DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE
POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES
El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se
empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas
soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.
Para una ecuación dada:
𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0
se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se
desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son
polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una
solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.
∞
y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯
𝑚=0
Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:
∞
,
y = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯
𝑚=1
∞
,,
y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯
𝑚=2
Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma
de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos en 𝑦.
De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
OSCAR GUTIERREZ
a.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓNMATEMÁTICA
𝟐𝒙𝒚′′ + (𝟏 + 𝒙)𝒚′ + 𝒚 = 𝟎
∞
𝑦 = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Forma original de la E.D
Se propone una solución en serie de potencia
𝑚=0
∞
′
𝑦 = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1
𝑚=1
Se calcula la primera derivada de la solución
propuesta
∞
Se calcula la segunda derivada de la solución
propuesta
′′
𝑦 = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2
𝑚=2
Se reemplaza la solución propuesta y la primera
y segunda derivada en la ecuación diferencial
original
∞
2𝑥 ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 + ⋯
𝑚=2
∞
∞
… + (1 + 𝑥) ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥
𝑚−1
+ ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0
𝑚=1
𝑚=0
∞
Se realiza distribución en el segundo termino
2 ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 𝑥 + ⋯
𝑚=2
∞
∞
… + ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥
𝑚−1
∞
+ ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥
𝑚=1
𝑚−1
𝑥 + ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0
𝑚=1
𝑚=0
∞
Se aplica la propiedad de multiplicación de
potencias de igual base.
2 ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 + ⋯
𝑚=2
∞
∞
… + ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥
𝑚−1
+ ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 + ∑ 𝑎𝑚 𝑥
𝑚=1
𝑥 𝑎 × 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎+𝑏
∞
𝑚
𝑚=1
𝑚
=0
𝑚=0
Se realiza una sustitución para los índices de la
sumatoria y así todas cuenten con el mismo
termino 𝑥 𝑛
𝑛 = 𝑚−1
𝑚 = 𝑛+1
∞
Se realiza la sustitución en los dos primeros
terminos
2 ∑(𝑛 + 1)(𝑛)𝑎𝑛+1 𝑥 𝑛 + ⋯
𝑛=1
∞
∞
∞
𝑛
… + ∑(𝑛 + 1)𝑎𝑛+1 𝑥 + ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 + ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0
𝑛=0
𝑚
𝑚=1
𝑚=0
∞
Se reescribe el termino 𝑛 como 𝑚
2 ∑ 𝑚(𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 𝑥 𝑚 + ⋯
𝑚=1
∞
∞
∞
𝑚
… + ∑ (𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 𝑥 + ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 + ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0
𝑚=0
𝑚
𝑚=1
∞
𝑚=0
∞
𝑚
2 ∑ 𝑚(𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 𝑥 + (1)𝑎1 + ∑ (𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 𝑥 𝑚 + ⋯
𝑚=1
𝑚=1
Hacemos que todas las sumatorias empiecen
desde 1
∞
∞
… + ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 0
𝑚=1
𝑚=1
∞
𝑎0 + 𝑎1 + ∑ [2𝑚(𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 + (𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 + 𝑚𝑎𝑚
𝑚=1
Agrupamos términos semejantes
+ 𝑎𝑚 ]𝑥 𝑚 = 0
∞
𝑎0 + 𝑎1 + ∑ [(2𝑚 + 1)(𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 + (𝑚 + 1)𝑎𝑚 ]𝑥 𝑚 = 0
Aplicamos factor común
𝑚=1
𝑎0 + 𝑎1 = 0
𝑎1 = −𝑎0
(2𝑚 + 1)(𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 + (𝑚 + 1)𝑎𝑚 = 0
(2𝑚 + 1)𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚 = 0
𝑎𝑚+1 =
𝑎2 =
𝑎3 =
−𝑎𝑚
(2𝑚 + 1)
−𝑎1
𝑎0
=
3
1×3
Igualamos términos semejantes para que se
cumpla la igualdad
Despejamos el termino 𝑎𝑚+1 para obtener la
ecuación en términos de 𝑎𝑚
Obtenemos los primeros términos
−𝑎2
−𝑎0
=
5
1×3×5
𝑎4 =
−𝑎3
𝑎0
=
7
1×3×5×7
𝑎𝑚 =
(−1)𝑚 𝑎0
1 × 3 × 5 … (2𝑚 − 1)
∞
Igualamos términos semejantes para que se
cumpla la igualdad
(−1)𝑚
𝑦 = 𝑎0 ∑
𝑥𝑚
1 × 3 × 5 … (2𝑚 − 1)
Obtenemos la ecuación de recurrencia para el mesimo termino
Reemplazamos en la solución propuesta y se
obtiene la solución de la ED
𝑚=0
TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un
circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.
𝑑2 𝑥
𝑑2 𝑞
dx
m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)
dq
L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)
Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones
diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro
encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy
comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación
diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa
herramienta para resolver problemas de este tipo
La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de
ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.
Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 >
𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por:
∞
ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡
0
2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
OSCAR GUTIERREZ
a.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
𝓛{𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒕 + 𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕)}
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Función original
Definición de la transformada de Laplace
ℒ{2 sin 𝑡 + 3 cos(2𝑡)}
∞
= ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (2 sin 𝑡 + 3 cos(2𝑡))𝑑𝑡
0
∞
∫𝑒
−𝑠𝑡 (2
sin 𝑡 + 3 cos(2𝑡))𝑑𝑡
0
Se separan los términos de la integral en dos
integrales independientes
∞
= 2 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡
0
∞
+ 3 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
0
u
sin 𝑡
cos 𝑡
dv
𝑒 −𝑠𝑡
1 −𝑠𝑡
𝑒
−𝑠
1 −𝑠𝑡
𝑒
𝑠2
− sin 𝑡
∞
∫𝑒
−𝑠𝑡
sin 𝑡 𝑑𝑡
0
= (−
∞
−∫
0
∞
0
0
Se reemplazan los términos obtenidos por la
integración por partes
sin 𝑡 −𝑠𝑡 cos 𝑡 −𝑠𝑡 ∞
𝑒
− 2 𝑒 |
𝑠
𝑠
0
sin 𝑡 −𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑡
𝑠2
∞
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 + ∫
Se resuelve la primera integral por el método de
integración por partes
sin 𝑡 −𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑡
𝑠2
Se agrupan las integrales de un lado al ser
semejantes
sin 𝑡 −𝑠𝑡 cos 𝑡 −𝑠𝑡 ∞
= (−
𝑒
− 2 𝑒 |
𝑠
𝑠
0
∞
1
(1 + 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡
𝑠
0
= (−
sin 𝑡 −𝑠𝑡 cos 𝑡 −𝑠𝑡 ∞
𝑒
− 2 𝑒 |
𝑠
𝑠
0
Se agrupan las integrales semejantes en un solo
términos
∞
Se realiza la suma de fracciones
𝑠2 + 1
( 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡
𝑠
0
= (−
sin 𝑡 −𝑠𝑡 cos 𝑡 −𝑠𝑡 ∞
𝑒
− 2 𝑒 |
𝑠
𝑠
0
∞
𝑠2 + 1
1
( 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 = 2
𝑠
𝑠
0
Se evalúan los límites de los términos a la derecha
𝑒 −∞ = 0
𝑒0 = 1
sin 0 = 0
cos 0 = 1
∞
∫𝑒
−𝑠𝑡
0
1
𝑠2
sin 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ( 2
)
𝑠 𝑠 +1
∞
∫𝑒
−𝑠𝑡
0
1
sin 𝑡 𝑑𝑡 = 2
𝑠 +1
u
cos(2𝑡)
−2 sin(2𝑡)
dv
𝑒 −𝑠𝑡
1 −𝑠𝑡
𝑒
−𝑠
1 −𝑠𝑡
𝑒
𝑠2
−4 cos(2𝑡)
∞
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
0
cos(2𝑡) −𝑠𝑡
𝑒
𝑠
∞
2 sin(2𝑡) −𝑠𝑡
+
𝑒 |
𝑠2
0
= (−
∞
−∫
0
4 cos(2𝑡) −𝑠𝑡
𝑒 𝑑𝑡
𝑠2
Se despeja la integral
Se simplifica la expresión
Se resuelve la segunda integral por el método de
integración por partes
Se reemplazan los términos obtenidos por la
integración por partes
∞
∞
4
∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡 + 2 ∫ cos(2𝑡) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑠
0
Se agrupan las integrales de un lado al ser
semejantes
0
cos(2𝑡) −𝑠𝑡
= (−
𝑒
𝑠
∞
2 sin(2𝑡) −𝑠𝑡
+
𝑒 |
𝑠2
0
∞
4
(1 + 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
𝑠
Se agrupan las integrales semejantes en un solo
términos
0
cos(2𝑡) −𝑠𝑡
𝑒
𝑠
∞
2 sin(2𝑡) −𝑠𝑡
+
𝑒 |
𝑠2
0
= (−
∞
𝑠2 + 4
( 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
𝑠
Se realiza la suma de fracciones
0
cos(2𝑡) −𝑠𝑡
𝑒
𝑠
∞
2 sin(2𝑡) −𝑠𝑡
+
𝑒 |
𝑠2
0
= (−
∞
𝑠2 + 4
1
( 2 ) ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos(2𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑠
𝑠
0
Se evalúan los límites de los términos a la derecha
𝑒 −∞ = 0
𝑒0 = 1
sin 0 = 0
cos 0 = 1
∞
∫𝑒
−𝑠𝑡
0
1
𝑠2
cos(2𝑡) 𝑑𝑡 = ( 2
)
𝑠 𝑠 +4
∞
∫𝑒
0
−𝑠𝑡
𝑠
cos(2𝑡) 𝑑𝑡 = 2
𝑠 +4
Se despeja la integral
Se simplifica la expresión
∞
∫𝑒
0
−𝑠𝑡 (2
Se reemplazan los resultados obtenidos para cada
integral
sin 𝑡 + 3 cos(2𝑡))𝑑𝑡
1
𝑠
= 2( 2
) + 3( 2
)
𝑠 +4
𝑠 +4
ℒ{2 sin 𝑡 + 3 cos(2𝑡)} =
2
3𝑠
+
𝑠2 + 4 𝑠2 + 4
Resultado obtenido para la transformada de Laplace
de la función
EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.
{
𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡
}
𝑦(0) = 1
Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial
ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 }
ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =
1
𝑠−2
𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) =
𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) =
𝑌(𝑠) =
1
𝑠−2
1
𝑠−2
𝑠−1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑌(𝑠) = −
1
2
+
𝑠 − 2 (𝑠 − 3)
Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)
1
1
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 (
) + 2ℒ −1 (
)
𝑠−2
𝑠−3
𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡
3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: OSCAR GUTIERREZ
a.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
𝒚′′ + 𝒚 = 𝒆−𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕; 𝒚(𝟎) = 𝟎; 𝒚′(𝟎) = 𝟎
ℒ{𝑦′′ + 𝑦} = ℒ{𝑒 −2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡}
ℒ{𝑦′′} + ℒ{𝑦} = ℒ{𝑒 −2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡}
𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) + 𝑌(𝑠) =
5
(𝑠 + 2)2 + 25
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Forma original de la E.D
Se aplica transformada de Laplace en ambos lados
de la E.D
Se aplica la propiedad ℒ{𝑎 + 𝑏} = ℒ{𝑎} + ℒ{𝑏}
Se reemplaza cada valor de la transformada
ℒ{𝑦′′} = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0)
ℒ{𝑦} = 𝑌(𝑠)
ℒ{𝑒 −2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡} =
5
(𝑠 + 2)2 + 25
Se agrupan los términos con 𝑌(𝑠) a un lado de la
igualdad
5
(𝑠 + 2)2 + 25
Se factoriza el termino 𝑌(𝑠)
𝑠 2 𝑌(𝑠) + 𝑌(𝑠) =
𝑌(𝑠)(𝑠 2 + 1) =
𝑌(𝑠) =
5
(𝑠 + 2)2 + 25
5
((𝑠 + 2)2 + 25)(𝑠 2 + 1)
Se despeja el termino 𝑌(𝑠)
((𝑠 +
2)2
5
+ 25)(𝑠 2 + 1)
𝐴𝑠 + 𝐵
𝐶𝑠 + 𝐷
=
+ 2
2
(𝑠 + 2) + 25 𝑠 + 1
5
((𝑠 +
+ 25)(𝑠 2 + 1)
(𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 1) + (𝐶𝑠 + 𝐷)((𝑠 + 2)2 + 25)
=
((𝑠 + 2)2 + 25)(𝑠 2 + 1)
Se propone resolver la fracción como fracciones
parciales
Se realiza la suma de las fracciones parciales
2)2
5 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 1)
+ (𝐶𝑠 + 𝐷)((𝑠 + 2)2 + 25)
Se igualan los numeradores
5 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 1) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠 2 + 4𝑠 + 29) Se resuelve el binomio cuadrado
5 = 𝐴𝑠 3 + 𝐴𝑠 + 𝐵𝑠 2 + 𝐵 + 𝐶𝑠 3 + 4𝐶𝑠 2 + 29𝐶𝑠
+ 𝐷𝑠 2 + 4𝐷𝑠 + 29𝐷
5 = (𝐴 + 𝐶)𝑠 3 + (𝐴 + 29𝐶 + 4𝐷)𝑠
+ (𝐵 + 4𝐶 + 𝐷)𝑠 2 + 𝐵 + 29𝐷
𝐴+𝐶 =0
𝐴 + 29𝐶 + 4𝐷 = 0
Se aplica la propiedad distributiva
Se agrupan los términos semejantes
Se igualan términos a ambos lados de la ecuación
para obtener los valores de las constantes
𝐵 + 4𝐶 + 𝐷 = 0
𝐵 + 29𝐷=5
𝐴=
𝐵=−
3
40
𝐶=−
1
40
𝐷=
𝑌(𝑠) =
1
40
Se obtiene el valor de las constantes resolviendo el
sistema de ecuaciones
7
40
𝑠−3
𝑠−7
−
2
40((𝑠 + 2) + 25) 40(𝑠 2 + 1)
Se remplazan los valores de las constantes
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
1
3
−
2
40 (𝑠 + 2) + 25 40 (𝑠 + 2)2 + 25
1
𝑠
1
7
−
+
2
2
40 𝑠 + 1 40 𝑠 + 1
ℒ −1 {𝑌(𝑠)} =
𝑦(𝑡) =
𝑦(𝑡) =
1 −1
𝑠
ℒ (
)
(𝑠 + 2)2 + 25
40
3
1
− ℒ −1 (
)
(𝑠 + 2)2 + 25
40
1
𝑠
− ℒ −1 ( 2
)
40
𝑠 +1
7
1
+ ℒ −1 ( 2
)
40
𝑠 +1
1 −2𝑡
2
(𝑒
cos(5𝑡) − 𝑒 −2𝑡 sin(5𝑡))
40
5
3 1 −2𝑡
− ( 𝑒
sin(5𝑡))
40 5
1
7
(sin(𝑡))
− (cos(𝑡)) +
40
40
1 −2𝑡
1 −2𝑡
𝑒
cos(5𝑡) −
𝑒
sin(5𝑡)
40
100
3 −2𝑡
1
−
𝑒
sin(5𝑡) −
cos(𝑡)
200
40
7
+ sin(𝑡)
40
𝑦(𝑡) =
1 −2𝑡
1
𝑒
cos(5𝑡) − 𝑒 −2𝑡 sin(5𝑡)
40
40
1
7
−
cos(𝑡) + sin(𝑡)
40
40
Se distribuye el denominador entre cada uno de los
términos del numerador correspondiente
Se aplica la transformada inversa de Laplace a cada
término de la ecuación
Se obtiene la transformada inversa de Laplace de
cada termino
Se realiza la propiedad distributiva
Se agrupan términos semejantes y se obtiene la
solución de la E.D
PASO 4
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA
A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes
respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características
del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más
apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando
la respuesta correcta de las 4 alternativas.
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Función original
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
𝑎=
RAZÓN O EXPLICACIÓN
𝜋
2
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓 ′ (𝑎) +
1
(𝑥 − 𝑎)2 𝑓 ′′ (𝑎)
2!
1
(𝑥 − 𝑎)3 𝑓 ′′′ (𝑎) + ⋯
3!
𝜋
𝑓(𝑎) = sin ( ) = 1
2
𝜋
𝑓 ′ (𝑎) = cos ( ) = 0
2
𝜋
𝑓 ′′ (𝑎) = − sin ( ) = −1
2
𝜋
𝑓 ′′′ (𝑎) = −cos ( ) = 0
2
𝜋
𝑓 𝐼𝑉 (𝑎) = sin ( ) = 1
2
𝜋
𝑓 𝑉 (𝑎) = cos ( ) = 0
2
Definición series de Taylor
+
𝜋
1
𝜋 2
𝑓(𝑥) = 1 + (𝑥 − ) (0) + (𝑥 − ) (−1)
2
2!
2
1
𝜋 3
+ (𝑥 − ) (0)
3!
2
1
𝜋 4
+ (𝑥 − ) (1)
4!
2
1
𝜋 5
+ (𝑥 − ) (0) + ⋯
5!
2
𝜋
Función evaluada en 2
𝜋
Primera derivada de la función evaluada en 2
𝜋
Segunda derivada de la función evaluada en 2
𝜋
Tercera derivada de la función evaluada en 2
𝜋
Cuarta derivada de la función evaluada en 2
𝜋
Quinta derivada de la función evaluada en 2
𝜋
Se reemplazan todas las derivadas evaluadas en 2 en
la definición de series de Taylor
𝑓(𝑥) = 1 −
Se omiten los términos multiplicados por cero
1
𝜋 2 1
𝜋 4
(𝑥 − ) + (𝑥 − ) + ⋯
2!
2
4!
2
𝑓(𝑥) = ∑(−1)
𝑛=0
Se obtiene la expresión general de la función
𝜋 2𝑛
∞
𝑛
(𝑥 − 2 )
(2𝑛)!
PASO 5
EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA
SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas,
resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o
respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores
encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y
solución planteada:
Situación y solución planteada:
EJERCICIO Y SOLUCIÓN
PLANTEADA GUIA
Solución
La ecuación diferencial que describe
el proceso es:
𝑚𝑥 ′′ = −𝑘𝑥 − 𝛽𝑥′
Se debe calcular la masa y la
constante del resorte
OBSERVACIONES, ANEXOS,
MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN
PLANTEADA
Se modificó la ecuación diferencial que describe
el proceso
𝑚=
𝑊
4
1
=
= 𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑔 32 8
4 = 2𝑘
𝑙𝑏
𝑘=2
𝑝𝑖𝑒
Sustituyendo en la ecuación queda:
1 ′′
7
𝑥 = −2𝑥 − 𝑥′
8
8
1 ′′ 7 ′
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 0
8
8
𝑥 ′′ + 7𝑥 ′ + 16𝑥 = 0
3
𝑝𝑖𝑒
2
𝑥 ′ (0) = 0
Se modificó la ecuación diferencial resultante al
reemplazar las constantes.
𝑥(0) = −
ℒ{𝑥 ′′ + 7𝑥 ′ + 16𝑥} = ℒ{0}
Se modifico la ecuación diferencial para aplicar
transformada de Laplace
ℒ{𝑥 ′′ } + 7ℒ{𝑥′} + 16ℒ{𝑥} = ℒ{0}
𝑠 2 𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥(0) − 𝑥 ′ (0)
+ 7(𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0))
+ 16𝑋(𝑠) = 0
3
21
𝑠 2 𝑋(𝑠) + 𝑠 + 7𝑠𝑋(𝑠) +
+ 16𝑋(𝑠) = 0
2
2
Se agrupan los términos con 𝑋(𝑠)
3
21
𝑠 2 𝑋(𝑠) + 7𝑠𝑋(𝑠) + 16𝑋(𝑠) = − 𝑠 −
2
2
3
21
𝑋(𝑠)(𝑠 2 + 7𝑠 + 16) = − 𝑠 −
2
2
3
𝑋(𝑠) =
−2𝑠 −
21
2
𝑠 2 + 7𝑠 + 16
Se completa cuadrado en el
denominador
Se modificó la ecuación obtenida a la hora de
agrupar términos
3
−2𝑠 −
𝑋(𝑠) =
2
7 2
(𝑠 + 2) +
3
𝑋(𝑠) = − (
2
Se modificó la ecuación obtenida a la hora de
completar cuadrado
21
15
4
𝑠+7
7 2
(𝑠 + 2) +
7
15
4
)
7
𝑠+ +
3
2
2
𝑋(𝑠) = − (
)
7 2
15
2
(𝑠 + 2) + 4
3
𝑋(𝑠) = − (
2
Se modificó la función a la cual aplicar la inversa
de Laplace
7
𝑠+2
7 2
2
(𝑠 + ) +
−
21
(
4
15
4
)
1
(𝑠 +
7 2
)
2
+
15
4
)
Se aplica la transformada inversa de
Laplace
ℒ −1 {𝑋(𝑠)}
3
= − ℒ −1 {
2
7
𝑠+2
(𝑠 +
7 2
)
2
21
2
− ( )(
) ℒ −1 {
4 √15
15
+ 4
}
√15
2
7 2
(𝑠 + 2) +
15
4
}
3 7
√15
𝑥(𝑡) = − 𝑒 −2𝑡 cos (
𝑡)
2
2
21 −7𝑡
√15
−
𝑒 2 sin (
𝑡)
2
2√15
3 7
√15
𝑥(𝑡) = − 𝑒 −2𝑡 cos (
𝑡)
2
2
7√15 −7𝑡
√15
−
𝑒 2 sin (
𝑡)
10
2
Se modificó la respuesta obtenida de la inversa
de Laplace
PASO 8
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS
Nombre Estudiante
Ejemplo:
Adriana González
Ejercicios
sustentados
a de todos los
tipos
de
ejercicios.
Enlace video explicativo
https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM
CONCLUSIONES
Mediante esta actividad se puso en práctica los conocimientos adquiridos sobre la Transformada
de Laplace y lo útil que puede ser para resolver ecuaciones diferenciales de forma sencilla que
por otros métodos podrían a llegar a resolverse de una manera más complicada.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 179-185). Recuperado
de
https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=179
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 157-165). Recuperado
de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227903&ppg=1
