Tarea 1 Mecánica Clásica Avanzada, I-2022 Fecha de entrega: Lunes 25 de Abril, en .pdf legible (a mano o latex), con nombre, a julioolivazapata@gmail.com Puede discutir con sus compañeros/as, pero la redacción debe ser completamente personal. Si se detectan redacciónes iguales o muy similares, ambas tareas serán cali…cadas con la nota mínima. Recomendación: cuando escriba una respuesta, pregúntese si puede defender y explicar de forma coherente en una pizarra lo que está escrito. 1) Considere el siguiente principio de acción, que depende de segundas derivadas del grado de libertad x (t): I [x (t)] = Z t2 L x (t) ; t1 dx (t) d2 x (t) ; dt dt2 dt : Muestre que las ecuaciones de Euler-Lagrange están dadas por d2 @L dt2 @ x• (t) d @L @L + =0: dt @ x_ (t) @x (t) ¿Cuáles son las condiciones que deben satisfacerse para que los términos que son derivadas totales y que emergen de la derivada funcional se anulen? 2) Considere un sistema de N partículas en un campo gravitacional uniforme. Demuestre que el torque total producido por el campo gravitacional al rededor del centro de masa es cero. 3) Considere un sistema de N partículas que interactúan mediante una fuerza atractiva que es proporcional a la distancia entre las partículas, es decir asuma que la fuerza que la j ésima partícula ejerce sobre la i ésima está dada por F~ji = kmi mj (~ri (1) rj ) ; donde k es una constante positiva y mk es la masa de la k ésima partícula. Usando el sistema de referencia de centro de masa, determine las trayectorias de las partículas. 4) Encuentre las ecuaciones de Euler-Lagrange para el Lagrangiano de una partícula en un sistema de referencia no-inercial, es decir encuentre la ecuación de movimiento para la partícula de masa m, cuando su Lagrangiano está dado por 1 L (~r; ~v ) = m~v 2 + m~v ~ 2 1 ~r + m ~ 2 1 2 ~r m ~ (t) d2 R ~r dt2 U (~r) ; (2) donde ~ (t) es la velocidad angular del S.R.N.I., y ~ d2 R dt2 es su aceleración. (hint: utilice notación de tensores carterianos). En los siguientes problemas, considere un observador parado sobre la Tierra, quien dada la rotación de la Tierra de…ne un observador no-inercial. Asuma que el módulo de la velocidad angular de la Tierra es pequeño. Detalle sus razonamientos y cálculos. 5) Enuentre el desvío de la vertical de un cuerpo en caida libre. 6) Determine el desvío de la planaridad de la trayectoria de una partícula lanzada desde la super…cie de la Tierra con velocidad ~v0 . 7) Determine el efecto de la rotación de la Tierra en las oscilaciones pequeñas de un péndulo (el problema del péndulo de Foucault). 2