Problemas-de-Factorización-para-Quinto-de-Secundaria

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FACTORIZACION I
1. Factor Algebraico
Ejemplo:
Sean F y P dos polinomios de grados positivos.

Decimos que F es factor algebraico de P si y
4
2
2
Factorizar: 4x + 5x notamos que x es
un factor común.
sólo si P es divisible por F, es decir P  F es
2
 x (4x
exacta.
2
+ 5); donde sus factores
2
primos son: “x” y “4x + 5”
2. Factor Primo
Sean F y P dos polinomios de grados positivos.

Factorizar:
2
2
2
3
a x – ax – 2a y + 2axy + x – 2xy
Decimos que F es un factor primo de P si y
sólo si F es polinomio irreductible y factor
Veamos que no existe factor común
algebraico de P.
alguno
a
simple
vista,
entonces
tendremos que agrupar apropiadamente:
2
2
2
3
2
 a x – 2a y – ax + 2axy + x – 2x y
FACTORIZACIÓN
Es la transformación de un polinomio en la
multiplicación indicada de sus factores primos (o
2
2
 a (x – 2y) – ax(x - 2y) + x (x – 2y)
2
2
 (x – 2y) (a – ax + x )
potencias de sus factores primos).
2. criterio del aspa simple
Ejemplo:

Se utiliza para factorizar a polinomios de la
2 3
4
2
5
6
P(x, y) = 2x y (x - 5) (x – x + 1) (y - 2)
siguiente forma general:
tiene 5 factores primos:
4 lineales
: x ; y ; (x - 5) ; (y - 2)
Ax
2
1 cuadrático : (x – x + 1)
2n
n m
2m
+ Bx y + Cy
o
criterios para factorizar
Existen diversos
criterios
DE TÉRMINOS
Se buscan factores comunes que pueden ser
monomios o polinomios. En caso de no haber
común,
se
2
x
+
5x
+
6
x
3
 3x
x
2
 2x
5x
agrupará
convenientemente tratando de que aparezca
algún factor común.
n
+ Bx + C
Ejemplo:
1. FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN
factor
2n
para factorizar
polinomios, entre ellos tenemos:
algún
Ax
m, n  N
 (x + 3) (x + 2)
(+)
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PROCEDIMIENTO
Ejemplo:
En los extremos del aspa se colocan los
factores que multiplicados en sentido vertical
deben reproducir los términos encerrados en
los círculos punteados. Además la suma de los
productos en aspa debe reproducir el término
central; si es así los factores serán tomados
en forma horizontal.
3
2
Factorizar: x + x – x – 1

2
2
 x (x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x - 1)
 (x + 1)(x + 1)(x - 1)
3
2
2
 x + x – x – 1  (x + 1) (x - 1)
4
2
Factorizar: x + 2x + 9

Ejemplo:
 Hacemos por conveniencia que:
2
x
-
8x
+
2
x
-5
x
-3
2
2
2x = 6x – 4x
15
entonces:
4
2
x + 6x + 9 – 4x
2
(x
2
+ 3)
2
2
2
– 4x
 (x
2
+ 3)
2
– (2x)
2
diferencia de cuadrados.
 x – 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)
2
2
 (x + 2x + 3) (x – 2x + 3)
3. criterio de las identidades
En este caso utilizaremos las equivalencias
algebraicas en sentido inverso al de los
productos notables.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Factorizar:
4.
4
2 3
3 2
Factorizar:
4
3 2
A(m, n) = mn – 5m n + 4m n – 20m n;
dar el número de factores primos:
2.
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
6 4
7 3
5.
F(x, y) = x y – 2x y + x y ;
d) x + 2y
3.
b) x – y
e) x
c) x – 2y
6.
L(a, b, c, x) = a(x - 1) – b(1 - x) + cx – c;
dar un factor primo:
d) x – 2
e) a – b + 2c
b) a + b
d) 2b + c
e) a – b + c
c) a + b + c
2
c) a – ab + b
Factorizar:
2
2
2
2
indicando el número de factores primos:
Factorizar:
b) a + b – c
2
a) b + c
2
5
a) x + 1
5
2
K(x, y) = (9x – 4y )x + 25y (4y – 9x );
indicar un factor primo:
a) x + y
3 2
dar un factor primo:
Factorizar:
5 5
3 2
R(a, b, c) = a b + b c – a b – b ;
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
2
c) 3
2
2
Factorizar: M(x) = x – b + 2ax + a
Dar un factor primo:
a) x + a
d) x + b
b) x + a – b
e) x + a – 2b
c) x – a + b
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7.
Factorizar:
13. Factorizar:
2
4
M(a, b) = a + 2a + ab + b + 1;
dar un factor primo:
8.
indicando un factor primo:
a) a + 2
b) a + 1
d) a + b – 1
e) 2a + 1
c) a - 1
Factorizar:
14
P(x) = x
7
7
b) 2x
7
d) x + x
9.
b) x + 5
d) x + 10
e) x + 8
4
Factorizar:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 8
factores de:
indique la suma de coeficientes de uno de los
32
P(x) = x
factores primos:
d) 4
e) 5
c) 3
15. Factorizar y dar como respuesta el número de
2
P(x, y) = 6x – 31xy – 30y ;
b) 2
2
indicando el número de factores primos:
e) 2x + 7
a) 7
c) x + 7
P(a) = 35a – 61a + 25;
c) 2x + 6
2
a) x + 3
14. Factorizar:
2
– x – 6x – 9;
indicando la suma de factores primos:
a) 2x – 6
2
P(x) = (x + 1) – 5(x + 1) + 4;
c) 3
a) 4
b) 6
d) 8
e) 11
-1
c) 10
10. Factorizar:
4
2
M(x) = (x - 1) + (x - 1) – 6;
dar la suma de coeficientes de un factor
TAREA DOMICILIARIA Nº 3
primo:
a) 1
b) -2
d) 6
e) -4
c) 5
1.
Factorizar:
7 7
13
M(a, b) = 64a b – ab ;
11. Factorizar:
dar un factor primo:
P(a, b, c) = (a + b + c) (a – b + c) – (a + b)(a - b);
dar un factor primo.
a) a
a) a
b) c
d) 2a + b
e) a + c
c) 2a - c
2
d) 4a + 2ab – b
2.
12. Factorizar:
2
2
2
b) b
2
2
e) a + b
c) 2a - 3b
3
Factorizar:
5
4 2
3 3
P(x, y) = x y + 2x y + x y ;
3
P(a, b, c) = a(a + bc) + c(a + b ) – b ;
e indique un factor:
indicar un factor primo:
2
2
a) a + b + c
b) a + b
d) a – b + c
e) a + bc
2
2
c) b + c
2
a) x + y
b) x – y
d) x + 2y
e) x – 3y
c) x – 2y
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3.
Factorizar:
dar un factor primo:
2
M(x, y) = 12(x - y) + 7(x - y) – 12;
dar el número de factores primos.
4.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
a) x + y
m
n
m
n
d) x + y - z
c) 3
p
a
b
e) x - y
a
c) x + y
b
6
2
M(x) = x – x – 8x – 16;
Factorizar:
2
2
2
dar el número de factores primos.
2
dar un término de un factor primo.
a) ay
b) –ax
d) b
e) a + b
c) -by
2
2
a) 6
b) 2
d) 4
e) 5
6
– 64b
6
c) 3
11. Factorizar:
R(m) = 3
F(a, b) = a
n
10. Factorizar:
M(x, y) = ab(x – y ) + xy(a – b );
5.
m
b) x - y
indicando el número de
2m+2
–3
m+1
– 30;
dar el número de factores primos.
factores primos.
6.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
12. Factorizar:
2
P(a,b,c) = (a + b)(a + b + c + 4) – 2c + 5c + 3;
Factorizar:
2
dar la suma de coeficientes de un factor
2
M(x, y) = (3x + y) – (3y - x) ;
primo.
dar el número de factores primos:
7.
a) 1
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
13. Factorizar: P(x, y) e indicar un factor primo:
Factorizar:
4
3
2
2
2 2
4
P(x,y) = 10x + 7x y – 12y
3
M(x, y) = x – 2x y + xy – 2y ;
dar un factor primo:
2
a) 2x + y
2
2
2
a) x + y
b) x + y
d) 2x + y
e) x – 2y
c) x + 2y
2
2
d) 5x + 3y
2
b) 2x + 3y
2
2
2
2
2
c) 5x – 2y
2
e) 2x – y
14. Hallar el término independiente de uno de los
factores que:
8.
(x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38
Factorizar:
4
2 2
4
P(x, y) = 25x – 109x y + 36y ;
indicando el número de factores primos:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 2
b) -5
d) 5
e) 1
15. ¿Cuántos
factores
c) 3
cuadráticos
tiene
siguiente binomio?
8
9.
P(x) = x - 1
Factorizar:
m+a
M(x,y,z) = x
m b
a n
n b
p a
p b
+x y +x y +y y +z x +z y
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
el