ejemplo:
Representar
y
=
x,
y
=
y
las
−x,
x
=
x
–x
y
=
4
x
rectas
=
=
–2
2,
y
x
=
=
–2
–1
–4
x
=
−,
y
=
−2
y
=
3
e
y
en
el
mismo
gráco
y
3
Reconocer
y
describir
3
Describa
las
8
una
trasformaciones
traslación
y
=
3
x
B
6
Por
ejemplo:
Hallar
que
las
le
asignan
a
4
3
traslaciones
que
le
y
asignan
=
x
las
2
2
a
y
=
x
las
funciones
A
y
B
funciones
B
A
y
B
y
2
y
A
es
un
horizontal
a
la
a
A
=
x
2
de
derecha.
2
La
escriba
A
función
x
0
unidades
–4
x
0
desplazamiento
–2
2
4
correspondiente
6
las
fórmulas
correspondientes.
–4
–6
A
2
B
es
es
y
un
=
(x
−
–8
2)
desplazamiento
unidades
hacia
arriba.
ver tical
La
de
función
2
correspondiente
140
Funciones
racionales
a
B
es
y
=
x
+
3.
3
¿Sabemos
cuántas
almacenar
calidad
del
embargo,
puede
en
un
reproductor
ajuste
una
canciones,
de
idea
almacenar
álbumes,
sonidos
de
La
grabación
y
aproximada
36
horas
o
MP3?
la
es
860
un
demás
respuesta
duración
que
y
de
la
depende
canción.
reproductor
minutos
de
podemos
MP3
música.
de
la
Sin
de
Esto
4GB
es
aproximadamente:
2000
canciones
de
4
minutos
o
000
canciones
de
8
minutos
o
4000
canciones
de
2
minutos
cada
una
8000
Esto
nos
lleva
a
la
función
s
=
donde
s
es
el
número
de
m
canciones
y
m
es
el
número
de
minutos
que
dura
una
canción.
k
Esta
función
es
un
ejemplo
de
la
función
recíproca
f
(x )
=
.
x
En
este
(en
adelante,
y
otras
capítulo
funciones
ax
f
(x )
para
la
explorar
racionales
calculadora
los
que
grácos
pueden
de
de
ser
pantalla
las
gráca
funciones
expresadas
en
recíprocas
la
forma
+ b
=
.
cx
los
utilizaremos
CPG)
Examinaremos
asíntotas
horizontales
y
verticales
para
+ d
grácos
de
esas
funciones
y
el
dominio
y
recorrido
de
las
mismas.
Capítulo
5
141
.
Rroo
ingón:
representación
gráca
de
productos
Pensemos
Por
y
en
ejemplo:
añada
pares
24
más
x
de
1,
pares
12
de
24
12
8
3
y
1
2
3
8
esos
pares
x
2,
8
x
cuyo
3,
3
producto
x
8.
es
Copie
la
24.
tabla
números.
x
Muestre
números
como
coordenadas
en
un
gráco
con
Se
0
≤
x
≤
24
y
0
≤
y
≤
denomina
24.
omormno
Ahora
y
haga
lo
muéstrelos
Explique
lo
mismo
en
que
el
con
números
gráco
obser va
negativos
(p.ej.,
−12
×
−2)
xrmo
a
acerca
apariencia
de
●
El
valor
de
x
cuando
y
se
hace
más
grande
●
El
valor
de
y
cuando
x
se
hace
más
grande
se
lo
a
➔
El
compor tamiento
extremo
de
su
de
un
número
es
que
en
direcciones.
gráco
El
recíproco
medida
continúa
ambas
El
un
de:
gráco
●
la
también.
dividido
por
el
número
cero
no
número.
tiene
recíproco
ya
1
que
1
Por
ejemplo,
el
recíproco
de
2
es
.
no
está
denido.
0
2
¿Qué
El
recíproco
de
una
fracción
resulta
ser
ejemplo,
el
recíproco
es
de
÷
7
recíproco
Un
número
El
recíproco
3
de
multiplicado
por
su
su
CPG
para
1
÷
0?
3
es
7
muestra
=
1
.
le
inver tida.
4
×
4
10
es
de
10
➔
4
=
4
El
fracción
3
3
Por
la
recíproco
o
4.
1
es
igual
a
.
1
Por
ejemplo:
3
×
=
emo
En
1
Halle
el
recíproco
de
una
1570
traducción
de
la
obra
de
de
2
Euclides, Elementos
2
(300
a.C.), se
llamó
R
reciprocali a
1
2
las
5
Escribir
=
2
como
una
fracción
impropia
cantidades
geométricas
2
en
5
Recíproco
de
proporción
Inver tirla
5
2
5
podemos
hallar
recíprocos
de
términos
−
El
rroo
de
x es
o
x
x
= 1
2
algebraicos.
Al
1
➔
2
×
Vericar :
También
inversa.
2
=
recíproco
5
de
x
×
x
=.
número
variable
llama
o
de
una
también
"inverso
multiplicativo".
142
Funciones
racionales
un
−
y
se
lo
erón
Halle
1
los
5A
recíprocos:
2
3
2
los
−1
h
3
g
2
2
Halle
3
f
3
2
−3
recíprocos:
El
6,5
x
3a
2x
f
5
cada
por
su
recíproco
ya
se
usaba
en
la
de
la
por
lo
menos
+ 1
x
t
3d
cantidad
x
término
4y
d
h
3x
2
g
Multiplique
3
y
recíproco.
tercera
edición
1
Muestresu
Encyclopaedia
procedimiento.
Britannica
3
6
4
¿Cuál
es
el
recíproco
del
recíproco
de
¿Cuál
es
el
recíproco
del
recíproco
de x?
la
función
Halle
y
¿Qué
cuando
¿Alcanzará
48
xy
=
x
con
cuyo
producto
Esta
es
Halle
x
4800
el
valor
alguna
cuando
y
de
y
48 000
cuando
x
se
vuelve
más
vez
el
valor
0?
la
función
grande?
se
usó
en
¿Qué
f
¿Alcanzará
.
l
sucede
con
x
4800
el
valor
alguna
fnón
de
la
vale:
480
la
Explique.
página
48
1.
vale:
investigación
es
4?
que
y
números
24:
480
sucede
dos
3d
Para
5
para
describir
4
(1797),
2c
vez
de
el
x
cuando
valor
0?
142.
48 000
y
se
vuelve
más
grande?
Explique.
rro
k
La
fnón
rro
es
f (x)
=
donde
k
es
una
constante.
x
Todos
los
grácos
de
funciones
ingón:
Utilice
la
CPG
para
recíprocas
grácos
dibujar
los
de
grácos
tienen
formas
funciones
de
esta
similares.
recíprocas
investigación.
2
1
1
Obtenga
el
gráco
de
las
siguientes
funciones:
f ( x)
=
g ( x)
=
efecto
produce
cambiar
el
valor
del
Obtenga
el
gráco
de
las
siguientes
funciones:
f ( x)
=
efecto
produce
cambiar
el
signo
x
2
g ( x)
del
=
3
h( x )
=
x
x
¿Qué
=
numerador?
1
2
h( x )
x
x
¿Qué
3
x
numerador?
4
3
Copie
y
complete
esta
tabla
para
f ( x)
=
:
x
x
0,25
0,4
0,5
1
2
4
8
10
16
f (x)
¿Qué
obser va
Dibuje
el
Dibuje
la
acerca
gráco
recta
y
de
=
de
la
x
los
valores
de
x
y
f(x)
en
la
tabla?
función.
en
el
mismo
gráco.
4
Dibuje
la
simetría
de
f ( x)
=
con
respecto
a
la
recta
y
=
x
f
¿Qué
obser va?
x
1
g
¿Quélediceestoacercadelafuncióninversa
f
?
Capítulo
5
143
Asíntotas
Los
la
grácos
página
los
ejes
Los
de
43
pero
ejes
las
funciones
consisten
nunca
son
los
asíntotas
f
todos
tocan
del
(x),
en
ni
g(x)
dos
los
y
h(x)
cur vas.
en
la
Las
investigación
cur vas
se
de
acercan
a
cor tan.
gráco.
La
palabra
se
deriva
asíntota
del
asymptotos,
➔
Si
una
cur va
se
acerca
más
y
más
a
una
recta
pero
nunca
la
signica
toca,
esa
recta
se
denomina
griego
que
“que
no
cae
no
junto”.
y
=
b
es
una
asíntota
de
la
función
y
=
f
(x)
y
A
medida
que
x
→ ∞,
f
(x )
=
f (x)
→ b
y
El
símbolo
→
signica
“tiende
=
b
a”.
La
k
➔
El
gráco
de
cualquier
función
recíproca
de
la
forma
y
=
recta
horizontal
tiene
y
=
b
es
una
asíntota
x
horizontal
como
➔
El
asíntota
gráco
de
vertical
una
a x = 0
función
y
como
recíproca
asíntota
se
horizontal
del
gráco
a y = 0.
de
y
=
f(x)
La
función
llama héro
y
●
El
eje
x
es
la
asíntota
x
=
0, el
eje
y, es
6
horizontal.
una
y
=
x
●
El
eje
y
es
la
asíntota
tiene
4
y
=
recíproca
k
asíntota
muchas
–x
aplicaciones
en
ver tical.
2
los
●
El
dominio
y
el
la
son
todos
los
algoritmos
de
recorrido
informática,
x
números
–4
4
6
par ticularmente
reales
excepto
el
y
=
0, el
eje
x, es
relacionados
●
Lasdosramasdel
–4
gráco
una
respecto
=
la
de
rectay
=
números.
–6
resulte
−x
interesante
y
=
−x
e
y
=
x
son
los
ejes
En
se
el
capítulo
dibuja
la
de
esta
vimos
simetría
función.
que
de
f
para
mayor
dibujar
respecto
investigar
de
estas
simetría
la
x
de
Quizás
●
con
asíntota
teoría
y
sonsimétricas
los
cero.
de
la
la
inversa
recta
y
=
de
x.
Si
la
función f
aplicaciones
con
profundidad.
(x),
realizamos
1
una
simetría
de
f
(x)
respecto
=
de
la
recta
y
=
x,
obtenemos
el
x
mismo
gráco
que
para
f
(x).
La
➔
La
función
recíproca
on
on
nr
fnón
rro,
1
f(x)
=
,
es
uno
de
los
x
La
fórmula
de
la
función
en
la
investigación
de
la
página
42
es
ejemplos
más
simples
24
xy
=
24.
Esta
se
puede
escribir
como
y
y
=
es
una
función
de
una
función
que
x
recíproca.
Tiene
un
gráco
similar
al
que
se
mostró
coincide
inversa.
anteriormente.
144
Funciones
racionales
con
su
El
diseño
del
Asymptote
¡T
ambién
que
hotel
V iceroy
Architecture,
cuenta
recorre
emo
Yas
el
con
se
una
centro
del
de
basa
pista
Abu
en
de
Dhabi,
modelos
carreras
por
el
estudio
matemáticos.
de
Fórmula
1
hotel!
✗
Para
cada
función:
●
Escriba
●
Dibuje
●
Indique
las
ecuaciones
de
el
dominio
y
el
el
asíntotas
horizontales
y
ver ticales.
gráco.
recorrido.
9
y
las
aproximadamente
9
=
y
=
+ 2
x
x
R
Las
asíntotas
son
x
=
0
e
y
=
0.
y
=
2.
y
20
15
10
5
x
0
–6
–4
–2
2
4
6
–5
–10
–15
–20
Dominio
x
Recorrido
Las
∈
y
R,
∈
asíntotas
x
R,
≠
y
son
x
0
≠
0
=
0
e
y
El
gráco
6
gráco
4
unidades
de
de
f(x)
f(x)
en
+
pero
la
2
es
igual
al
desplazado
dirección
del
2
eje
y.
2
x
–30
–20
–10
–2
–4
–6
Dominio
x
Recorrido
∈
y
R,
∈
x
R,
≠
y
0
≠
2
Capítulo
5
145
Ejercitación
1
Dibuje
en
5B
distintos
grácos:
5
y
6
=
y
=
xy
x
=
Es
8
impor tante
resolver
12
2
En
el
mismo
gráco
muestre
y
12
=
e
y
3,
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
las
y
preguntas
4
tanto
analíticamente
x
medios
1
4
.
=
x
3
saber
x
f
de
(x )
=
y
escriba
(por
algebraicos
sus
y
x
grácos,
aplicando
asíntotas.
transformaciones)
como
utilizando
la
1
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
f
de
(x )
=
+ 2
y
escriba
CPG.
x
sus
4
asíntotas.
Identique
la
asíntota
horizontal
y
la
dominio
el
ver tical
de
las
siguientes
recorrido
de
cada
Puede
funciones
e
indique
el
y
resultar
dibujar
3
20
y
=
y
5
El
está
entre
ujo
y
las
el
islas
reujo
maelstrom
La
+ 2
y
=
de
tercer
de
las
Jura
velocidad
del
x
remolino
y
Scarba
mareas
resultante
desde
pueden
agua
grácos.
− 2
x
Corr yvreckan,
los
4
=
x
útil
una.
más
en
el
oírse
las
costas
oeste
a
circundante
grande
16
del
de
sumado
km
de
aumenta
a
mundo,
Escocia.
al
r ugido
El
del
distancia.
medida
que
250
se
acerca
al
centro
y
se
modeliza
mediante
v
donde
=
v
d
−
es
la
velocidad
centro
en
Use
0
≤
agua
en
m s
y
d
es
la
distancia
desde
el
metros.
su
d
del
CPG
≤
50
y
para
0
≤
v
obtener
≤
el
gráco
de
la
función
para
200.
−1
¿A
qué
¿Cuál
distancia
la
velocidad
es
de
10 m s
?
[
es
la
velocidad
del
agua
a
100 m
del
centro?
Se
de
6
La
fuerza
(F)
necesaria
para
levantar
un
objeto
de
cree
dijo:
que
Arquímedes
“Dadme
apoyo
y
un
punto
moveré
el
una
mundo”
1500
masa
de
1500
kg
se
modeliza
mediante
F
=
donde
l
l
es
la
longitud
mide
en
de
la
palanca
en
metros
y
la
fuerza
se
Newtons.
N
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
para 0
≤
l
≤
6
y
0
≤
F
≤ 5000
la
es
el
símbolo
unidad
Newton.
¿Cuánta
¿Qué
fuerza
longitud
siguientes
146
Funciones
debería
de
palanca
fuerzas?
racionales
aplicar
si
tuviera
necesitaría
1000 N
si
una
palanca
pudiera
2000 N
de
ejercer
2
m?
las
3000 N
de
de
fuerza,
.
Fnon
¿Hemos
notado
la
ron
manera
en
la
que
cambia
el
sonido
de
la
sirena
de
La
un
auto
policial
o
de
bomberos
a
medida
que
se
acercan
a
frecuencia
sonido
La
frecuencia
obser vada
es
superior
a
la
frecuencia
emitida
acercamiento,
es
idéntica
en
el
instante
de
paso
y
es
se
hercios
el
tiempo
que
se
aleja.
A
esto
se
lo
llama
(Hz),
la
menor
cantidad
durante
mide
durante
en
el
de
nosotros?
efecto
Doppler.
de
ondas
por
La
segundo.
fórmula
viaja
para
hacia
frecuencia
nosotros
330
f
la
obser vada
de
sonido
cuando
la
fuente
es:
f
=
1
330
v
donde:
−
●
330
●
f
●
f
es
la
frecuencia
●
v
es
la
velocidad
es
es
la
la
velocidad
frecuencia
del
sonido
obser vada
en
en
m s
Hz.
f
es
una
función
emitida.
de
la
fuente.
racional.
g(x )
➔
Una
fnón
ron
es
una
función
de
la
forma
f
(x )
h(x)
nunca
puede
ser
=
cero,
ya
que
un
valor
h( x )
donde
g
y
h
son
polinomios.
dividido
está
En
la
este
curso
forma
px
+
g(x)
q,
y
h(x)
por
lo
serán
que
exclusivamente
investigaremos
funciones
funciones
lineales
racionales f
por
cero
no
denido.
de
(x)
donde:
ax
f
(x )
+ b
=
cx
emo
+ d
−1
Un
vehículo
bocina
con
se
una
desplaza
hacia
frecuencia
de
nosotros
8000
Hz.
a
96
km
¿Cuál
es
h
la
y
hace
sonar
frecuencia
su
del
−1
sonido
que
oímos
si
la
velocidad
del
sonido
es
330 m
s
?
Las
unidades
velocidad
ser
las
toda
Respuesta
deben
mismas
en
ecuación.
Podemos
−1
96 km h
la
de
redondear
−1
=
96 000 m h
96 000
−1
96 000 m h
números
horaametrosporsegundo
una
1hora=3600segundos
aproximada.
para
obtener
respuesta
−1
=
=
26,7 m s
3600
330
Frecuencia
Conver tirkilómetrospor
observada
f
=
330
v
330 × 8000
=
330
=
26, 7
8700 Hz (3 cs)
Capítulo
5
147
ingón:
grácos de funciones racionales 1
1
Utilice
Copie
la
CPG
para
obtener
el
gráco
de
y
y
=
y
x
y
complete
la
x
2
1
1
,
=
y
=
2
x
+
=
3
x
+
3
tabla:
Función
Asíntota
Asíntota
racional
ver tical
horizontal
Dominio
Recorrido
1
y
=
x
1
y
=
x
2
1
y
=
x
+
3
2
y
=
x
+
3
¿Qué
efecto
produce
el
cambio
las
en
¿Qué
obser va
acerca
de
¿Qué
obser va
acerca
del
dominio
f
¿Qué
obser va
acerca
del
recorrido
el
denominador
asíntotas
y
el
y
en
la
asíntota
ver tical?
horizontales?
valor
el
de
valor
la
de
asíntota
la
ver tical?
asíntota
horizontal?
k
Funciones
racionales
de
la
forma y
=
x
−
b
1
k
Una
función
racional
y
no
, donde
=
x
k
y
b
son
constantes,
tendrá
está
denido.
0
b
Examinaremos
una
asíntota
ver tical
cuando
el
denominador
sea
igual
a
0,
es
más
cuando
La
x
=
detalladamente
b
asíntota
horizontal
será
el
eje
x
en
la
de
T
eoría
sección
del
Conocimiento
del
emo
esto
decir,
al
nal
capítulo.
1
Identique
Indique
Dibuje
la
asíntota
horizontal
y
la
ver tical
y
de
=
x
el
dominio
y
el
3
recorrido.
aproximadamente
la
función
con
la
ayuda
de
la
CPG.
Respuestas
El
eje
x
( y
Un
=
0)
es
la
asíntota
horizontal.
x
=
3
es
la
asíntota
Dado
será
ver tical.
x
{
Funciones
racionales
cero,
función
El
148
que
el
el
numerador
gráco
nunca
toca
denominador
=
es
de
al
nunca
esta
eje
cero
x.
cuando
3.
Continúa
en
la
página
siguiente.
tema
para
interesante
explorar
concepto
de
es
el
innito.
Dominio
x
Recorrido
∈
y
R,
∈
x
R,
≠
y
3
≠
0
y
8
6
1
4
y
=
x
–
3
2
x
0
–4
–2
–2
–4
–6
–8
Ejercitación
1
Identique
5C
la
asíntota
horizontal
y
dominio
el
la
ver tical
de
las
siguientes
recorrido
de
cada
La
funciones
e
indique
el
y
pregunta
resolverse
1
y
=
y
x
=
+ 1
+ 2
y
f
x
− 2
x
y
g
x
5
+ 2
x
el
álgebra
le
dice
+ 1
Dibuje
aproximadamente
cada
función
“utilizar
indique
el
dominio
y
el
recorrido
de
se
un
analítico”),
y
h
=
aunque
se
−
x
con
la
ayuda
de
la
cada
puede
+
la
CPG
para
CPG
vericar
e
esto
método
usar
2
usando
(a
=
+ 1
deberá
=
4
=
+ 1
y
4
=
x
=
4
4
y
y
x
4
2
1
1
una.
los
resultados
una.
obtenidos.
4
y
y
=
4
=
+1
x
x
y
=
− 8
x
+ 5
Utilice
1
y
=
+ 3
x
y
y
3
− 2
Cuando
=
y
h
cae
y
=
x
un
rayo,
la
luz
instantáneamente.
Pero
aproximadamente
331 m s
el
la
ventana
visualización
de
correcta.
4
=
+ 12
CPG
+ 4
x
+ 2
=
4 x
y
f
− 6
x
1
g
con
=
7
su
5
6
+ 5
3x
alcanza
sonido
los
del
ojos
6
casi
tr ueno
viaja
a
−1
se
ven
afectadas
tiempo
que
por
tarda
el
la
.
Sin
embargo,
temperatura
sonido
en
del
recorrer
las
aire
un
ondas
sonoras
circundante.
kilómetro
se
El
modeliza
1000
t
mediante
=
donde
0, 6c
temperatura
Dibuje
Si
desde
en
4
en
oír
En
el
grados
−20 °C
el
a
a
el
tiempo
en
segundos
y c
es
la
el
gráco
de t
para
las
temperaturas
40 °C.
un
tr ueno,
mismo
es
Celsius.
aproximadamente
estamos
t
+ 331
kilómetro
¿cuál
es
conjunto
de
la
de
distancia
y
temperatura
ejes, dibuje
tardamos
del
aire
3
segundos
circundante?
aproximadamente
1
y
=
x
+
2
e
y
.
=
x
relaciones
entre
Compare
los
dos
grácos
y
establezca
+
la
función
lineal
y
su
recíproca.
1
Ahora
haga
lo
mismo
para
y
=
x
+
1
e
y
=
x
+ 1
Capítulo
5
149
Funciones
racionales
de
la
forma y
ax
➔
Toda
función
racional
de
la
forma
y
gráco
de
toda
función
racional
y
y
una
Utilice
la
CPG
x
y
=
,
x
+
Copie
y
grácos
para
x
+
1
x
+
3
mostrar
,
complete
los
de
b
+ b
un
gráco
+ d
+ b
tiene
una
asíntota
+ d
y
la
2x
=
e
x
+
funciones
grácos
2x
=
3
y
+
ver tical.
ingón:
cx
tiene
=
cx
horizontal
b
hipérbola.
ax
El
+
=
cx
llamado
ax
=
y
racionales
2
de:
− 1
=
3
x
+
3
tabla:
Función
Asíntota
Asíntota
racional
ver tical
horizontal
Dominio
Recorrido
x
y
y
=
x
+
3
x
+ 1
x
+
=
3
2x
y
=
x
+
2x
y
3
1
=
x
+
3
¿Qué
obser va
acerca
de
¿Qué
obser va
acerca
del
las
asíntotas
dominio
y
el
horizontales?
valor
de
la
asíntota
ver tical?
y
➔
La
asíntota
ver tical
ocurre
para
el
valor
de x
que
hace
cero
4
al
denominador.
3
a
➔
La
asíntota
horizontal
es
la
recta
y
=
a
c
y
2
=
c
1
Para
hallar
la
asíntota
horizontal
ax
y
se
deberá
despejar x
x
+ b
–6
=
–4
–2
–1
cx
d
+ d
x
–2
y ( cx
+ d )
=
ax
+ b
− ax
=
b − dy
x
=
–3
cyx
b
dy
cy
La
es
asíntota
decir,
horizontal
se
cuando:
a
cy
=
a
o
y
=
c
150
Funciones
racionales
a
produce
cuando
el
denominador
es
cero,
=
c
emo
x
Para
la
función
y
+ 1
:
=
2x
Dibuje
Halle
Indique
4
aproximadamente
la
asíntota
el
el
horizontal
dominio
y
el
gráco.
y
la
ver tical.
recorrido.
Respuestas
y
4
3
2
x
y
+
1
=
2x
–
4
1
x
0
–8
–6
–2
–4
2
4
6
8
–1
–2
–3
Asíntota
ver tical
x
=
Asíntota
horizontal
Cuando
2
2x
−
4
=
a
=
=
1,
c
=
2,
Dominio
x
∈ ,
x
≠
=
2.
y =
c
2
x
a
1
y
0,
2
1
Recorrido
y ∈ ,
y
≠
2
Ejercitación
1
Identique
funciones
x
y
Una
la
asíntota
indique
el
y
y
dominio
el
2x
y
cada
función
con
su
x
=
y
x
de
las
recorrido
de
cada
y
−3 x
+ 2
−4 x
− 5
siguientes
una.
34 x
=
1
y
+ 2
2
16 x
y
x
1
x
3
=
y
=
x
8
6
6
4
4
2
2
x
0
–4
–2
–2
–4
–6
y
8
–6
+ 4
y
–8
2
=
gráco:
=
x
ver tical
3x
3
y
la
+ 2
=
5
horizontal
+ 2
=
x
2
e
5D
2
4
6
8
0
–4
x
–2
–2
–4
–6
Capítulo
5
151
y
8
8
6
6
4
4
2
2
x
0
–4
3
Dibuje
y
x
y
el
–6
–4
–2
2
–2
–2
–4
–4
–6
–6
cada
función
con
la
ayuda
de
la
4
CPG
6
e
8
indique
el
recorrido.
x
+ 2
y
=
x
x
0
–8
–2
aproximadamente
dominio
y
x
=
4 x
+ 3
y
7
=
+ 3
Utilice
3x
la
obtener
9x
y
−3 x
+ 1
=
3x
y
y
f
4 x
Escriba
x
5
=
−4
y
negocio
en
estiman
función
Leandro
su
que
Escriba
Escriba
oo
función
Recuerde
función
de
romo
cada
en
y
=
que
$450
C(x)
debe
racional
una
asíntota
surstas
instalar
el
el
camiseta,
respuesta.
ver tical
en
que
el
tienen
un
total
de
producir
costo
de
instalación.
permita
cuando
y
$5,50.
costo
considerar
A(x)
la
equipo
costará
para
de
vericar
3.
para
camiseta
lineal
una
tenga
y
4
2x
camisetas
Costará
estampar
una
que
gráco
función
=
−
horizontal
diseñan
garaje.
una
camisetas.
racional
asíntota
y
el
la
=
4 x
para
+ 2
4 x
=
−x
una
Cristian
y
y
4
una
y
y
12
x
h
=
2x
4
5x
=
2
3x
g
+ 10
CPG
8
se
calcular
x
el
producen x
camisetas.
¿Cuál
es
Escriba
Halle
el
dominio
de
A(x)
en
el
contexto
del
problema?
Explique.
Dibuje
la
asíntota
ver tical
de
A(x).
aproximadamente
la
asíntota
horizontal
para A(X ).
¿Qué
signicado
gráco
este
valor
PREGUNTA
6
La
regla
en
TIPO
de
para
“Tomar
la
contexto
del
problema?
EXAMEN
Y
oung
medicamento
dosis
el
es
para
una
los
manera
niños
de
calcular
mayores
de
dos
la
dosis
años,
de
un
basada
en
la
adultos.
edad
Multiplicar
este
del
niño
número
en
años
por
la
y
dividirla
dosis
para
por
su
edad
más
2.
adultos”.
at
Esto
se
modeliza
mediante
la
función n
donde
=
t
para
niño
152
niños,
en
Funciones
a
es
años.
racionales
la
dosis
para
adultos
en
n
es
la
+ 12
mg
y
t
es
la
edad
el
tiene
del
dosis
de
la
función.
Haga
100
una
mg
tabla
para
Utilice
los
Utilice
el
de
valores
de
2
a
12
años
con
una
dosis
de
adultos.
valores
gráco
de
para
para
dibujar
calcular
la
el
gráco
dosis
de
estimada
la
función.
para
un
1
niño
de
años.
7
2
Escriba
¿Qué
de
7
El
la
signica
costo
Un
promedio
la
valor
es
de
anual
asíntota
de
la
horizontal.
asíntota
horizontal
en
la
regla
de
costo
un
nuevo
una
refrigerador
la
electricidad
cuesta
refrigerador
incluye
Desarrolle
de
que
consume
un
$92.
refrigerador
total
el
el
de
Y
oung?
refrigerador
ecuación
en
el
que
costo
del
$550.
dura
15
Determine
años.
ar tefacto
función
que
función
del
muestre
número
y
el
de
el
Puede
de
costo
anual
suponer
que
electricidad.
costo
años
anual
desde
de
un
que
se
lo
compró.
Dibuje
aproximadamente
adecuada?
Puesto
Rotule
que
esta
los
es
ejes
una
la
función.
para
función
¿Cuál
indicar
la
racional,
será
una
ventana
escala.
determine
sus
asíntotas.
Explique
del
f
el
signicado
de
la
asíntota
horizontal
en
el
contexto
refrigerador.
Unaempresaofreceunrefrigeradorquecuesta$1200,
armaquevaadurar
porlo
pero
menos20años.¿Vale
esterefrigeradorladiferenciadeprecio?
ero
rón
Material
✗
de
disponible
de
PREGUNTA
TIPO
ejercicios
Una
cada
función
con
su
f
(x )
1
=
ii
f
1 −
f
(x )
x
v
f
(x )
f
y
asíntotas
x
− 2
x
− 4
x
vi
f
(x )
x
+ 2
x
+ 4
=
y
y
+ 1
(x ) =
3
=
x
iii
x
=
4x
(x ) =
x + 2
iv
Hoja
Fracciones
gráco.
2
i
línea:
5:
EXAMEN
continuas
1
ampliación
en
8
6
6
4
4
2
2
x
0
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
–2
x
0
–4
–2
2
4
6
8
10
–2
–4
–4
–6
–6
Capítulo
5
153
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
y
y
6
8
4
6
2
4
2
x
–2
x
0
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
–4
–2
–6
–4
y
f
y
6
6
4
4
2
2
x
0
–10
x
0
–8
–6
–4
–2
2
4
–2
–4
–4
–6
–6
5
2
Dadas
f
(x )
f
(x )
=
x
3
Dibuje
Determine
Halle
Para
y
el
cada
la
asíntota
dominio
una
de
y
el
estas
la
f
x
aproximadamente
el
x
1
=
(x )
+ 3
=
3
+ 1
x
función.
ver tical
y
recorrido
funciones,
la
de
horizontal
la
de
la
función.
función.
escriba
las
asíntotas,
el
dominio
recorrido.
y
y
8
6
5
4
f (x)
6
=
6
x
+
4
f (x)
=
2
–
3
4
x
2
x
0
–6
–4
–2
–2
x
0
–6
–4
–2
–4
–2
–6
–4
–8
–6
–8
y
y
6
8
4
6
2
4
–3
f (x)
2
f (x)
=
–
x
+
=
+
x
–
5
1
2
6
2
0
x
x
0
4
154
Funciones
racionales
–4
–2
–6
–4
–8
–6
6
4
Un
un
gr upo
n
Si
de
c
de
semana
costo
de
en
Dibuje
Explique
esta
el
gráco
está
de
de
regalarle
salud.
para
cada
escriba
número
la
El
su
vale
profesor
cuesta
estudiante
una
de
a
y e
ecuación
un
vale
por
$300.
representa
para
mostrar
el
el
estudiantes.
función.
restricción
sobre
el
recorrido
y
el
dominio
de
dada
por:
1
=
,
x
∈
R,
x
≠
−2
+ 2
Halle
la
asíntota
horizontal
Halle
la
asíntota
ver tical del
Escriba
las
del
cualquier
f
x
spa
costo
estudiantes,
2x
(x)
quiere
función.
función
f
un
el
función
La
en
representa
número
5
estudiantes
Halle
las
coordenadas
del
del
gráco
de y
=
f
(x).
gráco.
punto
P
donde
se
cor tan
asíntotas.
los
puntos
de
intersección
del
gráco
con
los
ejes
car tesianos.
A
par tir
las
de
lo
asíntotas
ero
PREGUNTA
1
Dibuje
de
la
anterior,
mediante
TIPO
dibuje
líneas
gráco
f
(x )
=
Indique
el
el
gráco
dominio
y
el
(x )
Una
de
f
− 8
(x )
con
la
f
(x )
+
f
(x )
=
x
que
a
desde
una
esta
Londres
distancia
de
f
información
a
5
6
=
x
vuela
ayuda
2
=
7
están
Muestre
función
8
=
que
cada
x
aerolínea
Y
ork,
mostrando
− 5
x
2
(x),
recorrido.
3
f
f
EXAMEN
x
=
punteadas.
6
de y
rón
aproximadamente
CPG.
el
f
(x )
=
+ 3
− 2
x
+ 4
Nueva
5600
puede
km.
escribirse
5600
como
v
donde
=
v
es
la
t
−1
velocidad
t
es
el
media
tiempo
en
del
avión
aproximadamente
0
1200
Si
v
el
≤
vuelo
promedio
y
0
dura
del
km h
y
horas.
Dibuje
≤
en
≤
t
10
≤
el
gráco
de
la
función
para
20.
horas,
¿cuál
es
la
velocidad
avión?
Capítulo
5
155
PREGUNTAS
3
Las
de
TIPO
personas
tiempo
con
que
22, 2 s
m
EXAMEN
se
piel
sensible
exponen
a
deben
la
luz
ser
solar
cuidadosos
directa.
La
con
la
cantidad
relación
+ 1428
=
s
donde
nos
m
da
la
persona
≤
s
el
tiempo
máxima
con
Dibuje
0
es
piel
un
Halle
la
y
minutos
cantidad
sensible
gráco
≤ 120
en
0
≤
s
es
tiempo
sol
sin
aproximado
m
cantidad
de
al
y
el
valor
que
puede
dañarse
para
de
la
esta
escala
pasar
del
sol,
una
piel.
relación
cuando
≤ 300
de
minutos
que
puede
estar
expuesta
la
piel,
cuando:
s
4
=
10
¿Cuál
Explicar
El
alcalde
gripe
las
es
en
s
la
qué
de
=
la
ciudad
a
m
El
por
s
=100
horizontal?
representa
Bangkok.
máscaras
40
asíntota
esto
para
suministró
costo
(c)
ciento
en
de
una
mascarillas
bahts
la
persona
con
durante
tailandeses
población
piel
está
de
un
sensible.
brote
de
suministrar
dado
por
750 000 m
c
=
100
Elija
m
una
escala
adecuada
aproximadamente
Halle
el
La
de
el
20%
de
la
población.
¿Sería
según
5
costo
posible
función
f
(x)
=
Dibuje
Utilizando
su
El
156
El
Funciones
valor
a
la
totalidad
de
la
respuesta.
≠
2
gráco,
de
de
racionales
90%
mascarillas
su
a:
la
cur va
de f
para
asíntotas.
ecuación
valor
dibujar
como:
aproximadamente
sus
La
x
5
mostrando
para
5
,
2 +
2x
el
Explique
dene
1
f
CPG
mascarillas
suministrar
se
su
función.
50%
modelo?
(x)
utilice
suministrar
el
este
la
y
de
la
la
escriba:
cada
asíntota
intersección
intersección
con
con
el
el
eje x
eje y
−3
≤
x
≤
5,
población,
ResuMeN
del
capítulO
5
Rroo
●
El
●
Un
de
rroo
número
un
número
multiplicado
es
por
su
dividido
por
recíproco
ese
es
número.
igual
a
.
1
Por
ejemplo:
3
×
=
3
1
−
●
El
de
rroo
x
es
o
−
x
y
x
x
×
=.
x
l
●
fnón
Si
la
●
una
cur va
cor ta,
El
rro
esa
gráco
se
acerca
recta
de
una
se
más
y
más
denomina
función
a
una
recta,
pero
nunca
no
recíproca
de
la
forma
k
y
=
tiene
a
x
=
0
como
asíntota
ver tical
y
a
y
=
0
como
asíntota
x
horizontal.
●
El
■
gráco
El
eje
de
x
una
es
la
función
asíntota
recíproca
es
una héro.
y
horizontal.
x
=
0, el
eje
y, es
6
■
El
■
Tanto
eje
y
es
la
asíntota
ver tical.
una
asíntota
4
el
dominio
como
el
recorrido
son
todos
los
y
=
–x
2
números
reales
menos
el
cero.
f
■
Las
dos
ramas
del
gráco
son
simétricas
x
–4
respecto
de
y
=
y
=
y
■
=
x
e
y
−x
4
6
0, el
eje
−x.
son
los
ejes
de
simetría
de
esta
=
una
y
●
La
función
recíproca
Fnon
on
on
=
Una
–6
nr
ron
fnón
ron
es
una
función
de
la
forma
f
(x )
y
=
4
h( x )
donde
g
y
h
asíntota
x
g(x )
●
x, es
–4
función.
son
polinomios.
3
ax
●
Toda
función
racional
de
la
forma
y
tiene
=
cx
gráco
llamado
+ b
un
a
y
+ d
2
=
c
hipérbola.
1
●
La
asíntota
ver tical
se
produce
en
el
valor
de x
que
x
0
–6
hace
que
el
denominador
sea
–4
–2
cero.
–1
a
●
La
asíntota
horizontal
es
la
recta
y
d
x
=
–2
=
c
c
–3
Capítulo
5
157
t
or
del
conomno
sm
Fron
Los
antiguos
nmrón
g
egipcios
solo
utilizaban
3
En
fracciones
con
,
=
■
Escriba
+
4x
2x
cada
4x
expresión
algebraica
,
2
3
4
como
3
Esto
álgebra:
por
,
ejemplo
numerador
signica
que
en
lugar
de
fracción
egipcia.
ellos
4
una
4
5
7
23
3x
4x
4x
24x
escribían
+
2
.
Todas
la
forma
sus
fracciones
se
4
expresaban
en
y
se
las
llama
n
fron
¿Dónde
n r
cree
que
esto
podría
ser
2
Se
representaban
números
tales
útil?
como
7
como
sumas
de
2
+
7
la
unitarias
).
4
fracción
no
veces
=
(así,
las
limitaciones
de
+
7
¿Es
posible
escribir
cualquier
no
fracción
como
una
fracción
7
válido).
5
Por
podía
7
era
son
fracciones?
28
misma
dos
¿Cuáles
estas
2
utilizarse
(por
=
ejemplo,
Además,
fracciones
sería
ejemplo,
8
■
Escriba
+
2
como
.
8
fracciones
unitarias:
5
5
2
6
6
8
5
7
{
En
un
inca,
los
nudos
las
quipu
en
cuerdas
representan
números.
”
El
papiro
contiene
copiada
antiguo.
158
Teoría
del
Conocimiento:
sistemas
de
numeración
matemático
una
de
tabla
otro
de
Rhind
de
1650
fracciones
papiro
200
años
a.C.
egipcias
más
t
ro
Las
gn
y
años
babilónica
con
Muhammad
ningún
Los
sifr
■
un
árabes
se
aparece
pequeño
llamaron
¿Quién
■
¿Qué
se
■
Haga
una
■
Obser ve
utilizó
Ahora
■
En
■
Los
la
el
lista
que
un
intente
antiguos
podía
investigar)
este
lugar
era
los
griegos
que
no
y
en
es
la
años,
{0}
son
fuese
del
sucede
si
dividimos
cero
■
¿Qué
sucede
si
dividimos
cualquier
■
¿Qué
sucede
si
dividimos
cero
{
Los
un
mayas
debía
las”.
nombre
el
culturas
sistema
por
por
{0,
es
{
1,
2,
3}.
}.
9
+
x
año
de
=
1
qué
3²
a.C.
maya
e
del
y
de
ecuación
el
año
con
el
Zenón
1
3x
=
d.C.
cero
(un
y
0.
¿Y
se
buen
el
año
cero?
preguntaban
tema
para
cero.
inca?
decimal?
¿Es
cualquier
cosa?
por
la
hacer
paradojas
tentativo
cosa
y
positivo
o
negativo?
cero?
cero?
utilizaban
símbolo
caracol
en
Las
uso
¿Qué
cero
las
de
el
seguros
■
el
cálculo,
diferentes?
algo.
¿Dónde
cero
otro
tenemos
■
está
El
un
palabra cero.
ecuación
estaban
par te
y
¿Cómo
el
(vacío).
de
vez?
■
entendían
las
de
nada?
nada
nada
dependen
un
decenas,
subconjuntos
Resuelva
de
en
preser var
sifr
más
eso?
subconjunto
esto.
las
hace
ausencia
si
nuestra
primera
los
cero
en
la
que,
de
“para
círculo
por
todos
que
ser
el
cero
contaban
comentó
en
de
ya
representar
tiempo,
antes
de
esto
a
el
cero
numeración
cómo
para
círculo
que
usaba
¿Signica
■
con
signica
■
hindú
alKhwarizmi
convir tió,
¿Esto
e
sistemas
número
utilizarse
nr
n?
culturas
2000
frn
c
¿Hy
de
un
marino
representar
el
para
cero.
Capítulo
5
159
Patrones,
progresiones
y
6
series
ObjetivOs
1.1
del
capítulO:
Progresiones
aritméticas
progresiones
geométricas
geométricas;
la
notación
y
series;
y
de
suma
series
nita
de
geométricas;
series
suma
aritméticas;
nita
e
innita
de
series
sumatoria.
Aplicaciones
n
El
1.3
teorema
del
binomio:
desarrollo
de
(a +
b)
,
n ∈ N;
cálculo
de
los
coecientes
⎛ n ⎞
del
desarrollo
de
la
potencia
de
un
binomio
usando
el
triángulo
de
Pascal
y
⎜
⎝
an
Qué
1
y
Por
saber
ecuaciones
despejar
lineales
Comprobemos
y
cuadráticas
1
variables
ejemplo:
⎠
omnzr
necesitamos
Resolver
⎟
r
Resolver
la
ecuación
Resuelva
3x
–
p(2
2
5
–
cada
=
p)
5x
=
nuestras
habilidades
ecuación:
+
7
–15
n
n(n
–
4)
=
2
+
9
=
41
2
n
–
4n
=
2
4n
–
2
=
0
2
Despeje
k:
2
–
n
(n
–
6)(n
n
Por
2)
–2,
n
ejemplo:
ac
b
2
=
+
=
=
b
ac
–
=
0
=
6
Despejar
b
en
esta
3
fórmula
3
Reemplazar
6m
2pk
Si
T
=
+
–
8k
5
2x
=
=
(x
30
3
+
3y),
=
5
y
=
halle
el
valor
valores
conocidos
en
x
=
3
e
y
ejemplo:
Usando
la
4
fórmula
4
A
y
=
q
3p
=
–
0q,
hallar
el
valor
,5
4
A
=
3p
–
x
=
4,7
e
0q
de
A
si
p
=
2
Usando
la
–2
fórmula
de
m
si:
x
=
5
e
y
=
3
x
=
3
e
y
=
–2
x
=
–5
4
A
160
=
1
–
3(2)
A
=
3(6)
A
=
48
A
=
33
Patrones,
–
T
fórmulas
x
Por
de
cuando:
3
+
0(,5)
–
y
=
2
5
5
progresiones
e
y
series
m
=
2
3
–
y
,
halle
el
valor
Las
bacterias
en
esta
cápsula
de
Petri
crecen
y
se
reproducen;
en
este
[
Crecimiento
bacterias
caso,
su
masa
total
se
duplica
cada
dos
horas.
A
las
8
de
la
cápsula
la
masa
2
La
medirá
masa
usarse
de
En
mide
8
2
de
horas,
pueden
gramos;
gramos
las
para
este
3
horas
capítulo
resultar
inmediato
y
la
o
lo
útiles
●
Predecir
la
masa
●
Calcular
●
Predecir
●
Calcular
la
●
Calcular
cuánto
cuánto
cuánto
Por
cápsula
de
las
0
sigue
medirá
un
bacterias
patrones.
6
patrón
en
la
un
tomará
total
podemos
país
durarán
tiempo
que
Los
predicciones
ejemplo,
de
tiempo
los
hacer
tiempo
distancia
las
gramos,
a
de
una
Petri
las
que
cápsula
podría
después
horas.
para
población
a
de
sucesivamente.
en
24
tanto,
estudiaremos
mediato.
la
así
bacterias
predecir
2
y
por
en
mañana
en
20
usar
un
reservas
recorrerá
tomará
para
para
el
nos
futuro
patrones
para:
años
cancelar
las
patrones
de
una
que
préstamo
un
recurso
pelota
una
bancario
que
inversión
natural
rebota
se
duplique
Capítulo
6
161
.
pron
ingón:
Joel
decide
Ahorra
semana
y
Copie
comenzar
$20
la
así
y
y
Número
ahorrar
de
dinero
dinero.
semana,
$25
la
segunda
semana,
$30
la
tercera
sucesivamente.
complete
semana
rogron
ahorro
a
primera
y
cuánto
de
la
siguiente
ahorra
en
tabla
total
para
mostrar
durante
Ahorro
T
otal
semana
semanal
ahorrado
1
20
20
2
25
45
3
30
75
las
cuánto
ocho
ahorra
primeras
Joel
4
5
6
7
8
a
¿Cuánto
ahorrará
¿Cuánto
dinero
¿Cuánto
tiempo
Intente
escribir
semana.
número
T
rate
f
que
de
En
la
cada
que
de
de
en
ahorrará
le
la
una
el
al
semana?
cabo
ahorrar
fórmula
M
a
10.
Joel
tomará
Sea
para
monto
de
al
el
un
ahorra
en
la
17.
?
año?
menos
monto
que
¿Y
$1000?
de
dinero
cada
que
semana
Joel
y
n
ahorra
el
semana.
escribir
ahorró
Joel
una
Joel.
Sea
fórmula
T
el
para
total
de
el
mono
sus
o
ahorros
y
n
de
el
dinero
número
semanas.
investigación
semana
ahorra
a
anterior,
forman
medida
una
que
los
montos
rogrón.
el
tiempo
de
Los
pasa
dinero
montos
forman
que
Joel
totales
otra
ahorra
de
dinero
progresión
diferente.
➔
Una
en
He
aquí
8,
162
rogrón
un
orden
algunas
,
4,
800,
400,
,
4,
9,
5,
0,
7,
5,
Patrones,
…
25,
20,
de
progresiones:
200,
6,
nmér
par ticular
00,
…
…
25,
…
progresiones
y
series
es
un
patrón
acuerdo
con
de
números
una
regla.
por
semanas.
dispuestos
➔
Cada
número
o
elemento
de
una
progresión
se
denomina
tér mino
En
la
progresión
término
es
También
,
8,
el
,
4,
tercer
podemos
7,
…,
término
usar
la
el
es
primer
4,
notación
y
u
así
término
es
8,
el
segundo
sucesivamente.
para
denotar
el
enésimo
n
término
Por
de
lo
una
progresión,
tanto,
para
u
,
8,
,
donde
4,
7,
n
es
…
un
se
entero
podría
positivo.
decir:
Algunas
=
u
8,
=
u
2
=
4,
y
así
letras
Se
puede
cada
continuar
término
8,
,
4,
veces,
es
el
tres
7,
patrón
si
unidades
20,
23,
nos
damos
mayor
que
cuenta
el
valor
de
que
del
el
valor
término
distintas
esta
progresión,
u
para
a
los
representar
anterior:
una
26
se
podría
escribir: u
=
8
y
u
=
u
n+
+
términos
valor
una
del
fórmula
término
rr:
el
valor
de
cada
Por
podríamos
3
n
a
t
n
es
de
progresión.
usar
Esta
de
de
ejemplo,
Para
usamos
sucesivamente.
3
término
depende
del
anterior.
o
x
n
término
para
n
representar
de
el
enésimo
una
progresión.
En
es
la
la
progresión
mitad
del
800,
400,
término
200,
00,
…,
el
valor
de
cada
término
anterior.
En
este
caso,
=
u
800
y
u
=
u
n+
n
2
emo
Escriba
una
fórmula
recursiva
para
el
enésimo
término
de
cada
progresión
9,
15,
2,
6,
21,
18,
27,
54,
…
…
Respuestas
u
=
9
y
u
1
=
u
n+1
+
6
Sumar
6
para
llegar
de
un
tér mino
al
n
siguiente
u
=
2
y
u
1
=
3u
n+1
Multiplicar
por
3
para
llegar
de
un
n
tér mino
al
siguiente
A
Muchas
veces
resulta
más
útil
escribir
veces
esto
denomina
némo
érmno
n
rogrón .
Con
una
fórmula
valor
En
del
la
hallar
el
valor
de
un
término
sin
necesidad
la
“regla
general,
general
podemos
de
conocer
el
para
enésimo
,
4,
9,
6,
25,
…,
cada
término
término”.
es
un
cuadrado
Recordemos
2
Una
el
anterior.
progresión
perfecto.
se
la fórm gnr
El
primer
fórmula
término
general
para
es
el
que
n,
la
2
,
el
segundo
enésimo
2
término
,
y
de
así
sucesivamente.
esta
progresión
es
posición
será
del
término,
siempre
un
2
u
=
n
número
entero.
No
n
En
la
progresión
5,
0,
5,
20,
25,
…,
cada
término
es
un
múltiplo
podríamos
tener
un
3
de
5.
El
primer
término
es
5
×
,
el
segundo
5
×
2,
y
término
así
‘
-ésimo’
o
un
4
sucesivamente.
esta
progresión
Una
es
u
fórmula
=
general
para
el
enésimo
término
de
término
‘7,5-ésimo’.
5n.
n
Capítulo
6
163
emo
Escriba
una
fórmula
general
para
el
enésimo
término
de
cada
progresión
4,
8,
1
12,
16,
1
1
1
,
,
3
,
,
6
9
…
…
12
Respuestas
u
=
4n
Cada
tér mino
es
un
múltiplo
de
4.
n
1
u
=
Los
denominadores
son
múltiplos
n
3n
de
Ejercitación
1
Escriba
3,
7,
11,
3,
4,
6,
1
3
,
u
=
15,
9,
13,
…
,
…
los
y
u
=
3(u
=
n
4
2,
64,
5,
4,
–10,
8,
…
20,
–40,
…
6,0;
6,01;
6,012;
6,0123;
…
términos
u
)
en
cada
=
3
y
progresión.
u
=
u
n +1
1
+1
n
)
u
=
x
y
u
n 1
1
u
n
3
una
4,
2,
(u
n +1
Escriba
1,
progresión.
2
u
y
1
3
cuatro
n
3
=
cada
f
primeros
n +1
u
de
11
1
términos
7
8
10
tres
…
,
5
Escriba
6A
próximos
5
,
2
2
los
3.
6,
fórmula
8,
recursiva
para
…
cada
1,
progresión.
3,
9,
27,
…
Para
32,
16,
8,
…
7,
12,
17,
22,
…
hallar
primer
el
término,
reemplazamos
4
Escriba
los
cuatro
primeros
términos
de
cada
n
=
1;
progresión.
para
hallar
el
segundo,
n
u
=
3
u
n
=
−6n
+
3
n
usamos
n
u
=
1
u
=
2,
y
así
n
n
Escriba
=
n
2
n
5
n
una
fórmula
general
para
el
sucesivamente.
enésimo
término
de
cada
progresión.
2,
64,
4,
1
2
,
2
6
La
6,
32,
8,
3
,
3
…
16,
8,
…
1,
7,
3,
12,
9,
17,
27,
f
x,
2x,
3x,
…
22,
…
4x,
…
4
,
,
4
progresión
progresión
…
5
de
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
…
se
conoce
como
la
Fibonacci.
Escriba
el
15.°
Escriba
una
término
fórmula
de
la
progresión
recursiva
para
la
de
Fibonacci.
progresión
de
Fibonacci.
[
.
progrón
Fibonacci,
conocido
r mé
Leonardo
En
la
progresión
8,
,
4,
7,
…,
el
valor
de
cada
término
es
tres
(italiano,
1250).
unidades
mayor
rogrón
164
Patrones,
que
el
r mé
progresiones
anterior.
o
y
Esta
sucesión
series
progresión
aritmética.
es
un
ejemplo
de
también
como
de
c.
Pisa
1170–c.
➔
En
una
progresión
aritmética,
los
términos
crecen
o
decrecen
En
el
Papiro
Ahmes,
en
un
valor
constante.
Este
valor
se
denomina frn
o
que
de
data
d.
aproximadamente
La
diferencia
puede
ser
un
valor
positivo
o
negativo.
del
año
1650
aparecen
Por
,
4,
7,
…
En
esta
progresión, u
=
8
y
=
35
=
4
=
c
d
=
ejemplos
30,
25,
20,
…
En
esta
progresión, u
En
esta
progresión, u
progresiones
3.
35,
C.,
ejemplo:
de
8,
a.
aritméticas.
y
d
=
–5.
4;
4,;
4,2;
4,3;
…
y
d
=
0,.
c,
2c,
3c,
4c,
…
En
esta
progresión,
u
y
d
=
c
Para
cualquier
progresión
aritmética, u
=
u
n+
Podemos
hallar
diferencia,
En
una
=
u
d,
al
cualquier
término
progresión
primer
término
de
la
+
d
n
progresión
sumando
la
anterior.
aritmética:
término
u
=
u
=
u
2
u
3
u
d
+
d
=
(u
2
=
+
d
=
(u
3
=
d)
+
d
=
u
+
d
=
+
(u
4
+
2d
2d)
+
d
=
u
5
+
u
4
u
+
u
+
3d
+
4d
+
3d)
+
d
=
u
…
…
=
u
u
n
➔
+
(n
–
)d
Podemos
hallar
aritmética
el
usando
enésimo
la
término
=
fórmula: u
u
n
emo
de
una
+
(n
progresión
–
) d.
Halle
el
Halle
una
12.º
término
expresión
de
la
para
progresión
el
enésimo
aritmética
13,
19,
25,
…
término.
Respuestas
u
=
13
y
d
=
Deter minar
6
estos
valores
obser vando
la
1
u
=
13
+
(12
–
1)6
progresión
12
=
u
=
13
+
Para
66
n
79
=
el
12
12.º
en
tér mino,
la
reemplazar
f ór mula
12
u
=
u
n
u
=
13
+
(n
–
1)6
+
(n
–
1) d
1
Para
el
enésimo
tér mino,
reemplazar
n
=
13
+
6n
–
6
los
valores
de
u
y
d
en
la
f ór mula
1
u
=
n
6n
+
7
u
n
=
u
+
(n
–
1) d
1
Capítulo
6
165
emo
Si
Halle
el
número
de
términos
de
la
progresión
84,
81,
78,
…,
una
progresión
12.
continúa
indenidamente
Respuesta
u
=
84
y
d
=
–3
Deter minar
estos
valores
obser vando
hay
último
y
no
término,
1
u
=
84
+
(n
–
1)(–3)
=
12
la
es
progresión
una
progresión
n
Reemplazar
los
valores
de
u
y
d
innita.
en
Si
la
1
la
f ór mula
u
= u
n
84
–
Hay
3n
+
25
=
75
es
n
=
25
nita.
Para
cada
el
Halle
una
3,
36,
5,6;
5,
1
una
46,
enésimo
…
6,8;
…,
…
de
términos
en
255
, ..., 14
8
25,
100,
f
x,
5m,
8m,
…,
55,
87,
+
…
74,
a,
x
…
+
2a,
…
progresión:
4,8;
5,0;
250,
f
x,
5,2;
…;
38,4
221,
192,
…,
–156
80m
3x
+
3,
5x
+
6,
…,
19x
+
progresión
aritmética,
u
=
48
y
9
término
40,
x
cada
término.
4
emo
En
el
…
6,2;
15,
para
5
2m,
progresión.
expresión
9,
41,
,
2
n
término.
número
7
,
15.º
6,
10,
en
progresión:
Halle
el
Resolver
6B
Halle
2
la
12
tiene
3n
en
=
progresión
87
términos
3n
+ (n – 1)d
=
Ejercitación
1
–
y
la
u
=
75.
Halle
el
primer
12
diferencia.
Respuesta
u
+
3d
=
u
9
48
u
+
3d
=
75
habría
3d
=
27
veces.
d
=
9
u
+
(9
–
1)9
=
Para
48
+
72
=
48
u
=
–24
la
1
1
primer
término
diferencia
166
que
del
9.°
Patrones,
es
es
–24
y
la
9.
progresiones
y
series
sumar
hallar
1
u
El
llegar
tér mino
al
12.°,
12
=
9
Para
f ór mula
el
termina
o
1
3
la
dif erencia
primer
tér mino,
tres
usar
27
último
una
término,
progresión
Ejercitación
Una
1
progresión
término
31,6.
PREGUNTA
En
2
6C
una
aritmética
Halle
TIPO
la
tiene
primer
término
aritmética,
la
diferencia
3
Halle
el
valor
de
x
4
Halle
el
valor
de
m
el
la
progresión
Esta
gomér ,
➔
En
una
o
en
primer
la
en
2,
razón,
6,
u
=
37
y
u
r,
x,
8,
…
al
rzón
puede
4.
término.
aritmética
progresión
3,
aritmética
m,
13,
3m
–
6,
…
gomér
54,
...,
es
cada
un
término
ejemplo
se
obtiene
triplicando
de rogrón
geométrica.
gomér ,
rogrón
=
21
progresión
la
8,
sucesión
denomina
Por
el
progresión
multiplicando
La
y
progron
anterior.
15.°
EXAMEN
progresión
Halle
En
y
diferencia.
10
.
19
anterior
por
un
cada
término
valor
se
constante.
obtiene
Este
valor
se
o r
ser
positiva
o
negativa.
ejemplo:
,
5,
25,
25,
…
u
=
y
r
=
5
=
3
y
r
=
–2
=
8
=
k
3,
–6,
2,
–24,
…
u
1
8,
27,
9,
3,
…
u
y
r
=
3
2
k,
k
3
,
k
4
,
k
,
…
u
y
r
=
k
Para
cualquier
progresión
geométrica, u
=
(u
n+
cualquier
razón,
Para
término
la
progresión
Podemos
calcular
multiplicando
al
anterior
por
la
r.
cualquier
u
de
)r.
n
=
primer
=
u
=
u
progresión
geométrica:
término
u
2
×
r
×
r
2
u
3
=
(u
2
×
r)
×
r
=
u
×
r
2
u
=
u
4
×
r
=
(u
3
×
r
3
)
×
r
=
u
×
r
×
r
3
u
=
u
5
×
r
=
(u
4
×
r
4
)
×
r
=
u
…
…
n
=
u
n
➔
u
×
–
r
Podemos
hallar
el
enésimo
término
de
una
n
geométrica
usando
la
fórmula u
n
=
u
(r
–
progresión
).
Capítulo
6
167
emo
Halle
el
9.°
término
de
la
progresión
1,
4,
16,
64,
…
Respuesta
u
=
1
y
r
=
4
Deter minar
estos
valores
obser vando
1
la
9
u
–
1
progresión
8
=
1(4
)
=
1(4
=
1(65 536)
)
Para
el
9.°
tér mino,
reemplazar
9
n
n
=
9
en
la
f ór mula
u
=
u
n
u
=
–
(r
1
)
1
65 536
9
emo
Halle
el
12.°
término
de
la
progresión
7,
–14,
28,
–56,
…
Respuesta
u
=
7
y
r
=
–2
Deter minar
estos
valores
obser vando
1
la
12
u
–
1
=
7((–2)
=
7(–2048)
progresión
11
)
=
7((–2)
Para
)
el
12.°
tér mino,
reemplazar
12
n
n
=
12
en
la
f ór mula
u
=
n
u
=
u
(r
1
–14 336
12
Ejercitación
1
Para
cada
16,
1,
8,
progresión,
4,
10,
6D
…
100,
…
halle
la
– 4,
25,
2
2,
6x,
emo
En
una
18x
razón
12,
10,
7
,
…
a
f
y
a
4,
b
…
5
,
a
3
b
,
…
progresión
la
término.
…
2
geométrica,
u
=
864
y
u
1
Halle
7.°
–36,
6
b,
el
=
256.
4
razón.
Respuesta
4
u
=
u
4
–
1
(r
)
3
=
1
u
(r
)
Reemplazar
=
864(r
y
u
)
=
256
n
256
en
4
u
n
8
=
u
–
(r
1
)
1
3
r
=
=
864
27
8
r
=
3
Resolver
27
2
r
=
3
168
=
Patrones,
progresiones
4,
u
=
864,
1
3
256
n
1
y
series
en
r
la
f ór mula
–
1
)
emo
Para
que
la
el
progresión
enésimo
geométrica
término
5,
resulte
15,
45,
mayor
…
que
halle
el
menor
valor
de
n
tal
50 000.
Respuesta
u
=
5
y
r
=
3
n
1
1
Deter minar
u
=
5
×
–
u
y
r
obser vando
la
1
3
n
progresión
Reemplazar
u
=
5
y
r
=
3
en
la
1
n
f ór mula
u
=
u
n
Se
puede
pantalla
para
(r
la
gráca
la
1
)
1
usar
hallar
ingresar
–
el
calculadora
(en
valor
f ór mula
de
adelante,
de
n.
CPG)
Primero
para
u
en
n
una
función.
representa
Obser var
de
los
El
9.°
=
10,
dado
que
u
>
50 000
la
tal
tér mino
es
x
98
la
variable
como
tabla
primeros
tér mino
n
n,
Sea
n
es
se
para
que
muestra.
ver
los
valores
tér minos
32
805,
y
el
10.°
415.
y
10
u
<
50 000
9
Ejercitación
1
Una
6E
progresión
Halle
el
primer
geométrica
término
y
tiene
la
2.°
término
50
y
5.°
término
3,2.
razón.
er
2
Una
progresión
Halle
3
Para
el
cada
enésimo
4
16,
112,
Una
144.
los
primer
término
progresión
término
24,
36,
–168,
sea
y
mayor
valores
...
hay
3.
dos
posibles
que
–18
y
6.°
término
144.
halle
el
menor
valor
de n
tal
que
el
1000.
1;
50;
tiene
valores
del
término
razón.
geométrica,
geométrica
que
tiene
la
…
252,
progresión
Muestre
dos
geométrica
2,4;
5,76;
55;
primer
...
término
posibles
segundo
...
60,5;
para
la
9
y
tercer
razón,
y
término
halle
término.
Capítulo
6
169
Halle
5
el
valor
PREGUNTA
Halle
6
7x
.
En
–
el
2,
l
esta
de
TIPO
valor
4x
+
p
en
progresión
geométrica
18;
p;
40,5.
EXAMEN
positivo
4,
3x,
de
x
en
la
progresión
geométrica
…
noón
sección
la
vamos
a
mor
ver
las
formas
de
(Σ)
y
sumar
los
r
términos
de
una
progresión.
La
suma
,
u
u
u
de
,
+
u
u
términos
,
…,
+
u
+
una
una
u
+
…
+
progresión
origina
una r
progresión
u
4
griega
de
es
de
n
3
suma
u
4
2
letra
una
,
3
La
u
2
los
Σ,
es
una
serie.
n
llamada
sigma,
se
emplea
usualmente
para
indicar
valores.
n
➔
Cuando
∑
i
signica
u
la
suma
de
los
primeros
n
términos
de
se
representa
una
una
i
suma
de
valores
= 1
de
esta
forma,
progresión.
estamos
Se
lee
“la
suma
de
todos
los
desde
términos u
i
=
hasta
i
=
usando
n”
i
la
La
progresión
diferencia
6.
progresión
aritmética
Una
es
regla
=
u
6n
8,
4,
general
+
20,
…
para
tiene
el
primer
enésimo
término
término
de
8
y
notación
esta
2.
n
5
La
suma
de
los
cinco
primeros
términos
de
esta
progresión
es
∑
n
Esto
n
=
signica
“la
suma
de
todos
los
términos
6n
+
2
desde
( 6n
+ 2
=
hasta
5”.
Para
calcular
enteros
esta
desde
n
posteriormente
suma,
=
tenemos
hasta
n
=
5
que
en
la
reemplazar
expresión
6n
todos
+
2,
los
valores
y
sumarlos:
5
∑
n
( 6n
+ 2
=
)
[6()
+
2]
+
[6(2)
+
2]
+
+
32
+
[6(3)
+
2]
+
[6(4)
+
2]
= 1
+
=
emo
8
[6(5)
+
4
+
+
2]
20
26
=
00
4
2
Escriba
la
expresión
∑ (
x
Calcule
la
suma
de
x
3
)
como
una
suma
de
términos.
= 1
estos
términos.
Respuestas
4
2
∑ (
x
x
3
)
= 1
2
=
2
(1
–
3)
+
(3
+
(2
–
+
(4
3)
Reemplazar
2
3)
–
–2
+
1
+
6
+
13
con
170
–2
+
1
+
Patrones,
enteros
positivos
3)
comenzando
=
los
2
–
6
+
13
=
18
progresiones
y
series
x
=
4
con
x
=
1
y
)
= 1
n
noón
mor
ter minando
o
sigma.
emo
8
a
Evalúe
la
2
∑ (
expresión
a
=
)
3
“Evaluar”
signica
Respuesta
hallar
8
Reemplazar
a
∑
(2
3
)
=
4
2
+
2
5
+
6
2
+
los
=
3
valor
,
por
consecutivos
7
2
+
2
lo
comenzando
a
enteros
un
con
a
=
3
y
tanto
la
respuesta
ter minando
8
+
2
nal
con
=
8
+
=
504
+
emo
Escriba
16
128
+
+
32
+
a
=
será
un
número.
8
64
256
la
serie
3
+
15
+
75
+
375
+
1875
+
9375
usando
notación
de
sumatoria.
Respuesta
n
u
=
–
1
3(5
)
Los
tér minos
son
los
de
una
n
progresión
tér mino
3
geométrica
y
razón
con
primer
5.
6
Esta
n
∑ (
3
es
la
suma
de
los
primeros
1
(5
))
seis
n
serie
tér minos
de
la
progresión
= 1
geométrica.
Ejercitación
1
Escriba
una
6F
expresión
para
+
6
cada
serie
usando
notación
de
sumatoria.
1
9
27
240
5x
f
4
g
+
1
2
+
+
16
+
+
+
+
25
+
+
120
+
9
2
a
+
2a
Escriba
5
36
+
+
+
21
+
30
8x
+
13
+
+
…
…
3
+
3a
cada
+
+
27
+
7
19
+
+
15
9x
+
+
55
+
serie
4a
8
17
+
7,5
10x
59 049
4
+
+
49
60
+
+
2
h
23
7x
10
+
+
+
+
+
4
25
+
6x
7
3
3
5
+
5a
como
una
suma
de
términos.
Recordemos
8
7
5
∑
n
(3n
+
1)
= 1
∑
a
(4
)
= 1
∑
r
=
(5(2
n
))
∑
n
3
=
(x
término
el
“evaluar”
nos
)
pide
5
un
3
que
11
r
a
que
valor
,
hallemos
por
lo
Evalúe:
tanto,
5
9
∑
n
= 1
(8n
5)
∑
r
= 1
(3
debemos
10
7
r
2
)
∑
m
= 1
(m
)
∑
x
=
(7 x
4)
dar
respuestas
4
numéricas.
Capítulo
6
171
.
sr
rmé
Se
dice
que
La
suma
de
los
términos
de
una
progresión
se
denomina
Carl
suma
de
los
términos
de
una
progresión
aritmética
se
aritmética.
Por
ejemplo,
5,
2,
9,
26,
33,
40
es
(1777–1885)
denomina
fue
serie
Friedrich
serie.
Gauss
La
comúnmente
una
el
más
grande
progresión
matemático
aritmética,
por
lo
tanto
aritmética.
Cuando
5
+
2
+
9
+
26
+
33
+
40
es
una
XIX.
una
serie
tiene
unos
pocos
del
términos,
Averigüemos
resulta
complicado.
Sin
embargo,
si
la
serie
tiene
50
o
llevaría
mucho
tiempo
sumarlos.
Será
útil
regla,
o
fórmula,
para
evaluar
una
serie
para
aritmética.
suma
denota
la
suma
de
los
primeros
n
términos
de
una
de
primeros
enteros
S
calcular
encontrar
la
una
empleó
00
Gauss
términos
qué
sumarlos
procedimiento
no
siglo
serie
serie.
los
100
números
positivos.
Para
n
una
serie
S
=
con
u
n
+
n
u
términos
+
u
2
+
u
3
+
u
4
…
+
+
u
5
Recordemos
n
debe
Para
una
serie
aritmética
esta
fórmula
ser
=
u
n
Si
+
(u
+
d )
+
(u
inver timos
+
2d )
+
(u
el
orden
de
+
3d )
+
(u
los
+
4d )
+
…
+
(u
términos
de
la
+
(n
–
positivo.
)d)
progresión,
el
valor
de
la
Comenzar
suma
sería
el
mismo
y
n
número
sería:
entero
S
que
un
con
el
tendríamos:
último
término
u
,
n
S
=
u
n
+
(u
n
–
d )
+
(u
n
–
2d )
+
(u
n
–
3d )
+
(u
n
–
4d )
+
…
+
n
u
luego
el
anteúltimo
término
es
u
–
n
Sumando
miembro
a
miembro
ver ticalmente
estas
dos
expresiones
sucesivamente
para
S
,
n
2S
=
(u
n
Esto
+
es
(u
=
)
+
(u
n
+
u
2S
u
)
+
u
)
+
(u
n
sumado
n
+
u
veces,
)
+
(u
n
por
+
lo
u
n
)
+
(u
+
u
)
+
n
tanto:
n
n(u
n
+
u
Dividiendo
)
n
ambos
miembros
por
2
nos
da:
n
S
=
(u
n
+
u
1
)
n
2
Reemplazando
u
por
u
n
+
(n
–
n
S
=
n
(u
n
+
u
1
+
1
( n − 1) d )
1
hallar
aritmética
la
suma
usando
de
la
los
=
1
+
u
n
o
)
S
progresiones
=
( 2u
n
2
Patrones,
primeros n
términos
n
(u
n
172
( n − 1) d )
fórmula:
n
S
+
2
Podemos
serie
( 2u
=
2
➔
)d,
1
2
y
series
+
( n − 1) d )
de
una
…
+
(u
+
u
n
)
d
y
así
emo
Calcule
29
+
la
21
+
suma
13
+
de
los
15
primeros
términos
de
la
serie
…
Respuesta
u
=
29
y
d
=
–8
1
15
Para
S
=
( 2 ( 29 )
15
+
(15
− 1)
8)
(
la
suma
de
los
15
tér minos
)
2
reemplazar
n
=
15
en
la
f ór mula
n
=
7,5(58
=
–405
–
112)
S
=
(
n
emo
Halle
14
+
+
(n
1
− 1
d
)
)
el
número
15,5
Halle
2u
2
la
+
17
+
suma
de
términos
18,5
de
los
…
+
+
de
la
serie
50.
términos.
Respuestas
u
=
14
y
d
=
1,5
Hallar
estos
valores
1
obser vando
u
= 50
Para
la
hallar
progresión
n,
reemplazar
n
u
=
14
+
(n
–
1)(1,5)
=
12,5 + 1,5n
los
valores
conocidos
en
la
n
12,5 + 1,5n = 50
1,5n
=
f ór mula
37,5
u
=
n
n
=
25
u
+
(n
–
1)d
1
Resolver
en
n
25
S
=
(14
25
+ 50
)
Reemplazar
2
tér mino,
=
12,5(64)
=
800
y
el
valor
el
el
primer
último
de
n
en
tér mino
la
f ór mula
n
S
=
(u
n
1
+
u
n
)
2
Ejercitación
1
Halle
3
2
+
Halle
2,6
3
4
6
+
la
+
suma
9
la
3
la
100
94
Halle
(2
–
la
5x)
+
3,4
88
suma
+
los
12
primeros
términos
de
la
serie
aritmética
de
los
18
primeros
términos
de
la
serie
aritmética
+
suma
+
de
...
suma
+
Halle
+
6G
(3
–
...
de
+
los
27
primeros
términos
de
la
serie
aritmética
...
de
los
4x)
+
16
(4
primeros
–
3x)
+
términos
de
la
serie
...
Capítulo
6
173
PREGUNTA
5
6
TIPO
Considere
la
Halle
el
Halle
la
Halle
la
emo
EXAMEN
serie
120
número
suma
suma
de
+
de
de
la
116
+
112
términos
los
+
de
...
+
la
28.
serie.
términos.
serie
15
+
22
+
29
…
+
+
176.
Escriba
una
expresión
para
S
,
la
suma
de
los
primeros
n
términos
n
de
A
la
serie
par tir
64
de
+
lo
60
+
56
anterior,
+
…
halle
el
valor
de
n
para
el
cual
S
=
0.
n
Respuestas
u
=
64
y
d
=
–4
Reemplazar
los
valores
de
u
1
y
d
en
1
la
f ór mula
n
S
=
( 2 ( 64 )
n
+
n
( n − 1) ( −4 ) )
S
2
=
(
n
2u
1
+ (n − 1)d
)
2
n
=
(128
4n + 4
(132
4n
)
2
n
=
)
2
2
S
=
66n − 2n
n
La
Igualar
2
66n
−
2n
=
0
–
n)
=
=
0
o
n
=
0
y
ecuación
resolver
en
n
también
se
con
en
la
CPG.)
Cuando
la
ecuación
por
factorización,
usualmente
tiene
la
dos
soluciones.
=
Dado
33
debe
que
ser
1
Una
serie
el
aritmética
valor
PREGUNTA
2
de
TIPO
Escriba
lo
n
=
de
debemos
tiene
u
=
4
y
S
la
=
para
tér minos
positivo,
0.
1425.
30
para
S
,
para
la
serie
1
+
7
+
13
+
A
par tir
de
lo
anterior,
determine
el
valor
de n
para
el
…
cual
S
=
833.
n
3
Escriba
una
expresión
para
S
,
para
una
serie
aritmética
con
n
u
=
–30
y
d
=
3,5.
1
A
par tir
de
lo
anterior,
halle
el
valor
de n
para
el
cual
S
=
105.
n
4
En
enero
venden
174
de
600,
¿Cuántas
Calcule
Patrones,
2012,
luego
una
700
bebidas
el
total
en
y
cafetería
marzo,
esperan
de
progresiones
nueva
bebidas
series
y
así
vender
que
vende
500
bebidas.
sucesivamente
en
diciembre
esperan
vender
de
en
en
En
febrero,
progresión
2012?
el
año
2012.
resolver
apar tado.
diferencia.
expresión
usar
anterior
EXAMEN
una
indica
respuesta
n
anterior”
pregunta
6H
1
Halle
número
entero
descar tamos
Ejercitación
de
“a
nuestra
este
el
un
la
que
33
resolvemos
n
instrucción
par tir
puede
0
resolver
n
a
n
(Esta
2n(33
S
aritmética.
En
5
una
progresión
término,
primer
En
6
la
serie
a
10
término
y
de
la
los
5,
la
suma
halle
10
el
2.º
término
primeros
es
cuatro
términos
es
veces
–20.
el
Halle
5.º
el
diferencia.
aritmética,
veces
es
aritmética,
suma
término
una
igual
y
la
la
suma
de
los
3
diferencia
de
los
12
primeros
primeros
y
el
términos
términos.
valor
Si
el
es
primer
de S
20
.
Así
sr
como
una
progresión
de
una
gomér
serie
aritmética
aritmética,
progresión
una
es
r
la
suma
de
los
es
gomér
términos
la
suma
de
de
una
los
términos
geométrica.
Multiplicamos
Sumando
los
términos
de
una
progresión
geométrica
miembros
la
siguiente
igualdad
=
u
n
+
u
r
+
u
3
r
+
u
r
+
…
n
+
u
–
2
r
n
+
u
=
u
n
r
+
u
3
r
+
u
4
r
+
–
S
n
=
–
u
n
+
u
u
r
r
…
+
–
por
u
–
r
u
r
la
primera
n
+
u
r
igualdad
n
=
r.
n
+
n
rS
la
r
Restamos
2
rS
de
igualdad:
2
S
ambos
obtenemos
de
la
segunda.
–
u
n
S
(r
–
)
=
u
n
(r
–
)
Factorizamos
ambos
miembros
la
de
n
u
1
S
(r
1
)
igualdad.
=
n
r
➔
Podemos
serie
1
hallar
la
geométrica
suma
usando
de
la
los
primeros n
términos
de
Cuando
una
puede
fórmula:
r
>
1,
resultar
conveniente
n
más
usar
n
u
(r
1
S
u
1
)
1
o
=
S
(1
r
)
,
=
donde
r
≠
la
primera
fórmula,
n
n
r
1
1
r
evitando
con
un
así
trabajar
denominador
negativo.
emo
Calcule
la
suma
de
los
12
primeros
términos
de
la
serie
1
+
3
+
9
+
...
Respuesta
u
=
1
y
r
=
3
Reemplazar
los
1
1
(3
S
valores
de
u
,
r
y
n
en
1
12
1
la
f ór mula
)
=
12
3
n
1
u
1
S
531 440
(r
)
n
r
=
1
=
1
2
=
265 720
Capítulo
6
175
emo
Halle
8192
el
+
número
6144
Calcule
la
+
de
términos
4608
suma
…
+
de
los
+
de
la
Las
serie
geométricas
1458.
menudo
términos.
de
Respuestas
u
=
8192
y
r
=
Hallar
r
dividiendo
u
por
u
2
8192
n
3
⎛
Reemplazar
los
n
f ór mula
u
=
u
n
729
3
⎛
=
tal
nieve
de
Koch.
–
conocidos
en
1
(r
)
1
1
⎞
=
⎜
4096
⎟
4
⎝
⎠
6
6
3
3
⎛
=
6
3
6
=
729
y
4
=
4096
⎞
=
⎜
6
4096
4
=
n
de
1
valores
⎠
n
1
copo
1
la
–
fractales,
el
a
⎟
4
⎝
n
ven
estudio
⎞
⎜
729
se
el
4
1458 = 8192
8192
en
3
=
1
1458
los
como
6144
series
También
⎟
4
⎝
podemos
resolver
esta
⎠
ecuación
usando
(Véase
ejemplo
logaritmos.
6
=
el
19.)
7
7
⎛
3
⎛
8192 ⎜ 1
⎜
⎝
S
4
⎝
⎞
⎞
⎟
⎟
⎠
⎠
Reemplazar
=
los
valores
de
u
7
,
r
y
n
en
1
3
1
la
f ór mula
4
[
n
u
⎛ 14 197
⎞
⎜
1
Copo
de
nieve
de
)
Koch
=
n
⎟
16 384
⎝
(r
1
S
8192
r
1
⎠
=
1
También
4
=
28 394
y
Ejercitación
1
usando
Calcule
el
sum
podemos
las
calcular
funciones
(suma)
de
la
seq
sumas
(secuencia)
CPG.
6I
valor
de
S
para
cada
serie
geométrica.
12
2
0,5
64
+
–
1,5
32
Calcule
el
+
+
4,5
16
–
valor
+
8
…
+
de
0,3
(
…
S
para
cada
x
+
0,6
+ 1) +
+
1,2
(2x
+
+ 2
)
…
+
(
4 x
+
4
)
+
...
serie.
20
16
0,25
+
0,75
+
2,25
+
…
8
9
3
–
6
+
PREGUNTA
12
–
TIPO
24
+
+
+
4
+
…
3
2
…
log
a
+
log
(
a
4
)
+
log
(
a
8
)
+
log
(
a
)
+
...
EXAMEN
Hasta
3
Para
cada
serie
el
hemos
Halle
el
Calcule
momento
geométrica:
número
de
visto
términos.
progresiones
la
series
1024
2,7
+
1536
+
2304
+
…
+
aritméticas
10,8
+
43,2
+
…
+
125
25
5
tipos
de
1
progresiones
+
128
176
590,49
Patrones,
+
y
series
+ ... +
+
64
¿Existen
2764,8
otros
y
26 244
geométricas.
+
y
suma.
32
625
196,83
progresiones
y
+
65,61
series
matemáticas?
+
…
+
0,01
se
usan?
¿Cómo
emo
Una
Para
la
serie
geométrica
3 + 3
2
+ 6 + 6
2
determine
+ …,
el
vieja
hindú
valor
de
n
para
el
cual
S
>
fábula
menor
cuenta
que
500.
n
un
príncipe
tan
quedó
fascinado
con
Respuesta
un
u
=
3
y
r
=
Reemplazar
2
los
nuevo
juego
de
valores
1
ajedrez
n
3
S
conocidos
2
(
en
la
f ór mula
de
pidió
a
su
n
)
inventor
=
>
Ingresar
500
la
ecuación
de
S
que
eligiera
en
n
n
2
que
S
1
1
su
la
recompensa.
El
CPG
hombre
dijo
que
Recordemos:
quería
En
la
CPG,
la
X
arroz
“n”,
el
número
f1(x)
representa
un
grano
de
representa
de
tér minos,
en
el
primer
y
cuadrado
del
tablero
S
n
de
ajedrez,
granos
Obser var
las
la
sumas
tabla
de
los
para
ver
primeros
n
cuatro
y
así,
en
en
cada
suma
de
los
12
Esto
es
y
que
la
suma
de
primeros
tér minos
traer
aproximadamente
13,
dado
que
S
>
500
y
13
S
<
Los
el
comenzaron
arroz
y,
para
enorme
sorpresa
es
príncipe,
los
648,29.
granos
=
accedió
los
del
n
al
aproximadamente
la
13
le
primeros
a
456,29;
el
sencillo
meditarlo.
sir vientes
tér minos
segundo,
tercero,
granos
tan
príncipe
La
de
vez.
pareció
sin
el
el
duplicando
número
tér minos
dos
rápidamente
rebalsaron
el
tablero
para
todo
500
12
llenar
el
palacio.
Cuando
la
suma
de
una
serie
geométrica
incluye
un
exponente n
¿Cuántos
podemos
usar
arroz
debió
príncipe
emo
Una
el
al
darle
de
el
hombre?
progresión
Halle
granos
logaritmos.
valor
geométrica
de
n
para
el
tiene
cual
S
primer
=
término
0,4
y
razón
2.
26 214.
n
Respuesta
n
0, 4
S
(2
1
)
=
= 26 214
n
2
1
n
0, 4
(2
1
)
=
26 214
=
65 535
n
2
–
1
n
2
n
=
=
65 536
log
(65 536)
Expresar
esto
en
f or ma
logarítmica
2
log
n
65 536
la
f ór mula
del
cambio
de
=
log
n
Utilizar
=
2
base
y
la
CPG
para
hallar
este
valor
16
Capítulo
6
177
erón
Para
1
cada
6J
serie,
determinar
el
menor
valor
de n
tal
que
S
>
400.
n
25,6
2
38,4
+
+
9
Una
57,6
+
14
–
42
0,02
+
126
–
378
+
...
+
0,2
+
2
…
+
27
serie
Halle
+
…
32
+
3
2
+
8
…
la
geométrica
razón
y
el
tiene
valor
tercer
de
término
1,2
y
octavo
término
291,6.
S
0
En
3
una
serie
geométrica,
S
=
20
y
S
4
Halle
la
razón
si
r
>
=
546,5.
7
1.
“A
PREGUNTA
TIPO
1
4
Halle
la
razón
para
la
serie
1
+
geométrica
A
partir
de
lo
anterior,
halle
el
mínimo
8
valor
+
anterior”
...
16
de n
que
para
el
cual S
>
800.
es
una
304,
la
y
suma
En
6
serie
una
la
geométrica,
suma
de
los
serie
11
de
los
la
6
de
primeros
primeros
geométrica,
suma
los
3
primeros
términos
es
previa
términos
1330.
este
Halle
es
10
veces
la
la
suma
suma
de
de
los
los
2
4
r
.
>
1,
halle
sr
la
aquí
2
+
tres
1
240
1
Para
+
onrgn
–
series
0,5
60
+
cada
Halle
Use
15
una
la
su
series
75
–
3,75
de
términos.
y
m
2
¿Obser va
3
Ahora
la
ejercicios
línea:
6:
Hoja
Finanzas
nno
érmno
+
30
+
12
+
...
series:
r
para
calcular
valores
algún
use
ampliación
en
convergentes
los
valores
de
S
,
S
10
los
de
disponible
...
+
estas
razón,
CPG
Escriba
resolver
geométricas:
…
+
para
apar tado.
razón.
ingón:
He
usar
respuesta
primeros
primeros
de
Si
advier te
términos.
Material
términos
lo
nos
debemos
nuestra
n
En
5
de
3
+
12
par tir
EXAMEN
completos
patrón?
CPG
para
¿Por
que
qué
calcular
obser va
cree
el
que
valor
de
,
20
la
sucede
S
S
15
en
para
pantalla
de
su
calculadora.
esto?
cada
serie.
50
¿Cree
Para
cada
usted
una
que
de
el
las
resultado
series
de
la
de
su
calculadora
investigación
es
correcto?
deberíamos
Explique
por
qué
o
por
qué
no.
haber
pro
notado
que
los
valores
de
,
S
S
0
debe
a
que
cuando
una
serie
y
S
5
están
muy
próximos.
Esto
se
20
Supongamos
geométrica
tiene
una
razón r
tal
caminamos
|r|
<
,
la
diferencia
entre
cada
término
decrece
(se
hace
cercana
a
medida
sumamos
La
suma
valores
de
la
se
n
aumenta.
términos,
acerca
mayores.
r
En
más
que
a
un
Estas
el
Esto
valor
valor
series
signica
nal
de
constante
la
a
geométricas
que,
suma
medida
reciben
a
medida
cambia
que n
el
que
muy
poco.
toma
nombre
serie
2
+
+
0,5
+
30 m.
0,25
+
la
mitad
que
del
al
…
Cada
segundos,
de
178
acerca
a
Patrones,
4
a
medida
que
progresiones
y
n
toma
series
valores
cada
vez
más
grandes.
pasillo
pasillo.
nal
la
distancia
el
nal
¿Cuánto
nos
del
diez
hasta
llevará
pasillo?
alcanzaremos
se
un
recorremos
queda
tiempo
onrgn
por
a
de
cero)
que
que
llegar
¿Lo
alguna
vez?
Si
intentemos
hallar
S
en
la
CPG,
obtendremos
50
50
2
(1
0, 5
)
50
S
=
=
4(
–
0,5
)
=
4
50
0, 5
¿Es
la
dígito
suma
de
quepan
exactamente
expresiones
en
la
redondeado
Series
¡No!
decimales
pantalla;
a
4?
por
La
calculadora
largas
ende,
lo
como
único
redondea
el
3,99999999999
que
vemos
es
el
último
para
que
valor
4.
convergentes
Esto
n
u
1
1
La
suma
de
los
términos
de
una
serie
geométrica
es
S
r
es
únicamente
válido
para
series
n
1
r
geométricas
solo
Cuando
n
toma
valores
cada
vez
más
grandes,
podemos
decir
cuando
| r |
a
innito”
o
n
→
,
a
medida
que
n
→
∞,
r
1
1
n
<
1.
si
∞
u
Si|r|
<
que n
(Recordemos:
“tiende
y
→
0,
por
lo
tanto
S
0
u
| r |
<
1,
–1
<
r
entonces
<
1.)
1
n
1 r
Podemos
escribir
esto
1 r
así:
n
⎛
u
1
(1
r
)
⎞
u
u
1
⎜
⎟
⎜
⎟
1
,
=
o
S
1
n →∞
r
⎝
Esto
=
∞
lim
1
r
1
r
⎠
signica
que
a
medida
que
n
toma
valores
cada
vez
más
grandes
Decimos
u
1
1
(se
acerca
a
innito),
el
valor
de
la
serie
se
aproxima
a
.
1
“el
límite
de
n
u
La
(
1
r
)
serie
a
r
1
medida
r
u
1
al
onrg
valor
.
Escribimos
esto
como
S
,
y
la
llamamos
suma
que
n
tiende
∞
1
de
innitos
a
innito
u
1
r
es
igual
a
”.
1
términos.
r
u
1
➔
Para
una
serie
geométrica
con
|r|
<
S
,
=
∞
1
emo
Para
la
r
serie
18
+
6
+
2
+
…,
halle
S
,
S
10
y
S
15
∞
Respuesta
1
u
=
18
y
r
=
1
3
10
⎛
⎛ 1 ⎞
18 ⎜ 1
⎜
⎜
⎝
⎟
3
⎟
⎟
⎠
⎝
S
⎞
1
⎠
Reemplazar
=
u
=
18
y
r
=
1
10
1
3
1
n
3
u
(1
r
)
1
en
las
f ór mulas
S
=
y
n
≈
26,999 542 75
1
15
⎛
⎛ 1 ⎞
18 ⎜ 1
⎜
⎜
⎝
⎟
3
⎝
S
u
⎞
1
S
⎟
⎟
r
=
∞
1
r
⎠
⎠
=
15
1
1
3
≈
26,999 998 12
todos
obser van
18
=
S
Escribir
=
en
los
la
dígitos
pantalla
que
de
la
se
CPG
27
∞
1 ⎞
⎛
⎜
⎝
1
⎟
3
⎠
Capítulo
6
179
emo
La
y
suma
la
de
suma
Halle
el
los
de
3
los
primer
primeros
innitos
término
términos
términos
y
la
razón
de
es
una
serie
geométrica
es
148,
256.
de
la
serie.
Respuesta
3
u
1
S
(1
r
)
=
Esta
= 148
es
la
expresión
para
S
3
3
1
r
u
Multiplicar
1
S
=
ambos
miembros
de
la
= 256
∞
1
3
r
igualdad
por
(1
–
r
)
3
u
1
(1
r
)
3
= 256
1
(1
− r
El
miembro
izquierdo
de
esta
)
r
igualdad
es
miembro
izquierdo
para
ahora
idéntico
de
la
al
expresión
S
3
Igualar
3
256
(1
r
)
los
miembros
derechos
de
= 148
estas
expresiones
Resolver
148
en
r
37
3
1 − r
=
=
256
64
37
27
3
r
= 1 −
=
64
64
3
r
=
4
u
3
1
Reemplazar
= 256
3
⎛
⎜
en
=
f ór mula
u
⎟
4
la
4
⎞
1
⎝
r
1
S
⎠
=
=
256
∞
1
r
u
1
= 256
⎛
1 ⎞
⎜
⎝
⎟
4
⎠
4u
=
256
1
u
=
64
1
Ejercitación
1
Explique
6K
cómo
sabe
si
una
serie
geométrica
será
una
serie
convergente.
2
Halle
S
,
S
4
144
80
y
S
7
+
48
para
cada
una
de
estas
500
series.
∞
+
16
+
...
+
400
+
320
+
...
9
+
8
+
0,8
+
...
3 2
¿Qué
situaciones
de
2
la
27
3
Una
serie
geométrica
tiene
S
y
=
S
∞
=
13.
Halle
3
4
Para
una
TIPO
geométrica
series
con u
3
180
Patrones,
progresiones
y
series
podrían
mediante
5
EXAMEN
progresión
real
S
2
PREGUNTA
vida
modelizarse
=
24
y
u
6
=
3,
halle
S
∞
convergentes?
Para
5
una
progresión
geométrica,
u
=
12
y
S
2
PREGUNTA
Una
6
serie
innitos
La
7
.
y
los
geométrica
de
la
7
64.
Halle
u
1
EXAMEN
términos
suma
3798,
de
TIPO
=
∞
los
5
suma
es
tiene
250.
una
Halle
primeros
de
primeros
los
razón
el
0,4
primer
términos
innitos
de
de
la
suma
de
los
término.
una
términos
y
es
serie
geométrica
4374.
Halle
la
es
suma
términos.
aon
ron
rméo
y
goméro
En
muchas
patrones
situaciones
geométricos,
crecimiento
Si
una
a
depósitos,
Cuando
monto
inicio
en
del
monto
tales
deposita
una
razón
¿cuánto
el
la
vida
como
cotidiana
el
vemos
interés
ejemplos
compuesto
y
de
el
demográco.
persona
intereses
de
interés
la
se
(Se
en
la
del
4%
tendrá
cuenta
año.
total
$000
la
en
anual
cuenta
capitaliza
al
nal
de
multiplica
cuenta
una
y
caja
no
de
hace
después
anualmente
cada
la
año
suma
después
de
ahorros
extracciones
de
diez
(una
será
el
años
al
04%
ni
año),
del
por
sería
paga
años?
vez
depositada
0
que
el
monto
,04.)
al
El
de
0
≈
000(,04)
Podemos
año
$480,24.
pensar
como
una
en
el
monto
progresión
que
habrá
geométrica
en
la
con u
cuenta
=
000
al
y
r
nal
=
de
cada
,04:
u
=
$000
=
$000(,04)
=
$040
=
$040(,04)
=
$08,60
=
$08,60(,04)
u
2
u
3
u
≈
$24,86
4
y
Ahora
de
así
sucesivamente.
consideremos
una
vez
en
el
qué
sucede
cuando
el
interés
se
capitaliza
más
año.
Sea:
M
i
=
=
n
t
c
el
la
=
=
=
el
el
el
Podemos
monto
tasa
de
de
número
número
capital
hallar
dinero
interés
de
de
veces
la
cuenta
porcentaje,
al
año
que
escrito
se
como
capitaliza
la
decimal)
inversión
años
inicial
el
en
(un
(monto
monto
de
inicial
dinero
en
de
la
dinero)
cuenta
usando
la
fórmula:
nt
i
⎛
M
=
c
⎜
⎝
1
+
⎞
⎟
n
⎠
Capítulo
6
181
emo
Una
4%
persona
TNA
realiza
la
deposita
con
capitalización
extracciones
cuenta
$1000
después
ni
de
en
una
trimestral.
depósitos
diez
cuenta
que
paga
Suponiendo
adicionales,
un
que
¿cuánto
interés
la
TNA
del
persona
dinero
nominal
no
habrá
signica
4%
en
TNA
que
años?
el
“tasa
anual”.
es
4%
lo
mismo
por
año.
Respuesta
4(10)
0,04
⎛
M
= 1000
Reemplazar
⎞
los
valores
conocidos
en
1 +
¿Qué
⎜
⎟
4
⎝
otros
tipos
i
⎛
la
f ór mula
M
= c
1
⎞
matemáticas
+
⎜
se
⎟
40
=
1000(1,01)
≈
$1488,86
n
⎝
⎠
en
Esta
tasa
f ór mula
de
se
por
cada
divide
año
de
La
cuatro
capitaliza
y
años,
40
la
anual
del
esta
par tes,
por
es
lo
del
tasa
por
una
tanto,
1%.
cuatro
(trimestralmente)
10
aplicará
emo
en
trimestral
se
porque
nominal
trimestre,
interés
interés
funciona
interés
4%
el
Crecimiento
Si
veces
un
el
al
período
trimestral
se
veces.
demográco
población
de
un
inicio
población
al
población
esperada
pueblo
de
1980
para
el
pequeño
era
de
inicio
crece
12
500
del
un
2%
por
habitantes,
año
año.
¿cuál
Si
es
la
la
2020?
Respuesta
40
12 500(1,02)
La
≈
población
27 600,496
del
pueblo
aproximadamente
En
de
preguntas
años
más
Ejercitación
1
En
una
Al
será
de
el
la
del
comienzo
número
de
población
inicial
23,
orden
si
u
2
Un
vaso
Cuando
40
del
el
año,
102%
del
hasta
de
año
2020,
la
la
anterior.
habrán
años.
pensar
que n
término.
6L
progresión
u
1980
debemos
aritmética,
u
=
3u
6
Halle
cada
será
pasado
ejemplo
de
población
Desde
27 600.
como
que
=
4
50.
8
plástico
se
tiene
apilan
5
12 cm
vasos,
la
de
alto.
altura
de
la
pila
alcanza
5 cm.
¿Qué
altura
¿Cuántos
altura
182
Patrones,
de
alcanzarían
vasos
al
de
nt
⎠
habría
menos
progresiones
y
que
1 m?
series
20
vasos
apilar
apilados?
para
alcanzar
una
es
el
número
las
nanzas?
usan
3
Jorge
deposita
TNA.
$2500
Suponiendo
¿cuánto
tendrá
en
en
que
la
una
no
cuenta
realiza
cuenta
que
paga
interés
extracciones
después
de
8
años
ni
si
del
6%
depósitos,
ocurre
lo
siguiente?
4
El
interés
se
capitaliza
anualmente.
El
interés
se
capitaliza
trimestralmente.
El
interés
se
capitaliza
mensualmente.
Una
progresión
aritmética
se
dene
mediante u
=
12n
–
7
y
una
n
Esta
n
progresión
geométrica
se
dene
=
mediante v
–
pregunta
0,3(1,2)
n
v
,
en
lugar
de
n
Halle
el
menor
número
de
términos
para
el
cual v
>
n
una
progresión
geométrica,
el
primer
término
es
para
6
y
la
representar
1,5.
En
una
progresión
aritmética,
el
primer
término
es
el
término
razón
de
es
,
n
enésimo
En
u
u
n
5
usa
1
75
una
progresión
y
geométrica.
la
diferencia
los
términos
6
7
es
términos
de
100.
de
la
la
¿Después
progresión
el
número
de
peces
en
el
lago
crezca
el
número
de
peces
en
el
lago
a
población
crece
población
hasta
que
de
una
a
continúa
la
un
lago
ciudad
una
tasa
contiene
es
del
creciendo
población
términos
superará
la
la
suma
suma
de
de
los
aritmética?
comienzos
población
2012,
cuántos
geométrica
A
La
de
de
progresión
un
5%
comienzos
de
275 000
3,1%
a
alcance
200
por
esta
los
peces.
por
de
año.
¿Cuál
que
será
La
Suponiendo
¿cuánto
500 000
espera
2015?
habitantes.
año.
tasa,
Se
que
tiempo
la
pasará
habitantes?
2
8
Una
serie
está
denida
por
la
fórmula S
=
3n
–
2n.
n
Halle
el
valor
de
S
,
S
1
Halle
los
Escriba
valores
y
S
2
de
u
3
,
u
1
una
y
u
2
expresión
3
para
u
n
n
9
Una
serie
se
dene
por
la
fórmula
S
=
+
2
2
–
4.
n
Halle
el
Halle
los
valor
de
S
,
S
de
u
1
valores
y
S
2
3
,
u
1
Escriba
una
y
u
2
expresión
3
para
u
n
10
En
de
La
de
una
la
remota
especie
A
población
175
Moira
anual,
cuenta
A
que
la
invier te
con
de
mes.
también
diez
B
paga
Raúl
es
de
a
de
en
ni
cuenta
1,25%
decrece
la
paga
invier te
a
población
por
una
mes.
tasa
población
que
que
el
3%
$3000
anual,
de
en
pero
ninguna
extracciones
su
La
de
la
B?
interés
Suponiendo
del
y
mayor
que
Raúl
arañas.
tasa
será
cuenta
3%
de
50 000
especie
anual.
el
una
de
la
una
depósitos
tendrá
especies
¿Cuándo
en
mensual.
dos
crece
población
$3000
realiza
dinero
después
y
especie
capitalización
que
personas
habitan
12 000
la
cada
capitalización
más
es
de
arañas
especie
11
isla
de
en
la
una
con
las
adicionales,
Moira
interés
dos
¿cuánto
suya
años?
Capítulo
6
183
.
e
rángo
p
y
rroo
El
triángulo
le
debe
de
Pascal
nomo
Ahora
veremos
triángulo
de
un
famoso
Pascal.
He
patrón
aquí
las
matemático
las
1
1
1
Cualquier
números
número
ubicados
del
del
triángulo
de
Blaise
Pascal.
el
números
sumando
sucede
si
del
4
35
triángulo
1
35
de
21
Pascal
inmediatamente
pares
triángulo
de
números
queremos
¡Tomaría
se
hallar
7
es
encima
muchísimo
generan
para
los
tiempo
a
(francés,
1623–1662).
la
de
1
suma
de
los
¿Podemos
dos
cuáles
él.
comenzando
obtener
números
hacer
un
la
de
la
la
en
lo
alto
siguiente.
la
5?
triángulo
de
¿O
la
de
los
la
la
8?
y
¿Pero
de
predecir
serán
números
Los
nombre
Pascal
1
6
21
7
3
4
7
a
como
1
3
1
conocido
qué
la
27?
esas
dimensiones!
He
aquí
los
números
en
la
cuar ta
la
del
triángulo:
,
4,
6,
4,
.
C
Estos
números
también
pueden
hallarse
usando omnon,
o
la
n
se
escribe
r
comúnmente
función
C
n
en
la
como
CPG.
r
⎛ n ⎞
C
4
=
C
0
4
=
4
C
4
=
6
C
2
4
=
4
C
3
4
=
⎜
4
⎝
⎟
r
,
o
incluso
⎛ n ⎞
n
n
⎜
⎟
algunas
⎠
,
o
veces
,
C
representa
el
número
de
formas
en
que
se
pueden
como
C
tomar
r
r
r
gr upos
de
r
elementos,
supongamos
que
una
C,
tomamos
de
un
bolsa
conjunto
contiene
5
de
n
elementos.
bolillas
Por
etiquetadas
ejemplo,
con
A,
B,
5
D,
y
E.
Si
dos
bolillas
de
la
bolsa,
=
hay
0
formas
Debemos
asegurarnos
2
de
diferentes
de
elegirlas.
Estas
combinaciones
son
AB,
AC,
AD,
saber
función
BC,
BD,
BE,
CD,
CE
o
cómo
usar
nCr
de
la
CPG.
DE.
⎛ 5 ⎞
Podemos
hallar
los
valores
de
expresiones
como
⎜
⎝
⎟
2
sin
usar
una
⎠
calculadora.
➔
El
número
por
vez
se
de
combinaciones
halla
de
n
elementos
tomados
de
a
r
mediante:
!
es
el
signo
for.
expresión
⎛ n ⎞
⎜
⎝
184
⎟
r
Patrones,
La
n!
se
n !
,
=
r !
⎠
(n
r
donde
n!
=
n
×
(n
–
)
×
(n
–
2)
×
…
×
denomina
)!
progresiones
de
y
series
la
AE,
n”.
“factorial
emo
⎛ 7 ⎞
Halle
el
valor
de
⎜
⎝
⎟
5
usando
la
fórmula
y
verique
con
la
CPG.
⎠
Respuesta
Reemplazar
⎛7 ⎞
⎜
en
⎝
5
n
=
7
y
r
=
5
7!
=
⎟
5!(7
⎠
la
f ór mula
Puede
5) !
que
puntos
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1
Simplicar
los
numerador
y
factores
comunes
del
de
en
signos
aparezcan
lugar
de
=
( 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ( 2 × 1)
7 × 6
=
=
⎟
5
Por
ejemplo:
2
Recordemos
21
valor
=
multiplicación.
42
⎛ 7 ⎞
⎝
denominador
=
2 ×1
⎜
el
que
usando
el
se
puede
triángulo
hallar
de
el
3
·
2
3
×
·
2
1
×
en
lugar
de
1.
Pascal.
21
⎠
En
Usando
la
la
está
calculadora:
calculadora TI
en
el
menú
de
Combinations
Nspire,
nCr
Probabi li ty,
(probabilidad,
combinaciones).
Ejercitación
Halle
cada
6M
valor
usando
la
⎛ 5 ⎞
fórmula
y
luego
2
⎝
3
⎜
⎠
⎝
⎟
2
CPG.
7
5
⎜
6
3
⎠
⎛ 10 ⎞
⎛ 6 ⎞
9
su
C
3
⎟
C
4
con
⎛ 8 ⎞
1
⎜
verique
6
⎟
⎜
⎟
3
4
ingón:
patrones
Desarrolle
las
expresión
Registre
cada
como
el
una
un
tiempo
de
siguientes
(a
+
b)
4
(a
+
b)
le
lleva
2
(a
+
b)
5
(a
+
b)
respuestas
alguna
Basándose
realizar
cada
en
(escriba
cada
desarrollo.
3
3
(a
+
b)
6
(a
+
b)
5
sus
¿Obser va
expresiones
2
4
Obser ve
polinomios
polinomio).
que
1
1
en
y
tome
similitud
estos
6
con
patrones,
nota
el
de
los
triángulo
prediga
cuál
patrones
de
que
obser ve.
Pascal?
podría
ser
el
desarrollo
7
de
(a
+
b)
Capítulo
6
185
Desarrollo
Veremos
qué
binomial
sucede
cuando
desarrollamos
una
expresión
como
n
(a
+
En
,
b)
la
donde
n
es
investigación
un
de
número
la
entero
página 85,
positivo.
se
desarrollaron
estas
expresiones:
(a
+
b)
=
a
2
(a
+
b)
(a
+
b)
=
a
=
a
3
+
b)
(a
+
b)
=
a
=
a
El
2ab
+
3a
número
+
b
2
2
b
+
+
4a
+
5a
de
+
2
b
2
b
+
6a
b
+
0a
3
b
4
con
3
3ab
3
5
obser vamos
1
2
+
4
5
Si
b
3
4
(a
+
2
+
3
+
2
es
b
2
b
+
0a
detenimiento
términos
4
4ab
3
cada
uno
4
b
+
5
5ab
+
b
desarrollo,
más
que
el
veremos
valor
algunos
patrones:
de n
Por
ejemplo,
n
4,
cuando
n
Las
2
potencias
de
a
comienzan
con
a
,
y
0
decrecen
en
1
unidad
hasta
llegar
a
a
potencias
de
b
comienzan
con
b
potencias
de
a
=
1)
en
el
último
término.
tiene
crecen
en
1
unidad
hasta
llegar
a
b
=
1),
y
las
potencias
¡Los
coecientes
son
todos
4
en
números
desarrollo
términos.
de
el
último
(a
término.
+
b)
2
2
6a
4
el
5
0
(b
n
b
=
0
(a
0
Las
3
las
del
triángulo
de
4
=
a
3
+
4a
3
b
+
b
+
4
4ab
+
b
.
Los
Pascal!
coecientes
1,
4,
6,
4,
n
Los
coecientes
de
(a
+
son
b)
los
números
de
la
enésima
la
del
1
triángulo
fórmula
La
5
de
de
suma
Pascal.
Podemos
combinaciones,
de
los
o
exponentes
hallarlos
la
de
usando
función
cada
nCr
término
el
en
triángulo
la
o
la
la
CPG.
coincide
son
los
del
de
la
cuar ta
triángulo
de
Pascal.
con
el
5
exponente
del
En
binomio.
(a
+
b)
los
coecientes
3
Por
ejemplo,
en
el
desarrollo
de
(a
+
3
b)
=
a
2
+
3a
2
b
+
3ab
b
exponentes
de
cada
término
suman
5,
10,
,
10,
los
1,
3
+
5,
1
son
los
de
la
3.
quinta
la
del
triángulo
6
Podemos
El
usar
desarrollo
estos
patrones
tendrá
Las
potencias
de
Los
coecientes
a
7
para
desarrollar
la
expresión
(a
+
b)
.
de
Pascal.
términos.
decrecerán,
las
potencias
de
b
crecerán.
Además
serán
los
de
la
sexta
la
del
triángulo
de
del
(,
6,
5,
20,
5,
6,
del
teorema
Pascal
binomio,
las
).
combinaciones
6
Por
consiguiente,
(a
+
b)
6
=
5
a
+
6a
4
b
+
5a
2
3
b
+
20a
3
b
2
+
5a
4
b
5
+
6ab
b
usan
en
otras
Estos
patrones
y
obser vaciones
nos
pueden
ayudar
a
comprender
general
del
binomio
para
desarrollar
potencias
de
muchas
áreas
de
el
las
teorema
se
6
+
matemáticas,
binomios.
por
ejemplo,
las
probabilidades.
➔
El
teorema
del
binomio
establece
que
para
cualquier
potencia
¡Hasta
podemos
+
de
un
binomio
+ b
⎜
⎝
⎟
0
,
∈Z
⎛ n ⎞
n
=
)
n
⎛ n ⎞
n
(a
donde
a
⎛ n ⎞
0
b
n −1
+
⎠
⎜
⎝
⎟
1
a
⎛ n ⎞
1
b
⎠
n−2
+
⎜
⎝
⎟
2
a
⎠
2
b
0
+
...
+
⎜
⎝
⎟
n
a
usar
combinaciones
para
calcular
probabilidad
Podemos
notación
incluso
de
escribir
el
desarrollo
sumatoria.
n
⎛ ⎛ n ⎞
n
(
a
+ b
)
=
∑
r
186
Patrones,
=
0
⎜ ⎜
⎝ ⎝
progresiones
⎟
r
y
n
(a )
⎠
series
r
r
(b )
⎞
⎟
⎠
del
binomio
de
⎠
ganar
➔
la
n
b
usando
la
lotería!
emo
5
Utilice
el
teorema
del
binomio
para
desarrollar
(x
+
3)
.
Escriba
la
respuesta
en
su
forma
más
sencilla.
Respuesta
Reemplazar
⎛ 5 ⎞
5
(
+ 3)
x
⎛ 5 ⎞
5
=
⎝
0
x
⎝
)(1) + (5)(x
4
+
⎜
+
emo
+
⎜
⎠
⎝
⎟
2
)(3) + (10)(x
⎛ 5 ⎞
2
2
3
x
+
⎠
⎜
⎝
3
3
15x
3
3
x
⎟
1
⎛ 5 ⎞
1
4
5
=
+
⎠
5
= (1)(x
4
3
x
⎟
⎜
⎛ 5 ⎞
0
1
3
x
⎟
3
+
⎝
2
)(9) + (10)(x
⎟
⎜
⎠
4
4
0
3
x
+
⎜
⎠
⎝
el
3
x
⎟
5
5
⎠
+
teorema
Es
1
)(27) + (5)(x )(81) + (1)(1)(243)
del
estos
+
405x
+
saber
valores
calculadora
270x
en
binomio
impor tante
hallar
2
90x
valores
⎛ 5 ⎞
3
o
sin
con
ella.
243
3
Utilice
el
teorema
del
binomio
para
desarrollar
(2x
–
5y)
.
Escriba
la
respuesta
en
su
forma
más
sencilla.
Respuesta
⎛ 3 ⎞
3
(2x
5 y
=
)
⎜
⎝
⎟
0
3
⎛ 3 ⎞
0
(2x )
5 y
(
+
)
⎠
⎜
⎝
⎟
1
2
5 y
(
Una
⎛ 3 ⎞
1
(2x )
+
)
⎜
⎠
⎝
⎟
2
1
(2x )
expresión
5 y
)
3
requiere
(2x)
⎛ 3 ⎞
⎜
⎝
⎟
3
0
5 y
(
debe
)
⎠
a
(1)(8x
2
)(1)
+
(3)(4x
2
)(–5y)
+
(3)(2x)(25y
3
)
+
(1)(1)(−125y
la
=
8x
Ejercitación
Utilice
el
2
−
60x
especial
exponente
aplicarse
variable
y
2
+
150xy
3
−
tanto
como
al
coeciente!
)
3
3
¡el
3
(2x )
3
=
de
⎠
cuidado:
+
como
2
(
(2x)
125y
3
=
2
x
3
3
=
8x
6N
teorema
del
binomio
para
desarrollar
cada
expresión.
3
2
⎛
5
(y
1
+
4
3)
(2b
2
–
(3a
3
+
2)
+
x
4
⎞
2
6
1)
⎜
⎟
x
⎝
⎠
3
5
2
⎛
8
(x
5
+
y)
(3a
6
–
2b)
3c
7
8
d
⎝
veces,
del
no
hará
binomio.
emo
falta
Quizás
obtener
solo
el
desarrollo
necesitemos
el
⎟
⎜
⎠
⎝
completo
hallar
un
⎞
de
término
la
4x
+
⎟
2 y
⎠
potencia
en
par ticular.
3
Halle
2
+
⎜
A
⎛
⎞
4
término
en
x
9
en
el
desarrollo
de
(4x
–
1)
3
Respuesta
Para
obtener
tér mino
⎛ 9 ⎞
⎜
⎝
⎟
6
3
(
4 x
)
al
x
,
elevar
cubo.
(
segundo
tér mino
Entonces,
del
el
binomio,
1,
irá
⎠
elevado
a
( 84 )
( 64 x
la
sexta
potencia.
en
⎜
3
5376x
⎝
tienen
lugar
⎟
3
⎠
el
Se
podría
⎛ 9 ⎞
⎛ 9 ⎞
) (1)
usar
=
primer
6
1)
3
=
el
mismo
de
⎜
⎝
⎟
6
,
porque
⎠
valor.
Capítulo
6
187
emo
n
En
el
desarrollo
de
(2x
+
1)
3
,
el
coeciente
del
término
en
x
es
80.
Halle
el
Respuesta
n
⎛
Se
⎝
⎟
3
3
(2x )
n
3
1
=
80 x
valores
3
⎟
⎜
(8x
⎛
3)!
3
lugar
de
,
⎟
⎜
⎠
⎝
ya
⎟
3
⎠
iguales.
n ⎞
n!
3
) (1)
Usar
= 80 x
la
f ór mula
⎜
⎟
⎜
⎟
(3 )! ( n
son
⎛
⎞
n!
⎜
⎝
⎠
=
⎟
r
r !( n
r
)!
⎠
⎞
n!
⎜
⎟
⎜
⎝
estos
n
n.
⎛ n ⎞
en
⎝
que
de
⎞
usado
3
⎠
⎛
⎝
haber
⎜
⎛ n ⎞
⎜
pudo
valor
Ya
( 8 ) = 80
que
solo
se
debe
hallar
el
coeciente,
se
puede
⎟
(3 )! ( n
3)!
3
⎠
prescindir
n ×
(n
− 1) ×
(
n
− 2) ×
(
n − 3) ×
(
n −
− 3) ×
⎣
n ×
(n
− 1) ×
(
n
− 2) ×
(
(
n
−
=
80
× 2 × 1) × ⎡ ( n
ambos
miembros
por
8
⎦
n − 3) ×
− 3) ×
⎣
Dividir
4 ) × ...⎤
n −
(
4 ) × ...
=
(3
x
4 ) × ...
(8)
( 3 × 2 × 1) × ⎡ ( n
de
(n
n ×
−
10
Simplicar
⎦
(n
los
factores
repetidos
en
el
numerador
y
el
4 ) × ...⎤
− 1) ×
(
n
denominador
− 2)
=
10
=
60
Se
pueden
resolver
ecuaciones
polinómicas
como
6
estas
n ×
(n
− 1) ×
3
n
(n
− 2)
3n
+
2n
–
60
=
Halle
el
=
5
6O
término
PREGUNTAS
CPG.
0
5
1
la
2
–
n
Ejercitación
usando
TIPO
en
x
7
del
desarrollo
de
(x
–
desarrollo
de
(4y
4)
EXAMEN
4
5
2
Halle
el
término
en
y
del
3
Halle
el
término
en
a
4
Halle
el
término
constante
2
–
1)
4
6
b
del
desarrollo
de
(2a
–
3b)
9
en
el
desarrollo
de
(x
–
2)
El
6
5
En
el
desarrollo
de
(px
+
1)
es
3
,
el
coeciente
de
x
es
“término
el
término
160.
numérico
Halle
el
valor
de
p
variables.
7
6
En
el
Halle
desarrollo
el
valor
PREGUNTA
de
TIPO
de
(3x
+
q)
5
,
el
coeciente
de
x
es
81 648.
q
EXAMEN
8
1
7
Halle
el
término
constante
en
el
desarrollo
de
4 x
x
8
Halle
el
término
constante
en
el
desarrollo
de
TIPO
x
PREGUNTA
x
EXAMEN
n
9
En
el
desarrollo
de
(x
+
1)
3
,
el
coeciente
del
término
2
doble
188
del
Patrones,
coeciente
progresiones
y
en
x
.
series
Halle
el
valor
de
n
constante”
en
x
es
el
que
no
tiene
n
10
En
el
desarrollo
de
(x
+
2)
3
,
el
coeciente
del
término
en
x
es
dos
veces
el
4
coeciente
del
término
ero
en
x
.
Halle
el
valor
de
n
rón
✗
PREGUNTAS
1
TIPO
Considere
la
Escriba
Halle
EXAMEN
progresión
la
aritmética
3,
7,
11,
15,
...
diferencia.
u
Halle
el
valor
de
n
tal
que
u
71
2
Los
3
son
primeros
64,
16
y
Escriba
Halle
=
99.
n
términos
de
una
progresión
geométrica
innita
4.
el
valor
de
r
Halle
u
4
3
En
una
la
suma
de
progresión
los
innitos
aritmética,
términos
u
=
25
y
u
6
4
Halle
la
diferencia.
Halle
el
primer
Considere
la
término
progresión
Determine
el
valor
de
la
esta
=
progresión.
49.
12
progresión.
aritmética
de
de
x
22, x,
38,
Halle
...
u
31
4
a
5
Evalúe
la
expresión
3
∑(
a
6
Considere
7
Halle
Halle
la
la
geométrica
los
TIPO
+
posibles
x,
valores
12,
9x,
200
+
Halle
geométrica:
PREGUNTA
800
razón.
todos
resulta
serie
)
= 1
de
x
para
50
la
suma
los
Halle
9
Un
el
piramidal.
más
que
hay
la
la
un
en
¿Cuántas
latas
hay
25
primeros
Halle
la
Halle
la
tiene
la
en
de
u
63
(2x
sopas
tres
términos
inferior
el
+
en
latas
y
3)
lata
apiladas
cada
¿cuántas
exhibidor
es
el
primer
en
la
en
tiene
forma
dos
latas
las
tiene
el
exhibidor?
total?
término
es
4
y
la
suma
de
los
1000.
diferencia.
la
de
rón
aritmética,
TIPO
Considere
desarrollo
superior
latas
serie
progresión
...
exhibidor
35
PREGUNTA
2
del
Si
una
términos.
5
x
En
esta
innitos
anterior.
ero
1
en
tiene
La
la
los
EXAMEN
término
almacén
de
cuales
3
8
...
+
Calcule
el
valor
del
17.°
término.
EXAMEN
progresión
aritmética
Halle
el
valor
3;
de
4,5;
n
tal
6;
7,5;
que
S
...
=
840.
n
Capítulo
6
189
3
En
una
los
10
serie
Halle
el
primer
Halle
la
suma
En
una
el
términos
PREGUNTAS
4
aritmética,
primeros
TIPO
décimo
es
término
de
los
24
término
es
25
y
la
suma
de
160.
y
la
diferencia.
primeros
términos.
EXAMEN
progresión
Halle
la
razón.
Halle
el
menor
geométrica,
valor
de
n
el
para
primer
término
el
u
cual
>
es
3
y
el
sexto
término
es
96.
3000.
n
5
En
es
una
50.
progresión
En
Halle
el
una
6
En
una
es
serie
primeros
Halle
progresión
menor
geométrica
el
valor
de
mayor
el
primer
geométrica,
n
para
el
el
enésimo
geométrica,
el
tercer
términos
TIPO
es
el
cual
que
primer
PREGUNTA
aritmética,
término
primer
el
es
término
es
y
término
enésimo
término
28
de
45
la
es
término
la
y
diferencia
1
y
de
la
la
progresión
la
suma
de
razón
es
1,5.
progresión
aritmética.
los
7
2735.
término
y
la
razón
r,
si
r
∈Z
EXAMEN
7
⎛
4
7
Halle
el
término
en
x
del
desarrollo
x
⎞
de
3
⎜
⎝
⎟
2
⎠
7
8
8
En
el
desarrollo
de
(ax
+
2)
5
,
el
término
en
x
tiene
coeciente
.
Halle
9
A
el
valor
comienzos
Si
la
de
Si
la
a
2010,
población
población
de
del
población
del
ResuMeN
pron
●
Una
●
Cada
crece
país
población
país
de
En
valor
●
o
Este
positivo
Podemos
n
=
los
un
del
de
país
1,6%
era
de
anual,
3,4
millones.
estime
la
2040.
a
esta
7
millones?
capítulO
nmér
o
u
con
elemento
tasa,
¿en
qué
año
la
6
es
un
una
de
patrón
de
números
dispuestos
en
un
regla.
la
progresión
se
denomina érmno
aritmética,
valor
recibe
el
los
términos
nombre
crecen
o
de frn
decrecen
o
d.
La
en
un
valor
diferencia
Patrones,
puede
ser
un
negativo.
+
el
término
(n –
enésimo
de
una
progresión
aritmética
usando
la
)d
Continúa
190
orden
r mé
calcular
fórmula: u
tasa
excederá
progresión
constante.
una
creciendo
acuerdo
número
una
a
de
rogron
progron
●
población
comienzos
sigue
rogrón
par ticular
a
del
y
la
progresiones
y
series
en
la
página
siguiente.
progron
●
En
una
o
rzón
Se
gomér ,
rogrón
término
●
gomér
anterior
por
un
valor
cada
término
constante.
Este
puede
valor
obtenerse
constante
multiplicando
se
al
denomina
r.
puede
hallar
el
enésimo
término
de
una
progresión
geométrica
usando
la
fórmula:
n
=
u
u
n
l
–
(r
)
noón
mor
(∑)
n
●
∑
i
u
signica
la
suma
de
los
primeros
n
términos
de
una
progresión.
i
= 1
Esto
se
lee
“la
suma
de
todos
los
términos u
desde
i
=
hasta
i
=
n”.
i
sr
●
Se
la
rmé
puede
hallar
la
suma
de
(u
+ u
1
S
) o
n
=
sr
( 2u
n
términos
de
una
serie
aritmética
usando
+
( n − 1) d )
1
2
2
la
primeros
n
n
=
n
Se
n
fórmula:
S
●
los
gomér
puede
hallar
la
suma
de
los
n
primeros
términos
de
una
serie
geométrica
usando
fórmula:
n
u
1
S
n
(r
1
u
)
1
=
n
r
sr
S
o
(1
r
)
=
,
n
1
1
donde
r
≠
.
r
onrgn
y
m
nno
érmno
u
1
●
Para
una
serie
geométrica
con
< 1,
r
S
=
∞
1
trángo
●
El
número
de
p
y
combinaciones
r
rroo
de n
elementos
nomo
tomados
de
a r
por
vez
se
halla
mediante:
⎛ n ⎞
n!
⎜
=
⎟
,
r
⎝
●
El
r !(n
⎠
teorema
donde
n
del
donde
binomio
Se
=
n
establece
+ b
⎛ n ⎞
×
(n
que
⎛ n ⎞
n
=
)
⎜
⎟
a
–
)
×
(n
–
2)
para
×
cualquier
puede
incluso
⎛ n ⎞
0
b
n −1
+
⎜
0
●
n!
…
×
)
potencia
de
un
binomio,
∈N,
n
(a
r
⎟
a
1
escribir
⎛ n ⎞
1
b
n− 2
+
⎜
⎟
a
b
2
0
+ ... +
2
el
desarrollo
⎜
⎟
a
n
b
n
binomial
usando
notación
de
sumatoria:
n
⎛ ⎛ n ⎞
n
(a
+ b
)
=
∑⎜
r =0
⎜
⎝
⎟
r
n
(a )
r
r
(b )
⎞
⎟
⎠
Capítulo
6
191
t
or
del
¿d
El
conomno
qén
triángulo
de
f
Pascal
debe
su
nombre
é
Blas
Pascal,
quien
hacia
654
no
es
la
a
él
en
su
Tratado
del
primera
vez
que
una
idea
se
matemática
rerió
oo?
al
Esta
francés
de
larga
data
se
atribuye
a
triángulo
una
persona
en
par ticular
.
Ha
ocurrido
aritmético
frecuentemente,
de
Sin
embargo,
las
propiedades
de
renombre
eran
conocidas
y
por
matemáticos
en
la
y
otras
par tes
del
mundo
de
la
época
de
y
presentado
al
China,
conoce
en
esta
En
a
era
de
“Triángulo
un
lo
largo
a
de
los
los
años,
Pascal
de
matemático
conocido
se
Yang
del
mucho
Hui”,
siglo
antes
■
¿Cree
se
que
han
o
siglo
persa
XI,
Omar
se
el
matemático
Khayyám
observa
■
¿Qué
■
¿Cómo
muchas
atribuido
a
ha
por
dado
sus
de
estas
ideas
personas
equivocadas?
XIII,
de
y
“
poeta
Omar
es
el
se
en
el
se
triángulo
triángulo
usa
el
rerió
de
al
de
patrón
Pascal.
Tar taglia?
triángulo
de
Pascal?
Triángulo
de
Pascal
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
2
3
6
10
1
4
10
1
5
1
[
1
Teoría
les
invenciones.
(c.
192
se
matemáticos
fecha.
el
que
idea
Pascal.
triángulo
como
honor
aunque
el
la
público.
descubrimientos
En
resultado
siglos
crédito
antes
matemático
un
India,
A
China
un
fueron
matemática
estudiadas
cuando
publicado
este
impor tante
patrón
ha
del
6
15
20
Conocimiento:
¿de
15
quién
6
fue
Blas
Pascal
1
la
idea
después
de
todo?
(1623–1662)
Khayyám
1048–c.
1131)
ron
n
matemático
Pisa,
presentó
F ibonacci
en
en
su
la
F ibonacci,
progresión
libro
Liber
mes
pareja
mes,
publicado
1202.
problema:
cada
que
se
¿cuántas
con
una
pareja
vuelve
sola
produce
fértil
parejas
pareja
de
a
una
partir
conejos
de
conejos
y
nueva
del
habrá
segundo
en
un
año?
F ibonacci
El
comenzamos
cada
Leonardo
de
abaci,
este
diagrama
muestra
cómo
crece
la
no
fue
el
único
matemático
que
trabajó
con
este
patrón.
Número
progresión.
led
de
Si
italiano
plasmó
nrz
El
él
rot
En
Fon:
de
parejas
er
1.
mes:
1
pareja
original
de
dos
conejos
1
2.°
mes:
continúa
son
1
pareja,
ya
que
todavía
no
fér tiles
3.
mes:
2
parejas:
nueva
4.°
mes:
3
parejas:
original,
mes,
la
número
de
la
progresión
pareja
que
en
el
en
original
y
la
1
procrean
pareja
pareja
pareja
procrean
cuar to
la
la
procrean
El
la
pareja
c
er
2
que
tercer
que
3
el
mes
parejas
genera
5
de
F ibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
donde
Los
cada
término
números
de
frecuentemente
la
cor teza
menudo,
■
¿Es
de
en
las
suma
de
los
progresión
de
Fibonacci
la
ser
naturaleza.
de
simplemente
¿Podría
la
piñas
números
matemática
■
la
es
tan
que
o
la
un
en
las
accidente
una
de
que
aparezca
relación
términos
se
número
corolas
progresión
conocida
haya
El
dos
de
las
anteriores.
ven
de
espirales
ores
son,
en
a
Fibonacci.
una
en
progresión
la
entre
naturaleza?
matemática
y
naturaleza?
■
■
¿Qué
es
¿Cómo
Pascal
se
y
obser ve
el
la
la
sección
áurea?¿Dónde
relacionan
el
progresión
las
triángulo.
sumas
de
triángulo
de
en
la
naturaleza?
de
Fibonacci?
las
aparece
Pista:
diagonales
en
{
F ibonacci
(c.
1170–c.
1250)
Capítulo
6
193
Límites
7
ObjetivOs
Idea
6.1
del
informal
derivadas
capítulO:
de
límite
y
convergencia;
notación
de
límite;
⎛ f (x
derivadas,
a
par tir
del
concepto,
como
f ′( x )
= lim
+
⎜
como
y
sus
medida
la
de
derivada
la
razón
de
como
pendiente
cambio
entre
de
dos
de
⎟
h
⎝
de
denición
h) − f ( x ) ⎞
h→0
Interpretación
y
la
⎠
recta
tangente
variables;
a
la
tangentes,
cur va
y
normales,
ecuaciones.
n
Derivada
6.2
de
x
(n
∈
R);
derivada
de
la
suma
y
del
producto
por
un
escalar
de
x
estas
de
funciones;
funciones;
derivada
regla
del
de
y
e
producto
ln x;
y
regla
regla
de
del
la
cadena
cociente;
para
la
derivada
composición
segunda;
usos
2
d
de
las
dos
formas
de
y
y
notación,
f ″ (x).
2
dx
Puntos
6.3
nula;
los
máximos
grácos
Problemas
6.6
Qué
f,
mínimos
f ′
y
de
f ″;
locales;
los
puntos
grácos
optimización
cinemática
relativos
al
de
y
de
las
inexión
funciones,
desplazamiento
una
saber
+
4x
1
2x
Desarrollar
2
9x
velocidad
v
y
=
nuestras
15x
y
no
entre
la
2x (x
+
2x
+
1)
2
Desarrollar
(2x
−
3x
4x
x
−
5x
Desarrolle
−
9
−
9x
2
+
6
cada
(x
+
2x
−
5
binomio:
3
)
habilidades
2
+
2
binomios
ejemplo:
la
3
−
4
Por
nula
relación
Factorice:
2
+
s,
Comprobemos
expresión
2
2x
la
omnzr
ejemplo:
3
pendiente
aplicaciones.
4
Por
con
incluida
a
necesitamos
Factorizar
1
de
de
aceleración
an
y
compor tamiento
4
2)
(3x
−
1)
3
(2x
+
3y)
4
(2 x
1
1)
4
= 1( 2 x )
0
( −1)
3
+
4 (2 x )
1
1
+ 6( 2 x )
2
( −1)
1
+
4 (2 x )
2
Use
exponentes
cada
1
expresión
( −1)
3
3
1( 2 x )
(
3
− 32 x
4
6
4
1
7
2
+ 24 x
− 8x
7
5
x
+ 1
3
x
Utilizar
exponentes
racionales
para
n
reescribir
expresiones
en
la
forma
1
2
5
2
Por
=
ejemplo:
5
x
194
Límites
y
derivadas
2x
;
x
=
x
cx
forma
3
x
1)
1
3
la
4
4
= 16 x
en
6
1
x
+
para
cx
:
4
1
3
1
0
racionales
n
( −1)
1
2
3
1
5
x
reescribir
Si
pulsamos
se
aplaca
a
la
cuerda
medida
de
que
una
pasa
guitarra
el
y
tiempo.
la
dejamos
Esto
se
vibrar,
puede
el
sonido
modelizar
sen t
mediante
la
función
f
(t )
,
=
donde
t
representa
tiempo.
A
medida
t
sen t
que
t
crece
más
y
más,
se
acerca
más
a
cero:
este
es
el
valor
t
límite
de
la
función.
sen t
Escribimos
esto
como
=
lim
t →∞
fundamental
capítulo
una
El
onda
es
problemas.
para
más
la
El
resolver
en
rama
junto
cambia
capítulo
cálculo
El
concepto
de
límite
es
o
análisis
más
acerca
matemático.
de
la
función
En
un
seno,
próximo
cuyo
gráco
es
sinusoidal.
análisis
que
el
aprenderemos
geometría,
la
en
0.
t
con
de
el
cálculo
una
proceso
cantidad
aprenderemos
el
matemáticas
de
diferencial
problemas
detalle
las
que
a
cálculo
límite,
usa
variable.
y
El
límites
toma
el
álgebra
contempla
límites
involucren
evaluar
que
para
cálculo
integral
cambios
básicos
dos
hallar
la
luego
la
tipos
razón
usa
reiterados.
y
y
de
a
límites
En
este
trataremos
diferencial.
Capítulo
7
195
.
En
lm
esta
sección
convergencia
de
límite
es
y
la
y
onrgn
investigaremos
utilizaremos
base
del
un
par
con
de
un
Número
de
y
una
Porción
conceptos
creación
compañero.
tijeras
los
notación
de
de
límites
límite.
El
y
concepto
cálculo.
ingón:
T
rabaje
la
Necesitará
copia
de
vuelta
de
papel
de
de
esta
que
la
una
un
progresión
pedazo
de
papel
rectangular
,
tabla.
tiene
al
nal
vuelta
Fracción
Decimal
(3
cs)
1
2
3
4
5
6
Vuelta
1:
cor te
el
rectángulo
de
papel
en
tres
trozos
de
Al
aproximadamente
el
mismo
tamaño.
Cada
alumno
toma
cor tar
tres
trozo
y
se
deja
uno
sobre
la
mesa.
Anoten
la
porción
original
que
ahora
tienen,
como
fracción
trozos
y
con
Vuelta
(con
2:
tres
cor te
cifras
el
trozo
igual
tamaño.
Cada
rectángulo
que
uno
original.
quedó
sobre
la
mesa
en
tres
trozos
añade
uno
de
estos
trozos
a
su
medida
que
porción
Anoten
la
fracción
total
del
que
ahora
tienen,
de
la
misma
forma
que
más
lo
hicieron
vueltas
el
mismo
proceso
cuatro
veces
A
medida
pueden
cada
Si
2
que
decir
uno
la
este
porción
Límites
de
más
de
la
y
más
veces
porción
del
esta
actividad,
rectángulo
¿qué
original
de
que
un
proceso
del
indenidamente,
rectángulo
original
se
que
¿qué
pueden
decir
que
acerca
el
vueltas
innito.
tiene?
repiten
de
repitan
acerca
esta
podría
más.
decir
1
de
antes.
actividad,
Repitan
y
rectángulo
más
original
de
aproximada.
complete
del
iguales,
hacerlo
signicativas).
A
de
en
como
manera
decimal
papel
del
basta
rectángulo
el
un
que
de
a
dar
la
crezca
desarrolle
tienen?
tiende
¿Puede
ejemplo
real
número
vida
o
como
se
este?
progresiones
La
notación
lim u
=
L
n
n→∞
Los
datos
que
se
obtuvieron
en
la
investigación
forman
una
progresión
se
donde
u
después
es
de
la
porción
la
vuelta
del
, u
rectángulo
la
que
original
tiene
que
después
de
cada
la
uno
vuelta
tiene
2,
y
lee
“el
cuando
innito
así
n
límite
tiende
de
u
es
a
igual
n
2
sucesivamente.
A
las
a
progresiones
como
estas
se
las
llama onrgn
porque
L”.
a
Los
medida
que
el
número
de
término
en
la
progresión
crece,
los
antiguos
usaron
de
la
progresión
se
aproximan
a
un
valor
jo,
conocido
como
L,
de
la
progresión.
Podemos
escribir
esto
como:
la
idea
de
el
límite
m,
griegos
términos
lim u
=
para
calcular
L.
n
áreas
usando
el
n →∞
Las
progresiones
que
no
son
convergentes
son rgn
método
Este
¿Cuál
es
el
límite
de
la
progresión
que
se
generó
en
la
Límites
y
podría
exhaución.
ser
un
investigación?
tema
196
de
interesante
derivadas
investigar
.
para
emo
Determine
Si
una
0,3;
1
si
cada
progresión
0,33;
6
,
indique
el
o
divergente.
límite
2,
1,
4,
8,
de
la
16,
misma.
…
781
,
125
convergente
...
156
,
25
es
convergente,
0,3333;
31
,
5
progresión
es
,
625
...
−1,
1,
−1,
. . .
3125
Respuestas
1
Convergente;
lim u
El
patrón
indica
que
la
=
n
Otras
n →∞
3
progresión
se
0,333 3…,
o
aproxima
notaciones
indicar
0,3,
la
f or ma
periódicos
decimal
Divergente
Cada
tér mino
anterior,
por
en
lo
la
que
incluyen
de
0
3
decimales
que
1
es
para
a
3
progresión
no
se
es
acercan
mayor
a
un
que
el
límite.
1
Convergente;
lim u
Para
=
comparar
fracciones
con
dif erentes
n
n →∞
4
denominadores,
gráca
0,2;
(CPG)
0,24;
usar
para
0,248;
una
calculadora
conver tirlas
0,2496;
en
0,24992;
de
pantalla
decimales:
...
1
Los
valores
se
acercan
a
0,25
o
4
Divergente
Los
tér minos
valores
Ejercitación
Determine
Si
una
1
1,
5,
1
7,
10
3,
4,
f
es
3,
3,
de
L
dé
4,
el
límite
3,49;
1
,
1000
4,
convergente
convergente,
1
=
es
2
100
(x )
progresión
…
,
Limites
lim
cada
1
, −
20
−
,
...
4
en
se
de
121
27
la
lo
3,499;
182
,
162
3,4999;
1093
,
se
no
f
acerca
existe.
(x)
a
un
oscilan
valor
entre
dos
jo.
243
1458
…
, ...
2187
…
funciones
signica
suciente
se
un
a
1640
,
que
a
medida
que
el
valor
de x
a
c
(desde
cualquier
lado),
puede
acerca
valor
a
jo
un
L,
valor
jo
decimos
L.
que
Si
el
f
(x)
no
límite
usar
la
CPG
para
hallar
el
la
límite
función
progresión
misma.
Se
acerca
la
acercan
divergente.
3,499;
,
10 000
o
x →c
se
no
7A
progresión
3,
3
5
si
y
de
una
función.
Grámn:
grácamente
los
valores
la
se
representa
función
de f(x)
cuando
Nmérmn:
de
valores
de
f(x)
y
se
cuando
y
se
se
x
se
se
acerca
hace
examinan
x
examinan
una
los
acerca
a
a
c
tabla
valores
c
Capítulo
7
197
emo
Use
una
Halle
el
CPG
límite
para
o
examinar
indique
que
cada
no
función
grácamente
y
numéricamente.
existe.
2
x
2
lim x
x →2
⎧1
1
lim
x →1
lim
x
f
(x )
;
donde
f
(x )
=
para x
≥
0
⎨
x →0
1
⎩
−1
para x
<
0
y
Respuestas
2
2
lim x
Obtenga
el
gráco
de
f(x)
=
x
usando
7
una
x →2
CPG,
y
obser ve
el
valor
de
f(x)
a
6
medida
2
f(x)
que
la
x
se
acerca
a
2
por
la
derecha
y
por
=
x
5
izquierda.
4
3
2
1
Grácamente,
f(x)
se
acerca
a
4
a
medida
0
–4
que
x
se
acerca
a
Numéricamente,
cuando
cualquiera
dos
de
los
–3
–2
x
–1
1
2
3
4
2.
x
lados,
se
acerca
f(x)
se
a
2
por
acerca
a
4.
→
2
x
1,8
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,2
f 1(x)
3,24
3,61
3,960
3,996
4,004
4,040
4,41
4,84
→
4
2
Para
construir
congure
Por
lo
la
la
tabla
variable
anterior
usando
independiente
en
una
ak
CPG,
ingrese
(preguntar).
f1(x)
=
Ingrese
x
los
.
Luego
valores
de
x.
tanto,
2
lim x
=
4
El
gráco
y
la
tabla
se
muestran
en
la
misma
pantalla.
x →2
2
2
Para
f (x)
=
x
podemos
sustituir
y
hallar
que
lim x
2
=
2
=
4
x →2
{
198
Límites
y
derivadas
Continúa
en
la
página
siguiente.
2
x
1
lim
x →1
f (x)
se
acerca
a
2
a
medida
que
x
se
acerca
a
1:
y
1
x
7
2
x
6
f(x)
–
1
=
x
–
1
5
4
3
2
1
0
–3
x
–1
2
x
Dado
que
la
división
por
cero
no
está
denida,
f
(
x
)
1
no
=
x
denida
cuando
x
−
1
en
discontinuidad
=
el
0
o
x
=
gráco
1.
En
consecuencia,
cuando
x
=
1. Tenga
hay
en
está
1
una
cuenta
que
2
x
f
(
x
)
1
(
=
x
+ 1)(
x
− 1)
=
=
x
1
x
x
1,
+
cuando
x
≠
1.
1
2
x
Si
bien
f
(x )
1
no
=
x
medida
que
x
se
está
denida
cuando
x
=
1,
el
límite
existe,
ya
que
a
1
acerca
a
1
por
ambos
lados,
→
f
(x)
se
acerca
a
2.
1
x
0,8
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
1,2
f (x)
1,8
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,2
→
2
2
− 1
x
Por
lo
Obser ve
tanto,
que
lim
x →1
2
x
lim
=
x
f
x
+ 1)(
x
− 1)
lim
x →1
−1
x
1
lim
x →1
(
=
− 1
x
2
(x )
(
= lim
1
x
+
1
)
=
1
+
1
=
2
x →1
f (x)
donde
no
se
acerca
al
mismo
valor
a
medida
que
x
y
x →0
se
⎧1
f
(x )
=
para x
≥
acerca
a
0
por
la
izquierda
y
por
la
derecha:
2
0
⎨
⎩
−1
para x
<
0
1
0
–4
–3
–2
x
–1
1
2
3
4
–2
→
x
lo
tanto,
Obser ve
←
−0,2
−0,1
−0,01
−0,001
0,001
0,01
0,1
0,2
−1
−1
−1
−1
1
1
1
1
f (x)
Por
0
que
f(0)
=
1,
pero
lim
f
(x )
no
existe.
x →0
lim
f
(x )
no
existe.
Esto
es
porque
f(x)
se
acerca
a
1
para
valores
de
x
a
la
derecha
de
x
=
0.
de
x
=
0
y
f(x)
x →0
se
acerca
a
−1
para
valores
de
x
a
la
izquierda
Capítulo
7
199
Ejercitación
Use
una
CPG
7B
para
examinar
cada
función
grácamente
y
Material
numéricamente.
Halle
el
límite
o
indique
que
3
2
+ 1)
existe.
− 4 x
+
Hoja
x
lim
2
de
mirada
x →0
x →3
de
disponible
ampliación
en
línea:
2
x
lim ( x
1
no
ejercicios
7:
algebraica
a
Una
los
límites
x
2
x
− 3x
1
+ 2
lim
3
x →4
x →2
x
2
+ 3
⎧x
lim
5
lim
4
( x );
f
donde
f
(x )
=
x
4
para x
Una
≥ 1
⎨
x →1
⎩
a
+ 5
−x
r
una
circunferencia
< 1
para x
cor ta
2
( x );
f
donde
f
(x )
=
a
la
circunferencia
⎧x
lim
6
n
+ 3
para x
≥
dos
2
⎨
veces.
x →2
⎩
x
para x
<
2
Una
a
.
l
r
ngn
r
una
ngn
circunferencia
cor ta
una
vez
la
sola
y
a
n
r
x
circunferencia.
En
esta
sección
tangentes
y
trabajaremos
normales.
con
rectas
Deniremos
la
secantes,
derivada
de
Una
una
a
función
y
aprenderemos
algunas
reglas
para
hallar
recta
una
de
cier tas
puede
las
cor tar
derivadas
tangente
cur va
a
la
funciones.
cur va
una
ingón:
rectas
secantes
y
más
de
vez.
tangentes
2
Aquí
está
el
gráco
de
f (x)
=
x
+
y
1.
6
Copie
1
el
gráco
al
papel
y
dibuje
las
rectas
5
AP,
BP,
CP,
DP,
EP
y
FP.
A
estas
rectas
se
las
llama
4
2
r
n al
gráco
de
f (x)
=
x
+
1.
3
A
2
Copie
y
complete
la
F
2
tabla.
B
E
P
pno
coorn
R
pnn
P
—
—
A
AP
B
BP
C
CP
x
0
–2
1
–1
Recuerde
de
D
DP
E
EP
una
por
los
2
que
recta
la
pendiente
que
pasa
puntos
y
y
2
(x
,
1
y
)
1
y
(x
,
2
y
)
x
x
2
F
3
A
¿a
4
FP
medida
qué
Dibuje
que
valor
la
los
puntos
pareciera
recta
en
el
en
que
punto
la
se
P
cur va
se
acercan
aproximan
que
tiene
la
las
más
y
más
pendientes
pendiente
que
de
al
punto
las
halló
la
2
Esta
200
Límites
recta
y
se
llama
derivadas
r
ngn
al
gráco
de
f (x)
=
x
+
1
P,
rectas
en
en
P
secantes?
pregunta
1
es
2
3.
1
Las
rectas
tienen
pendiente
recta
Sir
de
una
tangente
Isaac
objeto
pendiente
a
cur va
la
Newton
en
de
un
en
cuando
movimiento
Pendiente
en
cur va
constante,
ese
quiso
cuya
una
punto
el
dado
punto.
hallar
velocidad
recta
pero
la
otras
es
la
Con
cur vas
pendiente
este
La
de
concepto
velocidad
iba
no.
variando
la
trabajó
instantánea
de
un
continuamente.
secante
y
y
f(x
+
=
f(x)
h)
Q(x
+
h,
f(x
+
h))
[
Sir
Isaac
Newton,
1642–1727
,
inglés,
es
matemático
uno
de
los
f(x)
P(x,
f(x))
matemáticos
que
se
a
los
atribuye
el
x
0
x
x
+
desarrollo
h
del
cálculo.
h
La
pendiente
de
la
recta
secante
PQ
se
escribe
como:
La
f
(x
+ h) −
f
(x )
f
(x
+ h) −
f
(x )
f (x
expresión
+
h)
+ h) −
−
f ( x)
se
=
(x
x
conoce
h
h
como
on
nrmn
emo
Escriba
una
expresión
para
la
pendiente
de
una
recta
secante
para
2
f
(x)
=
x
+
1.
Simplique
su
expresión.
Respuesta
2
f
(x
+
h)
−
f
⎡( x
(x )
+
2
2
+ 1⎤
h)
⎣
−
⎦
(
x
+ 1
Reemplazar
)
=
por
h
x
+
h,
la
x
para
en
x
+ 1
obtener
una
h
expresión
2
(
2
x
+
2 xh
+
h
para
f
(x
+
h)
2
+ 1
)
−
(x
+ 1
)
=
2
Desar rollar
(x
+
h)
h
2
2 xh
+
h
Agrupar
=
los
tér minos
h
semejantes
h
( 2x
+
h
)
Factorizar
=
h
=
Ejercitación
Escriba
cada
una
f (x)
=
3x
2
f (x)
=
2x
3
f (x)
=
x
+
+
Simplicar
h
7C
expresión
función.
1
2x
para
Simplique
la
su
pendiente
de
una
recta
secante
para
expresión.
4
2
−
1
2
+
2x
+
3
Capítulo
7
201
Pendiente
de
una
recta
tangente
y
la
derivada
y
Suponga
que
el
acerca
punto
punto
Q
se
desliza
hacia
abajo
por
la
cur va
y
y
se
Q(x
al
tangente
a
0.
en
el
Podemos
P.
La
punto
recta
P.
tomar
el
A
secante
medida
límite
PQ
que
se
Q
cuando h
acercará
se
acerca
tiende
a
0
a
a
la
recta
P,
de
h
la
se
f(x
+
+
h,
f(x
+
=
h))
h)
acerca
pendiente
f(x)
de
la
recta
secante,
para
obtener
la
pendiente
de
la
recta
f (x
f
(x
+ h) −
f
+
h)
f ( x)
no
h→0
es
x
0
x
x
una
constante.
una
función
pendiente
f
La
h
h
h
➔
+
h
lim
h →0
−
lim
(x )
P(x, f(x))
tangente:
función
denida
por
el
límite
(x
+ h) −
f
que
de
f
da
en
la
x
f ′(x)
(x )
lim
se
h →0
Es
se
lee
“derivada
conoce
h
de
f ”,
de
x”.
o
“f
prima
dy
como
la
r
de
f.
La
derivada
es
denida
por
se
lee
dx
f
(x
+ h) −
f
(x )
dy
f
(x
+ h) −
f
(x )
“derivada
f
′( x )
=
lim
emo
=
o
h →0
h
h →0
dx
de
y
h
respecto
a
x”
Recordemos
que
la
es
pendiente
variación
en
y
variació n
en
x
.
2
Halle
la
con
lim
derivada
de
f
(x)
=
x
+
1
y
a
par tir
de
lo
anterior,
halle
la
Esto
Δy
pendiente
de
la
recta
tangente
cuando
x
=
3.
expresa
como
Δx
dy
Δy
=
Respuesta
lim
Δx → 0
dx
2
⎡( x
+
h)
⎣
f
′( x )
=
−
⎦
(
lim
(2x
muestra
en
+ h
)
=
2x
se
Evaluar
el
el
ejemplo
3
=
2x
f
′(3)
=
2(3)
por
La
=
reemplazando
0
derivada,
6
f ′(x)
tanto,
límite
+ 0
h
′( x )
la
pendiente
de
=
2x,
tangente
cuando
x
=
3
es
una
la
función
recta
como
h
f
lo
cociente
+ 1
h →0
Por
el
)
x
lim
h →0
=
Simplicar
2
+ 1⎤
es
que
da
la
6.
pendiente
de
la
cur va
2
f(x)
=
x
+
cualquier
Ejercitación
Use
la
ahí,
halle
1
f
(x)
=
2x
2
f
(x)
=
3x
3
f
(x)
=
x
la
−
de
derivada
pendiente
3;
x
=
2
2
+
2x;
x
=
−3
2
202
Límites
y
−
x
para
valor
de
x
7D
denición
de
1
+
2;
derivadas
x
=
de
para
la
hallar
recta
la
derivada
tangente
en
el
de f
valor
y
a
par tir
de x
dado.
Δx
se
f(x)
Algunas
reglas
de
derivación
n
ingón:
Use
1
la
denición
la
de
derivada
derivada
para
de
hallar
f (x)
las
=
x
derivadas
de
Recuerde
2
f (x)
=
x
3
,
f (x)
=
que
4
x
y
f (x)
=
x
la
denición
de
n
Realice
2
una
conjetura
acerca
de
la
derivada
de
f (x)
=
x
derivada
Exprese
su
conjetura
en
forma
coloquial
y
como
es:
función.
f ( x
f ′( x )
+
h)
− f ( x )
= lim
5
3
Use
su
Use
la
fue
Hemos
para
de
predecir
derivada
la
investigado
regla
Rg
es
solo
válida
valores
para
f
(x)
emo
Use
la
vericar
enteros
cualquier
de
si
f (x)
su
=
x
.
predicción
=
positivos
número
de n,
pero
la
real n.
on
n
Si
derivada
para
h
correcta.
siguiente
➔
conjetura
denición
h →0
x
n−
,
entonces
f
′(x)
=
nx
,
donde
n
∈
R
regla
de
la
potencia
para
hallar
la
derivada
de
cada
función:
1
12
f
(x)
=
x
f
(x )
=
f
(x )
=
x
3
x
Respuestas
Usar
12
f
(x)
=
12
f
′( x )
la
regla
de
la
potencia
x
1
11
= 12 x
= 12 x
1
3
f
(x )
=
=
n
Escribir
x
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
racional
con
n
racional
3
x
Usar
la
regla
de
la
potencia
3
−3 −1
f
′( x )
=
−3 x
−4
=
−3 x
Simplicar
=
−
4
x
1
2
f
(x )
=
x
=
n
x
Escribir
1
=
f or ma
y
=
x
,
−
1
2
(x )
la
1
−1
1
f
de
2
x
=
2
x
Usar
la
regla
de
la
potencia
2
1
1
=
Simplicar
o
1
2
x
2
2x
Ejercitación
Halle
la
7E
derivada
de
cada
función:
1
5
1
f
(x)
=
8
x
2
f
(x)
=
x
3
f
(x )
=
4
x
1
3
4
f
(x )
=
x
5
f
(x )
=
5
6
f
(x )
=
3
x
x
Capítulo
7
203
Usando
las
la
regla
derivadas
función
➔
Rg
f
(x)
derivada
f(x)
➔
=
c
Rg
y
de
cf
derivada
➔
Rg
Si
Rg
La
la
f
suma
(o
Halle
la
cualquier
f (x)
(x),
constante
donde
una
por
la
c
=
ón
proceso
número
u(x)
±
ón
de
una
o
El
n
n
=
reglas
hallar
podemos
la
hallar
derivada
de
una
entonces f
′(x)
=
0.
de
la
función
constante
0.
onn
número
real,
entonces
y ′
=
cf
′(x).
onn
multiplicada
la
gráco
por
una
función
es
la
constante
función.
rón
entonces
f
′(x)
=
u ′(x)
que
las
es
la
suma
derivadas
de
(o
±
v ′(x).
los
diferencia)
de
dos
o
más
términos
es
términos.
de
cada
función:
5
2
4x
+
2x
−
3
f
(x )
=
3
x
+ 8
3
f (x)
de
real,
pendiente
4 x
dos
rón
función
de
or
or
v (x),
0.
tiene
cualquier
de
o
es
que
es
constante
derivada
derivada
=
siguientes
El
cualquier
món
3
es
horizontal,
diferencia)
emo
c
món
derivada
donde
(x)
las
rón
recta
de
multiplicada
y
funciones.
onn
=
potencia
onn
c,
una
Rg
Si
La
es
=
la
muchas
llama
Rg
Si
La
se
de
de
(x
−
2)
(x
+
4)
f
(x )
2
+ 2x
− 3
=
x
Respuestas
3
f
(x )
=
4 x
′( x )
=
4
2
+ 2x
Hallar
− 3
3 −1
f
(3x
derivada
2 −1
+ 2
)
(2x
la
)
derivada
del
de
tér mino
cada
tér mino.
constante
es
Obser ve
que
la
que
la
0.
0
2
= 12 x
+ 4 x
1
5
5
f
(x )
=
3
x
+ 8
=
3x
n
+ 8
Escribir
1
=
3 ⋅
f or ma
y
=
x
,
con
n
racional
−
3
5
′( x )
la
4
−1
1
f
de
5
x
+
0
=
5
Hallar
x
la
derivada
de
cada
tér mino.
Obser ve
5
derivada
3
del
tér mino
constante
es
0.
3
=
Simplicar
o
4
5
5
5
4
x
5x
2
f
(x )
=
(x
− 2 )( x
+ 4)
=
x
+ 2x
− 8
Primero
desar rollar,
para
que
la
función
sea
una
n
2 −1
f
′( x )
=
2x
1−1
+ 2 ⋅ 1x
suma
−
0
=
2x
o
dif erencia
de
tér minos
{
204
Límites
y
derivadas
de
la
f or ma
ax
+ 2
Continúa
en
la
página
siguiente.
3
2
4 x
f
(x )
+ 2x
3
− 3
2
4x
=
2x
=
3
+
x
−
x
Reescribir,
x
para
que
la
función
sea
una
suma
o
x
n
dif erencia
2
′( x )
tér minos
de
la
f or ma
ax
1
=
4 x
+ 2x
=
4 ⋅ 2x
=
8x
− 3x
2 −1
f
de
1−1
−1−1
+ 2 ⋅ x
− 3 ⋅ ( −1) ⋅ x
3
2
+ 2 + 3x
=
8x
+ 2 +
2
x
3
2
8x
+ 2x
+ 3
o
2
x
Ejercitación
Derive
cada
7F
función:
3
2
f
1
(x )
3
=
f
2
(x)
=
5
f
3
(x )
=
x
−
2
8
x
x
5
f
4
(x)
3
2
π x
=
f
5
(x)
=
(x
−
3
4)
f
6
(x )
=
x
− 4
x
3
4
f
7
(x )
=
f
8
(x )
=
2
(
3
10
f
13
f
(x )
=
x
r
x
)
11
f
14
f
(x) = 3x
(x)
12
f
(x)
=
12
2
−
x
2
− 2x
+ 5
=
2x
+
3x
+
7
1
2
3
x
+ 2x
Ecuaciones
La
f
)
4
+
2
=
4 x
4
x
(
3
(x )
9
2
4 x
de
norm
per pendicular
+ 1
a
a
la
(x)
rectas
un
punto
recta
=
2
2x (x
−
3x)
tangentes
de
una
tangente
cur va
en
Recta
ese
normal
a
15
y
es
f
(x)
=
(x
+
3x)(x
−
1)
normales
la
recta
punto.
la
cur va
[
y
=
Las
chispas
que
de
crea
una
piedra
pulir
son
ngn
f(x)
a
la
rueda.
Recta
emo
Escriba
tangente
a
la
cur va
una
ecuación
para
cada
recta.
2
La
recta
tangente
La
recta
normal
Las
a
a
la
la
cur va
cur va
f (x)
f
(x )
=
x
+
=
2
x
1
en
el
punto
cuando
x
=
(1, 2).
9.
27
rectas
normal
y
tangente
a
la
cur va
f
(x )
=
x
+
2
2x
cuando
x
=
3.
3
La
tangente
a
f
(x)
=
x
2
−
3x
−
13x
+
15
que
es
paralela
a
la
[
tangente
en
(4,
Los
rayos
de
una
−21).
rueda
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
de
bicicleta
norm
a
la
son
llanta.
Capítulo
7
205
Respuestas
Para
2
f (x)
=
x
+
hallar
la
pendiente
de
la
recta
1
El
tangente,
f
′(x)
=
halle
la
derivada
de
f
símbolo
∴
signica
y
2x
“por
evalúe
m
=
para
x
=
lo
tanto”.
1.
′(1)
f
tangente
=
2(1)
=
2
Use
el
punto
− 2
=
y
m
=
2
para
La
escribir
∴ y
(1, 2)
2( x
− 1)
la
ecuación
de
la
f
(x )
=
2
de
una
recta
que
per tenece
a
la
tangente.
punto
n
ecuación
recta
Escriba
x
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
(x
n
,y
1
con
1
pendiente
1
)
el
m
es
racional.
2
2x
=
y
y
=
m(x
x
1
1
(Véase
).
1
la
sección
3.11
1
2
f
′( x )
=
x
o
en
el
capítulo
18.)
x
m
=
f
Para
′(9 )
hallar
la
pendiente
de
la
recta
tangente
tangente,
halle
la
derivada
de
f
y
1
=
evalúe
para
x
=
9.
9
Si
una
recta
tiene
1
pendiente
m,
la
pendiente
de
la
=
3
m
=
Puesto
−3
que
la
recta
nor mal
perpendicular
es
recta
será
normal
–1
per pendicular
a
la
tangente,
.
halle
(Véase
la
m
f
(9 )
=
2
9
=
6
la
pendiente
del
tomando
recíproco
de
la
el
simétrico
pendiente
de
un
punto
hallando
∴ y
− 6
=
−3( x
Use
− 9)
el
el
punto
escribir
la
en
valor
la
de
(9, 6)
y
ecuación
recta
f
nor mal,
para
m
de
=
x
−3
la
=
9.
para
tangente.
27
f
(x )
=
x
+
n
Escriba
2
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
2x
racional.
27
2
=
x
+
x
2
27
f
′( x )
Para
= 1 −
hallar
la
pendiente
de
la
3
x
tangente,
m
=
f
evalúe
′(3)
halle
para
x
la
=
derivada
de
f
y
3.
tangente
27
= 1 −
3
3
Dado
=
que
tangente
(3)
=
pendiente
es
0,
la
0
27
f
la
recta
es
horizontal,
nor mal
debe
ser
entonces
la
ver tical.
3 +
2
2 (3
)
Halle
un
punto
per teneciente
a
las
9
=
rectas,
hallando
el
valor
de
f
para
2
x
∴
La
recta
normal
es
x
=
3
=
3.
y
9
la
recta
tangente
es
y
=
2
{
206
Límites
y
derivadas
Continúa
en
la
página
3.11
capítulo
18.)
la
tangente.
Halle
sección
siguiente.
en
el
3
=
2
f
(x)
x
−
3x
f
′( x )
=
3x
f
′( 4 )
=
3( 4 )
−
13x
+
15
2
− 6x
− 13
2
Halle
− 6( 4 ) − 13
la
cuando
pendiente
x
=
de
la
recta
tangente
4.
= 11
2
3x
− 6x
− 13
− 6x
− 24
= 11
Iguale
la
derivada
a
11
para
hallar
la
2
3x
=
0
coordenada
x
de
los
puntos
con
rectas
2
3( x
3( x
x
=
− 2x
− 8)
− 4 )( x
=
+ 2)
0
=
tangentes
paralelas.
Tenga
cuenta
0
4, −2
en
que
uno
de
los
Recordemos
valores,
x
=
4,
es
la
coordenada
x
las
punto
de
tangencia
rectas
coordenada
tangencia
x
3
f
( −2 )
=
2
( −2 )
− 3( −2 )
=
del
la
punto
recta
de
la
misma
pendiente.
paralela
es
−2.
Evalúe
− 13( −2 )
para
x
paralelas
(4, −21).
tienen
La
que
del
f
en
coordenada
x
y
=
−2
del
para
punto
hallar
de
la
tangencia.
+ 15
=
Use
21
el
para
∴
y
− 21 = 11( x
punto
escribir
(−2,
la
21)
y
m
ecuación
=
de
11
la
recta
+ 2)
tangente.
Ejercitación
Halle
las
7G
ecuaciones
de
la
recta
tangente
y
la
recta
normal
al
2
gráco
de
f
(x)
grácamente
2
Halle
la
=
la
–
x
4x
en
función
ecuación
de
la
y
el
punto
(3,
las
rectas
a
recta
–3).
Represente
mano.
tangente
a
la
cur va
en
el
punto
dado.
2
f
(x)
=
f
(x )
x
+
2x
+
1
en
(–3, 4)
f
(x )
=
f
(x )
=
2
x
+
4
en
x
=
1
2
x
8
+ 6
4
en
=
(3, 5)
x
+
en
x
3
Halle
la
x
=
1
x
ecuación
de
la
recta
normal
a
la
cur va
en
el
4
punto
dado.
1
2
f
(x)
=
2x
–
x
–
3
en
(2, 3)
f
(x )
=
en
x
=
–1
2
x
x
4
3
2
f
(x)
=
(2x
+1)
en
(2, 25)
f
(x )
=
2
x
−
en
x
=
1
2
x
PREGUNTAS
4
Halle
las
TIPO
EXAMEN
ecuaciones
de
todas
la
rectas
normales
ver ticales
al
3
gráco
de
f
(x)
=
x
–
3x.
2
5
La
en
pendiente
x
=
–1
es
1.
de
la
recta
Halle
el
tangente
valor
de
al
gráco
de f
(x)
=
2x
+
kx
–
3
k.
Capítulo
7
207
.
Má
Podemos
rg
usar
una
CPG
rón
para
evaluar
una
derivada
de
una
función
en
un
1
3
valor
dado.
Sabemos
que
la
derivada
f
de
(x )
=
x
− 3x
4
3
3
2
2
es
f
′( x )
=
x
y
− 3
en
consecuencia,
f
′( 4 )
=
las
clic
− 3
= 9
4
4
Hacer
(4 )
en
para
ver
plantillas.
Elegir
la
plantilla
primera
e
variable
y
Dado
recta
de
ingresar
el
que
valor
la
secante
la
la
de
derivada
función,
x
calculadora
para
la
usa
una
aproximar
el
Para
valor
de
siempre
la
derivada,
será
este
valor
hallar
en
un
de
x,
valor
función
y
obtener
hallar
presionando
derivada
especíco
exacto.
use
contexto
Podemos
la
no
menu
el
su
gráco
de
la
para
derivada
el
menú
del
mostrar
sus
coordenadas,
edite
:
la
de
punto
y
luego
coordenada
x
dy
anyz
Grh
(analizar
gráco)
|
5:
,
y
eligiendo
dx
el
punto
Se
en
pueden
el
gráco.
obser var
los
grácos
y
las
tablas
de
valores
En
para
la
función
y
su
derivada.
Para
obtener
el
este
ingresar
de
f
y
f
′,
usamos
la
plantilla
de
la
derivada
escribir
la
Límites
y
habrá
un
valor
de
ingresando
derivadas
lugar
x.
para
Puede
f 1(x)
función.
reescribir
208
no
ahorrar
primera
tiempo
para
caso
gráco
la
ecuación.
en
lugar
de
x
ingón:
las
derivadas
de
e
y
ln x
x
Use
1
una
CPG
Examine
los
para
obtener
grácos
y
la
el
gráco
tabla
de
de
f (x)
valores
=
de
x
e
y
las
la
derivada
funciones
de
para
f(x)
=
e
elaborar
.
una
x
conjetura
2
Use
una
acerca
CPG
Examine
los
de
para
la
grácos
conjetura
acerca
dr
derivada
obtener
de
y
la
la
el
de
f(x)
gráco
tabla
de
derivada
=
de
e
f (x)
valores
de
f (x)
=
=
de
ln x
las
y
la
derivada
funciones
de
para
f (x)
=
ln x.
elaborar
una
ln x
x
➔
x
Si
f
(x)
=
e
x
,
entonces
f
′(x)
=
e
x
Recuerde
y
=
ln x
que
son
y
=
e
e
inversas.
ln x
e
➔
dr
=
x
n x
x
1
Si
f
(x)
=
ln x,
entonces
f
′( x )
ln e
=
x
=
x
emo
Halle
la
derivada
de
cada
f (x)
=
La
función:
x
2
3e
f (x)
=
x
3x
+
ln x
f (x)
=
letra
como
ln e
e
función
f (x)
Usar
x
f
(x)
=
la
regla
de
la
multiplicación
al
3e
x
f ′ (x)
=
usa
de
la
exponencial
x
Respuestas
se
base
por
x
3 · e
=
una
constante
y
el
dato
de
que
la
3e
x
derivada
de
e
=
e
,
en
honor
matemático
Leonhard
suizo
Euler
x
es
e
(1707–1783).
2
f
(x)
=
x
+
Hallar
ln x
la
derivada
de
cada
tér mino
2
1
f ′ (x)
=
2x
+
2x
+ 1
Usar
o
x
el
dato
de
que
la
derivada
de
que
las
de
x
1
ln
x
es
x
3x
f
(x)
=
f
′(x)
ln e
=
=
Usar
3x
Ejercitación
la
dato
inversas
3
A
Halle
el
para
de
cada
(x)
=
3
f
(x)
=
5
f
(x)
=
4 ln x
2
f
(x) = e
4
f
(x)
=
e
6
f
(x)
=
5e
2
ln x
+
3x
+
x
+
derivada
ln 4 x
+
x
2e
la
x
+
4
3 x
ln e
simplicar
buscar
función:
x
f
son
7H
derivada
1
poder
continuación,
funciones
ln x
1
x
+
4 ln e
Capítulo
7
209
Escriba
una
ecuación
para
cada
recta
en
las
preguntas
7
a
0.
¿Cómo
las
x
La
7
recta
tangente
a
la
cur va
f
(x)
=
4e
–
7
en
x
=
se
usan
funciones
ln 3
exponenciales
en
la
determinación
de
la
2
x
8
La
recta
normal
a
9
La
recta
tangente
10
La
recta
normal
la
cur va
f
(x )
=
ln
(
e
en
)
el
punto
(–3, 9)
concentración
a
la
cur va
f
(x)
=
ln x
en
2
Halle
en
las
un
el
valor
la
exacto
preguntas
valor
a
de
y
11
cur va
la
aproximado
(x)
=
derivada
y
12
f
luego
para
use
la
controlar
+
el
e
–
valor
CPG
su
=
e
en
de
paciente?
un
el
de
droga
una
organismo
ln x
2x
en
x
3
en
dado
para
x
=
2
de x
hallar
trabajo.
x
11
Halle
12
Halle
f
′(3)
si
f
(x)
=
2e
−
5.
3
f
′(8)
si
f
(x)
=
+
x
ingón:
la
ln x.
derivada
del
producto
de
dos
funciones
4
Para
los
pasos
1–4
sean
u(x)
=
x
7
,
v(x)
=
x
y
f(x)
=
u(x)·v(x).
n
1
La
función
2
Halle
f
puede
escribirse
como
f(x)
=
x
.
Halle
n
f ′(x).
La
derivada
es
la
de
suma
de
la
suma
las
de
dos
derivadas
funciones
de
las
dos
funciones.
3
Halle
u ′(x)
y
v ′(x).
4
Halle
u ′(x) · v ′(x).
SI
f (x)
¿Se
5
¿Es
f ′(x)
6
Usando
igual
a
pasos
2
y
tres
3,
derivadas
rellene
los
halladas
espacios
en
una
proposición
4
f ′( x )
=
x
en
blanco
matemática
verdadera.
7
⋅ _______ +
Complete
la
x
para
f(x)
=
=
(
x
)
=
una
regla
de
dos
en
la
la
del
la
regla
pero
la
Límites
y
funciones?
son
se
sencillas
demostración
requiere
____ ⋅ ____
Puede
demostración,
y
ingenioso
función
f(x)
=
(3x
+
1)(x
–
1)
del
uso
buscar
hallar
que
se
y
de
conrmar
derivadas
de
un
analizar
un
paso
su
conjetura
del
paso
7.
la
la
ejemplo
necesita
para
completar
210
v ′(x).
entonces
____ ⋅ ____ +
o
a
conjetura.
u (x) · v (x)
rechazar
+
producto.
2
Use
=
investigación
regla
demostraciones
directas,
paso
8
u′(x)
similar
_______
creativo.
f ′
entonces f ′(x)
producto
como
Muchas
⋅ _______
el
conjetura
conoce
esta
Si
v(x)
para
y
7
+
aplicar
los
La
establecer
u(x)
u ′(x) · v ′(x)?
esta
las
=
podrá
demostración.
del
para
4
Para
funciones
como
f
(x)
=
7
x
x
2
y
f
(x)
=
(3x
+
)(x
−
)
se
puede
Rg
reescribir
la
derivada.
Pero
se
función
necesitaría
y
para
una
usar
otras
regla
la
regla
de
funciones
como
la
la
potencia
tales
como f
desarrollada
para
(x)
en
la
=
tomar
(3x
+
la
derivada.
derivada
del
Las
producto
siguientes
o
del
reglas
cociente
se
de
usan
conjetura
dos
para
hallar
La
derivada
de
dos
la
por
funciones.
la
factor
segundo
➔
f
(x)
Rg
=
f
el
más
del
el
segundo
del
por
la
primero.
roo
u(x) · v (x),
entonces
f
′(x)
=
u(x) · v ′(x)
+
on
La
derivada
de
dos
del
entonces
f
′( x )
por
la
cociente
factores
denominador
v ( x ) ⋅ u′( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x )
,
( x ) =
v (x) · u′(x).
on
u( x )
Si
es
multiplicado
Rg
Si
producto
multiplicado
derivada
derivada
Rg
del
factores
para
factor
➔
roo
)(ln x)
primer
hallar
la
es
el
multiplicado
derivada
del
=
2
v(x )
[v ( x
)]
numerador
menos
numerador
multiplicado
por
la
del
derivada
denominador
,
todo
el
el
dividido
por
denominador
al
cuadrado.
emo
Halle
la
derivada
de
cada
función:
4
f
(x)
=
f
(x)
=
(3x
5x
+
1)(ln x)
f
(x)
=
f
(x)
=
3
(x
+ 3
x
2
+
3x
+
6)(2x
−
1)
+ 2
x
x
+ 1
2e
3
Respuestas
primer
f
(x )
=
segundo
factor
factor
(3 x
(ln x )
+ 1)
f
(x)
es
el
=
u(x) · v(x),
primer
donde
factor
y
u(x)
v(x)
=
=
ln x
3x
es
+
el
1
segundo
factor.
derivada
del
primer
segundo
factor
⎛
f
′( x )
=
(3 x
1
+
⎝
del
(ln x ) ⋅
(3)
+ 3 ln x
primer
=
+ 1 + 3x
factor
segundo
f
(x)
=
u(x)
u(x)
=
x
ln
+ 3x
+ 6)
(2 x
primer
del
4
=
factor
v(x),
donde
− 1)
3
+
3x
+
6
es
el
primer
factor
y
segundo
v(x)
=
2x
–
1
es
el
segundo
factor.
3
(x
+ 3x
+ 6) ⋅
(2)
derivada
segundo
del
factor
− 1) ⋅ ( 4 x
4
(2 x
4
u(x)
=
del
v ′(x)
producto
+
v(x)
u ′(x)
2
+ 9x
)
3
− 4 x
Desar rollar
+ 12 ) +
3
+ 18 x
4
= 10 x
f
′(x)
regla
3
+ 6x
(8 x
la
primero
3
+ (2 x
Aplicar
=
u ′(x)
derivada
factor
′( x )
v(x)
x
4
f
+
3
(x
v ′(x)
x
4
(x )
u(x)
=
o
f
′(x)
producto
⎠
x
f
del
primero
3x
3 +
regla
⎟
x
1
=
derivada
factor
la
⎞
+ 1) ⋅
⎜
segundo
Aplicar
3
+ 20 x
paréntesis
2
− 9x
2
− 9x
los
+ 12
)
Simplicar
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
211
5x
f
(x)
+ 3
u( x )
=
f(x)
=
,
donde
u(x)
=
5x
+
3
es
el
numerador
y
2
x
f
′(x)
+ 1
v(x )
=
2
v(x)
derivada del
numerador
denominador
=
x
+
1
es
el
denominador.
derivada del
numerador
Aplicar
denominador
la
regla
del
cociente
2
(x
+ 1)
⋅
(5)
−
(5 x
2
+ 3)
⋅
v ( x ) ⋅ u′( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x )
(2 x )
f
2
(x
′(x)
=
2
+ 1)
[v ( x )]
denominador
2
al cuadrado
2
(5 x
+ 5) − (10 x
+ 6x )
=
Desar rolle
2
el
numerador
de
modo
que
pueda
2
(x
+ 1)
agrupar
los
tér minos
semejantes.
No
desar rolle
el
denominador.
2
−5 x
− 6x
+ 5
=
2
(x
+ 1)
x
f
(x)
Simplicar
2
u( x )
+ 2
f
=
(x)
=
,
donde
u(x)
=
x
+
2
es
el
numerador
x
2e
v(x )
3
x
f
v(x)
′(x) =
Aplicar
denominador
numerador
2e
–
3
es
el
denominador.
derivada del
derivada del
denominador
=
numerador
la
regla
del
cociente
x
x
(2e
3)
⋅
(1)
−
(x
+ 2)
(2e
)
v ( x ) ⋅ u′( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x )
x
2
(2e
f
3)
′(x)
=
2
[v ( x )]
denominador
x
al cuadrado
x
( 2e
x
− 3) − ( 2 xe
+ 4e
)
Desar rolle
el
numerador
de
modo
que
pueda
=
2
x
( 2e
3
agrupar
)
los
tér minos
semejantes.
denominador.
x
x
−2 xe
− 2e
− 3
Simplicar
=
2
x
( 2e
3
Ejercitación
Halle
la
)
7I
derivada
de
cada
función
de
las
preguntas
a
8.
2
x
3
1
f
(x) =
x
2
f
(x)
= (2x
4
f
(x)
=
6
f
(x) =
2
+
x
2
+
x)(x
+
1)
4
ln x
x
3
f
(x)
=
e
ln x
x
x
x
5
f
(x)
e
2
=
x
+ 4
x
e
+ 1
2
x
2
x
7
f
(x) =
e
3
(5x
+
4x)
f
8
(x)
=
3
x
PREGUNTAS
TIPO
+ 1
EXAMEN
x
9
La
función
Halle
10
212
(x)
(x)
=
xe
tiene
una
recta
tangente
horizontal
en x
k
Escriba
f
f
las
x
+ 1
x
1
=
Límites
ecuaciones
que
y
son
derivadas
de
las
paralelas
rectas
a
la
tangentes
recta
x
+
2y
al
=
gráco
10.
de
=
k.
No
desar rolle
el
y
Las
los
reglas
del
producto
productos
conveniente
emo
Halle
la
y
todos
y
del
los
reescribir
la
cociente
cocientes.
función
no
son
Muchas
antes
de
necesarias
veces
para
resulta
todos
más
derivar.
derivada.
Primero
reescriba
la
función,
si
resulta
más
conveniente.
3x
2
f
(x )
=
x (4 x
− 2x )
f
(x )
+
4
=
2
x
2
2
9
f
(x )
3x
=
f
(x )
+
2x
+ 1
=
2
3
4
x
x
Respuestas
2
f
(x )
=
x (4 x
− 2x )
1
2
2
x
=
n
(4 x
5
3
2
Utilizar
la
4 ⋅
2
x
− 2 ⋅
x
2
2
,
con
n
desar rollar
3x
regla
de
la
multiplicación
por
una
y
potencia
constante
la
regla
de
la
para
2
− 3x
hallar
(x )
x
1
= 10 x
f
=
2
3
y
−1
3
2
=
y
f or ma
3
−1
5
′( x )
racional
la
− 2x
5
f
de
2
4 x
=
Escribir
− 2x )
+
la
derivada
y
simplicar
4
=
2
x
2
2
(x
f
′( x )
− 2 ) ⋅ (3 ) − (3 x
+
4 ) ⋅ (2 x )
Utilizar
la
Escribir
de
regla
del
cociente
=
2
2
(
x
2
2
)
2
(3 x
− 6) − (6 x
+ 8x )
=
2
2
(
x
2
)
2
−3 x
− 8x
− 6
=
2
2
(
x
2
)
4
9
n
3
f
(x )
=
=
3
9x
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
4
x
racional
4
−
4
−1
3
f
′( x )
=
9 ⋅ −
x
3
7
12
3
=
−12 x
=
−
7
3
x
2
3x
f
(x )
+
2x
+ 1
Reescribir,
=
separando
tér minos
y
2
x
n
luego
escribir
de
la
f or ma
y
=
x
,
2
3x
=
2x
+
1
2
x
3 + 2x
−2
+
x
−2
′( x )
=
0 − 2x
−2
=
−3
− 2x
2
−
−2 x
− 2
o
2
x
racional
2
x
−1
f
n
+
2
x
=
con
3
x
3
x
Capítulo
7
213
Hemos
estado
usando
la
notación
con
primas, f
′(x),
para
denotar
derivadas.
d
dy
Podemos
usar
la
notación
de
Leibniz,
o
( x )],
[ f
y
también
dx
dx
dy
podemos
usar
variables
distintas
de
x
e
y.
La
se
notación
lee
dx
“la
derivada
de
y
con
respecto
a
x”.
d
La
notación
[ f
( x )]
se
lee
“la
derivada
de
f
con
respecto
a
x”.
dx
emo
[
d
2
Halle
[ (ln
x )(7 x
2) ]
s (t )
Si
=
(4t
ds
2
− 1)
,
Gottfried
Leibniz
Wilhelm
(1646
–1716),
halle
un
dx
matemático
alemán,
dt
debatió
con
Isaac
Newton
sobre
dA
2
Si
A
πr
=
,
quién
halle
fue
dr
el
primero
en
r =3
desarrollar
Respuestas
el
cáculo.
Generalmente
acepta
que
se
Leibniz
y
d
[ (ln x )(7 x
Utilizar
2) ]
la
regla
del
producto
para
Newton
desarrollaron
dx
hallar
⎛
(ln x )(7 )
=
(7 x
+
1
⎝
ln
x
+ 7x
derivada
de
(ln x)(7x
−
el
2)
con
respecto
a
x
⎠
− 2
2
=
2
(4t
− 1)
Desar rollar
4
2
= 16t
potencia
− 8t
y
usar
para
la
hallar
regla
la
de
la
derivada
de
s
+ 1
con
ds
respecto
a
t
3
=
64 t
− 16t
dt
2
A
2
r
Hallar
a
dA
la
derivada
de
πr
con
respecto
r
2 r
dr
La
dA
bar ra
indica
que
se
evalúe
a
2.
la
2 (3)
derivada
dr
para
r
=
3.
r 3
6
Ejercitación
Halle
la
7J
derivada
reescriba
la
de
función,
cada
si
función
resulta
en
más
las
preguntas
conveniente.
3
2x
1
f
(x )
5x
2
=
2
f
(x )
=
4
f
(x )
=
(x
x
x
f
(x )
=
2e
2e
2
(x
)
2
x
2
f
(x )
= e
x
4
3
ln
5
x
6
+
f
(x )
=
x
5
4
x
214
Límites
y
derivadas
e
2
− 5 )( x
3
3
simultánea-
de
manera
independiente.
x
s (t )
y
x
⎟
=
cálculo
− 2)
⎜
7x
la
mente
⎞
+ 5)
Primero
2
x
f
7
(x )
=
2
x
+ 1
8
f
(x )
= 3x
9
f
(x )
=
ln x
2
x
− 2x
+ 1
x
2
10
f
(x )
=
11
f
(x )
=
x (x
+ 1)
x
2
x
− 2x
+ 1
3
12
f
(x )
=
2
(x
− 3 x )(2 x
PREGUNTAS
13
Escriba
TIPO
la
14
(x )
=
Escriba
de
la
recta
normal
al
recta
tangente
gráco
de
x
xe
la
+ 5)
EXAMEN
ecuación
x
f
+ 3x
− e
en
x
ecuación
=
de
1.
la
al
gráco
de
3
f
(x )
=
x
ln x
en
x
=
1.
dc
2
15
Si
c (n )
=
−4, 5n
+ 3, 5n
− 2,
halle
dn
4
dA
3
16
Si
A
=
πr
,
halle
3
dr
dv
2
17
Si
v (t )
=
2t
,
+ 1
− t
halle
dt
t =2
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
d
t
t
18
⎡ (e
)( t
+ 3) ⎤
⎣
puede
escribirse
como
e
(t
+
k).
Halle
k
⎦
dt
El
.
l
rg
n
y
r
símbolo
para
indicar
función
orn
se
utiliza
una
compuesta.
Si
ror
3
u( x )
La
regla
de
la
potencia
sola
no
dará
la
derivada
correcta
de
=
x
y
v ( x)
=
2
−
x,
entonces
3
f
(x )
sino
=
(2 −
más
x )
bien
.
Esto
una
es
porque
potencia
de
la
función
otra
no
función,
es
una
v(x )
=
potencia
2 −
x .
La
de x,
función
3
f
es
una
función
compuesta, (u v )( x )
o
u ( v ( x )),
donde
u( x )
=
x
f ( x)
=
(u
v )( x )
=
u(v ( x ))
=
u
(2
−
x
)
y
3
v(x )
=
2 −
x
=
(2
−
x
)
Capítulo
7
215
ingón:
cálculo
de
función
la
derivada
de
una
compuesta
3
Sea
1
f (x)
=
(2
−
x)
3
Desarrolle
T
ambién
hallar
la
f (x)
=
(2
derivada
−
de
x)
.
Derive
cada
término
para
f
3
puede
hallar
la
derivada
de
f (x)
=
(2
−
x)
3
mediante
la
aplicación
multiplicando
por
otro
de
la
regla
de
la
potencia
a
(2
−
x)
y
factor
.
2
Si
Compare
lo
siguiente
con
su
respuesta
al
punto
v(x)
2
halle
el
factor
faltante:
f ′(x)
=
3(2
−
x)
Repita
el
proceso
Desarrolle
f
y
para
halle
f (x)
la
=
(2x
+
=
x
y
=
2x
+
1,
entonces
._____
2
2
u(x)
y
f ( x)
1)
derivada.
=
u(v ( x ))
=
u(2 x
=
(2x
+ 1)
2
Aplique
factor
la
regla
faltante:
de
la
f ′(x)
potencia
=
2(2x
+
a
(2x
el
proceso
para
f (x)
=
1)
2
para
hallar
el
+ 1)
1)._____
2
Repita
3
+
(3x
2
+
1)
2
Desarrolle
f
y
halle
la
Si
derivada.
2
Aplique
la
regla
de
la
potencia
a
+
1)
=
x
y
2
2
(3x
u(x)
para
v(x)
hallar
=
3x
+
1,
entonces
2
el
factor
faltante:
f ′(x)
=
2(3x
+
f ( x)
1)._____
=
u(v ( x ))
=
u(3 x
2
Elabore
4
función
una
conjetura
sobre
cómo
hallar
la
derivada
de
una
=
4
Verique
5
Para
de
la
➔
hallar
que
la
su
conjetura
derivada
+ 1)
2
compuesta.
de
es
una
válida
función
para
f (x)
=
(x
compuesta
2
+
x
(3 x
2
+ 1)
3
)
usamos
la
regla
cadena.
Rg
Si
f
(x)
=
Rg
n
u(v(x)),
entonces
f
(x)
=
La
u ′(v(x)) · v′(x).
derivada
función
es
➔
La
regla
de
la
cadena
también
puede
escribirse
dy
y
=
f
(u),
u
=
g (x)
e
y
=
f
( g (x)),
dy
emo
derivada
función
du
respecto
(la
función
interior
no
Identique
está
dada
u(x)
y
v(x),
en
la
forma
f
(x)
=
luego
halle
la
derivada
de
+ 2)
f
(x )
=
4 x
respecto
x
+ 1
f
(x )
=
e
Respuestas
3
f
( x ) = 4(5 x
6
+ 2)
6
u
u( x ) = 4 x
es
la
función
exterior.
3
v ( x ) = 5x
v
+ 2
3
f
′( x ) = 24(5 x
5
(
15 x
respecto de
la
derivada
función
Aplicar
Límites
y
la
regla
de
la
cadena
de la
interior
respecto de
x
3
(5 x
5
+ 2)
Simplicar
{
216
interior.
interior
2
= 360 x
función
)
la
función exterior
la
2
+ 2)
derivada de
es
derivadas
derivada
función
de
interior
f.
2
6
4 (5 x
la
multiplicada
u(v (x)).
2
3
=
se
función
(x )
la
interior
la
f
a
función
por
de
exterior
dx
modica)
Cada
una
⋅
con
dx
de
compuesta
du
=
entonces
la
n
como:
la
Si
Continúa
en
la
página
siguiente.
de
x
n
2
f
(x ) =
4x
Escribir
+1
1
2
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
racional
2
= (4 x
+ 1)
1
2
u(x ) =
x
u
es
la
función
exterior.
2
v (x ) =
4x
v
+1
es
la
función
interior.
1
1
f
2
′( x ) =
2
(4 x
+ 1)
(8 x )
Aplicar
la
regla
de
la
cadena
2
derivada de la
exterior
de la
derivada de la
función
función
respecto
función
interior
respecto de x
interior
4 x
4 x
=
Simplicar
o
1
2
2
4 x
2
(4 x
+ 1
+ 1)
2
x
f
(x )
= e
2
( x
)
= e
x
u( x )
= e
u
es
la
función
exterior.
2
v(x )
=
v
x
es
la
función
interior.
2
(x
′( x )
f
=
)
e
derivada
(2 x )
⋅
derivada
función exterior
función
respecto de la
funci ón
Aplicar
de la
la
regla
de
la
cadena
de la
interior
respecto de
x
interior
2
x
=
2 xe
Simplicar
Ejercitación
Cada
función
Identique
7K
está
u(x)
y
dada
v(x),
4
en
la
luego
forma
halle
la
f
(x )
=
u ( v ( x ))
derivada
de
5
1
f
(x )
=
(3 x
3
f
(x )
=
ln(3 x
5
f
(x )
= e
7
f
(x )
=
9
f
(x )
= 5( x
f.
2
+ 2x )
2
f
(x )
=
4
f
(x )
=
6
f
(x )
=
8
f
(x )
=
10
f
(x )
= e
3
4 (2 x
5
+ 3x
+ 1)
3
)
2x
+ 3
4 x
3
(ln x )
2
2
4
3
(9 x
+ 2)
2x
+ 3
3
3
Podemos
hallar
volviendo
regla
un
de
texto
Isaac
4
a
la
4 x
+ 3x )
la
derivada
escribir
la
de
función
algunas
de
funciones
forma
tal
que
con
se
mayor
pueda
ecacia
aplicar
la
cadena.
de
cálculo
Newton
and
que
incluía
Gottfried
los
métodos
de
cálculo
de
Leibniz.
3
a
María
también
estudió
cur vas
de
la
forma
y
,
=
2
x
cuyos
grácos
son
conocidos
como
las
brujas
2
+
de
a
Agnesi.
1
La
función
f ( x)
=
de
ese
en
2
x
el
ejemplo
13
es
un
ejemplo
+ 1
gráco.
Capítulo
7
217
emo
1
Use
la
regla
de
la
cadena
para
hallar
la
derivada
f
de
(x )
=
2
x
+ 1
Respuesta
1
f
(x )
n
Escribir
=
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
2
x
+ 1
racional
2
1
=
(x
+ 1)
=
−1( x
2
f
′( x )
2
+ 1)
⋅ 2x
Aplicar
la
regla
de
la
cadena
2x
=
−
2
2
(x
Para
regla
+ 1)
algunas
del
Simplicar
funciones
producto
emo
o
se
del
debe
combinar
cociente,
o
puede
la
regla
de
resultar
la
4
f
(x )
con
la
repetirla.
2 (3 x
2
cadena
necesario
=
x
1 −
x
f
(x )
=
x
⎛
1)
e
f
(x )
=
⎞
ln
⎜
⎝
⎟
2
x
+ 1
⎠
Respuestas
1
n
2
f
(x ) =
x
1 −
2
x
=
x (1 −
x
Escribir
2
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
)
racional
1
1
2
f
′( x ) =
x
(1 −
{
x
2
)
( −2 x )
Aplicar
la
regla
del
producto
y
2
primer factor
144
4
2444
3
usar
derivada del
la
regla
de
la
cadena
para
segundo factor
usando regla de la cadena
hallar
la
derivada
del
segundo
1
2
(1
+
x
2
)
factor
1
{
1
4
24
3
derivada del
segundo factor
primer
factor
1
2
x
2
+ (1
=
x
2
Simplicar
)
1
2
(1
2
x
)
1
1
2
2
(1
x
2
+ (1
=
x
x
2
)
2
Hallar
)
1
2
(1 −
x
el
denominador
común
1
2
2
(1 −
)
2
x
2
)
2
−x
+ (1 −
x
)
=
1
2
(1
x
2
)
2
1 −
2
2x
1 −
=
2x
Simplicar
o
1
2
2
(1
x
x
1
2
)
4
2 (3 x
f
(x )
=
e
u( x )
=
e
v(x )
=
2(3 x
1)
x
Se
y
4
muestran
las
funciones
exterior. Téngase
en
interior
cuenta
que
la
− 1)
4
función
4
2(3 x
f
′( x )
=
1)
interior
v(x)
=
2(3x
−
1)
es
3
e
8(3 x
1
4
2
4
3
− 1)
(3)
14
4
244
3
4
la
composición
de
2x
y
3x
−
1.
derivada de la
derivada de la
función exterior
función
interior
respecto de la
respecto de
funcion
Aplicar
la
regla
de
la
cadena
a
f
y
x
interior
volver
a
aplicarla
cuando
se
halla
4
2(3 x
3
= 24(3 x
1)
e
1)
la
derivada
{
218
Límites
y
derivadas
de
la
Continúa
función
en
la
interior
página
siguiente.
x
⎛
f
(x )
=
⎞
ln
⎜
⎟
2
+ 1
x
⎝
⎠
2
1
f
′( x )
(x
⋅1 −
+ 1)
⋅ (2 x )
x
⋅
=
Aplicar
la
regla
la
del
de
la
cadena
y
usar
2
x
2
(
2
x
+ 1
)
regla
cociente
para
hallar
la
x
+ 1
derivada de la
derivada de la
con
de
la
función
interior
interior
función
función exterior
derivada
respecto
de
x
respecto la
función interior
2
2
x
+ 1
2
x
+ 1
2x
Simplicar
=
2
2
x
(
x
+ 1
)
2
x
1
=
2
x (x
+ 1)
Ejercitación
Halle
la
7L
derivada
de
2
1
f
(x )
=
3
f
(x )
=
x
cada
función
en
las
preguntas
4
(2 x
2
− 3)
2
f
(x )
=
4
f
(x )
=
a
0.
x
x
e
4
x
2
x
+ 3
2x
2 x
5
f
(x )
=
7
f
(x )
=
+ 1
2 x
e
3
+ e
6
f
(x )
=
8
f
(x )
=
ln(1 − 2 x
2
2
ln(ln x
)
x
x
e
1
9
f
(x )
)
+ e
4
=
f
10
(x )
=
2
x
x
+ 3
2
x
− 3x
PREGUNTAS
− 2
TIPO
EXAMEN
2
x
11
Para
la
Halle
A
a
12
Halle
f
f
cur va
f
de
cuando
2 x
= e
:
′(x).
par tir
la
(x )
Halle
lo
x
anterior,
=
halle
f
′(2).
la
ecuación
de
recta
tangente
2.
coordenada
x
del
(de
los)
punto(s)
en
el
gráco
de
3
f
(x )
=
Sean
f
x
donde
ln x
la
recta
tangente
es
horizontal.
1
13
(x )
=
,
g(x )
= 1 − 2x
y
h( x )
=
(
f
g )( x )
3
x
Halle
h(x)
y
muestre
que
la
pendiente
x
f (x)
g (x)
f ′(x)
g ′(x)
3
1
4
−3
2
4
2
−1
3
4
En
en
la
x
tabla
=
3
y
anterior,
x
=
se
muestran
los
de
h(x)
valores
es
siempre
de f
y
g
x
3.
y
positiva.
sus
derivadas
4.
Halle
la
pendiente
de (
Halle
la
pendiente
de
f
g )( x )
cuando
=
1
cuando
x
=
4.
2
[ g ( x )]
Capítulo
7
219
dr
orn
ror
dy
La
derivada
f
′(x)
o
se
denomina
r
La
derivada
de
la
segunda
derivada
d
nos
⎢
respecto
de
x.
A
veces
estamos
derivada
esto
⎡ dy ⎤
como
y
la
Escribir
rmr
dx
de
es
primera.
interesados
dx
en
ayuda
a
comprender
⎥
⎣ dx ⎦
2
d
la
pendiente
de
la
primera
derivada.
A
esto
se
lo
de
dónde
proviene
la
y
notación
2
dx
denomina
r
gn
de
y
respecto
de
x
y
2
d
puede
escribirse
como
f
″(x)
y
o
.
La
derivada
tercera
La
2
notación
con
“primas”
no
dx
3
d
de
y
respecto
de
x
puede
escribirse
como
f
″′(x)
y
resulta
o
útil
para
derivadas
tres.
Para
de
orden
.
3
dx
La
derivada
segunda
y
la
derivada
tercera
superior
al
esas
derivadas
son
(n)
escribimos
ejemplos
de
r
orn
f
(x).
Por
ejemplo,
en
lugar
ror
(4)
de
emo
4
Halle
escribir
las
primeras
tres
derivadas
de
f
(x )
=
2
x
+ 3x
+
x
3
d
f
Si
′( x )
=
y
2 x
2
x
+ 4 ,
halle
f
′′( x )
y
Si
=
4e
,
halle
3
dx
x =1
2
d
2
s (t )
Si
=
−16t
+ 16t
+ 32 ,
s
halle
2
dt
Respuestas
4
f
(x )
=
2
x
+ 3x
+
Las
x
f
3
f
′( x )
=
4 x
+ 6x
tres
′ ( x ),
primeras
f
′′ ( x )
derivadas
f
y
son:
′′ ( x )
+ 1
2
f
′′( x )
f
′′′( x )
f
′( x )
= 12 x
=
+ 6
24 x
2
=
x
Obser ve
+ 4
derivada,
1
2
=
(x
que
se
por
da
lo
la
primera
tanto
solo
necesita
2
+ 4)
derivar
una
vez
para
obtener
la
1
1
segunda
2
f
′′( x )
=
(x
derivada.
2
+ 4)
(2 x )
2
x
=
2
x
+
4
2 x
y
=
4e
dy
2 x
4e
=
2 x
⋅ 2
=
8e
Hallar
las
primeras
tres
derivadas
dx
usando
la
regla
de
la
cadena
2
y
d
2 x
8e
=
2 x
⋅ 2
=
16e
2
dx
3
y
d
2 x
16e
=
2 x
⋅ 2
=
32e
3
dx
3
d
y
2 (1)
=
32e
2
=
32e
Luego
evaluar
la
derivada
tercera
3
dx
en
x =1
x
=
1
2
s (t )
=
−16t
+ 16t
=
−32t
+ 16
dt
2
d
s
=
−32
2
dt
220
+ 32
Hallar
la
derivada
ds
Límites
y
derivadas
primera
de
s
y
la
respecto
segunda
de
t
f ″′′(x),
anotamos
f
(x).
Ejercitación
7M
3
2
1
Halle
2
Si
3
Si
la
segunda
5
f
(x )
= 3x
derivada
de
f
(x )
=
4 x
4
+
x
+ 2x
+ 1,
f
halle
′′′( x )
2
d
3n
C (n )
=
,
(3 + 2 n )e
C
halle
2
dn
3
dy
4
=
Si
4
d
,
y
halle
3
dx
x
dx
6
4
d
d
y
y
3
Si
5
=
ln( 4 x
),
halle
6
4
dx
dx
1
dR
2
R (t )
Si
6
=
t
ln( t
),
halle
2
dt
t = −1
PREGUNTAS
¿Qué
7
TIPO
puede
3
y
=
EXAMEN
armarse
acerca
de
la
enésima
derivada
+ 3x
+ 2x
+ 4,
n
para
≥
4?
x
Halle
8
de
2
x
las
primeras
cuatro
derivadas
y
de
= e
x
+ e
y
luego
escriba
n
d
una
generalización
para
y
hallar
para
esta
función.
n
dx
1
Halle
9
las
primeras
cuatro
derivadas
de
y
y
=
d
generalización
para
luego
escriba
una
f
= 3
x
n
y
hallar
para
esta
función.
n
dx
5
10
Halle
.
las
pendientes
Rzon
or
La
derivada
También
otra
n
nos
nos
variable.
da
da
En
la
de
rectas
mo
pendiente
Un
del
buzo
buzo
y
razón
de
de
a
la
función
(x )
2
x
momno
una
variación
sección
recta
de
y
tangente
una
estudiaremos
y rzón mo nnán
emo
tangentes
r
la
esta
las
a
variable
una
función.
respecto
de
la rzón mo m
los momno or n r
salta
a
la
desde
un
supercie
trampolín
del
agua
en
en
el
un
segundo
tiempo
t
t
=
está
0.
La
dada
distancia
por
2
s (t )
=
−4, 9 t
Halle
la
+ 4, 9 t
o
siguientes
[1, 2]
Halle
la
+ 10,
m
inter valos
donde
de
[1,5; 1]
o
s
se
del
mide
buzo
en
para
metros.
cada
uno
de
los
tiempo.
[1,1; 1]
nnán
del
[1,01; 1]
buzo
{
en
el
Continúa
segundo
en
la
t
=
página
1.
siguiente.
Capítulo
7
221
La
Respuestas
razón
media
La
velocidad
media
de
de
s,
de
distancia
de
tiempo
es
la
(metros)
(segundos)
de
la
recta
−1
son
s (2)
la
media,
pendiente
variación
o
es
velocidad
variación
cambio
m s
secante:
s (1)
s(t
+
h) −
s(t )
s(t
+
h)
−
s(t )
1
=
−9, 8
=
ms
(t
2
+
h)
− t
1
La
Hallar
s (1, 5 )
las
pendientes
de
las
−7, 35
ms
)
s (t
2
=
−5, 39
Usar
una
CPG
la
recta
evaluar
las
pendiente
s(t
=
1
=
1, 01
Velocidad
v (t)
=
−4, 949
ms
1
instantánea
Hallar
s ′(t)
la
tangente
Obser ve
s ′( t )
=
−9, 8t
s ′(1)
=
−9, 8 + 4, 9
pendiente
a
s
en
que
t
las
=
de
la
recta
1
pendientes
de
las
+ 4, 9
rectas
secantes
del
apar tado
a
se
1
=
−4, 9
ms
acercan
a
tangente
emo
Durante
la
del
pendiente
apar tado
de
la
recta
b
un
mes,
la
temperatura
del
agua
de
un
estanque
se
modeliza
t
3
mediante
mide
en
la
días
Halle
=
20 + 9 te
,
donde
t
se
mide
en
días
y
C
se
Celsius.
razón
del
la
C (t )
función
grados
Halle
15
la
de
cambio
media
cambio
de
de
la
temperatura
en
los
primeros
mes.
razón
de
la
temperatura
en
el
día
15.
Respuestas
Razón
de
C (15)
cambio
media:
Determinar
C (0 )
la
=
≈
15
recta
la
pendiente
secante
en
el
de
intervalo
0, 0606 °C/día
[0, 15].
0
Las
variación
unidades
de
para
temperatura
son
variación
Razón
de
cambio
instantánea:
t
⎛
1 ⎞
−
−
3
C ′( t )
=
9t
⎜
3
e
⋅ −
⎟
+ e
⋅ 9
3
⎝
⎠
t
t
−
−
3
=
−3te
3
+ 9e
−5
C ′(15) =
− 3 ⋅ 15e
−5
+
9e
5
En
el
=
− 36e
≈
− 0, 243 °C/día
día
15
la
descendiendo
grados
222
Límites
y
temperatura
a
Celsius
razón
por
derivadas
de
día.
Hallar
la
tangente
t
está
0,243
de
pendiente
a
C
°C/día.
tiempo
en
t
=
de
15
la
recta
+
h) −
lim
h→0
s (1)
la
tangente:
pendientes.
v (t )
s (1, 01)
de
para
ms
1
la
1
es
inter valo.
o
instantánea,
t
2
1
s,
cada
velocidad
s (1)
de
)
para
t
1, 1
cambio
1
secantes
1
s (1, 1)
de
instantánea
s (t
=
1, 5
razón
rectas
s (1)
h
s(t )
=
h
s
(t )
Ejercitación
Use
una
CPG
PREGUNTA
1
Se
la
para
TIPO
lanza
tierra
7N
una
t
evaluar
los
valores
de
las
funciones.
EXAMEN
pelota
segundos
ver ticalmente
después
de
hacia
ser
arriba.
lanzada
se
Su
altura
modeliza
en
metros
mediante
la
sobre
función
2
h (t )
=
−4, 9 t
+ 1
,4
Halle
la
altura
de
la
Halle
la
razón
de
cambio
media
cambio
instantánea
t
=
2
t
=
1
la
razón
segundo,
valores
La
pelota
cuando
t
de
=
0
la
segundos
pelota
y
entre t
cuando
=
0
t
=
2
segundos.
segundos
y
segundos.
Halle
2
+ 19, 6t
sobre
cantidad
de
de
t
=
el
2
segundos
movimiento
agua
en
un
y
t
de
=
la
tanque
3
de
la
altura
segundos.
de
la
pelota
Explique
qué
cuando
le
dicen
estos
pelota.
después
de t
minutos
se
modeliza
2
t
⎛
mediante
la
función V ( t )
=
4000
⎞
,
1−
⎜
Responda
Halle
y
t
=
0
agua
siguientes
cantidad
la
t
=
razón
la
en
el
Muestre
t
3
El
=
0
de
que
t
cambio
=
de
de
su
la
y
preguntas,
agua
en
V
se
mide
en
litros.
el
⎠
aproximando
tanque
al
cuando t
entero
=
0
más
próximo.
minutos
minutos.
20
media
minutos.
cambio
tanque
minutos
número
de
de
y
razón
signicado
20
minutos
Halle
la
cuando
Halle
las
donde
⎟
60
⎝
cuando
de
la
cantidad
Explique
instantánea
t
=
20
de
el
la
minutos.
de
agua
signicado
cantidad
Explique
en
de
el
su
tanque
entre
respuesta.
de
el
respuesta.
cantidad
t
=
40
bacterias
de
agua
en
el
tanque
nunca
aumenta
entre
minutos.
en
un
experimento
de
ciencias
en
un
día
0,25t
t
se
modeliza
Halle
la
razón
bacterias
Halle
en
4
El
en
el
la
10.
(en
de
la
función
cambio
inter valo
de
de
Explique
de
=
del
los
100e
número
días
0
y
10
de
del
experimento.
instantánea
del
número
de
bacterias
instantánea
del
número
de
bacterias
t.
cambio
dólares)
P (t)
media
entre
cambio
tiempo
razón
día
costo
el
razón
cualquier
Halle
en
la
mediante
el
signicado
producir
n
de
su
unidades
respuesta.
de
un
producto
se
2
modeliza
Halle
los
n
=
105
Halle
n
de
la
de
de
n
=
=
0,05n
C
producción
varían
de
n
100
razón
n
=
de
razón
cuando
C (n)
media
de
cualquier
la
función
cambio
unidades
la
para
Halle
n
razón
niveles
varían
mediante
la
y
cuando
unidades
cambio
número
de
100
niveles
a
=
101
5000.
n
cuando
unidades
a
producción
de C
respecto
de
respecto
de
unidades n.
instantánea
unidades.
de
+
de
unidades.
instantánea
de
cambio
=100
los
n
+10n
respecto
Explique
de C
el
signicado
de
su
respuesta.
Capítulo
7
223
Momno
or
n
r
Podemos
Si
un
objeto
se
mueve
sobre
una
recta,
su
ver tical
respecto
del
origen
modelizarse
en
cualquier
mediante
una
tiempo t
puede
sobre
zmno ,
fnón
usar
una
recta
horizontal
o
posición
s(t).
para
una
objeto
se
modelizar
recta.
Para
encuentra
el
movimiento
s(t)
a
la
>
0,
el
derecha
2
La
es
función
una
s(t)
=
ejemplo
oón
de
4,9t
función
del
n
+
−4,9t
buzo
+
0
del
ejemplo
desplazamiento.
es
la
posición
del
6
La
cuando
origen
Para
t
=
0,
a
o
la
s(t)
por
a
=
lo
0
0
metros.
tanto
metros
el
El
origen
buzo
por
está
encima
está
a
nivel
inicialmente
del
del
en
o
por
0,
el
izquierda
origen.
s (0)
<
La
encima
objeto
del
origen
posición
La
razón
de
cambio
una
v(t)
desplazamiento
es
la
la
v (t )
=
+ h) −
s
=
s ′( t )
objeto
se
Una
t
se
desplaza
segundos
sobre
después
de
una
recta
haber
con
dejado
está
dada
Halle
la
velocidad
Halle
la
posición
Halle
cuándo
la
par tícula
está
Halle
cuándo
la
par tícula
se
Dibuje
un
se
la
s (t)
par tícula
de
por
diagrama
2t
par tícula
inicial
mueve
=
y
la
mueve
o
Para
a
hacia
se
v(t)
<
mueve
0,
el
hacia
izquierda
o
hacia
abajo.
Para
v(t)
objeto
está
en
La
o
es
v(0).
=
0,
el
reposo.
n
hacia
del
velocidad
punto
jo.
La
de
s
21t
+
60t
cualquier
inicial
de
+
3,
función
para
tiempo
la
t
≥
Esta
0.
es
el
área
Matemática
t
como
par tícula.
que
reposo.
mueve
la
desplazamiento
de
la
2
−
para
en
un
un
3
desplazamiento
la
el
par tícula
metros
0,
h
la
emo
del
s(0).
(t )
lim
h →0
>
derecha
arriba.
s (t
o ,
fnón
debajo
es
plataforma
Para
del
o
agua,
agua.
instantánea
origen.
encuentra
inicial
objeto
➔
del
se
hacia
el
la
izquierda
y
cuándo
conocida
nmá,
trata
sobre
movimiento
de
objetos.
derecha.
movimiento
de
la
par tícula.
Respuestas
v (t )
=
s ′( t )
v (t )
=
6t
La
velocidad
La
posición
es
la
derivada
del
desplazamiento.
2
− 42t
+ 60,
3
s (0 )
=
2( 0 )
t
≥
0
2
− 21( 0 )
+ 60 ( 0 ) + 3
=
3 m
t
2
v (0)
=
6(0)
6t
− 42t
es
el
desplazamiento
cuando
0.
–1
−
42(0)
+
60
=
60 m s
2
=
inicial
+ 60
=
La
velocidad
La
par tícula
inicial
está
en
es
la
velocidad
reposo
cuando
cuando
la
t
=
0.
velocidad
0
es
0.
2
6( t
− 7t
+ 10 )
=
0
Iguale
6( t
− 2 )( t
− 5)
t
La
a
par tícula
los
5
=
0
=
2,
está
la
función
velocidad
Límites
y
0
y
resuelva
en
t.
5
en
reposo
a
los
2
segundos
y
segundos.
{
224
a
derivadas
Continúa
en
la
página
siguiente.
signos
de
+
v
Dibuje
+
t
0
2
un
Marque
inter valo
y
par tícula
(5, ∞)
se
porque
se
mueve
segundos
mueve
a
la
v (t)
s (2)
=
2( 2 )
=
derecha
v (t)
>
para
0.
para
La
(2,5)
=
21( 2 )
t
+
60 ( 2 )
+
+
60 (5 )
3
+
=
s (t)
t
se
−
6t
+
Halle
la
Halle
cuándo
Dibuje
mueve
=
3
=
Elija
signo
v(1) =
1
(2 , 5)
t
=
3
v(3) =
(5, ∞)
t
=
6
v(6)
de
un
valor
de
cada
v(t).
6(1 − 2)(1 − 5) =
(+)( − )( − ) = +
6(3
− 2)(3
− 5) =
(+)(+)( − ) =
−
=
6(6
−
2)(6
− 5)
=
(+)(+)(+)
=
+
Halle
55 m
el
=
desplazamiento
la
par tícula
o
posición
cambia
de
de
la
par tícula
dirección.
28 m
estas
posiciones
movimiento.
y
la
Aunque
posición
el
inicial
movimiento
para
es
en
trazar
realidad
2
sobre
en
centímetros
posición
un
la
inicial
se
sobre
una
recta,
lo
dibujamos
por
encima
de
la
recta.
una
recta
con
función
desplazamiento
t
del
para
la
t
≥
0
segundos.
velocidad
está
en
inicial
de
la
par tícula.
reposo.
movimiento
de
la
par tícula.
EXAMEN
lanza
pies,
y
par tícula
diagrama
TIPO
pelota
pelota
la
55
9t
Una
que
2
PREGUNTAS
2
velocidad.
los
7O
par tícula
=
reposo.
el
=
el
28
3
la
en
segundos
s
Una
para
valores
par tícula
5
t
1
en
halle
t
cuando
21(5 )
0 3
Ejercitación
los
(0,2)
2
−
0
está
y
(0 , 2)
Use
t
signos
2
−
2 (5 )
de
diagrama
0.
3
s (5)
la
porque
3
a
izquierda
<
el
5
par tícula
La
diagrama
en
ver ticalmente
segundos
luego
hacia
de
arriba.
haber
sido
La
altura
lanzada,
de
está
la
dada
2
por
s (t)
=
Halle
Muestre
+
−16t
la
que
sido
lanzada
Hay
un
20
+
4
inicial
la
altura
es
de
segundo
para
de
la
de
20
la
t
≥
0
segundos.
pelota.
pelota
2
segundos
luego
de
haber
pies.
instante
en
que
la
altura
de
la
pelota
es
de
pies.
Escriba
la
40t
altura
una
pelota
es
Resuelva
ecuación
de
la
20
que
debe
satisfacer t
cuando
la
altura
de
pies.
ecuación
algebraicamente.
ds
Halle
Halle
la
Halle
en
Halle
la
dt
3
Una
par tícula
velocidad
qué
instante
altura
se
inicial
la
máxima
mueve
de
la
pelota.
velocidad
de
sobre
la
una
de
la
pelota
es
0.
pelota.
recta
con
una
función
t
desplazamiento
s (t )
,
=
donde
s
está
en
metros
y
t
en
segundos.
t
e
1
Muestre
que
v (t )
t
=
t
e
A
par tir
de
lo
anterior,
halle
el
instante
en
que
la
par tícula
está
en
reposo.
Capítulo
7
225
➔
La
razón
de
cambio
instantánea
v (t
a (t )
rón ,
=
+ h) − v
de
la
velocidad
= v ′( t )
=
s ′′( t )
h
Para
a(t)
>
0,
la
velocidad
del
objeto
está
aumentando.
Para
a(t)
<
0,
la
velocidad
del
objeto
está
disminuyendo.
Para
a(t)
=
0,
la
velocidad
del
objeto
es
emo
Para
la
=
constante.
función
3
s(t)
la fnón
(t )
lim
h →0
es
desplazamiento
del
ejemplo
18,
2
2t
−
21t
+
60t
+
3,
con
s
en
metros
y
t
≥
0
segundos,
2
encontramos
Halle
y
t
=
la
4
Halle
t
=
3
que
v (t)
=
6t
rón
−
42t
m
+
de
60.
la
par tícula
entre
t
=
1
segundos
segundos.
la
rón
segundos.
nnán
Explique
el
de
signicado
la
par tícula
de
su
en
respuesta.
Respuestas
La
aceleración
media
es
1
variación
de
velocidad
(ms
Las
unidades
para
la
aceleración
son
)
2
variación
v (4 )
de
tiempo
ms
(segundos)
v (1)
Usar
–2
=
4
−12
Aceleración
a(t)
=
a (t )
una
CPG
m s
1
instantánea
v′(t)
=
v ′( t )
= 12t
− 42
2
a (3)
Esto
=
−6 m s
signica
decrece
por
3
6
cada
que
metros
la
velocidad
por
segundo
en
Obser ve
segundo
el
negativa
tiempo
en
segundos.
marcha.
es
r
el
valor
absoluto
de
la
no
una
aceleración
signica
movimiento
está
La
que
está
Signica
que
un
objeto
aminorando
que
la
la
velocidad
decreciendo.
velocidad.
La
velocidad
nos
Para
dice
cuán
rápido
se
mueve
un
objeto y
la
dirección
en
la
que
más
sobre
mueve.
La
celeridad
determinar
si
aminorando
velocidad
226
Límites
y
y
un
la
la
nos
objeto
marcha,
dice
en
cuán
movimiento
podemos
aceleración.
derivadas
solo
rápido
está
comparar
se
mueve.
acelerando
los
signos
Para
o
de
el
valor
absoluto,
sección
la
información
se
capítulo
véase
2.7
18.
en
la
el
ingón:
velocidad,
y
1
Copie
y
complete
es
la
variación
de
la
velocidad.
La
de
velocidad
ambas
las
y
celeridad
tablas.
Recuerde
velocidad.
la
aceleración
La
que
celeridad
aceleración
son
la
es
positivas.
aceleración
el
valor
absoluto
La
velocidad
es
negativa.
es
positiva
y
la
aceleración
−2
Sea
una
aceleración
Tiempo
de
2
2 m s
Velocidad
Sea
una
aceleración
Tiempo
Celeridad
de
−2 m s
Velocidad
Celeridad
−1
−1
(segundos)
(m s
0
−1
)
(m s
10
1
(segundos)
)
0
10
La
(m s
3
4
4
velocidad
10
8
y
la
aceleración
son
negativas.
La
velocidad
es
positiva.
es
negativa
y
la
aceleración
−2
Sea
una
aceleración
Tiempo
de
Velocidad
(segundos)
(m s
0
−10
1
−12
2
−2 m s
Sea
Celeridad
−1
una
Tiempo
)
(m s
)
3
el
10
velocidad
y
velocidad
es
La
velocidad
y
La
velocidad
es
estas
Si
la
objeto
la
está
Cuando
la
el
−10
1
−8
y
la
aceleración
negativa
y
la
objeto
y
la
objeto
y
acelerando
velocidad
la
aceleración
y
la
son
o
aminorando
ambas
(m s
)
10
marcha.
positivas.
aceleración
son
la
es
ambas
Si
negativa.
aceleración
es
y
la
la
la
aceleración
está
el
positiva.
celeridad
objeto
tienen
el
mismo
tienen
está
Si
la
está
entonces
signo,
un
objeto
acelerando
celeridad
la
de
un
dismimuyendo,
el
aminorando
signo
de
aumentando, entonces
objeto
marcha.
_____________.
aceleración
está
la
está
negativas.
armaciones:
velocidad
aminorando
acelerando
positiva
la
velocidad
entonces
Cuando
el
está
la
velocidad
entonces
está
objeto
La
la
0
−1
)
4
La
Si
(m s
3
Celeridad
2
Complete
2 m s
Velocidad
(segundos)
4
si
de
−1
3
Indique
aceleración
−1
2
2
)
2
3
ambas
−1
)
10
1
12
2
(m s
objeto
la
está
marcha.
opuesto,
_____________.
aceleración
tienen
el
mismo
tienen
distinto
signo,
el
marcha.
aceleración
signo,
el
objeto
marcha.
Capítulo
7
227
emo
Para
la
función
3
s (t)
=
desplazamiento
del
ejemplo
18,
2
2t
−
21t
+
60t
+
3,
con
s
metros
y
t
≥
0
segundos,
encontramos
2
que
v (t)
=
Halle
6t
la
Durante
está
0
par tícula
está
42t
+
celeridad
par tícula
−
≤
60
de
y
a(t)
la
t
≤
10
12t
par tícula
acelerando
está
=
o
42.
en
t
=
3
aminorando
segundos,
acelerando
−
la
halle
los
marcha
y
segundos
la
marcha
inter valos
los
y
determine
cuando
en
inter valos
los
en
t
que
los
=
si
la
3.
la
que
la
aminorando.
Respuestas
2
v (3)
=
6(3)
−
42(3)
+
Para
60
−1
=
par tícula
−12 m s
−1
celeridad
=
hallar
|−12|
=
la
12 m s
la
en
velocidad
celeridad
un
y
de
instante
tomar
su
la
dado,
valor
hallar
absoluto
−2
a(3)
La
=
12(3)
par tícula
marcha
que
−
en
v (t)
<
Compare
t
0
y
=
está
=
y
los
velocidad
42
3
−6 m s
acelerando
segundos
a(t)
<
dado
La
t
par tícula
=
3,
dado
aceleración
0.
signos
la
la
de
la
Usar
aceleración.
el
Alinear
signos
de
v
−
42
2
5
a
≤
t
≤
0
3,5
par tícula
el
de
la
(2;
y
segundos
a (t)
La
en
>
en
el
porque
228
el
marcha
Límites
y
inter valo
la
la
18
diagrama
de
a(t)
0
este
un
porque
v (t)
aminora
v (t)
>
(0, 2)
0
inter val
v (t)
<
0
y
>
0
la
<
(3,5; 5)
y
derivadas
marcha
segundos
a (t)
a (t)
a(1)
=
t
a(t)=0
⇒
t
=
valor
valor
=
12(1)
(3,5; 10)
(5, 10)
0.
inter valo
porque
y
en
par tícula
el
de
3,5
en
el
inter valo
en
cada
inter valo:
1
−
42
=
4
=
−30
(−)
3,5)
segundos porque v (t) < 0 y
y
signos
10
acelera
inter valo
a (t) < 0,
de
y
signo.
10
(0; 3,5)
en
mismo
––––––––––++++++++++++++
Tomar
La
velocidad
en
10
0
t
=
un
marcha
el
ejemplo
cuándo
Colocar
0
de
la
la
+++++––––––––+++++++++++
t
signos
del
debajo
para
Hallar
12t
que
tienen
diagrama
velocidad
signos
acelera
0,
segundos
>
0.
a(4)
=
t
12(4)
−
42
=
6
(+)
Ejercitación
Use
1
su
CPG
Una
7P
para
evaluar
par tícula
se
los
mueve
valores
sobre
4
desplazamiento
Escriba
las
par tícula
Halle
la
Halle
2
Una
2t
en
el
–
tiempo
aceleración
en
Luego,
=
de
qué
6t
,
0
≤
t
≤
8
el
la
la
mueve
una
función
centímetros,
la
velocidad
y
para
la
t
≥
0
segundos.
aceleración
de
la
tiempo
t
=
2
segundos
y
explique
el
a
velocidad
par tícula
lo
largo
=
y
la
aceleración
acelera
de
una
y
son
aminora
recta
con
la
una
nulas.
marcha.
función
2
−t
+
12t
−
36t
+
20,
en
metros,
para
segundos.
Escriba
s(t)
en
para
3
desplazamiento
con
respuesta.
cuándo
se
recta
funciones.
t
en
instante
halle
par tícula
su
una
las
2
expresiones
signicado
s(t)
de
una
expresión
para
la
velocidad
y
la
aceleración
de
la
par tícula.
Halle
la
posición
inicial,
la
velocidad
y
la
aceleración
de
la
par tícula.
Halle
0
≤
t
cuándo
≤
8
Halle
se
inter valos
3
Un
mueve
cuándo
PREGUNTAS
buzo
par ticula
segundos.
par tícula
la
en
Luego
hacia
halle
la
cuales
la
de
los
dirección,
inter valos
izquierda
aceleración
los
TIPO
salta
la
cambia
es
0
y
para
par ticula
hacia
0
≤ t
≤
acelera
en
en
la
inter valo
los
que
la
derecha.
8.
y
el
Luego
aminora
halle
la
los
marcha.
EXAMEN
desde
una
plataforma
en
el
tiempo t
=
0
segundos.
Vuelva
La
distancia
del
buzo
sobre
el
nivel
del
agua
en
el
tiempo t
al
caso
del
está
buzo
del
ejemplo
16.
2
dada
por
s (t)
Escriba
buzo
una
en
el
+
−4,9t
4,9t
expresión
tiempo
el
instante
en
el
Halle
el
instante
en
que
Muestre
Una
que
par tícula
la
el
se
10,
la
donde
s
está
velocidad
y
en
la
metros.
aceleración
del
t
Halle
halle
+
para
anterior,
4
=
que
altura
buzo
la
a
buzo
alcanza
velocidad
máxima
está
mueve
el
que
se
largo
de
la
una
agua.
anula.
alcanza
aminorando
lo
el
A
el
marcha
recta
par tir
de
lo
buzo.
con
en t
=
una
0,3
segundos.
función
1
2
desplazamiento
s (t )
=
t
− ln( t
+
1),
t
≥
0,
donde
s
está
en
metros
y
4
t
en
segundos.
Escriba
tiempo
A
en
para
la
velocidad
de
la
par tícula
en
el
de
lo
anterior,
halle
en
qué
instante
la
par tícula
está
reposo.
Escriba
A
expresión
t
par tir
tiempo
una
una
expresión
para
la
aceleración
de
la
par tícula
en
el
t
par tir
de
lo
anterior,
muestre
que
la
velocidad
nunca
es
decreciente.
Capítulo
7
229
.
l
r
y
gráo
Aunque
su
Una
de
las
mayores
utilidades
de
las
derivadas
es
el
plano
nombre
a
de
los
grácos
de
las
funciones.
En
esta
cómo
relacionar
f
′
y
f
′′
con
el
gráco
de
usó
que
función
es
aumenta
rn
disminuye
x,
en
en
rn
también
un
un
inter valo
aumenta
inter valo
si
a
y.
Una
medida
si
a
medida
función
que
1556–1650),
únicamente
números
f
positivos
Una
francés,
sección
este
veremos
debe
Descar tes
el
(matemático
análisis
car tesiano
René
y
el
(matemático
es
le
aumenta x,
atribuye
vez
haber
Enumeratio
(Enumeración
grado),
y
el
x.
y,
Isaac
Newton
1642–1727)
por
negativas.
liniearum
de
Newton
con
A
usado
coordenadas
libro
y
eje
inglés,
las
usó
ambos
coordenadas
primera
En
ter tii
cur vas
se
de
su
ordinis
tercer
ejes,
el
positivas
x
y
negativas.
emo
Escriba
los
inter valos
en
donde
la
función
y
es
creciente
o
decreciente.
y
5
4
3
y
5
3
4
2
3
1
2
2
1
1
x
1
2
–2
x
0
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
x
0
–5
–4
–3
–2
1
–1
2
3
–3
–4
Respuestas
Decreciente
Creciente
para
para
x
x
>
<
y
0
5
0
aumento
en
x
4
disminución
en
y
aumento
3
2
aumento
en
1
x
0
–5
Creciente
para
todo
número
–4
–3
–2
–1
real
1
2
3
4
5
y
5
4
3
aumento
en
2
1
aumento
en
x
0
–5
Creciente
para
x
<
0
y
x
>
–4
–3
–2
–1
x
1
2
3
2
y
Decreciente
para
0
<
x
<
2
3
2
1
x
1
–2
–3
–4
230
Límites
y
derivadas
2
y
x
en
➔
Cuando
una
función
es
decreciente,
las
rectas
tangentes
y
a
la
cur va
tienen
pendientes
negativas.
Cuando
una
5
función
tienen
es
creciente,
pendiente
las
rectas
positiva.
Se
tangentes
deduce
a
la
cur va
4
3
que:
2
Si
f
′(x)
>
0
para
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
creciente
1
en
(a, b).
x
0
Si
f
′(x)
<
0
para
decreciente
emo
Use
la
en
todo
x
en
(a, b),
entonces
derivada
o
–4
–3
–2
–1
de
f
para
hallar
los
inter valos
en
=
f
2
2x
−
3x
−
los
cuales
f
es
Un
12x
f (x)
2
=
x
=
− 3x
donde
no
es
f ′(x)
− 12 x
un
f ′(x)
=
un
r o
0.
punto
de
=
0
o
donde
f ′(x)
no
está
denida.
2
6x
es
2
2x
=
no
punto
f
3
′( x )
5
1
Respuestas
f
4
3
Un
(x )
3
4
(x ) =
x
f
2
onro
2
x
1
(a, b).
decreciente.
3
f (x)
–5
es
creciente
f
− 6x
− 12
Hallar
la
derivada
Hallar
los
de
f
2
6x
− 6x
− 12
=
0
6( x
puntos
igualando
2
−
x
− 2)
=
0
+ 1)
=
0
f
resolviendo
6 (x
− 2 )( x
x
=
2,
de
+
f'
f
es
–1
creciente
f
que
f
un
es
y
x
diagrama
de
signos
2
en
′(x)
(−∞, −1)
>
y
(2, ∞),
usar
decreciente
notación
de
0.
inter valos
f
cero
′(x)
Podemos
dado
críticos,
+
para
x
en
a
− 1
Dibujar
signos
′(x)
en
(−1, 2),
para
describir
los
dado
inter valos.
que
f
′(x)
<
0.
2
x
f
(x )
4
=
2
x
1
2
′( x )
2
− 1)( 2 x ) − ( x
(x
f
− 4 )( 2 x )
=
2
Hallar
la
derivada
Hallar
los
de
f
2
(x
1)
6x
=
2
2
(x
f
′(x)
=
0:
6x
=
0
1)
f
′(x)
no
2
(x
denida:
puntos
críticos,
2
−
1)
=
0
igualando
=
0
x,
f
′
a
0,
resolviendo
en
2
x
=
0
x
−
1
x
signos
x
de
f'
–
=
±1
+
–1
0
+
1
y
hallando
dónde
f
′
no
está
denida
Dibujar
un
para
Observe
f
′.
denidas
círculos
signos
{
diagrama
para
vacíos
para
x
que
=
en
±1.
el
en
la
y
signos
f
′
no
están
Utilizar
diagrama
recordar
Continúa
de
f
de
esto.
página
siguiente.
Capítulo
7
231
f
es
creciente
dado
f
es
que
f
en
′(x)
>
decreciente
(1, ∞),
dado
(−∞, −1)
No
(−1, 0),
f
podemos
creciente
0.
en
que
y
(0, 1)
′(x)
<
en
y
denida
0.
en
(0, ∞),
decir
(−∞, 0)
dado
en
que
x
que
=
o
f
f
es
decreciente
no
está
−1
ni
en
derivada
de
f
x
=
1.
3
f
(x )
=
′( x )
=
x
2
f
Hallar
la
3x
Calcular
los
puntos
críticos,
2
3x
=
0
igualando
x
=
de
+
f'
x
es
y
0
y
resolviendo
en
x
f
un
diagrama
de
signos
′
0
creciente
en
Aunque
(−∞, 0)
x
(0, ∞).
el
0
=
0,
Ejercitación
los
f
no
está
en
x
=
denida
podemos
inter valo
creciente
Escriba
a
+
para
f
′
0
Realizar
signos
f
porque
0,
por
en
x
lo
=
en
incluir
la
el
0
en
pendiente
tanto
f(x)
no
es
es
0.
7Q
inter valos
en
los
cuales
f
es
creciente
y
1
o
decreciente.
y
2
4
y
3
1
2
3
0
–2
2
x
–1
–1
1
1
–2
–3
0
–4
–3
–2
x
–1
1
2
3
x
4
–1
–1
–4
–2
–5
–3
–1
–6
–4
–2
En
las
preguntas
inter valos
en
los
4
a
9,
use
cuales
f
es
la
derivada
creciente
o
de f
para
hallar
todos
los
decreciente.
Use
x
4
4
f
(x)
=
4
x
5
f
(x)
=
una
CPG
−
2x
6
f
(x )
=
ver
x
el
gráco
función
y
f
(x )
=
8
f
(x)
=
x
x
e
9
f
(x )
resultados.
=
2
x
x
PREGUNTA
TIPO
1
EXAMEN
y
10
Se
muestra
el
gráco
de
la
derivada
de
f.
4
Escriba
los
inter valos
en
los
cuales
f
y
es
=
f'(x)
3
creciente
o
decreciente.
2
1
0
–3
–1
–1
–2
–4
232
Límites
y
derivadas
la
vericar
x
3
de
3
3
1
7
para
+ 2
2
x
x
4
sus
Una
función
cuando
Una
la
tiene
un
función
función
no
pasa
tiene
un
de
máxmo
creciente
no
mnmo
ro
a
(o
máximo
local)
decreciente.
(o
ro
mínimo
local)
Obser ve
cuando
Los
la
función
puntos
xrmo
pasa
máximos
y
de
ro
de
decreciente
mínimos
una
a
relativos
se
denominan
función.
no
cambia
en
un
La
(o
omroón
el
x
=
criterio) r rmr
se
localizar
extremos
relativos
f ′(x)
c,
de
signo
crítico
entonces
(c
f (c))
el
no
es
usa
ni
para
si
de
punto
punto
➔
que
creciente.
máximo
ni
mínimo
f.
relativo.
Si
f
está
denida
en
un
punto
crítico
c,
entonces:
máximo
1
Si
f
′(x)
pasa
de
positiva
a
negativa
en
x
=
c,
f
posee
un
relativo
ni
punto
máximo
relativo
en
(c, f
máximo
mínimo
2
Si
f
′(x)
pasa
de
negativa
a
ni
(c)).
positiva
en
x
=
c,
f
posee
relativo
un
mínimo
punto
emo
Use
del
la
mínimo
relativo
en
(c, f
relativo
(c)).
comprobación
ejemplo
de
la
derivada
primera
para
hallar
los
extremos
relativos
para
las
funciones
22.
2
x
3
f
(x)
=
2
2x
−
3x
−
12x
f
(x )
4
3
=
f
(x)
=
x
2
x
1
Respuestas
3
f
(x )
=
2
2x
− 3x
− 12 x
2
f
′( x )
signos
=
6x
=
6( x
de
− 6x
− 12
− 2 )( x
+ 1)
+
f'
+
Usar
x
–1
Dado
que
f
2
′(x)
pasa
de
el
diagrama
ejemplo
positiva
a
negativa
=
−1,
hay
un
máximo
relativo
en
x
=
−1.
f
′(x)
mínimo
pasa
de
relativo
negativa
en
x
=
3
f
( −1)
=
2( −1)
a
positiva
en
x
=
2,
hay
(2)
=
=
Por
del
los
extremos
relativos
los
cambios
de
signo
de
f
′
2.
Evaluar
f
en
x
=
−1
y
x
=
2
para
− 12( −1)
los
valores
máximo
y
mínimo
7
3
f
′
un
hallar
=
f
Dado
2
− 3( −1)
para
22
obser vando
que
signos
en
Localizar
x
de
2
2( 2 )
− 3( 2 )
− 12( 2 )
−20
lo
tanto,
punto
el
mínimo
punto
máximo
relativo
es
relativo
es
(−1, 7)
y
el
(2, −20).
2
x
f
(x )
4
=
2
x
1
6x
f
′( x )
=
2
2
(x
signos
de
f'
1)
–
+
x
–1
0
+
1
No
Dado
que
f
′(x)
pasa
de
negativa
a
positiva
en
x
2
0
un
mínimo
relativo
en
x
=
0.
f
(0 )
tanto,
el
punto
mínimo
relativo
habría
extremos
relativos
en
x
= −1
y
hay
=
1
incluso
si
el
signo
de
f
′(x)
hubiera
4
=
=
0
lo
0,
x
4
cambiado,
2
Por
=
es
dado
que
f
no
está
denida
1
(0, 4).
en
x
= −1
{
ni
en
x
=
Continúa
1.
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
233
3
f
(x )
=
′( x )
=
x
2
f
signos
de
3x
+
f'
+
x
0
Observe
f
no
posee
derivada
extremos
no
cambia
relativos,
de
signo
dado
en
x
que
=
la
0.
En
las
para
hallar
los
a
8,
use
extremos
la
comprobación
relativos
de
cada
para
Debe
(x)
=
x
=
′(x)
0.
cambia
la
derivada
primera
función.
2
f
1
de
3
2x
−
4x
−
3
2
f
(x)
=
x
4
f
(x)
=
x
6
f
(x)
=
x
−
12x
−
2x
−
5
5
4
3
f
3
(x )
=
x
3
f
5
(x)
=
x (x
+
2
2
3)
x
e
2
x
1
f
7
(x )
=
f
8
(x )
− 2x
+ 1
=
2
(x
➔
Si
f
′′(x)
f
′′(x)
para
+ 1
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
ón
h
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
ón
h
(a, b).
0
para
(a, b).
puntos
no
de
0
<
en
o
Los
>
en
rr
Si
x
+ 1)
del
gráco
nxón .
inexión
si
f
′′(x)
El
donde
Un
=
0
cambia
punto
y
en
además
gráco
es
el
f
la
gráco
′′(x)
cóncavo
concavidad
de
cambia
hacia
abajo
f
es
de
se
un
llaman
punto
signo.
(−∞, 0).
para
Las
y
pendientes
4
y
=
de
las
rectas
tangentes
que
se
f(x)
muestran
Esto
0
a
la
signica
izquierda
que
f ′
es
del
eje
y
van
decreciente,
disminuyendo.
por
lo
tanto
la
x
derivada
–2
f ′′
es
negativa.
–2
El
gráco
es
cóncavo
hacia
arriba
para
(0, ∞).
Las
–4
pendientes
a
signica
El
punto
en
234
x
=
que
f ′
(0, 0)
es
es
creciente,
un
punto
0.
Límites
y
la
derivadas
de
derecha
por
de
lo
las
del
tanto
inexión,
rectas
eje
la
y
tangentes
van
derivada
dado
que
f
que
aumentando.
f ′′
es
se
muestran
Esto
positiva.
cambia
de
′(x)
en
7R
preguntas
f
suciente
f
Ejercitación
que
concavidad
=
tener
0
no
un
además
de
signo
es
condición
extremo
ser
en
x
relativo
cier to
=
0.
que
emo
Para
las
función
funciones
es
del
cóncava
ejemplo
hacia
22,
arriba
y
use
la
derivada
cóncava
hacia
segunda
abajo.
para
Halle
hallar
los
los
puntos
inter valos
de
donde
la
inexión.
2
x
3
f
(x)
=
4
2
2x
–
3
3x
−
12x
f
(x )
=
f
(x)
=
x
2
x
1
Respuestas
3
f
(x )
=
2x
′( x )
=
6x
2
− 3x
− 12 x
2
f
f
′′( x )
12 x
− 6x
= 12 x
− 6
=
− 12
Hallar
la
Hallar
dónde
derivada
segunda
de
f
− 6
f
″(x)
=
0
0
1
x
=
2
signos
de
+
f ''
Realizar
un
diagrama
de
signos
para
f
″
1
x
2
1
⎛
f
es
cóncava
hacia
abajo
en
dado
⎛
f
es
cóncava
hacia
arriba
1
>
Dado
″(x)
<
0
⎞
en
dado
,∞
⎝
″(x)
f
⎠
⎜
f
que
⎟
2
⎝
y
⎞
−∞,
⎜
que
⎟
2
⎠
0.
que
f
″(x)
cambia
de
signo
en
1
x
,
=
hay
un
punto
de
inexion
allí.
2
3
⎛
1
⎞
⎜
⎝
2
1
⎛
=
f
2
⎞
⎛
2
1
⎞
⎛
3
⎟
⎜
⎠
⎝
2
1
⎜
=
⎠
⎝
2
⎟
⎜
⎠
⎝
1
13
⎞
12
⎟
Evaluar
−
f
en
2
tanto,
el
punto
de
hallar
la
2
coordenada
lo
para
=
2
⎠
⎛
Por
x
⎟
inexión
1
y
del
punto
de
inexión
13 ⎞
,
es
⎜
⎝
⎟
2
2
⎠
2
x
f
(x )
4
=
2
x
1
6x
f
′( x )
=
2
2
(x
1)
2
(x
f
″(x)
2
− 1)
2
( 6 ) − ( 6 x )[2 ( x
2
′′( x )
−6 (3 x
+ 1)
Hallar
=
4
(x
f
2
− 1)( 2 x )]
=
=
2
1)
(x
la
derivada
segunda
de
f
3
1)
0
f
″(x)
no
está
denida:
Para
hacer
un
diagrama
de
signos
para
2
−6 (3 x
+ 1)
2
=
2
(x
0
3
−
)
=
0
f
″,
se
debe
hallar
dónde
f
″(x)
=
0
y
3
(x
1)
2
x
−
=
0
dónde
f
″(x)
no
está
denida.
2
−6 (3 x
+ 1)
=
0
x
=
±
1
2
=
x
−
3
Aunque
No
hay
signos
soluciones
de
f
es
f
″(x)
que
–1
cóncava
f
<
0,
″(x)
x
+
x
f
y
f
>
hacia
es
0.
f
″(x)
cambia
de
signo
en
reales.
''
se
1
abajo
cóncava
en
=
(−∞, −1)
hacia
y
arriba
(1, ∞),
en
dado
(−1, 1),
que
dado
x
±1,
debe
=
±1.
cambia
no
a
hay
que
En
f
(x)
este
hacia
asíntota
puntos
no
caso
está
la
ambos
de
inexión.
denida
Esto
para
concavidad
lados
de
una
ver tical.
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
235
3
f
(x )
=
x
′( x )
=
3x
′′( x )
=
6x
6x
=
0
x
=
0
2
f
f
signos
de
f
es
la
Hallar
dónde
Realizar
0
cóncava
hacia
abajo
en
(−∞, 0)
dado
que
f
″(x)
<
f
es
cóncava
hacia
arriba
en
(0, ∞)
dado
que
f
″(x)
un
>
de
f
f
″(x)
cambia
inexión
(0)
Por
=
(0)
ende,
de
signo
en
x
=
0,
existe
un
punto
allí.
=
el
Ejercitación
En
las
0
punto
de
inexión
es
(0, 0).
7S
preguntas
inter valos
donde
a
la
6,
use
la
función
derivada
es
segunda
cóncava
hacia
para
arriba
hallar
y
los
cóncava
hacia
abajo.
2
4
1
f
(x)
=
2x
3
f
(x)
=
x
−
5
f
(x)
=
2xe
4x
3
−
3
2
f
(x)
=
−x
4
f
(x)
=
x
2
−
6x
3
+
4x
4
+
12x
1
x
f
6
(x )
=
2
x
PREGUNTAS
TIPO
+ 1
EXAMEN
24
7
Sea
f
(x )
=
2
x
+ 12
48 x
Use
el
dato
de
que
f
′( x )
=
para
2
(x
mostrar
que
la
2
+ 12 )
2
144 ( x
derivada
segunda
es
f
′′( x )
4)
=
2
(x
8
Se
Halle
los
extremos
Halle
los
puntos
muestra
segunda
de
el
f.
gráco
Escriba
relativos
de
de
los
del
inexión
la
3
+ 12 )
gráco
del
de f
gráco
de f
derivada
y
inter valos
4
en
los
cuales
f
es
cóncava
hacia
3
arriba
y
cóncava
hacia
abajo.
y
=
f ''(x)
Dé
2
las
coordenadas x
de
los
puntos
1
de
inexión.
0
–3
–1
–1
–2
–4
–5
236
Límites
y
=
derivadas
diagrama
en
3
f
″(x)
de
f
0
de
signos
para
x
=
0
para
hallar
la
0.
coordenada
Como
f
segunda
0,
Evaluar
y
derivada
+
''
x
f
Hallar
x
y
del
punto
de
inexión
f
″
La
derivada
acerca
de
del
primera
gráco
intersección
emo
Dibuje
y
de
con
la
la
derivada
función.
los
ejes
Podemos
las
asíntotas
de
una
incluso
para
función
usar
las
completar
nos
dan
mucha
coordenadas
el
de
información
los
puntos
gráco.
aproximadamente
ejemplos
y
segunda
22
a
24,
y
las
el
gráco
de
intersecciones
cada
con
función.
los
ejes
y
Use
las
la
información
asíntotas
como
que
encontró
en
los
ayuda.
2
x
3
f
(x)
=
2x
4
2
−
3x
3
−
12x
f
(x )
=
f
(x)
=
x
2
x
1
Respuestas
3
f
(x)
=
2x
2
−
creciente
en:
decreciente
máximo
3x
−
12x
(−∞, −1)
en:
y
(2, ∞)
(−1, 2)
relativo:
mínimo
relativo:
cóncava
hacia
(−1, 7)
(2, −20)
1
abajo:
−
∞,
2
1
⎛
cóncava
hacia
⎞
, ∞
arriba:
⎜
Para
⎟
2
⎝
hallar
función
1
⎛
punto
de
3
⎜
⎟
2
⎝
a
0
y
intersecciones
con
el
eje
eje
y,
el
eje
x,
igualar
la
resolver:
13 ⎞
,
inexión:
las
⎠
2
2
2 x
− 3 x
− 12 x
= 0
⎠
2
x (2 x
raíces:
(0, 0),
intersección
(−1,81; 0),
con
el
eje
− 3 x
− 12)
= 0
(3,31; 0)
y:
(0, 0)
3
x
y
=
0
o
x
±
9 −
4(2)( − 12)
=
2(2)
máximo
relativo
x
0
o
x
≈
1,81; 3,31
x
0
–3
=
–1
–5
punto
de
Para
hallar
la
intersección
Para
hallar
las
con
el
evaluar
f
(0)
inexión
–10
–15
–20
mínimo
creciente
relativo
decreciente
cóncava
hacia
creciente
cóncava
abajo
hacia
arriba
2
x
f
(x )
4
=
2
x
creciente
1
en:
decreciente
máximo
cóncava
(−∞, −1)
en:
(0, 1)
relativo:
hacia
y
y
(−1, 0)
(1, ∞)
(0, 4)
abajo:
(−∞, −1)
y
(1, ∞)
función
a
0
y
intersecciones
con
x,
igualar
la
resolver:
2
x
4
2
cóncava
hacia
arriba:
(−1, 1)
=
0
⇒
x
−
4
=
0
⇒
x
=
± 2
2
x
puntos
de
inexión:
intersecciones
intersección
con
con
el
no
el
posee
eje
eje
1
y:
x:
(2, 0),
(0, 4)
(−2, 0)
Para
hallar
la
intersección
{
con
el
Continúa
eje
en
y,
la
evaluar
página
f(0)
siguiente.
Capítulo
7
237
asíntotas
ver ticales:
x
=
Para
±1
hallar
las
denominador
para
ese
asíntotas,
(vericar
mismo
hallar
que
el
dónde
se
anula
numerador
no
es
el
0
valor):
2
x
asíntota
horizontal:
y
=
− 1
= 0
⇒
Aprendimos
1
x
=
que
±1
la
asíntota
ax
función
de
la
f or ma
y
horizontal
se
=
cx
de
una
+ b
+
deter mina
d
a
usando
los
coecientes
principales,
y
. Este
=
c
método
donde
funciona
el
grado
para
del
cualquier
numerador
función
es
igual
racional
al
grado
del
denominador.
1
y
=
⇒
y
= 1
1
y
8
Se
puede
describir
mínimo
usar
las
notación
asíntotas.
de
La
límites
para
asíntota
horizontal
relativo
2
y
0
x
=
de
1
nos
x,
y
muestra
se
que
aproxima
a
para
1,
y
valores
que
grandes
para
valores
–2
–3
–2
negativos
pequeños
de
x,
y
se
aproxima
a
1.
–4
Usando
la
notación
de
límite
para
decir
esto,
–6
podemos
lim f ( x )
escribir :
–8
Para
hacia
hacia
hacia
arriba
abajo
y
abajo
3
f
(x)
=
la
asíntota
x
se
en:
crece
rápida
e
aproxima
a
1
a
1
x
=
por
por
de
la
(−∞,
0)
y
(0,
indenidamente
cóncava
y,
y
a
cóncava
relativos:
no
hacia
hacia
de
abajo:
en
medida
la
la
que
crece
dirección
y.
Usando
límites
lim
f (x)
para
=
∞
x
se
rápida
arriba:
inexión:
De
(0, ∞)
manera
lim
(0, 0)
x:
(0, 0)
intersección
con
el
eje
y:
(0, 0)
y
8
6
4
2
inexión
0
–2
x
–1
1
2
3
4
–2
–4
–6
–8
creciente
cóncava
hacia
cóncava
abajo
derivadas
hacia
arriba
5
f (x)
esto
=
∞
f (x)
=
x →1
similar
,
−∞
y
para
lim
x → −1
x
f (x)
+
x → −1
eje
–3
lim
+
el
de
negativa
expresar
y
(−∞, 0)
con
y
medida
posee
intersección
Límites
a
izquierda,
derecha, y
en
x →1
238
1
∞)
escribimos:
–4
1,
la
indenidamente
positiva
de
extremos
–5
=
x
creciente
punto
f (x)
x → −∞
ver tical
aproxima
dirección
e
punto
lim
y
creciente
que
1
x →∞
decreciente
cóncava
=
=
=
−1
∞
escribimos
Ejercitación
En
las
preguntas
derivada
ejes
primera
características
los
7T
y
las
a
y
6
la
claves
dibuje
el
derivada
del
gráco
de
segunda
gráco.
Halle
la
función.
para
las
analizar
(x)
=
3x
la
las
intersecciones
con
asíntotas.
2
f
1
Use
3
+
x
+ 2
x
4
10x
−
8
2
2
f
(x)
=
x
+
4
f
(x)
=
(3
x
−
5x
−
5
4
f
3
(x )
=
x
x
e
f
5
(x )
−
x)
2
e
x
=
f
6
(x )
1
=
2
2
Dado
se
el
gráco
puede
el
cualquiera
gráco
de
de
las
las
tres
otras
+ 1
funciones f,
dos
f
′o
f
″,
funciones.
Sabiendo
dibuje
de
dibujar
emo
x
que
el
gráco
que
aproximadamente
Sabiendo
dibuje
que
el
gráco
que
aproximadamente
se
los
se
los
muestra
grácos
muestra
grácos
es
de
f
es
de
f
el
′
gráco
y
el
y
f
gráco
f
de
f,
de
f
y
″
′,
″
0
x
–2
–3
5
6
Respuestas
El
y
gráco
un
y
=
El
=
mínimo
anula
en
0
–3
–2
x
–1
5
y
gráco
6
x
=
de
f
que
f
f
′′(x)
es
f
′′(x)
debe
Dado
y
=
relativo
de
decreciente
en
x
=
2.
Esto
a
creciente
signica
y
tiene
2
es
y
pasa
de
siempre
negativa
cóncavo
a
que
f
′(x)
positiva.
la
′′(x)
es
derivada
ser
una
siempre
hacia
de
f
′(x),
positiva.
ar riba.
una
constante
Dado
Esto
función
que
lineal,
positiva.
f '(x)
=
y
pasa
f ''(x)
signica
y
f
f(x)
se
y
de
=
f ''(x)
que
positiva
a
f
′(x)
se
anula
negativa,
el
cuando
gráco
de
x
f
=
−1
tiene
y
pasa
un
de
punto
f '(x)
máximo
Dado
relativo
que
negativa
a
f
′(x)
en
se
x
=
−1.
anula
positiva,
el
cuando
gráco
de
x
f
=
5
y
tiene
pasa
un
de
punto
x
–6
y
=
f(x)
–2
mínimo
Dado
x
=
relativo
que
2,
Como
el
f
para
x
>
′(x)
gráco
es
negativa
f
en
de
cóncava
para
2,
f
x
x
tiene
<
′′(x)
f
=
5.
un
mínimo
′′(x)
hacia
2.
es
se
anula
abajo
Como
relativo
f
positiva
es
cuando
para
x
<
cóncava
para
cuando
x
>
x
2,
=
f
2.
′′(x)
hacia
es
ar riba
2.
Capítulo
7
239
Ejercitación
PREGUNTAS
7U
TIPO
EXAMEN
y
Se
1
da
el
gráco
de
y
=
f
(x).
y
Dibuje
aproximadamente
los
grácos
de y
=
f
′(x)
e
y
=
f
=
f(x)
′′(x).
0
–3
Se
2
da
el
gráco
de
la
derivada
de
f,
y
=
f
x
–2
′(x).
y
Dibuje
aproximadamente
los
grácos
de y
=
f
(x)
e
y
=
f
′′(x).
y
=
f '(x)
x
–3
3
Se
presenta
de
f,
el
gráco
de
la
derivada
–1
segunda
y
y
=
y
f
=
(x)
f
′′(x).
e
y
=
f
Dibuje
aproximadamente
los
grácos
de
′(x).
0
–2
–4
x
–1
y
.
Má
or
xrmo
y
rom
=
f ''(x)
omzón
Hemos
visto
cómo
usar
la
derivada
segunda
para
determinar
Véase
la
concavidad
y
los
puntos
de
inexión
del
gráco
de
una
en
La
derivada
para
hallar
segunda
extremos
de
una
función
relativos.
A
este
puede
también
proceso
se
lo
(o
f
′(c)
de
c,
1
Si
=
0
y
la
f
″(c)
>
de
la
derivada
segunda
hacia
cerca
de
c,
segunda
derivada
de
f
existe
f
es
ende,
f
cóncava
cerca
posee
de
c.
un
cerca
mínimo
relativo.
Si
<
entonces:
f
″(c)
>
0,
2
Si
f
″(c)
<
0,
3
Si
f
″(c)
=
0,
entonces
f
tiene
un
mínimo
relativo
en x
=
f
″(c)
entonces
f
tiene
un
máximo
relativo
en x
=
la
comprobación
de
la
derivada
segunda
se
debe
usar
la
comprobación
Límites
y
los
derivadas
extremos
de
la
relativos.
derivada
cerca
es
de
c,
cóncava
abajo
cerca
de
posee
un
falla
ende,
f
primera
máximo
localizar
f
c
Por
para
0
c
hacia
240
0
arriba
entonces
y
capítulo
criterio) r gn
Por
Si
el
denomina
entonces
Comprobación
sección
usarse
Si
omroón
la
2.6
función.
relativo.
c.
17.
emo
Halle
los
puntos
derivada
extremos
3
f
(x)
relativos
de
cada
función.
Si
es
posible,
use
la
comprobación
de
la
segunda.
=
2
x
−
5
3x
−
2
f
(x)
=
3x
3
−
5x
Respuestas
3
f
(x )
=
2
x
− 3x
− 2
2
f
f
′( x )
′′( x )
= 3x
=
− 6x
6x
Hallar
la
segunda
− 6
derivada
de
primera
y
la
derivada
donde
la
primera
f
2
3x
− 6x
=
Hallar
0
los
valores
de
x
derivada
se
anula
3x ( x
− 2)
x
f
′′(0 )
f
′′(2 )
f
(0 )
=
0
=
0, 2
−6
=
=
=
6
>
−2
máximo
<
0
0
⇒
Evaluar
→
→
máximo
mínimo
(0, −2)
es
la
derivada
relativo
derivada
segunda
en
cada
cero
de
la
primera
f
″
<
0
implica
f
″
>
0
implica
un
máximo
un
mínimo
relativo
y
relativo
un
Evaluar
para
relativo
dónde
hallar
los
ocur ren
valores
los
de
relativo.
extremos
los
de
máximos
la
y
función
mínimos
relativos
f
(2)
=
−6
mínimo
(0, −6 )
⇒
(x )
=
3
3x
− 5x
4
f
′( x )
un
relativo
5
f
es
2
= 15 x
Hallar
la
derivada
Hallar
los
primera
y
la
derivada
segunda
de
f
2
− 15 x
= 15 x
(x
+ 1)( x
− 1)
3
f
′′( x )
=
60 x
− 30 x
4
valores
de
x
donde
la
derivada
primera
2
15 x
− 15 x
=
0
=
0
=
0,
se
anula
2
15 x
(x
+ 1)( x
− 1)
x
± 1
Evaluar
derivada
f
″(0)
=
0
⇒
falla
la
comprobación
de
″
=
0
f
″(1)
=
=
segunda
en
cada
cero
de
la
primera
implica
que
la
comprobación
de
la
segunda
derivada
f ″(−1)
derivada
la
f
derivada
la
−
30
30
>
<
0
0
→
→
máximo
mínimo
segunda
falla.
relativo
f
″
<
0
implica
un
máximo
f
″
>
0
implica
un
mínimo
relativo,
y
relativo
{
relativo.
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
241
signos
de
f
'
–
x
0
–1
Dado
0
falla
1
que
en
x
primera
Dado
que
x
no
=
ese
0,
no
hay
existe
mínimo
( −1)
f
(1)
=
=
2
−2
⇒
( −1
, 2)
⇒
(1
,
Ejercitación
Halle
que
de
o
signo
en
máximo
f
′
=
comprobación
0,
para
usar
ver
si
la
el
de
la
derivada
comprobación
signo
de
f
′
de
segunda
la
cambia
derivada
en
x
=
0
en
relativo
en
punto.
f
Use
cambio
la
los
la
− 2)
es
un
máximo
es
un
mínimo
Evaluar
hallar
relativo
la
los
función
valores
en
los
extremos
máximos
y
relativos
mínimos
para
relativos
7V
puntos
extremos
comprobación
sea
relativo
de
relativos
la
de
derivada
cada
función.
segunda
cada
vez
posible.
2
1
f
(x)
=
3x
3
f
(x)
=
x
5
f
(x)
=
(x
2
−
18x
4
−
48
2
f
(x)
=
(x
4
f
(x)
=
xe
3
−
2
−
1)
x
4x
Los
1
extremos
4
−
1)
f
6
(x )
=
2
x
relativos
+ 1
función
máximo
Hemos
estado
También
función.
de
de
la
podemos
Los
función
una
hallando
hallar
extremos
a
función
lo
largo
se
los
extremos
los
xrmo
absolutos
de
todo
producen
relativos
ya
son
su
sea
el
locales
oo
valor
dominio.
en
o
y
el
extremos
de
funciones.
go
máximo
Los
alguno
o
de
los
de
una
mínimo
absolutos
extremos
o
bien
en
alguno
de
los
extremos
de
la
Límites
y
derivadas
el
una
un
inter valo
al
punto
el
valor
mínimo
cercano
Los
relativos
ocurren
extremos
función.
en
crítico.
extremos
nunca
una
función
función.
242
y
de
los
relativos
de
son
en
de
una
emo
D
Identique
mínimo
Halle
punto
absoluto,
ninguno
cada
el
de
un
rotulado
máximo
o
como
un
mínimo
máximo
relativo,
o
B
o
ellos.
máximo
y
el
mínimo
absoluto
para
2
f
(x)
=
x
−
2x
en
−
≤
x
≤
2.
A
C
Respuestas
A
no
es
un
punto
extremo
de
ningún
tipo.
Los
puntos
horizontal
función
tienen
lo
del
tienen
en
A
y
valores
tanto,
gráco
A
por
valores
aquellos
inf eriores
no
es
ni
encima
de
mayores
que
a
están
los
máximo
de
la
que
por
la
recta
el
valor
debajo
función
absoluto
ni
de
del
en
la
eje
A.
Por
mínimo
absoluto.
A
no
puede
extremo
de
ser
la
extremo
relativo
puesto
que
es
un
función.
D
B
A
C
B
es
un
máximo
B
relativo.
no
puede
valores
la
C
es
un
mínimo
absoluto
y
un
mínimo
es
un
un
máximo
absoluto.
ser
la
función
es
en
en
C
su
dominio.
El
valor
función
un
de
en
máximo
función
que
absoluto
son
ya
mayores
que
que
hay
el
valor
de
B.
mínimo
función
relativo.
D
C
de
es
la
absoluto
el
menor
función
todo
su
dado
valor
en
D
es
que
de
el
el
la
valor
de
función
mayor
la
en
valor
todo
de
la
dominio.
2
f
(x)
f
=
′( x )
2x
− 2
x
x
−
2x
=
2x
=
0
en
−1
≤
x
≤
2
Hallar
− 2
los
puntos
críticos
donde
f
'(x)
=
0
= 1
2
f
( −1)
=
( −1)
− 2( −1)
=
3
Evaluar
2
f
(1)
=
(1)
críticos
− 2 (1)
=
(2)
=
(2)
el
− 2( 2 )
del
función
en
inter valo.
los
El
extremos
mayor
y
valor
en
es
los
el
puntos
máximo
y
−1
2
f
la
=
menor
es
el
mínimo.
0
2
El
en
es
máximo
−1
≤
x
≤
absoluto
2
es
3
y
de
el
f
(x)
=
mínimo
x
−
2x
absoluto
−1.
Capítulo
7
243
Ejercitación
Identique
7W
cada
máximo
o
ninguna
de
punto
mínimo
las
absoluto,
dos
en
un
las
preguntas
máximo
o
y
mínimo
2
como
relativo,
un
o
cosas.
C
1
rotulado
2
C
A
A
B
B
D
Halle
el
máximo
inter valo
y
el
mínimo
absoluto
de
la
función
en
el
dado.
3
3
f
(x)
=
(x
−
4
f
(x)
=
8x
2)
en
0
≤
x
≤
4
2
−
x
en
−1
≤
x
≤
7
3
3
5
f
(x )
=
2
x
−
x
en
−1
≤
x
≤
2
2
Muchos
problemas
máximos
área
o
o
minimizar
rom
➔
Para
1
prácticos
mínimos.
los
requieren
ejemplo,
costo.
Tales
que
quizás
hallemos
valores
querramos
problemas
se
maximizar
un
denominan
omzón
problemas
Asigne
que
un
Por
de
variables
deben
a
optimización:
las
cantidades
determinarse.
dadas
Cuando
sea
y
a
las
posible,
cantidades
dibuje
un
diagrama.
2
Escriba
una
fórmula
(minimizada
3
Halle
del
va
a
Verique
usando
la
el
Límites
y
problema
o
deben
el
cuando
derivadas
Si
un
la
′ (x)
=
en
0
o
un
en
va
función
la
o
derivada
es
dos
variables.
factibles
o
de
a
un
la
o
≤
x
dado
cerrado
extremo
función
mínimo
que a
extremos,
dentro
0).
primera
tal
inter valo
un
ser omz
de
igual
máximo
los
a
derivada
(sea
dominio
vericarse
mínimo
f
de
que
sensatos
anule
sea
el
en
donde
se
realmente
segunda.
que
máximo
función
resulten
comprobación
derivada
ocurrir
del
que
optimizada
que
la
recuerde
244
ser
la
maximizada),
valores
contexto
que
4
los
o
de
del
de
≤
b,
que
pueden
inter valo.
emo
El
producto
más
el
de
triple
dos
del
números
segundo
positivos
sea
es
48.
Halle
los
dos
números
tales
que
la
suma
del
primero
mínima.
Respuesta
x
=
el
y
=
el
S
=
primer
entero
segundo
positivo
entero
Asignar
positivo
Escribir
va
48
xy
=
48 ⇒
y
a
las
cantidades
que
se
van
a
deter minar
+ 3 y
x
variables
a
una
ser
función
para
la
suma,
la
cantidad
que
minimizada
=
x
S
=
⎛
48 ⎞
⎜
⎟
+ 3
x
144
=
x
⎝
x
Usar
+
la
otra
inf or mación
dada
para
reescribir
x
⎠
la
función
para
la
suma
usando
solamente
dos
variables
144
S ′( x )
= 1
Hallar
2
la
derivada
de
la
función
que
va
a
ser
x
minimizada
y
luego
deter minar
los
puntos
críticos,
144
1 −
=
0
donde
2
la
derivada
se
anula
x
2
x
= 144
x
Dado
=
±12
que
los
números
consideramos
son
únicamente
positivos,
x
=
12.
288
S ′′( x )
Usar
la
comprobación
de
la
derivada
segunda
para
=
3
vericar
x
Obser ve
288
S ′′
(12 )
=
>
0
→
mínimo
que
que
el
valor
se
crítico
podría
usar
12
da
un
también
mínimo
la
comprobación
relativo
3
de
12
48
y
=
y
=
=
números
emo
Una
sus
que
el
primera.
segundo
número
4
12
x
Los
derivada
Hallar
48
⇒
la
son
12
y
4.
parcela
lados.
El
rectangular
cuar to
encierran
el
lado
área
para
de
tierras
la
máxima.
de
parcela
Halle
cultivo
es
el
una
área
está
pared
encerrada
de
por
piedra.
un
Halle
vallado
las
de
180 m
dimensiones
en
de
tres
la
de
parcela
máxima.
Respuesta
Elaborar
un
cantidades
a
diagrama
que
se
van
y
a
asignar
variables
a
las
deter minar
a
l
Escribir
A
=
2a
la
+
l
a
=
180
⇒
l
=
180
–
2a
ser
Usar
una
función
para
el
área,
la
cantidad
que
va
maximizada
la
otra
inf or mación
dada
para
reescribir
la
2
A
=
(180
A′( a )
–
2a)a
=
= 180 − 4 a
180 − 4 a
=
0
180a
–
2a
función
Hallar
=
la
la
el
área
derivada
minimizada
donde
a
para
y
de
luego
derivada
usando
se
la
solamente
función
deter minar
que
los
dos
va
a
variables
ser
puntos
críticos,
anula
45
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
245
A′′( a )
=
A′′( 45)
Usar
−4
=
−4
<
l
=
180
–
2a
l
=
180
–
2(45)
0
→
máximo
la
relativo
=
90(45)
Una
que
el
valor
de
la
crítico
derivada
45
da
un
segunda
para
máximo
⇒
Hallar
A
comprobación
vericar
=
parcela
=
la
longitud
y
el
área
90
4050
de
45 m
por
90 m
tendrá
el
área
2
máxima
de
4050 m
Ejercitación
1
La
suma
que
de
7X
dos
maximicen
números
la
suma
positivos
del
es
primero
20.
Halle
más
la
los
raíz
dos
números
cuadrada
del
segundo.
2
La
suma
número
de
producto
3
Un
y
sea
corral
se
un
se
es
rectangular
Halle
se
y
los
par te
utilizando
muestra
deberían
positivo
200.
el
doble
dos
de
un
números
segundo
tales
que
su
máximo.
constr uye
como
número
positivo
usarse
en
la
para
400
gura.
que
el
en
dos
pies
de
¿Qué
área
secciones
alambrado,
dimensiones
resulte
máxima?
y
x
emo
Halle
total
las
de
dimensiones
192
de
centímetros
una
caja
sin
cuadrados
tapa
que
con
tenga
base
el
cuadrada
máximo
y
área
volumen.
Respuesta
Dibujar
un
variables
a
diagrama
las
y
asignar
cantidades
que
van
a
h
ser
deter minadas
Escribir
x
una
función
para
el
x
volumen,
la
cantidad
que
va
a
ser
maximizada
2
V
=
x
h
Dado
2
x
+ 4 xh
que
la
caja
supercie
total
cuadrado
de
es
no
la
tiene
suma
tapa,
del
la
área
del
= 192
2
la
base,
x
,
y
el
área
de
2
192
h
x
=
las
cuatro
caras
laterales,
4xh.
4 x
2
⎛ 192
x
⎞
2
V (x )
=
x
4 x
⎝
⎠
1
3
=
48 x
Usar
esto
para
de
función
reescribir
la
f ór mula
⎟
⎜
−
la
dos
empleando
solamente
variables
x
4
{
246
Límites
y
derivadas
Continúa
en
la
página
siguiente.
x
3
Hallar
2
V
′( x )
=
48 −
la
derivada
de
la
función
que
x
va
4
a
los
3
ser
maximizada
puntos
críticos
y
luego
donde
la
hallar
derivada
2
48 −
x
=
0
se
4
anula
3
2
x
=
48
4
2
=
x
x
=
El
64
±8
valor
crítico
factible
es
x
=
8.
3
V
′
′( x )
=
Usar
x
la
comprobación
de
la
derivada
2
segunda
para
vericar
que
el
valor
3
V
′
′(8)
crítico
=
−
(8)
=
−12
<
8
da
un
máximo
0
2
→
máximo
relativo
2
192 −
h
2
x
192
=
⇒
h
=
4 x
Las
por
4
Hallar
la
altura
de
la
caja
4 (8)
dimensiones
área
− 8
=
máxima
de
son
la
8 cm
caja
con
por
8 cm
4 cm.
emo
10 000
El
costo
de
pedido
y
almacenaje
de
x
unidades
de
un
producto
es
C (x )
=
x
+
.
Un
camión
de
x
repar to
del
puede
producto
entregar
se
deben
un
máximo
pedir
para
de
200
unidades
minimizar
el
por
pedido.
Halle
qué
cantidad
de
unidades
costo.
Respuesta
10 000
C (x )
=
x
donde
+
x
es
el
número
de
C
es
la
función
que
va
a
ser
minimizada.
x
unidades.
Hallar
la
derivada
de
la
función
que
va
a
ser
10 000
C ′( x )
= 1 −
minimizada
2
para
deter minar
los
valores
críticos
x
donde
la
derivada
se
anula
10 000
1 −
=
0
2
x
10 000
= 1
2
x
2
x
= 10 000
x
El
valor
pedido
no
más
=
±100
crítico
debe
de
absoluto
200,
en
factible
incluir
1
≤
al
es
x
=
menos
necesitamos
x
≤
200.
100.
una
Dado
que
unidad
hallar
el
el
pero
mínimo
Dado
que
cer rado,
inter valo
mínimo
la
los
función
está
extremos
deben
ser
y
denida
los
tenidos
ceros
en
de
en
la
cuenta
un
inter valo
derivada
para
el
en
el
valor
absoluto.
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
7
247
10 000
C (1)
= 1 +
= 10 001
1
10 000
C (100 )
= 100 +
=
200
←
costo
mínimo
100
10 000
C ( 200 )
=
200 +
=
250
200
El
costo
mínimo
ocurre
cuando
hay
100
unidades.
Ejercitación
7Y
3
1
Una
caja
Halle
2
las
sin
tapa
con
dimensiones
Suponga
que
el
3
C(x)
por
día,
Una
tal
=
x
–
3x
se
=
la
✗
4
Se
medio
9x
+
mueve
12t
que
de
30.
un
volumen
minimizan
producir x
Si
se
el
lo
el
de
área
unidades
máximo
deberían
sobre
desde
+36t
distancia
TIPO
inscribe
caja
tiene
32 000
de
de
su
un
cm .
supercie.
ar tículo
está
dado
una
recta
origen
en
que
se
producir
puede
para
horizontal
un
tiempo t
producir
minimizar
de
son
el
10
costo
ar tículos
diario?
forma
está
dada
2
–
t
PREGUNTAS
la
ar tículos
posición
3
Halle
–
¿cuántos
su
s(t)
cuadrada
2
par tícula
que
por
de
costo
3
por
base
un
–10
en
máxima
0
≤
entre
t
la
≤
7.
par tícula
y
el
origen.
EXAMEN
cilindro
en
un
cono
de
6 cm
de
radio
y
10
10 cm
de
–
a
altura.
Halle
una
expresión
para
r,
el
radio
del
cilindro,
en
función
r
10 cm
de
a,
la
altura
del
cilindro.
a
Halle
una
función
expresión
de
para
el
volumen, V,
del
cilindro,
en
a.
2
dV
d
Halle
V
6 cm
y
2
da
A
par tir
volumen
5
Sea
Los
x
el
da
de
lo
anterior,
halle
el
radio
y
la
altura
del
cilindro
con
máximo.
número
ingresos
de
por
miles
vender
de
x
unidades
unidades
producidas
están
dados
de
cier to
por r ( x )
ar tículo.
4
x
y
el
2
costo
de
La
producir
función
x
unidades
ganancia
p(x)
es
=
c (x)
r (x)
=
–
2x
c (x).
Escriba
una
expresión
para
p(x)
en
función
2
dp
Halle
A
d
p
y
2
dx
par tir
para
dx
de
lo
anterior,
maximizar
ero
la
halle
el
número
de
ganancia.
rón
✗
1
Derive
con
3
4x
respecto
a
x.
+3x
–
2x
+
6
x
3
4
3
2
4
x
2
248
(x
Límites
3
–
y
1)(2x
x
4
x
+ 7
2
–
x
derivadas
4x
+
x)
f
e
unidades
que
deberían
producirse
de
x
ln x
3
g
4
(x
+
1)
ln(2x
h
+3)
2
x
x
2
4 x
2e
2x
2
x
(3x
k
+
1)(e
)
x
e
6
3
⎛
2
m
3
2x
5
x
n
TIPO
⎞
ln
o
⎜
⎝
PREGUNTAS
1
2x
e
⎟
x
⎠
EXAMEN
3
2
Sea
f
(x)
=
2x
–
6x.
3
Desarrolle
Use
(x
+
h)
f
la
f
fórmula
′( x )
=
(x
+ h) −
El
Escriba
Halle
de
gráco
f
el
f
(x)
de
f
es
es
6x
(x )
para
h →0
derivada
f
lim
–
mostrar
que
la
h
6.
decreciente
en
p
<
x
<
q.
Halle
los
valores
de
p
y
q.
″ (x).
inter valo
en
el
cual
f
es
cóncava
hacia
arriba.
2
x
3
Halle
en
el
la
ecuación
punto
de
la
normal
a
la
f
cur va
(x )
=
1
4 xe
(1, 4).
3
4
Halle
en
las
las
coordenadas
cuales
la
recta
del
gráco
tangente
es
de f
(x)
=
paralela
a
2x
la
3x
+
recta y
1
=
5x
–
2.
y
5
Dado
el
gráco
de
y
=
f
(x):
4
Escriba
f
(2),
f
′ (2)
y
f
″ (2)
y
ordene
los
valores
y
de
=
f(x)
3
mayor
a
menor.
Justique
su
2
respuesta
del
1
apar tado
0
3
6
La
función
de
una
cur va
es
y
=
x
(x
–
x
1
4).
2
3
4
5
–1
2
dy
Halle:
d
–2
y
2
dx
Para
esta
Las
dx
cur va
halle:
intersecciones
con
el
eje
x
Las
coordenadas
del
punto
mínimo
relativo
Las
Use
sus
cur va,
7
Una
coordenadas
respuestas
indicando
par tícula
se
desplazamiento
la
función
Halle
cuándo
Muestre
ero
1
Use
su
Halle
CPG
el
la
la
límite
o
puntos
para
a
el
lo
origen
par tícula
velocidad
las
se
está
aproximadamente
una
dado
recta
que
=
gráco
encontró
horizontal
por s (t)
un
20t
–
tal
100
en
que
ln
t,
a
la
par tícula
examinar
indique
cada
que
no
función
su
t
es
siempre
x →2
x
2
≥
1.
creciente.
y
numéricamente.
existe.
2
apar tado
izquierda.
gráca
x
1
lim
la
rón
1
el
de
s
mueve
la
inexión
características
de
para
de
de
dibujar
largo
velocidad
para
los
claramente
desde
Halle
que
de
mueve
de
lim
x →3
x
2
2
16
lim
x →4
x
x
4
+ 3
lim
x →1
x
1
Capítulo
7
249
PREGUNTA
2
Un
TIPO
EXAMEN
poste
de
10
distancia
de
30
de
medidas
clavada
en
y
pies
y
la
z
un
y
tierra,
Escriba
una
Escriba
una
A
par tir
de
la
longitud
poste
son
desde
y
pies
tal
de
25
los
topes
como
de
se
para
y
expresión
para
z
anterior,
los
están
en
en
separados
suelo.
la
por
atan
una
una
cables
única
estaca
gura.
de
función
una
Se
hasta
función
en
escriba
al
postes
muestra
expresión
lo
pies
per pendiculares
de
x
x
expresión
para L(x),
z
total
de
cable
usado
para
ambos
postes.
25 pies
y
10 pies
dL
Halle
dx
x
A
par tir
debiera
de
anterior,
haberse
minimizar
ResuMeN
lo
la
colocado
cantidad
del
halle
la
distancia x
desde
de
cable
capítulO
el
poste
a
de
la
10
que
pies
la
30
–
x
estaca
para
usado.
7
n
l
r
ngn
y
f
●
La
función
denida
por
r
(x
+ h) −
se
dene
como
f
′( x )
=
(x
+ h) −
Rg
●
Rg
Si
●
f
(x)
y
f
Má
x
=
cf
(x)
c,
=
r
de
f.
La
(x )
dy
o
h
f
=
(x
+ h) −
f
(x )
lim
h →0
dx
h
entonces
f
′(x)
=
nx
,
donde
n
∈
R
onn
donde
c
es
cualquier
món
(x),
la
n−
,
=
Rg
Si
=
Rg
Si
●
f (x)
como
on
n
Si
f
lim
h →0
●
conoce
h
f
se
x
(x )
lim
h →0
derivada
f
donde
ón
u(x)
±
rg
c
o
es
v (x),
or
número
n
real,
entonces
f
′(x)
=
0.
onn
cualquier
número
real,
entonces
y ′
=
cf
′(x).
rón
entonces
f
′(x)
=
u ′(x)
±
v ′(x).
rón
x
●
dr
e
x
Si
●
f
(x)
=
e
x
,
entonces
dr
n
Si
ln x,
f
′(x)
=
e
x
1
f
(x)
=
entonces
f
′( x )
=
x
●
Rg
Si
●
f
(x)
Rg
=
roo
u(x) · v (x),
entonces
f
′(x)
f
u(x) · v ′(x)
+
v(x) · u′(x).
on
v ( x ) ⋅ u′( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x )
u( x )
Si
=
,
( x ) =
entonces
f
′( x )
=
2
v(x )
[v ( x
)]
Continúa
250
Límites
y
derivadas
en
la
página
siguiente.
l
●
rg
l
Si
●
rg
f
La
(x)
=
regla
n
u(v(x)),
de
y
r
la
entonces
cadena
f
′(x)
también
=
y
=
f
(u),
u
se
puede
escribir
así:
=
g (x)
e
y
=
f
(g(x)),
dy
●
La
razón
de
cambio
s (t
v (t )
=
mo
⋅
+ h) −
●
La
razón
a (t )
=
●
=
de
cambio
v (t
+ h) − v
r
la fnón
instantánea
de
la
velocidad
es
la fnón
=
una
y
función
Cuando
es
decreciente,
una
positivas.
gráo
función
Se
es
deduce
las
rectas
creciente,
tangentes
las
rectas
a
0
para
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
creciente
Si
f
′(x)
<
0
para
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
decreciente
Si
Si
f
f
está
′(x)
Si
f
′(x)
en
de
(c, f
pasa
relativo
denida
pasa
relativo
en
un
positiva
rmr
punto
a
a
tienen
la
crítico
se
c,
usa
para
en
en
localizar
extremos
negativa
en
x
=
c,
entonces
f
tiene
un
punto
máximo
negativa
positiva
en
x
=
c,
entonces
f
tiene
un
punto
mínimo
a
(c)).
′′(x)
>
0
para
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
ón
h
rr
f
′′(x)
<
0
para
todo
x
en
(a, b),
entonces
f
es
ón
h
o
Un
punto
cambia
Má
de
los
gráco
el
gráco
Escriba
Halle
una
los
Verique
recuerde
un
en
donde
que
derivada
a
las
es
un
la
punto
que
sea
de
la
función
que
la
concavidad
de
se
inexión
rom
deben
función
de
derivada
o
de
dos
sea
la
un
que
si
llaman no nxón.
f
′′(x)
=
0
y
además
f
′′(x)
omzón
la
va
o
las
un
a
cantidades
que
deben
diagrama.
ser omz
factibles
función
máximo
los
a
(minimizada
o
variables.
derivada
pueden
y
dibuje
sensatos
de
vericarse
cerrado
dadas
posible,
resulten
realmente
primera
intervalo
y
cantidades
Cuando
valores
problema
la
f
cambia
(a, b).
(a, b).
optimización:
fórmula
maximizada),
de
variables
determinarse.
de
xrmo
problemas
Asigne
donde
en
en
signo.
or
Para
en
relativos
entonces:
f
del
tienen
(a, b).
Si
puntos
cur va
(a, b).
Si
Los
pendientes
(c)).
de
(c, f
r
en
cur va
que:
>
omroón
la
tangentes
′(x)
f.
rón ,
s ′′( t )
f
La
o ,
(t )
Si
de
●
es
r
s ′( t )
= v ′( t )
pendientes
●
desplazamiento
n
h
negativas.
●
or
(t )
lim
Cuando
del
dx
h
h →0
l
s
du
momno
instantánea
lim
h →0
y
du
=
entonces
dx
Rzon
ror
u ′(v(x)) · v′(x).
dy
Si
orn
n
o
optimizada
un
segunda.
extremos,
ocurrir
dentro
mínimo
Si
el
dado
cuando f
′ (x)
se
del
anule
usando
dominio
que
=
0
el
o
contexto
la
es
(sea
un
igual
a
0).
comprobación
tal
máximo
en
del
que a
o
el
extremo
≤
x
≤
b,
mínimo
del
de
en
intervalo.
Capítulo
7
251
t
or
del
l
e
conomno
r
rzonmno
El
rzonmno
llegar
a
una
elaborar
.
Copie
de
los
no
sobre
círculos
regiones
que
y
no
mmá
no
generalización.
conjeturas
n
este
las
se
toma
Use
en
el
cuenta
casos
razonamiento
par ticulares
inductivo
para
para
problema.
tablas.
Dibuje
superponen
todas
en
el
las
cuerdas
interior
de
posibles
cada
círculo.
s
hemo
Ya
los
Anote
los
resultados
en
la
dos
tado
comple
prime
ros
tabla.
los.
círcu
Si
basa
su
conjetura
patrón
Número
la
de
puntos
sobre
Número
circunferencia
de
regiones
para
formadas
2
2
3
4
el
sobre
más
número
regiones
n
cumple
=
de
formadas,
encontrará
se
el
evidente
que
no
para
6.
4
5
■
.
Describa,
número
en
de
palabras,
regiones
cualquier
patrón
que
obser ve
para
¿Cuántas
que
el
es
.
Elabore
una
conjetura
superpuestas
de
la
que
sobre
quedan
circunferencia.
el
número
de
determinadas
Escríbala
en
forma
regiones
al
de
Use
su
cuando
de
.
la
Dibuje
un
las
conjetura
Teoría
del
círculo
la
Conocimiento:
del
con
cuerdas
de
predecir
todas
circunferencia
todas
252
para
dibujan
n
puntos
seis
que
verdad
el
número
cuerdas
que
■
expresión
de
regiones
conectan
¿Podemos
si
conectan
en
en
su
esos
4.
obser var
formadas
seis
matemáticas
circunferencia.
puntos
para
que
puntos
■
realmente
es
¿Signica
Dibuje
vericar
su
el
siempre
con
el
solo
patrón?
esto
deberíamos
puntos
patrón
verdadero?
saber
círculo.
pregunta
la
las
un
sepamos
verdadero
conjetura
se
que
tiene
no
conectar
matemática.
.
repetirse
para
formadas.
veces
que
usar
razonamiento
inductivo?
no
nunca
razonamiento
En
la
deductivo
n
sección
7.1
aíroe
T
El
hemos
conjeturado
que
la
derivada
de f (x)
=
n−1
x
es
f '(x)
=
nx
.
5
que
razonamiento
deductivo
En
el
la
razonamiento
especíco.
axiomas
Usamos
En
para
=
x
denición
de
=
probar
la
vamos
y
entonces
(x
+
f '(x)
desde
el
h)
–
f
lo
de
=
x
.
Podemos
nuestra
más
el
conjetura.
general
razonamiento
emplear
a
lo
más
deductivo
en
teoremas.
derivada
=
para f (x)
validez
y
el
teorema
n−1
,
f
f '(x)
cumplía
basamos
deniciones
n
f (x)
se
deductivo
matemáticas
básicos,
la
conjetura
del
binomio
para
mostrar
que
si
led
Conrmamos
+
nx
para
n
∊ Z
(x)
lim
n
Aplicar
h→0
la
denición
de
derivada
a
f(x)
=
x
y
luego
usar
el
h
n
teorema
n
(x
=
+
h→0
–
para
desarrollar
(x
+
h)
h
n
(
)
[
0
n
x
+
n
n
(
0
h
)
n−1
x
1
(
1
h
+
)
2
n−2
x
(
2
h
+...+
n
)
1
x
n –1
n−1
h
+
(
)
n
0
x
n
] –
h
n
x
lim
h→0
h
n
n
[x
=
binomio
x
n
=
del
n
h)
lim
n
nx
)
(
n−1
+
h +
2
n−2
x
(
2
h
+...+
Simplicar
)
n−1
n
xh
n –1
+
h
] –
donde
sea
posible
n
x
lim
h
h→0
n
n
n−1
nx
=
h +
)
(
2
n−2
x
)
(
2
h
+...+
Agrupar
h
términos
semejantes
h
n
n
h
[nx
n−1
+
)
(
2
(
n−2
x
h +...+
)
n−2
xh
n –1
n−1
+
h
]
Factorizar
lim
h
h→0
n
n
=
n
+
lim
h→0
=
n−1
xh
n –1
[nx
lim
)
(
n−1
+
2
)
(
n−2
x
h +...+
n−2
xh
n –1
n−1
+
]
h
Simplicar
h→0
n
n
(
n−1
=
nx
+
)
2
(
n−2
(x
)(0) +...+
)
n−2
(x )(0)
n –1
n−1
+
Evaluar
(0)
el
límite
n−1
f '(x)
=
nx
■
¿Podemos
ahora
armar
con
cer teza
que
la
conjetura
será
+
válida
El
Una
físico
matemática
clásica
Un
físico
son
astrónomo,
matemático
tren,
un
viajaban
cuando
y
El
estuvo
Z
de
?
¿Por
qué,
por
vieron
en
medio
astrónomo
ovejas
del
dijo:
galesas
ovejas
acuerdo:
galesas
negras!”.
por
■
qué
¿Qué
no?
clase
estaba
de
usando
razonamiento
el
Mientras
que
matemático?
aseveró:
“¡En
el
matemático
Gales
una
Gales
hay
oveja
menos
un
campo
campo.
“¡Todas
son
¡Algunas
o
un
al
negra
no
∊
broma
“¡No!
en
n
para
que
contiene
una
oveja
al
menos
las
con
al
menos
negras!”.
un
lado
que
es
negro!”.
Capítulo
7
253
Estadística
8
ObjetivOs
Población;
5.1
del
de
y
de
los
y
valores
datos;
no
an
Qué
para
los
Por
un
para
el
clase
datos
cálculos;
Medidas
de
de
de
la
discretos
del
uso
de
inter valo;
central:
media,
grácos
de
en
los
valores
límites;
de
caja
centrales
clase
mediana,
de
Comprobemos
saber
de
dibujar
número
alumnos
histogramas
diagramas
modal.
moda;
cuar tiles
frecuenciaacumulada.
barras
un
1
gráco
niños
en
las
de
tabla
barras
familias
Dibuje
un
de
la
siguiente
tabla
nuestras
gráco
de
barras
habilidades
para
la
frecuencias:
de
Color
30
(tablas);
amplitud;
agrupados:
posición
continuos;
frecuencias
misma
amplitud
y
omnzr
gráco
ejemplo:
datos
Dispersión:rango,rangointercuar til,varianza,desviacióntípica.
necesitamos
Dibujar
de
esperados;
estadísticas.
percentiles.
aleatoria;
distribuciones
inter valos
Frecuenciaacumulada;
5.3
1
muestra
los
con
inter valos
Medidas
5.2
de
frecuencia
bigotes;
capítulO:
muestra;
presentación
descriptiva
f
de
favorito
frecuencia
Rojo
6
12
Azul
8
10
Rosa
y
Niños
f
1
8
aicneucerF
2
12
3
5
4
3
5
2
8
10
Púrpura
9
Negro
4
6
4
2
0
x
1
2
3
Número
2
Hallar
Por
la
media,
ejemplo:
moda
y
)
la
la
hallar
moda
)
mediana
la
y
la
de
2,
3,
Media
=
)
3,
5,
254
Moda
=
3
Mediana
=
5
Estadística descriptiva
2
la
6,
7,
9
Halle
la
media
Halle
la
moda
Halle
la
mediana
6,
5,
6,
35
=
7
6
niños
2 + 3 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9
5
mediana
media,
de
4
=
4,
8,
7,
7,
9,
11,
8,
11,
de
de
11,
4,
5,
de:
2,
4
5
13,
15
7
11,
14,
7,
6,
17
7,
8,
8,
8,
6.
9.
siguiente
Las
estadísticas
forman
parte
de
la
vida
cotidiana.
Los
y
promedios
10
(media,
moda,
mediana,
etc.)
y
los
grácos
(de
barras,
de
líneas,
de
9
sectores,
de
la
moda
estadísticas
se
usan
a
sin
los
en
medios
darnos
ha
hecho
alguna
en
conversaciones
todas
partes:
de
cuenta.
armación
de
los
negocios
comunicación.
Cada
uno
de
estadística,
los
deportes,
Utilizamos
nosotros
con
a
el
aicneucerF
y
etc.)
las
probablemente
pensamiento
8
7
o
6
cotidianas.
Decir
“Duermo
en
promedio
unas
5
ocho
horas
por
noche”
o
“Es
más
probable
que
pase
el
examen
1875
1900
1925
1950
1975
2000
2025
x
Año
si
me
preparo
estadística
Las
de
por
antemano”
es
hacer
ya
una
armación
naturaleza.
estadísticas
tienen
que
ver
La
estadística
Es
un
Diseñar
●
Representar
para
experimentos
y
facilitar
●
Sacar
●
Realizar
y
analizar
la
a
recolecciones
de
sobre
el
En
este
mayoría
de
acerca
para
los
del
pero
datos
presente
este
capítulo
se
o
nos
el
futuro
explican
estas
técnicas
y
si
de
en
situaciones
los
y
ayudará
acento
en
a
se
de
los
analizar
pueden
cálculos
sabemos
datos.
que
se
datos.
con
hacerlos
en
la
la
calculadora,
manualmente,
comprender
comprender
obtenidos,
hacer
e
mejor
.
Se
pone
intrepretar
contexto.
los
No
se
cómo
permiten
aplicarlas
organizar
capítulo
resultados
En
ciencia
herramientas
datos
información
par tir
estimaciones
predicciones
otras
comprensión
conclusiones
la
de
con:
utilizan
●
es
conjunto
las
tablas
estadísticas
en
los
reales.
exámenes:
de
pantalla
se
deberá
gráca
usar
la
calculadora
(CPG).
Capítulo
8
255
ingón:
¿qué
debemos
nuestras
Las
calicaciones
puntuaba
con
un
obtenidas
máximo
por
de
10
32
hacer
con
calicaciones?
estudiantes
puntos
son
las
en
una
prueba
que
se
siguientes:
0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10.
¿Qué
debería
hacer
¿Cómo
podría
¿Cómo
debería
¿Debería
¿Cómo
¿Se
.
El
usar
se
ejemplo,
datos
se
la
La
pesos,
se
llama
Los
o
➔
do
Los
datos
de
a
a
surgen
dibujar
los
de
dos
datos
datos
el
mejor
las
numéricas
de
las
hallar
la
en
los
variables,
mnon ,
sola
calicaciones?
a
calicaciones
con
letras?
calicaciones?
por
que
o
datos
determinan
se
los
Los
llama
las
cualitativos
de
su
verá
son:
Con
y
muchas
sus
el
estos
más
alturas
capítulo
obtiene,
y
se
y
0.
los
n o
datos
ser
Algunas
surgen
lapicera
se
en
por
n o
describen
que
clase.
ejemplo,
que
puede
de
la
se
información
o
variable,
promedios
do
veces
color
una
estudiantes
grácos,
constituyen
preguntas
es
par tir
contempla
todos
cualitativos
y
visualizar
calicaciones
categóricos.
Algunas
¿Cuál
las
conclusión
o
categorías
datos
calicaciones?
conver tir
ná
en
datos?
las
alguna
comparación
clasica
para
nmnon
altura
cosas.
estos
datos
nmnon
pueden
con
los
promedio?
sacar
aná
ná
profesor
mostrar
un
deberían
puede
el
organizar
cuantitativos
información
contada
o
preguntas
datos
¿Cuántas
que
medida.
de
las
que
cuantitativos
lapiceras
son:
posee?
[
preferida?
¿Cuánto
tiempo
tarda
en
Discretos
llegar
¿Cuántos
¿Cómo
viaja
para
ir
a
la
escuela?
a
la
zapatos
¿Cuál
es
la
marca
de
su
¿Cuántos
computador?
computadores
datos
de
la
pr ueba
que
vimos
Los
anteriormente,
¿son
se
de
ven?
ha
tenido?
datos
dividen
Los
pares
escuela?
cualitativos
cuantitativos
en
dos
categorías:
o
o
ro
y
o
cuantitativos?
onno.
➔
Una
variable
cuantitativa
discreta
toma
valores
numéricos
exactos.
Aquí
de
trabajamos
CD
➔
que
Una
con
tenemos
variable
precisión
medición
or
o
el
número
cuantitativa
depende
,
de
la
,
de
,
,...,
hijos
continua
precisión
por
que
hay
puede
del
ejemplo,
en
ser
la
cantidad
nuestra
medida
instr umento
y
familia.
su
de
utilizado.
[
Las
variables
continuas,
tales
como
la
longitud,
el
peso
y
el
Continuos
tiempo,
¿Cuál
pueden
tomar
valores
fraccionarios
o
Estadística descriptiva
es
la
decimales.
del
256
se
tren?
velocidad
¿Cuál
es
la
diferencia
entre
una
población
y
una
muestra?
Cuando
pensamos
en
el
término
oón ,
generalmente
pensamos
Población
en
la
gente
de
nuestra
ciudad,
región,
estado
o
país.
Muestra
➔
En
estadística,
miembros
tomar
➔
Una
de
del
término
gr upo
decisiones
mr
la
el
es
población,
que
oón
estamos
basadas
una
en
par te
una
incluye
a
estudiando
todos
con
los
el
n
de
datos.
de
la
selección
población.
de
los
Es
un
individuos
subconjunto
que
la
conforman.
Para
que
una
muestra
or,
sea
se
deben
presentar
dos
características:
1
Cada
2
La
individuo
muestra
que
la
tiene
Clasique
cada
El
La
El
tiempo
El
número
número
posibilidad
esencialmente
uno
de
longitud
del
que
de
¿son
de
peces
las
de
mismas
ser
elegido.
características
los
siguientes
capturado
datos
por
un
en
discretos
o
continuos.
pescador
pez
lleva
atrapar
amigos
calicaciones
capítulo,
.
misma
A
Las
2
la
población.
Ejercitación
1
tiene
de
datos
que
los
el
pez
pescador
exámenes
discretos
prnón
un
o
se
llevó
presentadas
con
al
él
comienzo
del
continuos?
o
o
A
veces
se
columnas”
Una
frn
es
una
manera
fácil
de
denomina
al
gráco
“gráco
de
de
barras.
visualizar
y
los
datos
mostrar
rápidamente
datos
y
discretos
buscar
en
patrones.
También
podemos
8
un gráo rr
aicneucerF
emo
6
4
2
Un
estudiante
inter valos
de
contó
un
cuántos
minuto,
automóviles
durante
30
pasaron
minutos.
Sus
por
su
casa
resultados
en
fueron:
0
x
20
23,
22,
22,
22,
24,
22,
21,
23,
22,
27,
26,
25,
28,
26,
Muestre
Dibuje
estos
un
datos
gráco
en
de
21,
23,
22,
una
barras
23,
20,
tabla
para
21,
de
27,
21,
21,
22,
23,
25,
27,
26,
23,
21
22
23
24
Automóviles
25
por
26
27
28
minuto
20.
frecuencias.
estos
datos.
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
8
257
Respuesta
Contabilizar
Número
de
Conteo
de
automóviles
cada
uno
Frecuencia
los
datos
en
la
la
por
cor recta
minuto
Escribir
20
||
el
total
en
la
2
columna
21
de
frecuencia
5
22
7
||
El
23
6
|
24
|
1
25
||
2
26
|||
3
27
|||
3
28
|
1
número
veces
Un
en
21
los
aparece
5
datos.
diagrama
de
bar ras
y
es
apropiado
para
los
8
datos
discretos
haber
aicneucerF
6
espacios
y
puede
entre
las
bar ras.
4
Usar
la
escala
ver tical
2
para
la
frecuencia
horizontal
y
para
el
x
0
20
21
22
23
24
Automóviles
25
26
por
27
28
número
Cuando
gr upos
tenemos
en
de
automóviles
minuto
por
➔
la
muchos
datos,
podemos
minuto
organizarlos
¿Por
en
qué
espacios
una frn gr
no
hay
en
los
datos
continuos?
Para
los
similar
datos
a
un
continuos,
gráco
de
se
puede
barras,
pero
dibujar
no
un hogrm.
tiene
espacios
Es
entre
las
barras.
emo
Las
edades
de
200
miembros
de
un
club
de
tenis
En
los
se
evaluarán
20,
22,
23,
24,
25,
25,
25,
26,
26,
26,
26,
28,
28,
29,
29,
29,
30,
30,
30,
30,
30,
30,
30,
32,
32,
33,
33,
33,
34,
34,
34,
34,
34,
34,
34,
34,
35,
35,
los
de
35,
35,
36,
36,
36,
36,
36,
37,
37,
37,
38,
38,
38,
exámenes
son:
39,
39,
39,
40,
40,
histogramas
frecuencias
41,
41,
42,
42,
42,
42,
42,
42,
42,
42,
43,
43,
43,
43,
43,
43,
44,
con
40,
inter valos
41,
solo
de
igual
44,
amplitud.
44,
44,
44,
44,
45,
45,
45,
45,
45,
45,
45,
45,
46,
46,
46,
47,
47,
47,
47,
47,
47,
47,
47,
47,
48,
48,
48,
48,
48,
49,
49,
49,
49,
49,
49,
49,
49,
50,
50,
50,
50,
50,
50,
51,
51,
54,
51,
52,
55,
52,
55,
52,
55,
52,
55,
52,
55,
53,
56,
53,
56,
53,
56,
53,
57,
60,
61,
58,
58,
59,
59,
59,
60,
60,
60,
60,
63,
64,
64,
64,
64,
65,
65,
68,
69.
tabla
de
frecuencias
agr upadas
{
Estadística descriptiva
53,
57,
63,
una
53,
57,
58,
Dibuje
258
46,
53,
57,
61,
y
el
53,
57,
61,
46,
46,
46,
48,
48,
48,
48,
51,
51,
53,
57,
62,
46,
54,
57,
62,
Continúa
en
la
de
51,
54,
57,
62,
histograma
51,
54,
57,
63,
los
página
57,
63,
datos.
siguiente.
Si
tuviésemos
para
cada
daría
las
una
de
una
edad,
tabla
datos!
la
¡nos
de
50
Respuesta
Edad
20
≤
edad
<
Conteo
Frecuencia
||||
4
25
25
≤
edad
<
30
30
≤
edad
<
35
35
≤
edad
<
40
Inter valos
años).
12
||
25
de
igual
está
25
≤
edad
Se
ubican
<
en
la
amplitud
(5
clase
30.
20
18
|||
40
≤
edad
<
45
26
|
45
≤
edad
<
50
42
||
50
≤
edad
<
55
31
|
55
≤
edad
<
60
24
||||
los
extremos
de
escala
el
en
números
las
eje
bar ras
en
o
los
como
x.
Se
No
60
≤
edad
<
65
≤
edad
<
espacios
entre
CPG
las
para
utilizar
la
dibujar
19
||||
65
hay
puede
70
histogramas.
bar ras.
||||
la
4
sección
capítulo
Véase
5.4
en
el
17.
aicneucerF
45
30
15
x
0
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
Edad
Ejercitación
PREGUNTA
1
Se
les
EXAMEN
a
minutos
indican
T iempo
a
TIPO
preguntó
cuántos
se
B
en
la
todos
al
día
los
estudiantes
estudiaban
del
IB
en
matemáticas.
una
Los
escuela
resultados
tabla.
dedicado
estudiar
0
≤
t
<
15
15
≤
t
<
30
30
≤
t
<
45
45
≤
t
<
60
60
≤
t
<
75
75
≤
t
<
90
matemáticas
(min)
Número
de
21
32
35
41
27
11
estudiantes
¿Son
Utilice
datos
la
rotulado
continuos
CPG
para
para
o
discretos?
dibujar
representar
un
los
histograma
claramente
datos.
Capítulo
8
259
PREGUNTA
2
TIPO
La
siguiente
los
profesores
EXAMEN
tabla
muestra
la
distribución
de
las
edades
de
Número
de
matemáticas
que
trabajan
en
la
de
Edad
Escuela
Profesores
Secundaria
¿Son
Caring.
datos
¿Cuántos
discretos
profesores
Secundaria
Utilice
la
rotulado
El
3
20
≤
x
<
30
5
30
≤
x
<
40
4
40
≤
x
<
50
3
50
≤
x
<
60
2
60
≤
x
<
70
3
continuos?
de
matemáticas
trabajan
en
la
Escuela
Caring?
CPG
para
siguiente
o
para
dibujar
representar
histograma
un
estos
muestra
histograma
claramente
datos.
datos
sobre
pollos
y
congelados
60
en
un
supermercado.
¿Son
1
≤
las
w
<
2,
masas
2
Las
≤
de
w
los
masas
<
3,
y
pollos
en
así
kg
se
agr upan
de
la
siguiente
sollop
manera:
sucesivamente.
datos
discretos
o
continuos?
ed
la
tabla
de
frecuencias
agr upadas
para
oremúN
Elabore
este
histograma.
50
40
30
20
10
¿Cuántos
pollos
congelados
hay
en
el
supermercado?
0
x
1
2
3
Masa
El
4
histograma
de
la
derecha
muestra
cuántos
minutos
4
5
6
(kg)
y
les
5
toma
a
los
estudiantes
¿Son
datos
Represente
discretos
los
o
datos
a
casa
después
de
la
escuela.
aicneucerF
regresar
continuos?
en
una
tabla
de
frecuencias
¿Cuál
es
el
3
2
1
agr upadas.
4
menor
tiempo
que
un
estudiante
puede
0
x
5
tardar
.
Una
un
llegar
M
medida
conjunto
central
La
en
son
de
de
la
a
mo,
central
Las
la
tres
m
15
20
nos
indica
medidas
y
30
35
40
45
(min)
nr
dónde
más
yace
comunes
la
de
mitad
de
posición
Otra
palabra
es
“promedio”.
la mn.
moda
Puede
de
➔
La
moda
es
un
conjunto
el
valor
que
se
presenta
más
frecuentemente
de
lista
de
más
moda.
Si
en
dato
ocurre
datos.
más
una
haber
una
ningún
En
25
T iempo
oón
posición
datos.
10
casa?
números,
la
moda
es
el
número
que
aparece
más
de
una
vez
en
conjunto,
entonces
no
la
el
a
existe
moda
menudo.
para
ese
números.
260
Estadística descriptiva
conjunto
de
emo
Halle
la
moda
de:
9,
3,
9,
41,
(15
aparece
17,
17,
44,
15,
15,
15,
27,
40,
13.
Respuesta
La
moda
es
cualquier
Cuando
modal)
se
es
la
3
veces:
ocurre
con
más
frecuencia
que
número).
presenta
el
emo
Halle
15
otro
valor
en
(o
una
la
tabla
clase)
de
que
frecuencias,
tiene
la
la
mayor
moda
(o
la
clase
frecuencia.
clase
modal
o
la
moda
de
estas
tablas
de
frecuencias.
Goles
Frecuencia
0
4
1
7
5
2
3
10
≤
t
<
15
6
3
3
15
≤
t
<
20
7
4
1
20
≤
t
<
25
6
T iempo
0
≤
≤
t
t
Frecuencia
<
<
5
1
10
5
Respuestas
La
moda
es
1
gol.
Errores
1
La
comunes:
moda
Error:
2
La
la
moda
Error:
común
La
15
clase
≤
t
<
modal
Halle
la
la
moda
7.
frecuencia
es
la
es
agrupadas
20.
Ejercitación
1
A
es
es
mayor
es
7.
3.
frecuencia
más
3.
de
se
una
la
tabla
llama
de
clase
frecuencias
modal.
C
moda
de
los
siguientes
conjuntos
de
datos.
Un
7,
13,
18,
24,
9,
3,
es
8,
11,
24,
−3,
9,
14,
9,
15,
conjunto
18,
6,
9,
mo
4,
18,
0,
20,
−2,
18,
12,
22,
0,
24,
0,
1
2;
7;
4;
2;
1;
9;
3,5;
Halle
la
moda
de
las
26,
0,
3
;
2
2
3,
datos
18,
26,
modas.
24
5
;
11
2
siguientes
tiene
1
;
4
si
10
dos
15,
de
18
tablas
de
frecuencias.
Goles
Altura
Frecuencia
Frecuencia
0
4
140
1
7
150
≤
h
<
160
6
2
3
160
≤
h
<
170
5
3
3
170
≤
h
<
180
10
1
180
≤
h
<
190
8
4
≤
h
<
150
6
Capítulo
8
261
La
media
La
aritmética
m
medida
➔
de
La
de
posición
media
es
números
se
suele
central
la
suma
en
un
de
de
los
los
media
o romo
y
es
la
común.
números
conjunto
Suma
Media
denominar
más
de
dividida
por
el
número
datos.
valores
=
Número
de
μ
se
pronuncia
Σ
(que
hallar
La
media
nos
da
un
número
que
indica
el
centro
del
nos
la
datos.
Generalmente
no
es
un
elemento
del
de
es
un
valor
matemáticas
siempre
dé
las
La
griega
representativo.
del
año
puede
calicaciones
Por
ser
en
ejemplo,
conjunto
85,73%,
números
un
por
puntaje
más
de
que
minúscula
μ
es
el
símbolo
la
y
N
‘nu’.
promedio
el
profesor
enteros.
para
la
menudo
hay
confusión
entre
la
media
media
de
‘sigma’
datos,
A
letra
se
conjunto
es
pero
indica
suma)
pronuncia
de
‘mu’,
valores
de
la
población
y
la
media
de
población.
la
muestra.
La
media
de
la
población
x
Media
de
la
población
μ
se
=
indica
con
letras
griegas,
mientras
N
que
donde
Σx
es
la
suma
de
los
valores
y
N
es
el
número
en
la
Halle
la
muestral
se
usan
x
n.
En
nuestro
media
de
la
curso
solo
utilizamos
población.
media
de:
89,73,84,91,87,77,94
2,
3,
media
población.
la
emo
la
de
y
valores
para
3,
4,
6,
7
Se
puede
calcular
la
Respuestas
media
x
89
73 84
91
87 77
94
tu
en
CPG.
una
En
la
lista
de
opción
N
7
On-vr
595
s
85
7
(estadística
∑ x
μ
=
2 + 3 + 3 +
4
+
6 + 7
=
N
variable),
25
=
=
6
se
puede
calcular
x .
6
frecuencias.
262
Estadística descriptiva
la
una
media
4,16
La
CPG
calcula
También
la
de
media
a
par tir
de
una
tabla
de
Σ x
también
y
n.
es
emo
Halle
la
media
de
cada
conjunto
de
datos
que
se
muestran
a
continuación.
Nota
(n)
Edad
Frecuencia
Frecuencia
(t)
0
11
10
≤
t
<
12
4
1
10
12
≤
t
<
14
8
2
19
14
≤
t
<
16
5
3
10
16
≤
t
<
18
3
Respuestas
Nota
(n)
Frecuencia
fn
0
11
0
1
10
10
Añadir
una
tercera
columna;
Esta
fn
signica
f
×
es
la
aparece
de
El
total
de
la
fórmula
columna
de
fn
es
en
el
fórmulas
19
de
10
de
todas
las
notas.
total
de
la
columna
f
es
∑
el
i
μ
50
fn
Media
=
78
número
de
f
f
∑
i
n
i
=
x
i
= 1
notas.
78
=
IB.
=
∑
∑
del
n
30
El
T
otal
NM
38
suma
3
cuadernillo
la
Matemáticas
2
que
n
f
i
= 1
1,56
50
Cuando
Edad
f
(t)
Punto
los
datos
se
agrupan,
calcular
la
media
fm
podemos
medio(m)
suponiendo
10
≤
t
<12
4
11
≤
t
<
14
8
13
distribuyen
≤
t
<
16
5
los
valores
en
f or ma
pareja
15
del
punto
medio
del
≤
t
<
18
3
a
pequeñas
imprecisiones
eso
de
en
las
17
menudo
=
=
Las
85.
media
como
en
=
este
13,7
ejemplo,
o
con
CPG.
notas
¿Qué
“adivinar”,
calcular
,
20
la
emo
pide
media”.
274
f
∑
la
signica
sino
Media
se
274
No
fm
a
51
20
∑
por
preguntas
exámenes
“estimar
T
otal
y
75
inter valo.
16
lleva
104
alrededor
14
todos
método
44
se
12
que
Este
de
las
pr uebas
puntuación
de
90
para
el
de
debe
matemáticas
sacar
en
la
de
Laura
quinta
son
pr ueba
87,
para
93,
89
obtener
y
una
semestre?
Respuesta
µ
x
=
Seleccionar
la
f ór mula
de
Sustituir
inf or mación
la
media
N
87
90
+
93
+
89
+
85
+
x
en
la
f ór mula
5
450
=
354
x
=
96
Laura
96
la
=
en
debe
su
+
x
Resolver
obtener
quinta
una
nota
de
en
Responder
x
la
pregunta
pr ueba.
Capítulo
8
263
Ejercitación
1
Halle
la
D
velocidad
media
de
6
automóviles
diferentes
en
−1
mismo
camino
si
sus
−1
71 km h
velocidades
−1
,
69 km h
son:
66 km h
−1
,
el
Ronald
F isher
−1
,
57 km h
,
(1890–1962)
58 km h
y
54 km h
en
.
el
Reino
Australia,
2
El
precio
$1,61;
de
$1,96
compra
y
$2,08
de
por
música
pista.
de
diferentes
¿Cuál
es
el
sitios
precio
es
de
$1,79;
medio?
Un
ser vicio
de
de
reparación
llamadas
por
de
día
computadores
durante
un
recibió
período
el
de
5
6
9
7
4
2
4
7
8
3
4
9
8
2
3
5
9
7
8
9
7
5
6
7
7
4
6
2
4
¿Son
Elabore
de
la
estadística”.
datos
una
llamadas
discretos
tabla
por
de
o
estadísticas
analizar
días.
y
y
La
siguiente
halle
el
número
medio
de
las
luz
solar
en
Minutos
0
m
(m)
<
30
considerarse
<
60
16
60
≤
m
<
90
20
120
36
m
≤
m
¿Son
¿Cuál
<
los
Halle
Las
<
el
150
la
discretos
clase
número
puntuaciones
puntuación
días
del
de
minutos
año,
en
el
debe
de
La
masa
84
80,3
81,2
kg.
kg.
media
Un
Newtown.
o
continuos?
modal?
En
medio
podrá
de
de
Camila
sacar
en
PREGUNTAs
7
La
día
cinco
en
las
la
cinco
días,
minutos
son
95,
quinta
de
82,
luz
76
pr ueba
solar.
y
88.
para
los
exámenes,
evaluarse
el
cálculo
la
media
de
¿Qué
alcanzar
tanto
un
pr uebas?
como
8
La
71
en
264
media
golpes.
las
8
de
del
se
une
nuevo
en
al
un
equipo
equipo
y
la
depor tivo
media
se
debe
manejar
sus
220 km,
deben
eleva
¿Cuál
a
jugador.
viajar
una
distancia
vacaciones
300 km,
en
el
a
tiempo.
210 km,
sexto
media
día
En
275 km
para
y
de
los
250 km
primeros
240 km.
completar
sus
tiempo?
las
es
EXAMEN
viajan
a
jugadores
jugador
completar
km
vacaciones
once
masa
López
para
¿Cuántos
la
TIPO
familia
por
de
nuevo
Halle
de
estadística?
la
últimas
es
rondas?
Estadística descriptiva
el
8
rondas
número
de
total
Tigger
de
en
disparos
golf
que
es
de
realizó
fórmula
mediante
calculadora.
6
el
de
mediante
promedio
como
inventor
16
datos
es
100
número
o
sociales.
podría
12
m
≤
el
más
la
biología
f
≤
120
primeros
30
90
5
≤
los
muestra
la
ciencias
padre,
día.
tabla
agricultura,
¿Quién
la
4
la
prácticos
astronomía,
continuos?
frecuencias
“padre
siguiente
30
en
los
el
y
menudo
llama
problemas
6
a
lo
para
número
y
Unido
se
Usó
3
vivió
−1
la
PREGUNTAs
Después
9
TIPO
de
baloncesto
era
de
29.
Lucas
10
y
La
era
de
27
¿Cuántos
12
se
la
13
puntos
a
un
combinan
después
de
puntuación
puntos.
equipos
vendió
ventas
medio
EXAMEN
partidos,
vendió
Carlos
sus
8
que
media
Después
de
3
consiguió
en
los
informáticos,
precio
al
medio
nal
Lucas
y
de
la
a
de
de
jugador
partidos
un
más,
últimos
precio
$320.
semana.
Carlos
un
Su
la
jefe
sus
les
será
media
partidos?
medio
¿Cuál
combinen
tres
de
de
$310,
dice
el
que
precio
ventas?
mediana
➔
La
mediana
es
un
conjunto
de
número
de
mediana
emo
Halle
2,
13,
la
7,
el
número
datos
números
es
la
se
en
media
del
medio
ordenan
el
de
en
conjunto
las
dos
cuando
forma
de
cifras
números
creciente.
datos
del
los
es
par,
Si
de
el
la
medio.
mediana
5,
19,
de:
23,
39,
23,
42,
23,
14,
12,
55,
23,
29.
Respuesta
2,
5,
23,
El
7,
29,
12,
13,
39,
valor
de
conjunto
14,
42,
la
de
19,
23,
23,
23,
Escribir
este
Hay
los
números
en
orden
55
mediana
números
para
es
15
medio
23.
números.
será
el
8
El
número
del
°.
Puede
calcular
mediana
➔
Si
hay
muchos
números
y
es
difícil
hallar
el
elemento
del
error
Esta
n +1
medio,
podemos
usar
la
fórmula:
Mediana
=
da
la
cuando
donde
los
n
es
el
elementos
número
están
en
de
elementos
orden
su
CPG.
omún.
fórmula
no
-ésimo
2
elemento,
en
la
en
el
conjunto
la
mediana.
posición
de
Da
la
y
mediana
dentro
del
conjunto
ordenado
creciente.
de
datos.
Ejercitación
1
Halle
la
E
El
mediana:
2,
3,
4,
5,
6,
7,
2,
3,
9,
3,
4,
6,
7,
2,
3,
0
4
2,
5,
5,
2,
7,
3,
8
psicólogo
popularizó
análisis
formal
matemático
8;
1;
12,
2;
4;
5;
9;
12;
0;
4;
1,5;
9,
1,
20,
7,
2,
y
de
del
la
siglo
XIX
mediana
Gustav
en
datos,
aunque
astrónomo
francés
el
el
Pierre-
8,4
Simon
4,
alemán
Fechner
Laplace
la
había
usado
previamente.
5
Capítulo
8
265
2
Susana
ha
estado
colección.
Halle
contando
la
el
mediana
número
del
de
número
pistas
de
en
pistas
los
en
CD
los
de
CD
su
de
Susana.
3
Número
de
pistas
7
8
9
10
11
12
13
Número
de
CD
3
2
2
1
3
5
3
Halle
la
moda,
presentadas
Resumen
al
de
la
media
inicio
las
del
y
la
mediana
de
las
calicaciones
capítulo.
medidas
de
posición
central
vn
dn
➔
●
Moda
La
moda
puede
utilizarse
datos
o
más
valores
afectan
el
extremos
valor
de
la
no
moda.
el
se
No
utiliza
a
elementos
para
pide
No
es
una
●
frecuente.
●
puede
Cuando
●
media
centro
describe
de
Es
la
medida
ampliamente
un
en
áreas
●
más
utilizada
como
no
hay
datos,
existe
no
Cuando
Los
de
datos.
ingeniería
e
hay
moda,
afectan
Utiliza
a
el
conjunto
la
es
difícil
de
comparar
.
extremos
valor
de
la
media.
negocios,
el
conjunto
de
de
salarios
€15 000,
conjunto
€20
000,
de
€22
000,
€17 000,
datos.
€75 000,
●
Es
única:
tiene
solo
¿cómo
una
afecta
el
valor
respuesta.
extremo
●
Es
útil
en
la
de
●
Mediana
La
el
mediana
centro
conjunto
de
de
describe
la
un
datos.
conjuntos
Los
valores
afectan
de
Es
útil
extremos
tanto
conjuntos
●
como
a
la
Es
única:
la
comparación
de
datos.
tiene
solo
una
respuesta.
●
Por
tratarse
medio,
datos
266
Estadística descriptiva
●
no
deja
a
del
al
cada
valor
50%
lado.
del
de
los
de
No
es
tan
utilizada
●
en
€75
000
a
media?
datos.
media.
●
de
comparación
la
Es
ampliamente
como
menos
cálculos
de
moda.
los
del
de
de
informática.
todos
elementos
el
más
o
valores
datos
●
más
valores
en
En
conjunto
haber
repetidos
interpretar
el
de
respuesta.
una
La
los
conjunto
necesariamente
única:
elemento
Media
todos
del
datos.
●
cualitativos
cuando
elegir
Los
●
la
media.
utilizada
en
avanzados.
ingón:
¿Qué
pasará
todos
los
Copie
y
la
con
las
valores,
complete
o
medidas
medidas
de
siguiente
posición
posición
multiplicamos
la
de
cada
tabla.
central
valor
Debe
si
por
usar
la
la
central
sumamos
misma
CPG
la
misma
cantidad
a
cantidad?
para
calcular
la
media,
la
moda
mediana.
Valores
6,
Conjunto
de
7,
8,
Sume
del
4
a
10,
Media
12,
Moda
cada
15,
16,
14,
20
valor
conjunto.
Multiplique
del
cada
conjunto
por
valor
original
2.
Ahora
copie
moda
y
la
y
complete
mediana
las
siguientes
conjunto
de
oraciones
datos
para
explicar
lo
Si
sumamos
a
cada
valor………………………………………
Si
multiplicamos
cada
valor
M
medidas
de
por
que
sucede
con
la
de
un
rón
posición
conjunto
central
(media,
mediana,
moda)
exploran
el
de
datos.
Las
medidas
de
dispersión
varían
los
datos
respecto
de
un
valor
describimos
indican
datos,
cuánto
central.
menos
debemos
una
posición
➔
El
rngo
es
la
diferencia
entre
el
mayor
valor
y
el
puede
es
verse
distribuyen
Por
–
0
=
la
medida
afectada
los
ejemplo,
capítulo,
0
la
por
datos
para
más
dispersión
los
más
valores
sencilla
extremos.
de
No
central
y
al
de
una
calcular
indica
dispersión.
pero
cómo
se
restantes.
las
baja
de
dar
medida
menor.
de
rango
la
2………………………………….
Cuando
centro
media,
original.
Las
4
del
.
Media
datos
14,
El
y
calicaciones
es
0
y
la
más
presentadas
alta
es
0.
al
Por
comienzo
lo
tanto,
el
del
rango
es
0.
Cuartiles
La
mediana
una
mitad
valores
de
con
un
los
mayores
original
de
secciones
conjunto
a
datos
valores
la
en
contiene
de
menores
mediana.
cuatro
una
datos
a
la
par te
los
datos
mediana,
Los r
secciones
cuar ta
separa
otra
separan
iguales.
(25%)
la
de
Cada
los
en
el
dos
mitades:
mitad
con
los
conjunto
una
de
estas
datos.
Capítulo
8
267
➔
Primer
cuar til
El
rmr
primera
Una
es
r
el
valor
que
marca
la
sección.
cuar ta
par te
de
los
datos
debajo
del
primer
cuar til
par tes
por
arriba.
T
ambién
percentil
símbolo
25
y
a
menudo
y
se
tres
se
se
lo
lo
halla
por
cuar tas
llama
denota
el
con
el
Q
1
Segundo
Tercer
cuar til
El
cuar til
gno
conjunto
de
percentil
50.
El
rr
tercera
datos
la
datos.
r
sección.
se
otra,
hallan
por
percentil
y
el
mediana
T
res
valor
del
lo
que
llama
par tes
se
denota
del
marca
tercer
T
ambién
lo
se
cuar tas
debajo
se
la
T
ambién
es
arriba.
75
es
r
lo
con
de
cuar til
llama
el
la
los
y
el
símbolo
Q
3
1
Q
=
3
(n
+
)-ésimo
valor
y
Q
=
4
n
Para
es
el
tener
podemos
Mínimo
Máximo
Mediana
Primer
Tercer
el
cómo
calcula
la
en
el
conjunto
distribución
rmn
de
no
de
los
datos
datos
del
conjunto,
númro :
cuar til)
se
un
distribuyen
se
conjunto
Primer
cinco
de
los
muestra
de
que
cuál
la
mitad
datos
respecto
de
la
mediana
y
el
en
opción On-vr
variable).
resumen
Mediana
de
los
Tercer
80
es
la
cinco
números
puntuaciones.
cuar til
cada
mitad
están
valores
una
70
dice
la
estos
(estadística
sabemos
y
valores
de
segundo
65
80
donde
extremos.
Mínimo
nos
de
idea
continuación
No
valor
,
cuar til
CPG
para
)-ésimo
cuar til
s
A
(o
muestra
los
La
número
analizar
de
+
4
una
Esto
(n
3
de
por
pero
puntuaciones
arriba
de
Máximo
90
puntuación,
las
cuar til
80.
100
mediana
están
Primer
por
cuar til
=
80
debajo
=
70
de
y
Se
tercer
cuar til
=
90
indican
que
el
50%
central
de
y
puntuaciones
están
entre
70
y
pueden
cuar tiles
5.8
Estadística descriptiva
la
mediana
en
la
CPG.
90.
Véanse
268
hallar
las
en
las
el
secciones
capítulo
17.
5.7
y
➔
La
diferencia
rngo
entre
nrr
el
tercer
(RIC)
=
y
el
Q
−
primer
Q
3
A
veces
al
RIC
se
le
dice
“la
cuar til
se
llama
el
.
mitad
del
medio”.
Aquí
el
rango
intercuar til
es
Se
20.
puede
CPG
el
para
rango
Véase
en
El
➔
Podemos
representar
grácamente
el
resumen
de
los
en
un
diagrama
de
el
la
calcular
intercuar til.
la
sección
capítulo
diagrama
5.9
17.
de
caja
cinco
y
números
utilizar
bigotes
a
veces
se
go .
y
conoce
como
sencillamente
“diagrama
de
Rango
caja”.
Bigote
Rango
Intercuartil
Bigote
El
Min
X
Q
m
Q
1
Max
diagrama
debe
ser
X
3
dibujado
a
escala;
(Mediana)
por
ejemplo,
en
papel
cuadriculado.
El
primer
mediana
máximo
y
se
y
diagrama
el
tercer
indica
el
de
cuar til
mediante
mínimo
caja
están
y
están
bigotes
un
en
en
los
extremos
segmento
los
ver tical
extremos
muestra
los
de
datos
de
en
los
de
la
caja,
la
caja
bigotes.
la
página
la
y
El
el
siguiente
268.
Se
puede
diagrama
dibujar
de
caja
un
y
x
60
70
80
90
100
110
bigotes
en
Véanse
las
5.5
y
5.6
capítulo
A
los
valores
or
➔
no
Un
de
datos
extremos
o
distantes
se
los
la
CPG.
secciones
en
el
17.
llama
ro
or
menos
no
,5
ro
RIC
por
es
cualquier
arriba
de
Q
3
o
valor
por
que
debajo
se
encuentra
de
al
Q
Capítulo
8
269
emo
Halle
el
rango
rango,
la
mediana,
intercuar til
de
este
el
primer
conjunto
cuar til,
de
el
tercer
cuar til
y
el
puntuaciones.
Quizás
18,
27,
34,
52,
54,
59,
61,
68,
78,
82,
85,
87,
91,
93,
desee
algunos
Muestre
los
datos
en
un
diagrama
de
caja
y
de
Verique
si
18
es
un
valor
no
los
de
las
esperado.
estadísticas.
Respuestas
Rango
=
100
–
18
=
82
Rango
=
valor
–
18,
87,
27,
34,
52,
91,
93,
100
54,
59,
61,
68,
78,
82,
85,
Escribir
mayor
valor
los
menor
datos
en
orden
Mediana
⎛ n +1 ⎞
=
⎛ 15
- ésimo
⎜
⎝
+
1 ⎞
=
- ésimo
⎟
2
⎜
⎠
valor
Hay
15
números
⎝
8.°
valor
=
el
⎠
conjunto
=
en
⎟
2
68
∴
n
=
de
datos.
15.
1
Q
=
(n
+
1)-ésimo
valor
1
4
1
=
(15
+
1)
=
4.°
valor
=
52
4
3
Q
=
(n
+
1)-ésimo
valor
3
4
3
=
(15
+
1)
=
12.°
valor
=
87
4
RIC
=
Q
–
Q
3
=
87
–
52
=
35
1
Primer
Tercer
cuartil
cuartil
Mediana
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Los
Q
–
1,5(RIC)
=
52
–
1,5(35)
=
52
–
52,5
se
1
=
∴
18
no
es
un
–0,5
valor
esperado.
valores
no
encuentran
1,5
no
Q
RIC
o
por
por
esperados
más
debajo
ar riba
PREGUNTA
1
A
lo
de
de
de
3
F
TIPO
largo
estación
de
de Q
1
Ejercitación
EXAMEN
12
años,
esquí,
se
cada
mide
31
de
la
profundidad
enero.
Todos
de
los
la
nieve
datos
en
están
una
en
centímetros:
30, 75,
Halle:
)
y
270
el
125,
)
el
tercer
55,
60,
rango,
cuar til
represente
los
75,
)
y
la
)
datos
Estadística descriptiva
65,
65,
media,
el
en
45,
)
rango
un
120,
el
70,
110.
primer
intercuar til
diagrama
de
usos
bigotes.
erróneos
explorar
100
cuar til,
del
caja
conjunto
y
bigotes.
de
datos,
PREGUNTAs
Las
2
TIPO
siguientes
76
79
Halle: )
cuar til
y
Las
las
10, 11,
12,
Halle: )
cuar til
los
la
)
y
14,
el
el
Unir
5
las
22,
7
del
8
cada
media,
un
la
25,
)
27,
media,
de
)
caja
de
de
82
primer
de
en
de
y
de
hora
a
durante
79
cuar til,
caja
°C
Ana
)
81
el
Se
tercer
lo
largo
turístico
de
once
el
primer
cuar til,
conjunto
y
de
)
el
datos.
3
5
6
7
dibujar
de
caja
y
histogramas.
en
horas:
tercer
bigotes.
caja
para
el
)
hallar )
tercer
cuar til
el
y
rango,
)
el
rango
11
diagrama
4
e
la
Represente
de
caja
con
el
histograma
que
le
corresponde.
x
2
para
bigotes
centro
utilizar
diagramas
y
bigotes.
un
puede
CPG
puntuaciones,
1
año:
datos.
0
el
29.
del
cuar til,
conjunto
82
cada
28,
obtuvo
conjunto
diagrama
diagrama
10
el
del
intercuar til
primer
9
85
tomadas
diagrama
el
)
71
que
temperaturas
21,
)
siguiente
intercuar til
la
en
rango
un
media,
6
18,
rango,
en
75
intercuar til
datos
son
puntuaciones
Montana
el
)
datos
Utilice
4
los
de
)
rango
siguientes
sierras
las
74
rango,
el
)
represente
3
son
76
el
EXAMEN
8
9
x
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
7
6
5
4
3
2
1
0
x
1–2
3–4
5–6
7–8
9–10
0
x
1–2
.
➔
Frn
Para
calcular
la
3–4
5–6
7–8
0
9–10
x
1–2
3–4
5–6
de
frecuencia
acumulada
se
van
sumando
las
Al
los
datos
a
medida
que
se
diagrama
diagrama
útil
a
de
un
la
hora
de
de
conjunto
frecuencia
calcular
grande
la
de
acumulada
mediana,
datos
u o
los
resulta
cuar tiles
agr upados
o
de
acumulada
avanza.
a
Un
9–10
m
frecuencia
frecuencias
7–8
y
sumamente
los
percentiles
continuos.
menudo
llama
de
se
lo
“gráco
frecuencias
acumuladas”.
Capítulo
8
271
emo
Se
probaron
50
baterías
para
ver
cuánto
duraban.
T iempo
Los
resultados
(en
horas)
se
muestran
en
la
siguiente
0
Dibuje
un
diagrama
de
frecuencia
halle
la
mediana
y
el
rango
f
≤
h
<
5
3
10
5
acumulada
5
y
(h)
tabla.
≤
h
<
intercuar til.
10
≤
h
<
15
8
15
≤
h
<
20
10
20
≤
h
<
25
12
25
≤
h
<
30
7
30
≤
h
<
35
5
Respuesta
T iempo
0
5
≤
≤
h
h
(h)
<
<
f
Frecuencia
Agregar
acumulada
la
5
3
3
10
5
8
una
avanza
en
≤
h
<
15
8
16
15
≤
h
<
20
10
26
20
≤
h
<
25
12
38
“frecuencia
acumulada
la
f
10
columna
frecuencia
3
5
3
las
a
la
frecuencias
a
baterías
menos
25
≤
h
<
30
7
5
=
8
8
45
≤
h
<
35
5
de
que
se
de
duraron
5
baterías
menos
30
Calcular
acumulada
3
+
tabla.
medida
tabla.
Frecuencia
3
acumulada”
sumando
horas,
duraron
10
horas.
50
y
8
3
+
5
+
8
=
16
10
3
+
5
+
8
+
10
12
3
=
26
50
38
adalumuca
40
+
5
+
8
+
10
+
12
=
baterías
duraron
38
Q
menos
3
de
25
horas.
37,5
7
3
+
5
+
8
+
10
+
12
+
7
=
45
30
M
aicneucerF
5
3
+
5
+
8
+
10
+
12
+
7
+
5
=
50
20
Q
1
12,5
Situar
10
los
superior
0
puntos
de
los
que
tienen
inter valos
de
por
primera
tiempo
y
por
coordenada
segunda
el
límite
coordenada
la
x
10
20
T iempo
30
40
frecuencia
acumulada
cor respondiente.
Los
dos
primeros
puntos
son
(h)
(5,
3)
y
(10,
8).
Para
n
=
conjuntos
50
50
grandes
de
datos,
la
o
Mediana
=
19
Mediana:
horas
=
25.
valor
2
mediana
es
el
valor
en
n
Trazar
un
línea
horizontal
desde
el
la
posición
2
25
en
el
cur va,
y
eje
de
luego
la
frecuencia
otra
ver tical
hasta
hasta
la
el
Los
eje
del
la
Leer
valores
de
tiempo
Q
y
Q
3
en
el
gráco,
de
la
mediana
y
los
misma
1
cuar tiles
de
una
CPG
manera
pueden
Q
=
25,
Q
3
=
=
(25
–
14)
horas
=
11
horas
RIC
=
Q
−
3
14
valores
a
1
de
un
frecuencia
Estadística descriptiva
leídos
Q
par tir
272
de
1
los
RIC
diferir
gráco
de
acumulada.
Ejercitación
1
La
cur va
brazo
de
de
G
la
100
Estime
¿Cuál
¿Qué
la
es
le
frecuencia
boxeadores,
mediana
el
rango
dice
el
de
acumulada
en
muestra
el
alcance
del
centímetros.
los
alcances
de
estos
boxeadores.
intercuar til?
rango
intercuar til?
y
100
adalumuca
75
aicneucerF
50
25
0
x
60
65
70
Alcance
2
La
siguiente
memoria
Muestre
tabla
USB
estos
long
en
75
(mm)
85
(cm)
muestra
una
datos
f
80
la
tienda
en
un
longitud
de
de
dispositivos
frecuencia
long
lm
40
de
informática.
diagrama
ror
de
(l
mm)
acumulada.
Frn
m
6–10
0
10,5
l
≤
10,5
0
11–15
2
15,5
l
≤
15,5
2
Los
a
datos
veces
4
20,5
l
≤
20,5
6
21–25
8
25,5
l
≤
25,5
14
como
este
Situar
caso.
puntos
el
tomando
límite
clase,
26–30
14
30,5
l
≤
30,5
28
31–35
6
35,5
l
≤
35,5
34
el
4
40,5
l
≤
40,5
38
41–45
2
45,5
l
≤
45,5
40
en
los
como
coordenada
superior
de
la
generalmente
punto
entre
36–40
presentan
agrupados
primera
16–20
continuos
se
medio
dos
clases
adyacentes.
Capítulo
8
273
3
La
siguiente
acumulada
100
(min)
Número
4
y
menos
6
6
y
menos
18
8
y
menos
24
y
menos
40
12
y
menos
60
14
y
menos
78
16
y
menos
92
18
y
menos
100
y
su
La
Los
una
cm
Utilice
escala
cada
dibuje
un
gráco
mediana
datos
en
T iempo
2
TIPO
clase
de
promedios
El
t
<
de
frecuencia
almorzar
el
estudiantes
eje
horizontal,
frecuencia
rango
≤
n
<
30
2
30
≤
n
<
40
3
40
≤
n
<
50
5
50
≤
n
<
60
7
60
≤
n
<
70
6
70
≤
n
<
80
4
80
≤
n
<
90
2
100
1
Elabore
Dibuje
un
una
Utilice
su
eje
sitúe
los
acumulada.
8
valores
8
≤
t
<
de p
12
en
y
12
forma
de
tabla,
como
q
≤
36
t
<
16
16
p
≤
t
<
q
que
de
se
Matemáticas
muestran
en
la
del
IB
tabla:
Frecuencia
el
intercuar til
presentados
los
estudiantes
semestrales
en
EXAMEN
30
20
<
en
de
0
estimar:
24
Notas
n
cada
minutos
ser
Halle
≤
cm
diagrama
puede
Frecuencia
PREGUNTA
2
de
para
continuación.
≤
para
estudiantes
10
274
de
0
y
90
distribución
tardan
menos
puntos
Una
la
y
ver tical
4
que
2
Utilizando
a
muestra
tiempo
estudiantes.
T iempo
tabla
del
tabla
de
diagrama
gráco
La
El
primer
El
rango
frecuencia
de
para
estimar:
mediana
y
el
tercer
intercuar til
Estadística descriptiva
acumulada.
frecuencia
cuar til
acumulada.
tiene
los
20
PREGUNTAs
5
Durante
jabalina
TIPO
el
y
día
sus
Distancia
EXAMEN
de
los
resultados
(m)
0
≤
d
Frecuencia
Elabore
Dibuje
Si
el
una
un
20%
distancia
tabla
con
que
para
muestran
20
20
≤
frecuencia
de
d
el
rango
Halle
la
mediana
<
lanzaron
la
nal,
para
continuación:
40
40
≤
d
<
60
60
15
≤
d
<
10
80
80
≤
d
<
100
2
acumulada.
acumulada.
de
utilice
la
la
el
los
estudiantes
gráco
para
son
estimar
la
nal.
intercuar til.
gráco
música
a
frecuencia
rendimiento
calica
Halle
siguiente
de
mejor
escuchan
estudiantes
9
diagrama
El
<
se
40
4
seleccionados
6
depor tes,
de
las
distancias.
muestra
en
la
el
tiempo
que
los
estudiantes
escuela.
y
200
adalumuca
150
aicneucerF
100
50
0
5
10
15
20
T iempo
25
30
35
40
x
45
(minutos)
Estime:
La
mediana
de
los
tiempos
que
los
estudiantes
escuchan
música
El
rango
El
tiempo
estar
El
y
caja
un
del
mínimo
tiempo
y
que
dentro
tiempo
el
intercuar til
10%
para
que
dedicado
máximo
bigotes
estudiante
es
de
debe
más
a
45
escuchar
música
escuchar
minutos.
representar
esta
música
para
escucha
música
Dibuje
es
un
0
minutos
diagrama
de
información.
Capítulo
8
275
PREGUNTA
TIPO
y
EXAMEN
220
El
7
siguiente
diagrama
de
frecuencia
acumulada
200
muestra
las
los
mediana
220
de
girasoles.
las
alturas
de
girasoles.
25%
de
menor
tiendas
de
orería.
tiendas?
¿Entre
altura
se
envían
¿Cuántos
qué
alturas
van
180
a
a
160
140
120
aicneucerF
El
la
de
adalumuca
Halle
alturas
esas
100
80
60
están?
40
El
10%
de
mayor
decoración
de
altura
hoteles.
se
destinan
¿Cuántos
20
a
van
a
x
0
140
los
hoteles?
¿Cuál
es
el
girasol
150
160
Altura
bajo
que
para
La
se
enviará
a
los
del
inmediatamente.
de
los
girasoles
¿Cuántos
se
le
explorar
venden
altura
del
girasol
más
alto
interese
diferentes
representaciones
son?
visuales
La
190
(cm)
Quizás
medio
180
hoteles
decoración?
mitad
170
más
es
195
cm
de
las
y
estadísticas.
la
altura
Dibuje
del
un
más
bajo
diagrama
es
de
136
caja
cm.
y
bigotes
para
Material
representar
las
alturas
de
los
de
disponible
ejercicios
posición
.
El
vrnz
rango
pero
y
cada
conjunto
➔
La
de
intercuar til
ellas
crear
una
cuadrados
los
datos.
cuadrado
Elevar
al
debajo
Elevar
al
por
de
los
la
de
de
utilizando
las
los
de
dispersión
solamente
valores
dispersión.
diferencias
diferencia
la
apropiadas,
dos
valores
del
entre
del
Es
entre
cada
conjunto
la
media
cada
dato
y
datos
aritmética
dato
la
de
y
la
media
media
tiene
por
de
que
la
cada
media
término
no
se
sea
positivo,
cancelan
con
con
los
lo
cual
valores
misma.
casos
puntos
hace
arriba
cuadrado
muchos
que
medidas
ventajas:
cuadrado
valores
por
En
tres
todos
medida
los
al
calcula
combina
rnz
menos
se
son
datos.
de
los
2
de
ón
de
Elevar
1
rango
una
para
lo
el
y
les
este
que
agrega
peso
están
peso
a
adicional
más
lejos
las
diferencias
resulta
de
la
grandes.
apropiado,
media
pueden
dado
ser
más
signicativos.
3
El
uso
de
esta
matemáticas
276
medida
en
facilita
cálculos
Estadística descriptiva
ampliación
girasoles.
de
alguna
estadísticos
manera
las
posteriores.
operaciones
en
8:
línea:
Hoja
Medidas
central
y
de
de
dispersión
Dado
que
las
diferencias
se
elevan
al
cuadrado,
las
unidades
de
Debe
varianza
no
son
las
mismas
que
las
unidades
de
los
CPG
la
➔
La
ón
es
la
raíz
cuadrada
de
la
varianza
las
mismas
unidades
que
los
una
para
calcular
desviación
típica
y
y
tiene
utilizar
datos.
la
varianza
de
la
datos.
población.
➔
Las
fórmulas
para
la
desviación
típica
y
la
varianza
son:
n
2
2
σ
x
i 1
=
Varianza
de
la
población
=
n
n
2
x
i 1
σ
=
Desviación
típica
de
la
población
=
n
emo
Les
preguntamos
temporada
4,
5,
6,
Calcule
la
típica
5,
3,
a
de
2,
media
treinta
8,
y
agricultores
cosecha.
0,
la
4,
6,
Sus
7,
8,
desviación
cuántos
respuestas
4,
5,
7,
típica
9,
de
trabajadores
estacionales
contratan
durante
una
fueron:
8,
6,
estos
7,
5,
5,
4,
2,
1,
9,
3,
3,
4,
6,
4
datos.
Respuesta
Solución
“a
mano”
El
2
Trabajadores
Frecuencia
(x)
(f )
(fx)
(x − μ)
(x − μ)
2
programa
indica
de
“Cálculo
típica/varianza
1
0
−5
25
25
1
1
1
−4
16
16
tecnología”.
cómo
típica
2
2
4
−3
9
18
3
3
9
−2
4
12
4
6
24
−1
1
6
5
5
25
0
0
0
se
A
una
6
4
24
1
1
4
7
3
21
2
4
12
8
3
24
3
9
27
9
2
18
4
16
32
calcular
la
solo
mediante
“a
IB
la
la
se
mano”
variable
muestra
la
desviación
discreta.
media
Restar
la
media
3
Elevar
al
cuadrado
del
4
Sumar
estos
5
Dividir
este
de
paso
cada
cada
obser vación
uno
de
los
2
cuadrados
total
por
el
número
de
2
observaciones. Esto da la varianza
Tomar
6
para
152
∑
=
del
la
raíz
obtener
cuadrada
la
σ
positiva
desviación
típica
σ
media:
150
μ
NM
desviación
2
resultados
Para
la
continuación
calcularía
para
Calcular
1
150
de
f (x − μ)
0
30
Matemáticas
μ
fx
=
= 5
n
30
Para
calcular
la
desviación
típica:
2
∑
152
σ
=
= 2, 25
σ
f
(x
μ )
=
n
30
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
8
277
soón
Ingrese
no
los
datos
“frecuencia”.
a
su
en
cpG
listas
Agregue
llamadas
una
nueva
“trabajadores”
página
de
y
calculadora
documento.
tab
Presione
s
abre
Deje
Esto
el
estadístico)
(estadísticas
un
cuadro
número
abre
(número)
otro
en
(frecuencia)
de
una
|1:
|
1:
s
On-vr
variable).
de
de
listas
cuadro
la
en
lista
la
diálogo.
de
en
1
y
diálogo.
desplegable
lista
enter
presione
Seleccione
para
desplegable
la
nmr
lista X1 y
para
la
lista
frq
de
frecuencias.
enter
Presione
información
Puede
(estadística)
s
enter
Presione
Esto
6:
(cálculo
on
La
n
mostrada
desplazarse
hacia
no
entra
arriba
y
en
una
hacia
sola
abajo
pantalla.
para
verla
toda.
La
desviación
típica
es
el
valor
denotado
con
“σ x:
σ
x”
n
(desviación
σ
=
2,25
En
este
utilizar
La
(3
típica
curso
σx,
valor
sx
y
y
da
población).
debe
el
nunca
desviación
media
la
cs)
siempre
valor
de
el
típica
una
idea
muestra
de
la
cuánta
forma
de
variación
la
hay
con
respecto
a
la
y
distribución.
dt
●
Una
desviación
típica
muy
cerca
media.
Una
desviación
de
la
baja
muestra
que
los
datos
tienden
a
baja
estar
dt
●
típica
alta
indica
que
los
datos
están
alta
dispersos
x
sobre
un
amplio
Propiedades
●
La
de
desviación
dispersión
inter valo
la
típica
alrededor
de
valores.
desviación
solo
de
se
la
utiliza
media
típica
para
de
un
medir
la
conjunto
variación
de
La
desviación
se
utiliza
La
desviación
típica
nunca
●
La
desviación
típica
es
es
describir
sensible
a
los
valores
no
esperados.
los
negocios,
no
esperado
puede
aumentar
la
desviación
típica
y
●
vez
Para
desvir tuar
datos
mayor
●
Si
todos
los
representación
tienen
dispersión,
desviación
278
que
la
típica
es
Estadística descriptiva
de
la
dispersión.
aproximadamente
mayor
valores
de
un
cero
será
la
desviación
conjunto
porque
la
de
cada
misma
a
típica.
datos
valor
media,
son
es
iguales,
igual
a
la
el
depor te
a
la
la
las
Un
ciencias,
valor
datos
negativa.
en
solo
ampliamente
datos.
para
●
típica
o
la
media.
medicina.
y
Ejercitación
Utilice
1
la
Halle
CPG
la
7,
2
Halle
9,
de
12,
la
25,
de
49
35,
65,
84,
27,
sus
f
PREGUNTAs
la
desviación
30,
40,
típica
19,
el
tamaño
Halle
del
50,
de
los
28,
30,
44
la
calzado
desviación
4
5
6
7
8
9
14
22
11
17
TIPO
clase
de
Niños
f
La
de
los
siguientes
60
siguientes
66
ballet.
continuación
una
5
típica
de
73
típica
estudiantes
de
los
en
tamaños
de
calzados.
Tamaño
A
20,
muestra
de
desviación
números.
32,
clase
la
y
44,
tabla
y
37
27,
La
ejercicios.
varianza
números:
una
4
estos
la
varianza
conjuntos
3
para
media,
conjuntos
H
siguiente
recordar
los
desviación
Palabras
29
EXAMEN
se
muestra
niños.
el
Halle
número
la
media
de
y
niños
la
1
2
3
4
5
6
7
5
12
8
3
0
0
1
tabla
muestra
alumnos
de
el
un
número
gr upo
de
que
en
las
desviación
palabras
estudia
que
inglés.
familias
en
típica.
pueden
Halle
la
típica.
f
Pafnuty
5–9
9
10–14
11
15–19
10
Lvóvich
Chebyshev
fue
El
un
teorema
muestra
20–24
20
25–29
10
de
la
12
35–39
6
aplicar
conjunto
En
40–44
3
45–49
1
50–54
1
2
60–64
3
65–69
0
70–74
1
75–79
1
de
Rusia
hicieron
y
el
siglo
el
a
valor
típica
se
cualquier
datos.
varios
XIX.
r uso.
Chebyshev
Francia
estadísticos
tema
55–59
de
cómo
desviación
puede
30–34
(1821–1894)
matemático
se
avances
durante
Este
interesante
es
un
para
investigar
.
Capítulo
8
279
6
Se
realizó
casas
una
al
azar.
sobre
Los
Número
de
habitaciones
Número
de
casas
Indique
Escriba
la
media
Escriba
la
desviación
por
que
usó
una
datos
son
del
casas
número
se
de
habitaciones
muestran
en
la
2
3
4
5
6
41
60
52
32
15
8
discretos
número
típica
de
del
o
en
208
tabla.
1
tienen
desviación
TIPO
una
teléfonos
tiempo
los
cuántas
PREGUNTAs
Se
si
el
resultados
continuos.
habitaciones
número
de
por
casa.
habitaciones
casa.
Halle
7
encuesta
elegidas
celulares
lo
número
más
que
la
de
dormitorios
mayor
media.
EXAMEN
muestra
que
típica
un
aleatoria
para
utilizan
de
167
recopilar
por
día.
personas
datos
Los
sobre
que
la
resultados
poseen
cantidad
se
de
muestran
en
la
tabla.
T iempo
utilizado
día
(t
por
0
≤
t
<
15
15
≤
t
<
30
30
≤
t
<
45
45
≤
t
<
60
60
≤
t
<
75
75
≤
t
<
90
minutos)
Número
de
21
32
35
41
27
11
personas
Utilice
la
la
CPG
desviación
para
típica
calcular
del
valores
tiempo
aproximados
utilizado
por
día
de
en
la
los
media
y
teléfonos
celulares.
8
El
siguiente
peces
cuadro
encontrados
muestra
en
la
red
las
de
longitudes
un
pequeño
en
centímetros
barco
de
los
pesquero.
12
10
secep
8
ed
6
oremúN
4
2
0
20
40
60
80
Longitud
Halle
el
Escriba
número
una
Escriba
100
total
de
estimación
una
120
(cm)
peces
de
la
estimación
en
la
red.
longitud
de
la
media.
desviación
típica
de
las
longitudes.
Material
de
disponible
¿Cuántos
peces
(si
los
hubiera)
tienen
ejercicios
tres
280
desviaciones
Estadística descriptiva
típicas
má
q
la
ampliación
en
línea:
Hoja
de
longitud myor q
media?
posición
8:
Medidas
central
y
de
dispersión
ingón:
el
efecto
de
el
conjunto
sumar
de
o
datos
multiplicar
en
la
desviación
típica
He
aquí
un
Calcule
Ahora
100,
conjunto
la
sume
109,
¿Qué
Calcule
Explique
Ahora
la
Calcule
g
¿Qué
➔
se
lo
8,
con
que
4,
la
todos
la
0,
o
2
6,
la
9,
3,
5,
5,
1,
4,
6.
números.
104,
de
la
lista,
para
obtener
104,
102,
106.
y
de
por
qué
todos
10,
este
los
10,
2,
nuevo
conjunto.
sucede
valores
8,
esto.
de
la
lista
original,
para
12.
media?
la
típica.
varianza?
mo
un
m/r
0,
números
101,
típica
por
18,
con
2,
estos
media?
obser va
con
4,
de
los
105,
desviación
pasará
efo
Si
a
típica
desviación
sucede
f
números:
105,
multiplique
obtener
¿Qué
100
103,
sucede
de
desviación
¿Por
qué?
nform
valor
n
constante
o
k
o
a/de
orgn:
todos
los
En
los
se
nos
una
lista,
la
la
media
desviación
aritmética
típica
g
aumenta
no
o
disminuye
en k
se mn/n
todos
los
reglas.
números
de
la
lista
por
pregunta
constante
k,
tanto
la
media
aritmética
como
típica
ero
se
mn/n
or
del
de
revisión
la
sin
desviación
3
un
ejercicio
valor
(Véase
mm.
la
Si
pedir
utilicemos
estas
pero
puede
números
que
de
exámenes,
CPG.)
k.
rón
✗
1
Halle:
1,
2
7,
8,
Una
2,
moda, )
3,
clase
hogares,
6,
5,
10,
recopiló
como
se
la
mediana, )
la
media
y )
los
datos
muestra
sobre
en
la
el
número
siguiente
de
3
4
5
6
7
8
9
10
f
3
9
10
2
3
1
1
0
1
Calcule
la
media
Calcule
la
mediana.
Escriba
La
es
edad
de
media
años
reencuentran
¿Cuál
es
de:
del
número
de
mascotas
en
sus
mascotas.
moda.
TIPO
17,5
rango
tabla.
2
la
el
3
Mascotas
PREGUNTA
3
la
)
EXAMEN
de
y
en
ahora
un
la
de
desviación
una
la
gr upo
reunión
media
y
la
amigos
típica
escolar
al
es
terminar
de
0,4
después
desviación
típica
la
años.
de
de
10
escuela
Todos
se
años.
sus
edades?
Capítulo
8
281
PREGUNTAs
4
Un
TIPO
agricultor
resultados
EXAMEN
cultiva
de
la
dos
cosecha
tipos
se
40
45
50
Masa
Halle:
la
)
muestran
T ipo
T ipo A
55
en
diferentes
a
de
maíz
y
los
continuación.
B
60
gramos
mediana,
el
)
rango
y
el
)
rango
intercuar til
para
cada
Se
5
La
media
de
seis
números
es
71.
Un
número
es
tipo.
nos
puede
calculemos
otro
es
92
y
los
otros
cuatro
son
todos
Halle
el
total
de
Halle
el
valor
los
seis
bien
uno
de
los
cuatro
números
que
Si
a
cada
uno
de
los
el
seis
números
se
le
resta
o
6
la
Dibuje
media
un
del
gráco
nuevo
de
media
o
utilizando
bien
la
CPG.
conjunto
frecuencia
de
cálculo
la
de
la
varianza
desviación
solo
se
9,
pedirá
halle
la
fórmula
faltan.
típica
la
números.
Para
de
que
iguales.
o
pedir
46,
que
utilicemos
la
CPG.
números.
acumulada
para
los
datos
de
la
tabla.
Altura
“Estime
150
≤
h
<
155
155
≤
h
<
160
160
≤
h
<
165
165
≤
h
<
170
170
≤
h
<
a
par tir
de
175
(cm)
su
f
4
22
56
32
gráco”
que
debe
líneas
Estime
la
mediana
a
par tir
de
su
Estime
el
rango
intercuar til
a
par tir
del
A
un
dado
número
La
se
del
lo
uno
siguiente
Frecuencia
8
Calcule
Halle:
La
el
mediodía
noviembre.
282
de
5
6
26
10
20
k
29
11
de
La
en
Halle
mediana
nos
las
la
muestra
montañas
mediana
f
<
27,5
6
27,5
≤
t
<
42,5
3
42,5
≤
t
<
57,5
5
57,5
≤
t
<
72,5
8
72,5
≤
t
<
87,5
6
102,5
2
Estadística descriptiva
dado
muestra
cada
número.
k
t
<
frecuencias
4
tabla
del
un
y
la
rango
temperatura
de
el
El
Omani
RIC.
en
intercuar til
al
gráco,
forma
el
las
3
≤
t
cara
seis.
12,5
≤
Cada
2
Temperatura
87,5
veces.
muestra
valor
(°F)
100
en
gráco.
1
siguiente
al
tabla
Número
arroja
las
horizontales
ver ticales
el
7
dibujar
gráco.
y
signica
5
de
como
mostrar
procedimiento
utilizado.
ero
1
Calcule
9,
11,
la
12,
2
Juana
mediana
13,
PREGUNTA
13,
el
un
f
rón
y
el
19,
21,
hogar
año
27,
30,
gatos.
El
8
9
3
7
11
12
6
3
Halle
la
desviación
media
35
de
cachorros
por
de
cachorros
por
camada.
410
jugadores
típica.
raquetas
temporada
Raquetas
33,
fue:
7
de
de:
número
6
cantidad
la
25,
5
la
número
intercuar til
4
Halle
en
21,
para
El
rango
EXAMEN
último
Cachorros
3
17,
TIPO
tiene
camada
de
tenis
rotas
por
fueron:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
11
43
90
172
13
64
10
4
rotas
f
Halle:
PREGUNTA
4
El
TIPO
número
cada
La
de
noche
se
f
Halle
la
La
mediana
La
media
EXAMEN
horas
Horas
moda
que
muestra
los
en
estudiantes
la
siguiente
1
2
3
4
5
6
2
5
4
3
4
2
1
la
mediana,
la
matemáticas
tabla:
0
media,
estudian
moda,
la
desviación
típica
y
la
varianza.
Halle
5
El
en
el
rango,
siguiente
una
el
primer
histograma
escuela
cuar til
muestra
secundaria
de
y
las
el
rango
estaturas
intercuar til.
de
los
estudiantes
Per ú.
y
90
80
70
aicneucerF
60
50
40
30
20
10
0
140
150
160
Estatura
Escriba
Elabore
la
clase
una
estimación
170
190
x
modal.
tabla
de
180
(cm)
la
de
frecuencias
estatura
media
agr upadas
de
los
y
calcule
estudiantes
una
per uanos.
Capítulo
8
283
PREGUNTA
6
Se
TIPO
evalúan
cuántas
Los
EXAMEN
los
150
palabras
resultados
Número
en
se
de
estudiantes
francés
dan
Número
la
una
pueden
tabla
de
a
recordar
15
11
11
16
21
32
17
33
p
18
q
19
38
137
20
13
150
Escriba
el
valor
Halle
la
mediana
Halle
la
media
ResuMeN
aná
●
El
●
Los
del
de
p.
estudiantes
Halle
número
número
de
de
o
datos
ro
constituyen
y
la
información
se
pueden
cuantitativa
discreta
variable
cuantitativa
continua
En
de
gr upo
la
en
el
un
tales
obtiene
y
se
los
clasica
dos
datos
categorías:
valores
la
ser
de
numéricos
medida
y
medición
longitud,
el
su
exactos.
precisión
utilizado.
peso
y
el
tiempo,
pueden
término
que
oón
estamos
incluye
a
estudiando
todos
con
los
el
tomar
miembros
n
de
tomar
decisiones
población,
una
selección
tenemos
o
muchos
frn
datos
de
continuos
barras
de
pero
la
población.
de
los
Es
un
individuos
subconjunto
que
la
conforman.
o
datos,
podemos
organizarlos
en
gr upos
en
gr
se
puede
no
tiene
dibujar
un hogrm.
espacios
entre
las
Es
similar
Estadística descriptiva
a
barras.
Continúa
284
en
decimales.
par te
gráco
se
en
puede
como
una
los
toma
instr umento
es
Para
que
variable.
datos.
mr
Cuando
una
●
o
denido
prnón
●
del
continuas,
estadística,
Una
de
precisión
fraccionarios
basadas
●
la
variables
un
sola
onno
variable
de
una
dividir
Una
valores
q
n o
cuantitativos
y
contempla
Una
●
de
8
●
Las
valor
palabras.
●
●
el
palabras.
capítulO
unidimensional
o
depende
minuto.
nmnon
análisis
Los
un
99
del
del
en
saber
acumulado
estudiantes
para
continuación.
Número
de
escuela
palabras
●
en
de
en
la
página
siguiente.
M
●
La
mo
●
La
m
números
es
el
es
en
oón
valor
la
suma
un
de
se
de
presenta
los
conjunto
Suma
Media
que
nr
números
de
los
La
se
ordenan
●
Si
hay
es
gran
dividida
por
el
total
en
un
conjunto
de
datos.
de
de
los
datos
=
es
mn
mediana
frecuentemente
datos.
valores
Número
●
más
el
número
de
del
valores
medio
en
forma
la
media
de
creciente.
los
Si
cantidad
de
números
dos
el
cuando
número
valores
y
es
del
los
de
números
valores
de
en
un
un
conjunto
conjunto
de
es
datos
par,
la
medio.
difícil
hallar
el
valor
del
medio,
podemos
usar
n +1
la
fórmula:
Mediana
=
-ésimo
valor,
donde
n
es
el
número
de
valores
2
en
el
conjunto.
vn
●
Moda
La
moda
puede
Los
el
valores
valor
de
extremos
la
dn
no
afectan
●
moda.
●
datos
cuando
pide
a
No
es
única:
se
elegir
elemento
una
●
el
más
popular
.
●
puede
Media
media
centro
Es
la
medida
utilizada
el
de
conjunto
un
en
ingeniería
●
de
datos.
Utiliza
a
conjunto
●
Es
única:
●
Es
útil
●
Mediana
mediana
describe
centro
de
conjunto
datos.
el
de
en
Es
de
en
conjuntos
Es
●
Por
única:
la
al
no
hay
de
valores
repetidos
en
datos,
existe
no
Cuando
Los
más
hay
moda,
el
conjunto
la
más
es
o
valores
afectan
el
de
moda.
de
difícil
de
comparar
.
extremos
valor
de
la
media.
elementos
solo
una
del
respuesta.
a
de
datos.
extremos
la
no
la
afectan
solo
del
es
tan
●
Es
ampliamente
como
menos
cálculos
una
valor
los
No
utilizada
de
datos.
de
●
media.
comparación
de
50%
los
comparación
tiene
tratarse
deja
negocios,
haber
datos.
de
como
útil
●
la
ampliamente
como
●
informática.
tiene
valores
tanto
●
un
de
Los
e
más
áreas
todos
conjuntos
La
conjunto
respuesta.
interpretar
●
describe
del
los
necesariamente
Cuando
una
La
todos
datos.
cualitativos
o
utiliza
elementos
utilizarse
para
No
la
media.
utilizada
en
avanzados.
respuesta.
del
datos
medio,
a
cada
lado.
Continúa
en
la
página
siguiente
Capítulo
8
285
M
●
El
rngo
Primer
es
rón
la
diferencia
cuar til
El
entre
rmr
sección,
en
se
cuar tas
mayor
por
par tes
símbolo
se
el
25
y
Una
el
menor.
que
marca
conjunto
del
arriba.
menudo
el
cuar ta
debajo
por
a
y
valor
divide
secciones.
halla
percentil
valor
es
r
cuando
cuatro
datos
el
par te
primer
T
ambién
se
lo
la
de
primera
datos
de
los
cuar til
se
denota
lo
y
tres
llama
el
mediante
el
Q
1
Segundo
cuar til
El
gno
datos
Tercer
cuar til
El
y
rr
sección,
cuatro
se
arriba.
denota
se
r
cuando
por
lo
es
se
secciones.
hallan
es
r
también
el
el
que
llama
el
conjunto
marca
conjunto
tercer
símbolo
del
percentil
cuar tas
del
lo
el
el
valor
T
res
se
mediante
mediana
divide
debajo
También
la
llama
la
de
par tes
cuar til
percentil
tercera
datos
de
y
de
50.
los
la
datos
otra,
75
y
en
se
por
lo
Q
3
3
1
Q
=
(n
+
)-ésimo
valor
y
Q
=
(n
número
A
la
de
valores
diferencia
valor,
donde
n
es
el
El
resumen
un
en
entre
el
el
conjunto
primer
y
de
el
datos.
tercer
cuar til
se
la
denomina rngo
(RIC).
nrr
●
)-ésimo
4
4
●
+
3
de
diagrama
los
de
cinco
y
números
se
puede
representar
grácamente
mediante
go
Rango
Bigote
Min
X
Rango
Intercuartil
Q
Bigote
m
Q
1
Max
X
3
(Mediana)
●
Un
valor
arriba
de
no
Q
esperado
o
por
es
cualquier
debajo
de
de
calcular
los
datos
vrnz
●
La
una
las
medida
encuentra
al
menos
,5
la
frecuencia
medida
que
acumulada
se
por
de
diferencias
la
todos
entre
cada
sumando
las
frecuencias
los
dispersión.
van
avanza.
ón
combina
se
valores
Es
dato
y
de
un
conjunto
la
media
aritmética
la
media
de
los
de
de
datos
los
para
Estadística descriptiva
crear
cuadrados
de
datos.
Continúa
286
RIC
m
a
y
rnz
se
Frn
Para
que
Q
3
●
valor
en
la
página
siguiente.
●
La
ón
unidades
●
Las
que
fórmulas
los
es
la
raíz
cuadrada
de
la
varianza
y
tiene
las
mismas
datos.
para
la
varianza
y
la
desviación
típica
son:
n
2
x
i 1
2
σ
=
Varianza
de
la
población
=
n
n
2
x
i 1
σ
=
Desviación
típica
de
la
población
=
n
efo
Si
la
se
le
se
o
mo
m/r
media
g
Si
aritmética
no
nform
un
valor
la
media
o
constante
o
k
aumenta/disminuye
a/de
en k
orgn:
todos
los
unidades,
números
pero
la
de
una
lista,
desviación
típica
mm .
mn/n
tanto
n
aritmética
todos
como
los
la
números
en
desviación
la
lista
por
un
valor
constante k,
típica mn/n
or
k
Capítulo
8
287
t
or del
conomno
Hho
n
ya
estadística
que
Averigüemos
estadísticas
■
¿Qué
¿Es
■
¿Cuál
■
Las
fácil
es
la
■
y
medidas
libro
nos
de
las
en
exponer
los
“El
de
la
y
se
Nghng
han
utilizó
moder na
registrado
las
esto.
x ?
entre
de
una
muestra
posición
y
central
diferentes
todas
¿Qué
■
¿Está
cree
de
dónde
una
población?
(media,
propiedades
de
Huff
de
Ares
los
de
G.
los
Conocimiento:
Wells
con
hechos
y
las
fórmulas
algún
matemáticas?
estadísticas
2011)
ha
intentado
desaprensivos,
“hombres
la
diferentes
verdades
con
Mares,
será
como
signica
acuerdo
de
mentir
y
inventadas
válidas?
estadísticos
estadístico
eciente
que
proponer
acerca
Cómo
de
¿fueron
provienen?
igualmente
esto
trucos
pensamiento
central,
matemáticas
español
ciudadanía
del
relativamente
avances
¿expresan
¿De
“autodefensa”
■
Teoría
μ
posición
H.
288
rróno
Gon ?
medidas
dice
Darrel
(edición
una
condujo
Frn
descubier tas?
¿Qué
para
qué
moda),
alter nativas,
El
rama
datos?
¿Podrían
■
a
una
Forn
diferencia
distintas
Las
o
y
es
principales
confundir
mediana
los
sus
cómo
inventó
■
■
ono
La
■
y
honestos”.
día
tan
capacidad
de
necesario
leer
y
para
escribir”.
(866–946)
lo
que
expresó
H.
G.
W
ells?
él?
conceptos
erróneos
en
estadística
en
de
las
los
matemáticas,
últimos
400
años.
¿Qé
■
n
Critique
estos
fá
mnr
on
?
grácos:
4,8%
3,3%
Nos
está
“Hay
yendo
3,1%
tanto
ahora
que
década
de
en
tres
clases
3,1%
de
mejor
la
mentiras:
mentiras,
1990.
las
las
mentiras malditas
y
década
de
1970
década
de
1980
década
de
1990
las
actual
estadísticas”.
El
autor
40
estadounidense
¡Qué
me
enor
Mark
30
incr
el
to
emen
este
ero
núm
Twain
atribuye
en
de
dicho
al
primer
20
ministro
s!
rana
del
británico
siglo
XIX,
10
Benjamín
Disraeli.
0
Mayo
Haga
una
sobre
su
■
encuesta
materia
Utilice
Septiembre
a
sus
Estos
amigos
favorita.
Microsoft
Excel
estilos
(o
grácos
para
dibuje
de
mostrar
grácos
a
nos
engañan:
Mostrar
Intente
cambiar
la
de
los
utilizar,
situación
datos.
mano).
escala
del
eje
una
pequeña
el
■
pueden
y
“tr ucos”
cómo
para
diferentes
la
algunos
se
■
producir
son
que
o
Esto
cambio
cantidad
demasiado
demasiado
grande
enmascara
que
se
o
de
exagera
está
y
registrando.
o
el
valor
en
el
que
comienza
el
■
eje
y.
Utilizar
Esto
■
Muestre
grácos
en
Vea
qué
pasa
con
una
materia
tener
cero
votos,
en
espera
ver
de
No
mostrar
Dibujar
de
la
realidad,
■
¿Cómo
tanto
■
se
para
¿Cómo
lector
escala
la
escala.
lineal.
Mantener
al
lector.
pueden
pero
ser
pueden
puede
hacer
aclarar
podemos
muy
también
buen
como
decidir
útiles
y
para
si
para
mal
uso
de
las
histograma
con
tridimensionales.
que
diferencia
la
entre
Hace
los
datos
mayor.
proporcionar
distorsionar
un
barras
luzca
estadísticas
una
sectores.
■
Las
lineal.
al
un
desinformado
gráco
no
que
■
pueda
escala
confundir
3D.
que
■
una
puede
una
nuestras
inuyente
inter pretación
percepciones.
estadísticas,
de
manera
que
sir van
confundir?
aceptamos
las
pr uebas
estadísticas
que
se
nos
presentan?
Capítulo
8
289
Integración
9
ObjetivOs
6.4
La
del
integral
capítulO:
indenida
como
indenida
x
de
primitiva
1
n
(n
∈
(antiderivada)
de
una
función;
integral
x
),
y
e
comparación
o
;
funciones
compuestas
de
las
anteriores
x
con
6.5
la
función
Integración
por
Integración
con
integrales
áreas
cálculo
entre
Problemas
aceleración
an
Qué
1
una
b
tanto
de
de
áreas
a;
sustitución
para
forma
bajo
volúmenes
cinemática
distancia
total
analítica
al
expresión
el
la
f (g(x))g′(x) dx
término
como
(entre
revolución
relativos
la
determinar
cur vas
de
en
constante;
haciendo
cur va
alrededor
desplazamiento
y
el
del
s,
la
uso
de
eje x);
la
cálculo
eje x.
velocidad
v
y
la
recorrida
serie
saber
dada
en
Comprobemos
notación
de
1
Escriba
como
nuestras
una
suma
como
una
suma
de
de
habilidades
términos.
6
5
sumatoria
de
omnzr
necesitamos
Escribir
+
restricción
cur vas;
de
ax
una
denidas
tecnología;
6.6
lineal
términos
2
4
(2i
∑
)
(2i
+ 1)
(3k
2)
k =2
i =1
= [2(2) + 1] + [2(3) + 1] + [2( 4 ) + 1]
i =2
5
3
2
= 5 + 7 + 9
∑
[(i )
g(x
)]
[ f
(x
i
)( Δx
j
i =1
)]
j
j =1
4
Ejemplo:
f
∑
(x
)
=
f
(x
j
) +
f
(x
1
) +
f
(x
2
) +
f
(x
3
)
4
2
Halle
el
área.
j =1
2
Usar
fórmulas
geométricas
para
hallar
el
área
5 mm
4 mm
Por
ejemplo:
área
del
trapecio
7 cm
9 mm
1
A
=
(b
+ b
1
8 cm
)h
2
2
3
10 cm
Halle
el
volumen.
1
8 cm
=
(10 + 8)( 6 )
4 m
2
2
= 54 cm
6 cm
14 pies
10 cm
3
Usar
fórmulas
geométricas
Por
ejemplo:
para
hallar
volumen
el
de
volumen
la
esfera
2 m
4
π r
=
3
290
Integración
32π
4
3
V
3
π (2)
=
3
3
=
m
3
6 pies
Sabemos
que
movimiento
Ahora
tomando
encontrar
la
consideraremos
función
la
podemos
derivada
el
desplazamiento
función
la
de
proceso
de
un
velocidad
la
función
inverso.
objeto
de
en
¿Se
un
objeto
en
desplazamiento.
puede
hallar
movimiento
si
se
la
conoce
velocidad?
Supongamos
Necesitamos
que
la
función
hallar
una
velocidad
función
s(t)
está
tal
dada
que
s ′(t)
por v (t)
=
2t
+.
=
2t
Si
+
.
Derivación
operamos
2
t
“en
sentido
inverso”,
vemos
que
una
posible
función
+
t
d
s (t)
es
n
=
t
+
t,
ya
1
2
(t
que
+
Integración
2
2
es
2t
desplazamiento
+ t )
=
2t
+ 1.
¿Por
qué
decimos
que
s (t)
=
t
+
.
+
t
dt
posible
función
desplazamiento?
2
Se
El
dice
que
proceso
capítulo
la
de
se
movimiento
una
puede
sobre
=
operamos
que
sobre
utilizar
una
“en
la
t
+
t
es
una
antiderivada
recta,
anr
Supongamos
Si
hallar
s (t)
aprenderemos
integración
.
función
y
derivada
sentido
el
se
proceso
para
de
y
de
integración
problemas
v (t)
y
=
En
cómo
que
2t
este
la
involucran
volumen.
ngr
una
inverso”,
de
llama ngrón.
resolver
área
nr
nn
función f
vemos
está
que f
dada
puede
por
ser
la
2x
+3.
función
d
2
2
f
(x)
=
x
+
3x,
dado
(x
que
+ 3x )
=
2x
+ 3.
2
x
+
3x
+
+
3x
–
+
3x
1
dx
2
Pero
hay
otras
funciones
que
tienen
la
misma
derivada,
tales
como
x
(x)
=
x
3x
+
o
f
(x)
=
x
x
2
2
+
+
3x
–
6,
dado
que
2x
+
3
2
d
2
f
6
(x
+ 3x
+ 1)
=
2x
+ 3
y
dx
d
2
(x
+ 3x
− 6)
=
2x
+ 3
dx
Capítulo
9
291
2
A
las
se
funciones
las
llama
f
(x)
=
2
x
+
3x,
de
nr
f
(x)
2x
+
=
x
2
+
3x
+
y
+
3x
+
C,
f
(x)
=
x
+
3x
–
6
3.
Una
función
F
es
una
2
Cualquier
función
de
la
forma
f
(x)
=
x
donde
C
es
una
nr
constante
arbitraria,
es
una
antiderivada
de
2x
+
de
f
si
3.
F ′ (x)
=
f (x).
n
ingón:
Copie
y
complete
f (x)
antiderivada
la
tabla
Antiderivada
siguiente.
de
de
La
x
primera
entrada
ya
ha
sido
completada.
f
1
2
x
x
+ C
2
2
x
3
x
4
x
n
Escriba
una
expresión
o
regla
general
para
las
antiderivadas
de
x
1
2
–3
Muestre
¿Hay
si
su
valores
regla
de
n
da
las
para
los
antiderivadas
cuales
la
correctas
regla
no
es
para
x
y
x
válida?
1
n +1
n
Las
antiderivadas
de
x
vienen
dadas
por
x
Así
+
donde
C
es
una
constante
arbitraria
y
n
≠
como
proceso
–.
hallar
una
llama
rón,
proceso
emo
el
derivada
de
hallar
antiderivada
se
ngrón
Halle
la
antiderivada
de
cada
función.
1
4
10
x
3
x
5
x
Respuestas
1
1
1
10 +1
x
n +1
11
+C
=
10 + 1
x
+C
Aplicar
la
x
regla
n
11
donde
n
=
+ C ,
+ 1
10
n
1
5
=
Escribir
de
la
f orma
y
=
x
,
con
n
x
5
x
racional
1
1
−5 +1
x
−4
+C
=
x
1
n +1
+C
Aplicar
−5 + 1
la
x
regla
+ C ,
4
n
1
donde
=
n
=
+ 1
–5
+C
4
Simplicar
4 x
3
n
4
3
x
Escribir
4
=
⎛
1
⎞
4
y
=
x
,
con
1
4
+C
=
⎟
x
⎜
3
⎜
f or ma
n
racional
7
+1
⎞
x
⎜
la
x
3
1
⎛
de
Recuerde:
n +1
+C
Aplicar
⎟
la
regla
x
+ C ,
7
+ 1 ⎟
⎜
⎠
⎝
1
n
⎟
+ 1
2
x
⎝
4
4
⎠
donde
7
n
=
3
4
x
3
x
=
x
+C
1
7
Simplicar
Integración
x
1
4
292
3
4
=
de
C ,
n + 1
4
4
x
=
x
, etc.
se
el
una
llama
Ejercitación
Halle
la
9A
antiderivada
de
cada
función.
1
7
4
x
1
–2
x
2
2
x
3
x
4
2
1
1
1
5
3
x
5
x
6
7
8
12
4
x
x
1
7
3
x
9
1
3
x
10
11
12
5
3
x
A
la
antiderivación
y
nn
se
la
también
denota
se
con
la
un
2
x
conoce
símbolo
como ngrón
integral
dx.
Por
Si
ejemplo,
F ′(x)
=
f (x),
escribimos
1
3
x
4
dx
=
x
+
C
signica
que
la
integral
indenida
(o
f (x) dx
antiderivada)
=
F (x)
+
C
4
A
1
3
de
la
expresión
4
es
x
x
+
C.
4
f (x) dx
Estas
reglas
nos
ayudarán
a
hallar
integrales
se
ngr
➔
Rg
la
llama
indenidas.
nn.
on
f (x) dx
se
lee
1
n
n+
x
dx
=
x
+
C,
n
≠
n + 1
➔
Rg
“antiderivada
de
respecto
o
➔
=
Rg
kx
+
C
f
➔
(x) dx
Rg
f
con
“integral
con
món
=
k
f
respecto
a
x”.
vr
or
n
onn
f (x) dx
kf
x”
onn
de
k dx
a
=
F (x)
+
C
(x) dx
ón
o
ingrno
rón
conn
( f
(x)
±
g (x)) dx
=
f
(x) dx
±
g (x) dx
ngrón
emo
Halle
la
integral
indenida.
6
x
5
dx
4
(3u
4 dt
3x
(x
dx
3
2
+
6u
+
2) du
+
x ) dx
Respuestas
1
6
x
6+1
dx
=
x
+
C
Aplicar
la
regla
de
la
potencia
con
Aplicar
la
regla
de
la
constante.
n
=
6
6 + 1
1
7
=
x
+
C
7
4 dt
=
4t
+
C
variable
de
integración
{
es
El
dt
nos
dice
que
la
t.
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
293
5
5
3x
dx
=
3
x
⎛
Aplicar la regla de la multiplicación por una constante
dx
⎞
1
5 +1
=
3
x
⎜
⎝
Aplicar
+C
la
regla
de
la
potencia
con
n=5
⎟
1
5 +1
⎠
1
6
=
x
+
3C
3C
1
equivale
a
alguna
constante
arbitraria
C.
1
2
Generalmente,
en
la
respuesta
nal
escribimos
esta
1
6
=
x
+
constante
C
arbitraria
C.
2
4
2
(3u
+
6u
+
2) du
4
=
3u
3
u
la
regla
de
la
adición
Aplicar
la
regla
de
la
multiplicación
regla
de
la
potencia
2
du
+
du
+
6u
4
=
Aplicar
du
+
2 du
du
+
2 du
2
6
u
por
una
constante
⎛
⎛
⎞
1
⎞
1
2 +1
4 +1
=
3
u
⎜
⎟
+
6
4 + 1
u
⎜
⎝
⎟
2 + 1
+
2u
+
C
Aplicar
la
y
la
regla
de
la
⎠
constante
con
variable
de
integración
u
3
5
=
3
u
+
2u
+
2u
+
C
En
realidad,
obtenemos
una
constante
de
integración
5
por
cada
tér mino,
pero
C
+
C
1
alguna
constante
+
C
2
arbitraria
equivale
a
3
C.
1
3
(x
1
x ) dx
+
=
n
3
(x
+
) dx
x
Escribir
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
racional
1
1
+1
1
1+1
x
=
3
+
x
+
C
Aplicar
la
regla
de
la
potencia
a
cada
tér mino
1
1 + 1
+ 1
3
4
1
3
2
=
x
2
Ejercitación
3
+
x
+C
4
9B
1
Podemos
vericar
si
la
3
1
x
dx
dt
2
2
t
respuesta
derivando
es
la
correcta,
integral
4
5
x
3
dx
4
2 du
obtenida
si
4
y
coincide
obser vando
con
el
2
5
(3x
+
2x
+
1) dx
dx
6
3
integrando
dado.
x
4
2
7
(t
9
(5x
3
t
+
) dt
8
(
2
x
+
1) dx
0
4
dt
3
+
12x
+
6x
–
2) dx
10
4
3
11
Sea
f
(x)
=
x
+
.
2
x
Halle:
f
′(x)
f
(x) dx
g (x) dx
5
12
Sea
g(x)
Halle:
294
Integración
=
30
x .
g ′(x)
dt
=
1
×
dt
=
t
dt
Al
comienzo
de
en
movimiento
esta
está
sección
dada
vimos
por
v (t)
que
=
2t
si
+
la
,
velocidad
entonces
de
un
objeto
el
2
desplazamiento
constante
de
la
arbitraria
par tícula
C.
Ahora
es
+
) dt
=
de
gnr
posición
en
+
t
t
+
C,
escribir
para
esto
alguna
como
2
t
+
(2t
Supongamos
=
podemos
2
(2t
s(t)
t
+
+
C,
donde
t
+
t
+
C
se
llama
la
oón
) dt.
que
también
el
instante
+
t
t
=
se
nos
es
6.
dice
que,
para
Entonces
esta
par tícula,
podemos
hallar
la
C
2
s (t)
=
t
+
C
2
+
s ()
=
6
=
2
C
=
4
+
+
C
C
2
Por
lo
tanto,
s (t)
=
+
t
t
+
4.
El
dato
de
que
la
posición
en
el
2
instante
t
oón
=
es
6
se
de
rr
emo
llama
una
(2t
+
rrón,
)
dt,
dada
y
esta
t
+
t
+
4
es
una
restricción.
2
f
Si
La
′(x)
=
3x
+
2x
y
f
(2)
=
–3,
halle
f
A
(x).
veces
se
cur va
y
=
f
(x)
pasa
por
el
punto
(32,30).
La
pendiente
de
está
dada
por
f
′(x)
restricción
presenta
onón
=
como
la
1
cur va
la
n,
.
5
es
3
decir
,
una
condición
x
Halle
La
la
tasa
fórmula
de
de
la
crecimiento
cuando
cur va.
de
una
población
de
peces
está
dada
t
es
ejemplo,
por
si
cero.
nos
Por
dicen
dP
=
t ,
150
para
0
≤
t
≤
5
años.
La
población
inicial
era
de
200
que
el
desplazamiento
dt
inicial
peces.
Halle
el
número
de
peces
en
t
=
4
es
4,
esto
años.
signica
que
el
desplazamiento
es
4
Respuestas
cuando
t
=
0.
2
f
′(x)
=
f
(x)
=
f
(x)
=
3x
+
2x
2
(3x
+
3
2x)
dx
Aplicar la regla de la potencia para
2
x
+
x
+
C
2
3
f
(3x
2
(2)
=
2
+
−3
=
8
C
=
−15
+
2
4
+
+
+
C
Usar
el
hallar
3
∴
f
(x)
=
x
2x) dx
C
dato
de
que
f
(2)
=
–3
para
C
2
+
x
–
15
1
f
′(x)
=
5
3
x
1
n
f
(x)
=
dx
5
Escribir
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
3
x
n
racional,
y
aplicar
la
regla
la
solución
de
la
3
potencia
5
=
para
hallar
dx
x
1
general
2
5
(x)
=
dx
5
5
f
de
x
+
3
x
C
2
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
295
2
5
5
f
(32)
(32 )
=
+
C
Usar el dato de que el punto (32,30)
2
pertenece a la curva para hallar C
30
=
10
+
C
=
20
(x)
=
C
2
5
5
∴
f
+
x
20
2
dP
=
t
150
dt
n
P(t)
=
150
Escribir
t dt
de
racional,
y
la
f or ma
hallar
la
y
=
x
,
con
solución
n
general
1
2
=
t
150
dt
de
150
Que
la
t
dt
3
2
P(t)
100t
=
+
C
3
2
P(0)
100 ( 0 )
=
200
=
0
C
=
200
+
+
C
C
200
población
peces
Usar
esto
inicial
signica
para
que
hallar
era
P(0)
de
=
200.
C
3
2
P(t)
100t
=
+
200
3
2
P(4)
100 ( 4 )
=
=
Hay
+
200
Hallar
P
cuando
t
=
4
1000
1000
peces
cuando
t
=
4
años.
Ejercitación
PREGUNTAS
9C
TIPO
EXAMEN
5
1
La
El
derivada
gráco
Halle
de
de
una
f
la
función
pasa
por
expresión
el
f
está
punto
para
f
dada
por
f
′(x)
=
4x
+
8x.
(0,8).
(x)
dy
4
4
2
Se
sabe
que
=
x
x
+
y
que
y
=
0
cuando
x
=
dx
Halle
y
en
función
de
x.
–1
3
La
velocidad,
v
m s
,
de
un
objeto
en
movimiento
en
el
2
tiempo
t,
Cuando
12
4
está
t
=
metros.
La
razón
dada
3,
el
Halle
a
la
por
v (t)
=
3t
deplazamiento
una
que
el
expresión
volumen
–
s
2t.
del
para
de
objeto
s
una
en
es
de
función
esfera
está
de
t
aumentando,
dV
3
en
cm
–
s
2
,
está
dada
por
2π (4t
=
+
4t
+
dt
3
El
volumen
Halle
296
el
inicial
volumen
Integración
era
de
la
de
π
cm
esfera
cuando t
=
3.
),
para
0
≤
t
≤
2.
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
–1
La
5
t
velocidad,
segundos
v
m s
está
,
dada
de
un
por
objeto
v (t)
=
20
en
–
movimiento
en
el
tiempo
5t
–2
Halle
El
la
desplazamiento
Halle
.
La
una
Má
regla
aceleración
de
objeto,
inicial
expresión
or
la
del
para
s
s
es
en
de
para
la
m s
5
metros.
función
ngr
potencia
en
de
t.
nn
integración
nos
dice
que
¿Por
qué
decimos
que
1
n
n+
x
dx
=
x
+
C,
n
≠
–.
La
regla
no
funciona
cuando
1
no
n + 1
está
denida?
0
n
=
–
ya
que
llevaría
a
la
división
por
0.
Entonces,
¿a
qué
equivale
0
1
¿Es
lo
–
la
integral
x
mismo
que
0
dx?
¿Por
?
0
qué
o
por
qué
no?
1
d
–
Hemos
visto
(ln x)
que
=
=
x
para
x
>
0,
por
lo
que
x
dx
1
➔
dx
=
ln x
+
C,
x
>
0
x
d
x
(e
También
x
)
=
e
,
por
lo
tanto
dx
x
➔
x
e
dx
emo
Halle
la
=
e
+
C
integral
indenida.
t
4
e
dx
dt
x
2
Respuestas
⌠
4
⌡
1
⌠
dx
⎮
=
4
⌡
x
Aplicar
dx
⎮
la
regla
de
la
multiplicación
x
por
una
constante
1
=
4ln x
+
C,
x
>
0
Usar
el
dato
de
que
dx
=
ln
x
+
C,
x
x
>
0
t
e
Reglas
1
de
integración
t
dt
=
e
2
dt
Aplicar
la
regla
de
la
multiplicación
1
2
por
una
dx
constante
=
ln
x
+
C,
x
>
0
x
1
x
t
=
e
+
Usar
C
el
dato
de
que
e
x
dx
=
e
+
C
x
e
2
x
dx
=
e
+
C
2
3x
2
Para
algunas
integrales,
tales
como
(x
+ 2x
+ 1
2
+
)
dx
dx,
x
2t–
y
ln (e
) dt,
desarrollando
antes
de
tal
los
integrar.
vez
tengamos
paréntesis,
El
que
reescribir
separando,
próximo
ejemplo
los
nos
el
integrando,
términos
muestra
o
ya
sea
simplicando,
cómo.
Capítulo
9
297
emo
Halle
la
integral
indenida.
2
3x
2
+
2x
+ 1
2
(x
+
2t–1
1)
dx
dx
ln(e
) dt
x
Respuestas
2
2
(x
+
4
1)
dx =
(x
2
+
2x
Desar rollar
+ 1) dx
y
luego
integrar
cada
tér mino
1
2
5
=
3
x
+
x
5
+
x
+
C
3
2
3x
+
2x
+ 1
dx
x
2
⎛ 3x
=
2x
+
x
⎝
x
1
3x
⎮ ⎜
Separar
dx
⎟
x
⌠ ⎛
=
⎞
1
+
⎜
dx
Simplicar
⎟
⌡ ⎝
tér minos
⎞
+ 2 +
x
los
⎠
y
luego
integrar
cada
⎠
tér mino
3
2
=
x
+
2x
+
ln x
+
C,
x
>
0
2
2t–1
ln(e
) dt
=
(2t
–
1) dt
Simplicar
2
=
Ejercitación
Halle
la
t
–
t
+
usando
el
dato
de
que
x
C
e
y
ln
x
son
funciones
inversas
9D
integral
indenida.
2
x
dx
1
2
3e
4
e
dx
x
1
ln x
dt
3
dx
4t
3
2x
2
+ 6x
+ 5
2
(2x
5
+
3)
dx
dx
6
x
2
3
u
ln e
7
du
8
(x
1)
dx
2
x
e
–
x
+ 1
dx
9
+
x
+ 1
dx
10
2
x
Podemos
cada
Ahora
consideraremos
integrales
indenidas
de
funciones
que
con
la
función
lineal ax
+
regla,
miembro
la
igualdad
mostrando
⎛
(ax
+
b)
n +1
dx
=
( ax
⎜
a
⎝
+
+ b)
e
se
C
obtiene
el
integrando.
⎟
n +1
⎠
Debemos
1
ax + b
➔
y
que
⎞
1
n
➔
derecho
b
de
1
derivando
son
el
composiciones
vericar
tener
en
ax + b
dx
e
=
+
C
cuenta
que
ln(ax
+
b)
a
está
1
⌠
➔
⌡
1
dx
⎮
denido
cuando
b
ln( ax
=
+ b) + C ,
x
>
−
b
ax
+ b
a
a
ax
+
b
>
0
o
x
>
–
a
298
Integración
emo
Reglas
Halle
la
integral
de
integración
indenida.
n
(ax
3
4
(3x
+
+
b)
dx
=
1
2x+5
1)
dx
e
dx
dx
dx
4
4 x
2
(6 x
+ 3)
1 ⎛
⎞
1
n+1
(ax
⎜
a
+
b)
n + 1
⎝
⎟
+
C
⎠
Respuestas
1
ax
+
b
e
1
1
⎛
ax + b
dx
=
⎞
n+1
(3x
+
1)
(ax + b)
Hallar
dx
+
⎜
a
e
+
C
a
4
C
⎟
n + 1
⎝
⎠
1
1 ⎛
1
5
=
(3 x
⎝
dx
+
+ 1)
⎜
3
⎞
para
C
=
a
3,
b
=
1
y
=
n
5
=
4
⎟
ax
+
b
⎠
1
ln(ax
1
Vericar,
5
=
(3 x
la
integral
+
b)
+
C
obtenida
a
+
+ 1)
derivando
C
b
15
d
1
⎡
1
⎤
5
⎢
dx
⎣
x
>
–
4
=
(3x + 1)
(5(3x
+ 1)
(3))
a
⎥
15
15
⎦
4
=
1
2 x +5
e
=
+
1)
1
2 x +5
dx
(3x
ax + b
e
Hallar
+ C
e
+
C
para
a
=
2
y
b
=
5
a
2
Vericar,
d
⎡ 1
derivando
2x + 5
dx
⎣
dx
4 x
=
2x +5
=
2x + 5
[e
(2)]
=
e
⎥
2
2
⎦
4 x
2
Aplicar
dx
3
3
ln( 4 x
⎣
− 2)
una
1
⎤
⎢
regla
de
la
multiplicación
+ C , x
constante
1
Hallar
>
ln(ax + b) para a = 4 y b = –2
⎥
4
la
2
por
⎡ 1
a
2
⎦
Vericar,
3
=
obtenida
1
3
=
integral
1
⎤
e
⎢
la
derivando
la
integral
obtenida
1
ln
(
4 x
− 2) + C ,
x
>
4
d
2
⎡ 3
⎤
ln(4x
dx
⎣
3
2)
⎢
1
=
⎥
4
⎦
(4)
4
4x
2
3
=
4x
2
1
–4
4
(6 x
dx
=
(6x + 3)
dx
n
Escribir
de
la
f or ma
y
=
x
,
con
n
+ 3)
racional
1 ⎛
1
3
=
(6 x
6
⎝
⎞
+ 3)
⎜
1
+ C
n+1
1
para
−
+
a
⎞
(ax + b)
Hallar
+
⎜
⎠
a
=
1
⎛
⎟
3
=
⎝
C
⎟
n + 1
6,
b
=
⎠
3
y
n
=
–4
C
3
18( 6 x
+ 3)
Vericar,
derivando
⎡
d
3
18(6x +
⎣
d
3)
obtenida
⎥
⎦
1
3
=
integral
⎤
1
⎢
dx
la
(6x + 3)
dx
18
1
1
4
=
−
( −3(6x
+ 3)
(6))
=
4
18
(6x
+ 3)
Capítulo
9
299
Ejercitación
Halle
la
9E
integral
indenida
en
las
preguntas
a
0.
1
x
2
(2x
1
+
3
5)
dx
(–3x
2
1
+
5)
3
2
dx
3
e
6
4e
dx
3
2x+1
dx
4
5x
dx
5
+ 4
7
dx
2x
1
⎛
2
7
6(4x
7
–
3)
dx
(
8
7x
+ 2
)
dx
⎜
9
4
4 x
e
⎞
+
⎟
3x
⎝
dx
5 ⎠
2
10
3
3( 4 x
dx
5)
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
3
11
Sabiendo
f
La
12
que
f
(x)
′(x)
=
f
velocidad
v
(4x
de
+
5)
,
halle:
(x) dx
una
par tícula
en
el
tiempo
t
está
dada
por
–3t
v (t)
es
s
El
s.
en
=
e
+
Sabiendo
función
método
Usamos
forma
el
f
la
s
=
4
metros
de
la
cuando
par tícula
t
0
el
tiempo t
segundos,
exprese
ón
El
para
siguiente
evaluar
ejemplo
integrales
muestra
de
cómo
la
hacerlo.
indenida.
3
4
+
5x)
(6x
+
5) dx
2
x
3x
3
12 x
2
4 x
=
en
t
g ′(x) dx.
integral
(3x
desplazamiento
sustitución
méoo
2
El
que
de
de
(g (x))
emo
Halle
6t.
(2x
–
3) dx
2
3x
+1
xe
dx
dx
4
3x
3
x
Respuestas
2
(3x
4
+
5x)
(6x
+
5) dx
Esta
f
integral
(g(x))
es
f or ma
2
4
4
u
la
g′(x) dx,
du
=
de
dx
=
u
du
donde
g(x)
=
3x
+
5x
y
g′(x)
dx
=
6x
+
5.
du
2
Sea
u
=
3x
+
5x;
entonces
1
=
6x
+
5.
Reemplazar
la
página
dx
5
=
u
+
Simplicar
C
e
integrar
5
1
2
2
=
(3x
Reemplazar
5
+
5x)
+
u
por
3x
+
5x
C
5
{
300
Integración
Continúa
en
siguiente.
Vericar,
d
derivando
⎡ 1
la
2
+ 5x )
⎢
dx
obtenida
⎤
5
(3 x
integral
⎥
5
⎣
⎦
1
2
=
4
(5(3x
+
5x)
(6x
+
5))
5
2
=
3
x
4
(3x
+
5x)
(6x
+
5)
2
(2x
3x
–
3) dx
Esta
f
integral
(g(x))
es
de
la
f or ma
g′(x) dx,
2
donde
g(x)
=
x
–
3x
y
g′(x)
=
2x
–
3.
1
du
du
2
3
=
u
dx
Sea
u
=
x
–
3x;
entonces
=
dx
2x
–
3.
Reemplazar
dx
1
3
=
u
du
Simplicar
e
integrar
4
3
3
=
u
+ C
4
4
3
2
=
(x
2
3
− 3x )
Reemplazar
+ C
u
por
x
–
3x
4
Vericar,
derivando
la
integral
obtenida
4
⎡
d
2
dx
1
⎤
3
3
⎛
⎞
4
2
3
(x
⎢
3 x )
⎥
=
4
4
⎣
(x
⎜
⎦
3
− 3 x )
(2 x
− 3)
⎟
3
⎝
⎠
1
2
=
⌠ ⎛ 1
2
4 x
+1
x e
dx
=
4 x
8x
3x)
(2x
–
3)
=
x
3 x
(2x
–
3)
e
+1
8x.
Reescribir
2
dx
Si
g(x)
=
4x
+
1,
entonces
g ′(x)
=
el
⎟
8
⌡ ⎝
⎠
integrando
1
2
3
3
–
2
⎞
×
⎮ ⎜
(x
de
manera
que
quede
de
la
2
4 x
=
+1
e
(8x )
dx
8
f or ma
1
f
(g(x))g ′(x) dx
du
u
e
=
dx
8
dx
du
2
Sea
u
=
4x
+
1;
entonces
=
1
8x.
Reemplazar
dx
u
e
=
du
8
Simplicar
e
integrar
1
u
=
e
+ C
8
1
2
4 x
=
+1
e
2
Reemplazar
+ C
u
por
4x
+
1
8
3
2
12 x
3x
Esta
dx
4
integral
es
de
la
f or ma
3
3x
x
3
du
2
12 x
f
(g(x))g′(x) dx,
donde
3x
dx
4
=
dx
dx
3
3x
4
g(x) = 3x
x
3
– x
3
y
g'(x) = 12x
2
– 3x
u
1
=
du
du
4
Sea
u
u
=
3
3x
−
x
;
3
entonces
=
12x
2
−3x
.
dx
=
lnu
=
ln(3x
+
C,
u
>
0
Reemplazar
4
3
–
x
)
4
+
C,
3x
3
–
x
>
0
Simplicar
e
integrar
4
Reemplazar
u
por
3x
3
–
x
Capítulo
9
301
Con
la
práctica
forma
es
la
f
(g(x))g ′(x) dx
función
otro
factor
respecto
podremos
a
que
del
por
llegar
a
hallar
integrales
comparación.
corresponde
integrando
y
a u,
Esto
vericar
luego
si
integrar
es,
la
indenidas
podremos
derivada
la
decidir
de
mentalmente f
de
u
es
cuál
el
con
u
Ejercitación
9F
2
3x
2
+ 2
2
(2x
1
+
5)
(4x) dx
dx
2
3
x
+ 2x
4
2
(6x
3
+
3
3x
5)
+ 5x
dx
4x
4
x
e
dx
x
2x
e
+ 3
dx
5
2
dx
6
2
(x
+ 3x
+ 1)
2
x
2x
2
x
7
3
+ 1
4
(2x
+
5)
dx
dx
8
4
2
x
+
x
2
4
3
(8x
9
4
–
4 x)(x
2
–
x
3x
3
)
dx
dx
10
3
x
PREGUNTAS
TIPO
4 x
EXAMEN
8x
Sea
11
f
′(x)
=
.
Sabiendo
que
f
′(0)
=
4,
halle
f
(x).
2
4 x
+ 1
3
x
2
La
12
pendiente
pasa
.
por
Ár
de
una
(1,
cur va
el
punto
5e).
ngr
está
Halle
dada
una
por f
′(x)
expresión
=
3x
para f
e
.
La
cur va
(x).
n
Las
Esta
sección
trata
sobre
la
integral
b
que
se
escribe
integrales
familia
f
(x) dx,
y
su
indenidas
son
una
denida,
relación
con
el
en
una
de
funciones
constante.
que
Las
dieren
integrales
a
denidas
área
bajo
la
son
números
reales.
En
cur va.
la
próxima
acerca
de
denidas
evaluar
sección
la
e
área
y
la
integral
una
denida
relación
entre
indenidas
calculadora
ingón:
aprenderemos
integral
de
y
integrales
cómo
denida
pantalla
sin
gráca
una
(CPG).
y
5
2
1
Considere
el
área
delimitada
por
la
función
f (x)
=
x
+
1,
x
=
2
0,
f(x)=
x
+
1
4
x
=
2
y
el
eje
x
que
está
sombreada
en
el
gráco.
3
Anote
el
ancho
de
cada
uno
de
los
cuatro
2
rectángulos
que
se
muestran
en
el
R
gráco.
4
R
3
Calcule
la
altura
de
cada
uno
de
los
cuatro
rectángulos.
R
R
2
1
Halle
la
suma
de
las
áreas
de
los
cuatro
rectángulos,
–0,5
para
hallar
un
límite
inferior
del
área
de
la
región
Integración
0,5
1
1,5
2
x
sombreada.
{
302
0
Continúa
en
la
página
siguiente.
Anote
el
ancho
de
los
cuatro
rectángulos
que
se
y
muestran
en
el
gráco.
5
2
f(x)=
Calcule
Halle
la
la
altura
suma
de
de
cada
las
uno
áreas
de
de
los
los
cuatro
cuatro
rectángulos.
x
+
1
4
rectángulos,
3
R
4
para
hallar
un
límite
superior
del
área
de
la
región.
2
R
3
Use
una
CPG
para
hallar
la
ngr
n
R
2
R
2
1
2
+ 1) d x .
(x
Compare
el
resultado
con
sus
respuestas
x
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
0
en
los
¿Qué
apar tados
piensa
y
que
podría
representar
la
integral
La
CPG
usa
un
método
de
aproximación
denida?
determinar
de
las
por
valores
CPG
para
valores
integrales
denidas,
los
los
no
lo
de
son
que
la
siempre
exactos.
No
pudimos
solamente
Ahora
2
usar
una
pudimos
fórmula
usar
consideraremos
Halle
el
f(x)
2x
área
de
geométrica
fórmulas
algunas
la
región
para
hallar
geométricas
regiones
cuyas
sombreada
bajo
para
el
áreas
la
área
de
obtener
se
la
una
pueden
región
en
la
pregunta
aproximación
hallar
del
1;
área.
geométricamente.
recta
y
=
+
2
entre
x
=
–1
y
x
=
2,
utilizando
una
fórmula
6
geométrica.
Luego,
escriba
una
integral
denida
que
piense
4
que
pueda
una
CPG
representar
el
área.
Evalúe
la
integral
en
x
y
compare
las
y
3
Nos
referimos
al
área
entre
una
=
2
2
respuestas.
función
f
y
el
eje
x
como
=
2x +
2
el
0
–3
ár
a
≤
x
bajo
4
o
≤
la
b,
escriba
cur va
Verique
los
r .
que
f
una
fórmula
denida
y
la
f(x)
es
integral
desde
su
siguientes
Si
x
=
a
de
la
hallando
geométrica,
evaluándola
y
en
luego
una
f (x)
=
–
=
1
=
que
no-negativa
da
el
+
3
x
3
1
4
5
área
–4
b
pregunta
área
3
es
válida
mediante
escribiendo
desde
–1
–2
una
el
para
uso
de
integral
En
matemáticas
es
un
gráco
en
coordenadas,
las
cur vas
una
un
por
lo
incluyen
r
plano
de
tanto
a
las
rectas.
y
x
–2
para
GDC.
x
=
1
x
=
4
4
2
x
x
el
1
función
denida
hasta
respuesta
casos,
una
hasta
x
=
4
2
1
y
x +
1
3
2
x
–1
0
2
2
f (x)
=
16
x
desde
x
=
y
–4
5
hasta
x
=
4
2
y
=
√16
–
x
3
2
1
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Capítulo
9
303
En
la
investigación
hallamos
una
aproximación
para
el
área
Aproximaciones
para
el
área
bajo
2
bajo
la
cur va
f
(x)
=
x
+
desde
x
=
0
hasta
x
=
2
2
sumando
f(x)
las áreas de cuatro rectángulos. Usando la notación de sumatoria
=
x
+
diferentes
1
desde
x
números
=
0
de
hasta
x
=
2,
para
rectángulos.
4
∑
podemos expresar esto como
#
f
(x )Δ x , donde f
i
i =1
altura
de
cada
rectángulo
y
Suma
superior
i
representa
Δ x
Suma
inferior
Rectángulos
(x ) representa la
i
el
ancho
de
4
3,75
5,75
10
4,28
5,08
50
4,5872
4,7472
100
4,6268
4,7068
4,658 67
4,674 67
cada
i
rectángulo.
Para
obtener
mejores
aproximaciones
del
área
podemos
usar
500
más
rectángulos.
Usando
un
número
innito
de
rectángulos,
Área
exacta
=
n
2
14
lim
f
∑
(x )Δ x
i
n →∞
conduce
al
área
2
exacta.
(x
+
1) dx
=
≈
4,66667
i
3
i =1
0
Si
una
función
f
está
denida
en
a
≤
x
≤
b
y
existe
Observamos
el
n
lim
la
f
∑
(x )Δx ,
i
decimos
que
f
es
en
ngr
a
≤
x
≤
suma
que
inferior
tanto
la
parecen
suma
superior
acercarse
a
b.
i
n →∞
i =1
Llamamos
a
este
límite
la
ngr
n
y
la
denotamos
con
El
símbolo
es
una
S
b
b
n
estirada
lim
∑
f
(x )Δ x
i
=
f
(x) dx o
y dx.
El
número
a
es
el
m
y
también
se
nfror
i
n →∞
integración
y
el
usa
a
a
i =1
de
número
b
es
el
m
ror
de
para
de
➔
Cuando
f
es
una
función
no-negativa
indicar
una
integración.
suma.
la
La
notación
integral
denida
y
fue
introducida
por
el
b
y
en
a
≤
x
≤
b,
f
(x) dx
da
el
=
matemático
f(x)
alemán
área
Gottfried
a
Wilhelm
b
bajo
la
cur va
desde
x
=
a
hasta
x
=
Leibniz
b
∫
hacia
el
nal
f(x)dx
a
del
a
0
XVII.
b
x
b
siglo
f(x) dx
se
lee
“la
a
integral
emo
Escriba
De
ser
f (x)
una
integral
posible,
denida
verique
la
que
dé
respuesta
el
área
de
usando
una
región
sombreada
fórmula
y
geométrica
evalúela
para
con
el
a
b
respecto
usando
hallar
a
una
de
a
x”.
CPG.
área.
y
y
la
de
3
2
f(x)
=
2
1
+
x
2
1
f(x)
=
2
–
|x|
1
x
–3
–2
–1
0
1
2
–2
–1
0
1
2
x
3
Respuestas
La
función
cor ta
al
eje
x
en
2
–2
(2
–|x|)
dx
=
y
2,
y
f or ma
un
triángulo.
4
Por
lo
tanto,
los
límites
–2
1
Área
=
de
(4
×
2)
=
integración
son
–2
y
2.
4
2
La
f ór mula
del
área
de
un
1
triángulo
es
A
=
(b × h )
2
{
304
Integración
Continúa
en
la
página
como
4,66667.
siguiente.
1
La
2
dx
≈
región
está
delimitada
3,14
por
2
2
1 +
la
x
función
f
(x)
=
,
1
x
y
x
=
los
–1
las
–1
y
1.
1.
x
El
f ór mula
Ejercitación
y
una
evalúela
usando
=
de
Por
lo
tanto,
integración
área
no
puede
mediante
son
ser
una
geométrica.
9G
integral
usando
una
eje
x
ver ticales
límites
y
+
rectas
deter minada
Escriba
el
2
–1
denida
su
fórmula
CPG.
que
De
dé
ser
geométrica
el
área
posible,
para
de
la
región
verique
hallar
el
la
sombreada
respuesta
área.
y
4
y
1
f(x)
x +
=
3
1
2
3
3
f(x)
=
x
–
4x
2
1
1
–3
–1
0
1
2
3
4
5
x
0
–1
1
3
4
–1
x
–2
6
–2
–3
y
y
4
4
f(x)
=
3
2
f(x)
3
=
√9
–
x
2
2
1
1
x
–2
–1
0
1
2
3
4
0
5
–4
–3
–2
x
–1
1
2
3
4
y
y
1
4
3
f(x
x +
2
3
3
2
1
f(x)
=
x
1
1
x
0
–1
1
2
3
–1
x
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
b
Cuando
f
es
una
función
no-negativa
en
a
≤
x
≤
b,
f
(x)dx
da
el
y
y
=
2x
+
2
a
área
bajo
la
Considere
cur va
lo
que
desde
ocurre
x
=
a
hasta
cuando
f
x
no
=
es
b
6
4
no-negativa.
–
2
(2x
+
2) dx
–3
–4
El
área
del
triángulo
sombreado
es
4,
pero
–3
–2
–1
0
x
1
2
3
–2
–
–4
(2x
+
2) dx
=
–4,
ya
que
f
(x)
<
0
cuando
–3
<
x
<
–.
–3
Capítulo
9
305
2
y
(2x
+
2) dx
6
–
2
4
(2x
+
2) dx
=
9
es
el
área
del
triángulo
sombreado,
dado
que
2
–
y
f
es
una
función
no-negativa
en
–
≤ x
≤
=
2x
+
2
2.
–4
–3
–2
–1
x
0
1
2
3
–2
2
(2x
+
–4
2) dx
–3
2
(2x
+
2) dx
=
5
porque
es
igual
a
y
y
=
2x
+
2
–3
6
–
2
(2x
+
2) dx
+
(2x
–3
+
2) dx
=
–
4
+
9
=
5.
Esto
es
4
el
–
2
simétrico
del
área
de
la
región
A
rotulada A
2
más
el
área
de
la
región
rotulada
A
2
–4
–3
–2
–1
0
x
1
2
3
–2
A
1
Esto
ilustra
una
de
las
propiedades
de
las
integrales
denidas.
–4
b
➔
c
f
(x) dx
=
a
(x) dx
+
a
emo
El
b
f
f
(x) dx
c
gráco
de
f
consiste
en
una
línea
de
segmentos
como
se
y
muestra
en
la
gura.
(8, 4)
4
8
3
Evalúe
f
(x) dx
usando
fórmulas
geométricas.
(2, 2)
(3, 2)
2
0
1
0
x
1
2
–1
–2
–3
–4
(6, –4)
Respuesta
8
f
(x) dx
=
A
–
A
1
+
2
A
Hallar
el
área
del
trapecio
A
3
menos
el
área
1
0
triángulo
A
más
el
área
del
triángulo
2
1
=
1
( 4 + 1)( 2 ) −
2
=
5
=
1
(3)( 4 ) +
2
–
6
+
2
y
(1)( 4 )
2
(8, 4)
4
3
(2, 2)
(3, 2)
2
1
A
A
1
3
0
x
1
2
–1
A
2
–2
–3
–4
(6, –4)
306
Integración
A
3
1
del
➔
agn
ro
b
kf
ngr
n
b
(x) dx
=
k
f
a
(x) dx
a
b
b
(f
(x)
±
g (x)) dx
=
a
b
f
(x) dx
±
a
g (x) dx
a
a
f
(x) dx
=
0
f
(x) dx
=
–
a
b
a
No
a
f
hace
falta
los
b
números
acompañan
b
(x) dx
=
f
a
(x) dx
+
f
a
emo
Sabiendo
que
g(x) dx
=
6,
(x) dx
=
4,
estas
estas
las
2
f
(x) dx
=
12,
g(x) dx
2
evalúe
a
solo
propiedades.
5
(x) dx
0
4
integrales,
c
2
f
que
b
c
f
saber
(x) dx
=
–3
y
0
integrales
denidas
sin
usar
la
CPG.
0
2
2
2
(3f
(x)
–
g (x)) dx
g (x) dx
0
+
2
5
f
(x) dx
5
4
−1
1
f
(x) dx
g (x) dx
f
(x
+
3) dx
2
2
0
−3
Respuestas
2
(3f
(x)
–g(x)) dx
0
2
=
2
3f
(x) dx
–
g(x) dx
0
Aplicar
propiedad
2
Aplicar
propiedad
1
0
2
2
=
3
f
(x) dx
–
g(x) dx
0
0
=
3(4)
=
15
–
(–3)
y
evaluar
2
2
g(x) dx
Reemplazar
+
f
2
(x ) dx
Aplicar
5
propiedad
3
al
primer
5
=
0
–
f
tér mino
(x) dx
0
–
=
–12
propiedad
4
al
segundo
tér mino
2
=
y
Reemplazar
12
y
evaluar
5
f
(x) dx
0
5
2
=
f
(x) dx
=
4
16
+
f
(x) dx
Aplicar
propiedad
5
2
0
=
+
12
Reemplazar
{
y
evaluar
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
307
4
2
Aplicar
g(x) dx
+
propiedad
5
g(x) dx
2
0
4
=
g(x) dx
0
4
Por
lo
tanto
g(x) dx
2
4
=
2
g(x) dx
–
g(x) dx
0
=
6
=
9
Reordenar
los
tér minos
0
–
(–3)
Reemplazar
+
Aplicar
y
evaluar
–1
1
f
(x
3) dx
propiedad
1
2
3
–1
El
gráco
de
trasladar
de
f
(x
+
3)
es
el
resultado
1
=
f
(x
+
3) dx
el
gráco
de
f
(x)
a
la
2
3
izquierda
3
unidades.
Los
límites
2
1
de
=
f
integración,
x
=
0
y
x
=
2,
se
(x) dx
2
trasladan
0
1
=
tanto,
=
=
–3
y
de
x
=
estas
–1.
Por
lo
integrales
son
iguales.
2
Ejercitación
El
x
valores
(4)
2
✗
a
los
gráco
de
f
9H
consiste
en
líneas
de
segmentos
como
se
muestra.
y
(6, 4)
Evalúe
las
fórmulas
integrales
denidas
en
las
preguntas
y
2
usando
geométricas.
3
2
8
f
1
(8, 4)
4
(x) dx
1
4
0
x
1
8
2
–1
f
2
(x) dx
–2
0
(3, –2)
6
6
0
–3
Sabiendo
que
f
(x) dx
=
–3,
f
(x) dx
=
8,
g (x) dx
=
4,
y
0
g (x) dx
=
8,
evalúe
las
integrales
denidas
en
las
6
6
6
1
⎛
2
3
f
(x ) +
⎞
g(x )
⎜
dx
⎟
2
⎝
g (x) dx
4
⎠
0
0
0
g (x) dx
5
f
6
(x) dx
0
0
0
f
7
(x) dx
f
8
(x
–
4 ) dx
5
6
4
0
( g(x)
9
+
3) dx
3g(x
10
–
6
308
Integración
+
2) dx
preguntas
3
a
0.
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
2
Sabiendo
11
que
5
h(x) dx
=
–2
y
h(x) dx
0
=
6,
deduzca
el
valor
de:
2
5
5
h(x) dx
(h(x)
+
2) dx
2
0
4
Sea
12
f
una
función
tal
que
f
(x) dx
=
16.
0
4
1
Deduzca
el
valor
de
f
(x) dx.
4
0
b
Si
f
(x
(
f
–
3) dx
=
16,
escriba
el
valor
de
a
y
el
de
b
a
4
Si
(x)
+
k) dx
=
28,
escriba
el
valor
de
k.
0
9.4
T
eorema
fundamental
del
cálculo
y
=
f(x)
Δy
El
cociente
,
la
pendiente
de
una
recta
Recta
secante,
secante
Δx
nos
da
recta
una
aproximación
tangente.
El
para
producto
la
pendiente
(∆y)(∆x),
el
área
de
Recta
una
de
tangente
∆y
un
∆y
Pendiente
rectángulo,
la
cur va.
nos
da
una
Trabajando
aproximación
para
independientemente,
el
área
Isaac
de
la
recta
tangente
≈
bajo
∆x
Newton
x
0
∆x
y
Gottfried
como
la
la
Leibniz
multiplicación
derivación
Este
hecho
➔
llegaron
y
se
la
la
en
la
conclusión
división
integración
establece
t
orm
y
a
el
fnmn
son
denida
que,
así
operaciones
también
siguiente
de
lo
inversas,
son.
teorema.
áo
b
Si
f
es
una
una
función
primitiva
continua
(antiderivada)
en
de
el
f
intevalo a
en
a
≤
x
≤
≤
b,
x
≤
b
y
F
La
es
notación
[F ( x )]
a
signica
entonces
F(b)
–
F(a).
b
b
f
( x ) dx
= [ F ( x )]
=
F (b ) −
F ( a ).
a
a
2
2
Considere
la
integral
denida
(x
+
) dx
que
evaluó
0
usando
la
CPG
en
la
Cuando
aplicamos
fundamental
investigación
de
la
del
el
teorema
cálculo,
aunque
F
última
puede
ser
cualquier
miembro
de
la
2
sección.
entre
x
Esto
=
0
y
dio
x
=
el
área
bajo
la
cur va f
(x)
=
x
+
familia
de
de
f,
es
decir
,
las
funciones
elegimos
usar
la
primitivas
“más
simple”,
2.
aquella
cuya
constante
de
2
2
Hallamos
que
(x
+
) dx
≈
4,67.
integración
es
C
=
0.
Podemos
hacer
0
esto
porque,
para
cualquier
C,
b
f ( x ) dx
=
[F ( x)
+
C
]
a
=
[F(b)
=
F(b)
+
–
C]
–
[F(a)
+
C]
F(a)
Capítulo
9
309
Usando
el
teorema
fundamental
del
cálculo,
obtenemos:
2
2
⎡1
2
(x
+ 1) dx
⎤
3
=
x
+ x
⎢
⎣
0
⎥
3
1
⎦
0
(2
+
x
es
la
primitiva
3
) + 2
⎜
−
(0
⎟
simple
) + 0
2
3
x
⎟
+
1.
Evaluamos
3
x
+
x
en
en
x
=
0,
luego
hallamos
la
3
Evalúe
4,67
estas
integrales
denidas
1
sin
usar
3
la
CPG.
3
1
(u
–
1) du
2
dt
4x
(x
–
1) dx
t
–2
2
1
Respuestas
1
1
⎡ 1
(u
–
1) du
Hallar
⎤
2
u
=
la
primitiva
más
simple
de
u
–
1
u
⎢
⎥
2
⎣
⎦
–2
-2
1
2
Evaluar
1
⎛
⎞
2
(1
=
) − 1
⎜
2
⎝
1
⎛
1
2
−
( −2 )
⎟
⎜
⎠
⎝
⎞
−
⎜
⎟
2
u
–
u
en
u
=
1
y
2
( −2 )
⎟
u
2
=
–2,
y
luego
hallar
la
dif erencia
⎠
⎞
1
=
⎝
⎛
9
–
(2
+
2)
=
–
⎠
2
3
a
1
Recordemos
3
dt
que
ln a
–
ln b
=
ln
= [ln t ]
2
b
t
2
3
=
ln 3
–
ln 2
=
ln
2
3
3
2
4x
3
(x
–
1) dx =
4
(x
2
–
x
Reescribir
) dx
1
1
3
⎡ 1
=
1
4
3
x
4
⎥
4
⎣
⎡⎛
=
4
⎢
⎣
3
⎝
4
⎢
3
⎞
4
⎟
⎛
−
Ejercitación
9I
las
)
⎟
⎛
−
⎠
1
1
−
⎜
⎝
Evalúe
⎞
3
(3
)
−9
⎜
⎝
1
1
4
(3
4
⎠
⎣
✗
⎦
1
⎜
⎡ ⎛ 81
=
⎤
x
⎢
4
integrales
⎝
⎠
⎞⎤
1
4
(1
3
)
1
(
−
4
)
3
⎟
⎠
⎥
⎦
136
⎞⎤
⎟
3
1
⎜
=
⎥
3
⎦
denidas
en
las
preguntas
2
2x
1
dx
(u
2
0
–
2)
8
1
2
3
2
⎛
⎞
⎞
3
3
dx
1
⎜
⎝
2
x
310
du
–
⎛
Integración
4
⎜
⎟
⎠
=
2
y
diferencia.
=
emo
x
3
14
≈
de
1
⎜
3
más
3
1
3
=
3
x
1
0
⎝
x
3
x
⎟
⎠
dx
a
8.
el
integrando
para
poder
integrar
2
3
e
1
x
4e
5
dx
La
dx
6
fuerza
entre
cargas
x
0
eléctricas
e
la
2
(t
+
3)(t
+
1)
dt
x
y
+ 3
de
carga
la
distancia
las
TIPO
EXAMEN
que
integrales
para
2
Sabiendo
¿Cómo
calcular
realizado
f
(x)
dx
se
usan
x
4
0
PREGUNTAS
entre
dx
8
ellas.
9
de
9
7
depende
cantidad
=
8
de
en
denidas
el
la
trabajo
separación
cargas?
0
2
Escriba
el
valor
de
3f
(x)
dx.
0
2
2
Halle
el
valor
de
(f
(x)
+
x
)
dx.
0
k
1
10
Sabiendo
que
dx
=
ln 6,
halle
el
valor
de
k
x
2
Ahora
con
la
veremos
función
emo
Evalúe
la
las
integrales
lineal
ax
+
b,
denidas
o
el
que
método
de
implican
composiciones
sustitución.
integral
denida
sin
usar
la
CPG.
1
5
1
⎛
⎜
⎞
2 x
e
3
dx
+
(2x
–3)
dx
⎟
2
x
⎝
–1
⎠
1
1
3
2
3x
+ 16
dx
(2x
3
+
1)
(4x) dx
0
0
Respuestas
5
1
⎛
1
⎞
2 x
ax + b
+
e
⎜
x
⎝
Recordemos
dx
⎟
2
que
e
ax+b
dx
=
e
+
C.
a
⎠
1
5
2x
=
–2
(e
+
x
)
dx
1
5
⎡ 1
=
1 ⎤
2 x
e
⎢
⎣
⎥
x
2
1
⎦
1
1
1
2(5)
=
−
−
e
⎟
2
⎟
2
1
1
4
10
e
2
−
⎜
5
1
=
1
2 (1)
e
⎜
2
−
e
+
2
5
10
5e
2
− 5e
+ 8
o
10
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
311
1
n
Recordemos
3
(2x
–
3)
que
(ax
+
b)
dx
=
dx
=
dx
–1
1
⎡ 1 ⎛
⎞⎤
1
4
(2 x
=
2
⎣
1 ⎛
⎟⎥
4
⎝
4
a
1
⎞
⎛ 1
⎟
⎜
⎠
⎝
( 2(1) − 3)
8
1
625
8
8
=
=
4
⎝
⎞
+
C.
⎟
n + 1
⎠
⎞
( 2( −1) − 3)
⎜
⎝
n+1
( ax + b )
⎜
⎠⎦
⎛ 1
=
1
3)
⎜
⎢
⎟
8
⎠
–78
3
3x
+ 16
0
n
dx
Recordemos
3
que
(ax
+
b)
1
2
=
(3x + 16)
dx
1 ⎛
1
n+1
( ax + b )
⎜
0
a
⎝
⎞
+
⎟
n + 1
C
⎠
3
3
⎡
1 ⎛ 2
⎢
⎜
⎞⎤
2
=
(3 x
3
⎢
⎣
+ 16 )
⎟⎥
3
⎠⎥
⎦
⎝
2 ⎛
=
⎜
9
0
3
3
(3(3) + 16)
2
2
–
(3(0) + 16)
⎞
⎟
⎠
⎝
3
3
3
⎛
2
⎞
⎜
=
25
–
⎟
16
3
2
122
2
2
Recordemos
que
25
25 )
=
125
y
=
3
⎝
9
⎠
9
2
3
16
16 )
=
64.
+
1
1
2
3
(2x
+
1)
(4x) dx
0
x = 1
du
du
3
=
2
u
dx
Sean
=
2x
y
Hay
3
⎡ 1
4
3
u
du
=
4x.
Reemplazar
dx
u = 3
=
u
dx
x = 0
⎢
⎣
u = 1
poder
⎥
4
que
cambiar
los
límites
de
integración
para
⎤
u
=
⎦
luego
evaluar
la
integral
en
función
de
u.
1
2
Cuando
1
=
x
=
0,
u
=
2(0
)
+
1
=
1,
y
cuando
x
=
1,
2
4
[(3)
u
4
–
(1)
]
=
=
2(1
)
+
1
=
3.
20
4
Ejercicio
✗
Evalúe
las
9J
integrales
denidas
de
las
preguntas
a
8.
¿Cuáles
son
algunas
4
1
x
dt
t
+
e
aplicaciones
dx
3
centro
3
(–2x
+
)
x
dx
de
masa
(centroide)?
2
del
+ 2
–
(e
–x
+
e
) dx
¿Cómo
pueden
–
–
usarse
2
2
las
integrales
2
6x
+ 4
dx
(x
3
+
x)
(2x
+
) dx
denidas
para
hallar
0
el
4
8t
6
2
x
dt
4x e
2
2t
− 3t
3
312
Integración
− 2
0
centroide
área
+ 3
dx
cur va?
de
un
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
y
2
El
9
diagrama
muestra
Escriba
una
par te
integral
del
que
gráco
de f
represente
el
(x)
=
–2x
área
de
(x
la
–
2)
región
sombreada.
Halle
el
área
de
la
región
sombreada.
x
0
y
1
10
El
diagrama
muestra
par te
del
gráco
de y
=
x
El
área
Halle
de
el
la
región
valor
sombreada
exacto
de
es
de
ln
4
1
unidades.
k.
0
9.5
En
Área
esta
área
Las
sección
entre
dos
sumas
aproximar
honor
al
tales
de
dos
el
concepto
de
área bajo
la
áreas
áreas
se
demostró
de
rectángulos
llaman
sumas
alemán
Considere
la
de
Georg
existencia
que
de
se
usan
de
Riemann,
para
en
Riemann.
los
límites
el
área
Georg
área
entre
las
Riemann
(1826–1866)
entre
dos
dos
curvas
cur vas
y
2
x
al
sumas.
ingón:
=
cur va
cur vas.
{
f(x)
x
k
curvas
ampliaremos
matemático
Reimann
de
entre
2
+
3x
22
y
20
g(x)
=
x
–
2
desde
x
=
–1,5
hasta
x
=
3,5.
18
16
14
12
10
2
f(x)
=
x
+
8
3x
g(x)
6
=
x
–
2
4
2
x
–1
2
–4
–6
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
313
Copie
1
uno
y
complete
de
los
cinco
la
tabla
con
rectángulos
Inter valo
las
dimensiones
mostrados
Ancho
en
el
y
el
área
de
cada
gráco.
Altura
T
enga
Área
en
cuenta
que,
independientemente
–1,5
≤
x
<
–0,5
–0,5
≤
x
<
0,5
1
f(–1)
–
g(–1)
=
–2
–
(–3)
=
1
1(1)
=
1
de
que
f
y
positivas,
o
cero,
del
0,5
≤
x
<
la
x
<
la
≤
x
<
Halle
2
de
3,5
un
los
está
cur va
por
g(x),
superior
,
la
cur va
inferior
.
valor
aproximado
área
del
entre
las
cur vas,
sumando
las
áreas
rectángulos.
Escriba
3
dada
2,5
menos
2,5
negativas
altura
rectángulo
f(x),
≤
sean
1,5
siempre
1,5
g
la
integral
denida
que
considere
que
puede
ser
usada
para
hallar
2
el
área
hasta
exacta
x
Evalúe
➔
=
la
la
Si
son
y
y
las
dos
cur vas
f(x)
=
x
+
3x
y
g(x)
=
x
–
2,
desde
x
=
–1,5
3,5.
integral
Compare
y
entre
en
la
respuesta
CPG.
con
continuas
el
en
valor
a
≤
x
aproximado
≤
b
e
y
2
≥
que
y
obtuvo
para
todo
en
x
la
pregunta
2.
en
2
y
a
≤
x
≤
b,
entonces
el
área
entre
y
e
y
desde
x
=
a
hasta
x
=
b
2
b
está
dada
por
(y
–
y
) dx
2
y
a
–
1
y
2
y
1
Altura
de
cada
rectángulo
=
“cur va
=
y
–
superior”
–
“cur va
inferior”
dx
y
2
0
Ancho
Área
de
de
cada
cada
rectángulo
rectángulo
=
=
–
( y
La
suma
de
las
áreas
de
un
x
dx
y
) dx
2
número
innito
de
rectángulos
desde
y
2
b
x
=
a
hasta
x
=
b
y
el
área
exacta
entre
dos
cur vas
=
(y
–
y
) dx
2
a
emo
2
Represente
Escriba
una
Resuelva
Dibuje
grácamente
expresión
este
la
que
problema
dé
sin
aproximadamente
región
el
el
usar
delimitada
área
la
gráco
de
la
por
región
las
y
cur vas
luego
y
=
halle
x
el
–
2
e
y
=
–x.
área.
CPG.
de
la
región
delimitada
por
las
cur vas
x
2
f
(x)
=
2e
Escriba
Halle
el
2
y
una
g(x)
=
x
–
expresión
área
usando
4x.
que
la
dé
el
área
de
la
región.
CPG.
{
314
Integración
Continúa
en
la
página
siguiente.
Respuestas
Hallar
2
x
–
2
=
la
intersección,
las
x
+
x
(x
+
2)(x
–
2
=
ecuaciones
=
–2,
–
y
resolviendo
en
x.
0
Reemplazar
x
igualando
–x
2
1)
=
los
valores
de
x
en
0
cualquiera
de
las
ecuaciones
obtener
coordenadas.
para
1
Puntos
de
intersección:
(–2, 2)
y
las
(1, –1)
2
y
El
gráco
de
y
=
x
–
2
es
el
gráco
de
2
4
y
=
x
trasladado
2
unidades
hacia
2
y
=
x
–
2
3
abajo.
2
recta
El
gráco
que
cor ta
de
al
y
eje
=
y
–x
en
es
una
(0,0)
y
tiene
(–2, 2)
pendiente
1
(–2,
0
–3
2)
y
–1.
(1,
Los
grácos
se
cor tan
en
–1).
x
–2
1
2
–1
3
(1, –1)
y
=
–x
–3
1
1
2
Área
=
((–x)
–
2
(x
–
2)) dx
=
(–x
–
x
+
2) dx
y
=
–x
y
=
x
es
mayor
o
igual
que
2
–2
–2
–
2
en
–2
≤
x
≤
1,
por
lo
tanto
1
1
⎡
−
=
1
3
⎤
2
x
−
x
2
1
⎛
⎦
de
cada
rectángulo
está
1
3
(1)
−
⎞
2
−
3
⎝
(1)
⎛
+ 2(1)
2
1
1
3
2
⎝
⎞
⎛ 8
⎟
⎜
⎠
⎝
+ 2
−
⎜
2
2
⎜
=
altura
⎥
3
⎣
=
la
+ 2x
⎢
1
⎛
−
⎜
⎠
⎝
− 2 − 4
⎟
( −2 )
2
Usar
para
–
(x
–
2).
+ 2( −2 )
⎠
9
=
⎠
2
y
(–x)
⎞
2
−
por
⎟
3
⎞
3
( −2 )
−
⎟
1
3
representada
la
CPG
aproximadamente
4
hallar
3
las
dibujar
los
grácos
coordenadas
x
de
y
los
para
puntos
de
x
intersección.
2
f(x)
=
Escribir
al
menos
4
cifras
2e
signicativas,
dado
que
estos
valores
se
1
usarán
0
–2
para
calcular
el
área.
x
–1
1
2
–1
–2
2
g(x)
–3
=
x
–
4x
–4
x
2
2e
2
x
–0,5843;
≈
=
x
–
4x
4,064
4,064
x
x
2
2
Área
=
((2e
)
–
(x
–
4x)) dx
≈
4,7
f(x)
=
2e
2
es
mayor
o
igual
que
2
–0,5843
g(x)
por
está
=
lo
x
–
4x
tanto
la
en
–0,5843
altura
representada
de
≤
x
cada
≤
4,064,
rectángulo
por
x
(
2
2e
)
2
–
(x
–
4x).
Capítulo
9
315
Ejercitación
En
las
por
9K
preguntas
las
cur vas
región.
Halle
a
4,
dadas.
el
área
represente
Escriba
usando
2
y
=
expresión
la
que
región
dé
el
delimitada
área
de
la
CPG.
1
1
1
una
la
grácamente
–
2
x
+
2
e
y
=
x
–
2
2
2
2
2
f
(x)
3
y
4
g(x)
=
x
y
g(x)
=
x
3
=
2x
–
4,
y
=
x
entre
x
=
–2
y
x
=
2
2
=
x
+
PREGUNTA
✗
1
y
h(x)
TIPO
=
3
+
2x
–
x
EXAMEN
4
5
Considere
la
Halle
los
Halle
A
Utilice
función
puntos
f
(x)
de
=
2
x
–
x
.
intersección
con
el
eje x
′(x).
partir
de
mínimo
f
y
lo
anterior,
halle
las
coordenadas
de
los
puntos
máximo.
sus
respuestas
aproximadamente
el
de
los
apar tados
gráco
y
para
dibujar
f
de
2
Dibuje
aproximadamente
mismos
Escriba
halle
En
las
región
dé
el
y
7
una
=
lnx
f
(x)
=
x
8
f
(x)
=
e
9
y
expresión
área
la
e
de
6
delimitada
de
gráco
de g(x)
=
1
–
x
en
los
ejes.
preguntas
área
6
el
el
a
la
9
dibuje
por
las
región.
y
=
x
–
–
3x
y
h (x)
que
dé
el
área
de
la
región
entre f
y
g
y
región.
aproximadamente
cur vas
Halle
el
dadas.
área
Escriba
usando
la
un
gráco
una
de
expresión
la
que
CPG.
2
2
+
1
y
g (x)
=
x
x
10
3
2
–
x
–
=
x
x
1
e
y
=
–
1
x
+
6
2
TIPO
Considere
=
+ 2
PREGUNTA
+
2
=
x
–x
Dibuje
EXAMEN
las
funciones
f
(x)
aproximadamente
el
y
g (x)
gráco
=
2
x
de f
y
g
en
los
mismos
ejes.
Escriba
Halle
La
recta
una
esta
x
=
expresión
para
el
área
de
la
región
entre f
y
g
área.
k
divide
el
área
de
la
región
del
apar tado
a
la
mitad.
Escriba
del
316
expresión
apar tado
Halle
Integración
una
el
valor
de
k
para
la
mitad
del
área
de
la
región
Ahora
nos
centraremos
en
los
casos
en
que y
e
y
en
a
≤
x
≤
b,
pero
y
no
es
mayor
o
igual
que
y
a
≤
x
≤
b.
En
intersección
en
los
este
y
emo
Escriba
(x)
=
debemos
cuál
hallar
cur va
determinados
por
todos
para
es
los
la
los
todo
puntos
x
en
superior
puntos
de
y
de
cuál
la
inferior
intersección.
una
expresión
2
f
continuas
2
caso
determinar
inter valos
son
2
10x
+
que
dé
el
3
x
–
área
de
la
región
Use
entre
2
3x
y
g(x)
=
x
–
2x.
Halle
el
las
área.
la
puntos
Respuesta
y
2
10x
x
+
=
x
–2,
3
–
0,
2
3x
=
x
–
Hallar
los
entre
y
puntos
de
intersección
CPG
para
coordenadas
de
la
de
los
intersección
determinar
es
hallar
cuál
superior
y
cur va
cuál
2x
f
g
la
inferior
en
los
2
2
g(x) = x
– 2x es mayor o igual que
intervalos determinados
0
2
2
2
((x
f(x) = 10x + x
3
– 2x) – (10x + x
– 3x
3
– 3x
en –2 ≤ x ≤ 0,
por
los
puntos
de
)) dx
por
2
lo
tanto
“altura
de
en
este
cada
inter valo
la
intersección.
rectángulo”
2
2
+
((10x
+
3
x
–
3x
2
)
–
(x
–
2x)) dx
está
representada
por
2
(x
0
2
–
2x)
–
(10x
+
2
=
24
f(x)
=
10x
+
3
x
–
3x
).
3
x
–
3x
es
mayor
o
2
igual
0
≤
que
x
≤
g(x)
2,
inter valo
por
la
rectángulo”
Ejercitación
En
la
las
lo
–2x
tanto
está
de
–
3x
en
este
cada
representada
3
x
en
por
2
)
–
(x
–
2x).
9L
preguntas
región
+
x
“altura
2
(10x
=
a
delimitada
4,
escriba
por
las
una
dos
expresión
cur vas
y
para
hallar
posteriormente
el
área
halle
de
el
área.
3
=
x
2
1
y
–
2x
2
f
(x)
=
(x
3
f
(x)
=
xe
4
g(x)
2
e
y
=
2x
–
3x
3
–
1)
y
g(x)
=
x
–
–
x
1
2
x
3
y
g(x)
4
=
–
x
=
x
2
+
10x
4
–
9
y
h(x)
=
x
2
–
9x
y
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
1
6
2
5
Las
cur vas
que
se
muestran
en
la
gura
son
grácos
de f
(x)
=
x
4
,
4
2
g(x)
=
–
x
y
h (x)
=
2x
–
Q
4.
2
Halle
las
Muestre
coordenadas
del
punto
Q
0
que
la
recta
que
pasa
por
los
puntos P
y
Q
x
2
es
–2
3
4
5
P
1
2
tangente
a
f
(x)
=
x
en
el
punto
Q
–4
4
Halle
de
A
de
las
cuatro
par tir
la
coordenadas
cifras
de
lo
región
del
punto
P
con
una
aproximación
signicativas.
anterior,
escriba
sombreada
y
una
expresión
posteriormente
para
halle
el
el
área
área.
Capítulo
9
317
.
vomn
roón
Los
sólidos
usados
Un
óo
se
roón
genera
mediante
la
rotación
gura
plana
alrededor
de
un
Imaginemos
un
que
rectángulo
el
per pendicular
rectángulo
se
rota
revolución
son
manufacturación
muchos
ar tículos,
como
roón
pistones
Consideremos
de
la
de
de
una
en
360°
al
y
cigüeñales.
eje x.
alrededor
del
eje
x
y
y
0
0
[
x
Pistones
x
El
sólido
cuerpo
que
se
forma
se
denomina o.
El
disco
es
un
cilíndrico.
y
dx
2
V
πr
=
h
cilindro
2
y
0
πy
=
dx
x
[
ingón:
volumen
de
Cigüeñales
revolución
y
Considere
el
triángulo
formado
por
la
recta
4
f (x)
=
0,5x
y
el
eje
x,
entre
x
=
0
y
x
=
f(x)
6
=
0,5x
3
Copie
y
complete
la
tabla
con
las
dimensiones
2
y
los
volúmenes
cuando
los
de
los
discos
rectángulos
que
generados
se
muestran
1
en
la
x
–2
gura
se
rotan
360°
alrededor
del
eje
1
3
2
4
5
6
7
8
9
–1
x.
–2
la
en
la
tabla
ya
ha
sido
completada.
–3
Inter valo
Radio
Altura
Volumen
y
0
≤
x
<
1
1
≤
x
<
2
3
2
≤
x
<
3
2
3
≤
x
<
4
1
4
≤
x
<
5
5
≤
x
<
6
Altura
4
=
dx
Radio
=
y
x
4
8
2
f(6)
=
3
6
–
5
=
1
π (3
)(1)
≈
–1
28,27
–2
2
Halle
la
la
suma
pregunta
volumen
de
1.
¿Es
exacto
triángulo
los
volúmenes
esta
del
alrededor
suma
sólido
del
eje
de
los
mayor
generado
o
seis
discos
menor
por
la
que
–3
de
el
rotación
y
del
3
x?
2
1
Escriba
una
integral
denida
que
crea
pueda
usarse
para
hallar
0
el
volumen
exacto
del
sólido
de
revolución
generado
cuando
el
x
3
4
5
8
–1
triángulo
rota
alrededor
del
eje
x.
Evalúe
la
integral
en
una
CPG
–2
y
compárela
con
el
valor
aproximado
que
obtuvo
en
la
pregunta
2.
–3
Cuando
el
fórmula
geométrica
denida
318
Integración
triángulo
que
obtuvo
rota
para
en
alrededor
hallar
la
el
del
eje
x,
volumen
pregunta
3.
el
del
sólido
cono
y
que
se
genera
compárelo
con
es
el
un
cono.
valor
de
Use
la
una
integral
y
➔
Si
y
y
=
=
f
del
f
(x)
(x)
eje
y
x,
es
el
continua
eje
x,
en
entre
entonces
el
x
a
≤
=
a
x
y
volumen
≤
x
b
=
del
y
la
b,
región
se
rota
sólido
delimitada
360°
por
dx
y
alrededor
generado
está
=
f(x)
y
dado
0
x
por
b
b
2
V
π (
=
f
2
(x))
dx
π y
o
dx.
a
a
y
Radio
del
disco
(altura
del
Altura
del
disco
(ancho
“rectángulo
del
“rectángulo
2
Volumen
del
La
de
disco
π r
=
representativo”)
= y
representativo”)
=
d
x
2
h=
π y
dx
0
suma
los
volúmenes
de
un
número
innito
de
discos
desde x
=
a
a
x
b
b
2
hasta
x
=
b
y
el
volumen
exacto
del
sólido
π y
=
dx.
a
emo
Use
una
integral
denida
para
hallar
el
volumen
del
sólido
generado
cuando
la
región
delimitada
2
por
f
(x)
9
=
fórmula
x
y
el
eje
x
se
rota
360°
alrededor
del
eje
x.
Verique
su
respuesta
usando
una
geométrica.
Respuesta
Resulta
y
4
un
El
útil
dibujar
“rectángulo
radio
del
aproximadamente
un
gráco
y
representativo”.
disco
es
la
altura
del
rectángulo
dx
2
2
2
y
=
√9
–
representativo,
x
9
x
.
1
La
altura
del
disco
es
el
ancho
del
rectángulo
x
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
5
representativo,
b
Los
límites
de
dx.
integración
son
las
raíces,
–3
y
3.
2
V
π y
=
dx
a
3
2
π
=
(
9
2
)
x
Usar
dx
la
CPG
para
evaluar
la
integral
−3
≈
113
Para
vericar:
4
4
3
V
πr
=
3
π(3
=
3
Cuando
)
la
alrededor
=
se
rota
y
del
eje
x,
36 π
se
≈
región
3
genera
una
2
esf era.
113
4
3
Volumen
de
la
esf era
πr
=
3
x
0
–4
1
4
–2
Ejercitación
Use
una
cuando
del
1
eje
f
(x)
9M
integral
la
x.
=
región
denida
delimitada
Verique
4
y
el
para
eje
sus
x
hallar
por
las
respuestas
entre
x
=
0
y
el
volumen
cur vas
usando
x
=
dadas
del
se
fórmulas
sólido
rota
generado
360°
alrededor
geométricas.
5
Capítulo
9
319
f
2
(x)
=
6
–
2x
y
el
eje
x
entre
x
=
0
y
x
=
3
A
Ibn
al-Haytham
matemático
que
(965–1040),
vivió
un
principalmente
2
f
3
(x)
=
4
y
x
el
eje
x
en
Egipto,
se
le
la
integral
de
una
atribuye
el
volumen
el
función
cálculo
para
de
hallar
2
f
4
(x)
f
5
=
(x)
16
=
x
emo
Use
una
y
y
x
el
eje
el
x
eje
x
entre
entre
x
=
2
x
y
=
x
0
=
y
x
=
4
de
un
cuerpo
generado
de
una
parábola
de
simetría.
paraboloide,
mediante
la
el
rotación
4
alrededor
de
su
eje
integral
denida
para
hallar
el
volumen
del
sólido
generado
cuando
la
región
bajo
la
2
cur va
y
=
x
entre
x
=
0
y
x
=
2
se
rota
alrededor
del
eje
x.
Dé
su
respuesta
en
función
de
π.
Respuesta
y
b
5
2
V
πy
=
dx
4
a
2
3
2
π(x
=
2
)
2
dx
y
2
=
x
0
1
2
4
πx
=
dx
dx
–4
–3
–2
0
–1
1
x
2
3
4
0
2
⎡ 1
=
Resulta
⎢
⎣
⎥
5
⎦
el
dibujar
“rectángulo
aproximadamente
un
gráco
y
π
1
5
(2
(0
del
disco
)
es
la
altura
del
rectángulo
2
⎟
5
radio
⎞
5
)
⎜
⎝
representativo”.
0
El
⎛ 1
=
útil
⎤
5
x
π
5
representativo,
x
.
⎠
La
altura
del
disco
es
el
ancho
del
rectángulo
32π
representativo,
dx.
=
5
Los
Ejercitación
✗
En
las
por
las
del
a
sólido
cur vas
de
integración
son
0
y
2.
9N
preguntas
volumen
límites
4
use
una
generado
dadas
integral
por
alrededor
la
del
denida
rotación
de
para
la
hallar
región
el
delimitada
eje x
3
1
f
2
y
3
f
(x)
=
x
y
el
eje
x
entre
x
=
1
y
x
=
2
2
=
x
+
1
y
el
eje
x
entre
x
=
0
y
x
=
1
2
(x)
=
3x
–
x
y
eje
x
el
eje
x
1
4
y
=
y
el
entre
x
=
1
y
x
=
4
x
y
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
⎛
1
⎞
x
⎜
⎝
5
El
diagrama
muestra
par te
del
gráco
de y
=
⎟
4
⎠
.
e
La
región
1
⎛
1
x
⎜
⎝
sombreada,
entre
hasta
4,
x
=
Escriba
sólido
320
ln
Este
se
una
gráco
rota
360°
integral
de
y
=
denida
que
es
igual
a
k π.
Halle
=
x
)
e
⎠
y
e
alrededor
y
⎟
del
el
eje
x,
desde
represente
el
x
=
0
eje x
el
generado.
volumen
Integración
el
4
(4
⎞
valor
de
k.
volumen
del
0
ln 4
x
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
y
La
6
región
sombreada
en
=
el
el
diagrama
está
delimitada
por
1
y
=
,
x
1,
x
=
a
y
eje
x.
La
región
sombreada
se
x
rota
360°
alrededor
del
eje
x.
1
y
=
√x
Escriba
del
El
.
una
sólido
integral
denida
que
represente
el
volumen
el
valor
generado.
volumen
del
sólido
ingr
generado
n
3π.
es
on
Halle
de
a
0
1
momno
Material
en
n
y
oro
a
de
el
de
las
cambio
aplicaciones
en
una
ampliación
Hoja
de
de
función
las
a
integrales
medida
que
denidas
es
transcurre
la
el
de
volúmenes
de
la
tiempo.
función
desplazamiento
de
una
que
se
mueve
a
lo
largo
3
para
de
una
recta
horizontal
si
=
s(t),
par tícula
entonces
que
Más
revolución
desplazamiento
que
9:
sólidos
hallar
Recordemos
Supongamos
disponible
ejercicios
rom
sobre
Otra
de
línea:
x
está
dada
velocidad
=
por
v(t)
=
s′(t)
y
aceleración
2
s(t)
=
–
t
4t
+
t
≥
0,
donde
t
se
mide
en
segundos
y
s
en
=
metros.
El
desplazamiento
inicial
de
la
a(t)
=
v ′(t)
=
s″(t).
par tícula,
2
s(0)
=
–
0
4(0)
+
3
=
3,
nos
dice
que
en
el
segundo
0,
la
par tícula
La
2
está
3
metros
a
la
derecha
del
origen. s(2)
=
2
–
4(2)
+
3
=
–
función
nos
desplazamiento
dice
que
en
el
segundo
2,
está
metro
a
la
izquierda
del
de
origen.
una
par tícula
nos
da
la
2
distancia
v(t)
Consideremos
dt.
Dado
0
que
la
primitiva
de
la
velocidad
es
y
la
dirección
el
2
respecto
del
origen
2
desplazamiento,
tenemos
v(t)
dt
=
=
[ s ( t )]
s(2)
–
s(0)
=
–4.
0
de
la
par tícula,
en
0
cualquier
t
=
instante
t.
2
t
=
0
s(t)
Obser vemos
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
v(t)
4
=
2t
–
t
=
velocidad
nos
2
4,
y
v(t)
=
0
metros
cuando
Esto
que
8
0
y
4
metros
da
el
cambio
segundos.
a
la
Nos
en
dice
izquierda
el
desplazamiento
que
de
en
el
donde
segundo
estaba
en
entre
2,
el
la
los
instantes
par tícula
segundo
negativa
está
t
=
2,
dirección
La
pasa
a
por
par tícula
0.
2.
de
positiva
lo
tanto
cambia
cuando
en
la
de
t
=
2.
t
➔
v(t)
dt
=
s(t
)
–
s(t
2
)
es
el
cambio
en
el
desplazamiento
entre t
y
t
2
t
5
Ahora
consideremos
v(t) dt
=
s(5 )
–
s(0 )
=
8
–
3
=
5.
Esto
nos
dice
0
que
a
los
donde
5
segundos,
estaba
en
el
la
par tícula
segundo
t
t
=
está
5
metros
a
la
derecha
de
0.
=
5
0
s(t)
–1
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
metros
Capítulo
9
321
Obser vemos
distancia
recorrida
los
a
9
que
total
es
la
metros
el
cambio
recorrida
suma
de
recorridos
en
entre
los
4
el
0
desplazamiento
y
5
segundos.
metros
hacia
la
recorridos
derecha,
o
de
La
3
5
metros
distancia
hacia
la
metros,
no
es
la
total
izquierda
como
se
más
muestra
continuación.
9
metros
t
t
=
=
5
0
s(t)
–1
0
1
4
2
3
4
5
6
7
8
y
metros
6
Consideraremos
v (t)
=
2t
Sea
A
–
esto
en
términos
del
área
bajo
la
cur va
de
v(t )
=2t
–
4
5
4
4.
3
el
área
del
triángulo
debajo
del
eje
x
y
sea
A
el
área
A
del
2
2
2
5
1
triángulo
por
encima
del
eje
x.
v (t)dt
es
A
más
el
simétrico
de
A
2
0
x
0
1
2
3
4
5
6
–1
5
1
v (t) dt
=
–A
+
A
=
–
A
1
(2)(4)
+
1
(3)(6)
=
–4
+
9
=
–2
5.
2
2
2
–3
0
–4
Esto
nos
da
Para
hallar
el
desplazamiento
desde
el
segundo
0
hasta
el
segundo
5.
|v(t)|
la
distancia
total
recorrida
desde
el
segundo
0
al
signica
absoluto
necesitamos
la
suma
de
las
áreas
A
y
A
.
Podemos
el
valor
5
o
el
módulo
hallarla
2
5
de
evaluando
v(t).
|v (t)|dt
0
y
5
1
|v (t)|dt
=
A
+
A
=
1
(2)(4)
6
+
(3)(6)
=
4
+
9
=
v(t )
=|2t
–
4|
3
2
2
2
0
4
Esto
nos
da
un
total
de
3
metros
recorridos
desde
el
segundo
0
al
5.
3
A
2
2
A
1
➔
Si
v
una
es
la
función
recta,
la
velocidad
n
de
o
una
par tícula
recorrida
desde
que
t
se
mueve
hasta
t
1
en
está
0
x
2
1
2
3
4
5
6
t
dada
por:
distancia
=
|v (t)| dt.
t
emo
La
función
desplazamiento
de
una
par tícula
que
se
mueve
a
lo
largo
de
una
recta
está
dada
por
2
s (t)
=
8
+
2t
–
t
para
Halle
la
Halle
cuándo
t
velocidad
la
≥
0,
de
donde
la
t
se
par tícula
par tícula
se
está
mide
en
el
en
segundos
instante
moviendo
a
y
s
en
metros.
t.
la
derecha
y
cuando
se
está
moviendo
a
la
izquierda.
Dibuje
un
Escriba
distancia
luego
diagrama
integrales
use
total
el
de
movimiento
denidas
recorrida
diagrama
en
de
para
el
para
hallar
inter valo
movimiento
la
los
0
≤
para
par tícula.
cambios
t
≤
4.
de
Use
vericar
desplazamiento
una
los
CPG
para
Integración
la
evaluar
par tícula
las
y
la
integrales
y
resultados.
{
322
de
Continúa
en
la
página
siguiente.
Respuestas
v(t)
=
2
2t
–
2
–
=
2t
v(t)
=
s′(t)
0
Hallar
t
=
Se
mueve
a
la
derecha
Se
mueve
a
la
izquierda
s(0)
cuándo
la
velocidad
es
igual
a
cero
1 s
=
8
y
s(1)
=
en
0
<
t
<
cuando
1.
t
>
La
1.
a
9
par tícula
la
izquierda
v(t )
t
t
=
=
se
mueve
cuando
a
la
v(t)
derecha
<
cuando
v(t)
>
0
y
0.
+
1
0
t
0
=
1
s(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Hallar
Cambio
en
el
el
desplazamiento
en
t
=
0
y
t
=
1
t
desplazamiento
Cambio
4
en
el
desplazamiento
=
v(t)dt
t
=
(2
–
2t)dt
=
– 8 m
0
4
Distancia
total
t
=
|2
–
2t|dt
Distancia
total
=
|v(t)|dt
t
0
=
10
m
9 metros
Mostrar
t
t
t
=
=
s(t)
0
1
2
3
4
5
6
7
8 metros
=
8
par tícula
está
0
estaba
el
8
en
el
diagrama.
metros
a
la
A
los
izquierda
4
de
segundos
la
donde
9
en
segundo
0.
1 metro
La
9
par tícula
metros
10
emo
s(4)
1
0
a
metros
la
se
desplazó
izquierda,
desde
el
1
o
metro
sea,
segundo
0
a
una
al
la
derecha
distancia
y
total
de
4.
–1
La
función
velocidad
v,
en
m s
,
de
una
par tícula
que
(8, 4)
4
se
mueve
el
lo
largo
cambio
distancia
total
de
de
una
recta
se
desplazamiento
recorrida
en
el
muestra
de
inter valo
la
0
en
la
gura.
par tícula
≤
t
≤
16.
y
la
)odnuges
Halle
a
3
2
1
rop
t (segundos)
0
sortem(
2
4
–1
–2
v
(14, –2)
(15, –2)
–3
–4
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
323
Respuesta
4
Sean
A
,
A
y
el
y
A
2
las
áreas
de
los
dos
triángulos
)odnuges
1
3
trapecio.
Cambio
en
el
desplazamiento
rop
16
sortem(
=
v(t)dt
0
–
A
+
A
1
–
A
2
3
1
1
=
)t(v
=
–
(4)(4)
(8)(4)
–
(4
2
+
1)(2)
=
3 m
total
|v (t)|dt
rop
0
A
+
A
1
+
A
2
3
1
(4)(4)
+
un
29
de
inter valo
de
Halle
Dibuje
Escriba
4
A
A
3
1
–2
–3
(4
+
4
3
2
1
A
A
1
A
2
3
t (segundos)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1)(2)
2
la
preguntas
tiempo,
de
diagrama
integrales
inter valo
de
a
3
donde
velocidad
un
desplazamiento
la
2
–1
9O
las
Use
t (segundos)
0
m
una
el
+
2
Ejercitación
Cada
1
(8)(4)
2
)t(v
1
=
=
sortem(
=
2
–4
16
=
A
1
2
)odnuges
Distancia
2
1
+
2
3
la
de
t
da
se
la
par tícula
para
evaluar
movimiento
para
vericar
para
par tícula
tiempo
CPG
mide
función
en
en
movimiento
denidas,
de
una
y
segundos
el
y
s
en
y
metros.
tiempo t.
para
hallar
la
desplazamiento
la
el
par tícula.
cambio
distancia
total
de
recorrida
en
dado.
las
integrales
los
y
luego
use
un
diagrama
de
resultados.
2
1
s(t)
=
2
s(t)
=
t
–
6t
+
8;
0
≤
t
≤
4
1
3
2
t
–
3t
+
8t;
0
≤
t
≤
6
3
3
3
s(t)
4
La
=
(t
–
2)
;
0
≤
t
≤
4
–1
función
velocidad
v,
en
m s
,
de
una
par tícula
que
se
(5, 6)
6
mueve
total
a
el
lo
largo
cambio
recorrida
≤
t
≤
12
0
≤
t
≤
5
línea
se
muestra
cada
uno
de
los
de
la
en
la
gura.
par tícula
siguientes
y
la
distancia
inter valos.
sortem(
2
en
una
desplazamiento
rop
de
de
)odnuges
Halle
5
4
3
2
1
t (segundos)
0
v
2
4
–1
0
≤
t
≤
12
–2
(9, –2)
324
Integración
(11, –2)
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
–1
La
5
velocidad,
v,
en
m s
,
de
una
par tícula
que
se
mueve
a
lo
2
largo
de
tiempo
una
en
Halle
El
línea
recta
dada
por v (t)
=
t
–
9,
donde
t
es
el
segundos.
la
aceleración
desplazamiento
una
está
expresión
de
la
inicial
para
s,
el
par tícula
de
la
en t
=
partícula
1.
es
desplazamiento,
de
en
12
metros.
función
Halle
de t
(4, 4)
Halle la
distancia
recorrida
entre
los
2
y
los
8
segundos.
)odnuges
–1
La
6
a
Halle
Escriba
se
la
largo
de
una
aceleración
el
mueve
inter valo
a
la
en
m s
,
línea
cuando
de
de
se
t
=
tiempo
una
par tícula
muestra
en
el
que
gráco.
3.
en
el
cual
la
)t(v
lo
v,
sortem(
mueve
velocidad,
rop
✗
se
función
4
par tícula
3
2
1
t (segundos)
0
4
–1
–2
–3
derecha.
–4
Halle
la
distancia
total
integrales
denidas
se
Las
recorrida
pueden
en
usar
0
en
≤ t
≤
otras
16.
situaciones,
apar te
La
de
la
del
movimiento
lineal,
por
ejemplo,
para
hallar
el
integral
razón
acumulado
de
cualquier
razón
de
cambio
de
una
efecto
de
cambio
es
el
variable.
cambio
total
hasta
:
desde
t
1
t
2
emo
t
2
F′ (t)dt
Se
comienza
La
razón
a
un
la
cultivo
que
de
cambia
bacterias
el
con
número
de
una
población
bacterias
en
el
inicial
de
período
100.
de
=
F(t
)
–
F(t
2
).
1
t
un
0,273t
mes
r
se
puede
mide
Halle
la
ser
en
modelizada
bacterias
población
por
de
mediante
la
función
r (t)
=
e
,
donde
día.
bacterias
20
días
después
de
iniciado
el
cultivo.
Respuesta
0,273t
r(t)
la
=
es
derivada
R(t),
en
e
el
que
la
de
da
el
tiempo
razón
una
de
número
t.
cambio.
función,
Por
lo
de
Es
digamos
bacterias
tanto
T
enga
en
cuenta
que
20
las
r(t)dt
=
R(20)
–
R(0)
muestran
0
es
unidades
el
cambio
en
el
número
que
el
de
resultado
bacterias
Dado
100
entre
que
la
el
día
0
población
bacterias,
la
y
el
día
inicial
población
20.
era
de
la
un
número
integral
es
de
de
después
bacterias.
de
20
días
es
20
0,273 t
e
{
20
dt
{
bacterias
( por
0,273t
100
+
e
dt
o
alrededor
de
957
día
≈
( días )
857
{
bacterias
)
0
0
Se
podría
obtener
el
mismo
bacterias.
resultado
método
página
{
usando
más
el
largo
siguiente
(véase
la
siguiente).
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
9
325
0,273t
R(t)
=
e
Hallar
dt
R′(t)
la
=
función
r(t).
R(t),
tal
que
Recuerde que
1
0,273t
=
e
dt
+
1
C
ax + b
e
0, 273
ax + b
dx =
e
+ C.
a
1000
0,273t
=
e
+
C
273
1000
0,273(0)
100
=
e
+
C
Usar
273
R(0)
1000
C
=
100
la
=
condición
100
para
inicial
hallar
C
–
Obser ve
273
cuánto
más
26300
conveniente
resulta
=
273
obtener
1000
R(t)
=
el
mismo
26300
resultado
0,273t
e
usando
+
20
273
273
0,273t
100
0,273(20)
=
e
+
≈
Ejercitación
pueda
ser
evaluar
1
La
una
expresión
de
,
≈
para
que
contenga
contestar
estas
una
integral
preguntas.
denida
Use
una
que
CPG
para
consumo
2000
a
de
petróleo
enero ,
200
en
(en
un
determinado
billones
de
país
barriles
desde
por
año)
t
se
2
modeliza
mediante
número
de
Halle
consumo
El
el
número
para
un
años
de
=
partido
t
por
puertas
=
1,5
juego
A
la
hora.
horas.
a
medianoche
razón
=
que
20
=
8,4e
el
período
,
donde
t
es
el
2000.
petróleo
se
No
≤
t
en
entran
modeliza
≤
hay
las t
en
que
hay
la
=
a
un
de
estadio
mediante
1,5.
La
función
espectadores
0
horas.
El
espectadores
se
36,5
entrada
hasta
las
puede
4
(–
s(t)
0
¿Cuántos
medianoche
una
,
C ′(t)
la
0
por
años.
hora
función
en
juego
hay
r (t)
el
se
mide
estadio
cuando
comienza
en
el
en
a
estadio
la
se
hora
cuando
el
comienza?
acumulados
la
de
fútbol
para
abren
las
enero
total
de
personas
t
3
desde
función
3
–
1375t
la
espectadores
2
r (t)
3
0,01t
+
0,13t
8
centímetros
para
de
cúbicos
automóviles
la
mañana
modelizar
la
de
de
una
nieve
mediante
nieve
la
se
casa.
Desde
acumula
a
función
2
–
0,38t
–
0,3t
+
0,9)
,
5te
donde
t
se
mide
en
horas
y
s
3
en
cm
por
acumulado
4
El
agua
La
hora.
a
las
¿Cuántos
8
comienza
velocidad
a
la
de
a
la
salir
que
centímetros
cúbicos
de
nieve
puede
modelizar
se
de
uye,
un
tanque
medida
en
que
contiene
galones
por
4000
mediante
la
función r (t)
=
galones.
minuto,
–33
t
⎝
326
Integración
agua
hay
en
el
tanque
después
de
20
⎞
.
1
⎜
¿Cuánta
han
mañana?
⎛
se
e
0
expresión.
tasa
enero
R(20)
9P
usada
la
Hallar
957
273
273
Escriba
+
26300
1000
R(20)
minutos?
⎟
60
⎠
957.
dt
ero
rón
✗
1
Halle
la
integral
indenida.
3
3
(4x
–
8x
+
6) dx
3
4
x
dx
dx
4
x
4
5x
3x
4x
dx
2
e
dx
3
f
x
(3x
2x e
4
(x
+
1)
dx
2
6x
ln x
1
2
dx
g
2x
dx
h
+
1)(6x) dx
x
+ 3
x
2e
2
2 x
dx
k
3
2x
5
dx
dx
x
e
2
Halle
+ 3
la
integral
denida.
6
2
2
e
4
4
2
(3x
–
6) dx
dt
dx
t
4
x
0
2
1
2
3 x
+ 3
6x e
3
dx
(3x
–
1)
dx
dx
f
0
0
–
PREGUNTAS
TIPO
2x
+ 1
EXAMEN
2
3
El
diagrama
muestra
par te
del
gráco
de f
(x)
=
x
–
1.
Las
2
y
y
regiones
A
y
B
están
=
x
–
1
sombreadas.
3
Escriba
Calcule
Escriba
una
expresión
para
el
área
de
la
región B
2
el
área
de
la
región
B
1
B
una
expresión
para
el
total
del
área
de
las
regiones
0
sombreadas
La
región
B
A
y
se
B.
(No
rota
hace
falta
alrededor
del
que
eje
evalúe
x.
la
Escriba
una
x
A
1
–2
expresión.)
2
expresión
–2
para
el
evalúe
4
Una
volumen
la
cur va,
función
del
sólido
generado.
(No
hace
falta
que
expresión.)
cuya
derivada
ecuación
es
f ' (x)
es
=
y
3x
=
–
f
(x),
2.
pasa
Halle
la
por
el
punto
fórmula
de
(2,6).
la
Su
cur va.
5
5
Sabiendo
que
f
5
(x) dx
=
20,
deduzca
el
valor
de:
una
recta
de
5
1
f
(x) dx;
[f
(x)
+
2] dx
4
6
Una
par tícula
se
mueve
a
lo
largo
de
manera
que
su
2t
velocidad
Cuando
Halle
t
una
en
=
el
0,
tiempo
el
t
segundos
desplazamiento
expresión
para
s
en
está
de
la
función
dada
por
v (t)
par tícula, s,
de
=
es
4e
de
+
2.
8 m.
t
k
1
7
Sabiendo
que
dx
2x
=
ln
5,
halle
el
valor
de
k
1
Capítulo
9
327
ero
PREGUNTAS
1
Halle
el
TIPO
rón
EXAMEN
volumen
del
sólido
generado
cuando
la
región
delimitada
del
x
2
por
2
f
Una
(x)
=
4
–
y
x
par tícula
se
el
eje
x
mueve
se
a
rota
lo
360°
largo
de
–1
velocidad
v
alrededor
una
recta
eje
horizontal
con
2
dada
m s
por
v (t)
=
2t
–
11t
+12
donde
t
≥
0.
2
Escriba
una
función
La
a y
de
Halle la
2
hasta
para
la
aceleración, a
m s
,
en
t.
par tícula
valor
de
expresión
se
el
mueve
valor
distancia
los
5
a
de
la
izquierda
en a
<
t
<
b.
Halle
el
b
total
recorrida
por
la
par tícula
desde
los
segundos.
3
3
Halle
la
ecuación
de
la
recta
tangente
a f
(x)
=
x
–
2
en
en
un
segundo
x
=
–1.
3
La
recta
Halle
Dibuje
Escriba
de
f
tangente
las
y
el
gráco
una
la
cor ta
coordenadas
de
f
y
expresión
recta
ResuMeN
prm
y
f
(x)
=
este
la
y
el
x
–
punto.
tangente.
área
luego
delimitada
halle
capítulO
2
punto.
recta
para
tangente,
del
a
de
ngr
el
por
los
grácos
área.
9
nn
1
n
●
Rg
x
on:
n +1
dx
=
x
+ C ,
n
≠
−1
n + 1
k
●
Rg
onn:
●
Rg
món
●
Rg
ón
Má
or
o
dx
=
or
kx
n
+
kf
onn:
rón:
ngr
C
(
f
(x)
±
(x) dx
g(x)) dx
=
=
f
k
f
(x) dx
(x) dx
±
g (x) dx
nn
1
dx
●
=
ln x
+ C ,
x
>
0
x
x
●
e
x
dx
= e
+ C
1 ⎛
n
●
( ax
+ b)
dx
1
n +1
=
( ax
a
⎝
⎞
+ b)
⎜
+ C
⎟
n + 1
⎠
1
ax + b
●
e
ax + b
dx
=
e
+
C
a
1
●
1
dx
ax
+ b
=
b
ln( ax
a
+ b) + C ,
x
>
−
a
Continúa
328
Integración
en
la
página
siguiente.
Área
e
integrales
denidas
b
y
●
Cuando
f
es
una
función
no-negativa
en a
≤
x ≤
b,
f
(x)dx
y
a
da
el
área
bajo
la
cur va
desde
x
a
=
hasta
x
=
=
f(x)
b.
b
∫
f(x)dx
a
●
agn
ro
b
ngr
fn
b
a
0
kf
(x) dx
=
k
f
a
x
b
(x) dx
a
b
b
(f
(x)
±
g (x)) dx
b
=
f
a
(x)dx
±
g (x) dx
a
a
a
f
(x) dx
=
0
f
(x) dx
=
–
a
b
a
f
a
b
c
f
(x) dx
f
F
es
es
(x) dx
+
f
a
t
orm
f
b
=
a
Si
(x) dx
b
fnmn
una
una
(x) dx
c
función
continua
primitiva
de
f
en
a
en
≤
el
x
áo
inter valo a
≤
b,
≤
x
≤
b
y
entonces
b
b
f
( x ) dx
=
[F
∫
( x )]
=
F (b ) −
F (a )
a
a
Ár
●
Si
nr
y
e
y
a
≤
o
son
r
continuas
en
a
≤
x
≤
b
e
y
2
x
≤
≥
y
b,
entonces
el
área
entre
y
e
y
para
todo
x
en
2
desde
x
=
a
hasta
x
=
b
2
b
está
dada
por
(y
–
y
) dx
2
a
vomn
●
roón
y
Si
y
=
f
(x)
es
continua
en
a
≤
x
≤
b
y
la
región
delimitada
dx
por
y
=
f
(x)
y
el
eje
x
entre
x
=
a
y
x
=
b
se
rota
360°
y
alrededor
del
eje
x,
entonces
el
volumen
del
=
f(x)
sólido
y
b
b
2
generado
está
dado
π ( f
por
(x))
2
a
ingr
n
y
0
dx
x
a
n
oro
πy
o
on
momno
rom
t
●
v(t)dt = s(t
)
–
s(t
2
)
es
el
cambio
en
el
desplazamiento
desde t
hasta
t
2
t
●
Si
de
v
es
la
una
función
recta,
la
velocidad
distancia
para
total
una
partícula
recorrida
que
desde t
se
mueve
hasta
t
a
está
lo
largo
dada
por:
2
t
distancia
=
|v(t)|dt
t
Capítulo
9
329
t
or
del
conomno
conor
e
méoo
Los
antiguos
este
fuera
círculo
y
las
a
griegos
radio
inscriptos
Sean
uno,
Para
los
áreas
de
los
conceptos
hallar
antiguos
circunscriptos
m
xhón
usaron
formalizado.
de
nro
con
un
un
de
valor
griegos
mucho
aproximado
construyeron
número
polígonos
cálculo
creciente
regulares
con n
de
antes
del
de
área
que
de
un
polígonos
lados.
lados
inscriptos
en
n
un
círculo
de
radio
uno
y
sean
A
las
áreas
de
los
polígonos
n
circunscriptos.
Los
antiguos
griegos
hallaron
que
tanto
lim A
como
n
n→∞
lim
a
eran
iguales
π
a
n
n→∞
■
¿Que
■
¿Podemos
Nwon
conclusión
.
pudieron
pensar
en
otras
deducir
a
partir
aplicaciones
de
de
los
desarrollo
del
de
en
la
cálculo
siglos
fue
realmente
de
matemáticos
del
bien
de
trabajo
no
se
todo
el
mundo.
son
y
siglo
Gottfried
reconocidos
XVII
a
resolver
por
el
Leibniz
desarrollo
de
las
más
famosas
de
las
es
la
del
de
ellos
descubrir
el
fue
el
cálculo
primero
y
si
en
hubo
en
y
Leibniz
desarrollaron
el
cálculo
independientemente
El
cálculo
moder no
del
otro.
inventar
¿Cuáles
son
personas
las
posibles
buscan
el
asunto
consecuencias
crédito
por
su
XIX
debido
a
como
los
esfuerzos
Louis
Supongamos
que
Newton
y
(alemán),
Karl
(alemán),
y
Weierstrass
sus
cuando
¿Nacieron
la
los
trabajos
de
trabajo?
matemáticos
de
la
Leibniz
de
resolver
cier tos
cálculos
independientemente
sustentaría
ISA
AC
otros.
necesidad
desarrollaron
de
Cauchy
de
estos
■
el
o
■
las
en
sobre
plagio.
■
surgió
la
discusión
algún
Newton
cálculo.
matemáticos
quién
acepta
que
(alemán)
controversias
matemáticas
se
generalmente
siglo
historia
hoy
Newton
uno
Una
la
por
Los
Isaac
Wilhelm
llegó
por
completo,
(inglés)
real?
la
controversia
matemáticos
vida
lnz
nunca
culminación
hechos?
límites
Si
El
estos
idea
uno
que
el
de
otro.
cálculo
problemas
de
o
curiosidad
la
vida
real
¿Esto
por
pura
fue
VS
intelectual?
descubier to
o
de
que
fue
inventado?
LE
IB
NI
Z
330
Teoría
del
Conocimiento:
conocer
nuestros
límites
El
cuerno
de
Gabriel
1
f
(x)
,
=
x
=
1
y
x
=
a,
a
>
1
se
rota
alrededor
del
eje
x.
x
Si
El
a
→
∞,
el
sólido
volumen
del
se
conoce
el cuerno de Gabriel.
como
sólido
y
generado
por
revolución
3
alrededor
del
eje
x
está
2
a
dado
π∫
por
y²dx.
Puede
1
mostrarse
1
que
el
área
de
x
1
la
supercie
del
2
3
4
a
sólido
-1
está
dada
por
a
-2
2π∫
1
+
(y ′)²dx
1
-3
■
Use
una
hallar,
CPG
con
volumen
una
y
el
del
de
la
a
y
de
para
tabla.
volumen
acerca
aproximación
área
anteriormente
copia
para
los
A
del
la
de
cuatro
supercie
valores
dados
continuación
área
de
la
del
lugares
sólido
de a.
elabore
supercie,
a
decimales,
el
descripto
Escríbalos
una
en
conjetura
medida
que a
una
acerca
se
innito.
1
a
Volumen
a
=
π∫
1
(
dx
Área
de
la
supercie
=
2π∫
1
1
1
a
²
)
x
[
1
x
+
4
]
dx
x
10
100
1000
10 000
100 000
1 000 000
a
■
→
∞
Volumen
Según
los
necesitará
■
¿Cuánta
→
resultados
para
de
llenar
pintura
se
Área
el
su
tabla,
cuer no
necesitará
de
¿cuánta
de
para
la
supercie
pintura
→
se
Gabriel?
cubrir
su
supercie?
Paradojas
Un
resultado
Gabriel
es
un
que
desafía
ejemplo
de
a
la
lógica
paradoja.
se
llama
Investigue
paradoja.
algunos
El
cuerno
otros
de
ejemplos
de
paradojas.
Capítulo
9
331
Análisis
10
ObjetivOs
del
Correlación
5.4
capítulO:
lineal
de
momento-producto
óptimo;
variables
de
interpretación
Ecuación
5.4
de
la
bidimensional
recta
bidimensionales;
Pearson, r;
diagramas
matemática
de
regresión
y
de
de
y
de
coeciente
dispersión,
de
correlación
rectas
de
ajuste
contexto.
sobre
x;
uso
de
la
ecuación
para
realizar
predicciones.
an
Qué
1
omnzr
necesitamos
Calcular
potencias
saber
positivas
Comprobemos
sencillas
1
ejemplo:
Evaluar
5
3
2
3
7
4
3
habilidades
Evalúe:
4
Por
nuestras
3
=
3
×
3
×
3
×
3
=
8
3
3
⎛
Por
ejemplo:
2 ⎞
Evaluar
⎜
⎝
7
⎟
5
1 ⎞
⎛
⎠
⎜
⎟
2
⎝
⎠
3
3
⎛
2 ⎞
⎜
⎝
2
×
2
×
2
5
×
5
×
5
=
=
⎟
5
2
4
3
5
⎠
3
⎛
8
⎜
⎞
⎟
4
⎝
⎠
=
3
f
125
2
Escribir
números
en
forma
exponencial
2
0,001
Indique
el
valor
n
Por
ejemplo:
2
2
Hallar
n,
si
2
=
8
ecuaciones:
n
×
×
2
=
2
=
16
=
243
=
343
=
625
8
n
3
3
2
=
n
8
7
n
n
=
5
3
n
(–4)
=
–64
n
f
⎛
1 ⎞
⎜
⎟
⎝
332
Análisis bidimensional
2
⎠
1
=
8
de
n
en
las
siguientes
En
956,
un
establecer,
solar
y
el
con
del
lo
tanto,
país
de
que
la
que
gr upo
datos.
8
una
que
se
estaba
tasas
fue
de
y
la
altas
que
antes
fue
ocupamos
estudia
se
con
es
entre
el
del
n
de
los
los
del
la
estados
ubicados
de
tasas
el
de
al
una
de
con
la
sur.
Las
x
y
unidades
adultos
y
los
contienen
por
las
El
pares
peso
de
estaturas
de
de
de
como
de
par te
estudiar
todos
tomar
de
la
los
hombres
los
y
son
pares
los
(x, y)
pesos
de
ozono.
tarea
piel.
Allí
de
basadas
la
de
vr()
Población
muestreo
hombres
compuestos
Hombres
adultos
Estatura
Unidimensional
Hombres
adultos
Peso
Unidimensional
Hombres
adultos
Estatura,
Bidimensional
peso
los
muestra.
mnon
variables
y
,
población.
adultos.
los
los
norte
miembros
decisiones
luz
no
de
cuidadosa
cáncer
en
latitud
al
análisis nmnon .
mnon
nuestra
análisis
de
y
muestreo
datos
todos
individuos
➔
el
Y
capa
la
entre
la
situados
en
a
piel
Unidad
estatura
primero
exposición
cáncer
agujero
de
fue
relacionada
resultado
dene
una
queremos
Lancaster,
tasa
solar:
comparación
oón
que
relación
que
luz
Lancaster
Una mr
Supongamos
de
más
Oliver
fuertemente
bastante
datos
nos
una
Observó
cantidad
esto
de
capítulo
dijimos
en
con
recolección
el
piel.
Australia
descubrimiento
En
un
de
registraban
olvidemos
El
en
australiano,
fundamentos,
cáncer
caucásicos
por
estadístico
(x, y)
en
se
un
ocupa
de
conjunto
la
de
relación
entre
los
datos.
Capítulo
10
333
En
este
datos
y
capítulo
usando
usando
buscaremos
grácos,
una
escala
para
ingón:
La
torre
pronto
Las
del
comenzó
décimas
1975
la
de
a
que
torre
de
la
inclinarse
se
dan
milímetros,
torre
describir
la
campanario
medidas
asociaciones
representando
estaba
a
la
hacia
un
a
Pisa
la
par tir
2,9642
de
muestran
de
los
metros
conjuntos
por
medio
de
de
una
ecuación
relación.
de
fue
costado:
continuación
medidas
de
inclinada
de
dos
relación
fuerza
catedral
inclinada
entre
una
Pisa
construida
ahí
la
2,9
su
en
y
nombre.
inclinación
metros.
respecto
1178
de
Así,
la
en
en
ver tical.
Año
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Inclinación
642
644
656
667
673
688
696
698
713
717
725
742
757
¿Parecería
Si
es
¿Hay
así,
pruebas
¿Existe
.
la
inclinación
rápido
de
alguna
¿Puede
Una
que
¿cuán
que
está
la
fórmula
predecir
la
de
inclinación
que
presentar
con
en
el
la
el
tiempo?
inclinación
cambia
permita
inclinación
dgrm
forma
aumenta
aumentando
de
la
torre
signicativamente
calcular
un
valor
con
con
aproximado
el
de
el
transcurso
transcurso
la
Los
rón
datos
bidimensionales
es
mediante
un
(también
rón
llamados
nubes
se
usan
para
investigar
posibles
relaciones
de
entre
forma
grado
o
variables
relacionadas
con
un
mismo
de
relación
el
hecho
puntos
de
que
propósito
en
qué
➔
de
que
emplean
representan
muy
una
relación
los
dos
horizontales
Sin
afecta
variables
a
la
a
y
los
grácos
ver ticales
embargo,
diagrama
de
para
tienen
dispersión
de
líneas,
en
situar
el
nombre
Para
dibujar
debemos
un
situar
gráco
en
un
de
poder
una
muestra
El
establecer
hacer
sobre
variable,
basándonos
en
sabemos
la
de
lo
que
otra.
de orrón
dispersión,
gráco
de
predicciones
Para
➔
entre
correlaciones
es
un
otra.
recibe
el
“suceso”.
similares
datos.
Un
variable
entre
son
ejes
a
especíco.
medida
La
dispersión
medir
variables.
objetivo
diagramas
de
asociación
dos
dos
Los
es
orrón
rón
grm
puntos)
tiempo?
futuro?
una
➔
del
tiempo?
inclinación?
La
grm
del
la
los
el
ejemplo
torre
Pisa,
de
inclinada
pensamos
de
que
y
valores
(x,
mediante
y)
de
la
tabla
pequeños
de
la
datos
círculos.
inclinación
con
El
el
tiempo
patrón
determinado
por
los
aumenta
tiempo.
es
la
El
variable
círculos
nnn .
puede
dar nos
alguna
indicación
inclinación
dependiente
acerca
de
la
r
estar
en
r
334
el
depende
correlación.
del
La
La
Variable
debe
nnn
eje
horizontal
nn
Análisis bidimensional
en
y
la
el
eje
tanto,
0
ver tical.
tiempo,
Variable
independiente
x
de
la
por
cantidad
inclinación
variable
lo
es
la
nn
➔
Una
tendencia
muestra
una
general
ascendente
correlación
en
el
patrón
de
los
círculos
o
y
El
valor
de
la
variable
dependiente
crece
a
medida
que
crece
7
6
el
valor
de
la
variable
independiente.
5
4
3
2
1
0
➔
Una
tendencia
muestra
La
variable
una
general
descendente
correlación
dependiente
en
el
patrón
de
los
x
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
círculos
ng
decrece
a
medida
que
crece
la
y
variable
7
independiente.
6
5
4
3
2
1
0
➔
Un
conjunto
tendencia
de
círculos
podría
indicar
dispersos
una
que
no
correlación
presentan
cercana
x
ninguna
a ro
y
7
6
5
4
3
Los
diagramas
una
correlación.
de
correlación
de
dispersión
Los
nos
siguientes
permiten
son
evaluar
ejemplos
de
la
fuerza
distintos
0
y
10
10
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
x
3
Correlación
crece
a
4
5
6
7
positiva
medida
que
8
9
10
fuer te:
crece
y
x
y
10
2
2
1
grados
positiva:
y
1
de
1
0
x
1
2
3
Correlación
4
5
6
7
positiva
8
9
10
moderada
0
x
1
2
3
Correlación
4
5
6
7
positiva
8
9
10
débil
x
Capítulo
10
335
Los
siguientes
son
ejemplos
de
distintos
grados
de
correlación
negativa:
y
y
y
10
10
10
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
2
3
4
Correlación
a
0
x
1
medida
No
5
7
8
negativa
que
todas
6
crece
las
9
x
10
fuer te:
1
y
decrece
2
3
4
Correlación
5
6
7
negativa
8
9
0
10
x
1
2
3
Correlación
moderada
4
5
6
7
8
negativa
9
10
débil
x
correlaciones
son
lineales.
y
10
9
8
Los
puntos
en
este
gráco
responden
a
una
7
6
forma
aproximadamente
lineal.
5
4
3
2
1
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
9
8
7
Los
puntos
en
este
gráco
se
representarían
6
5
mediante
una
cur va.
4
Existe
una
correlación
no
n
3
entre
2
las
variables.
1
0
x
Causalidad
➔
Que
exista
correlación
necesariamente
He
a
aquí
la
ejemplo:
escuela
una
del
un
signica
la
primaria
correlación
calzado,
y
el
que
talla
el
positiva
mayor
entre
dos
uno
de
conjuntos
sea
zapato
vocabulario
fuer te.
En
vocabulario
causado
de
de
otras
del
los
los
de
datos
por
el
otro.
estudiantes
estudiantes
palabras,
estudiante.
a
no
que
van
presentan
mayor
Ahora,
número
es
fácil
La
oposición
entre
“causalidad”
ver
que
la
talla
de
zapato
y
el
vocabulario
no
tienen
“correlación”
nada
que
ver
la
una
con
el
otro,
pero
sí
existe
una
fuer te
las
variables.
La
razón
es
que
existe
el
punto
edad.
Los
estudiantes
de
grados
superiores
tendrán
tallas
para
de
exploración.
zapato
336
más
grandes
Análisis bidimensional
y
a
menudo,
mayor
de
un for onfón :
par tida
la
puede
correlación
ser
entre
y
absolutamente
vocabulario.
una
emo
Represente
estos
datos
en
un
diagrama
x
1
2
3
4
4
6
6
6
7
8
y
1
3
3
5
6
7
5
6
8
9
¿Se
Describa
trata
de
el
una
tipo
relación
y
la
lineal
fuerza
de
o
la
no
de
dispersión.
lineal?
relación.
Respuestas
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
2
Esta
es
4
una
6
8
relación
n
Comparar
con
Existe
una
o
Describa
correlación
de
presentada
dispersión
en
cada
uno
de
los
siguientes
dispersión.
x
y
0
x
y
0
de
anteriores
10A
y
0
diagrama
fr
la
diagramas
el
ejemplos
correlación
Ejercitación
1
los
x
y
0
x
y
0
x
Capítulo
10
337
2
Para
los
siguientes
conjuntos
de
datos:
¿Se
trata
de
una
correlación
¿Se
trata
de
una
relación
lineal
¿Se
trata
de
una
relación
fuer te,
positiva,
o
no
de
moderada,
y
4
3
3
2
2
1
1
0
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
f
y
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
1
2
3
4
complete
variables
correlación
variable
5
6
7
estas
8
9
correlación
independiente
negativa,
Análisis bidimensional
y
entonces
la
a
y
entonces
variable
dependiente
medida
variable
independiente
la
x
oraciones.
positiva,
independiente,
0
10
independiente,
variables
x
y
10
0
338
5
6
5
las
4
7
6
Si
3
8
7
2
9
8
las
x
1
10
9
la
y
5
4
Si
nula?
6
5
y
o
7
6
débil
8
7
Copie
o
9
8
3
negativa,
10
9
correlación
lineal?
10
una
que
medida
dependiente
que
una
crece
dependiente
dependiente
a
muestran
…………………
muestran
crece
la
una
variable
…………………
no
hay
asociación?
Esta
4
tabla
muestra
Año
Lluvia
Muestre
Describa
En
Esta
5
y
en
Tennessee,
en
cm,
desde
2000
a
2008.
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
51
39
44
31
33
30
28
21
datos
en
un
diagrama
de
dispersión.
correlación.
general,
tabla
caída
42
estos
la
lluvia
2000
caída
la
¿qué
muestra
ha
un
ocurrido
gr upo
de
con
la
caída
amigos
con
de
sus
lluvia
desde
el
calicaciones
año
en
2000?
matemáticas
ciencias.
Amigo
T
omás
Daniel
Luisa
Pablo
Diego
Juana
Lucas
José
Matemáticas
85
75
66
80
70
95
90
60
Ciencias
75
65
40
72
55
88
80
40
1
Dibuje
un
2
Describa
diagrama
la
de
correlación
ingón:
la
dispersión
en
para
términos
torre
de
representar
fuerza,
inclinada
de
estos
dirección
datos.
y
forma.
Pisa
(continuación)
Elabore
un
diagrama
de
dispersión
para
los
exror
datos
de
la
investigación
de
la
torre
en
de
Pisa
presentada
al
comienzo
de
este
Describa
¿Qué
la
un
con
la
inclinación
a
medida
.
los
salvar
los
l
es
que
concreto,
tendencia
mantendrá
sobre
que
datos
mayor
(o
tenemos.
menor)
En
este
signica
en
la
suponer
inclinación
que
se
años?
Investigue
por
valor
que
la
los
un
correlación.
ocurre
pasan
punto
los
caso
estimar
capítulo.
que
signica
inclinada
a
últimos
la
torre
peligros
r
avances
inclinada
de
la
en
de
los
constante.
esfuerzos
Pisa.
Comente
extrapolación.
ómo
y
➔
Una
r
dispersión
variables
y
para
ómo
hallar
mostrar
su
la
se
dibuja
dirección
tendencia.
en
sobre
la
Esta
un
diagrama
asociación
recta
de
entre
ajuste
de
dos
óptimo
(x, y)
puede
➔
Para
recta
luego
usarse
dibujar
que
una
de
ella
de
ella.
Se
puede
de
referencia
y
se
calcula
media
de
recta
permita
encima
el
de
el
un
de
a
media
coordenadas
óptimo
número
y
de
a
la
de
ojo,
de
puntos
mejor
per tenezca
la
predicciones.
ajuste
número
lograr
hallando
las
hacer
equilibrar
con
que
para
que
trazado
recta.
las
los
se
dibuja
puntos
hay
que
por
situando
Este
es
por
0
x
debajo
un
punto
el no mo
coordenadas x
puntos.
una
hay
y
la
El
punto
escribe
(
medio
x
y
se
)
Capítulo
10
339
emo
¿Existe
una
comidas
relación
entre
los
gramos
de
grasa
t
o
Hamburguesa
Hamburguesa
con
Cuar to
de
libra
Cuar to
de
libra
Hamburguesa
Sandwich
Pollo
F ilet
de
queso
con
queso
gigante
tostado
pollo
frito
de
pescado
Pollo
a
la
parrilla
Pollo
a
la
parrilla
Halle
la
Halle
la
Elabore
Sitúe
una
el
total
de
calorías
de
las
rápidas?
com
Alitas
y
el
de
media
del
un
de
medio
ajuste
gramos
número
diagrama
punto
recta
los
de
en
de
de
de
calorías
260
13
320
21
420
30
530
31
560
31
550
34
590
25
500
28
560
20
440
5
300
grasa.
calorías.
dispersión
su
Total
(g)
9
liviano
media
gr
para
diagrama
de
estos
datos.
dispersión
y
úselo
para
dibujar
óptimo.
Respuestas
247
Media de los gramos de grasa
=
De
11
de
Total
gramos
de
aquí
grasa
=
=
Número de
22, 45
(x,
comidas
y )
=
& &
(22, 45;
&
457, 27)
5030
Media del
número de calorías
=
Media del
número de
calorías
11
Total
=
457, 27
del
número de
Número de
y
calorías
=
A
comidas
la
“recta
de
ajuste
óptimo”
también
Calorías
se
El
punto
(0,0)
no
la
llama
r
necesariamente
600
per tenece
a
la
recta
de
rgrón.
El
ajuste
500
cientíco
óptimo.
Punto
medio
( x,
El
punto
medio
sí
y
estadístico
per tenece
y )
británico
400
a
la
recta
y
además
debe
Francis
(1822–1911)
aproximadamente
300
el
mismo
puntos
a
cada
lado
de
la
regresión
misma.
200
siglo
100
0
10
20
Gramos
340
Análisis bidimensional
30
de
40
grasa
acuñó
el
número
término
de
Galton
quedar
XIX.
en
el
Ejercitación
La
1
de
siguiente
una
hoja
tabla
de
árbol
de
la
relación
mango,
entre
medidos
la
en
longitud
y
el
ancho
milímetros.
35
50
78
80
95
105
118
125
136
145
Ancho
25
30
38
50
36
42
52
48
58
62
Halle
Elabore
La
el
tabla
punto
un
Estatura
de
Elabore
ajuste
tabla
La
un
Horas
Aumento
las
años
de
medio.
estaturas
de
recta
y
los
pesos
de
diez
edad.
Juan
Laura
Diego
Ana
Iván
Luca
182
173
162
178
190
161
180
172
167
185
73
68
60
66
75
50
80
60
56
72
estatura
el
la
punto
una
Abel
media
que
de
pase
muestra
aumento
por
el
El
el
peso
las
y
punto
número
en
calicación
dispersión
estudio
en
el
dibuje
Sara
siguiente
de
muestra
diagrama
y
por
y
Ema
óptimo
matemáticas
dispersión
Luis
(kg)
Halle:
de
pase
dieciséis
(cm)
La
que
siguiente
Nombre
Peso
medio.
diagrama
óptimo
estudiantes
3
muestra
Longitud
ajuste
2
10B
de
medio
dibuje
una
recta
de
medio.
horas
calicaciones
dedicadas
de
los
a
estudiar
estudiantes.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
1
3
7
9
9
8
10
14
¿Cuáles
Halle
el
Elabore
punto
un
riesgos
medio.
diagrama
de
dispersión
y
dibuje
una
recta
Un
de
óptimo
que
pase
por
el
punto
de
tema
para
ajuste
son
los
extrapolar?
interesante
explorar
extrapolación
Describa
¿Qué
la
en
la
los
correlación.
modelos
puede
es
medio.
decir
acerca
del
número
de
horas
dedicadas
nancieros
o
a
climáticos.
estudiar
La
ecuación
por
Los
el
datos
recta
➔
La
la
primarios
de
raramente
ecuación
r
aumento
de
se
en
ajuste
ajustan
deberemos
diagrama
ajuste
el
recta
aproximadas.
cuyo
y
las
calicaciones?
óptimo
que
pasa
medio
Generalmente,
predicciones
la
de
punto
datos
exacta.
de
matemáticas
de
a
una
recta
conformar nos
Normalmente,
dispersión
con
tendremos
parece
de
manera
hacer
un
ajustarse
a
conjunto
una
recta,
óptimo.
de
la
recta
rgrón ,
se
de
ajuste
puede
óptimo,
utilizar
para
también
hacer
llamada
predicciones.
Capítulo
10
341
emo
A
de
continuación
una
se
asignatura
muestran
escolar,
Estudiante
Trabajo
de
Examen
Ana
no
clase
nal
asistió
Halle
la
Halle
la
Elabore
al
las
notas
calicados
de
10
un
en
máximo
el
de
trabajo
100
de
clase
y
en
el
examen
nal
puntos.
Liz
Juan
Uma
Félix
Juana
Axel
Raúl
Luca
Ana
Luis
95
66
88
75
90
82
50
45
80
84
95
59
85
77
92
70
40
50
Aus
80
examen
nal.
No
incluya
media
de
las
notas
del
trabajo
media
de
las
notas
del
examen
un
estudiantes
sobre
diagrama
de
dispersión
y
sus
de
notas
en
el
cálculo
del
punto
medio.
clase.
nal.
dibuje
una
recta
de
ajuste
óptimo
que
pase
por
el
punto
medio.
Halle
la
Utilice
ecuación
la
de
ecuación
la
de
recta
la
de
recta
regresión.
de
regresión
para
estimar
la
nota
de
Ana
en
el
examen
nal.
Respuestas
Total
Media
de
notas
del
trabajo
de
clase
de
notas
del
trabajo
de
clase
=
Número
de
estudiantes
675
Media de notas del
trabajo de clase
=
=
75
9
Total de notas del examen
Media de notas del
examen
final
final
=
Número
de
estudiantes
648
Media de notas del examen
final
=
=
72
9
100
lan
80
nemaxe
Punto
medio
60
led
40
atoN
20
0
20
40
Nota
del
60
trabajo
80
de
100
clase
y
Usando
el
punto
medio
y
las
notas
de
Uma,
tenemos
y
2
Usar
m
donde
x
(x
, y
1
)
=
(75, 72);
(x
1
, y
2
)
=
(88, 85)
m
, y
1
=
1
) es el punto medio
1
y (x
, y
2
88
La
y
–
) es cualquier
2
75
ecuación
72
1
2
72
=
x
2
(x
85
1
=
=
1(x
de
–
la
recta
punto
de
y
=
la
recta.
Usar
es:
−
y
m(x
1
75)
− x
) para
1
la ecuación de la recta.
y
=
y
=
x
–
80
3
–
3
=
77
La nota del trabajo de
La
nota
estimada
del
examen
nal
de
Ana
es
77.
clase de Ana era 80.
El
uso
dentro
de
la
del
recta
rango
Generalmente
342
Análisis bidimensional
de
de
es
regresión
un
más
para
conjunto
conable
de
predecir
datos
que
la
se
un
valor
llama
que
está
nroón.
extrapolación.
Sea x = 80.
Ejercitación
PREGUNTAS
1
Una
10C
TIPO
enfermedad
cientíca
afecta
seguimiento
Temperatura
Porcentaje
Dibuje
punto
Halle
Use
de
2
Los
llamada
especializada
inver nadero
un
EXAMEN
del
(x
de
un
a
la
tizón
en
está
agricultura
enfermedad.
porcentaje
de
afectadas
diagrama
de
desea
Con
hojas
(y)
en
riesgo
saber
ese
n,
en
a
qué
diseña
afectadas
a
las
plantas
medida
un
la
distintas
74
76
78
80
12,3
9,5
7,7
6,1
4,3
2,3
con
una
recta
de
tomate.
temperatura
para
ecuación
ecuación
estudios
de
de
de
la
para
recta
de
estimar
mercado
ventas
(miles
Ventas
de
para
las
regresión
que
pase
por
el
el
regresión.
porcentaje
a
estrenar
Halle
el
precio
medio
Halle
la
media
del
Dibuje
que
pase
a
el
en
de
de
punto
de
estrenar
el
las
número
diagrama
por
inversiones
£)
de
casas
un
en
casas
de
hojas
afectadas
a
una
temperatura
año
de
bienes
raíces
diferentes
revelaron
precios
las
durante
siguientes
el
año
la
ecuación
de
180
200
220
240
260
280
126
103
82
75
82
40
20
casas.
de
ventas.
dispersión
con
una
recta
de
regresión
medio.
la
recta
de
regresión.
su
ecuación
para
estimar
el
número
vendido
de
de
en
línea:
ejercicios
el
análisis
y
ejercitación
sobre
la
recta
de
coordenada
intersección
hizo
un
estudio
para
investigar
la
relación
entre
la
edad
en
un
niño,
x,
y
el
tiempo
en
que
puede
correr
un
kilómetro,
t.
eje
datos
de
niños
de
edades
entre
7
y
18
años.
La
la
recta
de
regresión
resultó
ser
y
x
x.
= 20
Inter prete
el
valor
de
y
el
punto
de
intersección
con
el
eje
y
es
con
la
altura
la
=
recta
0,
y
cuando
habrá
casos
la
2
pendiente
la
ecuación
1
de
de
Se
de
recolectaron
y
años
el
de
Más
regresión
La
Se
10:
bidimensional
£230 000.
ejemplos
emo
ampliación
en
casas
sobre
valuadas
de
disponible
Hoja
Use
pasado.
160
Material
Halle
Más
hacer
medio.
la
su
Precio
del
75 °F
.
cifras
Una
temperaturas.
72
dispersión
de
experimento
70
°F)
hojas
poniendo
y
en
los
no
tenga
que
este
Deberemos
Respuesta
valor
sentido.
cautelosos
ser
a
la
hora
1
En
el
contexto
de
la
pregunta,
podemos
La
pendiente
es
−
.
Esto
de
interpretar
el
2
decir
que
que,
en
cumple,
promedio,
el
niño
por
tarda
cada
30
año
segundos
signica
de
1
en
que
x,
por
hay
cada
una
aumento
disminución
signicado
de
intersección.
esta
A
veces,
1
(medio
minuto)
menos
en
el
correr
de
en
valor
x
=
0
es
y.
2
un
kilómetro.
punto
es
de
no
esta
intersección
pertinente
años
Para
puesto
puede
pregunta,
con
que
correr
un
el
un
eje
y
niño
imposible
el
no
de
kilómetro.
0
El punto de intersección con el eje
una
y es (0,20), lo que signica que
peligrosa,
cuando x es 0, y es 20.
rango
o
representa
extrapolación
de
fuera
los
del
datos.
Capítulo
10
343
emo
Una
bióloga
hectárea,
la
x,
ecuación
pendiente
quiere
y
el
de
y
el
estudiar
número
la
recta
punto
de
de
de
la
relación
pájaros
entre
por
regresión
y
intersección
el
número
hectárea,
obtiene
con
el
y
eje
y.
=
y
8
e
de
Con
+
árboles
este
5,4x.
n,
por
calcula
Indique
la
Vemos
interprételos.
estas
Respuesta
La
siguen
pendiente
podremos
punto
que
de
no
es
tienen
cada
punto
En
1
de
caso
Una
de
días
de
horas
x,
y
Un
de
a
la
al
7
Un
a
+
es
por
cada
pájaros
(0,8),
por
lo
árbol
más
que
que
por
agregamos,
hectárea.
signica
que,
recta
El
en
en
áreas
el
que
un
mismo
eje
de
que
que
sociales
que
=
una
la
0,5
persona
persona
son
y
el
per tinentes.
sobre
el
deportes, x,
a
sus
está
tareas
dada
relación
conoce
la
entre
fuma
está
que
pendiente
el
número
escolares, y.
por y
entre
culpable
la
y
número
el
de
=
40
–
0,3x
número
un
persona, y.
de
delito,
Se
encontró
6x
relación
de
dedica
declarada
que
datos
practica
la
si
la
porqué.
relación
sido
+
el
recogió
investigar
ha
la
la
indique
inter prételos
indique
criminales
y
e
estudiante
quiere
es
y,
estudiante
persona
de
situaciones,
el
por
enferma
ecuación
número
día, x,
en
el
de
es
gr upo
de
a
y
de
las
su
=
quiere
negocio
–5
+
y
de
el
paquetes
número
año, y.
la
recta
El
de
de
doctor
regresión
es
cada
de
calicaciones
recta
en
de
Análisis bidimensional
investigar
año, x.
el
La
número
ecuación
de
de
clientes, y,
la
recta
de
100x
profesores
calicación
la
patines
matemáticas
de
ciencias,
y,
regresión
y
los
y
=
la
y
de
exámenes
ciencias
que
calicación
–10
+
0,8x
y
que
hectárea.
2,4x
comparar
344
5,4
pájaros
ciencias
investiga
llegaron
dieron
con
conclusión
regresión
Un
de
ecuación
la
8
y
siguientes
policía
una
año
eje
per tinentes,
el
vendedor
que
La
ser
cigarrillos
=
las
año
médico
llega
5
de
número
la
hay
conclusión
de
el
que
de
en
quisieron
habían
todas
un
patrón:
nn
10D
que
que
el
días
y
por
jefe
que
4
no
de
Un
con
árboles,
profesora
veces
3
una
signica
promedio
intersección
Llegó
2
Esto
un
intersección
Ejercitación
Para
5,4.
esperar
que
interpretaciones
tomado.
matemáticas,
x,
es
por
el
de
la
la
aumento
cada
aumenta
unidad
x
.
El
Rgrón
término rgrón
de
otros
contextos.
examinar
ambas
padre
tener
la
están
alto
dirección
describir
a
hay
para
la
al
media.
de
trazarla
y
,
la
los
óptimo
presentará
El
clases
lo
la
La
tanto,
el
recta
es
que
de
de
de
primera
hijos.
un
que
,0.
Un
bajo,
ahora
para
supuesto,
retrocede
usa
diferente
vez
Por
padre
hijos
se
la
un
medio
que
solo
e
menor
él;
los
entre
elaborar
punto
porque
por
bastante
tiende
a
en
para
cur vas.
fuerte
regresión)
la
de
modo
padres
“regresión”
inclinación
positiva
hallar
de
bajos
un
utilizó
de
estatura
ajustes
la
se
de
pendiente
más
término
de
inexactitudes
por
pero
él.
que
estaturas
Podemos
datos,
(recta
las
ro
estadística
método
de
torre.
en
hijos
que
correlación
ilustrar
ajuste
tener
problema
una
inclinación
un
entre
altos
muchas
Volvamos
que
más
a
mnmo
usa
relacionadas,
tiende
hijos
se
Es
relación
pasa
torre
el
Pisa.
diagrama
y
dibujar
por
contamos
óptimo
de
número
el
de
un
está
Sabemos
años
y
la
dispersión
una
punto
con
ajuste
de
recta
medio.
punto
de
La
recta
para
dibujada
“a
ojo”.
y
Existe
recta:
otro
los
recurso
para
mejorar
el
trazado
de
la
ro
Punto
obser vado
(x
y )
i
Residuo
=
y
–
i
Punto
de
i
y
p
predicción
(x
y
p
0
➔
Se
llama
gráco
El
residuo
del
El
del
al
es
la
a
la
distancia
ecuación
positivo
si
el
de
ver tical
entre
un
x
punto
y
el
regresión.
punto
está
por
y
encima
gráco.
residuo
El
ro
de
)
p
es
negativo
si
el
punto
está
por
Residuo
positivo
Residuo
negativo
Residuo
cero
debajo
gráco.
residuo
es
0
solo
cuando
el
punto
per tenece
gráco.
0
La
La
ecuación
recta
de
de
la
regresión
recta
de
de
mínimos
regresión
cuadrados
de y
usa
la
sobre
fórmula
x
x
que
ya
y
(3, 5)
5
conocemos,
y
–
=
y
m(x
–
x
),
pero
incor pora
el
método
de
los
r
mínimos
cuadrados
para
hallar
un
valor
adecuado
para
4
la
(1, 3)
pendiente,
m.
3
p
2
➔
La
recta
de
minimiza
regresión
la
suma
de
de
mínimos
los
cuadrados
cuadrados
de
los
es
aquella
q
que
1
residuos.
(2, 1)
2
Remitiéndonos
aproxime
a
al
cero
diagrama,
tanto
como
el
objetivo
sea
es
hacer
que p
2
+
q
2
+
r
se
x
0
1
2
3
4
5
posible.
Capítulo
10
345
La
fórmula
La
que
fórmula
de
resulta
para
regresión
es
hallar
un
la
tanto
complicada:
pendiente
(m)
de
la
La
primera
aplicación
de
regresión
que
se
del
concepto
conoce
es
el
recta
método
de
los
mínimos
que
publicado
cuadrados
es:
fue
por
Legendre
S
xy
➔
m
,
=
en
donde
1805,
y
por
Gauss
cuatro
años
2
(S
)
x
más
tarde.
aplicaron
(∑
S
=
∑
xy
x
)(∑
y
Legendre
el
método
y
Gauss
al
problema
de
)
y
xy −
determinar,
a
par tir
de
obser vaciones
n
astronómicas,
las
órbitas
de
los
2
2
(S
(∑
2
)
=
x
∑
x
x
)
cuerpos
alrededor
del
Sol.
−
n
∑
emo
es
“S”
la
y
letra
se
la
usa
instrucción
Use
la
fórmula
ecuación
(3,5)
del
de
la
de
la
recta
diagrama
regresión
de
de
de
regresión
la
página
mínimos
que
pasa
cuadrados
por
los
para
puntos
hallar
(1,3),
sumar
la
(2,1)
y
la
los
como
para
datos.
signica
todos
345.
griega
∑ xy
suma
valores
de
xy
Respuesta
(∑
S
=
∑
xy
x
)(∑
y
)
2
x
xy
y
xy
Los
x
tér minos
n
6
=
20
×
1
3
3
1
2
1
2
4
3
5
15
9
6
9
20
14
en
la
f ór mula
9
–
3
=
2
2
(S
)
(∑
2
2
=
x
x
La
suma
de
)
cada
columna
x
∑
n
2
6
=
14
–
3
=
La
2
ecuación
regresión
de
la
recta
de
es:
S
xy
y
–
=
y
2
(S
x
(x
x
)
La
recta
de
regresión
)
de
y
se
puede
sobre
x,
que
2
y
–
3
=
(x
–
2)
El
punto
medio
(
x ,
y
)
es
usar
para
(2, 3).
2
estimar
y
Ahora
de
la
=
x
+
que
recta
1
valor
hemos
de
visto
cómo
regresión,
de
funciona
ahora
en
la
fórmula
adelante
para
la
de
pantalla
gráca
(en
adelante,
podremos
CPG)
para
usar
y
espera
ecuación
346
que
de
en
la
Análisis bidimensional
los
recta
exámenes
de
se
regresión.
use
la
CPG
para
las
secciones
5.16
capítulo
Se
el
la
hallarla.
5.15
➔
sabiendo
x
ecuación
Véanse
calculadora
y,
de
hallar
la
17.
en
el
emo
La
tabla
muestra
aeropuer to
Use
su
de
la
distancia
Changi,
calculadora
aproximadamente
con
la
recta
Escriba
la
de
en
kilómetros
Singapur,
para
un
ajuste
ecuación
a
doce
y
las
Distancia
Use
la
vuelo
ecuación
de
178
370
138
612
94
1216
278
409
158
1502
258
946
198
998
188
189
98
787
179
210
138
737
98
dibujar
diagrama
de
dispersión
óptimo.
de
para
576
destinos.
la
recta
de
ajuste
óptimo.
Tarifa
estimar
el
costo
de
un
1000 km.
Respuestas
y
=
0,117x
+
83,3
Generalmente,
resultados
costo
=
=
(0,117
×
1000)
+
Costo
83,3
=
Dólares
$200,30
a
se
tres
$(0,117
y
deberá
cifras
×
aproximar
distancia
centavos,
los
signicativas.
con
dos
+
83,3)
cifras
decimales
Ejercitación
Para
realizar
10E
esta
ejercitación
se
requiere
el
uso
de
la
CPG.
No
1
Se
y
administra
se
mide
la
medicación
medicación
por
concentración
a
inter valos
de
en
goteo
a
sangre
una
un
de
hora.
par tir
no
doctores
de
que
existirá
una
relación
lineal
entre
las
x
(horas)
Concentración
Muestre
la
recta
Escriba
Halle
de
la
3,5
los
de
la
y
0
1
2
3
4
5
6
2,4
4,3
5,0
6,9
9,1
11,4
13,5
datos
ajuste
en
un
diagrama
de
predecir
después
de
ecuación,
si
lineal.
idea
la
El
8
la
horas
puesto
relación
proceso
a
que
continuará
de
tratar
variables.
de
T iempo
esta
sabemos
siendo
creen
buena
concentración
paciente
dicha
Los
sería
dispersión
predecir
fuera
del
un
valor
rango
de
que
datos
está
se
llama
xroón
con
óptimo.
ecuación
de
concentración
la
en
recta
de
sangre
regresión.
de
la
medicación
después
horas.
Capítulo
10
347
2
La
tabla
siguiente
malayos
(MYR)
Antigüedad
Costo
recta
el
de
Escriba
Estime
de
MYR)
precio
ajuste
la
el
los
(años)
(miles
Muestre
muestra
durante
del
valor
del
primeros
automóvil
siete
años
de
Jai
en
después
miles
de
0
1
2
3
4
5
6
7
30
25
21
19
18
15
12
10
automóvil
en
un
diagrama
de
de
ringgits
comprarlo.
dispersión
con
la
óptimo.
ecuación
de
la
recta
de
regresión.
1
el
costo
del
automóvil
de
Jai
luego
de
4
años.
2
Suponga
la
ecuación
de
3
La
Jai
no
cuida
será
transcurridos
tabla
de
que
un
siguiente
gimnasio
semana
y
Horas
para
su
automóvil.
estimar
el
costo
Explique
del
por
automóvil
qué
después
años.
muestra
el
bien
el
número
número
de
horas
de
personas
de
ejercicio
que
que
se
hicieron
hicieron
socios
durante
la
pasada.
de
de
Luis
Ana
Lía
Pía
Juan
José
Raúl
Iván
Liz
Ema
7
8
9
1
5
12
2
10
4
6
5
3
5
10
5
3
8
2
8
7
socios
ejercicio
Muestre
útil
50
Persona
Meses
muy
los
datos
en
un
diagrama
de
dispersión
con
la
recta
de
ajuste
óptimo.
Halle
Si
la
ecuación
Nino
ha
ejercicio
¿Podría
Nadia
4
Los
El
la
(cm)
diagrama
la
estatura,
de
y
estatura
de
Vuelva
a
ver
Halle
Dibuje
por
el
Halle
Use
y
el
la
su
tres
estimar
como
preocupados
con
el
60
86
90
91
94
95
=
y
7,95
a
los
usa
50
la
mostró
la
+
datos
recta
0,3833
años
recta
comente
de
la
estime
si
de
del
porque
una
cuántas
de
El
de
horas
de
de
baja
sus
positiva
de
porqué.
su
edad.
estaturas.
entre
cuadrados
quiere
la
edad
resultó
predecir
intervención
hacerlo.
hizo
el
para
fuerte
mínimos
alguna
para
ejercicio
Explique
parece
médico
prescribe
este
Sara
registro
regresión
EDAD
.
no
horas
gimnasio?
asociación
regresión
sobre
torre
cuántas
siguiente
57
dispersión
meses,
socia
51
Analice
la
(hormonas
predicción
procedimiento.
inclinada
de
Pisa.
medio.
de
dispersión
con
una
recta
de
regresión
medio.
ecuación
ecuación
Análisis bidimensional
para
cuenta
diagrama
punto
hace
48
punto
un
regresión.
36
luego
los
de
pasada.
años
están
niña
Sara
crecimiento),
médico
dos
nalmente,
ESTATURA
del
348
de
de
(meses)
desde
ecuación
después
pediatra
ser
5
la
recta
semana
Sara
Un
de
usar
la
de
Estatura
la
hizo
la
socio
padres
Edad
y
sido
de
de
la
para
recta
de
estimar
la
regresión.
inclinación
en
1990.
que
pase
.
Hasta
ver
si
cómo
este
hay
momento
una
caracterizado
correlación.
débil,
Ahora
y
o
x
orrón
un
(correlación)
o
hemos
fuer te.
sobre
usado
positiva
También
de
nos
hemos
relación
como
moderada
regresión
mmo
y
abocaremos
entre
negativa,
dicho
Luego
usamos
a
diagrama
que
dos
y
recta
clasicar
la
si
no
la
con
fuerza
de
hemos
puede
ecuación
nes
La
para
hay
correlación
hallamos
la
dispersión
variables.
cero,
la
de
de
la
ser
recta
de
predictivos.
una
correlación
Karl
numéricamente.
Se
utilizan
varias
escalas
para
tal
n;
Pearson
nosotros
(1857–1936)
estudiaremos
un
coeciente
de
correlación
desarrollado
primer
Karl
depar tamento
estadística
e
on
orrón
momno-roo
(denotado
con
r)
es
una
medida
de
la
correlación
entre
X
e
ampliamente
Y,
que
da
un
valor
entre
usado
en
las
ciencias
+
como
y
–
una
inclusive.
medida
de
la
dependencia
n
entre
dos
de
en
1911.
la
la
relación
entre
variables.
dos
es
variables
lineal,
este
no
entonces
coeciente
y
y
y
de
correlación
no
representa
adecuadamente
fuerza
entre
x
0
Correlación
positiva
perfecta
r
x
0
lineal
No
=
hay
correlación
r
=
Correlación
1
algunos
conjuntos
negativa
de
datos
más
y
sus
valores
de
las
la
lineal
perfecta
r
=
−1
valor
de
r,
el
de r :
correlación
Pearson,
=
relación
variables.
coeciente
r
la
x
0
0
El
aquí
de
Es
Si
fuerza
en
College
dos
Londres,
variables
de
pron
University
He
el
Pearson.
universitario
➔
fundó
por
de
de
indica
la
0,7
r
=
0,3
fuerza
entre
de
dos
la
relación
conjuntos
de
datos.
Capítulo
10
349
Para
la
correlación
negativa,
los
valores
de r
también
r
r
➔
La
fórmula
=
=
son
negativos:
–0,3
–0,7
para
hallar
el
coeciente
de
correlación
es:
S
xy
r
=
S
S
x
y
donde
2
(∑
S
=
xy
∑
x
y
)(∑
(∑
)
2
,
xy −
S
=
∑
x
x
x
)
Deberíamos
esta
n
n
fórmula
sección
2
(∑
2
S
=
∑
y
y
y
)
−
n
➔
Una
forma
Valor
0
<
0,25
0,5
≤
<
|r|
0,75
emo
Susana
r
de
≤
≤
<
|r|
Muy
el
de r
es:
débil
Moderada
0,75
Fuer te
1
8
de
cucharadas
en
el
número
coeciente
de
determinar
de
de
la
fer tilizante
orquídeas
correlación
Cucharadas
fer tilizante
x
para
que
de
de
fuerza
de
la
correlación
plantas
crecen
Pearson
en
que
la
para
número
de
1
2
B
2
3
C
3
8
D
4
7
Análisis bidimensional
y
inter pretar
en
el
Use
número
incremento
la
la
el
fórmula
del
relación.
el
orquídeas
A
entre
utiliza
planta.
Incremento
{
350
valor
Débil
0,5
≤
inter pretar
Correlación
0,25
|r|
quiere
Planta
de
|r|
<
rápida
reconocer
y
−
Continúa
y
en
la
página
siguiente.
de
anterior
.
la
Respuesta
En
2
(∑
S
=
∑
xy
xy
x
)(∑
y
Planta
x
y
xy
A
1
2
2
el
examen
se
2
x
y
espera
que
se
utilice
)
−
1
4
la
CPG
para
calcular
r.
n
10 × 20
60 −
=
B
2
3
6
4
9
C
3
8
24
9
64
Aquí
hemos
= 10
la
4
fórmula
tabla
D
4
7
28
16
49
10
20
60
30
126
2
=
∑
x
x
(∑
2
S
mostrado
x
y
para
una
ayudar
comprender
)
Total
obtiene
−
el
cómo
valor
.
a
se
Véase
n
la
sección
5.16
en
el
2
capítulo
10
30 −
=
17.
5
=
4
2
S
=
∑
y
y
(∑
2
y
)
−
La
n
regresión
correlación
2
y
la
nos
20
=
126 −
=
26
permiten
comparar
4
dos
S
datos
10
xy
r
=
=
S
≈
para
5
y
que
a
mayor
ser
de
aumento
en
el
número
El
valor
de
r
de
Si
de
dos
están
basándonos
existe
Programa
tanto,
correlación
variables
una
que
una
un
una
del
fuer te.
los
valores
correlación
Diploma
con
una
un
correlacionadas,
en
encargado
estudiantes
vida
de
del
de
positiva
IB
y
podemos
la
otra.
fuer te
los
admisiones
alta
elegirá
entre
logros
que
probabilidad
bien
la
fórmula
estudiantes
parece
evaluar
el
valor
de
r
producto
con
altas
complicada
a
Por
del
lo
seleccionar
rendimiento
calicaciones
primera
resulta
bastante
sencillo.
de
valores
en
la
en
el
IB.
vista,
hacer
la
A
par tir
de
métodos
estadísticos
para
serían
analizar
tabla
el
y
el
sabemos
calicaciones
universitarios.
buen
los
ejemplo,
las
procura
de
predecir
Por
útiles
Si
y
interno
país.
¿Qué
universidad,
relación
expectativa
0,877
bruto
indica
la
de
de
orquídeas.
la
fer tilizante,
entre
mayor
ejemplo,
interesante
número
explorar
cucharadas
Por
positiva
podría
de
si
alguna
26
correlación
signica
ver
haber
conexión.
Una
de
0, 877
puede
S
x
conjuntos
rendimiento
de
un
ahora,
negocio?
usaremos
la
calculadora
para
hallar
el
valor
de r
Capítulo
10
351
Ejercitación
1
Nueve
10F
estudiantes
español.
La
describa
la
tabla
hicieron
muestra
correlación
un
los
entre
examen
de
resultados.
los
dos
francés
Halle
conjuntos
el
y
uno
valor
de
de
de r
y
resultados.
Materia
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Francés
56
56
65
65
50
25
87
44
35
Español
87
91
85
91
75
28
92
66
58
T
ambién
decir
2
Una
psicóloga
social
piensa
que
hay
una
correlación
entre
y
la
educación.
Encontró
que
la
gente
con
tiene
más
años
de
educación.
Los
más
resultados
de
años
se
muestran
a
Años
3
(miles
de
$)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
125
100
40
35
41
29
35
24
50
60
19
20
16
16
18
12
14
12
16
17
La
tabla
educación
Halle
¿Qué
puede
¿Qué
le
¿Un
de
el
valor
r
decir
indica
automóvil
siguiente
de
el
la
acerca
signo
tarda
muestra
ingresos.
continuación:
Persona
Ingresos
de
tiene
su
mayores
encuesta
gente
mayores
educación
ingresos
podría
la
los
con
ingresos
se
que
más
de
del
en
la
fuerza
valor
frenar
antigüedad
(en
de
a
de
la
correlación?
r ?
medida
años)
de
que
un
envejece?
auto
y
la
distancia
−1
de
frenado
(en
Antigüedad
Distancia
metros),
a
partir
(meses)
de
de
una
velocidad
de
40 km h
9
15
24
30
38
46
53
60
64
76
28,4
29,3
37,6
36,2
36,5
35,3
36,2
44,1
44,8
47,2
frenado
(metros)
Halle
¿Qué
el
valor
ocurre
automóvil
4
A
Describa
Catalina
decide
con
y
si
se
Promedio
distancia
por
de
se
la
de
frenado
a
medida
que
el
le
correlación.
ha
concentre
esto
encuestar
obtenidos
la
fuerza
siempre
saber
r
envejece?
la
computador
quiere
de
a
tendrá
10
dicho
en
sus
algún
amigos.
que
deje
de
estudios.
efecto
Aquí
se
en
chatear
Catalina
sus
en
su
primero
calicaciones
muestran
los
y
resultados
Catalina:
de
3,1
2,4
2,0
3,8
2,2
3,4
2,9
3,2
3,7
3,5
14
16
20
7
25
9
15
13
4
14
calicaciones
T iempo
chat
de
(horas/
Una
calicación
A
semana)
equivale
una
Halle
el
valor
de
Describa
Sobre
la
a
2
Catalina
base
si
puntos,
puntos,
de
la
encuesta,
¿aumentarían
las
calicaciones
1
punto
de
puntos.
352
3
puntos,
una
una
D
correlación.
a
la
a
4
r
C
B
a
disminuyera
Análisis bidimensional
el
tiempo
de
chateo?
y
una
F
a
0
5
A
Mauro
siempre
computador
encuestar
a
y
se
10
dijeron
dedicara
a
compañeros
calicaciones.
Promedio
le
Los
que
estudiar,
para
resultados
de
dejara
ver
se
de
por
el
jugar
lo
que
efecto
muestran
a
con
en
su
decidió
el
promedio
de
continuación:
2,7
3,8
1,5
3,6
2,2
3,8
2,0
1,9
2,5
3,0
10
24
25
17
5
26
14
30
22
7
calicaciones
T iempo
de
juego
(horas/semana)
Halle
Describa
Sobre
de
el
valor
la
la
r
correlación.
base
Mauro
de
si
de
la
encuesta,
disminuyera
el
¿aumentarían
tiempo
de
las
calicaciones
juego?
Material
de
disponible
6
Halle
e
inter prete
datos
de
el
valor
del
coeciente
de
correlación r
para
los
Hoja
de
sobre
la
torre
ero
inclinada
de
el
ampliación
en
línea:
ejercicios
análisis
10:
Más
bidimensional
Pisa.
rón
✗
1
Las
frases
,
correlación
,
,
entre
y
dos
representan
Correlación
lineal
positiva
alta
Correlación
lineal
positiva
baja
Correlación
nula
Correlación
lineal
negativa
baja
Correlación
lineal
negativa
alta
que
frase
se
representa
muestran
en
de
la
variables:
¿Qué
descripciones
mejor
cada
la
uno
relación
de
los
entre
las
siguientes
dos
variables
diagramas
de
dispersión?
y
y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
2
4
6
8
10
x
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
y
y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
x
2
4
6
8
10
0
x
Capítulo
10
353
PREGUNTAS
TIPO
y
EXAMEN
60
2
La
un
siguiente
automóvil
después
de
Cantidad
y
haber
el
cantidad
número
llenado
recorrida
de
la
el
de
de
kilómetros
el
en
el
tanque
recorridos
tanque.
(km)
0
220
276
500
680
850
combustible
55
en
combustible
tanque
43
30
24
10
40
elbitsubmoC
Distancia
da
)sortil(
de
tabla
20
6
(litros)
0
Copie
el
diagrama
de
dispersión
y
sitúe
los
puntos
x
200
restantes.
400
Distancia
La
la
distancia
cantidad
Este
punto
Dibuje
Un
Esta
100
tabla
la
las
de
en
el
el
42 km,
y ,
tanque,
es
y
la
de
media
28
de
litros.
diagrama.
la
recta
350 km.
de
Use
combustible
edades
de
de
diez
regresión
la
recta
que
de
queda
policías
y
que
ajuste
en
el
pasa
el
por
el
óptimo
punto
medio.
para
tanque.
tiempo
que
tardan
en
correr
22
23
24
25
32
35
39
45
45
50
10,9
11,1
10,8
12,0
11,2
12,1
12,6
13
12,7
13,6
Sitúe
los
Halle
Dibuje
¿Cuánto
la
datos
edad
la
PREGUNTAS
Flexiones
6
tiempo
óptimo
que
tarde
medio.
que
un
el
número
1
2
3
4
5
6
7
8
5
3
2
2
los
dispersión.
pasa
por
policía
el
de
punto
30
años
medio.
en
correr
100
metros?
de
exiones
que
puede
realizar
David
por
minutos.
puntos
en
un
diagrama
de
dispersión,
junto
con
la
recta
de
óptimo.
Halle
la
ecuación
Halle
el
valor
ocurre
estaturas
Estatura
Escriba
Use
la
y
(m)
(kg)
de
ajuste
muestra
es
el
de
rón
¿Qué
Peso
y
prevé
Las
diagrama
EXAMEN
tabla
Minutos
ajuste
de
durante
un
media
recta
TIPO
Muestre
en
tiempo
siguiente
minuto,
354
recorrió
cantidad
ero
2
en
es
metros.
situado
muestra
T iempo
La
combustible
automóvil
Edad
1
de
está
x ,
recorrida,
aproximadamente
estimar
3
media
600
(km)
de
los
e
p
la
el
r
de
m.
Análisis bidimensional
número
de
y
la
de
recta
úselo
pesos
de
exiones
de
para
una
a
medida
que
transcurre
el
tiempo?
regresión.
describir
muestra
la
de
relación.
11
alumnos
son:
1,36
1,47
1,54
1,56
1,59
1,63
1,66
1,67
1,69
1,74
1,81
52
50
67
62
69
74
59
87
77
73
67
ecuación
recta
1,6
con
de
la
regresión
recta
para
de
regresión
estimar
el
de p
peso
de
sobre
una
e.
persona
cuya
estatura
PREGUNTAS
3
Una
TIPO
psicóloga
intelectual)
y
sus
del
CI
de
niño
la
Escriba
Halle
Use
esta
Ocho
y
el
de
la
su
relación
madre.
entre
Mide
el
el
recta
un
CI
CI
8
niños
98
103
108
111
123
94
96
89
102
98
94
116
117
de
de
de
de
correlación
regresión
regresión
de
y
para
entre x
sobre
e
y
x
estimar
el
CI
de
la
al
apar tado
,
explique
cuán
exacta
1.
tuvieron
predecir
Los
el
una
pr ueba
resultado
resultados
se
de
muestran
de
la
a
matemáticas.
pr ueba
2
a
continuación
32
68
55
80
45
77
Prueba
2
31
38
16
34
27
41
22
37
Sitúe
Describa
Copie
los
la
y
Halle
Si
fue
Semana
la
un
de
a
par tir
la
recta
se
de
que
su
de
de
la
porcentajes):
este
durante
con
........
calicaciones
en
la
pr ueba
altas
2”.
óptimo.
calicación
midió
(como
los
diagrama.
estudiantes
ajuste
para
de
saber
dispersión.
calicaciones
una
predecir
planta
de
“Los
tener
obtuvo
podemos
una
a
diagrama
oración
tienden
x
y
estos
1 cm
2 cm
de
40
puntos
estudiante
las
en
primeras
la
8
en
la
pr ueba
pr ueba
semanas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
23,5
25
26,5
27
28,5
31,5
34,5
36
37,5
pares
el
eje
Escriba
el
valor
Sitúe
punto
el
Escriba
el
Comente
Halle
la
f
Dibuje
g
Usando
de
valores
represente
en
considera
1,
2?
a
par tir
comprada:
(cm)
Sitúe
1
estudiante
de
en
correlación
ecuación
nota
altura
que
la
complete
la
otro
¿qué
resultados
pr ueba
Atura
hijo
Queremos
partir
72
que
cuyo
estimación.
54
en
madre
100.
1
de
94
Prueba
de
(coeciente
91
respuesta
podríamos
La
CI
87
coeciente
recta
su
y
estudiantes
pr ueba
5
el
la
la
Usando
si
niño
x
madre
tiene
4
un
investigar
madres:
CI
es
de
EXAMEN
quiere
del
punto
medio
en
coeciente
acerca
recta
la
en
semana
un
en
diagrama
el
eje
de
dispersión,
horizontal
y
1 cm
haciendo
represente
ver tical.
ecuación
la
1
de
de
de
medio.
el
diagrama
de
este
la
dispersión.
para
Rotúlelo L.
estos
registros.
resultado.
recta
regresión
ecuación,
de
correlación, r,
estime
de
en
la
regresión
su
de y
diagrama
altura
de
una
sobre
de
x
dispersión.
planta
después
de
1
4
semanas.
2
h
Alicia
de
usa
la
62,8 cm
ecuación
luego
de
para
30
armar
semanas.
que
una
Comente
planta
acerca
tendrá
de
esta
una
altura
armación.
Capítulo
10
355
PREGUNTAS
6
Unos
10
TIPO
EXAMEN
investigadores
adolescentes.
Evaluaron
“agradabilidad”,
para
los
demás.
cooperativa
obtenidas
Los
era
por
que
Se
la
últimos
cada
peleas.
Los
seis
La
medición
registra
estos
medida
cuán
La
en
la
el
suma
la
cuán
de
un
gr upo
personalidad
agradable
terca,
registra
estas
crearon
como
de
de
alegre,
tabla
reportaron
tales
compor tamiento
variable
adolescente
jóvenes
tabla
una
también
meses,
de
es
el
una
preguntó
persona.
investigadores
conducta.
estudiaron
las
llamada
resulta
amable,
medias
de
una
mandona
de
las
persona
y
puntuaciones
características.
una
forma
varios
de
medir
problemas
engaño,
el
obtenida
de
lenguaje
por
cada
los
problemas
conducta
vulgar,
el
en
los
hurto
adolescente
en
de
y
las
la
problemas.
Factor
de
Problemas
Par ticipante
agradabilidad
conducta
4,3
5
Guillermo
3,0
22
Oscar
3,4
10
Juan
3,3
12
Gerardo
2,9
23
Laura
4,0
21
Pilar
4,7
2
Nancy
2,4
35
Nora
2,9
12
Elizabeth
4,7
4
Elabore
¿Qué
un
Halle
Describa
Copie
el
y
la
g
Michelle
a
la
y
el
costo
nueve
una
días
tener
pero
de
de
la
muestre
el
factor
la
de
recta
de
regresión.
agradabilidad?
correlación.
oración
de
la
ausente
tuvo
para
una
los
fábrica
“Los
muestran
para
de
las
total
la
agradables
conducta”.
preguntas
de
de
4,5
referidas
en
a
los
Estime
el
número
de
produce, x,
dólares, y.
siguiente
Los
abrigos
resultados
que
obtenidos
26
44
65
43
50
31
68
46
57
400
582
784
625
699
448
870
537
724
Escriba
la
recta
ecuación
de
de
regresión
la
recta
como
de
un
su
en
tabla:
y
Use la
de
agradabilidad.
x
problemas
conducta.
registra
en
de
más
regresión.
puntuación
ropa
en
adolescentes
problemas
recta
problemas
de
producción
se
y
aumenta
_________
ecuación
puntuación
dispersión
que
correlación.
estuvo
conducta
de
medida
complete
Escriba
día,
a
coeciente
f
Cada
diagrama
ocurre
tendieron
7
de
Jorge
regresión
modelo
de y
para
sobre
x.
responder
a
las
siguientes
preguntas.
Inter prete
Estime
La
signicado
costo
fábrica
abrigos
356
el
el
de
vende
que
las
cajas
a
La
producción
debería
Análisis bidimensional
de:
de
70
$19,99
producir
en
pendiente
La
intersección
el
eje
el
menor
con
y
abrigos.
cada
un
día
una.
para
Halle
obtener
una
número
ganancia.
de
ResuMeN
●
El
análisis
un
del
bidimensional
conjunto
de
dgrm
●
Los
●
La
●
Para
con
La
un
pequeños
alguna
entre
dibujar
entre
dos
dos
gráco
círculos.
en
el
variables
variables
de
las
relaciones
El
acerca
eje
recibe
patrón
de
la
llamados
que
el
dispersión,
entre
pares
de
variables
(
x,y)
en
se
nubes
vinculan
nombre
situamos
determinado
de
puntos)
con
un
se
usan
mismo
para
investigar
“suceso”.
de orrón
los
por
valores
los
(x,y)
círculos
de
la
tabla
puede
de
datos
dar nos
correlación.
debe
nnn
nn
de
(también
rón
indicación
r
ocupa
rón
relaciones
relación
se
10
datos.
grm
posibles
capítulO
estar
ubicada
en
el
eje
horizontal
y
la r
ver tical.
y
etneidneped
elbairaV
0
●
Variable
Una
independiente
tendencia
correlación
●
Una
●
Un
●
Que
que
l
●
general
dispersos
correlación
cercana
a
dirección
en
por
la
óptimo
ómo
luego
se
en
la
recta
va
ascendiendo
la
recta
va
descendiendo
■
Las
próximos
a
la
fuer tes,
recta
correlaciones
agr upados
dos
de
de
el
patrón
no
de
círculos
los
presentan
conjuntos
de
un
variables
para
hacer
a
izquierda
sean
muestra
una
círculos
muestra
una
ninguna
tendencia
puede
indicar
de
datos
no
necesariamente
signica
positivas
y
diagrama
mostrar
su
dispersión
tendencia.
para
Esta
hallar
recta
la
de
predicciones.
derecha,
a
o
de
hay
derecha,
una
hay
negativas,
correlación o .
una
correlación ng
presentan
los
puntos
muy
óptimo.
sean
la
sobre
izquierda
de
ajuste
débiles,
cerca
dos
usarse
Si
correlaciones
que
dibuja
entre
Si
están
los
otro.
■
Las
de
ómo
asociación
puede
entre
el
■
■
patrón
ro
correlación
causado
r
ajuste
una
sea
r
el
ng
círculos
exista
en
descendente
de
uno
Una
ascendente
o
conjunto
una
general
tendencia
correlación
x
positivas
recta
de
o
ajuste
negativas,
óptimo
o
presentan
sobre
puntos
que
no
ella.
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
10
357
●
Para
dibujar
equilibrar
puntos
un
que
punto
calcula
y
de
el
una
hay
de
por
de
de
la
ajuste
puntos
debajo
referencia
hallando
los
recta
número
de
que
media
óptimo
que
ella.
hay
Se
las
ojo,
a
la
se
dibuja
encima
puede
per tenezca
de
a
por
lograr
recta.
coordenadas x
de
un
la
recta
con
mejor
Este
y
una
ella
es
que
el
permita
número
trazado
situando
el no mo
media
de
las
de
y
se
coordenadas
puntos.
y
(x, y)
0
●
x
La
ecuación
puede
usarse
Rgrón
●
●
●
de
la
para
Se
llama
de
regresión.
ro
La
recta
los
cuadrados
de
La
fórmula
recta
realizar
para
ajuste
a
la
los
también
llamada r rgrón ,
ro
distancia
de
óptimo,
predicciones.
mnmo
regresión
de
de
ver tical
mínimos
entre
un
cuadrados
es
punto
y
aquella
el
gráco
que
de
la
minimiza
ecuación
la
suma
de
residuos.
hallar
la
pendiente
(m)
de
la
recta
de
regresión
es
S
xy
m
,
=
donde
2
(S
)
x
2
(∑
S
=
xy
∑
x
)(∑
y
)
2
y
xy −
(S
)
x
(∑
2
=
∑
x
En
de
los
exámenes
se
)
−
n
n
●
x
espera
que
se
utilice
la
CPG
para
hallar
la
ecuación
la
recta
regresión.
Continúa
358
de
Análisis bidimensional
en
la
página
siguiente.
cómo
●
El
es
mmo
on
una
entre
medida
+
medida
y
−
de
la
de
orrón
orrón
la
inclusive.
fuerza
momno-roo
correlación
Es
entre
dos
ampliamente
usado
de
la
dependencia n
hallar
el
coeciente
en
entre
(denotado
pron
variables X
las
e
Y,
que
da
ciencias
dos
un
como
por
r)
valor
una
variables.
S
xy
●
La
fórmula
para
de
correlación
de
Pearson
es: r
=
S
S
x
y
donde
2
(∑
S
=
xy
∑
x
)(∑
y
)
(∑
2
xy −
,
S
=
x
∑
x
Una
manera
Valor
0
<
0,25
0,5
de
|r|
≤
<
|r|
<
0,75
|r|
≤
<
|r|
0,5
0,75
≤
y
inter pretar
S
=
y
el
valor
∑
y
y
)
−
n
de r
es:
Correlación
0,25
≤
de
(∑
2
n
rápida
r
2
)
−
n
●
x
1
Muy
débil
Débil
Moderada
Fuer te
Capítulo
10
359
t
or
del
conomno
¿corrón
La orrón
muestra
Por
medida
La
ejemplo,
Si
al
ejemplo,
hallamos
nacer
ocurre
Por
■
a
y
una
un
la
hora
qué
que
ir
a
fuer te
rendimiento
a
?
medida
crece
cuando
de
correlación
alto
en
o
la
dos
24
una
valor
variable
de
variables
cama
entre
los
el
el
afecta
peso
años,
una,
tienen
el
de
varía
crece
un
número
un
el
con
efecto
de
relación
valor
de
la
mutuo
horas
de
a
otra.
otra.
directo.
sueño.
bebé
¿deberíamos
eFectO
sugerir
que
nazcan
con
alcanzan
las
un
embarazadas
peso
alto
rendimientos
deben
porque
más
los
procurar
bebés
que
más
sus
bebés
pesados
altos?
eFectO
Algunas
veces
relacionados,
sucesos
pero
y
no
fuer temente
conectados
signica
Por
causa
por
que
ejemplo,
Es
íntimamente
fácil
correlacionados
causalidad.
suceso
su
están
siempre.
alguna
un
si
efecto
gato
ha
también
Pero
causado
permanece
suponer
al
la
que
dos
están
correlación
no
causa
otro.
fuera
toda
la
noche
y
Que
luego
se
enferma,
y
esto
ocurre
eFectO
muy
a
menudo,
es
exista
correlación
que
la
enfermedad
de
su
gato
y
el
permanecer
fuera
toda
estén
estrechamente
conectados.
Pero
estar
fuera
entre
la
dos
noche
una
probable
variables
no
es
toda
necesariamente
la
noche
puede
probable
que
la
no
ser
causa
la
causa
sea
un
de
la
vir us
o
enfermedad.
una
La
n
ació
stig
inve
re
ocur
do
cuan
qué
plo,
ejem
enta
aum
La
dos
o
com
360
le
las
una
a
tura
pera
tem
que
y
un
do
líqui
del
hace
preguntas:
por
do
cuan
¿Qué
relación
entre
dos
.
variables?
ión
elac
corr
la
no
■
er va
Obs
ce
ofre
los
s
dato
s
ltado
resu
icos
díst
esta
ba.
pr ue
Teoría
correlación
estas
Conocimiento:
correlación
o
causalidad?
¿Qué
o
las
de
causalidad.
existe
iza
anal
.
bles
varia
sos
suce
ble;
varia
prueba
qué
■
de
suce
n
ació
stig
inve
bia
cam
de
la
bia
cam
ga
inda
más
bacteria.
La
tal
rimen
expe
Es
las
conecta
separa?
¿Cuál
●
El
es
causa
acoso
escolar
y
cuál
daña
la
es
correlación?
salud
●
mental.
Mirar
demasiada
televisión
●
El
estrés
ocasionado
depor tivos
peligroso
por
impor tantes
para
el
ver
La
temperatura
puede
el
●
número
con
mayor
Los
cirujanos
se
cabo
●
La
de
TV
ese
eleva
adultos
●
Los
la
voz
profunda
ro
que
advierten
contra
datos,
sin
tienen
varianza,
actúe
violencia
en
la
vida
real.
hábiles
con
desempeñan
los
video-
mejor
en
las
en
simuladas.
que
gozan
los
hablan
de
que
sueco
mejor
hablan
salud
que
neer landés.
tienen
hijos.
de
datos
ar terial
Los
los
de
la
gente
al
obesos.
cuartetos
los
helado
●
presión
Los
a
de
día.
hombres
más
lo
ambulantes
en
la
de
cirugías
vendedores
que
ser
corazón.
y
a
eventos
juegos
●
violencia
conduce
Anscombe
antes
la
pero
son
anom
un
aplicación
gr upo
de
representarlos
propiedades
etc.)
cuatro
métodos
sencillas
representaciones
conjuntos
estadísticos
grácamente.
estadísticas
tienen
de
Los
datos
individuales
conjuntos
idénticas
grácas
de
ncis
Fra
de
be
com
Ans
(media,
totalmente
(191
distintas.
8-20
01)
ico
díst
esta
■
Halle
de
y
la
y
media
el
valor
Conjunto
■
de
x,
r
la
media
para
cada
1
de
y,
la
varianza
conjunto
Conjunto
de
de
x,
la
nico
b ritá
varianza
datos.
2
Conjunto
3
Conjunto
4
x
y
x
y
x
y
x
y
4
4,26
4
3,1
4
5,39
8
6,58
5
5,68
5
4,74
5
5,73
8
5,76
6
7,24
6
6,13
6
6,08
8
7,71
7
4,82
7
7,26
7
6,42
8
8,84
8
6,95
8
8,14
8
6,77
8
8,47
9
8,81
9
8,77
9
7,11
8
7,04
10
8,04
10
9,14
10
7,46
8
5,25
11
8,33
11
9,26
11
7,81
8
5,56
12
10,84
12
9,13
12
8,15
8
7,91
13
7,58
13
8,74
13
12,74
8
6,89
14
9,96
14
8,1
14
8,84
19
12,5
Escriba
grácos
■
de
Usando
el
cómo
y
la
gráco
un
las
cree
rectas
CPG,
de
sistema
de
dibuje
cada
de
que
serán
regresión.
de
puntos
Dibuje
la
recta
de
regresión
de
cada
gráco.
aproximadamente
conjunto
ejes
■
los
■
Explique
lo
que
obser va.
en
separado.
Capítulo
10
361
Trigonometría
11
ObjetivOs
El
3.1
círculo:
del
CAPÍtUlO:
medida
de
ángulos
en
radianes;
longitud
del
arco;
área
del
sector
circular
.
Denición
3.2
cos θ
de
y
sen θ
a
par tir
del
círculo
de
radio
unidad;
denición
sen θ
como
;
valores
exactos
de
las
razones
trigonométricas
de
0,
θ
cos
,
6
tanθ
de
,
4
y
,
3
sus
2
múltiplos.
2
3.3
La
relación
3.6
Resolución
fundamental
de
2
θ
cos
triángulos;
el
+
sen
teorema
θ
=
del
1
coseno;
el
teorema
del
seno,
incluido
el
1
caso
ambiguo;
área
del
triángulo
ab sen C;
aplicaciones.
2
An
Qué
1
comnzar
necesitamos
Utilizar
saber
propiedades
incluido
el
de
Comprobemos
triángulos,
1
Halle
el
valor
de
nuestras
x
en
cada
habilidades
diagrama.
teorema
a
96°
de
Pitágoras
x°
Por
ejemplo:
(2x)°
x°
41°
Hallar
(x
x°
–
38°
el
valor
de
x
en
cada
49°
diagrama
a
x°
+
96°
x°
=
80°
x
=
+
38°
–
=
96°
–
180°
38°
c
46°
(4x)°
x°
ABC
por
lo
es
isósceles,
tanto
∠A
=
(x
∠C
+
20)°
B
56°
∠A
+
x°
2x°
∠B
+
=
+
53°
80°
∠C
=
80°
x°
=
80°
53°
=
27°
x
=
63,5°
+
–
53°
f
x
x°
2,4
A
C
24
5,6
c
Utilizando
2
x
2
=
6
19
Pitágoras,
2
+
9
x
6
2
x
=
6
2
+ 9
=
117
x
≈ 10, 8
9
362
Trigonometría
20)°
Algunas
de
un
medir
veces
árbol
o
necesitamos
una
montaña
directamente.
Los
dimensiones
usando
Por
para
un
ejemplo,
agrimensor
cañón,
tal
distancia
que
el
está
punto
exacta
parado,
de
la
hallar
un
y
la
ancho
distancia
un
punto
o
dos
una
de
el
de
y
el
la
(tales
cañón)
las
que
de
al
Luego
entre
trigonometría,
podemos
un
lado
ubicados
formado
altura
estas
de
otro
rocosa.
no
la
triangulación.
laderas
referencia
conocidos,
como
calcular
método
entre
ángulo
Usando
un
pueden
formación
puntos
también
referencia.
el
agrimensores
árbol
entre
o
dimensiones
trigonometría
necesita
como
conocer
del
estos
esta
cañón,
del
mide
la
lado
en
puntos
el
y
información
es
Algunos
usan
la
matemáticos
expresión
“medida
suciente
para
calcular
la
distancia
al
otro
lado,
sin
siquiera
ángulo”
que
cr uzar
al
otro
lado
del
de
un
tener
en
lugar
cañón.
de
“amplitud
de
un
ángulo”.
.
Al
trgonomría
principio
amplitudes
de
de
este
los
capítulo
ángulos
triángulos
rectángulos,
triángulos
y
las
y
y
examinaremos
las
longitudes
después
aplicaciones
ránguo
las
de
pasaremos
cotidianas
de
la
relaciones
los
a
rcánguo
lados
tratar
de
las
entre
las
los
áreas
trigonometría.
Algunas
dicen
de
en
personas
“triángulo
lugar
de
recto”
“triángulo
rectángulo”.
Capítulo
11
363
Comencemos
por
obser var
el
triángulo
rectángulo,
con
vér tices
en
Los
los
puntos
A,
B
y
C.
Los
ángulos
que
se
forman
en
los
vér tices
ángulos
describirse
ˆ
B
Â,
ˆ
C,
y
pueden
son
de
respectivamente.
varias
Este
A
El
lado
AB,
el
lado
opuesto
al
ángulo
maneras.
triángulo
llamarse
se
denomina
hponua
del
ABC;
el
triángulo
ángulo
c
podría
recto,
en
A
podría
rectángulo.
b
ˆ
llamarse
ˆ
A;
B A C;
ˆ
C A B;
Los
C
a
∠BAC;
ángulos
este
triángulo,
opuesto
lado
a
Â,
el
rotulado
nombrar
también
B
pueden
En
∠CAB.
los
Razones
vemos
lado
c
el
rotulado
(lado
lados
que
AB )
en
es
b
(lado
el
relación
lado
lado
con
rotulado a
AC )
es
el
opuesto
sus
(lado
lado
ˆ
C.
a
ángulos
BC )
es
opuesto
Es
el
a
lado
ˆ
B,
y
letras
el
rotularse
griegas
con
como
θ
(theta).
conveniente
opuestos.
trigonométricas
Obser vemos
los
dos
triángulos
rectángulos
siguientes:
D
A
59°
59°
31°
31°
B
C
ABC
y
DEF
DEF
es
más
E
tienen
grande
correspondientes
son
ambos
que
F
ángulos
ABC.
de
Dos
congr uentes
amplitudes
triángulos
(iguales)
se
59°,
cuyos
3°
y
90°.
En
algunos
de
texto,
y
sus
lados
correspondientes
son
ABC
y
más
un
triángulo
rectángulo
DEF:
nombre
AC
BC
DF
,
=
AB
y
BC
EF
,
=
AB
DE
de
reciben
=
del
cao
AC
triángulo.
los
sean,
los
El
triángulos
los
lados
lados
hecho
razones
guardarán
de
que
razones
triángulos
En
●
y
lados
nos
no,
varían
impor tar
misma
serán
de
ayuda
a
proporción.
las
denir
y
cuán
grandes
En
proporcionales
triángulos
cono
según
triángulo
hponua
largo
la
sin
las
tres
otras
entre
semejantes
o
pequeños
lado
palabras,
más
triángulo
es
largo
rectángulo.
sí.
determinen
razones
angn
amplitudes
de
los
ángulos
de
los
se
(a
opone
rectángulo:
menudo
al
ángulo
se
abrevia
h
o
H)
es
el
lado
más
recto.
(hipotenusa)
h
o
●
El
lado
que
opuo
●
El
(a
364
lado
el
del
rectángulos.
cualquier
La
los
constantes
trigonométricas:
Estas
semejantes,
correspondientes
La
DF
hponua
En
el
EF
y
DE
dos
cor tos
proporcionales.
de
Para
los
denominan ránguo
lados
man
libros
ángulos
(a
se
opone
menudo
cercano
menudo
Trigonometría
se
al
al
se
ángulo
abrevia
ángulo
abrevia
a
o
θ
se
A).
rotulado θ
o
u
se
llama
lado
O).
llama
lado
i
a
ayacn
(adyacente)
(opuesto)
➔
Para
cualquier
triángulo
opuesto
θ
seno
rectángulo
con
Una
ángulo θ :
un
nemotécnica
O
=
regla
una
hipotenusa
palabra
o
frase
H
inventada
adyacente
θ
coseno
es
=
=
A
hipotenusa
que
nos
H
O
=
ayuda
a
recordar
una
H
lista
o
una
fórmula.
i
opuesto
tangente
θ
=
O
Podemos
=
A
adyacente
estas
A
la
Obser vemos
el
siguiente
recordar
triángulo
rectángulo,
con
Â
fórmulas
regla
con
nemotécnica
destacado.
SOH-CAH-TOA.
BC
sen
A
A
a
=
=
AB
c
Los
nombres
estas
AC
c
cos
b
A
razones
b
=
trigonométricas
=
AB
c
BC
a
abrevian
C
a
tan
B
A
razones
lados
y
ángulos
en
trigonométricas
para
calcular
la
astrónomo
medida
triángulos
que
rectángulos.
nació
en
la
India
aproximadamente
Relaciones
entre
seno,
coseno
y
el
triángulo
el
ABC :
d.
Sol,
las
a
senθ
en
tangente
476
En
y
b
Ar yabhata,
de
cos
tan.
El
utilizar
sen,
se
=
=
AC
Podemos
de
C.,
los
creía
que
planetas
estrellas
y
giraban
=
alrededor
de
la
c
Tierra
b
cos θ
en
órbitas
=
A
diferentes.
c
a
a
inventar
Comenzó
cálculos
i
senθ
Por
lo tanto ,
a
c
=
=
b
cosθ
c
trigonométricos
para
b
b
calcular
la
distancia
c
de
los
planetas
a
la
a
C
Pero
tan θ
a
B
Tierra.
=
b
senθ
En
= tan θ
consecuencia,
cosθ
sen θ
➔
tan
=
cos θ
Aunque
los
matemáticos
empo
estudiado
durante
Para
el
siguiente
triángulo,
halle
la
longitud
triángulos
miles
de
del
años,
lado
han
el
término
a.
34°
"trigonometría"
utilizado
6
vez
en
por
1595
fue
primera
por
Bar tholomaeus
Pitiscus
(alemán,
a
1561–1613).
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
11
365
Debemos
asegurarnos
Respuesta
opuesto
tan
34°
a
adyacente
a
=
6
Usar
=
=
a
de
=
6
la
razón
estar
moo
lado
de
34°
que
en
tangente
6
El
trabajando
se
opone
al
grao
ángulo
tan 34°
tan 34°
≈
es
el
adyacente
4,05
Podemos
opuesto
34°
hallar
utilizando
gráca
lado
a
la
mide
el
y
el
lado
6.
valor
Para
de
calculadora
tan
de
34°
cambiar
grados,
pantalla
y
(CPG).
al
modo
presionar
seleccionar
sng
&
(conguraciones
estado)
|
2:
y
sng
(conguraciones)
Para
ingresar
tan,
presionar
μ
seleccionar
|
1:
y
Gnra
luego
5:
sau
(general).
tan
tab
Utilizar
para
la
desplazarse
“Angle”
Si
conocemos
las
medidas
de
los
lados
de
un
triángulo
rectángulo
tecla
(ángulo)
hallar
la
amplitud
de
los
ángulos,
necesitaremos
las
funciones
trigonométricas
inversas
sen
–
,
cos
Presionar
–
y
tan
y
luego
seleccionar
Currn
empo
Halle
la
dgr
utilizar
(grado).
–
y
y
seleccionar
queremos
a
4:
(actual).
amplitud
de
ˆ
B
en
este
triángulo.
9 cm
5 cm
B
Respuesta
opuesto
sen B
5
=
=
hipotenusa
El
lado
opuesto
hipotenusa
razón
ˆ
B
–1
=
⎛
Para
los
Debemos
366
33,7°
la
–1
A
sen
Utilizar
la
se
le
llama
–1
“arco
seno”,
sen
“arco
coseno”
–1
,
presionar
μ
y
a
tan
,
“arco
–1
tendremos
y
asegurar nos
Trigonometría
9 cm.
⎠
ángulos
GRADOS.
y
⎟
9
ejercicio
(calcular
5 cm
seno
ingresar
luego
este
mide
–1
≈
⎜
En
mide
5 ⎞
sen
⎝
ˆ
B
9
las
de
que
ror
medidas
que
la
seleccionar
de
los
triángulos
lados
calculadora
que
esté
tangente”.
sen
rectángulos
no
se
siempre
conocen).
en
modo
a
cos
y
,
Ejercitación
Para
cada
11A
pregunta,
utilice
el
diagrama
y
la
información
dada
para
b
A
hallar
todos
medidas
los
están
lados
en
y
ángulos
centímetros.
que
Dé
no
sus
se
conocen.
respuestas
Todas
con
C
las
una
a
aproximación
a
1
=
12,
c
=
de
tres
cifras
signicativas
20
b
2
=
37,
donde
Â
=
sea
necesario.
c
40°
B
3
c
=
5
a
7
Si
ˆ
B =
4,5;
=
11,
Â
=
=
2x,
55°
35°
4
b
=
48,
c
6
a
=
8,5;
=
b
60
=
9,7
x
2
a
b
=
5x
–
1
y
c
=
x
+
1
(x
∈
ℤ),
halle
el
∈
es
de
x,
y
los
ángulos
Triángulos
Obser ve
el
y
1
triángulo
A
Para
signica
número
que
x
entero.
especiales
rectángulo
resolver
longitud
de
Utilizando
2
2
+
un
ˆ
B
rectángulos
siguiente
C
Â
ℤ
valor
el
AB
el
isósceles.
triángulo,
y
los
teorema
de
2
=
c
necesitamos
ángulos
Â
y
hallar
la
ˆ
B
Pitágoras:
2
,
entonces
c
=
2,
y
c
=
AB
=
2
1
c
Utilizando
la
razón
BC
tan
A
1
=
=
=
AC
B
tangente:
1
–
Â
Este
Â
Los
siguientes
triángulo
son
los
=
=
es
ˆ
B,
valores
tan
un
de
=
45°
triángulo
ˆ
B
y
()
=
las
isósceles,
por
lo
tanto,
45°.
razones
trigonométricas
del
anterior.
1
2
1
45°
➔
sen
45°
=
=
2
2
2
1
cos
45°
=
1
=
√2
2
2
45°
1
tan
45°
=
=
1
Ahora
que
es
Para
BC,
veamos
la
mitad
resolver
Â
y
2
+
a
siguiente
de
este
un
triángulo
triángulo
triángulo,
rectángulo,
C
1
A
equilátero.
necesitamos
hallar
ˆ
B
Utilizando
2
el
el
teorema
2
=
2
de
Pitágoras
se
obtiene:
a
2
2
,
entonces
a
=
3,
y
a
=
BC
=
3
B
Capítulo
11
367
Utilizando
la
razón
AC
cos
A
=
=
AB
⎛
–
Â
=
1 ⎞
=
⎝
=
80°
Los
de
2
cos
⎜
ˆ
B
60°
⎟
2
–
⎠
90°
siguientes
este
coseno:
1
–
60°
son
triángulo
=
los
con
30°
valores
ángulos
para
de
todas
30°,
60°
las
y
razones
trigonométricas
90°.
1
1
➔
sen 30°
=
sen 60°
60°
=
2
2
cos 30°
1
=
cos 60°
=
2
√3
2
2
3
1
tan 30°
=
tan 60°
=
30°
3
=
3
empo
3
=
1
Cuando
Halle
el
valor
xaco
de
x
en
el
siguiente
se
pide
una
triángulo
respuesta
debe
xaca,
dejarse
la
raíz
60°
cuadrada
5 cm
en
la
no
o
el
radical
respuesta
cambiarlo
a
y
un
x
decimal
redondeado.
Respuesta
x
tan 60°
=
3
=
5
x
3 cm
= 5
Ejercitación
1
Utilice
Dé
las
el
11B
diagrama
respuestas
En
para
en
resolver
forma
cada
exacta.
triángulo
Las
están
en
b
A
centímetros.
contexto,
“resolver”
rectángulo.
longitudes
este
C
signica
hallar
todos
lados
y
los
ángulos
desconocidos.
a
a
=
12,
c
=
24
b
=
9,
Â
=
45°
a
c
c
c
b
=
4,5;
ˆ
B
=
60°
El
=
6,
c
=
4
diagrama
siempre
B
a
=
,
c
=
10
escala.
P
2
Halle
los
valores
exactos
de
x,
y
y
z
z
8
x
30°
Q
368
Trigonometría
no
3
8
R
y
S
estará
a
ABC
3
tiene
Â
=
ˆ
C
60°,
=
90°,
BC
=
x
+
2,
Comience
y
2
AB
=
x
–
un
4.
del
a
Halle
el
valor
Halle
la
longitud
El
4
triángulo
exacto
ABC
de
exacta
ˆ
B
tiene
=
dibujo
por
realizar
aproximado
triángulo.
x
del
lado
ˆ
C
45°,
AC
=
90°,
AC
=
4x
–
1
y
65°
y
2
BC
=
x
+
2.
z
a
Halle
el
valor
exacto
Halle
la
longitud
de
exacta
x
del
lado
AB
x
En
5
el
diagrama,
aproximación
halle
de
una
el
valor
cifra
de
w,
x,
decimal.
y
y
Las
z,
con
45°
una
longitudes
están
en
w
centímetros.
4
9
.
Apcacon
ránguo
En
la
sección
rectángulos
veremos
problemas
Comencemos
➔
El
hallamos
utilizando
en
aplicar
seno,
esas
situaciones
con
ánguo
a
rgonomría
rcánguo
anterior,
cómo
algo
longitudes
coseno
razones
y
y
ángulos
tangente.
En
en
esta
trigonométricas
triángulos
sección,
para
resolver
cotidianas.
de
terminología.
es
acón
el
ángulo
“por
encima”
de
la
recta
debajo”
de
la
recta
horizontal.
El
ánguo
prón
es
el
ángulo
“por
horizontal.
C
Ángulo
de
elevación
Ángulo
de
depresión
A
B
Horizontal
D
empo
Un
obser vador
ángulo
altura
de
del
se
encuentra
elevación
edicio,
de
la
a
100 m
par te
medida
al
de
la
superior
metro
más
base
del
de
un
edicio
edicio.
es
65°.
El
¿Cuál
es
la
próximo?
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
11
369
Respuesta
T
Comenzar
Sea
la
O
la
tier ra,
par te
por
dibujar
posición
B
la
del
base
un
diagrama
obser vador
del
edicio
en
y T
la
superior.
Marcar
el
ángulo
de
elevación
de
65°
65°
B
100
O
Estamos
calculando
la
altura
del
BT
tan
65°
=
,
por
lo
edicio,
tanto,
la
longitud
BT.
100
BT
El
=
100 tan
edicio
más
≈
214,45...
214
m,
al
metro
próximo.
También
➔
65°
mide
es
Los
y
necesario
cuatro
Oeste
La
se
el
carna
son
utilizando
Nor te
puntos
(N),
Sur
cardinales
(S),
Este
y
rumbos
(orientaciones).
(E)
del
se
rumo,
realiza
en
que
el
se
expresa
sentido
de
siempre
las
agujas
utilizando
del
reloj,
Nor te.
utilizan
N40°e,
que
al
desde
Este
problemas
(O).
cifras,
desde
Cuando
puno
medición
tres
resolver
los puno carna
signica
el
40°
Nor te.
O20°s,
Sur
que
desde
para
indicar
signica
el
20°
una
dirección,
al
NO,
Oeste.
N
que
se
verán
signica
expresiones
45°
entre
como:
Nor te
y
Oeste.
N
N
N 40°E
NO
40°
45°
45°
20°
O20°S
S
Cuando
O35°,
en
del
se
utiliza
que
sentido
reloj,
S
el
signica
de
las
desde
el
rumo
35°
agujas
Nor te.
para
indicar
110°,
que
sentido
reloj,
una
S
dirección,
signica
de
las
desde
el
110°
agujas
en
del
Nor te.
se
verán
270°,
de
expresiones
que
las
Nor te.
mismo
N
signica
agujas
Un
del
rumbo
que
como:
270°
reloj,
de
“hacia
270°
el
035°
110°
270°
270°
110°
S
370
Trigonometría
S
S
sentido
es
Oeste”.
N
N
en
desde
el
lo
empo
Dos
El
El
el
barcos
barco
A
barco
B
zar pan
navega
navega
al
mismo
30
km
65
en
km,
tiempo.
dirección
siguiendo
Nor te
un
antes
r umbo
de
de
soltar
050°,
el
antes
ancla.
de
soltar
ancla.
Halle
más
la
distancia
entre
los
barcos
cuando
están
quietos,
al
kilómetro
próximo.
Respuesta
Dibujar
B
D
las
A
naves
detiene
30
un
diagrama
representa
el
zar paron.
en
A
y
donde
muelle
el
desde
El
barco
barco
B
se
el
el
A
punto
que
se
detiene
65
en
B.
50°
Necesitamos
D
la
distancia
están
C
B
No
hallar
entre
la
los
longitud
barcos
AB,
cuando
quietos.
hay
triángulos
diagrama;
por
señalarlos.
La
lo
rectángulos
tanto,
habrá
en
el
que
El
ángulo
DBE
utilizando
la
se
halla
propiedad
50°
A
triángulo
30
hipotenusa
rectángulo
es
la
de
cada
trayectoria
de
ángulos
entre
alternos
paralelas.
65
de
50°
40°
uno
de
ángulo
D
los
que
barcos.
Añadir
conozcamos,
cualquier
utilizando
E
propiedades
de
los
ángulos
BE
sen
40°
=
Hallar
BE
Hallar
DE
65
Por
lo
tanto, BE
=
65 sen 40°
≈
41,781...
DE
cos 40°
=
65
Entonces
DE
BC
=
DE
AC
=
BE
C
=
65 cos 40°
=
49,7928...
=
–
Almacenar
estos
valores
en
la
CPG
49,7928...
30
=
11,7811...
49,7929
Añadir
B
la
nueva
inf or mación
al
diagrama
11,7812
50°
A
30
65
50°
40°
D
E
Utilizamos
2
AB
2
=
(49,7928...)
Entonces
La
de
AB
distancia
=
los
aproximadamente
km
más
(11,7811...)
51,1677...
entre
próximo.
los
valores
2
+
barcos
51 km,
Utilizar
en
es
al
el
teorema
ABC.
de
Utilizar
almacenados
Pitágoras
los
valores
exactos
pasos
y
en
los
intermedios
redondeamos
únicamente
respuesta
la
nal.
Capítulo
11
371
Ejercitación
1
Un
y
triángulo
AB
=
CB
B
11C
isósceles
=
15 cm,
ABC
tal
a
Halle
la
altura
del
Halle
la
amplitud
tiene
como
se
lado
AC
=
10 cm
muestra.
triángulo.
de
BÂC
ˆ
AB C
y
A
2
ABE
cabe
ABCD,
tal
Halle
a
Halle
Dé
las
exactamente
como
las
la
se
longitudes
amplitud
respuestas
dentro
muestra. BC
de
una
cuadrado
28 cm
y
DE
segmentos AE
ˆ
AE D,
de
con
los
del
=
ˆ
EB A
D
=
y
C
10
8
E
C
8 cm.
BE
ˆ
AE B
y
aproximación
28
de
tres
cifras
signicativas.
A
3
Un
obser vador
parado
en
la
cima
de
un
acantilado
B
ver tical,
Si
20 m
sobre
el
nivel
del
mar,
obser va
un
barco
en
el
agua,
con
el
diagrama
proporciona
ángulo
de
la
de
base
depresión
del
de
9°.
¿A
qué
distancia
se
encuentra
el
barco
acantilado?
pregunta,
primero
4
Un
rectángulo
Halle
5
Ana
en
los
la
de
Desde
de
encuentra
los
7
Un
barco
gira
y
8
Los
largo
hacia
N35°O
.
del
elevación
del
otro
es
TIPO
sale
navega
rumbo
un
formados
ventana
edicios
PREGUNTA
debe
el
de
por
25 mm
las
Nor te,
Halle
la
de
edicio
de
lado
70 m,
y
un
ancho
diagonales
luego
gira
distancia
y
y
el
del
de
mismos.
8 mm.
rectángulo.
camina
r umbo
otros
3 km
desde
su
la
A,
par te
de
la
a
superior
calle,
¿cuál
2 m
es
la
es
del
del
de
nivel
edicio
40°.
altura
del
del
Si
la
suelo,
B,
que
se
distancia
edicio
el
entre
B?
del
puerto
con
navegar
X
e
Y
el
y
navega
rumbo
barco
están
en
35 km
05°.
para
con
¿Qué
regresar
lados
rumbo
047°.
distancia
y
con
directamente
opuestos
de
la
Después
calle,
al
a
qué
puerto?
95 m
de
Es
el
uno
del
otro.
Desde
un
punto
en
el
techo
una
X,
el
ángulo
de
depresión
de
la
base
del
buena
del
idea
edicio
edicio
Y
es
55°
vericar
ángulo
¿Qué
de
altura
elevación
tienen
los
de
la
dos
parte
superior
del
edicio
Y
es
de
35°.
edicios?
para
de
Juan
camina
hacia
el
Nor te
por
un
camino
recto
y
ve
una
que
un
campo
a
su
derecha,
sobre
un
r umbo
de
08°.
caminar
otros
240 m,
se
da
cuenta
de
que
la
torre
está
r umbo
de
066°.
Si
sigue
caminando
hacia
el
ángulo
Nor te,
más
¿qué
cerca
pasará
Trigonometría
de
la
torre?
menor
largo
opuesto
tan
mayor
.
372
más
opuesto
y
el
es
sobre
el
un
lado
el
Después
lado
de
el
es
torre
al
en
nales,
asegurarse
cor to
9
las
y
respuestas
el
uno
EXAMEN
5 km
edicios
distancia
deberemos
par tida.
una
ángulo
tiene
2 km
dirección
se
la
EXAMEN
ángulos
camina
punto
6
TIPO
con
dibujar
nosotros
PREGUNTA
no
un
al
ángulo
10
Desde
una
posición
al
nivel
del
suelo,
Helena
se
da
cuenta
de
A
que
el
ángulo
de
elevación
de
la
par te
superior
de
un
edico
menos
que
pregunta
de
40°.
Cuando
se
acerca
20
metros
más
al
edicio,
el
ángulo
indique
es
de
55°.
Halle
la
altura
del
edicio.
suponer
es
11
Un
una
automóvil
carretera
puente
Diez
de
El
AD
la
24 cm,
tiempo
DH
bajo
=
con
tarde,
muestra
a
una
pasajero
carretera,
directamente
=
Un
más
¿Cuánto
diagrama
viajando
recta.
segundos
7°.
pase
12
sobre
está
el
velocidad
que
un
viaja
ángulo
ángulo
de
transcurrirá
el
un
en
de
él
elevación
antes
de
que
del
el
que
el
suelo
horizontal.
sobre
obser va
elevación
debemos
un
de
5°.
puente
es
automóvil
puente?
prisma
9 cm,
constante
lo
de
contrario,
elevación
la
es
y
HG
rectangular ABCDEFGH.
=
18 cm.
F
Halle
estos
a
HÂD
AB
E
c
HÂG
AG D
G
ángulos.
ˆ
18
ˆ
E
H
9
A
.
Uzacón
n
El
ángulo
vér tice
en
o
coornaa
rgonomría
θ
el
en
un
sistema
origen,
como
de
se
coordenadas
muestra
en
car tesianas
el
diagrama.
tiene
Un
En
algunos
de
texto,
se
mide
en
sentido
antihorario
a
par tir
del
libros
su
al
lado
del
ángulo
ángulo
positivo
D
24
que
se
ubica
eje x.
sobre
el
eje
x
positivo
y
se
le
llama
nca.
A
veces
se
dice
“antihorario”
de
“sentido
contrario
a
otro
las
le
llama
del
reloj”.
este,
vér tice
aparecen
tres
ángulos
positivos α,
β
y
y
ángulo
en
con
el
su
origen
y
δ.
su
y
Un
x
O
como
Aquí
ao
i
rmna.
agujas
lado
en
se
lugar
Al
ao
el
y
lado
eje
dice
x
inicial
sobre
positivo
que
está
pocón
se
en
la
ánar
a
b
d
O
x
O
x
O
x
Las
primeras
letras
griego
β,
del
son
gama
γ
cuatro
alfabeto
alfa
y
α,
delta
Capítulo
beta
δ
11
373
2
Este
diagrama
muestra
un
círculo
cuya
ecuación
2
es x
+
y
=
.
B
El
centro
unidad.
del
Se
le
círculo
llama
está
en
círcuo
el
origen
rao
y
su
radio
mide
una .
una
y
i
A
En
el
diagrama,
el
ángulo
θ
es
positivo.
Ahora
x
0
echemos
un
vistazo
a
los
ángulos
agudos
en
el
B
primer
del
cuaran
círculo
de
radio
unidad.
1
OA
y
OB
son
radios
del
círculo
de
radio
unidad,
A
i
entonces
OA
=
OB
=
.
0
Luego,
utilicemos
formar
un
el
triángulo
ángulo
agudo
rectángulo
θ
1
x
para
BOC
y
Utilizando
las
razones
trigonométricas
en
∆BOC,
x
cos
θ
=
,
por
lo
tanto
x
cos θ,
=
1
B(cos i, sen i)
y
y
sen θ
,
=
por
lo
tanto
y
sen θ
=
1
1
y
En
consecuencia,
el
punto
B
tiene
(cos θ,
coordenadas
sen θ).
i
A
0
empo
Halle
esos
las
x
C
x
coordenadas
valores
con
una
exactas
del
punto
aproximación
de
D,
tres
luego
y
dé
cifras
D
signicativas.
1
59°
A
0
x
1
Respuesta
Las
coordenadas
(cos 59°,
sen 59°).
Con
cifras
de
tres
D
son
empo
En
el
exactas
del
signicativas,
(0,515;
punto
las
D
son
AÔD
es
Utilizar
coordenadas
un
la
ángulo
CPG
positivo.
para
hallar
los
valores
de
cos 59° y
sen 59°
0,857).
diagrama,
halle
las
coordenadas
exactas
del
punto
P
y
P
1
30°
0
A
x
1
Respuesta
⎛
3
1
⎞
En
Las
coordenadas
exactas
de
P
son
,
⎜
⎟
⎜
AÔP
está
en
el
la
página
pueden
⎠
Por
lo
coordenadas
del
son
(cos 30°,
los
exactos
de
punto
seno
P
encontrar
tanto,
valores
las
Trigonometría
se
2
cuadrante.
374
368
primer
⎟
2
⎝
sen 30°).
30º
y
coseno
30º.
Ejercitación
1
Utilice
el
y
11D
diagrama
para
hallar
las
coordenadas
del
punto P
para
P
cada
valor
guras
de
θ.
Dé
sus
respuestas
con
una
aproximación
de
tres
1
signicativas.
(1, 0)
θ
a
=
20°
i
A
2
θ
=
17°
c
θ
=
60°
θ
=
74°
θ
=
90°
Utilice
el
0
diagrama
de
la
pregunta
para
hallar
el
valor
de θ
El
para
las
coordenadas
del
punto
P
dadas.
Dé
sus
x
respuestas
diagrama
estará
grado
más
a
siempre
escala.
próximo.
a
P (0,408;
P (0,155;
c
P (0,707;
0,913)
Estas
coordenadas
han
0,922)
sido
redondeadas
P (0,970;
a
3
0,707)
cifras
no
al
signicativas.
0,242)
y
3
Utilice
dado
el
de
diagrama
θ.
Dé
sus
para
hallar
respuestas
el
área
con
una
de AOP
para
aproximación
el
de
valor
tres
cifras
P
signicativas.
El
a
θ
=
70°
θ
=
38°
c
θ
=
24°
segmento
punteado
1
es
la
altura
del
(1, 0)
triángulo.
i
A
0
θ
=
x
30°
y
Ahora
obser vemos
ángulos
ángulo
son
obtusos
obtuso
Cuando
se
los
en
el
trabaja
ángulos
(miden
entre
segundo
con
en
el
segundo
90°
y
cuadrante
ángulos
cuadrante.
80°).
de
obtusos
a
un
A
la
derecha
círculo
veces
es
Estos
de
útil
vemos
radio
un
unidad. B
i
considerar
1
A
cómo
se
relacionan
con
los
ángulos
del
primer
cuadrante
0
(ángulos
agudos).
ingacón:
El
siguiente
punto
x
1
C,
en
diagrama
un
ángulo
ángulos
muestra
positivo
al
θ
obtusos
punto
desde
B,
en
un
ángulo
positivo
de
30°
desde
OA,
y
al
OA.
y
Halle
el
valor
¿Cuáles
C
son
de
las
θ
coordenadas
del
punto
B?
B
Utilice
la
simetría
del
círculo
de
radio
unidad
i
para
D
30°
30°
0
escribir
las
coordenadas
del
punto
C
A
x
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
11
375
Ahora
obser ve
los
triángulos
formados
por
los
lados
OB
y
OC
y
el
eje
x
y
(–x
y)
C
B
(x
y)
150°
D
A
30°
E
0
EOC
60°
del
y
es
F
congruente
90°,
punto
y
B
cuya
son
con
x
FOB.
hipotenusa
(x,
y),
las
Ambos
mide
1.
son
triángulos
T
ambién
coordenadas
del
podemos
punto
C
son
3
Las
coordenadas
de
B
son
(cos
30°,
sen
30°)
lo
tanto,
las
coordenadas
del
punto
C
3
coordenadas
(–cos
30°,
sen
30°)
diagramas
40°
y
140°
25°
y
155°
68°
y
112°
Rotule
radio
las
para
mostrar
coordenadas
unidad.
¿Qué
de
los
que
si
que
las
miden
coordenadas
y).
1
(cos
2
150°,
sen
150°),
que
coinciden
par tir
de
la
con
las
1
los
2
siguientes
puntos
donde
pares
los
de
lados
ángulos
no
en
el
círculo
horizontales
de
cor tan
radio
al
unidad.
círculo
de
obser va?
Los
A
30°,
o
2
Dibuje
son
ver
(−x,
ángulos
o
2
Por
con
investigación,
conocemos
una
impor tante
ángulos
propiedad
suplementarios
de
los
ángulos
suplementarios.
suman
➔
Para
y
los
cos α
ángulos
=
suplementarios
α
y
β,
sen α
=
180°.
sen β,
–cos β
Veremos
ilustran
estas
➔
Para
cualquier
θ,
ángulo
sen θ
=
sen (80°–
θ),
=
– cos (80°–
propiedades
estudiemos
θ).
los
grácos
funciones
Esta
propiedad
nos
ser virá
más
capítulo
1
Utilice
B
y
con
C
el
los
para
valores
hallar
dados
aproximación
en
θ
=
30°
θ
=
57°
c
θ
=
45°
de
de
tres
las
θ.
coordenadas
Dé
cifras
sus
de
los
puntos
respuestas
signicativas.
B
180°–
i
1
i
D
376
θ
=
13°
θ
=
85°
Trigonometría
el
y
1
y
13.
C
a
las
seno
11E
diagrama
para
una
de
de
adelante.
coseno
Ejercitación
se
y
cuando
cos θ
cómo
grácamente
0
A
x
2
Utilice
cada
a
la
el
diagrama
una
de
décima
las
de
de
la
pregunta
posiciones
grado
más
del
1
para
punto C
hallar
dadas.
el
Dé
valor
sus
de θ
para
respuestas
próxima.
Estas
a
C (–0,332;
coordenadas
0,943)
han
C (–0,955;
0,297)
c
C (–0,903;
0,429)
a
sido
tres
redondeadas
cifras
signicativas.
3
C (–0,769;
Halle
el
seno
0,639)
de
signicativas),
cada
e
ángulo
indique
el
agudo
ángulo
(aproximado
obtuso
que
a
4
tiene
cifras
el
mismo
seno.
4
a
15°
36°
c
81°
64°
Halle
un
valor
agudo
a
sen A
=
0,871
sen A
=
0,436
c
sen A
=
0,504
sen A
=
0,5
Obser vemos
ahora
la
y
uno
recta
obtuso
con
para Â
ecuación y
=
mx :
y
y
=
Cualquier
mx
recta
con
ecuación
Este
y
=
mx
tiene
pendiente
m
y
pasa
es
un
especial
el
de
la
y
x
unidad
veamos
en
el
qué
punto
ocurre
B,
en
cuando
el
la
origen.
ecuación
Ahora
caso
por
primer
la
recta
cor ta
al
círculo
de
recta,
=
mx
+
estándar
y
=
ax
+
b
de
o
c.
radio
cuadrante.
y
y
=
mx
B
x
Capítulo
11
377
En
el
primer
Se
forma
de
la
cuadrante,
un
triángulo
la
recta
forma
rectángulo
del
un
que
ángulo θ
el
con
el
segmento OB
eje
y
x
(par te
y
recta
Esto
y
ilustra
=
mx)
es
algunas
la
=
mx
hipotenusa.
propiedades
impor tantes
que
B(cos i, sen i)
concier nen
Primero,
al
triángulo
aplicando
2
el
2
(sen θ)
teorema
de
y
a
la
recta y
Pitágoras,
=
mx
1
obtenemos
2
(cos θ)
+
rectángulo
=
2
.
La
forma
habitual
de
escribir
(sen θ)
i
sen i
2
y
(cos θ)
2
es
2
θ
sen
y
cos
θ,
lo
que
resulta
en
x
cos i
2
2
θ + cos
sen
Supongamos
θ = .
que
queremos
hallar
la
pendiente
de
la
recta y
=
mx.
y
(x
Esta
recta
pasa
por
los
puntos
O
y
(0,
pendiente
de
una
recta
y
B
(sen θ,
1
x
2
1
(x
, y
1
entonces
hallar
)
2
=
x
Podemos
, y
2
cos θ).
y
2
La
0)
la
pendiente, m,
utilizando
)
1
las
0
coordenadas
m
de
sen θ
0
cos θ
0
=
los
puntos
O
y
x
B :
sen θ
=
=
tan θ
La
propiedad
1
es
también
como
➔
Estas
tres
propiedades
2
sen
1
son
válidas
para
cualquier
cos
θ
la
conocida
relación
ángulo θ :
fundamental
2
θ
número
cos θ
o
la
= 1
identidad
pitagórica.
sen θ
tan θ
2
=
cos θ
Para
3
cualquier
recta
y
=
mx
que
forma
un
ángulo
de
θ
con
i
el
eje
empo
Halle
con
la
el
x,
el
valor
m
(la
pendiente
de
la
recta)
es
tan θ
pendiente
eje
de
de
la
recta
que
forma
un
ángulo
positivo
de
130°
x
La
propiedad
número
Respuesta
y
2
a
menudo
para
y
=
mx
Pendiente
=
tan θ
Este
se
puede
130°
(1, 0)
0
La
pendiente
tan 130°
378
≈
x
de
–1,19
Trigonometría
la
recta
es
valor
CPG.
hallar
usando
la
realizar
es
útil
cálculos.
empo
Halle
la
pendiente
muestra
en
el
de
la
recta
que
se
y
diagrama.
y
=
mx
60°
0
x
Respuesta
y
Hallar
y
=
mx
“posición
ángulo
f or mado
ángulo
60°
obtuso
120°
la
es
estándar”
por
esta
recta.
equivalente
positivo
de
del
al
El
ángulo
120°
60°
Esta
0
pendiente
f or ma
un
ángulo
de
120°,
x
en
La
recta
de
la
recta
120 °
sen
posición
estándar.
es
3
sen
60 °
2
tan 120°
=
=
cos
120 °
=
cos
60 °
1
2
3
=
Ejercitación
1
Halle
sus
la
=
–1,73
11F
pendiente
respuestas
con
de
la
una
recta
y
=
mx
en
aproximación
a
cada
de
tres
diagrama,
cifras
dando
signicativas.
y
y
117,5°
56,3°
x
0
x
y
y
=
=
mx
mx
c
y
y
135°
42,3°
0
x
y
=
mx
x
y
=
mx
Capítulo
11
379
2
Halle
la
ecuación
Halle
el
valor
a
de
θ
de
la
al
recta
grado
que
más
pasa
por
el
y
origen
y
el
punto P.
próximo.
y
P(0,471;
0,882)
P(0,674; 0,738)
i
i
x
x
y
y
=
=
mx
mx
c
y
y
P(–0,336;
=
mx
0,942)
i
i
x
0
x
0
y
=
P
mx
y
y
f
P(1,59; 3,76)
i
P(–0,8; 0,6)
x
0
i
Material
de
disponible
ampliación
en
línea:
x
y
=
Hoja
mx
y
.
La
e
orma
trigonometría
puede
usarse
de
restas
ejercicios
de
11:
Sumas
ángulos
no
para
resolver
triángulos
que
no
son
rectángulos.
Obser vemos
el
per pendicular
ABC.
a
La
a u
(altura),
h,
del
triángulo
es
A
AD,
BC
c
b
h
En
el
triángulo
rectángulo
ABC,
h
sen B
=
B
c
Esto
En
da
el
h
=
c sen B
triángulo
rectángulo
ACD,
h
sen C
=
b
Esto
da
h
=
Igualamos
c sen B
380
b senC
los
=
valores
b sen C.
Trigonometría
de
h
para
obtener
D
C
sen B
Reordenando
esta
ecuación,
sen C
obtenemos
=
b
La
es
razón
entre
el
seno
de
cada
ángulo
y
la
c
longitud
del
lado
opuesto
constante.
Ahora
dibujemos
la
altitud
sen
hallemos
las
desde B
A
razones
➔
e
que
se
obtienen
orma
lado
otra
=
c
son
AC,
y
desde
C
a
AB,
y
sen B
=
a
razones
al
sen C
vez.
Como
antes,
las
b
constantes.
Se
no
proporciona
esta
Para
cualquier
ABC,
donde
a
es
la
longitud
del
lado
el
a
Â,
b
es
la
longitud
del
lado
ˆ
a B
,
opuesto
y
c
es
la
fórmula
longitud
cuadernillo
opuesto
sen
A
ˆ
C,
a
en
sen B
sen C
=
más
(la
al
teorema
de
un
del
ángulo
un
lado
los
lados
o
la
el
utiliza
exámenes.
=
A
seno
y
se
c
=
sen
los
que
sen B
para
lado
sen C
resolver
opuesto,
amplitud
de
un
triángulos
y
una
si
medida
ángulo).
los
dando
el
c
menos
longitud
empo
Halle
b
utilizar
conocemos
b
o
=
a
Podemos
a
de
del
fórmulas
lado
en
opuesto
ángulos
sus
y
respuestas
con
que
una
se
desconocen
aproximación
de
en
tres
este
Hay
triángulo,
cifras
signicativas.
que
recordar
congurar
la
CPG
en
A
moo
Para
grao
cambiar
a
modo
9,4 cm
98°
c
grados,
presionar
y
seleccionar
5:
B
12 cm
sng
&
sau
C
(conguraciones
estado)
Respuesta
Utilizando
el
teorema
del
seno
Se
necesita
hallar
los
ángulos
ˆ
B
y
ˆ
C,
sen
B
y
la
medida
2:
y
sng
(conguraciones)
1:
sen 98 °
|
Gnra
|
(general).
c.
=
Utilizar
12
la
tecla
tab
para
9, 4
desplazarse
a
“Angle”
9, 4 sen 98 °
Entonces
sen
B
(ángulo)
=
y
seleccionar
12
dgr
ˆ
B
=
(grado).
50, 9° (3 cs )
Presionar
ˆ
C
=
ˆ
C
=
31,1305533...
ˆ
C
=
31,1°
180
–
sen 98 °
Â
(3
–
ˆ
B,
entonces
La
suma
triángulo
de
es
los
ángulos
en
cualquier
4:
y
Currn
luego
(actual).
180°.
cs)
sen 31,13055...
Utilizar
el
teorema
del
seno
una
vez
=
c
12
más
para
hallar
c
12 sen 31, 13055 …
c
No
=
se
deben
redondear
los
sen 98 °
pasos
c
=
6,26 cm
(3
cs)
intermedios,
valores
nales
de
sino
ˆ
B,
ˆ
C
y
solo
los
c
Capítulo
11
381
En
el
ejemplo
siguiente
0,
el
triángulo
con
todas
sus
dimensiones
rotuladas
se
vería
de
la
manera:
A
Siempre
nales
hay
para
que
revisar
asegurarse
las
de
respuestas
que
el
lado
9,4
98°
6,26
más
menor
50,9°
12
empo
este
dos
se
opone
amplitud
y
al
el
ángulo
lado
de
más
largo
se
31,1°
B
Halle
cor to
los
C
opone
al
ángulo
de
mayor
amplitud.
ángulos
triángulo,
cifras
y
lados
que
aproximando
se
sus
desconocen
respuestas
A
en
40,5 cm
a
decimales.
39°
C
c
77°
a
B
Respuesta
Necesitamos
Â
=
180°
–
77°
–
39°
=
a
sen
77 °
sen
64 °
a
a
Entonces
sen 77 °
a
=
ángulo
Â,
y
las
longitudes
y
c.
=
Utilizar
40, 5
el
40, 5 sen 64 °
,
=
hallar
64°
el
teorema
del
seno
para
hallar
a
y
c
sen 77 °
37,36 cm
(2
cd)
sen 39 °
=
40, 5
c
40, 5 sen 39 °
c
Revisar:
el
lado
más
cor to
(26,16)
es
el
opuesto
al
=
sen 77 °
Entonces
empo
Un
de
barco
032°.
¿Qué
c
ángulo
=
26,16 cm
(2
menor
opuesto
cd)
al
(39°).
ángulo
El
lado
mayor
más
largo
(40,5)
es
el
(77°).
está
Más
navegando
tarde,
distancia
el
hacia
capitán
navegó
el
el
Nor te.
obser va
barco
entre
El
que
estas
capitán
el
faro
dos
obser va
está
sobre
un
faro
un
r umbo
a
10 km,
de
sobre
un
r umbo
132°.
obser vaciones?
Respuesta
N
Dibujar
A
y
132°
es
B,
la
la
un
diagrama
posición
posición
donde
donde
para
el
lo
modelizar
capitán
vio
por
vio
la
por
situación
primera
segunda
vez.
L
vez
es
el
f aro,
la
B
posición
Lo
que
desde
del
faro.
tenemos
el
punto
que
A
al
hallar
punto
es
d,
la
distancia
que
el
barco
navega
B.
L
d
10
32°
A
Ángulo
ABL
=
180°
–
132°
=
48°
{
382
Trigonometría
Continúa
en
la
página
siguiente.
ˆ
L
=
180
–
Â
ˆ
B
–
=
100°
Ptolomeo
sen 100 °
(90–168
d.
C.),
sen 48 °
=
en
d
su
obra
de
13
10
volúmenes, Almagesto,
10
d
sen
100 °
=
escribió
d
=
El
del
seno
para
ángulos
90°.
T
ambién
de
0°
a
13,251....
barco
navega
entre
los
puntos
A
y
teorema
Resuelva
similar
al
B
teorema
Ejercitación
incluyó
aproximadamente
un
13,3 km
1
valores
48 °
sen
del
seno.
11G
cada
triángulo
aproximación
de
tres
ABC.
cifras
Dé
sus
respuestas
con
una
“Resolver”
signicativas.
triángulo
un
signica
A
hallar
todos
los
lados
c
y
ángulos
que
se
b
desconocen.
B
a
C
a
b
=
24 cm,
c
a
=
4,5 cm,
c
=
5,8 cm,
PREGUNTA
2
Un
la
3
Julia
el
árbol
4
está
Alan
de
y
el
ángulo
tiene
el
27°,
68,2°,
un
la
de
de
Â
ˆ
B =
=
55°
ˆ
c = 2,5 cm, Â = 40°, C = 72°
b
=
60,
ˆ
B =
ˆ
C
15°,
X
=
125°
43°
en
en
y
en
de
la
S75°E.
de
35
punta
ángulo
de
m.
del
los
Utilice
y
hacia
¿A
del
es
de
teorema
del
S40°E
y
la
es
de
el
Y
nota
que
está
el
camino?
de
una
posición
de
20
desde
distancia
en
68,2°
Z
Sur
mástil
mástil
elevación
el
qué
Desde
ángulos
el
XZ
dirección
posición
opuestos
distancia
el
en
2 km
segunda
lados
20 cm;
lados XY
campo
camina
su
de
muestra.
los
dirección
de
base
se
de
un
Luego
elevación
Kevin,
una
como
longitud
están
una
tiene
tal
árbol
está
por
83°
EXAMEN
primera
Kevin
posición
=
parada.
su
separados
3,6 cm,
isósceles
ahora
ˆ
B =
47°,
=
hallar
obser va
árbol
=
Â
miden
para
donde
b
TIPO
triángulo
base
seno
Â
36°.
50°.
bandera,
de
Alan,
Desde
¿Qué
la
altura
mástil?
Capítulo
11
383
Los
triángulos
se
usan
a
menudo
en
Un
triángulo
no
podemos
es
rígido:
la
cambiar
arquitectura.
la
izqura:
La
Torre
Hearst
en
la
ciudad
forma.
Las
trasversales
Nueva
Y
ork
a
base
drcha:
ingacón:
T
rate
hay
de
en
dibujar
realidad
un
construir
diagonales
ABC,
triángulos
en
que
triángulos.
triángulos
triángulo
dos
rectangular
,
esquinas,
forman
rigidez
Para
pueden
las
dan
estructura.
una
estructura
varas
la
isósceles.
for talecer
se
los
de
a
triángulos
y
está
montantes
construida
barras
de
con
ambiguos
Â
=
posibles
32°,
que
a
=
3 cm
cumplen
B
y
con
c
=
5 cm.
esta
Encontrará
que
descripción:
B
5
3
5
3
32°
32°
A
b
C
A
Las
medidas
Halle
la
dadas
no
amplitud
b
describen
del
ángulo
C
un
C
único
en
triángulo.
cada
triángulo
(llámelos
C
y
C
1
¿Cuál
es
la
Utilizando
Esto
se
se
dan
un
estos
conoce
dos
empo
En
relación
ángulos
como
lados
y
entre
el
un
estos
para
cao
ángulo
C,
dos
halle
amguo ,
del
).
2
ángulos?
el
y
a
triángulo
ángulo
veces
que
no
B
y
la
puede
está
longitud
suceder
,
AC
en
comprendido
entre
triángulo
triángulo,
ABC,
dando
aproximación
de
Â
todos
una
=
los
cifra
40°,
a
casos
=
14 cm
y
posibles.
c
=
Dé
20 cm.
las
Resuelva
respuestas
este
con
una
decimal.
Respuesta
sen 40 °
sen C
=
Utilizar
14
la
CPG
en
20
modo
grados
20 sen 40 °
sen C
Redondear
=
a
un
decimal
14
Los
ángulos
ˆ
C
=
66,7°
1
suplementarios
ˆ
C
=
180°
–
66,7°,
entonces
2
ˆ
C
=
113,3°
el
2
seno
de
tienen
igual
valor.
ˆ
B
=
180°
–
40°
–
66,7°
=
Los
73,3°
dos
valores
posibles
1
ˆ
para
B
=
180°
–
40°
–
113,3°
=
C
dan
dos
valores
26,7°
2
posibles
{
384
Trigonometría
Continúa
en
para
la
B.
página
cada
triángulo.
cuando
siguiente.
estos
dos
lados.
B
1
sen 40 °
Y
sen 73, 3 °
nalmente,
hallar
dos
=
14
valores
b
para
b,
con
una
1
o
14
b
aproximación
sen 73, 3
de
un
73,3°
=
20
1
o
decimal
sen 140
b
=
14
20,9 cm
1
o
sen 40
sen 26, 7
66,7°
40°
=
14
b
2
20,9
A
C
1
o
14
b
sen 26, 7
=
2
o
B
sen 40
b
=
2
9,8 cm
2
26,7°
El
caso
ambiguo
no
se
produce
siempre
que
se
resuelve
un
triángulo.
20
14
➔
Puede
haber
un
caso
ambiguo
cuando
utilizamos
el
teorema
113,3°
del
seno
40°
si:
A
C
9,8
●
Nos
dan
dos
lados
y
un
ángulo
agudo
no
comprendido
2
entre
[
Esto
es
lo
que
vemos
ellos.
si
●
El
lado
opuesto
al
ángulo
agudo
dado
es
el
menor
de
dibujamos
los
los
triángulos.
dos
lados
Ejercitación
1
Use
la
dados.
11H
información
dada
para
hallar
los
lados
y
ángulos
que
se
Algunos
desconocen
en
el
triángulo
ABC.
Dé
todas
las
soluciones
se
con
respuestas
aproximadas
a
una
cifra
decimal.
Todas
=
están
a
Â
c
ˆ
C
30°,
a
Â
=
70°,
a
g
Â
=
45°,
a
=
en
4,
y
estos
relacionan
con
no
el
las
caso
longitudes
de
posibles,
ambiguo.
centímetros.
c
=
7
ˆ
B =
Â
=
42°,
a
=
33,
y
c
f
Â
=
70°,
a
=
25,
y
b
50°,
b
=
17,
y
c
=
21
A
=
20°,
b
=
6,8;
y
c
=
2,5
=
25,
y
b
=
28
=
22,
y
b
=
14
=
25
10 m
ˆ
B =
h
56°,
b
=
45,
y
c
=
=
26
6 m
50
E
B
10
2
Obser ve
el
diagrama
a
la
derecha:
C
a
Halle
BE,
Halle
las
CE
y
DE
17 m
y
c
amplitudes
de
los
ángulos EÂB,
ˆ
BCE,
ˆ
BCD,
ˆ
BDC,
ˆ
AB D
ˆ
CB D
Explique
cómo
este
diagrama
se
relaciona
con
el
caso
ambiguo
D
del
teorema
PREGUNTA
3
Un
TIPO
barco
faro
a
está
una
a
Dibuje
¿Qué
del
seno.
EXAMEN
navegando
distancia
un
de
20 km,
diagrama
distancia
hacia
para
el
Oeste
sobre
un
mostrar
la
cuando
r umbo
el
de
capitán
ve
un
230°.
situación.
debe
navegar
el
barco
antes
debe
navegar
el
barco
más
de
que
el
faro
esté
a
6 km?
c
¿Qué
en
,
distancia
antes
6 km
del
¿Sobre
que
el
faro
esté
nuevamente
allá
a
del
una
punto
hallado
distancia
de
barco?
qué
segunda
de
r umbo
vez
que
está
los
situado
separa
el
una
faro
respecto
distancia
de
del
barco
la
6 km?
Capítulo
11
385
.
Los
e
orma
siguientes
triángulos
no
cono
pueden
resolverse
con
el
teorema
A
al
del
seno:
X
D
6,56
8,9
3,63
80°
13,2
8,28
E
Z
F
a
Y
Consideremos
lado
el
triángulo
ABC,
con
altura
h
desde
A
BC
c
b
h
En
el
triángulo
2
2
b
En
ACD,
=
el
2
h
+
(a
–
triángulo
2
2
h
+
=
de
Pitágoras
2
h
+
a
da
B
2
–
2ax
+
x
D
a
–
x
C
x
ABD,
2
x
=
lo
teorema
2
x)
c
2
Por
el
tanto,
h
Reemplazamos
h
2
=
c
2
–
x
2
2
2
b
=
2
c
–
x
+
a
2
=
en
la
primera
2
+
ecuación
para
obtener
2
a
–
2ax
+
x
2
c
–
2ax
x
En
el
triángulo
ABD,
cos
B
,
=
entonces
x
=
c cos B
c
Reemplazando
2
b
Esta
2
=
a
el
valor
de
x,
obtenemos
2
+
c
–
ecuación
2ac
es
cosB
una
forma
del
orma
cono
Quizás
➔
e
orma
2bc
Para
la
ABC,
longitud
donde
del
lado
a
es
la
longitud
opuesto
a
ˆ
B
,
del
lado
opuesto
a
Â,
b
a
cos
como
y
c
es
la
longitud
del
A
2bc
cos
punto
b
=
a
2
b
c
386
c
+
c
a
Trigonometría
–
2bc cos A,
o
bien
del
–
2ac cos B,
o
bien
en
coseno
teorema
gura
2
2
=
El
2
+
2
2
donde
signica
ˆ
C:
2
=
A,
lado
multiplicar
.
2
a
visto
escrito
es
el
opuesto
hayamos
cono
2
+
b
–
2ab cos C
el
cuadernillo
fórmulas.
de
empo
Halle
a
y
los
ángulos
que
se
desconocen
del
triángulo.
A
8,9 cm
80°
13,2 cm
C
a
B
Respuesta
2
a
2
=
13,2
2
+
8,9
–
2
a
=
a =
2(13,2)(8,9)
cos 80°
Utilizar
13, 2
el
teorema
del
el
teorema
del
coseno
2
+ 8, 9
− 2
(13,
2
) ( 8, 9 )
cos 80°
14,6 cm
sen 80 °
sen B
=
Utilizar
a
8, 9
seno
8, 9 sen 80 °
sen B
=
14, 6
ˆ
Por
lo
ˆ
C
180°
=
tanto,
Cuando
es
útil
➔
–
B
80°
=
–
36,9°
36,9°
=
63,1°
usamos
el
teorema
del
reordenar
la
fórmula
de
t
orma
2
b
cos A
coseno
esta
para
hallar
ángulos,
a
veces
manera:
cono
2
+ c
2
− a
=
B
2bc
c
2
a
cos B
2
+ c
a
2
− b
=
2 ac
A
2
a
cos C
2
+ b
b
C
2
− c
=
2 ab
empo
Halle
los
ángulos
A,
B
y
C
A
6,56 mm
3,63 mm
B
8,28 mm
C
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
11
387
Respuesta
2
( 3,
cos
A
2
63 )
+
2
( 6, 56 )
( 8,
28
)
Utilizar
=
( 3,
2
63
el
teorema
del
) ( 6, 56 )
coseno
2
2
2
2
( 3,
63
)
( 6, 56 )
+
−
( 8,
28
)
b
2
2
+ c
a
–1
 =
cos
cos
2
Â
=
105°
( 3,
63
2
B
2bc
) ( 6, 56 )
2
+
2
( 8, 28 )
−
( 6, 56 )
=
Teorema
2
2
( 3,
del
coseno
( 3, 63 ) ( 8, 28 )
(aquí,
ˆ
B
=
(3 cs)
( 3, 63 )
cos
A
2
63 )
+
( 8,
28
se
podría
usar
2
)
−
también
( 6, 56 )
el
teorema
del
–1
=
cos
seno)
2
Por
lo
ˆ
C =
=
180°
–
25,1°
resolver
al
) ( 8,
)
28
49,9°
49,9°
ejemplo
5
en
rápidamente
la
sección
utilizando
.2.
el
Este
problema
teorema
del
se
puede
coseno.
barcos
dirección
zar pan
Nor te
siguiendo
próximo,
–
63
cs)
más
empo
=
105°
(3
Volvamos
Dos
ˆ
B
tanto,
( 3,
un
la
al
antes
r umbo
mismo
de
de
distancia
tiempo.
soltar
050°
entre
el
ancla.
antes
los
El
de
barcos
barco
El
A
navega
barco
soltar
el
cuando
B
30 km
navega
ancla.
están
en
65 km
Halle,
al
km
más
quietos.
El
Respuesta
teorema
Pitágoras
de
es
un
caso
B
Dibujar
el
diagrama
especial
del
del
coseno.
teorema
Analice
A
qué
sucede
expresión
65
con
la
cuando
se
30
50°
usa
el
teorema
coseno
P
de
2
AB
2
=
30
2
+65
–
2(30)(65)
×
cos50°
Utilizar
2
a
2
AB
=
=
La
2
+ 65
2
( 30 ) ( 65 )
cos50°
51,17
distancia
51 km
388
30
(al
entre
km
Trigonometría
más
los
barcos
próximo).
es
de
el
teorema
2
=
b
del
coseno
2
+
c
–
2bc cos 50 °
90°.
con
un
del
ángulo
Ejercitación 11I
1
Utilice
en
la
cada
una
información
triángulo.
cifra
Dé
decimal.
dada
sus
Todas
para
hallar
respuestas
las
todos
con
longitudes
los
una
ángulos
y
lados
aproximación
están
en
La
trigonometría
de
triángulos
de
muchas
Â
a
2
c
a
ˆ
C
Un
un
=
=
64°,
3,6;
=
r umbo
deberá
de
al
Las
Las
Halle
C
El
las
barco
barco
B
barcos
y
c
b
=
2,4
=
el
Se
86
TIPO
B
A
está
toma
el
un
a
las
ˆ
B =
31°,
f
a
45,
de
=
20,
=
y
b
=
a
b
=
=
luego
03°.
Se
detiene
tomando
un
camino
al
33,
y
10,
c
y
50,
camina
descanso,
c
y
5 km
=
c
=
=
en
la
aplicaciones
vida
cotidiana.
14
58
siguiendo
camina
de
41
otros
nuevo
directo.
antes
de
¿Cuánto
campamento?
paralelogramo
de
el
las
de
y
la
del
A
son
y
C
un
ángulo
6 cm
y
agudo
de
9 cm.
paralelogramo.
ciudad
dirección
ciudades
B
A,
en
N27°E
es
de
dirección
de
la
20 km.
N36°O
.
ciudad
Halle
la
A,
y
La
la
distancia
C.
puerto
de
lados
de
en
forman
diagonales
los
5 km
mismo
ahora
un
regresar
encuentra
deja
deja
a
EXAMEN
de
entre
campamento
r umbo
para
ciudades
es
72
campamento,
se
distancia
entre
un
=
y
longitudes
ciudad
c
deja
longitudes
las
ciudad
5
75,
058°.
diagonales
62°.
y
4,9;
=
caminar
PREGUNTAS
La
=
a
43,
siguiendo
regresar
4
b
70°,
=
excursionista
8 km
3
b
tiene
metros.
y
navega
puerto
36 km.
y
28 km
navega
¿Con
qué
en
dirección
49 km.
rumbo
La
Este.
distancia
navegaba
el
El
entre
barco
los
B?
E
6
La
pirámide
Sus
otras
ABCDE
caras
son
tiene
una
triángulos
base
cuadrada
de
lado
15 cm.
isósceles congrun,
cuyos
lados
24
iguales
Halle
a
miden
estos
24 cm.
B
ángulos.
ˆ
A BD
C
ˆ
E DC
c
EÂC
A
15
.
D
Ára
Obser ve
al
Podemos
un
triángulo
hallar
el
ránguo
ABC
área
con
del
base
b
triángulo
y
altura
h
utilizando
B
la
fórmula:
c
a
h
1
área
bh
=
2
A
D
C
h
En
ADB,
sen A
,
=
entonces
h
=
c
b
sen A
c
1
Reemplazando
el
valor
de h
en
la
fórmula,
se
obtiene
área
=
bc sen A
2
Obser vemos
altura
del
que
para
usar
esta
fórmula
no
hace
falta
conocer
la
triángulo.
Capítulo
11
389
➔
El
área
de
cualquier
triángulo
1
área
o
área
=
2
empo
a
Halle
viene
dada
por
la
fórmula:
1
1
bc sen A
=
ABC
o
ac sen B
área
ab sen C
=
2
2
el
área
del
triángulo
ABC
C
7,8 cm
82,7°
8,4 cm
A
B
E
2
El
área
de
este
triángulo
es
de
50 cm
.
8,2 cm
Halle
el
θ
ángulo
i
D
13,7 cm
Respuestas
1
1
a
Área
=
( 8,
4
) ( 7, 8 )
Área
sen 82, 7°
=
ab
sen
C
2
2
2
=
32,5 cm
(3
cs)
1
(8, 2) (13,7 )
senθ
= 50
A
2
b
50
sen θ
=
8,2 cm
1
(8, 2 )
(13, 7 )
En
el
primer
de
la
era
siglo
c
2
cristiana,
i
C
100
=
=
(8, 2 )
Hero
0 ,8901...
(o
Herón)
de
(13, 7 )
13,7 cm
Alejandría
desarrolló
1
θ
= sen
a
0, 8901
un
B
método
diferente
= 62,9 ° (3 cs )
para
un
Ejercitación
11J
hallar
triángulo,
solo
la
Halle
el
área
a
de
cada
triángulo.
Todas
las
longitudes
en
10
9,4
están
centímetros.
c
56,5°
13,4
115°
25,1
9
6,8
8
32°
f
7,88
86°
46
8,74
30
41
58°
10,98
390
Trigonometría
46°
área
de
utilizando
medida
lados.
1
el
de
sus
2
El
2
triángulo
Halle
el
mostrado
valor
tiene
un
área
de
100 m
.
θ
de
15 m
i
18 m
El
3
triángulo
mostrado
tiene
un
área
2
de
.
324 cm
x
Halle
el
valor
de
x
57,4°
33,9 cm
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
El
4
Halle
a
el
ángulo
mayor
de
este
término
de
triángulo.
instrucción
“a
par tir
10,2 cm
A
partir
de
lo
anterior,
halle
el
área
de
lo
anterior”
indica
17,2 cm
del
triángulo.
que
se
debe
respuesta
16,4 cm
a
para
El
triángulo
mostrado
tiene
un
área
de
2x
+
al
la
apar tado
responder
apar tado
5
utilizar
al
3
2
30 cm
.
Halle
el
valor
de
x
30°
4x
+
5
2
El
6
área
Dos
lados
Halle
.
Los
de
dos
un
triángulo
del
triángulo
longitudes
Raan,
ángulos
se
es
de
miden
posibles
arco
pueden
20 mm
medir
en
8 mm
para
y
.
y
el
mm.
tercer
lado.
cor
raan
en
crcuar
lugar
de
grados.
Los
¿Por
qué
Una
vuelta
medida
u zamo
un
raan?
completa
tanto
tiene
que
360°,
arbitraria.
Los
pero
el
número
radianes,
en
360
cambio,
resulta
en
una
esta
sección,
longitud
Un
radián
central
que
del
es
relacionados
veremos
arco
el
y
el
tiene
la
longitud
cómo
área
tamaño
uno
del
por
del
con
del
arco
radio
del
medidas
radianes
sector
ángulo
un
los
las
propias
están
están
del
círculo.
relacionados
había
el
360°
una
directamente
babilonios
año
360
y
para
creían
días
utilizaron
representar
revolución.
En
con
la
circular
Dos
radianes
ángulo
arco
es
central
que
mide
el
tamaño
subtendido
el
doble
del
del
por
un
radio
del
círculo.
círculo.
Un
central
subtendido
2r
arco
r
r
r
ángulo
B
B
i
es
vér tice
un
es
por
un
ángulo
el
cuyo
centro
del
i
A
A
O
r
O
círculo
y
cuyos
pasan
por
extremos
θ
=
1
radián
θ
=
2
lados
r
los
del
puntos
arco.
radianes
Capítulo
11
391
Una
de
vuelta
igual
completa
longitud
alrededor
que
la
del
círculo
circunferencia
del
circunferencia
Por
2π
lo
tanto,
el
ángulo
que
subtiende
=
la
es
subtendida
por
un
arco
círculo.
2π r
circunferencia
del
círculo
es
radianes.
Longitud
del
arco
=
circunferencia
=
2π r
r
i
=
2r
radianes
Cualquier
ángulo
tanto,
podemos
como
una
central
calcular
fracción
de
de
la
Longitud
del
una
arco
=
donde
r
central
es
el
radio
medido
en
y
es
del
una
arco
fracción
del
de
ángulo
2
π;
por
lo
subtendido
circunferencia.
círculo
longitud
➔
un
2
θ
2 r =
rθ,
es
el
ángulo
O
radianes.
r
i
r
2
De
El
manera
área
del
de
área
similar,
un
del
la
sector
fórmula
circular
para
con
un
el
área
de
un
círculo
central θ
ángulo
es
será
área
una
= πr
fracción
círculo.
2
➔
Área
del
sector
circular
=
2
donde
r
es
el
radio
de
un
2
r
,
2
círculo
r
y
θ
es
el
ángulo
central,
en
radianes.
empo
a
Halle
la
ángulo
longitud
central
del
de
arco
2,6
que
subtiende
radianes
(obser ve
un
el
i
diagrama)
Halle
el
en
área
un
del
círculo
sector
con
un
radio
de
=
2,6
radianes
7 cm.
7 cm
circular.
Respuestas
a
Longitud
del
arco
=
7(2,6)
=
18,2 cm
Longitud
del
arco
=
rθ
2
2
2, 6
(7
θ r
)
Área
Área
del
sector
circular
del
sector
circular
=
=
2
2
2
=
392
Trigonometría
63,7 cm
.
La
abreviatura
de
“radianes”
es
ra.
En
el
ejemplo
anterior,
en
lugar
Otra
de
“2,6
radianes”
podemos
escribir
“2,6
rad”.
Si
nos
manera
escribir
con
un
ángulo
suponer
que
expresado
se
trata
de
sin
un
unidades
ángulo
de
(p.
2,6
ej.,
“sen
2,6”),
Un
radianes.
en
c
radianes
es
donde
c
la
2,6
,
denota
circular
.
círculo
central
ángulos
podremos
medida
empo
de
encontramos
tiene
un
subtendido
radio
por
de
un
2,5 mm.
arco
de
Halle
9 mm
de
la
amplitud
del
ángulo
longitud.
Respuesta
9
=
2,5θ
Longitud
del
arco
rθ
=
9
θ
=
2, 5
=
3, 6 rad
empo
En
este
círculo,
el
arco
AB
=
7,86 cm
y
el
área
del
sector
Algunos
circular
2
AOB
=
23,58 cm
.
Halle
el
ángulo
central
θ
y
el
radio
cultivos
siembran
r
A
en
circulares.
otras
se
patrones
¿Qué
aplicaciones
conocemos
de
los
i
B
círculos,
r
O
los
en
los
sectores
la
vida
arcos
y
circulares
cotidiana?
Respuesta
2
2
θ
r
r
2
23,58
=
,
entonces
47,16
=
θr
Área
del
sector
circular
=
2
2
7, 86
7,86
=
rθ,
Longitud
=
entonces
del
arco
rθ
=
r
7, 86
2
47,16
=
(r
)
=
7,86r,
entonces
Reemplazar
la
expresión
de
θ
de
la
r
ecuación
47,16
r
anterior
=
7, 86
=
6 cm
7, 86
7, 86
θ
=
,
entonces
θ
=
1,31
rad
Utilizar
el
resultado
θ =
r
6
Ejercitación
1
Halle
,7
2
la
longitud
radianes,
Halle
3,25
la
11K
en
un
longitud
radianes,
del
en
arco
que
círculo
del
un
arco
de
que
círculo
subtiende
5,6 cm
de
subtiende
de
24 cm
de
un
ángulo
central
de
radio.
un
ángulo
central
de
diámetro.
Capítulo
11
393
3
Un
arco
Halle
4
Un
el
arco
círculo
sector
5
de
Un
AB
de
círculo
6
En
el
centro
de
TIPO
Si
O
y
P
un
tiene
ángulo
radio
un
un
central
50 cm.
Halle
de
el
central θ.
ángulo
radio
de
2,4
2,5 mm.
radianes,
área
y
el
en
un
perímetro
del
y
un
ángulo
radio
3 cm.
central
Halle
el
de
5,
área
radianes,
y
el
en
perímetro
un
del
WPX.
EXAMEN
con
la
subtiende
círculo
AOB
centro
círculo
θ.
el
subtiende
circular
central
2,5 mm
si
subtiende
WX
PREGUNTA
θ,
de
circular
arco
sector
longitud
valor
centro
longitud
P,
el
del
arco
arco
QR
QR
subtiende
es
27,2 cm
un
y
el
ángulo
área
del
2
sector
7
El
círculo
radio
es
circular
de
halle
de
O
el
tiene
6 cm.
8 cm.
PQR
Si
área
La
las
del
es
un
217,6 cm
radio
de
distancia
,
4 cm,
entre
circunferencias
sombreado
θ
halle
y
los
se
oscuro
el
y
el
círculo
centros
cor tan
en
el
radio
de
P
del
tiene
los
en A
y
círculo.
A
un
círculos
en
O
B,
b
P
a
diagrama.
B
Grados
Hemos
y
radianes
visto
que
una
rotación
completa
en
un
círculo
resulta
en
un
Se
ángulo
central
de
2π,
y
que
una
rotación
completa
es
igual
a
da
que
Podemos
utilizar
estos
resultados
para
convertir
radianes
a
por
sentado
360°.
cualquier
expresado
múltiplo
360°
=
2π,
=
1
entonces
80°
=
ángulo
grados.
como
π
de
está
π.
medido
en
radianes,
180°
y
radián
por
lo
tanto,
no
se
π
necesita
escribir
“rad”.
π
1°
radianes
=
180
➔
Para
conver tir
grados
a
radianes,
multiplicar
por
180
180
➔
Para
conver tir
radianes
a
grados,
multiplicar
por
empo
Los
a
Convier ta
estos
ángulos
a
radianes:
30°,
45°,
de
Dé
respuestas
valores
los
ángulos
exactas.
2π
π
medidos
Convier ta
estos
ángulos
a
grados:
rad,
5
Dé
respuestas
radianes
se
escriben
como
exactas.
{
Trigonometría
en
rad.
9
múltiplos
394
exactos
60°.
Continúa
en
la
página
siguiente.
de
π
Respuestas
π
⎛
30°
a
=
⎜
180
π
⎛
=
180
π
⎛
180
60π
⎞
=
180
2π
180
180
π
180
=
Dé
los
estos
valores
Convier ta
Dé
20°
π
9
Convier ta
a
por
π
=
empo
Multiplicar
72°
π
5
9
3
180
=
π
π
=
⎠
=
5
4
⎟
⎝
2π
π
=
⎠
60
⎜
180
⎟
⎝
=
por
6
45π
⎞
⎜
60°
π
Multiplicar
180
⎠
45
=
π
=
⎟
⎝
45°
30π
⎞
30
=
los
ángulos
con
estos
valores
una
radianes:
43°,
aproximación
ángulos
con
a
una
a
grados:
1
de
rad;
aproximación
70°,
136°.
tres
cifras
2,3
de
signicativas.
rad.
una
cifra
decimal.
Respuestas
π
⎛
43°
a
=
=
⎜
180
π
⎛
=
rad
(3
cs)
70π
⎞
=
=
⎝
0,750
180
⎠
70
⎜
1,22
rad
(3
cs)
⎟
180
180
⎠
π
⎛
136°
=
⎟
⎝
70°
43π
⎞
43
136π
⎞
= 136
=
⎜
⎝
=
2,37
rad
(3
cs)
⎟
180
180
⎠
180
1
rad
= 1
=
57,3°
(1
cd)
π
180
2,3
rad
=
=
2, 3
131,8°
(1
cd)
π
Ejercitación
1
Convier ta
Dé
a
2
estos
valores
75°
sus
ángulos
a
radianes.
exactos.
Convier ta
Dé
11L
estos
240°
c
ángulos
respuestas
con
a
80°
330°
radianes.
una
aproximación
de
tres
cifras
signicativas.
a
3
56°
Convier ta
Dé
estos
valores
ángulos
a
324°
230°
grados.
3
5
6
c
exactos.
5
a
107°
c
3
5
2
4
Capítulo
11
395
Convier ta
4
Dé
1,5
a
En
sus
la
estos
ángulos
respuestas
rad
.,
a
grados.
una
0,36
sección
con
aproximación
rad
vimos
2,38
c
algunos
de
tres
rad
cifras
signicativas.
3,59
ángulos “especiales”
rad
en
Para
triángulos
rectángulos:
múltiplos,
se
30°,
45°,
60°
y
90°.
Estos
ángulos,
y
cambiar
raan,
utilizan
con
frecuencia
en
trigonometría
y
expresarse
en
radianes.
Es
útil
recordar
estos
tener
que
hacer
cada
vez
la
conversión.
Las
ángulos,
tablas
presionar
seleccionar
&
sau
muestran
(conguraciones
algunos
ángulos
especiales
en
grados
y
sus
equivalentes
en
múltiplos
de
π
|
2:
sng
(conguraciones)
1:
Ánguo
y
radianes,
estado)
como
5:
para
sng
no
moo
también
y
pueden
a
sus
Gnra
|
(general).
n
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
Utilizar
la
tab
tecla
grao
para
Ánguo
n
2π
π
5π
3π
7
5
desplazarse
“Angle”
(ángulo)
a
y
π
raan
6
3
4
3
2
6
4
6
4
seleccionar
Raan
(radián).
Los
ángulos
que
son
múltiplos
de
30°,
45°,
60°
y
90°
generalmente
Presionar
se
escriben
como
valores
exactos,
en
radianes,
utilizando π
4:
Cuando
resolvemos
problemas
trigonométricos
deberemos
Currn
a
si
los
ángulos
están
dados
en
grados
o
volver
al
radianes.
documento.
Para
hallar
medidos
en
empo
El
los
valores
radianes,
de
se
seno,
debe
coseno
utilizar
y
la
tangente
CPG
en
de
ángulos
modo
RADIANES.
diagrama
muestra
el
círculo
de
C
centro
O
y
radio
5 cm.
5 cm
Halle
con
el
área
una
de
la
región
aproximación
sombreada,
de
tres
O
cifras
1,46
rad
signicativas.
D
Respuesta
2
(1,
Área
del
sector
OCD
46
)
(5
)
=
Área
de
la
región
sombreada
=
área
2
del
sector
OCD
–
área
2
=
18,25 cm
1
Área
de
OCD
Área
( 5) ( 5)
sen
(1,
46 )
2
≈
12,42335...
Área
sombreada
1
=
18,25
( 5) ( 5)
–
2
2
=
396
ab
2
1
=
=
5,83 cm
(3
Trigonometría
cs)
sen
(1,
46 )
sen C
de
luego
(actual)
prestar
para
atención
y
seleccionar
OCD
Ejercitación
1
Halle
el
11M
valor
exacto
de
Halle
el
valor
de
cos
3
El
TIPO
=
1,3
A
4
El
razones
3
trigonométricas,
con
una
signicativas.
1,25
c
tan
2,3
cos
0,84
EXAMEN
muestra
el
círculo,
centro A,
radio
4,5 cm
y
radianes.
C
1,3
cifras
sen
sen
6
siguientes
tres
diagrama
BÂC
de
0,47
PREGUNTAS
las
trigonométricas.
tan
c
3
aproximación
a
razones
cos
4
2
siguientes
2
sen
a
las
a
Halle
el
área
de
ABC
Halle
la
longitud
c
Halle
el
BC
rad
4,5
área
de
la
región
sombreada.
B
diagrama
muestra
el
círculo,
centro O,
con
A
un
11 m
3 m
radio
de
3 m,
AB
=
y
AÔB
=
0,94
radianes.
0,94
Halle
el
área
B
sombreada.
O
5
El
diagrama
de
6 cm,
QR
muestra
=
el
,2 cm
P
círculo,
y
PÔQ
centro O,
=
,25
con
un
radio
radianes.
a
Halle
el
área
de
POQ
Halle
el
área
de
QOR
c
Halle
θ
Halle
la
6 cm
Q
1,25
i
(PÔR).
M
O
11,2 cm
longitud
del
arco
PMR
R
ercco
rón
✗
1
En
el
Halle
2
En
a
el
triángulo
la
ABC,
longitud
triángulo
Halle
ˆ
X ZY
de
Â
=
ˆ
B =
45°.
La
longitud
de
AC
es
7 cm.
AB
XYZ,
XY
=
8 cm,
Halle
XZ
=
16 cm
y
ˆ
XY Z
=
90°.
YZ
Capítulo
11
397
PREGUNTAS
3
Una
La
recta
recta
Halle
el
TIPO
pasa
forma
valor
EXAMEN
por
un
el
origen
ángulo
(0,
0)
y
θ
agudo
por
con
el
el
punto
eje
(5,
2).
x.
tan θ
de
Z
4
El
diagrama
XY
=
10 cm
muestra
ˆ
X
y
=
un
triángulo
XYZ,
con
XZ
=
4 cm,
4 cm
30°
30°.
X
Halle
el
área
del
triángulo
10 cm
Y
XYZ
B
A
5
El
diagrama
AÔC
=
2,5
muestra
un
círculo,
centro O
y
radio
de
10 cm.
2,5
radianes.
a
Halle
la
longitud
Halle
el
área
del
arco
ABC
C
10 cm
O
ercco
1
Un
la
obser vador
par te
¿Qué
más
altura
del
sector
circular
sombreado.
rón
parado
alta
del
tiene
el
a
100 m
edicio
de
con
la
un
base
de
ángulo
un
de
edicio
obser va
elevación
de
36°.
edicio?
y
2
El
diagrama
unidad
muestra
(radio
1
par te
unidad)
de
con
un
círculo
centro
de
radio
O
C
D
Ángulo
a
AOB
B.
El
punto
el
PREGUNTAS
C
tiene
ángulo
Ángulo
c
32°.
Escriba
las
coordenadas
B
de
Halle
=
COD
TIPO
=
coordenadas
(0,294;
0,956).
E
AOC
54°.
Halle
las
coordenadas
de
D
A
x
0
1
1
EXAMEN
ˆ
3
El
diagrama
muestra
un
triángulo
XYZ,
con
X
=
42,4°;
13,2 cm
ˆ
Z
=
82,9°
y
XY
=
13,2 cm.
X
42,4°
a
Halle
ˆ
Y
Halle
XZ
82,9°
Z
4
El
diagrama
muestra
un
triángulo
PQR,
con
ˆ
Q
=
118°,
P
9,5 m
PQ
=
9,5 m
y
QR
=
11,5 m.
Q
a
Halle
PR
Halle
ˆ
P
118°
11,5 m
R
398
Trigonometría
2
5
El
diagrama
muestra
a
Halle
ˆ
ACB,
Halle
AB
el
triángulo ABC,
sabiendo
que
es
un
que
ángulo
tiene
un
área
de
B
10 cm
obtuso.
5,83 cm
A
6
Dos
barcos
zar pan
del
puer to
P
al
mismo
C
4
N
tiempo.
A
El
barco
A
navega
24 km,
siguiendo
un
r umbo
de
050°
24 km
antes
de
soltar
el
ancla.
50°
El
barco
B
navega
38 km,
siguiendo
un
r umbo
de
70°
P
antes
de
Halle
la
soltar
el
170°
ancla.
distancia
entre
los
dos
barcos
cuando
están
quietos.
38 km
B
7
El
diagrama
muestra
un
cuadrilátero ABCD,
con
AB
=
B
7 cm,
9 cm
BC
=
9 cm,
CD
=
8 cm
y
AD
=
15 cm.
Ángulo
ACD
=
82°,
7 cm
C
y°
ángulo
CAD
=
x°
y
ángulo
ABC
=
y°.
A
a
Halle
el
valor
de
x
Halle
AC
c
Halle
el
valor
de
y
Halle
el
82°
x°
8 cm
área
del
triángulo
ABC
15 cm
D
8
El
diagrama
muestra
de
12 cm.
Ángulo
a
Halle
BC
Halle
DB
c
Halle
la
longitud
Halle
el
perímetro
un
DAC
=
círculo
0,93
con
centro A
radianes
y
y
un
ángulo
radio
BCA
=
1,75
B
radianes.
D
E
del
arco
DEC
1,75
de
la
región
BDEC
0,93
12 cm
A
C
Capítulo
11
399
ResUMeN
del
CAPÍtUlO
trgonomría
Para
cualquier
triángulo
seno θ
con
O
=
=
hipotenusa
rcánguo
ángulo θ :
un
adyacente
;
coseno θ
A
=
;
=
H
hipotenusa
opuesto
tangente θ
ránguo
rectángulo
opuesto
●
11
H
O
=
=
adyacente
A
H
O
sen θ
●
tan θ
=
i
cos θ
A
●
Las
razones
trigonométricas
de
los
“ángulos
especiales”
son:
Amp u
30°
sno
Cono
tangn
2
√3
ánguo
1
3
1
3
60°
=
°
2
2
3
3
1
1
2
1
1
2
=
°
= 1
=
1
2
2
1
1
2
2
45°
3
45°
3
1
3
=
°
2
2
Apcacon
ránguo
1
a
rgonomría
rcánguo
Ángulo
de
elevación
Horizontal
●
El
ánguo
es
acón
el
ángulo
“por
encima”
de
la
Ángulo
recta
●
El
ánguo
recta
●
Los
y
●
se
prón
cuatro
puno
es
el
ángulo
“por
debajo”
de
la
carna
son
Nor te
(N),
Sur
(S),
Este
(E)
(O).
medición
realiza
en
del
el
Uzacón
n
rumo,
sentido
que
de
o
las
se
expresa
agujas
siempre
del
reloj,
utilizando
desde
el
tres
cifras,
Nor te.
coornaa
rgonomría
●
Para
los
●
Para
cualquier
●
Estas
ángulos
tres
sen
N
suplementarios
θ°,
ángulo
propiedades
2
1
depresión
horizontal.
Oeste
La
de
horizontal.
sen θ
son
α
=
y
β,
sen α
sen (80°–
válidas
para
=
θ),
sen β,
y
cualquier
cos α
y
cos θ
=
=
–cos β
–cos (80°–
40°
θ).
ángulo θ:
2
θ
+
cos
θ
=
O40°
=
N40°E
sen θ
2
tan θ
3
Para
=
cos θ
y
cualquier
recta
y
=
mx
que
forma
un
ángulo
θ
con
=
mx
el
i
eje
x,
el
valor
de
m
(la
pendiente
de
la
recta)
es
tan
θ
x
Continúa
400
Trigonometría
en
la
página
siguiente.
e
●
orma
Para
cualquier
B
no
ABC,
donde
a
es
la
longitud
del
c
lado
opuesto
opuesto
a
ˆ
B,
opuesto
a
ˆ
C,
a
y
Â,
c
b
es
es
la
la
longitud
longitud
del
del
a
lado
lado
A
sen
A
sen B
b
Puede
■
Se
haber
dan
sen
dos
caso
lados
el
=
A
ambiguo
y
c
=
c
un
b
o
=
a
●
a
sen C
=
sen B
cuando
ángulo
C
b
agudo
sen C
se
utiliza
no
el
teorema
del
seno
si:
comprendido
B
entre
ellos.
B
5
3
■
El
lado
menor
opuesto
de
los
al
dos
ángulo
lados
agudo
dado
es
el
5
32°
A
dados.
3
32°
b
C
A
e
●
orma
El
teorema
2
del
2
=
b
=
a
a
2
2
+
c
+
c
a
b
2
cos
A
coseno
establece
que:
B
–
2bc cos A,
–
2ac cos B,
–
2ab cos C
o
o
bien
c
a
bien
2
+
2
b
●
cono
2
2
=
c
C
2
2
b
b
+ c
A
C
b
2
− a
=
2bc
2
a
cos
B
2
2
+ c
− b
=
2ac
2
a
cos
C
2
+ b
2
− c
=
2ab
Ára
●
El
área
un
de
ránguo
cualquier
triángulo
viene
1
área
bc sen A
=
o
bien,
área
Raan,
●
un
sector
Longitud
por
la
fórmula:
1
ac sen B
=
2
Para
dada
1
o
bien,
área
2
arco
circular
del
arco
y
del
ángulo
sector
crcuar
central θ
circular
ab sen C
2
cor
con
=
radianes
en
un
círculo
de
radio
r:
= rθ
2
●
Área
●
Para
del
sector
circular
r
=
2
conver tir
grados
a
radianes,
multiplicar
por
180
180
●
Para
conver tir
radianes
a
grados,
multiplicar
por
Capítulo
11
401
t
oría
del
Conocmno
Una
Se
suele
Sin
considerar
embargo,
este
se
medir
a
ma
las
matemáticas
lenguaje
adopta
un
“lenguaje
realmente
universal”.
muchas
formas.
Además
Los
ángulos
pueden
en
diferentes
unidades:
decimal
o
radianes.
¿Por
qué
necesitamos
más
de
una
del
sistema
grados
unidad
(base
10)
que
de
utilizamos,
existen
medida?
otros
A
decir
que,
en
verdad,
no
diferentes
las
necesitamos
par tes
del
pero
mundo
y
lo
que
épocas,
sucede
se
han
Por
desarrollado
distintas
formas
de
medir
los
sistemas
numéricos.
es
ángulos.
ejemplo,
impor tante
binario,
La
idea
de
antiguos
un
un
círculo
babilonios
sistema
de
estar
Tierra
alrededor
tabla
relacionada
del
Plimpton
Babilonia,
quienes,
numeración
puede
La
completo
Sol
322
alrededor
data
del
hace
360°
el
de
de
800
hecho
cerca
la
a.
Los
atribuye
de
años,
(base
de
de
época
C.
se
miles
sexagesimal
con
es
de
que
360
de
60).
la
la
a
la
escritura
descubrieron
Los
números
organizan
y
que
en
muestran
utilizaban
años
se
los
de
de
Pitágoras.
■
¿Qué
de
la
un
000
época
triplete
pitagórico?
■
¿Por
qué
llama
402
Teoría
del
la
tabla
Plimpton
Conocimiento:
se
322?
unidades
de
medidas
están
el
base
utilizaron
■
órbita
de
¿Dónde
se
usa
comúnmente
También
sistema
la
■
antigua
escritos
en
y
base
60.
el
binario?
¿Qué
medimos
han
modernos
es
los
días.
eruditos
dígitos
números
los
ya
es
los
columnas
más
antes
todos
a
tripletes
pitagóricos:
babilonios
cuneiforme
es
cuya
base
traducido
uno
60?
en
2.
El
radián
para
parece
medir
término
década
con
“radián”
de
870.
¿Cómo
un
se
y
ya
se
Hoy
el
que
medidas
no
como
trigonometría
■
las
unidad
puesto
matemáticos
comúnmente
■
una
ángulos,
relacionada
algunos
ser
mucho
está
empleó
en
día
unidad
el
de
apropiada
estrechamente
propias
habían
más
del
círculo.
utilizado
esta
ampliamente
radián
se
medida
Si
bien
medida,
hasta
el
la
utiliza
en
la
geometría,
la
análisis.
relacionan
los
radianes
con
las
medidas
de
círculo?
¿Quién
mide
ángulos
en graan?
[
La
medición
de
ángulos
no
es
la
única
área
en
la
que
El
término
utilizado
común
Un
utilizar
vistazo
a
diferentes
las
unidades
unidades
de
medida.
monetarias,
de
por
Thomson
distancia
y
de
escritos
que
el
“lenguaje
universal
de
las
masa
matemáticas”
tan
universal
como
podemos
llegar
a
en
sus
de
la
a
década
no
de
es
fue
James
académicos
principios
mostrará
raán
es
1870,
en
Belfast.
pensar
.
ZONA
D
EE
SP
Esta
señal
de
tránsito
le
avisa
a
un
conductor
de
IT
M
LI
máxima
30
■
es
¿Cuál
30,
pero
velocidad
no
especica
es
realmente
las
unidades.
30
mayor?
¿Preferiríamos
ser
millonarios
en
Estados
Unidos,
Reino
en
el
Unido
o
6000
en
kg
7
toneladas
(EE.
UU.)
11
000
libras
China?
■
¿Cuál
elefante
es
■
el
más
¿Es
pesado?
posible
que
verdaderamente
■
¿Qué
sido
para
de
tipo
de
enviada
quizás
vida
exista
un
información
a
lenguaje
“universal”?
la
matemática
profundidad
comunicarnos
del
con
ha
espacio,
otras
formas
inteligente?
Capítulo
11
403
Vectores
12
ObjetivOs
Los
4.1
de
el
vectores
un
ángulo
el
vector
unitarios;
escalar
entre
Ecuación
desplazamientos
representación
nulo,
Producto
4.3
capítulO:
como
vector ;
vector
vectores
4.2
del
la
de
–v;
base
dos
en
en
el
columna;
multiplicación
i,
j,
k;
y
suma
por
vectores
vectores;
plano
de
vectores
y
un
en
el
espacio;
diferencia
escalar ;
de
componentes
dos
módulo
vectores;
de
un
vector ;
posición.
perpendiculares;
vectores
paralelos;
vectores.
vectorial
de
una
recta
en
dos
y
tres
dimensiones;
ángulo
entre
dos
rectas.
Rectas
4.4
coincidentes
determinación
an
Qué
1
de
paralelas;
posición
punto
relativa
de
de
dos
coordenadas
saber
ejemplo:
lado
2
en
tres
OABCDEFG
unidades.
per tenece
Escribir
al
las
entre
dos
rectas;
rectas.
Comprobemos
dimensiones
1
Por
intersección
omnzr
necesitamos
Usar
la
y
eje
A
y
y
es
un
per tenece
D
al
per tenece
coordenadas
de
A,
cubo
eje
al
B
y
de
x,
prisma
mide
C
eje
El
3
C
al
OABCDEFG
unidades,
unidades.
z.
nuestras
eje
y
A
y
OC
4
per tenece
D
al
eje
F
es
tal
habilidades
que
unidades
al
eje
OA
y
OD
2
x,
z
Dé
las
coordenadas
de
G
A
tiene
B
tiene
coordenadas
coordenadas
G
(2, 0, 0).
C
(2, 2, 0).
D
D
F
A
B
E
F
H,
F
4
C
el
punto
medio
2
F
tiene
coordenadas
(2, 2, 2).
GF
B
O
E
O
E
3
B
A
A
2
Usar
Por
el
teorema
ejemplo:
hipotenusa,
de
Pitágoras
Hallar
x,
de
un
la
2
longitud
triángulo
de
Halle
la
longitud
de
la
cuyos
x
3
otros
lados
2
x
x
404
2
=
=
7
4 cm,
7 cm
2
+
65
Vectores
miden
4
=
=
65
8,06 cm
6
la
hipotenusa,
x
de
3
Usar
Por
PQ
el
teorema
ejemplo:
=
6 cm,
Calcular
2
PR
la
PQ
3
triángulo
11 cm
longitud
+
QR
de
y
PQR,
ˆ
Q=
95°.
En
el
triángulo
BC
=
15 cm
Calcule
PR
más
la
y
el
ABC,
AB
ángulo
longitud
de
=
9 cm,
ABC
AC
al
=
110°.
centímetro
próximo.
–
2PQ
×
QR
×
cos
95°
En
el
triángulo
BC
=
3,1 cm
ABC,
AB
=
8,6 cm,
2
=
6
=
168,50...
=
el
=
coseno
2
2
PR
En
QR
2
=
del
+
11
13,0 cm
–
(3
2
×
6
×
11
×
cos
95°
Diagrama
cs)
dibujado
y
AC
=
9,7cm.
no
B
a
3,1 cm
8,6 cm
escala
C
9,7 cm
A
Calcule
el
ángulo
ABC,
al
grado
más
próximo.
Capítulo
12
405
Algunas
requiere
es
de
37
cantidades
un
°C,
dato.
la
pueden
Por
describirse
ejemplo,
longitud
del
la
río
mediante
temperatura
Amazonas
es
un
número:
normal
de
6400
del
solo
cuer po
km,
la
se
humano
densidad
del
–3
agua
es
de
magnitud
Sin
000 kg m
(medida)
embargo,
solamente
de
cantidades
y
nos
hasta
Los
una
se
dicen
que
otras
mecánica.
que
cantidades
magnitud
la
en
qué
emplean
para
y
se
quedan
requieren,
sino
es
para
también
de
Si
de
por
la
su
denición
completa,
una
dirección.
Tales
queremos
340 km,
dirección
esta
volar
en
una
cantidades
de
Londres
información
necesitamos
comúnmente
representar
determinadas
denominan r
or.
distancia
usan
cantidades
solamente
digan
se
Se
Estas
denominan
nos
vectores
.
a
resulta
no
París
inútil
viajar.
rama
tales
de
la
como
física
llamada
el
La
desplazamiento,
la
fuerza,
el
peso,
la
velocidad
y
el
momento.
función
vectores
matemáticas,
los
vectores
nos
interesan
principalmente
para
y
velocidades.
El
ejercicio
nal
de
este
capítulo
tiene
en
de
preguntas
donde
podremos
ver
estas
aplicaciones
tanto
tema
(espacio).
notación
Vectores
dos
Este
de
geometría
406
de
dimensiones
capítulo
vectores,
de
y
vectores.
trata
a
(plano)
de
los
como
de
conceptos
continuación,
de
las
tres
dimensiones
básicos,
el
vocabulario
operaciones
básicas
y
ser
interesante
en
para
problemas
la
puede
una
un
serie
los
representar
mecánica
desplazamientos
de
En
y
la
la
explorar
.
.
s
no
vor:
rmo
n
Quizás
ono
km
h
Nor
áo
y
km
h
e,
¿qé
rorrmo?
se
trate
de
una
pregunta
sencilla,
pero
podemos
contestarla
de
3 km
dos
●
maneras
Una
igualmente
respuesta
7 km.
Esta
es
para
la
válidas:
esta
Llegada
pregunta
total
n
es
que
decir
que
recorrimos
recorrimos
(4
+
3
=
7
km).
4 km
Salida
●
Una
segunda
respuesta
a
esta
pregunta
es
decir
que
recorrimos
3 km
Llegada
5 km.
Este
2
se
halla
usando
el
teorema
de
Pitágoras
2
4
(
valor
+ 3
=
5
kilómetros).
A
este
valor
se
le
llama zmno .
4 km
El
y
desplazamiento
la
de
mide
la
diferencia
entre
la
posición
de
5 km
salida
llegada.
Salida
Vectores
➔
Un
y
escalares
es
or
rón.
El
cantidades
➔
Un
cantidad
que
desplazamiento
y
tiene
la
m
velocidad
(magnitud)
son
y
dos
vectoriales.
es
r
dirección.
una
La
una
cantidad
distancia
y
la
que
tiene
celeridad
medida
son
dos
pero
no
cantidades
escalares.
Como
se
vio
anteriormente,
desplazamiento
Esto
también
celeridad.
viaja
un
reere
Por
90
Si
ese
de
sería
mismo
90
por
par tida
velocidad
el
un
automóvil
dirección
de
si
a
la
se
la
que
cual
hora,
recorriera
coincide
la
a
su
viaja
es
su
una
con
regresa
cuán
el
la
rápido
se
posición.
a
celeridad.
pista
el
al
y
velocidad
cambia
esta
y
signicados.
velocidad
reere
automóvil
cuando
distancia
distintos
para
mientras
razón
kilómetros
par tida
Si
la
cier to
celeridad
objeto,
ejemplo,
punto
su
a
La
tienen
es
la
de
cuyo
llegada,
punto
de
0.
automóvil
Oeste,
kilómetros
estuviese
después
por
de
hora
una
en
recorriendo
hora
un
diríamos
dirección
camino
que
su
recto
en
velocidad
es
Oeste.
Capítulo
12
407
Representación
Los
vectores
longitud
el
del
vector,
indica
la
y
se
la
del
puntos
mediante
indica
dirección
los
vectores
representan
segmento
dirección
Considere
de
del
la
segmentos
medida
segmento
de
la
orientados.
cantidad
(representada
que
por
La
representa
una
echa)
vector.
A(2,
3)
y
B(5,
7)
en
el
plano
car tesiano:
y
8
B
6
4
A
2
0
x
2
Para
describir
movemos
en
la
3
dirección
lo
Este
(o
tanto,
el
en
positiva
x),
como
vector
movimiento
unidades
dirección
horzon
por
el
el
la
4
del
la
de
un
desde
6
A
dirección
eje
y”.
hasta
del
El
3
se
representarse
se
en
podríamos
del
presta
una
eje x
denomina
r
movimiento
vector
B
positiva
omonn
longitud
uso
puede
es
la
4
(o
tienen
para
y
la
y).
omonn
la
impor tancia
de
“nos
unidades
Tanto
describir
variedad
4
decir
la
y
,
situación.
formas:
En
En
el
diagrama,
el
segmento
AB
representa
el
vector
AB
,
donde
la
(desde
por
A
usando
encima
hasta
un
B).
or
de
las
Las
letras
indica
componentes
la
dirección
del
vector
se
del
movimiento
representan
⎝
⎟
y
columna
,
la
x
representa
⎠
un
la
omn
movimiento
dirección
del
3
AB
aquí
vector
⎛ x ⎞
⎜
echa
un
eje
x
y
en
positiva
la
y
un
=
movimiento
en
la
4
dirección
Los
vectores
también
pueden
representarse
usando
una
Por
en
ejemplo,
del
letra
eje
minúscula
positiva
y
ngr .
podríamos
usar
a
para
representar
el
vector
AB
.
3
a
=
AB
=
4
B
Es
difícil
letras
a
escribir
en
mano;
las
negrita
por
eso,
a
4
debemos
para
trata
A
Así,
de
408
Vectores
un
que
a.
se
vector
.
escrito
3
sería
subrayar las
indicar
a
mano
Finalmente,
el
vector
se
puede
representar
mediante or
3
o
n ro
versores.
Podemos
escribir
como
3i
+
4j,
donde
i
y
j
j
4
son
vectores
de
medida
respectivamente.
A
i
y
j
en
se
las
les
direcciones
llama
de
vectores
los
ejes x
e
y
base.
i
Por
consiguiente,
unidades
positiva
Del
en
del
la
eje
mismo
el
vector
dirección
3i
+
4j
positiva
representa
del
eje x
y
un
4
movimiento
en
la
de
3
dirección
y
modo
en
que
consideramos
objetos
que
se
mueven
sobre
k
el
plano,
espacio
también
podemos
tridimensional.
dimensiones
de
forma
pensar
Podemos
similar,
en
objetos
que
representar
pero
un
necesitamos
se
mueven
vector
en
en
el
j
tres
introducir
la
letra
i
k
para
Por
lo
el
vector
tanto,
de
longitud
ahora
tenemos
en
tres
la
dirección
del
eje z
componentes.
3
=
2
3i
2j
+
k
representa
un
movimiento
del
unidades
de
3
unidades
en
la
1
dirección
eje
y
➔
y
El
positiva
unidad
vector
en
eje
la
x,
2
dirección
unitario
en
la
en
positiva
dirección
la
del
del
dirección
negativa
del
eje z
eje x
es
i.
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
En
dos
dimensiones,
i
⎜
y
=
⎜
⎝
en
tres
dimensiones,
i
⎟
0
=
⎟
0
⎜
⎠
⎟
⎜
⎟
0
⎝
➔
El
vector
unitario
en
la
dirección
del
eje y
es
⎠
j.
⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
En
dos
dimensiones,
j =
⎜
y
⎜
⎝
1
en
tres
dimensiones,
j =
⎜
⎠
⎜
⎝
➔
En
tres
dimensiones,
el
vector
unitario
en
la
dirección
⎟
1
⎟
⎟
⎟
0
⎠
del
⎛ 0 ⎞
⎜
eje
z
es
k
=
⎟
0
⎜
⎟
⎜
⎟
1
⎝
Los
vectores
emo
,
Escriba
a
=
y
k
se
llaman
or
6 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎝
⎛
⎠
Escriba
–i
+
utilizando
vectores
unitarios.
⎟
7
5k
⎠
en
forma
de
vector
columna.
R:
a
=
6i
⎛
–
1⎞
⎜
b
=
7j
⎟
Aquí
el
coeciente
de
la
componente
0
⎜
⎟
⎜
⎝
⎟
5
j
es
0.
⎠
Capítulo
12
409
La
magnitud
La
de
mgn
de
un
AB
es
|AB
|.
vector
la
longitud
del
B
vector
Otros
y
se
denota
con
nombres
magnitud
La
magnitud
se
calcula
usando
el
teorema
de
son
para
la
módulo,
Pitágoras.
longitud,
a
norma
y
4
⎛ 3 ⎞
medida.
2
Si
AB
=
⎜
⎟
,
entonces
|AB
|
2
3
=
+ 4
=
25
= 5
4
A
3
a
2
➔
Si
AB
=
=
ai
+
bj,
entonces
|AB
|=
2
a
+ b
b
En
tres
dimensiones
esto
se
transforma
en:
a
2
➔
Si
AB
b
=
=
ai
+
bj
+
c k,
entonces
|AB
|
=
a
2
+ b
2
+ c
c
emo
Cuando
los
resuelven
Halle
la
magnitud
de
estos
vectores:
de
OP
=
5 ⎞
⎜
⎟
⎝
12
“aceleración
3 ⎞
⎛
⎛
uniforme”
⎜
y
“caída
⎟
2
⎜
⎠
físicos
problemas
⎟
⎜
libre
bajo
el
efecto
de
⎟
1
⎝
⎠
gravedad”,
considerar
necesitan
la
magnitud
R
y
2
|OP |=
( −5)
la
dirección
=
169
=
13
vector
Este
⎛
3
aceleración.
es
un
⎟
3
+
−2 )
14
=
=
3,74
(3 cs)
⎠
profundidad.
12A
estos
vectores
utilizando
vectores
unitarios.
⎛
x
=
⎛
2 ⎞
⎜
⎟
3
⎝
⎛ 0 ⎞
y
=
⎜
⎝
⎠
⎟
7
1⎞
⎜
z
=
⎟
1
⎜
⎠
⎟
⎜
⎟
1
⎝
2
Escriba
410
con
⎟
1
Escriba
para
2
+ 1
explorar
Ejercitación
1
(
⎟
⎜
⎝
2
2
=
2
⎜
concepto
⎞
interesante
⎜
del
2
+ 12
AB
Vectores
estos
=
2i
vectores
+
3j
en
forma
CD
=
i
de
+
vectores
6j
k
⎠
columna.
EF
= k
mayor
3
Escriba
en
los
forma
vectores
de
a, b, c, d y e
vectores
utilizando
vectores
unitarios
y
columna.
a
c
d
e
b
4
Halle
la
magnitud
3
4
5
⎛
1⎞
⎜
⎟
⎝
Halle
la
vector.
2, 8
2i
+
5j
2i
− 5j
4, 5
⎠
de
cada
vector.
4
3
1
⎜
⎟
⎜
⎟
5
⎝
Dos
2i
+
2j
+
k
k
6
iguales,
vectores
j −
2
3
⎠
Vectores
➔
cada
⎟
2
3
magnitud
⎛ 3 ⎞
⎜
de
son
negativos
si
g
y
tienen
paralelos
igual
dirección,
sentido
No
y
impor ta
lugar
magnitud;
sus
componentes
i,
j,
y
k
son
iguales
también
y
,
del
tanto,
los
vectores
columna
son
lo
se
iguales.
encuentran
Considere
qué
por
car tesiano
lo
en
plano
siguiente:
vectores:
estos
siguen
B
siendo
Los
vectores
AB
y
PQ
tienen
iguales.
igual
Q
dirección
(son
magnitud.
En
paralelos)
y
sentido,
consecuencia,
AB
=
y
tienen
igual
PQ
Si
A
dos
vectores
paralelos
longitud,
P
Los
dos
vectores
AB
y
MN
tienen
igual
tienen
igual
tendrán
las
mismas
componentes.
Aquí
=
B
⎛
magnitud
pero
distintos
sentidos.
AB
PQ
=
⎝
Por
lo
tanto,
AB
≠
MN
2
⎜
M
⎞
⎟
5
⎠
.
A
N
⎛ 2 ⎞
Aquí,
AB
=
⎜
⎝
⎟
5
⎛
y
MN
=
⎠
2 ⎞
⎜
⎝
⎟
5
y
,
por
lo
tanto,
AB
=
–MN
.
La
⎠
dirección
vector
MN
se
llama
el
or
es
de
un
impor tante,
oo
no
solamente
su
longitud.
➔
Podemos
escribir
AB
como
–
BA
Capítulo
12
411
D
Los
AB ,
vectores
CD
EF
y
son
todos
ro
B
⎛
AB
pero
tienen
distintas
=
magnitudes.
2
⎜
⎝
⎞
=
⎟
5
2i
+
5j
⎠
1
Aquí,
AB
CD
=
AB
y
=
⎛
2EF
CD
=
F
2
4
⎜
⎝
⎞
⎟
10
=
4i
+
10j
⎠
A
1
EF
=
=
1i
+
2,5j
=
2i
+
5j
E
2, 5
C
➔
Dos
Por
vectores
lo
una
tanto,
son
ro
AB
y
cantidad
RS
escalar.
son
Lo
si
uno
es
un
paralelos
dicho
si
puede
múltiplo
AB
=
k
escalar
RS ,
escribirse
del
donde
como a
=
otro.
k
es
kb
⎛
Los
vectores
AB
y
GH
tienen
igual
magnitud
AB
(29),
=
⎝
pero
diferentes
direcciones.
Por
lo
tanto, AB
≠
2
⎜
B
⎞
⎟
5
⎠
GH
5
GH
=
=
–5i
+
2j
2
H
A
No
AB
G
podemos
por
para
emo
El
diagrama
muestra
algunos
vectores:
a
c
e
d
b
Escriba
cada
uno
de
los
demás
vectores
en
función
del
vector
a
R
Del
lo
a
diagrama
obser var
siguiente:
=
⎛
3 ⎞
⎜
⎟
5
⎝
=
b
=
⎝
5
⎠
,
2, 5
⎠
⎟ ,
⎜
⎛
1, 5
,
⎛ 3 ⎞
d
podemos
⎛
e
=
6
=
6
⎝
⎞
⎟ ,
⎜
10
⎠
⎞
⎟ ;
⎜
⎝
c
10
⎠
{
412
Vectores
Continúa
en
la
página
siguiente.
un
multiplicar
escalar
obtener
GH
Por
tanto,
b
–
1
=
b
a
es
paralelo
a
a,
en
sentido
opuesto;
2
la
c
=
c
d
=
magnitud
de
–2a
tiene
sentido
magnitud
–a
d
tiene
=
2a
e
emo
¿Para
m
=
+
b
es
la
mitad
de
la
la
de
a
opuesto
c
es
de
igual
el
al
doble
opuesto
d
es
dirección
magnitud
al
igual
de
e
es
a
y
de
a;
de
de
la
la
la
de
de
de
a;
doble
la
a
sentido
el
a
que
de
la
qué
3i
tiene
a;
de
sentido
magnitud
e
de
a
valores
t j
–
6k
y
de
s
n
=
y
t
9i
estos
–
12j
dos
+
vectores
resultan
paralelos?
s k
R
Por
ser
vectores
paralelos,
3i
+
t j
–
6k
=
k
(9i
3i
+
t j
–
6k
=
9ki
3
=
9k
–
–
m
=
12j
+
sk)
12k j
+
skk
kn
Aplicar
igualar
la
propiedad
los
distributiva
e
coecientes
Igualando
las
componentes
i
Igualando
las
componentes
j
Igualando
las
componentes
k
1
k
=
3
1
Por
lo
tanto, t
=
–12
×
=
–4
3
1
–6
=
s
×
⇒
s
=
–18
3
Ejercitación
1
El
diagrama
12B
muestra
algunos
vectores.
c
a
f
e
b
d
2
Escriba
los
vectores
vectores
a
¿De
manera
qué
¿Cuáles
de
o
c,
estos
se
vectores
=
0, 7
⎛
=
g
=
–i
f
en
función
de
los
son
y
b?
paralelos
a i
+
7j?
1⎞
0, 05
⎟
⎜
⎝
a
7
=
0, 03
⎠
10 ⎞
⎟
⎜
⎝
y
relacionan
⎛
=
b
0,1
d,
70
+
=
60i
+
420 j
f
= 6i
–
42j
⎠
7j
Capítulo
12
413
¿Para
3
r
a
qué
=
4i
t
⎛
=
¿Para
v
8
En
5
el
t i
y
de
s
b
=
5j
+
–
vectores
resultan
paralelos?
⎟
10
de
8k
dos
12j
7 ⎞
⎝
valores
cubo
estos
14i
⎜
⎠
–
t
=
⎛
y
⎟
qué
=
t j
⎞
⎜
⎝
4
valor
+
y
t
⎠
y
w
s
=
OABCDEFG
estos
5i
la
+
dos
j
+
vectores
resultan
paralelos?
s k
longitud
de
cada
G
arista
es
de
una
unidad.
D
Exprese
OG
BD
AD
OM
estos
vectores
en
función
de i,
j
y
k
E
O
B
A
Repita
6
donde
la
M
es
pregunta
rectangular
el
5
donde
punto
medio
sabiendo
OA
=
5
que
de
GF
OABCDEFG
unidades,
OC
=
4
es
un
prisma
unidades
y
OD
=
3
unidades.
vor
oón
y
Los
or
oón
son
vectores
que
dan
la
15
posición
punto
relativa
jo
de
un
punto
respecto
de
un
O.
P(–5, 12)
10
El
punto
P
con
coordenadas
posición
OP
=
⎜
⎝
tiene
vector
5 ⎞
⎛
de
(–5,2)
⎟
12
=
–5i
+
2j
5
⎠
x
–6
➔
El
punto
OP
=
P
⎛ x
⎞
⎜
⎟
⎝
y
con
=
x i
coordenadas
+
tiene
vector
de
0
posición
y j
rn
Considere
puntos
los
diagrama
y)
–2
⎠
vor
El
(x,
–4
muestra
A(2,
los
3)
y
B(6,
vectores
6).
de
posición
de
⎛ 4 ⎞
8
A
y
B.
Podemos
ver
que
el
vector
AB
=
⎜
⎝
⎟
3
B
⎠
6
Recordemos
También
vemos
que
el
movimiento
4
debe
A
hasta
B
podría
describirse
como
un
de
A
a
B,
o
como
un
escribirse
movimiento
de
vector
,
no
como
A
ordenado.
O
a
414
O
seguido
Vectores
de
un
movimiento
de
AB
como
movimiento
2
directo
que
desde A
O
a
B
2
4
6
8
par
Así,
El
podríamos
AB
vector
se
Recordemos
y
por
lo
escribir
llama
que
AO
=
=
Para
hallar
podemos
posición
emo
Los
AO
resultante
=
–
+
de
OB.
los
vectores
AO
y
OB.
OA,
el
el
OA
–
OB
–
el
OB
OA
or
restar
de
+
rn
vector
de
AB
entre
posición
de A
dos
del
puntos
vector
A
y
B
de
B
puntos
Halle
=
tanto,
AB
➔
AB
A
y
vector
B
tienen
coordenadas
(–3,
2,
0)
y
(–4,
7,
5).
AB
R
A(–3, 2, 0)
B(–4, 7, 5)
O
Primero
⎛
escribimos
⎜
OA
=
los
vectores
de
posición
OA
y
OB.
3 ⎞
⎟
2
⎜
⎟
⎜
⎟
0
⎝
⎠
⎛
4 ⎞
⎜
OB
=
⎟
7
⎜
⎟
⎜
⎟
5
⎝
AB
=
⎠
–
OB
OA
⎛
4 ⎞
⎛
3 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
7
=
⎜
⎜
2
5
⎝
De
PQ
de
manera
y
el
cada
similar,
vector
uno
PR,
de
los
si
=
⎝
⎜
⎟
⎜
⎠
conocemos
Q
y
⎟
⎟
5
⎝
conocemos
puntos
⎟
5
⎟
0
⎠
1⎞
la
R
el
⎠
vector
Q
posición
respecto
R
del
punto
P
P
QR
=
QP
+
=
PR
–
PR
PQ
Capítulo
12
415
emo
Dados
XY
⎛
2 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
1
=
XZ
y
0 ⎞
⎟
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
3
⎝
halle
los
,
10
⎜
1
vectores:
⎠
YZ
ZY
R
YZ
XZ
=
XY
−
⎛
0 ⎞
⎛
2 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
10
=
⎜
⎜
1
1
⎝
ZY
⎛
2 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
−11
=
⎜
⎜
1
P
tiene
Halle
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
⎟
3
2
⎠
11
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
2
⎝
⎠
12C
coordenadas
los
⎜
⎟
=
⎟
⎠
Ejercitación
⎟
11
⎟
2 ⎞
2
⎝
=
2 ⎞
vectores
(7,
PQ
4),
y
Q
tiene
coordenadas
(2,
3).
QP
.
5
2
El
punto
A
tiene
vector
de
⎛
posición
,
B
tiene
vector
de
posición
1
y
C
tiene
vector
de
posición
⎜
⎟
4
⎝
3
4
AB
BA
Escriba
estos
vectores
P
es
ai
El
vector
que
une
El
vector
que
va
desde
(2, –3, 5)
El
vector
que
va
desde
(1, 2, –1)
(1, –5, 6)
1⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
2
=
y
Dados
NM
AB
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
=
3i
+
4j
con
el
⎜
⎟
c k
origen
hasta
hasta
Halle
(1, 2, –1)
(2, –3, 5)
LM
−
⎠
k
y
TU
=
−
4j
+
1
2x
,
BC
=
3
y
AC
4
=
.
⎟
2
Vectores
+
⎟
y
los
bj
3
1⎞
⎜
Halle
.
⎜
⎝
+
CB
⎟
2
=
⎟
⎜
4 ⎞
⎜
TS
vector
(2, –3, 5)
⎛
⎛
416
forma
OP,
0
6
la
como
AC
⎝
5
Escriba
LN
donde
.
⎠
en
⎝
2 ⎞
⎛
valores
x
z
⎠
de
las
constantes
x,
+
y
y
y
z
2k,
halle
US.
columna:
1⎞
⎜
⎟
3
⎠
Los
ejemplos
siguientes
ilustran
cómo
mostrar
que
tres
puntos
son
Los
puntos
son
on
colineales
a
emo
Muestre
2i
+
una
si
misma
per tenecen
recta.
que
3j
k
los
y
puntos
4i
7j
+
A,
B
7k,
y
C
con
vectores
respectivamente,
de
posición
son
i
2j
+
3k,
colineales.
R
Comenzar
AB
OB
=
por
deter minado
=
(−2
−
1)i
=
−3i
+
5j
+
(3
(
2))j
+
(
1
−
por
−
(4
=
3i
1)i
+
(
AB
7
(
2))j
+
(7
lo
otros
AB
y
y
punto
común,
y
C
el
procedimiento
dos
puntos,
por
AC
Podríamos
paralelos
B
AB
4k
tanto,
en
ejemplo,
3)k
AC
=
Por
+
por
repetir
ejemplo,
5j
vector
OA
−
usando
=
el
puntos
4k
Ahora
OC
=
dos
3)k
cualesquiera,
AC
hallar
OA
−
dado
deben
AC
que
A,
son
tienen
los
per tenecer
un
un
puntos
a
=
BC
la
haber
6i
10j
múltiplo
+
hallado
8k,
escalar
que
resulta
tanto
de
ser
AB
A,
AC,
como
de
AB
AC
demostrando
así
que
misma
y
son
paralelos
a
BC.
recta.
Ejercitación
1
Muestre
2i
+
que
3j
k
PREGUNTA
2
Los
puntos
y
puntos
4i
A,
7j
+
A,
B
7k,
y
C
con
vectores
respectivamente,
de
posición i
son
2j
+
3k,
colineales.
EXAMEN
B
y
C
tienen
coordenadas
(2, 3, –3),
(5, 1, 5)
y
respectivamente.
AB
Halle
Muestre
Muestre
los
TIPO
(8, –1, 13),
3
12D
que
que
A,
los
B
y
C
puntos
son
P
colineales.
(1, 2, 4),
P
1
(–2, 1, 4)
y
P
2
(–5, 0, 4)
son
3
colineales.
Sabiendo
que
también
P
es
colineal
con
P
4
coordenada
x
de
,
P
1
P
es
2,
halle
las
y
P
2
coordenadas
y
que
la
3
y
y
z
4
4
Los
vectores
xi,
−
B
i
y
C
2j,
de
posición
de
respectivamente.
sean
colineales
y
A,
B
Halle
halle
la
y
el
C
están
valor
razón
dados
de
x
tal
por
que
3i
+
4j,
A,
AB : BC
Capítulo
12
417
Distancia
➔
Si
A
=
entre
(x
,
y
y
si
B
=
,
(x
,
=
AO
),
puntos
entonces
a
en
OA
=
tres
=
x
y
2
AB
z
dos
,
i
dimensiones
+
y
z
2
),
b = OB
entonces
= x
2
j
+
z
i
+
y
2
k
j
+
z
2
k
A
2
OB
+
b
–
a
a
= OB
OA
B
=
b
a
=
(x
b
x
2
)i
+
(y
y
2
)j
+
(z
z
2
)k
O
2
Distancia
AB
=
(x
−
x
2
emo
Halle
el
2
)
+ ( y
1
−
y
2
)
2
+ (z
1
−
z
2
)
1
vector
determine
la
desde
A(1, 3, 4)
distancia
entre
hasta
los
B(4, 2, 7)
dos
y
,
a
par tir
de
lo
anterior,
puntos.
R
OA
=
i
+
3j
+
4k
y
Primero
OB
=
4i
+
2j
+
vectores
AB
=
OB
=
(4i
=
3i
cada
j
2j
+
+
7k)
(i
+
3j
+
=
|AB
Ejercitación
1
Halle
lo
el
anterior,
El
C
tiene
A
(3 )
=
=
AB
punto
4k)
2
2
+ ( −1)
19
=
desde
determine
TIPO
punto
de
+ (3)
4,36
(3 cs)
12E
vector
PREGUNTA
2
|
9 + 1 + 9
=
los
posición
3k
2
Distancia
de
OA
−
+
escribir
7k
distancia
hasta
entre
EXAMEN
tiene
vector
la
A(–1, 5, 1)
vector
de
de
⎛
8 ⎞
⎜
⎟
posición
los
⎛
5 ⎞
⎜
⎟
2
posición
B(4, 5, –1)
⎟
⎜
⎟
a
par tir
de
puntos.
6
,
⎜
dos
y
,
B
tiene
vector
de
posición
4
⎝
6
⎠
10
⎜
⎟
⎜
⎟
1
⎝
Muestre
3
Si
el
halle
que
vector
dos
PREGUNTA
4
Sabiendo
posibles
de
u =
a
418
Vectores
posición
TIPO
que
de
⎠
ABC
a
posibles
del
de
es
isósceles
punto
y
(2, –3, t)
calcule
es
tal
el
ángulo
que
|a|=
CAB
7,
t
EXAMEN
a
=
xi
+
6j
2k
y
|a|
=
3x,
halle
dos
valores
x
2
,
v =
4
2
2a
valores
triángulo
valores
a
5
el
de
a
.
Sabiendo
que
|u|
=
0
|v|,
halle
los
posibles
y
a
6
y
b
son
dos
b
=
2a
b
=
−3a
b
es
or
Para
a
|a|
a
y
=
5.
|b|
Halle
=
el
valor
de
|a +
b|
cuando:
12
unitarios
n ro
hallar
debemos
y
per pendicular
Vectores
Un
vectores
un
es
vector
hallar
la
un
vector
unitario
longitud
de
en
del
longitud
la
dirección
vector a,
es
en
de
una
un
decir,
dirección
vector a,
|a|,
y
dada.
primero
luego
multiplicar
1
el
vector
a
por
.
Este
vector
tendrá
la
misma
dirección,
dado
que
es
un
a
1
múltiplo
escalar
de
a,
y
tendrá
longitud
,
dado
que
mide
×
la
longitud
a
del
➔
vector
Para
original.
hallar
un
vector
de
longitud
en
la
dirección
de a
se
usa
a
la
fórmula
a
Empleando
longitud,
hallar
➔
el
este
digamos
vector
Para
método
de
longitud
unitario
hallar
un
podemos
y
k,
luego
vector
de
también
en
la
hallar
dirección
multiplicarlo
longitud
k
en
la
un
de
por
vector
a.
este
de
Primero
valor
dirección
de
a
cualquier
debemos
de k.
se
usa
a
la
fórmula
k
a
emo
Halle
el
vector
Halle
un
unitario
en
la
dirección
del
vector
3i
+
4j
⎛
vector
de
longitud
10
en
la
dirección
del
vector
3
⎞
⎟
⎜
1
⎝
⎠
R
2
El
vector
3i +
4j
tiene
longitud
3
2
+ 4
=
25
=
5
1
Por
lo
tanto,
un
vector
de
longitud
1
3
(3i + 4 j)
será
=
5
⎛
El
vector
3
⎝
⎟
1
lo
tanto,
longitud
10 .
El
vector
vector
de
longitud
10
es
10
puede
3
10
1
simplicarse
10
10
=
3
10
10
se
=
tiene
longitud
1.
⎠
⎟
1
,
⎠
requiere:
1
si
⎝
⎟
1
3 ⎞
⎜
10
que
⎛
⎝
j
5
3 ⎞
⎜
10
⎠
el
⎛
1
tiene
10
Por
5
⎞
⎜
4
i +
10
3
1
Capítulo
12
419
Ejercitación
12F
3
1
Muestre
que
4
i
5
es
j
un
vector
unitario.
5
Muestre
1
2
Muestre
que
2
3
3
Halle
un
j
3
vector
magnitud
2
i
k
es
un
vector
unitario.
3
unitario
paralelo
a
4i
–
3j
1⎞
⎛
⎜
4
Halle
un
vector
unitario
paralelo
al
⎟
5
vector
⎜
⎟
⎜
⎟
4
⎝
5
Halle
por
un
los
vector
puntos
unitario
P
(1, 0, 1)
ai + 2aj es
7
Halle
un
un
PREGUNTA
TIPO
la
dirección
del
⎠
vector
determinado
(3, 2, 0).
2
vector
vector
en
y P
1
6
de
unitario.
magnitud
Sabiendo
5
que
que
resulte
a
>
0,
halle
paralelo
al
el
valor
vector
⎛
EXAMEN
Halle
un
vector
de
magnitud
7
en
la
dirección
del
vector
2i
−1 ⎞
⎜
8
⎟
−3
⎜
⎟
⎜
⎟
2
⎝
9
Halle
un
vector
unitario
en
la
dirección
del
vector:
1
2 cos θ
tan
2senθ
.
sm
Suma
de
y
frn
or
vectores
⎛ 3 ⎞
⎛ 5 ⎞
Supongamos
que
tenemos
dos
vectores u =
⎜
⎝
⎟
0
y
v =
⎜
⎝
⎠
⎟
4
⎠
u
v
u + v
se
inter preta
movimiento
a
420
lo
largo
Vectores
a
del
lo
geométricamente
largo
vector
v
del
que
vector
u,
como
un
seguido
primer
de
un
movimiento
⎠
de
–
j
a
es
la
1.
➔
El
vector
formado
de
v
resultante,
cuando
coincide
u
+
u
con
u +
y
el
v
v,
se
es
el
tercer
disponen
extremo
de
lado
de
del
forma
triángulo
tal
que
el
origen
u
v
v
u
Vemos
dado
también
que
u +
que
v =
v
la
+
suma
u.
de
Esto
vectores
da
lugar
al
es
El
conmutativa,
término
intercambiar
paralelogramo
En
de
la
suma
de
“conmutar”
o
signica
permutar
.
matemáticas,
la
propiedad
vectores.
conmutativa
implica
que
se
puede
u
intercambiar
v
u
+
el
orden
sin
alterar
el
v
resultado.
v
Luego
u
cálculos
⎛ 8 ⎞
El
de
vector
resultante
u +
v
en
este
caso
es
⎜
⎝
⎟
4
considerar
(suma,
multiplicación
y
los
siguientes
diferencia,
división),
¿cuáles
.
operaciones
⎠
parecerían
ser
conmutativas?
Obser vemos
las
que
componentes
⎛ 5 ⎞
u
+
v =
⎜
⎟
0
⎝
es
fácil
⎠
⎝
Diferencia
⎟
⎜
4
este
resultado
sumando
⎛ 5 + 3 ⎞
=
⎜
⎝
⎠
de
⎛ 8 ⎞
=
⎟
0 + 4
⎠
⎜
4
⎝
–
del
v
se
vector
v,
u,
o
u
nuevamente
los
dos
vectores u =
geométricamente
seguido
+
y
5
+
10
5
y
5
÷
10
10
–
10
×
5
5
y
y
5
5
–
×
10
10
vectores
inter preta
vector
5
÷
⎠
⎜
⎝
u
+
10
⎟
⎛ 3 ⎞
⎛ 5 ⎞
Consideremos
10
correspondientes.
⎛ 3 ⎞
+
obtener
de
un
como
movimiento
a
un
lo
⎟
0
y
v =
⎜
⎝
⎠
movimiento
largo
del
⎟
4
a
⎠
lo
opuesto
largo
del
(–v).
u
u
u
–
v
–
vector
v
=
u
+
(–v)
no
es
v
⎛
El
–
resultante
es
u
–
v
y
,
en
este
caso
especíco,
es
2 ⎞
⎜
⎝
⎟
4
.
La
resta
⎠
conmutativa.
Nuevamente,
vemos
que
podemos
calcular
sencillamente
este
⎛
v
resultado,
restando
⎛ 5 ⎞
u
v
=
⎜
⎝
➔
Los
⎟
0
⎠
⎛ 3 ⎞
−
⎜
⎝
⎟
4
componentes.
⎛ 5 − 3 ⎞
=
⎠
vectores
las
⎜
⎝
se
⎟
0 − 4
⎠
restan
⎛
=
u
=
2⎞
⎜
⎝
⎟
4
≠
u
–
v
⎠
2 ⎞
⎜
⎝
–
⎟
−4
⎠
sumando
el
vector
opuesto.
Capítulo
12
421
Q
El
vector
Considere
PQ
+ QR
vuelta al
nulo
el
triángulo
+ RP
punto
PQR.
debe ser igual a cero ya que el recorrido total resulta en una
de
partida.
Esto
se
como PQ
escribe
QR
+
+
RP
=
0
P
R
El
vector
nulo
se
escribe
en
negrita
para
indicar
que
es
un
vector
.
eq ro
nombre
es
que
se
el
da
⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
0
=
⎜
⎜
⎟
en
dos
dimensiones
y
⎜
⎟
0
al
en
⎟
tres
estado
número
⎝
0
⎠
⎜
⎝
de
⎠
están
balanceadas:
resultante
cero.
El
concepto
es
interesante
a
=
2i
–
3j
+
3k
y
b
=
4i
–
2j
k,
halle
los
a
+
b
b
–
a
2b
–
un
para
con
3a
profundidad.
R
a
b
+
–
2b
b
a
–
=
(2
+
=
6i
–
=
(4
–
=
2i
+
3a
=
=
Dados
4)i
5j
j
+
–
a = 2i
+
(–3
+
(–2))j
+
(3
+
(–1))k
2k
(–2
–
(–3))j
+
(–1
–
3)k
4k
(2(4)
2i
+
+
2)i
Ejercitación
1
–
5j
3(2))i
–
+
(2(–2)
–
3(–3))j
+
(2(–1)
–
3(3))k
11k
12G
–
j, b = 3i
+
2j, c = –i
+
j
y d = 3i
+3j,
halle
estos
vectores:
a
+
b
a
+
b
+
d
Dados
a =
⎜
⎝
b
+
a
–
2 ⎞
⎛
2
⎟ ,
−3
c
b
c
+
f
d
–
⎠
⎜
⎝
⎟
5
b
+
a
⎛ −5 ⎞
⎛ −4 ⎞
b =
d
y
c =
⎟ ,
⎜
⎝
⎠
−3
halle
estos
vectores:
⎠
1
a
+
b
b
–
c
(a
2
422
a
+
Vectores
de
3b
–
c
3c – 2b
+
5a
tema
vectores:
explorar
es
equilibro
Dados
un
fuerzas
⎟
0
su
emo
donde
dimensiones.
+
c)
mayor
Dados
3
halle
a
a = 3i
estos
+
–
j – 2k y b = 5i
– k,
El
método
la
acción
b
b
–
2a
–
b
4(a
–
b)
+
2(b
+
c)
Dados
los
vectores
p =
3i –
5j y
q
=
–i
+
ha
los
vectores
x,
y
y
regla
2x
–
3p
=
q
4p
y
–
3y
=
7q
2p
+
z
=
a
y
b
son
tales
que
a
=
x
b
=
y
+
y
⎠
− 3
que
vectores
ar te
a
=
b,
halle
los
valores
de
a
y
b
son
tales
que
a
=
x
e
y
⎛ t
b
=
⎟
⎜
que
3a
=
Demostraciones
cuando
algunos
de
el
Aristóteles
matemático
(1548–1620)
su
tratado
que
Principios
permitió
en
⎟
y
calcule
los
⎟
⎜
⎠
⎝
valores
de
de
No
el
1800
fue
desarrollo
que
sino
Caspar
(danés-nor uego,
Jean-Rober t
Argand
hasta
1745–1818)
(suizo,
1768–
⎟
1822)
⎟
t
+
s
comenzaron
s,
t
y
a
formalizar
el
⎠
de
“vector”.
u
geométricas
contemos
con
y
vectores
múltiplos
especícos,
de
vectores
se
pueden
para
deducir
geométricos.
triángulo
OX,
2b,
diferencias
resultados
emo
En
no
sumas,
El
Stevin
avances
concepto
utilizar
y
del
3s
⎜
u
⎝
Aun
griego
).
peso
mecánica.
Wessel
s ⎞
⎜
y
la
alrededor
⎟
t
⎜
Sabiendo
C.
en
del
grandes
⎜
Los
época
⎠
⎛ 3 ⎞
6
a.
Simon
empleó
del
de
Sabiendo
la
⎟
x
⎟
−2 x
paralelogramo
⎞
⎜
⎝
se
⎞
⎜
⎝
6
⎛
y
o
suma
0
la
vectores
del
desde
erudito
holandés
Los
dos
la
z, donde:
⎛
5
calcular
4j,
(384–322
en
de
mediante
conocido
lósofo
halle
combinada
fuerzas
denomina
se
4
consiste
2a
más
que
vectores:
OY
y
OXY,
XY
A,
B
y
C
respectivamente,
OX
=
x
y
OY
=
y
X
OA
,
OB
,
XY ,
OC
y
x
CO
en
función
de
x
e
y
A
C
Halle
una
x
¿Cuál
e
XY
y.
y
la
expresión
es
recta
la
AB
para
relación
en
entre
función
la
de
recta
O
AB ?
y
B
Y
2
P
es
el
punto
tal
que
OP
=
OX
XB
+
.
Halle
OP
.
3
¿Qué
puede
concluir
acerca
de
la
posición
de
P ?
R
1
OA
OB
1
OX
=
2
1
1
OY
=
2
XY
=
x
=
2
XO
Usar
la
inf or mación
del
diagrama
y
=
2
+
OY
=
−x
+
y
=
y
−
Usar
x
{
suma
Continúa
en
de
la
vectores
página
siguiente.
Capítulo
12
423
1
OC
=
OX
XC
+
=
x
XY
+
Usar
suma
de
vectores
2
Del
diagrama,
1
=
x
+
( y
−
x)
1
2
XC
XY.
=
2
1
1
=
x
+
y
–
x
2
2
1
1
1
=
x
+
y
2
=
(x
+
y)
2
2
1
CO
=
−OC
=
–
(x
+
y)
2
1
1
AB
=
AO
OB
+
=
–
x
+
y
AO
=
–OA
2
2
1
=
( y
−
x)
2
1
Como XY
= y − x
AB
y
=
(y − x), la
2
longitud
XY
y
de
AB
ambos
dirección.
es
la
mitad
vectores
Por
lo
de
tienen
tanto,
las
la
la
de
misma
rectas
son
paralelas.
2
OP
=
OX
XB
+
3
2
=
x
Usar
+
(XO
+
OB
suma
de
vectores
)
3
XO
2
=
x
+
(−x
+
3
–OX
y)
2
1
=
=
1
1
x
+
y
3
3
1
=
(x
+
y)
3
Por
lo
tanto,
OP : OC
=
2 : 3.
2
P
se
encuentra
a
del
camino
entre
3
O
y
C.
Ejercitación
1
En
de
este
PQ
y
12H
triángulo,
a
=
OA,
OA
b
=
=
AP,
BQ
=
3OB,
N
es
el
punto
P
medio
OB.
A
N
Muestre
que:
a
AP
=
a
PQ
=
4b
ON
=
a
AB
=
b
PN
=
2b
f
AN
=
2b
−
a
O
424
Vectores
−
+
2a
2b
−
a
b
B
Q
A
2
En
este
triángulo,
Muestre
a
OA
=
,
b
OB
=
y
AC : CB
=
3 :1.
que:
a
3
AB
=
b
−
a
AC
=
(b
−
a)
C
4
1
CB
1
=
(b
−
a)
OC
3
OABC
4
=
a
4
+
4
es
un
3a.
D
OA
trapecio.
=
a,
OC
O
b
B
b
4
=
c
y
a
A
O
CB
=
es
el
punto
medio
de
AB.
c
D
Muestre
OB
que:
=
c
+
3a
AB
=
c
+
2a
C
B
3a
1
1
OD
=
2a
+
c
OC
=
2a
−
c
2
2
A
4
ABCDEF
es
un
hexágono
regular
con
centro
en O.
FA
=
a
a
y
FB
=
b
F
a
Exprese
cada
uno
de
estos
vectores
en
función
de a
y/o
B
b
b
O
AB
FO
BC
FD
FC
E
¿Qué
cuestiones
segmentos
AB
y
geométricas
puede
deducir
sobre
C
los
FC?
D
Usando
vectores,
determine
si
(FD)
y
(AC )
son
paralelas.
A
5
En
el
diagrama
OA
=
a
OB
y
=
b.
M
es
el
punto
medio
a
de
OA
y
P
per tenece
a
AB
de
modo
tal
que
M
2
P
AP
AB
=
3
X
O
Muestre
que:
B
b
2
AB
=
b
−
a
y
AP
=
(b
−
a).
3
1
MA
=
y
MP
=
2
X
es
1
2
a
un
b
−
Si
punto
Demuestre
que
tal
a
6
3
que
MPX
es
OB
una
=
BX,
muestre
que
MX
=
2b
−
a
recta.
Capítulo
12
425
.
A
proo
menudo,
cuando
r
necesitamos
resolvemos
y
=
OB
b
dos
=
5i
el
vectores
+
el
ángulo
entre
dos
vectores
problemas.
ingón:
Considere
calcular
teorema
=
OA
a
=
3i
+
del
coseno
4j
12j
B
b
A
a
O
Ahora
va
a
usar
Halle
el
Halle
las
Recuerde
el
vector
teorema
OA,
teorema
→
OB
del
→
y
AB
(|OA |,
coseno
2
|
para
θ,
calcular
el
ángulo
entre
los
dos
vectores.
y
|OB |
y
aplíquelo
|AB |).
a
esta
situación.
→
2
| OA
coseno
AB
longitudes
el
del
+ | OB
2
|
|
AB
|
=
cos θ
→
→
| × | OB
2 | OA
|
→
→
⎛
→
2
2
| OA |
+| OB
2
|
|
AB
⎞
|
⎜
⎟
−1
θ,
Halle
calculando
cos
→
⎜
→
2 | OA |×| OB
⎟
|
⎝
Debería
Ahora
hallar
repita
que
este
θ
=
⎠
14,3°.
procedimiento
usando
=
OA
a
=
a
i
+
a
1
=
OB
b
=
b
i
+
b
1
En
el
paso
y
j
2
,
a
es
b
1
cos θ
j
2
posible
+
a
1
simplicar
la
expresión
obtenida,
para
llegar
a
b
2
2
=
| a | | b |
o,
alternativamente,
a
b
1
a
b
a
+
a
=
b
2
a
i
+
,
lo
k
➔
y
j
b
=
b
2
puede
y
el
b
2
=| a || b | cos
2
roo
r
de
los
dos
vectores
El
a
coecientes
de
llama
a
2
Se
se
+
1
+
i
b
hallar
j
de
sumando
proo
2
conoce
multiplicando
y
(en
los
el
a
=
a
i
caso
de
los
tres
coecientes
i
de
dimensiones)
y
los
los
a
j
y
=
b
b
i
+
b
similar,
si
a
entonces
j,
a
b
=
a
b
Vectores
+
a
b
=
a
2
coecientes
=
a
i
a
b
2
+
2
b
+
a
a
b
426
como
punto.
resultados.
2
forma
entonces
se
r
+
De
escalar
también
producto
El
Si
producto
j
j
2
3
a
k
3
.
3
+
y
b
=
b
i
+
a
+
b
2
b
j
2
es
2
+
b
k,
producto
escalar
conmutativo;
signica
que
3
a · b
=
b · a
esto
➔
El
producto
entre
los
emo
Si
a
=
i
escalar
dos
a
b
=
|a||b|cos θ,
donde
θ
es
el
ángulo
vectores.
+
4j
–
2k
y
b
=
2i
+
4j
+
×
6)
6k,
halle
a
b
R
a
b
=
(1
=
2
×
2)
+
+
16
–
(4
×
4)
+
(–2
El
resultado
es
un
número
T
ambién
12
=
escalar,
6
no
un
usar
de
la
para
producto
dos
Si
ángulo
no
conocemos
podemos
a
para
entre
b
el
dos
valor
puede
calculadora
pantalla
(CPG)
El
se
vector.
gráca
calcular
escalar
el
entre
vectores.
vectores
del
ángulo θ
entre
dos
vectores
a
y
b,
usar
|a||b|cosθ
=
θ,
hallar
en
ο
lugar
cos θ
de
a
b
a
b
=
desarrollar
por
completo
el
teorema
del
coseno.
emo
Halle
b
=
5i
el
ángulo
+
entre
a
y
b,
sabiendo
que
a
=
3i
+
4j
y
12j.
R
Usando
a
a
b
=
3
×
|a|
=
5,
|a|
|b|
b
5
=
+
|b|
cosθ
|a||b|cos θ,
4
=
×
12
=
63
13
=
5
×
13
×
=
65cos θ
63
=
65cos θ
cos θ
=
⇒
cos θ
63
65
63
−1
θ
=
cos
=
14,3°
65
Capítulo
12
427
Propiedades
Vectores
Dos
especiales
del
producto
escalar
perpendiculares
vectores
son
per pendiculares
si
y
solo
si
su
producto
escalar
A
es
los
vectores
cero.
perpendiculares
Esto
es
porque
θ
si
=
90°,
entonces
también
a
b
=
|a||b|
cos 90°
=
|a||b|
×
=
0
se
los
llama
or togonales.
0
Obser ve
que
i,
j
que,
y
k
dado
son
perpendiculares
➔
Para
vectores
rnr ,
a
b
=
sí,
=
Vectores
Si
dos
a
➔
a
y
=
|a||b|
=
|a||b|
Para
i
j
j
=
k
=
b
son
paralelos,
ro,
a
b
=
|a|
a
i
j
=
i
y
k
=
k
i
0.
|b|
son
a
k
=
cos 0°
vectores
Vectores
un
i
entonces
Dado
Dado
j
paralelos
vectores
b
entre
0
coincidentes
vector
|a||a|
=
a
todos
j
y
k
vectores
unitarios,
i
a
=
que
i
=
j
j
=
k
k
=
1.
cos 0°
2
En
1686
publicó
Newton
su
obra
2
➔
Para
vectores
onn ,
a
a
=
a
Philosophiae
Principia
Ejercitación
12I
en
la
tres
1
Dados
a
=
2i
+
4j,
b
=
i
–
5j
y
c
=
–5i
–
2j,
Naturalis
Mathematica,
cual
detalló
y
halle:
momno.
a
poder
b
c
a
a
y
c · (a
(c
+
comprender
aplicar
leyes
+
b)
a) · b
1⎞
⎜
u
=
⎛
⎟
0
⎜
⎟
⎜
4 ⎞
v
3
=
⎜
⎟
⎛
⎜
w
=
⎟
3
⎜
⎟
⎜
⎟
,
y
halle:
⎝
cómo
hallar
la
⎟
resultante
6
⎠
⎝
direcciones
1⎞
⎜
y
⎟
1
⎠
en
una
perpendiculares
⎟
⎜
,
5
⎝
cómo
descomponer
fuerza
⎛
Dados
estas
necesitamos
saber
2
Para
b
de
fuerzas
⎠
perpendiculares.
u
2u
v
w
u · (v
(u
–
–
w)
v) · (u
+
w)
u
v
–
u
w
Las
leyes
son
un
de
tema
interesante
explorar
para
con
profundidad.
428
Vectores
Newton
mayor
3
Determine
o
ninguna
si
estos
de
las
pares
dos
de
vectores
son
per pendiculares,
opciones.
⎛ 1 ⎞
⎛ 2 ⎞
a
=
2i
+
4j
y
b
=
4i
–
2j
c
=
⎜
⎝
u
⎛
8 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
=
y
2
v
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
⎜
=
⎜
OZ
y
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
Halle
5
Dados
halle
6
2
Halle
en
los
2
a
2i
+
5j
PREGUNTAS
8
9
Considere
AB
AB
El
⎜
y
·
el
=
2i
que
entre
=
k
y
y
m
b
=
3i
–
2j
–
k
=
2i
–
8j
=
–i
+
4j
a
+
a
los
=
d
i
7j
=
+
y
j
c
–9,
vectores
entre
estos
⎛ 4 ⎞
⎜
⎝
–
=
i
b
a
2k
+
d
y
y
j
=
b
vectores,
aproximación
2i
+
b
=
+
k,
y
si
|a|
3i
c
+
d
=
2j
=
–
k
6.
3,
6
una
⎟
0
de
⎠
una
⎜
⎝
sus
cifra
respuestas
decimal.
3 ⎞
⎛
y
dando
⎟
1
⎠
5j
EXAMEN
puntos
del
ángulo
⎛
⎜
2i
+
A(2,4),
B(1,9)
y
C(3,2).
Halle:
AC
y
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
–7j
2
ángulo
entre
los
k
AB
y
siguientes
⎞
⎛ 2 ⎞
⎛
⎜
⎜
⎟
3
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
y
y
i
+
j
–
AC
pares
4
de
vectores.
⎞
⎟
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
1
6
+
entre
⎟
3
2
2j
AC
⎟
⎜
si
b
tal
TIPO
1⎞
⎜
n
–
⎠
⎠
los
⎜
⎝
5
y
⎛
2
b)
⎟
coseno
Halle
b
–
5k,
d
con
⎝
⎠
f
3i
⎟
1
⎛ 2 ⎞
y
⎟
1
–
ángulos
⎞
⎜
⎝
3i
grados,
⎛
y
=
1⎞
⎜
⎝
3b) · (2a
=
=
⎠
ángulo
2
a
⎠
⎛
CD
y
vector
el
=
+
a
el
Halle
|b|
7
(a
1
⎟
⎜
⎝
4
⎠
⎟
0
=
⎜
⎛ 2 ⎞
=
⎟
2
⎛ 0 ⎞
0
AB
⎜
⎝
⎠
⎠
⎟
⎝
g
=
1
⎛ 1 ⎞
OX
1
d
⎟
=
⎟
2
y
⎟
4 ⎞
⎜
⎝
paralelos
⎟
⎟
2
⎠
k
Capítulo
12
429
PREGUNTA
TIPO
EXAMEN
⎛
1⎞
⎜
10
Los
puntos
⎛ 2 ⎞
⎛
2 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
y
3
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
B
y
C
forman
un
triángulo.
Sus
vectores
de
posición
son
respectivamente.
Halle:
⎟
⎟
1
⎠
Las
El
valor
El
área
longitudes
exacto
del
de
los
del
lados
coseno
AB
del
y
AC
ángulo BAC
triángulo
⎜
Halle
el
ángulo
entre
⎟
y
1
⎜
el
eje
x
⎟
⎜
⎟
1
⎝
PREGUNTA
12
Los
TIPO
vectores
Muestre
Halle
λ
Halle
la
si
de
posición
PREGUNTAS
14
Sean
a
=
que
Sean
a
y
a
⎛
p ⎞
⎜
⎟
2
+
⎟
⎜
⎟
Halle
.
el
λ j
+
=
son
4i
+
4j
–
4k
y
i
+
2j
+
3k,
origen O
per pendiculares.
+
k
e
i
–
2j
+
3k
son
per pendiculares.
b
i
+
j
+
b
λk.
+
Halle
λ
tal
que
a
+
b
sea
2 ⎞
⎟
p
=
⎜
⎟
⎜
⎟
.
3
⎝
de
que
un
son
⎜
p
eón
Supongamos
b
⎛
⎠
valor
B
b
p
⎝
2i
7k,
a
y
⎜
de
y
EXAMEN
– 3 j
=
OB
A
AB.
vectores
per pendicular
15
OA
TIPO
5i
de
respecto
longitud
los
⎠
EXAMEN
respectivamente,
13
una
tal
⎠
que
a
y
or
recta
pasa
por
a
b
el
sean
per pendiculares.
r
punto
b
A
A,
donde
recta
es
A
tiene
paralela
vector
al
de
posición a, y
que
la
vector b
a
Ahora,
si
R
es
cualquier
punto
que
per tenece
a
0
la
AR
recta,
existir
un
es
paralelo
número
t
tal
a
b.
que
Por
AR
lo
=
tanto,
debe
t b
b
A
Cualquier
punto
R
que
per tenece
a
la
recta
R
puede
hallarse
par tiendo
del
origen
y
a
desplazándose
alcanzar
A
r
430
par tir
=
OR
la
de
=
Vectores
por
el
vector
a
hasta
OA
anterior,
+
r
0
recta.
lo
,
⎟
⎜
⎟
4
⎛ 1⎞
11
⎟
1
⎜
⎝
1
4
⎝
A,
AR
=
a
+
t b
⎠
➔
La
ón
donde
r
es
pertenece
la
recta
llama
Halle
Halle
una
Halle
es
recta,
un
a
la
recta
posición
es
or
ecuación
y
es
una
el
está
dada
general
vector
ror
el
y
vectorial
paralela
ecuación
A(1, 0, –4)
la
de
de
de
por
un
posición
paralelo
a
r
=
a
+
punto
de
la
un
t b,
que
punto
recta.
A
t
se
de
le
(1, –1, 3)
b
vector
parámetro.
emo
y
a
de
or
el
al
de
vector
vectorial
la
–i
de
+
la
recta
3j
–
que
pasa
por
el
punto
pasa
por
los
k
recta
que
puntos
B(–2, 1, 1).
ángulo
agudo
entre
estas
dos
rectas.
R
a
=
i
Una
r
=
j
+
3k
y
ecuación
(i
OA
–
j
+
1
+
y
–i
+
t (–i
+
3j
k
es
3j
OB
–
k)
1
=
1
4
–
2
0
=
=
vectorial
3k)
b
Escribir
los
posición
de
vectores
A
y
de
B
3
AB
=
OB
OA
–
=
AB
1
es
tiene
5
que
A
par tir
la
recta
r
de
lo
anterior,
1⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
0
+
⎜
⎜
Los
misma
que
dirección
recta.
de
3 ⎞
⎟
t
1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
⎟
4
5
⎝
ecuación
la
la
vector
es
⎛
=
una
un
vectores
⎠
directores
1
son
y
3
1
3
1
5
Para
hallar
entre
estas
hay
que
ángulo
Usando
a
b
=
|a||b|cos
el
ángulo
dos
rectas,
hallar
entre
el
sus
vectores
θ
directores.
–1
×
–3
+
3
×
+
–
×
5
En
11
=
×
35
cos θ
r
=
la
a
ecuación
+
t b,
b
es
el
vector
director.
1
=
11
35 cos θ
1
cos
θ
=
11
35
1
–1
θ
=
cos
=
11
35
87,1°
Capítulo
12
431
Ejercitación
1
Halle
una
y
que
pasa
a
12J
ecuación
por
el
⎜
⎝
a
=
2
a
5 ⎞
⎜
⎟
2
=
⎝
⎛
3 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎜
b
⎟
⎜
2
=
Halle
los
3
a
3 ⎞
⎟
⎟
⎜
⎟
(3, 5, 2)
Halle
a
y
y
+
k
b
a
=
⎜
⎝
y
a
=
que
pasa
a
⎟
2
3
=
⎠
4
i
–
=
⎟
⎜
⎠
⎝
+
si
(4, 5)
r
punto
(–3, 5, 1)
=
punto
r
(2, 1, 1)
432
p
r
dado
+
⎟
1
=
t
⎠
1
⎜
⎝
Vectores
q
de
posición
b
t
=
la
1⎞
⎛
⎟
⎜
5
+
t
dada.
⎠
1⎞
⎟
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
2
⎠
–
j
⎝
–
3k
⎠
+
vectorial
que
recta
⎟
3
⎜
dirección
tales
la
4 ⎞
⎝
⎠
2i
a
⎠
⎜
⎛
=
per tenece
⎟
2
⎛
+
⎟
⎜
ecuación
en
y
vector
al
⎛ 1 ⎞
=
⎝
5)
con
per pendicular
5k
3
4,
recta
⎠
⎜
(2,
B
(1, –1, 0)
⎟
⎜
Halle
una
y
⎠
b
⎝
una
(0, 0, 1)
(5, –2)
⎟
4k
el
r
(5, –2)
Halle
de
y
⎠
⎛ 5 ⎞
5
(4, –2)
1
⎝
⎟
⎜
por
2
⎜
3j
el
⎛ 2 ⎞
pasa
⎟
0
⎜
b
⎟
Determine
que
1⎞
⎜
1
=
recta
⎛ 4 ⎞
0
⎝
a
la
⎟
6
⎝
⎟
⎜
de
1⎞
⎜
⎛
b
⎞
⎜
por
⎝
5 ⎞
=
=
⎠
⎜
k
vectorial
⎛
b
⎜
⎛
–
vectorial
ecuación
⎛
⎝
2j
(2, –4, 5)
⎟
2
=
(3, –2)
⎛ 3 ⎞
⎠
dados.
una
vector
j
⎝
ecuación
puntos
(4, 5)
b:
2
–
posición
⎠
⎜
⎠
una
vector a
1
=
⎟
3i
de
al
⎟
0
8
⎝
vector
paralela
⎠
⎜
⎠
con
es
1⎞
⎛
b
B,
que
⎟
2
⎝
2
=
⎜
⎠
⎛
⎝
=
recta
1⎞
⎛
b
⎟
la
punto
⎛ 3 ⎞
=
de
el
–2i +
t (–2j
de
la
3j +
punto
–3k)
recta
que
pasa
por
el
punto
8k
(p, 0, q)
per tenezca
a
la
recta.
6
Halle
el
7
una
punto
¿Son
ecuación
vectorial
de
una
recta
ver tical
que
pase
por
(–6, 5).
las
rectas
coincidentes,
representadas
paralelas
o
por
estas
ecuaciones
per pendiculares,
o
vectoriales
ninguna
de
estas
opciones?
⎛ 3 ⎞
r
=
1
⎜
⎝
4
s
+
⎟
⎠
r
=
1
⎜
⎝
+
⎟
5
s
⎠
r
=
1
⎝
+
⎟
⎜
1
s
r
=
1
⎜
⎝
s
⎠
=
r
1
⎝
8
Halle
el
+
⎟
⎜
7
4 ⎞
⎟
4 ⎞
⎜
⎟
⎜
s
r
=
=
=
4
⎝
estos
r
⎜
r
7
⎜
⎟
⎜
⎝
TIPO
A
⎜
⎝
⎟
1
⎠
⎛ 4 ⎞
+
t
⎠
⎜
⎝
pares
⎟
3
de
⎠
rectas.
y
1
⎛ −1 ⎞
⎜
+
s
⎟
3
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
⎟
2
⎠
puntos
t
1
⎟
=
2
PREGUNTAS
⎛ 1⎞
+
4
⎟
⎝
⎠
2
⎛ −4 ⎞
y
1
10
=
0
0
⎟
6
⎝
⎠
⎟
8 ⎞
⎜
2
⎠
y
⎟
⎠
6
2 ⎞
t
⎠
⎜
⎜
⎟
2
⎛
+
⎟
2
⎜
⎝
⎛ 5 ⎞
r
entre
⎛
3
⎠
⎛ 1 ⎞
t
⎠
⎟
⎜
⎝
3
⎜
Los
⎝
⎠
t
⎜
⎟
3
⎝
+
⎟
1
⎜
⎠
⎛ 2 ⎞
⎟
⎜
9
=
2
1
10
6 ⎞
⎛
t
+
⎛ 5 ⎞
r
2
4 ⎞
3
⎝
r
⎜
⎝
⎠
1
=
2
⎟
⎜
⎠
⎛
2
r
=
2
⎟
ángulo
3
9 ⎞
⎜
⎛ 2 ⎞
r
⎠
⎛
⎛
⎝
⎠
⎜
2
=
2
⎛
⎝
⎛ 5 ⎞
r
⎛ 1 ⎞
+
⎟
1
1
⎝
⎠
⎛ 2 ⎞
⎟
⎝
⎛ 5 ⎞
2 ⎞
⎜
⎝
⎛ 2 ⎞
⎛
1
⎠
EXAMEN
B
respectivamente.
tienen
La
coordenadas
recta
l
tiene
(–2, –3, –4)
ecuación
r
y
⎛
1⎞
⎜
⎟
⎜
⎜
⎛ 1 ⎞
⎜
+
1
=
1
(–6, –7, –2),
t
⎜
⎟
⎜
2
⎝
Muestre
que
el
punto A
pertenece
a
la
⎟
2
⎟
⎟
⎟
6
⎠
⎝
⎠
recta l
1
Muestre
que
AB
es
per pendicular
a
la
recta
l
1
10
La
gura
OA
=
muestra
2 m,
OC
=
un
5 m
prisma
y
OD
=
en
el
G
cual
F
3 m.
5 m
Considere
unitarios
O
i,
j
como
y
k
en
el
la
origen
y
vectores
dirección
OA,
OC
D
y
C
B
E
OD
respectivamente.
3 m
Exprese
estos
vectores
vectores
unitarios.
en
función
de
los
O
2 m
Calcule
el
|OF
|
OF
Halle
AG
valor
el
A
de:
|AG
|
producto
escalar
de
OF
y
AG
A partir de lo anterior, halle el ángulo entre las diagonales OF y AG
Capítulo
12
433
PREGUNTA
11
TIPO
Los
puntos
8i
3j
–
+
A
6k,
EXAMEN
y
B
Halle
el
vector
Halle
el
coseno
Muestre
a
la
que,
de
Halle
A
el
para
que
valor
par tir
de
lo
el
nos
de
dan
punto
μ
se
posición
por
A
y
el
anterior,
desde
los
valores
+
de
μ,
8μ)j
–
OP
+
i
+
5j
–
origen
el
2k y
jo O
punto P
(–2
el
hasta
punto
AB
entre
vectoriales
resulta
con
8μ)k
+
per tenece
dos
de
perpendicular
en
cor ta
a
el
que
a AB
la
AB.
rectas
dos
rectas,
podemos
hallar
cor tan.
3
rectas
tienen
ecuaciones
r
0
+
s
las
rectas
se
cor tan
y
1
y
halle
r
2
=
2
+
t
4
.
0
1
las
0
1
que
6
1
=
1
Muestre
un
B
cual
halle
O
(5
Dos
de
OAB
7μ)i
+
para
ecuaciones
donde
emo
(1
intersección
las
de
respecto
ángulo
todos
pasa
de
per pendicular
Punto
del
posición
recta
vectores
AB
vector
Si
tienen
respectivamente,
8
coordenadas
del
En
punto
tres
dimensiones,
dos
rectas
pueden:
1
corr:
de
intersección.
si
R
Los
dos
los
vectores
son
iguales
si
sus
r
y
r
1
correspondientes
componentes
son
iguales.
3
x
=
=
y
1
1
0
z
+
un
1
=
3
y
=
s
+
r
valor
s
de
tales
=
si
existe
parámetros
satisface
t
y
un
valor
que
las
2
todas
ecuaciones.
sr
r
1
⇒
cor tan
de
r:
s
1
s
x
se
valor
2
de
r
el
tendrán
vectores
2
directores
que
son
z
1
=
–1
+
s
múltiplos
uno
del
otro.
x
6
0
x
=
6
y
=
2
3
r
=
=
y
2
2
z
3
s
+
=
–1
La
+
0
s
=
6
2
+
4t
+
s
=
⇒
4
t
+
si
z
=
son
8t
(3)
Sustituyendo
s
=
3
s
rectas
no
8t
(2)
da
las
8
(1)
:
4t
(1)
ecuación
sr
=
en
Igualar
y
componentes
resolver
el
sistema
los
de
son
ecuaciones
las
y
no
consistentes,
rectas
no
se
cor tan.
3
la
paralelas
valores
ecuación
(2):
A
Q
1
3
=
2
+
4t
por
lo
tanto
t
=
B
4
Sustituyendo
s
=
3
en
la
ecuación
(3)
1
–1
+
3
=
8t
por
lo
tanto
t
O
=
P
4
Dado
que
satisfacen
se
deben
el
valor
las
tres
de
s
y
el
valor
ecuaciones,
de
las
AB
t
dos
rectas
Vectores
PQ
cor tan.
cor tar.
{
434
y
son
alabeadas,
Continúa
en
la
página
siguiente.
nunca
se
s
Sustituyendo
=
3
r
en
Para
:
hallar
el
punto
de
r
⎛ x
⎞
⎛
3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
y
=
=
⎜
⎜
⎜
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
z
+
3
⎟
el
valor
de
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
=
3
+
3
=
6
y
=
0
+
3
=
3
=
lo
–
+
intersección
r
=
las
⎞
⎛ 6 ⎞
⎜
⎟
⎜
hallar
⎟
el
vector
=
y
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
punto
de
del
punto
de
(6,3,2).
⎛ 0 ⎞
⎜
+
⎜
del
2
1
2
⎟
de
⎠
intersección
⎟
⎜
para
1
coordenadas
son
⎛ x
=
2
3
tanto,
r
1
x
z
reemplazar
en
⎟
posición
Por
s
1
⎟
1
⎝
intersección,
⎛ 1⎞
⎟
4
Alter nativamente
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
4
z
0
⎝
podríamos
8
reemplazar
el
⎠
valor
de
t
en
r
2
x
=
6
y
=
2
1
⎛
+
4
⎞
⎜
=
⎟
4
⎝
3
Esto
nos
da
las
coordenadas
1
⎛
z
=
0
+
8
⎜
1
Halle
las
es
una
=
2
manera
útil
de
vericar
⎠
la
Ejercitación
y
⎞
⎟
4
⎝
mismas
⎠
respuesta.
12K
coordenadas
del
punto
donde r
=
4i
+
2j
+
λ(2i
–
4j)
1
cor ta
a
r
=
11i
+
16j +
μ(i +
2j).
2
2
Las
r
=
1
ecuaciones
⎛
4 ⎞
⎜
⎟
⎝
punto
2
⎛ 8 ⎞
Una
s
+
⎠
P.
⎟
⎜
⎝
2
Halle
PREGUNTA
3
vectoriales
r
=
2
⎛
6 ⎞
⎜
⎟
3
⎝
⎠
el
TIPO
ecuación
y
de
vector
dos
están
dadas
por
⎛ 9 ⎞
+
t
⎠
de
rectas
⎟
⎜
⎝
6
.
Las
rectas
se
cor tan
en
el
⎠
posición
del
punto P
EXAMEN
de
la
recta
l
es:
r
⎛
5 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
1
=
⎜
⎜
+
2 ⎞
⎟
t
1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
⎟
2
⎝
Una
1
⎠
ecuación
de
la
recta
l
es:
2
r
⎛
3 ⎞
⎜
⎟
⎛ 2 ⎞
⎜
+
2
=
⎜
⎜
s
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
4
⎝
⎟
1
⎟
⎟
⎟
2
Muestre
que
⎠
las
rectas
l
punto
de
y
l
se
cor tan
y
halle
las
coordenadas
del
2
intersección.
Capítulo
12
435
PREGUNTAS
4
Halle
r
=
el
i
+
TIPO
punto
j
+
EXAMEN
donde
t (3i
–
j)
y
las
r
1
5
rectas
=
–i
+
con
s j
ecuaciones
se
cor tan.
2
Muestre
que
las
dos
rectas
r
⎛ 3 ⎞
⎛
⎜
⎜
⎟
+
0
=
1
1⎞
⎟
t
1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
5
2
⎝
⎛ 1 ⎞
⎜
+
4
=
2
s
Las
L:
l
M:
7
La
son
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
0
6
⎟
1
⎜
⎝
m
alabeadas.
1
⎠
ecuaciones
=
⎠
⎛ 1⎞
⎟
⎜
r
3i
=
–
2j
4i
+
–
vectoriales
5k
20j
Muestre
que
posición
del
Muestre
que
ecuación
+
+
las
s (–i
6k
de
la
+
de
L
las
–
–
y
rectas L
4j
M
–
se
L
L
y
M
cor tan
es r
son
El
punto
B
tiene
tiene
puntos
Halle
A
los
El punto
P
y
⎛
⎜
⎜
=
8
Halle
A
Los
b
=
las
par tir
–
2j
per tenecen
valores
de
a
a
a
y
la
⎟
9
+
A
–
k,
Determine
el
vector
de
⎟
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
2
⎠
⎝
⎠
donde
(b, 3, –),
a
la
recta
a
donde
es
b
una
es
constante.
una
constante.
L
b
L
de
modo
tal
que
OP
es
L
lo
y
halle
1⎞
t
⎟
(5, 7, a),
recta
coordenadas
de
puntos
3i
coordenadas
per tenece
per pendicular
coordenadas
B
y
per pendiculares.
⎛ 6 ⎞
⎝
A
son:
3k)
3
punto
M
5k)
⎜
El
y
intersección.
rectas
recta
3j
t (3i
rectas
punto
las
+
de
⎜
Los
y
⎜
B
de
anterior,
tienen
P
halle
la
vectores
respectivamente,
una
ecuación
distancia
de
exacta OP
posición
respecto
vectorial
de
de
la
a
=
un
2i
–
j
origen
recta L
+
2k
y
jo O
que
pase
por
los
1
puntos
Una
A
y
B
ecuación
vectorial
de
la
recta
L
es
r
=
7i
+
3k
+
s (2i
+
j
+
2k).
2
Muestre
que
las
rectas
L
y
L
1
posición
del
punto
de
se
cor tan
y
halle
el
vector
de
2
intersección
C
Material
Halle
Halle,
entre
la
a
longitud
la
las
décima
rectas
L
1
436
Vectores
del
segmento
de
y
grado
L
2
AC
más
próxima,
de
disponible
el
ángulo
ampliación
en
línea:
ejercicios
12:
La
una
en
tres
Hoja
ecuación
de
de
agudo
recta
dimensiones
.
Los
aon
vectores
contemplan
y
las
aplican
a
cantidades
o
or
situaciones
vectoriales
de
la
tales
vida
como
cotidiana
los
que
desplazamientos
velocidades.
emo
El
se
vector
de
posición
de
un
bote,
A,
t
horas
después
de
dejar
el
puer to
30
está
dado
por
r
=
t
.
Un
segundo
bote,
B,
pasa
cerca
del
puer to.
1
15
50
Su
vector
de
posición
en
un
tiempo
t
está
dado
por
r
10
=
+
t
2
5
¿Qué
deja
distancia
el
hay
entre
los
botes
en
el
momento
en
10
que
el
primero
puer to?
¿Qué
celeridad
¿Existe
peligro
cambia
de
tiene
de
cada
que
bote?
los
botes
colisionen
si
uno
de
ellos
no
dirección?
R
0
En
t
=
0,
el
bote
A
está
en
el
origen,
con
vector
de
posición
0
50
y
el
bote
B
tiene
vector
de
posición
,
2
que
La
los
separa
celeridad
vectores
es
de
de
los
50
esto
lo
tanto,
la
distancia
5
+ 5
botes
directores,
por
5
se
es,
=
2525
halla
del
=
50,2 km.
calculando
vector
la
magnitud
velocidad
de
cada
de
sus
bote.
30
Para
el
bote
A,
el
vector
que
recorrerá
en
una
hora
es
,
2
longitud
es
30
cuya
15
2
+ 15
=
=
1125
33,5 km.
–1
Por
lo
tanto,
el
bote
A
tiene
una
celeridad
de
33,5 km h
10
Para
el
bote
B,
el
vector
que
recorrerá
en
una
hora
es
,
10
2
cuya
longitud
10
es
2
+ 10
=
200
=
14,1 km.
–1
Por
lo
Para
cual
tanto,
que
los
los
vector
botes
vectores
B
posición
de
x:
30t
Componentes
de
y:
15t
consecuencia,
Ejercitación
tiene
colisionen
de
Componentes
En
1
el
los
=
=
50
5
botes
una
debería
de
+
+
celeridad
los
10t
10t
no
existir
dos
⇒
⇒
t
de
t
un
botes
=
=
14,1 km h
valor
de
.
t
para
el
coincidieran.
2,5 h
1 h
colisionarán.
12L
El
vector
de
posición
del
El
vector
de
posición
de
barco
la
S
boya
es
B
30 km
es
Nor te
20 km
y
Nor te
60
y
km
Este.
45 km
Este.
Halle:
La
posición
La
distancia
del
barco
exacta
respecto
entre
el
de
barco
la
y
boya
la
boya
Capítulo
12
437
2
Una
se
partícula P
mueve
de
con
posición
está
una
⎛ x
⎞
⎜
⎟
en
el
origen O
velocidad
en
el
constante
y
instante t = 0.
llega
al
La
punto Q,
partícula
con
vector
20
m,
=
y
4
segundos
más
tarde.
Halle:
8
La
velocidad
La
posición
de
de
P
P,
si
continúa
moviéndose
durante
6
segundos
más
–
3
Otra
partícula
Pasa
por
el
se
punto
mueve
A,
Halle
la
celeridad
Halle
la
distancia
¿Colisionarán
En
A
esta
pregunta
horas.
las
3
de
mirando
barco
con
A
El
dos
no
las
⎛
⎜
⎜
⎟
3
+
t
vector
la
T
a
el
1
+
viaja
a
cual
de
dos
3j.
los
⎟
⎠
⎝
3
en
la
un
–
j) m
5j) m s
cuando
3
t
=
de
dos
en
barcos
kilómetros
en
dos
costa
velocidad
barcos
1
=
r
y
alto
barcos.
está
del
de
lo
3i
dada
3j.
La
por
barco
+
de
B
el
tiempo
de
un
km.
peñasco
posición
3i
+
3j
y
del
viaja
está
Halle:
colisionarán
si
alguno
de
colisionarán
X
e
Y
en
el
instante
t
están
2
⎟
⎜
−7
y
+
s
los
dos
distancia
de
respectivamente.
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
dadas
celeridad
⎟
1
⎜
2
están
que
9
en
los
metros.
dos
helicópteros.
helicópteros
entre
los
no
colisionarán.
helicópteros
cuando t
=
10.
rón
✗
1
Demuestre,
B(–2,
3,
5)
PREGUNTA
2
Muestre
5i
un
438
j
+
usando
y
TIPO
que
6k,
0,
un
–1)
método
son
vectorial,
que
los
puntos A(1,
colineales.
EXAMEN
los
2i
triángulo
Vectores
C(7,
+
puntos
2j
y
0.
s.
desplazamiento
posición
helicópteros
⎠
distancias
ero
=
parada
paso
La
dos
4
la
(4i
–
dirección
⎜
y
−1
⎜
Halle
t
dadas
está
el
una
los
⎟
⎟
están
representa
punto
4i
⎞
⎜
Muestre
cuando
persona
un
de
cual
de
⎟
es
(2i
fórmulas
⎜
la
posición
de
EXAMEN
⎟
Halle
O,
distancias
una
el
de
constante
par tícula.
unitario
de
velocidad
par tículas?
cambia
⎜
una
obser vando
y
en
TIPO
por
⎝
Las
y
3j
en
⎛ 11 ⎞
=
x
+
posiciones
dadas
r
4i
punto
PREGUNTA
Las
mar
instante
los
tarde
velocidad
por
El
la
el
las
de
de
las
vector
respecto
una
dada
Un
con
cuyo
en
4
T
A,
–3i
rectángulo.
–
B
5j
y
+
C,
8k
con
vectores
de
posición
respectivamente,
forman
2,
3),
PREGUNTA
3
Dados
TIPO
a
EXAMEN
⎛
5 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
=
y
1
b
4
b
Dos
y
a
,
3
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
–
b
rectas
muestre
son
con
ecuaciones
Halle
PREGUNTAS
5
Un
las
TIPO
triángulo
r
⎛
0 ⎞
⎜
⎟
=
Halle
AB
y
Halle
AB
·
Muestre
+
6
⎛ 7 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎛
⎜
⎜
⎜
s
⎟
y
3
+
1
⎟
t
se
4
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
de
=
2
2 ⎞
⎟
⎟
1
r
⎟
⎜
⎜
coordenadas
2
1
cor tan
en
el
1
⎠
P
EXAMEN
tiene
vectores
per pendiculares.
⎝
P.
los
⎠
1
punto
que
5
3
+
⎟
=
⎜
⎝
a
1⎞
sus
vér tices
en
A(–2,
4),
B(1,
7)
y
C(–3,
2).
AC
AC
3
cos BÂC
que
=
2
5
6
6
Dos
rectas
L
y
L
1
están
dadas
por
=
+
2
s
P
es
el
punto
y
2
de
L
cuando
s
=
4.
=
1
−12
+ t
11
2
1
2
3
0
2
Halle
7
1
el
vector
⎟
⎜
de
3
posición
de
P
.
1
Muestre
que
P
per tenece
también
a
L
2
2
1
⎜
7
La
recta
L
tiene
ecuación
vectorial
r
=
1
−3
+
t
es
paralela
a
L
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
pasa
por
el
punto
B(2,
2
2,
4).
Escriba
y
.
⎟
3
L
⎟
3
⎜
una
ecuación
vectorial
para L
en
la
forma
r
=
a
+
s b
2
Una
tercera
recta
L
es
per pendicular
a
L
3
3
⎜
r
=
⎜
+
11
⎜
está
representada
por
7
⎟
⎜
y
q
⎟
x
⎟
⎜
⎟
⎜
7
⎟
⎟
1
Muestre
Halle
que
las
x
=
–3.
coordenadas
del
punto
C,
la
intersección
entre
L
1
Halle
BC
Halle
|BC
|
en
la
forma
a
b,
donde
a
y
b
son
enteros
que
y
L
3
deberá
determinar.
Capítulo
12
439
PREGUNTA
8
(En
en
esta
TIPO
EXAMEN
pregunta
horas.)
Al
las
distancias
mediodía,
el
se
miden
cuidador
de
en
un
kilómetros
faro
observa
y
el
dos
tiempo
barcos
A
4
La
posición
del
barco
A
en
el
instante t
está
dada
r
por
4
+ λ
=
17
4
posición
del
barco
B
en
el
instante t
está
dada
por
r
=
2
⎜
12
⎟
+ μ
⎜
⎟
9
Muestre
vector
evitar
que
de
la
A
y
B
posición
colisión,
colisionarán
del
a
punto
las
y
de
2.5,
halle
el
colisión.
el
barco
A
instante
A
n
B.
1
3
La
y
y
5
el
de
cambia
su
16
dirección
.
a
17
Halle
la
distancia
ero
entre
A
y
B
a
las
2.30.
rón
3
1
Halle
la
amplitud
del
ángulo
entre
los
2
⎛
vectores
.
⎜
5
Dé
su
respuesta
PREGUNTAS
2
Los
al
TIPO
vértices
de
grado
más
un
triángulo PQR
se
denen
2
⎛
3
2
OQ
,
1
=
1
QR
3
Una
car pa
sección
OR
y
⎠
transversal
los
vectores
de
posición
⎟
.
⎜
⎟
⎜
⎟
Halle:
5
⎝
ˆ
PQR
OABCDE
por
⎞
1
=
0
QP
y
⎝
próximo.
⎜
=
⎟
4
EXAMEN
3
OP
⎞
y
tiene
⎠
El
forma
constante
de
que
área
prisma
es
un
del
triángulo
triangular,
triángulo
PQR
con
E
una
equilátero
de
2 m
4 m
2 m
de
lado.
La
car pa
tiene
4
m
de
largo.
La
base OADC
es
C
D
horizontal.
Los
diagonales
Tome
O
BC
como
postes
y
de
sopor te
se
colocarán
a
lo
largo
de
B
las
BD
el
2 m
origen
y
considere
vectores
unitarios i
y
j
en
4 m
la
O
A
2 m
dirección
sentido
de
OA
ver tical
y
OC
hacia
respectivamente;
k
es
un
vector
unitario
arriba.
i,
OC
OB
A
Calcule
par tir
de
los
|BC
El
A
par tir
lo
anterior,
valores
|
producto
de
lo
Dados
donde
440
Los
El
a
x
=
es
xi
una
valores
ángulo
Vectores
+
escalar
–
2)j
+
variable
de
x
entre
vectores BC
los
entre
halle
y
k
y
b
BC
el
=
escalar,
para
a
k
y
BD
|
anterior,
(x
y
de:
|BD
halle
j
OD
y
BD
ángulo
entre
los
dos
postes
2
4
en
b,
los
x
i –
2x j
–
12x k,
halle:
cuales
cuando
x
a
=
y
b
–1
son
per pendiculares
de
sopor te.
PREGUNTAS
5
Los
TIPO
puntos
P
y
EXAMEN
Q
tienen
vectores
de
⎛
1⎞
⎜
⎟
⎛ 1 ⎞
⎜
1
posición
⎜
⎜
y
⎜
⎟
⎜
3
⎝
respectivamente,
Muestre
Escriba
OP
que
una
respecto
es
de
un
⎟
⎟
5
⎠
⎝
⎠
origen O
per pendicular
ecuación
⎟
5
⎟
vectorial
de
a
la
PQ
recta L
,
que
pasa
por
los
1
puntos
P
y
Q
2
Una
ecuación
de
la
recta
L
es
r
=
1
+ μ
−1
−3
2
2
Muestre
que
posición
del
las
rectas
L
y
L
1
Calcule,
al
rectas
y
L
grado
(Todas
en
las
(0,
0,
con
t
6).
El
=
Un
0,
el
el
en
próximo,
esta
insecto
insecto
segundos
coordenadas
insecto
más
distancias
Dos
Halle
se
cor tan
y
halle
el
vector
de
2
intersección.
el
ángulo
agudo
entre
las
2
segundos.)
instante
de
L
1
6
punto
2
(6,
pregunta
vuela
está
más
–2,
a
en
una
el
están
altura
punto
tarde,
el
en
A,
metros
constante.
con
insecto
y
el
tiempo
En
el
coordenadas
está
en
el
punto B,
6).
AB
vector
continúa
volando
en
la
misma
dirección
con
la
misma
celeridad.
Muestre
que
el
vector
dado
por
⎟
⎜
⎜
=
y
⎜
⎜
⎟
⎜
el
instante
vector
de
⎛ x
⎞
⎛ 36 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎜
=
y
⎜
⎜
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
z
⎝
⎟
+ t
18
⎟
=
0,
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
0
⎜
un
en
el
tiempo t
⎟
+ t
1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
6
del
insecto
0
pájaro
pájaro
emprende
en
el
vuelo
tiempo t
desde
está
el
dado
suelo.
El
por
3 ⎞
⎟
.
4
⎟
⎟
⎟
1
Escriba
Halle
El
t
posición
del
3
⎟
0
⎟
z
En
posición
0
x
⎜
está
de
la
pájaro
las
⎠
coordenadas
celeridad
alcanza
Halle
el
f
Halle
las
al
tiempo
del
insecto
que
del
punto
de
par tida
del
pájaro.
pájaro.
en
tarda
coordenadas
de
el
el
punto C.
pájaro
en
alcanzar
al
insecto.
C
Capítulo
12
441
ResuMeN
del
vor:
ono
●
Un
El
●
es
una
cantidad
desplazamiento
Un
La
●
or
capítulO
El
es
r
distancia
vector
una
y
la
y
la
en
la
tiene
velocidad
celeridad
unitario
áo
que
cantidad
12
que
son
son
ejemplos
tiene
medida
ejemplos
dirección
(magnitud)
m
del
de
eje x
de
y
rón.
vectores.
pero
no
dirección.
escalares.
es
i.
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
En
dos
dimensiones,
i
=
⎜
y
⎜
⎝
en
tres
dimensiones,
⎟
0
i
=
⎟
0
⎜
⎠
⎟
⎜
⎟
0
⎝
●
El
vector
unitario
en
la
dirección
del
eje y
es
⎠
j.
⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
En
dos
dimensiones,
j =
⎜
y
⎜
⎝
1
en
tres
dimensiones,
j =
⎜
⎠
⎜
⎝
●
En
tres
dimensiones,
el
vector
unitario
en
la
dirección
⎟
1
⎟
⎟
⎟
0
⎠
del
eje z
es
k,
donde
⎛ 0 ⎞
⎟
⎜
k
=
0
⎟
⎜
⎟
⎜
1
⎝
●
Los
●
Si
⎠
vectores
i,
j
y
k
se
denominan
or
⎛ a ⎞
2
AB
=
⎜
⎝
⎟
b
=
a i + b j,
entonces
|AB
|
=
a
2
+ b
⎠
⎛ a ⎞
⎜
⎟
2
AB
Si
=
b
⎜
⎜
⎝
●
Dos
i,
j
y
k
Podemos
Dos
Esto
●
El
son
tanto,
puede
punto
g
son
escribir
vectores
lo
|AB
|
=
2
a
+ b
2
+ c
⎠
también
●
entonces
a i + b j + c k,
⎟
c
vectores
●
Por
=
⎟
son
AB
el
iguales
vector
y
RS
son
tienen
y
,
por
AB
ro
escribirse
con
si
si
igual
lo
es
paralelos
como
coordenadas
a
(x,
tanto,
como
uno
=
y)
magnitud
–
dirección;
vectores
sus
columna
son
múltiplo
AB
=
k
escalar
RS
del
Para
calcular
posición
de
A
el
or
del
donde
k
es
una
de
cantidad
tiene
or
oón
OP
⎛ x
⎞
⎜
⎟
=
AB
posición
de
entre
dos
puntos
A
y
B,
se
y
Vectores
=
x i +
y j
⎠
resta
el
vector
de
B
Continúa
442
escalar.
kb
rn
vector
iguales.
otro.
⎝
●
componentes
BA
un
si
sus
y
en
la
página
siguiente.
●
Si
A
=
(x
,
y
,
z
),
entonces
a
OA
=
=
x
i
+
y
j
+
z
k
A
y
si
B
=
(x
,
y
2
,
z
2
),
entonces
b = OB
= x
2
i
+
y
2
j
+
z
2
k
2
b
AB
=
AO
–
a
OB
+
a
B
= OB
OA
b
=
b
–
a
O
=
(x
–
x
2
)i
+
(y
–
y
2
)j
+
(z
–
z
2
)k
2
Distancia
AB
=
(x
−
x
2
2
)
+ ( y
1
−
y
2
2
)
+ (z
1
−
z
2
)
1
a
●
Para
hallar
un
vector
de
longitud
en
la
dirección
de a,
se
usa
la
fórmula
a
a
●
Para
hallar
un
vector
de
longitud
k
en
la
dirección
de
a,
se
usa
la
fórmula k
a
sm
●
y
frn
El
vector
se
ubican
origen
u
resultante,
uno
de
+
a
u
+
v,
or
es
el
continuación
tercer
de
otro
lado
de
un
haciendo
triángulo
coincidir
formado
el
extremo
cuando u
de u
con
y
v
el
v
v
v
u
●
Para
hallar
la
proo
●
proo
Si
a
=
i
a
entre
dos
se
suma
el
vector
opuesto.
r
+
a
j
y
b
=
b
2
manera
i
+
b
similar,
si
j,
entonces
a
b
=
a
b
a
+
=
a
i
a
b
2
+
+
a
=
a
2
3
Para
vectores
rnr ,
Para
vectores
ro,
●
Para
vectores
onn ,
=
a
+
a
|a||b|
b
k
y
b
=
b
3
+
a
i
+
b
2
b
.
2
j
+
b
2
k,
3
3
●
b
b
b
●
a
j
2
a
El
r
b
●
roo
a
2
entonces
vectores,
r
De
diferencia
=
a
cos θ,
b
=
donde
θ
es
el
ángulo
entre
los
vectores.
0.
|a||b|.
2
eón
●
La
ón
general
es
or
un
de
or
un
or
punto
de
de
ror
la
a
la
a
=
recta
recta,
paralelo
a
a
a
.
r
es
es
la
r
=
un
a
+
t b,
vector
recta.
t
se
donde
de
r
es
posición
denomina
el
vector
de
un
de
posición
punto
dado
y b
parámetro.
Capítulo
12
443
t
or
del
conomno
¿uno
A
menudo
o
se
ro?
divide
a
las
matemáticas
en
diferentes
ramas
o
campos
de
conocimiento.
■
Enumere
■
¿Por
qué
las
los
ramas
seres
compar timentar
Ágr
En
y
este
los
en
pensar
cada
una
Entonces,
■
demostrar
el
sienten
la
que
conoce.
necesidad
de
categorizar
y
conocimiento?
¿los
geométricamente
vectorial
geométricas.
para
describir
y
geométricas.
ejemplos
de
vectores
propiedades
álgebra
propiedades
¿Puede
matemáticas
humanos
el
representamos
para
empleamos
generalizar
las
gomr
capítulo
usamos
T
ambién
■
y
de
estas
de
cómo
usó
los
vectores
formas?
vectores
per tenecen
al
álgebra
o
a
la
geometría?
conr
Establecer
(álgebra
El
y
conexiones
geometría
matemático
de
los
de
en
Su
omrnr
entre
por
francés
primeros
geométricos.
o
r
René
usar
mayor
diferentes
ejemplo)
el
dominios
desarrolla
Descar tes
álgebra
apor tación
para
fue
la
matemáticos
comprensión.
(1596–1650)
resolver
la
fue
uno
problemas
geometría
car tesiana
coordenadas.
Cada
lentos
vez
y
que
sus
el
usos
álgebra
y
la
limitados,
mutuamente
Joseph
dmorón
sus
Louis
geometría
pero
estuvieron
cuando
fuerzas
y
estas
dos
marcharon
Lagrange,
ciencias
juntas
matemático
orm
separadas,
se
hacia
francés,
sus
progresos
unieron,
la
han
compar tieron
perf ección.
1736–1813
p ágor
mos
Pode
ver
es
xion
cone
c
el
bra
álge
usan
para
mo
mis
b
444
Teoría
del
Conocimiento:
¿unidos
o
separados?
s
esta
e
entr
y
la
do
cuan
a
etrí
geom
a
sido
se
dar
ab or
a.
lem
prob
el
emostración
GeomÉtrica
D
c
a
Dibuje
y
recor te
cuatro
triángulos
idénticos
a
este.
b
a
Dispóngalos
de
manera
de
formar
un
cuadrado
con
lados
a
+
b
b,
a
como
c
este:
b
c
¿Cuál
■
es
el
área
del
cuadrado
del
centro?
c
b
c
a
b
b
Reubique
con
la
triángulos
misma
¿Qué
■
los
longitud
área
tienen
para
de
los
formar
lado,
dos
otro
como
c
a
cuadrado,
a
a
a
este:
cuadrados
c
blancos?
b
b
El
área
debe
del
ser
cuadrado
igual
a
la
central
suma
del
de
las
primer
áreas
diagrama
de
los
dos
b
cuadrados
del
segundo
diagrama.
emostración
Esto
es,
c²
=
a²
+
a
b².
aLGeBraica
D
a
Use
el
mismo
diagrama,
pero
ahora
obser ve
los
b
triángulos
a
en
lugar
de
los
cuadrados.
c
b
c
Use
■
estos
grande,
dos
con
métodos
lados
a
+
para
hallar
el
área
del
cuadrado
b.
c
b
c
Méoo
1.
Eleve
al
Méoo
.
Calcule
cuadrado
el
área
la
de
longitud
los
cuatro
de
los
lados:
triángulos
(a
+
b)²
a
congruentes
b
a
2
y
En
ambos
cuadrado
Igualando
casos,
súmela
se
a
c
obtienen
,
el
área
del
expresiones
cuadrado.
para
el
área
del
grande.
estas
expresiones,
se
obtiene
b²
+
2ab
+
a²
=
2ab
+
c²
⇒
a²
+
b²
=
c²
D
emostración
VectoriaL
Represente
vectores
,
los
y
lados
del
triángulo
rectángulo
mediante
Dado
Por
lo
que
forman
un
triángulo,
tanto
+
(
+
=
)
(
+
)
+
=
■
Aplicando
=
propiedad
=
0,
distributiva
porque
y
son
+
+
=
lo
tanto
+
=
de
preere?
perpendiculares
método
demostración
■
Por
¿Cuál
¿Cuál
fue
el
más
el
más
sencillo?
O
bien
a²
+
b²
=
c²
■
¿Cuál
fue
hermoso?
Capítulo
12
445
Funciones
13
ObjetivOs
del
Denición
3.2
capítulO:
cos θ
de
circulares
y
sen θ
a
par tir
del
círculo
de
radio
unidad;
denición
de
senθ
tan θ
como
cosθ
π
Valores
3.2
exactos
de
las
razones
trigonométricas
0,
de
π
,
6
2
3.3
Relación
fundamental
3.3
Identidades
3.3
Relación
3.4
Funciones
entre
amplitud;
ángulo
las
trigonométricas
Funciones
3.4
T
ransformaciones
3.4
Aplicaciones
3.5
Resolución
an
Qué
compuestas
de
de
como
los
para
θ
sen 30°
=
el
seno
múltiplos
y
el
coseno
(circulares)
sen x,
cos x
y
tan x:
dominios
y
recorridos;
grácos.
de
la
forma
funciones
ecuaciones
f (x)
=
a sen (b(x
+
c))
+
d
trigonométricas
trigonométricas
saber
en
un
inter valo
nito,
exactos
Comprobemos
de
cier tas
razones
1
Hallar
el
valor
exacto
de
sen 30°
tanto
de
forma
Calcule
el
valor
nuestras
exacto
habilidades
de:
sen 45°
tan 60°
cos 150°
sen 225°
0,5
ejemplo:
Hallar
el
valor
Halle
el
valor
exacto
de:
exacto
2
3
de
sus
trigonométricas
2
Por
y
2
omnzr
valores
ejemplo:
3
= 1
trigonométricas
Por
4
analítica
necesitamos
Hallar
las
+ sen
doble
razones
periodicidad;
3.4
gráca
1
del
π
,
2
θ
cos
π
,
3
sen
tan
tan
3
4
4
7
3
=
tan
−
cosπ
sen
4
2
6
Trabajar
con
las
funciones
grácas
de
la
3
calculadora
de
pantalla
gráca
(en
Use
las
funciones
grácas
de
la
CPG
adelante,
para
hallar
las
raíces
del
gráco
de
cada
CPG)
función:
Por
ejemplo:
Usar
las
funciones
grácas
3
de
la
de
f
CPG
para
hallar
las
raíces
del
=
x
(x)
=
2
−
x
+
5
f
3x
+
2
x
≈
−0,732;
;
ejemplo:
Use
Usar
las
funciones
CPG
para
resolver
la
ecuación
2
4x
446
−
7
=
Funciones
ln(x
las
funciones
grácas
de
la
CPG
cada
ecuación:
grácas
la
=
2,73
3
de
(x)
2
−
resolver
Por
2x
2ln x
circulares
x
≈
0,0303;
,38
−
3)
gráco
4
3
(x)
f
x
4
−
5x
=
x
+ 1
x
2
=
3
−
x
para
La
r ueda
ribera
año
25
giratoria
sur
del
2000.
río
Cada
personas.
Es
un
promedio
La
r ueda
llamada
Támesis,
una
una
de
3,5
de
“London
abrió
las
32
Eye”,
puer tas
cabinas
impor tante
millones
sus
al
puede
atracción
de
que
está
situada
público
en
transpor tar
turística
y
en
la
el
hasta
cada
año
recibe
visitantes.
Circular
1,1
Functions
y
0,30103
una
de
da
altura
las
una
de
vuelta
35
cabinas
aproximadamente
metros
viaja
en
su
alrededor
punto
de
una
más
cada
alto.
30
minutos.
Un
pasajero
circunferencia
en
una
150
Tiene
en
una
vuelta
x
0
1
completa.
La
altura
del
pasajero
respecto
de
la
plataforma
30
de
0
ascenso
se
puede
modelizar
mediante
la
función
[
Este
de
⎛
a (t )
=
2π
67, 5 cos
⎝
− 15 )
30
+ 67, 5;
a
es
la
altura
el
gráco
función
modeliza
⎟
la
en
metros
y
t
es
el
tiempo
en
minutos
después
pasajero
encima
de
que
un
pasajero
se
sube
la
cabina.
Este
es
un
ejemplo
de
por
la
plataforma
de
que
altura
⎠
del
donde
es
⎞
(t
⎜
la
de
las
ascenso.
funciones
circulares
que
estudiaremos
en
este
capítulo.
Capítulo
13
447
.
En
uzón
esta
➔
El
sección
círculo
ro
continuaremos
de
radio
unidad
trabajando
tiene
ro
con
el
n
círculo
de
radio
unidad.
Recordemos que el
y
centro
B(cos i, sen i)
en
el
origen
(0,0)
y
radio
de
longitud
círculo de radio unidad
.
2
tiene ecuación x
El
lado
terminal
de
cualquier
i
en
la
posición
estándar
cor tará
A(1, 0)
al
x
0
En
círculo
en
un
punto
con
2
+ y
ángulo θ
este
diagrama,
coordenadas
AÔB
(θ)
está
en
la
(cosθ, senθ).
posición
El
A
continuación
vemos
algunos
ángulos
en
la
posición
estándar
en
punto
estándar
.
A
tiene
el
coordenadas
círculo
(desde
Estos
de
el
radio
eje
x
unidad.
positivo),
ángulos
pueden
Si
el
ángulo θ
entonces
medirse
en
θ
es
se
abre
en
sentido
antihorario
positivo.
grados
o
en
r
r
3
3
B
r
A(1, 0)
A(1, 0)
3
x
x
0
y
7r
6
A(1, 0)
335°
A(1, 0)
x
0
0
7r
B(cos
7r
, sen
6
Si
el
x
B(cos 335°, sen 335°)
)
6
ángulo
entonces
θ
θ
es
se
abre
en
sentido
horario
(desde
el
eje x
positivo),
negativo.
4r
B
(cos (–
4r
),
3
sen
(–
))
3
A(1, 0)
A(1, 0)
0
–80°
0
x
x
4r
3
B(cos –80°, sen –80°)
448
Funciones
circulares
y
el
punto
B
coordenadas
(cosθ,
y
0
0),
tiene
radianes.
B(cos 45°, sen 45°)
(1,
senθ).
= 1.
Si
conocemos
podemos
donde
el
los
valores
asignarles
ángulo
del
valores
cor ta
al
seno
y
el
coseno
numéricos
círculo
de
a
radio
las
de
un
ángulo,
coordenadas
del
punto
unidad.
y
y
1
B
2
√2
√2
2
2
2
B
135°
A(1, 0)
0
A(1, 0)
x
30°
ingón:
seno,
coseno
círculo
T
ambién
de
el
los
eje
puede
valores
x
Dibuje
Use
se
o
el
cada
su
del
eje
Ángulos
de
en
usar
seno
el
y
círculo
el
de
de
coseno
y
radio
radio
de
ángulos
ángulo
en
(no
cada
la
la
posición
CPG)
estándar
para
en
el
para
cuyo
facilitar
lado
la
comprensión
terminal
yace
sobre
determinar
el
el
círculo
seno,
de
el
radio
coseno
unidad.
y
la
ángulo.
grados:
90°
2
180°
3
270°
4
360°
5
−90°
6
−180°
9
π
12
4π
en
en
unidad
unidad
1
Ángulos
tangente
y.
bosquejo
tangente
x
0
radianes:
0
7
8
2
3
3
10
11
2
En
el
2
capítulo
valores
Ahora
utilizamos
del
seno,
ampliaremos
especiales,
Ángulo
0
en
lo
grados
medido
grados,
0°,
,
exactos
y
el
que
triángulos
coseno
hemos
y
la
rectángulos
tangente
aprendido
de
para
para
30°,
hallar
45°
incluir
y
los
60°.
otros
ángulos
radianes.
en
Seno
Coseno
Tangente
0
1
0
radianes
radianes
1
1
3
3
=
30°,
2
6
3
3
2
Es
impor tante
recordar
1
2
1
=
45°
4
ya
= 1
2
2
estos
que
se
requerirá
1
conocerlos
la
3
=
2
2
1
0
sin
usar
CPG.
3
1
60°,
3
valores
1
=
2
2
2
3
1
90°,
no
denido
2
Capítulo
13
449
En
el
capítulo
mismo
Por
En
valor
ejemplo,
esta
con
valores
el
eje
los
x.
Dado
es
los
en
y
el
cada
que
y
ángulos
que
cos50°
círculo
de
=
cuadrante
que
tercer
y
el
seno
los
y
el
en
el
coseno,
valores
del
hallar
el
círculo
mismo
el
el
opuestos.
otros
ángulos
de
y
el
ángulo
radio
unidad
comprobar
coseno
de
los
Para
el
tienen
coseno
que
ángulos
cuadrantes.
seno
(–x
(x
y)
y)
los
primer
es
y
i
el
ángulos
del
cuadrante,
coseno
son
el
seno
ambos
positivos.
x
i
(–x, –y)
del
cuadrante,
son
para
podemos
seno
i
coseno
unidad
del
coseno
ángulos
de
−cos 30°.
formen
i
los
valores
“relacionados”.
negativo.
Para
suplementarios
tienen
radio
coordenadas
del
entre
diferentes
el
las
los
vimos
sen50°
valores
cuadrante,
positivo
en
relación
ángulos
segundo
=
usaremos
ángulos
una
ubicados
Para
sen 30°
que
También
trigonométricos
representan
existe
descubrimos
seno.
sección,
Tomemos
con
,
de
(x
y)
Para
seno
ambos
negativos.
los
ángulos
cuadrante,
el
es
y
positivo
del
cuarto
coseno
el
seno
es
negativo.
senθ
➔
Para
cualquier
ángulo
θ,
tanθ
,
=
donde
cosθ
≠
0.
cosθ
Se
la
deduce
que,
tangente
cuadrante,
emo
Halle
para
será
la
ángulos
positiva,
tangente
y
del
para
será
primer
y
ángulos
del
del
tercer
cuadrante,
segundo
y
del
cuar to
negativa.
otros
tres
Seno
Coseno
Tangente
ángulos
con
los
mismos
valores
que:
35°
35°
35°
Respuesta
Para
hallar
ángulos
con
el
mismo
Los
145°
35°
seno:
ángulos
cor tan
al
con
círculo
el
mismo
de
radio
valor
de
unidad
seno
en
puntos
–325°
–215°
que
tienen
la
misma
coordenada
y
x
Para
se
hallar
deberá
ángulos
trazar
con
una
el
recta
mismo
seno,
horizontal
que
T
odos
atraviese
el
círculo
de
radio
estos
forman
sen 35°
=
sen 145°
=
sen (−215°)
=
450
Funciones
circulares
35°
sen (−325°)
{
Continúa
ángulos
unidad
en
la
página
siguiente.
un
con
el
ángulo
eje
x
de
Para
hallar
ángulos
con
el
mismo
Los
coseno:
ángulos
cor tan
–325°
que
35°
al
tienen
Para
con
círculo
la
hallar
el
mismo
de
radio
misma
ángulos
valor
de
unidad
coordenada
con
el
coseno
en
puntos
x
mismo
coseno,
se
x
deberá
–35°
el
325°
trazar
círculo
de
una
recta
radio
ver tical
que
atraviese
unidad
T
odos
estos
ángulos
cos 35° = cos 325° = cos (−35°) = cos (−325°)
forman
Para
hallar
ángulos
con
la
misma
tangente:
35°
un
con
el
ángulo
eje
de
x.
y
Los
valores
de
la
tangente
son
positivos
en
el
–325°
primer
y
el
tercer
cuadrante
35°
Para
hallar
ángulos
con
la
misma
tangente,
x
se
deberá
trazar
una
recta
que
pase
por
el
215°
origen
del
círculo
de
radio
unidad.
–145°
T
odos
estos
forman
tan 35° = tan 215° = tan (−145°) = tan (−325°)
Este
➔
último
Para
ejemplo
cualquier
2
ángulo
sen θ
=
sen(80°
cos θ
=
cos(−θ
tan θ
=
tan(80°
Ejercitación
1
ilustra
Represente
−
algunas
35°
propiedades
con
θ)
+
θ)
13A
cada
ángulo
en
la
posición
estándar
en
110°
250°
330°
−100°
f
−270°
g
−180°
h
40°
cada
ángulo
en
la
posición
estándar
en
el
círculo
el
círculo
de
radio
unidad.
Estos
miden
5
otros
los
35°
tres
ángulos
60°
que
6
g
−2π
h
3
6
otros
los
Halle
radianes.
2
f
3
4
en
5
que
se
11
3
6
Halle
ángulos
unidad.
3
x.
)
radio
eje
de
θ:
75°
de
el
ángulos
ángulo
útiles.
Represente
un
tres
ángulos
ángulos
(en
grados)
que
tengan
el
mismo
seno
dados.
200°
ángulos
(en
−75°
grados)
que
115°
tengan
el
mismo
coseno
dados
130°
295°
−240°
Capítulo
13
451
Halle
5
que
tres
ángulos
50°
Halle
6
otros
los
que
tres
ángulos
que
tengan
otros
los
(en
220°
−25°
radianes)
tres
ángulos
que
tengan
4,1
rad
−3
ángulos
el
mismo
seno
el
mismo
coseno
la
misma
tangente
rad
(en
radianes)
que
tengan
dados.
3
1
rad
2,5
rad
5
6
Halle
otros
los
tres
ángulos
ángulos
(en
radianes)
que
tengan
dados.
5
1,3
rad
−5
rad
7
4
emo
Sabiendo
que
sen 50°
signicativas),
tangente
4
Halle
que
misma
5
3
8
la
dados.
que
grados)
ángulos
7
(en
dados.
100°
otros
los
ángulos
halle
cos 50°
=
el
0,766
valor
una
aproximación
de
tres
cifras
de:
cos 130°
(con
sen 230°
cos (−50°)
Respuesta
2
sen
2
50°
+
cos
2
50°
=
1
Usar
sen
2
θ
+
fundamental
sección
2
(0,766)
que
=
1,
la
hallamos
relación
en
la
11.3
2
+
cos
=
1
50°
=
1
2
cos
θ
cos
2
50°
−
Reemplazar
(0,766)
resolver,
sen
50°
despejando
=
0,766,
luego
cos θ
2
cos 50°
=
cos 50°
=
1
( 0, 766 )
0,643
(3 cs)
y
(0,643; 0,766)
(–0,643; 0,766)
130°
Realizar
en
el
en
una
un
círculo
bosquejo
de
radio
de
los
ángulos
unidad
resulta
50°
buena
estrategia.
Esto
hace
x
que
la
más
cos
130°
=
−0,643
Funciones
circulares
sencilla
de
entre
los
ángulos
sea
percibir.
(3 cs)
{
452
relación
Continúa
en
la
página
siguiente.
y
Emplear
bosquejos
similares
(0,643; 0,766)
como
ayuda
para
responder
a
los
230°
apar tados
c
y
d
50°
x
(–0,643; –0,766)
T
odos
estos
ángulos
relacionados
sen 230°
=
forman
un
−0,766
ángulo
eje
de
50°
con
el
x
(0,643; 0,766)
50°
x
–50°
(0,643; –0,766)
cos
(−50°)
=
Ejercitación
1
Sabiendo
cada
0,643
13B
que
sen 70°
=
sen 110°
cos
TIPO
que
sen
cos
1
=
y
0,342
(3
cs),
halle
=
,
=
cada
valor.
11
6
0,8
y
cosA
=
0,6,
6
halle
cada
valor.
sen (180°
−
A)
cos (−A)
cos (360°
sen (180°
+
A)
tan A
f
tan (−A)
g
sen (360°
h
tan (180°
Sabiendo
función
que
de
tan θ
sen (π
−
+
a
y
θ)
290°
cos
6
senA
halle
sen
6
que
sen
cos
Sabiendo
2
6
5
sen
250°
cos
2
7
4
=
EXAMEN
6
3
cos 70°
(−70°)
Sabiendo
y
valor.
PREGUNTAS
2
0,940
A)
senθ
=
a
y
cosθ
=
+
b,
−
A)
A)
halle
cada
valor
en
b
sen (π
f
cos (−θ)
−
θ)
cos (π
g
sen (2π
+
θ)
−
θ)
tan (π
+
θ)
h
cos (θ
−
π)
Capítulo
13
453
.
Roón
ro
ro
on
no
n
1
Supongamos
que
queremos
resolver
una
ecuación
del
tipo
sen x
=
2
1
Sabemos
que
sen 30°
=
,
pero
también
sabemos
que
2
1
sen 50°
,
=
1
sen
6
2
1
7
=
,
y
=
sen
2
.
2
6
1
Por
lo
tanto,
¿cuál
es
el
valor
de
x
en
la
ecuación
sen x
=
?
2
En
realidad,
reemplazar
valores
de
●
El
●
¿Cuál
existen
x;
x
valor
por
que
de
es
tanto,
estamos
x,
el
lo
innitos
¿está
en
valores
por
necesitamos
buscando.
grados
o
los
que
más
podríamos
información
Necesitamos
en
saber
sobre
dos
los
cosas:
radianes?
dominio?
1
Ahora
supongamos
que
queremos
resolver
la
ecuación
sen x
=
,
2
para
−360°
≤
x
≤
360°.
Hay
dos
posiciones
en
el
círculo
de
radio
1
unidad
para
las
cuales
sen x
=
,
por
lo
tanto,
hallaremos
los
2
ángulos
en
indicado:
aquellas
−360°
≤
x
150°
x
estén
dentro
del
dominio
360°.
–330°
ecuación
=
≤
que
30°
–210°
La
posiciones
−330°,
emo
tiene
cuatro
−20°,
30°,
soluciones
en
el
dominio
dado.
50°
2
Resuelva
la
ecuación
cos x
=
,
–2π
≤
x
2π
≤
2
Respuesta
⎛
3r
Sabemos
–5r
que
cos
⎝
4
dibuja
hallar
–3r
5r
4
4
de
la
radio
valor
Una
vez
radio
5
3
,
4
.
2
3
,
4
Funciones
circulares
ver tical
que
en
tiene
el
el
para
círculo
mismo
que
se
han
unidad,
se
dentro
deter minado
en
el
círculo
hallan
del
todos
dominio
de
los
que
5
,
4
línea
coseno.
tengan
sus
4
posiciones.
454
=
⎠
posición
posiciones
ángulos
una
otra
unidad
del
ambas
=
2
⎞
⎟
4
4
Se
x
3π
⎜
lados
ter minales
en
esas
emo
Resuelva
la
ecuación
tan x
3,
=
0
≤
x
720°
≤
Respuesta
60°
tan
60°
=
3
420°
Se
dibuja
para
de
una
hallar
radio
recta
la
otra
unidad
tangente.
Para
y
hace
que
pase
posición
con
el
hallar
por
en
mismo
los
el
el
origen
círculo
valor
ángulos
de
de
420°
240°
600°
600°
círculo
x
=
60°,
240°,
420°,
Ejercitación
✗
Resuelva
1
de
otra
radio
rotación
unidad.
cada
ecuación
para
−360°
≤ x
≤
360°.
=
cos x
=
tan x
f
tan
=
1
2
2
sen x
=
0
cos
2
x
=
x
=
3
2
Resuelva
2
cada
ecuación
para
−2π
θ
≤
2π
≤
3
senθ
=
senθ
=
del
13C
2
alrededor
600°
3
sen x
se
tanθ
2tan
=
0
cosθ
=
f
senθ
=
2
2
2
−1
θ
=
6
cosθ
Si
Resuelva
3
cada
ecuación
para
−180°
≤ θ
≤
bien
el
número
π
ya
720°.
se
venía
estudiando
2
cosθ
=
1
senθ
desde
=
hacía
muchos
2
siglos,
su
símbolo
(la
2
senθ
=
−cosθ
3tan
x
−
1
=
8
letra
Resuelva
4
sen x
10sen
cada
=
ecuación
para
−π
1
≤
x
≤
2sen x
4cos
2
emo
π
fue
+
3
=
2
griega)
recién
introducido
William
Jones
por
(galés,
2
x
=
5
x
+
2
=
1675–1749)
5
en
1706.
2
Resuelva
la
ecuación
sen(2x)
=
,
0°
≤
x
≤
360°.
2
Respuesta
Si
0°
≤
x
≤
360°,
entonces
0°
≤
2x
≤
720°.
Sabemos
que
2
135°
sen45°
45°
=
sen135°
=
2
495°
405°
Para
hallar
ángulos,
otra
x
=
=
45°,
135°,
22,5°;
405°,
67,5°;
495°
202,5°;
247,5°
Estos
valor
de
radio
2x,
hacer
alrededor
ángulos
de
otros
deberá
rotación
círculo
2x
se
los
del
unidad.
representan
no
el
valor
de
el
x.
Capítulo
13
455
emo
2
Resuelva
la
ecuación
2sen
x
+
5senx
−
3
=
0,
0
≤
x
2θ
≤
Respuesta
2
2sen
x
+
(2sen x
5sen x
−
−
1)(sen x
3
=
+
0
3)
=
Esta
es
una
ecuación
cuadrática.
0
Resolver
por
factorización
1
sen x
=
o
sen x
=
−3
2
El
5
x
que
seno
por
desechar
6
Ejercitación
1
−1,
del
lo
no
puede
tanto,
ser
menor
podemos
,
=
6
✗
valor
Resuelva
sen x
=
–3.
13D
cada
ecuación
para
−180°
≤ x
≤
180°.
3
cos (2x)
=
6sen (2x)
sen
−
2
=
1
2
x
x
x
x
2
sen
−
cos
=
2
2
0
2
=
Resuelva
cada
3cos
3
3
2
ecuación
para
−π
≤
θ
≤
π
sen (2θ)
=
tan (3θ)
sen
=
1
2
2
cos
=
PREGUNTA
Resuelva
=
2
2
3
2
2
TIPO
cada
EXAMEN
ecuación
para
0
≤
θ
≤
2π
2
2cos
2
x
−
5cos x
−
3
=
0
2sen
2
tan
.
En
esta
x
+
2tan x
+
1
=
in
sección,
Ya
veremos
nos
0
trigonométrica
ecuación
Otra
de
456
3sen x
+
1
=
0
casos
hemos
una
x
=
6sen x
−
5
especiales
familiarizado
sen
identidad
de
ecuaciones
con
una
llamadas
identidad
2
x
+
cos
porque
x
=
es
.
verdadera
para oo
los
x.
identidad
denición
los
+
rgonomér
impor tante,
es
sen
2
valores
x
2
n .
Esta
1
3
de
valores
Funciones
de
con
la
cual
tangente,
x
circulares
estamos
que
familiarizados
también
es
verdadera
es
tan x
para
sen
x
cos
x
=
todos
,
la
Identidades
El
diagrama
del
ángulo
muestra
los
doble
ángulos
θ
para
−θ
y
el
coseno
dibujados
en
la
posición
B(cos i, sen i)
1
estándar
en
el
círculo
de
radio
unidad.
i
i
La
longitud
del
segmento
CD
es
igual
a
la
longitud
del
1
segmento
BD,
BC
Podemos
=
tenemos
BD
ver
segmento
y
+
que
BC
=
AB
=
2
2
igualamos
al
BC =
Podemos
teorema
AC
del
2senθ.
hallar
coseno
la
en
[]
longitud
el
del
∆ABC:
2(AB)(AC)cos(2θ)
−
dos
y
=
2
−
2
cos(2θ)
[2]
expresiones
[2],
2
=
2()()cos(2θ)
−
cos(2 θ )
2
[]
2senθ
tanto
C(cos (–i), sen (–i))
senθ
=
2
+
tenemos
lo
CD
2
+
2
BC =
Elevando
el
=
2θ.
=
2
BC
Si
por
∠BAC
usando
2
BC
Ahora
CD,
BD
para BC
hallamos
cos(2 θ ) .
2
cuadrado
que
ambos
miembros
obtenemos
2
4sen
θ
=
2
−
2cos(2θ).
2
Reordenando
esta
ecuación
nos
2cos(2θ)
queda
=
2
−
4sen
θ.
2
Finalmente,
dividimos
por
dos
para
obtener
cos(2θ)
=
−
2sen
θ
2
➔
La
cos(2θ)
ecuación
resulta
Usaremos
verdadera
esta
que
identidad
sen
para
2
Sabemos
=
−
todos
para
θ
2sen
los
es
una
valores
hallar
otras
n,
+
cos
identidades.
2
θ
=
,
por
lo
que
de θ
2
θ
ya
tanto
sen
2
θ
=
−
cos
θ.
2
Sustituyendo,
tenemos
Reordenando
esta
cos(2θ)
ecuación
=
nos
−
2(
−
cos
θ).
da
2
cos(2θ)
=
2cos
θ
−
.
2
Podemos
sustituir
2
θ
sen
2
cos(2θ)
θ
cos(2θ)
=
2
cos
−
➔
tres
Las
ecuaciones
−
que
n
en
esta
ecuación
para
obtener
+
cos
θ),
lo
cual
nos
da
2
θ
cos
=
2
θ
(sen
2
Las
θ
2
cos
=
+
sen
θ
acabamos
ángo
de
hallar
o
para
son:
el
coseno:
2
cos(2θ )
=
−
2sen
θ
2
=
2cos
=
cos
θ
−
2
θ
2
−
sen
θ
Capítulo
13
457
Identidad
Ahora
del
ángulo
hallaremos
una
doble
identidad
2
Sabemos
que
sen
De
la
del
el
ángulo
seno
doble
para
el
seno.
2
(2θ)
+
(2θ)
cos
2
=
,
por
lo
tanto
2
(2θ)
cos
para
=
identidad
del
−
(2θ).
sen
ángulo
[]
doble
para
el
coseno,
2
cos(2θ)
=
−
θ
2sen
2
2
cos
(2θ)
sen
=
(
−
2
θ)
2sen
[2]
Igualar
2
−
2
(2θ)
=
(
−
2sen
2
−
2
(2θ)
sen
=
2
−
−
[2]
+
4sen
θ
2
θ
4sen
y
4
θ
4sen
4
θ
4sen
[1]
2
θ)
=
sen
(2θ)
2
1
2
2
θ (
4sen
−
2
θ)
=
2
θ
4sen
sen
sen
➔
La
cosθ
identidad
sen(2θ)
=
emo
2
=
cos
θ
sen
Aplicar
(2θ)
raíz
ambos
cuadrada
miembros
sen(2θ)
=
del
2senθ
=
θ
(2θ)
en
2senθ
sen
2
θ
cos
−
2
ángulo
doble
para
el
seno
es
cosθ.
3
Sabiendo
que
sen x
=
,
y
0°
<
x
<
90°,
halle
los
valores
exactos
de:
4
cos x
sen(2x)
cos(2x)
tan(2x)
Respuestas
2
sen
2
x
+
cos
x
=
1
Relación
fundamental
2
3
2
+
cos
x
=
Reemplazar
1
el
valor
de
sen x
Recordemos
4
es
7
9
un
ángulo
que
si
2
cos
x
=
1
−
=
el
coseno
16
16
positivo.
7
cos x
7
=
Calcular
la
raíz
cuadrada
de
4
16
sen(2x)
=
2sen x
sen(2x)
=
2
⎛
3
⎜
⎝
3
sen(2x)
⎞
⎟
4
⎠
cos x
⎛
7
⎜
del
ángulo
doble
⎞
⎟
⎜
Identidad
Reemplazar
los
valores
de
sen x
y
⎟
4
⎝
⎠
cos x
7
=
8
{
458
Funciones
circulares
Continúa
en
la
página
siguiente.
x
agudo,
debe
ser
Podríamos
2
cos(2x)
=
1
−
cos(2x)
=
1
−
2sen
Usar
x
una
identidad
de
ángulo
usar
doble
cualquiera
de
las
2
3
⎛
9
⎞
=
2
⎜
1
Reemplazar
−
el
valor
de
tres
sen x
identidades
de
⎟
4
⎝
8
⎠
cos(2x).
1
cos(2x)
=
8
sen(2 x )
tan(2x)
Denición
=
de
tangente
cos(2 x )
⎛
3
⎞
7
⎜
⎟
⎜
⎟
8
⎝
tan(2x)
⎠
Reemplazar
=
los
valores
de
sen (2x)
y
1 ⎞
⎛
cos (2x)
⎜
⎟
8
⎝
⎛
=
3
⎠
⎞
7
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
8
⎝
tan(2x)
emo
3
⎟
1
⎝
⎠
=
8 ⎞
⎛
⎠
7
4
Sabiendo
cosθ
que
=
3π
,
y
<
5
senθ
θ
<
2 π,
halle
los
valores
exactos
de:
2
cos(2θ)
Respuestas
2
sen
2
θ
+
θ
cos
=
1
Relación
fundamental
2
4
⎛
⎞
2
θ
sen
+
⎜
⎟
5
⎝
=
1
Reemplazar
el
valor
cosθ
de
Recordemos
que,
si
⎠
3
<
θ
<
2π,
el
2
9
16
2
sen
θ
=
1
−
=
ángulo
cuar to
3
en
el
=
Calcular
la
raíz
cuadrada
cuadrante.
coseno
9
senθ
estará
25
25
es
El
positivo
de
5
pero
25
el
seno
es
negativo.
2
cos(2θ)
=
cos(2θ)
=
2cos
θ
−
1
Usar
una
identidad
de
ángulo
doble
2
⎛
4
32
⎞
2
1
⎜
⎝
1
=
Reemplazar
el
valor
de
cos θ
⎟
5
25
⎠
7
cos(2θ)
=
25
Vemos
que,
cos (2θ)
sin
en
el
haber
ejemplo
hallado
8,
la
pudimos
amplitud
hallar
del
los
valores
de
sen θ
y
ángulo θ
Capítulo
13
459
Ejercitación
PREGUNTAS
13E
TIPO
EXAMEN
5
Sabiendo
1
senθ
que
=
,
y
0°
θ
<
<
90°,
halle
el
valor
exacto
Deberíamos
6
de
cada
sen(2θ)
poder
uno.
cos(2θ)
responder
todas
preguntas
sin
estas
tan(2θ)
la
amplitud
calcular
del
ángulo.
2
Sabiendo
2
que
cosx
=
,
y
90°
<
x
<
180°,
halle
cada
valor.
3
sen(2x)
cos(2x)
tan(2x)
5
Sabiendo
3
cosθ
que
=
,
y
0
<
θ
π,
<
halle
cada
valor.
6
tan θ
sen(2θ)
cos(2θ)
tan(2θ)
1
Sabiendo
4
que
senx
=
,
y
180°
<
x
<
270°,
halle
cada
valor.
8
sen(2x)
PREGUNTA
cos(2x)
TIPO
tan(2x)
sen(4x)
EXAMEN
3
Sabiendo
5
tanθ
que
=
,
y
0
<
θ
π,
<
halle
cada
valor.
4
sen θ
cos θ
24
Sabiendo
6
que
sen(2x)
=
y
cos(2x)
<
x
<
,
halle
cada
valor.
2
4
tan(2x)
cos(2θ)
π
,
25
sen(2θ)
sen(4x)
cos(4x)
a
Sabiendo
7
que
tanx
=
,
y
0°
<
x
<
90°,
halle
cada
valor
en
b
función
de
a
y
b
sen x
También
se
emo
cos x
pueden
usar
identidades
sen(2x)
para
trabajar
con
cos(2x)
ecuaciones.
Existen
Resuelva
la
ecuación
sen (2x)
=
sen x
para
0°
≤
≤
x
más
360°.
identidades
No
use
la
CPG.
trigonométricas.
¿Cuáles
Respuesta
son?¿Qué
identidades
sen(2x)
=
senx
2(senx)(cosx)
=
senx
en
Usar
una
identidad
de
ángulo
otras
se
ramas
doble
matemáticas?
2(senx)(cosx)
−
(senx)(2cosx
senx
Si
=
senx
0
=
o
2cosx
0,
senx
−
1)
−
1
entonces
=
=
=
x
Reordenar
0
Factorizar
0
0
=
0°,
180°,
360°
1
Si
2cos x
−
1
=
0,
entonces
cos x
=
,
2
Por
x
460
=
lo
tanto,
0°,
60°,
Funciones
x
=
180°,
60°,
300°
300°,
circulares
360°
usan
de
las
emo
2
Demuestre
que
(1
+
2
tan
x)
cos
(2x)
=
1
−
tan
x
Respuesta
2
(1
+
tan
2
×
x)
cos(2x)
=
1
−
tan
x
2
⎛
sen
2
⎞
x
sen
x
2
⎜
1+
cos
⎝
( 2cos
⎟
2
x
x
− 1
)
Volver
= 1 −
cos
⎠
2
sen
− 1 + 2sen
x
sen
=
cos x
Aplicar
2
cos
+ 2sen
+
cos
x
x
=
ejemplo
todo
x.
miembro
izquierdo
Simplicar
2
Dividir
1
0,
Por
la
lo
llegamos
lo
Resuelva
tanto,
no
validez
que
Ejercitación
=
aunque
mostrar
haciendo
1
el
2
x
identidad,
Al
distributiva
x
2
x
2
para
propiedad
2
en
el
x
x
1 −
x
cos
En
sen
2
x
−
2
sen
usando
2
x
2cos
escribir
x
y
2
2cos
a
2
se
las
identidad
ecuación
una
de
una
de
las
ecuaciones
denomina
conocida,
original
que
es
que
también
necesario
usando
“demostrar
2
este
es
es
válida
una
recordar.
método
estamos
identidades”.
13F
cada
sen (2x)
es
la
a
por
=
ecuación
para
0°
≤
x
≤
cos x
180°.
sen (2x)
=
cos (2x)
1
2
(sen x
+
2
cos x)
=
0
cos
x
=
2
2
Resuelva
cada
ecuación
para
−180°
≤
θ
≤
180°
2
2sen x cos x
=
sen x(1
−
cos(2x)
sen x)
=
cos
x
2
1
2
cos
2
x
=
+
sen
x
=
sen x
2
3
Resuelva
cada
ecuación
para
0
≤
x
≤
π
1
2
tan x
=
sen x
2cos
x
−
1
=
2
4
cos(2x)
Resuelva
=
cos x
cada
sen(4x)
ecuación
para
0
≤
θ
≤
=
sen(2x)
π
2
(sen(2x)
+
cos(2x))
2
=
2
sen x
2
5
cos
−
1
=
cos
x
2
x
=
cos(2x)
Demuestre
cada
2sen
x
=
1
identidad.
1
2
(sen x
+
cos x)
=
1
+
sen(2x)
=
senθ
+
senθ
tanθ
+
cosθ
cos θ
2
1
cos
2
( 2x )
1
= 2 sen x cos x
2 sen x
cos x
4
cos
cosθ
2 sen
θ
=
cosθ
senθ
4
x
−
sen
x
=
cos(2x)
Capítulo
13
461
PREGUNTAS
La
6
TIPO
expresión
Halle
el
EXAMEN
2sen 3x
valor
de
cos 3x
puede
escribirse
en
la
forma
sen kx.
k
2
La
7
expresión
Halle
.
el
cos 4x
valor
de
puede
escribirse
en
la
forma
1
–
bsen
2
x
cos
x.
b
Rrnón
grá
fnon
rr
En
secciones
hallar
seno,
que
las
relaciones
coseno
estos
anteriores,
y
trigonométricas
resolver
Las
A
y
los
=
grácos
y
esta
=
de
círculo
diferentes
usarse
sen x,
el
cos x
estas
e
radio
ángulos
sección,
para
de
=
los
tan x.
funciones
las
para
valores
exploraremos
entender
y
y
unidad
el
de
su
modo
en
funciones
También
con
la
CPG,
para
ecuaciones.
altura,
muchos
los
En
pueden
funciones
esta
entre
tangente.
valores
obtendremos
usamos
ya
ángulos,
Amplitud
ángulos
Grados,
seno
y
coseno
conocemos
tal
de
(x)
radianes
como
los
se
Valor
valores
obser va
del
seno
exactos
en
la
del
seno
siguiente
tabla:
Amplitud
ángulos
(sen x)
Grados,
para
de
Valor
(x)
seno
radianes
(senx)
7
0°,
0
radianes
1
210°,
0
6
1
2
1
3
2
−1
270°,
2
2
5
1
3
2
315°
3
1
2
5
2
2
360°,
6
2
π
0
circulares
−
2
11
1
6
2
1
150°,
180°,
=
2
330°
=
4
2
1
−
4
2
135°,
2
7π
3
120°,
3
3
300°,
2
Funciones
2
3
3
90°,
462
3
240°,
60°,
3
−
2
4
2
2
2
=
2
4
=
4
1
−
225°
45°,
2
5
30°,
6
del
2π
0
Si
consideramos
coordenadas
en
y
=
un
sen x,
podemos
situar
estos
valores
como
gráco.
y
1,0
0,5
0
x°
90
180
270
360
450
540
–0,5
–1,0
“Al
representar
mismo
la
sistema
función
de
ejes,
y
=
sen x
en
obser vamos
este
“Si
esto:
el
el
ángulo
gráco
y
x
se
tiene
mide
la
en
misma
radianes,
forma.
y
1,0
1,0
,5
,5
x°
–90
Podemos
valores
obser var
del
seno
De
manera
del
coseno
“
y
=
x
90
que
similar,
que
cos x,
que
con
el
gráco
hallamos
si
la
medido
en
en
el
r
3r
2
2
2
función y
utilizando
consideramos y
conocemos
x
de
r
=
gráco
grados:
el
la
“
de
podemos
y
=
cos x,
genera
radio
función y
y
con
3r
2
los
mismos
unidad.
situar
=
5r
los
valores
cos x
x
medido
en
radianes:
y
,5
0
sen x
círculo
cos x,
de
=
r
,5
x
x
0
r
r
2
2
–,5
–,5
–1,0
–1,0
r
2
2r
5
3r
2
Capítulo
13
463
➔
Si
comparamos
obser var
las
algunas
funciones
seno
y
coseno,
tamaño
y
forma,
podemos
similitudes.
y
●
Las
las
cur vas
tienen
posiciones
igual
horizontales
en
el
eje.
La
solo
dieren
cur va
del
en
seno
y
=
cos
x
pasa
x
0
por
●
el
Las
origen,
(0,0),
funciones
son
y
la
del
coseno
ró,
lo
pasa
que
por
el
signica
punto
que
(0,).
repiten
y
el
mismo
longitud
ciclo
de
un
de
valores
ciclo,
es
una
360°
y
otra
2π.
o
vez.
Esto
El roo,
signica
que
o
y
=
sen
x
si
x
obser vamos
360°
●
2π),
(o
Ambas
dos
las
puntos
coordenadas
funciones
mínimo
en
m
tienen
−.Cada
de
.
La
de
máximo
mínimo
o
ver tical
Podemos
usar
ecuaciones,
previamente
decir
entre
los
así
en
la
este
(y
que
(y
=
la
=
de
y
usamos
=
el
y
es
y
la
en
=
un
sen x
en
funciones
diferencia
−,
es
caso)
en
la
dieren
puntos
máximo
este
y
este
mitad
serán
y
tiene
entre
el
iguales.
valor
una
el
eje
valor
caso).
de
su
en
la
También
distancia
mínimo.
e
círculo
para
esos
estas
amplitud
de
capítulo
y
0,
o
coordenadas x
valor
de
máximo
grácos
como
una
onda
un
su
amplitud
horizontal
podemos
cuyas
y
=
de
resolver
cos x
radio
para
resolver
unidad
ecuaciones.
1
Considere
la
ecuación
sen x
,
=
−360°
≤
x
≤
360°.
2
1
Si
trazamos
la
recta
horizontal
y
en
=
el
mismo
sistema
de
ejes
2
1
que
y
=
sen x,
podemos
ver
que
hay
cuatro
puntos
donde
sen x
=
2
y
y
=
sen x
1
y
1
=
2
x
Estos
x
464
=
puntos
−330°,
Funciones
corresponden
−20°,
circulares
30°,
a
50°
los
valores
siguientes:
emo
La
Resuelva
la
ecuación
cosθ
=
0,4;
−360°
≤
θ
≤
CPG
útil
Dé
sus
respuestas
a
la
décima
más
puede
resultar
360°.
para
resolver
próxima.
ecuaciones
tengan
Respuesta
seno
Para
y
las
que
funciones
coseno.
cambiar
moo
al
gro
presionar
y
seleccionar
5:
&
sng
s
(conguraciones
estado)
|
2:
y
sng
(conguraciones)
2:
Grh
Gomry
y
para
la
y
=
y
en
cos x
“Graphing
0,4,
la
CPG
una
apropiada
para
seleccionar
obser var
luego
Debemos
crrn
la
CPG
se
(actual)
asegurar nos
para
que
seleccionar
el
4:
de
dgr
Presionar
ventana
y
gráco.
gracar)
y
(grado).
congurar
Angle”
para
e
y
=
tecla
desplazarse
(ángulo
Ingresar
(grácos
geometría).
Utilizar
a
|
n
encuentre
volver
al
en
documento.
el
modo
Existen
GRADOS.
cuatro
intersección
en
por
la
lo
tanto
tendrá
6:
cuatro
Analyze
gráco)
|
4:
θ
=
−293,6°;
−66,4°;
66,4°;
de
este
de
dominio,
ecuación
soluciones.
Graph
Usar
(analizar
Intersection
(intersección)
puntos
puntos
para
hallar
estos
intersección.
293,6°
Capítulo
13
465
emo
Las
Resuelva
la
ecuación
sen x
=
0,25x
−
0,3;
−2π
≤
x
≤
medidas
ángulos
Dé
sus
respuestas
con
una
aproximación
de
tres
de
los
2π.
cifras
están
en
signicativas.
radianes.
Respuesta
Para
cambiar
rn,
y
5:
&
a
moo
presionar
seleccionar
sng
s
(conguraciones
estado)
2:
y
|
sng
(conguraciones)
2:
Grh
n
Gomry
y
para
la
desplazarse
y
=
senx
Angle”
para
gracar)
seleccionar
Rn
Ingresar
tecla
“Graphing
(ángulo
y
(grácos
geometría).
Utilizar
a
(radián).
e
Presionar
y
=
0,25x
−
0,3
|
en
la
CPG
y
luego
y
seleccionar
congurar
una
ventana
apropiada
4:
para
obser var
el
crrn
para
Deberemos
asegurar nos
de
volver
al
que
documento.
la
CPG
se
encuentre
en
el
modo
RADIANES.
Existen
cuatro
intersección
lo
tanto
la
4:
Usar
hallar
estos
466
−2,15;
Funciones
−0,416;
circulares
2,75
de
dominio,
6:
(analizar
intersección.
=
este
tendrá
por
cuatro
Analyze
gráco)
Intersection
para
x
puntos
ecuación
soluciones.
Graph
en
(actual)
gráco.
|
(intersección)
puntos
de
Ejercitación
Resuelva
Dé
sus
las
13G
ecuaciones
respuestas
al
de
grado
las
preguntas
más
a
4
utilizando
preguntas
5
a
8
la
CPG.
próximo.
1
sen x
1
=
,
−360°
≤
x
≤
360°
4
2
cos θ
=
3
sen θ
=
4
sen x
−0,9;
=
Resuelva
cos(x
las
Dé
CPG.
0, 8 ;
−180°
≤
θ
≤
0°
−
≤
20),
θ
0°
respuestas
360°
360°
≤
ecuaciones
sus
≤
x
de
≤
540°
las
con
una
aproximación
utilizando
de
tres
la
cifras
signicativas.
sen θ
5
=
−2π
,
≤
x
2π
≤
1
cos θ
6
=
−π
,
≤
x
2π
≤
2
e
7
cos x
=
−x,
8
sen x
=
x
−π
≤
x
≤
2π
2
Función
−
1,
−2π
≤
las
cos x
1
En
papel
un
el
Una
el
eje
qué
valores
los
y
coseno,
x
gráca
comenzamos
con
de
valores
tan
para
x
sen x
y
el
valor
hay
puntos
de
el
y
el
de
valores
135°,
sitúe
función
de
los
150°,
no
su
estos
ángulo
y
=
tan x
ángulos:
180°,
210°,
225°,
240°,
valores
(medido
en
como
puntos.
grados)
y
que
Haga
el
eje
tan x.
para
la
presentan
que
en
=
la
tangente
120°,
cuadriculado,
valores
gráco
la
para
360°.
represente
no
gráco
similar
de
±60°,
característica
los
Obtenga
su
seno
330°,
represente
¿Por
representación
método
±45°,
315°,
para
5
los
±30°,
¿Qué
4
un
300°,
y
2π
conocíamos.
intente
que
3
ya
Enumere
0°,
2
funciones
que
Ahora,
≤
tangente
ingón:
Para
x
tangente
a
veces
de
los
los
ángulos
grácos
de
±90°
las
o
270°?
funciones
existen?
papel
cuadriculado
para
dibujar
aproximadamente
tan x.
gráco
de
la
aproximado.
función
y
¿Resultan
=
tan x
en
similares
la
CPG,
ambos
y
compárela
con
grácos?
Capítulo
13
467
Si
se
hubieran
función
usado
tangente
se
radianes
vería
en
lugar
de
grados,
el
gráco
de
la
así:
y
3
2
1
x
3r
r
2
r
r
3r
2
2
2
r
–2
–3
➔
Al
es
igual
entre
A
las
ró.
donde
El
que
la
Existen
función
cada
período
par
de
diferencia
tangente
funciones
no
no
de
la
de
seno
asíntotas
existe.
asíntotas
función
las
posee
El
y
coseno,
ver ticales
mismo
la
en
ciclo
función
los
de
tangente
valores
valores
de x
se
repite
ver ticales.
tangente
funciones
amplitud.
es
seno
No
y
80°
(o π
coseno,
tiene
radianes).
la
valores
función
mínimos
ni
máximos.
emo
Resuelva
Dé
sus
la
ecuación
respuestas
tanθ
con
una
=
1
−
x,
−2π
≤
aproximación
θ
de
≤
2π.
tres
cifras
signicativas.
Respuesta
Hay
de
que
que
modo
Hay
en
cinco
este
468
=
−4,88;
Funciones
−1,90;
0,480;
circulares
2,25;
4,96
la
CPG
esté
en
RADIANES.
puntos
dominio,
ecuación
θ
asegurarse
tendrá
de
por
intersección
lo
cinco
tanto
la
soluciones.
Ejercitación
Resuelva
Dé
sus
las
tan x
2
tan θ
=
3
tan θ
=
4
tan x
=
=
Resuelva
sus
ecuaciones
respuestas
1
Dé
13H
2,
al
−360°
11,
de
grado
≤
x
−180°
≤
más
≤
0°
≤
θ
≤
360°
cos x,
0°
≤
x
≤
720°
ecuaciones
respuestas
con
a
4
utilizando
la
CPG.
5
a
8
utilizando
la
CPG.
próximo.
360°
−1,5,
las
preguntas
360°
θ
≤
las
de
una
las
preguntas
aproximación
de
tres
cifras
signicativas.
3
tan θ
5
=
−2π
,
≤
x
2π
≤
7
6
tan θ
π,
7
tan x
=
2x
8
tan x
=
4
=
−π
−
≤
3,
θ
0
≤
≤
π
x
2π
≤
2
.
−
x
−2π
,
≤
x
≤
tron
fnon
2π
y
rmno
rgonomér
ingón:
transformaciones
de
sen x
y
cos x
Usando
la
CPG
en
modo
radianes,
obtenga
el
gráco
de
las
funciones
y
=
cos x
e
y
=
x
cos
en
el
mismo
sistema
de
ejes.
2
¿Qué
nota
¿Qué
tienen
Describa
respecto
en
Después,
en
e
los
se
diferencian
este
de
los
estas
grácos
procedimiento
1
y
=
sen x
y
=
2
y
=
cos x
e
y
=
2 cos x
3
y
=
cos x
e
y
=
cos (2x)
4
y
=
sen x
y
=
sen x
+
dos
funciones?
sen
x
intente
cada
uno
explicar
de
los
por
qué
siguientes
sucede
pares
de
esto.
funciones.
3
para
e
3
e
grácos
común?
qué
repita
de
5
y
=
sen x
e
y
=
cos
x
2
Capítulo
13
469
En
la
última
sección,
vimos
las
funciones
trigonométricas
Se
básicas
y
=
sen x,
y
=
cos x
e
y
=
tan x.
Ahora
requiere
muy
las
transformaciones
Comencemos
coseno,
y
de
estas
obser vando
refrescando
el
funciones.
los
grácos
vocabulario
conocer
estudiaremos
bien
las
características
de
las
funciones
referido
a
estas
seno
cur vas
básicas
seno
coseno.
de
las
de
y
y
funciones.
y
y
1
y
=
y
sen x
r
2
2
Estas
estas
funciones
funciones
Estas
como
el
ya
lo
capítulo
un
roo
grados
tienen
aplicar
en
3
una
hecho
2π
de
lugar
de
m
transformaciones
hemos
–2
r
a
(o
x
r
r
2
tienen
en
funciones
Podemos
3r
cos x
0
x
3r
=
–1
2
360°,
si
r
r
2
2r
2
representamos
radianes).
de
.
los
anteriormente
grácos
con
de
otras
estas
funciones,
funciones
(véase
).
Traslaciones
➔
La
función
estándar
arriba
si
y
del
d
=
senx
seno.
es
+
La
d
es
una
cur va
positivo,
hacia
se
rón
desplaza
abajo
si
d
de
r
la
ver ticalmente
es
cur va
hacia
negativo.
Una
La
función
y
=
sen(x
−
c)
es
una
rón
horzon
de
traslación
la
horizontal
cur va
estándar
de
horizontalmente
izquierda
Es
si
impor tante
amplitud
“Este
de
La
desplazada
es
notar
una
gráco
vertical.
c
función
hacia
la
seno.
derecha
La
si c
cur va
es
se
desplaza
positivo,
echa
que
muestra
del
una
una
traslación
no
cambia
ni
la
el
traslación
ha
hacia
“Este
sido
gráco
horizontal.
período
muestra
La
ni
la
de
una
del
traslación
seno
ha
sido
π
arriba.
dirección
cur va
unidades
la
hacia
la
derecha.
echa
muestra
la
dirección
de
y
la
traslación.
r
y
=
sen x
y
y
=
sen
(
x
–
)
2
3
y
=
sen x
+
2
1
2
x
r
r
1
2
y
=
sen x
x
r
r
2
470
Funciones
circulares
r
3r
r
La
2
traslación.
se
conoce
como
desplazamiento
trigonométrica.
seno
unidades
muestra
también
la
fase.
desplazada
La
a
negativo.
función
cur va
2
la
r
3
r
de
➔
La
función
estándar
arriba
La
si
como
período
“Este
=
cos x
es
si
=
es
cos(x
ocurre
ni
la
La
con
−
c)
una
del
la
rón
se
desplaza
abajo
una
La
hacia
cur va
de
una
es
coseno.
la
muestra
cur va
es
cur va
hacia
positivo,
amplitud
gráco
vertical.
del
d
La
positivo,
y
c
+
coseno.
estándar
derecha
Tal
d
función
cur va
y
del
del
cur va
la
es
se
seno,
una
de
la
cur va
hacia
negativo.
horzon
desplaza
izquierda
función
ha
d
rón
si
c
hacia
es
de
la
la
negativo.
traslación
no
cambia
ni
el
coseno.
traslación
coseno
si
r
ver ticalmente
“Este
sido
gráco
horizontal.
muestra
La
cur va
una
del
traslación
coseno
ha
sido
3π
desplazada
3
unidades
hacia
abajo.
desplazada
La
echa
muestra
la
dirección
de
la
unidades
izquierda.
traslación.
de
la
La
echa
muestra
la
dirección
3r
y
y
y
=
=
y
=
cos
cos x
x
(
+
)
4
cos x
0
x
r
r
r
r
2r
0
r
2
la
traslación.
y
r
hacia
4
2
–1
x
r
r
r
r
r
2
2
y
=
cos x
–
2
–1
3
–3
–4
Ahora
vamos
a
examinar
el
gráco
de
la
función
tangente.
y
3
2
1
x
3r
r
2
r
r
2
2
3r
r
2r
2
–2
–3
Recordemos
amplitud,
que
esta
porque
no
función
hay
tiene
puntos
un
período
máximos
Existen
asíntotas
ver ticales
en
x
=
(o
en
x
=
±90°,
x
=
±270°,
(o
80° ).
No
tiene
mínimos.
3
,
2
ni
de π
,
etc.
2
etc.).
Capítulo
13
471
Tal
como
ocurre
con
ver ticales
y
Podemos
combinar
funciones
y
=
tan(x
de
−
emo
Dibuje
En
el
y
las
horizontales
la
c)
y
=
sen(x
el
y
coseno,
período
ver ticales
−
c)
+
d,
y
y
=
las
de
la
traslaciones
función
horizontales,
cos(x
−
c)
+
si
d,
tangente.
consideramos
e
d
aproximadamente
mismo
sistema
de
el
gráco
ejes,
dibuje
sen x
+
1
y
=
sen
de
y
=
sen x.
aproximadamente
2π ⎞
⎛
=
seno
cambian
traslaciones
forma
+
funciones
no
3
⎝
gráco
y
=
x
sen
⎟
⎜
⎠
⎝
de:
2π ⎞
⎛
x
⎜
el
+
1
⎟
3
⎠
Respuestas
y
=
sen x
+
1
y
La
2
curva
función
básica
del
trasladada
un
desplazamiento
La
cur va
seno
pasa
pasa
por
ver tical
por
el
de
el
origen,
punto
1
(0,1).
unidad
la
Esto
hacia
es
arriba.
1
x
3r
r
2
2
y
=
sen
3r
r
2π ⎞
⎛
r
x
⎜
⎟
3
⎝
⎠
y
básica
del
seno
pasa
por
el
origen,
2
⎛
la
función
trasladada
pasa
por
el
punto
2π
,
⎜
1
⎝
0
.
3
2π
x
4r
3
r
3
r
r
3
3
3
r
r
3
r
3
Esto
es
un
desplazamiento
horizontal
de
5
3
unidades
3
a
la
derecha.
–2
2π ⎞
⎛
y
=
sen
+
x
⎜
1
⎟
3
⎝
⎠
Esto
es
una
combinación
de
las
traslaciones
de
los
y
apar tados
a
y
b.
La
cur va
básica
del
seno
(que
2
2π
por
el
origen)
ha
sido
desplazada
unidades
1
3
hacia
x
5r
4r
3
3
r
r
r
2r
3
3
r
r
5
–1
3
3
–2
472
Funciones
circulares
3
3
r
la
derecha
y
1
unidad
hacia
ar riba.
pasa
emo
Escriba
una
Escriba
fórmula
una
para
fórmula
cada
que
función,
contenga
tal
la
como
función
se
indica.
seno.
y
0
–2r
3r
r
x
r
2
r
r
3r
–1
2r
2
–2
Escriba
una
fórmula
que
contenga
la
función
coseno.
y
0
–2
r
2
x
r
–1
2
Escriba
una
contenga
la
3r
2
fórmula
función
2r
2
que
contenga
la
función
seno
y
otra
que
coseno.
y
1
0,5
r
–2r
5r
4r
r
0
2r
x
r
2r
3
3
r
4r
5r
3
3
2r
3
3
3
3
–0,5
–1
Respuestas
y
=
sen x
−
2
Se
puede
del
y
seno
un
ver
con
valor
que
un
esta
valor
mínimo
desplazada
2
es
una
cur va
máximo
de
–3.
unidades
Ha
hacia
de
−1
sido
abajo.
y
=
x
cos
+
Se
obser va
que
esta
es
una
cur va
del
4
coseno
que
ha
sido
desplazada
unidades
hacia
la
izquierda.
4
π
⎛
y
=
cos
⎞
x
+ 0, 5
⎜
Se
puede
apreciar
que
esta
es
⎟
3
⎝
⎠
una
curva
del
coseno
que
ha
π
o
desplazada
unidades
hacia
y
a
formas
del
y
0,5
unidades
que
hacia
coseno
y
=
sen
x
⎝
existir
+
0, 5
También
se
la
cur va
seno
puede
ver
como
tan
arriba.
⎞
+
⎜
seno
son
similares,
π
⎛
las
la
3
derecha,
Debido
sido
pueden
muchas
una
⎟
6
⎠
fórmulas
del
que
ha
sido
para
unidades
hacia
la
correctas
desplazada
izquierda,
el
gráco
de
una
y
6
0,5
unidades
hacia
función
seno
función
coseno.
o
una
ar riba.
Capítulo
13
473
Ejercitación
Dibuje
dadas
13I
aproximadamente
en
las
1
y
=
sen x
3
y
=
tan
preguntas
−
a
el
gráco
8,
para
5
de
–2π
cada
≤
una
de
las
funciones
2π.
≤
x
2
y
=
cos x
4
y
=
sen
+
2
x
x
4
3
5
y
=
cos x
y
6
=
sen
x
−
2
+
4
4
2
7
y
=
x
cos
−
1,5
y
8
=
tan
3
Escriba
una
representan
las
para
cada
preguntas
9
una
a
de
2.
y
1
0
–2
x
r
r
2r
r
2r
y
3
2
1
x
–2r
r
0
y
6
4
2
0
3r
r
2
2
x
r
3r
2
2
2r
–2
y
0
–2
3r
r
–1
–2
–3
Funciones
x
r
2
474
2
ecuación
en
x
circulares
r
3r
2
2r
las
funciones
que
se
Estiramientos
➔
Las
funciones
de
r
de
una
y
=
las
función
coordenada
de
verticales
y
asen x
e
y
funciones
se
de
le
la
aplica
=
acos x
seno
un
función
y
son
rmno
coseno.
Cuando
estiramiento
original
se
al
ver tical,
multiplica
gráco
cada
por
el
valor
y
=
asen
x
y
a.
x
0
Si |a|
>
,
la
función
parecerá
apar tarse
del
eje x.
y
Si
0
<|a|
Si
a
es
<,
la
función
negativo,
el
parecerá
estiramiento
comprimirse
también
sobre
producirá
el
=
sen
x |a|>1
eje x.
una
y
simetría
Con un
respecto
del
eje
estiramiento
x
y
ver tical,
la
m
de
la
función
=
sen
x
seno
0
y
coseno
cambian
de
a
|a|.
El
período
de
la
función
x
no
y
=
asen
x
|a|<1
cambiará.
En
el
siguiente
ver ticalmente
y
=
3,
y
los
función
gráco,
por
un
valores
la
cur va
factor
de
mínimos
transformada
es
del
3.
seno
Los
están
ha
sido
valores
en y
=
estirada
máximos
−3.
La
están
amplitud
de
en
la
3.
y
3
2
y
=
3
sen x
1
y
=
sen x
x
–2
3r
r
2
2
3r
r
–3
El
siguiente
una
y
simetría
de
la
cur va
valores
y
=
gráco
respecto
La
del
estándar
máximos
−0,5.
muestra
eje
del
están
amplitud
x.
estiramiento
Todos
coseno
en
de
un
y
la
=
se
0,5,
valores
de
multiplicaron
los
función
los
ver tical
valores
que
las
por
es
coordenadas
−0,5.
mínimos
transformada
incluye
Los
están
en
0,5.
y
y
=
cos
x
y
=
–0,5cos x
0
3r
2
r
x
r
r
2
2
r
r
2r
2
–1
Capítulo
13
475
emo
Dibuje
En
el
y
aproximadamente
mismo
=
sistema
0,25cos x
de
gráco
ejes,
y
el
=
de
dibuje
y
=
cos x.
aproximadamente
el
gráco
de:
−2cos x
Respuestas
y
=
0,25cos x
y
La
cur va
básica
del
coseno
pasa
por
el
punto
(0,1),
1,0
la
función
(0;
0,25).
transf or mada
Esto
estiramiento
2
un
por
estiramiento
el
punto
ver tical
de
factor
de
0,25.
x
0
3
–2r
es
pasa
r
2
2
2r
2
–0,5
–1,0
y
=
−2cos x
La
y
la
cur va
básica
función
del
coseno
transf or mada
pasa
pasa
por
por
el
el
punto
punto
(0,1),
(0,
−2).
2
Cada
coordenada
multiplicado
por
y
de
−2
la
función
para
obtener
original
la
se
ha
función
transf or mada.
x
0
–2r
r
r
2
2
Estiramientos
➔
Las
funciones
representan
coseno
aplica
y
un
2r
2
2
horizontales
y
=
sen(bx),
rmno
tangente.
y
Cuando
estiramiento
=
cos(bx)
e
y
al
gráco
horizontal,
de
cada
=
de
horzon
tan(bx)
las
una
funciones
función
se
coordenada x
seno,
le
de
la
1
función
original
se
multiplica
.
por
b
Podríamos
de
la
decir
función
Multiplicar
número
también
que
se
divide
por b
cada
coordenada
x
original.
(o
dividir)
modica
el
de
esta
forma
de
roo
una
las
coordenadas x
función
por
un
trigonométrica.
y
y
●
Si
|b|
>
,
el
período
será
más
cor to,
y
la
función
=
sen
bx
y
=
sen
x
parecerá
x
comprimirse
●
Si
0
<
|b|
parecerá
●
Si
b
es
<
hacia
,
el
el
respecto
eje
y.
período
apar tarse
negativo,
simetría
el
del
eje
será
más
eje
y
la
función
|b|>1
y
estiramiento
del
largo
también
producirá
una
y
y
Cuando
a
una
estiramiento
función
seno
horizontal,
el
o
coseno
período
de
se
la
le
aplica
función
un
cambiará
y
=
sen
bx
y
=
sen
x
de
x
2
2π
a
360
,
o
de
b
476
Funciones
circulares
360°
a
b
|b|<1
“En
este
gráco,
transformada
la
cur va
tiene
un
del
seno
período
“En
π
de
este
gráco,
transformada
El
la
cur va
tiene
estiramiento
ha
un
del
seno
período
producido,
de
4π.
además,
y
una
1,0
simetría
respecto
del
eje
y
y
0,5
y
=
sen (–0,5x)
y
=
sen x
1
x
3
–2r
r
2
3
2
2
r
2
x
–3
y
➔
Para
una
función
de
=
la
r
r
3
sen x
forma
y
=
tan (bx),
el
período
180
y
cambiará
π
de
a
,
o
de
80°
a
b
b
4
2
El
gráco
de
El
período
la
de
derecha
la
muestra
función
es
la
función y
=
tan(0,5x).
2π
x
–3r
emo
r
r
r
r
3r
–4
Dibuje
aproximadamente
y = sen (0,5x)
el
gráco
y = tan (2x)
de:
y = 2 cos (3x)
Respuestas
2π
y
=
El
sen(0,5x)
período
de
esta
función
es
,
0,5
y
o
4π
1
x
–3r
–2
r
r
2
3r
4r
y
=
El
tan (2x)
período
de
esta
función
es
2
y
4
2
x
r
r
r
2
3r
r
2
2r
2
–2
–4
2
El
y
=
período
de
esta
función
es
.
2 cos (3x)
3
La
amplitud
es
2.
y
2
r
0
r
2r
x
Capítulo
13
477
Ejercitación
Dibuje
13J
aproximadamente
preguntas
a
8,
para
–2π
el
≤
gráco
x
de
las
funciones
dadas
en
las
2π.
≤
2
y
1
=
0,5 sen x
y
2
=
−4 cos x
y
3
=
tan
x
3
3
y
4
=
sen (−2x)
y
5
=
x
2 cos
y
6
=
3 sen (3x)
2
y
7
=
−2,5 sen (0,5x)
y
8
=
x
−cos
3
Escriba
las
una
ecuación
preguntas
9
a
para
cada
una
de
las
funciones
representadas
en
2.
y
y
8
7
6
5
0
–6
4
–4r
r
x
2
4r
6r
–1
3
2
1
0
r
x
2
–1
3r
–2
–3
–4
–5
–8
y
y
6
3
2
4
1
x
0
–2r
2
2r
–1
3r
x
–6r
–4r
–2r
2r
4r
6r
–2
–4
–6
.
comnón
En
y
esta
=
Para
●
a
las
b
−
c))
representa
o
de
+
la
d
de
un
un
función.
igual
a
b
478
Funciones
circulares
e
y
=
este
será
acos(b(x
tipo,
igual
El
−
on
ono
c))
pueden
a
período
y
funciones
de
+
la
d
ocurrir
ver tical.
forma
La
cuatro
amplitud
transformaciones.
de
la
función
|a|.
estiramiento
2
será
no
estiramiento
coseno
representa
rnformon
examinaremos
funciones
seno
●
fnon
sección,
asen(b(x
horizontal,
de
la
función
que
afecta
seno
o
al
período
coseno
●
c
representa
una
función
desplazará
se
izquierda
●
d
si
c
traslación
es
una
función
desplaza
d
es
traslación
si c
es
horizontal.
positivo
o
hacia
La
la
(o
un
desplazamiento)
arriba
si d
es
positivo
vertical.
o
hacia
La
abajo
si
negativo.
función
y
=
2sen
x
de
ejes
que
2
la
1
sistema
desplazamiento)
derecha
hacia
1
La
la
un
negativo.
representa
se
a
(o
3
cur va
se
representa
en
el
mismo
básica
del
seno
(que
pasa
por
(0,0)).
3
2
1
x
3
Esta
función
función
Ha
las
●
y
=
habido
dos
x
de
.
un
le
amplitud
han
en
estándar
se
un
de
2
aplicado
las
y
un
período
cuatro
4π.
de
A
la
transformaciones.
coordenadas y
y
dos
cambios
en
x
estiramiento
Todos
Hubo
una
se
cambios
coordenadas
Hubo
●
tiene
sen
los
vertical
valores
han
de
las
factor
2
y
una
coordenadas y
multiplicado
estiramiento
de
por
2
horizontal
y
de
traslación
la
aumentado
de
factor
2
y
función
en
una
vertical
seno
unidad.
traslación
horizontal
de
.
Todos
los
valores
de
las
coordenadas x
de
la
3
función
seno
estándar
se
han
multiplicado
1
por
),
y
luego
disminuido
función
y
=
3 cos
2
x
La
sistema
pasa
por
función
de
ejes
representa
en
4
mismo
y
se
(que
(dividido
3
el
2
unidades.
en
2
La
por
que
3
la
función
básica
del
2
coseno
(0,)).
tiene
1
una
amplitud
de
3
y
un
período
de π.
0
x
2r
A
la
función
y
=
cos x
se
le
han
aplicado
cuatro
–1
transformaciones.
●
Hubo
un
valores
se
han
estiramiento
de
las
ver tical
coordenadas
multiplicado
por
y
de
de
factor
la
3.
Todos
función
los
coseno
estándar
3.
1
●
Hubo
un
estiramiento
horizontal
de
factor
,
una
simetría
2
respecto
del
eje
y,
y
una
traslación
de
unidades.
Todos
los
4
valores
de
las
coordenadas
x
en
la
función
coseno
original
se
han
dividido
por
−2,
y
luego
aumentado
en
unidades.
4
Cuando
paso
a
se
dibujan
a
mano
funciones
como
estas,
conviene
proceder
paso.
Capítulo
13
479
emo
⎛ 2
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
de
la
función
y
=
5 cos
⎝
⎞
x
(
⎜
+π
)
3
2
⎟
⎠
Respuesta
Esta
función
tendrá
desplazamiento
Los
valores
serán
3
y
una
ver tical
máximo
−7,
y
amplitud
de
de
5
y
un
−2.
mínimo
El
y
de
la
eje
=
horizontal
−2,
que
es
de
la
la
onda
será
traslación
ver tical.
función
respectivamente.
y
4
2
Trazar
las
rectas
cor respondientes
a
estos
valores
1
máximo
0
–2r
r
y
mínimo
y
al
eje
de
la
onda
x
r
–1
2r
3r
–3
Estas
rectas
auxiliares
serán
útiles
al
representar
–4
–5
grácamente
la
función.
–6
–8
2π
Período
=
2π
=
b
=
⎛
2
⎜
⎝
Esta
función
⎞
⎜
⎞
⎟
=
⎝
2
3π
⎠
⎟
3
tendrá
desplazamiento
⎛ 3
(2π )
⎠
un
período
horizontal
de
de
3π
y
un
− π.
y
4
2
1
La
0
–2r
r
cur va
estándar
del
coseno
tiene
un
máximo
x
r
–1
2r
3r
cuando
–3
x
=
0,
por
lo
tanto
=
−π
máximo
cuando
x
Como
período
es
esta
función
tendrá
un
–4
–5
el
3π,
tendrá
otro
máximo
3π
–6
unidades
estos
–8
Usar
y
hacia
puntos
los
la
derecha,
máximos
en
conocimientos
donde
la
recta
sobre
las
x
y
=
=
2π.
Situar
3.
características
de
la
4
cur va
2
del
coseno
el
mínimo
A
mitad
y
los
para
situar
puntos
otros
sobre
el
eje
puntos,
de
la
tales
como
onda
1
0
–2r
r
–1
x
r
2r
3r
de
camino
entre
dos
entre
los
valores
máximos,
hay
–3
un
valor
mínimo.
–4
–5
–6
A
mitad
mínimo,
–8
de
camino
habrá
puntos
{
480
Funciones
circulares
en
el
valores
eje
máximo
horizontal
Continúa
en
la
y
y
=
página
−2.
siguiente.
y
Dibujar
la
Cuando
el
cur va
que
pasa
por
estos
puntos
4
2
0
–2
gráco
esté
completo
quizás
se
quiera
x
r
r
2r
3r
bor rar
las
rectas
auxiliares.
–4
–6
–8
emo
Halle
otra
la
que
amplitud
y
contenga
el
la
período,
función
luego
coseno,
escriba
una
para
función
la
ecuación
que
contenga
representada
en
el
la
función
seno
y
diagrama.
y
2
1
0
–2
x
r
r
2
3r
4r
–1
Respuesta
3 −
La
amplitud
(
−1)
es
=
La
2
amplitud
es
la
mitad
de
la
dif erencia
entre
el
2
valor
máximo
y
el
mínimo.
3 + ( −1)
El
desplazamiento
ver tical
es
= 1
2
El
período
es
4π.
El
período
función
de
hallarlo
dos
puntos
mínimos
⎛
y
= 2 sen
1
x
⎜
⎝
5π
⎛
+
⎝
4
la
distancia
es
un
tomar
horizontal
ciclo.
la
máximos
La
en
manera
distancia
la
que
más
horizontal
consecutivos
o
entre
la
sencilla
entre
dos
puntos
consecutivos.
⎞ ⎞
⎟ ⎟
⎜
2
es
completa
+
1
Para
la
función
seno,
la
traslación
horizontal
se
⎠ ⎠
halla
el
eje
Esto
buscando
la
horizontal
cor responde
del
seno.
En
esta
coordenada
de
la
al
onda,
punto
x
con
(0,
0)
de
un
punto
pendiente
en
la
cur va
⎛
función,
uno
de
tales
puntos
es
sobre
positiva.
estándar
5π
⎝
⎞
,1
⎜
4
⎟
,
⎠
5π
por
lo
tanto
la
traslación
horizontal
es
de
4
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
13
481
Las
y
= 2 cos
1
x
4
amplitud,
+ 1
+
2
funciones
seno
y
coseno
tienen
la
misma
Para
una
función
horizontal
máximo
que
es
período
traslación
coseno,
buscando
de
un
y
la
la
curva.
máximo
se
puede
hallar
coordenada
Esto
en
ver tical.
la
x
del
corresponde
curva
función,
uno
de
tales
puntos
es
traslación
punto
del
esta
al
estándar
la
punto
,
4
tanto
la
traslación
horizontal
es
de
4
Debemos
una
➔
recordar
función
Para
seno
las
que
o
haber
más
de
una
fórmula
correcta
para
coseno.
funciones
traslación
puede
seno
horizontal
y
coseno
diferirá
en
de
un
la
misma
cuar to
del
cur va,
la
período
de
la
función.
Ejercitación
Escriba
la
una
función
13K
fórmula
coseno
que
para
contenga
las
la
funciones
función
dadas
seno
en
las
y
otra
que
preguntas
contenga
a
4.
y
y
1
2
3
2
0
–3r
–2r
x
r
r
2r
1
0
–2r
x
r
r
2r
–2
–3
–4
–5
y
y
3
4
5
4
3
3
2
2
1
1
0
–2r
x
r
–1
2
–2
x
–2
3
r
r
2
Haga
un
2
dibujo
preguntas
5
a
8
y
= 3cos
aproximado
π
⎝
3
6
y
= 1
, 5cos
3
x
482
Funciones
circulares
claro
de
menos
las
un
funciones
ciclo
⎛
+
2
6
y
= −sen
2
⎜
=
−2cos
x
+
en
las
4
⎝
1
⎜
⎠
⎝
+
⎟
2
⎠ ⎠
⎞
x
⎟
⎞ ⎞
⎟ ⎟
⎜
⎛
y
π
⎛
−2
⎝
8
dadas
completo.
⎞
+
⎜
⎝
al
⎠ ⎠
π
⎛
7
pero
⎞ ⎞
⎟ ⎟
⎝
–3
2r
2
represente
x
⎜
⎜
3
2
que
⎛ 1 ⎛
5
r
⎠
4
1
3r
1),
En
,1
(0,
coseno.
3r
por
lo
.
Mozon
Muchas
las
situaciones
funciones
altura
de
las
promedio.
seno
➔
En
esta
usarse
Para
y
la
vida
coseno.
mareas,
transformaciones
pueden
de
el
para
Algunas
datos
de
de
qué
●
La
traslación
ver tical
●
La
traslación
horizontal
●
El
modo
las
por
Sol
y
ono
la
temperaturas
conocimiento
funciones
y
usando
ejemplo,
las
no
seno
de
y
coseno
la
función
coseno
de
la
función
período
función
período,
período
emo
seno
pero
hacia
la
tiene
la
misma
traslación
la
izquierda
amplitud,
horizontal
de
la
es
cur va
traslación
de
del
un
ver tical
cuar to
y
del
coseno.
Modelice
los
en
de
nuestro
modelizarse
son,
del
fnon
conocer:
amplitud
par tir
ellas
salida
utilizando
La
medida
de
pueden
datos.
●
La
la
usaremos
modelizar
modelizar
necesitaremos
ver
zn
cotidiana
horario
sección,
para
q
siguientes
una
la
boya
datos,
en
el
que
océano
representan
durante
un
la
profundidad
período
de
18
del
horas
agua
a
medianoche.
T iempo
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
6,7
8,3
9,1
8,1
6,4
5,6
6,7
8,4
9,2
8,2
Profundidad
del
agua
(m)
Respuesta
Deberemos
Ingrese
tiempo
los
los
y
datos
en
listas
profundidad),
datos
en
la
CPG.
(rotulándolas
luego
La
asegurarnos
de
CPG
el
que
la
graque
esté
en
modo
variable
RADIANES.
independiente,
eje
x
y
la
variable
tiempo,
profundidad
dependiente,
estará
del
en
en
agua
el
eje
el
será
la
y
Del
es
gráco,
5,6
10.00.
9,2
el
metros,
El
que
valor
metros.
valores
valor
mínimo
ocur re
máximo
Utilizar
para
estimar
a
las
es
estos
la
amplitud.
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
13
483
Los
datos
son
desciende
Ahora
estos
Para
trataremos
un
de
periódicos,
patrón
hallar
y
la
altura
del
agua
asciende
y
claro.
una
función
trigonométrica
para
modelizar
datos.
desarrollar
traslaciones
La
claramente
siguiendo
y
modelo,
horizontales
amplitud
máximo
el
es
la
mitad
y
estimamos
ver ticales
de
la
la
de
distancia
amplitud,
la
el
período
y
las
función.
ver tical
entre
los
valores
mínimo.
9, 2
Amplitud
estimada
5, 6
=
= 1, 8
metros
2
La
traslación
vertical
es
el
valor
medio
entre
el
valor
máximo
y
Puede
el
la
mínimo.
9, 2 + 5, 6
Traslación
ver tical
restando
período
ciclo.
Los
estima
el
es
del
máximos
esas
la
donde
Reemplazamos
x
el
coseno,
a
las
la
la
la
que
4.00
y
la
función
las
x
=
horizontal.
manera
situados
donde
más
parecen
16.
traslación
estimaciones
16.00,
completa
por
lo
un
tanto
se
sumando
al
valor
la
Se
Para
sencilla
indicar
puede
modelizar
x
4
es
que
utilizar
buscar
hay
el
puntos
cualquiera
de
horizontal.
en
la
fórmula
y
=
a cos(b(x
–
c))
+
d
)
+
7, 4
⎟
⎠
fórmula
mismo
en
la
sistema
CPG
de
ejes
y
dibujamos
que
los
el
gráco
de
la
datos.
seno.
una
también
función
Intentémoslo:
deberíamos
parece
ser
un
muy
buen
modelo
para
los
datos.
mejor
484
tratar
de
ajuste.
Funciones
circulares
hacer
algunas
modicaciones
para
obtener
obtener
2
y
Podríamos
amplitud
los
crear
función
o
mínimo.
Podríamos
La
amplitud
máximo
⎞
(
12
⎝
esta
y
dan
traslación
2π
⎜
en
la
para
estas
⎛
función
4
se
en
valor
horas.
puntos
=
x
= 1, 8cos
Ingresamos
12
función
Los
coordenadas
y
en
estimamos
máximo.
horizontal
máximos
período
usando
punto
distancia
valores
Finalmente,
datos
la
la
hallar
ver tical
= 7, 4
=
2
El
también
traslación
=
1,8sen
un
12
+
7,4
x
1
emo
El
y
siguiente
=
conjunto
a cos (b(x
−
+
datos
se
puede
modelizar
mediante
la
función
d
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y
4
7,6
9,4
7,6
4
2,2
4
7,6
9,4
7,6
4
Use
los
datos
horizontal
Escriba
Represente
los
para
estimar
el
período,
la
amplitud
y
las
traslaciones
ver tical.
función
coseno
grácamente
que
la
modeliza
función
en
los
el
datos.
mismo
sistema
de
ejes
que
datos.
Use
los
la
y
c))
de
la
función
datos
función
que
en
el
regresión
contenga
mismo
en
la
la
CPG
función
sistema
de
para
seno
ejes
y
que
obtener
dibuje
los
un
el
modelo
gráco
de
para
esta
datos.
Respuestas
9, 4
Amplitud
2, 2
= 3, 6
=
2
9, 4 + 2, 2
Traslación
ver tical
= 5, 8
=
2
Traslación
Período
=
horizontal
9
−
3
=
=
3
6
Debemos
⎛
y
2π
= 3,6 cos
(
⎜
⎝
⎞
6
x
3)
de
+
que
asegurarnos
la
CPG
esté
en
5, 8
⎟
⎠
modo
RADIANES.
Use
la
función
snRg
(regresión
sinusoidal)
s
(cálculos
la
CPG
contienen
(x,
el
menú
estadísticos).
Asegúrese
en
en
con
de
indicar
qué
los
listas
datos
y).
Capítulo
13
485
Ejercitación
13L
¿Qué
de
Para
cada
conjunto
de
la
situaciones
vida
pueden
Utilice
los
datos
cotidiana
datos:
para
estimar
el
período,
la
amplitud
y
modelizarse
las
mediante
traslaciones
horizontal
Escriba
función
y
funciones
ver tical.
periódicas?¿Qué
una
coseno
en
la
forma y
=
acos (b(x
−
c))
+
d
ajustes
para
modelizar
los
podrían
datos.
resultar
Represente
grácamente
la
función
en
el
mismo
sistema
de
para
que
los
Use
los
la
necesarios
ejes
tener
en
cuenta
datos.
función
datos
función
que
en
el
regresión
contenga
mismo
de
la
la
CPG
función
sistema
de
para
seno,
ejes
obtener
y
que
dibuje
los
un
el
modelo
gráco
para
de
las
uctuaciones
los
datos?
en
esta
datos.
1
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
y
11,8
8,5
2,2
5,5
11,8
8,5
2,2
5,5
11,8
8,5
2,2
x
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
y
12,5
9,3
12,5
18,9
21,9
18,9
12,5
9,3
12,5
18,9
21,9
x
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
y
1,8
2,1
1,8
1,3
0,7
0,5
0,7
1,3
1,8
2,1
1,8
Una
función
que
modeliza
los
datos
puede
usarse
para
hacer
predicciones.
emo
La
función
⎛
a
(t )
=
a
la
usarse
r ueda
Use
8
19
Use
vez
para
función
minutos
los
+ 67, 5
⎟
⎠
la
altura
de
un
pasajero
por
encima
de
la
plataforma
de
ascenso
Eye”.
para
estimar
del
después
función
100
30
después
minutos
esta
15 )
modelizar
“London
esta
⎞
(t
⎜
⎝
puede
2π
67, 5cos
para
metros
de
la
altura
de
un
pasajero
por
encima
de
la
plataforma:
ascenso
del
ascenso
estimar
cuánto
tiempo
le
lleva
a
un
pasajero
alcanzar
por
primera
altura.
Respuestas
8
minutos
después
⎛
a
( 8)
=
de
la
está
30
Reemplazar
− 15 )
Funciones
=
8
en
la
función
+
67, 5
≈
74, 6
⎟
⎠
aproximadamente
74,6
metros
por
encima
plataforma.
{
486
t
⎞
(8
⎜
pasajero
subir:
2π
67, 5cos
⎝
El
de
circulares
Continúa
en
la
página
siguiente.
19
minutos
después
de
subir:
⎛ 2π
a
(19 )
(19
⎜
pasajero
está
− 15 )
30
⎝
El
⎞
= 67, 5cos
+
67, 5
≈
112, 7
⎟
⎠
aproximadamente
112,7
metros
sobre
la
plataforma.
⎛ 2π
a
(t )
=
67, 5cos
⎞
(t
⎜
15 )
30
⎝
+
67, 5
=
100
⎟
Igualar
la
t
≈
9,90
PREGUNTAS
La
es
la
TIPO
100,
que
es
la
EXAMEN
del
de
la
es
agua
función
profundidad
después
a
13M
profundidad
mediante
p
función
altura
minutos
Ejercitación
1
la
⎠
p(t)
del
al
=
nal
de
un
muelle
5,6 sen (0,5236(t
agua
en
metros,
y t
puede
2,5))
es
el
+
estimarse
14,9,
número
donde
de
horas
medianoche.
¿Cuál
Estime
la
profundidad
del
agua
a
la
Estime
la
profundidad
del
agua
a
las
¿A
hora
qué
–
el
período
de
la
alcanzará
función?
el
agua
por
medianoche.
4.00.
primera
vez
su
mayor
profundidad?
2
La
temperatura
mediante
donde
T
año
de
(
la
es
¿Cuál
función T
la
la
día
¿Cuál
es
¿Cuántos
supere
Una
r ueda
=
de
un
toma
minutos
20
un
46
niño
después
Escriba
estará
el
qué
¿Durante
los
grados
enero
=
Celsius,
4,
puede
− 187
y d
es
modelizarse
) ) + 12, 5,
el
día
del
etc.).
máxima
esperada
en
máxima
esperada
y
t
año
de
se
espera
a
la
una
que
esta
la
en
ciudad
qué
día
el
ocurrirá?
temperatura
40
rotación
cuanto
para
tiempo
si
ha
estará
t
no
de
0,
altura
metro.
Le
¿a
qué
altura
estará
minutos?
la
haberse
girado
el
una
completa.
=
0
de
modelizar
después
niño
alcanza
mínima
durante
seno
minutos
el
altura
r ueda
girado
está
diversiones
una
realizar
cuánto
a
y
función
altura
superior
parque
haber
niño
¿A
de
cada
metros
una
ciudad
grados?
sube
de
de
cero
en
una
febrero?
días
de
Si
4
en
temperatura
máxima
,
en
( d ) = 17, 5 cos ( 0, 0172 ( d
temperatura
la
los
promedio
temperatura
enero
es
primer
3
máxima
altura
subido
durante
niño
a
una
3
a
a
la
la
que
r ueda.
minutos?
altura
metros?
Capítulo
13
487
PREGUNTA
4
El
dueño
anuales
el
TIPO
de
y
primer
primer
EXAMEN
una
descubre
día
día
de
de
mediante
que
enero
hace
vende
y
un
un
un
seguimiento
mínimo
máximo
de
de
37
5
de
sus
galones
galones
de
ventas
de
helado
helado
el
julio.
Suponiendo
esta
heladería
que
una
las
ventas
función
situación.
Sea
x
anuales
coseno,
el
pueden
cree
una
modelizarse
función
para
modelizar
mes.
Material
¿Cuántos
galones
de
helado
espera
vender
el
de
disponible
día
de
¿Durante
qué
mes
espera
vender
30
galones
de
un
de
línea:
ejercicios
Proyecto
helado
de
en
en
abril?
Hoja
ampliación
primer
las
de
13:
modelización
temperaturas
día?
ero
rón
✗
1
Sabiendo
que
cos 70°
signicativas),
2
cos 110°
cos 250°
cos (−290°)
Sabiendo
que
sen 140°
sen 320°
sen (−140°)
Resuelva
cada
halle
=
el
sen 40°
signicativas),
3
halle
0,342
valor
=
los
(con
0,643
(con
valores
ecuación
una
aproximación
de
tres
cifras
una
aproximación
de
tres
cifras
de:
para
de:
−360°
≤ x
≤
360°.
1
cos x
2
1
tan x
3
2
2 sen
x
− sen x
= 1
El
PREGUNTAS
TIPO
gráco
máximo
4
Resuelva
la
5
Se
muestra el
Sabiendo
tiene
un
EXAMEN
ecuación
gráco
sen
de
2x
f,
+
sen
para
0
x
≤
=
x
0,
≤
para
0
≤
x
≤
π
un
en
mínimo
(6,
en
11)
(2,
y
1).
9.
y
que
la
función
puede
escribirse
en
la
forma
12
10
f
(
x
)
=
a sen
(b (
x
− c
))
+
d :
8
6
Halle
los
Explique
valores
de
a,
b
y
c.
4
por
qué b
2
4
0
488
Escriba
Funciones
el
inter valo
circulares
para
el
cual
f
( x ) > 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
2
6
Sabiendo
que
cos x
,
=
y
que
x
es
un
ángulo
agudo,
halle:
5
sen
x
tan
x
sen
2x
2
7
Dibuje
aproximadamente
el
gráco
de
la
f
función
x
3cos
−3
≤
x
≤
Resuelva
2
sen x
cada
=
Resuelva
0,75
para
cos x
ecuación
−180°
=
≤
−0,63
−2π
para
≤ x
≤
360°.
tan x
θ
cos x
=
3x
−
1
el
Sabiendo
⎞
=
⎜
de
f,
para
0
≤
x
≤
4x −
x
⎟
5
⎝
gráco
3
2 tan
3
muestra
−2,8
x
⎛
= cos
Se
=
2π
≤
θ
3
,
rón
ecuación
cada
2senθ
2
5.
ero
1
1
5
para
x
⎠
7.
A(2, 7)
7
que
la
función
puede
escribirse
en
la
forma
6
f
(x)
=
acosbx
+
c,
halle
los
valores
de
a,
b
y
c
5
Escriba
las
soluciones
de
la
ecuación f
(x)
=
4
.
3
2
4
La
profundidad
del
agua
en
el
extremo
nal
de
un
muelle
de
1
⎛ π
pescadores
está
dada
por
la
función
D (t )
=
P
sen
⎞
(t
⎜
⎝
−
Q )
6
⎟
+
10,
0
x
1
2
–1
⎠
B(4, –1)
donde
de
es
horas
La
es
D
de
6 m
agua
Halle
Dibuje
¿A
La
5
qué
horas
(por
8
luz
de
Halle
los
¿Cuántas
de
en
cuando
a
las
del
el
metros,
y t
es
el
número
la
profundidad
0.00,
cuando
la
del
agua
profundidad
A
Q
agua
El
en
de
luz
=
valores
horas
es
el
de
de
A
luz
y
luz
solar
sen0,072(x
de
–
8
la
función D,
metros
por
por
cor to
día
es
del
el
del
está
2
año
para
0
primera
profundidad
ciudad
más
de
la
horas
una
día
horas
de
los
cuando
¿Cuántas
año
solar.
9,35
x
y
prohibida
horas
=
P
aproximado
metros.
con
ejemplo,
4.00,
ocurre
alcanza
largo
h(x)
agua
medianoche.
las
gráco
está
de
número
función
valores
de
más
a
del
4 m.
hora
pesca
la
pleamar
de
un
diciembre,
El
la
los
menos
día
y
de
ocurre
es
El
profundidad
después
bajamar
del
5
la
≤
agua
es
junio,
el
2
≤
24.
vez?
es
prohibido
de
t
de
pescar?
con
de
solar.
se
86)
puede
+
B,
modelizar
donde
x
es
mediante
el
día
del
la
año
enero).
B
solar
habría
el
de
febrero?
Capítulo
13
489
ResuMeN
del
uzón
●
El
círculo
El
lado
círculo
de
ro
radio
terminal
en
capítulO
un
unidad
de
tiene
con
ro
centro
en
ángulo θ
cualquier
punto
13
n
el
en
origen
la
(0, 0)
posición
y
radio
estándar
de
longitud
cor tará
.
al
(cosθ, senθ).
coordenadas
B(cos i, sen i)
i
A(1, 0)
x
0
senθ
●
Para
cualquier
θ,
ángulo
tanθ
,
=
donde
cosθ
≠
0.
cosθ
●
Para
cualquier
θ:
ángulo
■
senθ
=
sen(80°
■
cosθ
=
cos(−θ)
■
tanθ
=
tan(80°
in
θ)
−
θ)
+
rgonomér
2
●
La
●
Las
es
ecuación
válida
cos(2θ)
para
= − 2sen
todos
identidades
del
los
valores
ángulo
θ
es
de
doble
una
n,
dado
que
θ
para
el
coseno
son:
2
cos(2θ)
=
−
2sen
θ
2
= 2cos
θ −
2
=
●
La
identidad
2
θ −
cos
del
sen
Rrnón
●
Las
funciones
posiciones
y
●
tienen
de
Al
igual
Hay
no
y
El
de
la
El
de
360°
de
funciones
mismo
para
tienen
ciclo
o
2π.
−,
y
seno
en
los
de
el
diferentes
ver ticales
seno
es
sen (2θ )
fnon
grácos
sobre
los
Ambas
de
ejes.
coseno,
valores
valores
de
se
Las
funciones
una m
y
igual
la
de
repite
2 sen θ cos θ.
rr
tamaño
y
forma,
funciones
tienen
un
son ró
valor
máximo
tangente
coordenadas x
entre
cada
es ró.
donde
par
la
de
la
función
La
cur va
se
y
=
función
seno
valores
La
Funciones
función
de
y
tangente
coseno,
máximos
sen x
+
desplaza
d
es
hacia
ni
la
es
de
80°
función
(o π
radianes).
tangente
no
tiene
A
diferencia
amplitud.
mínimos.
una
rón
arriba
si d
es
r
positivo,
de
la
hacia
cur va
abajo
estándar
si
d
es
circulares
del
seno.
negativo.
Continúa
490
pero
.
función
las
=
ver ticales.
funciones
tiene
coseno
mínimo
las
asíntotas
período
No
●
valor
existe.
y
período
que
asíntotas
●
seno
doble
grá
horizontales
un
un
θ
ángulo
en
la
página
siguiente.
●
●
La
función
del
positivo,
hacia
La
función
hacia
La
del
abajo
si
si
y
Con
de
un
del
=
las
curva
−
c)
rón
desplaza
c
es
de
horzon
hacia
la
derecha
la
cur va
si c
es
negativo.
rón
se
es
desplaza
La
e
y
funciones
le
la
de
r
hacia
a
|a|.
=
=
y
la
arriba
curva
si d
es
de
una
y
son
si
positivo,
la
=
la
las
función
e
de
y
le
al
ver tical,
la
=
valor
seno
y
de a
coseno
cambiará.
seno,
aplica
el
función
no
gráco
cada
por
tan (bx)
funciones
se
la
negativo.
Cuando
función
cos (bx)
es
multiplica
amplitud
de
c
hacia
la
rmno
coseno.
se
de
horzon
desplaza
estiramiento
de
horzon
gráco
acos x
período
sen (bx),
se
izquierda
original
vertical,
El
la
un
función
rón
cur va
seno
aplica
y
una
hacia
asen x
se
de
se
si
una
coseno.
al
es
una
negativo.
funciones
Cuando
d
La
estiramiento
de
es
cur va
+
cos (x
y
y
c)
positivo,
rmno
●
es
función
cambiará
Las
d
=
funciones
una
La
cos x
es
coordenada
●
=
−
izquierda
coseno.
c
r
de
la
estándar
derecha
Las
sen (x
seno.
y
función
cur va
●
=
estándar
estándar
●
y
un
representan
coseno
y
tangente.
estiramiento
horizontal,
1
cada
coordenada
x
de
la
función
original
se
multiplica
por
b
●
Cuando
al
gráco
de
una
función
se
le
aplica
un
estiramiento
cambiará
de
2π
2
horizontal,
el
período
de
la
función
a
,
b
360
o
de
360°
a
b
●
Para
una
función
en
a
,
o
de
80°
fnon
Para
las
seno
diferirán
Mozon
●
Para
modelizar
y
y
en
un
q
datos
amplitud
La
traslación
ver tical
■
La
traslación
horizontal
■
El
la
cuar to
utilizando
La
de
de
la
período
misma
del
zn
■
y
el
cambiará
de
on
ono
coseno
■
La
tan (bx),
rnformon
no
funciones
horizontales
●
=
b
comnón
●
y
a
b
forma
180
π
la
la
cur va,
período
función
de
la
las
traslaciones
función.
fnon
coseno
no
necesitamos
y
ono
conocer:
función
período
función
período,
período
seno
pero
hacia
tiene
la
la
la
misma
traslación
izquierda
amplitud,
horizontal
de
la
es
función
traslación
de
un
ver tical
cuar to
del
coseno.
Capítulo
13
491
t
or
del
conomno
Mmá
r
mmá
Se
suele
clasicar
“matemáticas
La
a
siguiente
es
una
las
matemáticas
aplicadas”.¿Cuál
pregunta
de
de
o
cuerp
está
hacem
que
se
puras”
entre
nos
las
y
dos
áreas?
plantea
ra.
muest
Si
se
lsa
impu
y
abajo
la
del
a
altur
en
está
do
cuan
la
a
altur
del
cuer po
el
en
oscila,
do
tiempo
esas
en
oscilará
0
=
hacia
cuan
este
h
el
o,
repos
hacia
que
os
se
cuer po
,
arriba
diferencia
dido
suspen
como
te,
resor
o
cuerp
la
“matemáticas
trigonometría
enta
repres
un
es
menudo.
Si
Un
en
onr
t
está
os,
segund
s.
cione
direc
h(t)
sen
a
=
cuer po
El
oscilac
dos
ión
ignor
de
o
y
ón
fr
y
c)).
a
realiz
comple
b
a,
ta
Halle
os.
segund
es
valor
–
hacia
lsa
impu
se
5 cm
abajo
(t
(b
por
dada
y
una
cada
los
c
o
f
n
r
r.
“Cuando
de
las
leyes
las
matemáticas
Esta
los
pregunta
efectos
oscilaría
de
es
la
un
ejemplo
fricción
y
la
indenidamente.
oscilaciones
se
reducirán
de
matemáticas
resistencia
Pero
hasta
en
la
que
del
vida
el
puras.
aire,
el
Si
cuer po
cotidiana,
peso
llegue
ignoramos
al
las
refieren
realidad,
ciertas;
no
sentido
problemas
tiene
de
■
estudiar
matemáticas
¿Deberíamos
ciertas,
matemáticas
estudiar
solo
como
este
cuando
los
podrían
tener
aplicadas
algún
a
que
Einstein,
resultan
poco
on
práctico?
Relativity
realistas
492
Teoría
del
en
la
vida
Conocimiento:
cotidiana?
matemáticas
puras
contra
matemáticas
se
la
uso
Sidelights
resultados
no
realidad”.
Albert
puras
son
cuando
refieren
¿Qué
la
reposo.
son
■
a
se
aplicadas
en
n
en
estudian
sí
mismo,
las
sin
matemáticas
pensar
en
una
puras
lo
hacen
aplicación
como
un
Existen 10 tipos de personas
concreta.
en este mundo: aquellos
Aquellos
que
trabajan
con
las
matemáticas
aplicadas
las
que entienden el sistema
la
otras
investigar,
áreas
economía,
del
la
menudo
se
concretas
informática
veces
muchos
formulado
la
las
como,
la
y
resolver
por
ejemplo,
r
George
a
Boole,
desarrolló
de
haberse
1850.
convir tió
original.
su
1
computadores
binario
(base
Gottfried
escribió
solo
2).
El
Wilhelm
sobre
emplea
principios
en
usan
matemático
Leibniz
este
los
de
modernos
el
números
de
En
1
y
Cuando
0,
que
sobre
de
hacia
estudiaba
física,
las
de
las
“matemáticas
puras”,
no
fundamento
se
la
utilizaría,
300
años
más
la
las
física
sabemos
que
lo
es
matemática
del
mundo
conocemos;
solamente
sus
Bertrand
lo
El
de
físico,
que
Russell,
de
disciplinas
estadística
¿Las
y
las
modelizar
creamos
porque
el
belleza,
el
un
lo
simetría
y
la
elegancia
subyacentes.
usarán
todas
para
las
matemáticas
modelizar
aspectos
“puras”
de
la
vida
algún
día.
poco
es
lósofo
{
George
Boole
(1815–1864)
n
aplicadas
on
condujo
completamente
permiten
real
es
fueron
argumentaba
que
descubrir
r
porque
espejo
mundo
la
elementales
se
al
nuevas,
desarrollo
como
la
juegos.
nos
mundo
como
mucho
y
matemáticas
matemáticas
los
modernos.
sabía
(1872–1970)
de
de
década
se
matemáticas”.
matemático
teoría
la
tarde.
por
podemos
matemáticas
la
lo
sino
mmá
estudio
o
por
propiedades
británico
l
no
mientras
matemáticas
cotidiana
“La
digitales
en
tarde
esta
se
cómo
más
par tículas
descubier tas
números,
booleana
sistema
inglés,
3
sistema
alemán
(1646–1716)
sistema
1700.
el
matemático
lógica
Este
Posiblemente
idea
■
un
computadores
Los
binario y los que no.
física,
2
puras,
de
la
ingeniería.
aplicaciones
después
problemas
mmá
matemáticas
años
idea
y
encuentran
para
modelos
conocimiento
aon
A
construir
led
en
para
c
usan
rot
Quienes
del
■
las
mundo,
¿Qué
nos
entre
las
dice
esto
ciencias
matemáticas
y
el
sobre
la
naturales,
mundo
relación
las
natural?
intrínsecamente
■
¿Las
matemáticas
se
inventan
o
se
matemático?
descubren?
Capítulo
13
493
Análisis
con
funciones
14
trigonométricas
ObjetivOs
del
6.1
T
angentes,
6.2
Derivadas
por
un
Puntos
6.3
Integral
lineal
la
ax
+
b;
de
de
aceleración
Qué
1
el
valor
incluida
regla
de
mínimos
locales;
entre
de
los
sen x
y
por
bajo
la
puntos
para
(entre
relativos
total
la
de
f,
de
f ′
y
la
para
eje
y
resolver
ecuaciones
ejemplo:
del
grácos
compuestas
en
la
x
–
–
eje
x);
áreas
entre
s,
la
de
las
Comprobemos
funciones
valores
del
1
x
+
(2cos x
–
círculo
Halle
el
de
trigonométricas
valor
exacto
Resolver
=
–
cos x
cos 2x
=
–
cos x
–
=
4
2
11
π
4π
tan
Resuelva
cada
ecuación
1
+
tan
sen
sen
x
=
sen
2x
+
cos x
)
=
x
–
cos
=
1
=
Halle
la
x
x
=
3
f
(x)
=
2x
f
(x)
=
x
e
x
reglas
del
producto,
del
f
cadena
para
hallar
5
(x ) =
cociente
2
+ 4
derivadas
ln x
2
ejemplo:
Hallar
la
derivada
de f
(x)
=
x
ln
x
f
(x ) =
x
2
=
f
(x)
x
f
′( x ) =
ln x
2
⎛
1
+ (ln x )(2 x )
⎝
Análisis
⎞
x
⎜
494
x
ln(x
x
Por
cos
derivada
1
3
la
para
2
+
0
con
=
x
⎟
x
⎠
funciones
x
0
de
+
2
las
la
trigonométricas
+
2x
ln
habilidades
3
, π
,
y
sen
0
5π
Utilizar
y
v,
para
3
o
3
3
cur vas,
sen
cos x
)(cos x
=
=
integrales
de:
6
2
x
f (g(x))g ′ (x)dx.
3π
cos
para
1
π
función
nuestras
7π
2
cos x
la
velocidad
cos x
del
funciones,
constante;
2
2cos
de
2π
=
y
recorrida.
2
2cos
producto
producto
con
2
cos 2x
del
expresión
término
desplazamiento
2
≤
x
y
x.
≤
el
el
unidad
identidades
0
reglas
inexión;
sustitución
cur va
del
saber
exacto
Utilizar
Por
suma
f ″
funciones
2
la
omnzr
trigonométricas
radio
cadena;
determinar
al
de
funciones.
comparación, o
alrededor
derivada
de
cos x, incluidas
cur vas
distancia
estas
grácos
restricción
cinemática
a;
ecuaciones
tan x,
funciones;
revolución
necesitamos
Hallar
y
segunda
una
áreas
Problemas
sus
integración
con
volúmenes
an
y
indenida
y
cos x
estas
relación
denidas;
6.6
de
derivada
Integración
6.5
sen x,
máximos
incluida
6.4
normales
del
escalar
cociente;
capítulO:
x
)
de:
cos
x
0
≤
x
≤
2π
En
una
fábrica
(Califor nia),
medio
la
de
hoja
El
una
para
el
hoja
un
otro
a
la
varilla
de
acero
y
para
circular
de
la
empuja
una
el
otro,
varilla
hoja
en
la
hacia
un
de
atrás
hoja.
cuba.
hacia
San
de
r ueda.
fondo
del
El
extremo
la
y
el
r ueda
la
de
dentro
una
todo
la
de
tiene
por
por
de
dentro
ciudad
chocolate
impulsada
periódico
batidora
la
el
periódico
lineal
donde
hoja
situada
revolviendo
lado
movimiento
mecanismo
chocolate
está
movimiento
en
la
de
se
A
Francisco
una
La
de
r ueda
la
batidor
conectado
adelante
empuja
transforma
muestra
a
que
por
por
cuba.
se
diagrama
medida
cuba
la
el
r ueda
gira
todo
la
el
y
el
rueda,
fondo
rueda
varilla
de
la
cuba.
La
distancia
entre
el
centro
de
la
r ueda
y
la
hoja
se
i
puede
modelizar
mediante
una
función
como
la
siguiente:
cuba
2
d (θ)
y
θ
=
es
2cos θ
el
+
25
ángulo
de
4 sen
θ
rotación
,
donde
de
la
d
es
r ueda,
la
distancia
en
en
radianes.
metros
d
Para
y
el
hallar
centro
el
de
ángulo
la
de
r ueda
rotación
es
cuando
mínima,
la
distancia
usaríamos
la
entre
la
hoja
de d (θ).
derivada
y
Muchos
fenómenos
del
mundo
real,
tales
como
el
ritmo
cardíaco,
tan x
2
los
movimientos
de
las
agujas
del
reloj,
las
mareas
y
el
movimiento
sen x
1
circular,
tienen
un
compor tamiento
periódico,
es
decir,
siguen
un
x
patrón
que
se
repite
a
inter valos
regulares.
El
compor tamiento
r
3r
2
periódico
se
puede
trigonométricas
periódicas.
función
En
la
este
se
En
seno,
los
coseno
grácos
se
por
y
medio
tangente,
puede
de
las
que
apreciar
que
r
2
2
r
r
r
2
cos x
funciones
son
r
funciones
los
valores
de
cada
repiten.
capítulo,
tangente
investigar
modelizar
r
e
el
hallaremos
integraremos
derivadas
las
compor tamiento
de
funciones
de
funciones
de
funciones
seno
y
del
seno,
coseno,
periódicas
el
con
como
coseno
el
n
y
de
estas.
Capítulo
14
495
.
En
el
dr
capítulo
donde
c
es
un
7
conocimos
número
real
las
fnon
siguientes
rgonomér
propiedades
de
derivadas,
constante.
d
Rg
[c ] =
onn:
0
dx
d
Rg
món
or
n
[cf
onn:
( x )] =
′( x )
cf
dx
d
Rg
ón
o
[ f
rón:
(x )
±
g ( x )] =
′( x )
f
g ′( x )
±
dx
d
Rg
[ f
roo:
( x ) ⋅ g ( x )] =
f
( x ) ⋅ g ′( x )
(x ) ⎤
f
′( x )
+
g(x ) ⋅
′( x )
f
dx
⎡
d
Rg
f
g(x ) ⋅
−
f
(x ) ⋅
g ′( x )
,
=
on:
⎢
dx
⎥
g(x )
⎣
g(x )
≠
0
2
[
⎦
g ( x )]
d
Rg
[
n:
f
=
( g ( x ))]
′( g ( x ))
f
g ′( x )
dx
ingón:
He
aquí
para
1
el
gráco
responder
Hay
cuatro
–2π
≤
x
≤
de
las
f (x)
derivada
=
sen x
siguientes
valores
2π
la
para
donde
la
x
para
del
–2π
≤
seno
x
2π.
≤
Utilícelo
preguntas.
en
La
f(x)
pendiente
recta
2
f(x)
de
la
recta
tangente
pendiente
=
de
horizontal
una
es
0.
sen x
Entonces,
a
en
los
1
f (x)
=
sen
x
es
igual
a
valores
cero.
de
x
donde
las
x
¿Cuáles
3r
son?
r
r
2
Utilice
estos
valores
para
r
2
r
3r
2
tangentes
de
f
son
2
horizontales,
situar
la
–2
cuatro
puntos
gráco
2
Enumere
es
f
la
los
es
hacer
un
Utilice
la
obtener
–2π
y
decir
≤
x
¿qué
≤
gráco
2π.
de
función
–2π
≤
y
los
de
de
decir
la
de
=
CPG
del
la
esté
en
en
el
de
es
f ?
de
f (x)
=
en
4
la
5
=
de
función
496
una
sen x.
Verique
tabla
Análisis
gráco
pregunta
Realice
f (x)
el
con
su
2.
¿Qué
derivada
su
para
escogió
en
gráco
basada
función
conjetura
funciones
la
Ajuste
conjetura
valores
que
de
en
cree
la
si
es
el
que
la
1
de
f?
para
f
CPG)
para
Ingrese
radianes.
la
función
la
que
pregunta
trigonométricas
la
de
la
el
que
derivada
derivada
con
dibujó
4.
con
la
CPG,
en
la
del
igual
sen x
derivada
de
seno?
comparando
pregunta
3
y
el
gráco:
d
dibujó
necesario.
gráco
es
numéricamente
en
calculadora
es
0.
f 1( x )
Compare
f
creciente,
inter valo
modo
de
Cuando
pregunta
de
adelante,
sen x
f
de
signo
en
derivada
(en
f (x)
gráco
Cuando
situó
la
el
derivada
acerca
que
gráca
la
donde
decreciente.
de
que
a
x
2π
signo
aproximado
pantalla
de
≤
puntos
derivada
Asegúrese
x
es
del
podemos
de
la
derivada
al
donde
gráco
calculadora
el
en
acerca
información
posible
f
de
aquellos
decreciente,
esta
de
inter valos
podemos
Utilice
per tenecen
derivada
creciente
¿qué
3
de
que
la
la
=
(sen( x ))
dx
d
En
la
investigación,
debimos
haber
encontrado
que
(sen x ) = cos x
En
la
sección
de
T
eoría
dx
Ahora
tomemos
la
derivada
de
f
(x)
=
cos
del
x
Conocimiento
al
nal
π
Si
trasladamos
el
gráco
del
seno
hacia
la
izquierda
unidades,
del
se
capítulo
se
analiza
2
una
obtendrá
el
gráco
del
f(x)
geométrica
π
Entonces,
f
( x ) = cos x
justicación
coseno.
= sen
x +
de
este
r
2
hecho.
2
f(x)
=
2
cos x
f(x)
=
sen x
1
x
3r
r
r
r
2
r
r
2
–2
d
Por
lo
d
tanto,
⎡
(cos x ) =
π
⎛
sen
dx
dx
⎜
⎣
⎝
⎡
=
π
⎣
⎝
⎠⎦
d
⎡
regla
2
dx
⎢
⎜
⎣
⎝
de
la
⎡
⎞
x +
⎜
x
⎞⎤
+
⎟⎥
2
⎠⎦
⎠⎦
=
π
π
⎛
sen
(1)
⎟⎥
⎛
= cos
la
cadena:
⎞⎤
x +
⎜
Utilizamos
⎟⎥
2
⎛
cos
⎢
⎞⎤
x +
⎢
π
⎛
cos
⎢
⎜
⎣
⎝
x
d
⎞⎤ ⎡
+
2
π
⎛
⎟⎥ ⎢
⎜
⎠ ⎦ ⎣ dx
⎝
x
+
⎞⎤
⎟⎥
2
⎠⎦
⎟
2
⎝
⎠
⎡
=
π
⎛
cos
⎢
⎜
⎣
⎝
x
⎞⎤
+
⎟⎥
2
[1 ]
⎠⎦
π
Si
trasladamos
el
gráco
del
coseno
hacia
la
izquierda
unidades,
f(x)
2
obtendremos
una
simetría
del
gráco
del
seno
en
el
eje x.
Entonces,
r
2
f(x)
π
⎛
ƒ'
( x ) = cos
x +
=
cos x
concluimos
x
0
3r
(cos x ) = cos
que
consideremos
la
π
⎛
x
de f
(x)
r
r
2
=
2
r
–1
r
r
2
2
sen x
⎟
2
⎝
derivada
⎞
+
⎜
dx
Finalmente,
=
sen x
⎠
d
tanto,
f(x)
⎟
2
⎝
lo
–sen x
⎞
⎜
Por
=
=
tan
–2
⎠
x.
Sabemos
que
sen x
f
( x ) = tan x
,
=
donde
cos
x
≠
0.
cos x
d
d
sen x
⎛
⎞
(tan x ) =
Entonces,
⎜
dx
dx
⎟
cos x
⎝
⎠
Aplicamos
la
regla
del
cos x (cos x ) − sen x ( − sen x )
cociente.
=
2
(cos x )
2
2
cos
+ sen
x
=
Utilizamos
la
identidad
2
cos
x
2
cos
2
θ
+
sen
θ
=
1
1
=
,
cos x
≠
0
para
simplicar
el
2
cos
x
numerador
.
➔
dr
no,
ono
f
(x)
=
sen
x
⇒
f
′(x)
=
cos
f
(x)
=
cos
x
⇒
f
′(x)
=
–
f
′( x ) =
y
ngn:
x
sen
x
1
f
( x ) = tan x
⇒
,
cos x
≠
0
2
cos
x
Capítulo
14
497
emo
En
Halle
la
derivada
de
cada
XVIII,
1
f
(x)
=
sen x
+
los
siglos
cos x
y
el
de
dispositivos
mecánicos
2
y
=
cos(t
y
desarrollo
=
tan x
XVII
función.
cambió
3
)
f
(x)
=
sen
(2x)
el
enfoque
de
la
trigonometría,
Respuestas
desplazándolo
f
(x)
=
sen
x
+
cos
Tomar
x
la
derivada
de
conexión
f
′(x)
=
cos
x
–
sen
de
su
cada
inicial
con
el
tér mino
x
estudio
de
triángulos
2
y
= cos ( t
hacia
)
Aplicar
la
regla
de
la
cadena,
exterior
es
u(t)
[ − sen(t
del
)]
modelización
donde
2
y′ =
la
movimiento
[2 t ]
{
1
4
24
3
la
función
=
cos t
y
periódico.
derivada de
la
derivada de la
función
2
exterior
con
función
respecto a
función
la
con
interior
interior
respecto a
la
función
interior
es
v (t)
=
t
Joseph
t
2
=
2t
Fourier
(1768–1830),
sen( t
matemático
francés,
1
y
un
)
y
físico
descubrió
=
que
tan x
Volver
a
escribir
casi
cualquier
utilizando
1
tan x )
= (
función
exponentes
2
=
y
1
⎛
como
⎝
Aplicar
⎟
2
cos
x
la
regla
de
la
cadena,
⎠
1
–1
la
función
exterior
es
u (x)
la
función
interior
es
v (x)
=
la
o
2
x
la
cuerda
x cos
o
2
x
sen
un
de
violín
=
el
movimiento
( x ) = sen
del
tan x
x
3
f
de
y
−
2
péndulo
vibración
donde
1
= −
tan
racionales
⎞
1(tan x )
⎜
periódica,
de
podía
ser
como
una
un
reloj,
expresada
(2 x )
suma
3
=
( sen
(2 x ) )
innita
de
funciones
2
seno
f
′( x ) = 3
( sen
(2 x ) )
( cos
Aplicar
( 2 x ) ) ( 2)
veces.
2
= 6 sen
la
regla
Primero
de
la
la
cadena
función
y
coseno.
dos
exterior
(2 x ) cos (2 x )
3
es
u (x)
es
v (x)
hallar
=
=
la
función
la
x
y
la
función
sen (2x).
derivada
exterior
función
es
interior
interior
Después,
de
u (x)
es
al
sen (2x),
=
v (x)
la
sen x
=
y
2x.
La
oscilación
un
resor te
péndulo
de
¿Cómo
son
la
f
(x)
derivada
=
ejemplos
simple.
se
utilizan
de
las
funciones
dadas
en
las
preguntas
a
0.
3sen x
–
2cos x
2
y
=
funciones
trigonométricas
y
1
el
análisis
para
tan (3x)
modelizar
ese
movimiento?
2
3
y
2
4
=
s (t)
=
cos
t
sen x
2
5
f
( x ) = sen
x
6
y
sen ( 4 x )
8
f
=
tan
y
x
1
x
7
= cos
+
(x ) =
cos (2 x )
2
4
9
y
=
10
2
sen
498
Análisis
con
un
14A
las
Halle
el
de
movimiento
armónico
Ejercitación
y
movimiento
de
(π x )
funciones
trigonométricas
f
(x)
=
sen (sen x)
PREGUNTAS
Derive
11
TIPO
con
EXAMEN
respecto
a
x
3
tan
Una
12
(x
4
)
cos
función
tiene
x
fórmula
y
=
sen(3x
–
4).
2
d
dy
Halle
y
Halle
2
dx
emo
Halle
las
dx
ecuaciones
de
la
recta
tangente
y
la
recta
normal
a
la
cur va
π
f
(x)
=
cos
3x
en
el
punto
=
x
9
Respuesta
π
⎛ π
⎞
⎛ π
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
= cos
f
9
⎝
Evaluar
9
π
=
hallar
el
punto
de
tangencia
1
2
de
tangencia
1
es
,
9
′( x ) =
x
en
9
para
⎠
π
f
f
=
3
punto
función
3
= cos
El
la
2
3 sen ( 3 x )
Hallar
la
derivada
de
f
y
evaluarla
π
en
⎛ π
f
⎛
⎞
′
=
⎜
⎝
9
3 sen
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛ π
⎞ ⎞
⎜
⎟ ⎟
3
9
⎝
⎛ π
⎞
⎜
⎟
para
=
hallar
la
pendiente
9
de
la
recta
tangente
⎠ ⎠
3
= −3 sen
= −3
3
⎝
3
x
2
⎠
3
=
2
La
pendiente
en
x
La
pendiente
de
3
π
3
de
2
la
2
es
9
tangente
2
π
=
recta
es
=
9
x
la
recta
normal
La
a
3
recta
la
nor mal
recta
es
tangente,
per pendicular
entonces
o
3
3
las
9
1
Recta
en
tangente:
y
−
3
π
3
x
=
2
pendientes
son
recíprocas
y
opuestas.
−
2
9
Utilizar la ecuación punto-pendiente
1
Recta
y
normal:
−
2
3
π
⎛
x
=
⎜
2
9
⎞
−
⎟
9
⎝
de
una
En
las
recta
a
–
y
=
m(x
–
x
),
1
escribir
las
ecuaciones
14B
preguntas
normal
y
1
para
Ejercitación
recta,
⎠
la
y
2,
cur va
halle
en
el
las
ecuaciones
valor
de x
de
la
recta
tangente
y
la
dado.
π
1
f
( x ) = sen x
2
f
( x ) = 2 tan x ;
cos x ;
x
=
2
π
x
=
4
Capítulo
14
499
PREGUNTAS
TIPO
⎛ p
El
3
punto
⎞
P
⎝
la
per tenece
,0
⎜
Halle
EXAMEN
al
gráco
de
y
=
sen
La
mayoría
en
las
de
los
ciencias,
fenómenos
la
ingeniería,
los
(2x).
⎟
2
⎠
negocios
pendiente
de
la
tangente
a
la
cur va
en
y
otros
modelizados
P
.
campos
mediante
pueden
una
ser
fnón
mn
Sea
4
f
(x)
=
cos
(2x).
π
Escriba
Halle
el
valor
de
Una
función
3
elemental
es
una
que
es
algebraica,
′(x).
f
trascendente
π
Halle
función
f
la
ecuación
de
la
recta
tangente
a f
en
x
o
la
adición,
=
diferencia,
multiplicación,
división
3
o
Considere
Halle
el
rectas
la
función
valor
(o
tangentes
los
al
f
(x)
=
valores)
gráco
3
sen
de
de
f
x
x
para
para
son
0
los
≤
x
≤
a
de
funciones
2π.
cuales
paralelas
composición
algebraicas
y
Fnon
gr
trascendentes.
las
la
●
Polinomios
●
Funciones
●
Funciones
3
recta
y
=
x + 4
racionales
2
Fnon
.
Má
rá
on
r
(No
se
pueden
adición,
Ahora
ya
conocemos
las
derivadas
de
estas
contienen
radicales
expresar
diferencia,
como
una
multiplicación,
funciones:
división
d
que
rnn
ni
radicales
que
contienen
d
n
n
1
n
] = nx
[x
,n
≠ 1
[sen x ] = cos x
dx
términos
en
x
.)
dx
d
●
Funciones
logarítmicas
●
Funciones
exponenciales
●
Funciones
trigonométricas
●
Funciones
trigonométricas
d
x
[e
x
] = e
[cos
dx
x ] =
sen
x
dx
d
1
d
[ln x ] =
1
> 0
x
,
[tan x ] =
, cos x
≠
0
2
dx
x
dx
cos
x
inversas
Utilizando
principio
de
una
estos
de
la
gran
resultados
sección
variedad
y
4.,
de
las
reglas
podremos
expuestas
hallar
las
al
Ahora
ya
sabemos
todas
las
Halle
la
f
(x)
funciones
de
las
elementales,
con
trigonométricas.
derivada
de
cada
función.
2x
derivar
funciones.
excepción
emo
cómo
derivadas
=
3
4e
+
sen
(3x
+
2)
y
=
s(t)
cos
x
sen x
x
y
=
e
sen x
=
ln(sen t)
Respuestas
2x
f
(x)
=
4e
′(x)
=
4(e
+
=
8e
sen
(3x
+
2)
Utilizar
las
reglas
de
la
constante,
de
la
2x
f
)(2)
+
[cos
(3x
+
2)]
(3)
multiplicación
por
una
constante
y
de
la
cadena
para
2x
+
3cos
(3x
+
2)
derivar
el
primer
tér mino
derivar
el
segundo
y
la
regla
de
la
cadena
para
tér mino
x
y
=
e
sen x
y ′
=
e
x
x
(cos x)
+
sen x
(e
)
Utilizar
la
Utilizar
la
regla
del
producto
x
=
e
(cos x
=
cos
=
(cos x)
=
(cos x)
+
sen x)
3
y
x
sen x
3
sen x
3
y ′
2
(cos x)
4
=
cos
s (t ) =
+
2
x
–
3cos
sen x
(3(cos x)
)
(–sen x)
x
producto,
sen
x
cadena
sen t
con
1
cost
(cost )
funciones
y
aplicar
la
3
Aplicar
1
Análisis
del
para
hallar
la
derivada
ln(sen t )
s ′( t ) =
500
regla
2
=
o
sen t
tan t
trigonométricas
la
regla
de
la
cadena
de
(cos x)
regla
de
la
Ejercitación
En
las
14C
preguntas
a
0,
π
⎛
f
1
( x ) = 6 cos
halle
la
derivada
de
función.
sen x
⎞
2x
+ 3x
⎜
cada
y
2
=
⎟
3
⎝
1 + cos x
⎠
1
x
f
3
(x)
=
sen 2 t
x
xe
–
e
s (t ) =
4
e
2
x
5
f
7
y
9
f
(x)
=
e
(sen x
–
cos x)
s(t)
6
=
t
tan t
3x
=
e
(x)
=
cos 4x
8
(ln
10
x)(cos x)
PREGUNTAS
TIPO
y
f
=
tan 2 x
(x)
=
ln
(cos x)
EXAMEN
2
Sea
Sea
11
f
(x)
=
ln(3x
).
f ′(x).
Escriba
x
.
g ( x ) = sen
g ′(x).
Escriba
2
x
2
Sea
h ( x ) = ln(3 x
.
) sen
Halle
h ′(x).
2
2
sen x
12
Sabiendo
f
que
y
f
x
a
y
Podemos
+ b sen
x )
′( x ) =
,
2
2
1 + cos
halle
2
cos x (1 + a cos
(x ) =
x
2
(1 + cos
x )
b
utilizar
las
derivadas
primera
y
segunda
de
una
función
Véase
para
analizar
el
gráco
de
la
en
emo
la
sección
7.6
función.
el
capítulo
7.
Considere
la
función
f
(x)
=
intersecciones
sen x
con
+
los
cos x
ejes
para
Halle
las
Halle
los
inter valos
en
que
f
es
creciente
Halle
los
inter valos
en
que
f
es
cóncava
0
≤
x
≤
2π.
Analícela
sin
utilizar
la
CPG.
coordenados.
y
decreciente
hacia
arriba
y
y
los
puntos
cóncava
extremos
hacia
abajo
relativos.
y
los
puntos
de
inexión.
Utilice
la
información
de
los
apar tados
a
para
dibujar
aproximadamente
el
gráco
de
f
Respuestas
Para
sen
x
+
cos
x
sen
x
=
–cos
=
hallar
función
3π
x
=
con
el
eje
x,
igualar
la
a
0
y
despejar
x.
Utilizar
el
conocimiento
de
x
7π
4
los
valores
del
las
soluciones.
círculo
de
radio
unidad
para
hallar
7π
3π
Intersecciones
con
el
eje
x:
y
4
(0)
intersección
,
4
f
la
0
=
sen 0
=
0
=
1
+
+
cos 0
1
Intersección
4
Para
hallar
función
con
el
eje
y:
la
intersección
cuando
x
=
con
el
eje
y,
evaluar
la
0
1
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
14
501
f
(x)
=
f ′(x)
sen x
=
cos
cos x
–
cos x
=
+
x
sen x
cos x
=
=
f
0
sen x
0
en
la
Realizar
es
x
derivada
un
f ′
de
f
diagrama
creciente
cuando
π
f ′(x)
Hallar
– sen x
es
cuando
y
hallar
de
f ′
dónde
signos
es
para
positivo
y
f ′(x)
=
0
f
decreciente
negativo.
5π
=
,
4
4
5π
π
f'(x)
Creciente:
0
<
x
<
<
y
x
2π
<
+
0
π
+
r
5r
4
4
2r
5π
Decreciente:
<
x
<
4
4
La
comprobación
que
⎛ π
Punto
–
4
4
máximo
relativo:
extremos
derivada
⎟
Evaluar
f
en
x
los
producen
de
nos
cuando
dice
la
signo.
y
4
hallar
se
derivada
5π
=
⎠
para
primera
cambia
π
2
4
la
relativos
primera
⎞
,
⎜
⎝
los
de
4
valores
máximo
y
mínimo
5π
Punto
mínimo
relativo:
2
,
4
f ″(x)
=
3π
x
=
– sen x
–
Hallar
cos x
– sen x
–
– sen x
=
cos x
=
f ″(x)
0
la
=
Realizar
cos x
f
7π
es
segunda
derivada
de
f
y
hallar
dónde
0
un
cóncava
diagrama
hacia
de
ar riba
signos
para
cuando
f ″
f ″
es
positiva
y
,
4
cóncava
4
hacia
<
arriba:
hacia
abajo
cuando
f ″
es
negativa.
7π
3π
Cóncava
x
<
f''(x)
4
4
–
+
0
3π
Cóncava
hacia
abajo:
0
<
x
<
x
<
⎛ 3π
inexión:
⎝
puntos
de
inexión
se
producen
cuando
la
,
segunda
0
derivada
cambia
de
signo.
Evaluar
f
en
⎟
4
4
⎠
7 π
3π
x
=
y
para
hallar
las
coordenadas
y
de
los
4
4
2r
4
y
0
4
7π
⎞
,
⎜
7r
4
2π
Los
de
3r
7π
y
<
4
Puntos
–
f(x)
puntos
de
inexión.
r
2
√2
(
)
4
1
x
0
–1
r
r
3r
4
2
4
r
5r
3r
7r
4
2
4
2r
5r
–2
, –
√2
(
)
4
Las
derivadas
son
útiles
para
hallar
tanto
los
extremos
relativos
A
como
los
absolutos
en
un
inter valo
los
extremos
cerrado.
absolutos
a
veces
globales”.
502
Análisis
con
funciones
trigonométricas
se
les
llama
“extremos
emo
Muestre
de
los
cómo
utilizar
extremos
la
relativos
comprobación
de
f
(x)
=
ln x
de
+
la
segunda
sen x,
en
0
≤
derivada
x
≤
para
hallar
las
coordenadas
x
2π
2
Halle
los
extremos
globales
de
la
función
f
(x)
=
x
+
sen (x
)
en
el
inter valo
cerrado
0
≤
x
≤
π
Respuestas
Hallar la primera derivada e
f
(x)
=
ln
x
+
sen
x
igualarla a cero para hallar los
1
′( x ) =
f
+ cos x
números críticos. Utilizar la CPG
x
para resolver
.
1
+ cos x
= 0
x
x
≈
2,07;
4,49
Hallar
la
segunda
derivada
y
1
f
″( x ) =
− sen x
evaluar
la
segunda
derivada
en
2
x
f ″ (2,07)
≈
máximo
–
1,11
<
relativo
f ″ (4,49)
≈
mínimo
relativo
f
+
0,926
⇒
0
en
>
x
2,07
x
=
uno
de
primera
f
⇒
0
en
=
cada
la
″
>
0
un
los
y
f
″(x)
máximo
valores
críticos
derivada
implica
relativo
4,49
de
un
<
mínimo
0
implica
relativo.
2
(x)
=
x
f ′ (x)
=
1
sen
(x
Hallar
)
la
primera
derivada
2
+
2x cos (x
e
)
igualarla
a
cero
para
hallar
los
2
1
+
x
=
2x cos
(x
1,392;
)
=
2,115;
0
valores
2,834
Utilizar
críticos
la
Evaluar
f
(0)
=
(1,392)
f
(2,115)
≈
inter valo
(2,834)
valores
≈
El
(π)
≈
es
✗
En
utilice
las
es
1
f
(x)
=
2
f
(x)
=
las
son
de
2 sen
gráco
f
x
x
(x ) =
y
+
+
3
2,
las
halle
en
cos
cos
y
4,
preguntas
x,
2x,
0
esta
y
≤
x
x
los
a
puntos
inter valo
≤
0
halle
mínimos
los
el
decrecientes,
Utilice
la
críticos
El
de
valor
la
más
primera
alto
es
el
global
y
el
más
bajo
es
el
mínimo.
el
para
puntos
de
y
función
3 sen
inexión.
3
la
preguntas
los
3,82
CPG
crecientes,
Halle
de
14D
preguntas
máximos
En
la
extremos
uno
0.
Ejercitación
No
cada
2,71
máximo
mínimo
puntos
en
3,82
máximo
f
y
1,14
derivada.
f
los
resolver
2,33
los
≈
en
para
0
del
f
f
CPG
≤
≤
5.
relativos
mínimos
y
dado.
2π
2π
inter valos
cóncavas
máximos
información
en
hacia
los
arriba
relativos
para
que
y
dibujar
y
los
las
funciones
hacia
abajo.
puntos
de
aproximadamente
el
función.
sen x ,
0
≤
x
≤ π
2
4
f
(x)
=
cos
(2x),
0
≤
x
≤
π
Capítulo
14
503
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
2
5
Sea
f
(x)
6
cos
Muestre
f
tiene
un
0
≤
π.
x
≤
Halle
f
Halle
las
las
f
f ″(x)
6
A
mínimo
las
relativo
coordenadas
en
de
el
inter valo
este
punto.
+
a
x
8
≤
x
se
sen
puede
a
0
del
punto
o
los
puntos
de
inexión
de f
π
≤
puede
utilizar
la
CPG.
x
f ′(x).
y
expresarse
en
la
forma
ax
sen
x
+
b
cos
x.
b
Resuelva
x
–3sen 2x
coordenadas
π
=
Halle
Halle
=
″(x).
Halle
cos
f ′(x)
inter valo
(x)
+
punto
preguntas
Sea
el
2x
que
en
En
=
par tir
la
de
ecuación
lo
coordenadas
mínimos
f ′(x)
anterior,
x
de
los
relativos
=
use
0
puntos
de
f
para
f ″(x)
para
0
para
≤
máximos
0
≤
x
x
2π
≤
identicar
relativos
las
y
los
puntos
2π
≤
2
7
Sea
f
(x)
=
Halle
A
x
cos
x
f ′(x).
par tir
de
lo
anterior,
halle
los
extremos
globales
de
2
f
8
La
(x)
=
cos
x
fotografía
fábrica
de
x
San
r ueda.
r ueda
La
centro
fondo
de
la
inter valo
la
medio
de
la
r ueda
la
cuba.
y
la
En
una
empuja
de
0
máquina
Francisco.
por
el
el
muestra
chocolate
todo
en
una
hoja
hoja
≤
x
≤
que
bate
cuba
de
se
para
un
puede
ser
el
chocolate
está
acero
Supongamos
hoja
5.
revolviendo
impulsada
lado
que
y
la
en
para
por
el
el
una
otro,
distancia
modelizada
la
por
entre
mediante
el
la
función
2
d (θ ) = 2 cos θ
donde
la
d
es
r ueda
la
en
+
25
θ
4 sen
distancia
en
metros
y
θ
es
el
ángulo
de
rotación
de
radianes.
i
d′ (θ).
Halle
Dibuje
rotule
y
de
aproximadamente
las
los
coordenadas
puntos
de
mínimos
el
gráco
todas
y
las
de d ′(θ)
para
0
intersecciones
máximos
relativos.
el
de d ′(θ)
≤
θ
con
≤
el
2π,
y
eje x
d
Explique
el
ángulo
centro
y
esa
la
de
con
la
qué
rotación
r ueda
gráco
cuando
alcanza
ángulo(s)
r ueda
Explique
Análisis
de
utilizar
la
un
distancia
mínimo.
para
determinar
entre
¿Cuál
la
es
hoja
ese
y
el
ángulo
distancia?
¿Para
de
504
cómo
y
la
cómo
funciones
de
hoja
rotación
varía
determina
trigonométricas
más
su
la
distancia
entre
rápidamente?
respuesta.
el
centro
.
En
el
ingr
capítulo
9
no
estudiamos
las
y
ono
siguientes
reglas
de
integración.
1
n
Rg
n +1
x
on:
dx
x
=
+C ,
n
≠ 1
n + 1
k dx
Rg
onn:
Rg
món
Rg
ón
o
=
or
kx
+
n
C
(
rón:
1
kf (x) dx
onn:
f (x)
±
g (x)) dx
=
=
k
f (x) dx
f (x) dx
±
g (x) dx
1
x
ingr
y
dx
:
x
= ln x + C ,
x
e
ingr
n
x
> 0
x
x
dx
omoón
=
e
+
C
n:
1
f
( ax + b )dx
=
F ( ax + b ) + C ,
donde
F ′(x)
=
f
(x).
a
Estas
y
del
integrales
resultan
directamente
de
las
derivadas
del
seno
coseno.
vrr:
➔
ingr
no
y
ono
d
(
sen x dx
=
–cos x
+
C
cos x dx
=
sen x
+
cos x ) =
dx
C
− ( −sen x ) =
sen x
d
(sen x ) =
Las
integrales
de
la
composición
del
seno
o
coseno
con
una
cos x
función
dx
lineal
son:
1
= −
sen ( ax + b ) d x
➔
cos ( ax + b ) + C
a
1
cos ( ax + b ) d x
=
sen ( ax + b ) + C
a
Podemos
quizás
f
utilizar
reconocer
(g (x)) g ′(x)
el
método
cuando
de
sustitución
tenemos
una
para
integral
hallar
de
la
algunas
integrales
o
forma
dx.
Capítulo
14
505
emo
Halle
las
integrales.
3 sen x dx
e
x
cos (4x
x
x
sen
(e
–
6) dx
3
) dx
4
cos (3x
) dx
Respuestas
Utilizar
3 sen x
dx
=
3
sen x
la
regla
de
y
=
3 (–cos x)
=
–3cos x
+
+
luego
integrar
el
− 6)dx
x
e
(e
) dx
− 6) + C
( ax +
cos
b ) dx
=
sen
( ax +
b ) +
C
a
⎛ du
⎞
⎜
⎟
dx
⎝
Reconocer
sen
esto
sen
como
una
expresión
de
la
f or ma
u dx
⎠
f(g(x))g ′(x)
=
dx
y
escribir
la
respuesta
du
u du
x
x
o
bien,
tomar
u
=
e
y
luego
utilizar
= e
dx
=
–cos u
+
C
x
Simplicar,
integrar
y
reemplazar
u
por
x
=
–cos e
1
3
x
4
cos
(3x
) dx
+
C
⎛ du
⎞
⎜
⎟
=
du
⎝
dx
3
4
×
12
cos
Sea
u dx
u
=
3x
y
por
lo
tanto,
⎠
1
⎛ du
⎞
⎜
⎟
3
=
12
1
⎝
dx
x
⎠
cos u du
=
Simplicar
12
e
integrar
1
sen u + C
=
12
1
4
sen
=
(3 x
4
Reemplazar
) +C
u
12
Halle
las
14E
integrales
en
las
preguntas
a
0.
⎛
⎛ 1
2
1
(2cos
x
+
3sen
x) dx
2
⎜
x
+ cos
π sen(π
5
20x
x) dx
⎝
3
4
sen(2x
6
(2x
+
⎞ ⎞
x
⎜
⎝
3
3
⎟ ⎟
(5x
dx
⎠ ⎠
3)dx
4
cos
2
) dx
–
1)cos
(4x
–
4x) dx
tan( 3 x )
cos
e
dx
7
(ln x )
dx
8
2
cos
x
(3 x )
sen x
2
9
cos x sen
xdx
dx ,
10
cos x
506
Análisis
con
funciones
= 12 x
dx
Entonces
Ejercitación
constante
1
sen (4 x
=
=
una
C
x
sen
por
C
4
multiplicación
seno
1
cos (4 x
la
dx
trigonométricas
para
cos x
>
0
por
3x
e
PREGUNTAS
TIPO
sen
Sea
11
f
=
Halle
Escriba
f
f
(x)
e
f
=
(x) dx
ln(cos x).
Muestre
A
par tir
Podemos
cos x.
′(x).
Sea
12
(x)
EXAMEN
x
que
de
utilizar
′(x)
f
lo
=
–tan x.
anterior,
halle
tan x
ln(cos x) dx
el orm fnmn áo para
evaluar
Véase
integrales
la
sección
9.4.
denidas:
b
b
f
(x )
dx
=
[
=
F ( x )]
F (b )
F ( a ),
donde
CPG,
para
F
es
una
antiderivada
de f.
a
a
emo
Evalúe
la
Verique
integral
su
denida
respuesta,
sin
la
evaluando
π
la
obtener
integral
el
denida
valor
en
la
exacto.
CPG.
π
4
2
3
2cos x
dx
sen(2 x ) cos
(2 x )dx
π
0
4
Respuestas
π
π
4
4
2cos x dx
=
2
cos x dx
Aplicar
el
teorema
fundamental
del
cálculo
0
0
π
= 2 [ sen x
]
4
0
π
= 2
sen
sen 0
4
2
= 2
0
Evaluar,
utilizando
los
valores
del
círculo
de
2
radio
=
Utilizando
la
unidad
2
CPG:
En
la
investigación
de
la
sección
9.3
se
explica
π
cómo
4
2 cos x dx
≈ 1
, 41
y
dado
ingresar
una
integral
denida
en
la
que
calculadora.
0
2
≈ 1
, 41,
nuestra
respuesta
está
vericada.
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
14
507
π
2
3
sen
(2 x ) cos
du
(2 x )dx
Sea
π
u
=
cos
(2x)
4
=
y
2sen
(2x).
dx
π
x =
1 ⎛ du
2
⌠
=
⎞
3
u
⎮
⎜
dx
⎟
1
π
⌡
2
x =
dx
⎝
⎠
Reemplazar
sen
(2x)
3
por
⎞
⎜
⎟
3
y
2
u=−1
⎛ du
por
4
⎝
dx
cos
(2x)
⎠
u
1
=
2
π
u=0
x
Cuando
1 ⎡ 1
=
4
⎛
=
,
u =
cos
4
1
⎜
⎛ π
⎞ ⎞
⎜
⎟ ⎟
2
⎝
⎝
4
π
=
=
cos
0
2
⎠ ⎠
⎤
u
⎢
2
⎥
4
⎣
⎦
Cuando
=
x
( ( −1)
−
,
u =
cos
2
4
=
⎛
p
0
1
− 0
⎜
⎝
⎛ π
⎞ ⎞
⎜
⎟ ⎟
2
⎝
2
=
cos π
=
−1
⎠ ⎠
)
8
Después,
aplicar
el
teorema
fundamental
del
1
=
cálculo
8
π
2
3
Utilizando
la
sen
CPG:
( 2 x ) cos
(2 x )dx
=
0,125
Evaluar
la
integral
integral
denida
en
la
π
4
CPG
1
y
dado
que
0,125 ,
=
nuestra
respuesta
queda
8
vericada.
Ejercitación
Evalúe
la
Verique
14F
integral
su
denida
respuesta,
sin
la
CPG,
evaluando
la
para
obtener
integral
el
denida
valor
con
la
exacto.
CPG.
π
π
3
cosx dx
1
(2sen x
2
+
sen 2x) dx
π
0
3
π
π
⌠
2
⎛ 2
ln
⎞
x
3
3
cos
⎮
⌡
⎝
0
dx
x
⎜
e
4
⎟
x
cos (e
) dx
π
3
⎠
ln
4
Se
pueden
utilizar
integrales
denidas
para
hallar
áreas
y
volúmenes.
➔
Cuando
el
área
delimitada
por
la
cur va y
=
f
(x),
el
eje
eje
x,
el
x
y
las
y
rectas
x
=
a
y
x
=
b
se
rota
360°
alrededor
del
volumen
b
2
del
sólido
generado
π y
es
dx.
a
0
508
Análisis
con
funciones
trigonométricas
x
emo
Una
porción
Halle
Escriba
el
del
gráco
área
de
la
de
f (x)
región
=
x
sen
x
se
muestra
en
el
y
diagrama.
sombreada.
f(x)
la
generado
integral
cuando
que
la
representa
región
al
volumen
sombreada
se
del
rota
=
x sen x
sólido
360°
alrededor
A
0
del
A
eje
x
x
par tir
de
lo
anterior,
halle
el
volumen
del
sólido.
Respuestas
Igualar
x sen x
=
de
x
=
0
x
=
0,
o
la
función
a
0
para
hallar
las
coordenadas
x
0
sen
x
=
x (sen x )dx
≈
O
y
A
0
π
Plantear
π
la
integral
denida
y
evaluarla
en
la
CPG
3,14
El
área
de
esta
región
resulta
π
ser
0
b
π
2
π y
Utilizar
dx
para
plantear
la
integral
denida
2
⎡ x (sen x ) ⎤
⎣
⎦
π
dx
≈ 13, 8
a
0
y
evaluarla
en
la
CPG
y
También
podemos
hallar
el
área
entre
dos
cur vas.
Cuadrante
Cuadrante
2
1
b
➔
Si
y
≥
y
para
todo
x
en
a
≤
x
≤
b,
entonces
( y
−
y
1
2
es
)d x
2
a
el
área
emo
Halle
el
entre
las
dos
cur vas.
x
O
Cuadrante
Cuadrante
3
4
área
de
la
región
en
el
cuadrante
1
delimitada
por
las
cur vas
y
=
0,4x
e
y
=
sen x
Respuesta
2,25
Utilizar
Área
=
(sen (x))
−
la
CPG
para
dibujar
el
gráco
y
hallar
los
0,4x) dx
puntos
de
intersección
donde
sen
x
=
0,4x
0
b
≈
0,623
El
área
es
igual
( y
a
y
1
) dx
2
a
donde
Dado
elegir
a
=
que
y
=
0
y
b
sen x
sen
≥
x
1
Ejercitación
En
las
Utilice
1
y
=
x
2
y
=
x
y
integral
sen
x
e
e
2,125.
0,4x
y
=
para
0
≤
x
≤
2,125,
0,4x
2
14G
preguntas
una
≈
y
=
2,
las
cur vas
denida
2x
–
6
en
para
el
dadas
delimitan
una
hallar
el
la
cuadrante
área
de
región.
región.
l
2
–
2
e
y
=
x
+
cos
x
Capítulo
14
509
PREGUNTAS
TIPO
EXAMEN
k
π
1
3
Sabiendo
cos xd x
que
=
y
Sea
f
x .
( x ) = tan
delimitada
Halle
Escriba
por
el
f,
área
la
generado
≤
k
,
≤
2
0
4
0
Considere
el
de
eje
la
y
el
valor
xo
de
k
la
la
región
recta
x
=
en
el
primer
cuadrante
2.
región.
integral
cuando
x
halle
2
que
la
representa
región
se
el
rota
volumen
360°
del
sólido
alrededor
del
eje x.
y
A
par tir
de
lo
anterior,
halle
el
volumen
del
sólido.
(r; 2)
2
5
El
gráco
representa
la
función
f
(x)
=
a
sen
(bx).
1
Halle
A
los
valores
de
a
y
b
x
partir
de
lo
anterior,
halle
el
área
de
la
región
r
sombreada.
–1
6
El
y
diagrama
=
cos
y
x
+
=
muestra
sen
cos
2x.
x
+
par te
Las
sen
del
gráco
regiones
2x
puede
A
y
B
de
5r
2r
7r
3r
2
r
2
–2
están
escribirse
3r
r
2
sombreadas.
como
y
y
=
cos
x(c
+
d
sen
x).
Halle
los
valores
de
c
y
d
2
A
par tir
de
lo
anterior,
halle
el
valor xo de
las
dos
1
intersecciones
con
el
eje
x
representadas
en
A
el
diagrama.
x
0
B
–1
Halle
el
área
de
Halle
el
área
total
la
región
A
–2
Halle
se
.
el
rota
un
volumen
360°
del
las
sólido
alrededor
ro
de
del
regiones
generado
sombreadas.
cuando
la
región A
eje x
m
momno
n
Material
de
disponible
Las
derivadas
y
las
integrales
se
emplean
en
problemas
de
Hoja
de
relacionados
con
movimientos
a
lo
largo
de
una
línea:
ejercicios
derivadas
cinemática
ampliación
en
e
14:
Más
integrales
recta.
trigonométricas
Supongamos
su
posición
que
un
desde
un
objeto
origen
se
mueve
en
a
lo
cualquier
largo
de
tiempo t
una
está
recta
dada
y
que
por
la
Rormo
función
desplazamiento
s (t).
Entonces
tenemos
las
q:
siguientes
Inicialmente
→
en
el
relaciones:
tiempo
En
Fnón
zmno
=
0
reposo
→
v(t)
=
0
s (t)
Inicialmente
en
reposo
ds
vo
v (t ) =
=
s′(t)
→
v(0)
=
0
dt
Movimiento
a
la
dv
arón
=
a (t ) =
v′(t)
o
derecha
s″(t)
dt
→
v(t)
o
hacia
>
arriba
0
t
2
Movimiento
dn
o
rorr
nn t
=
t
izquierda
t
Ahora
veremos
algunos
ejemplos
en
los
que
el
movimiento
lineal
se
abajo
→
o
510
Análisis
mediante
con
funciones
funciones
trigonométricas.
trigonométricas
la
hacia
v(t)
Celeridad
modeliza
a
|v (t)|dt
=
<
0
|velocidad|
emo
Una par tícula se mueve a lo largo de una recta horizontal. El
desplazamiento de la par tícula, en metros, desde un origen O
, está dado
por s(t) = 5 – 2cos 3t
Halle
Halle
la
para un tiempo t en segundos.
velocidad
el
de
la
desplazamiento
par tícula
inicial,
la
y
la
aceleración
velocidad
y
la
en
un
tiempo
aceleración
de
t
la
partícula.
Halle
cuándo
izquierda
Escriba
y
una
recorrida
la
par tícula
cuándo
se
integral
para
0
≤
t
se
mueve
detiene,
denida
≤
π
hacia
durante
que
segundos
la
el
derecha,
tiempo
represente
y
utilice
la
la
0
hacia
≤
t
≤
distancia
CPG
para
la
π
total
hallar
la
distancia.
Respuestas
v(t)
=
0
–
=
6 sen 3t
a(t)
=
6 (cos 3t)(3)
=
18 cos 3t
s(0)
=
5
–
2 cos (3(0))
=
5
–
2(1)
v(0)
=
6 sen (3(0))
=
6(0)
=
18 cos (3(0))
=
18(1)
v(t)
=
s′(t)
a(t)
=
v′(t)
2(–sen 3t)(3)
=
Evaluar
cada
función
en
t
=
0
3 m
–1
a(0)
=
0 m s
–2
v(t)
=
=
18 m s
0
La
6 sen 3t
=
sen 3t
3t
0
=
=
cuando
0
0,
mueve
π,
π
t
2π,
3π
v(t)
0
y
está
=
0.
la
<
La
reposo
par tícula
derecha
hacia
v (t)
en
la
0.
se
cuando
izquierda
Un
diagrama
, π
,
de
3
par tícula
>
v(t)
hacia
cuando
2π
= 0,
3
La
par tícula
está
en
reposo
signos
es
útil
para
analizar
el
en
movimiento.
π
2π
0,
y
,
3
π
segundos.
3
v(t)
+
La
par tícula
se
mueve
hacia
–
0
derecha
cuando
π
0
< t
+
la
r
2r
3
3
r
2π
<
< t
y
3
< π
3
segundos y hacia la izquierda cuando
π
2π
< t
3
segundos.
<
3
π
|6 sen 3t| dt
=
12 m
La
distancia
total
recor rida
desde
0
t
2
el
instante
t
al
1
t
es
|v(t)| dt.
2
t
Utilizar
la
CPG
para
evaluar
la
integral
Capítulo
14
511
emo
–1
Una
par tícula
se
mueve
a
lo
largo
de
una
recta
de
modo
tal
que
su
velocidad,
v
m s
en
un
tiempo
2
de
t
segundos
viene
dada
por
v(t)
=
5 sen t
cos
t
5π
Halle
la
celeridad
de
la
par tícula
t
cuando
=
segundos.
6
Cuando
t
=
0,
el
desplazamiento,
Halle
una
expresión
para
s
Halle
una
expresión
para
la
en
s,
de
función
la
par tícula
de
aceleración,
es
3 m.
t.
a,
de
la
par tícula
en
función
de
t
Respuestas
5π
5π
5π
2
= 5 sen
v
⎜
⎝
6
La
velocidad
tiene
tanto
magnitud
como
dirección,
cos
⎟
⎜
⎠
⎝
6
⎟
⎜
⎠
⎝
⎟
6
⎠
y
la
celeridad
es
la
magnitud
de
la
velocidad.
Por
lo
2
⎛
1 ⎞
= 5
⎜
⎝
⎟
2
⎠
⎛
3
⎜
tanto,
⎞
celeridad
=
|velocidad|.
⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
15
=
8
15
15
1
Celeridad
=
=
m s
8
8
∫
5 sen t cos
=
t dt
du
⎛
⌠
2
⎞
5
⎮
⌡
2
u
⎜
Integrar
dt
la
⎝
⎠
Utilizando
2
=
5
∫
velocidad
para
obtener
el
desplazamiento
⎟
dt
sea
u
=
cos
t,
du
du
u
sustitución,
entonces,
=
sen t
dt
⎛ 1
=
5
⎞
3
+ C
u
⎜
⎝
du
⎟
3
por
⎠
lo
tanto,
−
=
sen t
dt
5
3
s (t ) =
t
cos
+ C
3
5
Usar
3
3 =
cos
el
dato
de
que
s(0)
=
3
para
hallar
C
(0 ) + C
3
5
3 =
(1) + C
3
14
C
=
3
5
14
3
Por
lo
tanto,
s (t ) =
cos
t
+
3
3
Utilizar
la
regla
del
producto
para
hallar
la
derivada
2
= 5 sen t
[ 2(cos
t )(
sen t ) ] + cos
2
=
No
utilice
la
PREGUNTA
1
Una
su
t (5 cos t )
3
t
10 sen
Ejercitación
✗
cos t
+ 5 cos
t
14H
CPG
TIPO
par tícula
para
las
preguntas
a
3.
EXAMEN
se
mueve
desplazamiento
s
en
a
lo
largo
metros
de
desde
una
un
recta
origen
de
O
modo
está
tal
dado
que
por
t
s
512
y
la
regla
a ( t ) = v ′( t )
(t)
=
e
sen
t
para
un
tiempo
de
t
segundos.
Escriba
una
expresión
para
la
velocidad, v,
Escriba
una
expresión
para
la
aceleración, a,
Análisis
con
funciones
trigonométricas
en
función
en
de
función
t
de
t
de
la
velocidad
de
la
cadena
2
Una
la
par tícula
par tícula,
s (t)
=
1
–
se
en
2 sen
Calcule
la
Calcule
el
Calcule
el
mueve
metros,
t
para
a
de
largo
desde
un
velocidad
valor
lo
un
tiempo
para
0
desplazamiento
velocidad
es
t
<
una
recta.
origen O
de
cuando
t,
de
t
=
t
de
está
El
desplazamiento
dado
de
por
segundos.
0.
π,
<
la
en
el
que
par tícula
la
velocidad
desde O
es
cuando
cero.
la
cero.
–1
3
La
velocidad
v
m s
de
un
cuer po
que
se
mueve
a
lo
largo
de
una
recta
sen t
horizontal
Halle
0
≤
el
Halle
El
las
Un
un
tiempo
cuándo
la
la
cuándo
la
0
≤
función
preguntas
objeto
segundos
está
par tícula
t
≤
2π
a
del
aceleración
en
t
partícula
desplazamiento
s
de
está
en
dada
reposo
por
v (t)
durante
=
el
e
cos
t
inter valo
2π
≤
inter valo
para
4
t
Halle
En
en
4
a
6
se
comienza
s
es
de
en
4
hacia
la
función
metros.
izquierda
de
durante
t
Halle
una
expresión
t
permite
a
mueve
cuer po
inicial
de
se
el
moverse
uso
de
desde
la
un
CPG.
punto
jo O.
Su
velocidad
–1
v
m s
después
v (t)
=
Sea
d
4 sen
el
t
de
+
t
segundos
3cos t,
t
≥
desplazamiento
Escriba
Calcule
una
el
integral
valor
de
viene
dada
por
0.
desde
que
O
cuando
represente
t
=
4.
d
d
−1
5
Una
par tícula
se
mueve
con
una
velocidad v
m s
dada
por
2
t
v (t ) =
(t
donde
+1)sen
t
≥
0.
2
Halle
Una
la
la
aceleración
par tícula
aceleración
cuando
los
acelerando
Halle
todos
dirección
Halle
0
<
t
está
la
<
los
en
el
el
instante
acelerando
tienen
signos
o
en
el
son
mismo
instantes
distancia
total
en
0
la
signo
<
t
y
que
<
cuando
la
la
aminorando
Determine
marcha
los
segundos.
marcha
diferentes.
aminorando
inter valo
la
1,5
en
el
si
la
la
1,5
cambia
y
marcha
par tícula
instante
par tícula
velocidad
está
segundos.
de
4.
recorrida
por
la
par tícula
durante
el
tiempo
4.
−1
6
La
velocidad v m s
de
una
partícula
que
se
mueve
en
línea
recta
está
2sen t
dada
por v (t)
la
=
e
–
1; t
aceleración
es
de
el
la
tiempo
en
par tícula
segundos
en t
para
Halle
Dibuje aproximadamente un gráco de v(t) = e
Determine
0
≤ t ≤
12.
=1.
2sen t
el
valor
o
los
valores
de
t,
para
0
– 1 para 0 ≤ t ≤ 12.
≤
t
≤
12,
donde
la
–1
par tícula
En
el
instante
gráco
al
de
origen
Halle
la
tiene
la
en
una
t
=
velocidad
0,
la
velocidad
el
par tícula
para
inter valo
distancia
de
0
recorrida
≤
en
5
m s
está
explicar
t
≤
en
si
el
la
origen.
Utilice
par tícula
el
regresa
o
no
12.
los
12
segundos.
Capítulo
14
513
ero
rón
✗
1
Halle
la
derivada
de:
3
f
(x)
=
cos
(1
–
2x)
y
f
h
y
=
sen
2
f
f
g
2
(x ) =
(x)
Halle
=
la
t
s (t)
=
e
f
y
ln(tan
2
sen x
(ln
tan
x
x)(sen
x)
(x)
=
=
2
x
cos
sen
x
x
cos
=
x)
x
integral:
3
(
4 x
sen x
)
dx
cos (3 x )d x
sen (2t
⌠
2
x cos (2 x
)d x
2
sen
x
cos x
h
dx
Evalúe
la
integral
sen (ln x )
dx
⎮
⌡
+1)
x
dx
⎮
2
(2 + sen x )
⌡
3
( 2t
6 cos x
⌠
2
xe
⌠
f
dt
2
cos
⌡
g
+ 1)
⎮
sen ( 4 x +1)d x
denida:
π
π
3
sen x dx
(1
+
sen x) dx
π
0
3
π
π
3
2
2
(sen x
+
cos 2x) dx
5 sen
0
PREGUNTAS
4
Halle
y
=
x cos x d x
0
la
TIPO
EXAMEN
ecuación
cos (3x
–
6)
de
en
el
la
normal
punto
a
la
función
con
fórmula
(2, 1).
x
5
Halle
las
coordenadas
del
punto
en
el
gráco
de
y
= sen
,
2
1
0
≤
x
≤
π,
en
el
cual
la
tangente
es
paralela
a
la
recta
y
=
x +3
4
6
Una
función
y
=
f
(x)
pasa
por
el
punto
(0,2).
Su
función
f (x)
derivada
4
es
7
El
f
′(x)
=
x
gráco
–
sen
x.
Halle
representa
la
la
fórmula
función
f
de
(x)
=
la
p
función.
sen(x)
+
q,
p,
q
∈
2
N
Halle:
x
0
r
Los
valores
de
p
y
2
El
área
de
la
ero
1
Las
cur vas
denida
región
dadas
para
sombreada
rón
delimitan
hallar
el
área
una
de
región.
la
Utilice
una
integral
una
integral
región.
2
2
y
=
y
Las
2cos
=
denida
y
=
+
2 sen x
cur vas
región
x
se
e
y
dadas
para
rota
sen
cos
x
y
+
1,
x
360°
=
el
una
volumen
alrededor
eje
x
para
0
514
y
=
Análisis
e
con
,
x
=
0
funciones
y
x
x
=
2
y
=
región.
del
del
≤
cos x
0,
el
eje
x
0,5x
delimitan
hallar
el
x
=
r
3r
q
2π
trigonométricas
x
sólido
eje x
≤
π
Utilice
generado
cuando
la
2
2r
PREGUNTAS
3
El
área
TIPO
bajo
la
EXAMEN
cur va
y
=
cos
x
entre
x
=
0
y
x
=
k,
π
donde
0
<
k
,
<
es
de
0,942.
Halle
el
valor
de
k
2
cos
4
Sea
s(t)
=
(5t)
2e
–
4.
s ′(t).
Halle
Muestre
A
cos
s ″(t)
que
par tir
de
lo
=
(5t)
50 e
anterior,
2
(sen
verique
(5t)
que s
–
cos
tiene
(5t)).
un
mínimo
π
relativo
en
t
=
5
s
es
a
la
lo
función
largo
de
desplazamiento
una
recta,
donde
de
s
una
se
par tícula
mide
en
que
metros
se
y
t
mueve
en
segundos.
Halle
t
=
2
la
distancia
del
dr
Derivadas
f
f
(x)
(x)
recorrida
por
la
partícula
de t
=
0
a
segundos.
ResuMeN
●
total
=
=
del
sen
cos
x
x
capítulO
seno,
⇒
′( x )
f
⇒
fnon
el
′( x )
f
14
coseno
=
=
cos
y
la
rgonomér
tangente:
x
–sen
x
1
f
( x ) = tan x
⇒
f
′( x ) =
cos x
,
≠
0
2
cos
ingr
●
Integrales
sen xdx
cos xdx
del
=
no
seno
y
⎮
ono
coseno:
1
sen ( ax + b )d x
=
cos ( ax + b ) + C
a
1
⌠
cos ( ax
+ b )d x
=
sen ( ax
⌡
●
= sen x + C
⌡
⎮
el
y
cos x + C
⌠
●
x
+ b) + C
a
Cuando
las
el
rectas
área
x
=
a
delimitada
y
x
=
b
se
por
rota
la
cur va y
360°
=
f
(x),
alrededor
el
eje
x
y
del
b
2
eje
x,
el
volumen
del
sólido
generado
πy
es
dx
a
b
●
Si
y
≥
y
para
todo
x
en
a
≤
x
≤
b,
entonces
(y
2
–
y
) dx
es
el
2
a
área
entre
las
dos
cur vas.
Capítulo
14
515
t
or
del
d
conomno
En
onr
la
investigación
sobre
la
derivada
del
r
seno
se
representó
grácamente
la
d
derivada
de
sen
x,
lo
cual
condujo
a
conjeturar
que
(senx)
=
cosx.
Esto
dx
vericó
con
varios
valores
y
resultó
ser
verdadero
para
estos
valores.
d
■
¿Demuestra
lo
anterior
que
(sen x)
=
cos x?
dx
Siga
los
siguientes
pasos
para
hallar
la
derivada
del
seno
por
un
método
geométrico.
■
P
He
aso
aquí
Para
cada
paso,
¿está
usando
razonamiento
1
un
P
círculo
de
radio
unidad.
QOP
=
h
■
rad.
aso
A
inductivo
o
deductivo?
2
medida
sucede
que
con
h
la
se
acerca
longitud
a
del
cero
arco
¿qué
QP
en
S
Q
relación
con
la
longitud
del
segmento
QP?
S
P
Q
h
x
O
R
P
h
x
O
■
■
¿Cómo
sabe
que
A
de
anterior
,
par tir
π
–
lo
∆QOP
es
¿por
R
isósceles?
qué
OQP
es
igual
h
a
radianes?
2
■
¿Y
por
aso
el
arco
QP
es
igual
a
h?
3
P
■
qué
S
Q
π
¿Por
qué
SOQ
es
igual
a
–
h
–
x?
2
■
Halle
un
segmento
de
recta
paralelo
a
SO
π
■
A
par tir
de
lo
anterior
,
¿por
qué
OQA
también
es
igual
a
–
h
–
x?
2
A
P
h
■
Utilice
OQP
y
OQA
para
explicar
por
qué
AQP
=
+
x
h
2
x
O
516
Teoría
del
Conocimiento:
de
la
conjetura
a
la
prueba
R
se
■
aso
¿Por
4
aso
5
P
qué
QA
es
igual
a
sen(x
+
h)
–
sen
t
P
x?
d
Ahora
muestre
que
(sen x)
=
cos x.
dx
S
Q
(cos (x
+
h),
sen (x
+
h))
Justique
cada
uno
de
los
pasos:
h
+
d
x
2
sen (x
(sen x)
=
+
h)
–
sen x
lim
dx
h
h→ 0
QA
=
lim
h→0
P
A
(cos x,
arco
QP
sen x)
QA
=
lim
h
h→0
QP
x
h
=
lim
[cos
(
+
x)]
R
h→0
=
2
led
O
cos x
S
Q
"Todos
los
enunciados
matemáticos
h
+
x
2
pueden
expresarse
con
sen(x
palabras
sencillas.
Pero
mientras
que
+
h)
–
senx
al
A
hacerlo
llenaríamos
varias
páginas,
c
importantes
P
si
h
x
utilizamos
la
notación
matemática
O
podríamos
necesitar
tan
solo
un
■
Una
de
las
maneras
para
R
renglón.
lograr
¿Qué
tipo
de
razonamiento
utilizó
esta
d
para
reducción
notable
consiste
en
mostrar
para
expresar
Lancelot
Hogben
y
smoo
Los
conceptos
provienen
límites
a
de
■
¿Podría
análisis
la
Explique
su
respuesta.
Dé
otro
de
razonamiento.
un
ejemplo
del
tipo
d
¿Demuestra
esto
que
(sen x)
=
cos x?
dx
británico
investigación
del
Se
le
el
del
de
atribuye
John
Wallis
símbolo
haberse
sin
deductivo?
(1895–1975)
fundamentales
inglés
introducción
o
mmáo
innito.
matemático
cos x?
demás".
■
Cientíco
=
enunciados,
■
instrucciones
(sen x)
dx
emplear
¿Inductivo
símbolos
que
∞
los
al
la
para
innito.
desarrollado
uso
de
los
análisis
el
símbolos
matemáticos?
{
John
Wallis
(1616–1703)
Capítulo
14
517
Distribuciones
15
ObjetivOs
Concepto
5.7
valor
de
5.8
Distribución
5.9
Distribuciones
An
Qué
binomial;
la
números.
de
esta
su
z);
discreta
para
media
y
y
cur vas
propiedades
datos
y
sus
distribuciones
discretos;
de
probabilidad;
aplicaciones.
varianza.
normales;
de
la
estandarización
distribución
o
tipicación
de
la
normal.
comnzar
media
Por
E(X)
normales
necesitamos
Calcular
aleatoria
(media);
(valores
probabilidad
CAPÍtUlO:
variable
esperado
variable
1
del
de
saber
de
un
ejemplo:
distribución
de
Comprobemos
conjunto
Calcular
de
la
frecuencias
x
0
1
2
3
Frecuencia
3
6
9
2
1
Calcule
la
nuestras
media
media
frecuencias
de x:
a
de
de
estas
habilidades
distribuciones
de
x:
x
3
4
5
6
7
8
Frecuencia
3
5
7
9
6
2
10
12
15
17
20
3
10
15
9
2
x
f
∑
x
x
=
(0
×
3) + (1 ×
6 ) + (2
× 9 ) + (3 × 2 )
Frecuencia
=
∑
f
3 + 6 + 9 + 2
Repita
la
pregunta
usando
la
calculadora
30
=
= 1
,5
de
pantalla
gráca
(en
adelante,
CPG).
20
⎛ n ⎞
2
Usar
la
notación
⎜
2
⎟
r
⎝
Evalúe:
⎠
⎛ 8 ⎞
⎛ 6 ⎞
⎛ 9 ⎞
3
a
⎛ 5 ⎞
Por
ejemplo:
Evaluar
⎜
⎝
⎛ 5 ⎞
⎜
⎝
3
⎟
2
5
5!
=
Resolver
⎝
⎟
2
⎜
⎝
⎠
⎟
5
c
⎠
⎜
⎝
⎟
6
( 0, 3 )
6
( 0, 7 )
⎠
⎠
4
=
=
0
2
2 !3!
⎠
×
⎟
2
⎜
ecuaciones
3
Resuelva
las
siguientes
ecuaciones:
4
5, 5
Por
ejemplo:
Resolver
la
ecuación
x
= 3
=
a
3, 2
2, 5
=
x
x
1
,2
4
4
= 3
4
= 3x
x
=
9
x
3
x
= 1
,6
c
0, 2
518
Distribuciones
de
probabilidad
0, 4
Durante
inusual
el
la
copa
alcanzó
resultado
Paul
vivía
de
en
(Alemania)
de
par tidos.
2
se
par tidos
estanque
hizo
que
En
de
celebridad.
un
y
alimentarios
mundial
se
el
fútbol
Un
de
en
pulpo
4
el
de
que
200,
llamado
se
acuario
tanque
para
vivía
Paul
jugaron
predecir
donde
personaje
se
famoso
el
de
resultado
tanto
predecir
2008
y
200.
Oberhausen
por
colocaban
un
logró
entre
municipal
inter nacionalmente
usaron
un
sus
de
dos
hábitos
una
serie
cajas
que
¿Por
contenían
un
mejillón
cada
una
y
la
bandera
de
las
dos
qué
quieren
nacionales
que
se
enfrentaban.
La
elección
del
mejillón
que
primero
se
intepretaba
como
una
predicción
del
a
ganar
el
par tido.
Paul
acer tó
el
86%
de
las
país
este
capítulo
analizaremos
situaciones
como
la
probabilidad
de
un
suceso, si
se
puede
estas
y
futuro
de
Aunque...
los
par tidos
¡quizás
de
Paul
sí
fue
capaz
de
predecir
debiese
exclusivamente
predecir
los
cuando,
racionalmente,
cómo
el
futuro
al
parece
azar.
algo
un
veces.
predecir
determinar
que
(como
que
el
En
creer
alguien
pulpo)
iba
personas
se
o
comería
las
selecciones
ser
ilógico?
resultados
fútbol!
Capítulo
15
519
.
➔
vara
Una
del
Las
ara
aaora
es
aaora
una
cantidad
cuyo
valor
depende
azar.
variables
aleatorias
se
representan
con
letras
mayúsculas.
Una
He
aquí
unos
ejemplos
de
variables
no
X
=
El
tres
número
de
veces
que
sale
variable
un
seis
cuando
se
arroja
el
dado
necesariamente
debe
tomar
valores
veces
=
El
número
de
bebés
en
un
=
La
masa
de
un
paquete
de
papas
=
El
tiempo
empleado
por
un
corredor
para
completar
variables
vara
contable
dentro
aaora
de
vara
aleatorias
valores
cra:
(por
aaora
de
un
cier to
pueden
ser
dos
pueden
ejemplo,
connua:
inter valo
de
X
y
B
número
nito
tomar
ejemplo, M
y
T
valores
5;
5,5;
Deberá
cualquier
variable
aleatoria
discreta X,
el
un
seis
al
arrojar
un
dado
tres
veces.
representar
“la
probabilidad
de
que
número
Podemos
el
usarse
un
seis
sea
La
primera
un
estadístico
registros
tabla
derecha,
Por
atrás,
La
en
da
40,
de
los
pero
parecen
números
aleatorias
Una
de
veces
designar
escribir
número
de
P(X
=
520
antes
veces
15.°
Para
usar
y
la
en
la
,
“al
2
esta
minúsculas
los
una
lista,
quinta
de
y
Distribuciones
una
la
y
las
calculadoras
aleatorios.
son
En
de
puede
variable.
73735
45963
78134
63873
02965
58303
90708
20025
98859
23851
27965
62394
33666
62570
64775
78428
81666
26440
20422
05720
15838
47174
76866
14330
89793
34378
08730
56522
78155
22466
81978
57323
16381
66207
11698
99314
75002
80827
53867
37797
99982
27601
62686
44711
84543
87442
50033
14021
77757
54043
46176
42391
80871
32792
87989
72248
30500
28220
12444
71840
de
Smith
máquina
se
debe
(arriba,
abajo,
números.
la,
pueden
realidad,
generados
por
probabilidad
lista
que
la
yendo
hacia
...
que
valores
3.
Babington
dirección
los
y
y
que
Tippett,
azar”
usando
seleccionar
número
0,
Leonard
Bernard
dígitos
dígitos
de
y
una
x)
se
una
emplearse
trata
fórmula
de
hoy
números
matemática,
de
variables
discretas
es
aleatoria
humano.
por
números
Kendall
de
valores
publicada
tomó
100 000
número
el
los
a
aleatoria
que
aleatorios.
r ucón
discreta
en
62,
puesto
de
etc.)
números
Distribuciones
➔
44,
ser
el
computadores
generar
pseudoaleatorios,
un
fue
Tippett
Maurice
conjunto
por
tomar
aleatorios
diagonal,
20,
puede
1939,
comenzando
22,
para
un
x
1927.
par tida,
izquierda,
mayoría
día
de
en
Hacia
operada
punto
ejemplo,
valores
publicar
especializada
el
de
donde
británico,
censales.
consiguieron
decidir
x”,
una
para
tomar
sale
6,5; …).
anteriores).
reales
para
…4;
valor
para
sale
6;
mayúscula
letras
la
pueden
de
letra
variable
Tomemos
grupo
o
anteriores).
pueden
(por
un
de
un
estudiantes
4,5;
tipos:
tener
de
00 m
tomar
Las
ejemplo,
tamaños
zapatos
fritas
de
T
(por
embarazo
los
M
solo
positivos
enteros
B
discreta
aleatorias:
proa a
de
todos
probabilidad
probabilidad
los
de
de
una
valores
que
variable
posibles
ocurra
cada
aleatoria
de
la
valor.
variable
empo
Sea
un
X
sea
dado
la
variable
tres
veces.
aleatoria
Tabule
la
que
representa
distribución
de
el
número
de
probabilidad
veces
de
que
sale
un
seis
cuando
se
arroja
X.
Respuesta
X
puede
tomar
los
valores
0,
1,
2
y
3.
Usar
un
diagrama
de
1
1
6
seis
p(3
seises)
=
1
seis
6
no
p(2
5
seises)
6
1
seis
6
no
5
6
6
1
1
5
×
×
1
árbol
=
hallar
los
216
5
valores
de
=
6
6
6
216
1
5
1
5
p(2
seises)
×
=
6
×
6
=
6
P
(X
=
0),
P
(X
=
2)
P
(X
=
3)
P
(X
=
1),
1
no
5
p(1
seis)
=
seis
5
×
6
5
×
6
y
216
seis
6
para
1
seis
6
1
×
6
=
seis
1
×
25
=
6
216
6
1
5
seis
p(2
seises)
1
×
=
1
×
5
=
6
6
6
6
216
1
seis
p(1
5
seis)
=
seis
no
1
5
no
6
5
5
×
×
6
6
25
=
6
216
6 1
6
seis
5
seis
6
p(1
seis)
=
no
5
×
6
5
1
×
6
25
=
6
216
seis
5
no
6
p(0
5
seises)
=
seis
5
×
6
5
×
6
125
=
6
216
6
x
0
P(X
Vemos
=
1
2
Escribir
3
las
probabilidades
125
25
5
1
216
72
72
216
en
una
x)
que,
en
125
el
ejemplo,
5
25
+
la
tabla
suma
de
las
probabilidades
es:
1
+
+
=
Algunas
veces
P (X
se
=
x)
reemplaza
simplemente
216
72
72
por
P (x)
216
o
P
:
los
signicados
x
son
➔
Para
0
≤
cualquier
P(X
=
x)
≤
variable
aleatoria
∑
P( X
=
análogos.
X
x )
=
1
0
≤
P(X
=
signica
empo
x)
≤
que
probabilidad
debe
La
variable
aleatoria
X
tiene
la
siguiente
distribución
de
1
2
3
4
estar
a
x)
Halle
7c
el
5c
valor
de
4c
0
y
1.
P( X
=
x)
=
1
5
signica
=
siempre
entre
probabilidad:
∑
x
P (X
1
una
3c
c.
c
de
Halle
P
(X
≥
las
la
suma
probabilidades
siempre
4).
que
será
1.
Respuestas
a
7c
+
20c
5c
=
+
4c
+
3c
+
c
=
1
Usar
∑
x )
= 1
en
solución
de
c
muchas
preguntas
examen
par ten
de
=
20
=
La
Resolver
1
c
P (X
1
P (X
≥ 4)
=
P (X
3
=
=
4)
1
+
20
+
P (X
4
=
5)
hecho
de
de
probabilidades
las
que
la
suma
=
=
20
1
del
20
5
debe
ser
siempre
Capítulo
1.
15
521
Ejercitación
1
Decida
A es
a
me
B
2
3
si
c
C
D
15A
cada
“la
edad
llame
es
es
“la
“la
es
Tabule
por
en
de
la
de
gatos
diámetro
de
distribución
suma
de
continua
completos
longitud
La
El número
de
c
El
número
más
El
producto
dado
años
es
de
la
o
discreta:
próxima
persona
que
teléfono”.
a
Un
aleatoria
cantidad
“el
la
variable
las
las
de
caras
veces
de
próxima
cuando
que
se
(no
en
se
o
la
de
igual
se
de
dos
seis
ver
un
en
el
gato
variable
dados
mercado”.
blanco”.
se
lanzan
dos
caras
aleatoria:
normales
cuando
lanzan
seis
compre
cafetería”.
cuando
cuando
cargado)
un
de
cada
lanzan
obtiene
que
antes
probabilidad
caras
equilibrado
banana
veré
rosquillas
pequeño
las
que
se
lanzan
dos
dados
tiene
un
dos
dados
dados
normales
normales
“1”
en
una
Un
cara,
un
“2”
en
dos
de
sus
caras
y
un
“3”
en
las
otras
tres
dado
se
lanza
dos
veces.
T
es
la
variable
aleatoria
“valor
un
dado
misma
distribución
de
probabilidad
de
La
tiene
caer
sobre
T
cualquiera
que
probabilidad
Halle:
de
La
a
equilibrado
total
la
lanzado”.
dado
caras.
es
El
normales
probabilidad
de
que
el
resultado
total
sea
mayor
que
de
sus
4
caras.
4
Un
juego
adelante
Se
arroja
número
Si
el
el
de
mesa
por
un
es
se
jugada,
dado
par,
número
S
es
juega
moviendo
siguiendo
equilibrado
es
la
mitad
impar,
S
es
esta
de
de
dos
seis
ese
un
contador S
lugares
hacia
regla:
caras
una
vez.
Si
el
número.
veces
el
número
que
muestra
dado.
Escriba
a
una
tabla
que
muestre
los
posibles
valores
de S
y
sus
probabilidades.
¿Cuál
se
5
La
es
variable
x
P(X
la
mueva
=
probabilidad
más
de
dos
aleatoria
1
2
1
1
3
3
x)
X
3
4
c
c
de
que
en
una
sola
jugada
el
contador
espacios?
tiene
la
siguiente
distribución
de
probabilidad:
En
a
Halle
el
valor
de
Halle
P(1
<
X
<
pregunta
=
y)
se
función
tipo
=
cy
conoce
La
como
de
examen
probabilidad
6
.
4).
Esto
Pregunta
6,
3
P(Y
la
c.
distribución
de
probabilidad
de
una
variable
aleatoria Y
de
Y.
viene
Podemos
usarla
para
3
dada
por
P(Y
=
y)
=
cy
para
y
=
1,
2,
3.
hallar
Sabiendo
que
c
es
una
constante,
halle
el
valor
de
la
probabilidad
c
de
los
distintos
valores
de
aleatoria
522
Distribuciones
de
probabilidad
Y
la
variable
Preguntas
7
La
tipo
variable
examen
aleatoria
X
tiene
la
siguiente
distribución
la
distribución
de
probabilidad:
x
−1
0
1
2
P(X
=
Halle
8
La
x)
el
2k
4k
valor
variable
de
2
2
6k
k
k.
aleatoria
X
x
tiene
de
probabilidad
dada
1
⎛ 1 ⎞
por
P (X
=
x )
=
k
⎜
para
⎟
x
=
1,
2,
3,
4,
y
k
es
una
constante.
⎝ 3 ⎠
Halle
9
La
0,
el
valor
variable
1,
2,
3,
exacto
aleatoria
4,
5.
La
discreta X
distribución
puede
de
tomar
0)
=
P (X
=
)
=
P(X
=
2)
=
a
P (X
=
3)
=
P (X
=
4)
=
P(X
=
5)
=
b
P (X
≥
2)
=
3P (X
a
y
b
son
los
Determine
la
variables
las
P (A
=
=
de
esta
aleatorias
dada
por
a
y
b
de
que
la
distribución
discretas
A
y
B
suma
sea
son
de
dos
superior
obser vaciones
a
7.
independientes
y
distribuciones:
1
2
3
1
1
1
3
3
3
1
2
3
1
2
1
6
3
6
a)
B
P (B
de
probabilidad
siguientes
A
viene
valores
2)
valores
independientes
tienen
de X
los
constantes.
Determine
Las
<
solamente
probabilidad
=
a
La
k.
P (X
donde
10
de
b)
variable
aleatoria
obser vación
de
C
es
la
suma
de
una
obser vación
de
A
y
una
B
5
Muestre
a
que
P(C
= 3)
=
18
Tabule
la
Esperanza
El
aor
distribución
de
probabilidad
de C
matemática
mo
o
prao
de
una
La
variable
aleatoria
X
es
el
valor
esperanza
matemática
verdad
promedio
que
deberíamos
esperar
para X
cuando
se
repeticiones
del
valor
medio
o
distribución
esperado
de
una
variable
aleatoria X
se
de
(la
en
población
representa
original).
con
en
experimento.
cuestión
El
es
media
realizan
la
muchas
la
Se
denota
a
E (X ).
menudo
con
μ
Capítulo
15
523
ingacón:
Se
lanzan
simultáneamente
diferencia,
Copie
1
resultados
D,
y
entre
los
complete
dados
resultados
la
0
d
dos
de
distribución
1
2
de
se
los
de
3
y
los
dados
anota
la
dados.
probabilidad
4
de
D
5
10
P(D
=
d )
36
Se
2
repite
el
siguiente
espera
experimento
tabla
para
obtener
cada
uno
0
d
36
veces.
mostrar
de
1
la
Copie
y
frecuencia
los
diferentes
2
3
complete
con
la
que
valores
4
la
se
de
d
5
Puede
Frcunca
dibujar
resultar
un
útil
diagrama
10
praa
del
espacio
como
3
Calcule
4
El
la
media
de
esta
distribución
de
los
frecuencias.
capítulo
experimento
preguntas
2
y
original
3
para
se
esta
0
d
¿Qué
¿Cuál
10
Se
hallar
la
la
➔
que
valor
empo
Esta
es
la
=
X
es
1000
media
o
valor
cada
∑
x
si
2
se
3
repitiera
veces?
sea
la
¿O
4
de
d
de
por
experimento
P( X
de
=
una
el
solo
misma
esperado
valor
del
esperado
5
su
una
en
la
experimento
vez?
cada
caso.
variable
variable
una
lo
tanto,
aleatoria D
respectiva
solo
Por
simplemente
probabilidad
vez),
y
aleatoria X
podemos
sumando
(el
equivalente
estos
productos.
es
x )
distribución
probabilidad
¿Cuál
media
¿O
la
media
E (X )
de
la
realización
El
el
del
valor
de
ejemplo
x
0
1
2
3
1:
P (X
esperado
=
125
25
5
1
216
72
72
216
x)
?
Respuesta
Usando
la
fórmula:
Usar
125
⎛
E( X )
=
0
⎞
+
216
⎝
1
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛
+
2
⎞
×
⎝
72
=
∑
x
P (X
=
x )
⎟
72
⎠
1
⎛
3
+
⎜
(X )
×
Por
5
E
25 ⎞
⎛
×
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
lo
tanto,
si
repetimos
muchas
⎞
×
⎟
216
veces
el
dado
tres
experimento
de
ar rojar
un
⎠
veces,
podemos
esperar
que
1
E( X ) =
el
número
medio
de
veces
que
sale
un
2
seis
sea
{
524
3.
las
9
sería
multiplicando
de
Repita
obser va?
veces?
espera
veces.
situación:
1
praa
6
100
250
Frcunca
5
repite
Distribuciones
de
probabilidad
0,5.
Continúa
en
la
página
siguiente.
muestral,
del
Usando
una
CPG:
Ingresar
que
los
la
toma
lista
X
en
Ahora
usar
cuando
Usar
X1)
X
y
List”
p
en
Ejercitación
Al
lanzar
aleatoria
muestra
Pregunta
2
La
en
de
las
p
Statistics
variable)
la
media
opción
opción
de
el
ser
x)
de
como
de
un
datos
la
que
valores
=
una
valores
conjunto
“X1
List”
(lista
“Frequenc y
valor
uno
de
y
esperado
los
de
valores
X
que
un
dado
dado.
tipo
variable
la
variable
X.
no
las
5.2
hay
más
sobre
los
secciones
del
5.1
capítulo
17
orientación
cómo
datos
ingresar
en
la
CPG.
15B
denida
el
tomar
En
frecuencias)
0,5
puede
1
de
la
en
necesita
=
de
(lista
Vemos
P(X
hallamos
conjunto
x
posibles
el
One-Var
(estadísticas
=
y
cor respondientes
probabilidades
E(X )
de
x
normal
por
X
¿Cuál
=
es
de
el
la
seis
caras,
cuadrado
esperanza
sea X
del
la
variable
resultado
matemática
que
de X
?
examen
aleatoria
Z
tiene
la
siguiente
distribución
de
probabilidad:
z
P (Z
=
2
3
5
1
1
1
6
6
6
z)
7
11
x
y
2
y
E( Z )
= 5
3
Halle
3
Un
x
e
y
“dado
marcadas
Finobacci”
con
puntuación
4
Una
los
esperada
variable
es
equilibrado,
números
1,
cuando
aleatoria
X
2,
se
tiene
3,
5,
lanza
la
y
8,
tiene
13.
el
seis
¿Cuál
caras
es
la
dado?
siguiente
distribución
de
probabilidad:
x
para
P( x ) =
x
=
1,
2,
3,
…,
8
36
Halle
E(X ).
Capítulo
15
525
Preguntas
5
Para
una
tipo
examen
variable
probabilidad
aleatoria
viene
dada
⎧ kx
⎪
P( X
=
x )
=
discreta
X,
la
distribución
de
por:
x
= 1
,
x
=
2,
3,
4,
5
⎨
⎪k (10 −
⎩
x )
6,
7,
8,
9
Halle:
6
a
El
valor
a
Copie
de
de
y
la
complete,
probabilidad
x
P (X
=
¿Qué
c
Halle
X
es
una
valores
x)
a
≤
la
8
Hay
2
P(X
diez
tamaño
azules.
no
se
de
k
y
≤
4.
es
=
bolas
pero
Se
b
la
puede
Se
la
siguiente
aleatoria
∈
sabe
tomar
distribución
discreta, X:
k
?
Dé
su
respuesta
en
la
Q.
distribución,
aleatoria
discreta
que
P(X
=
en
que
2)
función
solo
=
0,3
y
de k
puede
que
tomar
la
los
media
de
la
2,8.
en
dos
una
de
escogen
escoger
Enumere
a,
de
de k,
variable
3
valores
b,
E(X )
).
reponen.
hasta
a
1−k
media
distribución
Halle
0,2
k
función
una
2
variable
1,
en
de
1
rango
forma
7
constante
bolsa.
ellas
bolas
Sea
R
el
Todas
son
de
rojas
la
son
y
bolsa,
número
de
la
primera
roja
los
posibles
valores
de
idéntico
el
resto
son
al
azar,
y
bolas
extraídas
(incluida).
de
R
y
sus
probabilidades.
9
Calcule
c
¿Cuál
Hay
Las
a
es
diez
valor
el
bola
medio
valor
bolas
bolas
cada
el
en
más
la
vuelven
se
repone
que
la
a
R
probable
bolsa,
se
Muestre
de
como
elegir
antes
de
al
de
en
azar,
extraer
probabilidad
de
R
la
?
pregunta
pero
la
esta
8.
vez
siguiente.
extraer
la
primera
bola
roja
4
en
el
segundo
experimento
es
25
Calcule
tercer
c
la
Deduzca
526
¿Cuál
de
extraer
la
primera
bola
roja
en
el
experimento.
primera
probabilidad
es
una
bola
el
Distribuciones
fórmula
roja
valor
de
en
para
el
más
hallar
probabilidad
experimento n
probable
probabilidad
la
de
R ?
de
extraer
la
Pregunta
10
Se
tipo
compra
Los
un
posibles
variable
billete.
examen
billete
premios
aleatoria
Z
tiene
z
la
=
z)
0,001
0,0001
¿Cuánto
=
espera
o
ganar
bien
“verdadero”
El
2
En
3
El
4
Le
tomó
5
La
selacofobia
Para
de
➔
de
Es
1
de
mire
las
los
días
el
obtener
o
con
el
signicado.
en
promedio
por
billete?
binomial
preguntas
“falso”.
que
tenga
jugó
el
al
¿Cuántas
haber
se
de
por
miedo
respuestas
test
creado
cuyas
Escriba
que
Da
la
respuestas
respuesta
adivinar
a
los
la
a
respuesta
nal
de
vez
mueven
en
pintar
300 000
veces
al
día.
Mona
Lisa.
Italia.
los
labios
libro
para
encontrar
correctamente?
tener
de
la
de
respuestas
correctas
una
las
¿Logró
correctamente
3
respuestas
esenciales
mujer
.
se
relámpagos.
contestado
3
una
ojos
V inci
contestó
necesita
elementos
por
los
primera
Leonardo
exactamente
tres
ganada
la
binomial
cinco
bien
fue
se
a
es
esperaría
pasar
Sea Z
$2.
noma
músculos
bolos
10
preguntas.
Los
perder
test
posible
antibalas
promedio,
juego
$000.
de
ellas.
chaleco
¿Cuántas
el
presentamos
alguna
cinco
o
su
distribución
de
Ahora
inter prete
rucón
pregunta.
valor
0).
e
ingacón:
cada
cantidad
un
distribución:
0,05
c
continuación
y
0,2
E(Z )
de
la
$200
1000
Determine
son
representa
$20,
200
Denición
$2,
por
20
P(Z
A
$0,
instantánea
2
Determine
la
son
que
a
.
lotería
siguiente
0
P (Z
de
si
hubiera
correctas
de
respuestas
un
de
buen
correctas
adivinado
5.
a
estas
resultado?
cada
la
respuesta?
¿Cuál
es
probabilidad
el
anterior
5?
distribución
●
En
test
hay
5
experimentos.
binomial
son:
●
●
Hay
●
Cada
un
número
jo
de
Aquí
el
éxito
consiste
correctamente
experimento
tiene
solo
dos
posibles:
“éxito”
o
probabilidad
experimento
en
de
éxito
( p)
es
constante
Los
el
fracaso
en
En
este
es
de
caso,
la
probabilidad
de
éxito
de
0,5,
suponiendo
que
se
obtuvo
experimento.
cada
●
y
incorrectamente.
“fracaso”.
●
La
responder
resultados
responder
●
en
experimentos, n
experimentos
son
independientes
entre
respuesta
por
tanteo.
sí.
●
Si
respondemos
una
pregunta,
que
tendremos
probabilidad
correctamente
eso
de
correctamente
no
mayor
signica
o
menor
responder
la
próxima
pregunta.
Capítulo
15
527
Los
resultados
de
probabilidades
un
de
xprmno
estos
resultados
y
noma
se
las
correspondientes
denominan r ucón
noma
La
r ucón
variable
discreta
Los
son
X,
valores
probabilidad
representa
Ahora
dadas
parámetros
los
3:
caras
tres
en
que
de
de
con
examinemos
capítulo
describe
noma
n
las
(el
~
determinar
una
número
Una
B(n,
este
distribución
de
una
binomial
experimentos)
y
binomial
p
única
(la
se
p).
que
probabilidad
lanzamientos
de
anteriores.
distribución
problema,
la
compor tamiento
condiciones
denen
éxito).
X
el
de
una
vimos
de
por
obtener
moneda
primera
vez
exactamente
cargada,
para
la
en
el
dos
cual
2
P(cara)
=
3
El
siguiente
diagrama
de
árbol
nos
puede
ser vir
para
responder
la
pregunta.
2
3
C
CCC
X
CCX
C
CXC
X
CXX
C
XCC
X
XCX
C
XXC
X
XXX
2
C
3
1
3
C
2
2
3
1
3
X
3
1
3
2
3
2
C
3
1
1
3
X
3
2
3
1
X
3
1
3
P
(dos
caras
en
tres
lanzamientos)
=
P(CCX)
+
P(CXC)
A
+
menudo
teórica,
Las
tres
probabilidades
son
usamos
una
distribución
P(XCC)
como
la
binomial,
para
iguales.
describir
una
variable
aleatoria
que
2
P(CCX)
=
P(CXC)
=
P(XCC)
=
⎛ 2 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎜
⎜
ocurre
4
en
⎝
P(dos
caras
en
tres
vida
real.
Este
proceso
se
3
⎠
⎝
⎟
3
⎠
denomina
27
realizar
Entonces,
la
=
⎟
modelización
cálculos.
Si
la
y
nos
permite
distribución
lanzamientos)
teórica
coincide
exactamente
con
la
de
2
⎛ 2 ⎞
=
3
si
embargo,
el
número
¿Qué
ocurre
si
exactamente
moneda?
El
solo
de
12
3
⎟
⎜
⎠
⎝
se
nos
⎠
debe
piden
caras
diagrama
la
=
variable
27
528
grande,
Distribuciones
de
la
vida
real,
el
modelo
en
de
9
es
utilizar
n,
hallar
seis
un
es
la
diagrama
árbol
pequeño.
para
esta
de
de
obtener
esta
pregunta
sería
perfecto.
general
el
probabilidad
lanzamientos
árbol
de
entonces
probabilidad
buscaremos
una
fórmula.
no
no
explicación
situación
Sin
es
resultado
modelo
esto
demasiado
de
⎟
3
experimentos,
dos
4
=
⎜
⎝
Sin
⎛ 1 ⎞
el
de
embargo,
caso.
cálculos
dará
la
utilidad?
por
basados
necesariamente
completa
en
este
vida
y
lo
Generalmente,
exacta
real.
¿Les
de
en
el
una
una
quita
Hay
que
comenzar
por
constatar
que
se
reúnen
las
condiciones
de
una
distribución
binomial:
●
Hay
un
número
jo
(n)
de
En
este
caso
hay
seis
experimentos.
experimentos.
●
Cada
experimento
posibles:
●
La
“éxito”
probabilidad
tiene
o
dos
resultados
Un
“fracaso”.
de
éxito
( p)
es
de
experimento
es
obtener
obtener
cara
y
un
fracaso
ceca.
2
es
La
constante
éxito
probabilidad
de
éxito
cada
es
3
en
vez
que
se
lanza
la
moneda.
experimento.
●
Los
experimentos
entre
son
independientes
Obtener
sí.
afectará
cara
el
en
un
experimento
resultado
del
no
próximo
experimento.
Una
combinación
de
C
y
X
que
producirá
2
caras
y
4
cecas
El
es
error
más
común
CCXXXX.
cuando
2
⎛
2 ⎞
=
(=
=
⎜
⎝
3
⎟
⎜
⎠
⎝
posible
probabilidad
0, 00548 ...)
⎟
3
729
⎠
binomial
en
Cada
calcula
4
una
P(CCXXXX)
se
4
⎛ 1 ⎞
combinación
de
2
C
y
4
X
tendrá
la
es
cuenta
no
que
tener
si
hay
misma
exactamente
r
éxitos,
probabilidad.
deberá
¿Pero
cuántas
combinaciones
hay?
n
–
r
haber
también
fracasos.
⎛ n ⎞
⎜
⎟
representa
el
número
de
maneras
de
elegir r
objetos
de
un
total
En
⎝
r
el
capítulo
6
se
⎠
puede
de
n
encontrar
información
El
número
de
combinaciones
⎛ 6 ⎞
es,
más
objetos.
por
lo
tanto,
⎜
⎝
⎟
2
de
6
objetos
que
tienen
2
C
y
4
el
X
⎠
⎜
⎝
⎟
4
del
binomio.
⎛ 6 ⎞
=
sobre
desarrollo
= 15
⎠
⎛ 6 ⎞
Podemos
usar
la
CPG
para
calcular
⎜
⎝
⎟
2
⎠
⎛ 6 ⎞
Como
alter nativa,
se
podría
usar
la
fórmula
⎜
⎝
⎟
2
6!
6 × 5
=
=
=
2! 4 !
15
2
⎠
o
el
tercer
Por
lo
elemento
en
la
sexta
la
del
triángulo
(2
Pascal:
tanto,
2
P
de
caras
en
6
lanzamientos)
=
⎛ 6 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎝
2
2
4
⎞
⎛ 1 ⎞
⎟
⎜
⎠
⎝
4
= 15
3
20
=
×
=
0, 0823
(3 cs )
⎟
3
⎠
729
243
Capítulo
15
529
La
generalización
distribución
➔
Si
X
de
este
método
lleva
a
la
función
de
la
normal.
sigue
una
probabilidad
distribución
de
obtener
r
independientes,
cuando
p
experimento,
=
éxitos
es
la
en
n
X
~
B(n,
p),
entonces
la
experimentos
probabilidad
de
éxito
en
cada
es
⎛ n ⎞
P( X
binomial,
r )
n
r
=
p
⎜
(1
⎟
−
p
r
)
r
que
a
menudo
se
abrevia
⎛ n ⎞
P( X
=
r )
sigue
r
q
donde
⎟
r
⎝
X
n
p
⎜
empo
r
=
q
=
–
p
⎠
una
distribución
binomial,
con
6
experimentos
y
una
1
probabilidad
de
éxito
igual
a
en
cada
intento.
¿Cuál
es
la
5
probabilidad
de
obtener
a
Exactamente
cuatro
c
Tres
menos
éxitos
o
los
siguientes
resultados?
éxitos
Al
menos
un
éxito
Rpua
A
mano:
Podemos
4
a
P( X
=
4)
=
⎛ 6 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
4
5
1
= 15
×
reescribir
2
4
⎞
Si
X
~
B
,
⎟
5
⎝
la
pregunta
como:
⎞
6,
⎜
⎟
5
1
⎛
halle
el
valor
de:
⎠
⎠
a
P (X
=
4 )
b
P (X
≥
1)
c
P (X
≤
3)
16
×
625
25
48
⎛ n ⎞
r
=
Usar
P(X
=
r)
=
⎜
3125
⎝
p
⎟
r
n
–
r
q
⎠
= 0, 01536
= 0, 0154 (3
cs)
6
⎛
4
Para
P(X
≥
1)
es
más
directo
calcular
⎞
1
⎜
⎝
⎟
5
1
−
P(X
=
0)
que
calcular
⎠
P(X
=
1)
+
P(X
=
2)
+
...
+
P(X
=
6).
4096
= 1
15 625
11 529
=
15 625
=
c
0,738 (3
P (X
≤
3)
=
cs)
Es
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) +
P(X
P(X = 2) + P(X = 3)
lo
la
(Véase
{
Distribuciones
<
r)
confundir
y
P(X
≤
r).
Por
0,983
Usar
530
fácil
de
probabilidad
CPG
la
para
siguiente
Continúa
este
cálculo
explicación.)
en
la
página
siguiente.
tanto,
leer
las
debemos
preguntas
cuidado.
con
Usando
la
CPG:
a
c
Ejercitación
1
X
sigue
15C
una
distribución
binomial,
con
4
experimentos
y
una
1
probabilidad
de
éxito
igual
a
en
cada
experimento.
2
Sin
calculadora,
a
P(X
=
1)
P(X
<
1)
c
P(X
≤
1)
P(X
≥
1)
1 ⎞
⎛
2
determine:
Si
X
~ B
halle,
6,
⎜
con
una
aproximación
de
tres
cifras
⎟
3
⎝
En
⎠
c
y
la
pregunta
2
,
utilizaremos
signicativas:
nomCf
a
P(X
=
2)
P(X
<
2)
c
P(X
≤
2)
P(X
≥
2)
binomial)
de
Si
X
sigue
una
distribución
binomial,
con
8
experimentos
y
en
lugar
nomPf
binomial)
3
(dpA
en
(dpP
la
una
calculadora,
porque
2
estamos
probabilidad
de
éxito
igual
a
en
cada
intento,
determine
calculando
la
7
una
probabilidad
de
obtener
los
siguientes
probabilidad
resultados:
acumulada.
a
Exactamente
c
Más
de
5
5
éxitos
éxitos
Menos
Al
de
menos
5
éxitos
un
éxito
Capítulo
15
531
empo
La
probabilidad
mañana
cinco
es
días
0,4.
lo
de
que
¿Cuál
use
use
es
solo
la
dos
el
autobús
para
probabilidad
de
ir
al
que
trabajo
en
la
cualquier
semana
laboral
de
veces?
Rpua
A
mano:
Sea
X
el
número
el
autobús.
X
~
B(5,
de
días
que
¿Podemos
uso
situación
ver
por
qué
es
una
binomial?
0,4)
⎛ 5 ⎞
2
P( X
=
2)
=
⎜
⎝
⎟
2
= 10
( 0, 4 )
3
( 0, 6 )
Necesitamos
P(X
=
2).
⎠
×
0 ,16
×
=
0 ,3456
=
0, 346 (3 cs )
0 ,216
Usando
CPG :
la
Véase
en
empo
Se
sabe
que
lo
de
que,
de
ambos
al
suministrar
se
10
curan.
En
pacientes.
gr upos
se
el
cierto
medicamento,
ensayo
¿Cuál
es
la
se
el
administró
probabilidad
80%
el
de
las
personas
medicamento
de
que
los
10
a
dos
pacientes
sigue
“el
curados
y
número
en
un
de
gr upo
pacientes
Multiplicar
de
P(X
10”.
=
10)
las
y
probabilidades
P(X
=
una
binomial
hay
curen?
Respuesta
X
capítulo
Suponemos
un
Sea
sección
5.12
17.
usan
gr upos
el
la
dos
un
10)
que
X
distribución
dado
que
resultados:
éxito
es
“se
fracaso
cura”.
que
cura”
“no
se
Suponemos
los
resultados
de
10
P(X
=
10)
=
0,8
=
0,10737…
2
[P(X
=
10)]
porque
los
dos
sucesos
(que
los
los
experimentos
de
2
=
(0,10737…)
=
0,0115
(3 cs )
pacientes
de
cada
independientes.
los
dos
grupos
probabilidad
Por
de
de
grupo
10
que
lo
se
curen)
tanto,
para
pacientes,
todos
se
son
son
la
curen
paciente
entre
es
en
paciente
independientes
sí.
La
probabilidad
de
éxito
2
[P(X
532
Distribuciones
de
probabilidad
=
10)]
.
es
ja
e
igual
a
0,8.
Ejercitación
1
Un
15
tetraedro
cuatro
más
veces
regular
y
probable
probabilidad
2
La
con
Halle la
de
de
el
arco
veces
que
de
es
El
tirador a
El
tirador no a
La
tipo
fábrica
cuatro
a
Ninguna
c
Al
La
tiene
es
de
de
es
probabilidad
a
La
mitad
Al
menos
la
que
ocurra
dé
lo
cinco
diana
una
cara
inferior.
terminará
roja.
¿Cuál
hacia
Se
es
el
abajo?
lo
lanza
número
¿Cuál
es
la
en
la
diana
cuando
al
siguiente
en
ocho
intentos:
veces.
menos
máquinas
Determine
serán
de
cinco
veces.
de
la
máquina,
producen
las
el
máquinas
probabilidad
ocurra
lo
tipo
produzca
de
que,
en
de
una
una
pieza.
pieza
muestra
siguiente:
Exactamente
mismo
13
no
serán
defectuosas.
defectuosas.
que
Si
que
cualquiera
cada
0,25.
de
cara
y
valor?
defectuosa.
dos
de
la
roja
tirador
que
cuatro
0,01.
será
de
cara
este
diana
en
de
probabilidad
ocupada
de
blancas
0,55.
de
la
de
piezas
menos
color
la
un
caras
examen
probabilidad
defectuosa
el
que
que
en
tres
ocurra
de
a
Una
tiene
registra
posibilidad
Preguntas
4
se
probabilidad
tira
3
D
una
la
línea
central
telefónica
de
esa
de
una
compañía
compañía
tiene
10
esté
líneas,
halle
la
que:
las
tres
líneas
líneas
estén
estén
ocupadas.
libres
(con
una
aproximación
de
4
cifras
signicativas).
5
La
de
6
probabilidad
0,4.
Calcule
acueste
a
En
sala
a
una
¿Cuál
uno
7
En
la
que
de
la
5%
se
probabilidad
como
examen,
se
acueste
de
máximo
sabe
probabilidad
que
tres
que
de
que,
de
que
de
a
las
7:30
cinco
un
días
día
determinado
consecutivos
ella
es
se
días.
el
en
15%
una
de
los
la
de
escritorios
seis
se
tambalean.
escritorios,
más
de
en
Al
en
masa
paquetes
al
de
uno
se
tambalee,
en
una
azar
dos
seleccionan
Ningún
Al
al
un
Ninguno
dos
Los
de
procesadores
paquete.
azar
Halle
defectuosos
procesadores
dos
procesador
menos
procesadores
computadores
se
seleccionan
se
al
encontró
azar
y
se
15.
procesadores
menos
de
defectuosos.
selecciona
Tres
exactamente
escritorios?
son
Nicole
probabilidad
la
seis
Se
7:30
producción
el
Se
la
que
tambalee?
es
de
embalan
a
es
se
¿Cuál
la
las
de
defectuoso
defectuoso
en
un
probabilidad
Ningún
de
que
procesador
contenga:
defectuoso
defectuosos
paquetes.
procesadores
la
Halle
en
la
cada
uno
defectuosos
paquete
y
al
probabilidad
en
de
los
cada
menos
de
encontrar:
paquetes
paquete
dos
en
el
otro
Capítulo
15
533
empo
Una
son
caja
contiene
rojos.
¿Cuántas
al
menos
El
resto
ores
un
un
gran
son
blancos.
deben
clavel
cantidad
Se
escogerse
rojo
entre
de
escogen
para
ellas
claveles
que
sea
de
los
claveles
la
al
cuales
azar
probabilidad
mayor
que
un
de
de
cuar to
la
caja.
que
haya
0,95?
Respuesta
Sea
X
la
variable
aleatoria
“el
1
son
número
X
~
de
B(n,
P(X
≥
1)
claveles
rojos”.
rojos,
entonces
P(rojo)
=
0,25.
4
0,25)
=
1
–
P(X
=
0)
n
=
1
–
(0,75)
n
1 − (0,75)
> 0, 95
Se
requiere
que
P(X
≥
1)
>
0,95.
n
0 ,05 > ( 0 ,75)
log
y
en
0 ,05 >
n log 0 ,75
Resolver
la
inecuación
en
n
consecuencia
n log
0 ,75 <
log
0 ,05
Cuando
n
log
0, 05
log
0, 75
>
un
se
número
inecuación
n
Se
deben
claveles
de
al
que
tomar
de
la
la
un
mayor
Si
2
El 1%
es
3
X
~
el
que
de
la
que
0,5?
~
posible
4
La
de
0,2)
para
que
menos
es
11.
que
entre
haya
ellos
P (X
y
<
en
1)
una
grande
de
P (X
=
0,0256,
gran
de
no
≥
>
1)
caja
muestra
que
halle
haya
0,75,
n
están
que
averiados.
se
puede
fusibles
halle
el
tomar
averiados
valor
¿Cuál
sea
para
mayor
mínimo
n
probabilidad
534
más
posible
¿Cuántas
n
11
de
fusibles
de
competencia
número
5
y
probabilidad
una
de
15E
probabilidad
B(n,
valor
asegurarse
rojo
0,6)
los
menor
0,95.
tamaño
X
menos
para
clavel
B(n,
que
Si
al
caja
Ejercitación
1
El
probabilidad
menos
sea
> 10,4
de
veces
la
que
de
de
intentos
anotar
se
Ana
hockey
debe
al
0,99?
de
probabilidad
un
una
que
gol
Halle
de
el
necesitaría
menos
de
un
0,3.
que
lanzar
probabilidad
Distribuciones
anote
es
gol
caiga
para
sea
moneda
ceca
penal
en
menor
que
mayor
la
que
equilibrada
sea
de
al
0,95.
divide
por
negativo,
se
la
invier te.
Esperanza
matemática
de
una
distribución
binomial
2
Pensemos
en
el
ejemplo
de
la
moneda
no
equilibrada,
con
P(C)
=
.
3
Si
se
arroja
la
moneda
Intuitivamente,
la
3
veces,
respuesta
¿cuántas
es
veces
se
puede
esperar
que
salga
cara?
2.
La
demostración
de
esta
2
Esto
es
lo
mismo
que
calcular
3×
=
2
fórmula
no
3
está
Para la
distribución
binomial
donde X
~
B(n,
p),
E(X )
=
np
de
en
el
programa
estudios
de
Matemáticas
La
el
máquina
nombre
de
de
espaciados
mitad
clavo
hay
Cada
orientarse
lo
las
la
a
alturas
Si
de
la
de
el
Podemos
más
El
dado
dado
se
de
de
las
una
el
o
a
cual
cada
de
bolas
qué
a
cae
de
Galton.
los
de
con
los
igual
las
los
sucede
(véase
esto
las
bolas.
sobre
de
una
dispuestos
de
El
forma
placa
de
ver tical
forma
pareja.
embudo
estadísticos
está
En
que
con
clavos
escalonada.
la
mitad
directamente
tomó
del
La
extremo
encima
del
este
puede
probabilidad.
de
la
experimentos
compone
están
clavos,
binomial
ranuras
montones
para
espaciadas
ver ter
distribución
en
Se
clavos
sucientemente
normal
dispositivo
directamente
uno
una
bolas
es
Francis
pueden
izquierda
lugar
alturas
en
un
rectangulares
se
bola
pega
la
da
Sir
es
superior
,
ranuras
distribución
por
mitad
el
montones
entender
sobre
empo
Un
a
en
bola
proceso
los
la
que
derecha
Quincunx,
británico
por
una
número
distribución
aproximará
modo
que
este
el
En
dividida
embudo
vez
tanto,
inferior
.
máquina
inventor
,
está
un
superior
clavo.
Por
su
o
uniformente.
inferior
superior
Galton,
NM.
de
la
grande,
bolas
sección
investigando
de
par te
entonces
se
15.3).
un
poco
tema.
no
se
equilibrado
lanza
obtendrá
un
12
se
veces
número
lanza
más.
seis
en
30
veces
Halle
estos
el
12
y
se
obtiene
número
un
esperado
seis
de
8
veces.
veces
que
lanzamientos.
Respuesta
8
X
~
B(12,
p)
p
donde
4
=
=
30
Sea
15
X
el
obtiene
número
un
seis
de
en
veces
12
que
se
lanzamientos.
4
E( X )
=
np
=
12
×
=
3, 2
15
Posiblemente
querramos
Ejercitación
nuestro
1
a
Una
hacer
15F
moneda
normal
se
lanza
40
veces.
Halle
el
propio
número
experimento
esperado
de
Un
normal
de
c
dado
veces
Un
que
caras.
se
y
se
arroja
obtendrá
naipe
se
extrae
devuelve.
13
de
de
estos
40
un
una
veces.
el
número
esperado
seis.
baraja
naipes
Halle
son
explorar
cerca
se
nuestros
de
de
52
naipes,
corazones.
se
El
anota
y
se
proceso
se
de
los
cuán
encuentran
resultados
resultados
esperados
en
distribución
repite
40
veces.
Halle
el
número
esperado
de
binomial
una
binomial.
corazones.
Capítulo
15
535
PREGUNTAS
X
2
es
una
media
Un
3
de
test
cada
la
una,
X es
15
con
que
“el
aleatoria
preguntas
un
distribución
de
a
La
La
media
c
La
probabilidad
Se
halla
de
niñas
Frecuencia
de
tres
En
de
el
el
hijos,
Varianza
capítulo
sea
valor
en
de
dispersión
o
de
se
de
B(n,
0,4,
p).
halle
posibles
respuesta
adivina
Sabiendo
que
la
n.
respuestas
correcta
cada
por
para
pregunta.
respuesta.
contestadas
con
correctamente”,
dé:
estudiante
tres
hijos
1
2
3
13
34
40
13
una
logre
la
nota
de
cada
una
tienen
los
niñas.
de
que
un
bebé
que
nace
en
este
gr upo
niña.
obtenido
en a,
muestra
de
calcule
100,
distribución
introdujo
un
este
0
una
una
8
~
más
probabilidad
familias
Usando
=
cuatro
una
que
familias
Número
la
p
X
X
de
10
números
Halle
y
preguntas
de
siguientes
a
y
que
X
que 100
de
10
estudiante
número
de
tal
es
solamente
aprobación
4
EXAMEN
distribución
tiene
Suponga
Si
TIPO
variable
el
conjunto
que
se
número
espera
de
familias
tengan
dos
con
niñas.
binomial
concepto
de
el
de
varianza
como
La
demostración
de
la
medida
fórmula
varianza
La
fórmula
cuader nillo
Si
X
~
V
olviendo
para
de
la
varianza
fórmulas
B(n, p),
al
de
de
ejemplo
una
distribución
Matemáticas
entonces
Var(X)
original
de
la
datos.
de
la
=
binomial
está
en
el
de
NM.
npq
donde
moneda
no
q
=
p
–
no
programa
está
de
en
el
estudios
Matemáticas
NM.
.
equilibrada
para
la
2
cual
P(C)
=
,
si
arrojamos
la
moneda
3
veces,
esperamos
que
caiga
3
cara
Sin
2
veces.
embargo,
este
obviamente,
experimento
muchas
esto
no
veces,
siempre
algunas
ocurrirá.
Si
obtendremos
repetimos
0,
y
3
caras.
Podemos
la
Usando
la
fórmula
para
la
desviación
2
=
npq
=
3 ×
1
×
3
En
la
raíz
2
cuadrada
=
3
de
la
varianza.
3
general
Para
la
distribución
binomial
donde X
~
B (n,
Al
valor
X,
E(X),
Esperanza
de
X,
E(X)
=
esperado
también
la
media,
Varianza
Distribuciones
de
de
X,
Var(X)
probabilidad
=
µ.
np
Entonces
●
de
se
p)
llama
●
536
típica
varianza,
tomando
Varianza
calcular
npq
donde
q
=
–
p
E( X)
=
µ.
lo
empo
El
40%
de
público
Se
los
para
trabajadores
ir
selecciona
Halle
el
trabajo
al
al
azar
número
en
de
una
empresa
grande
usa
transpor te
trabajo.
una
muestra
esperado
transpor te
de
de
15
trabajadores.
trabajadores
público
y
la
en
desviación
esta
muestra
que
van
al
típica.
Respuesta
Sea
T
que
van
T
B(15;
~
E(T )
el
=
Var(T )
La
número
en
transpor te
×
0,4
15
×
=
1,90
X
~
B
Halle
Una
Se
la
4
se
Var(X)
c
P(X
5
número
la
media
desviación
npq
desviación
de
típica
la
es
la
raíz
varianza.
y
la
varianza
de
X
típica
de
la
distribución
0,6).
del
un
se
lanzó
número
de
equilibrado
seis.
10
40
veces.
Halle
la
media
y
la
caras.
veces.
Sea X
el
número
de
veces
Halle:
de
veces
que
sale
un
seis
EXAMEN
frecuente
en
usa
binomial,
El
la
esperado
TIPO
aeropuer to
a
np
=
μ)
<
año
calcule
típica
Una viajera
Un
La
equilibrada
obtiene
=
Var(T)
3,6
es
un dado
El
PREGUNTA
,
y
B (12;
moneda
a
=
⎠
media
lanza
que
0,4
⎞
⎟
desviación
4
=
cuadrada
0,
binomial
3
p
15G
⎜
⎝
2
15,
E(T)
0,6
cs)
1
⎛
Si
=
público.
6
×
típica
(3
Ejercitación
1
=
0,4
desviación
3, 6
n
trabajadores
0,4)
15
=
de
el
encuentra
par ticular
una
aeropuer to
en
que
vez
22
está
cada
5
demorada
viajes,
ocasiones.
en
en
un
promedio.
Usando
un
modelo
halle:
número
esperado
de
viajes
en
que
estará
demorada
en
ese
aeropuer to
6
La
varianza
c
La
probabilidad
En
el club
que
la
de
pueden
varianza
Hallar
00
la
de
que
atletismo
correr
es
100
en
local,
demorada
el
metros
número
en
menos
en
menos
esperado
de
13
de
de
4
ocasiones
personas
segundos
es
4,5
y
3,15.
probabilidad
metros
esté
menos
de
de
que
3
al
menos
3
personas
puedan
correr
segundos.
Capítulo
15
537
PREGUNTA
X
7
es
TIPO
una
Sabiendo
que
la
aleatoria
media
n
a
una
Var(X )
A
variable
=
par tir
.
de
1,92.
de
la
lo
anterior,
de
peso,
~
B (n,
~
de
B (n,
p),
=
de
7,8
E(X )
posibles
P(X
es
p).
y p
=
9,6
y
0,3,
halle:
X
6)
de n
para
=
y
de
p.
cada
par
posible.
norma
distribución
alrededor
máxima
X
calcule
la
X
distribución
valores
rucón
datos
estatura,
los
que
varianza
aleatoria
Halle
ingacón:
Recoja
tal
la
La
Para
8
EXAMEN
variable
50
normal
estudiantes
extensión
de
la
de
mano
su
colegio
abier ta,
para
longitud
una
del
de
pie,
estas
categorías:
circunferencia
de
la
muñeca.
1
Dibuje
2
¿Dónde
3
¿Es
4
Una
el
un
histograma
está
cur va
pico
histograma
los
puntos
Probablemente,
la
el
tiene
el
para
del
los
aproximadamente
medios
de
las
histograma
forma
datos.
histograma?
de
simétrico?
barras
obtenido
campana
con
de
es
la
su
histograma
más
o
mayoría
menos
de
las
con
una
cur va.
simétrico
y
mediciones
f(x)
en
Si
tor no
se
de
un
tomaran
unieran
cur va,
los
el
valor
más
central.
medidas,
puntos
medios
histograma
sería
se
de
dibujara
las
más
otro
barras
por
simétrico
y
histograma
medio
la
de
forma
y
se
una
se
O
aproximaría
parecerse
a
más
la
a
la
cur va
de
que
una
se
campana,
muestra
hasta
llegar
aquí.
la
Esta
La
es
una
r ucón
distribución
normal
norma
es
A
probablemente
la
cura
la
de
cur va
impor tante
distribución
en
estadística,
es
un
modelo
adecuado
para
incluyen
que
los
animales
y
se
dan
naturalmente.
atributos
plantas,
e
físicos
de
incluso
en
masa
en
las
podría
aproximación
de,
por
usó
tiempos
para
tiempos
de
obtenidas
los
completar
reacción
o
un
las
cur va
cada
La
de
un
Es
●
La
alemán
Carl
para
1809.
analizar
El
retrato
del
cur va
normal
y
la
función
aparecieron
en
el
de
viejo
medidas
marcos
alemanes.
impor tante
en
la
Si
bien
historia
Gauss
de
esta
como
los
estadísticos
franceses
Abraham
de
las
examen,
trabajo,
10
papel
los
los
del
CI.
(1667–1754)
(1749–1827)
primeros
normal
y
llevaron
trabajos.
De
Pierre-Simon
a
cabo
Moivre
matemáticamente
a
la
en
Laplace
muchos
de
desarrolló
1733
distribución
como
binomial,
los
la
cur va
una
aunque
caso:
cur va
tiene
forma
de
ensayo
que
simétrica
respecto
de
la
la
moda
y
la
hasta
escrito
1924
por
sobre
Karl
el
tema
Pearson.
no
fue
Laplace
media( µ).
usó
media,
había
campana.
descubier to
●
en
la
el
●
normal
asociada
aproximación
En
cur va
La
aplicarse
un
matemático
“la
ar tículos
ejemplo,
en
la
probabilidad
Moivre
puntuaciones
llama
(1777–1855).
matemático,
cur va,
una
la
personas,
fábricas.
también
al
se
Estas
jugó
distribución
honor
Gauss
astronómicos
billete
producidos
en
también
muchas
datos
variables
Gau
normal
ya
Gauss
que
Gauss”
Friedrich
más
x
a
la
cur va
normal
en
1783
para
describir
la
mediana
distribución
de
errores,
un
esencial
y
en
1810
demostró
coinciden.
teorema
teorema
538
Distribuciones
de
probabilidad
del
límite
de
la
central.
estadística,
llamado
Características
de
una
distribución
normal
Recordemos
No
existe
una
de
una
ellas
única
cur va
denida
por
normal,
su
sino
μ,
media,
y
una fam a cura ,
desviación
típica,
cada
σ
la
media, μ, es
el
promedio,
desviación
Si
la
variable
aleatoria
X
tiene
una
distribución
normal
es
con
μ
σ
y
son
los
y
desviación
parámro
σ,
típica
esto
se
escribe
X
N (μ,
~
σ
media
es
el
punto
típica,
medida
de
la
distribución
y
la
desviación
la
expresión
típica
2
X
describe
la
dispersión
de
la
distribución.
Cuanto
más
grande
sea
~
N(μ,
σ
típica,
más
ancha
será
la
cur va
2
),
σ
es
la
la
varianza.
desviación
σ,
de
r ucón .
a
central
la
).
En
La
una
y
dispersión.
2
μ
media
que
Recordemos
normal.
que
la
varianza
es
2
Estos
tres
grácos
muestran
~
X
N (5,
2
el
),
cuadrado
de
la
f(x)
2
X
~
N (0,
2
2
)
y
X
2
~
N (5,
2
x
x
1
).
x
2
desviación
3
típica.
3
Las
desviaciones
por
lo
pero
que
μ
las
μ
<
típicas
cur vas
<
son
tienen
todas
el
iguales,
mismo
ancho,
μ
2
3
x
0
5
2
Estos
tres
grácos
muestran
X
~
N (5,
10
15
20
),
2
X
~
N (5,
2
y
X
2
~
N (5,
3
).
Aquí
las
X
1
3
medias
están
σ
f(x)
2
)
<
son
todas
centradas
σ
σ
<
2
,
iguales
respecto
por
lo
que
y
todas
de
esta
la
las
cur vas
media,
cur va
de
X
3
estrecha
X
pero
es
2
más
X
3
que
la
de
,
X
y
la
de
X
2
es
más
x
0
2
5
estrecha
que
la
de
10
X
3
Las
cur vas
típicas,
El
pueden
pero
área
todas
bajo
tener
tienen
la
diferentes
las
curva
Independientemente
de
distribución
el
normal,
mismas
de
o
diferentes
sean
total
desviaciones
características.
distribución
cuáles
área
medias
los
bajo
valores
la
cur va
normal
de μ
es
y
σ
para
siempre
una
igual
a
.
f(x)
Por
lo
como
tanto,
la
podemos
considerar
representación
Entonces,
en
probabilidad
esta
P(X
de
5)
áreas
parciales
bajo
la
cur va
probabilidades.
distribución
<
las
normal
hallando
el
podríamos
área
hallar
sombreada
en
el
la
diagrama.
μ
x
0
Desafortunamente,
curva)
para
la
la
función
distribución
de
probabilidad
normal
es
muy
(la
ecuación
complicada
y
de
difícil
5
la
de
usar.
2
−( X − μ )
2
1
f
(X )
=
2σ
e
−
∞
<
X
<
∞
2πσ
Sería
bajo
muy
la
difícil
cur va.
para
Sin
nosotros
embargo,
usar
hay
la
otros
integración
métodos
para
que
hallar
áreas
podemos
utilizar.
Capítulo
15
539
La
distribución
normal
estándar
Vemos
La
μ
r ucón
=
0
y
σ
describir
=
el
.
norma
La
número
de
es
ánar
variable
aleatoria
la
distribución
se
desviaciones
llama
típicas
Z.
normal
Usa
entre
en
“valores
cada
valor
la
z”
y
que
para
P(Z
a)
pensar
una
la
=
que
=
en
recta
ancho
y
0.
Podemos
esto
que
por
como
no
lo
tiene
tanto
media.
tampoco
➔
La
distribución
normal
estándar
se
escribe Z
~
N (0,
Esto
).
P(a
Podemos
Z
~
N (0,
usar
)
Sabiendo
que
P(−2
P(Z
<
<
CPG
para
empo
a
la
Z
Z
<
para
valores
~
N (0,
1)
0)
calcular
entre
a
y
1),
halle:
P(Z
P(|Z|
<
b,
las
y
áreas
a
par tir
1)
>
bajo
de
la
allí,
P(Z
c
cur va
P(a
>
de
<
Z
<
b).
−1,5)
0,8)
Respuestas
a
P(−2
<
Z
<
1)
=
0,819
Usando
el
menú
(distribuciones)
normCdf
los
valores
inf erior,
P(Z
<
1)
=
0,841
de
en
(dpA
en
típica
Ingresar
límite
número
CPG,
orden:
superior,
desviación
el
la
nor mal)
este
límite
Distri butions
negativo
elegir
ingresar
límite
media,
inf erior
muy
e
como
un
pequeño,
999
–9
c
P(Z
>
−1,5)
=
0,933
×
10
Ingresar
el
límite
superior
como
un
999
número
{
540
Distribuciones
de
probabilidad
muy
grande,
Continúa
en
9
la
×
10
página
siguiente.
área.
signica
Z
<
=
P(a
<
≤
Z
=
P(a
<
=
P(a
≤
b)
≤
b)
Z
≤
b)
Z
<
b)
que:
f(Z)
P(Z
<
0)
=
Aquí
0,5
no
se
necesita
calculadora
usar
porque
el
la
gráco
es
f(Z
simétrico
P(|Z|
>
0,8)
=
1 – 0,576
=
0,424
respecto
de
la
<
0)
=
0,5
media.
z
0
|Z|
Z
<
>
0,8
–0,8
signica
o
Z
>
0,8
Véase
en
Ejercitación
1
Sabiendo
a
2
3
4
5
6
Halle
área
1
Entre
0,5
Halle el
a
1
2,4
Z
<
Entre
y
~
2
la
y
a
1
1,75
área
1,5
bajo
cur va
la
bajo
cur va
cur va
típica
desviaciones
que
Z
~
que
debajo
de
la
de
la
la
de
CPG
0,65)
P(Z
>
0,72)
P(Z
>
−2)
P(Z
≤
−0,28)
P(0,2
<
Sabiendo
la
P(|Z|
de
la
<
que
<
pregunta
probabilidad
típica
Z
~
N (0, 1),
1,2)
Z
~
use
P(−2
N (0, 1),
la
<
use
0,4)
de
la
que
media,
≤
Z
ejercitación
se
dos
a
desviaciones
3)
media
la
de:
media
para
para
hallar:
P(Z
para
>
≥
P(−1,3
típicas
Z
≤
−0,3)
f(z)
1,24)
de
de
≤
hallar:
0,4
encontramos
menos
1,8)
hallar:
c
P(|Z|
5H,
encuentre
<
de:
0,3)
CPG
de
Z
media
c
CPG
Z
la
la
menos
<
Z
<
media
de
la
P(Z
que
P(−3
c
media
debajo
use
la
más
está
de
2)
media
a
Sabiendo
17.
estándar:
está
de
que
<
típicas
arriba
típicas
N (0, 1),
Z
típicas
arriba
típicas
la
<
normal
desviaciones
típica
desviación
Sabiendo
P(−2
desviaciones
desviaciones
el
capítulo
5.13
halle:
bajo
área
N (0, 1),
1)
desviación
Halle
a
En
el
Z
sección
15H
que
<
a
a
7
P(−1
el
la
una
la
la
desviación
media
y
tres
z
–3
desviaciones
típicas
Se
que
de
la
media,
–2
–1
0
1
2
3
respectivamente.
68,27%
puede
normal
ver
quedarán
la
a
mayor
menos
par te
de
de
tres
los
datos
de
desviaciones
una
distribución
típicas
de
la
media.
95,45%
99,73%
Capítulo
15
541
Probabilidades
Es
evidente,
cotidiana
una
sin
se
media
para
embargo,
distribuyen
de
0
y
una
otras
que
distribuciones
muy
según
la
pocas
variables
distribución
desviación
típica
de
de
normal
).
normales
Pero
la
vida
estándar
(con
podemos
2
transformar
equipararla
cualquier
a
la
distribuciones
en
la
distribución
distribución
normales
ubicación
y
la
normal X
normal
tienen
la
estándar,
misma
N ( μ,
~
σ
porque
forma
)
para
todas
básica,
con
las
cambios
dispersión.
2
Para
transformar
valor
z
equivalente
en
Z
~
valor
N (0,
dado
),
de x
N ( μ,
σ
en
X
~
utilizamos
la
siguiente
)
a
su
forma:
μ
x
z
cualquier
=
σ
Después
se
puede
usar
la
CPG
para
hallar
la
probabilidad
requerida.
2
➔
Si
X
N ( μ,
~
),
entonces
la
variable
aleatoria
transformada
μ
X
Z
σ
tiene
=
una
distribución
normal
estándar.
σ
empo
2
La
variable
aleatoria
X
~
N (10,
2
).
Halle
P(9,1
<
X
<
10,3).
Respuesta
P(9,1
<
X
<
10,3)
Dibujar
un
gráco
aproximado
f(x)
P(9,1
<
x
<
10,3)
x
0
5
9, 1
z
10
15
10, 3
10
z
=
P(9,1
=
X
Estandarizar
<
<
Z
<
los
<10,3)
Distribuciones
=
de
0,233
probabilidad
valores
que
razonable,
542
x
0,15)
Vericar
X
de
10,3)
Ingresar
<
valor
= 0,15
P(−0,45
P(9,1
cada
2
0, 45
<
10
=
2
=
20
la
en
respuesta
comparada
aproximado
la
CPG
parezca
con
el
gráco
T
ambién
podemos
soluciones
la
CPG.
de
Sin
usar
la
más
responder
este
rápido
esta
impor tante
de
saber
límite
desviación
y
aplicar
=
el
eciente
Pero
el
de
es
método
Ingresar
superior
,
típica
usando
es
pregunta.
estandarización.
inferior
,
estas
fórmula
estandarización,
método
Ejercitación
hallar
directamente,
límite
media
=
10,
2.
15I
2
La
1
P(X
a
La
2
variable
<
16)
variable
P(X
a
aleatoria
<
X
~
P(X
aleatoria
52)
X
N (14,
>
~
9)
≥
).
Halle:
P(9
c
N (48,
P(X
5
81).
≤
X
<
12)
P(X
<
14)
Halle:
42)
P(37
c
<
X
<
47)
2
La
3
variable
P(X
a
<
empo
Se
sabe
3,2)
X
~
N (3,15;
P(X
≥
0,02
).
3,11)
Halle:
P(3,1
c
<
X
<
3,15)
que
las
distribución
de
aleatoria
masas
normal,
de
los
con
huevos
una
media
puestos
de
55 g
por
y
una
una
gallina
siguen
desviación
una
típica
2,5 g.
Halle
la
probabilidad
de
a
Un
huevo
pese
más
c
Un
huevo
pese
entre
que:
de
59 g.
52
y
Un huevo pese menos de 53 g.
54 g.
Respuesta
2
M
~
N
(55;
2,5
)
f(m)
Primero
2
M
~
N(55;
2,5
realizar
un
gráco
aproximado
)
Media
=
55
0
m
45
50
55
60
65
Ingresar
límite
media
los
inf erior,
=
P(M
>
59)
=
0,0548 (3 cs)
P(M
<
53)
=
0,212 (3 cs)
c
P(52
<
M
<
54)
=
en
límite
la
CPG:
superior,
55,
desviación
a
valores
típica
=
2,5
0,230 (3 cs)
Capítulo
15
543
Ejercitación
PREGUNTAS
Los
1
15J
TIPO
hogares
semana
en
en
Menos
Más
c
Entre
Una
2
que
halle
a
90
80
euros
mm.
cualquiera
se
3
Se
sabe
en
la
sala
media
de
Halle
a
20
Según
4
14
masas
una
Las
pesa
siguen
más
masas
típica
de
de
que
La
que
la
tiene
5%
de
todos
jugo.
El
límite
son
euros.
20
una
un
distribución
hogar
sea:
distribuidos
de
desviación
de
calidad
3,5 mm
¿cuántos
los
o
más
esperar
4
de
y
4,5 mm
aceptables?
del
normal,
de
típica
riguroso
serían
pacientes
típica
esperan
paquete
de
de
normal,
15 g.
una
en
los
de
Dr.
con
Barret
una
minutos.
más
de
¿Qué
el
menos
de
copos
copos
con
de
10
de
cereal
garantiza
una
media
proporción
de
minutos?
que
de
los
las
551,3 g
paquetes
paquete?
polvo
para
media
de
lavar
500 g
siguen
y
una
una
desviación
que
será
elegidos
al
un
de
volumen
la
elegido
al
azar
tenga
¿Cuál
una
masa
es
la
probabilidad
menor
que
de
475 g?
inversa
hallar
probabilidad
son
paquete
azar.
tengan
necesario
cartones
propietario
que
475 g.
normal
envases
el
de
paquetes
determinada
para
con
que
cada
indica
paquetes
menos
los
embotella
de
tener
producción
que
de
una
distribución
pacientes
de
probabilidad
paquetes
veces
empresa
El
los
menos
per nos,
distribución
lo
y
control
aguardan
car tón,
La
de
doctor.
los
típica
de
distribución
Habrá
el
normal,
masa
Tres
de
siguen
gasto
4 mm
desviación
de
al
por
típica
diámetros
un
una
una
ver
euros
20 g.
Halle
una
y
550 g.
una
desviación
distribución
a
para
en
500
que
probabilidad
indica
contendrá
5
minutos
de
mida
siguen
el
100
semana
con
pasan
de
que
por
media
tiempos
proporción
se
euros
per nos
lote
de
semana
125
diámetro
espera
comestibles
semana
per nos
media
desviación
de
por
una
un
los
de
la
“Copito”
y
Los
minutos
¿Qué
con
De
que
y
una
una
de
por
produce
cuyo
descarta.
con
gastos
euros
euros
máquina
gastan
probabilidad
de 130
de
0,25
los
la
normalmente,
de
Por tugal
comestibles,
Suponiendo
normal,
EXAMEN
de
a
rechazados
mínimo
de
valor
acumulada.
jugo
empresa
el
un
valor
porque
puede
un
del
conjunto
Por
ejemplo,
nominal
contienen
querer
de
de
una
50
muy
determinar
datos
ml.
poco
el
punto
envase.
Véase
Podemos
hallar
este
valor
usando
la
CPG,
que
tiene
una
en
llamada
inr
ejemplos
544
Norma
regresaremos
Distribuciones
de
(normal
a
la
inversa)
distribución
probabilidad
para
hacer
normal
la
sección
5.14
función
esto.
En
estándar Z
~
estos
N(0,).
el
capítulo
17.
empo
Sabiendo
que
a
P(Z
<
a)
Z
=
~
N (0,
1),
0,877
use
la
P(Z
CPG
>
a)
para
=
hallar
0,2
c
a.
P(−a
<
Z
<
a)
=
0,42
Respuestas
a
f(z)
Dibujar
un
gráco
aproximado
0,877
a
0
P(Z
a
=
<
a)
1,16
=
z
0,877
(3 cs)
Tener
en
cuenta
que
para
hallar
el
f(z)
f(z)
valor
más
P(z
<
a)
=
de
a
fácil
tal
que
hallar
P(Z
a
tal
>
a)
=
0,2
es
que
0,8
P(Z
<
a)
=
0,8
0,8
0,2
0
P(Z
a
c
>
=
a)
=
a
0
z
0,2
P(Z
<
a)
=
a
z
0,8
0,842 (3 cs)
P(−a
<
Z
<
a)
=
Las
0,42
áreas
a
cada
lado
de
la
región
f(z)
sombreada
y
ambas
tienen
el
mismo
tamaño
valen
1
0,42
(1
−
0,42)
=
0,29;
luego
2
P(Z
–a
a
<
a)
=
1
0,29
=
0,71
z
0
a
=
0,553 (3 cs)
Capítulo
15
545
Ejercitación
Halle
1
<
a)
=
0,922
c
P(Z
>
a)
=
0,005
a
a
P(1
c
P(a
tal
<
Halle
Z
<
a
<
los
P(Z
>
a)
P(a
P(|Z|
=
0,342
que:
<
Z
tal
P(−a
a
4
que:
P(Z
Halle
3
tal
a
Halle
2
a
15K
a)
<
=
0,12
−0,3)
=
<
Z
<
1,6)
=
0,787
0,182
que:
Z
<
a)
valores
=
de
0,3
a
representados
f(z)
a
en
>
a)
estos
=
0,1096
diagramas:
f(z)
0,95
0,2
z
z
0
0
a
Una
con
vez
más,
sin
embargo,
distribuciones
empo
Sabiendo
que
a
distintas
es
de
más
la
probable
que
distribución
nos
encontremos
normal
estándar.
2
X
~
N(15, 3
),
determine
x
tal
que
P(X
<
x)
=
0,75.
Respuesta
f(x)
Dibujar
mostrar
un
el
gráco
valor
de
aproximado
x
para
pedido
0,75
x
0
x
15
Esta
la
pregunta
CPG.
En
inversa),
=
invNorm
x,
mejor
en
(nor mal
media,
típica.
17,0
x
z
resuelve
ingresar
desviación
x
se
15
También
=
se
podría
responder
la
3
pregunta
valor
{
546
Distribuciones
de
probabilidad
de
estandarizando
primero
el
x.
Continúa
en
la
página
siguiente.
P
(X
<
x
⎛
P
⎜
x)
Z
=
0,75
15 ⎞
<
⎟
3
⎝
x
=
0, 75
⎠
15
= 0, 6745
3
x
= 17, 0
empo
Determinados
siguen
una
desviación
El
5%
de
envases
de
distribución
típica
los
Hallar
el
car tón
para
de
normal,
5
ml.
car tones
son
volumen
ser
car tón
de
jugo
con
una
rechazados
mínimo,
al ml
más
son
tales
media
por
que
de
150 ml
contener
próximo,
sus
que
muy
debe
volúmenes
y
una
poco
jugo.
contener
un
aceptado.
Respuesta
Sea
V
el
volumen
de
un
envase
Sea
m
el
volumen
mínimo
que
debe
2
V
~
P (V
N(150,
<
m)
5
=
)
tener
un
envase
para
ser
aceptado.
0,05
Dibujar
f(v)
un
gráco
aproximado
0,05
m
0
El
v
150
volumen
más
mínimo
es
142,
al
ml
próximo.
Capítulo
15
547
Ejercitación
15L
2
1
X
~
2
La
N(5,5; 0,2
)
y
P(X
>
a)
=
0,235.
Halle
el
valor
de
a.
El
masa,
M,
de
una
lata
de
determinada
comida
para
perros
es
que
M
~
N(420, 10
25%
son
).
primer
PREGUNTA
3
Las
esa
mineral
embotellar
botella
con
Un
¿Qué
c
El
es
Las
la
95%
de
a
y
masas
Si
de
se
de
que
Halle
su
la
90
de
a
las
las
de
al
y
una
una
masa
que
todas
las
deben
una
botellas
tener
máquina
de
502 ml
de
manera
1,6 ml,
al
en
de
menos
para
cada
tal
que
los
normal.
una
no
botella
cumpla
contendrán
contienen
entre a
respecto
de
lechuga
de
de
“Ricacola”.
con
las
entre
ml
la
de
y
b
regulaciones?
500 ml
ml
media.
520 g
superada
al
y
se
venden
normal,
típica
lechuga
entre
es
que
distribución
desviación
esté
que
de
botellas
una
planta
masa
tiene
promedio
azar
de
que
de
y
505 ml?
bebida,
¿Cuáles
son
b ?
plantas
siguen
un
típica
simétricos
y
en
500 ml
distribución
botellas
son
550 g
elige
llena
selecciona
de
hipermercado
a
una
insisten
“Ricacola”
desviación
las
b
de
percentil
contener
probabilidad
valores
media
que
proporción
donde
4
una
país
empresa
siguen
inspector
¿Cuál
los
La
un
arman
bebidas,
volúmenes
a
de
que
cantidad.
El
EXAMEN
regulaciones
agua
de
en
con
un
una
masa
25 g.
azar,
halle
la
probabilidad
570 g.
por
un
10%
de
las
un
examen
plantas
de
lechuga.
5
Las
puntuaciones
una
y
distribución
un
desviación
Si
a
el
5% de
obtienen
Si
el
una
También
pidan
10%
es
que
posible
(si
medio
bolsas
de
15
que
ya
se
f
o
nos
sea
obtienen
de
d
o
den
las
halle
de
55
puntos,
el
distinguido
halle
el
porque
el
valor
(si
valor
se
conoce
de μ)
o
porque
valor
de
d
obtienen
de
probabilidades
media
conoce
un
más,
repr ueban
menos,
la
media
siguen
puntos.
alumnos
de
una
en
f
acumuladas
el
valor
de σ)
y
o
nos
la
ambas.
empacadora
peso
con
puntuación
los
hallemos
empo
alumnos
los alumnos
de
típica
500
normal,
puntuación
desviación
Una
de
típica
una
de
pesaban
desviación
automática
5 kg.
más
típica
En
de
del
una
embolsa
pr ueba
5,2 kg.
se
Utilice
sacos
de
encontró
esta
patatas
que
el
información
con
10%
un
de
para
las
hallar
la
proceso.
Respuesta
Sea
M
la
masa
de
las
patatas
en
un
El
10%
(0,1)
de
las
bolsas
pesaban
2
saco.
M
~
N(5,
σ
)
más
{
548
Distribuciones
de
valores
que
Halle:
cuar til
TIPO
los
menores
primer
El
a
de
tal
2
probabilidad
de
5,2
kg.
Continúa
en
la
página
siguiente.
cuar til.
el
P(M
>
5,2)
=
0,1
Dibujar
f(m)
un
gráco
aproximado
0,1
0
m
5,2
5
5, 2
Z
5
0, 2
=
=
Estandarizar
σ
0, 2 ⎞
⎛
P
σ
Z
⎜
>
P
⎜
0,1
⎠
0, 2 ⎞
⎛
o
=
⎟
σ
⎝
Z
<
=
⎟
σ
⎝
0, 9
⎠
De
la
P(Z
CPG
<
1,28155. . .)
=
0,9
0, 2
= 1, 28155....
σ
σ
=
0,156
empo
Una
que
fabricante
produce.
diámetros
de
(3 cs)
los
desconoce
Sin
embargo,
mayores
rodamientos
¿Cuál
es
la
la
media
y
de
2,4
son
la
media
un
cm
y
la
sistema
y
desviación
de
aquellos
rechazados
desviación
por
típica
control
con
ser
de
típica
de
calidad
diámetros
demasiado
los
de
los
diámetros
rechaza
menores
pequeños
rodamientos
de
y
de
todos
los
1,8 cm.
el
5,5%
los
Se
por
rodamientos
rodamientos
encontró
ser
muy
con
que
el
8%
grandes.
producidos?
Respuesta
Sea
d
el
diámetro
de
los
rodamientos
producidos.
Sabemos
que
el
8%
son
muy
pequeños,
y
el
2
D
~
N(μ,
σ
)
5,5%
P(D
<
1,8)
P(D
>
2,4)
=
son
muy
grandes.
0,08
=
0,055
Dibujar
un
gráco
aproximado
f(d)
0,08
0,055
0
1,8
1, 8
μ
2,4
2, 4
μ
Estandarizar
y
σ
⎜
1, 8
Z
<
μ
valor
⎞
⎟
= 0, 08
De
⎝
cada
σ
⎛
P
d
σ
la
primera
expresión
⎠
{
Continúa
en
la
página
siguiente.
Capítulo
15
549
⎜
Z
⎞
>
⎜
Z
0, 055
De
la
segunda
1
0,005
De
la
expresión
⎠
μ
2, 4
⎛
P
=
⎟
σ
⎝
o
μ
2, 4
⎛
P
⎞
<
=
⎟
σ
⎝
0, 945
=
0,945
⎠
CPG
sabemos
P(Z
<
−1,40507
P(Z
<
1,59819
que
. . .)
. . .)
=
=
0,08
y
0,945
μ
1, 8
=
–1,40507. . .
=
1,59819. . .
y
Resolver
el
sistema
en
μ
y
σ
σ
μ
2, 4
σ
μ
=
2,08
σ
y
=
0,200
Ejercitación
15M
2
1
X
N(30, σ
~
)
y
P(X
>
40)
=
0,115.
Halle
el
valor
σ.
de
2
2
X
N(μ, 4
~
)
y
P(X
<
20,5)
=
0,9.
Halle
el
valor
de
μ
2
3
X
N(μ,
~
P(X
4
<
Una
σ
σ,
tal
PREGUNTAS
La
Sabiendo
=
variable
típica
5
).
41,82)
0,0287,
aleatoria
que
P(X
TIPO
estatura
<
que
P(X
μ
halle
X
sigue
89)
=
>
58,39)
=
0,0217
y
σ
y
una
0,90
distribución
y
P(X
<
94)
normal,
=
0,95.
media μ
con
μ
Halle
y
y
desviación
σ
EXAMEN
media
de
los
niños
de
cier ta
edad
es
de
136 cm.
El
El
12%
de
los
niños
tienen
una
estatura
de
145 cm
o
más.
Halle
cientíco
Adolphe
desviación
típica
de
las
belga
la
Jacques
estaturas.
Quetelet
6
La
desviación
1%
de
típica
de
las
masas
de
panes
es
de
20 g.
Solo
el
(1796–1874)
los
panes
pesan
menos
de
500 g.
Halle
la
masa
media
de
primero
panes.
7
Las
una
inferior
8
de
media
a
La
El
Las
en
a
de
las
coliores
0,85 kg.
1,1 kg.
porcentaje
μ
media
y
74%
de
una
las
distribución
coliores
normal,
tienen
una
con
masa
de
de
las
coliores
los
clavos
desviación
las
características
Quetelet
típica
de
a
típica
masas
con
de
masa
siguen
7 mm.
una
Si
el
las
a
2,5%
de
como
1 kg
distribución
los
notó
normal,
clavos
la
el
peso,
la
fuerza
de
68 mm,
halle
el
valor
de
la
altura
con
seguían
miden
μ
normales.
9
Un
rollo
papel
ha
encontrado
de
3 m
Halle
rollos
550
de
y
el
que
de
que
la
valor
de
regalo
en
papel,
la
suponiendo
normal.
Distribuciones
de
solo
media
desviación
distribución
vende
realidad
longitud
de
se
probabilidad
de
el
los
típica
que
como
las
35%
de
de
rollos
de
las
“3
los
es
de
m
de
miden
2,9 m.
longitudes
longitudes
largo”.
rollos
siguen
de
los
una
tales
estatura,
distribuciones
más
que
características
coliores
superior
la
normal
humanas.
Halle:
desviación
longitudes
El
siguen
el
aplicar
distribución
masas
fue
los
Se
más
y
PREGUNTAS
10
Se
normal.
El
en
la
a
Halle
30%
la
60%
y
las
de
el
una
de
los
y
11
a
madejas
que
el
y
99%
el
95%
de
PREGUNTAS
La
tabla
las
tienen
de
idea
en
la
TIPO
típica
de
que
más
las
como
de
de
108
las
una
distribución
puntos
puntuaciones,
se
se
indicó
que
las
pueden
tienen
117
puntos.
puntuaciones
fabricación,
longitudes
menos
siguen
normal.
lana
madejas
examen
puntos.
logró
de
normal,
un
logró
154
desviación
determinada
ercco
1
la
variaciones
de
más
estudiantes
distribución
Debido
la
de
estudiantes
distribución
los
razonablemente
una
puntuaciones
20%
media
siguen
El
EXAMEN
que
pr ueba,
si
TIPO
sospecha
los
de
las
mediante
exceden
una
los
495 m
490 m.
rón
EXAMEN
muestra
la
distribución
de
probabilidad
x
de
una
variable
a
Halle
dato
siguen
longitudes
que
este
arriba?
modelizar
longitudes
exceden
más
¿Apoya
aleatoria
discreta
−2
−1
0
1
el
valor
de
P(X
k
=
x)
Halle
2
La
el
distribución
aleatoria
Halle
a
3
valor
En
un
esperado
de
discreta
el
valor
juego
un
de
se
de
dene
de
por
c
lanza
una
P(X
un
x)
=
cx(6
−
x),
x
=
1,
2,
3,
4,
5.
E(X).
dado
tetraédrico
Puntuación
(de
cuatro
caras),
probabilidad
de
probabilidad
de
4
seis,
Un
1,
2,
Se
3,
P
La
cada
el
Anote
otra
Halle
c
¿Cuál
Un
la
en
los
el
hijo
una
los
decide
entonces
recibe
recibir
muchacho
PREGUNTA
TIPO
vez
hijo
10
dos
y
2,
muestra
Halle
1
2
3
1
1
1
4
4
8
4
la
Probabilidad
la
x
total
se
cada
la
de
perinolas.
2,
de
libras.
En
después
está
numerada
el
resultado
obtenido.
perinolas.
P
valor
de P
P ?
cantidad
girar
Una
4.
las
haciéndole
hace
4,
anota
en
posibles
de
semana
Si
el
el
girar
esperado
mañana.
Se
puntuación
números
valores
valor
cada
una
posible.
numerada
probabilidad
es
equilibrado.
juegos.
hacer
está
matemático
su
dos
de
es
resultado
perinola
todos
no
obtener
de
producto
a
a
de
consiste
4.
gira
Sea
cada
después
juego
que
0,1
variable
=
Halle
jugador
0,1
k
X
probabilidad
X
2
2
0,3
k
1
X
las
de
dinero
jugar
las
perinolas
cualquier
de
a
10
y
otro
semanas
de
bolsillo
perinolas
el
producto
caso,
de
para
el
recibe
jugar
al
darle
lunes
es
5.
a
la
mayor
que
¿Cuánto
10,
espera
juego?
EXAMEN
1
5
En
un
tren,
de
los
pasajeros
escuchan
música.
Se
eligen
cinco
pasajeros
al
3
azar.
Halle
la
probabilidad
de
que
exactamente
tres
estén
escuchando
música.
Capítulo
15
551
6
Cuando
de
el
que
número
juegos
7
un
X
niño
gane
de
una
distribución
Sabiendo
que
P(X
Sabiendo
que
P(65
se
lanzan
gana
Le
tres
$1;
toca
si
¿Cuál
es
Copie y
a
la
=
1
2
Me
Si
3
la
=
>
la
probabilidad
dos
veces.
Suponiendo
halle
con
P(X
a)
un
pagar
la
de
tabla
1
a),
los
E(X).
media
75
halle
0,954,
que
Sea X
y
el
halle
desviación
valor
P(X
>
de
o
un
6
en
alguno
de
que
que
gane
muestra
en
el
la
distribución
que
espera
el
ganar
9
(o
perder)
juegos
EXAMEN
30%
de
las
canciones
canciones
al
que
tiene
mi
amigo
en
de
que
me
gusten
exactamente
de
que
me
gusten
al
probabilidad
TIPO
colegio
Exactamente
Más
el
una
es
la
la
variable
tal
que
Los
resultados
normal,
Halle
la
Para pasar
Halle
la
de
a)
un
=
desviación
Distribuciones
de
dos
canciones.
canciones.
veces,
en
cinco
una
de
cada
personas.
cinco
Halle
la
personas
es
probabilidad
zurda.
de
que:
zurdas.
una
de
gente
muestra
zurda
zurda
en
aleatoria
sea
con
una
para
mayor
media
0
que
y
muestra
que
la
de
10
personas.
probabilidad
de
que
0,95?
varianza
1.
Halle
el
valor
0,85.
de
85%
típica
probabilidad
10
normalizada
El
un
de
persona
gr upo
71.
examen
ser
una
aleatoria
media
el
seises
tres
tres
zurdas.
probable
debe
≤
sean
sean
más
menos
P(|Z|
con
tres
alumnos
aleatoria
cuatro
mitad
grande
al
salgan
muchos
muestra
número
tan
que
menos
dados.
tiene
toma
de
MP3.
EXAMEN
que
de a
a
seis
Se
¿Qué
Z
de
de
su
azar:
probabilidad
c
de X,
en:
probabilidad
Halle
probabilidad
1
la
de
juego”.
la
un
dados,
$1?
Halle
En
a
los
Halle
la
5.
a).
Halle
típica
$5.
ganados
